CPM, PERT

Modely sieťovej 

analýzy

Sieťová analýza 

Sieťová analýza – súbor modelov a metód 

založených na grafickom vyjadrení realizujúcich 

časovú, resp. nákladovú analýzu. 

Používa sa predovšetkým na prípravu a realizáciu 

investičných projektov, vlastnej výstavby, resp. 

prípravy a realizácie rozsiahlych akcií, ktoré v sebe 

zahŕňajú na seba nadväzujúce činnosti.

Sieťová analýza – základné pojmy 

Projekt – priestorovo a/alebo časovo vymedzený súbor organizačne, resp. 

technologicky súvisiacich (nadväzujúcich) činností zameraných na 

dosiahnutie určitého cieľa. 

Činnosť – priestorovo a/alebo časovo vymedzený súbor prác zameraných na 

realizáciu projektu. 

Ohodnotenie činnosti – predstavujú rôzne ukazovatele, na báze ktorých 

možno realizovať analýzu projektu. 

Časová analýza projektu – ohodnotenie činností na báze trvania činností. 

Nákladová analýza projektu – ohodnotenie činností na báze nákladov na 

realizáciu činností. 

Technologické väzby – technologická nadväznosť jednotlivých činností 

navzájom.

Sieťové grafy 

Sieťový graf – matematický model projektu. 

Hranovo orientované sieťové grafy – hrany grafu 

reprezentujú činnosti projektu a uzly reprezentujú udalosti. 

Činnosti projektu sa vyjadrujú orientovanými hranami grafu 

medzi uzlami grafu. 

Uzlovo orientované sieťové grafy – uzly grafu 

reprezentujú činnosti a hrany vyjadrujú väzby medzi 

činnosťami. Činnosti projektu sa vyjadrujú uzlami v tvare 

štvoruholníka, väzby orientovanými hranami.

Štruktúra sieťovéhu grafu 

Štruktúra sieťového grafu – deterministická resp. 

stochastická. 

Pravdepodobnostné ohodnotenie – prezentuje podmienené 

pravdepodobnosti realizácie jednotlivých činností, používa 

sa keď nemožno presne určiť ohodnotenie činnosti, táto 

hodnota je považovaná za náhodnú.

Metódy riešenia sieťových grafov 

Sieťový graf 

Štruktúra grafu 

Ohodnotenie 

Druh ohodnotenia 

Metóda 

Deterministická 

Čas 

Deterministické 

Stochastické 

CPM 

PERT 

Hranovo 

definovaný 

Náklady 

Čas 



CPM/COST 

Stochastická 

Náklady 


GERT 

Pravdepodobnosť 

Stochastické 

Uzlovo 

definovaný 

Deterministická 

Čas 


MPM

Kritická cesta 

Kritická cesta – najdlhšia cesta v sieťovom grafe, 

ktorá zodpovedá vetve s najdlhším trvaním 

činností na nej ležiacich. 

Hľadanie kritickej cesty sa používa predovšetkým 

na určenie harmonogramu výstavby rôznych 

projektov, na riadenie výrobných činností z 

hľadiska ich časového rozvrhovania, na riešenie 

úloh o maximálnej priepustnosti komunikačného 

systému a iné.

Hľadanie kritickej cesty 

Hľadanie kritickej cesty sa používa na určenie 

harmonogramu na seba nadväzujúcich činností: 

výstavba rôznych projektov, 

riadenie výrobných činností z hľadiska ich 

časového rozvrhovania, 

riešenie úloh o maximálnej priepustnosti 

komunikačného systému a iné.

Relácie medzi činnosťami 

činnosti A (čer.) a B (mod.) prebiehajú paralelne, sú vzájomne nezávislé 

činnosti A a B nemôžu prebiehať paralelne, sú vzájomne závislé 

činnosť B môže začať len vtedy, ak bola činnosť A ukončená 

činnosť B môže prebiehať, ak činnosť A už prebiehala určitú dobu 

činnosť B môže prebiehať až po určitej dobe po ukončení činnosti A 

fiktívna činnosť, činnosť C (zel.) môže začať po skončení A aj B

Hľadanie kritickej cesty pomocou 

lineárneho programovania 

{ } 

{ } 

{ } 

{ } 

{ } 

1,2,...,n 

i 

0, 

d 

2,...,n 

1, 

r 

R 

2,...,n 

1, 

j 

0, 

d 

1,2,...,n 

p 

P 

2,3,...,n 

j 

1, 

2,...,n 

1, 

i 

pre 

0 

d 

kde 

R 

j 

P, 

i 

0,1 

x 

n 

j 

1 

x 

1 

i 

1 

x 

2,3,....,n 

j 

x 

x 

x 

d 

min z(x) 

ir 

pj 

ij 

ij 

P 

i 

ij 

R 

j 

ij 

R 

k 

jk 

P 

i 

ij 

P 

i 

R 

j 

ij 

ij 

= 

≠ 

∈ 

= 

= 

≠ 

∈ 

= 

= 

− 

= 

≥ 

∈ 

∈ 

∈ 

= 

= 

= 

= 

= 

= 

= 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑∑ 

∈ 

∈ 

∈ 

∈ 

∈ 

∈

Hľadanie kritickej cesty pomocou 

lineárneho programovania 

min t n 

t j - t i ≥ d ij i =1,2,...,n-1, j = 2,3,...,n 

t i 

≥ 0 i =1,2,...,n 

na praktické výpočty je vhodné t i = 0.

Hľadanie kritickej cesty metódou 

CPM (Critical Path Method) 

existencia sieťového grafu, ktorý je acyklický, 

hrany smerujú od uzlov s menšími indexami 

do uzlov s väčšími indexami 

deterministická metóda, presne určené 

hodnoty trvania činností t ij 

určená nadväznosť jednotlivých činností

T 0 – čas začatia projektu, 

CPM – symbolika 

T 1 – vypočítaný čas ukončenia projektu, 

t ij – trvanie činnosti z uzla u i do uzla u j , 

ZM i (t i0 ) – najskôr možný začiatok začatia činností vychádzajúcich z uzla u i , 

KM j (t j0 ) – najskôr možný koniec činností končiacich v uzle u j , 

 

 

 

t i 

0 

+ t ij najskôr možný koniec činnosti (i, j), 

ZP i (t i1 ) – najneskôr prípustný začiatok začatia činností vychádzajúcich z uzla 

u i , 

t 

1 j – t ij najneskôr prípustný začiatok činnosti (i, j), 

KP j (t j1 ) – najneskôr prípustný koniec činností končiacich v uzle u j , 

 

RC ij – kritická rezerva činnosti (i, j): 

RC ij = KP j – KM j = ZP i – ZM i = t j1 – t i0 – t ij

Výpočet prebieha v 2 etapách. 

CPM – výpočet 

1. etapa – výpočet vpred (od začiatočného uzla ku koncovému) 

Položíme ZM i (t i0 ) = 0 t i0 = 0 

Výpočet KM j (t j0 ) = ZM i + t ij t j0 = t 

0 i + t ij 

Výpočet ZM j (najskôr možné konce činností pre už vypočítané KM j ) 

ZM j = max KM j t i0 = max t 

0 j 

Výpočet T 1 = max KM n T 1 = max t 

0 n 

 

2. etapa – výpočet vzad (od koncového uzla k začiatočnému) 

Položíme KP j (t j1 ) = T 1 t n1 = T 1 

Výpočet ZP i (t j1 ) = KP j – t ij t i1 = t j1 – t ij 

Výpočet KP i (najneskôr prípustné začiatky činností pre už vypočítané ZP i ) 

KP i = min ZP j t i1 = min t 

1 i 

Výpočet RC ij 

RC ij = KP j – KM j = ZP i – ZM i = t j1 – t i0 – t ij

CPM – spôsoby riešenia 

Grafické riešenie 

najskôr možný koniec 

činností, ktoré vchádzajú do 

uzla u j 

KM j 

(t j0 ) 

u i 

KP j 

(t i1 ) 

Tabuľkové riešenie 

najneskôr 

prípustný 

začiatok činností, 

ktoré vychádzajú 

z uzla u i

CPM – Príklad 

Nech treba 

vykonať 

nasledujúce 

činnosti: 

Činnosť Pred. Trvanie 

činnosť 

t ij 

A - 6 

B - 8 

C - 2 

D A 1 

E B,D 5 

F A 4 

G B,D 5 

H B,D 3 

I B,D 2 

J C,E 1 

K F,G 6 

L F,G,H 8 

M H 4 

N I,J,M 3


Činnosť Pred. Trvanie 

činnosť 

t ij 

A - 6 

B - 8 

A 

B 

D 

F 

G 

H 

Fi 

L 

K 

C - 2 

D A 1 

E B,D 5 

F A 4 

C 

E 

I 

M 

N 

G B,D 5 

H B,D 3 

J 

I B,D 2 

J C,E 1 

K F,G 6 

L F,G,H 8 

M H 4 

N I,J,M 3


F 

A 

B 

D 

G 

H 

Fi 

L 

K 

C 

E 

I 

M 

N 

J


Riešenie


Nákladová analýza kritickej cesty 

 

 

 

 

 

V princípe každá činnosť sa dá vykonať aj za kratší čas ako sú 

určené normy 

Nech t ij je normálne trvanie činnosti spojené s normálnymi 

nákladmi c ij a T ij je minimálne trvanie činnosti spojené so 

zvýšenými nákladmi C ij 

Predpoklady: 

nad normálne trvanie činnosti nie je možné racionálne 

predlžovať čas trvania, lebo vplyvom konštantných nákladov 

sa budú celkové náklady zvyšovať 

minimálnu dobu trvania činnosti nie je možné skracovať z 

technických dôvodov.


Nákladová analýza kritickej cesty 

Graf vývoja nákladov v závislosti od dĺžky trvania činnosti 

náklady 

C ij 

Zvýšené náklady 

a 

ij 

C 

= − 

t 

ij 

ij 

−c 

−T 

ij 

ij 

a ij 

c ij Normálne náklady 

T ij t ij čas

CPM - Nákladová analýza kritickej 

cesty Weberovým postupom 

 

 

 

 

Výpočet kritickej cesty pri normálnom trvaní činností t ij s 

normálnymi nákladmi c ij , pričom celkové náklady sú 

CNN cij 

i = 1,2,..., n−1; 

j = 2,3,..., 

n 

Pre všetky činnosti 

sa vypočíta spád 

=∑ 

i, 

j 

Cij 

−cij 

aij = − i = 1 ,2,..., n−1; 

j = 2,3,..., 

n 

t −T 

Možno skracovať len kritické činnosti, pre ktoré vyberáme 

minimálnu hodnotu a ij 

. Kritické činnosti možno skrátiť na čas 

T ij so zvýšenými nákladmi C ij , pričom môžu vznikať nové 

kritické cesty a teda treba vypočítať nové riešenie. 

Redukcia sa realizuje, pokiaľ sa nevyčerpajú všetky možnosti 

skrátenia. 

ij 

ij

Hľadanie kritickej cesty metódou PERT (Program 

Evaluation and Review Technique) 

 

 

 

spôsob výpočtu rovnaký ako CPM 

stochastická metóda, určené hodnoty optimistického 

odhadu trvania činnosti a ij 

, pesimistického odhadu trvania 

činnosti b ij 

, najpravdepodobnejšieho odhadu trvania 

činnosti m ij 

výpočet trvania činnosti 

t 

ij 

= 

a 

ij 

+ 

4mij 

+ bij 

6



Výpočet trvania činnosti 

Beta rozdelenie – výhodné vlastnosti na modelovanie a 

zodpovedá premenlivosti prevádzkových podmienok 

Vlastnosti: 

Unimodálne – jeden vrchol, ktorý zodpovedá 

najpravdepodobnejšej dobe trvania (modus) m ij 

, 

4mij 

+ bij 

Konečné variačné rozpätie - časy trvania sa vyskytujú v intervale 

medzi najkratšou (a ij 

) a najdlhšou dobou trvania (b ij 

), 

Symetria – závisí na polohe vrcholu vo vnútri intervalu a podľa 

toho možno vytvoriť hypotetickú krivku funkcie hustoty 

pravdepodobnosti. 

d 

ij 

= 

a 

ij 

+ 

6



 

Beta rozdelenie



aij 

+ 4mij 

+ bij 

Výpočet trvania činnosti tij 

= 

Smerodajná odchýlka činnosti 

6 

⎡bij 

− aij 

⎤ 

σ 

ij 

= ⎢ ⎥ 

⎣ 6 ⎦ 

Rozptyl činnosti 

2 ⎡bij 

− aij 

⎤ 

σ 

ij 

= ⎢ 

6 

⎥ 

⎣ ⎦ 

Smerodajná odchýlka trvania projektu 

2 

Pravdepodobnosť ukončenia do plánovaného T p 

σ 

( T ) = ∑σ 

ij 

K 

2 

⎡Tp 

−T 

⎤ 

p( Tp 

≤ T ) = Φ ⎢ ⎥ 

⎣ σ ( T ) ⎦

PERT – Príklad 

Nech treba 

vykonať 

nasledujúce 

činnosti: 

A 

B 

C 

Fi 

E 

H 

G 

F 

D 

I 

J 

K 

L 

Odhad dĺžky trvania činnosti v dňoch 

Činnosť Predch. optimistický najpravdepodobnejší 

a ij 

m ij 

pesimistický 

b ij 

A - 4 6 10 

B - 2 2 2 

C - 10 18 20 

D A 2 6 10 

E A 6 8 12 

F B 2 4 6 

G A, C 8 11 13 

H A, C 8 11 14 

I E 5 5 5 

J G 7 9 11 

K G 10 20 25 

L F, J 5 9 10

PERT – Príklad


Riešenie


Riešenie 

Výsledok: trvanie projektu T = 47 

 

Smerodajná odchýlka trvania projektu 

Plánované ukončenie T p = 46 

2 

σ(T 

) = ∑σ 

ij 

= 9, 

722 = 3118 , 

Pravdepodobnosť ukončenia do plánovaného T p = 46 

⎡Tp 

−T 

⎤ ⎡46 

− 47⎤ 

p(TP 

= 46 ) = Φ ⎢ ⎥ = Φ 

0, 

313676 

(T ) ⎢ 3188 , ⎥ = Φ − 

⎣ σ ⎦ ⎣ ⎦ 

p(T = 46 ) = Φ z = 1−Φ 

− z = 1− 

0, 

62172 = 0, 

P 

K 

[ ] 

[ ] [ ] 37828 

= 0, 

62172


Riešenie 

 

z 

Tabuľka hodnôt distribučnej funkcie normálneho rozdelenia: 

z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) 

0,00 0,5000000 0,70 0,7580363 1,40 0,9192433 2,10 0,9821356 2,80 0,9974449 

0,10 0,5398278 0,80 0,7881446 1,50 0,9331928 2,20 0,9860966 2,90 0,9981342 

0,20 0,5792597 0,90 0,8159399 1,60 0,9452007 2,30 0,9892759 3,00 0,9986501 

0,30 0,6179114 1,00 0,8413447 1,70 0,9554345 2,40 0,9918025 3,10 0,9990324 

0,40 0,6554217 1,10 0,8643339 1,80 0,9640697 2,50 0,9937903 3,20 0,9993129 

0,50 0,6914625 1,20 0,8849303 1,90 0,9712834 2,60 0,9953388 3,30 0,9995166 

0,60 0,7257469 1,30 0,9031995 2,00 0,9772499 2,70 0,9965330 3,50 0,9997674 

Φ(z) 

0,30 0,6179114 

0,31 0,6217195 

0,32 0,6255158 

0,33 0,6293000 

0,34 0,6330717 

0,35 0,6368307 

0,36 0,6405764 

0,37 0,6443088 

0,38 0,6480273 

0,39 0,6517317 

0,40 0,6554217

CPM, PERT

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?