Krzywe stożkowe - pjwstk

AlgebraKrzywe stożkoweAleksander Denisiukdenisjuk@pjwstk.edu.plPolsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik KomputerowychWydział Informatyki w Gdańskuul. Brzegi 5580-045 GdańskAlgebra – p. 1

Współrzędne biegunoweAρO• O — biegun• Oś biegunowa gθg• Kierunek odliczania katów˛• (ρ,θ) współrzędnebiegunoweAlgebra – p. 3

Równanie krzywej we współrzędnych biegunowych• ϕ(ρ,θ) = 0Przykład 1 (Okrag). ˛ ρ = 2RcosθAOθA 0Algebra – p. 4

Współrzędne biegunowe a kartezjańskie• x = ρcosθ, y = ρsinθAlgebra – p. 5

Równanie prostej we współrzędnych biegunowych• ax+by +c = 0, c < 0• ρcos(α−θ) = ρ 0 , gdzie◦ cosα =a √a2 +b 2 ,◦ sinα =b √a2 +b 2 ,◦ ρ 0 = − c √a2 +b 2 , Algebra – p. 6

Krzywa stożkowa• Krzywa˛stożkowa˛nazywa się krzywa, powstała naprzecięciu stożka i płaszczyzny.Algebra – p. 7

Ogniska i kierownice• Każda krzywa˛stożkowa, ˛ oprócz okręgu, jest miejscemgeometrycznym punktów, majacych ˛ stały stosunekodległości od pewnego punktu F i pewnej prostej δ• Punkt F nazywa się ogniskiem krzywej• Prosta δ nazywa się kierownica˛krzywejAlgebra – p. 8

Ogniska i kierownice, cd• FM = BM,• AM = h/sinα, BM = h/sinβ• FMAM = BMAM = sinαsinβ = λ• λ nazywa się mimośrodemAlgebra – p. 9

Klasyfikacja krzywych stożkowych• W zależności od mimośrodu λ, krzywa stożkowa nazywa się◦ elipsa λ < 1◦ parabola λ > 1◦ hyperbola λ > 1 — składa się z dwóch gałęziAlgebra – p. 10

Równanie we współrzędnych biegunowych• Niech biegun pokrywa się z ogniskiem krzywej, a ośbiegunowa będzie przecinała prostopadle kierownicę• Niech p będzie odległościa˛ogniska od kierownicy• W przypadku elipsy i paraboli• W przypadku hiperboliρp−ρcosθ = λρp−ρcosθ = ±λ• W postaci rozwiazanej ˛ względen ρ:◦ W przypadku elipsy i paraboli ρ =◦ W przypadku hiperboli ρ = ±λp1±λcosθλp1+λcosθAlgebra – p. 11

Równanie we współrzędnych kartezjańskich• ρ 2 = λ 2 (p−ρcosθ) 2• x 2 +y 2 = λ 2 (p−x) 2• (1−λ) 2 x 2 +2pλ 2 x+y 2 −λ 2 p 2 = 0• λ ≠ 1◦ (1−λ 2 )(x+ pλ21−λ 2 ) 2+y 2 − p2 λ 21−λ 2 = 0◦ Nowe współrzędne: x ′ = x+ pλ21−λ 2 , y ′ = y• Elipsa: x′2a 2 + y′2b 2 = 1• Hiperbola: x′2a 2 − y′2b 2 = 1◦ gdzie a 2 = λ2 p 2(1−λ 2 ) 2 , b 2 = λ2 p 2|1−λ 2 | — półosie◦ równanie kanoniczneAlgebra – p. 12

Równanie kanoniczne paraboli• (1−λ) 2 x 2 +2pλ 2 x+y 2 −λ 2 p 2 = 0• λ = 1◦ 2px+y 2 −p 2 = 0◦ y 2 −2p ( −x+ p 2)= 0◦ Nowe współrzędne: x ′ = −x+ p 2 , y′ = y◦ y ′2 −2px ′ = 0Algebra – p. 13

Właściwości elipsy• x2a 2 + y2b 2 = 1, a > b > 0• Symetria względem osi i środka układu współrzędnych• Elipsa zawarta jest wewnatrz ˛ prostokatu ˛ |x| a,|y| b• a nazywa się większa˛półosia, ˛ b — mniejsza˛półosia.˛• Punkty (±a,0), (0,±b) — wierzchołki elipsyAlgebra – p. 14

Elipsa a okrag˛• Elipsa może zostać otzrymana z okręgu x2a 2 + y2b 2 = 1 poprzezskalowanie w kirunku osi Oy ze współczynnikiem b a < 1 Algebra – p. 15

Właściwości hiperboli• x2a 2 − y2b 2 = 1, a,b > 0• Symetria względem osi i środka układu współrzędnych• Hiperbola znajduje się na zewnatrz ˛ od prostokatu˛|x| a,|y| b• Hiperbola jest położona poza katem ˛|x|a < |y|b• a nazywa się rzeczywista˛półosia, ˛ b — półosia˛urojona.˛• Punkty (±a,0) — wierzchołki hiperboliAlgebra – p. 16

Asymptoty hiperboli• Proste x a ± y b = 0 s a ˛ asymptotami hiperboli• Odległość od punktów hiperboli do asymptot dazy ˛ do żeraprzy x 2 +y 2 → ∞◦ Niech punkt (x,y) leży na hiperboli◦ Liczby ∣ ∣xa + y bodległości∣∣ oraz ∣ ∣xa − y b∣ = 1◦ ∣ ∣xa + y ∣·∣ ∣ xb a − y b◦ Załóżmy, że odległości nie d ˛∣ sa˛proporcjonalne doaza˛do zera, wtedy istniejetaka liczba ε > 0, że dla wszystkich punktów (x,y)hiperboli spełniono ∣ ∣xa + y ∣∣b > ε oraz xa − y ∣b > ε◦ A więc ∣ ∣xa + y ∣b

Hiperbola sprzężona• Hiperbola x2a− y22 b= −1 nazywa się sprzężona˛do hiperboli2x 2a− y22 b= 1 2◦ Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona maja˛wspólneasymptoty◦ Hiperbola sprzężona znajduje się w katach˛uzupełniajacych˛Algebra – p. 18

Parabola• y 2 = 2px◦ Parabola jest symetryczna względem osi Ox◦ Oś symetrii nazywa się osia˛paraboli◦ Przecięcie osi z parabola˛nazywa się wierzchołkiemparaboliAlgebra – p. 19

Styczna do krzywej w punkcie(x 0 ,y 0 )• Styczna˛do krzywej stożkowej (x 0 ,y 0 ) nazywa się prosta,która ma z nia˛dokładnie jeden punkt przecięcia (i nie jestrównoległa do osi dla paraboli)• Sens geometryczny stycznej: graniczne położeniesiecznych przechodzacych ˛ przez punkty (x 0 ,y 0 ) i (x 1 ,y 1 )gdy punkt (x 1 ,y 1 ) daży ˛ do (x 0 ,y 0 )• Można podstawić równanie parametryczne prostej,wychodzacej ˛ z punktu (x 0 ,y 0 ) do równania krzywej:◦ styczna do paraboli yy 0 = p(x+x 0 )◦ styczna do elipsy xx 0a+ yy 02 b= 1 2◦ styczna do hiperboli xx 0a− yy 02 b= 1 2Algebra – p. 21

Właściwości ogniskowe• Elipsa i hiperbola maja˛drugie ognisko i druga˛kierownicę• Suma odległości punktów elipsy od ognisk jest stała• Różnica odległości punktów hiperboli od ognisk jest stała• Ogniska elipsy maja˛współrzędne (0,±c), c = √ a 2 −b 2• Ogniska hiperboli maja˛współrzędne (0,±c), c = √ a 2 +b 2• Promień świetlny wychodzacy ˛ z jednego ogniska elipsy poodbiciu od krawędzi przejdzie przez drugie ognisko• Promień świetlny wychodzacy ˛ z jednego ogniska hierboli poodbiciu od krawędzi będzie pokrywał się z promieniem,wychodzacycm ˛ z drugiego ogniska• Promień świetlny wychodzacy ˛ z ogniska paraboli po odbiciuod krawędzi będzie równoległy do jej osiAlgebra – p. 22

Średnice krzywej stożkowe• Średnica˛elipsy (hiperboli) nazywamy odcinek,przechodzacy ˛ przez jej środek• Średnica˛paraboli jest prosta, równoległa do jej osi.• Środki równoległych siecznych znajduja˛się na średnicy1. Sieczna jest równoległa do osi współrzędnych2. y = kx+b, k ≠ 0, elipsa (hiperbola) αx 2 +βy 2 = 1◦ y c = − α βk x c◦ średnica y = − α βkx jest sprzężona do średnicy y = kx3. y = kx+b, k ≠ 0, parabola◦ y c = p k = const Algebra – p. 23

Krzywe drugiego stopnia• a 11 x 2 +2a 12 xy +a 22 y 2 +2a 1 x+2a 2 y +a = 0, przynajmniejjeden ze współczynników a 11 , a 12 , a 22 jest niezerowy.• Niepusta krzywa drugiego stopnia:◦ krzywa stożkowa◦ dwie proste (być może porywajace ˛ się)◦ punktAlgebra – p. 24