Dr Maciej Grzesiak Podręcznik: W.J.Gilbert, W.K.Nicholson, Algebra ...
Dr Maciej Grzesiak Podręcznik: W.J.Gilbert, W.K.Nicholson, Algebra ...
Dr Maciej Grzesiak Podręcznik: W.J.Gilbert, W.K.Nicholson, Algebra ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
<strong>Dr</strong> <strong>Maciej</strong> <strong>Grzesiak</strong><br />
<strong>Podręcznik</strong>: W.J.<strong>Gilbert</strong>, W.K.<strong>Nicholson</strong>, <strong>Algebra</strong> współczesna z<br />
zastosowaniami, WNT, Warszawa 2008<br />
http://www.math.put.poznan.pl/∼grzesiak/<br />
Konsultacje: piątek 9.45–11.15 pokój 724E<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Treść wykładu<br />
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna<br />
Grupa ilorazowa<br />
Działanie grupy na zbiorze<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Definicja<br />
Zbiór G z określonym na nim działaniem dwuargumentowym ◦<br />
nazywamy grupą, gdy:<br />
G1. ∀ x,y,z∈G (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z);<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Definicja<br />
Zbiór G z określonym na nim działaniem dwuargumentowym ◦<br />
nazywamy grupą, gdy:<br />
G1. ∀ x,y,z∈G (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z);<br />
G2. ∃ e∈G ∀ x∈G e ◦ x = x ◦ e = x;<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Definicja<br />
Zbiór G z określonym na nim działaniem dwuargumentowym ◦<br />
nazywamy grupą, gdy:<br />
G1. ∀ x,y,z∈G (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z);<br />
G2. ∃ e∈G ∀ x∈G e ◦ x = x ◦ e = x;<br />
G3. ∀ x∈G ∃ x −1 ∈G x ◦ x −1 = x −1 ◦ x = e.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Ponieważ działanie jest łączne, więc (ab)c = a(bc) można pisać po<br />
prostu jako abc. Z tego samego powodu iloczyn a 1 a 2 . . . a n można<br />
pisać bez nawiasów.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Ponieważ działanie jest łączne, więc (ab)c = a(bc) można pisać po<br />
prostu jako abc. Z tego samego powodu iloczyn a 1 a 2 . . . a n można<br />
pisać bez nawiasów.<br />
Jeśli a 1 = a 2 = . . . = a n , to taki iloczyn nazywamy n−tą potęgą i<br />
oznaczamy a n .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Ponieważ działanie jest łączne, więc (ab)c = a(bc) można pisać po<br />
prostu jako abc. Z tego samego powodu iloczyn a 1 a 2 . . . a n można<br />
pisać bez nawiasów.<br />
Jeśli a 1 = a 2 = . . . = a n , to taki iloczyn nazywamy n−tą potęgą i<br />
oznaczamy a n .<br />
Określamy ponadto a 0 = e, a −n = (a n ) −1 lub a −n = (a −1 ) n .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Ponieważ działanie jest łączne, więc (ab)c = a(bc) można pisać po<br />
prostu jako abc. Z tego samego powodu iloczyn a 1 a 2 . . . a n można<br />
pisać bez nawiasów.<br />
Jeśli a 1 = a 2 = . . . = a n , to taki iloczyn nazywamy n−tą potęgą i<br />
oznaczamy a n .<br />
Określamy ponadto a 0 = e, a −n = (a n ) −1 lub a −n = (a −1 ) n .<br />
Ć w i c z e n i e. Wykazać, że dla a ∈ G, m, n ∈ Z a m a n = a m+n ,<br />
(a m ) n = a mn .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jeśli a n = e dla pewnego n > 0, to najmniejszą z liczb o tej<br />
własności nazywamy rzędem elementu a i oznaczamy |a|.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jeśli a n = e dla pewnego n > 0, to najmniejszą z liczb o tej<br />
własności nazywamy rzędem elementu a i oznaczamy |a|.<br />
Jeśli a n ≠ e dla każdego n > 0, to |a| = ∞.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jeśli a n = e dla pewnego n > 0, to najmniejszą z liczb o tej<br />
własności nazywamy rzędem elementu a i oznaczamy |a|.<br />
Jeśli a n ≠ e dla każdego n > 0, to |a| = ∞.<br />
Jeśli grupa ma skończoną liczbę elementów, to nazywamy ją grupą<br />
skończoną. Liczbę elementów grupy nazywamy rzędem grupy;<br />
oznaczenie: |G|.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jeśli a n = e dla pewnego n > 0, to najmniejszą z liczb o tej<br />
własności nazywamy rzędem elementu a i oznaczamy |a|.<br />
Jeśli a n ≠ e dla każdego n > 0, to |a| = ∞.<br />
Jeśli grupa ma skończoną liczbę elementów, to nazywamy ją grupą<br />
skończoną. Liczbę elementów grupy nazywamy rzędem grupy;<br />
oznaczenie: |G|.<br />
Ć w i c z e n i e. Jeśli a n = e, to n dzieli się przez |a|.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jeżeli G spełnia oprócz G1—G3 jeszcze:<br />
G4. ∀ x,y∈G x ◦ y = y ◦ x,<br />
to nazywamy ją grupą abelową.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jeżeli G spełnia oprócz G1—G3 jeszcze:<br />
G4. ∀ x,y∈G x ◦ y = y ◦ x,<br />
to nazywamy ją grupą abelową.<br />
Tradycyjnie działanie w grupie abelowej oznaczamy + i stosujemy<br />
następującą terminologię:<br />
· +<br />
mnożenie dodawanie<br />
iloczyn suma<br />
jedynka zero<br />
odwrotny przeciwny<br />
potęga krotność<br />
e lub 1 0<br />
a −1 −a<br />
a n na<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Zbiór elementów dowolnego ciała rozpatrywany z dodawaniem<br />
tworzy grupę abelową, np. Q, R, C.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Zbiór elementów dowolnego ciała rozpatrywany z dodawaniem<br />
tworzy grupę abelową, np. Q, R, C.<br />
2. Zbiór elementów niezerowych dowolnego ciała rozpatrywany z<br />
mnożeniem tworzy grupę abelową, np. Q ∗ , R ∗ , C ∗ .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Zbiór elementów dowolnego ciała rozpatrywany z dodawaniem<br />
tworzy grupę abelową, np. Q, R, C.<br />
2. Zbiór elementów niezerowych dowolnego ciała rozpatrywany z<br />
mnożeniem tworzy grupę abelową, np. Q ∗ , R ∗ , C ∗ .<br />
3. Zbiór Z z dodawaniem tworzy grupę abelową.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Zbiór elementów dowolnego ciała rozpatrywany z dodawaniem<br />
tworzy grupę abelową, np. Q, R, C.<br />
2. Zbiór elementów niezerowych dowolnego ciała rozpatrywany z<br />
mnożeniem tworzy grupę abelową, np. Q ∗ , R ∗ , C ∗ .<br />
3. Zbiór Z z dodawaniem tworzy grupę abelową.<br />
4. Zbiór Z n reszt z dzielenia przez n z działaniem dodawania<br />
modulo n tworzy grupę abelową. Jest to grupa skończona rzędu n.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Zbiór elementów dowolnego ciała rozpatrywany z dodawaniem<br />
tworzy grupę abelową, np. Q, R, C.<br />
2. Zbiór elementów niezerowych dowolnego ciała rozpatrywany z<br />
mnożeniem tworzy grupę abelową, np. Q ∗ , R ∗ , C ∗ .<br />
3. Zbiór Z z dodawaniem tworzy grupę abelową.<br />
4. Zbiór Z n reszt z dzielenia przez n z działaniem dodawania<br />
modulo n tworzy grupę abelową. Jest to grupa skończona rzędu n.<br />
5. Q p = { m p n |m, n ∈ Z}, gdzie p jest liczbą pierwszą, jest<br />
addytywną grupą abelową.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Zbiór elementów dowolnego ciała rozpatrywany z dodawaniem<br />
tworzy grupę abelową, np. Q, R, C.<br />
2. Zbiór elementów niezerowych dowolnego ciała rozpatrywany z<br />
mnożeniem tworzy grupę abelową, np. Q ∗ , R ∗ , C ∗ .<br />
3. Zbiór Z z dodawaniem tworzy grupę abelową.<br />
4. Zbiór Z n reszt z dzielenia przez n z działaniem dodawania<br />
modulo n tworzy grupę abelową. Jest to grupa skończona rzędu n.<br />
5. Q p = { m p n |m, n ∈ Z}, gdzie p jest liczbą pierwszą, jest<br />
addytywną grupą abelową.<br />
6. Zbiór C n pierwiastków stopnia n z 1 jest grupą multiplikatywną<br />
skończoną rzędu n.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
7. Niech Ω będzie zbiorem, a S(Ω) niech oznacza zbiór<br />
odwzorowań odwracalnych Ω −→ Ω. Zbiór S(Ω) z działaniem<br />
składania tworzy grupę.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
7. Niech Ω będzie zbiorem, a S(Ω) niech oznacza zbiór<br />
odwzorowań odwracalnych Ω −→ Ω. Zbiór S(Ω) z działaniem<br />
składania tworzy grupę.<br />
8. W szczególności, gdy Ω = {1, 2, . . . , n},to S(Ω) jest grupą<br />
permutacji n -elementowych. Nazywamy ją grupą symetryczną i<br />
oznaczamy S n .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
7. Niech Ω będzie zbiorem, a S(Ω) niech oznacza zbiór<br />
odwzorowań odwracalnych Ω −→ Ω. Zbiór S(Ω) z działaniem<br />
składania tworzy grupę.<br />
8. W szczególności, gdy Ω = {1, 2, . . . , n},to S(Ω) jest grupą<br />
permutacji n -elementowych. Nazywamy ją grupą symetryczną i<br />
oznaczamy S n .<br />
Grupa S n jest skończona; |S n | = n!.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
7. Niech Ω będzie zbiorem, a S(Ω) niech oznacza zbiór<br />
odwzorowań odwracalnych Ω −→ Ω. Zbiór S(Ω) z działaniem<br />
składania tworzy grupę.<br />
8. W szczególności, gdy Ω = {1, 2, . . . , n},to S(Ω) jest grupą<br />
permutacji n -elementowych. Nazywamy ją grupą symetryczną i<br />
oznaczamy S n .<br />
Grupa S n jest skończona; |S n | = n!.<br />
Dla n > 2 grupy S n są nieabelowe.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
9. Niech K będzie dowolnym ciałem. Zbiór macierzy nieosobliwych<br />
o wyrazach z K z działaniem mnożenia macierzy jest grupą.<br />
Oznaczamy ją GL(n, K) lub GL n (K) i nazywamy pełną grupą<br />
liniową. Jedynką tej grupy jest macierz jednostkowa; elementem<br />
odwrotnym do macierzy A jest macierz odwrotna A −1 .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W GL n (K) można rozpatrywać następujące podzbiory:<br />
a) SL n (K) = {A ∈ GL n (K) : det A = 1};<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W GL n (K) można rozpatrywać następujące podzbiory:<br />
a) SL n (K) = {A ∈ GL n (K) : det A = 1};<br />
b) D n (K) = {A ∈ GL n (K) : A jest diagonalna};<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W GL n (K) można rozpatrywać następujące podzbiory:<br />
a) SL n (K) = {A ∈ GL n (K) : det A = 1};<br />
b) D n (K) = {A ∈ GL n (K) : A jest diagonalna};<br />
c) T n (K) = {A ∈ GL n (K) : A jest górnotrójkątna};<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W GL n (K) można rozpatrywać następujące podzbiory:<br />
a) SL n (K) = {A ∈ GL n (K) : det A = 1};<br />
b) D n (K) = {A ∈ GL n (K) : A jest diagonalna};<br />
c) T n (K) = {A ∈ GL n (K) : A jest górnotrójkątna};<br />
d) UT n (K) = {A ∈ T n (K) : A ma jedynki na przekątnej }.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W GL n (K) można rozpatrywać następujące podzbiory:<br />
a) SL n (K) = {A ∈ GL n (K) : det A = 1};<br />
b) D n (K) = {A ∈ GL n (K) : A jest diagonalna};<br />
c) T n (K) = {A ∈ GL n (K) : A jest górnotrójkątna};<br />
d) UT n (K) = {A ∈ T n (K) : A ma jedynki na przekątnej }.<br />
Grupy te noszą nazwy: specjalna grupa liniowa, grupa diagonalna,<br />
grupa trójkątna, grupa unitrójkątna.<br />
Grupy
Podgrupy<br />
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jeśli podzbiór H grupy G jest zamknięty ze względu na mnożenie<br />
(tj. a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H), to ograniczenie operacji mnożenia do H<br />
jest działaniem na H.<br />
Grupy
Podgrupy<br />
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jeśli podzbiór H grupy G jest zamknięty ze względu na mnożenie<br />
(tj. a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H), to ograniczenie operacji mnożenia do H<br />
jest działaniem na H.<br />
Jeżeli względem tego działania H jest grupą, to mówimy, że H<br />
jest podgrupą G i oznaczamy H G.<br />
Grupy
Podgrupy<br />
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jeśli podzbiór H grupy G jest zamknięty ze względu na mnożenie<br />
(tj. a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H), to ograniczenie operacji mnożenia do H<br />
jest działaniem na H.<br />
Jeżeli względem tego działania H jest grupą, to mówimy, że H<br />
jest podgrupą G i oznaczamy H G.<br />
Jeśli H G i H ≠ G, to piszemy H < G.<br />
Grupy
Podgrupy<br />
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jeśli podzbiór H grupy G jest zamknięty ze względu na mnożenie<br />
(tj. a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H), to ograniczenie operacji mnożenia do H<br />
jest działaniem na H.<br />
Jeżeli względem tego działania H jest grupą, to mówimy, że H<br />
jest podgrupą G i oznaczamy H G.<br />
Jeśli H G i H ≠ G, to piszemy H < G.<br />
Lemat<br />
Następujące warunki są równoważne:<br />
a) H G;<br />
b) ∀ a,b∈H ab −1 ∈ H;<br />
c) ∀ a,b∈H ab ∈ H ∧ a −1 ∈ H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Z < Q p < Q < R < C. Zauważmy, że Z = ⋂ Q p .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Z < Q p < Q < R < C. Zauważmy, że Z = ⋂ Q p .<br />
2. Q ∗ < R ∗ < C ∗ .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Z < Q p < Q < R < C. Zauważmy, że Z = ⋂ Q p .<br />
2. Q ∗ < R ∗ < C ∗ .<br />
3. C p < C p 2 < . . . < C p ∞. Ponadto C p ∞ = ⋃ C p n.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Z < Q p < Q < R < C. Zauważmy, że Z = ⋂ Q p .<br />
2. Q ∗ < R ∗ < C ∗ .<br />
3. C p < C p 2 < . . . < C p ∞. Ponadto C p ∞ = ⋃ C p n.<br />
4. Dla n 2: SL n (K) < GL n (K), D n (K) < T n (K),<br />
UT n (K) < T n (K) < GL n (K).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Iloczyny proste grup<br />
Niech G, H będą dowolnymi grupami. Wtedy w zbiorze G × H<br />
można określić działanie wzorem:<br />
(g, h) ◦ (g ′ , h ′ ) = (gg ′ , hh ′ )<br />
dla dowolnych (g, g ′ ), (h, h ′ ) ze zbioru G × H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Iloczyny proste grup<br />
Niech G, H będą dowolnymi grupami. Wtedy w zbiorze G × H<br />
można określić działanie wzorem:<br />
(g, h) ◦ (g ′ , h ′ ) = (gg ′ , hh ′ )<br />
dla dowolnych (g, g ′ ), (h, h ′ ) ze zbioru G × H.<br />
Zbiór G × H z tym działaniem tworzy grupę, której elementem<br />
neutralnym jest (e G , e H ). Nazywamy ją iloczynem prostym grup G<br />
i H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Iloczyny proste grup<br />
Niech G, H będą dowolnymi grupami. Wtedy w zbiorze G × H<br />
można określić działanie wzorem:<br />
(g, h) ◦ (g ′ , h ′ ) = (gg ′ , hh ′ )<br />
dla dowolnych (g, g ′ ), (h, h ′ ) ze zbioru G × H.<br />
Zbiór G × H z tym działaniem tworzy grupę, której elementem<br />
neutralnym jest (e G , e H ). Nazywamy ją iloczynem prostym grup G<br />
i H.<br />
Zbiory G ′ = {(g, e H ) : g ∈ G} i H ′ = {(e G , h) : h ∈ H} są<br />
podgrupami grupy G × H i oczywiście są izomorficzne odpowiednio<br />
z G i H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Iloczyny proste grup<br />
Niech G, H będą dowolnymi grupami. Wtedy w zbiorze G × H<br />
można określić działanie wzorem:<br />
(g, h) ◦ (g ′ , h ′ ) = (gg ′ , hh ′ )<br />
dla dowolnych (g, g ′ ), (h, h ′ ) ze zbioru G × H.<br />
Zbiór G × H z tym działaniem tworzy grupę, której elementem<br />
neutralnym jest (e G , e H ). Nazywamy ją iloczynem prostym grup G<br />
i H.<br />
Zbiory G ′ = {(g, e H ) : g ∈ G} i H ′ = {(e G , h) : h ∈ H} są<br />
podgrupami grupy G × H i oczywiście są izomorficzne odpowiednio<br />
z G i H.<br />
U w a g a. W przypadku grup abelowych mówimy raczej: suma<br />
prosta grup.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Zbiory generujące<br />
Przekrój dowolnego zbioru podgrup danej grupy jest także<br />
podgrupą.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Zbiory generujące<br />
Przekrój dowolnego zbioru podgrup danej grupy jest także<br />
podgrupą.<br />
Niech M — dowolny podzbiór grupy G. Przekrój (M) wszystkich<br />
podgrup grupy G zawierających M nazywamy podgrupą<br />
generowaną przez M, a zbiór M — zbiorem generatorów dla (M).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Zbiory generujące<br />
Przekrój dowolnego zbioru podgrup danej grupy jest także<br />
podgrupą.<br />
Niech M — dowolny podzbiór grupy G. Przekrój (M) wszystkich<br />
podgrup grupy G zawierających M nazywamy podgrupą<br />
generowaną przez M, a zbiór M — zbiorem generatorów dla (M).<br />
Grupę mającą skończony zbiór generatorów nazywamy skończenie<br />
generowaną.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeśli M jest podzbiorem grupy G, to<br />
(M) = {a ε 1<br />
1 aε 2<br />
2 · · · aεm m : a i ∈ M, ε i = ±1, m = 1, 2, . . .}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeśli M jest podzbiorem grupy G, to<br />
(M) = {a ε 1<br />
1 aε 2<br />
2 · · · aεm m : a i ∈ M, ε i = ±1, m = 1, 2, . . .}.<br />
D o w ó d. Oznaczmy prawą część przez H. Ponieważ (M) zawiera<br />
wszystkie a i ∈ M, więc (M) H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeśli M jest podzbiorem grupy G, to<br />
(M) = {a ε 1<br />
1 aε 2<br />
2 · · · aεm m : a i ∈ M, ε i = ±1, m = 1, 2, . . .}.<br />
D o w ó d. Oznaczmy prawą część przez H. Ponieważ (M) zawiera<br />
wszystkie a i ∈ M, więc (M) H.<br />
Z drugiej strony, jeśli x, y ∈ H, to xy −1 ∈ H, więc H jest<br />
podgrupą, oczywiście zawierającą M.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeśli M jest podzbiorem grupy G, to<br />
(M) = {a ε 1<br />
1 aε 2<br />
2 · · · aεm m : a i ∈ M, ε i = ±1, m = 1, 2, . . .}.<br />
D o w ó d. Oznaczmy prawą część przez H. Ponieważ (M) zawiera<br />
wszystkie a i ∈ M, więc (M) H.<br />
Z drugiej strony, jeśli x, y ∈ H, to xy −1 ∈ H, więc H jest<br />
podgrupą, oczywiście zawierającą M.<br />
Stąd H ⊇ (M) i w końcu H = (M). <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady. . Uwaga: jeśli zbiór M określony jest w postaci<br />
M = {. . . : . . .}, to będziemy pisać (. . . : . . .) zamiast<br />
({. . . : . . .}).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady. . Uwaga: jeśli zbiór M określony jest w postaci<br />
M = {. . . : . . .}, to będziemy pisać (. . . : . . .) zamiast<br />
({. . . : . . .}).<br />
1. Z = (1).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady. . Uwaga: jeśli zbiór M określony jest w postaci<br />
M = {. . . : . . .}, to będziemy pisać (. . . : . . .) zamiast<br />
({. . . : . . .}).<br />
1. Z = (1).<br />
2. Z n = (1(modn)).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady. . Uwaga: jeśli zbiór M określony jest w postaci<br />
M = {. . . : . . .}, to będziemy pisać (. . . : . . .) zamiast<br />
({. . . : . . .}).<br />
1. Z = (1).<br />
2. Z n = (1(modn)).<br />
3. Q = ( 1 n : n = 1, 2, . . .). Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady. . Uwaga: jeśli zbiór M określony jest w postaci<br />
M = {. . . : . . .}, to będziemy pisać (. . . : . . .) zamiast<br />
({. . . : . . .}).<br />
1. Z = (1).<br />
2. Z n = (1(modn)).<br />
3. Q = ( 1 n<br />
: n = 1, 2, . . .).<br />
4. Q ∗ = (−1, 2, 3, 5, 7, 11, . . .).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady. . Uwaga: jeśli zbiór M określony jest w postaci<br />
M = {. . . : . . .}, to będziemy pisać (. . . : . . .) zamiast<br />
({. . . : . . .}).<br />
1. Z = (1).<br />
2. Z n = (1(modn)).<br />
3. Q = ( 1 n<br />
: n = 1, 2, . . .).<br />
4. Q ∗ = (−1, 2, 3, 5, 7, 11, . . .).<br />
5. C n = (ε n ), ε n = cos 2π n + i sin 2π n Ġrupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady. . Uwaga: jeśli zbiór M określony jest w postaci<br />
M = {. . . : . . .}, to będziemy pisać (. . . : . . .) zamiast<br />
({. . . : . . .}).<br />
1. Z = (1).<br />
2. Z n = (1(modn)).<br />
3. Q = ( 1 n<br />
: n = 1, 2, . . .).<br />
4. Q ∗ = (−1, 2, 3, 5, 7, 11, . . .).<br />
5. C n = (ε n ), ε n = cos 2π n + i sin 2π n .<br />
6. C p ∞ = (ε p m : m = 1, 2, . . .).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Funkcja Eulera<br />
Definicja<br />
Funkcję ϕ Eulera przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej<br />
liczbę liczb względnie z nią pierwszych nie większych od niej<br />
samej.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Funkcja Eulera<br />
Definicja<br />
Funkcję ϕ Eulera przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej<br />
liczbę liczb względnie z nią pierwszych nie większych od niej<br />
samej.<br />
Przykład. Początkowe wartości funkcji Eulera:<br />
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
ϕ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Własności funkcji Eulera<br />
1 Dla dowolnej liczby pierwszej p jest ϕ(p) = p − 1<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Własności funkcji Eulera<br />
1 Dla dowolnej liczby pierwszej p jest ϕ(p) = p − 1<br />
2 Jeżeli liczby całkowite m, n są względnie pierwsze, to<br />
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Własności funkcji Eulera<br />
1 Dla dowolnej liczby pierwszej p jest ϕ(p) = p − 1<br />
2 Jeżeli liczby całkowite m, n są względnie pierwsze, to<br />
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).<br />
3 Jeżeli n = p k , to ϕ(n) = p k − p k−1<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Własności funkcji Eulera<br />
1 Dla dowolnej liczby pierwszej p jest ϕ(p) = p − 1<br />
2 Jeżeli liczby całkowite m, n są względnie pierwsze, to<br />
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).<br />
3 Jeżeli n = p k , to ϕ(n) = p k − p k−1<br />
4 Jeżeli n nie ma wielokrotnych dzielników pierwszych, tj.<br />
n = p 1 p 2 . . . p k gdzie liczby p i są pierwsze i parami różne<br />
(i = 1, . . . , k), to ϕ(n) = (p 1 − 1)(p 2 − 1) . . . (p k − 1).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Własności funkcji Eulera<br />
1 Dla dowolnej liczby pierwszej p jest ϕ(p) = p − 1<br />
2 Jeżeli liczby całkowite m, n są względnie pierwsze, to<br />
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).<br />
3 Jeżeli n = p k , to ϕ(n) = p k − p k−1<br />
4 Jeżeli n nie ma wielokrotnych dzielników pierwszych, tj.<br />
n = p 1 p 2 . . . p k gdzie liczby p i są pierwsze i parami różne<br />
(i = 1, . . . , k), to ϕ(n) = (p 1 − 1)(p 2 − 1) . . . (p k − 1).<br />
5 Dla dowolnej liczby całkowitej n zachodzi: ∑ m|n<br />
ϕ(m) = n<br />
(sumowanie przebiega wszystkie dzielniki liczby n).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Własności funkcji Eulera<br />
Jeżeli n = ∏ k<br />
i=1 p k i<br />
i<br />
jest rozkładem liczby n na czynniki<br />
pierwsze to ϕ(n) = ∏ k<br />
i=1 ϕ(p k i<br />
i<br />
)<br />
Dla każdej liczby naturalnej n:<br />
) )<br />
)<br />
ϕ(n) = n<br />
(1 − 1 p 1<br />
(1 − 1 p 2<br />
. . .<br />
(1 − 1 p k<br />
,<br />
gdzie p 1 , p 2 , . . . , p k są wszystkimi czynnikami pierwszymi<br />
liczby n liczonymi bez powtórzeń.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Własności funkcji Eulera<br />
Jeżeli n = ∏ k<br />
i=1 p k i<br />
i<br />
jest rozkładem liczby n na czynniki<br />
pierwsze to ϕ(n) = ∏ k<br />
i=1 ϕ(p k i<br />
i<br />
)<br />
Dla każdej liczby naturalnej n:<br />
) )<br />
)<br />
ϕ(n) = n<br />
(1 − 1 p 1<br />
(1 − 1 p 2<br />
. . .<br />
(1 − 1 p k<br />
,<br />
gdzie p 1 , p 2 , . . . , p k są wszystkimi czynnikami pierwszymi<br />
liczby n liczonymi bez powtórzeń.<br />
Wykażemy ostatni wzór w oparciu o zasadę włączania-wyłączania.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Zasada włączania-wyłączania<br />
Twierdzenie (zasada włączania-wyłączania)<br />
Niech |S| oznacza liczbę elementów zbioru S. Jeżeli A 1 , A 2 , . . . , A r<br />
są zbiorami skończonymi, to<br />
| ⋃ r<br />
i=1 A i | =<br />
= ∑ r<br />
i=1 |A i | − ∑ r<br />
+ ∑ r<br />
i,j,k=1<br />
i≠j,i≠k,j≠k<br />
i,j=1<br />
i≠j<br />
|A i ∩ A j |+<br />
|A i ∩ A j ∩ A k | + · · · +<br />
+ (−1) r−1 |A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A r |.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód wzoru<br />
Załóżmy, że liczba n ma następujący rozkład na czynniki pierwsze:<br />
n = p e 1<br />
1 pe 2<br />
2 . . . per r .<br />
i niech A i będzie zbiorem wszystkich liczb m ∈ {1, 2, . . . , n}<br />
takich, że p i dzieli m. Można wykazać, że<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód wzoru<br />
Załóżmy, że liczba n ma następujący rozkład na czynniki pierwsze:<br />
n = p e 1<br />
1 pe 2<br />
2 . . . per r .<br />
i niech A i będzie zbiorem wszystkich liczb m ∈ {1, 2, . . . , n}<br />
takich, że p i dzieli m. Można wykazać, że<br />
|A i | = n p i<br />
, |A i ∩ A j | = n<br />
p i p j<br />
dla i ≠ j,<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód wzoru<br />
Załóżmy, że liczba n ma następujący rozkład na czynniki pierwsze:<br />
n = p e 1<br />
1 pe 2<br />
2 . . . per r .<br />
i niech A i będzie zbiorem wszystkich liczb m ∈ {1, 2, . . . , n}<br />
takich, że p i dzieli m. Można wykazać, że<br />
|A i | = n p i<br />
, |A i ∩ A j | = n<br />
p i p j<br />
dla i ≠ j,<br />
|A i ∩ A j ∩ A k | = n<br />
p i p j p k<br />
dla różnych i, j, k,<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód wzoru<br />
Załóżmy, że liczba n ma następujący rozkład na czynniki pierwsze:<br />
n = p e 1<br />
1 pe 2<br />
2 . . . per r .<br />
i niech A i będzie zbiorem wszystkich liczb m ∈ {1, 2, . . . , n}<br />
takich, że p i dzieli m. Można wykazać, że<br />
|A i | = n p i<br />
, |A i ∩ A j | = n<br />
p i p j<br />
dla i ≠ j,<br />
|A i ∩ A j ∩ A k | = n<br />
p i p j p k<br />
dla różnych i, j, k,<br />
itd. Ponieważ ϕ(n) = n − | ⋃ r<br />
i=1 A i |, więc stosując zasadę<br />
włączania-wyłączania i powyższe równości otrzymujemy:<br />
ϕ(n) = n− ∑ n<br />
+ ∑ n<br />
−<br />
n +. . . = n<br />
p i p i p j p i p j p k<br />
(1 − 1 p 1<br />
) (1 − 1 p 2<br />
)<br />
. . .<br />
(<br />
1 − p<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Podgrupy cykliczne<br />
Podgrupa (a) generowana przez jeden element a nazywa się<br />
cykliczną.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Podgrupy cykliczne<br />
Podgrupa (a) generowana przez jeden element a nazywa się<br />
cykliczną.<br />
Z twierdzenia o podgrupie generowanej przez zbiór wynika, że<br />
(a) = {a n : n = 0, ±1, ±2, . . .}.<br />
Dwa pierwsze przykłady wyżej pokazują, że Z i Z n są grupami<br />
cyklicznymi.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
(i) Każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
(i) Każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.<br />
(ii) Niech (a) będzie grupą cykliczną rzędu n. Element a k<br />
generuje podgrupę rzędu<br />
n<br />
NWD(k,n) .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
(i) Każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.<br />
(ii) Niech (a) będzie grupą cykliczną rzędu n. Element a k<br />
generuje podgrupę rzędu<br />
n<br />
NWD(k,n) .<br />
(iv) Niech (a) będzie grupą cykliczną rzędu n a l – dodatnim<br />
dzielnikiem liczby n. Wtedy (a) zawiera ϕ(l) elementów rzędu<br />
l.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
(i) Każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.<br />
(ii) Niech (a) będzie grupą cykliczną rzędu n. Element a k<br />
generuje podgrupę rzędu<br />
n<br />
NWD(k,n) .<br />
(iv) Niech (a) będzie grupą cykliczną rzędu n a l – dodatnim<br />
dzielnikiem liczby n. Wtedy (a) zawiera ϕ(l) elementów rzędu<br />
l.<br />
(v) Grupa cykliczna rzędu n zawiera ϕ(n) generatorów.<br />
Generatorami są te i tylko te elementy a r dla których<br />
NWD(r, n) = 1.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną<br />
grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną<br />
grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą.<br />
Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności:<br />
a m ∈ H, 0 < m < n.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną<br />
grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą.<br />
Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności:<br />
a m ∈ H, 0 < m < n.<br />
Oczywiście (a m ) ⊆ H. Wykażemy, że naprawdę (a m ) = H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną<br />
grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą.<br />
Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności:<br />
a m ∈ H, 0 < m < n.<br />
Oczywiście (a m ) ⊆ H. Wykażemy, że naprawdę (a m ) = H.<br />
Weźmy dowolny element z H; musi on mieć postać a k , 0 k < n.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną<br />
grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą.<br />
Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności:<br />
a m ∈ H, 0 < m < n.<br />
Oczywiście (a m ) ⊆ H. Wykażemy, że naprawdę (a m ) = H.<br />
Weźmy dowolny element z H; musi on mieć postać a k , 0 k < n.<br />
Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 r < m. Wtedy<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną<br />
grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą.<br />
Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności:<br />
a m ∈ H, 0 < m < n.<br />
Oczywiście (a m ) ⊆ H. Wykażemy, że naprawdę (a m ) = H.<br />
Weźmy dowolny element z H; musi on mieć postać a k , 0 k < n.<br />
Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 r < m. Wtedy<br />
a r = a k (a m ) −q ∈ H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną<br />
grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą.<br />
Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności:<br />
a m ∈ H, 0 < m < n.<br />
Oczywiście (a m ) ⊆ H. Wykażemy, że naprawdę (a m ) = H.<br />
Weźmy dowolny element z H; musi on mieć postać a k , 0 k < n.<br />
Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 r < m. Wtedy<br />
a r = a k (a m ) −q ∈ H.<br />
Ze sposobu wyboru liczby m wynika, że r = 0, a więc a k ∈ (a m ).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną<br />
grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą.<br />
Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności:<br />
a m ∈ H, 0 < m < n.<br />
Oczywiście (a m ) ⊆ H. Wykażemy, że naprawdę (a m ) = H.<br />
Weźmy dowolny element z H; musi on mieć postać a k , 0 k < n.<br />
Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 r < m. Wtedy<br />
a r = a k (a m ) −q ∈ H.<br />
Ze sposobu wyboru liczby m wynika, że r = 0, a więc a k ∈ (a m ).<br />
Dowód (iii). Niech n = dl. Na mocy (ii) |a k | = l wtedy, i tylko<br />
wtedy, gdy nwd(k, n) = d.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną<br />
grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą.<br />
Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności:<br />
a m ∈ H, 0 < m < n.<br />
Oczywiście (a m ) ⊆ H. Wykażemy, że naprawdę (a m ) = H.<br />
Weźmy dowolny element z H; musi on mieć postać a k , 0 k < n.<br />
Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 r < m. Wtedy<br />
a r = a k (a m ) −q ∈ H.<br />
Ze sposobu wyboru liczby m wynika, że r = 0, a więc a k ∈ (a m ).<br />
Dowód (iii). Niech n = dl. Na mocy (ii) |a k | = l wtedy, i tylko<br />
wtedy, gdy nwd(k, n) = d.<br />
Zatem liczba elementów rzędu l jest liczbą tych k n, że<br />
nwd(k, n) = d.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną<br />
grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą.<br />
Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności:<br />
a m ∈ H, 0 < m < n.<br />
Oczywiście (a m ) ⊆ H. Wykażemy, że naprawdę (a m ) = H.<br />
Weźmy dowolny element z H; musi on mieć postać a k , 0 k < n.<br />
Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 r < m. Wtedy<br />
a r = a k (a m ) −q ∈ H.<br />
Ze sposobu wyboru liczby m wynika, że r = 0, a więc a k ∈ (a m ).<br />
Dowód (iii). Niech n = dl. Na mocy (ii) |a k | = l wtedy, i tylko<br />
wtedy, gdy nwd(k, n) = d.<br />
Zatem liczba elementów rzędu l jest liczbą tych k n, że<br />
nwd(k, n) = d.<br />
Ale gdy k = dh, to<br />
nwd(k, n) = d ⇔ nwd(dh, dl) = d ⇔ nwd(h, l) = 1. <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozważmy grupę C n pierwiastków stopnia n z 1,<br />
generowaną przez ε 1 = e i 2π n . Przykładowo weźmy n = 12; wtedy<br />
generatorem jest liczba e i π 6 . Grupa ma 12 elementów:<br />
C 12 = {e i kπ 6 : k = 0, 1, 2, . . . , 11}.<br />
Dzielnikami 12 są 1, 2 , 3, 4, 6, 12.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozważmy grupę C n pierwiastków stopnia n z 1,<br />
generowaną przez ε 1 = e i 2π n . Przykładowo weźmy n = 12; wtedy<br />
generatorem jest liczba e i π 6 . Grupa ma 12 elementów:<br />
C 12 = {e i kπ 6 : k = 0, 1, 2, . . . , 11}.<br />
Dzielnikami 12 są 1, 2 , 3, 4, 6, 12.<br />
l 1 2 3 4 6 12<br />
ϕ(l) 1 1 2 2 2 4<br />
liczby 1 e i π e i 2π 3 , e i 4π 3 e i π 2 , e i 3π 2 e i π 3 , e i 5π 3 e i π 6 , e i 5π 6 , e i 7π 6 , e i 11π<br />
6<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozważmy grupę O n obrotów płaszczyzny, generowaną<br />
przez obrót o 2π/n . Przykładowo weźmy n = 12; wtedy generatorem<br />
jest obrót o kąt π 6<br />
. Grupa ma 12 elementów:<br />
O 12 = {o kπ/6 : k = 0, 1, 2, . . . , 11}.<br />
Dzielnikami 12 są 1, 2 ,3, 4, 6, 12.<br />
l 1 2 3 4 6 12<br />
ϕ(l) 1 1 2 2 2 4<br />
obroty id o π o 2π/3 , o 4π/3 o π/2 , o 3π/2 o π/3 , o 5π/3 o π/6 , o 5π/6 , o 7<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Homomorfizmy<br />
Niech G, G ′ będą grupami. Odwzorowanie f : G −→ G ′ nazywamy<br />
homomorfizmem, gdy dla dowolnych a, b ∈ G spełniony jest<br />
warunek:<br />
f (ab) = f (a)f (b).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Homomorfizmy<br />
Niech G, G ′ będą grupami. Odwzorowanie f : G −→ G ′ nazywamy<br />
homomorfizmem, gdy dla dowolnych a, b ∈ G spełniony jest<br />
warunek:<br />
f (ab) = f (a)f (b).<br />
Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem;<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Homomorfizmy<br />
Niech G, G ′ będą grupami. Odwzorowanie f : G −→ G ′ nazywamy<br />
homomorfizmem, gdy dla dowolnych a, b ∈ G spełniony jest<br />
warunek:<br />
f (ab) = f (a)f (b).<br />
Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem;<br />
jeżeli obrazem G jest cała G ′ , to mówimy o epimorfizmie.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Homomorfizmy<br />
Niech G, G ′ będą grupami. Odwzorowanie f : G −→ G ′ nazywamy<br />
homomorfizmem, gdy dla dowolnych a, b ∈ G spełniony jest<br />
warunek:<br />
f (ab) = f (a)f (b).<br />
Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem;<br />
jeżeli obrazem G jest cała G ′ , to mówimy o epimorfizmie.<br />
Homomorfizm, który jest monomorfizmem i epimorfizmem<br />
nazywamy izomorfizmem.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Homomorfizmy<br />
Niech G, G ′ będą grupami. Odwzorowanie f : G −→ G ′ nazywamy<br />
homomorfizmem, gdy dla dowolnych a, b ∈ G spełniony jest<br />
warunek:<br />
f (ab) = f (a)f (b).<br />
Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem;<br />
jeżeli obrazem G jest cała G ′ , to mówimy o epimorfizmie.<br />
Homomorfizm, który jest monomorfizmem i epimorfizmem<br />
nazywamy izomorfizmem.<br />
Jeśli G = G ′ , to homomorfizm nazywamy endomorfizmem;<br />
endomorfizm, który jest izomorfizmem, nazywamy<br />
automorfizmem.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Homomorfizmy<br />
Niech G, G ′ będą grupami. Odwzorowanie f : G −→ G ′ nazywamy<br />
homomorfizmem, gdy dla dowolnych a, b ∈ G spełniony jest<br />
warunek:<br />
f (ab) = f (a)f (b).<br />
Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem;<br />
jeżeli obrazem G jest cała G ′ , to mówimy o epimorfizmie.<br />
Homomorfizm, który jest monomorfizmem i epimorfizmem<br />
nazywamy izomorfizmem.<br />
Jeśli G = G ′ , to homomorfizm nazywamy endomorfizmem;<br />
endomorfizm, który jest izomorfizmem, nazywamy<br />
automorfizmem.<br />
Jeżeli istnieje izomorfizm f : G −→ G ′ , to grupy G i G ′ nazywamy<br />
izomorficznymi; piszemy wtedy G ∼ = G ′ .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Odwzorowanie Z −→ Z n przyporządkowujące liczbie jej resztę z<br />
dzielenia przez n jest epimorfizmem.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Odwzorowanie Z −→ Z n przyporządkowujące liczbie jej resztę z<br />
dzielenia przez n jest epimorfizmem.<br />
2. ln : R + −→ R oraz exp : R −→ R + są izomorfizmami.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Odwzorowanie Z −→ Z n przyporządkowujące liczbie jej resztę z<br />
dzielenia przez n jest epimorfizmem.<br />
2. ln : R + −→ R oraz exp : R −→ R + są izomorfizmami.<br />
3. det : GL n (K) −→ K ∗ jest epimorfizmem.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Odwzorowanie Z −→ Z n przyporządkowujące liczbie jej resztę z<br />
dzielenia przez n jest epimorfizmem.<br />
2. ln : R + −→ R oraz exp : R −→ R + są izomorfizmami.<br />
3. det : GL n (K) −→ K ∗ jest epimorfizmem.<br />
4. f : Z n → O n , f (k) = o 2kπ/n .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Z każdym homomorfizmem grup f : G −→ G ′ związane są dwie<br />
podgrupy: jądro ker f ⊆ G i obraz im f ⊆ G ′ :<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Z każdym homomorfizmem grup f : G −→ G ′ związane są dwie<br />
podgrupy: jądro ker f ⊆ G i obraz im f ⊆ G ′ :<br />
ker f = {x ∈ G : f (x) = e};<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Z każdym homomorfizmem grup f : G −→ G ′ związane są dwie<br />
podgrupy: jądro ker f ⊆ G i obraz im f ⊆ G ′ :<br />
ker f = {x ∈ G : f (x) = e};<br />
im f = {y ∈ G ′ : ∃ x∈G f (x) = y}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Z każdym homomorfizmem grup f : G −→ G ′ związane są dwie<br />
podgrupy: jądro ker f ⊆ G i obraz im f ⊆ G ′ :<br />
ker f = {x ∈ G : f (x) = e};<br />
im f = {y ∈ G ′ : ∃ x∈G f (x) = y}.<br />
Sprawdzimy, że są to rzeczywiście podgrupy.<br />
Jeśli a, b ∈ ker f , to f (ab −1 ) = f (a)f (b) −1 = ee = e, zatem<br />
ab −1 ∈ ker f .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Z każdym homomorfizmem grup f : G −→ G ′ związane są dwie<br />
podgrupy: jądro ker f ⊆ G i obraz im f ⊆ G ′ :<br />
ker f = {x ∈ G : f (x) = e};<br />
im f = {y ∈ G ′ : ∃ x∈G f (x) = y}.<br />
Sprawdzimy, że są to rzeczywiście podgrupy.<br />
Jeśli a, b ∈ ker f , to f (ab −1 ) = f (a)f (b) −1 = ee = e, zatem<br />
ab −1 ∈ ker f .<br />
Jeśli c, d ∈ im f , to istnieją a, b ∈ G takie, że c = f (a), d = f (b).<br />
Zatem cd −1 = f (a)f (b) −1 = f (ab −1 ), więc cd −1 ∈ im f .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Warto także zauważyć, że<br />
ab −1 ∈ ker f ⇔ f (ab −1 ) = e ⇔ f (a) = f (b). Zatem jeżeli f jest<br />
monomorfizmem, to<br />
a ∈ ker f ⇒ ae −1 ∈ ker f ⇔ f (a) = f (e) ⇒ a = e, więc ker f = e.<br />
Odwrotnie, jeśli ker f = {e}, to<br />
f (a) = f (b) ⇔ ab −1 ∈ ker f ⇒ ab −1 = e ⇔ a = b. Wykazaliśmy<br />
więc, że homomorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy,<br />
gdy ma jądro jednoelementowe.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Grupa symetryczna S n<br />
S n jest grupą permutacji n-elementowych z działaniem składania.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Grupa symetryczna S n<br />
S n jest grupą permutacji n-elementowych z działaniem składania.<br />
Jak wiadomo, istnieje n! permutacji n-elementowych, więc<br />
|S n | = n!.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Grupa symetryczna S n<br />
S n jest grupą permutacji n-elementowych z działaniem składania.<br />
Jak wiadomo, istnieje n! permutacji n-elementowych, więc<br />
|S n | = n!.<br />
Permutacje oznaczać będziemy małymi literami greckimi (wyjątek<br />
— permutacja tożamościowa e).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Grupa symetryczna S n<br />
S n jest grupą permutacji n-elementowych z działaniem składania.<br />
Jak wiadomo, istnieje n! permutacji n-elementowych, więc<br />
|S n | = n!.<br />
Permutacje oznaczać będziemy małymi literami greckimi (wyjątek<br />
— permutacja tożamościowa e).<br />
Permutację π : i ↦→ π(i), i = 1, 2, . . . , n zapisuje się w dwóch<br />
rzędach: (<br />
1 2 . . . n<br />
i 1 i 2 . . . i n<br />
)<br />
podając wszystkie wartości przekształcenia π:<br />
1 2 . . . n<br />
↓ ↓ · · · ↓<br />
i 1 i 2 . . . i n<br />
.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Permutacje mnoży się zgodnie z prawem składania przekształceń.<br />
Jeżeli σ, τ ∈ S n , to (στ)(i) = σ(τ(i)). Np. dla<br />
( ) ( )<br />
1 2 3 4 1 2 3 4<br />
σ =<br />
, τ =<br />
2 3 4 1 4 3 2 1<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Permutacje mnoży się zgodnie z prawem składania przekształceń.<br />
Jeżeli σ, τ ∈ S n , to (στ)(i) = σ(τ(i)). Np. dla<br />
( ) ( )<br />
1 2 3 4 1 2 3 4<br />
σ =<br />
, τ =<br />
2 3 4 1 4 3 2 1<br />
mamy<br />
στ =<br />
(<br />
1 2 3 4<br />
2 3 4 1<br />
) (<br />
1 2 3 4<br />
4 3 2 1<br />
)<br />
=<br />
1 2 3 4<br />
↓ ↓ ↓ ↓<br />
4 3 2 1<br />
↓ ↓ ↓ ↓<br />
1 4 3 2<br />
=<br />
(<br />
1 2 3 4<br />
1 4 3 2<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Permutacje mnoży się zgodnie z prawem składania przekształceń.<br />
Jeżeli σ, τ ∈ S n , to (στ)(i) = σ(τ(i)). Np. dla<br />
( ) ( )<br />
1 2 3 4 1 2 3 4<br />
σ =<br />
, τ =<br />
2 3 4 1 4 3 2 1<br />
mamy<br />
στ =<br />
(<br />
1 2 3 4<br />
2 3 4 1<br />
Zauważmy, że<br />
(<br />
1 2 3 4<br />
τσ =<br />
4 3 2 1<br />
) (<br />
1 2 3 4<br />
4 3 2 1<br />
)<br />
) (<br />
1 2 3 4<br />
2 3 4 1<br />
=<br />
)<br />
1 2 3 4<br />
↓ ↓ ↓ ↓<br />
4 3 2 1<br />
↓ ↓ ↓ ↓<br />
1 4 3 2<br />
=<br />
=<br />
(<br />
1 2 3 4<br />
3 2 1 4<br />
(<br />
1 2 3 4<br />
1 4 3 2<br />
)<br />
,<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Permutacje mnoży się zgodnie z prawem składania przekształceń.<br />
Jeżeli σ, τ ∈ S n , to (στ)(i) = σ(τ(i)). Np. dla<br />
( ) ( )<br />
1 2 3 4 1 2 3 4<br />
σ =<br />
, τ =<br />
2 3 4 1 4 3 2 1<br />
mamy<br />
στ =<br />
(<br />
1 2 3 4<br />
2 3 4 1<br />
Zauważmy, że<br />
(<br />
1 2 3 4<br />
τσ =<br />
4 3 2 1<br />
) (<br />
1 2 3 4<br />
4 3 2 1<br />
)<br />
) (<br />
1 2 3 4<br />
2 3 4 1<br />
=<br />
)<br />
1 2 3 4<br />
↓ ↓ ↓ ↓<br />
4 3 2 1<br />
↓ ↓ ↓ ↓<br />
1 4 3 2<br />
=<br />
=<br />
(<br />
1 2 3 4<br />
3 2 1 4<br />
(<br />
1 2 3 4<br />
1 4 3 2<br />
)<br />
,<br />
więc στ ≠ τσ.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie Cayleya<br />
Twierdzenie (Cayleya)<br />
Każda grupa skończona jest izomorficzna z pewną grupą<br />
permutacji.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie Cayleya<br />
Twierdzenie (Cayleya)<br />
Każda grupa skończona jest izomorficzna z pewną grupą<br />
permutacji.<br />
D o w ó d. Niech G będzie grupą, |G| = n. Określimy<br />
odwzorowanie Γ : G → S(G) wzorem Γ(g) = γ, gdzie<br />
( )<br />
g1 g<br />
γ =<br />
2 . . . g n<br />
∈ S(G).<br />
gg 1 gg 2 . . . gg n<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie Cayleya<br />
Twierdzenie (Cayleya)<br />
Każda grupa skończona jest izomorficzna z pewną grupą<br />
permutacji.<br />
D o w ó d. Niech G będzie grupą, |G| = n. Określimy<br />
odwzorowanie Γ : G → S(G) wzorem Γ(g) = γ, gdzie<br />
( )<br />
g1 g<br />
γ =<br />
2 . . . g n<br />
∈ S(G).<br />
gg 1 gg 2 . . . gg n<br />
γ jest oczywiście permutacją. Sprawdzimy, że Γ jest izomorfizmem.<br />
Ponieważ dla x ∈ G, Γ(x)(g) = xg, więc<br />
Γ(ab)(g) = (ab)g = a(bg) = a(Γ(b)g) = Γ(a) (Γ(b)(g)) =<br />
= (Γ(a) ◦ Γ(b)) (g)<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie Cayleya<br />
Twierdzenie (Cayleya)<br />
Każda grupa skończona jest izomorficzna z pewną grupą<br />
permutacji.<br />
D o w ó d. Niech G będzie grupą, |G| = n. Określimy<br />
odwzorowanie Γ : G → S(G) wzorem Γ(g) = γ, gdzie<br />
( )<br />
g1 g<br />
γ =<br />
2 . . . g n<br />
∈ S(G).<br />
gg 1 gg 2 . . . gg n<br />
γ jest oczywiście permutacją. Sprawdzimy, że Γ jest izomorfizmem.<br />
Ponieważ dla x ∈ G, Γ(x)(g) = xg, więc<br />
Γ(ab)(g) = (ab)g = a(bg) = a(Γ(b)g) = Γ(a) (Γ(b)(g)) =<br />
czyli Γ(ab) = Γ(a) ◦ Γ(b).<br />
= (Γ(a) ◦ Γ(b)) (g)<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie Cayleya<br />
Odwzorowanie Γ jest różnowartościowe, bo jeśli Γ(a) = e, to<br />
a = ae G = Γ(a)(e G ) = e(e G ) = e G ,<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie Cayleya<br />
Odwzorowanie Γ jest różnowartościowe, bo jeśli Γ(a) = e, to<br />
a = ae G = Γ(a)(e G ) = e(e G ) = e G ,<br />
więc a = e G . Zatem Γ ma jądro jednoelementowe, czyli jest<br />
monomorfizmem. <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Rozkład permutacji na cykle<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Permutacje z S n można rozłożyć na iloczyn prostszych permutacji.<br />
Zauważmy np., że dla powyższych σ i τ można narysować grafy:<br />
4<br />
σ : 1<br />
3 τ : 4 1 3<br />
2<br />
2<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Rozkład permutacji na cykle<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Permutacje z S n można rozłożyć na iloczyn prostszych permutacji.<br />
Zauważmy np., że dla powyższych σ i τ można narysować grafy:<br />
4<br />
σ : 1<br />
3 τ : 4 1 3<br />
2<br />
2<br />
Naturalne będzie więc nazwanie permutacji σ cyklem o długości 4,<br />
a permutacji τ — iloczynem dwóch rozłącznych cykli długości 2.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Rozkład permutacji na cykle<br />
Niech π będzie permutacją. Mówimy, że elementy i, j są<br />
π-równoważne, jeśli j = π s (i) dla pewnego s ∈ Z (π s oznacza<br />
s-krotne złożenie permutacji π). Tak zdefiniowana relacja jest<br />
relacją równoważności.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie (zasada abstrakcji)<br />
Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X . Wtedy<br />
dla dowolnych x, y ∈ X :<br />
1) x ∈ [y] ⇔ x ∼ y.<br />
2) [x] = [y] ⇔ x ∼ y.<br />
3) X = ⋃ x∈X [x].<br />
4) [x] ∩ [y] ≠ ∅ ⇔ [x] = [y].<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie (zasada abstrakcji)<br />
Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X . Wtedy<br />
dla dowolnych x, y ∈ X :<br />
1) x ∈ [y] ⇔ x ∼ y.<br />
2) [x] = [y] ⇔ x ∼ y.<br />
3) X = ⋃ x∈X [x].<br />
4) [x] ∩ [y] ≠ ∅ ⇔ [x] = [y].<br />
Zgodnie z zasadą abstrakcji uzyskujemy rozbicie zbioru<br />
Ω = {1, 2, . . . , n}<br />
Ω = Ω 1 ∪ · · · ∪ Ω p (1)<br />
na rozłączne klasy Ω 1 , . . . , Ω p , zwane π- orbitami.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie (zasada abstrakcji)<br />
Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X . Wtedy<br />
dla dowolnych x, y ∈ X :<br />
1) x ∈ [y] ⇔ x ∼ y.<br />
2) [x] = [y] ⇔ x ∼ y.<br />
3) X = ⋃ x∈X [x].<br />
4) [x] ∩ [y] ≠ ∅ ⇔ [x] = [y].<br />
Zgodnie z zasadą abstrakcji uzyskujemy rozbicie zbioru<br />
Ω = {1, 2, . . . , n}<br />
Ω = Ω 1 ∪ · · · ∪ Ω p (1)<br />
na rozłączne klasy Ω 1 , . . . , Ω p , zwane π- orbitami.<br />
Każdy element i ∈ Ω należy więc do dokładnie jednej orbity. Liczbę<br />
l k = |Ω k | nazywamy długością orbity Ω k . Jeśli i ∈ Ω k , to<br />
Ω k = {i, π(i), . . . , π l k−1 (i)}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Permutację<br />
π k =<br />
(<br />
i π(i) . . . π<br />
l k −2 (i) π lk−1 (i)<br />
π(i) π 2 (i) . . . π lk−1 (i) i<br />
)<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Permutację<br />
π k =<br />
(<br />
i π(i) . . . π<br />
l k −2 (i) π lk−1 (i)<br />
π(i) π 2 (i) . . . π lk−1 (i) i<br />
)<br />
nazywamy cyklem długości l k .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Permutację<br />
π k =<br />
(<br />
i π(i) . . . π<br />
l k −2 (i) π lk−1 (i)<br />
π(i) π 2 (i) . . . π lk−1 (i) i<br />
)<br />
nazywamy cyklem długości l k .<br />
Cykle będziemy zapisywać w postaci jednego wiersza:<br />
(<br />
)<br />
π k = i π(i) . . . π lk−2 (i) π lk−1 (i) .<br />
Elementy te można oddzielać przecinkami lub nie.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Cykl π k pozostawia na miejscu wszystkie elementy zbioru Ω \ Ω k .<br />
Dlatego też uzasadnione jest nazywanie cykli π s i π t dla s ≠ t<br />
cyklami rozłącznymi.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Cykl π k pozostawia na miejscu wszystkie elementy zbioru Ω \ Ω k .<br />
Dlatego też uzasadnione jest nazywanie cykli π s i π t dla s ≠ t<br />
cyklami rozłącznymi.<br />
Z rozbiciem zbioru Ω = Ω 1 ∪ · · · ∪ Ω p wiąże się zatem rozkład<br />
permutacji π na iloczyn<br />
π = π 1 π 2 · · · π p , (2)<br />
w którym wszystkie cykle π k są ze sobą przemienne.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Cykl π k pozostawia na miejscu wszystkie elementy zbioru Ω \ Ω k .<br />
Dlatego też uzasadnione jest nazywanie cykli π s i π t dla s ≠ t<br />
cyklami rozłącznymi.<br />
Z rozbiciem zbioru Ω = Ω 1 ∪ · · · ∪ Ω p wiąże się zatem rozkład<br />
permutacji π na iloczyn<br />
π = π 1 π 2 · · · π p , (2)<br />
w którym wszystkie cykle π k są ze sobą przemienne.<br />
W zapisie tym zwykle pomijamy cykle o długości 1, np.<br />
( )<br />
1 2 3 4 5 6 7 8<br />
π =<br />
∈ S<br />
2 3 4 5 1 7 6 8 8 (3)<br />
można zapisać:<br />
π = (1 2 3 4 5)(6 7)(8) = (1 2 3 4 5)(6 7).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Każdą permutację π ≠ e w S n można przedstawić w postaci<br />
iloczynu cykli rozłącznych o długości większej lub równej 2.<br />
Rozkład taki jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności<br />
czynników.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Rozkład na cykle pozwala na łatwe znalezienie rzędu permutacji.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Rozkład na cykle pozwala na łatwe znalezienie rzędu permutacji.<br />
Wniosek<br />
Rząd permutacji π ∈ S n jest równy najmniejszej wspólnej<br />
wielokrotności długości cykli występujących w rozkładzie<br />
π = π 1 π 2 · · · π p .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Rozkład na cykle pozwala na łatwe znalezienie rzędu permutacji.<br />
Wniosek<br />
Rząd permutacji π ∈ S n jest równy najmniejszej wspólnej<br />
wielokrotności długości cykli występujących w rozkładzie<br />
π = π 1 π 2 · · · π p .<br />
D o w ó d. Ponieważ cykle rozłączne są ze sobą przemienne, więc<br />
π s = π s 1π s 2 · · · π s p , s = 0, 1, 2, . . .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Rozkład na cykle pozwala na łatwe znalezienie rzędu permutacji.<br />
Wniosek<br />
Rząd permutacji π ∈ S n jest równy najmniejszej wspólnej<br />
wielokrotności długości cykli występujących w rozkładzie<br />
π = π 1 π 2 · · · π p .<br />
D o w ó d. Ponieważ cykle rozłączne są ze sobą przemienne, więc<br />
π s = π s 1π s 2 · · · π s p , s = 0, 1, 2, . . .<br />
Cykle π 1 , π 2 , . . . , π p działają na różnych zbiorach Ω 1 , . . . , Ω p , więc<br />
π q = e ⇔<br />
(π q k = e dla wszystkich k = 1, 2, . . . , p )<br />
.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Rozkład na cykle pozwala na łatwe znalezienie rzędu permutacji.<br />
Wniosek<br />
Rząd permutacji π ∈ S n jest równy najmniejszej wspólnej<br />
wielokrotności długości cykli występujących w rozkładzie<br />
π = π 1 π 2 · · · π p .<br />
D o w ó d. Ponieważ cykle rozłączne są ze sobą przemienne, więc<br />
π s = π s 1π s 2 · · · π s p , s = 0, 1, 2, . . .<br />
Cykle π 1 , π 2 , . . . , π p działają na różnych zbiorach Ω 1 , . . . , Ω p , więc<br />
π q = e ⇔<br />
(π q k = e dla wszystkich k = 1, 2, . . . , p )<br />
.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Aby π q k = e, to q musi być wielokrotnością długości cyklu l k.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Aby π q k = e, to q musi być wielokrotnością długości cyklu l k.<br />
Rzędem permutacji π jest zatem najmniejsza liczba q będąca<br />
wielokrotnością wszystkich liczb l k , czyli<br />
|π| = NWW(l 1 , . . . , l p ). <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Aby π q k = e, to q musi być wielokrotnością długości cyklu l k.<br />
Rzędem permutacji π jest zatem najmniejsza liczba q będąca<br />
wielokrotnością wszystkich liczb l k , czyli<br />
|π| = NWW(l 1 , . . . , l p ). <br />
Np. rząd permutacji π = (1 2 3 4 5)(6 7)(8) = (1 2 3 4 5)(6 7)<br />
wynosi 10.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Jaki jest maksymalny rząd elementów grupy S 8 <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Jaki jest maksymalny rząd elementów grupy S 8 <br />
Rozpatrując możliwe rozbicia liczby 8 na sumy:<br />
8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4, . . .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Jaki jest maksymalny rząd elementów grupy S 8 <br />
Rozpatrując możliwe rozbicia liczby 8 na sumy:<br />
8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4, . . .<br />
dojdziemy do wniosku, że rzędami elementów różnych od e w S 8<br />
mogą być liczby 2,3,4,5,6,7,8,10,12,15.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Jaki jest maksymalny rząd elementów grupy S 8 <br />
Rozpatrując możliwe rozbicia liczby 8 na sumy:<br />
8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4, . . .<br />
dojdziemy do wniosku, że rzędami elementów różnych od e w S 8<br />
mogą być liczby 2,3,4,5,6,7,8,10,12,15.<br />
Np. π = (1 2 3 4 5)(6 7 8) jest rzędu 15.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Jaki jest maksymalny rząd elementów grupy S 8 <br />
Rozpatrując możliwe rozbicia liczby 8 na sumy:<br />
8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4, . . .<br />
dojdziemy do wniosku, że rzędami elementów różnych od e w S 8<br />
mogą być liczby 2,3,4,5,6,7,8,10,12,15.<br />
Np. π = (1 2 3 4 5)(6 7 8) jest rzędu 15.<br />
Rząd grupy jest dużo większy: |S 8 | = 8! = 40320.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Cykl długości 2 nazywamy transpozycją. Z twierdzenia 6 wynika<br />
poniższy wniosek.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Cykl długości 2 nazywamy transpozycją. Z twierdzenia 6 wynika<br />
poniższy wniosek.<br />
Wniosek<br />
Każda permutacja π ∈ S n jest iloczynem pewnej liczby<br />
transpozycji.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Cykl długości 2 nazywamy transpozycją. Z twierdzenia 6 wynika<br />
poniższy wniosek.<br />
Wniosek<br />
Każda permutacja π ∈ S n jest iloczynem pewnej liczby<br />
transpozycji.<br />
D o w ó d. Po pierwsze, e = τ 2 dla dowolnej transpozycji τ. Po<br />
drugie, z twierdzenia 6 wynika, że wystarczy podać sposób<br />
rozkładu cyklu na transpozycje. Mamy np.:<br />
(1 2 . . . k −1 k) = (1 k)(1 k −1) · · · (1 3)(1 2),<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Cykl długości 2 nazywamy transpozycją. Z twierdzenia 6 wynika<br />
poniższy wniosek.<br />
Wniosek<br />
Każda permutacja π ∈ S n jest iloczynem pewnej liczby<br />
transpozycji.<br />
D o w ó d. Po pierwsze, e = τ 2 dla dowolnej transpozycji τ. Po<br />
drugie, z twierdzenia 6 wynika, że wystarczy podać sposób<br />
rozkładu cyklu na transpozycje. Mamy np.:<br />
a ogólniej:<br />
(1 2 . . . k −1 k) = (1 k)(1 k −1) · · · (1 3)(1 2),<br />
(a 1 a 2 . . . a k−1 a k ) = (a 1 a k )(a 1 a k−1 ) · · · (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). □<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Wniosek ten można wypowiedzieć inaczej:<br />
Wniosek<br />
Transpozycje tworzą zbiór generatorów dla S n .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Wniosek ten można wypowiedzieć inaczej:<br />
Wniosek<br />
Transpozycje tworzą zbiór generatorów dla S n .<br />
Oczywiście nie jest to minimalny zbiór generatorów, np.:<br />
S 3 = ( (1 2), (1 3), (2 3) ) = ( (1 2), (1 3) ) .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Wniosek ten można wypowiedzieć inaczej:<br />
Wniosek<br />
Transpozycje tworzą zbiór generatorów dla S n .<br />
Oczywiście nie jest to minimalny zbiór generatorów, np.:<br />
S 3 = ( (1 2), (1 3), (2 3) ) = ( (1 2), (1 3) ) .<br />
Twierdzenie (o generatorach grupy S n )<br />
Następujące podzbiory są zbiorami generatorów grupy<br />
symetrycznej S n :<br />
a) wszystkie transpozycje elementów zbioru Ω = {1, 2, . . . , n};<br />
b) {(1 2), (2 3), (3 4), . . . , (n−1 n)};<br />
c) {(1 2), (1 3), (1 4), . . . , (1 n)};<br />
d) {(1 2), (1 2 3 . . . n)}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
D o w ó d. a) jest treścią poprzedniego wniosku.<br />
b) Każdą transpozycję (ij), 1 i < j n można przedstawić w<br />
postaci:<br />
(i j) = (i i+1)(i+1 i+2) · · · (j−1 j)(j−2 j−1)(j−3 j−2) · · · (i+1 i+2)(i i+1).<br />
Na mocy a) zbiór wszystkich permutacji generuje S n , więc również<br />
zbiór transpozycji podany w b) ją generuje.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
D o w ó d. a) jest treścią poprzedniego wniosku.<br />
b) Każdą transpozycję (ij), 1 i < j n można przedstawić w<br />
postaci:<br />
(i j) = (i i+1)(i+1 i+2) · · · (j−1 j)(j−2 j−1)(j−3 j−2) · · · (i+1 i+2)(i i+1).<br />
Na mocy a) zbiór wszystkich permutacji generuje S n , więc również<br />
zbiór transpozycji podany w b) ją generuje.<br />
c) Teza wynika z równości (i j) = (1 i)(1 j)(1 i).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
D o w ó d. a) jest treścią poprzedniego wniosku.<br />
b) Każdą transpozycję (ij), 1 i < j n można przedstawić w<br />
postaci:<br />
(i j) = (i i+1)(i+1 i+2) · · · (j−1 j)(j−2 j−1)(j−3 j−2) · · · (i+1 i+2)(i i+1).<br />
Na mocy a) zbiór wszystkich permutacji generuje S n , więc również<br />
zbiór transpozycji podany w b) ją generuje.<br />
c) Teza wynika z równości (i j) = (1 i)(1 j)(1 i).<br />
d) Niech α = (1 2), β = (1 2 . . . n). Wtedy mamy kolejno<br />
β −1 = β n−1 (bo β n = e), (2 3) = βαβ −1 , (3 4) = β(2 3)β −1 ,<br />
(4 5) = β(3 4)β −1 , . . ., (n−1 n) = β(n−2 n−1)β −1 . Na mocy b)<br />
zbiór {α, β} jest również zbiorem generatorów. <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Warto także podkreślić, że rozkład permutacji na transpozycje nie<br />
jest jednoznaczny; więcej, różne rozkłady mogą mieć nawet różną<br />
liczbę czynników. Np. w S 4 mamy:<br />
(1 2 3) = (1 3)(1 2) = (2 3)(1 3) = (1 3)(2 4)(1 2)(1 4).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Warto także podkreślić, że rozkład permutacji na transpozycje nie<br />
jest jednoznaczny; więcej, różne rozkłady mogą mieć nawet różną<br />
liczbę czynników. Np. w S 4 mamy:<br />
(1 2 3) = (1 3)(1 2) = (2 3)(1 3) = (1 3)(2 4)(1 2)(1 4).<br />
Można jednak wykazać, że jeśli jakiś rozkład permutacji na<br />
transpozycje ma parzystą liczbę czynników, to każdy inny ma także<br />
parzystą liczbę czynników. Innymi słowy, liczba ε π = (−1) k , gdzie<br />
k jest liczbą transpozycji w dowolnym rozkładzie permutacji π, jest<br />
niezmiennikiem permutacji.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Można udowodnić kolejno poniższe lematy.<br />
Lemat<br />
Niech π ∈ S n , niech τ ∈ S n będzie transpozycją. Liczby cykli<br />
występujących w rozkładach na cykle permutacji π i τπ różnią się<br />
o 1.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Można udowodnić kolejno poniższe lematy.<br />
Lemat<br />
Niech π ∈ S n , niech τ ∈ S n będzie transpozycją. Liczby cykli<br />
występujących w rozkładach na cykle permutacji π i τπ różnią się<br />
o 1.<br />
Lemat<br />
Jeżeli permutacja tożsamościowa e jest przedstawiona w postaci<br />
iloczynu k transpozycji, np. e = τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 , to liczba k jest<br />
parzysta.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeżeli π ∈ S n jest na dwa sposoby przedstawiona w postaci<br />
iloczynu transpozycji, to albo w obu przedstawieniach liczba<br />
czynników jest parzysta, albo w obu — nieparzysta.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeżeli π ∈ S n jest na dwa sposoby przedstawiona w postaci<br />
iloczynu transpozycji, to albo w obu przedstawieniach liczba<br />
czynników jest parzysta, albo w obu — nieparzysta.<br />
D o w ó d. Niech π = τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 = σ l σ l−1 · · · σ 2 σ 1 będą<br />
dowolnymi przedstawieniami permutacji π ∈ S n w postaci iloczynu<br />
transpozycji. Wtedy:<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeżeli π ∈ S n jest na dwa sposoby przedstawiona w postaci<br />
iloczynu transpozycji, to albo w obu przedstawieniach liczba<br />
czynników jest parzysta, albo w obu — nieparzysta.<br />
D o w ó d. Niech π = τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 = σ l σ l−1 · · · σ 2 σ 1 będą<br />
dowolnymi przedstawieniami permutacji π ∈ S n w postaci iloczynu<br />
transpozycji. Wtedy:<br />
e = π −1 π = (σ l σ l−1 · · · σ 2 σ 1 ) −1 (τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 ) =<br />
= σ1 −1 2 · · · σl −1 τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 =<br />
= σ 1 σ 2 · · · σ l τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1<br />
jest przedstawieniem permutacji tożsamościowej w postaci iloczynu<br />
k + l transpozycji.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeżeli π ∈ S n jest na dwa sposoby przedstawiona w postaci<br />
iloczynu transpozycji, to albo w obu przedstawieniach liczba<br />
czynników jest parzysta, albo w obu — nieparzysta.<br />
D o w ó d. Niech π = τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 = σ l σ l−1 · · · σ 2 σ 1 będą<br />
dowolnymi przedstawieniami permutacji π ∈ S n w postaci iloczynu<br />
transpozycji. Wtedy:<br />
e = π −1 π = (σ l σ l−1 · · · σ 2 σ 1 ) −1 (τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 ) =<br />
= σ1 −1 2 · · · σl −1 τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 =<br />
= σ 1 σ 2 · · · σ l τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1<br />
jest przedstawieniem permutacji tożsamościowej w postaci iloczynu<br />
k + l transpozycji.<br />
Na mocy poprzedniego lematu k + l jest liczbą parzystą, więc albo<br />
k, l są obie parzyste, lub obie nieparzyste. <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Permutację π ∈ S n nazywamy parzystą, gdy ε π = 1 i nieparzystą,<br />
gdy ε π = −1.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Permutację π ∈ S n nazywamy parzystą, gdy ε π = 1 i nieparzystą,<br />
gdy ε π = −1.<br />
Tak więc wszystkie transpozycje są permutacjami nieparzystymi.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Permutację π ∈ S n nazywamy parzystą, gdy ε π = 1 i nieparzystą,<br />
gdy ε π = −1.<br />
Tak więc wszystkie transpozycje są permutacjami nieparzystymi.<br />
Można wykazać, że wszystkie permutacje parzyste zbioru<br />
n-elementowego (n 2) tworzą podgrupę A n grupy S n , rzędu n!<br />
2 .<br />
Jest to tzw. grupa alternująca.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Podobieństwo i sprzężenie<br />
Definicja<br />
Dwie permutacje π 1 i π 2 nazywamy podobnymi, jeżeli w ich<br />
rozkładach na cykle występuje tyle samo cykli tej samej<br />
długości.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Podobieństwo i sprzężenie<br />
Definicja<br />
Dwie permutacje π 1 i π 2 nazywamy podobnymi, jeżeli w ich<br />
rozkładach na cykle występuje tyle samo cykli tej samej<br />
długości.<br />
Przykład. Permutacje:<br />
π 1 = (1)(2)(3 4 5)(6 7 8 9 10) , π 2 = (1 2 3)(4)(5 6 7 8 9)(10)<br />
są podobne.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Podobieństwo i sprzężenie<br />
Definicja<br />
Dwie permutacje π 1 i π 2 nazywamy podobnymi, jeżeli w ich<br />
rozkładach na cykle występuje tyle samo cykli tej samej<br />
długości.<br />
Przykład. Permutacje:<br />
π 1 = (1)(2)(3 4 5)(6 7 8 9 10) , π 2 = (1 2 3)(4)(5 6 7 8 9)(10)<br />
są podobne.<br />
Nietrudno sprawdzić, że podobieństwo jest relacją równoważności<br />
w zbiorze S n .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Definicja<br />
Mówimy, że permutacja π 1 ∈ S n jest sprzężona z permutacją<br />
π 2 ∈ S n względem pewnej grupy permutacji G ⊆ S n , jeśli<br />
istnieje element π grupy G taki, że ππ 1 π −1 = π 2 .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Definicja<br />
Mówimy, że permutacja π 1 ∈ S n jest sprzężona z permutacją<br />
π 2 ∈ S n względem pewnej grupy permutacji G ⊆ S n , jeśli<br />
istnieje element π grupy G taki, że ππ 1 π −1 = π 2 .<br />
Łatwo wykazać, że w zbiorze G sprzężenie względem G jest relacją<br />
równoważności.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Definicja<br />
Mówimy, że permutacja π 1 ∈ S n jest sprzężona z permutacją<br />
π 2 ∈ S n względem pewnej grupy permutacji G ⊆ S n , jeśli<br />
istnieje element π grupy G taki, że ππ 1 π −1 = π 2 .<br />
Łatwo wykazać, że w zbiorze G sprzężenie względem G jest relacją<br />
równoważności.<br />
Klasy abstrakcji relacji sprzężenia (względem grupy G) w zbiorze G<br />
nazywamy klasami elementów sprzężonych w grupie G.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Dwie permutacje π 1 , π 2 ∈ S n są sprzężone względem S n wtedy i<br />
tylko wtedy, gdy są podobne.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Dwie permutacje π 1 , π 2 ∈ S n są sprzężone względem S n wtedy i<br />
tylko wtedy, gdy są podobne.<br />
D o w ó d. (⇒) Przykład: w S 4 rozważmy permutację π 1 = (132) i<br />
sprzężoną z nią π 2 = (34)π 1 (34). Wtedy π 2 = (142) jest podobna<br />
do π 1 .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Dwie permutacje π 1 , π 2 ∈ S n są sprzężone względem S n wtedy i<br />
tylko wtedy, gdy są podobne.<br />
D o w ó d. (⇒) Przykład: w S 4 rozważmy permutację π 1 = (132) i<br />
sprzężoną z nią π 2 = (34)π 1 (34). Wtedy π 2 = (142) jest podobna<br />
do π 1 .<br />
Jeśli dany jest rozkład permutacji π 1 na cykle, to rozkład π 2<br />
otrzymujemy zastępując liczby ich obrazami przy permutacji π.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
(⇐) Przykład: w S 5 rozważmy permutacje podobne (123)(45) i<br />
(143)(25). Określamy<br />
π =<br />
(<br />
1 2 3 4 5<br />
1 4 3 2 5<br />
Wtedy π(123)(45)π −1 = (143)(25).<br />
)<br />
= (24).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
(⇐) Przykład: w S 5 rozważmy permutacje podobne (123)(45) i<br />
(143)(25). Określamy<br />
π =<br />
(<br />
1 2 3 4 5<br />
1 4 3 2 5<br />
Wtedy π(123)(45)π −1 = (143)(25).<br />
Ogolnie, niech permutacje<br />
)<br />
= (24).<br />
π 1 = (a 1 a 2 . . . a k )(b 1 . . . b l ) . . . (. . .), π 2 = (a ′ 1 a ′ 2 . . . a ′ k)(b ′ 1 . . . b ′ l) . .<br />
będą podobne. Niech<br />
( )<br />
a1 a<br />
π =<br />
2 . . . a k b 1 b 2 . . . b l . . .<br />
a 1 ′ a 2 ′ . . . ′ a k ′ b 1 ′ b 2 ′ . . . ′ b l ′ ∈ S<br />
. . . n .<br />
Wtedy π 2 = ππ 1 π −1 . <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W wielu zagadnieniach można utożsamiać permutacje podobne.<br />
Dlatego przydatne jest następujące pojęcie.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W wielu zagadnieniach można utożsamiać permutacje podobne.<br />
Dlatego przydatne jest następujące pojęcie.<br />
Definicja<br />
Niech w rozkładzie permutacji π ∈ S n na cykle występuje j k<br />
cykli o długości k, k = 1, 2, . . . , n. Jednomian<br />
z(π) = x j 1<br />
1 x j 2<br />
2 · · · x n<br />
jn<br />
nazywamy typem permutacji π.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W wielu zagadnieniach można utożsamiać permutacje podobne.<br />
Dlatego przydatne jest następujące pojęcie.<br />
Definicja<br />
Niech w rozkładzie permutacji π ∈ S n na cykle występuje j k<br />
cykli o długości k, k = 1, 2, . . . , n. Jednomian<br />
z(π) = x j 1<br />
1 x j 2<br />
2 · · · x n<br />
jn<br />
nazywamy typem permutacji π.<br />
Uwaga. Czasem typ oznacza się z(π) = 1 j 1<br />
2 j2 · · · n jn .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W wielu zagadnieniach można utożsamiać permutacje podobne.<br />
Dlatego przydatne jest następujące pojęcie.<br />
Definicja<br />
Niech w rozkładzie permutacji π ∈ S n na cykle występuje j k<br />
cykli o długości k, k = 1, 2, . . . , n. Jednomian<br />
z(π) = x j 1<br />
1 x j 2<br />
2 · · · x n<br />
jn<br />
nazywamy typem permutacji π.<br />
Uwaga. Czasem typ oznacza się z(π) = 1 j 1<br />
2 j2 · · · n jn .<br />
Definicja<br />
Indeksem cyklowym grupy permutacji G ⊆ S n nazywamy<br />
wielomian:<br />
Z(G) = 1 ∑<br />
z(π).<br />
|G|<br />
π∈G<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozpatrzmy S 2 = {e, (12)}. Tutaj<br />
Z(S 2 ) = 1 2 (z(e) + z(12)) = 1 2 (x 2 1 + x 2).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozpatrzmy S 2 = {e, (12)}. Tutaj<br />
Z(S 2 ) = 1 2 (z(e) + z(12)) = 1 2 (x 2 1 + x 2).<br />
Dla grupy S 3 mamy z kolei:<br />
Z(S 3 ) = 1 6<br />
6∑<br />
z(π i ) = 1 6 (x 1 3 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 3 + x 3 ) =<br />
i=1<br />
= 1 6 (x 3 1 + 3x 1 x 2 + 2x 3 ).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Indeks cyklowy grupy dwuścianu<br />
Definicja<br />
Grupę izometrii n-kąta foremnego (n 3) nazywamy grupą<br />
dwuścianu (diedralną) i ozn. D n .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Indeks cyklowy grupy dwuścianu<br />
Definicja<br />
Grupę izometrii n-kąta foremnego (n 3) nazywamy grupą<br />
dwuścianu (diedralną) i ozn. D n .<br />
|D n | = 2n, bo D n składa się z n obrotów i n symetrii osiowych.<br />
Grupa ta jest generowana np. przez obrót o kąt 2π/n i jedną<br />
symetrię osiową.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Indeks cyklowy grupy dwuścianu<br />
Definicja<br />
Grupę izometrii n-kąta foremnego (n 3) nazywamy grupą<br />
dwuścianu (diedralną) i ozn. D n .<br />
|D n | = 2n, bo D n składa się z n obrotów i n symetrii osiowych.<br />
Grupa ta jest generowana np. przez obrót o kąt 2π/n i jedną<br />
symetrię osiową.<br />
Każda izometria z D n da się opisać jako pewna permutacja<br />
wierzchołków, więc D n można traktować jako podgrupę grupy S n .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Indeks cyklowy grupy dwuścianu<br />
Definicja<br />
Grupę izometrii n-kąta foremnego (n 3) nazywamy grupą<br />
dwuścianu (diedralną) i ozn. D n .<br />
|D n | = 2n, bo D n składa się z n obrotów i n symetrii osiowych.<br />
Grupa ta jest generowana np. przez obrót o kąt 2π/n i jedną<br />
symetrię osiową.<br />
Każda izometria z D n da się opisać jako pewna permutacja<br />
wierzchołków, więc D n można traktować jako podgrupę grupy S n .<br />
Np.<br />
D 4 = {e, (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (14)(23), (13), (24)}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
1) Jeżeli n = 2m + 1, to<br />
Z(D n ) = 1 ( x<br />
n<br />
2n 1 + nx 1 x2 m + ∑<br />
ϕ(d)x n/d )<br />
d .<br />
d|n,d≠1<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
1) Jeżeli n = 2m + 1, to<br />
Z(D n ) = 1 ( x<br />
n<br />
2n 1 + nx 1 x2 m + ∑<br />
ϕ(d)x n/d )<br />
d .<br />
d|n,d≠1<br />
2) Jeżeli n = 2m, to<br />
Z(D n ) = 1 ( x<br />
n<br />
2n 1 + mx1 2 x2 m−1 + (m + 1)x2 m + ∑<br />
ϕ(d)x n/d )<br />
d .<br />
d|n,d≠1,2<br />
dla n = 2m.<br />
D o w ó d. Symetrie osiowe dają w D n składniki:<br />
nx 1 x2 m dla n = 2m + 1,<br />
mx1 2x 2 m−1 + mx2 m Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Natomiast obroty tworzą podgrupę cykliczną. Niech g będzie<br />
generatorem — jest to cykl rzędu n, np. g = (123 . . . n). Wtedy g k<br />
ma rząd<br />
n<br />
d =<br />
nwd(k, n)<br />
i jest iloczynem n/d cykli długości d, tj. z(g k ) = x n/d<br />
d<br />
.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Natomiast obroty tworzą podgrupę cykliczną. Niech g będzie<br />
generatorem — jest to cykl rzędu n, np. g = (123 . . . n). Wtedy g k<br />
ma rząd<br />
n<br />
d =<br />
nwd(k, n)<br />
i jest iloczynem n/d cykli długości d, tj. z(g k ) = x n/d<br />
d<br />
.<br />
Elementów rzędu d jest tyle, ile jest takich k, że nwd(k, n) = n/d,<br />
tj. ϕ(d) (bo nwd(k, d) = 1 ⇔ nwd(k · n<br />
d , d · n<br />
d ) = n d<br />
). Dla n = 2m<br />
istnieje jeden obrót typu x2 m.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Warstwa grupy względem podgrupy<br />
Definicja<br />
Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H<br />
wyznaczoną przez a ∈ G nazywamy zbiór:<br />
aH = {ah : h ∈ H}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Warstwa grupy względem podgrupy<br />
Definicja<br />
Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H<br />
wyznaczoną przez a ∈ G nazywamy zbiór:<br />
aH = {ah : h ∈ H}.<br />
Przykłady.<br />
1. Niech G = Q ∗ , H = {3 n : n ∈ Z}. Wtedy np.<br />
5H = {5 · 3 n : n ∈ Z}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Warstwa grupy względem podgrupy<br />
Definicja<br />
Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H<br />
wyznaczoną przez a ∈ G nazywamy zbiór:<br />
aH = {ah : h ∈ H}.<br />
Przykłady.<br />
1. Niech G = Q ∗ , H = {3 n : n ∈ Z}. Wtedy np.<br />
5H = {5 · 3 n : n ∈ Z}.<br />
2. W zapisie addytywnym: niech G = Z, H = 3Z = {3k : k ∈ Z};<br />
wtedy 5 + H = {5 + 3k : k ∈ Z}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Warstwa grupy względem podgrupy<br />
Definicja<br />
Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H<br />
wyznaczoną przez a ∈ G nazywamy zbiór:<br />
aH = {ah : h ∈ H}.<br />
Przykłady.<br />
1. Niech G = Q ∗ , H = {3 n : n ∈ Z}. Wtedy np.<br />
5H = {5 · 3 n : n ∈ Z}.<br />
2. W zapisie addytywnym: niech G = Z, H = 3Z = {3k : k ∈ Z};<br />
wtedy 5 + H = {5 + 3k : k ∈ Z}.<br />
3. G = GL n (K), H = SL n (K). Dla A ∈ GL n (K) mamy:<br />
AH = {AB : B ∈ SL n (K)} = {C : det C = det A}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Lemat<br />
Niech H G. b ∈ aH ⇔ a −1 b ∈ H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Lemat<br />
Niech H G. b ∈ aH ⇔ a −1 b ∈ H.<br />
Lemat<br />
Relacja :<br />
a ∼ b ⇔ a −1 b ∈ H<br />
jest relacją równoważności w zbiorze G. Klasami abstrakcji tej<br />
relacji są warstwy G względem H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Lemat<br />
Niech H G. b ∈ aH ⇔ a −1 b ∈ H.<br />
Lemat<br />
Relacja :<br />
a ∼ b ⇔ a −1 b ∈ H<br />
jest relacją równoważności w zbiorze G. Klasami abstrakcji tej<br />
relacji są warstwy G względem H.<br />
Wniosek<br />
Niech H G. Każdy element grupy G należy do dokładnie jednej<br />
warstwy względem H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Wniosek (twierdzenie Lagrange’a)<br />
Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu grupy.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Wniosek (twierdzenie Lagrange’a)<br />
Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu grupy.<br />
D o w ó d. Niech |G| = n. Każdy element G należy do dokładnie<br />
jednej warstwy względem H. Ponadto każda warstwa ma tyle<br />
elementów, ile podgrupa H. Zatem:<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Wniosek (twierdzenie Lagrange’a)<br />
Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu grupy.<br />
D o w ó d. Niech |G| = n. Każdy element G należy do dokładnie<br />
jednej warstwy względem H. Ponadto każda warstwa ma tyle<br />
elementów, ile podgrupa H. Zatem:<br />
n = liczba warstw · liczba elementów warstwy,<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Wniosek (twierdzenie Lagrange’a)<br />
Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu grupy.<br />
D o w ó d. Niech |G| = n. Każdy element G należy do dokładnie<br />
jednej warstwy względem H. Ponadto każda warstwa ma tyle<br />
elementów, ile podgrupa H. Zatem:<br />
n = liczba warstw · liczba elementów warstwy,<br />
n = liczba warstw · |H|.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Wniosek (twierdzenie Lagrange’a)<br />
Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu grupy.<br />
D o w ó d. Niech |G| = n. Każdy element G należy do dokładnie<br />
jednej warstwy względem H. Ponadto każda warstwa ma tyle<br />
elementów, ile podgrupa H. Zatem:<br />
n = liczba warstw · liczba elementów warstwy,<br />
n = liczba warstw · |H|.<br />
Zatem |H| jest dzielnikiem |G|. <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Wniosek<br />
Jeżeli grupa G ma rząd będący liczbą pierwszą p, to jest cykliczna.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Wniosek<br />
Jeżeli grupa G ma rząd będący liczbą pierwszą p, to jest cykliczna.<br />
D o w ó d. Jeżeli a ∈ G jest rzędu n, to {e, a, . . . , a n−1 } jest<br />
podgrupą cykliczną rzędu n. Zatem n|p. <br />
Definicja<br />
Zbiór warstw G względem H nazywamy zbiorem ilorazowym<br />
grupy G przez podgrupę H i oznaczamy G/H. Moc zbioru G/H<br />
nazywamy indeksem podgrupy H w grupie G ; oznaczenie<br />
(G : H).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W zbiorze ilorazowym można wprowadzić działanie, ale trzeba<br />
więcej założyć o H.<br />
Definicja<br />
Podgrupę H grupy G nazywamy podgrupą normalną lub<br />
dzielnikiem normalnym (oznaczenie : H ⊳ G), jeżeli spełniony<br />
jest warunek:<br />
∀ g∈G ∀ h∈H g −1 hg ∈ H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
W zbiorze ilorazowym można wprowadzić działanie, ale trzeba<br />
więcej założyć o H.<br />
Definicja<br />
Podgrupę H grupy G nazywamy podgrupą normalną lub<br />
dzielnikiem normalnym (oznaczenie : H ⊳ G), jeżeli spełniony<br />
jest warunek:<br />
∀ g∈G ∀ h∈H g −1 hg ∈ H.<br />
Warunki równoważne:<br />
∀ g∈G gH = Hg ; ∀ g∈G g −1 Hg ⊆ H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Jeżeli G jest abelowa, to każda podgrupa jest normalna.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Jeżeli G jest abelowa, to każda podgrupa jest normalna.<br />
2. SL n (K) jest normalna w GL n (K).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Jeżeli G jest abelowa, to każda podgrupa jest normalna.<br />
2. SL n (K) jest normalna w GL n (K).<br />
3. W grupie S 3 podgrupa H = {e, (1 2)} nie jest normalna, bo dla<br />
g = (1 2 3), gH = {(1 2 3), (1 3)}, ale Hg = {(1 2 3), (2 3)}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Jeżeli G jest abelowa, to każda podgrupa jest normalna.<br />
2. SL n (K) jest normalna w GL n (K).<br />
3. W grupie S 3 podgrupa H = {e, (1 2)} nie jest normalna, bo dla<br />
g = (1 2 3), gH = {(1 2 3), (1 3)}, ale Hg = {(1 2 3), (2 3)}.<br />
Lemat<br />
Niech f : G −→ G ′ będzie homomorfizmem. Wtedy ker f ⊳ G.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykłady.<br />
1. Jeżeli G jest abelowa, to każda podgrupa jest normalna.<br />
2. SL n (K) jest normalna w GL n (K).<br />
3. W grupie S 3 podgrupa H = {e, (1 2)} nie jest normalna, bo dla<br />
g = (1 2 3), gH = {(1 2 3), (1 3)}, ale Hg = {(1 2 3), (2 3)}.<br />
Lemat<br />
Niech f : G −→ G ′ będzie homomorfizmem. Wtedy ker f ⊳ G.<br />
D o w ó d. Dla g ∈ G, h ∈ ker f mamy<br />
f (g −1 hg) = f (g) −1 f (h)f (g) = f (g) −1 f (g) = e, więc<br />
g −1 hg ∈ ker f . <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeżeli H ⊳ G, to działanie:<br />
aH · bH = abH<br />
wprowadza w zbiorze ilorazowym G/H strukturę grupy, zwanej<br />
grupą ilorazową G przez H. Warstwa H = eH jest jedynką w G/H,<br />
a elementem odwrotnym do aH jest a −1 H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeżeli H ⊳ G, to działanie:<br />
aH · bH = abH<br />
wprowadza w zbiorze ilorazowym G/H strukturę grupy, zwanej<br />
grupą ilorazową G przez H. Warstwa H = eH jest jedynką w G/H,<br />
a elementem odwrotnym do aH jest a −1 H.<br />
D o w ó d. Sprawdzimy, że działanie jest dobrze określone, tj.<br />
(aH = a ′ H , bH = b ′ H) =⇒ abH = a ′ b ′ H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie<br />
Jeżeli H ⊳ G, to działanie:<br />
aH · bH = abH<br />
wprowadza w zbiorze ilorazowym G/H strukturę grupy, zwanej<br />
grupą ilorazową G przez H. Warstwa H = eH jest jedynką w G/H,<br />
a elementem odwrotnym do aH jest a −1 H.<br />
D o w ó d. Sprawdzimy, że działanie jest dobrze określone, tj.<br />
(aH = a ′ H , bH = b ′ H) =⇒ abH = a ′ b ′ H.<br />
Mamy : a ′ b ′ H = a ′ (b ′ H) = a ′ (bH) = a ′ (Hb) = (a ′ H)b = (aH)b =<br />
a(Hb) = a(bH) = abH. <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Twierdzenie (podstawowe o homomorfizmach)<br />
. Niech f : G −→ G ′ będzie homomorfizmem grup z jądrem<br />
H = ker f . Wtedy H ⊳ G oraz G/H ∼ = f (G). Na odwrót, jeśli<br />
H ⊳ G, to istnieje grupa G ′ (mianowicie G/H) i epimorfizm<br />
π : G −→ G ′ o jądrze H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
<br />
Twierdzenie (podstawowe o homomorfizmach)<br />
. Niech f : G −→ G ′ będzie homomorfizmem grup z jądrem<br />
H = ker f . Wtedy H ⊳ G oraz G/H ∼ = f (G). Na odwrót, jeśli<br />
H ⊳ G, to istnieje grupa G ′ (mianowicie G/H) i epimorfizm<br />
π : G −→ G ′ o jądrze H.<br />
G π G/ ker f<br />
f<br />
¯f<br />
<br />
G ′<br />
U w a g a. π nazywamy homomorfizmem kanonicznym<br />
(naturalnym).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
D o w ó d. Wiemy już, że H ⊳ G. Określamy odwzorowanie<br />
¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
D o w ó d. Wiemy już, że H ⊳ G. Określamy odwzorowanie<br />
¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g).<br />
Odwzorowanie ¯f jest dobrze określone, bo jeśli g 1 H = g 2 H, to<br />
g1 −1 g 2 ∈ H, czyli f (g1 −1 g 2) = e, tj. f (g 1 ) = f (g 2 ).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
D o w ó d. Wiemy już, że H ⊳ G. Określamy odwzorowanie<br />
¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g).<br />
Odwzorowanie ¯f jest dobrze określone, bo jeśli g 1 H = g 2 H, to<br />
g1 −1 g 2 ∈ H, czyli f (g1 −1 g 2) = e, tj. f (g 1 ) = f (g 2 ).<br />
Dalej, ¯f jest homomorfizmem, bo ¯f (g 1 H · g 2 H) = ¯f (g 1 g 2 H) =<br />
f (g 1 g 2 ) = f (g 1 )f (g 2 ) = ¯f (g 1 H)¯f (g 2 H).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
D o w ó d. Wiemy już, że H ⊳ G. Określamy odwzorowanie<br />
¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g).<br />
Odwzorowanie ¯f jest dobrze określone, bo jeśli g 1 H = g 2 H, to<br />
g1 −1 g 2 ∈ H, czyli f (g1 −1 g 2) = e, tj. f (g 1 ) = f (g 2 ).<br />
Dalej, ¯f jest homomorfizmem, bo ¯f (g 1 H · g 2 H) = ¯f (g 1 g 2 H) =<br />
f (g 1 g 2 ) = f (g 1 )f (g 2 ) = ¯f (g 1 H)¯f (g 2 H). Ponadto ¯f jest<br />
monomorfizmem, bo jeśli ¯f (gH) = e, to f (g) = e czyli g ∈ H,<br />
więc gH = H.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
D o w ó d. Wiemy już, że H ⊳ G. Określamy odwzorowanie<br />
¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g).<br />
Odwzorowanie ¯f jest dobrze określone, bo jeśli g 1 H = g 2 H, to<br />
g1 −1 g 2 ∈ H, czyli f (g1 −1 g 2) = e, tj. f (g 1 ) = f (g 2 ).<br />
Dalej, ¯f jest homomorfizmem, bo ¯f (g 1 H · g 2 H) = ¯f (g 1 g 2 H) =<br />
f (g 1 g 2 ) = f (g 1 )f (g 2 ) = ¯f (g 1 H)¯f (g 2 H). Ponadto ¯f jest<br />
monomorfizmem, bo jeśli ¯f (gH) = e, to f (g) = e czyli g ∈ H,<br />
więc gH = H.<br />
Oczywiście ¯f (G/H) = f (G), czyli obraz ¯f jest taki sam jak obraz<br />
f . Zatem f jest szukanym izomorfizmem.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
D o w ó d. Wiemy już, że H ⊳ G. Określamy odwzorowanie<br />
¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g).<br />
Odwzorowanie ¯f jest dobrze określone, bo jeśli g 1 H = g 2 H, to<br />
g1 −1 g 2 ∈ H, czyli f (g1 −1 g 2) = e, tj. f (g 1 ) = f (g 2 ).<br />
Dalej, ¯f jest homomorfizmem, bo ¯f (g 1 H · g 2 H) = ¯f (g 1 g 2 H) =<br />
f (g 1 g 2 ) = f (g 1 )f (g 2 ) = ¯f (g 1 H)¯f (g 2 H). Ponadto ¯f jest<br />
monomorfizmem, bo jeśli ¯f (gH) = e, to f (g) = e czyli g ∈ H,<br />
więc gH = H.<br />
Oczywiście ¯f (G/H) = f (G), czyli obraz ¯f jest taki sam jak obraz<br />
f . Zatem f jest szukanym izomorfizmem.<br />
Odwrotnie, niech H ⊳ G. Określamy π : G −→ G/H wzorem<br />
π(g) = gH. Odwzorowanie π ma wtedy wszystkie żądane<br />
własności. <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Niekiedy grupa jest izomorficzna z iloczynem prostym swoich<br />
podgrup.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Niekiedy grupa jest izomorficzna z iloczynem prostym swoich<br />
podgrup.<br />
Twierdzenie<br />
Niech G będzie grupą, a A i B jej dzielnikami normalnymi. Jeżeli<br />
A ∩ B = {e} i AB = G, to G ∼ = A × B.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Niekiedy grupa jest izomorficzna z iloczynem prostym swoich<br />
podgrup.<br />
Twierdzenie<br />
Niech G będzie grupą, a A i B jej dzielnikami normalnymi. Jeżeli<br />
A ∩ B = {e} i AB = G, to G ∼ = A × B.<br />
D o w ó d. Każdy element g ∈ G można w sposób jednoznaczny(!)<br />
przedstawić w postaci iloczynu g = ab, a ∈ A, b ∈ B. Określamy<br />
f : G −→ A × B wzorem f (g) = (a, b). To odwzorowanie jest<br />
izomorfizmem. <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Niekiedy grupa jest izomorficzna z iloczynem prostym swoich<br />
podgrup.<br />
Twierdzenie<br />
Niech G będzie grupą, a A i B jej dzielnikami normalnymi. Jeżeli<br />
A ∩ B = {e} i AB = G, to G ∼ = A × B.<br />
D o w ó d. Każdy element g ∈ G można w sposób jednoznaczny(!)<br />
przedstawić w postaci iloczynu g = ab, a ∈ A, b ∈ B. Określamy<br />
f : G −→ A × B wzorem f (g) = (a, b). To odwzorowanie jest<br />
izomorfizmem. <br />
Twierdzenie<br />
Niech G = A × B. Wtedy G/A ∼ = B.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Niekiedy grupa jest izomorficzna z iloczynem prostym swoich<br />
podgrup.<br />
Twierdzenie<br />
Niech G będzie grupą, a A i B jej dzielnikami normalnymi. Jeżeli<br />
A ∩ B = {e} i AB = G, to G ∼ = A × B.<br />
D o w ó d. Każdy element g ∈ G można w sposób jednoznaczny(!)<br />
przedstawić w postaci iloczynu g = ab, a ∈ A, b ∈ B. Określamy<br />
f : G −→ A × B wzorem f (g) = (a, b). To odwzorowanie jest<br />
izomorfizmem. <br />
Twierdzenie<br />
Niech G = A × B. Wtedy G/A ∼ = B.<br />
D o w ó d. Niech f : G −→ B, f (a, b) = b. Wtedy f jest<br />
epimorfizmem z jądrem A. <br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozpatrzmy odwzorowanie | | (moduł)<br />
przyporządkowujące każdej liczbie zespolonej jej wartość<br />
bezwzględną. Ponieważ |z 1 z 2 | = |z 1 | · |z 2 | więc jest to<br />
homomorfizm grupy multiplikatywnej C ∗ w grupę multiplikatywną<br />
R ∗ + liczb nieujemnych.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozpatrzmy odwzorowanie | | (moduł)<br />
przyporządkowujące każdej liczbie zespolonej jej wartość<br />
bezwzględną. Ponieważ |z 1 z 2 | = |z 1 | · |z 2 | więc jest to<br />
homomorfizm grupy multiplikatywnej C ∗ w grupę multiplikatywną<br />
R ∗ + liczb nieujemnych.<br />
Jądrem tego homomorfizmu jest grupa C 1 = {z ∈ C : |z| = 1}.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozpatrzmy odwzorowanie | | (moduł)<br />
przyporządkowujące każdej liczbie zespolonej jej wartość<br />
bezwzględną. Ponieważ |z 1 z 2 | = |z 1 | · |z 2 | więc jest to<br />
homomorfizm grupy multiplikatywnej C ∗ w grupę multiplikatywną<br />
R ∗ + liczb nieujemnych.<br />
Jądrem tego homomorfizmu jest grupa C 1 = {z ∈ C : |z| = 1}.<br />
Grupa ilorazowa C ∗ /C 1 jest izomorficzna z grupą R ∗ +.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozpatrzmy odwzorowanie | | (moduł)<br />
przyporządkowujące każdej liczbie zespolonej jej wartość<br />
bezwzględną. Ponieważ |z 1 z 2 | = |z 1 | · |z 2 | więc jest to<br />
homomorfizm grupy multiplikatywnej C ∗ w grupę multiplikatywną<br />
R ∗ + liczb nieujemnych.<br />
Jądrem tego homomorfizmu jest grupa C 1 = {z ∈ C : |z| = 1}.<br />
Grupa ilorazowa C ∗ /C 1 jest izomorficzna z grupą R ∗ +.<br />
Geometrycznie, elementami grupy ilorazowej są okręgi o środku w<br />
początku układu współrzędnych. Iloczynem dwu takich okręgów o<br />
promieniach r 1 i r 2 jest okrąg o promieniu r 1 r 2 .<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozpatrzmy odwzorowanie | | (moduł)<br />
przyporządkowujące każdej liczbie zespolonej jej wartość<br />
bezwzględną. Ponieważ |z 1 z 2 | = |z 1 | · |z 2 | więc jest to<br />
homomorfizm grupy multiplikatywnej C ∗ w grupę multiplikatywną<br />
R ∗ + liczb nieujemnych.<br />
Jądrem tego homomorfizmu jest grupa C 1 = {z ∈ C : |z| = 1}.<br />
Grupa ilorazowa C ∗ /C 1 jest izomorficzna z grupą R ∗ +.<br />
Geometrycznie, elementami grupy ilorazowej są okręgi o środku w<br />
początku układu współrzędnych. Iloczynem dwu takich okręgów o<br />
promieniach r 1 i r 2 jest okrąg o promieniu r 1 r 2 .<br />
Grupa R ∗ + jest także podgrupą w C ∗ ; łatwo zauważyć, że jest to<br />
jądro homomorfizmu arg : C ∗ −→ R (R — grupa addytywna).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Rozpatrzmy odwzorowanie | | (moduł)<br />
przyporządkowujące każdej liczbie zespolonej jej wartość<br />
bezwzględną. Ponieważ |z 1 z 2 | = |z 1 | · |z 2 | więc jest to<br />
homomorfizm grupy multiplikatywnej C ∗ w grupę multiplikatywną<br />
R ∗ + liczb nieujemnych.<br />
Jądrem tego homomorfizmu jest grupa C 1 = {z ∈ C : |z| = 1}.<br />
Grupa ilorazowa C ∗ /C 1 jest izomorficzna z grupą R ∗ +.<br />
Geometrycznie, elementami grupy ilorazowej są okręgi o środku w<br />
początku układu współrzędnych. Iloczynem dwu takich okręgów o<br />
promieniach r 1 i r 2 jest okrąg o promieniu r 1 r 2 .<br />
Grupa R ∗ + jest także podgrupą w C ∗ ; łatwo zauważyć, że jest to<br />
jądro homomorfizmu arg : C ∗ −→ R (R — grupa addytywna).<br />
Widać, że R ∗ + ∩ C 1 = {1} oraz R ∗ +C 1 = C ∗ . Zatem C ∗ ∼ = C 1 × R ∗ +.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Niech ϕ : C ∗ → C ∗ będzie określone wzorem<br />
ϕ(z) = z3 . Sprawdzić, że ϕ jest homomorfizmem, wyznaczyć<br />
|z| 3<br />
ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficznie oba zbiory i narysować warstwę<br />
e i π/4 ker ϕ.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Niech ϕ : C ∗ → C ∗ będzie określone wzorem<br />
ϕ(z) = z3 . Sprawdzić, że ϕ jest homomorfizmem, wyznaczyć<br />
|z| 3<br />
ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficznie oba zbiory i narysować warstwę<br />
e i π/4 ker ϕ.<br />
Rozwiązanie. C ∗ jest grupą z mnożeniem. Sprawdzamy, czy ϕ jest<br />
homomorfizmem:<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Niech ϕ : C ∗ → C ∗ będzie określone wzorem<br />
ϕ(z) = z3 . Sprawdzić, że ϕ jest homomorfizmem, wyznaczyć<br />
|z| 3<br />
ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficznie oba zbiory i narysować warstwę<br />
e i π/4 ker ϕ.<br />
Rozwiązanie. C ∗ jest grupą z mnożeniem. Sprawdzamy, czy ϕ jest<br />
homomorfizmem:<br />
ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3<br />
|z 1 z 2 | 3 = Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Niech ϕ : C ∗ → C ∗ będzie określone wzorem<br />
ϕ(z) = z3 . Sprawdzić, że ϕ jest homomorfizmem, wyznaczyć<br />
|z| 3<br />
ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficznie oba zbiory i narysować warstwę<br />
e i π/4 ker ϕ.<br />
Rozwiązanie. C ∗ jest grupą z mnożeniem. Sprawdzamy, czy ϕ jest<br />
homomorfizmem:<br />
ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3<br />
|z 1 z 2 | 3 = z3 1 z3 2<br />
|z 1 | 3 |z 2 | 3 = Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Niech ϕ : C ∗ → C ∗ będzie określone wzorem<br />
ϕ(z) = z3 . Sprawdzić, że ϕ jest homomorfizmem, wyznaczyć<br />
|z| 3<br />
ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficznie oba zbiory i narysować warstwę<br />
e i π/4 ker ϕ.<br />
Rozwiązanie. C ∗ jest grupą z mnożeniem. Sprawdzamy, czy ϕ jest<br />
homomorfizmem:<br />
ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3<br />
|z 1 z 2 | 3 = z3 1 z3 2<br />
|z 1 | 3 |z 2 | 3 = z3 1<br />
|z 1 | 3 · z2<br />
3<br />
|z 2 | 3 =<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Przykład. Niech ϕ : C ∗ → C ∗ będzie określone wzorem<br />
ϕ(z) = z3 . Sprawdzić, że ϕ jest homomorfizmem, wyznaczyć<br />
|z| 3<br />
ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficznie oba zbiory i narysować warstwę<br />
e i π/4 ker ϕ.<br />
Rozwiązanie. C ∗ jest grupą z mnożeniem. Sprawdzamy, czy ϕ jest<br />
homomorfizmem:<br />
ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3<br />
|z 1 z 2 | 3 = z3 1 z3 2<br />
|z 1 | 3 |z 2 | 3 = z3 1<br />
|z 1 | 3 · z2<br />
3<br />
|z 2 | 3 = ϕ(z 1)ϕ(z 2 ).<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jądro tworzą rozwiązania równania ϕ(z) = 1, tzn.<br />
z 3<br />
|z| 3 = 1<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jądro tworzą rozwiązania równania ϕ(z) = 1, tzn.<br />
z 3<br />
|z| 3 = 1<br />
Aby je rozwiązać można np. zapisać z w postaci wykładniczej:<br />
z = re i α . Wtedy<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jądro tworzą rozwiązania równania ϕ(z) = 1, tzn.<br />
z 3<br />
|z| 3 = 1<br />
Aby je rozwiązać można np. zapisać z w postaci wykładniczej:<br />
z = re i α . Wtedy<br />
(re i α ) 3<br />
|re i α | 3 = 1,<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jądro tworzą rozwiązania równania ϕ(z) = 1, tzn.<br />
z 3<br />
|z| 3 = 1<br />
Aby je rozwiązać można np. zapisać z w postaci wykładniczej:<br />
z = re i α . Wtedy<br />
(re i α ) 3<br />
|re i α | 3 = 1,<br />
e 3 i α = 1<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jądro tworzą rozwiązania równania ϕ(z) = 1, tzn.<br />
z 3<br />
|z| 3 = 1<br />
Aby je rozwiązać można np. zapisać z w postaci wykładniczej:<br />
z = re i α . Wtedy<br />
(re i α ) 3<br />
|re i α | 3 = 1,<br />
e 3 i α = 1<br />
3α = 2kπ, k ∈ Z.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jądro tworzą rozwiązania równania ϕ(z) = 1, tzn.<br />
z 3<br />
|z| 3 = 1<br />
Aby je rozwiązać można np. zapisać z w postaci wykładniczej:<br />
z = re i α . Wtedy<br />
(re i α ) 3<br />
|re i α | 3 = 1,<br />
e 3 i α = 1<br />
3α = 2kπ, k ∈ Z.<br />
Zatem r jest dowolne, a α ma 3 wartości: 0, 2π/3, 4π/3:<br />
ker ϕ = {r, re 2 i π/3 , re 4 i π/3 : r ∈ R + }.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Jądro tworzą rozwiązania równania ϕ(z) = 1, tzn.<br />
z 3<br />
|z| 3 = 1<br />
Aby je rozwiązać można np. zapisać z w postaci wykładniczej:<br />
z = re i α . Wtedy<br />
(re i α ) 3<br />
|re i α | 3 = 1,<br />
e 3 i α = 1<br />
3α = 2kπ, k ∈ Z.<br />
Zatem r jest dowolne, a α ma 3 wartości: 0, 2π/3, 4π/3:<br />
ker ϕ = {r, re 2 i π/3 , re 4 i π/3 : r ∈ R + }.<br />
Geometrycznie są to 3 półproste wychodzące z początku układu,<br />
nachylone do osi rzeczywistej pod kątami 0, 2π/3, 4π/3.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Z kolei obraz homomorfizmu to zbiór liczb postaci ϕ(re i α ) = e 3 i α ,<br />
α ∈ R.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Z kolei obraz homomorfizmu to zbiór liczb postaci ϕ(re i α ) = e 3 i α ,<br />
α ∈ R.<br />
Jest to więc okrąg jednostkowy.<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Z kolei obraz homomorfizmu to zbiór liczb postaci ϕ(re i α ) = e 3 i α ,<br />
α ∈ R.<br />
Jest to więc okrąg jednostkowy.<br />
Warstwa:<br />
e i π/4 ker ϕ = {re i π/4·e 2k i π/3 : k = 0, 1, 2} = {re i π/4 , re i(π/4+2π/3) , re i(π/4<br />
Grupy
Grupa, podgrupa, homomorfizm<br />
Grupa symetryczna S n<br />
Grupa ilorazowa<br />
Z kolei obraz homomorfizmu to zbiór liczb postaci ϕ(re i α ) = e 3 i α ,<br />
α ∈ R.<br />
Jest to więc okrąg jednostkowy.<br />
Warstwa:<br />
e i π/4 ker ϕ = {re i π/4·e 2k i π/3 : k = 0, 1, 2} = {re i π/4 , re i(π/4+2π/3) , re i(π/4<br />
Geometrycznie są to 3 półproste wychodzące z początku układu,<br />
nachylone do osi rzeczywistej pod kątami π 4 , 11π<br />
12 , 19π<br />
12 .<br />
Grupy