Mathcad - Hipoteza Burzyńskiego - Of.pl

PKwil.of.pl
Hipoteza Burzyńskiego.
Równaie: Aσ e
2
2
+ Bσ m + Cσ m − 1 = 0
Stałe A,B,C wyznaczamy z próby naprężeniowej:
Rozciąganie: Ściskanie: Skręcanie:
σ e = σ 0
(+) σ e = σ 0
(-)
1
σ m
3 σ 1
= 0
(+) σ m = − σ
3 0
(-)
σ e = 3 τ 0
σ m = 0
Otrzymujemy komplet równań z których wyznaczamy stałe A,B,C:
2
(R) A⋅σ 0r B 1 2
+ ⋅⎛
⎜ ⋅
3 σ ⎞
0r + C ⋅ 1 ⋅
3
σ 0r − 1 = 0
(Ś) A σ 0s
2
⋅
(S)
(Ś)
(R)
⎝
⎠
2
1
+ B⋅⎛
⎜−
⋅σ ⎞
3 0s − C ⋅ 1 ⋅
3
σ 0s − 1 = 0
⎝
2
A3 ⋅ ⋅τ 0 − 1 = 0 solve,
A
1 2
⋅σ 2 0s
3⋅τ 0
⎠
1
→
2
3⋅τ 0
2
1
+ B⋅⎛
⎜−
⋅σ ⎞
3 0s − C ⋅ 1 ⋅
3
σ 0s − 1 = 0 solve, B → 3⋅
⎝
⎛
⎠
⎝
⎠
⎞
⎛
⎝
2
2 2
−σ 0s + C⋅σ 0s ⋅τ 0 + 3⋅τ 0
2 2
τ 0 ⋅ σ0s
2
2 2
1 2 −σ 0s + C⋅σ 0s ⋅τ 0 + 3⋅τ 2
⎝
0 ⎠ 1
⋅σ 2 0r + 3⋅
⋅⎛
⎜ ⋅
2 2
3⋅τ ⎛
0 τ 0 ⋅ σ0s
⎞
3 σ ⎞
0r C 1 σ 0r − σ 0s
+
⎝ ⎠
⋅ ⋅
3
σ 0r − 1 = 0 solve, C → −3⋅
σ 0r ⋅σ 0s
⎡
( )
2 σ 0r − σ
⎢
0s 2 2
−σ 0s + −3⋅
⋅σ ( σ 0s ⋅σ 0r ) 0s ⋅τ 0 + 3⋅τ ⎥
⎢
0
⎣
⎥
⎦
B = 3⋅
solve,
B
⎛ 2 2
τ 0 ⋅ σ0s
⎞
⎝
Wstawiając współczynniki do równania otrzymamy:
W szczególności gdy:
1
τ 0 = ⋅
3 σ 0r⋅σ 0s
⎛
⎠
⎞
⎤
−3
→ ⋅
σ 0s
⎛
⎝
2
σ 0r ⋅σ 0s − 3⋅τ 0
2
σ 0r ⋅τ 0
2
1 2 σ 0s ⋅σ 0r − 3⋅τ ⎝
0 ⎠ 2 σ 0r − σ 0s
⋅σ 2 e + −3⋅ ⋅σ 2 m + −3⋅
⋅σ 3⋅τ ⎛
0 σ 0r ⋅τ 0 ⋅ σ0s
⎞
( σ 0s ⋅σ 0r ) m − 1 = 0
⎛
⎝
⎠
( )
σ 0r ⋅σ 0s 2 3⋅σ 0r ⋅σ 0s 2
σ
2 e + ⎜9
−
⋅σ
2 m + 3⋅( σ 0s − σ 0r ) ⋅σ m − σ 0r ⋅σ 0s = 0
3⋅τ 0 τ 0
3⋅
⎛
⎜
⎝
σ 0r ⋅σ 0s
⎜
⎝
⎞
⎠
⎡
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠
( )
2 3⋅σ 0r ⋅σ 0s
σ
2 e + ⎢9
−
+ 3⋅( σ
2
0s − σ 0r ) ⋅σ m − σ 0r ⋅σ 0s = 0
1
⋅
3 σ 1
0r⋅σ 0s
⋅
3 σ ⎞
0r⋅σ 0s
⎢
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
⎠
⎤ ⎥⎥
⎥ ⎦
σ m
2
⋅
( ) σ m
2
σ e + 3 ⋅ σ 0s − 3 ⋅ σ 0r ⋅ − σ 0r ⋅σ 0s = 0

PKwil.of.pl
τ 0 =
W przypadku gdy A=B=0 i σ 0r = σ 0s = σ 0 (pozbywamy się pierwszego niezmiennika) hipoteza
przechodzi w HMH.
Aσ e
2
2⋅σ 0r ⋅σ 0s
3 σ 0r + σ 0s
⋅ ( )
1
4⋅σ 0r ⋅ σ 0s
( )
− 1 = 0
3⋅
⎡
⎢
⎢
⎣
σ 0r ⋅σ 0s
2⋅σ 0r ⋅σ 0s
3 σ 0r + σ 0s
⋅ ( )
( )
⋅( ) 2
⋅( σ 0r + σ 0s ) 2 2
⋅σ ⎡ 9
e 9 −
4⋅σ 0r ⋅
σ 0r + σ
⎤ 2
+
⎢
0s
σ
⎥⋅σ m + ( 3⋅σ 0s − 3 ⋅ σ 0r ) ⋅σ m − σ 0r ⋅σ 0s = 0
0s
⎣
⎤ ⎥⎥⎦
2
⎡
2
3⋅σ 0r ⋅σ σ ⎢
0s
e 9 −
⎥
2
+ ⋅σ
2⎥
m + 3⋅( σ 0s − σ 0r ) ⋅σ m − σ 0r ⋅σ 0s = 0
2⋅σ 0r ⋅σ 0s ⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
σ 0s − σ 0r σ 0r ⋅σ 0s
σ e + 3⋅
⋅σ m − 2⋅
= 0
σ 0s + σ 0r σ 0r + σ 0s
⎡
⎢
⎢
⎣
3 σ 0r + σ 0s
⋅ ( )
⎦
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦
2
A⋅σ 0 − 1 = 0 solve,
A
→
1
2
σ 0
Niezminnicza, skalarna funkcja składowych dewiatora naprężenia, lub tensora
naprężenia.
3
σ e = s e = ⋅
2 s ij⋅s ij = −3⋅J 2S
Warunek Hubera - Misesa - Henkiego zależny od drugiego niezmiennika ma postać:
( ) σ e − σ 0
FJ 2S
3
= = −3⋅J 2S − σ 0 = ⋅
2 s ij⋅s ij − σ 0 = 0
W układzie kartezjańskim:
gdzie J 2S to drugi niezmiennik
( σ x − σ y ) 2 + ( σ y − σ z ) 2 + ( σ z − σ x ) 2 6
⎛ 2 2 2
τ xy + τ yz + τ
⎞ 2
+ ⋅
zx = 2σ 0
⎝
⎠
1
⋅
2
( σ x − σ y ) 2 + ( σ y − σ z ) 2 + ( σ z − σ x ) 2 2 2 2
+ 6⋅⎛τ xy + τ yz + τ zx
⎝
⎞
⎠
= σ e
jednoosiowe ściskanie
C
czyste skręcanie
6e
T
60+
-1/360-
60- jednoosiowe rozciąganie
∗τ0
R
⎛
⎝
C⎜
−1
3 σ 0s,
σ 0s
T0 ( , 3τ 0 )
⎛
⎜
⎝
R 1 3 σ 0r,
σ 0r
⎞
⎠
⎞
⎠
stożek
σ 0r ≠ σ 0s
paraboloida
1/3 60+
6m