Maturitná téma: Kinematika hmotného bodu - Zmaturuj.sk

1 Kinematika hmotného bodu
- kinematika sa zaoberá určením polôh bodov a ich zmien v čase (kinematika pohyb telesa opisuje,
nezaoberá sa príčinami pohybu)
- pri teoretickom štúdiu mechanického pohybu (proces, pri ktorom sa mení poloha jedného telesa
vzhľadom na iné teleso) sa zavádza pojem hmotný bod
o
hmotný bod je teleso, pri ktorom sa hmotnosť telesa zachováva, ale jeho rozmery sa
zanedbávajú
- na opis mechanického pohybu sa zavádza vzťažný bod a vzťažná sústava, vzhľadom na ktorú
určujeme polohu telesa a jej zmenu v závislosti od času
- pokoj alebo pohyb môžeme určovať len vzhľadom na vzťažnú sústavu – relatívnosť pokoja
a pohybu (relatívnosť mechanického pohybu znamená, že opis pohybu závisí od voľby vzťažnej
sústavy)
- trajektória je množina (súhrn) všetkých polôh, v ktorých sa hmotný bod pri pohybe vyskytuje,
dĺžka trajektórie sa nazýva dráha
- ak trajektória hmotného bodu je časť priamky, koná bod priamočiary pohyb, v ostatných
prípadoch je to krivočiary pohyb
1.1 polohový vektor
z
- veľkosť polohového vektora:
o
y
k r i
j
r r
P
2 2
r = x + y + z
x
- polohový vektor určuje polohu hmotného bodu vzhľadom na
súradnicovú sústavu
- poloha v priestore je jednoznačne daná polohovým vektorom
OP = r , pre ktorý platí:
o
r = xi + y j + zk
r =
( x,
y,
z)
- x, y, z sú súradnice vektora a i , j , k sú jednotkové
vektory v smere jednotlivých osí, platí:
o
i ⊥ j ⊥ k
i
=
j = k =1
- smer polohového vektora:
o smer polohového vektora sa určuje pomocou uhlov α, β, γ, ktoré zviera smer polohového
vektora so smermi jednotlivých súradnicových osí x, y, z
x y z
2
2
2
o cos α = , cos β = , cos γ = , zároveň platí: cos α + cos β + cos γ = 1
r r r
1.2 rýchlosť
- rýchlosť pohybujúceho sa bodu sa môže v každom okamihu meniť,
nemusí byť konštantná
- priemerná rýchlosť hmotného bodu:
o zmena polohového vektora bodu za čas t
r( t) − r( t ) ∆r
0
o v p
= = v = m s
t − t0
∆t
- okamžitá rýchlosť hmotného bodu:
1
, [ ] . −
y
z
r(t 0 )
r(t)
x
1

o
prvá derivácia polohového vektora podľa času
( t) − r( t )
r
o v0
= lim
t → t0
t − t0
- zložky rýchlosti:
dr d
v0
dt dt
- veľkosť rýchlosti:
xi
0
=
y j
dr
dt
zk
dx
i
dt
o = = ( + + ) = + + k = v i + v j v k
dy
dt
j
dz
dt
2
2
2
2 2 2 ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
0
= vx
+ v
y
+ vz
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎠
x y
+
o v
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt
- smer rýchlosti:
o keďže hodnota derivácie funkcie v bode sa rovná smernici dotyčnice ku grafu funkcie, tak
rýchlosť má smer dotyčnice k trajektórii
o smer rýchlosti sa určuje pomocou uhlov α, β, γ, ktoré zviera smer rýchlosti so smermi
jednotlivých súradnicových osí x, y, z
z
o
v x
v y
cos α = , cos β = ,
v v
v z
cos γ = , zároveň platí: cos
2 cos
2 cos
2
α + β + γ = 1
v
1.3 zrýchlenie
- zrýchlenie pohybujúceho sa bodu sa môže v každom okamihu meniť, nemusí byť konštantné
- charakterizuje zmenu pohybového stavu
- priemerné zrýchlenie hmotného bodu:
o zmena vektora rýchlosti za čas t
v ( t)
( t) − v( t )
v
0 ∆v
2
o a p
= = , [ a ] = m. s
−
t − t0
∆t
- okamžité zrýchlenie hmotného bodu:
o prvá derivácia rýchlosti podľa času (druhá derivácia
polohového vektora podľa času)
o
a
0
( t) − v( t )
v
= lim
t → t0
t − t0
dv d
dt dt
- zložky zrýchlenia:
dv d
a0
= =
dt dt
- veľkosť zrýchlenia:
0
=
d d r
dt dt
dv
dt
d d
dt dt
d r
dt
2
o a
0
= = v = = r =
2
dv
dt
x
z
o ( v i + v j + v k) = i + j + k = a i + a j a k
dv
dt
dv
dt
y
x y z
x y
+
2
2
2
2 2 2 ⎛ dv ⎞ ⎛ dv ⎞
x
y ⎛ dvz
⎞
⎜ ⎟
0
= ax
+ a
y
+ az
= ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟
⎠
o a
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt
- smer zrýchlenia:
o smer zrýchlenia sa určuje pomocou uhlov α, β, γ, ktoré zviera smer zrýchlenia so smermi
jednotlivých súradnicových osí x, y, z
v ( t 0
)
z
o
a x
a y
cos α = , cos β = ,
v v
a z
cos γ = , zároveň platí: cos
2 cos
2 cos
2
α + β + γ = 1
v
2

1.4 zrýchlenie pri krivočiarom pohybe
- zrýchlenie pri krivočiarom pohybe sa rozdeľuje ne zložku tangenciálnu (dotyčnicovú) a zložku
normálovú (dostredivú), pričom výsledné zrýchlenie je vektorovým súčtom týchto zložiek:
o
a = a t
+ an
- pre obvodovú rýchlosť platí: v = vτ
- τ (má smer dotyčnice ku krivke) a ρ (má smer normály ku krivke) sú
jednotkové vektory, pričom platí:
o
τ ⊥ ρ a zároveň τ = ρ = 1
- pre zrýchlenie platí:
dv d
o a = = ( v )
- pre τ platí:
o
o
dt
τ .τ = 1 ⇒
o
- podľa obr. platí:
o
- platí:
dt
dv dτ
τ = τ + v
dt dt
dτ
dτ
dτ
dτ
dτ
τ + τ = 0 ⇒ 2. τ = 0 ⇒ τ ⊥ ⇒ ⊥ ρ
dt dt dt
dt dt
d τ je zmena vektora τ za čas dt
d τ = τ . dα
= dα
a
ds
d α =
R
dτ
dτ
dτ
dα
ds 1 v
o = .( − ρ) = .( − ρ) = ( − ρ ) = . ( − ρ) = .( − ρ)
dt
dt
- pre zrýchlenie platí:
dt
dt
2
dv v
( − ρ) = τ − ρ
dv dτ
dv v
a = τ + v = τ + v
dt dt dt R dt R
- tangenciálne (dotyčnicové) zrýchlenie:
o pôsobí v smere dotyčnice, mení veľkosť (obvodovej) rýchlosti
o a t
dv
=
dt
- normálové (dostredivé) zrýchlenie:
o pôsobí v kolmom smere na smer rýchlosti, mení smer rýchlosti
o
2
v
a n
=
R
- veľkosť celkového zrýchlenia:
o
a = +
2 2
a t
a n
dt
R
R
τ
a
t
τ
a
τ
ds
d α
a
n
ρ
d τ
ρ
1.5 uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie
- uhlová rýchlosť:
dα
−1
o ω = , [ ω ] = s
dt
- uhlové zrýchlenie:
2
dω
d α
−2
o ε = = , [ ε ] = s
2
dt dt
- uhlová rýchlosť súvisí s obvodovou rýchlosťou pohybujúceho sa bodu vzťahom:
3

o v = Rω
, kde R je príslušný polomer krivosti
- pre obvodovú rýchlosť platí:
ds
o v =
dt
- pre a
t
platí:
o a t
= Rε
1.6 niektoré druhy pohybov
1.6.1 rovnomerný priamočiary pohyb
- pre rýchlosť zrýchlenie a dráhu platí:
o v = konšt.
dv
o a = = 0 dt
v
s
s
o s ∫ v. dt = vt + s
=
0
, kde s 0 je dĺžka
t
t
dráhy v čase t=0
1.6.2 rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb
- pre zrýchlenie, rýchlosť a dráhu platí:
v
o a = konšt.
o v ∫ a. dt = at + v , kde v 0 je začiatočná
=
0
rýchlosť
s
1 2
o s = ∫ v. dt = ∫ ( at + v ) dt = at + v0t
+ s0
2
t
t
- ak a

- frekvencia f:
o počet obehov za jednotku času
1 ω
o f = = T 2π
- iné odvodenie normálového (dostredivého) zrýchlenia:
o za dobu ∆t hmotný bod prejde oblúk dĺžky ∆ s = R.
∆ϕ
,
ktorému zodpovedá uhol ∆ ϕ = ω.
∆t
o pre zmenu okamžitej rýchlosti v dôsledku zmeny jej smeru
platí:
2
v
- ∆ v = v.
∆ϕ = v.
ω.
∆t
= . ∆t
a z toho
R
2
2
∆v
v
2 4π
- a d
= = = vω = ω R = R
2
∆t
R
T
1.6.4 rovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici
- pre uhlové zrýchlenie, uhlovú rýchlosť a uhol platí:
o ε = konšt.
o ω ∫ ε. dt = εt
+ ω
=
0
1
. α
2
2
∫ ∫ 0
dt = εt
+ ω
0t
+
o α ω dt = ( εt
+ ω )
=
0
∆φ
∆v
v B ∆φ v ' A
B
R
∆s
a d A
v A
5