Predavanje 1

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI 

Tehnološko-metalurški fakultet 

MODELOVANJE 

I SIMULACIJA PROCESA 

Dr Nikola Nikačević 

kabinet 255, nikacevic@tmf.bg.ac.rs 

http://elektron.tmf.bg.ac.rs/mod 

MODEL 

• Reč model potiče od latinske reči modus, 

što znači mera. 

• “Umanjena slika planiranog ili postojećeg 

objekta” (Webster New World Dictionary). 

• “Matematički ili fizički sistem koji podleže 

specifičnim pravilima, a koristi se za 

razumevanje fizičkih, bioloških i društvenih 

sistema sa kojima je u određenoj analogiji” 

(McGraw-Hill Dictionary of Scientific and 

Technical Terms). 

MODELOVANJE I SIMULACIJA 

PROCESA 1


MODEL 

Fizički 

• Analiza fizičkih svojstava 

na manjem modelu i 

relacije sa većim objektom 

– analiza sličnosti. 

Matematički 

• Skup matematičkih izraza 

koji opisuju objekat i 

mogu da predvide 

njegovo ponašanje 

ci 

( 

vzci 

) 

Ri 

mi 

t 

z 

T 

T 

 

C 

p 

vz 

S 

t 

x 

 

R 

E 

MATEMATIČKI MODEL 

• Uprošćeni, približan opis sistema / objekta! 

nivo detaljnosti opisa tačnost opisa 

“Koji je model najbolji Onaj koji je najjednostavniji, 

ali ne suviše jednostavan”(Albert Einstein) 


PROCESA 2


PRETPOSTAVKE MODELA 

Svaki model je zasnovan na 

određenim pretpostavkama koje: 

• pojednostavljuju matematički model; 

• zavise od ciljeva date analize; 

• moraju biti realistične i ne unositi dodatne 

greške u dati model; 

• su zasnovane na teoriskim osnovama, 

eksperimenalnim saznanjima, iskustvu i 

osećaju inženjera. 

MATEMATIČKA ODREĐENOST 

Za jednoznačno rešenje mod. neophodna 

je matematička određenost problema: 

f 

n P 

n J 

Broj stepeni 

slobode 

Broj 

promenjivih 

Broj nezavisnih 

jednačina 

f 

 

0 

 

 

0 

 

 

0 

... neodređen (često u praksi) 

... određen 

... preodređen (saglasan ili ne) 


PROCESA 3


REŠAVANJE MODELA 

Analitičko: 

• primenom matematičke 

teorije, korišćenjem 

teorema i zakonomernosti; 

• algebarski i jednostavniji 

diferencijalni 

proračuni; 

• ograničen na jednostavne 

probleme; 

• tačniji rezultat. 

Numeričko: 

• primenom numeričkih 

metoda; 

• korišćenjem digitalnih 

računara; 

• često upotrebom 

gotovih programskih 

paketa; 

• mogućnost rešavanja 

složenih problema; 

• tačnost zavisi od 

(preciznosti) numerike. 

TAČNOST MODELA 

• Najadekvatnije poređenjem rešenja modela sa 

odgovarajućim eksperimentima; 

• Tačnost modela se najčešće kvantifikuje pomoću 

srednje greške (apsolutna, relativna, razlika kvadrata, 

standardna devijacija i dr.); 

• Model se može verifikovati i na osnovu fizičke 

konzistentnosti (proverom zakona o održanju mase i 

energije, eliminacijom zbog fizički nemogućih rezultata, 

na pr. negativna temperatura, zapremina i dr.); 

• Način verifikacije modela i interpretacije greške 

zavisi od ciljeva modela i načina rešavanja; 

• Adekvatnost modela zavisi i od utroška 

računarskog vremena i resursa. 


PROCESA 4


UZROCI GREŠKI MODELA 

• Pogrešne, nerealistične pretpostavke; 

• Prevelika simplifikacija problema; 

• Pogrešna matematička formulacija 

problema; 

• Pogrešne vrednosti konstanti / ulaznih 

podataka; 

• Obabir neadekvatne numeričke metode; 

• Pogrešan redosled procedura / naredbi u 

algoritmu; 

• Velika tolerancija u numeričkoj metodi. 

CILJEVI MODELOVANJA 

• Opis prirodnih pojava u cilju boljeg razumevanja 

i planiranja eksperimenata; 

• Predviđanje vrednosti fizičkih i hemijskih 

veličina; 

• Predviđanje ponašanja sistema u cilju: 

– projektovanja uređaja i postrojenja, 

– ispitivanja postojećih uređaja i optimizacije 

rada, 

– upravljanja procesima i kontrolisanja neželjenih 

događaja. 


PROCESA 5


PRIMERI UPOTREBE MODELA 

Modeli mogu da rezreše probleme iz različitih 

oblasti značajnih za hemijsku industriju 

• Marketing: Ako je cena proizvoda porasla, 

koliko će potražnja opasti 

• Nabavka: Ako postoji više izvora sirovina i 

više postrojenja, kako rasporediti sirovine po 

postrojenjima 

• Sinteza: Koji procesi su neophodni za 

proizvodnju željenog proizvoda 

• Projektovanje: Koji tipovi uređaja i kojih 

dimenzija su neophodni za produkciju proizvoda 

PRIMERI UPOTREBE MODELA 

• Proizvodnja: Koji operativni uslovi će dati 

maksimalni prinos proizvoda 

• Upravljanje: Kako se izlazna veličina može 

održavati na željenoj vrednosti pomoću 

manipulativne promenjive 

• Bezbednost: Ako se dogodi otkaz uređaja 

kako će to uticati na operatera i ostalu opremu 

• Životna sredina: Koliko će trajati razgradnja 

opasnog otpada u zagađenom zemljištu 


PROCESA 6


OSNOVNE OPERACIJE 

Hemijska reakcija 

– brzina hemijske reakcije, 

– hemijska ravnoteža, entalpija, 

– selektivnost, 

– kataliza. 

Prenos toplote i mase 

– molekulski i/ili turbulentni prenos, 

– brzine prenosa, koeficijenti prenosa. 

Dinamika strujanja / kretanja 

– koeficijent trenja, mesni otpori, 

– lokalne i srednje brzine strujanja, 

– pad pritiska, 

– slika (patern) strujanja, 

– način kontakta faza. 

Gas 

Tečnost 

p A 

p Ai 

C Ai C A 

A 

fluks 

međufazna površina 

UREĐAJI U HEMIJSKOJ 

INDUSTRIJI – 1 

Hemijski reaktori 

– protočni cevni (snop cevi), 

– protočni sa mešanjem, 

– šaržni, 

– katalitički sa nepokretnim ili pokretnim slojem, 

– mikroreaktori. 

Separatori 

– apsorpcione kolone sa slojem / podovima, 

– destilacione / rektifikacione kolone, 

– ekstrakcione kolone, 

– adsorpcione / hromatografske kolone, 

– membranski uređaji. 


PROCESA 7


UREĐAJI U HEMIJSKOJ 

INDUSTRIJI – 2 

Razmenjivači toplote 

– cevni (snop cevi i omotač), 

– pločasti, 

– kondenzatori, isparivači, ribojleri. 

Mehanički separatori 

– cikloni, skruberi, 

– elektrostatički precipitatori, 

– filteri. 

Uređaji za transport 

– pumpe, kompresori, ventilatori, 

– pneumatski transporteri, 

– cevovodi, ventili. 

Merna i regulaciona oprema 

SLOŽENI PROCESNI SISTEMI 

Hemijski procesi se najčešće odvijaju u 

više uređaja koji su uzajamno povezani 

integralna analiza složenih sistema 


PROCESA 8


PRISTUPI U MODELOVANJU – 1 

1. Empirijski 

– Zasnovani na eksperimentalnoj analizi, 

– Najčešće nisu teorijski zasnovani, 

– Dosta pouzdani u ispitivanom intervalu, 

– Nepouzdani za ekstrapolacije, 

– Oblik: empirijske korelacije dobijene regresijom 

eksperimentalnih podataka. 

2. Fundamentalni 

– Zasnovani na fizičkim i hemijskim principima, 

– Teorijski opisuju sistem, 

– Predviđaju ponašanje sistema za različite uslove, 

– Oblik: diferencijalne ili algebarske jednačine 

dobijene na osnovu bilansa i brzine procesa. 

PRISTUPI U MODELOVANJU – 2 

3. Populacioni 

– Zasnovani na bilansima populacije, 

– U hem. inženjerstvu se koriste za opisivanje realnog 

strujanja u uređajima, 

– Dobijaju se na osnovu teorijske (ali stohastičke) 

analize i eksperimenata sa obeleženom supstancom. 

– Oblik: funkcije starosne raspodele – unutrašnja, 

raspodela zadržavanja i dr. 

4. Stohastički 

– Zasnovani na teoriji verovatnoće, 

– Koriste se za sisteme u kojima se veličine menjaju 

nepredvidljivo, slučajno, 

– Izlazne veličine nisu jednoznačno određene ulazom, 

– Oblik: funkcije verovatnoće i statistike. 


PROCESA 9


KLASIFIKACIJA MODELA – 1 

Stacionarni Nestacionarni 

X 

X 

X , 0 

X 

, 0 

t 

t 

Sa raspoređenim 

parametrima 

X 

X 

, 0 

z 

Sa nagomilanim 

parametrima 

X 

X 

, 0 

z 


Linearni 

Nelinearni 

y ax1 

bx2 

y x1x2 

F( ax1 

bx2) 

aF( 

x1) 

bF( 

x2) 

y exp( x) 

Kontinualne 

promenjive 

Diskretne promenjive 


PROCESA 10



Algebarske Diferencijalne Integralne 

x1 

x2 

dx 2 

y 

2 ax b y 

ax1 

dt 

x exp( x) 

dx 

Otvoreni, 

protočni sistemi 

Zatvoreni, 

šaržni sistemi 

IZGRADNJA / RAZVOJ MODELA – 1 

1. Formulacija problema 

Definisanje ciljeva i željenih ishoda, detekcija 

procesnih zahteva i potencijalnih problema. 

2. Analiza problema 

Prikupljanje podataka i ranijih iskustava, 

podela sistema u podsisteme, postavljanje 

primarnih veza između elementa i promenjivih. 

3. Usvajanje pretpostavki modela 

Odabir i provera pretpostavki, analiza u cilju 

postavljanja što je moguće manjeg br. jednač. 


PROCESA 11



4. Postavljanje jednačina modela 

Definisanje veza između promenjivih i parametara 

u matematičkoj formulaciji, provera 

određenosti i konzistentnosti modela. 

5. Prikupljanje neophodnih podataka 

Obezbeđenje tačnih vrednosti konstanti. 

6. Odabir numeričkih metoda i formiranje 

algoritma 

Izbor optimalnog, detaljnog algoritma sa 

metodama za rešavanje postavljenog problema 


7. Simulacija programa 

Izvršavanje programa, generisanje rezultata. 

8. Analiza i interpretacija rezultata 

Odabir reprezentativnih rezultata, poređenje sa 

eksperimentima, detekcija uzroka greške. 

9. Poboljšanje i korekcija modela 

Ispravke u pretpostavkama ili/i u modelu ili/i u 

algoritmu i ponovne simulacije. 

10.Primena modela 


PROCESA 12

Predavanje 1

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?