KOMPLEKSNI BROJEVI

KOMPLEKSNI BROJEVI
Riješite jednadžbe:
a ) x
2
− 1 = 0
2
b)
x + 1 = 0
Imaginarna jedinica:
i
=
−1
Skup kompleksnih brojeva:
{ x +
iy
:
x
,
}
C = y
∈ R
Kompleksan broj je broj oblika z = x + iy,
∀x,
y ∈ R. Broj x se naziva realni
dio kompleksnog broja i označava se Rez, a realan broj y imaginarni dio i
označava se Imz.
Primjer: Odredite imaginarni i realni dio kompleksnog broja:
a)
z = 5−7i
1
b)
z = −
2
c)
z = −7.2i

Ako je i = −1 odredite:
a)
i
b)
i
c)
i
e)
i
2
3
4
d)
i
5
2009
Prikaz kompleksnog broja:
Algebarski prikaz
Trigonometrijski prikaz
Eksponencijalni prikaz

TRIGONOMETRIJSKI PRIKAZ KOMPLEKSNOG
BROJA
Gaussova ravnina
imaginarna os
realna os
z = x + yi ⇒ z(x, y)
konjugirano kompleksni broj
z
=
x
−
yi
Primjer:
Grafički prikažite: a) z 1 = - 2 + i b) z 2 = - 3i
Vektorski prikaz:
modul kompleksnog broja:
2
r = z = x +
y
2
kut između radij vektora i x-osi:
tg ϕ =
y
x

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja:
z
r
tan
Re
=
Im
= |
( cos ϕ + i sin ϕ )
| =
ϕ =
z
r
z
=
x
y
x
=
z =
y
=
x
2
r
+
cos
y
2
ϕ
r
sin
ϕ
Primjer: Prikažite u trigonometrijskom obliku broj:
a ) z = 2 + 2i
b ) z = − 3 − i

EKSPONENCIJALNI (EULEROV) PRIKAZ
KOMPLEKSNOG BROJA
Eulerov formula:
ϕ
e i = cosϕ
+ isinϕ
Eksponencijalni prikaz kompleksnog broja:
iϕ
( cosϕ
+ i ϕ) re
z = r sin =
veza pet najpoznatijih brojeva u matematici:
iπ
e +1= 0

ZBRAJANJE I ODUZIMANJE KOMPLEKSNIH
BROJEVA
z
z
1
1
+
−
z
z
2
2
=
=
( x1
+ x2
) + i( y1
+ y2
)
( x − x ) + i( y − y )
1
2
1
2
komutativnost
asocijativnost
Primjer:
Neka je z 1 = 2 + 3i, z 2 = 3 – 5i, izračunajte:
a) z 1 + z 2
b) z 1 - z 2

MNOŽENJE KOMPLEKSNIH BROJEVA
algebarski
( x x − y y ) + i( x y x )
z +
1
⋅ z2
=
1 2 1 2 1 2 2y1
komutativnost
asocijativnost
distributivnost
Primjer:
Neka je z 1 = 2 + 3i, z 2 = 3 – 5i, izračunajte:
a) z 1 ⋅ z 2 b) z1 ⋅z1

trigonometrijski
z1 ⋅ z2
= r1
r2
cos ϕ
1
+ ϕ2
+ isin
ϕ1
+ ϕ2
[ ( ) ( )]
Primjer: Neka je z 1 = 5(cos35°+isin35 °), z 2 = 6(cos10°+isin10 °), izračunajte z 1 ⋅ z 2 .

DIJELJENJE KOMPLEKSNIH BROJEVA
algebarski
z
z
=
z
=
x
x
+
+ i
: 1 1 2 1 2 2 1 1
1 2
2 2
2 2
z2
x2
+ y2
x2
+ y2
y
y
x
y
−
x
y
2
trigonometrijski
z
z r
: ϕ
[ cos( ϕ −ϕ
) + ( ϕ − )]
1 1
1
z2
= =
1 2
i sin
z2
r2
1
2
Primjer: Neka je z 1 = 1 + i, z 2 = 3 – 3i, izračunajte z 1 : z 2 algebarski i
trigonometrijski.

POTENCIRANJE I KORJENOVANJE
KOMPLEKSNIH BROJEVA
Potenciranje
z
n
=
r
n
( cos nϕ + i sin nϕ )
Korjenovanje
n
n
⎛ ϕ
+
2
k
π
ϕ
+
2
k
π
⎞
z = r ⎜cos
+ i sin ⎟,
k = 0,1,2,..., n
⎝ n
n ⎠
−1