osnove računanja u kartezijevom koordinatnom sustavu

OSNOVE RAČUNANJA U KARTEZIJEVOM KOORDINATNOM SUSTAVU
Cilj mjerenja u praktičnoj geodeziji je izrada plana ili karte tj. Prikazivanje zemljine površine u ravnini.
To se ostvaruje preslikavanjem niza točaka terena čiji je položaj na terenu određen. Točke terena se
položajno i visinski određene onda ako znamo njihove koordinate x, y, z, nadmorske visine, u
određenom koordinatnom sutavu.
Govorit ćemo ovdje o pravokutnim koordinatama tj. o pravokutnom koordinatnom sustavu.
+x
I (kvadrant)
IV
yT
T(yT, xT)
νa
da
xT
0
+y
III
II
Os x je projekcija ishodišnog meridijana na ravnini.
Os y je projekcija ekvatora, najveće (nulte) paralele na ravninu.
Novi planovi - ishodište Greenwich kod Londona i ekvator
Stari planovi – ishodište
Točka T određena je svojim polarnim koordinatama: dužinom d a i kutom ν a između pozitivnog smjera
osi x i te dužine. Taj kut se naziva smjernim kutom.
Kut između smjera meridijana i nekog pravca naziva se azimut. Kako je smjer meridijana i osi x
identičan samo na samoj osi x, opčenito smjerni kut ν i azimut α nisu identični, nego se razlikuju za
meridijansku konvergenciju k

k
xT
ν
νa
Ta
SMJERNI KUT I DUŽINA
Zadano: A( y A , x A ); B(y B , x B )
Traži se:
b
a
ν , d AB
B
Δy
= y
Δx
= x
B
B
− y
− x
A
A
tgν
ν
d
d
B
A
2
AB
AB
B
A
Δy
= =
Δx
y
x
Δy
= arctg
Δx
2
= Δy
+ Δx
B
B
= Δy
+ Δx
2
− y
− x
A
A
Δy
Δx
d
AB
= =
B
sinν
A
cosν
A
Smjerni kut neke dužine je kut što ga zatvara paralela s pozitivnim smjerom osi x i ta dužina u smjeru
kretanja kazaljke na satu.
B A
Svaka dužina ima dva smjerna kuta na početku i na kraju. Između njih postoji odnos: ν = ν + 180°
A
B

+x
B
−Δy
Δx
B
ν
ν
Δx
A
A
Δy
+y
−Δy
A
ν
A
ν
−Δx
α
−Δx
α
B
Δy
B
+ Δy
tgα
=
I. kvadrant: + Δx
B
ν
A
= α
+ Δy
tgα
=
II. kvadrant: − Δx
B
ν
A
= 180° + α
− Δy
tgα
=
III. kvadrant: − Δx
B
ν
A
= 180° + α
− Δy
tgα
=
IV. kvadrant: + Δx
B
ν = 360° + α
A

Kontrola:
Δy
= d
Δx
= d
Δy
= d
Δx
= d
AB
AB
AB
AB
sinν
cosν
⎛
2⎜
⎝
⎛
2⎜
⎝
Δx
+ Δy
= d
Δx
+ Δy
= d
Δx
− Δy
= d
AB
AB
AB
B
A
Δx
+ Δy
sin
=
Δx
− Δy
cos
B
A
1
sinν
2
1
cosν
2
⎛
2⎜
⎝
B
A
B
A
1
cosν
2
B
B
B
2( sin 45° ⋅ cosν
A
+ cos 45° ⋅ sinν
A
) = d
AB
2 sin( 45° + ν
A
)
B
B
B
2( cos 45° ⋅ cosν
A
− sin 45° ⋅ sinν
A
) = d
AB
2 cos( 45° + ν
A
)
B
( 45° + ν
A
)
B
= tg
( )
( 45° + ν
A
)
B
45° + ν
A
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
B
A
⎛ 1 B
Δx
− Δy
= d
AB
2⎜
cosν
A
−
⎝ 2
1
cos 45°
= sin 45°
=
2
2
2
2
2
+
1
sinν
2
1
sinν
2
B
A
B
A
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠