Opis ćwiczenia nr 1

Ćwiczenie nr 1
Wyznaczanie pojemności układów elektrod walcowych
Obiektem analizy będzie zróżnicowany geometrycznie i konstrukcyjnie układ elektrod walcowych
przedstawiony na rys. A÷F. Niektóre kondensatory są uwarstwione, tzn. przestrzeń międzyelektrodowa
jest wypełniona dielektrykiem stałym, bądź też mają okładziny o różnych długościach.
Cel ćwiczenia
Należy wyznaczyć pojemność każdego układu posługując się metodami analitycznymi oraz numerycznymi.
Bezpośrednio użyta metoda analityczna ma zastosowanie tylko do niektórych z zaprezentowanych
układów a jej rozszerzenie na pozostałe przypadki wiąże się z dalszymi założeniami upraszczającymi.
Dlatego użyta zostanie metoda numeryczna oparta na metodzie elementów skończonych
(MES) z praktyczną realizacją w postaci programu Quick Field (QF). Porównanie dokładności obu
metod stanowi główny cel ćwiczenia.
oś r
r b
r a
φ b
r b
r a
φ a
A oś r
ε = 5
φ b
φ a
B
oś x
oś x
oś r
C
oś r
D
r b
φ b
r b
φ b
r a
ε = 5
φ a
r a
φ a
oś x
oś x
oś r
E
oś r
F
r b
r a
ε = 5
φ b
φ a
r b
r a
ε = 5
φ b
φ a
oś x
oś x
Rys.1. Wybrane układy elektrod walcowych
1

Zależności analityczne
Pojemność układu walcowego elektrod określa znany wzór:
gdzie: l
ra, rb
ε
2π
lε
ε
C = 0
(1)
rb
ln
r
długość układu walcowego, [m]
promień wewnętrzny i zewnętrzny okładek kondensatora, [m]
przenikalność materiału dielektryka przestrzeni międzyelektrodowej, [F/m]
Wzór ten nie uwzględnia jednak efektów krawędziowych i zakłada, że całe pole jest skupione wyłącznie
we wnętrzu przestrzeni międzyelektrodowej. W rzeczywistości pole wykracza poza układ, a
niektóre jego linie sił zamykają się również na zewnętrznych okładzinach, co oznacza że pojawia się
dodatkowa powierzchnia a wraz z nią - dodatkowy ładunek ∆Q, który powiększa pojemność układu.
Zastosowanie metody MES umożliwi analizę pola w otoczeniu kondensatora i pozwoli ocenić wielkość
popełnianego błędu z chwilą zaniedbywania efektu krawędziowego.
Przypadek A, B
Są to jedyne przypadki, w których wzór ten daje się zastosować w sposób bezpośredni, a różnica
polega tylko na zmianie wartości przenikalności dielektrycznej ε. Aby jednak zminimalizować wpływ
efektu krawędziowego, zaleca się rozważać układy geometryczne z proporcją l >> (rb - ra).
W pozostałych przypadkach konieczna jest jego adaptacja do określonych warunków zadania.
Przeszkodą staje się np. niejednakowa długość elektrod, niejednorodność środowiska wewnętrznego
czy oba te czynniki jednocześnie. W każdym z nich istnieje jednak możliwość uczynienia takich założeń,
przy których stosowalność wzoru analitycznego daje się przedłużyć.
Przypadek C
Przyjęcie założenia l >> (rb - ra) spowoduje, że linie sił pola w znacznej części układu walcowego
będą nadal równoległe do elektrod. Sprawi to, że granicę między dielektrykami będzie można z niewielkim
błędem uznać za powierzchnię ekwipotencjalną o nieznanym potencjale, a wtedy układ elektrod
daje się sprowadzić do szeregowego łączenia kondensatorów walcowych typu A i B. Czyli
C
C
A
a
C ACB
= (2)
C + C
gdzie CA,CB są pojemnościami wewnętrznych układów elektrod walcowych o różnych stałych dielektrycznych
i odpowiednio określonych promieniach r.
Przypadek D i E
Zastosowanie wzoru analitycznego nadal będzie możliwe, jeśli pojemność układu ograniczymy do
wariantu A względem elektrody krótszej, tj. l = min(la, lb). Oznacza to, że zaniedbana zostanie ta
część pola elektrostatycznego, którego linie sił wychodzą z elektrody krótszej i trafiają do elektrody
dłuższej poza przedział o długości l. Silniejszy będzie również efekt krawędziowy, którego wzór
analityczny nie bierze pod uwagę zakładając jednorodność rozkładu pola w przestrzeni. Pojemność
wyznaczona w ten sposób będzie więc mniejsza od rzeczywistej.
Przypadek F
Należy w nim zastosować kombinację poznanych już sposobów przez wydzielenie podobszarów o
pożądanych właściwościach.
gdzie:
Znane są również inne wzory analityczne służące do wyznaczenia pojemności układu elektrod:
Q
C =
U
Q - całkowity ładunek zgromadzony na jednej z elektrod, [C]
U - napięcie między elektrodami, [V]
lub wykorzystujący pojęcie energii pola elektrostatycznego:
B
(3)
2

gdzie:
2
C = (4)
W e
U
2
We - energia pola elektrostatycznego wybranej objętości przestrzeni, [J]
U - napięcie między elektrodami, [V]
Przebieg ćwiczenia
Program Quick Field (QF) wymaga kilkuetapowego działania pokazanego w postaci drzewa katalogów,
z czego najważniejsze to:
sformułowanie zadania obliczeniowego (opcja File → New → QuickField Problem)
opis geometrii (folder Geometry)
przypisanie danych (folder Data)
rozwiązanie problemu (prawy klik w drzewo katalogów Solve Problem)
wizualizacja wyników i obliczenia pomocnicze (prawy klik w drzewo katalogów View Results)
W etapie pierwszym ustala się nazwę zadania, miejsce zapisu polików, typ zadania polowego
(elektrostatyczne, magnetostatyczne, przepływowe, cieplne itd) i jego rodzaj (płasko równoległe lub
osiowo symetryczne).
W etapie drugim zadawana jest geometria ciał, przypisywane są im nazwy (Block, Edge, Vertex
Labels) i wreszcie dokonywany jest proces podziału na elementy skończone (Build Mesh). W opisie
geometrii obowiązuje zasada, że najpierw definiuje się wierzchołki (opcja Edit→ Add vertices), na
nich rozpina się krawędzie (Edges) a z tych buduje się obszary (Blocks). Każdemu z takich obiektów
nadaje się identyfikującą go nazwę (Label), dzięki której w trzecim etapie będzie można opisać jego
własności materiałowe, elektryczne czy też magnetyczne.
Z chwilą gdy zadanie zostanie w pełni opisane, wykonywany jest proces obliczeń i następuje
przejście do wizualizacji wyników. Obrazowane mogą być linie równych wielkości skalarnych (np.
linie ekwipotencjalne), wektory odpowiednich wielkości wektorowych (np. natężenia pola lub indukcji)
a także koloryzowane mapy różnorodnych innych parametrów danego pola (np. gęstości energii,
przenikalności dielektrycznych i magnetycznych).
Program umożliwia wykonanie wielu obliczeń dodatkowych (opcja Integrals), jak sił oddziaływań
polowych i ich momentów, energii pola oraz całego szeregu całek powierzchniowych i objętościowych,
które mogą być pomocne w analizie pola. Do niektórych z nich odwołuje się kreator obliczeń
pojemności (Capacitance Wizard), który znajduje pojemność układu elektrod sugerując pewne działania
zmierzające do tego celu. Wykorzystuje dwa sposoby, jeden oparty na ładunku (From Charge)
czyli w/g wzoru (3) oraz drugi - oparty na energii (From Energy).
W pierwszym przypadku skorzysta on z całki powierzchniowej oraz prawa Gaussa
∫
Q = D n ds
(5)
S
W tym celu wystarczy daną elektrodę otoczyć dowolnym, ale zamkniętym i odpowiednio zorientowanym
konturem (Close Contour). Symetria osiowa uczyni z niego obiekt przestrzenny a wyznaczony
ładunek będzie dotyczył całej elektrody walcowej. Ilustruje to poniższy rysunek
Rys.2. Otoczenie elektrody zamkniętym konturem
Wskazany układ elektrod i otoczenie jednej z nich konturem zamkniętym pozwolą wyznaczyć ładunek
Q, którego zaznaczenie przenosi jego zawartość w stosowne okno kreatora, by w kroku następnym
i ostatnim zarazem - wyznaczyć pojemność.
3

Kreator wykorzysta tę całkę również do wyznaczenia pojemności korzystając z energii pola elektrycznego
zgromadzonego między elektrodami.
Korzystniej jest jednak zorientować się w oknie podlądu wyników (View Results), jak rozłożona
jest gęstość energii pola elektrostatycznego. W tym celu należy pójść drogą: prawy klik w obraz pola→
Field Picture→ Colour map of→ Energy Density w. Obszar istotnie różniący się kolorem od tła
gromadzi energię pola i należy go otoczyć zamkniętym konutrem obejmując również obszar poza
okładkami (Rys.3)
oś symetrii
Rys.3.Obszar międzyelektrodowy oraz przyległości warte uwzględnienia w całce objetościowej
z gęstości energii
Na rysunku zaznaczono więc dodatkowe obszary, które powinny być brane pod uwagę w wyznaczeniu
energii We, poza tradycyjnie rozumianą przestrzenią międzyelektrodową. W rzeczywistości
linia przerywana powinna biec wzdłuż linii siły pola, czyli ortogonalnie do widocznych tu linii ekwipotencjalnych,
ale dla wygody nadano jej kształt prostokąta. Kontur powinien mieć tę własność, że
każda linia siły pola wychodząca z powierzchni elektrody i poza jego obrębem kończy swój bieg w
nieskończoności lub na osi symetrii obrotowej.
Sprawozdanie
W sprawozdaniu należy przytoczyć wszystkie obliczenia wzoru (3) prowadzące do wyników oczekiwanych
w poniższej tabeli.
pojemność układu [pF]
Metoda A B C D E F
Wzór (3)
C
analitycznie
Wzór (3)
C
wg kreatora
Wzór (4)
C
wg kreatora
Do sprawozdania należy dołączyć wybrane obrazy pól (prawy klik w obraz pola→ Copy Picture),
które najwygodniej jest wstawić jako grafikę w dokumencie edytora MSWord
4