Program FlexPDE w zastosowaniu do symulacji pÃ³l temperatury

Program FlexPDE 

w zastosowaniu do symulacji pól temperatury 

Marek Markowski 

Wydział Nauk Technicznych 

Uniwersytet Warminsko Mazurski w Olsztynie 

Konspekt zawiera materiały pomocnicze do zajęć z modelowania systemów o parametrach 

rozłożonych w zastosowaniu do ustalonych i nieustalonych pól temperatury. Przedstawiono opis 

oprogramowania FlexPDE oraz przykłady zastosowań. 

Część opisowa programu FlexPDE została w znaczącym stopniu przygotowana w oparciu o 

materiały dr inż. Andrzeja Jackiewicza-Korczyńskiego z Akademii Górniczo-Hutniczej w 

Krakowie pt. „Technika Wysokich Napiec. Laboratorium. Ćwiczenie: Modelowanie 

komputerowe rozkładu pola elektrycznego w układach izolacyjnych WN”, pobrane 27.11.2010 z 

http://home.agh.edu.pl/~ajk/dydaktyka/konspekty/twn/modelowanie.pdf

FlexPDE 

Program FlexPDE (www.pdesolutions.com) korzysta ze specjalnego formatu plików 

przetwarzanych w trakcie uruchomienia obliczeń. Pliki te domyślnie maja rozszerzenie *.pde. 

Budowa pliku pozwalającego na przeprowadzenie obliczeń nie ma charakteru sekwencyjnego. 

Plik ten składa sie z pewnych grup, opisanych niżej, pozwalających na pełną kontrolę nad 

procesem obliczeniowym. Grupy w pliku *.pde muszą być uszeregowane w odpowiedniej 

kolejności w grupach (patrz przykłady na końcu). 

TITLE 

SELECT 

VARIABLES 

DEFINITIONS 

INITIAL VALUES 

EQUATIONS 

BOUNDARIES 

TIME 

MONITORS 

PLOTS 

HISTORIES 

END 

Istnieje ponadto możliwość generacji geometrii układu w programie AUTOCAD. Konieczne jest 

przy tym odpowiednie nazewnictwo warstw na rysunku formatu AUTOCAD a także zapisanie 

rysunku w formacie *.dxf (najlepiej w wersji 12). 

1. Grupa TITLE 

Grupa ta zawiera tytuł analizy ujęty w pojedynczych apostrofach, który jest wyświetlany na 

każdym z wykresów. 

2. Grupa SELECT 

Grupa ta pozwala na wybranie odpowiednich ustawień dotyczących metody całkowania, 

wymaganej minimalnej gęstości siatki dla całego modelu (NGRID), zmiany palety kolorów przy 

tworzeniu wykresów konturowych i przestrzennych (THERMAL COLORS), ustalenia rzędu 

elementów (CUBIC), (ORDER) oraz wielu innych parametrów związanych ze specyficznymi 

dla pozostałych grup komendami. Poniżej lista wybranych opcji. 

ALIAS 

BLACK 

CONTOURS 

CUBIC 

ERRLIM 

(coord) alternatywna nazwa wymiarów (dla potrzeb opisu osi wykresów) 

wykresy czarno-białe 

liczba izolinii dla wykresów konturowych 

element trójkątny z funkcją bazową w postaci wielomianu trzeciego 

stopnia 

poziom dokładności rozwiązania (odniesiony do względnego błędu 

zmiennych stanu)

GRAY 

wykresy w 32-stopniowej skali szarości 

GRIDLIMIT maksymalna liczba ponownych generacji siatki przed wystąpieniem 

ostrzeżenia. W trybie wsadowym przerywa wykonanie skryptu 

LOGLIMIT maksymalna liczba dekad dla wykresów w skali logarytmicznej 

NGRID liczba liczba wierszy siatki w każdym wymiarze 

NODELIMIT maksymalna liczba węzłów 

NOMINMAX usuniecie wskaźników położenia wartości maksymalnej i minimalnej na 

wykresach konturowych 

NOTIPS 

wykresy wektorowe z wektorami bez oznaczenia zwrotu 

ORDER 

rząd funkcji interpolującej 

PAINTED wykresy konturowe wypełnione kolorem, możliwe wypełnienie 

wybranych wykresów po zastosowaniu tej opcji w sekcji PLOTS 

REGRID 

adaptacyjna poprawa siatki elementów 

STAGEGRID wymuszenie regeneracji siatki po każdym wariancie obliczeń 

wielowariantowych 

STAGES 

liczba wariantów w obliczeniach 

TEXTSIZE rozmiar tekstu na wykresach (w liniach na stronę) 

THERMAL COLORS kolejność palety kolorów. Włączenie sprawia, że największe wartości 

oznaczone są kolorem czerwonym (gorąco) 

3. Grupa COORDINATES 

Grupa ta pozwala na określenie układu współrzędnych. Do wyboru są układy: 

CARTESIAN(’X’,’Y’) 

XCYLINDER(’Z’,’R’) 

YCYLINDER(’R’,’Z’) 

współrzędne kartezjańskie (prostokątne) w przestrzeni 2D 

współrzędne cylindryczne dla poziomej osi symetrii 

współrzędne cylindryczne dla pionowej osi symetrii 

CARTESIAN3(’X’,’Y’,’Z’) współrzędne kartezjańskie (prostokątne) w przestrzeni 3D 

4. Grupa VARIABLES 

W tej grupie umieszcza sie nazwy skalarnych zmiennych stanu w równaniach różniczkowych 

cząstkowych. W przypadku pól temperatury lub stężenia substancji zmienną stanu jest 

odpowiednio temperatura lub stężenie substancji. Ponieważ program nie posiada możliwości 

prowadzenia obliczeń dla zespolonych zmiennych stanu, w razie potrzeby należy wprowadzić 

dwie zmienne stanu odpowiednio dla wartości rzeczywistej i urojonej. Wektorowe zmienne 

stanu należy rozdzielić na skalarne składowe geometryczne. Zmienna T oraz t jest zastrzeżona 

dla czasu i nie może być stosowana jak zmienna stanu. 

5. Grupa DEFINITIONS 

Grupa ta pozwala na zdefiniowanie wartości parametrów wykorzystywanych do stworzenia 

numerycznego modelu układu, np. parametrów geometrycznych, lub zmiennych związanych ze 

zmiennymi stanu, np. strumień ciepła lub strumień substancji. Ponadto można tu definiować

własności materiałów. Tworząc wyrażenia można stosować następujące operatory algebraiczne 

dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania: +, -, *, / ,^. Można także stosować 

wszystkie funkcje zdefiniowane w systemie FlexPDE. Szczególne znaczenie mają funkcje 

umożliwiające obliczanie całek liniowych, powierzchniowych i objętościowych. 

Zastosowanie: 

zmienna = wyrazenie 

obliczana jest wartość wyrazenie i 

przypisywana do zmienna. 

Funkcje do obliczania całki opisane są poniżej. 

TIME_INTEGRAL(wyr) 

oblicza całkę z wyr względem czasu w 

przedziale od chwili początkowej do chwili 

bieżącej 

LINE_INTEGRAL(wyr, nazw_brzeg) 

oblicza całkę liniową z wyr wzdłuż linii 

lub 

nazw_brzeg. Jeśli nazw_brzeg jest 

LINE_INTEGRAL (wyr, nazw_brzeg, nazw_obsz) pominięta to całkowanie odbywa się po 

lub 

całym obwodzie konturu. Dla geometrii 

LINE_INTEGRAL (wyr, nazw_brzeg, nr_obsz) CARTESIAN2 polecenie to jest tożsame z 

poleceniem SURF_INTEGRAL. Dla 

geometrii CARTESIAN3 całka ta może 

wyznaczona jedynie na „wyciskanej” 

płaszczyźnie. Opcjonalnie może być 

podana nazwa lub (dla 3D) numer obszaru: 

nazw_obsz lub nr_obsz 

SURF_INTEGRAL(wyr) 

lub 

SURF_INTEGRAL(wyr, nazw_brzeg) 

oblicza całkę z wyr po całej zewnętrznej 

powierzchni (3D). 

oblicza całkę z wyr po powierzchni 

nazw_brzeg 

lub 

SURF_INTEGRAL(wyr, nazw_brzeg, nazw_obsz ) oblicza całkę z wyr po powierzchni 

nazw_brzeg leżącej w obszarze nazw_obsz 

lub 

SURF_INTEGRAL(wyr, plaszcz, obsz, warstw) 

oblicza całkę z wyr po powierzchni 

nazw_brzeg leżącej w obszarze nazw_obsz 

w warstwie warstw 

INTEGRAL(wyr) 

lub 

INTEGRAL(wyr, obsz) 

lub 

oblicza całkę z wyr po całej objętości (3D) 

oblicza całkę z wyr po objętości obszaru 

nazw_obsz

INTEGRAL(wyr, obsz, warstw ) 

lub 

VOL_INTEGRAL(wyr, obsz) 

lub 

VOL_INTEGRAL(wyr, obsz, warstw) 

oblicza całkę z wyr po objętości obszaru 

nazw_obsz leżącego w warstwie warstw 

oblicza oblicza to samo co 

INTEGRAL(wyr, obsz) 

oblicza oblicza to samo co 

INTEGRAL(wyr, Obsz, warstw) 

6. Grupa INITIAL VALUES 

W przypadku problemu ustalonego nieliniowego związanego z parametrami środowiska a także 

problemu nieustalonego pozwala na określenie wartości początkowych zmiennych stanu. W 

przeprowadzanej analizie pól statycznych i quasi-statycznych liniowych wartości a także cała 

grupa są nieistotne. 

7. Grupa EQUATIONS 

Grupa ta pozwala na zapisanie cząstkowych równań różniczkowych opisujących rozkład 

zmiennych stanu przy użyciu operatorów różniczkowych gradientu (GRAD), dywergencji 

(DIV), rotacji (CURL) i laplasjanu DEL2. Jeżeli jest to konieczne, można również zastosować 

operatory różniczkowania cząstkowego w postaci Nazwa lub Dnazwa1nazwa2, gdzie nazwa 

odpowiada nazwie współrzędnej przyjętego układu współrzędnych. Gdy w modelu wykorzystuje 

się więcej niż jedną zmienną stanu należy definicję równania poprzedzić nazwą odpowiedniej 

zmiennej. Przykłady poniżej. 

Jedna zmienna stanu, Tp: 

EQUATIONS 

dx(Tp)+dy(Tp) = A 

Dwie zmienne stanu, Tp, u: 

EQUATIONS 

Tp: dx(Tp)+dy(Tp)+dx(u)= A 

u: dx(u)+dy(u) +dt(Tp) = B 

8. Grupa EXTRUSION 

Grupa pozwala na wygenerowanie geometrii 3D poprzez „wyciśnięcie” obszaru 2D w trzeci 

wymiar (oś „z”). 

Polecenie definicji geometrii trzeciego wymiaru: 

SURFACE ‘nazwa_plaszczyzny’ z = wart 

definicja płaszczyzny przecinającej oś „z” 

w punkcie o współrzędnej równej wart.

Muszą być zdefiniowane co najmniej dwie 

płaszczyzny. Każdej z nich jest przypisany 

kolejny numer zaczynając od 1. Warunki 

brzegowe na płaszczyznach określa się w 

grupie BOUNDARIES. 

LAYER ‘nazwa_warstwy’ 

definicja warstwy leżącej pomiędzy 

sąsiednimi płaszczyznami. Warstwy mogą 

się różnić właściwościami fizycznymi 

9. Grupa BOUNDARIES 

Grupa ta pozwala na stworzenie geometrii modelu. Wewnątrz tej grupy analizowany obszar jest 

dzielony na regiony (podgrupa REGION), o zróżnicowanych własnościach materiałowych. W tej 

grupie mogą sie ponadto znajdować niedomknięte linie i obwiednie (podgrupa FEATURE). 

Ponadto możliwe jest wyłączenie wewnętrznej części regionu z analizy przy zastosowaniu 

podgrupy EXCLUDE lub stałej VOID. 

Grupa BOUNDARIES pozwala na stworzenie geometrii modelu (polecenia START, LINE, 

ARC i FINISH), przypisanie wybranym krzywym odpowiednich warunków granicznych 

(polecenia VALUE, NATURAL, NEUMAN i NOBC), oraz określenie wymaganej gęstości 

węzłów (polecenia NODE DENSITY i NODE SPACING). Warunek brzegowy jest aktywny na 

kolejnych krawędziach (płaszczyznach”, aż do odwołania go przez kolejny warunek brzegowy. 

Składnie wybranych poleceń przedstawiono poniżej. 

Polecenia definicji geometrii: 

ARC TO (x1,y1) to (x2,y2) 

ARC (RADIUS=r) to (x,y) 

ARC (CENTER=x1,y1) to (x2,y2) 

ARC (CENTER=x,y) ANGLE= 

FINISH 

LINE TO FINISH 

LINE TO (x,y) 

START(x,y) 

łuk przez punkty x1,y1 i x2,y2 

łuk o promieniu r do punktu x,y 

łuk o środku w punkcie x1,y1 i końcu w 

punkcie x2,y2. Jeżeli podane parametry 

nie definiują okręgu wyznaczana jest 

elipsa o podanych parametrach 

łuk o środku w punkcie x,y i szerokości 

kątowej 

współrzędne punktu początkowego 

linia do punktu początkowego 

linia do punktu x,y 

początek granicy regionu w punkcie x,y

Polecenia definicji warunków brzegowych: 

VALUE(u) 

NATURAL(u) 

NEUMANN(u) 

DNORMAL(u) 

DTANGENTIAL(u) 

NOBC(u) 

SURFACE ‘nazwa_plaszczyzny’ def_war_brzeg 

ustalona (opisana wyrażeniem) wartość 

zmiennej stanu. Warunek graniczny 

pierwszego rodzaju (Dirichleta) 

warunek brzegowy określa strumień 

zmiennej u w kierunku prostopadłym do 

obszaru. W analizach termicznych jest to 

strumień ciepła przechodzący przez 

granice. 

wartość gradientu zmiennej stanu w 

kierunku prostopadłym do brzegu. Warunek 

graniczny drugiego rodzaju rodzaju 

(Neumanna) 

synonim polecenia NEUMANN 

wartość gradientu zmiennej stanu w 

kierunku stycznym do brzegu. 

wyłączenie poprzednio ustalonych 

warunków granicznych. Formalnie 

przyjmuje sie wówczas NATURAL(u)=0 

definiuje warunek brzegowy na skrajnej 

płaszczyźnie prostopadłej do osi „z” 

wykorzystując w.w. definicje warunku 

brzegowego. Muszą być zdefiniowane co 

najmniej dwa warunki brzegowe na 

skrajnych płaszczyznach prostopadłych do 

osi „z”. 

10. Grupa TIME 

Z punktu widzenia analizowanych problemów statycznych grupa ta nie jest istotna. Pozwala na 

określenie przedziału czasowego i rozdzielczości czasowej przy rozwiązywaniu problemów 

dynamicznych. Definicja chwili początkowej, końcowej oraz, ewentualnych, odstępów 

czasowych prowadzona jest przy zastosowaniu jednej z poniżej opisanych komend. 

Po zakończeniu sekcji BOUNDARIES: 

TIME czasstart TO czasstop 

symulacja od czasstart do czasstop przy 

kroku czasowym równym 1

lub 

TIME start TO koniec BY przyrost 

symulacja od czasstart do czasstop przy 

kroku czasowym równym przyrost 

Po słowie kluczowym PLOTS: 

FROM czasstart TO czasstop 

lub 

FROM czasstart BY przyrost TO czasstop 

lub 

FROM czasstart TO czasstop BY przyrost 

kreślenie wykresów w przedziale 

czasowym od czasstart do czasstop przy 

kroku czasowym równym 1 







11. Grupa MONITORS 

W tej grupie przy użyciu komend CONTOUR, VECTOR, SURFACE, ELEVATION oraz GRID 

można uzyskać wykresy zmiennych stanu lub zdefiniowanych parametrów kreślone w trakcie 

realizacji procesu obliczeniowego. 

12. Grupa PLOTS 

W tej grupie przy użyciu komend CONTOUR, VECTOR, SURFACE, ELEVATION oraz GRID 

można uzyskać wykresy zmiennych stanu lub zdefiniowanych parametrów po zakończeniu 

procesu obliczeniowego. Wszystkie z tworzonych wykresów mogą być zapisane w różnych 

formatach graficznych lub wyeksportowane do formatu tekstowego jako rozkład zmiennej 

(polecenie EXPORT). Składnie poleceń przedstawiono niżej. 

CONTOUR(u) 

CONTOUR(u,v) 

ELEVATION(u) (linia) 

GRID(x,y) 

GRID(x,y,z) 

SURFACE(u) 

wykres konturowy funkcji skalarnej u 

wykres konturowy funkcji skalarnych u i v 

wykres liniowy funkcji skalarnej na linii 

zdefiniowanej w grupie OUNDARIES 

(komenda ’ON (nazwa)’ lub komenda 

FROM (x1,y1) TO (x2,y2) 

wykres siatki elementów w przestrzeni 2D 

wykres siatki elementów w przestrzeni 3D 

przestrzenny wykres powierzchniowy.

VIEWPOINT(x,y,kat)) 

TRANSFER(u) 

VECTOR(u) 

VECTOR(u,v) 

definicja punktu obserwacji wykresu 

powierzchniowego 

komenda dla zapisu rozkładu 

przestrzennego zmiennej skalarnej u dla 

potrzeb wymiany danych miedzy analizami 

w formacie właściwym dla programu 

FlexPDE 

wykres wektorowy zmiennej wektorowej u 

wykres wektorowy zmiennej wektorowej o 

składowych skalarnych — poziomej u i 

pionowej v 

Dodatkowe polecenia pozwalają modyfikować uzyskane rozkłady. Wybrane komendy tego typu 

opisano niżej. 

AREA INTEGRATE 

AS ’zmienna’ 

BMP 

EMF 

EPS 

EXPORT(n) 

EXPORT(nx,ny) 

FILE ’zmienna’ 

FIXED RANGE(min,max) 

FORMAT ’zmienna’ 

zmiana całkowania powierzchni w układzie 

współrzędnych cylindrycznych (względem 

elementów 2rdrdz) na całkowanie proste 

(względem elementów drdz) 

zmiana etykiety wykresu 

zapis w formacie BMP 

zapis w formacie EMF 

zapis w formacie EPS 

zapis danych w matrycy lub wektorze. 

Wymiar matrycy definiowany jest 

parametrem n 

j.w., lecz wymiary matrycy definiowane 

są oddzielnie dla liczby wierszy i kolumn 

nazwa pliku zawierającego dane 

zakres wartości prezentowanych na 

wykresie 

ciąg znaków określający budowę pliku 

zawierającego eksportowane dane. Format

ustalany jest przy zastosowaniu znaków 

sterujących #, które określają kolejność 

danych w wierszu pliku. Symbole #x, #y, 

#z i #t podaja współrzędne geometryczne i 

czasowe punktu, symbole #1 do #9 — 

wartości argumentów poleceń wykresów, 

symbol #b — znak tabulacji. 

LOG 

LINLOG 

LOGLIN 

LOGLOG 

MERGE 

NORM 

PNG 

PPM 

XPM 

ZOOM(x,y,s,w) 

zmiana skalowania osi 




zapis danych dla wszystkich wariantów 

lub chwil czasu w pojedynczym pliku 

dla wykresu wektorowego ustala 

jednakowa długość wektorów (wartość 

jest wówczas kodowana jedynie 

kolorem) 

zapis w formacie PNG 

zapis w formacie PPM 

zapis w formacie XPM 

zmiana zakresu dziedziny rozkładów 

2D. Lewy dolny róg rozkładu określony 

jest punktem x, y, a zakres obszaru 

zmiennymi s i w 

13. Grupa HISTORIES 

Grupa ta, istotna dla procesów dynamicznych, pozwala na zarejestrowanie w odpowiednich 

chwilach czasu wartości zmiennych stanu i zdefiniowanych parametrów (np. temperatury, 

strumienia ciepła lub stężenia substancji) w wybranych miejscach analizowanej geometrii. 

14. Grupa REPORT i SUMMARY 

Grupa REPORT zwraca wartość wyrażenia zapisaną w ostatnim wierszu aktywnego okna. Grupa 

SUMMARY wyświetla okno z tekstowym raportem.

Wybrane komendy tego typu opisano niżej. 

REPORT wyr AS ‘tekst’ lub RAPORT wyr 

SUMMARY 

oblicza wartość wart wyrażenia wyr i 

wyświetla ją w formacie: tekst = wart, lub 

w formacie: wart 

generuje okno, w którym wyświetla wyniki 

działania grupy poleceń REPORT 

zapisanych po poleceniu SUMMARY 

15. Grupa END 

Wymagana pusta grupa kończąca plik PDE 

16. Przykładowe skrypty 

Poniżej podano przykład plików PDE pozwalających wyznaczyć nieustalony i ustalony rozkład 

temperatur w chłodzonym wielowarstwowym pojemniku, ustawionym na glebie. 

Przykład 1. Stan ustalony. Plastikowy prostopadłościan pusty w środku ze styropianem. 

TITLE 'Przeplyw ciepla' 

{ Ustalony przeplyw ciepla przez plastikowy prostopadloscian pusyu w srodku wypelniony 

styropianem i stojacy na glebie } 

{ Plastikowy prostopadloscian pustu w srodku wypelniony styropianem o poczatkowej 

temperaturze T0 ustawiono na glebie 

o temperaturze Tgleb. Temperatura powietrza wynosila Tpow. Zasymulować stan w warunkach 

ustalenych } 

COORDINATES 

Cartesian3 

SELECT 

errlim = 1e-4 

VARIABLES 

Tp { temperatura } 

DEFINITIONS 

k { przewodność cieplna } 

q = -k*grad(Tp) { strumien ciepla } 

a1 = 0.3 { polowa grubosci bloku }

1 = 0.4 { polowa szerokosci bloku } 

c1 = 0.6 { polowa wysookosci bloku } 

a2 = 0.25 { polowa grubosci wypelnienia } 

b2 = 0.35 { polowa szerokosci wypelnienia } 

T0 = 15 { temperatura poczatkowa } 

Tpow = 25 { temperatura powietrza } 

Tgleba = 2 { temperatura gleby } 

hT = 10 { wspolczynnik wnikania ciepla } 

V = VOL_INTEGRAL(1) 

{ calkowita objetosc zbiornika wraz z 

wypelnieniem } 

Vz = VOL_INTEGRAL(1,'zbiornik') { objetosc zbiornika bez wypelnienia } 

Vw = VOL_INTEGRAL(1,'wypelnienie') { objetosc wypelnienia } 


Tp = T0 

EQUATIONS 

div(q) = 0 

EXTRUSION 

SURFACE 'denko zbiornika' z = -c1 

SURFACE 'wieczko zbiornika' z = c1 

BOUNDARIES 

SURFACE 'denko zbiornika' VALUE(Tp) = Tgleba 

SURFACE 'wieczko zbiornika' NATURAL(Tp) = hT*(Tp - Tpow) 

REGION 1 'zbiornik' { plastik } 

k = 0.22 { przewodność cieplna scianek } 

START(0,0) 

NATURAL(Tp) = 0 LINE TO (a1,0) 

NATURAL(Tp) = hT*(Tp - Tpow) LINE TO (a1,b1) 

LINE TO (0,b1) 

NATURAL(Tp) = 0 LINE TO CLOSE 

REGION 2 'wypelnienie' { styropian } 

k = 0.033 { przewodność cieplna wypelnienia }

START(0,0) 

LINE TO (a2,0) 

LINE TO (a2,b2) 


LINE TO CLOSE 

PLOTS 

{ Plaszczyzny symetrii: x = 0 oraz y = 0 } 

GRID(y,z) ON x = 0 AS 'Siatka elementow skonczonych' 

GRID(x,z) ON y = 0 AS 'Siatka elementow skonczonych' 

GRID(x,y) ON z = 0 AS 'Siatka elementow skonczonych' 

CONTOUR(Tp) ON x = 0 AS 'Temperatura' 

CONTOUR(Tp) ON y = 0 AS 'Temperatura' 

CONTOUR(Tp) ON z = 0 AS 'Temperatura' 

VECTOR(q) ON x = 0 AS 'Strumien ciepla' 

VECTOR(q) ON y = 0 AS 'Strumien ciepla' 

VECTOR(q) ON z = 0 AS 'Strumien ciepla' 

ELEVATION(Tp) FROM (0,0,-c1) TO (0,0,c1) AS 'Temperatura' 

ELEVATION(Tp) FROM (0,-b1,0) TO (0,b1,0) AS 'Temperatura' 

ELEVATION(Tp) FROM (-a1,0,0) TO (a1,0,0) AS 'Temperatura' 

SUMMARY 

END 

REPORT(V) AS 'Calkowita objetosc zbiornika ' 

REPORT(Vz) AS 'Objetosc zbiornika bez wypelnienia ' 

REPORT(Vw) AS 'Objetosc wypelnienia ' 

Przykład 2. Stan nieustalony. Plastikowy zbiornik ze styropianem w środku. 

TITLE 'Przeplyw ciepla' 

{ Nieustalony przeplyw ciepla przez plastikowy zbiornik wypelniony styropianem i stojacy na 

glebie } 

{ Plastikowy, prostopadloscienny zbiornik wypelniony styropianem o poczatkowej temperaturze 

T0 ustawiono na glebie 

o temperaturze Tgleb. Temperatura powietrza wynosila Tpow. Zasymulować proces 

nagrzewania/chlodzenia zbiornika }

COORDINATES 

Cartesian3 

SELECT 

errlim = 1e-4 

VARIABLES 


DEFINITIONS 


ro { gestość } 

cp {cieplo wlasciwe } 

r = 0.5 { promien dziury } 


a1 = 0.3 { polowa grubosci zbiornika } 

b1 = 0.4 { polowa szerokosci zbiornika } 

c1 = 0.6 { polowa wysookosci zbiornika } 



c2 = 0.55 { polowa wysokosci zbiornika } 










Tsred = VOL_INTEGRAL(Tp)/V { srednia temperatura zbiornika z wypelnieniem 

} 

Tzsred = VOL_INTEGRAL(Tp,'zbiornik')/Vz { srednia temperatura zbiornika bez 

wypelnienia } 

Twsred = VOL_INTEGRAL(Tp,'wypelnienie')/Vw { srednia temperatura wypelnienia 

} 

Minuta = 60 

Godzina = 60*Minuta

Liczba_godzin = 3 

CzasSym = Godzina*Liczba_godzin { czas symulacji w godzinach } 

DeltaCzas = 60 { interwal czasowy w sekundach } 


Tp = T0 

EQUATIONS 

ro*cp*dt(Tp)+div(q) = 0 

EXTRUSION 


LAYER 'dolna warstwa zbiornika' 

SURFACE 'denko wypelnienia' z = - c2 

LAYER 'wypelnienie' 

SURFACE 'wieczko wypelnienia' z = c2 

LAYER 'gorna warstwa zbiornika' 


BOUNDARIES 





ro = 1200 { gestość scianek } 

cp = 1250 {cieplo wlasciwe scianek } 

START(0,0) 

NATURAL(Tp) = 0 LINE TO (a1,0) 

NATURAL(Tp) = hT*(Tp - Tpow) LINE TO (a1,b1) 


NATURAL(Tp) = 0 LINE TO CLOSE 

LIMITED REGION 2 'wypelnienie' { styropian } 

LAYER 2 

k = 0.033 { przewodność cieplna wypelnienia } 

ro = 40 { gestość wypelnienia } 

cp = 1300 {cieplo wlasciwe wypelnienia } 

START(0,0) 

LINE TO (a2,0) 

LINE TO (a2,b2)


LINE TO CLOSE 

TIME 0 BY DeltaCzas TO CzasSym 

PLOTS 

FOR t = 0 BY DeltaCzas TO CzasSym 














HISTORY(Tp) AT (0,0,0) (a1,b1,c1) AS 'Temperatura w centrum i w narozniku' {historia 

zmian temperatury w centrum } 

HISTORY(Tsred, Tzsred, Twsred) AS 'Srednia temperatura calosci, zbiornika, wypelnienia' 

{historia zmian sredniej temperatury + zbiornika + wypelnienia } 

SUMMARY 

END 



REPORT(Vw) AS 'Objetosc wypelnienia ' 

Przykład 3. Stan nieustalony. Plastikowy zbiornik z próżnią w środku. 

TITLE 'Przepływ ciepla' 

{ Nieustalony rzeplyw ciepla przez plastikowy zbiornik z proznia w srodku i stojacy na glebie }

{ Plastikowy, hermetyczny z proznia w srodku, prostopadloscienny zbiornik o poczatkowej 

temperaturze T0 ustawiono na glebie 

o temperaturze Tgleb. Temperatura powietrza wynosila Tpow. Zasymulować proces 

nagrzewania/chlodzenia zbiornika } 

COORDINATES 

Cartesian3 

SELECT 

errlim = 1e-4 

VARIABLES 


DEFINITIONS 


ro { gestość } 

cp {cieplo wlasciwe } 

r = 0.5 { promien dziury } 


a1 = 0.3 { polowa grubosci zbiornika } 


c1 = 0.6 { polowa wysookosci zbiornika } 



c2 = 0.55 { polowa wysokosci zbiornika } 










Tzsred = VOL_INTEGRAL(Tp,'zbiornik')/Vz 

wypelnienia } 

{ srednia temperatura zbiornika bez 

Minuta = 60

Godzina = 60*Minuta 

Liczba_godzin = 3 

CzasSym = Godzina*Liczba_godzin { czas symulacji w godzinach } 

DeltaCzas = 60 { interwal czasowy w sekundach } 


Tp = T0 

EQUATIONS 

ro*cp*dt(Tp)+div(q) = 0 

EXTRUSION 


LAYER 'dolna warstwa zbiornika' 

SURFACE 'denko wypelnienia' z = - c2 

LAYER 'wypelnienie' 

SURFACE 'wieczko wypelnienia' z = c2 

LAYER 'gorna warstwa zbiornika' 


BOUNDARIES 





ro = 1200 { gestość scianek } 

cp = 1250 {cieplo wlasciwe scianek } 

START(-a1,-b1) 

NATURAL(Tp) = hT*(Tp - Tpow) LINE TO (a1,-b1) 


LINE TO (-a1,b1) 

LINE TO CLOSE 

LIMITED REGION 2 'wypelnienie' { pustka } 

LAYER 2 VOID { proznia w zbiorniku } 

START(-a2,-b2) 

LINE TO (a2,-b2) 


LINE TO (-a2,b2) 

LINE TO CLOSE

TIME 0 BY DeltaCzas TO CzasSym 

PLOTS 

FOR t = 0 BY DeltaCzas TO CzasSym 














HISTORY(Tp) AT (a1,b1,c1) AS 'Temperatura w narozniku' {historia zmian temperatury w 

narozniku } 

HISTORY(Tzsred) AS 'Srednia temperatura, zbiornika' 

{historia zmian sredniej temperatury zbiornika } 

SUMMARY 

END 



REPORT(Vw) AS 'Objetosc pustki w zbiorniku '

Program FlexPDE w zastosowaniu do symulacji pÃ³l temperatury

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?