2. Lomený algebraický výraz. Lineární rovnice s neznámou ve ...

9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
2. Lomený algebraický výraz. Lineární rovnice s neznámou
ve jmenovateli.
Doporučujeme žákům zopakovat vzorce typu ( a + b) 2 apod. a úpravu výrazu na součin.
2.1. Lomený výraz
Číselné výrazy jsou výrazy v nichž se vyskytují pouze reálná čísla . Většinou mají podobu čísla, součtu,
rozdílu, součinu nebo podílu. Provede-li všechny početní výkony, které obsahuje číselný výraz,
dostaneme hodnotu tohoto výrazu.
Například : 4 4,5 + 6,78 7 . 5,9 ( 25 : 5 ) + 4 2
Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také
proměnné.
Například . 4a 4,5x + 6,78 7t . 6,78
Lomeným výrazem rozumíme podíl dvou výrazů, které píšeme ve tvaru zlomku.
Lomeným algebraickým výrazem se nazývá takový lomený výraz, který má v čitateli nebo jmenovateli
alespoň jednu proměnnou.
S lomenými výrazy počítáme jako se zlomky.
Příklad : Určete hodnotu algebraického výrazu
3x
3
2x
2
2x
2
x
1
3
pro x = -2.
3 2
3. 2 2. 2 2 3
2
2. 2 1
=
3. 8 2.4 2 3
2.4 1
=
24 8 2 3
8 1
=
17
7 = 3
2 7
Příklad 1 : Určete hodnotu algebraického výrazu :
3
4
3 2
2x
( 4x
) ( 2x
)
a) 0,5x
pro x = -1
3. 7 2. x
5x
b)
5
4x
4
3x
36
3
2x
3x
2
x
2
3
pro x = 0
c) stejného příkladu jako za b) pro x = 1 ( odstraň odmocninu ze jmenovatele )
d) stejného příkladu jako za b) pro x = -1 (odstraň odmocninu ze jmenovatele )
Důležitou součástí práce s algebraickými výrazy je určení podmínek řešitelnosti daných výrazů ( kdy má
výraz smysl ).
POZOR : jmenovatel zlomku se nesmí rovnat nule.
1

9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
5x 2x
1 2x
5y
Příklad : Určete podmínky řešitelnosti výrazů : a) b) c)
y x 6 5x
4
d)
3x
3
2x
2
2x
2
x
1
3
e)
2
x
5x
9
f)
2x
2
x
3
x
3
4
3 2
2x
( 4x
) ( 2x
)
g) 0,5x
3. 7 2. x
h)
5x
5
4x
4
3x
36
3
2x
3x
2
x
2
3
Řešení : a)
5x
y
y ≠ 0 b)
2x
x
1
6
x + 6 ≠ 0 x ≠ -6
c)
2x
5x
5y
4
5x – 4 ≠ 0 5x ≠ 4 x ≠ 5
4
d)
3x
3
2x
2
2x
2
x
1
3
2x 2 – 1 ≠ 0 2x 2 ≠ 1 x 2 ≠ 2
1
x ≠ -
1
2
x ≠ + 2
1
e)
2
x
5x
9
x 2 – 9 ≠ 0 ( x – 3 ).( x + 3 ) ≠ 0 x – 3 ≠ 0 x ≠ 3
x + 3 ≠ 0 x ≠ - 3
f)
2x
2
x
3
x
x 2 - x ≠ 0 x.( x – 1 ) ≠ 0 x ≠ 0
x – 1 ≠ 0 x ≠ 1
3
4
3 2
2x
( 4x
) ( 2x
)
g) 0,5x
3. 7 2. x
3. 7 2x
≠ 0
7 – 2x > 0 ( základ odmocniny nemůže být záporný )
7 > 2x 3,5 > x
h)
)
5x
5
4x
4
3x
36
3
2x
3x
2
x
2
3
36 + 3x > 0 ( ze stejného důvodu jako v předcházejícím příkladě
3x > -36 x > -12
Příklad 2 : Určete podmínky řešitelnosti výrazů :
a) 2x + 3x 3 – 1 =
2x
3
f) ( )
6 2 =
b) =
x 5
x 3
(2x
1)
2 y
g) =
2
c) =
( x 3)
5x
( x 2).( x 3)
2x
3
h)
=
d) =
( x 1).( x 3)
x 5
2x.(
x 3)
5x
ch) =
e) =
2
7
x 9
2
2
x 5x
3
i)
3
x .( x 5).( x 1)
5x
j) =
3 2
x x
2x
5
k) =
2x
4
2x
5
l)
( x 5).( x 4).( x
=
=
2)

5x.(
v 2)
m) =
2
49 64x
5c
1
n)
=
2
x 2x
1
2
2x
.( x 5).( x
o)
2
x 81
4
p) =
2 3
xy x
x y
r) =
2 3 3 2
x y x y
1)
=
9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
5
( x 1).( x 3)
s) =
v)
=
5x
5
x 3
2x
1
t) =
( x 2).( x 1).( x 8)
w)
=
x 3
2
( x 6x
9). x 7
3x
2 2 2
u) =
9x 24xy 16y
6
x)
2 2
9x
16y
2x
Příklad 3 : Určete kdy má výraz smysl :
5
a)
4bc 3b =
3x
4
f)
6ab 3b 8a
4
9x
u
b) =
g)
2 2
4x 20xy 25y
2 tu 5.(3 s 2 t ) 3 su
x 5 . x 2
1
c) h)
3 2 2
2
12x 36x y 27xy
( x 3 y) 16
4k
5z
d) i)
2
2
16k
8k
1
yz 40yz 400y
m 1
e)
2 3 2
m x m x = y 5
j)
2 2
( y 1) ( y 3)
k)
l)
m)
x 7
2
(5x
1) . 2
x
2( x 1)
3 x . x 5.
3
x
2
x y 9x 9y
2
x xy 3x 3y
r
2
n) r 2
2
16 r
2
r 4r
4
Určení hodnoty výrazu .
a) zlomek je kladný, když výraz v čitateli a ve jmenovateli má souhlasné znamínko
b) zlomek je záporný, když výraz v čitateli a ve jmenovateli mají rozdílné znaménko
c) zlomek je roven nule, jestliže výraz v čitateli je roven nule
d) zlomek nemá smysl, jestliže výraz ve jmenovateli je roven nule.
PAMATUJTE : - součin je kladný, jestliže všichni činitelé jsou kladní
- součin je také kladný, jestliže má sudý počet záporných činitelů
- součin je záporný, jestliže má lichý počet záporných činitelů
- součin je roven nule, jestliže alespoň jeden činitel je roven nule
- součin není roven nule, jestliže žádný činitel není roven nule.
Příklad : Pro jaké x je výraz 5 7x a) kladný b) záporný c) roven nule
d) výraz nemá smysl.
a) Zlomek je kladný, jestliže čitatel i jmenovatel je buď kladný nebo oba jsou záporné. Protože
jmenovatel je kladný, tak čitatel musí být také kladný. Aby součin 5x byl kladný, musí být x kladný. x >
0
b) Zlomek je záporný, jestliže čitatel a jmenovatel má opačné znamínko.
Protože jmenovatel je kladný, tak čitatel musí být záporný. Aby součin 5x byl záporný, musí být x
záporný. x < 0
3

9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
c) Zlomek je záporný, jestliže čitatel je roven 0. Aby součin 5x byl roven nule, musí být alespoň jeden
činitel roven 0. v našem případě tedy x = 0.
d) Aby zlomek neměl smysl je nutné, aby jmenovatel byl roven 0. To v našem případě není možné. Neboli
neexistuje žádné x, aby tento výraz neměl smysl.
Příklad : Pro jaké x je výraz
d) výraz nemá smysl.
x
x
9
a) kladný b) záporný c) roven nule
a) x > 0 a současně x – 9 > 0 x > 0 a současně x > 9 x > 9
nebo
x < 0 a současně x – 9 < 0 x < 0 a současně x < 9 x < 9
b) x > 0 a současně x – 9 < 0 x > 0 a současně x < 9 0 < x < 9
nebo
x < 0 a současně x – 9 > 0 x < 0 a současně x > 9 neexistují žádné x dané vlastnosti
c) x – 9 = 0 x = 9
d) x = 0
Příklad 4 : Pro jaké x je výraz
d) výraz nemá smysl.
5x
x 4
a) kladný b) záporný c) roven nule
Příklad 5 : Pro jaké x je výraz
d) výraz nemá smysl.
x
x
5
1
a) kladný b) záporný c) roven nule
Příklad 6 : Pro jaké x je výraz
d) výraz nemá smysl.
2
x
2x
5
a) kladný b) záporný c) roven nule
Příklad 7 : Pro jaké x je výraz
d) výraz nemá smysl.
2
9a
36
2
3a
12a
12
a) kladný b) záporný c) roven nule
2.2. Krácení a rozšiřování lomených výrazů
Krátit zlomek znamená dělit čitatele i jmenovatele stejným číslem, které je různé od nuly.
Krátit můžeme pouze čísla a písmena, která jsou osamocena nebo jako činitel při součinu.
12x
Příklad : Zjednodušte zlomky : a) 15
12x 12x : 3
a) = 15 15 : 3
4x
= 5
3 2
6x
y z
b)
2 5 7
10x
y z
4
c)
5x
2
x x
2 2
x y
d)
2
( x y)

3 2
3 2 2 2
6x
y z 6x
y z : 2x
y z 3x
b) =
=
2 5 7
2 5 7 2 2
3 6
10x
y z 10x
y z : 2x
y z 5y
z
( výsledek můžeme také zapsat ve tvaru 0,6xy -3 z -6 )
9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
x ≠ 0 y ≠ 0 z ≠ 0
c)
5x
2
x x
=
5x
x.(
x
1)
=
5x
: x
x.(
x 1) : x
=
5
x
1
x ≠ 0 x ≠ -1
2 2
x y ( x y).(
x y)
x y
d) = =
x ≠ -y
2
2
( x y) ( x y)
x y
( Při výpočtu nepíšeme do výpočtu výraz, kterým krátíme. V ukázce a, b, c jsme pro lepší pochopení
tento výraz, kterým jsme krátili, uvedli. )
Příklad 8: Zjednodušte zlomky : a)
5x
d)
3
x .( x 4)
ch)
x
2
x y
= e)
3 2 2
4 5
5xy
20xy
3 8
= b)
2
x y x y = f) x 9
= g)
5x
15
10x
25 4y 4y y
= i)
2
2 8
x 25 4y
y
2 5 8
=
3
3 5
2x y z
26xy z
4 9
x 4y
( x 2 y)
2 2
5x
= c) =
4
x .( x 6)
2
= h)
x
x
2
4
1
1
=
Příklad 9 : Zjednodušte zlomky : a)
25xy
n
15x
y
2 2n
2 2n
= b)
4x
6x
y
y
n 2 3n
n 1 n 2
= c)
3
30x
3 3
x y z
y z
2 5 2
=
d)
2 5
2xy
4x
8x y
4 5 2
= e)
5xy z 20xy z
3
40x yz
4 5 5 3
= f)
4
9x
3
15xy
15xy
21x
4 2
=
Rozšířit zlomek znamená násobit čitatele i jmenovatele stejným číslem, které je různé od nuly
Příklad : Rozšiřte zlomek výrazem, který je v závorce :
a) 1 2 x ( 5) b) x (x 2 x x 5
) c) (x-3) d)
2
2 x 3
( x – 1 )
Řešení :
a) 1 2 x ( 5) 1
2 x . 5 5 = 5
10 x
b) 2
x (x 2 )
2 3
x x .
2
2 x = x
2x
2
x ≠ 0
2
x x x 3 x 3x
c) (x-3) . =
2 2 x 3 2x
6
x ≠ 0
d)
x
x
5
3
( x – 1 )
x
x
5
3
.
x
x
1
=
1
x
x
2
2
6x
5
2x
3
x ≠ -3 x ≠ 1
5

9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
Příklad 10 : Rozšiřte zlomek výrazem, který je v závorce :
a) 2 x
( y 2 ) b) 2 x
x 2
( x – 3 ) c)
3
3
x 4
( x 4 ) d)
x
x
2
4
( x – 3 )
Příklad : Zjistěte jakým výrazem rozšiřujeme zlomek a doplňte chybějící čitatel nebo jmenovatel : a)
3
3
5x
25x
10x
x 1
b)
c)
2 2 3 3
2
2y
13yz
39x y z x 2 x 4x
4
d)
x
y 5
Řešení :
2
2 x 4
e)
x x x
x 5
2
3 6
2 3 2
x x x 2x x
f)
5y
5x
25x
a)
2y
3
25x 3 : 5x = 5x 2
5x 2 . 2y = 10x 2 y
5x
25x
2y
10
3
2
x y
x ≠ 0 y ≠ 0
b)
3
10x
13yz
39x y z
2 2 3 3
39x 2 y 3 z 3 : 13yz 2 = 3x 2 y 2 z
3x 2 y 2 z . 10x 3 = 30x 5 y 2 z
10x
30
13yz
39x y z
5 2
x y z
2 2 3 3
x ≠ 0 y ≠ 0 z ≠ 0
x 1
2 2
c) ( x 4x 4) ( x 2) :( x 2) ( x 2) ( x + 2 ) . ( x – 1 ) =
2
x 2 x 4x
4
= x 2 2
x 1 x x 2
+ x - 2
x ≠ -2
2
x 2 x 4x
4
d)
x
y
2
2 x 4
5
již bez podrobnějšího výkladu
2
x 2 x 4
y 5 ( y 5).( x 2)
x ≠ 2 y ≠ -5
e)
x x x
x 5
2
3 6
x x x
x x x
2
3 6
2
5 3 10
x ≠ -2 x ≠ 5
2 3 2
x x x 2x x
f)
5y
2
x x x.( x 1)
2
x.( x 2x 1) x.( x
2
1)
5y 5y 5 y.( x 1)
x ≠ 1 y ≠ 0
Příklad 11 : Zjistěte jakým výrazem rozšiřujeme zlomek a doplňte chybějící čitatel nebo jmenovatel :
2 3 5 4 3 2
2
2 4
5x y z 20x y z b
x 3 x 9
x 6x 9 x 81
a)
c)
e)
.(x+3)
2
10xy a
2x
x.( x 2)
2
2 2
x y.( x 3)
x 4 ( x 2).( x 2)
u 5
b)
d)
f)
2 4
2
3c
21 c a.( x 3)
x 1
u 5 u 10u
25
6

2.3. Sčítání a odčítání lomených výrazů
9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
5 x
Příklad : + x x 1
2
x 6x
9
=
x.(
x 1)
+
( x
2
3)
x.(
x 1)
x
2
x
4 5 x = +
x x x 1
x ≠ 0 x ≠ -1
+
x
x.(
x
4
1)
=
5.( x
1) x.
x
x.(
x 1)
x
4
=
5x
5 x
x.(
x
2
x
1)
4
=
Příklad :
2x.(
x
=
2x
-
x 2
7 x
-
x 2
2) 7( x 2)
( x 2).( x
( x
2)
2
2
x
2
x
x
10
4
10)
2x
=
x 2
=
2x
2
7 x
- -
x 2 ( x
2
x 10
=
2).( x 2)
2
4x
7x
14 x x 10
( x 2).( x 2)
=
=
x
( x
2
4x
2).( x
4
2)
=
( x
( x 2)
2).( x
2
2)
=
x
x
2
2
x ≠ 2 x ≠ -2
Příklad 12 : Vypočítejte :
x x x x x 2 3 4
a) = b) 2 3 4 5 6
2 3
a a a
1 1 2 3
c)
2 3 4
x x x x
d)
x 1 2
x 1 x 1 x
2
x x
g) x
2
y y
a 1 a
i)
2
2
a a a
1
a
x x x
l)
2 2
x y x y x y
n)
2
x 1
2
x
x
3
x 1
1
2x
1 3x
e)
2
x 1 x 1 x 1
h)
2
x 1
5
2x
2
2 a 2 a
j)
2
2
1 a ( a 1)
4
3x
3
1 1 2
f)
2
( x 1) x 1 1 x
a 1 1
ch)
2
a a a 1
1 1
k)
x 3 3 x
2
x
2
2x
3y
2x
3y
m)
2 2
x y y x x y
2
x 2x
1 1
o)
3 2
2
x 3x
3x
1 ( x 1)
2
2
x 1 2
x x 1 1
p) r)
3
2
3
( x 1) (1 x)
x 1 x 1
1 5 u 1
4 v 1 3
s)
t)
2
2
2u
6u
u u
v v v 2
2
1
2x
3
u) x 3
v) 2x
1
x 3
x 6
2
x 5
3 x
w) x 3
x) ( x 2)
x 4
x 3
a 1 a 1
b 2 b 1
y)
z)
=
a 1 a 1
b 2 2 b
2x
9
2
Příklad 13 : Vypočítejte :
7

9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
z 3 2
z 1
a)
b)
2 2
2
z z 1 z
z z z z
2
z z
z z 1
c) d)
=
2
2
2
z 1 ( z 1)
z 1 1 z
e)
g)
z
( z
2
z
2)
1
p 2
2
z
z
1
p 2
1
2
p
2
p
2
4
f)
2
z
( z
6z
2
2)
2
=
2 z
2
2 2 p
2
h) p 4 4 p p 16
1 1 2
i)
2
p 1 p 1 1 p
j)
1
p 5
1
5 p
2
p
2p
25
x 1
x
1
k) = l)
3
2
3 2
2
( x 2) (2 x)
x 6x
12x
8 ( x 2)
2
2
2
4x
2x
8 x
x x
m)
n)
3
3
x 8 x 2
2 1
x x
2.( x 0,5)
4
2.4. Násobení a dělení lomených výrazů
Příklad :
5 xy 24 1. 3 3
. a bx x .
a x a x
16 25 2. 5 10
2 3 4 2 4 2 5
2 4 2 2
ab y z b y z by z
a ≠ 0 b ≠ 0 y ≠ 0 z ≠ 0
Příklad :
5 .( 1) 16 .( 1) 1. .1 4. .1 4
x 3 x 2 3 2 2
. y z x x .
y z y z
2 2
4 y.( x 1) 25 x .( x 1) 1.1.1 5.1.1 5
x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ 1 x ≠ -1
POZOR : Před vlastním násobením mnohočlenů musíme krátit.
Příklad 14 : Vypočítejte :
2 3
a) .
a b
x 2y
5z
b) . .
y 3z
4x
c)
2
3ab
3
4c
d
2
.
2
2c
3b
d) (-3xy 2 ) 3 3x
1
. =
3 5
9x
y
3y
e) ( 4x
5y).
20y
16x
3
4r
10 12 4r
f) .
r 3 15 6r
2
( s 2) 6 3s
g) .
2
s 4 10 2s
rs 5s
2 2r
6s
h) .
5s
r 3s
r
3 2
( u v)
v uv
i) .
2 2 2
uv u u v
4 2x
j) 1 . x
2
x x 2
k)
l)
m)
2
6 9 3y
1 .
2
y y 3 y
xy y x
x .
x y x
2
x y
. x
x y x
Příklad 15 : Vypočtěte :
8

a) ( 9x – 12 ) . 3 x 2
3x
4
20
b) (7u
3 v). 28 u 12 v
3x
4
c) .( x 1)
x 1
d) m 2 – n 2 . n m
m n
e) 3x
4y
9x 24xy 16y
.
2 2
x 9x
16y
f)
2 2
2
5x
1 2x
.
2 2 4
( x 3) ( x 2) 10x
4 y 5 z 5 4
.
xz xy
2x 16y 10yz 5 z.(10 y 5 z)
g)
2 2
3r
2 s 2r
10s
h) . =
r 5s
6rs
2
2
rs s rs s
ch) .
2 2
2r
r s
2
2
r 2rs
s rs s
i)
.
r s r s
2
9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
2
2
( r s)
( r s)
j) .
2 2
r s 2r
2s
p 2 2 p
k) .
p 2 2 p
3p
1 3r
pr
l) .
p 3 1 3p
m)
2
p r 3pr
.
2 2
2 p r r pr
2 2
p r p r
n) .
2
2
p pr ( r p)
o) ( y – x ) .
1
x
y
1 1
p) .( x y)
x y
r)
x
x
y
y
x
x
y
.
y
x
y
2y
2y
s) 1 . 1
x y x y
y
x
Zlomek dělíme zlomkem tak, že dělenec násobíme převrácenou hodnotou dělitele.
Příklad :
=
2 2 3
25 x .( x 2) 5 x .( x 2)
:
16 y .( x 4) 24 y z .( x 2)
3 2
5.1.1.1 3 y z .1.( x 2)
.
2.1.1.1 1. x.1
2 2 5 2 2
2 5 2
25 x .( x 2).( x 2) 24 y z .( x 2).( x 2)
.
2 3
16 y .( x 2).( x 2) 5 x .( x 2)
3 2
15 y z .( x 2)
=
x ≠ 0 y ≠ 0 z ≠ 0 x ≠ 2 x ≠ -2
2x
Příklad 16 : Vypočítejte :
2
3 27 18 2
a)
a :
a a =
a 2 2a
4
2 2
4
b)
x 4 xy 2
:
x xy
2 2
2y 2xy xy 2y
2 2
4a
4b
c) 2a b a 2 b :
2
ab a
3 2 2 2 2
d)
u 4 u v 4 uv 4
:
u v
2 2
4u 8uv 2 v.( u v)
u uv
3u
5u
e) :
2u
5 4u
10
2
u 4 2 u
f) : =
2
2 u u
u v v u
g) :
u v v u
2
2u
3u
h) :
2 2 3
v v v v
2
2
x 6x
9 x 9
ch) :
xy 3y
2y
2
2
x 2x
x 2x
xy
i) :
2 2
x y x y
1 1 1 1
j) :
x y x y
k)
x y 1
:
1
y x y x
2y
9

1 1
l) (x-y): =
x y
1 1
m) y : x
x y
n)
a a 1 a a
:
1
a 1 a a 1 a
9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
o)
p)
r)
a 1
1 : 1
a
a b a b
a b
1
a
b
1 a
ab
:
a
a 1
a b
:
b
a 1
ab
2
a b
a
Příklad 17 : Vypočítejte :
2 x 3y
a) ( ).( x 3 y)
2 2
3y x x 9y
b)
c)
d)
2
x 3x
( 1) : (1 )
2
x 1 1 x
3 2
x x y 9x 9y
2
x xy 3x 3y . 1
=
x 3
2 2 2
( x 4) ( x 1) 6x
24
.
2
6x 9 6x 24x
24
1 1
e) ( m 1 ) : (1 )
2
m 1 m 1
2 2
a a 1 a b
f) ( ) : =
b b 1 b 1
2
4 5 x 12x
17
g) ( ) : ( 1)
2 2 2
x 3x x 9 x 6x
9
2
3.( a 1) 3a
3
h) 1 : (1 )
2
a 2 4 a
2u
v 1 1
ch) ( ) :
2 2
4u v v 2u 2u v
2 2
i)
xy x 2 2
.
y yx
2 2
2xy x y
j)
3 2
9m 18m m 2 1 1
: ( 1)
3m 1 1 3m 1 3m
2 2 3
b 2ab b
k) ( a ) : ( a)
a ab
p 1 p p 2
l) ( ).( p ).( p 1)
p 2 p 1 p 1
x 1 x
m) 1 x x.(1 x) .( )
2
x 1 1 x
4ab
a b 2ab
n) a b :
2 2
a b a b b a a b
o)
p)
ax
a
2
x
2a
2a
4x
x
x
2
2ax
. 1
2a
3x
3
x
x
2
=
2 2
2
2x
2
1
6x
ax
2 2
3ab
5a
b 2a
q) 2.
2
2 2
a ab a b a b
r)
1 3y
2
:
2 2
2x
y y 4x
2x
y
s)
m
m
2
2
n
n
2
2
m
m
2
2
n
n
2
2
:
m
m
. x
3a
n
n
4x
4x
2
2
m
m
3x
x
y
y
2
2
n
n
6
2
1
2.5. Složený lomený výraz
2
xy y y.( x y)
2
x xy x.( x y)
y.( x y) ( x y).( x y) y.( x y) y.( y x)
Příklad :
.
2 2 2
x xy x.( x y) x.( x y) x.( x y)
x x
2
( x y)
( x y).( x y)
x ≠ 0 y ≠ x x ≠ -y
Příklad 18 : Vypočítejte :
10

2
a
2 2
a ab a b b ab
2 2
a)
a b
4ab
b)
r
r 2
2
16
2
r
2
r 4r
4
c)
2a 6a 8a
a a a
a 4
a 2
2
2 6 3 4
9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
2 x 1
( 3).(1 )
d) x 2 2 x
9x
12
3
x 4x
e)
f)
a b a b
2a
2b
b
a
1 1 1 1
b a b a
1
1
m 1 =
2m
1 2m
1
m 1 m 1
2 2 2 2
2.6. Operace se složitějšími lomenými výrazy
Příklad 19 : Vypočítejte :
1 1
2 2 2 3
a) a b a b 2 a a ( b a)
. (1 ) :
2 2
1 1 a.( a b) b b b .( a b)
2 2
a b
b)
c)
d)
5 1
2
2
a a 4 1 2ab a 2b a
: .
3 3a 3.( a 2 b)
a
a
2
5x
5
2
xy
xy y
3 2
y yx
2
xy
a b a b b
2.( ) 2.( )
2
2 1 1
.
2 2
a b a b b a b a
e)
2
3.( a 1) 3a
3
a
f)
2 2
g)
1 : 1
2 4
a b a b
a b a b 1
.
a b a
1
2 2
a b
1
2a
1
a
2a
3
1 2 a 3
2
4a
9 3 2
c d
c d 4cd
2d c d
c d
h)
2 2
1
a
2
2.7. Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
Příklad : Vyřešte rovnici : 2 3 x 2x
0,7
1) určíme podmínky řešitelnosti : x ≠ 0
2) celou rovnici vynásobíme společným jmenovatelem
11

9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
2 3
0,7 /.2x
x 2x
4 + 3 = 1,4x
7 = 1,4x
x = 5
3) uděláme zkoušku : L : 2 3 2 3 4 3 7
5 2.5 5 10 10 10
P : 0,7 L = P
x 1 x 3
Příklad : Vyřešte rovnici :
2
x 5 x 3
1) určíme podmínky řešitelnosti : x ≠ 5 x ≠ 3
2) celou rovnici vynásobíme společným jmenovatelem
x 1 x 3
2 /. ( x – 5 ) . ( x – 3 )
x 5 x 3
( x – 1 ) . ( x – 3 ) + ( x + 3 ) . ( x – 5 ) =2.( x – 5 ) . ( x – 3 )
x 2 - 4x + 3 + x 2 - 2x – 15 = 2x 2 - 16x + 30
-6x – 12 = -16x + 30
10x = 42
x = 4,2
3) uděláme zkoušku : L = 4,2 1 4,2 3 3,2 7,2 4 6 2
4,2 5 4,2 3 0,8 1,2
P = 2 L = P
Příklad 20 : Vyřešte rovnici :
2x
2x
1
a)
2
2x
1 2x
4 1 3
b)
x 3 x 4 x 2
3 4
c)
( x 4).( x 1) ( x 5).( x 1)
x 7 x 5
d)
2
x 5 x 7
e)
f)
x 1 1
2x
3 2 x 3
1 2
x 1 x 4
x 2 2 x 5
g)
2
x 3 x 3 x 9
x 1
1
h)
2 3
x 1 6
x 1
3
ch)
5 2
x 3 10
x
3. 1
2 1
i)
x 4 4
x 1
3.
4 3
j) 0, 75
x 1
1 2
k)
x 3 x 2
3 8
l)
x 5 x 6
4 6
m)
2x
3 4x
5
5 3
n)
4x
7 2x
1
x 1 x 1
o) 0
x 2 x 2
2x
3 2x
1
p)
2x
1 2x
3
x x 4
r)
x 4 x
2
2x
2x
1
s)
2x
1 2x
2
t)
y 5 y 3
y 3 y 5
2
y 1 y 2
u)
y 2 y 1
2
y 1 y 2
v)
y 1 y 2
2
y 4 y 6
w)
y 4 y 6
2
2x
1
x)
3x
(2x
4)
1
2x
8
y)
5x
(4x
4)
2
6y
24
z)
8y
2.(3y
5)
3
4y
12
aa)
7 y 3.(2y
1)
5
12

Souhrnná cvičení :
1) Vypočtěte :
2
a)
p 2 p 1 1
:
p
2
p 1 p 1
xy y x
b) ( x).
x y x
2 2
4x 12x 36x
27
c) ( 1) :
2 2
4x 9 12x 4x
9
x y x y 4 2x
d)
.
x y y x 2 y 2 x
2b 6.( b 1) 11b b 4
e) : =
2
b 2 6 3b b 4 b 2
9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
2) Vypočtěte a dosazením do zadání a výpočtu ověřte správnost výpočtu :
2
64 m
a) (16 4 m) 2.(4 2 m) . m = -1
8 m 64
2
b)
ab 2 2 a b :
a a a = 1 b = - 1 2
b 4b 4 b 2
2
2
m 4m 4 m
c)
2 .( 2) m = 1
16 m m 2
a 1 a
d) ( ). 1 a a.(1 a) ( a 3) a = - 1 2
a 1 1 a
2
e)
f)
3x
2
1 : 1
2 2
x y y x
2 2
25 10 5
x
a a .
a a
2
7a
25 a
x = 3 y = -2
a = -0,25
2 2
2x 3y 2x 3y 2.(4x 9 y )
f)
2 2
2x 3y 3y 2x 4x 9y
a a 2b a b
2 2
g) a 2b 4b a a b a b
2 2
1
a b
2
2b a a ab
h)
5a 5x 10ax a x 2ax
( ).
a x a x a. a x. x a x a x a.
a xx
a 3a
1 1
g) .1
2
a 1 a 1 a
a = -2
(3 x).(2x
1)
3) Pro jaké x je výraz
x 2
a) kladný b) záporný c) roven nule d) výraz nemá smysl.
2 2
x 1 x 1
2 2
4) Pro jaké x je výraz x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
a) kladný b) záporný c) roven nule d) výraz nemá smysl.
5) Řešte rovnici:
2x
2x
1
a)
2x
1 2x
2
b)
x 1
5 2 3
x 3 10
13

9. 2 x
c)
2
7x
4. 3x
1
x 3 2x
3 3
d)
4 8 x 3
e) 4 x 3 1 0
5 6x
2
2s
1 s 7
f) 3
s 2 s 1
9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
2s
1 2s
7 6
g)
2
s 3 s 1 s 2s
3
h) 7 a 4 3 a 1
14 3a
8 2
h 2 h 3
ch) 2
h 3 h 4
2
x 2 3x x 9 x 2
i) 1
2
x 2 3. x 4 x 2
6) Určete hodnotu výrazu : a) 3. ( 2 – 3x ) – 4. ( 1 – x ) . ( 1 + x ) – 1x 2 pro x = -2
b) 2. ( 3 – 2x ) – 5. ( 1 – x ) . ( 1 + x ) – 3x 3 pro x = -3
7) Vypočtěte :
a) ( 5m 2 – 4am + 2a 2 ) + ( 3m 2 – 3a 2 ) – ( 8m 2 – 4am ) =
b)
2 2
2
6 2 3 . 1 2. 4 ( 5).( 5)
x x x x x x x =
c) ( 6x 2 – 3xy + 5y 2 ) + ( 2x 2 – 3y 2 ) – ( 8x 2 – 5xy ) =
d)
2 2
2
5 3 2 . 1 3. 4 ( 3).( 3)
a a a a a a a =
8) Zjednodušte :
2
2 2 p
a)
2
p 4 4 p p 16
b)
c)
d)
2
4 2 8
x x x
3
x 8 x 2
2
2
u v u uv
.
u u v
2
x y
. x
y x x
2 2
1 2 1
e) 1 : 1
2 2
x x x
2rs
f) s r
2
s
s
r s
2
1 1 p
g)
2
p 2 p 2 p 4
x
1
h)
3 2
2
x 6x 12x 8 x 2
i)
2 2
u v 2u
u
v
2
.
v
u
xy y x
j) x .
x y x
k)
l)
2 2
1 1 r s :
r s s r
2
2
x 2x
1
1 1
x 1 x 1
9) Zjednodušte :
2
9z
12z
4
a)
=
d) 2m n m
3z
2
m n n m =
b) 3 uv 9 v 2 u 6
3 2x
2 3x
x. 16 x
=
e) =
2
3uv 2u 9v
6
2 x 2 x x 4
3 2 2 3
3a ab 6a b 2b
c)
5 4 4 5
9a ab 18a b 2b = 1 3 3 2n
1
f) . n
3 2
n 1 n 1 n n 1 n 1
=
14

9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
2
a b a b 1 b
2
g) a b a b . b =
2 2
a b 1 2
1
2 2 2 1
a b b b
2
1 1 x 2
10) Řešte rovnici :
2 2 2 1
x x x x x 1
11) Určete hodnotu x tak, aby zlomek
12) Vypočítejte :
x
8
0,5 x
a) 4
9
x 1 2
x 2
4 2 3
1 1 3x
2,25 1 . x 1
b) 4 3 4
1 5x
2
1 0,5x
6 6 3
1 1 x
.
1 x
2 3 2
c)
6 28
1 1 1 x
. x
3 4 4 21
7 x 3
9
2
byl co největší.
x 2x
1
2
d) 2 3
x 3x
1 3
3 2
1 1
e)
1
1 2
1 1
x 1
1
3
2 6
1 1
f)
1
1
1 0,25
24
7
x 2
Výsledky :
1 a) - 7
36 , x < 3,5 b) 1
15. 39
13. 33
1 x > -12 , c) x > -12 , d) x > -12 ,
3 39
33
2 a) nejsou podmínky , b) x ≠ 0 , c) x ≠ 0 , d) x ≠ 5, e) x ≠ 3 x ≠ -3 , f) x ≠ 5 , g) x ≠ 3,
h) x ≠ -1 x ≠ 3 , ch) nejsou podmínky , i) x ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ -1 , j) x ≠ 0 x ≠ 1 , k) x ≠ 2 ,
l) x ≠ 5 x ≠ -4 x ≠ 2 , m) x ≠ 7 8 x ≠ 7
, n) x ≠ -1 , o) x ≠ 9 x ≠ -9, p) x ≠ 0 x ≠ y x ≠ -y,
8
r) x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ y, s) x > 0 , t) x > -3 , u) x < 0 , v) x < -3 , w) x > -7 x ≠ 3 , x) x ≠ - 4 3 y
x ≠ 4 3 y ,
3 a) b ≠ 0 c ≠
3
, b) x ≠ -2,5y, c) x ≠ 0 x ≠ -1,5y, d) k ≠ -0,25, e) x ≠ 0 m ≠ 0 x ≠ 1 x ≠ -1,
4
f) b ≠ - 4 a ≠ -0,5 , g) u ≠ 5 t ≠ 1,5s , h) x ≠ 4-3y, x ≠ -4-3y , i) y ≠ 0 z ≠ -20 , j) y ≠ -1 ,
3
k) x > 0 , l) x > 5 , m) x ≠ y x ≠ 3 , n) r ≠ 2 , x ≠ 4 x ≠ -4 ,
4 a) x < 0 nebo x > 4 , b) 0 < x < 4 , c) x = 0 , d) x = 4 ,
5 a) x < 1 nebo x > 5 , b) 1 < x < 5 , c) x = 5 , d) x = 1 ,
6 a) x > -2,5 x ≠ 0, b) x < -2,5 , c) x = 0 , d) x = -2,5 ,
7 a) a < -2 nebo a > 2 , b) -2 < a < 2 , c) a = 2 , d) a = -2 ,
8 a) 0,25xy -3 2
x
5
x ≠ 0 y ≠ 0 , b) x ≠ 0 y ≠ 0 z ≠ 0 , c) x ≠ 0 x ≠ 6 ,
4
3
13xz
x . x 6
15

5
d)
2
x . x 4
9 a)
d)
10 a)
1
x ≠ -2y, h)
2
x
9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
1
x ≠ 0 x ≠ 4 , e)
2
xy x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ y, f) x 3
x 2y
x ≠ -3 , g)
5
x 2y
1
x ≠ -1 x ≠ 1 ,
ch)
x
x
5
5
3
2 y
x ≠ -5 x ≠ 5 , i)
3
2 y
2
1 3
n
x x ≠ 0 x y ≠ 0 , b) 2 3 x3 y 2n-2 x ≠ 0 y ≠ 0 , c) 0,1x 5 y 2 z 3 x ≠ 0 y ≠ 0 z ≠ 0 ,
x
y
5
2 4xy
2 2
x ≠ 0 x ≠
2xy
2
3y
2
5
7
x ≠ 0 x ≠ 0,5y -2 , e)
4
y ,
y ≠ 0 , b) 2 x . x 3
3. x 3
3 2 2
y z . z 4y
x ≠ 3 , c)
8x
2
4
x . x 2
4
x . x 4
x ≠ 0 y ≠ 0 z ≠ 0 , f)
x ≠ 0 x ≠ -4 ,
1
3
1
3
y ≠ 0 y ≠ - 2 y ≠ - 2 ,
3
3x
3
5y
4
5y
7x
x 2 . x 3
d)
x ≠ -4 x ≠ 3 ,
x 4 . x 3
11 a) 40x 4 y 3 z 2 ab 2 x ≠ 0 y ≠ 0 z ≠ 0 a ≠ 0 b ≠ 0 , b) 7ac 2 x 2 y.(x 2 -9) a ≠ 0 c ≠ 0 x ≠ -3 ,
c) 2x.(x+3) x ≠ 0 x ≠ -3 , d) (x-1).(x+2) x ≠ 1 x ≠ -2 e) x.(x-2).(x-3).(x 2 +9) x ≠ 0
x ≠ 2 x ≠ 3 , f) u 2 – 25 u ≠ 5 ,
12 a) 37 2
3 2
3
x 2a
3a
4
x x 2x
3
x x 2
, b) a ≠ 0 , c)
x ≠ 0 , d)
x ≠ 0
3
4
60 a
x
x. x 1 . x 1
x ≠ -1 x ≠ 1 , e)
2
3x
6x
1
x
2
1
x ≠ -1 x ≠ 1 , f)
x
x
2
3x
2
2
1 . x 1
x ≠ -1 x ≠ 1 ,
2
2
x xy y
5
1
4
g) y ≠ 0; h) x ≠ 1; ch) a ≠ 0 a ≠ 1; i) a ≠ 0
2
2
y
( x 1).6
a.(
a 1)
a 1
2a
2
2x.(
x 1)
a ≠ 1 a ≠ -1; j)
a ≠ 1 a ≠ -1; k) x ≠ 3 x ≠ -3 ; l)
2
2 2
( a 1) .( a 1)
x 3
x y
xy
1
x ≠ y x ≠ -y ; m) x ≠ y x ≠ -y ; n) x ≠ 1 x 2 x
+ x + 1 ≠ 0 ; o)
2 2
2
x y
x 1
(x 1)
1
2
x ≠ -1 ; p) x ≠ -1 ; r) x ≠ 1 x ≠ -1 x 2 2.( u 2)
- x + 1 ≠ 0; s) u ≠ 0 u ≠ -1;
2
x 1
x 1
3u.(
u 1)
2
7v
2
x 6x
10 11x
9
t) v ≠ 0 v ≠ -2; u)
x ≠ 3; v) x ≠ -6; w)
2
v .( v 2)
x 3
x 6
9 x 4a
2b
3
x ≠ -4; x) x ≠ -3; y) a ≠ 1 a ≠ -1; z) b ≠ 2;
2
x 3
a 1
b 2
2
3 z 1
2z
13) a) z ≠ 0 z ≠ 1; b) z ≠ 0 z ≠ 1 z ≠ -1; c)
z
2
2
z.(
z 1)
( z 1).( z 1)
x
2
2x
x 4
7
z ≠ 1 z ≠ 0
2
2
( z 2)
z ≠ -1 ; d) 1 z ≠ 1 z ≠ -1; e) z ≠ -2; f) z ≠ 2; g) 1 p ≠ 2 p ≠ -2;
2
2
( z 2)
( z 2)
2
2
2
h) 1 p ≠ 4 p ≠ -4; i) p ≠ 1 p ≠ -1; j) p ≠ 5 p ≠ -5; k) x ≠ 2;
3
p 1
5 p
( x 2)
2
l)
3
( z 2)
z ≠ -2; m) -1 x ≠ -2 x 2 3
x
– 2x + 4 ≠ 0; n) z ≠ 0,5
3
(z 0,5)
16

9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
2
6
5 a b
14) a) a ≠ 0 b ≠ 0; b) x ≠ 0 y ≠ 0 z ≠ 0; c) b ≠ 0 c ≠ 0 d ≠ 0;
ab 6
2
6d
2
3.( s 2)
d) -3y.(3x-1) x ≠ 0 y ≠ 0; e) 0,75y x ≠ 1,25y; f) 2 r ≠ -3 r ≠ 2,5; g)
3
2.(5 s)
v .( v u)
s ≠ -2 s ≠ 2 s ≠ -5; h) -2s r ≠ -3s r ≠ 5s; i) u ≠ 0 u ≠ -v u ≠ v; j) x + 2 x ≠ 0
u
x ≠ 2; k) 9 – 3y y ≠ 0 y ≠ 3; l) x x ≠ 0 x ≠ y; m) x – y x ≠ 0 x ≠ -y;
15 a) 9x + 6 x ≠
1
1 3
, b) 5 u ≠ 3 7 v , c) 3x.( x2 + 1 ). ( x + 1 ) x ≠ 1, d) –( m – n ) 2
3x 4y
m ≠ -n , e)
x ≠ 0 x ≠ 4 x
3 y x ≠ 4
3 y , f) 0,1x-2 x ≠ 0 x ≠ 1 2 ,
2
1
g)
2x x ≠ 0 z ≠ 0,8y , h) r r ≠ 5s; s ≠ 0 r ≠ 0 ch) s
r ≠ 0 r ≠ s r ≠ -s; i) s.(r-s)
2r
r s
r ≠ s r ≠ -s ; j) r ≠ s r ≠ -s ; k) –1 p ≠ 2 p ≠ -2; l) –r p ≠ 3 p ≠ -3;
2
2 2
2 2
3 1 y x
y x
m) p ≠ 0 r ≠ 0 r ≠ p; n) p ≠ 0 p ≠ r p ≠ -r; o) y ≠ 0; p)
2 p
p y
xy
x ≠ 0 y ≠ 0; r) 4 x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ y x ≠ -y; s) –1 x ≠ y x ≠ -y
3
16 a)
a a ≠ 0 a ≠ -2 a ≠ 1 , b) -2 x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ 2y , c) -0,25a a ≠ b a ≠ -b
9
a ≠ 0, d) 0,25.( u – v ) u ≠ 0 u ≠ v u ≠ 2v u ≠ -2v , e) 1,2; u ≠ 2,5 u ≠ 0 ; f) –u 2 u ≠ 0
2
2
u ≠ 2 z ≠ -2; g) –1 u ≠ v u ≠ -v ; h) uv u ≠ 0 u ≠ v u ≠ -v ; ch)
3
x 3
x y
x ≠ -3 y ≠ 0 x ≠ 3; i) x; x ≠ y x ≠ -y x ≠ 2; j) x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ y;
y x
k) x+ y x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ y ; l) –xy x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ y; m) x
y x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ y
1 ;
n)
a
a
1
1
a ≠ 0 a ≠ -1 a ≠ 1; o) -
r) ab a ≠ 0 b ≠ 0 a ≠ -1;
17 a) -3 x ≠ 3y x ≠ -3y , b) 1
d) 5 x 2
3 x 2
a 1 a ≠ 0 a ≠ -1; p) –1 a ≠ 0 b ≠ 0;
a
x
x ≠ 0,5 x ≠ -0,5 x ≠ 1 x ≠ -1, c) 1 x ≠ y x ≠ -3 x ≠ 3,
1 2x 1
x ≠ -2 x ≠ -1,5 , e) m+1 m ≠ 0 m ≠ 1 m ≠ -1 , f)
b ≠ 0
b.
a b
b ≠ -1 b ≠ a b ≠ -a , g) 3. x 3
1 a 2
x ≠ 0 x ≠ 3 x ≠ -3 , x ≠ 1 h)
2x x 3
3 1 2a a ≠ 2
a ≠ 0,5 a ≠ -2 a ≠ -0,5 , ch) 2 2u ≠ v 2u ≠ -v , i) -1 x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ y x ≠ -y
j) ( 2 – m ) .( 1 + 3m ) m ≠ 1 3 m ≠ - 1 3 , k) a b
2
p
a ≠ 0 b ≠ 0 a ≠ -b , l) p ≠ 2 p ≠ 1 p ≠
a b
p 2
2
1
-1 , m) x 1 x ≠ 1 x ≠ -1 , n) a - b a ≠ b a ≠ -b; o) a ≠ 0 a
1
a b
x ≠ 2a x ≠ -1 x ≠ -3 ; p) x ≠ 2 x ≠ 0,5a x ≠ -0,5x x ≠ -3 ; q) a ≠ b
a 2x
a b
1 m n
a ≠-b a ≠ 0; r) x ≠ 0,5y x ≠ -0,5y x ≠ 0; s) m ≠ n m ≠ -n m ≠ 0 n ≠ 0;
2 2
4x
m n
17

9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
4
18 a)
a b a ≠ 0 b ≠ 0 a ≠ b a ≠ -b , b) r 2
r ≠ 2 r ≠ 4 r ≠ -4 , c) 0 a ≠ 2
r 4
x 4
a ≠ -2 a ≠ 4 , d) x ≠ 0 x ≠ 2 x ≠ -2 x ≠ 3 3 , e) a2 + b 2 a ≠ 0 b ≠ 0 a ≠ b
m 1
a ≠ -b , f) m ≠ 0 m ≠ 1 m ≠ -1 ,
6
2
5x
19 a) –b – 1 a ≠ 0 b ≠ 0 a ≠ b a ≠ -b , b) 1 a ≠ 0,5 a ≠ 2b , a ≠ 5 c)
2
x y
x ≠ 0 y ≠ 0 x ≠ y x ≠ -y , d) 2 a a ≠ 0 b ≠ 0 a ≠ b a ≠ -b , e) a 2
a ≠ 2 a ≠ -2
2a
1
2
1
x ≠ 0,5 x ≠ -0,5 , f) a ≠ 0 a ≠ b a ≠ -b b ≠ 0 , g)
a ≠ 1,5
b
2 2a
3
2d
a ≠ -1,5 , h) c ≠ d c ≠ -d ,
c d
20 a) x = 0,25 x ≠ 0 x ≠ 0,5 L = P = 2 , b) x = 5 x ≠ 3 x ≠ 2 x ≠ 4 L = P = 1 ,
c) x = 1 x ≠ 4 x ≠ 5 x ≠ -1 L = P = -0,5 d) x = 6 x ≠ 5 x ≠ 7 L = P = 2 ,
1
e) x = -3 x ≠ 3 x ≠ 1,5 L = P = , f) x = 6 x ≠ 1 x ≠ -4 L = P = 0,2 ,
6
9
g) x = - 2,5 x ≠ 3 x ≠ -3 L = P = 1 , h) 1,5; ch) 4; i) 1,6; j) nemá řešení; k) –8; l) 4,4;
11
m)0,5; n)13; o) 0; p) nemá řešení; r) 2; s) 0,25; t) 4; u) - 3
4 ; v) 1 3
1 ; w) 4,8; x) 3; y) nekonečně
mnoho řešení; z) nemá řešení; aa) nemá řešení;
Souhrnná cvičení :
3. 2x
3
1 a) 1 p ≠ 1 p ≠ -1 , b) x x ≠ 0 x ≠ y , c)
2
2x
3
x ≠ y x ≠ -y, e)
x ≠ -1,5y , g)
x ≠ -a ,
1
( b 2)
2
a 2a ab b
2 a) -8 – m m ≠ 8 po dosažení -7 , b) 1 a
c)
m
m
2
4
a
m ≠ -4 m ≠ 4 m ≠ 2 po dosazení
b
18
x ≠ 1,5 x ≠ -1,5, d)
b ≠ 2 b ≠ -2 b ≠ 4 , f) 2. 2 x 3 y
2x
3y
x ≠ 1,5y
a ≠ b a ≠ 2b a ≠ -2b a ≠ 0 a ≠ -b , h) 5 x ≠ a
y
x
a ≠ 0 a ≠ -1 b ≠ -2 po dosazení 1 ,
2
y
1
5 , d) 2
a a 2 a ≠ 1 a ≠ -1 po
dosazení 2,75 , e) 2x y
x y x ≠ y x ≠ -y x ≠ 0,5y po dosazení 4 , f) 5 7
x ≠ 5 x ≠ -5 po dosazení 0,75 , g)
( a
2
1)
a.( a 1)
a a ≠ 0
a ≠ 0 a ≠ 1 a ≠ -1 po dosazení 4,5 ,
3 a) x < -2 nebo 1 2 < x < 3 , b) -2 < x < 1 2 nebo x > 3 , c) x = 1 2 nebo x = 3 ,
d) x = -2 ,

9. ročník - 2. lomený algebraický výraz, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
4) jmenovatel upraveného zlomku je vždy kladný a proto a) x > 0 , b) x < 0 , c) x = 0 , d) takové x
neexistuje ,
5 a) x = 0,25 x ≠ 0 x ≠ 0,5 L = P = 2 , b) x = 4 x ≠ 3 L = P = 0,3 c) x = -10 x ≠ 0,8
3
L = P = 2 , d) x = -11 x ≠ -3 L = P = 2 , e) x = 0,5 x ≠ 5 8 6 L = P = 0 ,
f) s = -1 s ≠ 1 s ≠ -2 L = P = 3 , g) s = -2 s ≠ 1 s ≠ -3 L = P = -2 , h) a =
1
7 3
a ≠
2
2 3
L = P = 0,5 ch) h = -3,5 h ≠ -3 h ≠ 4 L = P = 3 i) 27 x ≠ -2 x ≠ 2
6 a) 52 , b) 139 ,7 a) –a 2 , b) -2x 4 – 16x 2 + 3x – 7 , c) 2xy + 2y 2 , d) -3a 4 – 26a 2 + 3a - 39
2
8 a) 1 p ≠ 4 p ≠ -4 , b) x ≠ -2 , c) u – v u ≠ v u ≠ -v , d) –x – y x ≠ 0 x ≠ y,
3
x 2
x 1
e) x ≠ 1 x ≠ -1 , g) 1 p ≠ 2 p ≠ -2 , f) 2 s ≠ 0 r ≠ 0 r ≠ s r ≠ -s ,
x 1
2
x 1
h) x ≠ -2 , i) u - v u ≠ 0 u ≠ v u ≠ -v , j) x x ≠ 0 x ≠ y l) x ≠ 1 x ≠ -1 x ≠ 0 ,
3
( x 2)
x 1
l) 2 r ≠ 0 s ≠ 0 r ≠ -s
9 a) 3z – 2 z ≠ 2 3 , b) u 3
u ≠ 3 v ≠ 2 u 3
3 , c) 1
b b
a ≠ 2 a ≠ a ≠ -
2 2
3a b
3 3
1
a ≠ 0 b ≠ 0 , d) 1 m ≠ n , e) x ≠ 2 x ≠ -2 , f) 1 n ≠ 1 , g) 2a a ≠ b
x 2
a ≠ -b b ≠ 0 b ≠ 1,
10) v oboru reálných čísel nemá řešení , 11) – 3 ,12) a) 8 x ≠ 2 x ≠ 2 2 , b) -1 , c) 14 x ≠ 0,25
3
x ≠ 5,25 , d) 0,48 x ≠ 3
11 , e) 3 x ≠ - 1 3 x ≠ 1
3
2 , f) 10 x ≠ 2 x ≠ 5 x ≠ 5 ,
3 7
19