Jak rozwiÄ zywaÄ zadania. - Piotr A. DybczyÅski
Jak rozwiÄ zywaÄ zadania. - Piotr A. DybczyÅski
Jak rozwiÄ zywaÄ zadania. - Piotr A. DybczyÅski
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Wykład udostępniam na licencji Creative Commons:<br />
<strong>Jak</strong> rozwiązywać <strong>zadania</strong>.<br />
<strong>Piotr</strong> A. Dybczyński
północny<br />
biegun świata<br />
szerokość<br />
geograficzna<br />
B N<br />
zenit<br />
Z<br />
miejscowy<br />
południk<br />
astronomiczny<br />
punkt wschodu<br />
deklinacja<br />
punkt<br />
północy<br />
N<br />
horyzont<br />
astronomiczny<br />
punkt<br />
Barana<br />
♈<br />
W<br />
E<br />
α<br />
δ<br />
h<br />
t<br />
A<br />
S<br />
kąt godzinny<br />
punkt<br />
południa<br />
azymut<br />
wysokość<br />
rektascensja<br />
równik niebieski<br />
Nd<br />
B S<br />
południowy<br />
biegun świata<br />
punkt zachodu<br />
nadir<br />
pierwszy wertykał
Równanie czasu (ΔT T = czas słoneczny prawdziwy - średni)<br />
[min]<br />
+15<br />
ΔT<br />
+10<br />
nachylenie ekliptyki do równika<br />
+5<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
eliptyczność orbity Ziemi<br />
1 Sty 1 Mar 1 Maj 1 Lip 1 Wrz 1 List 1 Sty
Analemma<br />
Deklinacja Słońca
punkt<br />
górowania<br />
na równiku<br />
s = t ♈<br />
= t *<br />
+ α *<br />
t *<br />
B N<br />
α *<br />
♈
Zadanie<br />
Gwiazda o deklinacji δ = +10°<br />
góruje po południowej stronie zenitu<br />
na wysokości h = +60°.<br />
<strong>Jak</strong>a jest szerokość geograficzna<br />
obserwatora
zenit<br />
linia pionu<br />
horyzont
… góruje<br />
po południowej<br />
stronie zenitu ...<br />
zenit<br />
horyzont
… góruje<br />
po południowej<br />
stronie zenitu ...<br />
Z<br />
horyzont<br />
S
… góruje<br />
po południowej<br />
stronie zenitu ...<br />
Z<br />
… na<br />
wysokości<br />
h = +60° ...<br />
horyzont<br />
S
… góruje<br />
po południowej<br />
stronie zenitu ...<br />
Z<br />
… na<br />
wysokości<br />
h = +60° ...<br />
horyzont<br />
60°<br />
S
… góruje<br />
po południowej<br />
stronie zenitu ...<br />
Z<br />
… na<br />
wysokości<br />
h = +60° ...<br />
horyzont<br />
60°<br />
S<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = +10° ...
… góruje<br />
po południowej<br />
stronie zenitu ...<br />
Z<br />
… na<br />
wysokości<br />
h = +60° ...<br />
10°<br />
horyzont<br />
60°<br />
S<br />
równik<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = +10° ...
… góruje<br />
po południowej<br />
stronie zenitu ...<br />
Z<br />
… na<br />
wysokości<br />
h = +60° ...<br />
10°<br />
φ<br />
horyzont<br />
60°<br />
S<br />
równik<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = +10° ...<br />
φ =
… góruje<br />
po południowej<br />
stronie zenitu ...<br />
Z<br />
… na<br />
wysokości<br />
h = +60° ...<br />
B N<br />
10°<br />
φ<br />
N<br />
φ<br />
horyzont<br />
60°<br />
S<br />
równik<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = +10° ...<br />
φ = +40°
Zadanie<br />
Która jest godzina czasu gwiazdowego<br />
w chwili, gdy kąt godzinny gwiazdy<br />
górującej 3 godziny przed górowaniem<br />
punktu Barana wynosi t = 22h
płaszczyzna równika niebieskiego
kierunek ruchu sfery<br />
niebieskiej<br />
punkt przecięcia<br />
równika z południkiem<br />
miejscowym.<br />
płaszczyzna równika niebieskiego
… gdy kąt godzinny<br />
gwiazdy wynosi t = 22 h ...
… gdy kąt godzinny<br />
gwiazdy wynosi t = 22 h ...<br />
t = 22 h
… gwiazdy górującej<br />
3 godziny przed<br />
górowaniem<br />
punktu Barana ...<br />
… gdy kąt godzinny<br />
gwiazdy wynosi t = 22 h ...<br />
t = 22 h
… gwiazdy górującej<br />
3 godziny przed<br />
górowaniem<br />
punktu Barana ...<br />
… gdy kąt godzinny<br />
gwiazdy wynosi t = 22 h ...<br />
♈<br />
3 h<br />
t = 22 h
… gwiazdy górującej<br />
3 godziny przed<br />
górowaniem<br />
punktu Barana ...<br />
… gdy kąt godzinny<br />
gwiazdy wynosi t = 22 h ...<br />
♈<br />
3 h<br />
t = 22 h<br />
s = t ♈<br />
=
… gwiazdy górującej<br />
3 godziny przed<br />
górowaniem<br />
punktu Barana ...<br />
… gdy kąt godzinny<br />
gwiazdy wynosi t = 22 h ...<br />
♈<br />
3 h<br />
t = 22 h<br />
s = t ♈<br />
= 19 h
Zadanie<br />
W miejscu o szerokości geograficznej φ = 0°<br />
zauważono, że pewna gwiazda<br />
góruje na wysokości h = 45°<br />
w momencie zachodu punktu Barana.<br />
Podaj współrzędne równikowe równonocne<br />
(α i δ) ) tej gwiazdy.
zenit<br />
linia pionu<br />
horyzont
W miejscu o szerokości<br />
geograficznej φ = 0° ...<br />
zenit<br />
horyzont
W miejscu o szerokości<br />
geograficznej φ = 0° ...<br />
Z<br />
linia pionu<br />
<br />
horyzont<br />
równik niebieski
W miejscu o szerokości<br />
geograficznej φ = 0° ...<br />
Z<br />
linia pionu<br />
B<br />
N<br />
= N B<br />
S<br />
= S<br />
horyzont<br />
równik niebieski<br />
oś świata
W miejscu o szerokości<br />
geograficznej φ = 0° ...<br />
Z<br />
… gwiazda góruje<br />
na wysokości h = 45° ...<br />
linia pionu<br />
B<br />
N<br />
= N B<br />
S<br />
= S<br />
horyzont<br />
równik niebieski<br />
oś świata
W miejscu o szerokości<br />
geograficznej φ = 0° ...<br />
Z<br />
… gwiazda góruje<br />
na wysokości h = 45° ...<br />
horyzont<br />
linia pionu<br />
B<br />
N<br />
= N B<br />
S<br />
= S<br />
równik niebieski<br />
h = 45°<br />
oś świata
W miejscu o szerokości<br />
geograficznej φ = 0° ...<br />
Z<br />
… gwiazda góruje<br />
na wysokości h = 45° ...<br />
albo...<br />
horyzont<br />
linia pionu<br />
B<br />
N<br />
= N B<br />
S<br />
= S<br />
równik niebieski<br />
h = 45°<br />
oś świata
W miejscu o szerokości<br />
geograficznej φ = 0° ...<br />
Z<br />
… gwiazda góruje<br />
na wysokości h = 45° ...<br />
h = 45°<br />
horyzont<br />
linia pionu<br />
B<br />
N<br />
= N B<br />
S<br />
= S<br />
równik niebieski<br />
h = 45°<br />
oś świata
W miejscu o szerokości<br />
geograficznej φ = 0° ...<br />
Z<br />
… gwiazda góruje<br />
na wysokości h = 45° ...<br />
horyzont<br />
linia pionu<br />
B<br />
N<br />
= N B<br />
S<br />
= S<br />
ruch dobowy<br />
h = 45°<br />
równik niebieski<br />
h = 45°<br />
oś świata<br />
ruch dobowy
W miejscu o szerokości<br />
geograficznej φ = 0° ...<br />
Z<br />
… gwiazda góruje<br />
na wysokości h = 45° ...<br />
δ 1 = +45° δ 2 = –45°<br />
B<br />
N<br />
= N B<br />
S<br />
= S<br />
ruch dobowy<br />
h = 45°<br />
horyzont<br />
linia pionu<br />
równik niebieski<br />
h = 45°<br />
oś świata<br />
ruch dobowy
kierunek ruchu sfery<br />
niebieskiej<br />
punkt przecięcia<br />
równika z południkiem<br />
miejscowym.<br />
płaszczyzna równika niebieskiego
… gwiazda góruje ...<br />
płaszczyzna równika niebieskiego
… gwiazda góruje ...<br />
płaszczyzna równika niebieskiego
… gwiazda góruje ...<br />
… w momencie zachodu<br />
punktu Barana ...<br />
E<br />
W<br />
płaszczyzna równika niebieskiego
… gwiazda góruje ...<br />
… w momencie zachodu<br />
punktu Barana ...<br />
E<br />
t = 6 h<br />
♈=W<br />
płaszczyzna równika niebieskiego
… gwiazda góruje ...<br />
… w momencie zachodu<br />
punktu Barana ...<br />
α = <br />
E<br />
t = 6 h<br />
♈=W<br />
płaszczyzna równika niebieskiego
… gwiazda góruje ...<br />
… w momencie zachodu<br />
punktu Barana ...<br />
α = 6 h<br />
E<br />
t = 6 h<br />
♈=W<br />
płaszczyzna równika niebieskiego
Zadanie<br />
Kąt godzinny gwiazdy znajdującej się na<br />
pewnej wysokości wynosi t = 19 h 30 m .<br />
<strong>Jak</strong>i będzie jej kąt godzinny w momencie,<br />
gdy po pewnym czasie znajdzie się na tej<br />
samej wysokości z drugiej strony południka<br />
miejscowego
t 1<br />
t 2 =24 h -t 1
punkt przecięcia<br />
równika niebieskiego<br />
z południkiem<br />
miejscowym.<br />
… kąt godzinny<br />
gwiazdy wynosi<br />
t = 19 h 30 m ...<br />
4 h 30 m<br />
4 h 30 m<br />
E<br />
W<br />
t = 19 h 30 m<br />
płaszczyzna równika niebieskiego
Zadanie<br />
Gwiazda o deklinacji δ = -25°<br />
przecięła południk miejscowy<br />
na wysokości h = +10°.<br />
Podaj szerokość geograficzną tego miejsca,<br />
rozważając wszelkie możliwe przypadki.<br />
Czy było to górowanie czy dołowanie
zenit<br />
linia pionu<br />
horyzont
gwiazda przecięła południk<br />
miejscowy na wysokości<br />
h = +10° ...<br />
zenit<br />
horyzont
gwiazda przecięła południk<br />
miejscowy na wysokości<br />
h = +10° ...<br />
zenit<br />
horyzont<br />
10°
gwiazda przecięła południk<br />
miejscowy na wysokości<br />
h = +10° ...<br />
zenit<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = -25° ...<br />
horyzont<br />
10°
gwiazda przecięła południk<br />
miejscowy na wysokości<br />
h = +10° ...<br />
zenit<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = -25° ...<br />
δ = -25°<br />
horyzont<br />
równik niebieski<br />
10°
gwiazda przecięła południk<br />
miejscowy na wysokości<br />
h = +10° ...<br />
B N<br />
zenit<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = -25° ...<br />
φ<br />
δ = -25°<br />
N<br />
horyzont<br />
równik niebieski<br />
10°<br />
S<br />
φ = +55°
gwiazda przecięła południk<br />
miejscowy na wysokości<br />
h = +10° ...<br />
B N<br />
zenit<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = -25° ...<br />
φ<br />
N<br />
… i jest to<br />
górowanie ...<br />
horyzont<br />
równik niebieski<br />
δ = -25°<br />
10°<br />
S<br />
φ = +55°
Ale jest też druga<br />
możliwość ...<br />
zenit<br />
horyzont<br />
10°
Ale jest też druga<br />
możliwość ...<br />
zenit<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = -25° ...<br />
horyzont<br />
10°
Ale jest też druga<br />
możliwość ...<br />
zenit<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = -25° ...<br />
równik niebieski<br />
horyzont<br />
δ = -25°<br />
10°
Ale jest też druga<br />
możliwość ...<br />
zenit<br />
B S<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = -25° ...<br />
N<br />
równik niebieski<br />
horyzont<br />
δ = -25°<br />
10°<br />
S
Ale jest też druga<br />
możliwość ...<br />
zenit<br />
B S<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = -25° ...<br />
N<br />
równik niebieski<br />
horyzont<br />
φ<br />
δ = -25°<br />
10°<br />
S<br />
φ = –75°
Ale jest też druga<br />
możliwość ...<br />
zenit<br />
B S<br />
… gwiazda<br />
o deklinacji<br />
δ = -25° ...<br />
N<br />
równik niebieski<br />
horyzont<br />
φ<br />
δ = -25°<br />
10°<br />
S<br />
… i jest to<br />
dołowanie ...<br />
B N<br />
φ = –75°
Zadanie<br />
Obliczyć kąt godzinny Słońca prawdziwego<br />
w Sydney (λ E<br />
= 10 h 04 m )<br />
i Honolulu (λ W<br />
= 10 h 31 m )<br />
w chwili, gdy w Warszawie (λ E<br />
= 1 h 24 m )<br />
jest prawdziwa północ (północ czasu<br />
słonecznego prawdziwego)
0 h<br />
λ W<br />
=10 h 31 m<br />
λ E<br />
=1 h 24 m<br />
λ E<br />
=10 h 04 m
0 h<br />
8 h 40 m<br />
11 h 55 m<br />
λ W<br />
=10 h 31 m<br />
λ E<br />
=1 h 24 m<br />
λ E<br />
=10 h 04 m
= 12 h 0 m<br />
t = 12<br />
0 h<br />
11 h 55 m<br />
8 h 40 m<br />
λ W<br />
=10 h 31 m<br />
λ E<br />
=1 h 24 m<br />
λ E<br />
=10 h 04 m
= 12 h 0 m<br />
t = 12<br />
0 h<br />
11 h 55 m<br />
8 h 40 m<br />
t = 20 h 40 m<br />
λ W<br />
=10 h 31 m<br />
λ E<br />
=1 h 24 m<br />
λ E<br />
=10 h 04 m
t = 0 h 05 m<br />
= 12 h 0 m<br />
t = 12<br />
0 h<br />
11 h 55 m<br />
8 h 40 m<br />
t = 20 h 40 m<br />
λ W<br />
=10 h 31 m<br />
λ E<br />
=1 h 24 m<br />
λ E<br />
=10 h 04 m
t = 0 h 05 m<br />
= 12 h 0 m<br />
t = 12<br />
0 h<br />
11 h 55 m<br />
8 h 40 m<br />
t = 20 h 40 m<br />
λ W<br />
=10 h 31 m<br />
λ E<br />
=1 h 24 m<br />
λ E<br />
=10 h 04 m
Zadanie<br />
W pewnym miejscu o szerokości<br />
geograficznej φ = +80°, o godz. 23 h 30 m<br />
miejscowego czasu gwiazdowego,<br />
obserwowano przejście gwiazdy przez<br />
południk miejscowy<br />
na wysokości h = 35° po północnej stronie<br />
zenitu.<br />
Czy było to górowanie, czy dołowanie<br />
Podaj współrzędne równikowe<br />
równonocne (α(<br />
i δ) ) tej gwiazdy.<br />
<strong>Jak</strong>i kąt godzinny będzie ona miała o godz.<br />
23 h 50 m miejscowego czasu gwiazdowego w<br />
tym samym miejscu
… w miejscu<br />
o szerokości<br />
geograficznej<br />
φ = +80° ...<br />
zenit<br />
linia pionu<br />
horyzont
… w miejscu<br />
o szerokości<br />
geograficznej<br />
φ = +80° ...<br />
B N<br />
Z<br />
φ=+80°<br />
N<br />
równik niebieski<br />
horyzont<br />
S
… w miejscu<br />
o szerokości<br />
geograficznej<br />
φ = +80° ...<br />
B N<br />
Z<br />
… przejście przez<br />
południk na wys.<br />
h = +35° po półn.<br />
stronie zenitu ...<br />
φ=+80°<br />
N<br />
równik niebieski<br />
horyzont<br />
S
… w miejscu<br />
o szerokości<br />
geograficznej<br />
φ = +80° ...<br />
B N<br />
Z<br />
… przejście przez<br />
południk na wys.<br />
h = +35° po półn.<br />
stronie zenitu ...<br />
N<br />
h = +35°<br />
równik niebieski<br />
φ=+80°<br />
horyzont<br />
S
… w miejscu<br />
o szerokości<br />
geograficznej<br />
φ = +80° ...<br />
B N<br />
Z<br />
… przejście przez<br />
południk na wys.<br />
h = +35° po półn.<br />
stronie zenitu ...<br />
N<br />
35°<br />
równik niebieski<br />
φ=+80°<br />
horyzont<br />
S<br />
… było to<br />
dołowanie ...
… w miejscu<br />
o szerokości<br />
geograficznej<br />
φ = +80° ...<br />
B N<br />
Z<br />
… przejście przez<br />
południk na wys.<br />
h = +35° po półn.<br />
stronie zenitu ...<br />
N<br />
δ<br />
35°<br />
równik niebieski<br />
φ=+80°<br />
horyzont<br />
S<br />
… było to<br />
dołowanie ...<br />
δ = 45°
kierunek ruchu sfery<br />
niebieskiej<br />
punkt przecięcia<br />
równika z południkiem<br />
miejscowym.<br />
E<br />
W<br />
płaszczyzna równika niebieskiego
… gwiazda<br />
dołowała ...<br />
E<br />
W
… gwiazda<br />
dołowała ...<br />
E<br />
W
… gwiazda<br />
dołowała ...<br />
E<br />
t = 12 h<br />
W
… gwiazda<br />
dołowała ...<br />
… o godz. 23 h 30 m<br />
miejscowego czasu<br />
gwiazdowego<br />
E<br />
t = 12 h<br />
W
… gwiazda<br />
dołowała ...<br />
… o godz. 23 h 30 m<br />
miejscowego czasu<br />
gwiazdowego<br />
E<br />
t = 12 h<br />
W<br />
α =
… gwiazda<br />
dołowała ...<br />
… o godz. 23 h 30 m<br />
miejscowego czasu<br />
gwiazdowego<br />
E<br />
t = 12 h<br />
W<br />
α = 11 h 30 m
… gwiazda<br />
dołowała ...<br />
… o godz. 23 h 30 m<br />
miejscowego czasu<br />
gwiazdowego<br />
E<br />
<strong>Jak</strong>i kąt godzinny<br />
będzie miała<br />
o godz. 23 h 50 m<br />
miejscowego czasu<br />
gwiazdowego w tym<br />
samym miejscu<br />
t = 12 h<br />
W<br />
α = 11 h 30 m
… gwiazda<br />
dołowała ...<br />
… o godz. 23 h 30 m<br />
miejscowego czasu<br />
gwiazdowego<br />
E<br />
<strong>Jak</strong>i kąt godzinny<br />
będzie miała<br />
o godz. 23 h 50 m<br />
miejscowego czasu<br />
gwiazdowego w tym<br />
samym miejscu<br />
t = 12 h 20 m<br />
W<br />
α = 11 h 30 m
Zadanie<br />
Dołowanie gwiazdy na wysokości h = 0°<br />
nastąpiło o godzinie 10 h 30 m<br />
czasu gwiazdowego Greenwich.<br />
Deklinacja gwiazdy wynosi δ = +50°,<br />
a długość geograficzna miejsca<br />
obserwacji λ W<br />
= 5 h .<br />
Podać rektascensję gwiazdy i szerokość<br />
geograficzną miejsca obserwacji.
… dołowanie<br />
na wysokości<br />
h = 0° ...<br />
zenit<br />
linia pionu<br />
horyzont
… dołowanie<br />
na wysokości<br />
h = 0° ...<br />
zenit<br />
linia pionu<br />
horyzont
… dołowanie<br />
na wysokości<br />
h = 0° ...<br />
zenit<br />
… deklinacja<br />
gwiazdy wynosi<br />
δ = +50° ...<br />
linia pionu<br />
horyzont
… dołowanie<br />
na wysokości<br />
h = 0° ...<br />
zenit<br />
… deklinacja<br />
gwiazdy wynosi<br />
δ = +50° ...<br />
linia pionu<br />
δ = +50°<br />
horyzont<br />
równik niebieski
… dołowanie<br />
na wysokości<br />
h = 0° ...<br />
zenit<br />
… deklinacja<br />
gwiazdy wynosi<br />
δ = +50° ...<br />
linia pionu<br />
B S<br />
δ = +50°<br />
horyzont<br />
równik niebieski<br />
Półkula<br />
południowa
… dołowanie<br />
na wysokości<br />
h = 0° ...<br />
zenit<br />
… deklinacja<br />
gwiazdy wynosi<br />
δ = +50° ...<br />
linia pionu<br />
B S<br />
δ = +50°<br />
horyzont<br />
równik niebieski<br />
Półkula<br />
południowa <br />
Nie!<br />
To jest<br />
górowanie!
… dołowanie<br />
na wysokości<br />
h = 0° ...<br />
zenit<br />
… deklinacja<br />
gwiazdy wynosi<br />
δ = +50° ...<br />
linia pionu<br />
B S<br />
δ = +50°<br />
horyzont<br />
równik niebieski<br />
Półkula<br />
południowa <br />
Nie!<br />
To jest<br />
górowanie!
… dołowanie<br />
na wysokości<br />
h = 0° ...<br />
B N<br />
δ = +50°<br />
zenit<br />
linia pionu<br />
równik niebieski<br />
horyzont<br />
… deklinacja<br />
gwiazdy wynosi<br />
δ = +50° ...
… dołowanie<br />
na wysokości<br />
h = 0° ...<br />
B N<br />
δ = +50°<br />
zenit<br />
linia pionu<br />
równik niebieski<br />
horyzont<br />
… deklinacja<br />
gwiazdy wynosi<br />
δ = +50° ...<br />
… jest<br />
dołowanie ...
… dołowanie<br />
na wysokości<br />
h = 0° ...<br />
zenit<br />
… deklinacja<br />
gwiazdy wynosi<br />
δ = +50° ...<br />
B N<br />
δ = +50°<br />
linia pionu<br />
φ<br />
równik niebieski<br />
horyzont<br />
… jest<br />
dołowanie ...<br />
Zatem:<br />
φ=+40°
… i druga część:<br />
Dołowanie gwiazdy nastąpiło o godzinie<br />
10 h 30 m czasu gwiazdowego Greenwich.<br />
Długość geograficzna miejsca<br />
obserwacji λ W<br />
= 5 h .<br />
Podać rektascensję gwiazdy.
dołowanie<br />
t = 12 h<br />
Czas gwiazdowy:<br />
w Greenwich godzina 10 h 30 m<br />
na długości λ W<br />
= 5 h godzina 5 h 30 m<br />
Rektascensja:<br />
gwiazdy górującej 5 h 30 m<br />
gwizdy dołującej 17 h 30 m
Zadanie<br />
Ile wynosi (z dokładnością do pół godziny)<br />
miejscowy czas gwiazdowy<br />
w Sydney (λ E<br />
= 10 h 04 m ) dnia 31 lipca<br />
o godzinie 11:05 miejscowego,<br />
prawdziwego czasu słonecznego
pomyślmy...<br />
●<br />
●<br />
●<br />
●<br />
●<br />
●<br />
21 marca Słońce jest w punkcie Barana,<br />
czyli ma rektascensję 0 h<br />
22 czerwca ma rektascensję 6 h<br />
Zatem 31 lipca rektascensja wyniesie około<br />
8 h 40 m<br />
11:05 miejscowego,prawdziwego czasu<br />
słonecznego to 55 minut przed górowaniem<br />
Tak więc miejscowy czas gwiazdowy wynosi<br />
ok. 7 h 45 m<br />
A długość geograficzna Sydney nie jest<br />
potrzebna...
… i tak na rysunkach<br />
lub „w głowie” rozwiązać można<br />
szybko każde z tych zadań...<br />
...do zobaczenia na kolokwium!
Change language