Odabrane teme verovatnoće

3ULURGQRPDWHPDWLNLIDNXOWHW
,QVWLWXW]D PDWHPDWLNX
1RYL6DG
6HPLQDUVNL UDG
2G/D,E-U7D,Q3H0W9H0P2H0W9H0R4U7LMH0
Y;H0U7R4Y;D,W9Q3R4þH 0
$XWRU
6$H0OH0åL'R4U7D,
'HFHPEDU

Sadržaj
I Aksiomatsko zasnivanje teorije verovatnoće 3
1 Prostor verovatnoće 4
1.1 Algebra i σ-algebra.................................. 4
1.2 Verovatnosnamera .................................. 5
1.3 Produženje mere sa algebre na σ-algebru...................... 6
2 Borelova σ-algebra 8
2.1 Borelova σ-algebra na R ............................... 8
2.2 Borelova σ-algebra na R n ............................... 9
2.3 Borelova σ-algebra na R ∞ .............................. 11
2.4 Borelova σ-algebra na R T .............................. 13
3 Verovatnosna mera na Borelovoj σ-algebri 16
3.1 Verovatnosna mera na (R n , B(R n )) ......................... 16
3.2 Verovatnosna mera na (R ∞ , B(R ∞ ))......................... 21
3.3 Verovatnosna mera na ( R T , B(R T ) ) ......................... 23
II Normalna raspodela 25
4 Potrebno predznanje 26
4.0.1 Osnovni pojmovi teorije verovatnoće .................... 26
4.0.2 Elementilinearnealgebre........................... 31
5 Jednodimenzionalna normalna raspodela 34
6 Višedimenzionalna normalna raspodela 37
6.1 Pojam n-dimenzionalne normalne raspodele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Značenje parametara u normalnoj raspodeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Karakterističnafunkcijanormalneraspodele .................... 42
6.4 Linearna kombinacija slučajnih promenljivih sa normalnom raspodelom . . . . . 44
6.5 Singularnanormalnaraspodela ........................... 46
III Uslovno matematičko očekivanje 50
6.6 TeoremaRadon-Nikodima .............................. 51
7 Pojam uslovnog matematičkog očekivanja 53
1

8 Osobine uslovnog matematičkog očekivanja 58
9 Uslovna verovatnoća 64
10 Uslovno matematičko očekivanje u odnosu na σ-algebru generisanu merljivom
funkcijom 67
10.1 Uslovno očekivanje u odnosu na diskretno generisanu
σ-algebru ....................................... 68
10.2 Uslovno matematičko očekivanje u odnosu na σ-algebru generisanu slučajnom
promenljivom ..................................... 69
10.3Teorijaocenjivanja .................................. 71
2

Deo I
Aksiomatsko zasnivanje teorije
verovatnoće
3

Glava 1
Prostor verovatnoće
1.1 Algebra i σ-algebra
Definicija 1 Familija A podskupova nepraznog skupa Ω se naziva algebra ako zadovoljava
osobine
(A1) Ω ∈A
(A2) Ako A ∈A,ondaiA ∈A
(A3) Ako A, B ∈A,ondaiA ∪ B ∈A
Iz osobine (A3) se indukcijom lako pokazuje da je algebra zatvorena u odnosu na konačnu
uniju skupova. Koristeći De Morganove zakone dobijamo da je algebra zatvorena i u odnosu
na konačan presek skupova.
Definicija 2 Familija F podskupova od Ω je σ-algebra, ako zadovoljava aksiome
(A1) Ω ∈F
(A2) Ako A ∈F,ondaiA ∈F
⋃
(A3’) Ako su A i ∈F,i∈ N, tada i ∞ A i ∈F.
i=1
Dakle σ−algebra je zatvorena u odnosu na prebrojivu primenu operacija unije, preseka i
komplementa skupova.
Primer 1 Familija F = {∅, Ω} čini tzv. trivijalnu σ-algebru.
Primer 2 Partitivni skup P(Ω) predstavlja najveću σ-algebru na Ω.
Lako se proverava da je presek proizvoljnog broja σ-algebri datih nad istim prostorom Ω
ponovo σ-algebra.
Definicija 3 Ako je K neka familija podskupova prostora Ω, tada presek svih σ-algebri koje
sadrže familiju K nazivamo minimalna σ-algebra generisana sa K ioznačavamo je σ[K].
U aksiomatskom zasnivanju teorije verovatnoće se polazi od osnovnog pojma elementarnog
dogad¯aja ω,kojisenedefiniše eksplicitno, sličnokaoipojmovitačke, prave i ravni u geometriji.
Neka je Ω skup elementarnih dogad¯ajai nekajenanjemudataσ-algebra F. Skupove iz
σ-algebre F ćemo nazivati slučajnim dogad¯ajima, sam prostor Ω predstavlja izvestan
dogad¯aj,a∅ je nemoguć dogad¯aj. Ured¯en par (Ω, F) nazivamo merljiv prostor dogad¯aja.
4

1.2 Verovatnosna mera
Definicija 4 Neka je (Ω, F) merljiv prostor dogad¯aja. Skupovna funkcija P : F→R naziva
se verovatnosna mera ili kraće samo verovatnoća, ako ima sledeće osobine:
1. P (A) ≥ 0 za svaki dogad¯aj A ∈F (nenegativnost)
2. P (Ω) = 1 (normiranost)
3. Ako su A 1 ,A 2 ,A 3 ... disjunktni dogad¯aji iz F, tada važi (σ-aditivnost)
∞⋃
∞∑
P ( A n )= P (A n )
n=1
Neposredno iz definicije verovatnosne mere slede njena sledeća svojstva:
1. P (∅) =0
2. P (A) =1− P (A)
3. Ako je A ⊂ B, onda P (A) ≤ P (B)
(monotonost)
⋃
4. Ako su A 1 ,A 2 ,...,A n disjunktni dogad¯aji iz F, tadavaži P ( n ∑
A i )= n P (A i )
(konačna aditivnost)
n=1
5. Za proizvoljne dogad¯aje A 1 ,A 2 ,A 3 ... iz F važi P ( ∞ ⋃
(lema o pokrivanju ili subaditivnost)
n=1
i=1
i=1
∑
A n ) ≤ ∞ P (A n )
Definicija 5 Ured¯ena trojka (Ω, F,P) gde je Ω prostor elementarnih dogad¯aja, F data σ-
algebra dogad¯aja na Ω i P verovatnosna mera na σ-algebri F, nazivaseprostor verovatnoće.
Napomena 1 Verovatnosna mera se može definisati i na algebri A kao funkcija P : A→R
koja je nenegativna, normirana i σ-aditivna. Primetimo da σ-aditivnost u ovom slučaju znači
∞⋃
da za svaki disjunktan niz dogad¯aja A 1 ,A 2 ,A 3 ... iz A sa osobinom da i A n ∈A,važi da
n=1
⋃
je P ( ∞ ∑
A n )= ∞ P (A n ).
n=1
n=1
Definicija 6 Neka je (Ω, F) merljiv prostor. Dogad¯aji {A n } n∈N čine rastući niz dogad¯aja
⋃
ako važi A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂···.Utomslučaju definišemo granicu niza kao ∞ A n ioznačavamo
n=1
⋃
je sa lim A n = ∞ A n .
n→∞ n=1
Dogad¯aji {A n } n∈N čine opadajući niz dogad¯aja ako važi A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ ···. U tom
⋂
slučaju definišemo granicu niza kao ∞ ⋂
A n ioznačavamo je sa lim A n = ∞ A n .
n=1
n→∞ n=1
Teorema 1 Neka je (Ω, F) merljiv prostor i P : F→R funkcija koja je konačno aditivna na
F. Tada su sledeći uslovi ekvivalentni:
1. P je σ-aditivna.
2. P je neprekidna odozgo tj. za proizvoljan rastući niz dogad¯aja A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂··· važi
n=1
lim P (A n)=P ( ⋃ A n ) (1.1)
n→∞
n∈N
5

3. P je neprekidna odozdo tj. za svaki opadajući niz dogad¯aja A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃··· važi
lim P (A n)=P ( ⋂ A n ).
n→∞
n∈N
4.
⋂
P je neprekidna u nuli tj. ako je A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ ··· takav opadajući niz dogad¯aja da je
A n = ∅, ondavaži lim P (A n )=0.
n→∞
n∈N
Dokaz.
(1 ⇒ 2) Neka je dat proizvoljan rastući niz dogad¯aja {A n } n∈N . Kako je ∞ ⋃
(A 3 \A 2 ) ∪··· ,toizσ-aditivnosti sledi da je P ( ∞ ⋃
lim (P (A ∑
1)+ n [P (A k ) − P (A k−1 )]) = lim P (A n ).
n→∞ n→∞
k=2
k=1
n=1
A n = A 1 ∪ (A 2 \A 1 ) ∪
∑
A k )=P (A 1 )+ ∞ P (A k \A k−1 )=
(2 ⇒ 3) Posmatrajmo opadajući niz skupova {A n } n∈N . Tada je niz {A 1 \A n } n∈N rastući, pa na
osnovu (1.1) dobijamo da važi lim P (A 1 \A n ) = P ( ⋃ (A 1 \A n )). Sada iz jednakosti
n→∞
n∈N
P (A n )=P (A 1 \(A 1 \A n )) = P (A 1 ) − P (A 1 \A n ) prelaskom na graničnu vrednost dobijamo
lim P (A n )=P (A 1 ) − lim P (A 1 \A n )=P (A 1 ) − P ( ⋃ (A 1 \A n )) = P (A 1 ) −
n→∞ n→∞
n∈N
P (A 1 \ ⋂ A n )=P ( ⋂ A n ).
n∈N
(3 ⇒ 4) Trivijalno.
n∈N
(4 ⇒ 1) Neka je {A n } n∈N niz disjunktnih dogad¯aja iz F. Tada na osnovu konačne aditivnosti
dobijamo
∞⋃
n∑
∞⋃
P ( A k )= P (A k )+P ( A k ) (1.2)
Stavimo A = ⋃
i
⋂
n∈N
k∈N
B n = ⋂ (A\
n∈N
k=1
k=1
A k . Formirajmo skupove B n =
n ⋃
k=1
A k )=A\ ⋃
n⋃
n∈N k=1
∞ ⋃
k=n+1
A k = A\ ⋃
k∈N
u nuli dobijamo da je lim P (B n )=0.
n→∞
⋃
Sada u 1.2 pustimo da n →∞ i dobijamo da važi P ( ∞
dokazati.
k=n+1
k=2
A k . Tada važi B 1 ⊃ B 2 ⊃ B 3 ⊃···
A k = ∅, pa na osnovu neprekidnosti
k=1
∑
A k )= ∞ P (A k ) što je i trebalo
k=1
1.3 Produženje mere sa algebre na σ-algebru
Neka je A algebra dogad¯aja i P verovatnosna mera na algebri A. Opisaćemo konstrukciju kako
se mera P može proširiti na σ-algebru generisanu algebrom A. Ovakvoproširenje je jedinstveno
odred¯eno.
6

Definicija 7 Neka je data algebra A na prostoru Ω i neka je P verovatosna mera na algebri
A. Tada definišemo spoljnu meru P ∗ : P(Ω) → R za proizvoljan podskup E ⊂ Ω sa
∞∑
∞⋃
P ∗ (E) =inf{ P (A n ):(∀n)(A n ∈A)(E ⊂ A n )}
n=1
Definicija 8 Za skup A ⊂ Ω kažemo da je P ∗ −merljiv, ako za svako D ⊂ Ω važi
n=1
P ∗ (D) =P ∗ (A ∩ D)+P ∗ (A ∩ D)
Označimo sa A ∗
skup svih P ∗ -merljivih skupova.
Teorema 2 (Karateodori) A ∗ je σ-algebra na P(Ω) i P ∗ je kompletna 1 mera na A ∗ .
Propozicija 1 Važi σ[A] ⊂A ∗ i P ∗ ↾ A = P.
Akosadadefinišemo meru ˜P kao restrikciju spoljne mere P ∗ na σ-algebru σ[A], tada prema
prethodnoj propoziciji važi da je ˜P ↾ A =(P ∗ ↾ σ[A] ) ↾ A = P ∗ ↾ A = P , dakle ˜P i P se poklapaju
na algebri A.
Teorema 3 Neka je A algebra na prostoru Ω i P verovatnosna mera na algebri A.
postoji jedinstvena verovatnosna mera ˜P na σ-algebri σ[A] takva da važi ˜P ↾A = P.
Tada
Napomena 2 ˜P više ne mora biti kompletna mera na σ[A]. Jedno kompletno proširenje prostora
(Ω,σ[A], ˜P ) daje teorema Karateodorija u vidu prostora (Ω, A ∗ ,P ∗ ). No, najmanje kompletno
proširenje se dobija sledećom konstrukcijom: definišemo
F kompl = {E ⊂ Ω: postoje A, B ∈ σ[A] takvi da je A ⊂ E ⊂ B i P(B\A) =0}
P kompl (E) = ˜P (A)
Tada je (Ω,F kompl ,P kompl ) najmanje kompletno proširenje prostora (Ω,σ[A], ˜P ).
1 Mera je kompletna ako je svaki podskup skupa mere nula , takod¯e merljiv skup.
7

Glava 2
Borelova σ-algebra
2.1 Borelova σ-algebra na R
Definicija 9 Posmatrajmo skup realnih brojeva R sa uobičajenom topologijom O 1 . Familija
svih otvorenih skupova generiše σ-algebru koja se naziva Borelova σ-algebra i označava
se sa B(R). Elementi Borelove σ-algebre se nazivaju Borelovi skupovi na realnoj
pravoj.
Kako se svaki otvoren skup u R može prikazati kao disjunktna unija najviše prebrojivo
mnogo otvorenih intervala, sledi da se generatorna familija može smanjiti, odnosno da otvoreni
intervali generišu B(R).
Borelovi skupovi su dakle svi otvoreni skupovi, zatvoreni skupovi (kao komplementi otvorenog),
jednoelementni skupovi {a} = ⋂ (a− 1 ,a+ 1 ), poluzatvoreni intervali oblika (a, b] =(a, b)∪{a}
n n
n∈N
ianalogno[a, b), intervali oblika (−∞,b], (a, ∞) itd. Borelov skup je Q = ⋃ {q} kao i I = Q.
Borelova σ-algebra sadrži dakle sve intervale i sve skupove koji se dobijaju od intervala
pomoću najviše prebrojivo mnogo primena operacija unija, preseka i komplementa.
Napomena 3 Borelova σ-algebra se može generisati i familijom K = {(a, b] :a, b ∈ R, a < b}.
Naime važi (a, b) =
⋃ (a, b − 1 ] ∈ σ[K], a kako je B(R) najmanja -algebra koja sadrži
n
n∈N
otvorene intervale, sledi B(R) ⊂ σ[K]. Analognim zaključivanjem iz jednakosti (a, b] = ⋂ (a, b+ 1 ) n
dobijamo obratnu inkluziju σ[K] ⊂B(R).
Primetimo još da disjunktne konačne unije intervala iz K čine algebru.
Napomena 4 Iz teoreme 3 sledi da je za proizvoljan Borelov skup E
∞∑
∞⋃
P (E) =inf{ P ((a n ,b n )) : E ⊂ (a n ,b n )} (2.1)
n=1
gde je P verovatnosna mera na B(R), amože se pokazati da važe i relacije
P (E) =inf{P (O) :E ⊂ O, O je otvoren skup} (2.2)
P (E) = sup{P (Z) :Z ⊂ E, Z je zatvoren skup}. (2.3)
1 U topološkom prostoru (R, O) je skup otvoren ako i samo ako je unija neke (konačne ili beskonačne)
familije otvorenih intervala.
8
n=1
q∈Q
n∈N

U narednoj teoremi će biti pokazano da je dovoljno da se ovaj supremum uzima samo po
kompaktnim podskupovima skupa E, učijem dokazu ključnu ulogu igra činjenica da se na
realnoj pravoj klasa kompaktnih skupova poklapa sa klasom zatvorenih i ograničenih skupova.
Teorema 4 Neka je dat prostor verovatnoće (R, B(R),P). Tada za svako E ∈B(R) važi
P (E) = sup{P (K) :K ⊂⊂ E, K∈B(R)}. (2.4)
Dokaz. Neka je E proizvoljan Borelov skup realne prave. Po definiciji supremuma,
treba dokazati da za proizvoljno ε > 0 postoji kompaktan skup K ∈ B(R) takavdavaži
P (K) >P(E) − ε.
1. slučaj: E je ograničen skup.
Prema (2.3) znamo da za E postoji zatvoren skup Z ⊂ E takav da je P (Z) >P(E) − ε.
Kako je Z podskup ograničenog skupa E, sledi da je i on sam ograničen, a kako je i zatvoren
dobijamo da je Z kompaktan.
2. slučaj: E je neograničen skup.
Iz 2.3 dobijamo egzistenciju zatvorenog skupa Z ⊂ E takvog da je
P (Z) >P(E) − ε 2 . (2.5)
Formirajmo sada skupove S k =[−k, k] koji su jasno kompaktni i pripadaju Borelovoj σ-algebri.
Formirajmo i skupove K k = S k ∩Z. Skup K k je kompaktan kao zatvoren podskup kompaktnog
skupa S k .
Jasno je da važe relacije K k ⊂ K k+1 i Z = ⋃ K k odakle zbog neprekidnosti verovatnoće P
dobijamo P (Z) = lim
k→∞
P (K k ). Odavde sledi da za dato ε>0 postoji skup K k0
k∈N
takav da je
P (K k0 ) >P(Z) − ε 2 . (2.6)
⋃
Kako je niz {K n } rastući niz skpova sa granicom Z, jasno je da važi K k0 = k 0
i=1
K i ⊂ Z.
K k0 je konačna unija zatvorenih skupova pa je zato zatvoren i Borelov, a po konstrukciji K k -ova
je i ograničen. Dakle K k0 je kompaktan Borelov skup za koji prema 2.5 i 2.6 važi nejednakost
Time je teorema dokazana.
P (K k0 ) >P(E) − ε.
2.2 Borelova σ-algebra na R n
• Neka je J familija n-dimenzionalnih pravougaonika oblika I = I 1 × I 2 ×···×I n ,gde
je I k =(a k ,b k ] za svako k =1, 2,...,n
Označimo najmanju σ-algebru koju generiše J sa B(R n ).
• Neka je B skup svih ”pravougaonika” oblika B = B 1 × B 2 ×···×B n čije su ”stranice”
Borelovi skupovi realne prave tj. B k ∈B(R) zasvek =1, 2,...,n
Označimo σ-algebru generisanu sa B kao B(R) ⊗B(R) ⊗···⊗B(R)
} {{ }
n
Glavni cilj ovog poglavlja je da dokažemodaseovedveσ-algebre poklapaju. Pokažimo
utusvrhuprvosledeću lemu.
9

Lema 1 Posmatrajmo proizvoljnu familiju E⊂P(Ω) i neki skup B ⊂ Ω. Tada važi
σ[E ∩B] =σ[E] ∩ B (2.7)
gde je E∩B = {E ∩ B : E ∈E} i σ[E] ∩ B = {A ∩ B : A ∈ σ[E]}.
Dokaz.
(⊆) Iz E⊂σ[E] dobijamo E∩B ⊂ σ[E] ∩ B.
Kako σ[E] ∩ B jeste σ-algebra na skupu B, tonajmanjaσ-algebra generisana sa E∩B
mora biti sadržana u njoj, odakle dobijamo inkluziju σ[E ∩B] ⊂ σ[E] ∩ B.
(⊇) Formirajmo familiju Z B = {A ∈ σ[E] :A ∩ B ∈ σ[E ∩B]}. Cilj nam je da dokažemo da
je Z B = σ[E].
Pokažimo prvo da je Z B σ-algebra.
1. Ω ∈ Z B jer važi Ω ∩ B = B ∈ σ[E ∩B].
2. Ako je A ∈ Z B ,što znači da je A ∈ σ[E] i A ∩ B ∈ σ[E ∩B], tada iz jednakosti
A ∩ B = B\(A ∩ B) ∈ σ[E ∩B] dobijamo da je i A ∈ Z B .
3. Neka je dat niz A i ∈ Z B tj. A i ∩ B ∈ σ[E ∩B] za i =1, 2,...
Tada iz ( ⋃ A i ) ∩ B = ⋃
⋃
(A i ∩ B) dobijamo da je i A i ∈ Z B .
i∈N
i∈N
Dakle, Z B jeste σ-algebra što znači σ[Z B ]=Z B .
Sada iz E⊂Z B ⊂ σ[E] dobijamo niz inkluzija σ[E] ⊂ σ[Z B ]=Z B ⊂ σ[E] odakle sledi
tražena jednakost Z B = σ[E]. Odavde direktno dobijamo σ[E] ∩ B ⊂ σ[E ∩B].
i∈N
Teorema 5 B(R n )=B(R) ⊗B(R) ⊗···⊗B(R)
} {{ }
n
Dokaz. Za n = 1 tvrd¯enje trivijalno važi.
Dokazaćemo teoremu za n =2, a dalje se dokazuje analogno indukcijom.
Kako je J⊂B, to sledi B(R 2 ) ⊂B(R) ⊗B(R).
Da bi smo dokazali i obratnu inkluziju dovoljno je pokazati da je za proizvoljne Borelove skupove
B 1 ,B 2 ∈B(R) zadovoljeno B 1 × B 2 ∈B(R 2 ) odakle će sledeti
B(R) ⊗B(R) =σ[B 1 × B 2 ] ⊂B(R 2 ).
Neka R 1 i R 2 predstavljaju redom prvu odnosno drugu ”kopiju” realne prave tj. možemo pisati
R 2 = R 1 × R 2 . Uvedimo sledeće oznake:
˜B 1 = B 1 × R 2 gde je B 1 ∈B 1 proizvoljan Borelov skup iz σ-algebre B 1 = B(R 1 )
˜B 2 = R 1 × B 2 gde je B 2 ∈B 2
˜B 1 = B 1 × R 2 = {B 1 × R 2 : B 1 ∈B 1 }, ˜B2 = R 1 ×B 2
Ĩ 1 = I 1 × R 2 , Ĩ2 = R 1 × I 2
˜J 1 = J 1 × R 2 , ˜J2 = R 1 ×J 2 .
Tada je
B 1 × B 2 = ˜B 1 ∩ ˜B 2 ∈ ˜B 1 ∩ ˜B 2 = σ[ ˜J 1 ] ∩ ˜B 2
lema
= σ[ ˜J 1 ∩ ˜B 2 ] ⊂ σ[ ˜J 1 ∩ ˜J 2 ]=σ[J 1 ×J 2 ]=B(R 2 ).
10

2.3 Borelova σ-algebra na R ∞
Sa R ∞ = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ,...):x k ∈ R, k ∈ N} označavamo prostor nizova realnih brojeva. Neka
je I k =(a k ,b k ] i B k Borelov skup iz B(R).
Definisaćemo tri tipa tzv. cilindričnih skupova i dokazati teoremu da se Borelova σ-algebra
na R ∞ može generisati bilo kojom od te tri familije.
Definicija 10 Cilindrični skupovi u R ∞
su skupovi sledećeg oblika:
•J(I 1 × I 2 ×···×I n )={x =(x 1 ,x 2 ,...): x i ∈ I i za i =1, 2,...,n}
za različite izbore I i =(a i ,b i ] je cilindar prve vrste. Označimo sa B(R ∞ ) najmanju
σ-algebru koju generiše familija svih cilindara prve vrste.
•J(B 1 ×B 2 ×···×B n )={x =(x 1 ,x 2 ,...): x i ∈ B i gde je B i ∈B(R) za i =1, 2,...,n}
je cilindar druge vrste. Označimo sa B 1 (R ∞ ) najmanju σ-algebru koju generiše familija
svih cilindara druge vrste.
•J(B n )={x =(x 1 ,x 2 ,...): (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ B n za neko B n ∈B(R n )}
je cilindar treće vrste. Označimo sa B 2 (R ∞ ) najmanju σ-algebru koju generiše familija
svih cilindara treće vrste.
Skupove I 1 × I 2 ×···×I n , B 1 × B 2 ×···×B n , i B n nazivamo osnova cilindra.
Dakle cilindar prve vrste čine svi oni nizovi koji na prvih n koordinata pripadaju redom
intervalima I 1 ,...,I n .
R
I 1
I 2
I n
x 2
Ö
x n
x 1
1 2
Ö
n
T
Jasno je da važe relacije J (B 1 ×···×B n )=J (B 1 ×···×B n × R),
J (B n )=J (B n × R).
Propozicija 2 Familija disjunktnih konačnih unija cilindara prve vrste je algebra. Familija
cilidara druge vrste je alebra. Familija cilindara treće vrste čini alebru.
11

Dokaz. Prvo ćemo dokazati tvrd¯enje za familiju cilindara treće vrste, a za druge dve familije
cilindara je dokaz analogan.
1. R ∞ ∈J(B n ) za izbor osnove cilindra B n = R n .
2. Ako je J (B n )={x =(x 1 ,x 2 ,...): (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ B n } za neko B n ∈B(R n )tadaje
J (B n )={x ∈ R ∞ : (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ B n } = {x ∈ R ∞ : (x 1 ,x 2 ,...,x n ) /∈ B n } =
= {x ∈ R ∞ : (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ B n } i B n ∈B(R n ), tako da je J (B n ) ponovo cilindar trećeg
tipa.
3. Neka su dati cilindri J (A n )={x ∈ R ∞ :(x 1, ...,x n ) ∈ A n } i
J (B m )={x ∈ R ∞ :(x 1, ...,x m ) ∈ B m } gde su A n ∈B(R n )iB m ∈B(R m ). Pretpostavimo da
je n

{x ∈ R ∞ :(x 1 ,...,x n ) ∈ B n }∈B(R ∞ ).
Pošto generatorni skup σ-algebre B 2 (R ∞ ) pripada B(R ∞ ) sledi da i
B 2 (R ∞ ) ⊂B(R ∞ )
Sada iz lanca inkluzija B(R ∞ ) ⊂B 1 (R ∞ ) ⊂B 2 (R ∞ ) ⊂B(R ∞ ) dobijamo da svuda važi jednakost.
2.4 Borelova σ-algebra na R T
Sa R T označavamo familiju svih preslikavanja T → R gde je T podskup skupa realnih brojeva
proizvoljne kardinalnosti.
Definicija 11 Cilindrični skupovi u R T
Za fiksirane t 1 ,t 2 ,...,t n ∈ T
su skupovi sledećeg oblika:
•J t1 ,t 2 ,...,t n
(I 1 × I 2 ×···×I n )={x ∈ R T : x(t 1 ) ∈ I 1 , x(t 2 ) ∈ I 2 , ..., x(t n ) ∈ I n }
za različite izbore I i =(a i ,b i ] je cilindar prve vrste. Označimo sa B(R T ) najmanju
σ-algebru koju generiše familija svih cilindara prve vrste.
•J t1 ,t 2 ,...,t n
(B 1 × B 2 ×···×B n )={x ∈ R T : x(t i ) ∈ B i gde je B i ∈B(R) za i =
1, 2,...,n}
je cilindar druge vrste. Označimo sa B 1 (R T ) najmanju σ-algebru koju generiše familija
svih cilindara druge vrste.
•J t1 ,t 2 ,...,t n
(B n )={x ∈ R T : (x(t 1 ),x(t 2 ),...,x(t n )) ∈ B n za neko B n ∈B(R n )}
je cilindar treće vrste. Označimo sa B 2 (R T ) najmanju σ-algebru koju generiše familija
svih cilindara treće vrste.
Skupove I 1 × I 2 ×···×I n , B 1 × B 2 ×···×B n , i B n nazivamo osnova cilindra.
Dakle cilindar prve vrste čine sve one funkcije T → R koje u tačkama t 1 ,...,t n prolaze kroz
”kapije” I 1 ,...,I n .
R
I 1
I 2
I n
x(t) 1
x(t) 2
x(t) n
t 1
t 2
Ö
t n
T
13

Jasnojedavaži B(R T ) ⊂B 1 (R T ) ⊂B 2 (R T ), a naredna teorema daje glavni rezultat ovog
poglavlja o jednakosti ove tri σ-algebre, i o reprezentaciji skupova iz B(R T ). Naime važi da
se svi skupovi iz B(R T )mogu predstaviti preko nekog NAJVIŠE PREBROJIVOG skupa tačaka
iz T i nekog Borelovog skupa iz B(R ∞ ).
Teorema 7 Važi B(R T )=B 1 (R T )=B 2 (R T ).
Svaki skup A ∈B(R T ) ima strukturu
A = {x ∈ R T :(x(t 1 ),x(t 2 ),x(t 3 ),...) ∈ B} (2.8)
za najviše prebrojiv skup tačaka t 1 ,t 2 ,t 3 ,...∈ T i neki skup B ∈B(R ∞ ).
Dokaz. Neka je E = {A ∈B(R T ): A ima reprezentaciju oblika (2.8) }. Treba pokazati
da je E = B(R T ).
Pokažimo prvo da je E σ-algebra. Aksiome (A1) i (A2) se lako proveravaju pa ćemo proveriti
samo (A3’).
Neka su A 1 ,A 2 ,...∈E i njima odgovarajući najviše prebrojivi indeksi T (1) =(t (1)
1 ,t (1)
2 ,t (1)
3 ,...),
T (2) =(t (2)
1 ,t (2)
2 ,t (2)
3 ,...), ···⊂T odnosno skupovi B 1 ,B 2 ,...∈B(R ∞ ) takvi da
A i = {x ∈ R T :(x(t (i)
1 ),x(t (i)
2 ),x(t (i) ),...,) ∈ B
Tada možemo uzeti skup T (∞) = ⋃3 i }.
T (k) za jedini sistem indeksa takav da je svaki
k∈N
A i = {x ∈ R T :(x(τ 1 ),x(τ 2 ),x(τ 3 ),...,) ∈ B i } za τ i ∈ T (∞) i B i ∈B(R ∞ ) su svi iz iste
σ-algebre, i ∈ N.
Odavde sledi da je ⋃ A i = {x ∈ R T :(x(τ 1 ),x(τ 2 ),x(τ 3 ),...,) ∈ ⋃ ⋃
B i }, i B i ∈B(R ∞ ) a
T (∞)
i∈N
je kao prebrojiva unija najviše prebrojivih skupova ponovo prebrojiv skup.
Odavde sledi da je sistem skupova E σ-algebra na R T .
σ-algebra E sadrži sve cilindre oblika J t1 ,t 2 ,...,t n
(B n ) (cilindri već imaju reprezentaciju oblika
(2.8) i to za konačan skup tačaka iz T ), akakojenajmanjatakvaσ-algebra B 2 (R T )sledi
B(R T ) ⊂B 1 (R T ) ⊂B 2 (R T ) ⊂E (2.9)
Posmatrajmo proizvoljan A ∈Eoblika (2.8). Ako fiksiramo izbor (t 1 ,t 2 ,...), tada sličnim
rasud¯ivanjem kao u slučaju prostora (R ∞ , B(R ∞ )) možemo pokazati da je skup A element σ-
algebre generisane cilindrima J t1 ,t 2 ,...,t n
(I 1 × I 2 ×···×I n ). No, ta σ-algebra je upravo σ-algebra
B(R T ). Dakle važi
E⊂B(R T ), (2.10)
pa iz (2.9) i (2.10) slede oba tvrd¯enja teoreme.
Napomena 5 Posmatrajmo R ∞ = R × R × R ×··· kao proizvod kopija realne prave u tačkama
1, 2, 3,... redom. Skup B ∈B(R ∞ ) čine svi oni nizovi koji prolaze kroz neke ”kapije” koje se
nalaze na ovim kopijama realnih prava. Prethodna teorema kaže da se proizvoljan Borelov skup
A ∈B(R T ) stvara odred¯ivanjem gde će tačke funkcije x(t) pripadati u najviše prebrojivo mnogo
tačaka S =(t 1 ,t 2 ,t 3 ,...). To nam daje za pravo da malo promenimo perspektivu:
Posmatrajmo sada da je R ∞ ∼ = R S = R t1 ×R t2 ×R t3 ×··· (translirali smo kopije realnih prava iz
tačaka 1, 2, 3,... utačke t 1 ,t 2 ,t 3 ,...redom. Posmatrajmo sada pojam niza ne kao preslikavanje
N → R, nego kao preslikavanje S → R. Sada funkciju x ∈ A možemo gledati kao funkciju čije
vrednosti u tačkama t 1 ,t 2 ,t 3 ,... čine niz u B(R S ). Time skup A ∈B(R T ) postaje Borelov u
A ∈B(R S ).
Na kraju dajemo primer jednog Borelovog skupa i jednog skupa koji nije Borelov u R T .
14
i∈N
i∈N

Primer 3 Skup A = {x : N → R | (∀n) x(n) ≤ C} gde je C proizvoljna konstanta, je Borelov
u R ∞ .
Dokaz. Neka je B n =[0,C] ×···×[0,C] i posmatrajmo cilindre A
} {{ }
n = J (B n ). Cilindar
n
A n čine svi oni nizovi koji su od prve do n-te koordinate ograničeni sa C, aposleseproizvoljno
ponašaju. Tada je A = ⋂ A n ∈B(R ∞ ) jer je PREBROJIV presek cilindara.
n∈N
Primer 4 Skup A = {x : R → R | (∀t) x(t) ≤ C} nije Borelov u R T .
Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da A ∈B(R T ). Tada prema teoremi 7 o reprezentaciji
sledi da postoji najviše prebrojivo mnogo tačaka t 1 ,t 2 ,...∈ T i B ∈B(R ∞ )takodavaži
{x : R → R | (∀t) x(t) ≤ C} = A = {x : R → R | (x(t 1 ),x(t 2 ),...) ∈ B}.
Funkcija y(t) =C−1 jeste ograničena sa C pa zato y(t) ∈ A odake sledi (y(t 1 ),y(t 2 ),...) ∈
B.
{ y(t), za t ∈{t1 ,t
Definišimo sada funkciju z(t) =
2 ,...}
C +1, inače.
Tada je (z(t 1 ),z(t 2 ),...)=(y(t 1 ),y(t 2 ),...) ∈ B odakle dobijamo da je z(t) ∈ A.
Ali s druge strane, z(t) nije svuda ograničena sa C, pazato z(t) /∈ A. Kontradikcija!
PrimetimodaskupAnijebioBorelovzatošto je zavisio od ”ponašanja” funkcije u neprebrojivo
mnogo tačaka, što je u skladu sa napomenom 5.
15

Glava 3
Verovatnosna mera na Borelovoj
σ-algebri
U prethodnoj glavi bilo je pokazano kako se konstruišu Borelove σ-algebre na skupu realnih
brojeva R, na konačnodimenzionalnom prostoru R n ,azatiminabeskonačnodimenzionalnim
prostorima R ∞ i R T . Uovojglaviće biti data konstrukcija verovatnosnih mera na ovim prostorima.
Na ovaj način će biti odred¯ena četiri specijalna prostora verovatnoće u kojima je skup
ishoda upravo skup realnih brojeva, skup vektora sa realnim komponentama, skup realnih nizova
odnosno skup realnih funkcija. Ta konstrukcija će biti takva da će se verovatnosna mera
na beskonačnodimenzionalnim prostorima dobiti produženjem mera sa konačnodimenzionalnih
prostora koje zadovoljavaju tzv. uslov saglasnosti ( teorema Kolmogorova ).
3.1 Verovatnosna mera na (R n , B(R n ))
Posmatrajmo prvo prostor (R, B(R)) .
Definicija 12 Preslikavanje F : R → R naziva se funkcija raspodele verovatnoće ili
kraće samo funkcija raspodele, ako ima sledeće osobine:
1. F je monotono neopadajuća tj. x 1

(b) Ako je F data funkcija raspodele, tada postoji jedinstvena verovatnosna mera P na
(R, B(R)) takva da za svako x ∈ R važi jednakost (3.1).
Dokaz. Dokažimo tvrd¯enje pod (b). Tvrd¯enje pod (a) biće dokazano u višedimenzionalnom
slučaju.
Posmatrajmo familiju intervala K = { (a, b] ; (−∞,b]; (a, ∞) ; (−∞, ∞) }.
Definišimo skupovnu funkciju P na familiji K sa
P ((a, b]) = F (b) − F (a) (3.2)
P ((−∞,b]) = F (b)
P ((a, ∞)) = 1 − F (a)
P (R) =1
Primetimo da prvi od navedenih uslova implicira nenegativnost skupovne funkcije P, a poslednji
daje njenu normiranost.
Označimo sa B 0 algebru koju čine disjuktne konačne unije intervala iz K .
Definišimo P na algebri B 0 sa:
⋃
Ako je A ∈B 0 , A = n I i gde su I i disjunktni intervali iz familije K, tadaje
i=1
P (A) =
n∑
P (I i ). (3.3)
i=1
Pokažimo prvo da je ova definicija korektna tj. da ne zavisi od izbora reprezentacije skupa A
iz B 0 .
⋃
Pretpostavimo da se skup A ∈B 0 može predstaviti na dva načina A = n ⋃
I i = m J j gde su I i
i J j iz familije K. Tadaje
( )
n∑ ∑
P (I i )= n ∑
P (I i ∩ A) = n ⋃
P I i ∩ m ∑
J j = n m∑
P (I i ∩ J j )
i=1
i=1
i=1
j=1 i=1 j=1
( )
∑
= m ⋃
P J j ∩ n ∑
I i = m ∑
P (J j ∩ A) = m P (J j ) .
j=1
i=1
Da bi smo dokazali da je P verovatnosna mera pokazaćemo:
1. P je σ-aditivna na K
2. P je σ-aditivna na B 0
j=1
Dakle P je verovatnosna mera na algebri B 0 , a familija K generiše upravo Borelovu σ-algebru,
pa se na osnovu teoreme 3 mera P na jedinstven način proširuje na B(R).
1. Pokažimo prvo da je P σ-aditivna funkcija na K.
⋃
Neka je I = ∞ I i tako da su I i ∈K med¯usobno disjunktni i da je i I ∈K. Želimo da
i=1
∑
dokažemo da je P (I) = ∞ P (I i ). Primetimo da je P monotono neopadajuća skupovna
i=1
n⋃
∑
funkcija (jer je i F takva), pa iz I i ⊂ I sledi da je n P (I i ) ≤ P (I), odakle graničnim
procesom n →∞dobijamo
i=1
j=1
∞∑
P (I i ) ≤ P (I).
i=1
Ostaje da se pokaže nejednakost i u drugom pravcu.
17
i=1
i=1
j=1

1. slučaj Neka je I prvo konačan interval tj. oblika je I =(a, b]. Tada su i I i -ovi konačni, pa neka
je I i =(a i ,b i ].
Kako je funkcija F neprekidna zdesna, to za unapred dato proizvoljno ε>0 možemo
izabrati brojeve δ i δ i takve da važi
∑
Iz 3.4 sledi da je ∞ F (b i + δ i ) − F (b i )

što je i trebalo pokazati.
2. slučaj Neka je I beskonačan interval npr. oblika I =(−∞,b].
Birajmo ceo broj m ∈ Z takav da je b ∈ (m, m +1].
⋃
Ako je I = ∞ ⋃
I k , tada je I ∩ (n, n +1]= ∞ (I k ∩ (n, n + 1]), odakle prema dokazanom
k=1
prvom slučaju za konačne intervale dobijamo da je za svaki prirodan broj n
k=1
P (I ∩ (n, n +1])≤
∞∑
P (I k ∩ (n, n +1]). (3.7)
k=1
Sada je
P (I) =F (b) =F (b) ±
m ∑
i=−∞
∑
= P ((m, b]) + P ((m − 1,m]) + ···= ∞
∑
= ∞ ∞∑
∑
P (I k ∩ (n, n +1])= ∞ P (I k )
k=1 n=−∞
F (i) =F (b) − F (m)+F (m) − F (m − 1) + ···
k=1
n=−∞
P ((n, n +1]∩ I) (3.7)
≤
Dokaz se slično vršiizabeskonačne intervale oblika (a, ∞).
2. Dokažimo sada da je funkcija P σ-aditivna na algebri B 0 .
∞ ∑
n=−∞ k=1
∞∑
P (I k ∩ (n, n +1])
⋃
Neka su dati disjunktni skupovi A i ∈B 0 takvi da je A = ∞ A i ∈B 0 .
i=1
Algebra B 0 se sastoji od konačnih disjunktnih intervala iz K, pajezato
A i = m ⋃i
⋃
I ik i A = s I n gde su I n ,I ik ∈K za sve n =1,...,s i k =1,...,m i i ∈ N.
k=1
i=1 k=1
n=1
n=1
Tada je
P (A) def ∑
= s ∑
P (I n )=
s ∑
P (I n ∩ A) =
s ⋃
P (I n ∩ ∞ m⋃
i
σ−adit. na K
s∑ ∞∑ ∑m i
I ik ) =
P (I n ∩ I ik )=
n=1
n=1
n=1 i=1 k=1
n=1 i=1 k=1
∑
= ∞ ∑m i ⋃
P ( s ∑
I n ∩ I ik )= ∞ ∑m i
∑
P (A ∩ I ik )= ∞ ∑m i ∑
P (I ik )= ∞ P ( m ⋃i
∑
I ik )= ∞ P (A i )
i=1 k=1
Time je teorema dokazana do kraja.
Primer 5 Funkcija raspodele F (x) =
⎧
⎨
⎩
i=1 k=1
0, x ≤ 0
x, 0 1
i=1
k=1
generiše tzv.
i=1
Borelovu meru na
Borelovim skupovima intervala (0, 1]. Kompletiranjem ove mere dobijamo Lebegovu meru na
Lebegovim skupovima intervala (0, 1].
Napomena 6 Zahtev da funkcija raspodele bude neprekidna sa desne strane obezbed¯uje da
poznajemo verovatnoću poluzatvorenih intervala oblika (a, b] (sa kojima smo generisali Borelovu
σ-algebru) samo na osnovu tačaka koje pripadaju datom intervalu.
Funkcija raspodele se može definisati i tako da se traži da bude neprekidna sa leve strane.
Tada se Borelova σ-algebra se generiše poluzatvorenim intervalima oblika [a, b),a u relaciji (3.1)
se uzima F (x) =P ((−∞,x)).
Posmatrajmo sada prostor (R n , B(R n )).
19

Svaki n-dimenzionalni pravougaonik I =(a 1 ,b 1 ] × (a 2 ,b 2 ] ×···×(a n ,b n ] ima temena u vidu
tačaka oblika x =(x 1 ,x 2 ,...,x n ) gde je x k = a k ili x k = b k .
Definišimo znak temena x uoznaci z I (x) sa:
{ +1 ako je broj indeksa k za koje važi xk = a
z I (x) =
k paran
−1 ako je broj indeksa k za koje važi x k = a k neparan.
Na primer u R 2 to izgleda na sledeći način:
Za proizvoljnu funkciju F : R n → R definišimo
∆ F (I) = ∑ x
z I (x)F (x) (3.8)
gde se sabiranje vrši po svim temenima x n-dimenzionalnog pravougaonika I.
Na primer, u R 2 to znači da je ∆ F (I) =F (b 1 ,b 2 ) − F (b 1 ,a 2 ) − F (a 1 ,b 2 )+F (a 1 ,a 2 )
Definicija 13 Funkcija F : R n → R naziva se n-dimenzionalna funkcija raspodele, ako
ima osobine:
1. ∆ F (I) ≥ 0 za svaki n-dimenzionalni pravougaonik I.
2. lim F (x 1,x 2 ,...,x n )=0 za svako k =1, 2,...,n i
x k →−∞
F (x 1 ,x 2 ,...,x n )=1
lim
(x 1 ,x 2 ,··· ,x n)→(∞,∞,...,∞)
3. F je neprekidna zdesna po svakom argumentu.
Teorema 9 (a) Neka je P verovatnosna mera na merljivom prostoru (R n , B(R n )). Tada je
funkcija F : R n → R definisana sa
F (x 1 ,x 2 ,...,x n )=P ((−∞,x 1 ] × (−∞,x 2 ] ×···×(−∞,x n ]) (3.9)
n-dimenzionalna funkcija raspodele.
(b) Ako je F n-dimenzionalna funkcija raspodele, tada postoji jedinstvena verovatnosna mera
na (R n , B(R n )) takva da za svako (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ R n važi relacija (3.9) i da za svaki
n-dimenzionalni pravougaonik I, važi
P (I) =∆ F (I) (3.10)
20

Dokaz. Dokaz ćemodatizatvrd¯enje pod (a), a (b) se slično dokazuje kao i u jednodimenzionalnom
slučaju.
Neka je n =2 inekajeP verovatnosna mera na (R 2 , B(R 2 )).
1. ∆ F (I) =F (b 1 ,b 2 ) − F (b 1 ,a 2 ) − F (a 1 ,b 2 )+F (a 1 ,a 2 )=
P ((−∞,b 1 ] × (−∞,b 2 ]) − P ((−∞,b 1 ] × (−∞,a 2 ]) − P ((−∞,a 1 ] × (−∞,b 2 ])+
P ((−∞,a 1 ] × (−∞,a 2 ]) = P ((a 1 ,b 1 ] × (a 2 ,b 2 ]) ≥ 0
2. Neka je x 2 fiksiran i posmatrajmo proizvoljan niz {x (n)
1 } n∈N takav da {x (n)
1 }↘−∞.
Treba dokazati da je lim F (x (n)
1 ,x 2 )=0. Kako je
n→∞
(−∞,x (1)
1 ] × (−∞,x 2 ] ⊃ (−∞,x (2)
1 ] × (−∞,x 2 ] ⊃ (−∞,x (3)
1 ] × (−∞,x 2 ] ⊃···→∅,
to iz neprekidnosti mere P dobijamo
lim F
n→∞ (x(n) 1 ,x 2 ) = lim P ((−∞,x (n)
1 ] × (−∞,x 2 ]) = P (∅) =0.
n→∞
3. Neka vektor (x (n)
1 ,x (n)
2 ) →∞. Želimodapokažemodavaži F (x (n)
1 ,x (n)
2 ) → 1
2 }↗+∞ to dobijamo monoton niz skupova
Kako {x (n)
1 }↗+∞, i {x (n)
(−∞,x (1)
1 ] × (−∞,x (1)
2 ] ⊂ (−∞,x (2)
1 ] × (−∞,x (2)
2 ] ⊂ (−∞,x (3)
1 ] × (−∞,x (3)
2 ] ⊂···→R 2
pa iz neprekidnosti mere P sledi lim F (x (n)
1 ,x (n)
n→∞
2 )=P (R 2 )=1.
4. Dokažimo neprekidnost zdesna po argumentu x 1 pri fiksiranom x 2 tj.
lim F (x 1 + h, x 2 )=F (x 1 ,x 2 ). Pokažimo neprekidnost u tački (x 1 ,x 2 ). Neka je dat niz
h→0 +
{x (n)
1 }↘x 1 . Tada je
(−∞,x (1)
1 ] × (−∞,x 2 ] ⊃ (−∞,x (2)
1 ] × (−∞,x 2 ] ⊃···
···→ ⋂ (−∞,x (n)
1 ] × (−∞,x 2 ]=(−∞,x 0 ] × (−∞,x 2 ]
n∈N
odakle sledi
lim F
n→∞ (x(n) 1 ,x 2 ) = lim P ((−∞,x (n)
1 ] × (−∞,x 2 ]) = P ((−∞,x 1 ] × (−∞,x 2 ]) = F (x 1 ,x 2 ).
n→∞
3.2 Verovatnosna mera na (R ∞ , B(R ∞ ))
Posmatrajmo cilindar oblika J (B n )={x ∈ R ∞ :(x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ B n }, za neko B n ∈B(R n ).
PretpostavimodajedatameraP na (R ∞ , B(R ∞ )) i definišimo meru P n na (R n , B(R n )) sa
P n (B n )=P (J (B n )) za B n ∈B(R n ), n =1, 2,...
Tako dobijen niz mera P n (n =1, 2,...) zadovoljava uslov saglasnosti:
P n+1 (B n × R) =P n (B n ),
n ∈ N
Sledeća teorema daje obrat ovog tvrd¯enja.
Teorema 10 (Kolmogorova o produženju mere na (R ∞ , B(R ∞ ))) Neka su P 1 ,P 2 ,...
verovatnosne mere na merljivim prostorima (R, B(R)) ; (R 2 , B(R 2 )) ; ... redom koje zadovoljavaju
uslov saglasnosti. Tada postoji jedinstvena verovatnosna mera P na (R ∞ , B(R ∞ )) takva
da važi
P (J (B n )) = P n (B n )
za sve n ∈ N i sve B ∈B(R n ).
21

Dokaz. Definišimo prvo funkciju P
na cilindrima sa:
P (J (B n )) = P n (B n )
za proizvoljan cilindar J (B n ).
Pokažimo da je ova definicija korektna tj. da ne zavisi od izbora osnove cilindra.
Neka clindar ima dva oblika reprezentacije J (B n )=J (B n+k ) gde je B n+k = B n × R k .
Koristeći uslov sagalsnosti dobijamo
P (J (B n )) = P n (B n )=P n+1 (B n+1 )=P n+2 (B n+2 )=···= P n+k (B n+k )=P (J (B n+k )).
Skup svih cilindara čini algebru (propozicija 2). Označimo je sa A(R ∞ ), i uvedimo novu
oznaku za cilindre: ˆBn = J (B n ).
Dokažimo sada da je P konačnoaditivnanaalgebriA(R ∞ ).
Neka su ˆB 1 , ˆB 2 ,..., ˆB k disjunktni cilindri iz algebre A(R ∞ ). Kako ovih cilindara ima konačno
mnogo, možemo uzeti da je n maksimalna dimenzija osnove pa sve cilindre posmatrati kao
ˆB i = J (Bi n ) gde su Bi
n ∈B(R n ) za sve i =1, 2,...,k.Kako su cilindri disjunktni, to i njihove
osnove Bi
n moraju biti disjunktne. Sada je
⋃
P ( k ⋃
ˆB i )=P ( k ⋃
J (Bi n )) = P (J ( k ⋃
Bi n )) = P n ( k Bi n )=
i=1
i=1
i=1
i=1
∑
= k ∑
P n (Bi n )= k ∑
P (J (Bi n )) = k P ( ˆB i ).
i=1
i=1
Time je dokazana konačna aditivnost.
Dokažimo sada da je P neprekidna u nuli. Tada će na osnovu teoreme 1 slediti i σ-
aditivnost na algebri A(R ∞ ), tj. P je verovatnosna mera na algebri, pa se ona na jedinstven
način proširuje na σ-algebru B(R ∞ ).
Neka je { ˆB n } n∈N niz cilindara takav da je ˆB1 ⊃ ˆB 2 ⊃ ˆB ⋂
3 ⊃ ... → ∞ ˆB n = ∅. Treba
pokazati da tada P ( ˆB n ) → 0.
Pretpostavimo suprotno da je lim P ( ˆB n )=δ>0.
n→∞
Ne umanjujući opštost možemo pretpostaviti da su svi cilindri iz datog niza oblika
ˆB n = {x ∈ R ∞ : (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ B n } gde je B n ∈B(R n ).
Za svaki skup B n ∈B(R n ) i za dato δ>0 postoji kompaktan skup A n ∈B(R n ), A n ⊂ B n
takav da važi
P n (B n \A n ) ≤
δ
2 . n+1
Formirajmo sada cilindre  n = {x ∈ R ∞ : (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ A n }. Tada važi
Neka je Ĉn = n ⋂
k=1
P ( ˆB n \Ân) =P n (B n \A n ) ≤
δ
2 n+1
 k odnosno Ĉn = {x ∈ R ∞ : (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ C n } gde je C n = n ⋂
Tada koristeći konačnu subaditivnost dobijamo
P ( ˆB n \Ĉn) =P ( ˆB ⋂
n \ n ⋃
 k )=P ( n ( ˆB ∑
n \Âk) ≤ n P ( ˆB ∑
n \Âk) ≤ n P ( ˆB k \Âk) ≤ δ 2
k=1
odnosno P ( ˆB n ) − P (Ĉn) ≤ δ 2
k=1
k=1
i=1
k=1
odakle graničnim procesom dobijamo
n=1
k=1
A k .
lim
n→∞ P (Ĉn) ≥ δ 2
(3.11)
22

Dokazaćemo da je ovo u kontradikciji sa ⋂
n∈N
ˆB n = ∅.
Iz (3.11) sledi da je svaki skup Ĉn neprazan, pa možemo iz njega birati tačku ˆx (n) =(x (n)
1 ,x (n)
2 , ... )
za koju je (x (n)
1 ,x (n)
2 , ... ,x (n)
n ) ∈ C n . To uradimo za svako n ≥ 1. Primetimo još dajesvaki
skup C n kompaktan, jer je dobijen presekom kompaktnih skupova. Sada imamo
(x (1)
1 ) ∈ C 1
(x (2)
1 ,x (2)
2 ) ∈ C 2 ⊂ C 1
(x (3)
1 ,x (3)
2 ,x (3)
3 ) ∈ C 3 ⊂ C 2 ⊂ C 1
.
Posmatrajmo sada niz prvih koordinata: niz
zato ima konvergentan podniz
x (n 1)
1 → x 0 1 ∈ C 1 .
{x (n)
1 } n je niz u C 1 koji je kompaktan, pa
Dalje, posmatramo niz ured¯enih parova {(x (n 1)
1 ,x (n 1)
2 )} n1 koji je sada niz u kompaktnom
skupu C 2 pa sledi da postoji podniz niza {n 1 } tako da je
(x (n 2)
1 ,x (n 2)
2 ) → (x 0 1,x 0 2) ∈ C 2
. itd. postoji podniz {n k } tako da je
(x (n k)
1 ,x (n k)
2 ,...,x (n k)
k
) → (x 0 1,x 0 2,...,x 0 k ) ∈ C k.
Sada napravimo dijagonalni podniz uzimajući iz niza {n k } k-ti član - označimo ga sa m k .
Tada x (m k)
i → x 0 i za m k →∞ i sve i ∈ N.
Pri tome je (x 0 1,x 0 2, ... ) ∈ Ĉn ⊂ ˆB n za sve n ∈ N.
Sledi da je ⋂ ˆB n ≠ ∅ što je u kontradikciji sa polaznom pretpostavkom!
n∈N
Napomena 7 U dokazu smo koristili svojstvo realne prave topološkog karaktera da se za proizvoljan
skup iz B(R n ) može naći kompaktan podskup čija je verovatnosna mera ”dovoljno blizu”
mere polaznog skupa. Ovo svojstvo važi i u svakom kompletnom separabilnom metričkom prostoru
sa σ-algebrom koju generišu otvorene lopte. Teorema Kolmogorova važiinatakvimprostorima.
3.3 Verovatnosna mera na ( R T , B(R T ) )
Posmatrajmo neured¯enu n-torku indeksa τ =[t 1 ,t 2 ,...,t n ] gde su t i ∈ T inekaje P τ
mera
na (R τ , B(R τ )) gde je R τ = R t1 ×R t2 ×···×R tn
Definicija 14 Kažemo da je familija mera {P τ } saglasna (τ prolazi kroz skup svih konačnih
izbora neured¯enih n-torki iz T ) ako važi:
Za proizvoljnu funkciju x : T → R, za svaka dva izbora τ =[t 1 ,t 2 ,...,t n ] i σ =[s 1 ,s 2 ,...,s k ]
takva da je σ ⊂ τ i za proizvoljno B ∈B(R σ ) važi
P σ {(x(s 1 ),x(s 2 ),...,x(s k )) : (x(s 1 ),x(s 2 ),...,x(s k )) ∈ B} =
P τ {(x(t 1 ),x(t 2 ),...,x(t n )) : (x(s 1 ),x(s 2 ),...,x(s k )) ∈ B}.
Teorema 11 (Kolmogorova o produženju mere na ( R T , B(R T ) ) ) Neka je {P τ } familija
saglasnih verovatnosnih mera na (R τ , B(R τ )) . Tada postoji jedinstvena mera P na (R T , B(R T )
takva da je
P {x ∈ R T :(x(t 1 ),x(t 2 ),...,x(t n )) ∈ B} = P [t1 ,t 2 ,...,t n](B) (3.12)
23

za sve izbore τ =[t 1 ,t 2 ,...,t n ] ⊂ T i B ∈B(R τ ).
Dokaz. Premateoremi7zasvakiBorelovskupB ∈B(R T ) postoji najviše prebrojiv skup
S = {s 1 ,s 2 ,...}⊂T takav da je B ∈B(R S ). Definišimo
P (B) =P S (B), (3.13)
gde je P S mera na prostoru nizova (R S , B(R S )) čiju egzistenciju garantuje teorema Kolmogorova
o produženju mere na R S .
Pokažimo da je ova definicija korektna.
Neka za skup B postoje prebrojivi skupovi indeksa S 1 i S 2 takvi da je B ∈B(R S 1
)i B ∈B(R S 2
).
Treba pokazati da je P S1 (B) =P S2 (B).
Iz S 1 ⊂ S 1 ∪S 2 sledi B(R S 1
) ⊂B(R S 1∪S 2
), a iz B ∈B(R S 1
)i B ∈B(R S 2
)slediB ∈B(R S 1∪S 2
).
Posmatrajmo sada R ∞ -cilindre
ˆB k = {x ∈ R S 1
:(x (s 1 ) ,x(s 2 ) ,...,x(s k )) ∈ C k }
gde je C k ∈B(R k ).
Na cilindrima ovog tipa se P S1 i P S1 ∪S 2
poklapaju po uslovu saglasnosti. Naime,
P S1 ( ˆB k )=P [s1 ,s 2 ,...,s k ](C k ) (teorema Kolmogorova na R ∞ )
= P [s1 ,s 2 ,...,s k ]{(x (s 1 ) ,x(s 2 ) ,...,x(s k )) : (x (s 1 ) ,x(s 2 ) ,...,x(s k )) ∈ C k }
= P [s1 ,s 2 ,...,s k ,t 1 ,t 2 ,...,t m]{(x (s 1 ) ,x(s 2 ) ,...,x(s k ) ,x(t 1 ),x(t 2 ) ,...,x(t m )) :
(x (s 1 ) ,x(s 2 ) ,...,x(s k )) ∈ C k }
= P S1 ∪S 2
( ˆB k+m )
= P S1 ∪S 2
({x ∈ R S 1∪S 2
:(x (s 1 ) ,x(s 2 ) ,...,x(s k ) ,x(t 1 ),x(t 2 ) ,...,x(t m )) ∈ C k })
= P S1 ∪S 2
( ˆB k )
Kako se P S1 i P S1 ∪S 2
poklapaju na cilindrima, to iz teoreme 10 (jedinstvenost) sledi da se P S1
i P S1 ∪S 2
poklapaju na čitavoj σ-algebri B(R S ).
Dakle, P S1 ≡ P S1 ∪S 2
≡ P S2 .
Jasno je i da P zadovoljava traženi uslov (3.12) što sledi direktno iz (3.13) za specijalan
slučaj kada je skup S konačan.
Ostaje još samo da se proveri da je P i σ-aditivna na B(R T ).
Neka je {B n } disjunktan niz skupova iz B(R T ). Znamo da za svako B n postoji skup S n ,
Card(S n ) < ℵ 0 takav da je B n ∈B(R Sn ).
Formirajmo skup S = ⋃ S n . Tada je Card(S) < ℵ 0 i važi da je B n ∈B(R S ) za svako
⋃
n∈N
n ∈ N. Sledi da je i B n ∈B(R S ).
Kako P S
n∈N
jeste mera, dobijamo da je
P ( ⋃ B n )=P S ( ⋃ B n )= ∑ P S (B n )= ∑ P (B n ).
n∈N
n∈N n∈N
n∈N
Time je teorema dokazana.
Napomena 8 Ako se posmatraju ured¯ene n-torke (t 1 ,t 2 ,...,t n ), tada se zahteva još iuslov
simetričnosti:
P (t1 ,...,t n)(A t1 ×···×A tn )=P (ti1 ,...,t in )(A ti1 ×···×A tin )
gde je (i 1 ,...,i n ) proizvoljna permutacija brojeva (1,...,n), a A ti ∈B(R ti ).
24

Deo II
Normalna raspodela
25

Glava 4
Potrebno predznanje
Drugi deo seminarskog rada posvećen je slučajnim promenljivama i slučajnim vektorima sa
normalnom raspodelom. U prvom poglavlju navedene su definicije nekih osnovnih pojmova u
teoriji verovatnoće (slučajna promenljiva, matematičko očekivanje, disperzija, karakteristična
funkcija, itd.) a date su i najvažnije teoreme i tvrd¯enja vezana za njih. Zatim sledi kratak
pregled potrebnog predznanja iz linearne algebre o matricama i kvadratnim formama. Cilj
ovakvog uvoda je da čitaocu omogući lakše praćenje dokaza u narednim poglavljima, u kojima
se u velikoj meri koriste elementi linearne algebre.
4.0.1 Osnovni pojmovi teorije verovatnoće
Definicija 15 Preslikavanje X :Ω→ R iz prostora verovatnoće (Ω, F,P) u merljiv prostor
(R, B(R)) naziva se slučajna promenljiva ako inverzna slika svakog Borelovog skupa pripada
σ-algebri F, odnosno važi:
X −1 (B) ∈F
za proizvoljno B ∈B(R).
Na merljivom prostoru (R, B(R)) uvodimo verovatnosnu meru P X
definisanu relacijom
P X (B) =P (X −1 (B)).
Prema teroremi 8 za meru P X postoji jedinstvena funkcija raspodele F X : R → R za koju važi
F X (x) =P X ((−∞,x]) = P {ω ∈ Ω:X(ω) ≤ x}.
Funkciju F X nazivamo funkcija raspodele slučajne promenljive X.
Definicija 16 Slučajna promenljiva I A data sa I A (ω) =
{ 1, ω ∈ A
0, ω /∈ A
za dogad¯aj A ∈ F
naziva se indikator dogad¯aja A.
Ako postoji disjunktno razbijanje sigurnog dogad¯aja Ω=A 1 ∪ A 2 ∪ ..., iakopostojinajviše
prebrojiv skup {x 1 ,x 2 ,...}⊂R, tada slučajnu promenljivu oblika
X(ω) =
∞∑
x i I Ai (ω) (4.1)
i=1
nazivamo diskretna slučajna promenljiva.
26

Definicija 17 Slučajna promenljiva je apsolutno neprekidnog tipa, ako postoji nenegativna
funkcija ϕ : R → R takva da važi
F X (x) =
∫ x
−∞
ϕ(t)dt, (4.2)
gde je integral u (4.2) u opštem slučaju Lebegov integral. Funkcija ϕ(x) se naziva funkcija
gustine slučajne promenljive X.
U terminima teorije mere relacija (4.2) znači da je verovatnosna mera P X apsolutno
neprekidna u odnosu na Lebegovu meru tj. za svaki Borelov skup A ∈B(R) važi implikacija
λ(A) =0 ⇒ P X (A) =0 gdejeλ oznaka za Lebegovu meru. Funkcija gustine ϕ(x) je
Radon-Nikodimov izvod mere P X po meri Lebega λ.
Definicija 18 Slučajna promenljiva (različita od konstantne) je singularnog tipa, ako izvod
F X ′ postoji i jednak je nuli skoro svuda, gde se izraz ”skoro svuda” odnosi na Lebegovu meru.
Može se pokazati da je uslov F X
′ s.s.
= 0 ekvivalentan činjenici da su mere P X i Lebegova mera
λ uzajamno singularne mere što znači da postoji Borelov skup A ∈B(R) takav da je λ(A) =0
i P X (A) =0.
Definicija 19 Preslikavanje X :Ω→ R n iz prostora verovatnoće (Ω, F,P) u merljiv prostor
(R n , B(R n )) naziva se slučajan vektor, ako inverzna slika svakog Borelovog skupa pripada
σ-algebri F, odnosno za proizvoljno B ∈B(R n ) važi X −1 (B) ∈F.
Pojmovi funkcije raspodele, apsolutne neprekidnosti i singularne raspodele se definišu analogno
kao i u jednodimenzionalnom slučaju.
Teorema 12 Preslikavanje X :Ω→ R n čija su komponentna preslikavanja
X(ω) =(X 1 (ω),X 2 (ω),...,X n (ω)) je slučajan vektor akko je svako X i slučajna promenljiva
(i =1, 2,...,n).
Teorema 13 Ako je X slučajan vektor i preslikavanje h : R n → R n Borelovo preslikavanje,
tada je kompozicija preslikavanja h(X) takod¯e slučajan vektor.
Ako je X slučajan vektor apsolutno neprekidnog tipa kojem odgovara funkcija gustine ϕ(x)
i ako je preslikavanje h bijekcija, tada je funkcija gustine za slučajan vektor h(X) data sa
ϕ(y) =ϕ(h −1 (y)) |J| gde je |J| Jakobijan inverzne transformacije h −1 .
Definicija 20 Za slučajan vektor X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) definišemo marginalne funkcije
raspodele po komponentama (X 1 ,X 2 ,...,X k ) k ≤ n sa
F X1 ,...,X k
(x 1 ,...,x k ) =
lim F X (x 1 ,x 2 ,...,x n ).
(x k+1,..., x n)→∞
U slučaju apsolutno neprekidnog slučajanog vektora ima smisla govoriti i o marginalnim
funkcijama gustine datima relacijom
∫ ∫
ϕ X1 ,...,X k
(x 1 ,...,x k )= ··· ϕ X (x 1 ,x 2 ,...,x n )dx k+1 ...dx n.
R n−k
27

Definicija 21 Komponente X 1 ,X 2 ,...,X n slučajanog vektora X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) su
nezavisne, ako za svako k ≤ n, za svaki izbor indeksa (i 1 ,...,i k ) i za proizvoljne Borelove
skupove B 1 ,...,B k ∈B(R) važi
P (
k⋂
{X ij ∈ B j })=
j=1
k∏
P {X ij ∈ B j }.
Teorema 14 Komponente X 1 ,X 2 ,...,X n slučajanog vektora X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) su
nezavisne akko je
F X (x 1 ,x 2 ,...,x n )=F 1 (x 1 )F 2 (x 2 ) ...F n (x n ),
gde je sa F i (x i ) označena marginalna funkcija raspodele po i−toj komponenti vektora X.
Komponente X 1 ,X 2 ,...,X n slučajanog vektora X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) apsolutno neprekidnog
tipa su nezavisne akko je
j=1
ϕ X (x 1 ,x 2 ,...,x n )=ϕ 1 (x 1 )ϕ 2 (x 2 ) ...ϕ n (x n ),
gde je sa ϕ i (x i ) označena marginalna funkcija gustine po i−toj komponenti vektora X.
Slučajna promenljiva X je merljiva funkcija na prostoru verovatnoće (Ω, F,P), pa možemo
posmatrati i njen integral po meri P. Ovaj integral ćemo označavati sa E(X) inazivaćemo ga
matematičkim očekivanjem slučajne promenljive X.
Dajemo ukratko ideju konstrukcije matematičkog očekivanja kao integrala po meri P.
Ako je X nenegativna slučajna promenljiva diskretnog tipa tj. ima oblik (4.1), tada
definišemo njeno matematičko očekivanje uoznaciE(X) kao
E(X) =
∞∑
x k P (A k ).
k=1
Ako je X nenegativna slučajna promenljiva, tada znamo da postoji rastući niz diskretnih
slučajnih promenljivih {X n } n∈N koji uniformno nad Ω konvergira ka X. Utomslučaju
definišemo
E(X) = lim E(X n ).
n→∞
Ovaj limes ne zavisi od izbora niza X n , amože biti konačan broj ili +∞.
Ako je X proizvoljna slučajna promenljiva, tada je razbijamo na njen pozitivan i negativan
deo X = X + − X − gde su X + =max{X, 0} i X − =max{−X, 0}, idefinišemo
E(X) =E(X + ) − E(X − ),
ako je bar jedan od brojeva E(X + ),E(X − ) konačan. Ako su oba broja beskonačna, reći ćemo
da matematičko očekivanje E(X) ne postoji.
U daljem radu koristićemo ravnopravno oznake
∫ ∫
E(X) = XdP = XdF X ,
Ω
R
što se u slučaju apsolutno neprekidne slučajne promenljive svodi na E(X) = ∫ R
xϕ(x)dx.
Ako E(X) postoji kao konačan broj tj. E(X + ) < ∞ i E(X − ) < ∞, tada iz |X| = X + +X −
sledidajeE(|X|) =E(X + )+E(X − ) < ∞, pa se tu zapravo radi o apsolutnoj konvergenciji
integrala.
28

Teorema 15 (o monotonoj konvergenciji) Neka je {X n } monoton niz slučajnih promenljivih
takav da X n ↗ X s.s. Neka postoji slučajna promenljiva Y, takva da je E(Y ) > −∞ i
Y (ω) ≤ X n (ω) za sve n ∈ N i skoro sve ω ∈ Ω. Tada važi E(X n ) ↗ E(X).
Teorema 16 (Lebegova o dominantnoj konvergenciji) Neka za niz slučajnih promenljivih
{X n } važi da X n (ω) → X (ω) za skoro sve ω ∈ Ω kad n →∞. Neka postoji slučajna promenljiva
Y sa konačnim matematičkim očekivanjem i osobinom da je |X n (ω)| ≤Y (ω) za sve n ∈ N i
skoro sve ω ∈ Ω. Tada važi
E(|X n − X|) → 0,
kad n →∞.
Iz prethodne relacije dobijamo kao posledicu da važiirazmenagraničnog procesa i integrala,
odnosno
E(X n ) → E(X), kad n →∞.
Teorema 17 Osobine matematičkog očekivanja:
1. E(cX) =cE(X), gde je c proizvoljna realna konstanta.
2. Ako je X(ω) ≤ Y (ω) za skoro sve ω ∈ Ω, tada je E(X) ≤ E(Y ).
3. E(X + Y )=E(X)+E(Y ).
4. Ako su X i Y nezavisne, tada je E(XY )=E(X)E(Y ).
Teorema 18 Neka je X slučajna promenljiva i h : R → R Borelova funkcija. Tada je
∫
∫
E(h(X)) = (h ◦ X)dP = h(x)dF X (x).
Ω
R
Definicija 22 Neka je X slučajna promenljiva. Disperzija slučajne promenljive X, uoznaci
D(X) je veličina
D(X) =E(X − E(X)) 2 .
Teorema 19 Osobine disperzije su:
1. D(X) =E(X 2 ) − (E(X)) 2 .
2. D(X) ≥ 0.
3. D(cX) =c 2 D(X), gde je c proizvoljna realna konstanta.
4. D(X) =0 akko je X =0skoro svuda.
Definicija 23 Neka su X i Y slučajne promenljive sa konačnim disperzijama različitim od
nule. Kovarijansa slučajnih promenljivih X i Y je broj cov(X, Y ) dat sa
cov(X, Y )=E((X − EX)(Y − EY )) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Koeficijent korelacije slučajnih promenljivih X i Y je broj
ρ(X, Y )= cov(X, Y )
√
D(X)D(Y )
.
Slučajne promenljive X i Y su nekorelirane, ako im je kovarijansa jednaka nuli.
29

Primetimo da je cov(X, X) =D(X). Važi da iz nezavisnosti slučajnih promenljivih X i Y
sledi i njihova nekoreliranost, dok obrnuta implikacija u opštem slučaju ne vredi.
Definicija 24 Neka je X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) slučajan vektor. Kovarijaciona matrica
vektora X je matrica data sa B =[cov(X i ,X j )] n×n .
Teorema 20 Matrica B je kovarijaciona matrica nekog slučajnog vektora akko je simetrična i
pozitivno semidefinitna.
Teorema 21 Neka su X 1 ,X 2 ,...,X n proizvoljne slučajne promenljive. Tada je
D(
n∑
X i )=
n∑
cov(X i ,X j )=
D(X i )+ ∑
i=1 i=1 i≠j
i=1
Ako su X 1 ,X 2 ,...,X n nezavisne slučajne promenljive, tada je
D(
n∑
X i )=
i=1
n∑
D(X i ).
i=1
n∑
n∑
cov(X i ,X j ). (4.3)
Definicija 25 Karakteristična funkcija slučajne promenljive X je funkcija f : R → C
definisana relacijom
∫
f X (t) =E(e itX )= e itx dF X .
Karakteristična funkcija slučajne promenljive apsolutno neprekidnog tipa je zapravo
Furijeova transformacija funkcije gustine. Karakteristična funkcija postoji za svaku slučajnu
promenljivu i ona je jednoznačno odred¯uje (teorema Levija o formuli inverzije).
Teorema 22 Ako je karakteristična funkcija f(t) neke slučajne promenljive apsolutno integrabilna
tj. ∫ |f(t)| dt < ∞, tada je odgovarajuća funkcija raspodele F X apsolutno neprekidna i
R
važi
ϕ(x) = 1 ∫
e −itx f(t)dt,
2π
R
gde je ϕ(x) gustina raspodele za F X (x).
Teorema 23 Osobine karakteristične funkcije:
1. f(0) = 1.
2. |f(t)| ≤1.
3. f aX+b (t) =e itb f X (at).
4. f(−t) =f(t).
5. Ako su X 1 ,X 2 ,...,X n nezavisne, tada je f X1 +X 2 +···+X n
(t) =f X1 (t)f X2 (t) ···f Xn (t).
Definicija 26 Karakteristična funkcija slučajnog vektora X je funkcija f : R n → C
definisana relacijom
R
i=1
f X (t 1 ,t 2 ,...,t n )=E(e i〈t|X〉 )=E(e i ∑ n
k=1 t kX k
),
gde je t =(t 1 ,t 2 ,...,t n ), a 〈·|·〉 je oznaka za skalarni proizvod.
30

Lema 2 Ako su X 1 ,X 2 ,...,X n proizvoljne slučajne promenljive i λ 1 ,λ 2 ,...,λ n proizvoljni
realni brojevi, tada je
f λ1 X 1 +λ 2 X 2 +···+λ nX n
(t) =f X (λ 1 t , λ 2 t,...,λ n t), (4.4)
gde je f X (t 1 ,t 2 ,...,t n ) karakteristična funkcija za slučajan vektor X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ).
Teorema 24 Komponente X 1 ,X 2 ,...,X n slučajnog vektora X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) su
nezavisne akko za sve t 1 ,t 2 ,...,t n važi
f X (t 1 ,t 2 ,...,t n )=f X1 (t 1 )f X2 (t 2 ) ···f Xn (t n ).
Teorema 25 Neka je f X (t 1 ,t 2 ,...,t n ) karakteristična funkcija slučajnog vektora
X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ). Tada je karakteristična funkcija marginalnog slučajnog vektora
(X 1 ,X 2 ,...,X r ) oblika
f(t 1 ,t 2 ,...,t r )=f X (t 1 ,t 2 ,...,t r , 0, 0,...,0).
Definicija 27 Označimo sa L 2 (Ω, F,P) ili kraće samo sa L 2 prostor slučajnih promenljivih za
koje je E(X 2 ) < ∞. UprostoruL 2 uvodimo skalarni proizvod kao
〈X | Y 〉 = E(XY ) za proizvoljne X, Y ∈ L 2 .
Norma indukovana ovim skalarnim proizvodom je oblika ||X|| = √ E(X 2 )ivaži da je prostor
L 2 kompletan 1 u odnosu na ovu normu. Konvergencija slučajnih promenljivih u prostoru L 2 je
L
srednjekvadratna konvergencija definisana sa: X 2
n → X, ako E |X n − X| 2 → 0 kad n →∞.
Prostor L 2 je Hilbertov prostor.
4.0.2 Elementi linearne algebre
Definicija 28 Neka je A realna, simetrična, kvadratna matrica dimenzije n × n. Funkcija
Q : R n → R data sa
Q(x) =〈Ax | x〉 , gde je vektor x ∈ R n
naziva se kvadratna forma.
Ekvivalentni zapisi kvadratne forme su
Q(x) =〈Ax | x〉 = x T Ax =
n∑ n∑
a ij x i x j ,
i=1 j=1
gdejevektorx =(x 1, x 2 ,...,x n ) i matrica A =[a ij ] n×n
,ax T je oznaka za transponovani vektor.
Definicija 29 Kvadratna forma je pozitivno definitna, ako za svaki nenula vektor x ∈ R n
važi
〈Ax | x〉 > 0.
Kvadratne forma je pozitivno semidefinitna, ako za svaki vektor x ∈ R n važi
〈Ax | x〉 ≥0.
1 P rostor je kompletan ako svaki Košijev niz konvergira.
31

Kvadratna forma je negativno definitna, ako za svaki nenula vektor x ∈ R n važi
〈Ax | x〉 < 0.
Kvadratne forma je negativno semidefinitna, ako za svaki vektor x ∈ R n važi
〈Ax | x〉 ≤0.
Matrica A je pozitivno (respektivno negativno) (semi)definitna, ako je njome data kvadratna
forma 〈Ax | x〉 pozitivno (resp. negativno) (semi)definitna.
Teorema 26 Neka je A realna, pozitivno semidefinitna, simetrična matrica ranga r. Tada
postoji regularna matrica M, takva da je
A = M T E (r) M, (4.5)
gde je E (r) matrica sa tačno r jedinica na glavnoj dijagonali, a sa nulama na ostalim mestima.
Specijalno, ako je matrica A regularna tj. njen rang je jednak redu, r = n, tada relacija
(4.5) prima oblik
A = M T M,
ivaži da je det A =(detM) 2 .
Iz teoreme sledi da se smenom promenljivih z = Mx kvadratna forma 〈Ax | x〉 svodi na
kanonički oblik z 2 1 + z 2 2 + ···+ z 2 r.
Teorema 27 Neka je A realna, pozitivno semidefinitna, simetrična matrica.
ortogonalna matrica O (što znači da je OO T = O T O = E), takva da je
Tada postoji
A = O T DO,
gde je D dijagonalna matrica čiji su elementi karakteristični koreni matrice A, i oni su nenegativni.
Ako je matrica A regularna, tada su svi njeni karakteristični koreni strogo pozitivni.
Definicija 30 Neka je data matrica A =[a ij ] n×n
. Minor elementa a kl je determinanta matrice
reda (n − 1) × (n − 1) koje se dobija kada se u matrici A izostave k-ta vrsta i l-ta kolona.
Označimo minor elementa a kl sa M kl .
Lema 3 Važi da je
∂
∂a kl
(det A) =(−1) k+l M kl .
Definicija 31 Adjungovana matrica matrice A =[a ij ] n×n
,uoznaciA ∗ , je matrica sa elementima
a ∗ ij =(−1) i+j M ij . Inverzna matrica regularne matrice A, uoznaciA −1 , je matrica
data sa A −1 = A∗
det A .
Lema 4 Važe identiteti det(A −1 )=(detA) −1
i det A T =detA.
Definicija 32 Neka je V vektorski prostor nad skalarnim poljem R. Vektori v 1 ,v 2 ,...,v n ∈ V
su linearno nezavisni, ako za proizvoljne skalare a 1 ,a 2 ,...,a n ∈ R važi implikacija
n∑
a i v i =0 ⇒ a i =0 za sve i =1, 2,...,n.
i=1
32

Teorema 28 Neka je A matrica reda n irangar. Tada za kvadratnu formu Q(x) =〈Ax | x〉
postoji tačno n − r linearno nezavisnih vektora v (1) ,v (2) ,...,v (n−r) takvih da je
Q(v (i) )=0 za sve i =1, 2,...,n− r.
Definicija 33 Neka su v 1 ,v 2 ,...,v n elementi vektorskog prostora V. Skup svih linearnih
kombinacija ovih vektora ćemo nazivati lineal (linearna mnogostrukost) generisan vektorima
v 1 ,v 2 ,...,v n ioznačavaćemo ga sa L{v 1 ,v 2 ,...,v n }.
Lineal L{v 1 ,v 2 ,...,v n } je podprostor vektorskog prostora V. Transliranu linearnu
mnogostrukost, tj. skup oblika m + L{v 1 ,v 2 ,...,v n } gde je m ∈ V, nazivaćemo hiperravan
(afini podprostor).
Teorema 29 Ako je v 1 ,v 2 ,...,v k (k ≤ n) maksimalan linearno nezavisan podskup skupa vektora
v 1 ,v 2 ,...,v n , tada je L{v 1 ,v 2 ,...,v n } = L{v 1 ,v 2 ,...,v k }.
Definicija 34 Neka je V vektorski prostor sa skalarnim proizvodom.
vektora x =(x 1 ,x 2 ,...,x n ), je matrica data sa G(x) =[〈x i | x j 〉] n×n
.
Gramova matrica
Teorema 30 Gramova matrica je regularna akko su x 1 ,x 2 ,...,x n linearno nezavisni.
33

Glava 5
Jednodimenzionalna normalna
raspodela
Definicija 35 Slučajna promenljiva X ima normalnu (Gausovu) raspodelu sa parametrima
m i σ 2 , m ∈ R, σ > 0, što označavamo sa X : N (m, σ 2 ), ako je njena funkcija gustine
Smenom t = x−m
σ
ϕ(x) =
dobijamo da je
1 (x−m)2
√ e− 2σ 2 , x ∈ R. (5.1)
2πσ
2
∞∫
−∞
ϕ(x)dx = 1 √
2π
∞∫
−∞
e − t2 2 dt = 1, dakle funkcija ϕ(x)
definisana izrazom (5.1) zaista jeste funkcija gustine.
Funkcija ϕ(x) ima maksimum u tački x = m, a za različite vrednosti parametra σ je njen
grafik više izdužen ili spljošten.
Za slučajnu promenljivu X : N (m, σ 2 ) parametri m i σ 2 imaju sledeće značenje:
E(X) =m (5.2)
D(X) =σ 2 (5.3)
Dokaz ovih jednakosti je elementaran, a dokaz analognog tvrd¯enja u višedimenzionalnom
slučaju je dat u narednom poglavlju.
Iz relacija (5.2) sledi da slučajna promenljiva X sa normalnom raspodelom ima konačan
moment drugog reda, pa zato ona pripada Hilbertovom prostoru L 2 .
34

Ako pustimo da parametar σ → 0, tada funkcija gustine ϕ(x)teži ka funkciji skoncentrisanoj
utački x = m. Smatraćemo da X : N (m, 0) ako je P {X = m} =1.
Svaka slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom se odgovarajućom transformacijom
može svesti na slučajnu promenljivu sa N (0, 1) raspodelom. Naime, ako X : N (m, σ 2 ), tada
X−m
σ
: N (0, 1).
Funkcija raspodele za normalnu N (0, 1) raspodelu je data izrazom
Φ(x) = 1 √
2π
∫x
e − t2 2 dt.
inazivaseLaplasova funkcija. Na osnovu osobina funkcije gustine (simetričnost grafika
u odnosu na y-osu), Laplasova funkcija se obično piše u obliku Φ(x) = 1 +Φ 2 0(x), gde je
x∫
Φ 0 (x) = √ 1
2π
e − t2 2 dt.
0
Propozicija 3 Neka slučajna promenljiva X : N (m, σ 2 ). Tada slučajna promenljiva koja se
dobija linearnom transformacijom Y = aX + b (a ∈ R\{0},b ∈ R), takod¯e ima normalnu
raspodelu sa parametrima Y : N (am + b, a 2 σ 2 ).
−∞
Dokaz. Inverzna transformacija je data sa x = y−b
a
dobija izraz za funkciju gustine slučajne promenljive Y :
ϕ(y) =
1
√
2πσ
2
y−b
(
a
−m)2 1
e− 2σ 2
|a| = 1
√
2πσ2 a
sa Jakobijanom
2
e−
(y−(b+ma))2
∣
∣ ∂x
∂y
2σ 2 a 2 , y ∈ R
što je upravo oblik funkcije gustine za normalnu N (am + b, a 2 σ 2 )raspodelu.
∣ = 1 , odakle se
Teorema 31 Karakteristična funkcija za slučajnu promenljivu X : N (m, σ 2 ) raspodelu je oblika
f(t) =e itm− 1 2 σ2 t 2 (5.4)
Dokaz. Posmatrajmo prvo normalizovanu slučajnu promenljivu Y = X−m
σ koja ima N (0, 1)
raspodelu. Prema definiciji karakteristične funkcije slučajne promenljive apsolutno neprekidnog
tipa je
|a|
∫
f Y (t) =
R
e ity ϕ Y (y)dy = 1 √
2π
∫
R
e ity e − y2 2 dy =
1
√
2π
∫
R
(cos(ty)+i sin(ty))e − y2 2 dy.
Odavde zbog neparnosti sinusne funkcije dobijamo da je
f Y (t) = √ 1 ∫
cos(ty)e − y2 2 dy.
2π
Diferenciranjem po t ispod znaka integrala dobijamo
f Y ′ (t) = √ 1 ∫
−y sin(ty)e − y2 2 dy.
2π
R
R
35

Razmena nesvojstvenog integrala i izvoda je korektna, jer su funkcije cos(ty)e − y2 2 i −y sin(ty)e − y2 2
neprekidne, a integral ∫ R
−y sin(ty)e − y2 2 dy je uniformno konvergentan po t.
Parcijalnom integracijom dobijamo da je
f ′ Y (t) = 1 √
2π
[sin(ty)e − y2 2
∫
|
∞
−∞ −t
e − y2 2 cos(ty)dy ].
Prvi sabirak u zagradi je jednak nuli, jer je sinus ograničena funkcija i lim
x→∞
e −x =0. Odavde
dobijamo da karakteristična funkcija zadovoljava diferencijalnu jednačinu sa početnim uslovom
R
f Y ′ (t) =−tf Y (t)
f Y (0) = 1.
Rešavanjem ovog početnogproblemadobijamodaje
f Y (t) =e − t2 2 , t ∈ R. (5.5)
Karakterističnu funkciju slučajne promenljive X dobijamo koristeći poznate osobine karakterističnih
funkcija, pa je
f X (t) =f σY +m (t) =e itm f Y (σt) =e itm− 1 2 (σ2 t 2 )
što je i trebalo dokazati.
36

Glava 6
Višedimenzionalna normalna raspodela
6.1 Pojam n-dimenzionalne normalne raspodele
Definicija 36 Slučajan vektor X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) ima n-dimenzionalnu normalnu
(Gausovu) raspodelu sa parametrima m i B, što označavamo sa X : N (m, B), gde je
m =(m 1 ,m 2 ,...,m n ) ∈ R n , i B je regularna, simetrična, pozitivno semidefinitna matrica, ako
je njena funkcija gustine data sa
ϕ(x 1 ,x 2 ,...,x n )=
√
det A
e − 1
(2π) n 2 (x−m)T A(x−m) , x =(x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ R n , (6.1)
2
a A je inverzna matrica za B.
Ekvivalentan zapis funkcije gustine je
ϕ(x 1 ,x 2 ,...,x n )=
√
det A
(2π) n 2
e − n∑ n∑
1 a 2
kl (x k −m k )(x l −m l )
k=1 l=1 .
Propozicija 4 Funkcija ϕ(x 1 ,x 2 ,...,x n ) data relacijom (6.1) jeste funkcija gustine.
Dokaz. Jasno je da je ϕ(x 1 ,x 2 ,...,x n ) nenegativna funkcija, pa ostaje samo da se pokaže
da važi
∫ ∫
··· ϕ(x 1 ,x 2 ,...,x n )dx 1 dx 2 ···dx n =1. (6.2)
R n
Linearnom smenom y = x−m, za koju je Jakobijan inverzne transformacije jednak jedinici,
podintegralna funkcija u relaciji (6.2) se svodi na
ϕ(y 1 ,y 2 ,...,y n )=
√
det A
(2π) n 2
e − 1 2 yT Ay
(6.3)
A je inverzna matrica simetrične, pozitivno semidefinitne matrice, pa je i ona sama simetrična i
pozitivno semidefinitna. Prema teoremi 26 iz linearne algebre sledi da postoji regularna matrica
M, takvadaje
A = M T M.
Smenom
z = My (6.4)
37

se kvadratna forma y T Ay svodi na kanonički oblik z T z = z 2 1 + z 2 2 + ··· + z 2 n. Pri tome je
det M = √ det A. Odavde sledi da je Jakobijan inverzne transformacije y = M −1 z
det J =det(M −1 )=
1
√
det A
,
pa se ovom smenom podintegralna funkcija svodi na
√
det A
ϕ(z 1 ,z 2 ,...,z n )= e − 1
(2π) n 2 zT z 1
√ ,
2 det A
odnosno posle skraćivanja dobijamo
ϕ(z 1 ,z 2 ,...,z n )= 1 e − 1 2
(2π) n 2
n∑
i=1
zi
2 . (6.5)
Uvod¯enjem smene (6.4) u integral (6.2) i primenom teorme Fubinija dobijamo
∫ ∫
∫ ∫
1
··· ϕ(x 1 ,x 2 ,...,x n )dx 1 dx 2 ···dx n = ··· e − n∑ 1 z 2 i
2
(2π) n i=1 dz 1 dz 2 ···dz n
2
R n R n
= 1 ∫ ∫
∏ n
··· e − 1
(2π) n 2 z2 i dz1 dz 2 ···dz n
2
=
R n
n∏
∫
1
( √
2π
i=1
R
i=1
∫
e − 1 1
2 z2 i dzi )=( √
2π
R
e − 1 2 t2 dt) n =1.
Poslednja jednakost sledi iz činjenice da je izraz u zagradi integral funkcije gustine jednodimenzionalne
slučajne promenljive sa N (0, 1) raspodelom.
Integral u poslednjem redu je u stvari integral od proizvoda jednodimenzionalnih
marginalnih funkcija raspodela
∫ ∫
1 ∏ n ∫ ∫
··· e − 1
(2π) n 2 z2 i dz1 dz 2 ···dz n = ··· ϕ Z1 (z 1 )ϕ Z2 (z 2 ) ···ϕ Zn (z n )dz 1 dz 2 ···dz n
2
R n
i=1
gde su slučajne promenljive Z i : N (0, 1) komponente slučajnog vektora Z =(Z 1 ,...,Z n )
dobivenog transformacijom Z = MY. Primetimo još daiz
R n
ϕ(z 1 ,z 2 ,...,z n )=ϕ Z1 (z 1 )ϕ Z2 (z 2 ) ···ϕ Zn (z n )
sledidasuslučajne promenljive Z i
Z : N (0,E).
: N (0, 1) nezavisne, kao i da za slučajan vektor Z važi
Na osnovu prethodnih razmatranja možemo formulisati sledeću teoremu:
Teorema 32 Ako je X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) slučajan vektor sa n-dimenzionalnom normalnom
raspodelom X : N (m, B), tada postoji regularna matrica M, takva da su komponente vektora
Z =(Z 1 ,Z 2 ,...,Z n ) dobivenog transformacijom Z = M(X − m) nezavisne i važi Z i : N (0, 1).
Primetimo da se tada slučajan vektor X izražava kao X = NZ + m, gde je N = M −1 . Pri
tome važi B = NN T .
U poglavlju o singularnoj normalnoj raspodeli biće pokazano pod kojim uslovima važi obrat
ove teoreme.
38

6.2 Značenje parametara u normalnoj raspodeli
Teorema 33 Neka je X = (X 1 ,X 2 ,...,X n ) slučajan vektor sa normalnom X : N (m, B)
raspodelom. Tada važi:
1. parametar m je vektor matematičkih očekivanja komponenti slučajnog vektora X tj.
gde je m =(m 1 ,m 2 ,...,m n ).
E(X k )=m k , k =1, 2,...,n ,
2. Matrica B je kovarijaciona matrica slučajnog vektora X.
Dokaz.
1. Polazimo od identiteta pokazanog u prethodnom poglavlju
√ ∫ ∫
det A
··· e − 1
(2π) n 2 (x−m)T A(x−m) dx 1 dx 2 ···dx n =1. (6.6)
2
R n
Diferencirajmo levu i desnu stranu po m k . Kako je
∑
∂
∂m k
(x − m) T A(x − m) =−2 n a kl (x l − m l ), to iz (6.6) dobijamo
√ ∫ det A
(2π) n 2
∫
···
R n
l=1
e − 1 2 (x−m)T A(x−m)
n∑
a kl (x l − m l )dx 1 dx 2 ···dx n =0. (6.7)
l=1
Parcijalni izvod
∂
∂m j
može da ud¯e pod znak integrala, jer je podintegralna funkcija neprekidna,
njen parcijalni izvod je takod¯e neprekidan, a integral u relaciji (6.7) je uniformno konvergentan.
Jednakost (6.7) prema teoremi 18 znači da je
E(
n∑
a kl (X l − m l )) = 0.
l=1
Odavdesekoristeći linearnost operatora E dobija
n∑
a kl (E(X l ) − m l )=0,
l=1
k =1, 2,...,n.
Kako je det A ≠0, dobijeni homogeni sistem jednačina ima samo trivijalno rešenje tj.
E(X l ) − m l = 0
za sve l =1, 2,...,n.
2. Pod¯imo od identiteta
∫
∫
··· e − 1 2 (x−m)T A(x−m) dx 1 dx 2 ···dx n = (2π) n 2
√
det A
R n
39

Diferencirajmo levu i desnu starnu po a kl . Koristeći lemu 3 dobijamo
− 1 ∫ ∫
··· e − 1 2 (x−m)T A(x−m) (x k − m k )(x l − m l )dx 1 dx 2 ···dx n
2
R n
=(2π) n 1
2 (−
2 )(det 3 A)− 2 (−1) k+l M kl ,
gde je M kl minor elementa a kl . Posle sred¯ivanja u ovoj jednakosti dobijamo
√ ∫ det A
(2π) n 2
∫
···
R n
(x k − m k )(x l − m l )e − 1 2 (x−m)T A(x−m) dx 1 dx 2 ···dx n = (−1)k+l M kl
det A ,
to jest
E((X k − m k )(X l − m l )) =
a∗ kl
det A ,
gde je sa a kl označen (k, l)−ti član u adjungovanoj matrici matrice A. Koristeći dokazano
pod 1. da je m k = E(X k )im l = E(X l ) dobijamo da je
cov(X k ,X l )=(A −1 ) kl =(B) kl = b kl ,
što znači da je B kovarijaciona matrica za slučajan vektor X.
Posmatrajmo sada primer dvodimenzionalne normalne raspodele X : N ((m 1 ,m [ 2 ); B) gde ]
b11 b
je B regularna, simetrična, pozitivno semidefinitna matrica sa elementima B =
12
.
b 12 b 22
Tada je po definiciji
1
ϕ(x 1 ,x 2 )=
2π √ 1 det(B −1 ) e− 2 (x−m)T A(x−m) .
Kako je B kovarijaciona matrica, to je koeficijent korelacije za komponente vektora X 1 i X 2
dat sa
cov(X 1 ,X 2 )
ρ = √
D(X1 ) √ D(X 2 ) = b
√ 12
√ .
b11 b22
Takod¯e važe relacije
det B = b 11 b 22 − (b 12 ) 2 = b 11 b 22 (1 − ρ 2 )
A = B −1 =
to jest dobijamo da je
B∗
det B = 1
b 11 b 22 (1 − ρ 2 )
[ ]
b22 −b 12
= 1
−b 12 b 11
]
√
−ρ
√ b11 b22
b 22
1 − ρ 2 [ 1
−b 12
]
b 11 b 11 b 22
−b 12 1
b 11 b 22 b 22
[
A = 1 1
b 11
1 − ρ 2 √
−ρ
√ 1 .
b11 b22
Odavde sledi izraz za funkciju gustine normalne dvodimenzionalne raspodele u obliku
ϕ(x 1 ,x 2 )=
[
]
1
2π √ 1 (x 1 −m 1 ) 2
b 11 b 22 (1 − ρ 2 ) e− 2(1−ρ 2 − √ 2ρ (x
) b 1 −m 1 )(x 2 −m 2 )+ (x 2 −m 2 )2
11 b11 b b 22 22
.
Specijalno za ρ = 0 dobijamo da je ϕ(x 1 ,x 2 )=ϕ X1 (x 1 )ϕ X2 (x 2 )gdesuϕ X1 i ϕ X2 marginalne
funkcije gustine za slučajne promenljive sa jednodimenzionalnim normalnim raspodelama X 1 :
N (m 1 ,b 11 )iX 2 : N (m 2 ,b 22 ).
40
,

Dakle, za slučajne promenljive sa normalnim raspodelama važi da iz njihove nekoreliranosti
sledi i njihova nezavisnost.
Dvodimenzionalnu normalnu raspodelu obično označavamo sa N (m 1 ,m 2 ,b 11 ,b 22 ,ρ).
Na sledećim slikama je prikazano kako se grafik funkcije gustine dvodimenzionalne normalne
raspodele menja u zavisnosti od njenih parametara.
N (0, 0, 1, 1, 0)
N (0, 0, 1, 3, 0)
41

N (0, 0, 1, 1, 1 2 )
6.3 Karakteristična funkcija normalne raspodele
Teorema 34 Neka je X slučajan vektor sa n-dimenzionalnom normalnom raspodelom
X : N(m, B). Tada je karakteristična funkcija slučajnog vektora X data sa
gde je t =(t 1 ,t 2 ,...,t n ).
f(t 1 ,t 2 ,...,t n )=e i〈t|m〉− 1 2 tT Bt , (6.8)
Dokaz. Po definiciji karakteristične funkcije je
∫ ∫
f(t 1 ,t 2 ,...,t n )= ··· e i〈t|x〉 ϕ(x 1 ,x 2 ,...,x n )dx 1 dx 2 ...dx n
=
R n
√ ∫ det A
(2π) n 2
∫
···
R n e i〈t|x〉 e − 1 2 (x−m)T A(x−m) dx 1 dx 2 ...dx n .
Ako ovaj izraz pomnožimoipodelimosae i〈t|m〉 , dobićemo da je
√ ∫ ∫
det A
f(t 1 ,t 2 ,...,t n )= e i〈t|m〉 ···
(2π) n 2
e i〈t|x−m〉 e − 1 2 (x−m)T A(x−m) dx 1 dx 2 ...dx n . (6.9)
R n
Iz teoreme 27 sledi egzistencija regularne ortogonalne matrice P, takve da važi
P T BP = D
gde je D = diag{λ 1 ,λ 2 ,...,λ n } i λ i > 0, i =1, 2,...n. Takod¯e je D −1 = P T AP, gdejekaoi
do sada A = B −1 1
, a odavde sledi da je det A =
λ 1 λ 2···λ n
.
Uvedimo smenu
x − m = Py
t = Pu
42

čiji je Jakobijan zbog ortogonalnosti matrice P jednak det J =(detP ) 2 =1.
Tada je
i 〈x − m | t〉− 1 2 〈A(x − m) | x − m〉 = i 〈Py | Pu〉−1 〈AP y | Py〉 =
2
i 〈 y | P T Pu 〉 − 1 〈
P T AP y | y 〉 = i 〈y | u〉− 1 〈
D −1 y | y 〉 ,
2
2
pa se relacija (6.9) svodi na
∫
1
f(u 1 ,u 2 ,...,u n )= √ e i〈t|m〉
(2π) n 2 λ1 λ 2 ···λ n
∫
···
R n e i〈y|u〉− 1 2 yT D −1y dy 1 dy 2 ...dy n . (6.10)
S obzirom da je D −1 = diag{ 1 λ 1
, 1 λ 2
,..., 1
λ n
}, dobijamo
f(u 1 ,u 2 ,...,u n )=
∫
1
√ e i〈t|m〉
(2π)n λ 1 λ 2 ···λ n
∫
···
e i ∑ n y k u k − 1 2
k=1
n∑
k=1
y 2 k
λ k
dy 1 dy 2 ...dy n .
R n
Na osnovu teoreme Fubinija to je dalje jednako sa
f(u 1 ,u 2 ,...,u n )=e i〈t|m〉
n
∏
k=1
∫
1
√ 2πλk
R
e iy ku k − 1 y
k
2
2
λ k dy k . (6.11)
Na osnovu teoreme o karakterističnoj funkciji za slučajne promeljive, znamo da je karakteristična
funkcija za normalnu N (0,λ k ) raspodelu data sa √ 2πλk
∫
1
e iy ku k − 1 y
k
2
2 λ k dy k = e − λ k
2 u 2 k . Time
relacija (6.11) postaje
odnosno
f(u 1 ,u 2 ,...,u n )=e i〈t|m〉
n
∏
k=1
R
e − λ k
2 u 2 k ,
f(u 1 ,u 2 ,...,u n )=e i〈t|m〉 e − 1 2
n∑
λ k u 2 k
k=1
= e i〈t|m〉− 1 2 uT Du = e i〈t|m〉− 1 2 uT P T BPu .
Ako vratimo smenu t = Pu, dobijamo
f(t 1 ,t 2 ,...,t n )=e i〈t|m〉− 1 2 tT Bt
što je i trebalo dokazati.
Sledeća teorema tvrdi da su marginalne raspodele normalne n-dimenzionalne raspodele
takod¯e normalne.
Teorema 35 Neka je X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) slučajan vektor sa n-dimenzionalnom normalnom
raspodelom X : N (m, B), gde je m =(m 1 ,m 2 ,...,m n ) i B =[b kl ] n×n
. Tada za proizvoljno
r ≤ n važi da marginalan slučajan vektor ˜X =(X 1 ,X 2 ,...,X r ) ima normalnu r-dimenzionalnu
raspodelu sa parametrima ˜m =(m 1 ,m 2 ,...,m r ) i ˜B =[b kl ] r×r
.
43

Obratno tvrd¯enje u opštem slučaju ne važi, što će biti pokazano u poglavlju o singularnoj
normalnoj raspodeli.
Dokaz. Karakteristična funkcija marginalnog slučajnog vektora ˜X je oblika
Na osnovu prethodne teoreme dobijamo da je
f ˜X(t 1 ,t 2 ,...,t r )=f X (t 1 ,t 2 ,...,t r , 0, 0,...,0).
f ˜X(t 1 ,t 2 ,...,t r )=e i
r∑
r∑ r∑
t k m k − 1 b 2
kl t k t l
k=1
k=1 l=1
što je upravo oblik karakteristične funkcije za r-dimenzionalnu normalnu N ( ˜m, ˜B) raspodelu.
Kako karakteristična funkcija jednoznačno odred¯uje raspodelu slučajanog vektora, sledi tvrd¯enje
teoreme.
6.4 Linearna kombinacija slučajnih promenljivih sa normalnom
raspodelom
Sledeća teorema govori o tome da slučajan vektor ima n-dimenzionlnu normalnu raspodelu ako
i samo ako su sve linearne kombinacije njegovih komponenti slučajne promenljive sa normalnom
raspodelom.
Teorema 36 Neka je X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) proizvoljan slučajan vektor.
(a) Ako X ima n-dimenzionalnu normalnu raspodelu X : N (m, B), tada za proizvoljne
λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ∈ R takve da postoji bar jedno λ i ≠0, važi da slučajna promenljiva n ∑
ima normalnu raspodelu
n∑
n∑
λ k X k : N ( λ k m k ; λ T Bλ).
k=1
k=1
k=1
λ k X k
∑
(b) Ako za sve λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ∈ R važi da linearna kombinacija n λ k X k ima normalnu
k=1
raspodelu, tada slučajan vektor X ima n-dimenzionalnu normalnu raspodelu.
Dokaz.
(a) Karakteristična funkcija slučajnog vektora X je oblika
f X (t 1 ,t 2 ,...,t n )=e i n∑
t k m k − 1 2
k=1
n∑
n∑
b kl t k t l
k=1 l=1 .
Stavimo da je t j = λ j t, j =1, 2,...,n. Tada je prema lemi 2
f n∑
j=1
λ j X j
(t) =f X (λ 1 t, λ 2 t,...,λ n t)=e it n ∑
λ k m k − 1 ∑ n n∑
2 t2 b kl λ k λ l
k=1
k=1 l=1 ,
što jeste oblik karakteristične funkcije za jednodimenzionalnu normalnu raspodelu sa
∑
parametrima n n∑ n∑
λ k m k i b kl λ k λ l . Kako karakteristična funkcija jednoznačno odred¯uje
k=1
k=1 l=1
slučajnu promenljivu, sledi
n∑
n∑
λ j X j : N ( λ k m k ,λ T Bλ).
j=1
k=1
44

(b) Stavimo λ =(λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ).
Neka slučajna promenljiva 〈λ | X〉 = n ∑
j=1
λ j X j ima normalnu raspodelu tj.
〈λ | X〉 : N (E(〈λ | X〉),D(〈λ | X〉).
Tada je karakteristična funkcija za 〈λ | X〉 oblika E(e it〈λ|X〉 ) = e itE(〈λ|X〉)− 1 2 D(〈λ|X〉)t2 ,
odakle za t = 1 dobijamo
E(e i〈λ|X〉 )=e iE(〈λ|X〉)− 1 2 D(〈λ|X〉) .
Operator E je linearan, a prema relaciji (4.3) je D(〈λ | X〉) =
n ∑
k=1 k=1
n∑
λ k λ l cov(X k ,X l ),
odakle sledi
E(e i〈λ|X〉 )=e i ∑ n n∑ n∑
λ k E(X k )− 1 λ 2
k λ l cov(X k ,X l )
k=1
k=1 k=1 . (6.12)
Kako je karakteristična funkcija slučajnog vektora X data sa f X (t 1 ,t 2 ,...,t n )=E(e i〈t|X〉 ),
to ako u relaciji (6.12) formalno stavimo (λ 1 ,λ 2 ,...,λ n )=(t 1 ,t 2 ,...,t n ) dobijamo
f X (t 1 ,t 2 ,...,t n )=e i n ∑
n∑ n∑
t k E(X k )− 1 t 2
k t l cov(X k ,X l )
k=1
k=1 k=1 ,
što je upravo oblik karakteristične funkcije sa n-dimenzionalnom normalnom raspodelom.
Sledi da
X : N (m, B)
gde su m =(E(X 1 ),E(X 2 ),...,E(X n )) i B =[cov(X k ,X l ] n×n
.
Na osnovu prethodne teoreme sledi da se n-dimenzionalna normalna raspodela se može
definisati i na sledeći način: slučajan vektor X = (X 1 ,X 2 ,...,X n ) ima n-dimenzionalnu
normalnu raspodelu X : N (m, B),akozasveλ 1 ,λ 2 ,...,λ n ∈ R važi da linearna kombinacija
n∑
λ k X k ima normalnu raspodelu.
k=1
Napomena 9 Na osnovu prethodne teoreme, linearna kombinacija KOMPONENTI slučajnog
vektora sa n-dimenzionalnom normalnom raspodelom takod¯e ima normalnu raspodelu. Ali:
linearna kombinacija proizvoljnih normalno raspored¯enih slučajnih promenljivih ne mora biti
slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom, što će biti pokazano jednim kontraprimerom
u narednom poglavlju. Med¯utim, ako su te slučajne promenljive npr. nezavisne, tada na osnovu
teoreme o proizvodu karakterističnih funkcija važi da i njihova linearna kombinacija ima
normalnu raspodelu.
Posmatrajmo prostor L 2 − prostor slučajnih promenljivih sa konačnim drugim momentom.
Slučajne promenljive sa normalnom raspodelom pripadaju prostoru L 2 jer imaju konačnu
disperziju. Na osnovu prethodne teoreme se svaki konačan podprostor L{X 1 ,X 2 ,...,X n }
generisan slučaj-nim promenljivama sa normalnom raspodelom sastoji isključivo od slučajnih
promenljivih sa normalnom raspodelom. Naredna teorema proširuje ovaj rezultat i na zatvorene
beskonačno-dimenzionalne podprostore L{X 1 ,X 2 ,...} generisane slučajnim promenljivama sa
normalnom raspodelom.
Teorema 37 Neka je X 1 ,X 2 ,... niz slučajnih promenljivih sa normalnom raspodelom koji
konvergira u verovatnoći ka slučajnoj promenljivoj X. Tada i slučajna promenljiva X ima
normalnu raspodelu.
45

Dokaz. Neka je m n = E(X n )iσ 2 n = D(X n ).
Kako niz {X n } konvergira u verovatnoći ka X, to postoji podniz {X nk } koji konvergira skoro
sigurno ka X. Primenom teoreme o dominantnoj konvergnciji na niz { e itXn k
}
dobijamo
lim
k→∞ eitmn k − 1 2 σ2 n t 2 k = lim E(e itXn k )=E(e itX ). (6.13)
k→∞
Teorema o dominantnoj konvergenciji se može primeniti jer je ∣ ∣e itXn k ∣ ≤ 1 ∈ L 2 .
Kako postoji granična vrednost leve strane u relaciji (6.13), to postoje brojevi m i σ takvi
da je m = lim m nk i σ 2 = lim σn 2 k→∞ k→∞ k
. Sada je
E(e itX )=e itm− 1 2 σ2 t 2
odakle sledi da X : N (m, σ 2 ).
Kako je za slučajne promenljive sa normalnom raspodelom konvergencija u verovatnoći ekvivalentna
konvergenciji u srednjekvadratnom, možemo zaključiti da zatvorena linearna mogostrukost
L{X 1 ,X 2 ,...} sadrži samo slučajne promenljive sa normalnom raspodelom.
6.5 Singularna normalna raspodela
Pod¯imo od jednog primera koji pokazuje da ako su X i Y slučajne promenljive sa normalnom
rspodelom, tada slučajan vektor sa komponentama (X, Y ) ne mora imati dvodimenzionalnu
normalnu raspodelu. Čak šta više,nemorabitinislučajan vektor apsolutno neprekidnog tipa.
Primer 6 Neka je data slučajna promenljiva X : N (0, 1) nad prostorom verovatnoće (Ω, F,P).
Tada slučajna promenljiva dobijena linearnom transformacijom
Y = −2X +1
ima prema propoziciji 3 normalnu raspodelu Y : N (1, 4). Kako važi 2X + Y =1, tj.
P {ω ∈ Ω:2X(ω)+Y (ω) =1} = 1 (6.14)
sledi da slučajan vektor (X, Y ) sa verovatnoćom jedan uzima vrednosti sa prave
L = {(x, y) ∈ R 2 :2x + y =1}.
Prava L je Borelov skup u R 2 Lebegove mere nula, tj.
λ(L) =0.
S druge strane je prema relaciji (6.14) P XY (L) =P ((X, Y ) −1 (L)) = 1, odnosno
P XY (R 2 \L) =0,
gdejesaP XY označena verovatnosna mera raspodele slučajnog vektora (X, Y ) na merljivom
prostoru (R 2 , B(R 2 )).
Dakle, mere P XY i Lebegova mera su uzajamno singularne, što znači da je slučajan vektor
(X, Y ) singularnog tipa.
46

Razlog zašto slučajan vektor (X, Y ) nije imao normalnu raspodelu je u tome što komponente
X i Y nisu bile LINEARNO NEZAVISNE! Dakle, pored pojma ”verovatnosne” nezavisnosti
slučajnih promenljivih uvodimo i pojam linearne nezavisnosti, pomoću koje ćemo definisati
slučajne vektore sa n-dimenzionalnom singularnom normalnom raspodelom. Definiciju singularne
normalne raspodele ćemouvestitakodaovuvrsturaspodeleimajuslučajni vektori koji -
analogno relaciji (6.14) - sa verovatnoćom jedan uzimaju vrednosti sa neke hiperravni generisane
slučajnim vektorom sa ”regularnom” normalnom raspodelom.
Definicija 37 Slučajne promenljive X 1 ,X 2 ,...,X n date nad prostorom verovatnoće (Ω, F,P)
su linearno nezavisne, ako za proizvoljne realne brojeve a 1 ,a 2 ,...,a n važi implikacija:
n∑
a i X i (ω) =0 s.s.(P ) ⇒ a i =0 za sve i =1, 2,...,n.
i=1
Pretpostavimo nadalje da radimo samo sa slučajnim promenljivama za koje je matematičko
očekivanje jednako nuli, što ne predstavlja nikakvo ograničenje jer se svaka slučajna promenljiva
može centralizovati.
Neka je Y =(Y 1 ,Y 2 ,...,Y n ) proizvoljan slučajan vektor. Tada je zbog pretpostavke
E(Y i )=0 zasvei =1, 2,...,n zadovoljeno cov(Y i ,Y j )=E(Y i Y j ), i,j =1, 2,...,n. Dakle
matrica B data sa
B = E(YY T )
je kovarijaiona matrica slučajnog vektora Y, gde operator očekivanja E deluje član po član na
matricu YY T .
Specijalno, ako sve komponente Y i imaju konačan moment drugog reda (štozanormalnu
raspodelu važi), tada je B Gramova matrica vektora Y u Hilbertovom prostoru L 2 . Prema
teoremi iz linearne algebre je tada det B ≠0akkosuY 1 ,Y 2 ,...,Y n linearno nezavisni.
Slučaj 1.
Neka je det B ≠0. Tada prema prethodno rečenom Y 1 ,Y 2 ,...,Y n moraju biti linearno nezavisni.
Takod¯e znamo da postoji ortogonalna matrica O takva da je O T BO = D = diag{λ 1 ,...,λ n } i
λ i > 0zasvei =1, 2,...,n. Označimo sa C = √ D. Tada se smenom
Z =(C −1 O T )Y
dobija da važi E(ZZ T )=E. Dakle, komponente vektora Z =(Z 1 ,Z 2 ,...,Z n ) su nekorelirane,
što u slučaju normalne raspodele povlači i njihovu nezavisnost u verovatnosnom smislu. Važi
Y = MZ, gde je M = CO, ivaži
L{Y 1 ,Y 2 ,...,Y n } = L{Z 1 ,Z 2 ,...,Z n }.
Primetimo da pretpostavka E(Y i )=0zasvei =1, 2,...,n, ne utiče na linearnu nezavisnost,
jer ako su Y 1 ,Y 2 ,...,Y n linearno nezavisni vektori u prostoru L 2 , tada su i translirani vektori
X 1 ,X 2 ,...,X n gde je X i = Y i +m i takod¯e linearno nezavisni. U tom slučaju važi X = MZ+m
i
L{X 1 ,X 2 ,...,X n } = m + L{Z 1 ,Z 2 ,...,Z n }.
Slučaj 2.
Neka je rangB = r

postoji tačno n − r linearno nezavisnih vektora c (1) ,c (2) ,...,c (n−r) ∈ R n takvih da je
Q(c (i) )=0 zasve i =1, 2,...,n− r.
Tada je zbog pretpostavke E(Y i )=0,
n∑
n∑
n∑ n∑
D( a k Y k )=E( a k Y k ) 2 = a i a j E(Y i Y j )=
što dalje daje
k=1
k=1
i=1 j=1
n∑ n∑
a i a j cov(Y i ,Y j )=Q(a)
i=1 j=1
Odavde sledi
n∑
k=1
D(
n∑
k=1
c (i)
k Y k)=0 zasve i =1, 2,...,n− r.
c (i)
k Y k(ω) = 0 za skoro sve ω ∈ Ω i sve i =1, 2,...,n− r.
Znači, postoji tačno n − r linearnih veza izmed¯u vektora Y 1 ,Y 2 ,...,Y n . Pretpostavimo da su
baš prvihr vektora linearno nezavisna, pa je tada
L{Y 1 ,Y 2 ,...,Y n } = L{Y 1 ,Y 2 ,...,Y r }.
Isti rezultat se dobija i za slučajne promenljive X i (i =1, 2,...,n)sanenulamatematičkim
očekivanjem: ako je njihova kovarijaciona matrica ranga r, tada je L{X 1 ,X 2 ,...,X n } =
L{X 1 ,X 2 ,...,X r }.
Naredna teorema daje uslove pod kojima važi obrat teoreme 32.
Teorema 38 Neka je X =(X 1 ,X 2 ,...,X n ) proizvoljan slučajan vektor sa linearno nezavisnim
komponentama. Neka je E(X i )=m i , i =1, 2,...,n. Ako postoje nezavisne slučajne
promenljive Z i : N (0, 1) imatricaM dimenzije n × n, takvi da važi
X = MZ + m,
tada slučajan vektor X ima n-dimenzionalnu normalnu raspodelu sa parametrima X : N (m, MM T ).
Dokaz. Karakteristična funkcija slučajnog vektora X je data sa
f X (t 1 ,t 2 ,...,t n )=E(e i〈t|X〉 )=E(e i〈t|MZ+m〉 )=e i〈t|m〉 E(e i〈M T t|Z〉 )=e i〈t|m〉 f Z (M T t).
Kako slučajan vektor Z =(Z 1 ,Z 2 ,...,Z n ) ima n-dim. normalnu raspodelu Z : N (0,E), znamo
oblik njene karakteristične funcije, pa dobijamo
f X (t 1 ,t 2 ,...,t n )=e i〈t|m〉 e − 1 2 (M T t) T (M T t) = e i〈t|m〉 e − 1 2 tT (MM T )t ,
što je upravo oblik karakteristične funkcije za normalnu n-dimenzionalnu raspodelu sa parametrima
m i MM T .
Matrica MM T je kovarijaciona matrica slučajnog vektora X, pa linearna nezavisnost komponenti
X 1 ,X 2 ,...,X n obezbed¯uje njenu regularnost. Takod¯e je iz linearne algebre poznato da
je svaka matrica oblika MM T simetrična i pozitivno semidefinitna.
Definicija singularne normalne raspodele na prirodan način proširuje pojam regularne
normalne raspodele, koja ima specijalnu karakterizaciju datu prethodnom teoremom i teoremom
32.
48

Definicija 38 Slučajan vektor Y =(Y 1 ,Y 2 ,...,Y n ) ima normalnu n-dimenzionalnu raspodelu,
ako postoji slučajan vektor X =(X 1 ,X 2 ,...,X k ) sa regularnom k-dimenzionalnom normalnom
raspodelom takav da je
Y = AX + m (6.15)
za neku matricu A dimenzije n × k i neki vektor m ∈ R n .
Ako je k

Deo III
Uslovno matematičko očekivanje
50

”Generalni koncept uslovnog matematičkog očekivanja je jedan od fundamentalnih, najmanje
intuitivnih i najkomplikovanijih ideja u teoriji verovatnoće.”[5, M.M. Rao]
U ovom delu seminarskog rada biće data neka vrsta intuitivne motivacije za definiciju
uslovnog očekivanja u odnosu na σ-algebru koja je diskretno generisana, a zatim i opšti koncept
uslovnog očekivanja kao Radon-Nikodimovog izvoda. Treba istaći da uslovno očekivanje
slučajne promenljive za razliku od ”običnog” matematičkog očekivanja nije brojčana vrednost,
nego jedna nova slučajna promenljiva.
Pored pojma uslovnog matematičkog očekivanja razmatra se i pojam uslovne verovatnoće,
koja je takod¯e slučajna promenljiva. Dati su neki rezultati vezani za regularnost uslovne
verovatnoće tj. za slučaj kada se ona za fiksiran argument može uzeti za klasičnu verovatnosnu
meru.
Ključnu ulogu u koncipiranju uslovnog matematičkog očekivanja igra teorema Radon-Nikodimova,
jedna od fundamentalnih teorema iz teorije mere. Ovde se ona navodi bez dokaza, koji
nimalo nije naivan, a zainteresovani čitalac se upućuje na ([3]).
6.6 Teorema Radon-Nikodima
Neka je (Ω, F,P) prostor verovatnoće i neka je f :Ω→ R merljivo preslikavanje. Tada je
skupovna funkcija Q : F→R data sa
∫
Q(E) = fdP, E ∈F
E
σ-aditivna skupovna funkcija koja je apsolutno neprekidna u odnosu na meru P,uoznaciQ ≪ P,
tj. za proizvoljno A ∈ F važi implikacija P (A) = 0 ⇒ Q(A) = 0. Specijalno, ako je f
nenegativna funkcija, tada je Q mera.
Obrat ovog tvrd¯enja daje teorema Radon-Nikodimova:
Teorema 39 (Radon - Nikodim)Neka su P mera i Qσ-aditivna skupovna funkcija na
merljivom prostoru (Ω, F,P) takve da je Q apsolutno neprekidna u odnosu na meru P. Tada
postoji merljiva funkcija f :Ω→ R, takva da važi relacija
∫
Q(E) = fdP (6.17)
za svako E ∈F. Pri tome je funkcija f jedinstvena u sledećem smislu: ako postoji merljivo
preslikavanje g sa osobinom
∫ ∫
Q(E) = fdP = gdP
E
za svako E ∈F, tada je f s.s.
= g. Oznaka s.s. se odnosi na meru P.
Specijalno, ako je i Q mera, tada je preslikavanje f koje zadovoljava uslov (6.17) nenegativno.
Funkcija f iz ove teoreme se naziva Radon-Nikodimov izvod mere Q po meri P ioznačava
se sa
f = dQ ili dQ = fdP.
dP
Opravdanje za takav naziv možemo videti u formalnoj sličnosti sa diferencijalnim količnikom.
Naime, važe formule:
E
51
E

1. Ako je Q 1 ≪ P i Q 2 ≪ P ,tada
d(Q 1 + Q 2 )
dP
= dQ 1
dP + dQ 2
dP .
2. Ako je Q ≪ P ≪ S, tada
dQ
dS = dQ dP
∫dP
dS ∫
Q(E) = fdP =
E
E
f dP
dS dS.
Za funkciju f koja je jedinstvena do na skup P-mere nula u gore navedenom smislu kazaćemo
da je esencijalno jedinstvena.
52

Glava 7
Pojam uslovnog matematičkog
očekivanja
Neka je (Ω, F,P) prostor verovatnoće. Pretpostavimo da imamo informaciju o realizaciji nekog
dogad¯aja A ∈F. Postavlja se pitanje kako odrediti verovatnoće ostalih elemenata iz F, koristeći
znanje o dogad¯aju A. Posmatrajmo indukovanu σ-algebru
F(A) ={A ∩ B : B ∈F},
koja je σ-algebra na osnovnom skupu A. Ako bi smo posmatrali restrikciju verovatnosne mere
P na F(A) kao funkciju P A : F(A) → R + datu sa P A (A∩B) =P (A∩B), B∈F, tada bi bilo
P A (Ω ∩ A) =P (A) ≤ 1. Dakle, potrebno je meru P A normalizovati da bi postala verovatnosna
mera. U tu svrhu definišemo uslovnu verovatnoću u odnosu na dogad¯aj A kao preslikavanje
P (· |A) :F→R + dato sa
P (A ∩ B)
P (B | A) = ,
P (A)
ako je P (A) > 0. Time smo sa osnovnog prostora verovatnoće (Ω, F,P)prešli na prostor
(Ω, F,P(· |A)). Ako sada posmatramo restrikciju uslovne verovatnoće na F(A), tada ona jeste
verovatnosna mera čime dobijamo novi prostor verovatnoće (Ω, F(A),P(· |A)).
Za uslovnu verovatnoću P (· |A) ćemo ravnopravno koristiti i oznaku P A .
Definicija 40 Neka je X integrabilna slučajna promenljiva na (Ω, F,P) i neka je dogad¯aj
A ∈Ftakav da je P (A) > 0. Definišemo uslovno matematičko očekivanje slučajne
promenljive X u odnosu na dogad¯aj A kao matematičko očekivanje slučajne promenljive
X nad prostorom verovatnoće (Ω, F,P A ) tj.
∫
E(X | A) = XdP A .
Ω
Lema 5 Važi
E(X | A) = 1 ∫
P (A)
A
XdP. (7.1)
53

∑
Dokaz. Ako je X diskretna slučajna promenljiva oblika X = ∞ x i I Ai tada je
∫
E(X | A) =
Ω
= 1
P (A)
XdP A =
∞∑
i=1
∞∑
x i P A (A i )=
i=1
x i P (A ∩ A i )= 1
P (A)
∫
A
∞∑
i=1
i=1
x i
P (A ∩ A i )
P (A)
XdP.
Ako je X nenegativna slučajna promenljiva, tada postoji niz diskretnih slučajnih promenljivih
{X n } takav da X n ↗ X. Tada primenjujući teoremu o monotonoj konvergenciji dobijamo
∫ ∫
∫
XdP A = lim X ndP A = lim X n dP A
n→∞ n→∞
Ω
Ω
1
= lim
n→∞ P (A)
∫
A
Ω
X n dP = 1
P (A)
∫
A
lim X ndP = 1 ∫
n→∞ P (A)
A
XdP.
Ako je X proizvoljna slučajna promenljiva, tada koristeći razlaganje X = X + − X − i
linearnost integrala dobijamo da važi relacija (7.1).
Formula (7.1) je ekvivalentna sa
E(X | A) = 1 ∫
XI A dP = 1
P (A)
P (A) E(XI A).
Ω
Iz dokaza prethodne leme se vidi da se ova jednakost u slučaju kada je X diskretnog tipa svodi
na
∞∑
E(X | A) = x i P (A i | A).
i=1
E(X | Ā) = 1 ∫
P (Ā)
Ako je i P (Ā) > 0, tada je
Utomslučaju je preslikavanje f X :Ω→ R dato sa
Ā
XdP.
f X (ω) =E(X | A)I A (ω)+E(X | Ā)IĀ (ω) =
slučajna promenljiva diskretnog tipa (prima samo dve vrednosti).
Analogno ovom postupku posmatrajmo particiju skupa Ω = ∞ ⋃
{ E(X | A), ω ∈ A
E(X | Ā), ω ∈ Ā ,
i=1
A i , gde su A i ∈F,
P (A i ) > 0zai =1, 2,... i A i ∩ A j = ∅ za i ≠ j. Tada je slučajna promenljiva definisana sa
f X (ω) =
∞∑
I Ai (ω)E(X | A i )
i=1
diskretna slučajna promenljiva na Ω koja je merljiva u odnosu na σ-algebru generisanu datom
particijom B = σ[{A n } n∈N ]. Naime, ako je C proizvoljan Borelov skup sa realne prave, tada je
f −1
X (C) =⋃ A i gde se unija uzima po onim indeksima i za koje važi E(X | A i ) ∈ C.
i
54

Ako je data particija skupa Ω = A 1 ∪ A 2 ∪··· takva da je P (A n ) = 0 za neke dogad¯aje
s.s.
A n ,tadajeE(X | A n ) nedefinisano, ali važi da je I An = 0, pa za takve indekse n proglasimo
proizvoljan broj α ∈ R za E(X | A n )idefinišemo funkciju
˜f X (ω) =
∞∑
I Ai (ω)E(X | A i ).
i=1
Ovako definisana slučajna promenljiva nije jednoznačno odred¯ena, ali jeste jedinstvena do na
skup P-mere nula. Klasu ekvivalencije funkcije ˜f X u odnosu na relaciju jednakosti funkcija skoro
svuda označavaćemo sa E(X |B)izvaćemo je uslovno matematičko očekivanje u odnosu na
σ-algebru B koja je generisana prebrojivom particijom {A n } n∈N . Preciznije, dajemo definiciju:
Definicija 41 Neka je X integrabilna slučajna promenljiva na verovatnosnom prostoru (Ω, F,P)
i neka je prebrojiva familija {A n } n∈N ⊂Fparticija za Ω. Uslovno matematičko očekivanje
slučajne promenljive X u odnosu na σ-algebru B = σ[{A n } n∈N ] je diskretna slučajna
promenljiva definisana do na skup P -mere nula data sa
⎛
⎞
∞∑
E(X |B)(ω) = I Ai (ω) ⎝ 1 ∫
XdP⎠ . (7.2)
P (A i )
i=1
Pomoću uslovnog matematičkog očekivanja može se definisati uslovna verovatnoća u odnosu
na σ-algebru dogad¯aja:
A i
Definicija 42 Uslovna verovatnoća dogad¯aja B ∈F u odnosu na σ-algebru
B = σ[{A n } n∈N ] je uslovno matematičko očekivanje od indikatora dogad¯aja B tj.
Za X = I B ,B∈F relacija (7.2) postaje
pa imamo da je
E(I B |B)(ω) =
∞∑
i=1
P (B |B)=E(I B |B).
( )
1
I Ai (ω)
P (A i ) P (A i ∩ B) =
P (B |B)(ω) =
∞∑
I Ai (ω)P (B | A i ),
i=1
∞∑
I Ai (ω)P (B | A i ).
i=1
Dakle i uslovno matematičko očekivanje i uslovna verovatnoća su slučajne promenljive merljive
u odnosu na σ-algebru B.
Označimo sa P B restrikciju mere P na σ-algebru B.
Propozicija 5 Neka je X slučajna promenljiva na prostoru (Ω, F,P) .Za proizvoljan skup
B ∈Bvaži sledeća relacija ∫
∫
E(X |B)dP B = XdP. (7.3)
B
B
55

Dokaz. Proizvoljan skup B iz σ-algebre generisane disjunktnim skupovima A i može se
napisati kao unija nekih od ovih skupova tj. B = ⋃ A j gde je J ⊂ N konačan ili prebrojiv
j∈J
skup indeksa. Tada je razbijanje Ω = ¯B ∪ ⋃ A j nova particija skupa ishoda koja generiše istu
j∈J
σ-algebru B. Prema relaciji (7.2) je
⎛ ⎛
∫
∫
⎜
∑
⎜
E(X |B)dP B = ⎝ ⎝ 1 ∫
P (A j )
B
B
j∈J
A j
⎞
⎟
XdP⎠ I Aj +
⎛
⎝ 1
P ( ¯B)
∫
¯B
⎞
⎞
XdP⎠ ⎟
I ¯B ⎠ dP B
Integral od drugog sabirka je nula zbog B ∩ ¯B = ∅. Integraleći prvi sabirak kao diskretnu
slučajnu promenljivu dobijamo
⎛
⎞
∫
E(X |B)dP B = ∑ ⎜
⎝ 1 ∫
⎟
XdP⎠ P B (A j ∩ B).
P (A j )
B
j∈J
A j
Kako je B = ⋃ A j , sledi da je P B (A j ∩ B) =P B (A j )=P (A j ) pa posle skraćivanja dobijamo
j∈J
⎛ ⎞
∫
E(X |B)dP B = ∑ ∫
∫ ∫
⎜ ⎟
⎝ XdP⎠ = XdP = XdP.
B
j∈J
⋃
A j
A
B
j
Primetimo da slučajna promenljiva X ne mora biti B-merljiva, dok E(X |B)touvekjeste.
Uslučaju kada σ-algebra B nije prebrojivo generisana, uslovno matematičko očekivanje se
definiše upravo relacijom iz prethodne propozicije.
Posmatrajmo skupovnu funkciju ν : B→R datu sa
∫
ν(B) = XdP, B ∈B. (7.4)
B
Ona je σ-aditivna skupovna funkcija apsolutno neprekidna u odnosu na meru P B = P ↾ B .
Prema teoremi Radon-Nikodimova sledi da postoji esencijalno jedinstvena (jedinstvena do na
skup P B -mere nula) B-merljiva funkcija f X takva da važi
∫
ν(B) = f X dP B , to jest,
j∈J
∫
∫
XdP =
B
f X dP B ,
za svako B ∈B.
B
B
Funkciju f X označavamo sa E(X |B) i nazivamo uslovnim matematičkim očekivanjem u odnosu
na σ-algebru B.
Definicija 43 Neka je (Ω, F,P) verovatnosni prostor, B⊂F proizvoljna σ-podalgebra i
X :Ω→ R integrabilna slučajna promenljiva. Esencijalno jedinstvenu B-merljivu funkciju
E(X |B):Ω→ R koja zadovoljava jednakost
∫
∫
E(X |B)dP B = XdP (7.5)
B
B
56

za svako B ∈B, nazivamo uslovno matematičko očekivanje slučajne promenljive X
u odnosu na σ-algebru B.
Neka je za A ∈ F
P (A |B)=E(I A |B).
Tada se P (· |B) naziva uslovna verovatnoća na σ-algebri F uodnosunaσ-algebru
B.
Učetvrtom poglavlju biće pokazano da se definicija uslovnog matematičkog očekivanja data
preko Radon-Nikodimove teoreme u slučaju kada je σ-algebra B prebrojivo generisana, poklapa
sa konstrukcijom uslovnog očekivanja po definiciji 41.
Uslovna verovatnoća data u prethodnoj definiciji je slučajna promenljiva nad Ω koja je
B-merljiva. Ona je definisana za svako A ∈Fdo na neki skup mere nula, koji zavisi od A.
Zato funkcija P (· |B)(ω) zafiksiranoω ∈ Ωuopštem slučaju ne može biti korišćena kao mera
na F. U trećem poglavlju biće diskutovani uslovi regularnosti uslovne verovatnoće kada se ona
može uzeti za verovatnosnu meru na F.
Propozicija 6 Neka je B ∈F proizvoljan dogad¯aj. Slučajna promenljiva P (B |B) je uslovna
verovatnoća ako i samo ako je B-merljiva i za svako A ∈F važi
∫
P (A ∩ B) = P (B |B)dP B . (7.6)
Dokaz. Neka je P (B |B) uslovna verovatnoća. Tada je ona B-merljiva i
∫
∫
∫
P (B |B)dP B = E(I B |B)dP B = I B dP = P (A ∩ B).
A
A
A
A
Obratno, ako važi relacija (7.6) tada je
∫
∫
P (B |B)dP B = P (A ∩ B) =
I B dP.
A
A
Kako je P (B |B) B-merljiva, to iz jedinstvenosti Radon-Nikodimovog izvoda sledi P (B |B)=
E(I B |B).
57

Glava 8
Osobine uslovnog matematičkog
očekivanja
Propozicija 7 Uslovno matematičko očekivanje ima sledeće osobine:
1. E(E(X |B)) = E(X).
2. Ako je X merljiva u odnosu na B, tada E(X |B) s.s.
= X.
3. Ako je X ≥ 0, tada je i E(X |B) ≥ 0 s.s..
4. Ako je X s.s.
= c gde je c proizvoljna konstanta, tada je E(X |B) s.s.
= c.
5. Ako je B = {∅, Ω} trivijalna σ-algebra, tada E(X |B) s.s.
= E(X).
Dokaz.
1. Kako relacija (7.5) važi za svako B ∈B, to za B = Ω dobijamo traženu jednakost. Dakle,
slučajna promenljiva X i njeno uslovno matematičko očekivanje kao slučajna promenljiva
imaju isto ”obično” matematičko očekivanje.
2. Tvrd¯enje sledi iz jedinstvenosti Radon-Nikodimovog izvoda.
3. Ako je X nenegativna slučajna promenljiva, tada je skupovna funkcija ν definisana sa (7.4)
mera, pa je i Radon-Nikodimov izvod nenegativna slučajna promenljiva tj. E(X |B) ≥ 0
s.s.
4. Kako je za proizvoljan Borelov skup A ∈B(R) inverzna slika
{ ∅, c /∈ A
X −1 (A) =
Ω, c ∈ A
sledi da je konstantna slučajna promenljiva merljiva u odnosu na svaku σ-algebru, pa i
na σ-algebru B. Sada na osnovu 2. dobijamo E(X |B) s.s.
= X s.s.
= c.
5. E(X) je kao konstantna slučajna promenljiva merljiva u odnosu na B, azadovoljavai
relaciju (7.5) za svaki skup B ∈{∅, Ω} jer je E(E(X)) = E(X). Na osnovu esencijalne
jedinstvenosti Radon-Nikodimovog izvoda sledi da je E(X) s.s.
= E(X |B).
58

Propozicija 8
1. Ako su X 1 i X 2 integrabilne i a 1 ,a 2 proizvoljne konstante, tada važi
E(a 1 X 1 + a 2 X 2 |B) s.s.
= a 1 E(X 1 |B)+a 2 E(X 2 |B). (8.1)
tj. operator E(· |B):L 1 → L 1 je linearan operator nad prostorom integrabilnih slučajnih
promenljivih.
2. Ako je X 1 ≤ X 2 , tada je E(X 1 |B) s.s.
≤ E(X 2 |B).
Dokaz.
1.
∫
Koristeći linearnost integrala i relaciju (7.5) dobijamo da je za proizvoljan skup B ∈B
E(a 1 X 1 + a 2 X 2 |B)dP B = ∫ ∫
∫
(a 1 X 1 + a 2 X 2 )dP = a 1 X 1 dP + a 2 X 2 dP
B ∫
∫ B
B
B
= a 1 E(X 1 |B)dP B + a 2 E(X 2 |B)dP B = ∫ (a 1 E(X 1 |B)+a 2 E(X 2 |B))dP B .
B
B B
Kako je skup B izabran proizvoljno, sledi da važi (8.1).
Ako je X ∈ L 1 tj. E(X) < ∞, tada koristeći prvu osobinu iz prethodne propozicije
dobijamo da je i E(E(X |B)) < ∞ odnosno da E(X |B) ∈ L 1 . Dakle operator uslovnog
očekivanja slika prostor L 1 u samog sebe.
2. X 2 −X 1 je po pretpostavci nenegativna slučajna promenljiva, odakle prema trećoj osobini
iz prethodne propozicije sledi E(X 2 −X 1 |B) s.s.
≥ 0. Koristeći malopre dokazanu linearnost
dobijamo E(X 2 |B) − E(X 1 |B) s.s.
≥ 0.
Propozicija 9
1. |E(X |B)| ≤E(|X| |B).
2. ||E(X |B)|| L 1 ≤||X|| L 1 tj. operator E(· |B):L 1 → L 1 je neekspanzivan.
Dokaz.
1. Iz −|X| ≤X ≤|X| na osnovu monotonosti sledi −E(|X| |B) ≤ E(X |B) ≤ E(|X| |
B), odakle se direktno dobija |E(X |B)| ≤E(|X| |B).
2. Kao posledica od 1. sledi
||E(X |B)|| L 1 = ∫ |E(X |B)| dP B ≤ ∫ E(|X| |B)dP B = ∫ |X| dP = ||X|| L 1 .
Ω
Ω
Ω
Teorema 40 (o monotonoj konvergenciji)
Neka je {X n }⊂L 1 niz integrabilnih slučajnih promenljivih takvih da X n ↗ X s.s. Neka postoji
slučajna promenljiva Y ∈ L 1 takva da je Y ≤ X n za sve n ∈ N. Tada za proizvoljnu σ-podalgebru
B⊂F važi
E(X n |B) ↗ E(X |B) s.s.
Dokaz. Pokažimo prvo da E(X |B) postoji tako što ćemo pokazati da postoji E(X). Za
to je dovoljno pokazati da je E(X + ) < ∞ ili E(X − ) < ∞. KakojeY ≤ X i Y ∈ L 1 , to sledi
da je −∞

konvergeniji na niz {E(X n |B)} n∈N dobijamo da je za proizvoljan skup A ∈Bispunjeno
∫
∫
∫ ∫ ∫
lim E(X n |B)dP B = lim E(X n |B)dP B = lim X n dP = XdP = E(X |B)dP B .
n→∞ n→∞ n→∞
A
A
Podintegralne funkcije sa početka i kraja ove relacije su B-merljive, a skup A ∈Bje proizvoljan,
odakle sledi da mora biti lim E(X n |B) s.s.
= E(X |B).
n→∞
Primetimo da klasična teorema o monotonoj konvergenciji iz konvergencije slučajnih promenljivih
daje konvergenciju niza realnih brojeva, dok teorema o monotonoj konvergenciji za uslovno
očekivanje daje kao rezultat konvergenciju niza slučajnih promenljivih {E(X n |B)} n∈N .
Teorema 41 ( o dominantnoj konvergenciji)
s.s.
Neka je dat niz slučajnih promenljivih {X n } koji konvergira X n → X. Neka postoji Y ∈ L 1
tako da je za svako n ∈ N |X n |≤Y s.s. Tada važi
A
E(|X n − X| |B) s.s.
→ 0.
Dokaz. Iz uslova |X n |≤Y ∈ L 1 dobijamo da je X n ,X∈ L 1 odakle sledi da su i E(X n |B),
E(X |B) ∈ L 1 . Neka je
Z n =sup|X k − X| .
k≥n
s.s.
Kako X n → X, to sledi da Z n ↘ 0s.s.Takod¯e važi da je Z n ≤ 2Y ∈ L 1 pa primenom klasične
teoreme o dominantnoj konvergencicji na niz {Z n } dobijamo
∫
lim Z n dP =0.
n→∞
Ω
Kako je 0 ≤ E(Z n+1 |B) ≤ E(Z n |B) s.s., to sledi da postoji s.s. lim E(Z n |B). Važi
n→∞
∫
∫
∫
0 ≤ lim E(Z n |B)dP B ≤ E(Z n |B)dP B = Z n dP → 0.
n→∞
Odavde sledi da je ∫ Ω
Ω
lim E(Z n |B)dP B =0što povlači
n→∞
lim E(Z n |B) s.s.
=0.
n→∞
Kako je 0 ≤ E(|X n − X| |B) ≤ E(Z n |B) sledi da je i
Kao posledica dobija se da važi
Ω
lim E(|X n − X| |B) s.s.
=0.
n→∞
E(X n |B) s.s.
→ E(X |B).
Teorema 42 (lema Fatua)
Neka je {X n }⊂L 1 niz slučajnih promenljivih i neka su Y,Z ∈ L 1 . Tada važi
1. Ako je Y ≤ X n s.s., onda
E(lim inf
n
X n |B)) ≤ lim inf
n E(X n |B) s.s.
60
Ω
A
A

2. Ako je X n ≤ Z s.s., onda
E(lim sup
n
X n |B)) ≥ lim sup E(X n |B)
n
s.s.
Dokaz. Dokazaćemo prvu verziju leme za liminf, azalimsup se dokaz izvodi analogno.
Neka je
Z n =inf X k.
k≥n
Tada Z n ↗ sup(inf
X k) = lim inf X n. Važi i da je Y ≤ Z n . Prema teoremi o monotonoj
n k≥n n
konvergenciji je
E(Z n |B) ↗ E(lim inf X n |B) s.s. (8.2)
n
Važi da je E(Z n |B) ≤ E(X k |B)zasvek ≥ n, odakle sledi E(Z n |B) ≤ inf E(X k |B) ≤
k≥n
sup(inf
E(X k |B)) = lim inf E(X n |B)) s.s.. Kada na levoj strani pustimo limes, dobijamo
n k≥n n
lim E(Z n |B) ≤ lim inf E(X n |B)) s.s. (8.3)
n→∞ n
Dakle,
E(lim inf X n |B) (8.2)
= lim E(Z n |B) (8.3)
≤ lim inf E(X n |B).
Teorema 43 Neka su X n nenegativne slučajne promenljive za sve n ∈ N. Tada
∞∑
∞∑
E( X k |B)= E(X k |B) s.s.
k=1
k=1
Dokaz. Za konačan zbir slučajnih promenljivih operator uslovnog očekivanja jeste linearan
∑
prema prethodnoj propoziciji. Dakle, za svako n ∈ N je E( n ∑
X k |B)= n E(X k |B) s.s.
Kako je svako X n ≥ 0, primenom teoreme o monotonoj konvergenciji dobijamo
∞∑
n∑
n∑
E( X k |B)=E( lim X k |B) = lim E( X k |B)
n→∞
n→∞
k=1
= lim
n→∞
k=1
n∑
E(X k |B)=
k=1
k=1
k=1
∞∑
E(X k |B)
k=1
s.s.
k=1
Teorema 44 Neka su X, Y slučajne promenljive na (Ω, F,P) takve da su X i XY integrabilne.
Ako je Y merljiva u odnosu na σ-algebru B, tada je
E(XY |B)=YE(X |B)
s.s.
Dokaz. Pokazaćemo da je za svaki skup A ∈B
∫ ∫
XY dP = YE(X |B)dP B . (8.4)
A
A
odakle će zbog jedinstvenosti Radon-Nikodimovog izvoda sledeti tvrd¯enje teoreme.
61

1. Neka je Y = I B za neko B ∈B. Tada je
∫
∫ ∫
XI B dP = XdP =
∫
E(X |B)dP B =
I B E(X |B)dP B .
A
A∩B
A∩B
A
∑
2. Neka je Y nenegativna diskretna slučajna promenljiva oblika Y = ∞ a i I Ai , gde su
A i ∈B, a i ∈ R. Tada relacija (8.4) važi za sve indikatore I Ai pa na osnovu linearnosti
integrala dobijamo
∫ ∞∑
∞∑
∫
∞∑
∫
X a i I Ai dP = a i XI Ai dP = a i I Ai E(X |B)dP B
A
i=1
i=1
∫
=
A
A
i=1
∞∑
∫
a i I Ai E(X |B)dP B =
i=1
A
A
i=1
YE(X |B)dP B .
3. Neka je Y proizvoljna nenegativna slučajna promenljiva. Tada postoji niz B-merljivih
nenegativnih diskretnih slučajnih promenljivih {Y n } n∈N za koji važi 0 ≤ Y n ↗ Y. Relacija
(8.4) važi za svako Y n . Prema teoremi o monotonoj konvergenciji dobijamo
∫ ∫
∫
XY dP = X lim Y n dP = lim XY n dP
n→∞ n→∞
A
A
∫
= lim
n→∞
A
A
∫
Y n E(X |B)dP B =
A
YE(X |B)dP B .
4. Ako je Y proizvoljna slučajna promenljiva, tada je možemo razložiti na Y = Y + − Y −
gde su Y + iY − nengativne, pa koristeći (8.4) za Y + i Y − i linearnost integrala dobijamo
traženo tvrd¯enje.
Teorema 45 Neka su B 1 ⊂B 2 ⊂F dve σ-podalgebre i X integrabilna slučajna promenljiva.
Tada
E(E(X |B 2 ) |B 1 )=E(E(X |B 1 ) |B 2 )=E(X |B 1 )
tj. operatori E(· |B 1 ) i E(· |B 2 ) komutiraju na L 1 .
Dokaz. Važi da je E(X |B 1 ) merljiva u odnosu na B 1 , pa samim tim i u odnosu na B 2 .
Znamo da je E(1 |B 2 ) = 1 s.s. Na osnovu prethodne teoreme sledi
E(1 · E(X |B 1 ) |B 2 )=E(X |B 1 )E(1 |B 2 )=E(X |B 1 ) s.s.
S druge strane po definiciji uslovnog očekivanja je za proizvoljan skup A ∈B 1 ⊂B 2
∫
∫
∫ ∫
E(E(X |B 2 ) |B 1 )dP B1 = E(X |B 2 )dP B2 = XdP = E(X |B 1 )dP B1 .
A
A
A
A
Odavde sledi da moa biti ∫ A
E(E(X |B 2 ) |B 1 ) s.s.
= E(X |B 1 ).
62

Teorema 46 Neka su X i Y integrabilne slučajne promenljive takve da je i XY integrabilna,
i neka su date σ-podalgebre B 1 ⊂B 2 ⊂F .AkojeY merljiva u odnosu na B 2 , tada je
E(XY |B 1 )=E(YE(X |B 2 ) |B 1 ) s.s.
Dokaz. Na osnovu teoreme 44 je E(XY |B 2 )=YE(X |B 2 ), a na osnovu teoreme 45 je
E(E(XY |B 2 ) |B 1 )=E(XY |B 1 ).
63

Glava 9
Uslovna verovatnoća
U prvom poglavlju bila je definisana uslovna verovatnoća kao
P (A |B)=E(I A |B).
Propozicija 10 Preslikavanje P (· |B):F→L 1 ima sledeće osobine:
1. 0 ≤ P (A |B) ≤ 1 s.s.
2. Ako P (A) =0ili P (A) =1, onda P (A |B)=0ili P (A |B)=1s.s.
3. Ako je {A n }⊂F monoton niz dogad¯aja sa granicom A = lim
n→∞
A n , tada važi
P (A |B) s.s.
= lim
n→∞
P (A n |B).
4. Ako su {A n }⊂F disjunktni dogad¯aji, tada važi
∞⋃
∞∑
P ( A n |B) s.s.
= P (A n |B).
Dokaz.
n=1
1. Kako indikator dogad¯aja I A primasamodvevrednosti: 0i1, na osnovu monotonosti
operatora E sledi da je i 0 ≤ E(I A |B) ≤ 1.
2. Neka je P (A) =0. Tada iz ∫ P (A |B)dP B = P (A ∩ B) ≤ P (A) =0, za proizvoljno
B
B ∈B, sledi da je P (A |B) s.s.
=0.
Pretpostavimo da je P (A) =1. Tada je za proizvoljno B ∈Bzadovoljeno
∫
∫
P (A |B)dP B = P (A ∩ B) =P (B) =P B (B) = 1dP B ,
n=1
B
B
odakle sledi P (A |B) s.s.
=1.
64

3. Koristeći neprekidnost mere P dobijamo
∫
P (A |B)dP B = P (A ∩ B) =P ( lim A n ∩ B) = lim P (A n ∩ B)
n→∞ n→∞
B
∫
= lim
n→∞
B
∫
P (A n |B)dP B =
B
lim P (A n |B)dP B .
n→∞
Poslednja jednakost je dobijena na osnovu teoreme o monotonoj konvergenciji
(niz P (A n |B) je monoton jer je A n monoton niz i operator E je monoton). Kako je skup
B ∈Bproizvoljan, sledi da je P (A |B) s.s.
= lim n→∞ P (A n |B).
4.
∫
Slično kao i pod 3. koristimo σ-aditivnost mere P, na osnovu koje dobijamo
P ( ⋃ A n |B)dP B = P ( ⋃ A n ∩ B) = ∑ P (A n ∩ B) = ∑ ∫
P (A n |B)dP B
B n∈N
n∈N
n∈N
n∈N B
= ∫ ∑
P (A n |B)dP B . Odavde sledi P ( ⋃ A n |B) s.s.
= ∑ P (A n |B).
B n∈N
n∈N
n∈N
Kako P (A |B) nije broj nego slučajna promenljiva, prethodna propozicija tvrdi da P (· |B)
preslikava F u pozitivan deo jedinične lopte u L 1 idajeσ-aditivna za skoro svako fiksirano
ω ∈ Ω. Za fiksirano ω ∈ Ω uslovna verovatnoća P (· |B)(ω) ima sve osobine kao i klasična
verovatnoća u terminologiji ”skoro svuda”. Ovo bi nas moglo dovesti do zakjlučka da ako
izaberemo iz klasa ekvivalencije P (A |B) jednu reprezentativnu funkciju (tzv. ”verziju”), tada
bi P (· |B)(ω) mogla da se tretira kao verovatnosna mera za svako ω ∈ Ω\N gde je P (N) =0.
Med¯utim ovo generalno nije moguće ako F nije prebrojivo generisana. Naime, svaki skup N
nad kojim P (A |B) nije mera zavisi i od skupa A. Ako sa N A označimo skup za koji važi da je
P (A |B)(ω) verovatnosna mera za ω ∈ Ω\N A , tada je skup koji treba isljučiti da bi P (· |B)(ω)
bila verovatnosna mera dat sa
N = ⋃ N A .
A∈F
Iako su svi skupovi N A mere nula, skup N ne mora biti mere nula, jer se unija uzima po svim
skupovima iz σ-algebre F, dakle nije prebrojiva unija.
Uslučajevima kada se uslovna verovatnoća može uzeti za verovatnosnu meru u klasičnom
smislu, nazivaćemo je regularnom uslovnom verovatnoćom. Preciznije, važi sledeća definicija:
Definicija 44 Preslikavanje P (·, ·) :Ω×F →R je regularna uslovna verovatnoća, ako
1. P (ω, ·) :F→R je verovatnosna mera za s.s. ω ∈ Ω.
2. P (·,A):Ω→ R je B-merljiva funkcija takva da je P (·,A) s.s..
= P (A |B) za sve A ∈F.
Drugi uslov iz definicije tvrdi da je P (·,A) jedna od verzija uslovne verovatnoće P (A |B).
Naredna teorema daje izuzetno značajan rezultat, da u slučaju kada je uslovna verovatnoća
regularna, uslovno matematičko očekivanje se može izračunatikaointegralpomeriuslovne
verovatnoće.
Teorema 47 Neka je P (ω, B) regularna uslovna verovatnoća po σ-algebri B i neka je X integrabilna
slučajna promenljiva. Tada važi
∫
E(X |B)(ω) s.s.
= X(˜ω)P (ω, d˜ω). (9.1)
Ω
65

Dokaz.
1. Neka je X = I A za neko A ∈F. Tada formula (9.1) postaje P (A |B) s.s.
= P (ω, A)što jeste
tačno po drugom uslovu definicije regularne mere.
2. Ako je X diskretna slučajna promenljiva, tada prema regularnosti mere sledi
∞∑
∞∑
∞∑
E( x i I Ai |B)(ω) = x i E(I Ai |B)(ω) = x i P (A i |B)(ω)
i=1
=
i=1
∞∑
∫
x i P (ω, A i )=
i=1
Ω
i=1
X(˜ω)P (ω, d˜ω).
3. Ako je X nenegativna slučajna promenljiva, tada postoji niz diskretnih slučajnih promenljivih
za koji važi X n ↗ X s.s. Prema teoremi o monotonoj konvergenciji je E(X |B)(ω) s.s.
=
lim E(X n |B)(ω). Kako je za fiksirano ω ∈ Ω preslikavanje P (ω, ·) mera, to je
n→∞
∫
E(X |B)(ω) = lim E(X n |B)(ω) = lim
n→∞ n→∞
∫
=
Ω
lim X n(˜ω)P (ω, d˜ω) =
n→∞
∫
Ω
Ω
X(˜ω)P (ω, d˜ω).
X n (˜ω)P (ω, d˜ω)
4. Za proizvoljnu slučajnu promenljivu X se relacija (9.1) pokazuje pomoću razlaganja X =
X + − X − .
Napomena 10 Relacija oblika (9.1) važi i u slučaju kada uslovna verovatnoća nije regularna.
Utomslučaju integral treba shvatiti kao Dunford-Schwarzov (D-S) integral po tzv. vektorskoj
meri P (· |B). (D-S) integral ima sličnu konstrukciju kao i Lebegov integral, a vrednost tog
integrala je slučajna promenljiva iz prostora L 1 . Zainteresovani čitalac se dalje upućuje na
([5]).
Postoji kriterijum za proveravanje regularnosti uslovne verovatnoće, koji se ovde navodi bez
dokaza:
Teorema 48 Neka je (Ω, F,P) prostor verovatnoće, B ⊂ F σ-podalgebra i X : Ω → R
slučajna promenljiva. Uslovna verovatnoća P (· |B) je regularna za X tj.P (· |B) ◦ X −1 je
regularna, ako postoji Borelov skup B ∈ X(Ω) takav da je P (X −1 (B)) = 1.
Posledica 49 Ako je X slučajna promenljiva apsolutno neprekidnog tipa, tada je uslovna
verovatnoća regularna. Traženi skup B je oblika B = {x ∈ R : ϕ(x) ≠0} gde je ϕ(x) funkcija
gustine slučajne promenljive X.
66

Glava 10
Uslovno matematičko očekivanje u
odnosu na σ-algebru generisanu
merljivom funkcijom
Neka je (Ω, F,P) prostor verovatnoće i (E,E) merljiv prostor. Neka je preslikavanje h :Ω→ E
merljivo preslikavanje u odnosu na σ-algebru F. Definišimo verovatnosnu meru Q na (E,E) sa
Q = P ◦ h −1
tj. Q(A) =P (h −1 (A)) za proizvoljno A ∈E. Označimo sa B h σ-algebru generisanu merljivim
preslikavanjem h tj.
B h = h −1 (E).
B h je σ-podalgebra od σ-algebre F. Stavimo da je P Bh = P ↾ Bh restrikcija mere P na σ-algebru
B h . Tada je P Bh ◦ h −1 = Q.
Neka je X :Ω→ R slučajna promenljiva (F-merljiva funkcija) koja je P -integrabilna. Tada
je skupovna funkcija µ X : B h → R data sa
∫
µ X (A) = XdP Bh , za A ∈B h
konačna σ-aditivna funkcija. Neka je
A
ν X = µ X ◦ h −1 ,
odnosno
ν X (B) =
∫
XdP Bh
za B ∈E.
h −1 (B)
Tada je funkcija ν X : E → R σ-aditivna na E iizP Bh ◦ h −1 = Q sledi da je ν X apsolutno
∫
g X dQ =
∫
neprekidna u odnosu na Q. Prema teoremi Radon-Nikodima sledi da postoji E-merljiva
Q-jedinstvena integrabilna funkcija g X : E → R takvadajeν X (B) = ∫ g X dQ tj.
B
XdP Bh (10.1)
B
h −1 (B)
za sve B ∈E.
67

Funkcija g X se naziva uslovno očekivanje slučajne promenljive X u odnosu na σ-
algebru B h ioznačava se
g X (e) =E(X |B h )(e) =E(X | h = e), e ∈ E.
Specijalno, ako je E =Ω,hidentičko preslikavanje i E = B⊂F data σ-podalgera, tada je
g X = E(X |B), a relacija (10.1) se svodi na već poznatu definiciju uslovnog očekivanja
∫
∫
E(X |B)dP B = XdP.
B
B
10.1 Uslovno očekivanje u odnosu na diskretno generisanu
σ-algebru
Neka je dat verovatnosni prostor (Ω, F,P)iσ-podalgebra B⊂Fkoja je diskretno generisana,
tj. generisana je prebrojivom particijom Ω = A 1 ∪ A 2 ∪··· , gde su {A n } n∈N ⊂F.
Stavimo da je prostor (E,E) merljiv prostor (N, P(N)). Definišimo preslikavanje h :Ω→ N
sa
h(ω) =n, ako ω ∈ A n
tj. h −1 ({n}) =A n . Tada je σ-algebra indukovana preslikavanjem h upravo σ-algebra B. U
skladu sa prethodnim razmatranjima imamo da je
Q({n}) =P (A n ).
Neka je X :Ω→ R slučajna promenljiva. Tada za merljiv skup B = {n} relacija (10.1)
postaje
∫ ∫
g X dQ = XdP.
Kako je ∫
{n}
{n}
g X dQ = g X (n)Q({n}) =g X (n)P (A n ) dobijamo da je
A n
g X (n) = 1 ∫
P (A n )
A n
XdP.
68

U alternativnoj oznaci to znači g X (n) =E(X | h = n) =E(X |B)(n) =E(X | A n ) odnosno
E(X | A n )= 1 ∫
XdP,
P (A n )
što je upravo relacija preko koje smo definisali uslovno očekivanje u (7.2). Dakle definicija
uslovnog očekivanja u odnosu na diskretno generisanu σ-algebru data u prvom poglavlju je
specijalan slučaj definicije uslovnog očekivanja kao Radon-Nikodimovog izvoda.
10.2 Uslovno matematičko očekivanje u odnosu na σ-
algebru generisanu slučajnom promenljivom
Neka je prostor (E,E) =(R, B(R))inekajepreslikavanjeh slučajna promenljiva Y :Ω→ R.
Tada je shodno prethodnim razmatranjima mera Q = P Y gde je P Y raspodela verovatnoće
slučajne promenljive Y. Označimo sa σ[Y ] σ-algebru generisanu slučajnom promenljivom Y tj.
u prethodnim oznakama to znači B h = σ[Y ]. Tada postoji kao i u (10.1) jedinstvena Borelova
funkcija m : R → R takva da važi
∫
∫
m(y)dP Y = XdP σ[Y ] (10.2)
A n
B
Y −1 (B)
za proizvoljan Borelov skup B ∈B(R).
Označimo:
m(y) =E(X | Y = y),
E(X | σ[Y ]) = E(X | Y ).
S druge strane, na osnovu teoreme (18) Lebegov integral sa leve strane u (10.2) je
∫
∫
m(y)dP Y (y) = (m ◦ Y )dP. (10.3)
B
Y −1 (B)
Iz (10.2) i (10.3) sada dobijamo da je
∫
(m ◦ Y )dP =
∫
XdP σ[Y ] =
∫
E(X | Y )dP,
Y −1 (B)
Y −1 (B)
Y −1 (B)
odnosno
To znači da dijagram na slici komutira.
Definicija 45 Za proizvoljan dogad¯aj A ∈F definišemo
m ◦ Y s.s.
= E(X | Y ). (10.4)
P (A | Y = y) =E(I A | Y = y).
69

R
Prema propoziciji (6) ova definicija je ekvivalentna sa
∫
P (A ∩ Y −1 (B)) = P (A | Y = y)dP Y (10.5)
B
za proizvoljno B ∈B(R).
Neka je (X, Y )slučajan vektor apsolutno neprekidnog tipa sa funkcijom gustine ϕ(x, y).
Neka su ϕ X (x) iϕ Y (y) odgovarajuće marginalne funkcije gustine. Definišimo preslikavanje
ϕ X|Y (x | y) =
{
ϕ(x,y)
, ϕ Y (y)
ϕ Y (y) ≠0
0, ϕ Y (y) =0 .
Pokazaćemo da je ovako definisano preslikavanje funkcija gustine za uslovnu raspodelu tj. da
je ona Radon-Nikodimov izvod uslovne verovatnosne mere P (· |Y = y) po Lebegovoj meri. To
tvrd¯enje sledi iz sledeće teoreme:
Teorema 50 Za proizvoljan Borelov skup C ∈B(R) važi
∫
P (X ∈ C | Y = y) = ϕ X|Y (x | y)dx
C
Dokaz.
Pokazaćemo da ∫ C
ϕ X|Y (x | y)dx zadovoljava uslov (10.5) iz definicije uslovne
verovatnoće. U ovom slučaju je A = X −1 (C). Za proizvoljan Borelov skup B ∈ B(R) je
na( osnovu Fubinijeve ) teoreme
∫ ∫
ϕ X|Y (x | y)dx dP Y = ∫ ( )
∫
ϕ X|Y (x | y)dx ϕ Y (y)dy =
∫
ϕ X|Y (x | y)ϕ Y (y)dxdy
B C
B C
C×B
= ∫
ϕ(x, y)dxdy = P {(X, Y ) ∈ C × B} = P {X ∈ C ∩ Y ∈ B}
C×B
što je i trebalo pokazati.
Dakle funkcija ϕ X|Y (x | y) je Radon-Nikodimov izvod uslovne verovatnoće
P Y = P (· |Y = y) u odnosu na Lebegovu meru tj.
ϕ X|Y (x | y) = dP Y
dx .
Kako se radi o slučajnoj promenljivoj apsolutno neprekidnog tipa, sledi da je uslovna verovatnoća
regularna mera, pa na osnovu teoreme (9.1) i smene u integralu dobijamo posledicu:
70

Posledica 51
∫
E(X | Y = y) =
Ω
∫
XdP Y =
R
xϕ X|Y (x | y)dx.
10.3 Teorija ocenjivanja
Neka su date slučajne promenljive X i Y na prostoru verovarnoće (Ω, F,P). Postavlja se pitanje
kako na osnovu vrednosti funkcije X oceniti vrednosti Y
Definicija 46 Neka je h(x) Borelova funkcija. Slučajnu promenljivu
nazivamo ocena od Y po X. Veličinu
h ◦ X = h(X)
E(Y − h(X)) 2
nazivamo srednjekvadratna greška ocene h(X).
Ocena h ∗ (X) je optimalna ocena (u srednjekvadratnom smislu), ako je
E(Y − h ∗ (X)) 2 =inf
h
gde se inf uzima po svim Borelovim funkcijama.
E(Y − h(X))2
Teorema 52 Neka je E(Y 2 ) < ∞. Tada optimalna ocena h ∗ (X) postoji i možemo uzeti
h ∗ (x) =E(Y | X = x).
Dokaz. Ako stavimo da je h ∗ (x) =E(Y | X = x), tada na osnovu prethodnog poglavlja
znamo da je
h ∗ (X) =E(Y | X).
Za proizvoljnu Borelovu funkciju h važi
E(Y − h(X)) 2 = E(Y ± h ∗ (X) − h(X)) 2
= E(Y − h ∗ (X)) 2 + E(h ∗ (X) − h(X)) 2 +2E((Y − h ∗ (X))(h ∗ (X) − h(X))).
Drugi sabirak je nenegativan, a treći je identički jednak nuli što sledi iz osobina uslovnog
očekivanja. Naime na osnovu osobine E(Z) =E(E(Z |B)) dobijamo
E((Y − h ∗ (X))(h ∗ (X) − h(X))) = E (E((Y − h ∗ (X))(h ∗ (X) − h(X)))) | X).
Kako je h ∗ (X)−h(X) merljiva u odnosu na σ[X], to na osnovu teoreme (44) sledi dalja jednakost
E (E((Y − h ∗ (X))(h ∗ (X) − h(X)))) | X) =E((h ∗ (X) − h(X))E(Y − h ∗ (X) | X)) = 0.
Poslednja jednakost važi jer je
E(Y − h ∗ (X) | X) =E(Y − E(Y | X) | X) =E(Y | X) − E(E(Y | X) | X) =0.
Dakle važi E(Y − h(X)) 2 ≥ E(Y − h ∗ (X)) 2 .
Drugim rečima, ovo znači da je u Hilbertovom prostoru L 2 uslovno očekivanje E(Y | X)
ortogonalna projekcija vektora Y ∈ L 2 na linearnu mnogostrukost (pravu) generisanu vektorom
X ∈ L 2 .
71

Literatura
[1] Hadžić O.:Odabrane metode teorije verovatnoće, Institut za matematiku, Novi Sad, 1990
[2] Ivković Z.A. : Teorija verovatnoća sa matematičkom statistikom, Grad¯evinska Knjiga,
Beograd, 1976
[3] Mirković B.:Teorija mera i integrala, Naučna knjiga, Berograd, 1990
[4] Mladenović P.:Verovatnoća i statistika, VESTA - Matematički fakultet, Beograd, 1995
[5] Rao M.M. : Stohastic Processes and Integration, Sijthoff & Nordhoff, 1979
[6]
Širjaev A.N. : Verojatnost, Nauka, Moskva, 1989
72