5.TENZOR NAPREZANJA 5.1. Vanjske ili površinske sile 5.2 ...

5.TENZOR NAPREZANJA
Promatramo realno čvrsto tijelo volumena V, omeñeno plohom S, koje se deformira pod
djelovanjem vanjskih i unutarnjih sila. Ono pri tome prelazi iz nedeformiranog stanja u
deformirano (Sl. 5.1). Dalje promatramo deformirano stanje i njegova uvjete ravnoteže.
5.1. Vanjske ili površinske sile
x 3
e3
0
S
e1
r
e2
q
q .
.
. . . .
. . . .
. . .
M
. . . .
. . . M
.
.
.
.
. .
. .
.
u . .
. .
. dV .
. .
dV K
. .
. . .
.
.
. . . K
. . . .
V . . . V . .
.
. .
x 2
r
x 1
Sl. 5.1 Deformirano tijelo
Vanjske sile djeluju na površinu tijela S' i mogu se prikazati pomoću koordinata:
q = (q' , q' , q' ) / na S'
' 1 2 3
q'i q'i
(x'1
, x'2
, x'3
= ) ; ) 3 , 2 , 1 ( i =
(5.1)
Tu spadaju sva opterećenja koja izvana djeluju na tijelo (snijeg, vjetar, drugi stalni ili
povremeni tereti). Obično se zadaju po jedinici površine.
5.2. Unutarnje ili volumenske sile i gustoća
Volumenske sile su vektori koji djeluju na mase pojedinih čestica ∆m' pridruženih malim
odnosno jediničnim volumenima ∆V' u smjeru gravitacije ili obrnuto od smjera gibanja, ako
se tijelo nalazi u stanju gibanja. Ove sile djeluju na sve elementarne volumene realnog čvrstog
tijela i poznate su kao volumenske sile gravitacionog ili inercijalnog tipa. Označimo li
simbolom k silu po jedinici mase, ρ' masu po jedinici deformiranog volumena a sa ∆ K silu
po jedinici volumena tada vrijedi
∆K dK
k ρ' = lim =
(5.2)
dV →0
∆V dV
S

5.3. Glavni vektor i glavni moment sila
Kako bi čvrsto deformirano tijelo bilo u ravnoteži, neophodno je da glavni vektor F ' i glavni
moment M ' svih sila koje djeluju na tijelo u deformiranoj konfiguraciji budu nul vektori.
F' = ∫q' dS'+
∫ ρ ' k dV'=
0 i M' = ∫ r'
× q'
dS'+
∫ r'
× ρ ' k dV' = 0 (5.3)
S' V'
Uvjeti ravnoteže čvrstog deformabilnog tijela su ekvivalentni uvjetma ravnoteže apsolutno
krutog tijela postavljeni na deformiranoj konfiguraciji. Ako je čvrsto deformabilno tijelo u
ravnoteži onda je u ravnoteži i svaki njegov izdvojeni dio.
Vrijedi i St.Venantov princip što znači da je područje djelovanja vanjskog opterećenja lokalno
ograničeno. Dakle, vanjsko se djelovanje može premještati unutar pravca u proizvoljnu
lokaciju, a da se dovoljno daleko od pravca djelovanja stanje naprezanja u tijelu ne mijenja.
5.4. Polje unutarnjih sila
Promatramo realno deformirano čvrsto tijelo u gravitacionom polju opterećeno vanjskim
silama po rubnoj plohi. Zamislimo tijelo presječeno ravninom kao što se vidi na (Sl.5.2), gdje
' '
V '
je π presječna ravnina ili ravna ploha izmeñu V 1 i V
i V '2
.
2 ili ravnina interakcije izmeñu 1
q 1
.
.
. .
.
.
S 1
.
.
.
.
.
.
V 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
q 2
.
.
.
M
.
dS
S'
n
V 2
Sl.5.2 Definiranje polja unutarnjih sila ili polja naprezanja
Označimo li s n normalu na elementarnoj plohi dS u okolišu točke M1'. Ako elementarnoj
n
plohi dS pridružujemo normalu ona postaje vektor n dS = dS .
n
V'
S 2
n = ( n1
, n2
, n3)
- (vektor)
n
dS = ndS
= ( dS1,
dS2
, dS3)
- (vektor)

dS1
dS2
dS3
ni = ( , , ) - (skalari) (5.4)
dS dS dS
n
Neka je ∆f sila kao interakcija dvaju elemenata koja djeluje na orjentiranu površinu dS .
Prosječnu vrijednost interaktivne sile po jedinici površine dS izražava se na slijedeći način
ρ
n n
∆f
df
lim =
(5.5)
∆S 0 ∆S dS
n
=
→
n – ovdje nije indeks po kojem se vrši sumiranje. Ovdje n označava pripadnost normali n
n
ρ je vektor koji pretstavlja interakciju djelova tijela V '1
i V '2
preko orjentirane plohe dS .
Na V '2
točka M2' ima orjentaciju (–n), pa iz zakona akcije i reakcije za točku M vrijedi:
n
n
ρ je naprezanje, a dS
ρ −
-n n
-n n
+ ρ = 0 → ρ = ρ
(5.6)
n
ρ unutarnja sila na površini dS. Vektor ρ zovemo „vektor totalnog
naprezanja“' u točki M. Budući da se u točki M može postaviti beskonačno ravnina
interakcije izmeñu V '1
i V '2
, moguće je pridružiti i beskonačno vektora totalnog naprezanja
n
ρ (M). Stoga se naš zadatak sastoji od preslikavanja vektorskog polja normala u vektorsko
polje totalnog naprezanja kao:
n
n → ρ
(5.7)
Na taj način, prema izrazu (5.7), definirano je stanje naprezanja u nekoj točki deformiranog
tijela. Meñutim, nije neophodno specificirati svaki par vektora naprezanja i normala kako bi
se opisalo stanje naprezanja u odreñenoj točki deformirane konfiguracije.
Dovoljno je znati vektore totalnog naprezanja na tri meñusobno okomite ravnine u toj točki,
kako bi se primjenom zakona transformacije odredilo totalno naprezanje na općoj ravnini s
proizvoljno zadanom orjentacijom.
5.5. Tenzor naprezanja
n
n
Promatramo preslikavanje n → ρ na nekoj orjentiranoj površini dS koja prolazi kroz
odreñenu točku deformiranog tijela. Uzmimo elementarni tetraedad u okolini točke O (Sl.5.3)

(-1)
dS 2
C
0
x 3
(-2)
dS 1
dS 3
n3
(-3)
Sl. 5.3 Naprezanje u okolišu točke
Zadan je Cartesiev koordinatni sustav (O, x 1,
x2, x 3 ) s tetraedrom OABC. Površina ABC je
elementarna jedinična površina s orjentiranom normalom n.
Na trokutu ABC djeluje vektor
n =
n1
( 1 2 3
n , n , n )
A
n
n2
n
dS = dS n = ( dS1,
dS2
, dS3)
dS dS2
dS3
dSi
ni
= ( , , ) =
dS dS dS dS
B
n
dS
1 (5.8)
n
ρ s komponentama u smijeru koordinatnih osi
x 2
x 1
ρ , ρ , ρ . Na
elementarnim površinama dS i u smijeru suprotno od koordinatnih osiju djeluju vektori
totalnog naprezanja
-n
1 ,
−n
2
ρ ρ i
−n
3
ρ za koje vrijedie slijedeći izrazi:
-n
1
ρ = ρ , ρ , ρ ) = −ρ
-n
2
( 11 12 13
n
1
ρ = ρ , ρ , ρ ) = −ρ
-n
3
( 21 22 23
n
2
ρ = ρ , ρ , ρ ) = −ρ
(5.9)
( 31 32 33
Promatramo ravnotežu sila na elementarnom tetraedru s tim da njegova veličina teži k nuli.
Glavni vektor sila koje djeluju na tetraedar mora biti nul vektor pa imamo:
n
dS ρ + dS ρ + dS ρ + dS ρ = 0 : dS
1
-n
1
ρ
2
-n
-n
2
= −ρ
n
3
-n
3
dS
i
i =
dS
n
ρ = ρ n + ρ n + ρ n =
n n n
1 1 2 2 3 3
= ( ρ 11 ρ12
+ ρ13)
n1 + ( ρ21
+ ρ22
+ ρ23)
n2
+ ( ρ31
+ ρ32
+ ρ33)
n3
+ (5.10)
n
i
n
3
n
1
n
2
n
3

Komponente ρ ij iz gornjih jednakosti pretstavljaju konvencionalno komponente naprezanja
koje su paralelne s koordinatnim osima. Za pozitivni smijer vektora punog naprezanja prema
konvenciji imamo:
ρ = σ
ij
ij
n n
n n
n n
ρ = ρ σ , σ , σ ) ; ρ = ρ σ , σ , σ ) ; ρ = ρ σ , σ , σ ) (5.11)
1
1 ( 11 12 13
2
2 ( 21 22 23
3
3 ( 31 32 33
Vektor punog naprezanja na proizvoljnoj ravnini jednak je sumi projekcija vektora totalnih
naprezanja na koordinatnim ravninama u smijer normale na proizvoljnoj ravnini. U skladu s
izrazima (5.10) i (5.11) možemo pisati:
ρ
ρ
n
1
n
2
n
3
= ρ n + ρ n + ρ n = σ n + σ n + σ
11
12
1
1
21
22
2
2
31
= ρ n + ρ n + ρ n = σ n + σ n + σ
13
1
23
2
32
33
3
3
3
11
12
13
1
1
ρ = ρ n + ρ n + ρ n = σ n + σ n + σ n
(5.12)
Što pretstavlja preslikavanje polja normala u polje totalnog naprezanja, odnosno, pisano u
indeksnom obliku izgleda:
T
σ =
[ σ ]
ij
n
i
ji
j
1
21
22
23
2
2
2
ρ = σ n ; (i,j=1,2,3) (5.13)
n ⎧ρ
⎫ 1
n ⎪ n ⎪
ρ = ⎨ρ2
⎬ ;
⎪ n ⎪
⎩
ρ3
⎭
⎧n1
⎫
⎪ ⎪
n = ⎨n2
⎬
⎪ ⎪
⎩n3
⎭
T
n T
σ = ; σ = [ σ ] ; ρ = σ n
(5.14)
σ
ji
(svojstvo simetričnosti tenzora naprezanja)
n
ρ =
σn
31
32
33
(naprezanje u okolišu točke) (5.15)
σ ij čini 9 komponenata vektora totalnog naprezanja što tvori poznati „Cauchyev tenzor
naprezanja u okolišu točke deformiranog čvrstog tijela “ gdje indeks „i“ označava smijer
normale elementarne površine na koju naprezanje djeluje dotično naprezanje, a indeks „ j “
smjer koordine osi u čijem smijeru djeluje naprezanje. Komponente tenzora naprezanja
zapisane u matricu izgledaju:
⎡σ11
σ12
σ13
⎤
σ =
⎢
⎥
⎢
σ 21 σ 22 σ 23⎥
(5.16)
⎢⎣
σ
⎥
31 σ 32 σ 33⎦
n
n
3
3
3

5.7. Statička dopustivost tenzora naprezanja
σ [ σ ]
= ij je tenzor naprezanja, a ij
σ je slika tenzorskog operatora, odnosno tenzora
naprezanja, koja ovisi o izboru koordinatnog sustava, dok sam tenzor nije ovisan o izboru
koordinatnog sustava. U slučaju simetričnog tenzora, jedno je tenzorsko polje odreñeno sa
šest skalarnih polja.
Postavlja se pitanje. Može li se odabrati po volji šest skalarnih polja tako da se dobije tenzor
naprezanja? Svakako ne, jer skalarno polje mora zadovoljavati statički dopustivi uvjet
ravnoteže, odnosno treba pokazati da su komponente σ ij rješenje diferencijalnih jednadžbi
ravnoteže.
Promatramo tijelo V s konturom S opterećeno vanjskim silama q na konturi i volumenskim
silama K po jedinici volumena. Ako je tijelo u ravnoteži, tada je u ravnoteži i svaki njegov
izdvojeni dio. Zato promatramo dio tijela V* s konturom S* i točku M ; M ∈ S*, prema
(Sl. 5.4).
0
x 3
x 2
x 1
S
.
. . .
.
. .
V . . .
.
.
.
. . .
. .
.
.
.
.
. V* dS*
. . S* . .
.
.
M .
. . . . K . .
. .
.
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
. .
Sl. 5.4. Uvjeti ravnoteže
Pretpostavka je da se dio volumena V* nalazi u ravnotežnom položaju za zadano opterećenje:
n
ρ / S* i K / V* (5.17)
Postavljamo uvjete ravnoteže sila na volumen V* tako da glavni vektor sila bude nul vektor i
glavni moment takoñer nul vektor.
n
∫ dS * + ∫ ' k dV* =
ρ ρ 0
(5.18)
S *
V*
∫ '× ρ dS * + ∫ r'×
' k dV* =
r ρ 0
(5.19)
S *
V*
q
n
n

U gornjim izrazima
n
vrijedi ρ = σ
n
ρ je vektor totalnog naprezanja i on je funkcija površinskih sila, te
n
i ρ i = σ jin
j u V* i na S*. To mora vrijediti i za cijelo područje V i
n
konturu S. Stoga, ako V* → V i S* → S : ρ /S = q
n
ρ /S =
n
i
ji
q
j
i
n
i ρ i = σ ji ⋅ n j /S = qi
.
ρ = σ ⋅ n /S = q
(5.20)
Izraz (5.18) preko komponenata, odnosno u tenzorskom obliku možemo napisati kao:
n
∫ i dS + ∫ ρ' kidV
=
ρ 0 ; (i,j=1,2,3) (5.21)
S V
n
Uz zamjenu ρ i = σ ji ⋅ n j , te primjenom Gaussova teorema o divergenciji odnosno teorema
Green-Gauss-Ostrogradski, prvi dio izraza (5.21) koji predstavlja površinski integral možemo
pretvoriti u volumenski kao:
Uvrštenjem (5.22) u (5.21) dobivamo:
∫
V
∂σ
∂x
j
∂σ
ji
σ ∫ dV
(5.22)
∂x
∫ jin
jdS
= σ ji, jdV
= ∫
ji
S V
V j
dV +
∫ ρ' kidV
= ∫
V V*
∂σ
(
∂x
ji
j
+ ρ' k )dV = 0
Gornji izraz vrijedi za svaki proizvoljni volumen, pa se uz zamjenu K i = ρ' ki
može pisati:
∂σ
∂x
ji
j
+ K
i
= 0
ili
i
divσ + K = 0
(5.24)
(5.23)
Izraz (5.24) pretstavlja sustav od 3 parcijalne diferencijalne jednadžbe ravnoteže. U razvijenoj
formi diferencijalne jednadžbe ravnoteže izgedaju:
∂σ11
∂σ21
∂σ31
+ + + K1
= 0
∂x
∂x
∂x
1
2
∂σ21
∂σ22
∂σ23
+ + + K2
= 0
∂x
∂x
∂x
1
2
∂σ31
∂σ32
∂σ33
+ + + K3
= 0
∂x
∂x
∂x
1
2
3
3
3
(5.25)
Postavlja se pitanje, dali bilo kojih šest skalarnih veličina σ ij pretstavlja tenzor naprezanja.
Ne, nego samo one skalarne veličine σ ij koje zadovoljavaju jednadžbe ravnoteže (5.25). One
čine „statički dopustivo“ skalarno polje. Statički dopustivo polje naprezanja nemora biti i

ješenje rubne zadaće. Tek kad zadovolji i rubne uvjete statički dopustivo polje naprezanja će
biti i rješenje rubne zadaće. Kako je tenzor naprezanja simetričan, vrijedi:
σ = σ , (i,j=1,2,3) (5.26)
ij
ji
Tenzor naprezanja [ σ ij ] ima devet komponenata od kojih je samo šest meñusobno nezavisno
i općenito različito. σ 11 , σ 22 i σ 33 su komponente tenzora naprezanja koje djeluju okomito na
odgovarajuće ravnine i nalaze se redom na glavnoj djagonali matrice tenzora, a σ 12 = σ21
,
σ 23 = σ32
i σ 31 = σ13
su posmične komponente koje djeluju u odgovarajućim ravninama i
nalaze se izvan glavne djagonale poredane prema definiciji matrice tenzora. Zadaća
odreñivanja komponenata naprezanja σ ij pomoću (5.25) je neodreñena zadaća, jer je broj
jednadžbi manji od broja nepoznanica. Imamo šest nepoznatih komponenata tenzora
naprezanja, a tri raspoložive jednadžbe pa sustav nije jedinoznačno rješiv.
5.8. Konvencija o predznacima komponenata naprezanja
Predznaci normalnih komponenata tenzora naprezanja izgledaju kao na slici (Sl.5.5):
.
x 2
22
11 11
22
x 1
vlak (+)
tlak (-)
Sl. 5.5 Predznak normalnih naprezanja
Predznaci posmičnih komponenata naprezanja izgledaju kao na slici (Sl.5.6):
.
x 2
21
smijer (+)
12
x 1
Sl. 5.6 Predznak posmičnih naprezanja
12
11
21
.
x 2
22
22
21
smijer ( -)
Konvencija za ,
ij
σ i-je smjer normale ravnine na koju djeluje naprezanje, j-je smjer
komponente odnosno smjer djelovanja naprezanja.
.
x 2
11
12
x 1
x 1

.
x 2
(-2)(+1) = - 21
(+1)(+2) = + 12
x 1
Sl. 5.7 Definiranje predznaka
Ako su oba smjera (i,j) pozitivna ili oba negativna tada je komponenta pozitivno označena.
Ako je, meñutim, jedan smjer pozitivan, a drugi negativan, odnosno ako su različitog
predznaka tada je komponenta negativno označena pa vrijedi:
σ = ± σ
( ± i)(
± j)
ij
(5.27)
5.9. Dekompozicija tenzora naprezanja na hidrostatički i devijatorski dio
Opći slučaj napregnutog stanja čvrstog deformabilnog tijela može se prikazati u obliku dva
karakteristična stanja koja se mogu odvojeno opisati tenzorima drugog reda. Pretpostavimo da
se u prvom stanju mijenja samo volumen tijela, a oblik ostaje isti, dok se kod drugog mijenja
samo oblik, a volumen ostaje isti.
Prvo stanje deformacije dogaña se bez sudjelovanja tangencijskih naprezanja, tako da nema
promjene kuteva, a uz prisustvo jednakih normalnih naprezanja u svim smjerovima. Taj dio
deformiranja opisan je „hidrostatičkim tenzorom naprezanja“.
Drugo stanje deformiranja odvija se uz prisustvo posmičnih naprezanja, a suma odgovarajućih
normalnih naprezanja jednaka je nuli. Taj dio deformiranja opisan je „devijatorskim tenzorom
naprezanja“.
Dakle, tenzor naprezanja σ opisan komponentama σ ij može se prikazati kao kompozicija
dvaju spomenutih tenzora u obliku:
gdje je:
ij
σ
σ
11
0
σ = σ δ + S
(5.28)
ij
0
ij
ij
1 σ11
+ σ22
+ σ33
= σKK
=
, (k=,12,3) (5.29)
3
3
21
31
0
22
12
32
0
33
13
S = σ σ − σ σ = S S S
(5.30)
σ
− σ
σ
σ
σ
σ
23
− σ
0
S
S
11
21
31
S
S
12
22
32
S
S
13
23
33

U izrazu (5.29) σ 0 pretstavlja srednju vrijednost normalnih komponenata tenzora naprezanja
σ KK , a u izrazu (5.30) figuriraju na vandijagonalnim pozicijama posmična naprezanja, dok su
na dijagonali razlike izmeñu normalnih komponenata i srednje vrijednosti normalnih
komponenata. Za devijator tenzora naprezanja vrijedi kao što je spomenuto:
Skk 11 22 33
odnosno suma komponenata na glavnoj dijagonali je nula.
5.10. Transformacija komponenata tenzora naprezanja
Tenzor naprezanja [ σ ]
ij
= S + S + S = 0
(5.31)
σ = je tenzor drugog reda i ne ovisi o izboru koordinatnog sustava.
σ ij slika je tenzora σ u odreñenom koordinatnom sustavu i ovisna je o izboru sustava.
Promotrimo stoga transformaciju komponenata tenzora naprezanja na elementarnom
tetraedru.
n 2
x 1
-2
22 = 22
21 = 21
A
23 = 23
x3 C
xk k3 kk
k
13 = 13
-1
n1 k
11 = 11
31 = 31
12 12
xl k1
kl
0
k2
km
xm
32 =
-3
32
B
x2 n 3
=
33 33
Sl. 5.8 Transformacije komponenata naprezanja
Komponente naprezanja u koordinatnom sustavu (O, x 1 , x 2 , 3
ki
ji
kj
x ) su:
ρ = σ ⋅ n
(5.32)
gdje su nkj - kosinusi kuteva izmeñu normale k na ravnini ABC i koordinatnih osi u
sustavu ( O, x1,
x2
, x3)
.
U novom sustavu ( O , x'1
, x'2
, x'3
) za smijer l komponente tenzora naprezanja mogu se
prikazati kao:
σ' = ρ n + ρ n + ρ n = ρ n
(5.33)
kl
k1
l1
k2
l2
k3
l3
ki
li
=

Kako je ρ ki = σ ji ⋅ nkj
, izraz (135) postaje:
σ' = σ n n
(5.34)
kl
ji
gdje su nli - kosinusi kuteva izmeñu smjera l i koordinatnih osi u sustavu ) , , , ( O x1
x2
x3
. Izraz
(5.34) pretstavlja zakon transformacije tenzora drugog reda izmeñu dva ortogonalna sustava.
Isto tako za ostala dva smijera m i k novog koordinatnog sustava vrijede tenzorske
transformacije.
5.11. Glavna naprezanja
σ' = σ
km
kk
kj
ji
ji
n
li
kj
kj
n
mi
σ ' = σ n n
(5.35)
U nekoj točki presječne ravnine deformabilnog tijela vektor totalnog naprezanja ne poklapa se
općenito s normalom na tu ravninu. Meñutim, prostornom rotacijom presječne ravnine kroz
odabranu točku može se postići da vektor totalnog naprezanja padne u smjer normale,
odnosno da oni postanu kolinearni.
Smjer u kojem su vektor totalnog naprezanja i vektor normale na presječnu ravninu kolinearni
zovemo „smjer glavnih naprezanja“. U trodimenzionalnom prostoru realnoih simetričnoih
tenzora naprezanja postoje tri moguća glavna smijera naprezanja koja čine glavne osi
elipsioda naprezanja ili hiperboloida naprezanja.
Dakle postavljamo uvjet kolinearnosti:
ili pisano po komponentama:
ili razvijeno:
ki
ρ σn
n = ; n = n , n , n )
(5.36)
n ⎧ρ
⎫ 1 σ
⎪ n ⎪
⎨ρ
2 ⎬ = σ
⎪ n ⎪
⎩ρ
3 ⎭ σ
11
21
31
n
i
i
( 1 2 3
ρ = σn
(5.37)
σ
σ
σ
12
22
32
σ
σ
σ
13
23
33
⎧n1
⎫ ⎧n1
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨n2
⎬ = σ ⎨n2
⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩n3
⎭ ⎩n3
⎭
(5.38)
u kojoj je σ magnituda ili iznos glavnog naprezanja u tom smjeru, a n i su mormale u smjeru
glavnih naprezanja. Koristeći supstituirajući Kroneckerov simbol δ ij možemo pisati
n δ n
i = ij j , ij ji
n
σ = σ i ρ i = σ ijn
j tako da izraz (5.37) postaje:

( σ δ σ ) n = 0
(5.39)
ij − ij j
U datom izrazu (5.39) postoje četiri nepoznanice i to tri kosinusa smjera, te vrijednost
glavnog naprezanja u tom smjeru. Uvjet za netrivijalno rješenje sustava (5.39) ispunjen je ako
je determinanta sustava jednaka nuli:
ili:
σ −σ
11
σ
σ
21
31
det σ ij − δijσ
= 0
(5.40)
σ
σ
22
σ
12
− σ
32
σ
σ
σ
33
13
23
−σ
= 0
Rješenjem izraza (5.41) dolazimo do kubnog polinoma po σ u obliku:
(5.41)
3 2
P σ ) = σ − I σ + I σ − I = 0
(5.42)
( 1 2 3
gdje su σ 1 , σ 2 i σ 3 ( σ 1 > σ 2 > σ 3 > 0)
„glavna naprezanja“. To su korjeni kubnog polinoma
P(σ) ili svojstvene vrijednosti polinoma P(σ) , a
naprezanja“ koje glase:
I 1 , I 2 i I 3 su „invarijante tenzora
I
I
2
1
[ σij
] = σii
= σ11
+ σ22
+ σ33
= σ1
+ σ2
σ3
I = trag
+
(5.43)
1
= (σiiσ
2
11
22
jj
− σ σ
2
12
ij
ij
22
σ
) =
σ
33
11
21
2
23
σ
σ
12
22
σ
+
σ
11
22
32
33
σ
σ
23
33
2
13
σ
+
σ
= σ σ − σ + σ σ − σ + σ σ − σ = σ σ + σ σ + σ σ (5.44)
3
=
1
σ
3
11
ij
22
σ
jk
33
σ
ki
1
+ σiiσ
6
23
13
jj
σ
kk
12
−
1
σ
2
11
kk
σ
2
23
ij
σ
ij
= det
22
33
31
1
2
σ
σ
13
11
2
=
11 12 13
[ σ ] = σ σ σ =
= σ σ σ + 2 ⋅ σ σ σ − σ σ σ − σ σ − σ σ = σ σ σ (5.45)
Vrijednosti I 1 , I 2 i I 3 su nepromjenjive, odnosno, invarijantne u odnosu na izbor i rotaciju
koordinatnog sustava. Glavna naprezanja σ 1 , σ 2 i σ 3 nalaze se na tri meñusobno okomite
3
ravnine u prostoru E , te uglavnom predstavljaju ureñene trojke. Glavne ravnine orjentirane
su u smjerovima normala = ( n , n , n ) .
n i 1 2 3
2
13
ij
33
σ
σ
21
31
2
12
3
σ
σ
22
32
1
2
3
σ
σ
1
23
33
3

Na glavnim ravninama posmične komponente naprezanja su jednake nuli, a normalne imaju
maksimalne odnosno minimalne veličine i predstavljaju ekstreme vrijednosti tenzora
naprezanja. U koordinatnom sustavu glavnih naprezanja matrica tenzora naprezanja je
dijagonalna i ima oblik.
⎡σ
1 0 0 ⎤
[ σ ] ⎢ ⎥
ij =
⎢
0 σ 2 0
⎥
(5.46)
⎢⎣
0 0 σ ⎥ 3⎦
Ako je tenzor naprezanja realan i simetričan tada su i glavna naprezanja takoñer realna.
Uglavnom su poredana po apsolutnoj veličini σ > σ > σ > 0 . U prostoru gdje su
koordinatne osi u smjeru glavnih naprezanja (Sl.5.8) vrijedi:
Budući da vrijedi:
n
n n n
ρ 1 = σ 1 1 , ρ 2 = σ 2 2 , 3 σ 3 3
1
3
.
. . .
. .
.
.
.
. .
n3
n
n1 n2
Sl. 5.8 Sustav glavnih naprezanja
n
2
1
2
2
1
2
3
2
n
n
3
ρ = n
(5.47)
+ n + n = 1
(5.48)
za jedinični vektor normale n i tada pomoću izraza (5.47) i (5.48) dobivamo:
n
(ρ )
2
σ
(ρ )
+
σ
n
(ρ3
)
+ 2
σ
2 n 2 2
1 2
2 =
1 2 3
1
2
(5.49)
3
što pretstavlja jednadžbu elipsoida u prostoru E , a zove se „Lameov elipsoid naprezanja“.
U slučaju kada sve tri vrijednosti glavnih naprezanja nisu pozitivne ili negativne tada elipsoid
prelazi u hiperbolid. Dakle, moguće su različite modifikacije elipsoida ili hiperboloida,
zavisno o odnosu i predznaku glavnih naprezanja.

Odreñivanje smjerova glavnih naprezanja vrši se na temelju izraza (5.39) kao:
⎡(
σ11
−σ
i )
⎢
⎢
σ 21
⎢⎣
σ 31
( σ
σ
22
σ
12
−σ
)
32
i
σ13
⎤⎧ni1
⎫
⎪ ⎪
σ
⎥
23 ⎥⎨ni
2 ⎬ = 0
( σ 33 −σ
) ⎥⎪
⎪
i ⎦⎩ni
3 ⎭
(5.50)
gdje za σ i = σ1
odgovara n 1 = ( n11,
n12,
n13)
, za σ i = σ 2 odgovara n 2 = ( n21,
n22,
n23)
, a za
σ i = σ 3 odgovara n 3 = ( n31,
n32,
n33)
. Netrivijalno riješenje jednadžbe (5.50) može se zapisati
u obliku:
n n n cos(n , n ) cos(n , n ) cos(n , n )
+ (5.51)
A
i1 i2 i3
i 1
i 2
i 3
+ = + + = ri
i Bi
Ci
Ai
Bi
Ci
gdje je r i konstanta koju treba odrediti, a verificira se direktnim uvrštavanjem u izraz (5.50).
Da bi se zadovoljile gornje jednakosti, i A , i B i C i su kofaktori sljedećih oblika:
Isto tako vrijedi odnos izmeñu komponenata normala u obliku
(σ22
− σi
) σ23
Ai
= (5.52)
σ (σ − σ )
32
33
i
σ23
σ21
Bi
= (5.53)
(σ − σ ) σ
n
33
i
31
σ21
(σ22
− σi
)
Ci
= (5.54)
σ σ
2
i1
31
2
i2
2
i3
Uvrštenjem izraza (5.51) u (5.55) dobivamo sljedeće:
A
2 2
i ri
odnosno izdvojimo konstantu r i kao:
32
+ n + n = 1
(5.55)
2 2
i i
2 2
i i
+ B r + C r = 1
(5.56)
1
ri
= (5.57)
A + B + C
2
i
2
i
2
i

nakon čega se dobivaju kosinusi kuteva normala koje pokazuju smjerove glavnih naprezanja
kao:
n
i1
=
A
2
i
A
i
+ B
2
i
+ C
2
i
n i1 = Air
i ; i2 Biri
n
i2
=
A
2
i
n = ; n i3 = Ciri
B
i
+ B
5.12. Ekstremna posmična naprezanja
1
e' 3
e' 1
.
3
t
T
. .
.
.
.
. . . .
. n1.
.
. .
. .
2
i
n3
e' 2
+ C
2
i
Sl. 5.9 Ekstremna posmična naprezanja
n2
n
C
i
i3 = (5.58)
2 2 2
Ai
+ Bi
+ Ci
U nekim analizama naprezanja koristi se koordinatni sustav koji se poklapa sa smijerovima
glavnih naprezanja. Uveo ga je Westergaard, pa se po njemu zove Westergaardov koordinatni
sustav. Neka u prostoru glavnih naprezanja σ 1 , σ 2 , σ 3 > 0 na općoj ravnini imamo vektor
totalnog naprezanja prema (Sl. 5.9) izražen preko normalne i posmične komponente u obliku:
2
( )
n 2 2
N + σT
ρ ili
σ =
2
N
n
2 2
( ) N σ ρ
n
σ − = T (5.59)
n
Komponente vektora totalnog naprezanja ρ i u Westergardovu sustavu su:
n
n
ρ 1 = σ1n1
; 2 σ2n2
Budući da se σ N može napisati u komponentama kao:
n
ρ = i ρ 3 = σ3n3
(5.60)
σ = ρ n
(5.61)
N
n
i
i
2
n

tada pomoću izraza (5.60) dobivamo:
N
1
2
1
2
2
2
3
2
3
σ = σ n + σ n + σ n
(5.62)
Uvrštenjem izraza (5.60) i (5.62) u (5.59) dolazimo do sljedećeg izraza:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
σ T = σ 1 n1
+ σ2
n2
+ σ3
n3
−(σ
1n1
+ σ2n2
+ σ3n3
)
(5.63)
Maksimum ili minimum izraza (5.63) može se dobiti metodom Lagrangeovih multiplikatora.
Konstruiramo funkciju F u obliku:
2
T
F = σ − λ ⋅ n ⋅ n
(5.64)
u kojem je λ skalar zvan Lagrangeov multiplikator, a n i kosinusi smjerova u kojima je
posmično naprezanje ekstremno. Za ostvarenje ekstrema funkcije F imamo:
∂F
= 0
∂n
U razvijenom obliku nakon operacije deriviranja imamo:
n
n
1
2
n
i
2
2
2
2
[ σ − 2σ (σ n + σ n + σ n ) + λ]
= 0
1
1
1
1
2
2
2
2 2
[ σ − 2σ (σ n + σ n + σ n ) + λ]
= 0
Gornje jednadžbe zajedno s dodatnim uvjetima:
3
2
2
1
1
2
2
2
2
2 2
[ σ 2σ (σ n + σ n + σ n ) + λ]
= 0
3
3
1
1
2
2
2
i
3
3
3
3
3
i
3
(5.65)
− (5.66)
ni i
Mogu se riješiti po λ i kosinusima smjerova n 1 , n 2 i 3
Prvi skup riješenja jednadžbi (5.66) i (5.63) je:
n 1
⋅ n = 1
(5.67)
n .
= ± 1 , n2 = 0 , = 0 → σ = 0
n3 T
n3 = 0 → σT
n3 ± 1 → σT
n1 = 0 , = ± 1 , = 0
n 2
n1 = 0 , n2 = 0 , = = 0
(5.68)
što pretstavlja riješenje za glavne ravnine naprezanja u kojima su posmične komponente
jednake nuli.

Drugi skup riješenja jednadžbi (5.66) i (5.63) izgleda:
± 1 ± 1
n1 = 0 , n2 = , n3
=
2 2
→
σ2
− σ3
σT
=
2
± 1
n1 = , n2 = 0 , n3
2
± 1
=
2
→
σ1
− σ3
σT
=
2
± 1 ± 1
n1 = , n2 = , n3
2 2
= 0 →
σ1
− σ2
σT
=
(5.69)
2
Gornji izrazi daju maksimalne vrijednosti posmičnih naprezanja. Oni su polovična razlika
o
glavnih naprezanja, a djeluju pod kutem od 45 u odnosu na ravnine glavnih naprezanja,
odnosno u simetralnim ravninama dviju glavnih ravnina.
5.13. Naprezanja na oktaedarskoj ravnini
1
1
e' 3
0
e' 1
3
3
e' 2
To
No
Sl. 5.10 Oktaedarska ravnina
Ravnina ABC koja odsjeca jednake odsječke u koordinatnom sustavu glavnih naprezanja na
osima x , x , x ) u smjeru σ , σ , σ ) zove se „oktaedarska ravnina“. Njezina normala n
( 1 2 3
( 1 2 3
zatvara sa koordinatnim osima jednake kuteve n 1 = n2
= n3 = 1 3 . Naprezanja na
oktaedarskoj ravnini zovu se „oktaedarska naprezanja“. Jednadžba normale no na
oktaedarskoj ravnini je:
Vektor totalnog naprezanja na oktaedarskoj ravnini izgleda:
1
n o = ( e1
+ e2
+ e3)
(5.70)
3
no
ρ = ρ 1n1
+ ρ2n2
+ ρ3n3
(5.71)
no
no
t
2
2

gdje je:
e e
ρ 1 = σ 1 1 1 ; ρ 2 = σ 2 2 2 ; 3 σ 3e3e
3
uvrštenjem izraza (5.72) u (5.71) dobivamo:
=
ρ
no
e
e
= σ1e1e1n1 + σ2e2e
2n2
+ σ3e3e3n
3 =
1
( e1 + e2
+ e3
) ⋅ ( σ 1e1e1
+ σ 2e
2e
2 + σ 3e
3e
3
Normalna komponenta naprezanja na oktaedarskoj ravnini je:
ρ = (5.72)
no 1
ρ = (σ1e1
+ σ2e2
+ σ3e3
)
(5.73)
3
no 1
1
σ No = ρ ⋅ no
= (σ1e1
+ σ2e2
+ σ3e3
) ( e1
+ e2
+ e3
) =
1
(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) (5.74)
3
3
3
Posmična komponenta naprezanja na oktaedarskoj ravnini tada iznosi:
no 2 2
To = ( ρ − σ No
σ )
=
1
3
=
3
3(σ
2
1
+ σ
2
2
=
+ σ
1
(σ
3
2
3
2
1
) − (σ
+ σ
2
1
2
2
+ σ
+ σ
2
2
2
3
+ σ
1
) − (σ
9
2
3
1
+ 2σ σ
1
+ σ
2
2
3
)
+ σ
+ 2σ
2
3
σ
3
)
2
+ 2σ σ
1 2
2 2
2 2
2
(σ1
− 2σ1σ
2 + σ2
) + (σ2
− 2σ2σ
3 + σ3
)(σ3
− 2σ3σ1
+ σ1
1
3
(σ
σ
)
(σ
σ
)
(σ
σ
)
2
2
2
= 1 − 2 + 2 − 3 + 3 − 1
(5.75)
3
1
)
)