2D Rieman-Christoffel tenzor Г k ij zakrivljenosti prostora iz 3D ...

Omerbašić M.: 2D Riemann- Christoffel tenzor.... 5
Mensur Omerbašić * UDK 528.2
Originalni naučni rad
2D Riemann-Christoffel tenzor k ij zakrivljenosti prostora iz 3D prostora
korištenjem specijalizirane permutacijske scheme
Uvod
Izvedimo metrički tenzor za geodetske koordinate (h, , ) na fiksnom rotacionom
elipsoidu zadatom svojim dvjema osama (a, b), i centrisanom u koordinatnom ishodištu za
koje vrijedi
1
x ( N h)cos
cos ,
2
x ( N h)cos
sin ,
3
x ( N h)
sin
, kao
[Hotine, 1969]
g
ps
i
j
x x
ij
(1)
p s
u u
gdje N a
2
cos ( b / a)
2
2
sin , a u i U su krivolinijske koordinate u krivolinijskom
koordinatnom sistemu U, na pr., h, , na rotacionom elipsoidu. Onda iz (1) slijedi:
g
g
g
11
22
33
cos
b
a
4
8
2
cos
N
6
( N h)
a sâm metrik je:
cos
sin cos
2
2
2
2
cos sin
sin
b
a
or for h 0 : ... N
2
2
2
4
8
sin
( N h)
2
2
N
6
cos p
1
sin sin
2
2
2
2
2
b
a
cos cos
2
2
2
4
8
N
6
0 ( N h)
p s g
cos
ps
2
b
a
0
2
4
8
N
cos
6
2
, (2)
g
ij
1 0
0
0 ( M h)
0 . (3)
0 0
2
( N h)
2
cos
2
* Dr. Mensur Omerbašić, dipl. inž. geod., GTS d.o. Sarajevo,
e-mail: omerbashich@gts.ba

6
Omerbašić M.: 2D Riemann- Christoffel tenzor....
Christoffelovi simboli 1 ve i 2 ge vrste respektivno dati su sa [Wrede, 1963]:
1 g jk g g
ik ij k lk
[ij, k] , ij
g [ij,
k]
i j k
2
u u u
, (4)
što za rotacioni elipsoid u geodetskim koordinatama (x , x , x ) ( h,
,
)
, glasi:
3
23
3
13
2
12
2
22
1
22
1
33
2
33
g
g
g
g
3
32
3
31
2
21
22
11
11
22
g
g
g
23,3
MN sin
cos
22,2
22,1
M
1
2
33,1
N cos
33
33
22
33,2
13,3
12,2
1
M
1
1
1
1
M
N
1
M
2
2
N
2
2
3M
1
cos
1
N cos
2
cos
2
1
M
M
2
2
1
M
M
N
MN sin
cos
2
1
2
1
N
3
tan
3 1
2
N
cos
N
M
M
N
sin
cos
.
M
tan
N
(5)
tan
Zahvaljujući opštosti tenzorâ, u cilju dokazivanja prikladnosti takvog prostora za
razmatranja u okviru Euklidovskog prostora, dovoljno je u izložiti takav prostor istom
ograničenju koji vrijedi za Euklidovske prostore: tamo, vektorsko polje dobijeno paralelnim
transportom plošnog vektora duž krive – geodetske linije (u tom slučaju pravac!), i zadane
sa [Spiegel, 1959]:
r
A
k
r
jk
A
j
0
x
odsijeca uvijek jednake uglove sa geodetskom linijom (pravcem), i samo prateći pravu
liniju.
Koncept paralelizma u Riemannovskim prostorima definiran je relativno zadatoj
krivoj. Na rotacionom elipsoidu kao jednom takvom prostoru, uvijek postoji najmanje jedna
geodetska linija koja spaja dvije date tačke. Tako za tangent vektore -krivoj za =
1 =const., te -krivoj za = 2 = const., bez obzira na (ne)postojanje paralelizma u
Euklidovskom smislu, govorimo o paralelizmu ako se desio paralelni transport između
takva dva vektora, tj., ako je gornja j-na (6) zadovoljena. Ovo je očigledno slučaj u nekom
Euklidovskom prostoru gdje svi Christoffelovi simboli nužno nestaju i gdje su svi preostali
izvodi pravaca jednaki nuli: meridijani su međusobno paralelni u transverzalnim
kartografskim projekcijama.
Da bismo vidjeli da li su gore navedeni tangent vektori i generalno međusobno
paralelni na rotacionom elipsoidu, dovoljno je pokazati da barem jedna iz sistema jednačinâ
(6) ne zadovoljava za (5):
(6)

Omerbašić M.: 2D Riemann- Christoffel tenzor.... 7
Izvođenje Riemann-Christoffel tenzora zakrivljenosti prostora
A
x
3
3
3
23
A
2
(0)
M
N
tan
M
2
3
M
N
tan
0
except for 0
.
(7)
Riemann-Christoffel tenzor zakrivljenosti prostora glasi [Wrede, 1963]:
R
l
ijk
l
l
ik ij s l s l
iksj
ijsk,
(8)
j k
u u
dok je njegov kovarijantni oblik definiran kao:
ks
R g R . (9)
lijk
ls
ijk
Jedine četiri komponente ovog tenzora različite od nule u 2D simetričnom prostoru
jesu R 1212 , R 2121 , R 1221 , R 2112 , gdje usljed simetrije u dvjema parovima indeksâ, kao i usljed
anti-simetrije, vrijedi: R 1212 = R 2121 = –R 1221 = –R 2112 [Wrede, 1963].
Sfera i rotacioni elipsoid predstavljaju 2D zakrivljene prostore (površi). U
prethodnim razmatranjima (vidjeti i Dodatak) smo za Christoffelove simbole koristili 3D
koordinate. Stoga ćemo sada za računanje tenzora zakrivljenosti koristiti sljedeću schemu
za permutaciju indeksâ Christoffelovih simbolâ 2 ge vrste i odgovarajućih elemenata
Riemann-Christoffel tenzorâ:
Gornja schema koristi se tako da se njeni kolone i redovi unakrsno upoređuju da bi se
pronašli indeksi međusobno odgovarajući u 2D odnosno 3D prostoru. Za rotacioni elipsoid,
komponente Riemann-Christoffel tenzora zakrivljenosti (tog) prostora, prema izrazu (8),
glase:

8
Omerbašić M.: 2D Riemann- Christoffel tenzor....
R
R
1
212
1
212
2 2
33
32
2
33
2
22
3
32
2
33
N N
sin
cos
0 sin
cos
31
M M
1 N N
sin
sin 2
3 sin
cos
3
2 M M
cos
1 N
N
2 1 tan 2sin cos
2
M
M
N sin
N 2
2
1
sin
cos
cos
M cos
M
N 2
2 N 2 N
2
sin 2sin cos
M
M M
N 2
2
2
cos sin sin
M
N 2
cos .
M
M
N
N
M
2 cos 2
3
2
sin 3
2
sin 3
M N
tan
tan
sin
cos
N M
M
sin
2
sin
cos
sin
N
cos
N
M
N
M
N
M
2
2
2
sin 3sin sin
2
2
sin 2sin
2
2
sin 2sin
(10)
Računanje druge tri komponente ostavljamo čitaocu. Kovarijantne komponente
sada se sračunaju iz (9) i (10):
R
1
2
1212 11 212 cos
g R MN , (11)
što je u saglasnosti s diskusijom koja je uslijedila neposredno nakon j-ne (9).
Radi kompletnosti zadatka, još izvedimo i Ricci-Einstein te Lamé tenzore,
mn
ij ikl jmn
Rij
g R mijn i S e e R klmn [Borisenko & Tarapov, 1966] respektivno, za
rotacioni elipsoid (vidjeti Dodatak):
R
ij
M
0
N
. (12)
N
0 cos 2
M
Takođe:
11 1
g
1
R
g
1
R
g
S 1212
1212
2
2
MN cos 1
, (13)
2 2
M N cos MN

Omerbašić M.: 2D Riemann- Christoffel tenzor.... 9
gdje [Wrede, 1963]:
ikl 1
jmn 1
ij ji
e ikl e jmn , and S S .
(14)
g
g
Preostale komponente dobiju se na analogan način, te stoga njihovo izvođenje
ostavljamo čitaocu. Primjenom formule za Gaussovu krivinu, iz Riemann-Christoffel
tenzora zakrivljenosti K ( 1/ g) R1212
[Sokolnikoff, 1964] za rotacioni elipsoid,
dobijemo:
1 2 1
K Ellipsoid
MN cos
(15)
2 2 2
M N cos
MN
Zaključak
Ovdje smo pokazali brži način za dobijanje 2D Riemann-Christoffel tenzora
zakrivljenosti prostora. Ispravnost izraza (15), dobijenog iz formule za Gaussovu krivinu, u
saglasnosti je sa (v) iz Dodatka. Naša schema omogućuje direktnu transformaciju u
Euklidovski prostor, tj., iz proizvoljnog (ovdje ravnog, ali lahko primjenljivog na opšti
slučaj) 3D u 2D prostor koji uključuje i rotacioni elipsoid. Moguće su daljnje razrade, na
pr., za površi parametrizirane Gaussovim normalnim plošnim koordinatama ( el , el ,
h el ( el , el )), kao što je planeta Zemlja. Tako bi, na pr., korištenjem naše scheme Riemann-
Christoffel tenzor zakrivljenosti mogao biti direktno računat za topografsku površ h el ( el ,
el ) Zemlje, pri čemu bi Christoffelovi simboli za takvu reprezentaciju bili zadati u obliku
ortonormalnih funkcija na rotacionom elipsoidu.
Dodatak
Neki korisni izrazi:
2
3 b M
M
M N ; 3 1 tan
4 M
a
N
M M M N N
2 1
tan
; 2
1 tan
. (i)
N N N
M M
Izrazi (4) dobijeni su nakon izvršenih sljedećih računanjâ:
1 2
x 3
N
4
b
a
2 2
x 3
N
4
b
a
3
x b
a
2
4
pN
2
sin cos
sin sin
b
a
2
4
4
2
N cos .
(ii)

10
Omerbašić M.: 2D Riemann- Christoffel tenzor....
U gornjem smo našli totalne izvode za N = f (). Pomenimo još da se do metrika
može doći na više načina; mi smo koristili dobro poznati [Hotine, 1969]:
N M
( N cos)
M
sin ( N sin )
M cos
, (iii)
cos
gdje (i) može služiti kao dokaz ispravnosti rezultata dobijenog na bilo koji od dva načina.
Računanjem izrazâ (10) dobijemo Christoffelove simbole prve vrste (pokazujemo
samo one različite od nule), za 3D prostor dat u geodetskim koordinatama, relativno u
odnosu na elipsoid h = 0:
1
g23
g33
g32
1 2 2
32,3 0 N
cos
2
x
1
g33
g13
g13
1 2 2
13,3 N
cos
2
x
1
g
2
x
3
1
x
x
g
x
x
x
g
x
2 h
1
2 h
22 12 12
2
12,2 M
0 0 M
1
1
g22
g22
g22
1 2
22,2 M
2
x
2
3
2
3
3
2
2
1
g21
g21
g22
1 2
22,1
0 0 M
2
x
1
g31
g31
g33
1 2 2
33,1
0 0 N
cos
2
x
3
1
g32
g32
g33
1 2 2
33,2 0 0 N
cos
2
x
1
g33
g23
g23
1 2 2
23,3 N
cos
2
x
2
1
g13
g33
g31
1 2 2
31,3
0 N
cos
2
x
1
g
2
x
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
g
x
x
x
x
x
x
x
g
x
2
2
2 h
1
2 h
2 h
2 h
2
3M
1
12 22 21
2
21,2
0 M
0 M.
(iv)
Iz (4) očito je da jedino za
k
ij, k 0
2
0
2
3
3
1
2
3
1
ij
.
1
1
3
3
2
2
2
2
M
0 MN
sin cos
0 0 N cos
M
N
tan
MN sin cos
0 0 MN
sin cos
2
2
N
cos
0 N cos
2

Omerbašić M.: 2D Riemann- Christoffel tenzor.... 11
Zakrivljenost nekog elipsoida sračunata je korištenjem gornjih izraza, kao:
K Ellipsoid
1 1 g
22 1 g
11
2 g
g
g
1
2
b
2 N
4
a
1
2
b
2 N
4
a
8
a
4
b N
3
3
3
b
p a
2
4
b
p
a
4
2a
p d p a
2 3
2
b N p d
2b
N
p
a
cos
b
4
2
2
4
1
N
3
2
(
p )
p
cos
a
4
2
N cos
b N
b
a
4
4
4
3
2
4
1
N
4
2a
2
p b
3
1
.
MN
2
M
p
1
N
3
2
b
4
a
N
3
sin
(v)
Literatura:
Borisenko, A.I., Tarapov, I.E. (1966). Vector and Tensor Analysis with applications.
Translated from Russian by Prentice-Hall, Inc. (1968). New Jersey, N.J., the United
States of America.
Hotine, M. (1969). Mathematical Geodesy. U.S. Department of Commerce, Washington,
D.C., United States of America.
Sokolnikoff, I. S. (1964). Tensor Analysis. John Wiley & Sons, Inc., New York, N.Y., the
United States of America.
Spiegel, M.R. (1959). Theory and Problems of Vector Analysis and an introduction to
Tensor Analysis. Schaum’s outline series, Schaum Publishing Co., New York, United
States of America.
Wrede, R.C. (1963). Introduction to Vector and Tensor Analysis. John Wiley & Sons, Inc.,
New York, N.Y., United States of America.
Sažetak:
Kada prostor u kojem su Christoffelovi simboli druge vrste simetrični u donjim
indeksima postoji, takav prostor onda čini alternativu standardnoj proceduri (h, , )(r, ,
) gdje se 2D površ normalno inducira iz geometrije okolnog 3D prostora kojim je površ
obuhvaćena. U takvoj situaciji čini se prikladnim koristiti naročitu schemu za neposrednu
permutaciju indeksa k ij tenzora. Takav prostor omogućuje transformaciju u cilju dobijanja
komponenti 2D Riemann-Christoffel tenzora ovdje izraženog u geodetskim koordinatama
za rotacioni elipsoid, od koristi u geofizici. Primjenom naše scheme nađemo
korespondirajuće indekse u 2D i u 3D suplement-prostoru, i sračunamo komponente

12
Omerbašić M.: 2D Riemann- Christoffel tenzor....
Riemann-Christoffel tenzora zakrivljenosti prostora. Tako operiranjem nad elementima
samih projekcija dobijemo opšte-poznatu vrijednost od 1/MN za Gausovu krivinu na
rotacionom elipsoidu. Da bi dokazali validnost scheme, pokažemo i da je u takvom jednom
3D prostoru tangent vektor -krive za =const 1 zaista paralelan tangent vektoru -krive za
=const 2 , na površini rotacionog elipsoida. U poređenju s klasičnim pristupom, naša
schema omogućuje brža računanja 2D tenzora zakrivljenosti, i kao takva čini preferirani
način računanja Riemann-Christoffel tenzora zakrivljenosti prostora, na pr., topografske
površi h el ( el , el ) planete Zemlje.
Abstract:
2D Riemann-Christoffel curvature tensor via a 3D space using a
specialized permutation scheme
When a space in which Christoffel symbols of the second kind are symmetrical in
the lower indices exists it constitutes a supplement to the standard procedure (h, , )(r,
, ) when a 2D surface is normally induced from the geometry of the surrounding 3D
space in which the surface is embedded. There it appears appropriate to use a suitable
scheme for the straightforward permutation of indices of k ij, when such a space would
make this transformation possible so to obtain the components of the 2D Riemann-
Christoffel tensor here expressed in geodetic coordinates for an ellipsoid of revolution, of
use in geophysics. By applying the scheme we find the corresponding indices in a 2-D and
a 3-D supplement-space and compute the components of the Riemann-Christoffel tensor.
By operating over the elements of the projections alone, the all-known value of 1/MN for
the Gaussian curvature on an ellipsoid of revolution is obtained. To prove the validity of the
scheme, we show that in such a 3D space the tangent vector to a -curve for =const 1
would be parallel to a tangent vector to a -curve for =const 2 on the surface of an ellipsoid
of revolution. Compared to the classical approach, our scheme enables faster computation
of the 2D curvature tensor, and as such makes a preferred way for computing the Riemann-
Christoffel curvature tensor for the topographic surface h el ( el , el ) of the Earth.