Lekce - Realisticky cz

2.2.9 Derivace funkcí (shrnutí)Předpoklady: 2207, 2208Pedagogická poznámka: Hodina by měla probíhat jako zcela samostatná práce studentů.Kromě kontroly projektorem nosím na tuto hodinu do třídy i několik papírůs výsledky, aby si mohli kontrolovat i Ti, kteří postupují rychleji než zbytek třídy.Není příliš pravděpodobné, že by někdo dokázal spočítat všechny příklady. Jsouřazeny přibližně podle obtížnosti, schválně jsou míchány dohromady příklady napoužití různých metod.Tato hodiny je jinak přehlídkou různých hrůz a šíleností, které se však ani taknetýkají derivací jako spíš úprav mocnin a zlomků, tedy věcí, které studenti mělidávno umět.Je zajímavé, že ani zdůrazňování dobré rady, aby se studenti vyhýbali vzorcům nasoučin a podíl nezabrání tomu, aby je většina z nich použila, protože si tím sicezkomplikují výpočet, ale vyhnou se použití pravidel, která jsou probrána před delšídobou.Ještě než začneme derivovat, shrneme si, co vše máme k dispozici:Derivace elementárních funkcí:ynx sin x cos x tg x cotg xxe1y′ n 1n ⋅ x − cos x sin xVzorce pro početní operace:′ ′ ′1cos x−2′ ′ ′( u + v)= u + v ( u − v)= u − v ( )−2sin xxexaxa ln x log axln a1xuv ′ = u′ v + uv′⎛ u ⎞′ u′ v − uv′⎜ ⎟ =2⎝ v ⎠ vVzorec pro derivaci složené funkce:⎡′⎣y ( z ( x)) ⎤⎦= y′ ( z) ⋅ z′( x)Dobré rady: Vyhýbat se vzorcům pro součin a podíl krácením, trháním zlomků aspojováním mocnin.S tímto arzenálem můžeme derivovat téměř jakoukoli rozumnou funkci.Př. 1: Urči derivace:3a) ( x − 2sin x )′⎛ 4 ⎞′b) ⎜ 3 ⎟ c)⎝ x ⎠ (32 x x )′3 2a) ( x 2sin x′⎛ ⎞ −− ) = 3x − 2cos x ´ b) ( 4x′) 4 ( 3)3 1c) (3)2 2+ d) ( 3ln − tg )4 ′3 −412⎜x3 ⎟ = = ⋅ − = −4⎝ x ⎠xx′x⎛ ⎞′x 3 x 32 + x = 2 ln 2 + ⎜ x ⎟ = 2 ln 2 + x = 2 ln 2 + x⎝ ⎠ 2 21 1 3 13ln x − tg x ′ = 3⋅ − = −x cos x x cos xd) ( )2 2x x ′1x ln a1

2( )y′′ = 3x − 4x ′= 6x− 4b)2 xy = x ⋅ e( ) ( ) ( )y′ = x ⋅ e′= x′e + x e′= 2xe + x e2 x 2 x 2 x x 2 x( ) ( )′( ) ( ) ( )y xe x e′x e x e′x′e x e′e xe xe x ex 2 x x x2 2 2 2 x 2 x x x x2 2 22 x′′ = + = + + + = + + + == 2e + 4xe + x ex x 2 x2c) y = log 2x2 1 2 ln 2 2⋅ln 2y′ = ( log2 x′) = ln 22 ( x′) = ⋅ 2x=2x x x⎛ 2⋅ln 2 ⎞′ 2⋅ln 2y′′ = ⎜ ⎟ = −2⎝ x ⎠ xPř. 5:Urči derivace:2 sin xa) ( x e )′b)2⎛ sin x ⎞′⎜ 2 ⎟⎝ x + 1 ⎠c)⎛⎜⎝2x + x + 2x ⎞′⎟⎠a)′ ′ ′( ) ( ) ( )2sin x ( ) ( ) ( )b) ⎜ 2 ⎟+( )c)= + = ⋅ +2 sin x 2 sin x 2 sin x sin x 2 sin xx e x e x e 2x e x e cos x( )( )2 2 2 2 2 2 2sin x′x 1 sin x x 1′⎛ ⎞′ + − + cos x ⋅ 2x x + 1 − sin x ⋅ 2x=22 =22⎝ x 1 ⎠ x + 1 x + 1( )⎛ 2 1 12x x 2x ⎞ ′ ′⎜ + + ⎟ = ⋅ x + x + 2x=⎝ ⎠ 22x + x + 2x1 1 ⎛ 1 1 ⎞2 1 1 ⎛ 2x+ 2 ⎞= ⋅ 1 ( x 2x′⎜ + + ) ⎟ = ⋅ ⎜1+⎟2 2 22222x + x + 2x ⎝ x + 2x ⎠ x + x + 2x⎝ 2 x + 2x⎠Př. 6:Urči derivace:sin x xa) ( e )⋅ ′b)2⎡′⎛ x + 1⎞⎤⎢sin⎜ ⎟⎥⎣ ⎝ 2 + x ⎠⎦c)⎛⎜⎝1( x)2 2sin 2 + x −1⎞′⎟⎠′ ′ ⎡ ′ ′ ⎤⎢⎣⎥⎦sin x⋅x sin x⋅x sin x⋅x sin x⋅xa) ( e ) = e ( sin x ⋅ x) = e ( sin x) ⋅ x + sin x ( x) = e ( cos x ⋅ x + sin x)b)2( + ) − ( + )2 2( x 1) ( 2 x) ( x 1)( 2 x)⎡ ′ ′ ⎤= = =⎣ ⎝ 2 + x ⎠⎦ ⎝ 2 + x ⎠⎝ 2 + x ⎠ ⎝ 2 + x ⎠( 2 + x⎢)⎣⎥⎦2 2 2 2⎡ ⎛ x + 1⎞⎤ ′ ⎛ x + 1⎞⎛ x + 1⎞ ′ ⎛ x + 1⎞+ + − + +sin cos cos⎢ ⎥⎢ ⎜ ⎟⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ 2⎥2 2 2 2 2 2⎛ x + 1⎞ 2x 2 x x 1 ⎛ x + 1⎞ 2x + 4x − x − 1 ⎛ x + 1⎞x + 4x−1= cos ⎜ ⎟ = cos cos2 ⎜ ⎟ =2 ⎜ ⎟2⎝ 2 + x ⎠ ⎝ 2 + x ⎠ ⎝ 2 + x ⎠( 2 + x) ( 2 + x) ( 2 + x)3

c)⎛ 1 ⎞′1( x)x′⎡⎤⎜( ) ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎣ ( ) ⎦1 ⎡⎤= − 2sin2( 2x) ( sin[ 2x ′])22 2 ⎢+ x =sin ( 2x)x 1 ⎣⎥⎦⎣⎡ + − ⎦⎤1= −⎡2sin2( 2x) cos( 2x)( 2x)′ + 2x⎤=2 2 ⎢sin ( 2x)x 1 ⎣⎥⎦⎣⎡ + − ⎦⎤1= − ⎡2sin 2( 2x) cos( 2x)2 2x2 2⎣⋅ + ⎤⎦⎣⎡sin ( 2x)+ x −1⎦⎤2 2= − sin 2 + − 1 =2 22 22sin 2x + x −1 ⎡sin 2x + x −1⎤Shrnutí:4