Funkcija gustine verovatnoće kompozitne faze u ... - Telfor 2007

II. ANALIZAAnalitiko rešenje za pdf kompozitne faze, ,prijemnog signala u prisustvu glatkog Hoyt-ovog fedinga iAWGN nalazimo tako što usrednjavamo pdf faze zaAWGN kanal po amplitudskoj raspodeli Hoyt-ovogfedinga, tj.p()0p()f ( )dgde je p ( )uslovna pdf faze sume signala i AWGN, je trenutni snr (signal-to-noise ratio) u posmatranomkanalu, f() je pdf trenutnog snr u prisustvu Hoyt-ovogfedinga 8, (2.11), tj.22 241q (1 q ) (1 q ) f ( ) exp0(2)22204I04q q q 0 0 je srednji snr u prisustvu fedinga, parametar q imavrednost koja je u opsegu izmeu 0 i 1, a I 0 () jemodifikovana Beselova funkcija prve vrste 0-og reda.Smenom q=1 u izraz za pdf Hoyt-ovog fedinga 8, (2.10)lako je utvrditi da se Hoyt-ova raspodela svodi naRejlijevu raspodelu (tj., pdf u (2) svodi se naeksponencijalnu raspodelu), a ako je q=0 asimptotskomanalizom može se utvrditi da se Hoyt-ova raspodela svodina jednostranu normalnu raspodelu. Dakle, Hoyt-ovaraspodela se odnosi na vrlo duboke fluktacije prijemnogsignala (izmeu Rejlijevog fedinga i u graninom sluajujednostranog normalnog fedinga).Analitiki oblik za p ( )zahteva poseban komentar.Prvo, shodno osnovnom cilju formulisanom u Uvodu,p() treba da bude u obliku Furijeovog reda. To senajednostavnije može ostvariti ako p ( )ima oblik1p( ) 2 n1a n( )cosn, ,gde je a n () Furijeov koeficijent za pdf faze sume sgnala iAWGN pri snr jednakom . Drugo, u literaturi suraspoloživa tri ekvivalentna, ali meusobno formalnorazliita zapisa za koeficijent a n (); prvi zapis je na bazikonfluentne hipergeometrijske funkcije sa negativnimargumentom 9, (3.91), drugi zapis je na bazi konfluentnehipergeometrijske funkcije sa pozitivnom argumentom10, (3), i trei zapis je na bazi modifikovane Beselovefunkcije -og reda 11. Na osnovu više analitikiheksperimenata pri rešavanju integrala u (1), koristeiponaosob svaku od tri pomenute forme zapisa za a n (),koliko je ovaj autor mogao da utvrdi, jedino a n () zapisanna bazi modifikovane Beselove funkcije -og redaomoguava eksplicitno rešenje integrala u (1). Dakle, daljeradimo sa a n () iji je zapis: 1 2 2 an() e In1 In1 (4)2 2 22 2 (napomena: zapis u (4) ukljuuje i korekciju štamparskegreške koja postoji u 11, (5)).Smenom (3) u (1) dobijamo1p() b n( 0)cosn, , (5)2 n1(1)(3)gde je0) ˆ an()f ( )d (6)0b ( nFurijeov koeficijent kompozitne faze signala u prisustvuHoyt-ovog fedinga i AWGN. Smenom (2) i (4) u (6)dobijamo21q b n( 0) J (7)2q02 gde je 12 2 1 (1 ) 2ˆ exp q J 22 40 q 0 4 (1 ) q I1 1 0(8)22 24nInI 2 2 q 0Oigledno, integral J=J 1 +J 2 , gde su J 1 i J 2 integralimeusobno istog oblika , ali je J 1 J 2 . Radi preglednosti ida bi J 1(2) prepoznali kao tabline integrale 12, tom II,(2.15.20.2) uvodimo sledee oznake:n12 21 (1 q ) za J1 1 ˆ1/ 2; p ˆ1 ; ˆ 222 2q n 10 za J2 2b ˆ1/ 2; ˆ0;41qc ˆ24qLako je proveriti da je p > b+c što dozvoljava primenu12, tom II, (2.15.20.2) . Shodno 12, tom II, (2.15.20.2)postoje dve varijante oblika rešenja za J 1(2) .Prva varijata.b ( )J1(2) 2 p ( 1)2 21 b c F4, ; 1,1; , (9) 2 2 p p gde je () gama funkcija, a F 4 ( , ; , ; , ) jehipergeometrijska funkcija sa dve promenljive (Appell-ovafunkcija 4-og reda definisana u 12, tom III, (7.2.4.4) ).Lako je proverti da je (b/p)+(c/p)

Kao i u prethodnoj varijanti i ovde je J=J 1 +J 2 , pa koristei(10) i smenom u (7) dobijamo drugu varijantu analitikogizraza za Furijeov koeficijent kompozitne faze prijemnogsignala u prisustvu Hoyt-ovog fedinga i AWGN. Pošto je upraksi c/b