univerzita komenského v bratislave efektívny ... - fyzikazeme.sk

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVEFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKYEFEKTÍVNY VÝPOČET SEIZMICKÉHO POHYBUMETÓDOU KONEČNÝCH ELEMENTOVDIZERTAČNÁ PRÁCABRATISLAVA 2008Mgr. MARTIN BALAŽOVJECH

Efektívny výpočet seizmického pohybumetódou konečných elementovDIZERTAČNÁ PRÁCAMgr. Martin BalažovjechUniverzita Komenského v BratislaveFakulta matematiky, fyziky a informatikyKatedra astronómie, fyziky Zeme a meteorológie4.1.9 GEOFYZIKAŠkoliteľ: prof. RNDr. Peter Moczo, DrSc.Bratislava 2008

PoďakovanieZa odborné vedenie, podporu, cenné rady a diskusie v doktorandskom štúdiu ďakujemmôjmu školiteľovi prof. RNDr. Petrovi Moczovi, DrSc. Ďakujem Doc. RNDr. LadislavoviHaladovi, CSc. za odbornú pomoc, spoluprácu a cenné rady v priebehu celejpráce. Ďakujem aj Mgr. Martinovi Gálisovi, PhD. za užitočné diskusie a numerickétesty, prof. RNDr. Jánovi Pišútovi, DrSc. za pomoc a cenné rady, RNDr. Petrovi Pažákoviza ochotu a pomoc pri riešení technických problémov. Ďakujem kolegom z Katedryastronómie, fyziky Zeme a meteorológie FMFI UK za vytvorenie tvorivého prostredia,za ich podporu a porozumenie.

AbstraktMgr. Martin BalažovjechEfektívny výpočet seizmického pohybumetódou konečných elementovUniverzita Komenského v BratislaveFakulta matematiky, fyziky a informatikyKatedra astronómie, fyziky Zeme a meteorológieŠkoliteľ: prof. RNDr. Peter Moczo, DrSc.Bratislava 2008?? stránPredkladaná dizertačná práca je venovaná riešeniu pohybovej rovnice kontinua metódoukonečných elementov (MKE) s cieľom vytvoriť výpočtový algoritmus, ktorý budeefektívnejší ako známe algoritmy z hľadiska výpočtového času a pamäti.V úvodnej časti sú vysvetlené dve formulácie MKE. Formulácia s maticou tuhosti aformulácia s vektorom vratnej sily. Formulácia s maticou tuhosti má vysoké nároky naoperačnú pamäť počítača ale nízke nároky na výpočtový čas. Formulácia s vektoromvratnej sily má naopak nízke nároky na operačnú pamäť počítača ale vysoké nárokyna výpočtový čas.V hlavnej časti predkladanej dizertačnej práce navrhujeme nový spôsob výpočtu voformulácii MKE s vektorom vratnej sily, ktorý výrazne redukuje nároky na výpočtovýčas pri zachovaní nárokov na operačnú pamäť počítača. Hlavná myšlienka urýchleniavýpočtu spočíva v použití nových bázových funkcií, ktoré umožňujú využiť vo výpočtee-invarianty. e-invariantmi sme nazvali nové efektívne parametre, ktoré eliminujú nadbytočnúinformáciu vo výpočte vratnej sily a znižujú tak celkový počet operácií.Kľúčové slová:metóda konečných elementov, e-invarianty, ortogonálnabáza, vektor vratnej sily

PredhovorJednou zo zásadných úloh seizmológie je predpoveď seizmického pohybu na záujmovejlokalite počas budúcich zemetrasení. Seizmický pohyb povrchu Zeme je spôsobený seizmickýmivlnami. Seizmické vlny sú vlny, ktoré sa šíria v zemskom telese. Sú generovanépri vzniku a šírení trhliny na seizmoaktívnom zlome.Vnútro Zeme možno z hľadiska šírenia seizmických vĺn považovať za viskoelastickékontinuum. Charakteristické časy pri vzniku a šírení trhliny a následné periódy seizmickýchvĺn sú relatívne krátke. Dominantným je preto elastické správanie vnútraZeme. Nemožno však zanedbať útlm v dôsledku viskoelasticity. Šírenie vĺn v elastickomalebo viskoelastickom kontinuu sa riadi pohybovou rovnicou kontinua. Vzhľadomna to, že povrch Zeme má zložitú topografickú štruktúru a vnútro Zeme je nehomogénne,riešime pohybovú rovnicu kontinua približnými metódami. V prípade seizmickéhopohybu povrchu Zeme spôsobeného zemetraseniami sú najdôležitejšie numerickémetódy. Stručnú ale výstižnú charakteristiku numerického modelovania seizmickéhopohybu možno nájsť napríklad v práci Moczo a Kristek (2004).Numerické metódy používané v seizmológii možno rozdeliť do troch hlavných skupín:1. hraničné metódy,2. doménové metódy,3. hybridné metódy.Do prvej skupiny patria napr. metóda hraničných elementov a metóda diskrétnychvlnových čísiel. Do druhej skupiny patria napr. metóda konečných elementov (MKE),metóda spektrálnych prvkov a metóda konečných diferencií (MKD). Do tretej skupinypatria rôzne kombinácie individuálnych metód.Hraničné metódy sú presnejšie ako doménové, ale prakticky ich môžeme použiť v prípadejednoduchých modelov, ktoré pozostávajú len z dvoch-troch homogénnych vrstiev.V prípade dostatočne realistických modelov, ktoré sú štrukturálne zložité, používamedoménové metódy, ako sú MKD a MKE. V súčasnosti je dominantná metóda MKD,ktorá je časovo a pamäťovo veľmi efektívna a tiež aplikovateľná na zložité modely.Podrobný výklad možno nájsť napr. v monografiách Moczo et al. (2004, 2007a, 2007b).

MKD má problémy so splnením okrajových podmienok na povrchu Zeme, ktorý mázložitú topografiu. MKE tieto problémy nemá. V úvode dizertačnej práce podrobnevysvetlíme dve formulácie riešenia pohybovej rovnice kontinua pomocou MKE:1. formuláciu s maticou tuhosti,2. formuláciu s vektorom vratnej sily.Formulácia s maticou tuhosti si vyžaduje príliš veľkú počítačovú pamäť a pre veľké aštrukturálne zložité modely je nepoužiteľná. V takomto prípade používame formulácius vektorom vratnej sily, ktorá má nízke nároky na počítačovú pamäť ale extrémnevysoké nároky na výpočtový čas. Hlavná časť dizertačnej práce pojednáva o algoritme,ktorý redukuje nároky na výpočtový čas v MKE formulácii s vektorom vratnej sily.

Obsah1 Úvod - súčasný stav problematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1 Numerické modelovanie seizmického pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Metóda konečných elementov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Pohybová rovnica kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Formulácia MKE s maticou tuhosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Diskretizácia oblasti na podoblasti (elementy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Diskretizácia priestorovej časti pohybovej rovnice pre element . . . . . . 211.4.3 Vytváranie rovnice pre celú oblasť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.4 Riešenie rovnice pre celú oblasť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.5 Problém s operačnou pamäťou počítača . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.6 Výpočet diagonálnej matice hmotnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Formulácia MKE s vektorom vratnej sily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.1 Lokálny vektor vratnej sily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.2 Výpočet lokálneho vektora vratnej sily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.3 Vektor vratnej sily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Ciele dizertačnej práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Výsledky dizertačnej práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1 e-invarianty v 1D probléme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.1 Transformačná matica e-invariantov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.2 Výpočet lokálneho vektora vratnej sily s využitím e-invariantov . . . . . . . 383.1.3 Algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Lokálny vektor vratnej sily v 2D probléme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.1 Výpočet lokálneho vektora vratnej sily . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.2 Algoritmus bez využitia e-invariantov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.3 Výpočet lokálneho vektora vratnej sily s využitím e-invariantov . . . . . . 493.2.4 Transformácia do e-invariantov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.5 Algoritmus s využitím e-invariantov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3 Lokálny vektor vratnej sily v 3D probléme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.1 Algoritmus bez využitia e-invariantov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.2 e-invarianty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.3 Algoritmus s využitím e-invariantov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Prípad elementu v tvare kocky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.1 Algoritmus s využitím e-invariantov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5 Porovnanie výpočtových algoritmov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6 Zahrnutie realistického útlmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Literatúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Zoznam obrázkov1.4.1 Diskretizácia oblasti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Lokálny vektor vratnej sily. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.3 Spájanie elementov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.4 Aproximácia časti kontinua s jednotkovou plochou medzi uzlami x 1 a x 2nehmotnou pružinou so závažiami na oboch koncoch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.5 Fyzikálny model diskretizovaného elastického 1D prostredia s diagonálnoumaticou hmotnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.1 Ilustrácia alternatívneho spôsobu výpočtu vektora vratnej sily. . . . . . . . . . . . . 293.1.1 e-invarianty v 1D probléme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.1 Bilineárna transformácia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 Bilineárna transformácia a e-invarianty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6.1 Reologický model genaralizovaného Maxwellovho telesa v definícii Emmericha Korn (1987) − GMB-EK. Pružina predstavuje Hookove elastické telesoa tlmič predstavuje Stokesove viskózne teleso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Zoznam tabuliek3.5.1 Porovnanie počtov aritmetických operácií v 2D algoritmoch. . . . . . . . . . . . . . 903.5.2 Porovnanie počtov aritmetických operácií v 3D algoritmoch. . . . . . . . . . . . . . 903.5.3 Porovnanie výpočtových časov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Úvod - súčasný stav problematiky1 Úvod - súčasný stav problematiky1.1 Numerické modelovanie seizmického pohybuSeizmický pohyb je vibračný mechanický pohyb povrchu Zeme počas zemetraseniaspôsobený seizmickými vlnami. Seizmické vlny sú generované pri šírení trhliny na zlome.Keďže k vzniku a šíreniu trhliny dochádza v hĺbkach 1 až 10 km pod povrchomZeme a porušená časť zlomu môže byť rádovo 10 0 až 10 5 km 2 , priamy riadený fyzikálnyexperiment nie je možný. Priame merania seizmického pohybu sú obmedzené na povrchZeme a takmer celá informácia o šírení trhliny a šírení seizmických vĺn je zakódovanáv záznamoch seizmometrov. Zložitosť procesu šírenia trhliny na zlome a vnútornejštruktúry Zeme neumožňuje použiť na výpočet seizmického pohybu analytické metódy.Preto je nástrojom na výpočet seizmického pohybu numerické modelovanie zlomovéhoprocesu a následného šírenia seizmických vĺn.Na kvantitatívny popis procesu šírenia trhliny na zlome, šírenia seizmických vĺn vZemi a seizmického pohybu zemského povrchu používame ako model lineárne elastické,prípadne viskoelastické kontinuum.Numerické metódy riešenia možno rozdeliť do troch hlavných skupín:1. hraničné metódy,2. doménové metódy,3. hybridné metódy.Hraničné metódy (napr. metóda diskrétnych vlnových čísel, Bouchon, 1981) súpomerne presné, avšak aplikovateľné len na veľmi jednoduché modely.Medzi doménové metódy patria: metóda konečných elementov (napr. Serón et al.,1989; Bielak et al., 2003; Yoshimura et al., 2003), metóda konečných diferencií (napr.Moczo et al. 2004, 2007a, 2007b), metóda spektrálnych elementov (napr. Komatitscha Tromp, 1999; Chaljub et al., 2007) alebo ADER-DG metóda (napr. Käser a Dumbser,2006; Dumbser a Käser, 2006; Käser et al., 2007; de la Puente et al., 2007; Dumbseret al., 2007). Doménové metódy sú menej presné ako hraničné metódy, ale sú aplikovateľnéaj na zložité realistické modely.15

Úvod - súčasný stav problematikyHybridné metódy sú také kombinácie dvoch alebo viacerých metód, v ktorých sa eliminujúnevýhody a súčasne využijú výhody jednotlivých metód. Príklady hybridnýchmetód možno nájsť napr. v nasledujúcich prácach: Alexeev a Mikhailenko (1980), Emmerich(1989), Gaffet a Bouchon (1989), Emmerich (1992), Bouchon a Coutant (1994),Robertsson (1996), Zahradník a Moczo (1996), Moczo et al. (1997).1.2 Metóda konečných elementovMetóda konečných elementov (MKE) je variačná numerická metóda na riešenie parciálnychdiferenciálnych rovníc. Za jej historický začiatok sa považuje práca Courant(1943). MKE možno bližšie charakterizovať ako Ritzovu alebo Galerkinovu metódu, vktorej riešenie rovnice na danej oblasti je aproximované funkciami, ktoré sú po častiachpolynomiálne. Jednotlivé podoblasti, na ktorých sú funkcie polynómy, sa nazývajú elementy.Elementy môžu mať rôzny tvar a veľkosť, čo umožňuje efektívnejšie pokryť výpočtovúoblasť. Rôzny tvar elementov umožňuje pokryť oblasť s komplikovanou geometriou.Rôzna veľkosť elementov umožňuje použiť menšie elementy na pokrytie tej častioblasti, kde je potrebná vyššia presnosť výpočtu. Vyššiu presnosť výpočtu však možnodosiahnuť aj zvýšením rádu polynómu, ktorý predstavuje aproximované riešenie nadanom elemente. V niektorých prípadoch, keď všetky elementy majú rovnakú veľkosťa tvar, dostaneme pomocou MKE a MKD rovnakú výslednú sústavu lineárnych algebraickýchrovníc.V seizmológii používame MKE na výpočet šírenia trhliny a seizmických vĺn. Navýpočet šírenia seizmických vĺn aplikovali MKE napr. Lysmer a Drake (1971, 1972),Smith (1974, 1975), Day (1977), Serón et al. (1989), Toshinawa a Ohmachi (1992), Bao(1998), Bao et al. (1998), Aagaard et al. (2001), Bielak et al. (2003), Yoshimura et al.(2003), Ma a Liu (2006).Na skúmanie šírenia trhliny na seizmickom zlome použili MKE napr. Andrews(1999), Oglesby (1999), Oglesby et al. (1998, 2000).V nasledujúcom texte budeme podrobnejšie analyzovať prípad šírenia seizmickýchvĺn v dokonale elastickom prostredí.16

Pohybová rovnica kontinua1.3 Pohybová rovnica kontinuaŠírenie vĺn v elastickom prostredí sa riadi pohybovou rovnicou kontinua. Najskôr sabudeme zaoberať šírením pozdĺžnej rovinnej vlny v smere osi x. Analyzujeme teda 1Dproblém pohybovej rovniceρu x , tt = τ xx , x + f x . (1.3.1)Rovnica (1.3.1) vyjadruje fakt, že v každom bode elastického kontinua sú v rovnováhetri sily pôsobiace na jednotkový objem kontinua: hustota zotrvačnej sily, hustota vratnejsily a hustota externej sily.1. hustota zotrvačnej sily je ρ u x , tt , kde ρ je hustota, u x je posunutie v x-ovomsmere a u x , tt je druhá derivácia posunutia podľa času v bode x.2. hustota vratnej sily r x = τ xx , x je derivácia tenzora napätia podľa x−ovej súradnicea vyjadruje reakciu kontinua na deformáciu. Tenzor napätia τ xx je sila pôsobiacakolmo na jednotkovú plochu v smere osi x. Pre elastické kontinuum je napätie danéHookovým zákonomτ xx = (λ + 2µ) u x , x , (1.3.2)kde λ a µ sú Laméove elastické parametre prostredia.3. hustota externej sily f x je sila, ktorá pochádza od vonkajších zdrojov a môže tiežreprezentovať seizmický zdroj.Rovnicu (1.3.1) riešime v oblasti ¯Ω = Ω ∪ Γ = 〈0, L〉 kde Ω = (0, L) reprezentujevnútro a Γ hranicu oblasti x = 0 a x = L. Podmienky riešenia rovnice (1.3.1)môžu byť okrajové (Dirichletove, Neumannove) a počiatočné.Dirichletove podmienky predpisujú hodnoty posunutia na hranici:u x (0, t) = d 0 , u x (L, t) = d L . (1.3.3)Neumannove podmienky predpisujú napätia na hranici:τ xx (0, t) = τ 0 , τ xx (L, t) = τ L . (1.3.4)Vzťahy vyjadrujú rovnováhu napätia medzi vnútrom a hranicou. V nasledujúcom textebudeme uvažovať Neumannove okrajové podmienky.17

Úvod - súčasný stav problematikyPočiatočné podmienky predpisujú posunutiau x (x, 0) = u 0 (x); ∀(x) ∈ Ω, t = 0 (1.3.5)a rýchlostiu x (x, 0), t = v 0 (x); ∀(x) ∈ Ω, t = 0 (1.3.6)v oblasti Ω v čase t = 0.Rovnica (1.3.1) je splnená práve vtedy, ak má nulový reziduál R x , tj. ak platíR x = ρu x , tt − τ xx , x − f x = 0. (1.3.7)Aby to tak bolo, musí byť R x ortogonálny k celému priestoru funkcií s bázou w i ∈{w 1 , w 2 , w 3 , ..., w ∞ }, v ktorom hľadáme riešenie, teda musí platiť∫ L0(w i R x ) dx = 0 , (1.3.8)kde i ∈ {1, 2, 3, ..., ∞}. Po dosadení (1.3.7) do (1.3.8) dostaneme integrálnu silnúformu pohybovej rovnice (1.3.1)∫ L0(w i ρu x , tt − w i τ xx , x − w i f x ) dx = 0 . (1.3.9)Štandardnou úpravou takýchto rovníc je prenesenie priestorovej derivácie zo zložkytenzora napätia na bázové funkcie w i pomocou vzťahuw i τ xx , x = (w i τ xx ), x − w i , x τ xx . (1.3.10)Pravú stranu rovnice (1.3.10) dosadíme do (1.3.9) a dostaneme∫ L0Integrál (1.3.11) rozdelíme,[w i ρu x , tt − (w i τ xx ), x + w i , x τ xx − w i f x ] dx = 0 . (1.3.11)∫ L0(w i ρu x , tt + w i , x τ xx − w i f x ) dx −∫ L0[(w i τ xx ), x ] dx = 0 (1.3.12)a na druhú časť rovnice aplikujeme divergenčnú teorému:∫ L0[(w i τ xx ), x ] dx = [w i τ xx ] L 0 . (1.3.13)18

Formulácia MKE s maticou tuhostiAk do pravej strany rovnice (1.3.13) dosadíme Neumannove okrajové podmienky (1.3.4)môžeme rovnicu (1.3.12) vyjadriť v tvare slabej formy v posunutí a napätí (displacementstress weak form):∫ L0(w i ρu x , tt + w i , x τ xx − w i f x ) dx = [ w i (L) τ L − w i (0)τ 0 ] . (1.3.14)Ak dosadíme za tenzor napätia vzťah (1.3.2), dostaneme tvar slabej formy v posunutí(displacement weak form):∫ L0[ w i ρ u x , tt + w i , x (λ + 2µ) u x , x − w i f x ] dx = [ w i (L) τ L − w i (0) τ 0 ] .(1.3.15)Dostali sme vyjadrenie pohybovej rovnice v slabej forme. Tieto vzťahy predstavujúzákladné rovnice pre numerické riešenie 1D problému pomocou konečných elementov.V ďalšom sa budeme zaoberať postupom výpočtu pre formuláciu (1.3.15).1.4 Formulácia MKE s maticou tuhostiPostup v prípade numerického riešenia pohybovej rovnice (1.3.15) metódou konečnýchelementov môžeme rozdeliť do štyroch základných krokov :1. diskretizácia oblasti na podoblasti (elementy )Ω e ,2. diskretizácia priestorovej časti pohybovej rovnice na každom elemente,3. vytváranie rovnice pre celú oblasť,4. riešenie rovnice pre celú oblasť.1.4.1 Diskretizácia oblasti na podoblasti (elementy)Diskretizácia oblasti alebo generovanie konečno-elementnej siete znamená, že oblasť¯Ω = 〈0, L〉 rozdelíme na podoblasti (elementy) Ω e= 〈x j , x j+1 〉 určené polohamiuzlových bodov {x 0 , x 1 , x 2 , ..., x j , ..., x L }, kde e je číslo elementu. Inými slovami,elastické kontinuum rozdelíme rovinami kolmými na os x na rôzne dlhé časti s rôznymimateriálovými parametrami, tak ako je to znázornené na Obr.1.4.1.Následne vyjadríme rovnicu (1.3.15) všeobecne pre ľubovoľný element e,19

Úvod - súčasný stav problematikyELEMENTh= x 2 x 1x 0 x 1 x 2 x 3 x LObr. 1.4.1.Diskretizácia oblasti.∫ xj+1[ w i ρu x , tt + w i , x (λ + 2µ) u x , x − w i f x ] dx = [ w i (L)τ j+1 − w i (0)τ j ] ,(1.4.1)kde τ j+1 , τ j sú napätia na hranici elementu.Nech x je globálna súradnica a ξ lokálna súradnica. Na zobrazenie medzi nimipoužijeme lineárne bázové funkcieb =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ b 1⎦ = 1 (1 − ξ)⎣ ⎦ .b 22 (1 + ξ)(1.4.2)Pomocou bázových funkcií transformujeme body ξ z jednotkového intervalu 〈−1, +1〉na body x, ktoré ležia na na intervale 〈x j , x j+1 〉. Pre lepšiu prehľadnosť zápisu môžemeuvažovať konkrétny element, napr. j = 1. Okraje intervalu potom budú v uzlovýchbodochx = [x 1 , x 2 ] T . (1.4.3)Transformáciu vyjadríme ako skalárny súčin vektora bázových funkcií (1.4.2) s vektoromsúradníc uzlových bodov (1.4.3),x = b T x = b 1 x 1 + b 2 x 2 , (1.4.4)pričom Jacobián transformácie jeJ = x, ξ = b 1 , ξ x 1 + b 2 , ξ x 2 = − 1 2 x 1 + 1 2 x 2 = h 2 , (1.4.5)kde h = x 2 − x 1 je dĺžka elementu.Na aproximáciu riešenia pre element použijeme Lagrangeov interpolačný polynómgenerovaný rovnakými bázovými funkciami,20

Formulácia MKE s maticou tuhostiu x = b T u x = b 1 u x1 + b 2 u x2 (1.4.6)kde u x = [u x1 , u x2 ] T sú x−ové časovo závislé hodnoty riešenia vo vrcholoch (uzloch).V takomto prípade ide o tzv. izoparametrickú reprezentáciu, tj. reprezentáciu polohovéhovektoa a vektora posunutia pomocou rovnakých bázových funkcií. Môžeme tedadefinovať vektorc =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡⎤⎣ x ⎦ = ⎣ x 1 x 2⎦⎣ b 1⎦ = Vb. (1.4.7)u x u x1 u x2 b 2Derivácie prvkov vektora c podľa ľubovoľnej priestorovej súradnice vyjadríme pomocouderivácií bázových funkciíc, x = Vb, x , c, ξ = Vb, ξ . (1.4.8)1.4.2 Diskretizácia priestorovej časti pohybovej rovnice pre elementAk priestor váhových funkcií w i v rovnici (1.4.1) vyjadrenej pre element nahradímezložkami vektora b, dostaneme∫ 1−1[bb T ρu x , tt + (λ + 2µ) b, x b Ț x u x − bf x]x,ξ dξ =⎡⎤⎣ (b 1(1)τ 2 − b 1 (−1)τ 1 )⎦ .(b 2 (1)τ 2 − b 2 (−1)τ 1 ),(1.4.9)Hodnoty u x , tt , u x sú nezávislé od ξ , môžeme ich teda vybrať pred integrál,∫ 1(ρbbT ) x, ξ dξ u x , tt+=−1∫ 1−1∫ 1−1[(λ + 2µ) b,x b Ț x⎡(bf x ) x, ξ dξ +]x,ξ dξ u x⎤⎣ −τ 1⎦ .+τ 2 ,(1.4.10)Postupne vypočítame integrály v rovnici (1.4.10), pričom materiálové parametre budemeuvažovať konštantné. Ak vypočítame prvý integrál⎛ ⎡ ⎤ ⎞ ⎡ ⎤∫ 1( ) ∫ 1ρbbTx, ξ dξ = ⎝ρ ⎣ b 1b 1 b 1 b 2⎦ h ⎠ dξ = ρh ⎣ 2 1 ⎦, (1.4.11)−1−1 b 2 b 1 b 2 b 22 6 1 2dostaneme maticu hmotnostiM e = ρh 6⎡ ⎤⎣ 2 1 ⎦ , (1.4.12)1 221

Úvod - súčasný stav problematikykde m = ρh je hmotnosť časti kontinua medzi bodmi x 1 a x 2 , ktorá je znázornenána Obr. 1.4.1 a má jednotkový prierez. Teraz rozpíšeme druhý integrál⎛ ⎡⎤⎞∫ 1∫[ ] 1(λ + 2µ) b,x b Ț x x,ξ dξ = ⎝(λ + 2µ) ⎣ b 1, x b 1 , x b 1 , x b 2 , x⎦⎠ x, ξ dξ .−1−1b 2 , x b 1 , x b 2 , x b 2 , x(1.4.13)Vzhľadom na to, že b 1 , x = b 1 , ξ ξ, x a b 2 , x = b 2 , ξ ξ, x , dostaneme pre vzťah (1.4.13)⎛ ⎡⎤⎞∫ 1⎝(λ + 2µ) ⎣ b 1, ξ ξ, x b 1 , ξ ξ, x b 1 , ξ ξ, x b 2 , ξ ξ, x⎦⎠ x, ξ dξ . (1.4.14)−1b 2 , ξ ξ, x b 1 , ξ ξ, x b 2 , ξ ξ, x b 2 , ξ ξ, xAk vypočítame integrál (1.4.14), dostaneme maticu tuhosti⎡ ⎤K e (λ + 2µ) +1 −1= ⎣ ⎦ , (1.4.15)h −1 +1kde k = (λ+2µ)hje koeficient tuhosti kontinua medzi bodmi x 1 a x 2 s jednotkovýmprierezom, pozri Obr. 1.4.1. V rovnici (1.4.10) vystupuje súčin matice tuhosti K esvektorom posunutia u xK e u x =⎡ ⎤⎡⎤+k −k⎣ ⎦⎣ u x1⎦ =−k +k u x2⎡⎤⎣ −k(u x2 − u x1 )⎦ . (1.4.16)k(u x2 − u x1 )Ak tuhosťou časti kontinua k vynásobíme zmenu jeho dĺžky (u x2 − u x1 ), dostanemesilu v dôsledku deformácie. Teda vratnú silu, znázornenú na Obr.1.4.2, ktorá sa snažívrátiť uvažovanú časť kontinua späť do pôvodnej nedeformovanej podoby. Vektor, ktorýdostaneme, ak vynásobíme K e s u x , sa nazýva lokálny vektor vratnej sily⎡ ⎤⎡⎤ ⎡ ⎤+k −kr e = K e u x = ⎣ ⎦⎣ u x1⎦ = ⎣ r x1⎦ . (1.4.17)−k +k u x2 r x2Lokálny vektor vratnej sily sa viaže na deformáciu konkrétneho elementu a nezávisí oddeformácie susedných elementov. V treťom integráli rovnice (1.4.10) interpolujeme hustotuexterných síl f x = b 1 f(x 1 ) + b 2 f(x 2 ) pomocou bázy b 1 , b 2 . Pre funkčné hodnotyhustoty externých síl f(x 1 ) a f(x 2 ), ktoré pôsobia v bodoch x 1 a x 2 , dostaneme⎛⎡⎤⎞∫ 1∫ 1(bf x ) x, ξ dξ = ⎝⎣ b 1b 1 f(x 1 ) + b 1 b 2 f(x 2 )⎦⎠ h dξ (1.4.18)−1−1 b 2 b 1 f(x 1 ) + b 2 b 2 f(x 2 ) 222

Formulácia MKE s maticou tuhostinedeformované kontinuumv rovnovánej polohedefomované kontinuumr x1r x2x 1 x 2u x1u x2Obr. 1.4.2.Lokálny vektor vratnej sily.a po vypočítaní integrálu dostaneme⎡⎤h⎣ 2f(x 1) + f(x 2 )⎦ =6 f(x 1 ) + 2f(x 2 )⎡ ⎤⎣ f 1⎦ = f e . (1.4.19)f 2Keď máme všetky integrály vypočítané, môžeme vyjadriť rovnicu (1.4.9) v semidiskrétnomtvarealebo16⎡⎣ 2mem e⎤⎡m e⎦⎣ ue x1, tt2m eM e u x , tt + K e u x = f e +⎤ ⎡ ⎤⎡⎦+ ⎣ +ke −k e⎦u e x2, tt −k e +k e⎣ ue x1u e x2⎤⎡ ⎤⎣ −τ 1⎦ , (1.4.20)+τ 2⎡⎦+ ⎣ f x1e ⎦ = ⎣ −τ 1e ⎦ . (1.4.21)f e x2⎤⎡+τ e 2⎤Dostali sme sústavu obyčajných diferenciálnych rovníc. Takto vyjadrené lokálne rovnicepre každý element Ω e spájame do globálnej rovnice pre celú výpočtovú oblasť Ω .1.4.3 Vytváranie rovnice pre celú oblasťBudeme uvažovať dva elementy Ω a = 〈x 1 , x 2 〉 a Ω b = 〈x 2 , x 3 〉 znázornené na Obr.1.4.3, ktoré majú spoločný uzol x 2 . Pre oba elementy vyjadríme rovnice⎡ ⎤⎡ ⎤M a u x , tt + K a u x = f a + ⎣ −τ 1a ⎦ , M b u x , tt + K b u x = f b + ⎣ −τ 2b ⎦ . (1.4.22)+τ a 2+τ b 323

Úvod - súčasný stav problematikyr x2x 2 x 3=rx 2 + rx 2x 1ub x3 u x2 =ux a 2 = ux 2ra x 1 ra x 2rb x2rb x3ua x1 Obr. 1.4.3.Spájanie elementov.Ak rovnice rozpíšeme, dostaneme⎡ ⎤⎡⎤ ⎡1⎣ 2ma m a⎦⎣ aa x1⎦+⎣ +ka6 m a 2m a −k aa a x2⎤⎡−k a⎦+k a⎣ ua x1u a x2⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦+ ⎣ f x1a ⎦ = ⎣ −τ 1a ⎦ , (1.4.23)f a x2+τ a 216⎡⎣ 2mbm b⎤⎡m b⎦⎣ ab x22m b a b x3⎤ ⎡ ⎤⎡⎦+ ⎣ +kb −k b⎦−k b +k b⎣ ub x2u b x3⎤⎡⎦+ ⎣ f x2b ⎦ = ⎣ −τ 2b ⎦ , (1.4.24)kde a e xi = u e xi, tt . Kvôli zostaveniu rovnice pre celú oblasť, je vhodné použiť nasledujúcimaticový zápis⎡⎤⎡2m a m a 0 01m a 2m a 0 06⎢ 0 0 2m⎣b m b⎥⎢⎦⎣0 0 m b 2m ba a x1a a x2a b x2a b x3⎤+⎥⎦Ak využijeme fakt, že napätie τ a 2f b x3⎤⎡⎤⎡+k a −k a 0 0−k a +k a 0 0⎢ 0 0 +k⎣b −k b⎥⎢⎦⎣0 0 −k b +k b⎡u a x1u a x2u b x2u b x3+τ b 3⎤⎤⎡+⎥ ⎢⎦ ⎣f a x1f a x2f b x2f b x3⎤=⎥⎦⎡⎢⎣−τ a 1+τ a 2−τ b 2+τ b 3⎤.⎥⎦(1.4.25)je v spoločnom uzle v rovnováhe s napätím τ b 2 , teda+τ2 a − τ2 b = 0, môžeme sústavu zredukovať sčítaním riadkov⎡ ⎤⎡ ⎤⎡⎤ a2m1a m a 0 0a ⎡⎤x1u ⎢ m6 ⎣a 2m a 2m b m ba⎥a +kx2a −k a 0 0a ⎡ ⎤ ⎡x1⎦⎢a 0 0 m b 2m b ⎣b + ⎢−k x2⎥⎣a +k a +k b −k bu⎥a fx2x1a ⎦⎢u ⎦ 0 0 −k b +k b ⎣b + ⎢f x2⎥⎣x2 a + fx2b ⎥⎦ = ⎢⎣⎦a b x3u b x3f b x3−τ a 10+τ b 3⎤⎥⎦ .(1.4.26)24

Formulácia MKE s maticou tuhostiAk využijeme fakt, že zrýchlenia a posunutia v spoločných uzloch sú spojité, a a x2 =a b x2 = a x2 a u a x2 = u b x2 = u x2 , môžeme prepísať skalárny súčin stredného riadkumatice hmotnosti s vektorom zrýchleniam a a a x1 + 2m a a a x2 + 2m b a b x2 + m b a b x3 = m a a a x1 + a x2 (2m a + 2m b ) + m b a b x3 (1.4.27)a skalárny súčin stredného riadku matice tuhosti s vektorom posunutia−k a u a x1 + k a u a x2 + k b u b x2 − k b u b x3 = −k a u a x1 + u x2 (k a + k b ) − k b u b x3 . (1.4.28)V maticovej rovnici to znamená sčítanie príslušných stĺpcov:⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤⎡2m1a m a 0 a a x1 +k a −k a 0⎢ m6 ⎣a 2(m a + m b ) m b⎥⎢a⎦⎣x2 ⎥⎦ + ⎢−k ⎣a (+k a + k b ) −k b⎥⎢⎦⎣0 m b 2m b 0 −k b +k ba b x3u a x1u x2u b x3⎤ ⎡⎥⎦ + ⎢⎣f a x1f x2f b x3⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣−τ a 10+τ b 3⎤⎥⎦ .(1.4.29)Dostali sme konečno-elementnú semidiskrétnu rovnicu pre výpočtovú oblasť 〈x 1 , x 3 〉.Ak analogickým spôsobom popripájame aj ostatné elementy a budeme uvažovať voľnéokraje kontinua, teda τ b 0 = 0 a τ b L= 0, dostaneme rovnicuMu tt = Ku + f (1.4.30)pre celú výpočtovú oblasť Ω , kde M a K sú globálna matica hmotnosti a globálnamatica tuhosti. f je zdrojový člen.1.4.4 Riešenie rovnice pre celú oblasťV dynamických problémoch sa zvykne časový diferenciálny operátor aproximovať napr.diferenčným. Ak na aproximácie druhej časovej derivácie použijeme centrálnu diferenciudruhého rádu, rovnica (1.4.30) v čase t = m ∆t sa transformuje do rovniceM um+1 − 2u m + u m−1(∆t) 2 = Ku + f . (1.4.31)Rovnicu (1.4.31), tj. sústavu lineárnych algebraických rovníc ďalej riešime explicitnouformou výpočtuu m+1 = ∆t 2 ( M −1 Ku m + f ) − u m−1 + 2u m , (1.4.32)kde neznáme hodnoty riešenia u m+1 v čase t = (m+1) ∆t počítame zo známych hodnôtriešenia u m a u m−1 v predchádzajúcich časových hladinách.25

Úvod - súčasný stav problematiky1.4.5 Problém s operačnou pamäťou počítačaAlgoritmus s maticou hmotnosti a tuhosti predstavuje pre seizmologické výpočty v 2Da 3D probléme veľké pamäťové nároky.1. Pri výpočte podľa schémy (1.4.32) je treba uchovávať v pamäti inverznú maticuhmotnosti M −1 . Aby sme obišli tento problém, používame namiesto M diagonálnumaticu hmotnosti, tzv. lumped mass matrix M L , ktorej inverzná matica je tiež diagonálna.Vplyv M L na presnosť a stabilitu riešenia je vysvetlená napríklad v Strang aFix (1973).2. Pri výpočte podľa schémy (1.4.32) sa v každej časovej hladine počíta globálny vektorvratnej sily r m = Ku m tak, že sa násobí globálna matica tuhosti s vektorom posunutí,ktorý obsahuje známe hodnoty posunutia z predchádzajúceho cyklu. Matica Kmôže mať tak veľké rozmery, že ju nie je možné uchovať v operačnej pamäti počítača.V 1D probléme potrebujeme na výpočet jednej vratnej sily informáciu o posunutiachv troch uzloch. Posunutie v tom uzle, v ktorom silu počítame a v dvoch susednýchuzloch. To vedie na prácu s trojdiagonálnou maticou. V 2D probléme, keď používameštvoruholníkovú sieť, potrebujeme informáciu o x-ových a y-ových zložkách posunutiaz deviatich uzlov a matica tuhosti má 2 × 9 = 18 diagonál. V 3D probléme častopoužívame sieť poskladanú zo šesťstenových elementov a na výpočet jednej zložky silypotrebujeme informáciu o posunutiach v 27 uzloch. V takomto prípade má maticatuhosti 3 × 27 = 81 diagonál. Práca s takouto maticou si v prípade štrukturálne ageometricky zložitých modelov vyžaduje 100 GB a viac operačnej pamäte.Na výpočet vektora vratnej sily nie je však potrebné uchovávať v pamäti prvkyglobálnej matice tuhosti. Je možný alternatívny spôsob výpočtu vektora vratnej sily, vktorom v každej časovej hladine počítame nanovo prvky lokálnych vektorov vratnej silya tie potom pospájame do globálneho vektora. Zodpovedajúca formulácia a príslušnýalgoritmus sú vysvetlené v podkapitole 1.5.1.4.6 Výpočet diagonálnej matice hmotnostiJeden zo štandardných postupov, ako získame z lokálnej matice hmotnosti26

Formulácia MKE s maticou tuhostiM e =∫ 1−1⎛ ⎡ ⎤ ⎞⎝ρ ⎣ b 1b 1 b 1 b 2⎦ h ⎠ dξ (1.4.33)b 2 b 1 b 2 b 22diagonálnu maticu, tzv. lumpped mass matrix, je výpočet integrálu (1.4.33) Lobattovounumerickou integráciou∫ 1Bázové funkcie majú nasledujúce vlastnosti:−1[ f(ξ) ] dξ ≈ f(−1) + f(+1) . (1.4.34)ξ = −1 ⇒ b 1 = 1 b 2 = 0 ,ξ = +1 ⇒ b 1 = 0 b 2 = 1 .(1.4.35)Na výpočet (1.4.33) použijeme Lobattovu numerickú integráciu⎡ ⎤ ⎛⎡⎤ ⎡⎤⎞ρh⎣ b 1b 1 b 1 b 2⎦ = ρh ⎝⎣ 1 × 1 0 × 1 ⎦ + ⎣ 0 × 0 0 × 1 ⎦⎠ = ρh 2 b 2 b 1 b 2 b 22 1 × 0 0 × 0 1 × 0 1 × 1 2Získali sme diagonálnu maticu hmotnosti⎡M e L =⎣ m 200 m 2⎤⎡ ⎤⎣ 1 0 ⎦ .0 1(1.4.36)⎦ , (1.4.37)ktorá vyjadruje fakt, že hmotnosť elementu m = ρh je sústredená v jeho uzloch. Akv rovnici (1.4.21) nahradíme plnú maticu hmotnosti M edostaneme rovnicu⎡ ⎤⎡⎤ ⎡ ⎤⎡⎣ m 02 ⎦⎣ ue x1, tt⎦+ ⎣ +ke −k e⎦0 m u e 2 x2, tt −k e +k e⎣ ue x1u e x2⎤⎡diagonálnou maticou M e L⎦+ ⎣ f x1e ⎦ = ⎣ −τ 1e ⎦ . (1.4.38)Rovnica (1.4.38) opisuje vynútené kmity dvoch rovnakých telies, nakreslených na Obr.1.4.4, s hmotnosťami m 2 . Telesá sú spojené nehmotnou pružinou, ktorá má tuhosť ke .Vynucujúca sila, ktorá pôsobí na ľavé teleso, je rovná sile f e x1 + τ e 1 , ktorá pôsobí najednotkovú plochu kontinua v uzle x 1 . Vynucujúca sila, ktorá pôsobí na pravé teleso, jerovná sile f e x2 − τ e 2 , ktorá pôsobí na jednotkovú plochu kontinua v uzle x 2 . Z takýchtolokálnych rovníc potom skladáme globálnu rovnicu⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤⎡m a0 0 a 2 a x1 +k a −k a 0⎢ 0⎣ma +m b0 ⎥⎢a2 ⎦⎣x2 ⎥⎦ + ⎢−k ⎣a (+k a + k b ) −k b⎥⎢⎦⎣m0 0 ba b 2 x3 0 −k b +k bf e x2⎤u a x1u x2u b x3⎡⎤ ⎡⎥⎦ + ⎢⎣+τ e 2f a x1f x2f b x3⎤⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣−τ a 10+τ b 3⎤⎥⎦ , (1.4.39)27

Úvod - súčasný stav problematikym2k am2Obr. 1.4.4. Aproximácia časti kontinua s jednotkovou plochou medzi uzlami x 1 a x 2 nehmotnou pružinouso závažiami na oboch koncoch.kde globálna matica hmotnosti⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤m am0 0a0 0 0 0 02 2 M e L = ⎢ 0⎣ma + mb 0 ⎥2 2 ⎦ = ⎢ 0⎣ma 0⎥2 ⎦ + ⎢0 ⎣mb 0 ⎥2 ⎦m0 0 b0 0 0 0 0 mb22(1.4.40)je tiež diagonálna, pričom každému uzlu je priradený aritmetický priemer ma +m b2hmotnostísusedných pružín.m a2m a + m b2m b2Obr. 1.4.5.Fyzikálny model diskretizovaného elastického 1D prostredia s diagonálnou maticou hmotnosti.1.5 Formulácia MKE s vektorom vratnej silySpôsob výpočtu prvkov vektora vratnej sily bez použitia matice tuhosti nazývameformulácia MKE s vektorom vratnej sily. Takáto formulácia a implementácia je založenána postupe, ktorý naznačil Ralph Archuleta (Archuleta, 1976), ktorý sa odvoláva naprácu Frazier a Petersen (1974). Môžeme ju nájsť aj v prácach napr. Moczo et al.(2007a), Galis (2007). Hlavná myšlienka výpočtu spočíva v tom, že najskôr počítameprvky lokálneho vektora vratnej sily, ktoré potom skladáme do vektora vratnej sily precelú výpočtovú oblasť. Postup je schematicky znázornený na Obr. 1.5.1.28

Formulácia MKE s vektorom vratnej silyVstupu x1 ,u ,ux2 x3 x = [0][0][0]Poèítame lokálne sily r ,rx a 1 x a 2pre element a x= [ r ][ r ][0]a x 1 x a 2Poèítame lokálne sily r ,rx b 1 x b 2pre element b x= [ r ][ r + r ][ r ]a x 1 x a 2 x b 1 x b 2 xVýstup= [ r ][ r ][ r ]a x 1 x2 x b 2Obr. 1.5.1.Ilustrácia alternatívneho spôsobu výpočtu vektora vratnej sily.1.5.1 Lokálny vektor vratnej silyLokálny vektor vratnej sily sme v (1.4.17) definovali ako súčin lokálnej matice tuhostis vektorom posunutiar e =Dostali sme ho vypočítaním integrálu{∫ 1[r e = (λ + 2µ) b,x b Ț x−1v rovnici (1.4.10). Vektor posunutia u xintegrála rozpísať⎡ ⎤⎣ r x1⎦ =r x2∫ 1−1r e =∫ 1−1⎡ ⎤⎡⎤+k −k⎣ ⎦⎣ u x1⎦ . (1.5.1)−k +k u x2}]x,ξ dξ u x (1.5.2)nezávisí od ξ . Môžeme ho teda vložiť pod[b,x (λ + 2µ) b Ț x u x]x,ξ dξ (1.5.3)⎛⎡⎤⎞⎝⎣ b 1, ξ ξ, x (λ + 2µ) b 1 , ξ ξ, x u 1 + b 1 , ξ ξ, x (λ + 2µ) b 2 , ξ ξ, x u 2⎦⎠ x, ξ dξ .b 2 , ξ ξ, x (λ + 2µ) b 1 , ξ ξ, x u 1 + b 2 , ξ ξ, x (λ + 2µ) b 2 , ξ ξ, x u 2(1.5.4)29

Úvod - súčasný stav problematiky1.5.2 Výpočet lokálneho vektora vratnej silyĽahko pochopiteľný a štandardný algoritmus výpočtu lokálneho vektora vratnej sily jenasledovný: 1. Vypočítame derivácie bázových funkcií podľa ξb 1 , ξ = 1 − ξ22. Vypočítame Jacobián transformácie (1.4.5)3. Vypočítame inverzný Jacobián, ξ = − 1 2 , b 2, ξ = 1 + ξ , ξ = + 1 2 2 . (1.5.5)x, ξ = b 1 , ξ x 1 + b 1 , ξ x 2 = −12 x 1 + 1 2 x 2 = h 2 . (1.5.6)4. Vypočítame derivácie bázových funkcií podľa xξ, x = 1x, ξ= 2 h . (1.5.7)b 1 , x = b 1 , ξ ξ, x = −1h , b 2, x = b 2 , ξ ξ, x = 1 h . (1.5.8)5. Aproximujeme deriváciu posunutia u x podľa xu x , x = b 1 , x u x1 + b 2 , x u x2= u x2 − u x1h. (1.5.9)6. Vypočítame napätieτ xx = (λ + 2µ) u x , x . (1.5.10)7. Vypočítame hustotu vratnej sily−1h 1 = b 1 , x τ xx = −1h τ xx= −1h (λ + 2µ) u x, x= −1h (λ + 2µ) u x2 − u x1,hh 2 = b 2 , x τ xx = +1h τ xx = +1h (λ + 2µ) u x, x= +1h (λ + 2µ) u x2 − u x1.h8. Vypočítame prvky lokálneho vektora vratnej sily∫ 1∫ 1[ −1r x1 = (h 1 ) x, ξ dξ =h (λ + 2µ) u ]x2 − u x1 hh 2 dξ−1−1= −1 (λ + 2µ) u x2 − u x1,∫h1∫ 1[ +1r x2 = (h 2 ) x, ξ dξ =h (λ + 2µ) u ]x2 − u x1 hh 2 dξ−1= +1 (λ + 2µ) u x2 − u x1h.(1.5.11)(1.5.12)30

Formulácia MKE s vektorom vratnej silyV 2D a 3D probléme sa situácia komplikuje. Jacobián priestorovej transformácie, akouvidíme neskôr, býva vo všeobecnosti funkciou priestorových súradníc. Integrácia potrebnána výpočet lokálneho vektora vratnej sily býva veľmi komplikovaná. Treba počítaťintegrály zo zložitých racionálnych funkcií a preto používame numerickú integráciu.Keďže prvky lokálneho vektora treba počítať v každej časovej hladine, celkový výpočettrvá veľmi dlho. Dlhý výpočtový čas je cenou za nízke pamäťové nároky.1.5.3 Vektor vratnej silySkalárny súčin stredného riadku matice tuhosti s vektorom posunutia v rovnici (1.4.29)môžeme upraviť nasledovne:− k a u a x1 + k a u a x2 + k b u b x2 − k b u b x3 = k a (u a x2 − u a x1) − k b (u b x3 − u b x2) . (1.5.13)Vzhľadom k tomu, že rx2a = k a (u a x2 − u a x1) je vratná sila spôsobená deformáciou pružinynad 〈x 1 , x 2 〉 v uzle x 2 a rx2b = −k b (u b x3 − u b x2) je vratná sila spôsobená deformácioupružiny nad 〈x 2 , x 3 〉 v tom istom uzle x 2 , pravá strana rovnice (1.5.13) znamená,že globálna vratná sila pôsobiaca v uzle x 2 je súčtom lokálnych vratných síl, tedar x2 = rx2 a + rx2 b . (1.5.14)31

Ciele dizertačnej práce2 Ciele dizertačnej práce1. Vytvoriť nový algoritmus výpočtu lokálneho vektora vratnej sily, ktorý bude efektívnyz hľadiska nárokov na výpočtový čas a pamäť. Nový algoritmus by nemalzvýšiť pamäťové nároky štandardného algoritmu výpočtu vratnej sily, avšak malby podstatne znížiť nároky na výpočtový čas.2. Vykonať numerické testy na porovnanie rýchlostí výpočtov so štandardným a novýmalgoritmom.32

Výsledky dizertačnej práce3 Výsledky dizertačnej práceZa najdôležitejší výsledok dizeračnej práce považujeme vytvorenie nového spôsobu výpočtulokálneho vektora vratnej sily. Uvedený spôsob bol publikovaný v prácach Balažovjecha Halada (2007), Moczo et al. (2007a). Princíp spočíva v použití novýchbázových funkcií, ktoré umožňujú definovať a využiť e-invarianty vo výpočte.3.1 e-invarianty v 1D problémePri výpočte lokálneho vektora vratnej sily používame ako vstupné hodnoty polohy uzlova posunutia v uzloch. Posunutia a polohy uzlov však v sebe uchovávajú viac informácie,ako je potrebné na výpočet lokálneho vektora vratnej sily. Polohy uzlov uchovávajúinformáciu o tom, kde sa pružina nachádza. Posunutia v uzloch zas uchovávajú informáciuo tom, kam sa pružina v dôsledku deformácie posunie. Lokálne vratné sily súod tejto informácie nezávislé. Na výpočet lokálnych síl stačí informácia o tom, akáje pružina dlhá a ako zmení svoj tvar. Okrem toho zo zákona akcie a reakcie viemeže sily, ktoré vznikli len v dôsledku zmeny tvaru pružiny, sú rovnako veľké a opačneorientované a preto ich nemusíme počítať každú osobitne. Namiesto polôh uzlov, posunutía síl v uzloch definujeme nové parametre, 1D e-invarianty, ktoré eliminujú vovýpočte lokálneho vektora vratnej sily nadbytočnú informáciu. Budeme rozlišovať triskupiny e-invariantov: e-invarianty priestorovej transformácie, e-invarianty posunutí ae-invarianty lokálnych síl.Uvažujme o pružine nakreslenej na Obr. 3.1.1, ktorej polohu určujú body x 1 a x 2 .Priestorovú transformáciu (1.4.4) môžeme vyjadriť pomocou štandardnej bázy b Tx = b T x =alebo pomocou novej bázy 1 b (inv)T(1 − ξ)x 1 +2= [1, ξ],(1 + ξ)x 2 (3.1.1)2x = b (inv)T x (inv) = 1x (0) + ξx (1) , (3.1.2)kde x (inv) = [x (0) , x (1) ] T = [(x 1 + x 2 )/2, (x 2 − x 1 )/2] T . Na výpočet vratných síl,ktoré pôsobia na konce pružiny, potrebujeme Jacobián transformácie J = x, ξ . Môžemeho vyjadriť pomocou štandardnej bázy1 Prvky novej bázy sú na intervale 〈−1, +1〉 navzájom ortogonálne funkcie.33

Výsledky dizertačnej prácenedeformovaná pruinax 1 x 2x (0) u x(0)deformovaná pruinax 1 x 2u x1u x2x (0)Obr. 3.1.1.e-invarianty v 1D probléme.x, ξ = b Ț ξ x = − 1 2 x 1 + 1 2 x 2 (3.1.3)alebo pomocou novej bázyKoeficient x (0)= (x 2 + x 1 )/2 vo výpočte nepotrebujeme, pretože platí 1, x = 0. Koeficientx (0)x, ξ = b , (inv)Tξ x (inv) = 0x (0) + 1x (1) . (3.1.4)nesie nadbytočnú informáciu o tom, kde sa pružina nachádza. Na výpočetsily stačí informácia o tom, aká je pružina dlhá, teda stačí používať x (1) =(x 2 − x 1 )/2, čo je v tomto prípade Jacobián transformácie. e-invariant x (1) nesie lennutnú informáciu potrebnú na výpočet a nezávisí od toho, kde sa pružina nachádza.Interpoláciu posunutia môžeme vyjadriť použitím štandardnej bázy b Tu x = b T u x =(1 − ξ)u x1 +2(1 + ξ)u x2 (3.1.5)2alebo pomocou novej bázyu x= b (inv)T u (inv)x = 1u (0)x + ξu (1)x , (3.1.6)kde u (inv)x = [u (0)x , u (1)x ] T = [(u x1 + u x2 )/2, (u x2 − u x1 )/2] T . Na výpočet vratných síl,ktoré pôsobia na konce pružiny potrebujeme derivácie posunutia. Derivácie posunutiamôžeme vyjadriť pomocou štandardnej bázyalebo pomocou novej bázy34u x , x = b Ț ξ ξ, x u x = − 1 2 ξ, x u x1 + 1 2 ξ, x u x2 , (3.1.7)

e-invarianty v 1D problémeu x , x = b , (inv)Tξ ξ, x u (inv)x = 0u (0)x + ξ, x u (1)x . (3.1.8)Koeficient u (0)x = (u x2 + u x1 )/2 vo výpočte nepotrebujeme, pretože platí 1, x = 0.Koeficient u (0)xnesie nadbytočnú informáciu o tom, kam sa pružina pohne. Na výpočetsily stačí informácia o tom, ako pružina zmení svoju dĺžku u (1)x = (u x2 − u x1 )/2. e-invariant u (1)xnesie len nutnú informáciu potrebnú na výpočet a nezávisí od toho, kamsa pružina pohne. V ďalšom kroku použijeme deriváciu posunutia na výpočet napätiaτ xx= (λ + 2µ) u x , x . Z napätia môžeme počítať sily na koncoch pružiny použitímštandardnej bázyr 1 =∫ 1−1čo spĺňa zákon akcie a reakcie r 1( )−1τ xx2dξ , r 2 =∫ 1−1( )1τ xx2dξ , (3.1.9)= −r 2 . Efektívnejšie bude počítať iba jednu silu r 2 adruhej sile r 1 priradiť jej zápornú hodnotu. Ak vo vzťahoch (3.1.9) namiesto derivácieštandardnej bázy 1 2 (1 − ξ), ξ = − 1 2 a 1 2 (1 − ξ), ξ = 1 21, ξ = 0 a ξ, ξ = 1, dostaneme nasledujúce integrály:∫ 1−1τ xx 1, ξ dξ ,∫ 1Ak novú bázu vyjadríme pomocou štandardnej bázya dosadíme do výrazu (3.1.10), dostaneme∫ 1−1∫ 1−1b 1 + b 2τ xx , ξ dξ =2b 2 − b 1τ xx , ξ dξ =2V tomto prípade prvý e-invariant−1použijeme derivácie novej bázyτ xx x, ξ dξ . (3.1.10)1 = b 1 + b 2 , ξ = b 2 − b 1 (3.1.11)∫ 1−1∫ 1−1τ xxb 1 , ξ + b 2 , ξ2τ xxb 2 , ξ − b 1 , ξ2r (0) = (r 2 + r 1 )/2 = 1 2∫ 1−1dξ = r 1 + r 2 ,dξ = r 2 − r 1 .(3.1.12)(τ xx 0) dξ = 0 (3.1.13)predstavuje priemernú lokálnu silu pôsobiacu na pružinu. Nulový koeficient pri tenzorenapätia hovorí, že táto sila je nulová a teda ju počítať netreba. Druhý e-invariantr (1) = (r 2 − r 1 )/2 = 1 2∫ 1predstavuje lokálnu silu potrebnú na deformáciu pružiny.−1(τ xx 1) dξ = r 2 (3.1.14)Keď sme použili novú bázu na interpoláciu posunutia, ukázalo sa, akú informáciustačí na výpočet použiť ako vstupné údaje. Keď sme použili novú bázu ako váhu,ukázalo sa, čo stačí integrovať, aby sme získali lokálny vektor vratnej sily.35

Výsledky dizertačnej práce3.1.1 Transformačná matica e-invariantovTransformáciu do novej bázy(1 − ξ) (1 + ξ)1 = + + = + b 1 + b 2 ,2 2(3.1.15)(1 − ξ) (1 + ξ)ξ = − + = − b 1 + b 22 2môžeme vyjadriť maticovou rovnicou⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡⎤b (inv) = ⎣ 1 +1 +1⎦ = ⎣ ⎦⎣ b 1⎦ . (3.1.16)ξ −1 +1 b 2Transformačnú maticu označíme T:⎡ ⎤T =+1 +1⎣ ⎦ . (3.1.17)−1 +1Stĺpce matice T sú vlastné vektory matice tuhosti⎡ ⎤⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡⎤ ⎡ ⎤+k −k⎣ ⎦⎣ +1 ⎦ = 2k⎣ +1 +k −k⎦ , ⎣ ⎦⎣ +1 ⎦ = 0⎣ +1 ⎦ , (3.1.18)−k +k −1 −1 −k +k +1 +1kde vlastné čísla matice tuhosti sú [2k, 0]. Vlastný vektor [+1, −1] Tvyjadruje fakt,že ak sa konce pružiny posunú o u 1 = +1 a u 2 = −1, pružina sa roztiahne a tedasily, ktoré vzniknú v dôsledku deformácie pružiny, sú r 1 = +2k a r 2 = −2k. Nadruhej strane vlastný vektor [+1, +1] Tvyjadruje fakt, že ak sa konce pružiny posunúo u 1 = +1 a u 2 = +1, pružina sa neroztiahne a teda sily, ktoré vzniknú v dôsledkudeformácie pružiny, sú r 1 = 0 a r 2 = 0.Riadky prípadne stĺpce matice T sú navzájom ortogonálne vektory a majú rovnakúnormu √ 2. Matica T má teda vlastnosť⎡ ⎤⎡⎤ ⎡ ⎤12 TT T = 1 +1 −1 +1 +1⎣ ⎦⎣ ⎦ = ⎣ 1 0 ⎦ = I , (3.1.19)2 +1 +1 −1 +1 0 1kde I je jednotková matica. Táto vlastnosť umožní vyjadriť štandardnú izoparametrickúreprezentáciu (3.2.57) pomocou novej ortogonálnej bázy s využitím výpočtovýche-invatiantov. Postup je nasledovný:1. Medzi vektor bázových funkcií b a maticu uzlov a posunutí V vložíme jednotkovúmaticu I36

e-invarianty v 1D probléme⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡⎤⎡⎤⎣ x ⎦ = ⎣ x 1 x 2⎦⎣ 1 0 ⎦⎣ b 1⎦ . (3.1.20)u x u x1 u x2 0 1 b 22. Využijeme vlastnosť (3.1.19) a jednotkovú maticu rozpíšeme podľa I = 1 2 TT T:⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡⎤⎡⎤⎣ x ⎦ = ⎣ x 1 x 2⎦ 1 +1 −1 +1 +1⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ b 1⎦ . (3.1.21)u x u x1 u x22 +1 +1 −1 +1 b 23. Transformačnú maticu T aplikujeme na vektor bázových funkcií b a maticu uzlova posunutí V, ( V 1 2 TT ) (Tb), čím získame štandardnú izoparametrickú reprezentáciuc vyjadrenú ako súčin matice e-invariantov V (inv) s vektorom novej bázy b (inv)⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡⎤⎣ x ⎦ = ⎣ x(0) x (1)⎦⎣ 1 ⎦ . (3.1.22)u x u (0)x u (1)x ξV nasledujúcom postupe ukážeme, ako možno vyjadriť vektor vratnej silyr e =∫ 1−1pomocou e-invariantov a novej bázy.[b,x (λ + 2µ) b Ț x u x]x,ξ dξ (3.1.23)Pred integrál a medzi skalárny súčin vektora posunutí a vektora derivácií štandardnejbázy aplikujene jednotkovú maticu I:r e= I∫ 1Jednotkovú maticu rozpíšeme podľa (3.1.19):r e= 1 2 TT T−1∫ 1−1[b,x (λ + 2µ) b Ț x I u x]x,ξ dξ . (3.1.24)[b,x (λ + 2µ) b Ț x 1 2 TT Tu x]x,ξ dξ . (3.1.25)Pretože transformačná matica T nezávisí od ξ , môžeme ju vsunúť pod integrál:∫ 1[ ]r e = 1 2 TT Tb,x (λ + 2µ) b Ț x 1 2 TT Tu x x,ξ dξ . (3.1.26)−1Ak využijeme pravidlo b Ț x 1 2 TT = ( 1 2 Tb, x ) T a aplikujeme transformačnú maticu,∫ 1[r e = 1 2 TT (Tb,x )(λ + 2µ) ( 1Tb, 2 x ) T (Tu x ) ] x, ξ dξ , (3.1.27)−1dostaneme vektor vratnej sily vyjadrený v novej báze pomocou e-invariantov,∫ 1[ ]r e = 1 2 TT b(inv), x (λ + 2µ) b , (inv)Tx u (inv) x,ξ dξ , (3.1.28)−1kde integrál vo výraze (3.1.28) nazveme e-invariantným vektorom vratnej silyr (inv) =∫ 1−1x[ ]b(inv), x (λ + 2µ) b , (inv)Tx u (inv) x,ξ dξ . (3.1.29)V nasledujúcom texte ukážeme schému na výpočet lokálneho vektora vratnej sily pomocoue-invariantov, ktorú neskôr zovšeobecníme pre 2D a 3D problém.x37

Výsledky dizertačnej práce3.1.2 Výpočet lokálneho vektora vratnej sily s využitím e-invariantov1. Vypočítame e-invarianty:x (1) = (x 2 − x 1 )/2 = h 2 , u(1) x = (u x2 − u x1 )/2. (3.1.30)2. Vypočítame derivácie nových bázových funkcií podľa ξ :3. Jacobián transformácie je (1.4.5):4. Vypočítame inverzný Jacobián:5. Derivácia bázovej funkcie podľa x je inverzný Jacobián.6. Vypočítame deriváciu posunutia u x podľa x:1, ξ = 0, ξ, ξ = 1. (3.1.31)x, ξ = x (1) = h 2 . (3.1.32)ξ, x = 1x, ξ= 2 h . (3.1.33)u x , x = 0u (0)x + = 2 h u(1) x . (3.1.34)7. Vypočítame napätie:τ xx = (λ + 2µ) u x , x . (3.1.35)8. Vypočítame hustotu invariantnej vratnej sily:h (0) = 0τ xx ,h (1) = ξ, x τ xx .9. Vypočítame prvky lokálneho e-invariantného vektora vratnej sily:r (0) =r (1) =∫ 1−1∫ 1−1(0) x, ξ dξ,(h(1) ) x, ξ dξ .10. Vypočítame prvky lokálneho vektora vratnej sily:(3.1.36)(3.1.37)r1 e = +r (0) − r (1)(3.1.38)r2 e = +r (0) + r (1)Výpočtová schéma pomocou e-invariantov predstavuje návod, ako vytvoriť efektívnyalgoritmus. Pri vytváraní algoritmu si všímame, pri ktorých e-invariantoch sa vyskytujúnuly. Príslušné e-invarianty z výpočtu vynecháme.38

Lokálny vektor vratnej sily v 2D probléme3.1.3 AlgoritmusVýsledný algoritmus je jednoduchý:r e 1 = (λ + 2 ∗ µ) ∗ (u x2 − u x1 )(x 2 − x 1 ) ,r e 2 = −r e 1.(3.1.39)V rovnici (3.1.39) symbol ∗ znamená operáciu násobenia. Tento symbol použijeme vtomto význame aj v ďalších rovniciach, ktoré budú špecifikovať výpočtový algoritmus.Použitie symbolu je ”grafickou” pomôckou na určenie počtu aritmetických operácií valgoritme.3.2 Lokálny vektor vratnej sily v 2D problémeBudeme sa zaoberať dvojrozmerným problémom pohybovej rovnice kontinuaρu x , tt = τ xx , x + τ xy , y + f x ,ρu y , tt = τ yx , x + τ yy , y + f y .(3.2.1)V rovnici (3.2.1) je hustota zotrvačnej sily ρ⃗u, tt = [ ρu x , tt , ρu y , tt ] T , kde ρ je hustota,u x a u y sú x-ové a y-ové zložky posunutia. Hustota vratnej sily je daná divergencioutenzora napätia⎡⎤⃗r = div ⃗τ = ⎣ τ xx, x + τ xy , y⎦ , (3.2.2)τ yx , x + τ yy , ykde Hookov zákon v dvojrozmernom probléme má tvar⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤τ xx λ + 2µ λ 0 u x , x⎢τ ⎣ yy ⎥⎦ = ⎢ λ λ + 2µ 0⎥⎢u⎣⎦⎣y , y ⎥⎦ . (3.2.3)τ xy 0 0 µ u x , y + u y , xHustota externej sily je daná vektorom f ⃗ = [f x , f y , ] T .V nasledujúcom texte budeme uvažovať elementy v tvare konvexných štvoruholníkovurčených polohami vrcholov (uzlami) (x i(e) , y i(e) ). (i = 1, 2, 3, 4) je číslo uzla prekonkrétny element e. Slabá forma pohybovej rovnice (3.2.1) pre element e má tvar∫∮(w k ρu x , tt +w k , x τ xx + w k , y τ xy − w k f x ) dΩ = (w k τ xn ) dΓ ,Ω e Γ∫∮ e(3.2.4)(w k ρu y , tt +w k , x τ yx + w k , y τ yy − w k f y ) dΩ = (w k τ yn ) dΓ ,Ω e Γ e39

Výsledky dizertačnej prácekde w k ∈ {w 1 , w 2 , w 3 , ..., w ∞ } sú váhové funkcie. Na zobrazenie medzi globálnymsúradnicovým systémom (x, y) a lokálnym súradnicovým systémom (ξ, η) použijemebilineárne štvoruholníkové bázové funkcieb =⎡ ⎤ ⎡⎤b 1 (1 − ξ) (1 − η)b 2= 1 (1 + ξ) (1 − η)⎢b ⎣ 3 ⎥ 4.⎢(1 − ξ) (1 + η) ⎥⎦ ⎣⎦b 4 (1 + ξ) (1 + η)(3.2.5)Pomocou bázových funkcií transformujeme body (ξ, η) jednotkového štvorca s vrcholmiv bodochξ = [−1, +1, −1, +1] T , η = [−1, −1, +1, +1] T (3.2.6)na body (x, y) štvoruholníkového elementu Ω e s vrcholmi v bodochx = [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] T , y = [y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ] T (3.2.7)tak, ako je to znázornené na Obr. 3.2.1y(-1,1) (1,1)( x4, y4)( , )( x3, y3)( x, y)(-1,-1) (1,-1)( x1, y1)( x2, y2)xObr. 3.2.1.Bilineárna transformácia.Transformáciu vyjadríme ako skalárny súčin vektora bázových funkcií (3.2.5) s vektormisúradníc vrcholov (1.4.3)x = b T x = b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 4 x 4 ,y = b T y = b 1 y 1 + b 2 y 2 + b 3 y 3 + b 4 y 4 .(3.2.8)Na aproximáciu riešenia pre element použijeme Lagrangeov interpolačný polynóm generovanýrovnakými bázovými funkciami40

Lokálny vektor vratnej sily v 2D problémeu x = b T u x = b 1 u x1 + b 2 u x2 + b 3 u x3 + b 4 u x4 ,u y = b T u y = b 1 u y1 + b 2 u y2 + b 3 u y3 + b 4 u y4 ,(3.2.9)kde u x = [u x1 , u x2 , u x3 , u x4 ] T a u y = [u y1 , u y2 , u y3 , u y4 ] T sú x−ové a y−ové časovozávislé hodnoty riešenia vo vrcholoch (uzloch). Izoparametrickú reprezentáciu vyjadrímev maticovom tvare⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤x x 1 x 2 x 3 x 4 b 1 x T byyc ==1 y 2 y 3 y 4b 2y =T b⎢u ⎣ x ⎥ ⎢u ⎦ ⎣ x1 u x2 u x3 u x4 ⎥⎢b⎦⎣3 ⎥ ⎢u ⎦ ⎣T = Vb . (3.2.10)x b⎥⎦u y u y1 u y2 u y3 u y4 b 4 u T y bAk priestor váhových funkcií w i v rovnici (3.2.4) aproximujeme zložkami vektora b,potom ľavú stranu rovnice môžeme vyjadriť v tvare∫ 1 ∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1(bρu x , tt +b, x τ xx + b, y τ xy − bf x ) DetJ dξ dη ,(bρu y , tt +b, x τ yx + b, y τ yy − bf y ) DetJ dξ dη ,(3.2.11)kde lokálny vektor vratnej sily má tvarr x =r y =∫ 1 ∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1(b, x τ xx + b, y τ xy ) DetJ d ξ dη ,(b, x τ yx + b, y τ yy ) DetJ d ξ dη .(3.2.12)Výpočtom lokálneho vektora vratnej sily sa budeme bližšie zaoberať a preto ho vyjadrímev rozpísanom tvare:⎡⎤b 1 , x τ xx + b 1 , y τ xy∫ 1 ∫ 1br x =2 , x τ xx + b 1 , y τ xyDetJ dξ dη ,−1 −1 ⎢b ⎣ 3 , x τ xx + b 1 , y τ xy ⎥⎦b 4 , x τ xx + b 1 , y τ xyr y =∫ 1 ∫ 1−1 −1⎡⎤b 1 , x τ yx + b 1 , y τ yyb 2 , x τ yx + b 1 , y τ yy⎢b ⎣ 3 , x τ yx + b 1 , y τ yy ⎥⎦b 4 , x τ yx + b 1 , y τ yyDetJ dξ dη .(3.2.13)41

Výsledky dizertačnej práceTenzor napätia je daný Hookovým zákonom:τ xx = αu x , x +λu y , y ,τ xy = µ (u x , y +u y , x ) ,τ yy = αu y , y +λu x , x ,α = λ + 2µ.(3.2.14)Vzhľadom k tomu, že u x a u y nie sú závislé od priestorových súradníc, môžeme derivácieposunutia (3.2.9) preniesť na bázové funkcie:u x , x = b Ț x u x = b 1 , x u x1 + b 2 , x u x2 + b 3 , x u x3 + b 4 , x u x4 ,u x , y = b Ț y u x = b 1 , y u x1 + b 2 , y u x2 + b 3 , y u x3 + b 4 , y u x4 ,u y , x = b Ț x u y = b 1 , x u y1 + b 2 , x u y2 + b 3 , x u y3 + b 4 , x u y4 ,u y , y = b Ț y u y = b 1 , y u y1 + b 2 , y u y2 + b 3 , y u y3 + b 4 , y u y4 .(3.2.15)Použijeme reťazové pravidlo a derivácie bázových funkcií podľa x, y vyjadríme pomocouderivácií bázových funkcií podľa ξ, η:b, x = b, ξ ξ, x + b, η η, x , b, y = b, ξ ξ, y + b, η η, y . (3.2.16)Rozpísaním vektora bázových funkcií dostanemeb 1 , x = b 1 , ξ ξ, x + b 1 , η η, x , b 1 , y = b 1 , ξ ξ, y + b 1 , η η, y ,b 2 , x = b 2 , ξ ξ, x + b 2 , η η, x , b 2 , y = b 2 , ξ ξ, y + b 2 , η η, y ,b 3 , x = b 3 , ξ ξ, x + b 3 , η η, x , b 3 , y = b 3 , ξ ξ, y + b 3 , η η, y ,b 4 , x = b 4 , ξ ξ, x + b 4 , η η, x , b 4 , y = b 4 , ξ ξ, y + b 4 , η η, y ,(3.2.17)kde derivácie ξ, η podľa x, y⎡ ⎤⎣ ξ, x η, x⎦ =ξ, y η, y1DetJ⎡⎣ y, η−y, ξ⎤−x, η⎦ = J −1 (3.2.18)x, ξsú prvkami inverznej matice Jacobiánu transformácie (3.2.8)⎡ ⎤J = ⎣ x, ξ y, ξ⎦ . (3.2.19)x, η y, ηPrvky Jacobiánu transformácie, teda derivácie x, y podľa ξ, η, vyjadríme pomocouderivácií bázových funkcií podľa ξ, η:42

Lokálny vektor vratnej sily v 2D problémex, ξ = b Ț ξ x = b 1 , ξ x 1 + b 2 , ξ x 2 + b 3 , ξ x 3 + b 4 , ξ x 4 ,y, ξ = b Ț ξ y = b 1 , ξ y 1 + b 2 , ξ y 2 + b 3 , ξ y 3 + b 4 , ξ y 4 ,x, η = b Ț η x = b 1 , η x 1 + b 2 , η x 2 + b 3 , η x 3 + b 4 , η x 4 ,y, η = b Ț η y = b 1 , η y 1 + b 2 , η y 2 + b 3 , η y 3 + b 4 , η y 4 .(3.2.20)Derivácie bázových funkcií podľa lokálnych súradníc sú⎡ ⎤ ⎡⎤⎡ ⎤ ⎡⎤b 1 , ξ (−1) (1 − η)b 1 , η (−1) (1 − ξ)bb, ξ =2 , ξ= 1 (+1) (1 − η)b ⎢b ⎣ 3 , ξ ⎥ 4, b, η =2 , η= 1 (−1) (1 + ξ)⎢(−1) (1 + η) ⎥⎢b ⎦ ⎣⎦⎣ 3 , η ⎥ 4. (3.2.21)⎢(+1) (1 − ξ) ⎥⎦ ⎣⎦b 4 , ξ (+1) (1 + η)b 4 , η (+1) (1 + ξ)V nasledujúcom texte sa budeme zaoberať výpočtom lokálneho vektora vratnej sily.3.2.1 Výpočet lokálneho vektora vratnej silyZavedieme substitúciuξ m = 1 − ξ , η m = 1 − η ,ξ p = 1 + ξ , η p = 1 + η(3.2.22)a vyjadríme derivácie bázových funkcií podľa lokálnych súradníc (3.2.21)⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤b 1 , ξ −η mb 1 , η −ξ mbb, ξ =2 , ξ= 1 +η mb ⎢b ⎣ 3 , ξ ⎥ 4, b, η =2 , η= 1 −ξ p⎢ −η⎦ ⎣ p ⎥⎢b ⎦⎣ 3 , η ⎥ 4. (3.2.23)⎢+ξ ⎦ ⎣ m ⎥⎦b 4 , ξ +η p b 4 , η +ξ pDerivácie bázových funkcií podľa lokálnych súradníc (3.2.23) dosadíme do (3.2.20):x, ξ = 1(−η 4 mx 1 + η m x 2 − η p x 3 + η p x 4 ) ,y, ξ = 1 4 (−η my 1 + η m y 2 − η p y 3 + η p y 4 ) ,x, η = 1 4 (−ξ mx 1 − ξ p x 2 + ξ m x 3 + ξ p x 4 ) ,(3.2.24)Pre prvky Jacobiánu dostaneme výrazy, η = 1 4 (−ξ mx 1 − ξ p x 2 + ξ m x 3 + ξ p x 4 ) .x, ξ = 1 4 (η m(x 2 − x 1 ) + η p (x 4 − x 3 )) ,y, ξ = 1 4 (η m(y 2 − y 1 ) + η p (y 4 − y 3 )) ,x, η = 1 4 (ξ m(x 3 − x 1 ) + ξ p (x 4 − x 2 )) ,(3.2.25)y, η = 1 4 (ξ m(y 3 − y 1 ) + ξ p (y 4 − y 2 )) ,43

Výsledky dizertačnej prácekde priestorové diferencie označíme nasledovne:x 2 − x 1 = x 21 , x 4 − x 3 = x 43 ,y 2 − y 1 = y 21 , y 4 − y 3 = y 43 ,x 3 − x 1 = x 31 , x 4 − x 2 = x 42 ,(3.2.26)y 3 − y 1 = y 31 , y 4 − y 2 = y 42 .Vzťahy (3.2.26) dosadíme do (3.2.25) a dostanemex, ξ = 1 4 x ξ = 1 4 (η mx 21 + η p x 43 ) ,y, ξ = 1 4 y ξ = 1 4 (η my 21 + η p y 43 ) ,x, η = 1 4 x η = 1 4 (ξ mx 31 + ξ p x 42 ) ,(3.2.27)y, η = 1 4 y η = 1 4 (ξ my 31 + ξ p y 42 ) .Pomocou premenných x ξ , y ξ , x η , y η vyjadríme Jacobián⎡ ⎤ ⎡ ⎤J = ⎣ x, ξ y, ξ⎦ = 1 ⎣ x ξ y ξ⎦ (3.2.28)x, η y, η4 y ηa determinant Jacobiánux ηDetJ = x, ξ y, η − y, ξ x, η = 116 (x ξy η − y ξ x η ) . (3.2.29)Ak vyjadríme derivácie lokálnych súradníc podľa globálnych súradníc pomocu x ξ , y ξ , x η , y η ,ξ, x = y, ηDetJ =η, x = −x, ηDetJ =ξ, y = −y, ξDetJ =η, y = x, ξDetJ =y η4DetJ ,−x η4DetJ ,−y ξ4DetJ ,(3.2.30)x ξ4DetJ ,dostaneme pre derivácie bázových funkcií podľa globálnych súradníc44y ηb 1 , x = b 1 , ξ4DetJ + b −x η1, η4DetJ , b −y ξ1, y = b 1 , ξ4DetJ + b x ξ1, η4DetJ ,y ηb 2 , x = b 2 , ξ4DetJ + b −x η2, η4DetJ , b −y ξ2, y = b 2 , ξ4DetJ + b x ξ2, η4DetJ ,(3.2.31)y ηb 3 , x = b 3 , ξ4DetJ + b −x η3, η4DetJ , b −y ξ3, y = b 3 , ξ4DetJ + b x ξ3, η4DetJ ,y ηb 4 , x = b 4 , ξ4DetJ + b −x η4, η4DetJ , b −y ξ4, y = b 4 , ξ4DetJ + b x ξ4, η4DetJ .

Lokálny vektor vratnej sily v 2D problémeDerivácie bázových funkcií podľa lokálnych súradníc vyjadríme pomocou (3.2.23):b 1 , xb 2 , xb 3 , xb 4 , x= ( −η m4 y η + ξ m4 x η)/4DetJ , b 1 , y = ( η m4 y ξ − ξ m4 x ξ)/4DetJ ,= ( η m4 y η + ξ p4 x η)/4DetJ , b 2 , y = ( −η m4 y ξ − ξ p4 x ξ)/4DetJ ,= ( −η p4 y η − ξ m4 x η)/4DetJ , b 3 , y = ( η p4 y ξ + ξ m4 x ξ)/4DetJ ,= ( η p4 y η − ξ p4 x η)/4DetJ , b 4 , y = ( −η p4 y ξ + ξ p4 x ξ)/4DetJ .Koeficient 1/4 presunieme za zátvorku:(3.2.32)b 1 , x = (−η m y η + ξ m x η )/16DetJ , b 1 , y = (η m y ξ − ξ m x ξ )/16DetJ ,b 2 , x = (η m y η + ξ p x η )/16DetJ , b 2 , y = (−η m y ξ − ξ p x ξ )/16DetJ ,b 3 , x = (−η p y η − ξ m x η )/16DetJ , b 3 , y = (η p y ξ + ξ m x ξ )/16DetJ ,(3.2.33)b 4 , x = (η p y η − ξ p x η )/16DetJ , b 4 , y = (−η p y ξ + ξ p x ξ )/16DetJ .Výrazy v zátvorkách označímeb 1x = −η m y η + ξ m x η , b 1y = η m y ξ − ξ m x ξ ,b 2x = η m y η + ξ p x η , b 2y = −η m y ξ − ξ p x ξ ,(3.2.34)b 4x = η p y η − ξ p x η , b 4y = −η p y ξ + ξ p x ξb 3x = −η p y η − ξ m x η , b 3y = η p y ξ + ξ m x ξ ,a použijeme ich na interpoláciu posunutia:u x , x = ( b 1x u x1 + b 2x u x2 + b 3x u x3 + b 4x u x4 )/16DetJ ,u x , y = ( b 1y u x1 + b 2y u x2 + b 3y u x3 + b 4y u x4 )/16DetJ ,u y , x = ( b 1x u y1 + b 2x u y2 + b 3x u y3 + b 4x u y4 )/16DetJ ,u y , y = ( b 1y u y1 + b 2y u y2 + b 3y u y3 + b 4y u y4 )/16DetJ .(3.2.35)Výrazy v zátvorkách označímea použijeme ich na interpoláciu napätiau xx = b 1x u x1 + b 2x u x2 + b 3x u x3 + b 4x u x4 ,u xy = b 1y u x1 + b 2y u x2 + b 3y u x3 + b 4y u x4 ,(3.2.36)u yy = b 1y u y1 + b 2y u y2 + b 3y u y3 + b 4y u y4u yx = b 1x u y1 + b 2x u y2 + b 3x u y3 + b 4x u y4 ,45

Výsledky dizertačnej práceτ xx = (αu xx + λu yy )/16DetJ ,τ xy = µ (u xy + u yx ) /16DetJ ,τ yy = (αu yy + λu xx )/16DetJ .(3.2.37)Integrand vo vzťahu (3.2.13) (hustotu vratnej sily) označímeh x1 = (b 1 , x τ xx + b 1 , y τ xy )DetJ , h y1 = (b 1 , x τ yx + b 1 , y τ yy )DetJ ,h x2 = (b 2 , x τ xx + b 2 , y τ xy )DetJ , h y2 = (b 2 , x τ yx + b 2 , y τ yy )DetJ ,h x3 = (b 3 , x τ xx + b 3 , y τ xy )DetJ , h y3 = (b 3 , x τ yx + b 3 , y τ yy )DetJ ,(3.2.38)h x4 = (b 4 , x τ xx + b 4 , y τ xy )DetJ , h y4 = (b 4 , x τ yx + b 4 , y τ yy )DetJa vyjadríme pomocou b ix a b iy , kde i = (1, 2, 3, 4):b 1xb 1yh x1 = (16DetJ τ xx +16DetJ τ xy)DetJ ,b 2xb 2yh x2 = (16DetJ τ xx +16DetJ τ xy)DetJ ,b 3xb 3yh x3 = (16DetJ τ xx +16DetJ τ xy)DetJ ,h x4b 4x= (16DetJ τ xx +b 4y16DetJ τ xy)DetJ ,(3.2.39)b 1xb 1yh y1 = (16DetJ τ yx +16DetJ τ yy)DetJ ,b 2xb 2yh y2 = (16DetJ τ yx +16DetJ τ yy)DetJ ,h y3 = (16DetJ τ yx +16DetJ τ yy)DetJ ,h y4b 4x= (16DetJ τ yx +b 4y16DetJ τ yy)DetJ .Determinant Jacobiánu vykrátime:b 3xh x1 = (b 1x τ xx + b 1y τ xy )/16 , h y1 = (b 1x τ yx + b 1y τ yy )/16 ,b 3yh x2 = (b 2x τ xx + b 2y τ xy )/16 , h y2 = (b 2x τ yx + b 2y τ yy )/16 ,h x3 = (b 3x τ xx + b 3y τ xy )/16 , h y3 = (b 3x τ yx + b 3y τ yy )/16 ,(3.2.40)h x4 = (b 4x τ xx + b 4y τ xy )/16 , h y4 = (b 4x τ yx + b 4y τ yy )/16 .Aby sme nemuseli deliť každé h xi , h yi , vydelíme tenzor napätia. Teda stačí vynásobiťprvky tenzora napätia výrazomD J =116.16.DetJ = 0.0625. (3.2.41)x ξ y η − y ξ x η46

Lokálny vektor vratnej sily v 2D probléme3.2.2 Algoritmus bez využitia e-invariantovNa výpočet lokálneho vektora vratnej sily (3.2.12) sa štandardne používa numerickáintegrácia. Uvedieme algoritmus výpočtu lokálneho vektora vratnej sily vyjadreného vštandardnej báze použitím Gaussovej kvadratúry. Ku každému algoritmickému krokuuvedieme počty operácií delenia, násobenia, sčítania/odčítania, pre ktoré použijemesymboly ÷, ∗, ±.AlgoritmusVynulujeme premenné pre prvky lokálneho vektora vratnej silyr x1 = 0 r y1 = 0r x2 = 0 r y2 = 0r x3 = 0 r y3 = 0(3.2.42)Vypočítame diferencie priestorových súradnícr x4 = 0 r y4 = 0x 21 = x 2 − x 1 x 43 = x 4 − x 3÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 8y 21 = y 2 − y 1 y 43 = y 4 − y 3x 31y 31= x 3= y 3− x 1− y 1x 42y 42= x 4= y 4− x 2− y 2(3.2.43)Začiatok integračného cykluVypočítame funkčné hodnoty x ξ , y ξ , x η , y η v integračných bodoch použitím vzťahu (3.2.27)ξ p = 1 + ξ η p = 1 + ηξ m = 1 − ξ η m = 1 − η(3.2.44)47

Výsledky dizertačnej prácex ξ = η m ∗ x 21 + η p ∗ x 43÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 8 ± ↦→ 8y ξ = η m ∗ y 21 + η p ∗ y 43(3.2.45)x η = ξ m ∗ x 31 + ξ p ∗ x 42Podľa (3.2.41) vypočítameD J =0.0625x ξ ∗ y η − y ξ ∗ x η(3.2.46)÷ ↦→ 1 ∗ ↦→ 2 ± ↦→ 1Podľa (3.2.34) vypočítameη m y η = η m ∗ y η ξ m x η = ξ m ∗ x ξη m y ξ = η m ∗ y ξ ξ p x η = ξ m ∗ x η(3.2.47)η p y ξ = η p ∗ y ξ ξ m x ξ = ξ p ∗ x ηξ p x ξ = ξ p ∗ x ξ η p y η = η p ∗ y η÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 8 ± ↦→ 10b 1x = ξ m x η − η m y η b 1y = η m y ξ − ξ m x ξb 2x = η m y η + ξ p x η b 2y = −η m y ξ − ξ p x ξ(3.2.48)b 3x = −η p y η − ξ m x η b 3y = η p y ξ + ξ m x ξb 4x = η p y η − ξ p x η b 4y = ξ p x ξ − η p y ξPodľa (3.2.36) vypočítameu xx= b 1x ∗ u x1 + b 2x ∗ u x2 + b 3x ∗ u x3 + b 4x ∗ u x4u xyu yx÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 16 ± ↦→ 12= b 1y ∗ u x1 + b 2y ∗ u x2 + b 3y ∗ u x3 + b 4y ∗ u x4(3.2.49)u yy = b 1y ∗ u y1 + b 2y ∗ u y2 + b 3y ∗ u y3 + b 4y ∗ u y4= b 1x ∗ u y1 + b 2x ∗ u y2 + b 3x ∗ u y3 + b 4x ∗ u y4Podľa (3.2.37) vypočítame48

Lokálny vektor vratnej sily v 2D problémeα = λ + µ + µτ xxτ xy÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 8 ± ↦→ 5= (α ∗ u xx + λ ∗ u yy ) ∗ D J(3.2.50)τ yy = (α ∗ u yy + λ ∗ u xx ) ∗ D J= µ ∗ (u xy + u yx ) ∗ D JPodľa (3.2.40) vypočítameh x1 = b 1x ∗ τ xx + b 1y ∗ τ xy h y1 = b 1x ∗ τ yx + b 1y ∗ τ yyh x2 = b 2x ∗ τ xx + b 1y ∗ τ xy h y2 = b 2x ∗ τ yx + b 1y ∗ τ yy(3.2.51)h x4 = b 4x ∗ τ xx + b 1y ∗ τ xy h y4 = b 4x ∗ τ yx + b 1y ∗ τ yyh x3 = b 3x ∗ τ xx + b 1y ∗ τ xy h y3 = b 3x ∗ τ yx + b 1y ∗ τ yy÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 16 ± ↦→ 8÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 8r x1 = r x1 + h x1 r y1 = r y1 + h y1r x2 = r x2 + h x2 r y2 = r y2 + h y2(3.2.52)r x4 = r x4 + h x4 r y4 = r y4 + h y4r x3 = r x3 + h x3 r y3 = r y3 + h y3Koniec integračného cyklu3.2.3 Výpočet lokálneho vektora vratnej sily s využitím e-invariantovV tomto paragrafe navrhneme nový spôsob výpočtu lokálneho vektora vratnej sily,ktorý je založený na použití novej bázy. Nová báza umožní využiť e-invarianty množinyhodnôt vyskytujúcich sa vo výpočte. Prvky novej bázy sú najjednoduchšie možnéfunkcie, ktoré generujú priestor bilineárnych polynómov a sú na jednotkovom štvorciξ ∈ 〈−1, 1〉 a η ∈ 〈−1, 1〉 navzájom ortogonálne. e-invarianty zasa eliminujú nadbytočnúinformáciu z výpočtu lokálneho vektora vratnej sily.49

Výsledky dizertačnej práceNovú bázub (inv) =⎡ ⎤1ξ⎢ η ⎥⎣ ⎦ηξ(3.2.53)dostaneme z prvkov vektora starej bázy transformáciou⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤1 +1 +1 +1 +1 b 1ξ−1 +1 −1 +1b =2, (3.2.54)⎢ η ⎥ ⎢ −1 −1 +1 +1 ⎥⎢b⎣ ⎦ ⎣⎦⎣3 ⎥⎦ηξ +1 −1 −1 +1 b 4kde transformačnú maticu označíme⎡⎤T =+1 +1 +1 +1−1 +1 −1 +1.⎢ −1 −1 +1 +1 ⎥⎣⎦(3.2.55)+1 −1 −1 +1Riadky matice T sú navzájom ortogonálne vektory s rovnakou normou 2 a preto platí14 TT T = I , (3.2.56)kde I je jednotková matica. Vlastnosť (3.2.56) umožní vyjadriť izoparametrickú formu⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤x x 1 x 2 x 3 x 4 b 1yyc ==1 y 2 y 3 y 4b 2= Vb (3.2.57)⎢u ⎣ x ⎥ ⎢u ⎦ ⎣ x1 u x2 u x3 u x4 ⎥⎢b⎦⎣3 ⎥⎦u y u y1 u y2 u y3 u y4 b 4pomocou novej bázy s využitím e-invariantov takto:c = Vb = VIb = V ( 14 TT T ) b = ( V 1 4 TT ) (Tb) = V (inv) b (inv) . (3.2.58)Prvky matice V (inv) sú e-invarianty priestorových súradníc a posunutí.Vektor c = V (inv) b (inv) môžeme vyjadriť v rozpísanom tvare:⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤x x (0) x (1) x (2) x (12) 1yy =(0) y (1) y (2) y (12)ξ⎢u ⎣ x ⎥ ⎢u (0)x u (1)x u (2)x u (12). (3.2.59)x ⎥⎢η ⎥⎦ ⎣⎦⎣⎦u y u (0)y u (1)y u (2)y u (12)y ηξ50

Lokálny vektor vratnej sily v 2D problémeV nasledujúcom texte najskôr podrobnejšie analyzujeme priestorovú transformáciu vyjadrenúpomocou novej bázy s využitím e-invariantov,x = x (0) 1 + x (1) ξ + x (2) η + x (12) ξη ,y = y (0) 1 + y (1) ξ + y (2) η + y (12) ξη .(3.2.60)Na výpočet lokálneho vektora vratnej sily potrebujeme prvky Jacobiánu priestorovejtransformácie. Vzhľadom k tomu, že [x (0) , x (1) , x (2) , x (12) ] a [y (0) , y (1) , y (2) , y (12) ] niesú závislé od priestorových súradníc ξ, η, môžeme derivácie globálnych súradníc x, ypreniesť na nové bázové funkcie. Derivácie globálnych súradníc podľa lokálnych súradnícpotom budú:x, ξ = x (0) 0 + x (1) 1 + x (2) 0 + x (12) η ,y, ξ = y (0) 0 + y (1) 1 + y (2) 0 + y (12) η ,x, η = x (0) 0 + x (1) 0 + x (2) 1 + x (12) ξ ,y, η = y (0) 0 + y (1) 0 + y (2) 1 + y (12) ξ .(3.2.61)Prvé e-invarianty sú x-ová a y-ová súradnica geometrického stredu α (0) = [x (0) , y (0) ]v štvoruholníkovom elemente, kdex (0) = +x 1 + x 2 + x 3 + x 44, y (0) = +y 1 + y 2 + y 3 + y 44. (3.2.62)Tento bod je obrazom bodu [ξ, η] = [0, 0] v transformácii priestorových súradníc,ktorá je znázornená na Obr. 3.2.2. Bod α (0) určuje polohu elementu vo výpočtovej ob-(1,1) (0,1) (1,-1)( x4, y4)( , )a (0,0)a (1,0)( x3, y3)( x, y) (-1,-1) (-1,1)( x1, y1)( x2, y2)Obr. 3.2.2.Bilineárna transformácia a e-invarianty.lasti nezávisle od veľkosti, tvaru a natočenia elementu. Nulové koeficienty vo vzťahoch51

Výsledky dizertačnej práce(3.2.61), ktoré sa vyskytujú pri e-invariantoch x (0) a y (0) , ukazujú, že výpočet lokálnehovektora vratnej sily nezávisí od polohy elementu. Je to nadbytočná informácia,ktorú pri tvorbe algoritmu z výpočtu vynecháme.Ďalšie e-invarianty sú x-ové a y-ové súradnice vektorov α (1) = [x (1) , y (1) ] a α (2) =[x (2) , y (2) ]. Tieto vektory sú obrazmi vektorov a (1) = [ξ, η] = [1, 0] a a (2) = [ξ, η] =[0, 1]. Ich súradnice súx (1) = (−x 1 + x 2 − x 3 + x 4 )4x (2) = (−x 1 − x 2 + x 3 + x 4 )4, y (1) = (−y 1 + y 2 − y 3 + y 4 )4, y (2) = (−y 1 − y 2 + y 3 + y 4 )4,.(3.2.63)Vektor α (1) vedie z bodu α (0) = [x (0) , y (0) ] do stredu strany určenej uzlami [2,4]. Vektorα (2) vedie z bodu α (0) do stredu strany uečenej uzlami [3,4]. Tento fakt vyjadrujúnasledujúce vzťahyx (1) = (x 2 + x 4 )2x (2) = (x 3 + x 4 )2− x (0) , y (1) = (y 2 + y 4 )2− x (0) , y (2) = (y 3 + y 4 )2− y (0) ,− y (0) .(3.2.64)Tieto vektory sú nezávislé od polohy elementu. Ich dĺžky∣ α(1) ∣ ∣ =√x(1)x (1) + y (1) y (1) ,∣ α(2) ∣ ∣ =√x(2)x (2) + y (2) y (2) , (3.2.65)a uhol( )x (1) y (1) + x (2) y (2)β = Arccos(3.2.66)|α (1) | |α (2) |sú nezávislé od otočenia elementu okolo bodu α (0) . Nulové koeficienty pri súradniciachx (1) , y (1) , x (2) a y (2) vo výraze (3.2.61) ukazujú, na ktorých miestach ich môžeme vovýpočte vynechať.Posledné e-invarianty sú súradnicex (12) = 1 (+x 4 1 − x 2 − x 3 + x 4 ) , y (12) = 1 (+y 4 1 − y 2 − y 3 + y 4 ) (3.2.67)vektora α (12) . Tento vektor je obrazom nulového vektora na jednotkovom elemente.Vedie z bodu α (0) do stredu uhlopriečky 2, 3 spájajúcej body [x 2 , y 2 ] a [x 3 , y 3 ] anezávisí od polohy elementux (12) = x (0) − 1 (x 2 2 + x 3 ) , y (12) = y (0) − 1 (y 2 2 + y 3 ) . (3.2.68)52

Lokálny vektor vratnej sily v 2D problémeVeľkosť vektora je∣∣α (12)∣ ∣ = √ x (12) x (12) + y (12) y (12) . (3.2.69)Táto hodnota je nezávislá od rotácie a môže byť použitá ako miera toho, ako veľmi saštvoruholník líši od rovnobežníka. V prípade rovnobežníka sú stredy oboch uhlopriečokv bode α (0) a tento vektor je nulový. Tento fakt má veľký význam pri tvorbe algoritmu,pretože ak je element rovnobežník, determinant Jacobiánu je konštantný:⎡ ⎤ ⎡⎤DetJ = Det ⎣ x, ξ x, η⎦ = Det ⎣ (x(1) + x (12) η) (x (2) + x (12) ξ)⎦ . (3.2.70)y, ξ y, η (y (1) + y (12) η) (y (2) + y (12) ξ)Ak výraz (3.2.70) vyjadríme v tvare⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡DetJ = Det ⎣ x(1) x (2)⎦ + ξDet ⎣ x(1) x (12)⎦ + ηDet ⎣ x(12)y (1) y (2) y (1) y (12) y (12)⎤x (2)⎦ ,y (2) (3.2.71)ľahko vidieť, že pre vektor α (12) = [x (12) , y (12) ] = [0, 0] je determinant Jacobiánu⎡ ⎤DetJ = Det ⎣ x(1) x (2)⎦ (3.2.72)y (1) y (2)nezávislý od priestorových súradníc a teda je konštantný.Ďalšia časť izoparametrickej reprezentácie (3.2.59) je interpolácia posunutí pomocounovej bázy a e-invariantov:u x = u (0)x 1 + u (1)x ξ + u (2)x η + u (12)x ξη ,u y = u (0)y 1 + u (1)y ξ + u (2)y η + u (12)y ξη .(3.2.73)Lokálny vektor vratnej sily závisí od derivácií posunutia podľa globálnych súradnícx, y. Vzhľadom k tomu, že [u (0)x , u (1)x , u (2)x , u (12)x ] a [u (0)y , u (1)y , u (2)y , u (12)y ] nie sú závisléod priestorových súradníc x, y, môžeme derivácie posunutí u x , u ybázové funkcie. Derivácie posunutia podľa globálnych súradníc potom budúpreniesť na novéu x , x = u (0)x 0 + u (1)x ξ, x + u (2)x η, x + u (12)x (ξη), x ,u y , x = u (0)y 0 + u (1)y ξ, x + u (2)y η, x + u (12)y (ξη), x ,u x , y = u (0)x 0 + u (1)x ξ, y + u (2)x η, y + u (12)x (ξη), y ,u y , y = u (0)y 0 + u (1)y ξ, y + u (2)y η, y + u (12)y (ξη), y ,(3.2.74)kde derivácie ξ, η podľa x, y sú prvky inverzného Jacobiánu53

Výsledky dizertačnej práceJ −1 =⎡ ⎤⎣ ξ, x η, x⎦ =ξ, y η, y1DetJ⎡⎣ y, η−y, ξ⎤−x, η⎦ . (3.2.75)x, ξPrvé e-invarianty sú x-ová a y-ová zložka strednej hodnoty posunutí v uzloch [1, 2, 3, 4]u (0)x= u x1 + u x2 + u x3 + u x44, u (0)y= u y1 + u y2 + u y3 + u y44. (3.2.76)Tieto e-invarianty vyjadrujú celkové posunutie časti pružného kontinua aproximovanéhoštvoruholníkom β (0) = [u (0)x , u (0)y ]. Nulové koeficienty vo vzťahoch (3.2.74), ktorésa vyskytujú pri e-invariantoch u (0)x a u (0)y , ukazujú, že výpočet lokálneho vektora vratnejsily nezávisí od toho, kam sa časť kontinua posunie. Je to nadbytočná informácia,ktorú pri tvorbe algoritmu z výpočtu vynecháme. Význam ostatných e-invariantov,ako uvidíme neskôr, sa prejaví pri výpočte vektora vratnej sily pre špeciálny prípadelementu v tvare štvorca.Ak dosadíme deformácie do vzťahu pre výpočet napätia, môžeme počítať prvkylokálneho vektora vratnej silyr x =r y =∫ 1 ∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1(b, x τ xx + b, y τ xy ) DetJ dξ dη ,(b, x τ yx + b, y τ yy ) DetJ dξ dη .(3.2.77)Vo vzťahu (3.2.77) vyjadríme derivácie štandardných bázových funkcií podľa x, y pomocouderivácií nových bázových funkcií podľa x, yb, x =(T −1 b (inv) ), x = ( 1 4 TT b (inv) ), x = 1 4 TT b, (inv)x ,b, y =(T −1 b (inv) ), y = ( 1 4 TT b (inv) ), y = 1 4 TT b, (inv)y(3.2.78)a dostanemer x =r y =∫ 1∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1−1( 14 TT b, (inv)x( 14 TT b, (inv)xτ xx + 1 4 TT b, (inv)y τ xy)DetJ dξ dη ,τ yx + 1 4 TT b, (inv)y τ yy)DetJ dξ dη .(3.2.79)Ak vo výraze (3.2.79) vyberieme inverznú transformačnú maticu pred integrál, dostaneme:54r x = 1 4 TT ∫ 1r y = 1 4 TT ∫ 1∫ 1−1 −1∫ 1−1−1(b,(inv)x(b,(inv)xτ xx + b, (inv)y τ xy)DetJ dξ dη ,τ yx + b, (inv)y τ yy)DetJ dξ dη .(3.2.80)

Lokálny vektor vratnej sily v 2D problémeĎalej zľava vynásobíme transformačnou maticou obe strany rovnice (3.2.80)Tr x = T 1 4 TT ∫ 1Tr y = T 1 4 TT ∫ 1∫ 1−1 −1∫ 1−1−1(b,(inv)x(b,(inv)xτ xx + b, (inv)y τ xy)DetJ dξ dη ,τ yx + b, (inv)y τ yy)DetJ dξ dη ,(3.2.81)a dostaneme vzťah pre e-invarianty lokálneho vektora vratnej silyr (inv)x = Tr x =r (inv)y = Tr y =Vzťah (3.2.82) rozpíšeme:∫ 1∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1−1(b,(inv)x(b,(inv)xτ xx + b, (inv)y τ xy)DetJ dξ dη ,τ yx + b, (inv)y τ yy)DetJ dξ dη .(3.2.82)r (0)x = +r x1 +r x2 +r x3 +r x4 =r (1)x = −r x1 +r x2 −r x3 +r x4 =r (2)x = −r x1 −r x2 +r x3 +r x4 =r (12)x = +r x1 −r x2 −r x3 +r x4 =r (0)y = +r y1 +r y2 +r y3 +r y4 =r (1)y = −r y1 +r y2 −r y3 +r y4 =r (2)y = −r y1 −r y2 +r y3 +r y4 =r (12)y = +r y1 −r y2 −r y3 +r y4 =∫ 1 ∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1(0τ xx + 0τ xy ) DetJ dξ dη ,(ξ, x τ xx + ξ, y τ xy ) DetJ dξ dη ,(η, x τ xx + η, x τ xy ) DetJ dξ dη ,[(ξη), x τ xx + (ξη), x τ xy ] DetJ dξ dη ,(0τ yx + 0τ yy ) DetJ dξ dη ,(ξ, x τ yx + ξ, y τ yy ) DetJ dξ dη ,(η, x τ yx + η, x τ yy ) DetJ dξ dη ,(3.2.83)[(ξη), x τ yx + (ξη), x τ yy ] DetJ dξ dη .(3.2.84)Prvý e-invariant [r x (0) , r y(0) ] vyjadruje súčet lokálnych vratných síl pôsobiacich na element.Nulové koeficienty, ktoré sa vyskytujú pri zložkách tenzora napätia, vyjadrujúfakt, že túto informáciu vo výpočte nepotrebujeme. Význam ostatných e-invariantov,ako uvidíme neskôr, sa prejaví pri výpočte vektora vratnej sily pre špeciálny prípadelementu v tvare štvorca.55

Výsledky dizertačnej prácePríkladBudeme uvažovať o štvorcoch, ktoré majú rovnakú veľkosť a orientáciu ako referenčnýelement. V tomto prípade sa priestorová transformácia medzi lokálnymi a globálnymisúradnicami redukuje na posunutiex = 1 4 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + ξ = x (0) + ξ ,y = 1 4 (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) + η = y (0) + η(3.2.85)v konečno-elementnej sieti. Inverzná transformácia je potom posunutie v opačnomsmere:ξ = x (0) − x ,(3.2.86)η = y (0) − y .Zo vzťahov (3.2.85) a (3.2.86) vyplýva, že Jacobián transformácie i Jacobián inverznejtransformácie je jednotková maticaJ = J −1 =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ x, ξ x, η⎦ = ⎣ ξ, x η, x⎦ = ⎣ 1 0 ⎦y, ξ y, η ξ, y η, y 0 1(3.2.87)aDetJ = 1 . (3.2.88)V takomto prípade pre derivácie nových bázových funkcií b (inv) podľa x a y dostanemeb, (inv)x =⎡ ⎤0ξ, x⎢ η,⎣ x ⎥⎦(ηξ), x=⎡ ⎤01⎢0⎥⎣ ⎦η, b, (inv)y =⎡ ⎤0ξ, y⎢ η,⎣ y ⎥⎦(ηξ), y=⎡ ⎤00. (3.2.89)⎢1⎥⎣ ⎦ξTieto derivácie bázy použijeme na výpočet derivácií posunutí vo vzťahu (3.2.74):u x , x = u (0)x 0 + u (1)x 1 + u (2)x 0 + u (12)x η ,u y , x = u (0)y 0 + u (1)y 1 + u (2)y 0 + u (12)y η ,u x , y = u (0)x 0 + u (1)x 0 + u (2)x 1 + u (12)x ξ ,u y , y = u (0)y 0 + u (1)y 0 + u (2)y 1 + u (12)y ξ .(3.2.90)Prvé e-invarianty (3.2.62) sme analyzovali pri výpočte derivácií posunutí pre všeobecnýštvoruholník. Druhé e-invarianty56

Lokálny vektor vratnej sily v 2D problémeu (1)x= −u x1 + u x2 − u x3 + u x44, u (1)y= −u y1 + u y2 − u y3 + u y44(3.2.91)prepíšeme do tvaruu (1)x =u x1 +u x3− u x2+u x42 22, u (1)y =u y1 +u y3− u y2+u y42 22, (3.2.92)kde u x1+u x32a u y1+u y32je priemerná x-ová a y-ová zložka posunutia medzi uzlami [1, 3].u x2 +u x42a u y2+u y42je zasa priemerná x-ová a y-ová zložka posunutia medzi uzlami [2, 4].Ak vezmeme do úvahy, že x-ový a y-ový rozmer elementu je h = 2, tak vidno, žedruhý e-invariant predstavuje aproximáciu u x , x a u y , xx-ovou diferenciou. Nulové koeficienty,ktoré sa vyskytujú vo vzťahoch (3.2.90) pri e-invariantoch u (1)x a u (1)yvyjadrujúfakt, že na aproximáciu derivácie posunutia podľa y je diferencia podľa x zbytočnáinformácia. Tretie e-invariantyu (2)x= −u x1 − u x2 + u x3 + u x44, u (2)y= −u y1 − u y2 + u y3 + u y44(3.2.93)prepíšeme do tvaruu (2)x =u x3 +u x4− u x1+u x22 22, u (2)y =u y3 +u y4− u y1+u y22 22, (3.2.94)kde u x1+u x22a u y1+u y22je priemerná x-ová a y-ová zložka posunutia medzi uzlami [1, 2].u x3 +u x42a u y3+u y42je priemerná x-ová a y-ová zložka posunutia medzi uzlami [3, 4]. Akvezmeme do úvahy, že x-ový a y-ový rozmer elementu je h = 2, vidno, že tretí e-invariant predstavuje aproximáciu u x , y a u y , yy-ovou diferenciou. Nulové koeficienty,ktoré sa vyskytujú vo vzťahoch (3.2.90) pri e-invariantoch, u (2)x a u (2)yvyjadrujú fakt,že na aproximáciu derivácie posunutia podľa x je diferencia podľa y zbytočná informácia.Ak nadbytočnú informáciu vynecháme, môžeme vyjadriť derivácie posunutí podľaglobálnych súradníc x, y nasledovne:u x , x = u (1)x + ηu (12)x , u x , y = u (2)x + ξu (12)x ,u y , x = u (1)y + ηu (12)y , u y , y = u (2)y + ξu (12)y .Pre e-invarianty lokálnych síl v prípade jednotkového štvorca platí(3.2.95)r x (0) = ∫ 1 ∫ 1 (0τ −1 −1 xx + 0τ xy ) dξ dη , r y (0) = ∫ 1 1−1∫ (0τ −1 yx + 0τ yy ) dξ dη ,r (1)x = ∫ 1−1r (2)x = ∫ 1−1r (12)x = ∫ 1−1∫ 1 (1τ −1 xx + 0τ xy ) dξ dη , r y (1) = ∫ 1 1−1∫ (1τ −1 yx + 0τ yy ) dξ dη ,∫ 1 (0τ −1 xx + 1τ xy ) dξ dη , r y (2) = ∫ 1 1−1∫ (0τ −1 yx + 1τ yy ) dξ dη ,∫ 1 (ητ −1 xx + ξτ xy ) dξ dη , r y (12) = ∫ 1 1−1∫ (ητ −1 yx + ξτ yy ) dξ dη ,(3.2.96)57

Výsledky dizertačnej prácekde nulové koeficienty pri prvkoch tenzora napätia ukazujú, čo netreba integrovať.Vo výrazoch (3.2.96) analyticky vypočítame integrály z prvkov tenzora napätia, ktorévyjadríme pomocou derivácií posunutí (3.2.95):() ()τ xx = (λ + 2µ) u (1)x + ηu (12)x + λ u (2)y + ξu (12)y ,()τ xy = µ u (2)x + ξx (12) + u (1)y + ηu (12)y ,() ()τ yy = (λ + 2µ) u (2)y + ξy (12) + λ u (1)x + ηu (12)x .(3.2.97)Integrály vyjadríme z prvkov tenzora napätia násobených deriváciami bázových funkcií:() ()ητ xx = (λ + 2µ) ηu (1)x + η 2 u (12)x + λ ηu (2)y + ηξu (12)y ,()ητ xy = µ ηu (2)x + ξηu (12)x + ηu (1)y + η 2 u (12)y ,()(3.2.98)ξτ xy = µ ξu (2)x + ξ 2 u (12)x + ξu (1)y + ξηu (12)y ,() ()ξτ yy = (λ + 2µ) ξu (2)y + ξ 2 u (12)y + λ ξu (1)x + ξηu (12)x .Pri výpočte integrálov využijeme ortogonalitu bázových funkcií a vypočítané integrálypoužijeme na výpočet e-invariantov síl:⎡⎤0(λ + 2µ) u (1)r (inv)x + λu (2)yx =( )⎢ µ u (2)x + u (1), r (inv)y =y ⎥⎣⎦(λ + 3µ) u(12) x13⎡⎤0( )µ u (2)x + u (1)y⎢(λ + 2µ) u (2)y + λu (1). (3.2.99)x ⎥⎣⎦(λ + 3µ) u(12) yVzťahy (3.2.92) a (3.2.94) vyjadrujú fakt, že e-invarianty posunutia u (1)x , u (2)x , u (1)y , u (2)ysú aproximácie x−ovej a y−ovej zložky derivácií posunutí diferenciami. Ak porovnámeprvky vektorov r (inv)xr x (1) , r x (2) , r y (1) , r y(2)a r (inv)y13s Hookovým zákonom, zistíme, že e-invariantysú zložky tenzora napätia aproximované diferenciami:τ xx ≈ r x (1) = (λ + 2µ) u (1)x + λu (2)( )τ xy ≈ r x (2) = µ u (1)y + u (2)x ,( )τ yx ≈ r y (1) = µ u (2)x + u (1)y ,x ,τ yy ≈ r (2)y = (λ + 2µ) u (2)y + λu (1)x .(3.2.100)Z e-invariantov dostaneme použitím inverznej transformácie prvky lokálneho vektoravratnej silyr x= T T r (inv)x , r y = T T r (inv)y . (3.2.101)58

Lokálny vektor vratnej sily v 2D probléme3.2.4 Transformácia do e-invariantovTransformáciu do e-invariantov možno zapísať ako súčin transformačnej matice a maticepolôh uzlov a posunutí v uzloch⎡⎤⎡⎤ ⎡+1 +1 +1 +1 x 1 y 1 u x1 u y1−1 +1 −1 +1x 2 y 2 u x2 u y2=⎢ −1 −1 +1 +1 ⎥⎢x⎣⎦⎣3 y 3 u x3 u y4 ⎥ ⎢⎦ ⎣+1 −1 −1 +1 x 4 y 4 u x3 u y4x (0) y (0) u (0)x u (0)yx (1) y (1) u (1)x u (1)yx (2) y (2) u (2)x u (2)yx (12) y (12) u (12)x u (12)y⎤. (3.2.102)⎥⎦Transformačná matica T je zložená z troch submatíc T 1 a jednej submatice −T 1 , kde⎡ ⎤+1 +1T 1 = ⎣ ⎦ (3.2.103)−1 +1je transformačná matica pre 1D problém. Transformáciu (3.2.102) teda môžeme vyjadriťpomocou submatíc v tvare⎡⎡⎤⎡⎤⎤⎡⎡ ⎤⎡+1 +1 +1 +1⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ x 1 y 1⎦⎣ u x1−1 +1 −1 +1x ⎡ ⎤⎡⎤2 y 2 u⎡ ⎤⎡x2⎢ −1 −1 +1 +1 ⎥⎢⎣⎣ ⎦⎣ ⎦⎦⎣⎣ x 3 y 3⎦⎣ u x3+1 −1 −1 +1 y 4alebox 4u x3⎡ ⎤⎡⎤⎣ +T 1 +T 1⎦⎣ X 12 U 12⎦ =−T 1 +T 1 X 34 U 34⎤⎤⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤u y1⎦⎣ x(0) y (0)⎦ ⎣ x(0) y (0)⎦u y2 x⎤=(1) y (1) x (1) y (1) ⎡ ⎤⎡⎤u y4 ⎥ ⎢⎦⎦⎣⎣ x(2) y (2)⎦⎣ u(2) x u (2),y ⎥⎦⎦u y4 x (12) y (12) u (12)x u (12)y(3.2.104)⎡⎣ X(01) U (01)X (212)⎤⎦ . (3.2.105)U (212)Ľavú stranu maticovej rovnice (3.2.105) roznásobíme:⎡ ⎤⎡⎤ ⎡⎤⎣ +T 1 +T 1⎦⎣ X 12 U 12⎦ = ⎣ T 1X 12 + T 1 X 34 T 1 U 12 + T 1 U 34⎦ . (3.2.106)−T 1 +T 1 X 34 U 34 T 1 X 34 − T 1 X 12 T 1 U 34 − T 1 U 12V pravej strane maticovej rovnice (3.2.106) sa zdvojene vyskytujú násobenia submatícT 1 X 12 , T 1 X 34 , T 1 U 12 , T 1 U 34 . (3.2.107)Najskôr vynásobíme tieto submatice, čo znamená 16 operácií ±. Výsledné matice potomsčítame/odčítame podľa (3.2.106) , čo znamená 16 operácií ±. To znamená, že natransformáciu potrebujeme celkom 32 operácií ±. Ak by sme vykonali transformáciu59

Výsledky dizertačnej prácenásobením podľa (3.2.102), potrebovali by sme 48 operácií ±. V samotnom algoritmeokrem tohto zjednodušenia ešte redukujeme transformačnú maticu z rozmeru 4 × 4na rozmer 3 × 4 vynechaním prvého riadku, čím eliminujeme z výpočtu e-invariantyx (0) , y (0) , u (0)x , u (0)y , od ktorých lokálny vektor vratnej sily nezávisí.3.2.5 Algoritmus s využitím e-invariantovUvedieme algoritmus výpočtu lokálneho vektora vratnej sily vyjadreného v novej báze,ktorá umožní vo výpočte využiť e-invarianty. Ku každému algoritmickému kroku uvediemepočty operácií delenia, násobenia, sčítania/odčítania, pre ktoré použijeme symboly÷, ∗, ±.AlgoritmusVynulujeme premenné pre prvky e-invariantov lokálneho vektora vratnej silyr (1)x = 0 r (1)y = 0r (2)x = 0 r (2)y = 0r (12)x = 0 r (12)y = 0Transformujeme polohy a posunutia v uzloch do e-invariantov (3.2.102)(3.2.108)x 21 = x 2 − x 1 u x21 = u x2 − u x1÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 8y 21 = y 2 − y 1 u y21 = u y2 − u y1x 43y 43= x 4= y 4− x 3− y 3u x43u y43= u x4= u y4− u x3− u y3(3.2.109)60x (1) = x 43 + x 21 y (1) = y 43 + y 21x (2) = x 4 + x 3 − x 2 − x 1 y (2) = y 4 + x 3 − x 2 − x 1x (12) = x 43 − x 21 y (12) = y 43 − y 21(3.2.110)u (12)x = u x43 − u x21 u (12)y = u y43 − u y21u (1)x = u x43 + u x21 u (1)y = u y43 + u y21u (2)x = u x4 + u x3 − u x2 − u x1 u (2)y = u y4 + u y3 − u y2 − u y1

Lokálny vektor vratnej sily v 2D probléme÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 20Začiatok integračného cykluVypočítame funkčné hodnoty x ξ , y ξ , x η , y η v integračných bodoch použitím vzťahu (3.2.61)x, ξ = x (1) + x (12) ∗ ηy, ξ = y (1) + y (12) ∗ ηx, η = x (2) + x (12) ∗ ξy, η = y (2) + y (12) ∗ ξ(3.2.111)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 4 ± ↦→ 4Podľa (3.2.41) vypočítameD J =0.0625x ξ ∗ y η − y ξ ∗ x η(3.2.112)÷ ↦→ 1 ∗ ↦→ 2 ± ↦→ 1Vypočítame derivácie ξ, η podľa x, yξ x = y, η ξ y = −y, ξη x = −x, η η y = x, ξξη x = y, η ∗η − x, η ∗ξ ξη y = ξ ∗ x, ξ −y, ξ ∗η(3.2.113)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 4 ± ↦→ 4Podľa (3.2.74) vypočítame÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 12 ± ↦→ 8u xx = u (1)x ∗ ξ x + u (2)x ∗ η x + u (12)xu yx = u (1)y ∗ ξ x + u (2)y ∗ η x + u (12)yu xy = u (1)x ∗ ξ y + u (2)x ∗ η y + u (12)xu yy = u (1)y ∗ ξ y + u (2)y ∗ η y + u (12)∗ ξη x∗ ξη x(3.2.114)y ∗ ξη y∗ ξη yPodľa (3.2.37) vypočítame61

Výsledky dizertačnej práceα = λ + µ + µτ xx = (α ∗ u xx + λ ∗ u yy ) ∗ D J(3.2.115)τ yy = (α ∗ u yy + λ ∗ u xx ) ∗ D Jτ xy = µ ∗ (u xy + u yx ) ∗ D J÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 8 ± ↦→ 5Vypočítame integrand vo vzťahu (3.2.83)h (1)x = ξ x ∗ τ xx + ξ y ∗ τ xy h (1)y = ξ x ∗ τ yx + ξ y ∗ τ yyh (1)x = η x ∗ τ xx + η y ∗ τ xy h (1)y = η x ∗ τ yx + η y ∗ τ yyh (1)x = ξη x ∗ τ xx + ξη y ∗ τ xy h (1)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 12 ± ↦→ 6y = ξη x ∗ τ yx + ξη y ∗ τ yy(3.2.116)r x (1) = r x (1) + h (1)x r y (1) = r y (1) + h (1)yr x (2) = r x (2) + h (2)x r y (2) = r y (2) + h (2)yr x (12) = r x (12) + h (12)x r y (12) = r y (12) + h (12)y(3.2.117)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 6Koniec integračného cykluPodľa (3.2.101) transformujeme e-invarianty síl na lokálny vektor vratnej silyr x43 = r x (1) + r x (2) r y43 = r y (1) + r y(2)r x1 = r x (12) − r x43 r y1 = r y(12)− r y43r x2 = r x (1) − r x (2) − r x (12) r y2 = r y (1) − r y (2) − r y(12)(3.2.118)r x4 = r x (12) + r x43 r y4 = r y (12) + r y43r x3 = r x (2) − r x (1) − r x (12) r y3 = r y (2) − r y (1) − r y(12)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 1462

Lokálny vektor vratnej sily v 3D probléme3.3 Lokálny vektor vratnej sily v 3D problémeBudeme sa zaoberať trojrozmerným problémom pohybovej rovnice kontinuaρu x , tt = τ xx , x + τ xy , y + τ xz , z + f x ,ρu y , tt = τ yx , x + τ yy , y + τ yz , z + f y ,ρu z , tt = τ zx , x + τ zy , y + τ zz , z + f z .(3.3.1)V rovnici (3.3.1) je hustota zotrvačnej sily ρ⃗u, tt = [ ρu x , tt , ρu y , tt , ρu z , tt ] T , kde ρ jehustota, u x , u y a u z sú v x-ová , y-ová a z -ová zložka posunutia . Hustota vratnejsily je daná divergenciou tenzora napätia⎡⎤τ xx , x + τ xy , y + τ xz , z⃗r = div ⃗τ = ⎢ τ⎣ yx , x + τ yy , y + τ yz , z ⎥(3.3.2)⎦τ zx , x + τ zy , y + τ zz , za Hookov zákon v trojrozmernom probléme má tvar⎡ ⎤ ⎡⎤⎡⎤τ xx λ + 2µ λ λ 0 0 0 u x , xτ yyλ λ + 2µ λ 0 0 0u y , yτ zzλ λ λ + 2µ 0 0 0u =z , z. (3.3.3)τ xy0 0 0 µ 0 0u x , y + u y , x⎢τ ⎣ yz ⎥ ⎢ 0 0 0 0 µ 0⎥⎢u⎦ ⎣⎦⎣y , z + u z , y ⎥⎦τ xz 0 0 0 0 0 µ u x , z + u z , xHustota externej sily je daná vektorom f ⃗ = [f x , f y , f z ] T .V nasledujúcom texte budeme uvažovať elementy v tvare konvexných šesťstenov určenýchpolohami vrcholov (x i(e) , y i(e) , z i(e) ). (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) je číslo uzla prekonkrétny element e. Slabá forma pohybovej rovnice (3.3.1) pre element e má tvar63

Výsledky dizertačnej práce∫ρ ü x w kΩ e dΩ =+∫ρ ü y w kΩ e dΩ =+∫ρ ü z w kΩ e dΩ =+∫( τ xx w k , x + τ xy w k , y + τ xz w k , z ) dΩ∫Ω e ∫τ xn w k dΓ + f x w k dΩ ,∫Γ e Ω e( τ yx w k , x + τ yy w k , y + τ yz w k , z ) dΩ∫Ω e ∫τ yn w k dΓ + f y w k dΩ , (3.3.4)Γ e Ω∫e ( τ zx w k , x + τ zy w k , y + τ zz w k , z ) dΩΩ∫e ∫τ zn w k dΓ + f z w k dΩ ,Γ e Ω ekde w k ∈ {w 1 , w 2 , w 3 , ..., w ∞ } sú váhové funkcie. Na zobrazenie medzi globálnymsúradnicovým systémom, (x, y) a lokálnym súradnicovým systémom (ξ, η) použijemebilineárne štvoruholníkové bázové funkcie⎡ ⎤ ⎡⎤b 1 (1 − ξ) (1 − η) (1 − ζ)b 2(1 + ξ) (1 − η) (1 − ζ)b 3(1 − ξ) (1 + η) (1 − ζ)bb =4= 1 (1 + ξ) (1 + η) (1 − ζ)b 58. (3.3.5)(1 − ξ) (1 − η) (1 + ζ)b 6(1 + ξ) (1 − η) (1 + ζ)⎢b ⎣ 7 ⎥ ⎢(1 − ξ) (1 + η) (1 + ζ) ⎥⎦ ⎣⎦b 8 (1 + ξ) (1 + η) (1 + ζ)Pomocou bázových funkcií transformujeme body (ξ, η, ζ) jednotkovej kocky s vrcholmiv bodochξ = [−1, +1, −1, +1, −1, +1, −1, +1] T ,η = [−1, −1, +1, +1, −1, −1, +1, +1] T ,(3.3.6)ζ = [−1, −1, −1, −1, +1, +1, +1, +1] T ,na body (x, y, z) šesťstenového elementu Ω e s vrcholmi v bodochx = [ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 ] T ,y = [ y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 , y 7 , y 8 ] T ,(3.3.7)z = [ z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 , z 7 , z 8 ] T .64

Lokálny vektor vratnej sily v 3D problémeTransformáciu vyjadríme ako skalárny súčin vektora bázových funkcií (3.3.5) s vektormisúradníc vrcholov (3.3.7)x = b T x , y = b T y , z = b T z . (3.3.8)Na aproximáciu riešenia pre element použijeme Lagrangeov interpolačný polynóm generovanýrovnakými bázovými funkciamiu x = b T u x , u y = b T u y , u z = b T u z , (3.3.9)kdeu x = [u x1 , u x2 , u x3 , u x4 , u x5 , u x6 , u x7 , u x8 ] T ,u y = [u y1 , u y2 , u y3 , u y4 , u y5 , u y6 , u y7 , u y8 ] T ,(3.3.10)u z = [u z1 , u z2 , u z3 , u z4 , u z5 , u z6 , u z7 , u z8 ] Tsú x−ové, y−ové a z−ové časovo závislé hodnoty riešenia v uzloch.Ak priestor váhových funkcií w i v rovnici (3.3.4) aproximujeme zložkami vektorab, prvý integrál na ľavej strane rovnice vyjadruje lokálny vektor vratnej silyr e x =r e y =r e z =∫ 1∫ 1∫ 1−1 −1 −1∫ 1 ∫ 1 ∫ 1−1 −1 −1∫ 1 ∫ 1 ∫ 1−1 −1 −1(τ xx b, x + τ xy b, y + τ xz b, z ) DetJ dξ dη dζ ,(τ yx b, x + τ yy b, y + τ yz b, z ) DetJ dξ dη dζ , (3.3.11)(τ zx b, x + τ zy b, y + τ zz b, z ) DetJ dξ dη dζ ,kde tenzor napätia je daný Hookovým zákonom Vzhľadom k tomu, že u x , u y a u z niesú závislé od priestorových súradníc, môžeme derivácie posunutia (3.3.9) preniesť nabázové funkcieu x , x = b Ț x u x , u x , y = b Ț y u x , u x , z = b Ț z u x ,u y , x = b Ț x u y , u y , y = b Ț y u y , u y , z = b Ț z u y ,u z , x = b Ț x u z , u z , y = b Ț y u z , u z , z = b Ț z u z .(3.3.12)Použijeme reťazové pravidlo a derivácie bázových funkcií podľa x, y, z vyjadríme pomocouderivácií bázových funkcií podľa ξ, η, ζ,b, x = b, ξ ξ, x +b, η η, x +b, ζ ζ, x ,b, y = b, ξ ξ, y +b, η η, y +b, ζ ζ, y ,(3.3.13)b, z = b, ξ ξ, z +b, η η, z +b, ζ ζ, z ,65

Výsledky dizertačnej prácekde derivácie ξ, η, ζ podľa x, y, z,⎡ ⎤ ⎡⎤ξ, x η, x ζ, xy, ⎢ξ, ⎣ y η, y ζ, y ⎥⎦ = 1η z, ζ −y, ζ z, η y, ζ z, ξ −y, ξ z, ζ y, ξ z, η −y, η z, ξ⎢x, DetJ⎣ζ z, η −x, η z, ζ x, ξ z, ζ −x, ζ z, ξ x, η y, ξ −x, ξ z, η ⎥⎦ ,ξ, z η, z ζ, z x, η y, ζ −x, ζ y, η x, ζ y, ξ −x, ξ y, ζ x, ξ y, η −x, η y, ξ(3.3.14)sú prvkami inverznej matice Jacobiánu transformácie (3.3.8)⎡ ⎤x, ξ x, η x, ζJ = ⎢y, ⎣ ξ y, η y, ζ ⎥⎦ . (3.3.15)z, ξ z, η z, ζPrvky Jacobiánu vyjadríme pomocou derivácií bázových funkcií podľa ξ, η, ζ,x, ξ = b Ț ξ x , x, η = b Ț η x , x, ζ = b Ț ζ x ,y, ξ = b Ț ξ y , y, η = b Ț η y , y, ζ = b Ț ζ y ,z, ξ = b Ț ξ z , z, η = b Ț η z , z, ζ = b Ț ζ z ,(3.3.16)kde derivácie bázových funkcií podľa lokálnych súradníc ξ, η, ζ súb, ξ = 1 8b, ζ = 1 8⎡⎤−1 (1 − η − ζ + ηζ)+1 (1 − η − ζ + ηζ)−1 (1 + η − ζ − ηζ)+1 (1 + η − ζ − ηζ), b, η = 1 −1 (1 − η + ζ − ηζ)8+1 (1 − η + ζ − ηζ)⎢−1 (1 + η + ζ + ηζ) ⎥⎣⎦+1 (1 + η + ζ + ηζ)⎡⎤−1 (1 − ξ − η + ξη)−1 (1 + ξ − η − ξη)−1 (1 − ξ + η − ξη)−1 (1 + ξ + η + ξη).+1 (1 − ξ − η + ξη)+1 (1 + ξ − η − ξη)⎢+1 (1 − ξ + η − ξη) ⎥⎣⎦+1 (1 + ξ + η + ξη)⎡⎤−1 (1 − ξ − ζ + ξζ)−1 (1 + ξ − ζ − ξζ)+1 (1 − ξ − ζ + ξζ)+1 (1 + ξ − ζ − ξζ),−1 (1 − ξ + ζ − ξζ)−1 (1 + ξ + ζ + ξζ)⎢+1 (1 − ξ + ζ − ξζ) ⎥⎣⎦+1 (1 + ξ + ζ + ξζ)(3.3.17)66

Lokálny vektor vratnej sily v 3D probléme3.3.1 Algoritmus bez využitia e-invariantovUvedieme algoritmus výpočtu lokálneho vektora vratnej sily vyjadreného v štandardnejbáze použitím Gaussovej kvadratúry. Ku každému algoritmickému kroku uvediemepočty operácií delenia, násobenia, sčítania/odčítania, pre ktoré použijeme symboly÷, ∗, ±.AlgoritmusVynulujeme premenné pre prvky lokálneho vektora vratnej silyr x1 = 0 r y1 = 0 r z1 = 0r x2 = 0 r y2 = 0 r z2 = 0r x3 = 0 r y3 = 0 r z3 = 0r x4 = 0 r y4 = 0 r z4 = 0r x5 = 0 r y5 = 0 r z5 = 0(3.3.18)r x6 = 0 r y6 = 0 r z6 = 0r x7 = 0 r y7 = 0 r z7 = 0r x8 = 0 r y8 = 0 r z8 = 0Vypočítame diferencie priestorových súradnícx 21 = x 2 − x 1 y 21 = y 2 − y 1 z 21 = z 2 − z 1x 43 = x 4 − x 3 y 43 = y 4 − y 3 z 43 = z 4 − z 3x 65 = x 6 − x 5 y 65 = y 6 − y 5 z 65 = z 6 − z 5x 87 = x 8 − x 7 y 87 = y 8 − y 7 z 87 = z 8 − z 7(3.3.19)x 86 = x 8 − x 6 y 86 = y 8 − y 6 z 86 = z 8 − z 6x 31 = x 3 − x 1 y 31 = y 3 − y 1 z 31 = z 3 − z 1x 42 = x 4 − x 2 y 42 = y 4 − y 2 z 42 = z 4 − z 2x 75 = x 7 − x 5 y 75 = y 7 − y 5 z 75 = z 7 − z 567

Výsledky dizertačnej prácex 51 = x 5 − x 1 y 51 = y 5 − y 1 z 51 = z 5 − z 1x 62 = x 6 − x 2 y 62 = y 6 − y 2 z 62 = z 6 − z 2(3.3.20)x 84 = x 8 − x 4 y 84 = y 8 − y 4 z 84 = z 8 − z 4x 73 = x 7 − x 3 y 73 = y 7 − y 3 z 73 = z 7 − z 3÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 36Začiatok integračného cykluVypočítame funkčné hodnoty v integračných bodoch pre funkcie b iξ = 8b i , ξ , b iη =8b i , η , b iζ = 8b i , ζ , kde i je číslo konkrétnej bázovej funkcieηζ = η ∗ ζ ξζ = ξ ∗ ζ ξη = ξ ∗ ηη p = 1 + η ξ p = 1 + ξη m = 1 − η ξ m = 1 − ξ(3.3.21)ζ ηp = ζ + ζη ζ ξp = ζ + ξζ η ξp = η + ηξζ ηm = ζ − ζη ζ ξm = ζ − ξζ η ξm = η − ηξb 2ξb 4ξb 6ξ= η m − ζ ηp b 3η = ξ m − ζ ξp b 5ζ = ξ m − η ξpb 8ξ = η p + ζ ηp b 8η = ξ p + ζ ξp b 8ζ = ξ p + η ξp= η p − ζ ηm b 4η = ξ p − ζ ξm b 6ζ = ξ p − η ξm= η m + ζ ηm b 7η = ξ m + ζ ξm b 7ζ = ξ m + η ξm÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 3 ± ↦→ 22Vypočítame funkčné hodnoty x ξ = 8x, ξ , y ξ = 8y, ξ , z ξ = 8z, ξ , x η = 8x, η , y η =8y, η , z η = 8z, η , x ζ = 8x, ζ , y ζ = 8y, ζ , z ζ = 8z, ζ v integračných bodoch použitímvzťahu68

Lokálny vektor vratnej sily v 3D problémex ξ = b 2ξ ∗ x 21 + b 4ξ ∗ x 43 + b 6ξ ∗ x 65 + b 8ξ ∗ x 87y ξ = b 2ξ ∗ y 21 + b 4ξ ∗ y 43 + b 6ξ ∗ y 65 + b 8ξ ∗ y 87z ξ = b 2ξ ∗ z 21 + b 4ξ ∗ z 43 + b 6ξ ∗ z 65 + b 8ξ ∗ z 87x η = b 3η ∗ x 31 + b 4η ∗ x 42 + b 7η ∗ x 75 + b 8η ∗ x 86y η = b 3η ∗ y 31 + b 4η ∗ y 42 + b 7η ∗ y 75 + b 8η ∗ y 86 (3.3.22)z ζ = b 5ζ ∗ z 51 + b 6ζ ∗ z 62 + b 7ζ ∗ z 73 + b 8ζ ∗ z 84z η = b 3η ∗ z 31 + b 4η ∗ z 42 + b 7η ∗ z 75 + b 8η ∗ z 86x ζ = b 5ζ ∗ x 51 + b 6ζ ∗ x 62 + b 7ζ ∗ x 73 + b 8ζ ∗ x 84y ζ = b 5ζ ∗ y 51 + b 6ζ ∗ y 62 + b 7ζ ∗ y 73 + b 8ζ ∗ y 84÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 36 ± ↦→ 27Vypočítame funkčné hodnoty D J= 1/DetJ v integračných bodochd 1= y η ∗ z ζ − y ζ ∗ z ηd 2 = y ζ ∗ z ξ − y ξ ∗ z ζ (3.3.23)d 3= y ξ ∗ z η − y η ∗ z ξD J =0.001953125x ξ ∗ d 1 + x η ∗ d 2 + x ζ ∗ d 3÷ ↦→ 1 ∗ ↦→ 9 ± ↦→ 5Vypočítame funkčné hodnoty derivácií lokálnych súradníc podľa globálnych súradníc, ktorésú násobené determinantom Jacobiánu v integračných bodochξ x = d 1 η x = d 2 ζ x = d 2ξ y = x ζ ∗ z η − x η ∗ z ζ η y = x ξ ∗ z ζ − x ζ ∗ z ξ ζ y = x η ∗ y ξ − x ξ ∗ z ηξ z = x η ∗ y ζ − x ζ ∗ y η η z = x ζ ∗ y ξ − x ξ ∗ y ζ ζ z = x ξ ∗ y η − x η ∗ y ξ(3.3.24)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 12 ± ↦→ 6Vypočítame derivácie bázových funkcií podľa x, y, z69

Výsledky dizertačnej práceb 2ξ ξ x = b 2ξ ∗ ξ x b 3η η x = b 3η ∗ η x b 5ζ ζ x = b 5ζ ∗ ζ xb 4ξ ξ x = b 4ξ ∗ ξ x b 4η η x = b 4η ∗ η x b 6ζ ζ x = b 6ζ ∗ ζ xb 6ξ ξ x = b 6ξ ∗ ξ x b 7η η x = b 7η ∗ η x b 7ζ ζ x = b 7ζ ∗ ζ xb 8ξ ξ x = b 8ξ ∗ ξ x b 8η η x = b 8η ∗ η x b 8ζ ζ x = b 8ζ ∗ ζ xb 1x = −b 2ξ ξ x − b 3η η x − b 5ζ ζ x ,b 2x = b 2ξ ξ x − b 4η η x − b 6ζ ζ x ,b 3x = b 3η η x − b 4ξ ξ x − b 7ζ ζ x ,b 4x = b 4ξ ξ x + b 4η η x − b 8ζ ζ x ,b 5x = b 5ζ ζ x − b 7η η x − b 6ξ ξ x ,b 6x = b 6ξ ξ x − b 8η η x + b 6ζ ζ x ,b 7x = b 7η η x − b 8ξ ξ x + b 7ζ ζ x ,b 8x = b 8ξ ξ x + b 8η η x + b 8ζ ζ x ,(3.3.25)b 2ξ ξ y = b 2ξ ∗ ξ y b 3η η y = b 3η ∗ η y b 5ζ ζ y = b 5ζ ∗ ζ yb 4ξ ξ y = b 4ξ ∗ ξ y b 4η η y = b 4η ∗ η y b 6ζ ζ y = b 6ζ ∗ ζ yb 6ξ ξ y = b 6ξ ∗ ξ y b 7η η y = b 7η ∗ η y b 7ζ ζ y = b 7ζ ∗ ζ yb 8ξ ξ y = b 8ξ ∗ ξ y b 8η η y = b 8η ∗ η y b 8ζ ζ y = b 8ζ ∗ ζ yb 1y = −b 2ξ ξ y − b 3η η y − b 5ζ ζ y ,b 2y = b 2ξ ξ y − b 4η η y − b 6ζ ζ y ,b 3y = b 3η η y − b 4ξ ξ y − b 7ζ ζ y ,b 4y = b 4ξ ξ y + b 4η η y − b 8ζ ζ y ,b 5y = b 5ζ ζ y − b 7η η y − b 6ξ ξ y ,b 6y = b 6ξ ξ y − b 8η η y + b 6ζ ζ y ,b 7y = b 7η η y − b 8ξ ξ y + b 7ζ ζ y ,b 8y = b 8ξ ξ y + b 8η η y + b 8ζ ζ y ,(3.3.26)70

Lokálny vektor vratnej sily v 3D problémeb 2ξ ξ z = b 2ξ ∗ ξ z b 3η η z = b 3η ∗ η z b 5ζ ζ z = b 5ζ ∗ ζ zb 4ξ ξ z = b 4ξ ∗ ξ z b 4η η z = b 4η ∗ η z b 6ζ ζ z = b 6ζ ∗ ζ zb 6ξ ξ z = b 6ξ ∗ ξ z b 7η η z = b 7η ∗ η z b 7ζ ζ z = b 7ζ ∗ ζ zb 8ξ ξ z = b 8ξ ∗ ξ z b 8η η z = b 8η ∗ η z b 8ζ ζ z = b 8ζ ∗ ζ zb 1z = −b 2ξ ξ z − b 3η η z − b 5ζ ζ z ,b 2z = b 2ξ ξ z − b 4η η z − b 6ζ ζ z ,b 3z = b 3η η z − b 4ξ ξ z − b 7ζ ζ z ,b 4z = b 4ξ ξ z + b 4η η z − b 8ζ ζ z ,b 5z = b 5ζ ζ z − b 7η η z − b 6ξ ξ z ,b 6z = b 6ξ ξ z − b 8η η z + b 6ζ ζ z ,b 7z = b 7η η z − b 8ξ ξ z + b 7ζ ζ z ,b 8z = b 8ξ ξ z + b 8η η z + b 8ζ ζ z ,(3.3.27)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 36 ± ↦→ 51Vypočítame derivácie posunutí podľa x, y, zu xx = u x1 ∗b 1x + u x2 ∗b 2x + u x3 ∗b 3x + u x4 ∗b 4x + u x5 ∗b 5x + u x6 ∗b 6x + u x7 ∗b 7x + u x8 ∗b 8xu xy = u x1 ∗b 1y + u x2 ∗b 2y + u x3 ∗b 3y + u x4 ∗b 4y + u x5 ∗b 5y + u x6 ∗b 6y + u x7 ∗b 7y + u x8 ∗b 8yu xz = u x1 ∗b 1z + u x2 ∗b 2z + u x3 ∗b 3z + u x4 ∗b 4z + u x5 ∗b 5z + u x6 ∗b 6z + u x7 ∗b 7z + u x8 ∗b 8zu yx = u y1 ∗b 1x + u y2 ∗b 2x + u y3 ∗b 3x + u y4 ∗b 4x + u y5 ∗b 5x + u y6 ∗b 6x + u y7 ∗b 7x + u y8 ∗b 8xu yy = u y1 ∗b 1y + u y2 ∗b 2y + u y3 ∗b 3y + u y4 ∗b 4y + u y5 ∗b 5y + u y6 ∗b 6y + u y7 ∗b 7y + u y8 ∗b 8yu yz = u y1 ∗b 1z + u y2 ∗b 2z + u y3 ∗b 3z + u y4 ∗b 4z + u y5 ∗b 5z + u y6 ∗b 6z + u y7 ∗b 7z + u y8 ∗b 8zu zx = u z1 ∗b 1x + u z2 ∗b 2x + u z3 ∗b 3x + u z4 ∗b 4x + u z5 ∗b 5x + u z6 ∗b 6x + u z7 ∗b 7x + u z8 ∗b 8xu zy = u z1 ∗b 1y + u z2 ∗b 2y + u z3 ∗b 3y + u z4 ∗b 4y + u z5 ∗b 5y + u z6 ∗b 6y + u z7 ∗b 7y + u z8 ∗b 8yu zz = u z1 ∗b 1z + u z2 ∗b 2z + u z3 ∗b 3z + u z4 ∗b 4z + u z5 ∗b 5z + u z6 ∗b 6z + u z7 ∗b 7z + u z8 ∗b 8z÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 72 ± ↦→ 63Vypočítame napätia71

Výsledky dizertačnej práceYD J = D J ∗ (λ + µ + µ)λD J = D J ∗ λµD J = D J ∗ µτ xx = YD J ∗ u xx + λD J ∗ (u yy + u zz )τ yy = YD J ∗ u yy + λD J ∗ (u xx + u zz )τ zz = YD J ∗ u zz + λD J ∗ (u xx + u yy )τ xy = µD J ∗ (u xy + u yx )τ yz = µD J ∗ (u yz + u zy )τ xz = µD J ∗ (u xz + u zx )(3.3.28)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 12 ± ↦→ 11Vypočítame lokálny vektor vratnej silyr1x e = r1x e + τ xx ∗ b 1x + τ xy ∗ b 1y + τ xz ∗ b 1zr2x e = r2x e + τ xx ∗ b 2x + τ xy ∗ b 2y + τ xz ∗ b 2zr3x e = r3x e + τ xx ∗ b 3x + τ xy ∗ b 3y + τ xz ∗ b 3zr4x e = r4x e + τ xx ∗ b 4x + τ xy ∗ b 4y + τ xz ∗ b 4zr5x e = r5x e + τ xx ∗ b 5x + τ xy ∗ b 5y + τ xz ∗ b 5zr6x e = r6x e + τ xx ∗ b 6x + τ xy ∗ b 6y + τ xz ∗ b 6zr7x e = r7x e + τ xx ∗ b 7x + τ xy ∗ b 7y + τ xz ∗ b 7zr8x e = r8x e + τ xx ∗ b 8x + τ xy ∗ b 8y + τ xz ∗ b 8zr1y e = r1y e + τ xy ∗ b 1x + τ yy ∗ b 1y + τ yz ∗ b 1zr2y e = r2y e + τ xy ∗ b 2x + τ yy ∗ b 2y + τ yz ∗ b 2zr3y e = r3y e + τ xy ∗ b 3x + τ yy ∗ b 3y + τ yz ∗ b 3zr4y e = r4y e + τ xy ∗ b 4x + τ yy ∗ b 4y + τ yz ∗ b 4zr5y e = r5y e + τ xy ∗ b 5x + τ yy ∗ b 5y + τ yz ∗ b 5zr6y e = r6y e + τ xy ∗ b 6x + τ yy ∗ b 6y + τ yz ∗ b 6zr7y e = r7y e + τ xy ∗ b 7x + τ yy ∗ b 7y + τ yz ∗ b 7zr8y e = r8y e + τ xy ∗ b 8x + τ yy ∗ b 8y + τ yz ∗ b 8z72

Lokálny vektor vratnej sily v 3D problémer1z e = r1z e + τ xz ∗ b 1x + τ yz ∗ b 1y + τ zz ∗ b 1zr2z e = r2z e + τ xz ∗ b 2x + τ yz ∗ b 2y + τ zz ∗ b 2zr3z e = r3z e + τ xz ∗ b 3x + τ yz ∗ b 3y + τ zz ∗ b 3zr4z e = r4z e + τ xz ∗ b 4x + τ yz ∗ b 4y + τ zz ∗ b 4zr5z e = r5z e + τ xz ∗ b 5x + τ yz ∗ b 5y + τ zz ∗ b 5zr6z e = r6z e + τ xz ∗ b 6x + τ yz ∗ b 6y + τ zz ∗ b 6zr7z e = r7z e + τ xz ∗ b 7x + τ yz ∗ b 7y + τ zz ∗ b 7zr8z e = r8z e + τ xz ∗ b 8x + τ yz ∗ b 8y + τ zz ∗ b 8z÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 72 ± ↦→ 72Koniec integračného cyklu3.3.2 e-invariantyIzoparametrickú formu (3.3.9) a (3.3.8) možno vyjadriť pomocou štandardnej bázy(3.3.5) alebo pomocou novej bázy b (inv) = [1, ξ, η, ηξ, ζ, ξζ, ηζ, ηξζ] T . Transformáciastarej bázy do novej bázy jeb (inv) = Tb , (3.3.29)kde⎡⎤+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1−1 +1 −1 +1 −1 +1 −1 +1−1 −1 +1 +1 −1 −1 +1 +1+1 −1 −1 +1 +1 −1 −1 +1T =−1 −1 −1 −1 +1 +1 +1 +1+1 −1 +1 −1 −1 +1 −1 +1⎢ +1 +1 −1 −1 −1 −1 +1 +1 ⎥⎣⎦−1 +1 +1 −1 +1 −1 −1 +1je transformačná matica, pre ktorú platí(3.3.30)18 TT T = I . (3.3.31)Izoparametrickú formu výpočtu vyjadríme v novej báze pomocou (3.3.29) a (3.3.31),x =b T x = b T Ix = b T ( 18 TT T ) x= ( b T T T ) ( 18 Tx) = (Tb) T ( 18 Tx) = b (inv)T x (inv) ,(3.3.32)73

Výsledky dizertačnej prácekdex (inv) =[x (0) , x (1) , x (2) , x (12) , x (3) , x (13) , x (23) , x (123) ](3.3.33)sú koeficienty nezávislé od priestorových súradníc ξ, η, ζ . Analogicky s (3.3.32) vyjadrímeu x = b (inv)T u (inv)x ,y = b (inv)T y (inv) , u y = b (inv)T u (inv)y ,z = b (inv)T z (inv) , u z = b (inv)T u (inv)z .(3.3.34)Prvky Jacobiánu priestorovej transformácie (3.3.16) môžeme vyjadriť v novej bázex, ξ = b (inv)T , ξ x (inv) , x, η = b (inv)T , η x (inv) , x, ζ = b (inv)T , ζ x (inv) ,y, ξ = b (inv)T , ξ y (inv) , y, η = b (inv)T , η y (inv) , y, ζ = b (inv)T , ζ y (inv) ,z, ξ = b (inv)T , ξ z (inv) , z, η = b (inv)T , η z (inv) , z, ζ = b (inv)T , ζ z (inv) ,(3.3.35)kde derivácie bázových funkcií podľa ξ, η, ζ súb , (inv)ξ =b , (inv)η =b , (inv)ζ =(3.3.36),[T0, 1, 0, η, 0, ζ, 0, ηζ],[T0, 0, 1, ξ, 0, 0, ζ, ξζ],[] T0, 0, 0, 0, 1, ξ, η, ηξpričom derivácie štandardnej bázy (3.3.17) sú bilineárne polynómy. Ak rozpíšeme prvkyJacobiánu (3.3.35) vyjadrené v novej báze, ukáže sa, ktoré e-invarianty vo výpočtelokálneho vektora vratnej sily nepotrebujeme:74x, ξ = 0x (0) + 1x (1) + 0x (2) + ηx (12) + 0x (3) + ζx (13) + 0x (23) + ηζx (123) ,x, η = 0x (0) + 0x (1) + 1x (2) + ξx (12) + 0x (3) + 0x (13) + ζx (23) + ξζx (123) ,x, ζ = 0x (0) + 0x (1) + 0x (2) + 0x (12) + 1x (3) + ξx (13) + ηx (23) + ηξx (123) ,y, ξ = 0y (0) + 1y (1) + 0y (2) + ηy (12) + 0y (3) + ζy (13) + 0y (23) + ηζy (123) ,y, η = 0y (0) + 0y (1) + 1y (2) + ξy (12) + 0y (3) + 0y (13) + ζy (23) + ξζy (123) ,y, ζ = 0y (0) + 0y (1) + 0y (2) + 0y (12) + 1y (3) + ξy (13) + ηy (23) + ηξy (123) ,z, ξ = 0z (0) + 1z (1) + 0z (2) + ηz (12) + 0z (3) + ζz (13) + 0z (23) + ηζz (123) ,z, η = 0z (0) + 0z (1) + 1z (2) + ξz (12) + 0z (3) + 0z (13) + ζz (23) + ξζz (123) ,z, ζ = 0z (0) + 0z (1) + 0z (2) + 0z (12) + 1z (3) + ξz (13) + ηz (23) + ηξz (123) .(3.3.37)

Lokálny vektor vratnej sily v 3D problémeĎalšou časťpu izoparametrickej reprezentácie je interpolácia posunutí pomocou novejbázy a e-invariantov. Na výpočet lokálneho vektora vratnej sily potrebujeme derivácieposunutia podľa x, y, z ,u x , x = b (inv)T , x u (inv)x , u x , y = b (inv)T , y u (inv)x , u x , z = b (inv)T , z u (inv)x ,u y , x = b (inv)T , x u (inv)y , u y , y = b (inv)T , y u (inv)y , u y , z = b (inv)T , z u (inv)y ,(3.3.38)u z , x = b (inv)T , x u (inv)z , u z , y = b (inv)T , y u (inv)z , u z , z = b (inv)T , z u (inv)z ,kde derivácie nových bázových funkcií podľa x, y, z sú⎡ ⎤ ⎡⎤b (0) , x0b (1) , xξ, xb (2) , xη, xb (12) , xη, x ξ + η ξ, xb , (inv)x ==b (3) , xζ, xb (13), xξ, x ζ + ξ ζ, x⎢ b (23) , x⎥ ⎢ η, x ζ + η ζ, x⎥⎣ ⎦ ⎣⎦b , (123) x η, x ξ ζ + η ξ, x ζ + η ξζ, x(3.3.39)a derivácie lokálnych súradníc ξ, η, ζ podľa globálnych súradníc x, y, z sú prvkamiinverznej matice Jacobiánu (3.3.14).Ak deformácie (3.3.38) dosadíme do vzťahu pre výpočet napätia (3.3.3), môžemepočítať prvky lokálneho vektora vratnej sily (3.3.11) podľa nasledujúcich vzťahov:r e x =r e y =r e z =∫ 1∫ 1∫ 1−1 −1 −1∫ 1 ∫ 1 ∫ 1−1 −1 −1∫ 1 ∫ 1 ∫ 1−1 −1 −1(τ xx b, x + τ xy b, y + τ xz b, z ) DetJ dξ dη dζ ,(τ yx b, x + τ yy b, y + τ yz b, z ) DetJ dξ dη dζ , (3.3.40)(τ zx b, x + τ zy b, y + τ zz b, z ) DetJ dξ dη dζ .Vo vzťahu (3.3.40) vyjadríme derivácie štandardných bázových funkcií podľa x, y, zpomocou derivácií nových bázových funkcií podľa x, y, z analogicky s postupom v 2Dprobléme:b, x = (T −1 b (inv) ), x = ( 1 8 TT b (inv) ), x = 1 8 TT b, (inv)x ,b, y = (T −1 b (inv) ), y = ( 1 8 TT b (inv) ), y = 1 8 TT b, (inv)y ,b, z = (T −1 b (inv) ), z = ( 1 8 TT b (inv) ), z = 1 8 TT b, (inv)z .(3.3.41)75

Výsledky dizertačnej práceDostanemer e x =r e y =r e z =∫ 1∫ 1∫ 1−1 −1 −1∫ 1 ∫ 1 ∫ 1−1 −1 −1∫ 1 ∫ 1 ∫ 1−1−1−1( )1 τxx8 TT b, (inv) 1x +τ xy 8 TT b, (inv) 1y +τ xz 8 TT b, (inv)z DetJ dξ dη dζ ,( )1 τyx8 TT b, (inv) 1x +τ yy 8 TT b, (inv) 1y +τ yz 8 TT b, (inv)z DetJ dξ dη dζ ,( )1 τzx8 TT b, (inv) 1x +τ zy 8 TT b, (inv) 1y +τ zz 8 TT b, (inv)z DetJ dξ dη dζ .Inverznú transformačnú maticu vyberieme pred integrál,kder e x = 1 8 TT ∫ 1r e y = 1 8 TT ∫ 1r e z = 1 8 TT ∫ 1∫ 1r, (inv)x =r, (inv)y =r, (inv)z =∫ 1∫ 1−1 −1 −1∫ 1 ∫ 1−1 −1 −1∫ 1 ∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−1 −1 −1∫ 1 ∫ 1 ∫ 1−1 −1 −1∫ 1 ∫ 1 ∫ 1−1−1−1−1(τxx b, (inv)x(τyx b, (inv)x(τzx b, (inv)x(τxx b, (inv)x(τyx b, (inv)x(τzx b, (inv)x+τ xy b, (inv)y+τ yy b, (inv)y+τ zy b, (inv)y+τ xy b, (inv)y+τ yy b, (inv)y+τ zy b, (inv)y+τ xz b, (inv)z+τ yz b, (inv)z+τ zz b, (inv)z+τ xz b, (inv)z+τ yz b, (inv)z+τ zz b, (inv)z)DetJ dξ dη dζ ,(3.3.42))DetJ dξ dη dζ , (3.3.43))DetJ dξ dη dζ ,)DetJ dξ dη dζ ,sú e-invarianty lokálnych vratných síl. Získame ich transformáciou)DetJ dξ dη dζ , (3.3.44))DetJ dξ dη dζr, (inv)x = Tr e x , r, (inv)y = Tr e y , r, (inv)z = Tr e z . (3.3.45)3.3.3 Algoritmus s využitím e-invariantovUvedieme algoritmus výpočtu lokálneho vektora vratnej sily vyjadreného v novej báze,ktorá umožní vo výpočte využiť e-invarianty. Ku každému algoritmickému kroku uvediemepočty operácií delenia, násobenia, sčítania/odčítania, pre ktoré použijeme symboly÷, ∗, ±.AlgoritmusVynulujeme premenné pre prvky lokálneho vektora vratnej sily76

Lokálny vektor vratnej sily v 3D problémer (1)x = 0 r (1)y = 0 r (1)z = 0r (2)x = 0 r (2)y = 0 r (2)z = 0r (12)x = 0 r (12)y = 0 r (12)z = 0r (3)x = 0 r (3)y = 0 r (3)z = 0r (13)x = 0 r (13)y = 0 r (13)z = 0r (23)x = 0 r (23)y = 0 r (23)z = 0r (123)x = 0 r (123)y = 0 r (123)z = 0(3.3.46)Transformujeme polohy uzlov do e-invariantovx 21 = x 2 − x 1 x 43 = x 4 − x 3 x 65 = x 6 − x 5 x 87 = x 8 − x 7x 12 = x 1 + x 2 x 34 = x 3 + x 4 x 56 = x 5 + x 6 x 78 = x 7 + x 8x 4321 = x 43 − x 21 x 8765 = x 87 − x 65x 2143 = x 21 + x 43 x 6587 = x 65 + x 87x 3412 = x 34 − x 12 x 7856 = x 78 − x 56x (1) = x 6587 + x 2143 x (2) = x 7856 + x 3412 x (12) = x 8765 + x 4321x (13) = x 6587 − x 2143 x (23) = x 7856 − x 3412 x (123) = x 8765 − x 4321x (3) = x 56 + x 78 − x 12 − x 34(3.3.47)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 23y 21 = y 2 − y 1 y 43 = y 4 − y 3 y 65 = y 6 − y 5 y 87 = y 8 − x 7y 12 = y 1 + y 2 y 34 = y 3 + y 4 y 56 = y 5 + y 6 y 78 = y 7 + x 8y 4321 = y 43 − y 21 y 8765 = y 87 − y 65y 2143 = y 21 + y 43 y 6587 = y 65 + y 87y 3412 = y 34 − y 12y (1) = y 6587 + y 2143 y (2)y (13) = y 6587 − y 2143 y (23)y (3) = y 56 + y 78 − y 12 − y 34y 7856 = y 78 − y 567856 + y 3412 y (12)7856 − y 3412 y (123) (3.3.48)= y = y 8765 + y 4321= y = y 8765 − y 432177

Výsledky dizertačnej práce÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 23z 21 = z 2 − z 1 z 43 = z 4 − z 3 z 65 = z 6 − z 5 z 87 = z 8 − z 7z 12 = z 1 + z 2 z 34 = z 3 + z 4 z 56 = z 5 + z 6 z 78 = z 7 + z 8z 4321 = z 43 − z 21 z 8765 = z 87 − z 65z 2143 = z 21 + z 43 z 6587 = z 65 + z 87z 3412 = z 34 − z 12z (1) = z 6587 + z 2143 z (2)z (13) = z 6587 − z 2143 z (23)z (3) = z 56 + z 78 − z 12 − z 34z 7856 = z 78 − z 567856 + z 3412 z (12)7856 − z 3412 z (123) (3.3.49)= z = z 8765 + z 4321= z = z 8765 − z 4321÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 23Transformujeme posunutia do e-invariantovu x21 = u x2 − u x1 u x43 = u x4 − u x3 u x65 = u x6 − u x5 u x87 = u x8 − u x7u x12 = u x1 + u x2 u x34 = u x3 + u x4 u x56 = u x5 + u x6 u x78 = u x7 + u x8u x4321 = u x43 − u x21u x2143 = u x21 + u x43u x3412 = u x34 − u x12u x8765 = u x87 − u x65u x6587 = u x65 + u x87u x7856 = u x78 − u x56u (1) x = u x6587 + u x2143 u (2) x = u x7856 + u x3412 u x(12)= u x8765 + u x4321u x (13) = u x6587 − u x2143 u x (23) = u x7856 − u x3412 u x(123) = u x8765 − u x4321u (3) x = u x56 + u x78 − u x12 − u x34(3.3.50)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 2378

Lokálny vektor vratnej sily v 3D problémeu y21 = u y2 − u y1 u y43 = u y4 − u y3 u y65 = u y6 − u y5 u y87 = u y8 − u y7u y12 = u y1 + u y2 u y34 = u y3 + u y4 u y56 = u y5 + u y6 u y78 = u y7 + u y8u y4321 = u y43 − u y21u y2143 = u y21 + u y43u y3412 = u y34 − u y12u y8765 = u y87 − u y65u y6587 = u y65 + u y87u y7856 = u y78 − u y56u (1) y = u y6587 + u y2143 u (2) y = u y7856 + u y3412 u y(12)= u y8765 + u y4321u y (13) = u y6587 − u y2143 u y (23) = u y7856 − u y3412 u y(123) = u y8765 − u y4321u (3) y = u y56 + u y78 − u y12 − u y34(3.3.51)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 23u z21 = u z2 − u z1 u z43 = u z4 − u z3 u z65 = u z6 − u z5 u z87 = u z8 − u z7u z12 = u z1 + u z2 u z34 = u z3 + u z4 u z56 = u z5 + u z6 u z78 = u z7 + u z8u z4321 = u z43 − u z21u z2143 = u z21 + u z43u z3412 = u z34 − u z12u z8765 = u z87 − u z65u z6587 = u z65 + u z87u z7856 = u z78 − u z56u (1) z = u z6587 + u z2143 u (2) z = u z7856 + u z3412 u z(12)= u z8765 + u z4321u z (13) = u z6587 − u z2143 u z (23) = u z7856 − u z3412 u z(123) = u z8765 − u z4321u (3) z = u z56 + u z78 − u z12 − u z34(3.3.52)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 23Začiatok integračného cykluVypočítame funkčné hodnoty x ξ = 8x, ξ , y ξ = 8y, ξ , z ξ = 8z, ξ , x η = 8x, η , y η =8y, η , z η = 8z, η , x ζ = 8x, ζ , y ζ = 8y, ζ , z ζ = 8z, ζv integračných bodoch použitím vzťahuξη = ξ ∗ η ξζ = ξ ∗ ζ ηζ = η ∗ ζ79

Výsledky dizertačnej prácex ξ = x (1) + η ∗ x (12) + ζ ∗ x (13) + ηζ ∗ x (123)x η = x (2) + ξ ∗ x (12) + ζ ∗ x (23) + ξζ ∗ x (123)x ζ = x (3) + ξ ∗ x (13) + η ∗ x (23) + ηξ ∗ x (123)y ξ = y (1) + η ∗ y (12) + ζ ∗ y (13) + ηζ ∗ y (123)y η = y (2) + ξ ∗ y (12) + ζ ∗ y (23) + ξζ ∗ y (123)y ζ = y (3) + ξ ∗ y (13) + η ∗ y (23) + ηξ ∗ y (123)z ξ = z (1) + η ∗ z (12) + ζ ∗ z (13) + ηζ ∗ z (123)z η = z (2) + ξ ∗ z (12) + ζ ∗ z (23) + ξζ ∗ z (123)z ζ = z (3) + ξ ∗ z (13) + η ∗ z (23) + ηξ ∗ z (123)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 30 ± ↦→ 27Vypočítame funkčné hodnoty D J= 1/DetJ v integračných bodochd 1= y η ∗ z ζ − y ζ ∗ z ηd 2 = y ζ ∗ z ξ − y ξ ∗ z ζ (3.3.53)d 3= y ξ ∗ z η − y η ∗ z ξD J =0.001953125x ξ ∗ d 1 + x η ∗ d 2 + x ζ ∗ d 3÷ ↦→ 1 ∗ ↦→ 9 ± ↦→ 5Vypočítame funkčné hodnoty derivácií lokálnych súradníc podľa globálnych súradníc, ktorésú násobené determinantom Jacobiánu v integračných bodochξ x = d 1 η x = d 2 ζ x = d 2ξ y = x ζ ∗ z η − x η ∗ z ζ η y = x ξ ∗ z ζ − x ζ ∗ z ξ ζ y = x η ∗ y ξ − x ξ ∗ z ηξ z = x η ∗ y ζ − x ζ ∗ y η η z = x ζ ∗ y ξ − x ξ ∗ y ζ ζ z = x ξ ∗ y η − x η ∗ y ξ(3.3.54)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 12 ± ↦→ 6Vypočítame funkčné hodnoty80

Lokálny vektor vratnej sily v 3D problémeb (1)x= ξ xb (1)yx = ξζ ∗ η x + ηζ ∗ ξ x + ηξ ∗ ζ x= η xb (2)y= η x ∗ ξ + η ∗ ξ x= ζ xb (3)y= ξ x ∗ ζ + ξ ∗ ζ x= η x ∗ ζ + η ∗ ζ xb (2)xb (12)xb (3)xb (13)xb (23)xb (123)b (12)yb (13)yb (23)yb (123)y= ξ y= η y= η y ∗ ξ + η ∗ ξ y= ζ y= ξ y ∗ ζ + ξ ∗ ζ y= η y ∗ ζ + η ∗ ζ y= ξζ ∗ η y + ηζ ∗ ξ y + ηξ ∗ ζ y(3.3.55)b (1)zb (2)zb (12)zb (3)zb (13)zb (23)z= ξ z= η z= η z ∗ ξ + η ∗ ξ z= ζ z= ξ z ∗ ζ + ξ ∗ ζ z= η z ∗ ζ + η ∗ ζ zb (123)z÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 27 ± ↦→ 15= ξζ ∗ η z + ηζ ∗ ξ z + ηξ ∗ ζ zVypočítame derivácie posunutí podľa x, y, zu xx =u (1)x ∗b (1)x + u (2)x ∗b (2)x + u (12)x ∗b (12)x + u (3)x ∗b (3)x + u (13)x ∗b (13)x + u (23)x ∗b (23)x + u (123)x ∗b (123)xu xy =u (1)x ∗b (1)y + u (2)x ∗b (2)y + u (12)x ∗b (12)y + u (3)x ∗b (3)y + u (13)x ∗b (13)y + u (23)x ∗b (23)y + u (123)x ∗b (123)yu xz =u (1)x ∗b (1)z + u (2)x ∗b (2)z + u (12)x ∗b (12)z + u (3)x ∗b (3)z + u (13)x ∗b (13)z + u (23)x ∗b (23)z + u (123)x ∗b (123)z81

Výsledky dizertačnej práceu yx =u (1)y ∗b (1)x + u (2)y ∗b (2)x + u (12)y ∗b (12)x + u (3)y ∗b (3)x + u (13)y ∗b (13)x + u (23)y ∗b (23)x + u (123)y ∗b (123)xu yy =u (1)y ∗b (1)y + u (2)y ∗b (2)y + u (12)y ∗b (12)y + u (3)y ∗b (3)y + u (13)y ∗b (13)y + u (23)y ∗b (23)y + u (123)y ∗b (123)yu yz =u (1)y ∗b (1)z + u (2)y ∗b (2)z + u (12)y ∗b (12)z + u (3)y ∗b (3)z + u (13)y ∗b (13)z + u (23)y ∗b (23)z + u (123)y ∗b (123)zu zx =u (1)z ∗b (1)x + u (2)z ∗b (2)x + u (12)z ∗b (12)x + u (3)z ∗b (3)x + u (13)z ∗b (13)x + u (23)z ∗b (23)x + u (123)z ∗b (123)xu zy =u (1)z ∗b (1)y + u (2)z ∗b (2)y + u (12)z ∗b (12)y + u (3)z ∗b (3)y + u (13)z ∗b (13)y + u (23)z ∗b (23)y + u (123)z ∗b (123)yu zz =u (1)z ∗b (1)z + u (2)z ∗b (2)z + u (12)z ∗b (12)z + u (3)z ∗b (3)z + u (13)z ∗b (13)z + u (23)z ∗b (23)z + u (123)z ∗b (123)z÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 63 ± ↦→ 54Vypočítame napätiaYD J = D J ∗ (λ + µ + µ)λD J = D J ∗ λµD J = D J ∗ µτ xx = YD J ∗ u xx + λD J ∗ (u yy + u zz )τ yy = YD J ∗ u yy + λD J ∗ (u xx + u zz )τ zz = YD J ∗ u zz + λD J ∗ (u xx + u yy )τ xy = µD J ∗ (u xy + u yx )τ yz = µD J ∗ (u yz + u zy )τ xz = µD J ∗ (u xz + u zx )(3.3.56)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 12 ± ↦→ 1182

Lokálny vektor vratnej sily v 3D problémeVypočítame e-invarianty lokálneho vektora vratnej silyr x (1) = r x (1) + τ xx ∗ b (1)x + τ xy ∗ b (1)y + τ xz ∗ b (1)zr x (2) = r x (2) + τ xx ∗ b (2)x + τ xy ∗ b (2)y + τ xz ∗ b (2)zr x (12) = r x (12) + τ xx ∗ b (12)x + τ xy ∗ b (12)y + τ xz ∗ b (12)zr x (3) = r x (3) + τ xx ∗ b (3)x + τ xy ∗ b (3)y + τ xz ∗ b (3)zr x (13) = r x (13) + τ xx ∗ b (13)x + τ xy ∗ b (13)y + τ xz ∗ b (13)zr x (23) = r x (23) + τ xx ∗ b (23)x + τ xy ∗ b (23)y + τ xz ∗ b (23)zr x (123) = r x (123) + τ xx ∗ b (123)x + τ xy ∗ b (123)y + τ xz ∗ b (123)zr y (1) = r y (1) + τ yx ∗ b (1)x + τ yy ∗ b (1)y + τ yz ∗ b (1)zr y (2) = r y (2) + τ yx ∗ b (2)x + τ yy ∗ b (2)y + τ yz ∗ b (2)zr y (12) = r y (12) + τ yx ∗ b (12)x + τ yy ∗ b (12)y + τ yz ∗ b (12)zr y (3) = r y (3) + τ yx ∗ b (3)x + τ yy ∗ b (3)y + τ yz ∗ b (3)zr y (13) = r y (13) + τ yx ∗ b (13)x + τ yy ∗ b (13)y + τ yz ∗ b (13)zr y (23) = r y (23) + τ yx ∗ b (23)x + τ yy ∗ b (23)y + τ yz ∗ b (23)zr y (123) = r y (123) + τ yx ∗ b (123)x + τ yy ∗ b (123)y + τ yz ∗ b (123)zr z (1) = r z (1) + τ zx ∗ b (1)x + τ zy ∗ b (1)y + τ zz ∗ b (1)zr z (2) = r z (2) + τ zx ∗ b (2)x + τ zy ∗ b (2)y + τ zz ∗ b (2)zr z (12) = r z (12) + τ zx ∗ b (12)x + τ zy ∗ b (12)y + τ zz ∗ b (12)zr z (3) = r z (3) + τ zx ∗ b (3)x + τ zy ∗ b (3)y + τ zz ∗ b (3)zr z (13) = r z (13) + τ zx ∗ b (13)x + τ zy ∗ b (13)y + τ zz ∗ b (13)zr z (23) = r z (23) + τ zx ∗ b (23)x + τ zy ∗ b (23)y + τ zz ∗ b (23)zr z (123) = r z (123) + τ zx ∗ b (123)x + τ zy ∗ b (123)y + τ zz ∗ b (123)z÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 63 ± ↦→ 63Koniec integračného cyklue-invarianty lokálneho vektora vratnej sily transformujeme na vratnú silur x6587 = r x (1) + r x (13) r x7856 = r x (2) + r x (23) r x8765 = r x (12) + r x(123)r x2143 = r x (1) − r x (13) r x3412 = r x (2) − r x (23) r x4321 = r x (12) − r x(123)(3.3.57)83

Výsledky dizertačnej prácer x87 = r x8765 + r x6587 r x65 = r x6587 − r x8765r x43 = r x4321 + r x2143 r x21 = r x2143 − r x4321r x34 = r x3412 − r x (3) r x12 = −r x3412 − r x(3)r x78 = r x7856 + r x (3) r x56 = r x(3)− r x7856r x1 = r x12 − r x21 r x2 = r x12 + r x21r x3 = r x34 − r x43 r x4 = r x34 + r x43r x5 = r x56 − r x65 r x6 = r x56 + r x65r x7 = r x78 − r x87 r x8 = r x78 + r x87÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 23r y6587 = r y (1) + r y (13) r y7856 = r y (2) + r y (23) r y8765 = r y (12) + r y(123)r y2143 = r y (1) − r y (13) r y3412 = r y (2) − r y (23) r y4321 = r y (12) − r y(123)(3.3.58)r y87 = r y8765 + r y6587 r y65 = r y6587 − r y8765r y43 = r y4321 + r y2143 r y21 = r y2143 − r y4321r y34 = r y3412 − r y (3) r y12 = −r y3412 − r y(3)r y78 = r y7856 + r y (3) r y56 = r y(3)− r y7856r y1 = r y12 − r y21 r y2 = r y12 + r y21r y3 = r y34 − r y43 r y4 = r y34 + r y43r y5 = r y56 − r y65 r y6 = r y56 + r y65r y7 = r y78 − r y87 r y8 = r y78 + r y87÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 23r z6587 = r z (1) + r z (13) r z7856 = r z (2) + r z (23) r z8765 = r z (12) + r z(123)r z2143 = r z (1) − r z (13) r z3412 = r z (2) − r z (23) r z4321 = r z (12) − r z(123)(3.3.59)r z87 = r z8765 + r z6587 r z65 = r z6587 − r z8765r z43 = r z4321 + r z2143 r z21 = r z2143 − r z4321r z34 = r z3412 − r z (3) r z12 = −r z3412 − r z(3)r z78 = r z7856 + r z (3) r z56 = r z(3)− r z785684

Prípad elementu v tvare kockyr z1 = r z12 − r z21 r z2 = r z12 + r z21r z3 = r z34 − r z43 r z4 = r z34 + r z43r z5 = r z56 − r z65 r z6 = r z56 + r z65r z7 = r z78 − r z87 r z8 = r z78 + r z87÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 233.4 Prípad elementu v tvare kockyBudeme uvažovať elementy v tvare kociek, ktoré majú rovnakú veľkosť a orientáciuako referenčný element. V tomto prípade sa priestorová transformácia medzi lokálnymia globálnymi súradnicami redukuje na posunutiex = 1(x 4 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 ) + ξ = x (0) + ξ ,y = 1 4 (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + x 5 + y 6 + y 7 + y 8 ) + η = y (0) + η ,(3.4.1)z = 1(z 4 1 + z 2 + z 3 + z 4 + x 5 + z 6 + z 7 + z 8 ) + ζ = z (0) + ζ ,v konečnoelementnej sieti. Inverzná transformácia je potom posunutie v opačnomsmere:ξ = x (0) − x ,η = y (0) − y ,(3.4.2)ζ = z (0) − z .Zo vzťahov (3.4.1) a (3.4.2) vyplýva, že Jacobián transformácie, i Jacobián inverznejtransformácie je jednotková maticaJ = J −1 =⎡ ⎤ ⎡ ⎤x, ξ x, η x, ζ 1 0 0⎢y, ⎣ ξ y, η y, ζ ⎥⎦ = ⎢0 1 0⎥⎣ ⎦z, ξ z, η z, ζ 0 0 1(3.4.3)a determinant JacobiánuDetJ = 1 . (3.4.4)V takomto prípade pre derivácie nových bázových funkcií b (inv) podľa x, y a z dostaneme85

Výsledky dizertačnej práceb , (inv)x =b , (inv)y =b , (inv)z =(3.4.5).[T0, 1, 0, η, 0, ζ, 0, ηζ],[T0, 0, 1, ξ, 0, 0, ζ, ξζ],[] T0, 0, 0, 0, 1, ξ, η, ηξTieto derivácie bázy použijeme na výpočet derivácií posunutíu x , x = u (1)x + u (12)x η + u (13)x ζ + u (123)x ηζ ,u x , y = u (2)x + u (12)x ξ + u (23)x ζ + u (123)x ξζ ,u x , z = u (3)x + u (13)x ξ + u (23)x η + u (123)x ξη ,u y , x = u (1)y + u (12)y η + u (13)y ζ + u (123)y ηζ ,u y , y = u (2)y + u (12)y ξ + u (23)y ζ + u (123)y ξζ ,u y , z = u (3)y + u (13)y ξ + u (23)y η + u (123)y ξη ,(3.4.6)u z , x = u (1)z + u (12)z η + u (13)z ζ + u (123)z ηζ ,u z , y = u (2)z + u (12)z ξ + u (23)z ζ + u (123)z ξζ ,u z , z = u (3)z + u (13)z ξ + u (23)z η + u (123)z ξη .Derivácie posunutí použijeme na výpočet napätí. Napätia dosadíme do vzťahu (3.3.44)pre výpočet e-invariantov vratnej sily. Bázové funkcie a ich derivácie sú na referenčnomelemente navzájom ortogonálne. Je teda vhodné počítať integrály vo vzťahu (3.3.44)analyticky. Dostanemer (1)x = λ(u (1)x + u (2)y + u (3)z ) + 2µu (1)x ,r (2)x = µ(u (2)x + u (1)y ) ,r (12)x = µu (12)x + λ(u (12)x + u (23)z )/3 ,r (3)x = µ(u (1)z + u (3)x ) ,r (13)x = µu (13)x + λ(u (13)x + u (23)y )/3 ,r (23)x = µ(u (12)z + u (13)y + u (23)x + u (23)x )/3 ,r (123)x = (λ + 4µ)u (123)y /9 ,(3.4.7)86

Prípad elementu v tvare kockyr (1)y = µ(u (1)y + u (2)x ) ,r (2)y = λ(u (1)x + u (2)y + u (3)z ) + 2µu (2)y ,r (12)y = µu (12)y + λ(u (12)y + u (13)z )/3 ,r (3)y = µ(u (3)y + u (2)z ) ,r (13)y = µ(u (12)z + u (23)x + u (13)y + u (13)y )/3 ,r (23)y = µu (23)y + λ(u (13)x + u (23)y )/3 ,r (123)y = (λ + 4µ)u (123)y /9 ,r (1)z = µ(u (3)x + u (1)z ) ,r (2)z = µ(u (3)y + u (2)z ) ,r (12)z = µ(u (13)y + u (23)x + u (12)z + u (12)z )/3 ,r (3)z = λ(u (1)x + u (2)y + u (3)z ) + 2µu (3)z ,r (13)z = µu (13)z + λ(u (12)y + u (13)z )/3 ,r (23)z = µu (23)z + λ(u (12)x + u (23)z )/3 ,r (123)z = (λ + 4µ)u (123)z /9 .Z e-invariantov dostaneme použitím inverznej transformácie prvky lokálneho vektoravratnej silyr x= T T r (inv)x , r y = T T r (inv)y , r z = T T r (inv)z . (3.4.8)3.4.1 Algoritmus s využitím e-invariantovUvedieme algoritmus výpočtu lokálneho vektora vratnej sily vyjadreného pre prípadelementu v tvare kociek. Ku každému algoritmickému kroku uvedieme počty operáciídelenia, násobenia, sčítania/odčítania, pre ktoré použijeme symboly ÷, ∗, ±.AlgoritmusTransformujeme posunutia do e-invariantov podľa vzťahov (3.3.50) −(3.3.52)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 69Vypočítame e-invarianty lokálneho vektora vratnej sily87

Výsledky dizertačnej prácem 2 = 2 ∗ µm 03 = 0.333¯3 ∗ µl 03= 0.333¯3 ∗ λl m = 0.111¯1 ∗ (λ + 4 ∗ µ)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 5 ± ↦→ 1÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 4 ± ↦→ 7l 123 = λ ∗ (u (1)x + u (2)y + u (3)z )l xz = l 03 ∗ (u (12)x + u (23)z )l xy = l 03 ∗ (u (13)x + u (23)y )l yz = l 03 ∗ (u (12)y + u (13)z )u zyx = u (12)z + u (13)y + u (23)x÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 7 ± ↦→ 6r x (1) = l 123 + m 2 ∗ u (1)xr (2)x = µ ∗ (u (2)x + u (1)y )r x (12) = µ ∗ u (12)x+ l xzr (3)x = µ ∗ (u (1)z + u (3)x )r x (13) = µ ∗ u (13)x+ l xyr (23)x = m 03 ∗ (u zyx + u (23)x )r x (123) = l m ∗ u (123)x88

Porovnanie výpočtových algoritmov÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 6 ± ↦→ 5r (1)y = r (2)x ,r y (2) = l 123 + m 2 ∗ u (2)yr (12)y = µ ∗ u (12)y + l yz ,r (3)y = µ ∗ (u (3)y + u (2)z )r (13)y = m 03 ∗ (u zyx + u (13)y )r y (23) = µ ∗ u (23)yr y (123) = l m ∗ u (123)y+ l xy÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 5 ± ↦→ 4r z (1) = r x(3)r z (2) = r y(3)r (12)z = m 03 ∗ (u zyx + u (12)z )r z (3) = l 123 + m 2 ∗ u (3)zr z (13) = µ ∗ u (13)zr z (23) = µ ∗ u (23)zr z (123) = l m ∗ u (123)z+ l yz+ l xze-invarianty lokálneho vektora vratnej sily transformujeme na vratnú silu podľa vzťahov(3.3.57) − (3.3.59)÷ ↦→ 0 ∗ ↦→ 0 ± ↦→ 693.5 Porovnanie výpočtových algoritmovVytvorili sme algoritmus pre 2D a 3D problém výpočtu lokálneho vektora vratnejsily pomocou novej bázy s využitím e-invariantov. Pri výpočte sme použili Gaussovúnumerickú integráciu. V 2D probléme štvorbodovú a v 3D probléme osembodovú.89

Výsledky dizertačnej prácePre porovnanie počtu aritmetických operácií sme vytvorili alternatívne 2D a 3D algoritmypomocou štandardnej bázy. Výsledné počty aritmetických operácií uvádzamev Tab. 1 a 2.typ algoritmu počet delení počet násobení počet sčítaní/odčítaníbez využitia e-invariantov 4 232 216s využitím e-invariantov 4 168 178Tabuľka 3.5.1.Porovnanie počtov aritmetických operácií v 2D algoritmoch.typ algoritmu počet delení počet násobení počet sčítaní/odčítaníbez využitia e-invariantov 8 2016 2092s využitím e-invariantov 8 1728 1655Tabuľka 3.5.2.Porovnanie počtov aritmetických operácií v 3D algoritmoch.3D algoritmus s využitím e-invariantov sme implementovali do MKE výpočtového programuFESD2 a vykonali numerické testy pre porovnanie rýchlostí s pôvodnou verziouprogramu. Jeden výpočet bol vykonaný pre sieť elementov v tvare šesťstenov a bezvyužitia e-invariantov. Druhý výpočet bol vykonaný pre rovnakú sieť, avšak s využitíme-invariantov. Tretí výpočet bol vykonaný pre sieť elementov v tvare kocky a svyužitím e-invariantov. Vo všetkých troch prípadoch mala sieť 8 miliónov elementov.Použili sme dvojprocesorový počítač s frekvenciou 2 × 2.5 GHz a operačnou pamäťou2 × 2 GB. Výpočtové časy pre 10 časových hladín sú uvedené v Tab. 3.výpočet bez využitia e-invariantov s využitím e-invariantov kocky s využitím e-invariantovvýpočtový čas 474 s 157 s 30 sTabuľka 3.5.3.Porovnanie výpočtových časov.90

Zahrnutie realistického útlmu3.6 Zahrnutie realistického útlmuDoteraz sme sa venovali iba elastickému kontinuu. Aproximovať materiál v Zemi elastickýmkontinuom môžeme iba v niekoľkých aplikáciach. Pre mnohé dôležité aplikácie jevšak nutné zohľadniť realistický útlm seizmických vĺn. Z pozorovaní útlmu seizmickýchvĺn v Zemi (napr. McDonal et al., 1958; Liu et al., 1976; Spencer, 1981; Murphy, 1982)vyplýva, že útlm je takmer konštantný v celom frekvenčnom intervale seizmických vĺn,t.j. pre vlny s periódami od 0.01 s až do 1 hodiny. Takéto správanie môžeme simulovaťpoužitím tzv. generalizovaného Maxwellovho telesa (GMB-EK) v definícii Emmerich aKorn (1987). Veľmi stručne vysvetlíme základné princípy zahrnutia realistického útlmudo výpočtov založených na metóde konečných prvkov s vratnou silou. Podrobné vysvetleniereológie GMB-EK možno nájsť v Moczo et al. (2007a) a podrobné vysvetlenieimplementácie do MKE algoritmu možno nájsť v práci Gális (2007). GMB-EK je zloženéz n paralelne zapojených Maxwellových telies a paralelne zapojeného Hookovhotelesa.GMB - EKMB 1MB 2σ , εMB nM HMB loznačujel-té Maxwellove teleso:M lηlObr. 3.6.1.Reologický model genaralizovaného Maxwellovho telesa v definícii Emmerich a Korn (1987) −GMB-EK. Pružina predstavuje Hookove elastické teleso a tlmič predstavuje Stokesove viskózne teleso.91

Výsledky dizertačnej práceVzťah medzi napätím a deformáciou v časovej oblasti v elastickom kontinuu je určenýHookovým zákonom. Vo viskoelastickom prostredí je určený konvolučným integrálom.Implementovať výpočet tohoto konvolučného integrálu do numerickej schémyje veľmi neefektívne. Preto Day a Minster (1984) navrhli transformovať konvolučnýintegrál na diferenciálnu formu pomocou tzv. anelastických funckií. My použijeme anelastickéfunkcie nezávislé na materiálových parametroch, ktoré zaviedli Kristek a Moczo(2003). Pomocou materiálovo nezávislých anelastických funkcií môžeme zapísať vzťahmedzi napätím a deformáciou v 1D v tvaren∑τ(t) = M U · ε(t) − M U Y l ζ l (t) , (3.6.1)kde M U je elastický modul pružnosti, ε(t) je deformácia, Y l sú anelastické koeficienty,ζ l su materiálovo nezávislé anelastické funkcie a index l označuje l-tú relaxačnú frekvenciu.Anelastické funckie sú riešením diferenciálnej rovnicel=1˙ζ l (t) + ω l ζ l (t) = ω l ε(t) , (3.6.2)kde ω l sú relaxačné frekvencie.2D alebo 3D viskoelastické kontinuum aproximujeme pomocou dvoch GMB-EK -jedno použijeme pre modul pružnosti v šmyku, µ, a druhé teleso použijeme pre objemovýmodul pružnosti, κ. Vzťah napätia a deformácie v 3D potom môžeme zapísať vtvareaτ ij = κ ε kk δ ij + 2 µ ( ε ij − 1 3 ε kk δ ij)− n ∑l=1[ (κ Yκl ζ l kk δ ij + 2 µ Y µl ζijl˙ζ ijl− 1 3 ζ kkl δ ij)] (3.6.3)+ ω l ζ ijl= ω l ε ij , (3.6.4)kde indexy i, j a k sa vzťahujú na priestorové súradnice, t.j. i, j, k ∈ {x, y, z} aindex l sa vzťahuje na relaxačné frekvencie, t.j. l ∈ {1, 2, ..., n}. Sumačnú konvenciuneuvažujeme pre index l. κ je elastický objemový modul pružnosti, µ je elastickýmodul pružnosti v šmyku, Y κl a Y µlrovnice (3.6.3), t.j.su príslušné anelastické koeficienty. Prvá časť92

Zahrnutie realistického útlmuτ ij = κ ε kk δ ij + 2 µ ( ε ij − 1 3 ε kk δ ij), (3.6.5)predstavuje Hookov elastický zákon. Preto môžeme rovnicu (3.6.3) zapísať v tvare:τ ij = τij E − τij A . (3.6.6)Inými slovami, napätie sme rozdelili na elasticku časť τijE a anelastickú časť τij A . Dosadením(3.6.6) do rovnice (3.3.11) dostaneme vyjadrenie pre vektor vratnej sily v tvarer i = r E i − r A i ; i ∈ {x, y, z} . (3.6.7)Vektor vratnej sily sme rozdelili na elastickú časť r E a anelastickú časť r A .Algoritmy uvedené v kapitolách 3.1.3, 3.2.5 a 3.3.3, založené na e-invariantoch,je možné aplikovať na výpočet elastickej časti vektora vratnej sily r E . Použitím e-invariantov je preto možné výrazne zvýšiť efektívnosť výpočtov aj so zahrnutím realistickéhoútlmu.Vzhľadom na podobnú štruktúru elastickej časti napätia, τij E , a anelastickej časti,τij A , v budúcnosti navrhneme algoritmy založené na e-invariantoch aj na výpočet anelastickejčasti vektora vratnej sily r A .93

Záver4 ZáverVýsledky dizertačnej práce sú príspevkom k vývoju numerických metód riešenia pohybovejrovnice kontinua. Cieľom bolo vytvoriť nový algoritmus výpočtu lokálnehovektora vratnej sily v metóde konečných elementov, ktorý je efektívny z hľadiska nárokovna výpočtový čas a pamäť.Analyzovali sme dve formulácie MKE:1. formuláciu s maticou tuhosti, ktorá má vysoké nároky na operačnú pamäť počítača,2. formuláciu s vektorom vratnej sily, ktorá má nižšie nároky na operačnú pamäťpočítača za cenu zvýšenia nárokov na výpočtový čas.Zistili sme, že formuláciu s vektorom vratnej sily je možné zefektívniť, pričom sme sistanovili nasledovné ciele:1. Vytvoriť nový algoritmus výpočtu lokálneho vektora vratnej sily, ktorý bude efektívnyz hľadiska nárokov na výpočtový čas a pamäť. Nový algoritmus by nemalzvýšiť pamäťové nároky štandardného algoritmu výpočtu vratnej sily, avšak malby podstatne znížiť nároky na výpočtový čas.2. Vykonať numerické testy na porovnanie rýchlostí výpočtov so štandardným a novýmalgoritmom.Výsledky dizertačnej práce môžeme zhrnúť takto:1. Vyvinuli sme novú metódu výpočtu vektora vratnej sily, ktorá výrazne redukujenároky na výpočtový čas pri zachovaní nárokov na operačnú pamäť počítača. Myšlienkaurýchlenia výpočtu spočíva v použití nových ortogonálnych bázových funkcií,ktoré umožňujú využiť vo výpočte nové efektívne parametre, ktoré sme nazvali e-invariantmi. Použitie e-invariantov eliminuje nadbytočnú informáciu vo výpočte. e-invarianty zároveň umožňujú špecifikovať vzťah elementov k diferenciám pre štruktúrovanésiete.2. Vytvorili sme dva algoritmy na výpočet lokálneho vektora vratnej sily pre 2D aj 3Dproblém. V prvom algoritme používame štandardné bázové funkcie, v druhom novébázové funkcie. Porovnali sme počty aritmetických operácií v obidvoch algoritmochv prípade výpočtu štvorbodovou Gaussovou integráciou.94

Záver3. 3D algoritmus s využitím e-invariantov sme implementovali do MKE výpočtovéhoprogramu FESD2 a vykonali numerické testy pre porovnanie rýchlostí s pôvodnouverziou programu. Jeden výpočet bol vykonaný pre sieť elementov v tvare šesťstenova bez využitia e-invariantov. Druhý výpočet bol vykonaný pre rovnakú sieť,avšak s využitím e-invariantov. Tretí výpočet bol vykonaný pre sieť elementov vtvare kocky a s využitím e-invariantov. Numerické výpočty potvrdili efektívnosťalgoritmu, ktorý využíva e-invarianty.Nová metóda je použiteľná aj pre elementy vyššieho rádu aproximácie a elementy inýchtvarov. Metódu možno aplikovať aj v riešení iných typov parciálnych diferenciálnychrovníc s časovou závislosťou.95

ZáverLiteratúraAagaard, B. T., J. F. Hall a T. Heaton, 2001. Characterization of nearsourceground motions with earthquake simulations. Earthquake Spectra 17, 177 - 207.Alekseev, A. S. a B. G. Mikhailenko, 1980. The solution of dynamic problemsof elastic wave propagation in inhomogeneous media by a combination of partialseparation of variables and finite-difference methods. J. Geophys. 48, 161 - 172.Andrews, D. J., 1999. Test of two methods for faulting in finite-difference calculations.Bull. Seism. Soc. Am. 89, 931 - 937.Archuleta, R. J., 1976. Experimental and numerical three-dimensional simulationsof strike-slip earthquakes. PhD. Thesis. University of California, San Diego.Balazovjech, M. a L. Halada, 2007. Effective computation of restoring forcevector in FEM. Kybernetika 43, 767 - 776.Bao, H., 1998. Finite element simulation of earthquake ground motion in realisticbasins. PhD. Thesis. Carnegie Mellon University, Pittsburgh.Bao, H., J. Bielak, O. Ghattas, L. F. Kallivokas, D. R. O’Hallaron, J. R.Shewchuk a J. Xu, 1998. Large-scale simulation of elastic wave propagationin heterogeneous media on parallel computers. Comput. Methods Appl. Mech.Eng. 152, 85 - 102.Belytschko, T., W. K. Liu a B. Moran, 2000. Nonlinear finite elements forcontinua and structures. John Wiley & Sons, New York.Bielak J., K. Loukakis, Y. Hisada a Ch. Yoshimura, 2003. Domain ReductionMethod for Three-Dimensional Earthquake Modeling in Localized Regions, Part I:96

ZáverTheory Bull. Seism. Soc. Am. 93, 817 - 824.Bouchon, M., 1981. A simple method to calculate Green’s functions for elasticlayered media. Bull. Seism. Soc. Am. 71, 959 - 971.Bouchon, M. a O. Coutant, 1994. Calculation of synthetic seismograms in alaterally-varying medium by the boundary element - discrete wavenumber method.Bull. Seism. Soc. Am. 84, 1869 - 1881.Courant, R. 1943. Variational methods for the solution of problems of equilibriumand vibration. Bull. Amer. Math. Soc.49, 1-23.Day, S. M., 1977. Finite element analysis of seismic scattering problems. PhD. Thesis.University of California, San Diego.Day, S. M. a J. B. Minster, 1984. Numerical simulation of wavefields using aPadé approximant method. Geophys. J. Roy. astr. Soc. 78, 105 - 118.Dumbser, M. a M. Käser, 2006. An arbitrary high-order discontinuous Galerkinmethod for elastic waves on unstructured meshes - II. The three-dimensionalisotropic case. Geophys. J. Int. 167, 319 - 336.Dumbser, M., M. Käser a E. Toro, 2007. An arbitrary high-order DiscontinuousGalerkin method for elastic waves on unstructured meshes V. Local time steppingand p-adaptivity. Geophys. J. Int. 171, 695 - 717.Emmerich, H., 1989. 2-D wave propagation by a hybrid method. Geophys. J.Int. 99, 307 - 319.Emmerich, H., 1992. PSV-wave propagation in a medium with local heterogeneities:a hybrid formulation and its application. Geophys. J. Int. 109, 54 - 64.97

ZáverEmmerich, H. a M. Korn, 1987. Incorporation of attenuation into time-domaincomputations of seismic wave fields. Geophysics 52, 1252 - 1264.Frazier, G. A. a C. M. Petersen, 1974. 3-D stress wave code for the Illiac IV.Systems. Systems, Science and Software Report SSS-R-74-2103.Gaffet, S. a M. Bouchon, 1989. Effects of two-dimensional topographies using thediscrete wavenumber-boundary integral equation method in P-SV cases. J. Acoust.Soc. Am. 85, 2277 - 2283.Gális, M., 2007. Hybridná MKD-MKP metóda simulácie zemetrasení a seizmickéhopohybu. PhD. Thesis. Comenius University, Bratislava.Hughes, T. J. R., 2000. The finite element method. Linear static and dynamicfinite element method analysis. Prentice Hall.Chaljub, E., D. Komatitsch, J. P. Vilotte, Y. Capdeville, B. Valette aG. Festa, 2007. Spectral-element analysis in seismology. In Advances in WavePropagation in Heterogeneous Earth, 365 - 419, R.-S. Wu and V. Maupin, eds.,Advances in Geophysics Vol. 48, R. Dmowska, ed. Elsevier - Academic Press.Käser, M. a M. Dumbser, 2006. An arbitrary high-order discontinuous Galerkinmethod for elastic waves on unstructured meshes - I. The two-dimensional isotropiccase with external source terms. Geophys. J. Int. 166, 855 - 877.Käser, M., M. Dumbser, J. de la Puente a H. Igel, 2007. An arbitraryhigh-order Discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes- III. Viscoelastic attenuation. Geophys. J. Int. 168, 224 - 242.Komatitsch, D. a J. Tromp, 1999. Introduction to the spectral-element methodfor 3D seismic wave propagation. Geophys. J. Int. 139, 806 - 822.98

ZáverKristek, J. a P. Moczo, 2003. Seismic wave propagation in viscoelastic media withmaterial discontinuities – a 3D 4th-order staggered-grid finite-difference modeling.Bull. Seism. Soc. Am. 93, 2273 - 2280.Liu, H.-P., D. L. Anderson a H. Kanamori, 1976. Velocity dispersion due toanelasticity; implications for seismology and mantle composition. Geophys. J. R.astr. Soc. 47, 41 - 58.Lysmer, J. a L. A. Drake, 1971. The propagation of Love waves accross nonhorizontallylayered structures. Bull. Seism. Soc. Am. 61, 1233 - 1252.Lysmer, J. a L. A. Drake, 1972. A finite element method for seismology. InMethods in Computational Physics, Vol. 11, B. Alder, S. Fernbach, and B. A. Bolt,eds., Academic Press, New York.Ma, S. a P. Liu, 2006. Modeling of the Perfectly Matched Layer AbsorbingBoundaries and Intrinsic Attenuation in Explicit Finite-Element Methods Bull.Seism. Soc. Am. 96, 1779 - 1794.McDonal, F. J., F. A. Angona, L. R. Mills, R. L. Sengbush, R. G. vanNostrand a J. E. White, 1958. Attenuation of shear and compressional waves inPierre shale. Geophysics 23, 421 - 439.Michlin, S. G., 1974. Variačné metódy v matematickej fyzike. Nauka, Moskva.Moczo, P. a J. Kristek 2004. Numerické modelovanie seizmického pohybu. Čs.čas. fyz. 54, 182 - 184.Moczo, P., E. Bystrický, J. Kristek, J. M. Carcione a M. Bouchon, 1997.Hybrid modeling of P-SV seismic motion at inhomogeneous viscoelastic topographicstructures. Bull. Seism. Soc. Am. 87, 1305 - 1323.99

ZáverMoczo, P., J. Kristek a L. Halada 2004. The Finite-Difference Method forSeismologists. An Introduction. Comenius University, Bratislava.Moczo, P., J. Kristek, M. Galis, P. Pazak, a M. Balazovjech 2007a. TheFinite-difference and Finitte-element Modeling of Seismic Wave Propagation andEarthquacke Motion. Acta Physica Slovaca, 57(2), 177 -406Moczo, P., J. O. A. Robertsson a L. Eisner, 2007b. The finite-differencetime-domain method for modeling of seismic wave propagation. In Advances inWave Propagation in Heterogeneous Earth, 421 - 516, R.-S. Wu and V. Maupin,eds., Advances in Geophysics Vol. 48, R. Dmowska, ed. Elsevier - Academic Press.Murphy, W. F. III, 1982. Effects of partial saturation on attenuation in Massilonsandstone and Vycor porous glass. J. Acoust. Soc. Am. 71, 1458 - 1468.Oglesby, D. D., 1999. Earthquake dynamics on dip-slip faults. PhD. Thesis.University of California, Santa Barbara.Oglesby, D. D., R. J. Archuleta a S. B. Nielsen, 1998. Earthquakes on dippingfaults: the effects of broken symmetry. Science 280, 1055 - 1059.Oglesby, D. D., R. J. Archuleta a S. B. Nielsen, 2000. The three-dimensionaldynamics of dipping faults. Bull. Seism. Soc. Am. 90, 616 - 628.de la Puente, J., M. Käser, M. Dumbser a H. Igel, 2007. An arbitrary highorder discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes IV:Anisotropy. Geophys. J. Int. 169, 1210 - 1228.Reddy, J. N., 2006. An introduction to the finite element method. McGraw-Hill,New York.100

ZáverRobertsson, J. O. A., 1996. A numerical free-surface condition for elastic/viscoelasticfinite-difference modeling in the presence of topography. Geophysics61, 1921 - 1934.Serón, F. J., F. J. Sanz a M. Kindelán, 1989. Elastic wave propagation withthe finite element method. IBM, European center for science and engineeringcomputing, ICE-0028.Smith, W. D., 1974. A nonreflecting plane boundary for wave propagation problems.J. Comp. Phys. 15, 492 - 503.Smith, W. D., 1975. The application of finite element analysis to body wavepropgation problems. Geophys. J. 42, 747 - 768.Spencer, J. W. Jr., 1981. Stress relaxation at low frequencies in fluid-saturatedrocks. J. Geophys. Res. 86, 1803 - 1812.Strang, G. a G. J. Fix, 1988. An Analysis of the Finite Element Method.Prentice-Hall, Englewood Cliffs.Toshinawa, T. a T. Ohmachi, 1992. Love wave propagation in a three-dimensionalsedimentary basin. Bull. Seism. Soc. Am. 82, 1661 - 1667.Yoshimura Ch., J. Bielak, Y. Hisada a A. Fernández, 2003. Domain ReductionMethod for Three-Dimensional Earthquake Modeling in Localized Regions, Part II:Verification and Applications Bull. Seism. Soc. Am. 93, 825 - 840.Zahradník, J. a P. Moczo, 1996. Hybrid seismic modeling based on discretewavenumberand finite-difference methods. PAGEOPH 148, 21 - 38.Zienkiewicz, O. C. a R. L. Taylor, 1989. The finite element method. 4th edition,vol. 1. McGraw-Hill, New York.101