Seminar 13 i 14: Laplaceove tranformacije

Seminar 13 i 14: Laplaceove tranformacijeKoristimo izvadak iz dva studentska rada koje donosimo na sljede¢ih pet stranica ovih materijala.Sljede¢u tablicu moºete koristiti na ispitima. Takožer moºete koristiti tablicu koju je profesor Ugle²i¢dijelio na predavanjima i koja se moºe prona¢i odvojeno na web stranici predmeta.Tablica Laplaceovih transformacija:f(t) | F (s) = L[f](s)− − − − − − −− | − − − − − − −−1 |1s− − − − − − −− | − − − − − − −−c |cs− − − − − − −− | − − − − − − −−t |1s 2− − − − − − −− | − − − − − − −−t n |n!s n+1− − − − − − −− | − − − − − − −−√1πt| √s 1− − − − − − −− | − − − − − − −−e −at 1|s+a− − − − − − −− | − − − − − − −−t e −at 1|(s+a) 2− − − − − − −− | − − − − − − −−(1 − at) e −at |s(s+a) 2− − − − − − −− | − − − − − − −−sin(at) |as 2 +a 2− − − − − − −− | − − − − − − −−cos(at) |ss 2 +a 2− − − − − − −− | − − − − − − −−f(t) | F (s) = L[f](s)− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −sinh(at) |as 2 −a 2− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −scosh(at) |s 2 −a 2− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −e −at f(t) | F (s + a)− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −1f(a t) |a F ( s a )− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −t n f(t) | (−1) n F (n) (s)− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −f(t)t|´ ∞sF (q) dq− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −´ t0 f(τ) dτ | F (s)s− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −f ′ (t) | sF (s) − f(0)− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −f ′′ (t) | s 2 F (s) − sf(0) − f ′ (0)− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −f ′′′ (t) | s 3 F (s) − s 2 f(0) − sf ′ (0) − f ′′ (0)− − − − − − −− | − − − − − − − − − − − − − − −

SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJEMATEMATIČKE METODE U KEMIJSKOM INŽENJERSTVULAPLACEOVA TRANSFORMACIJAStudenti : Nikolina JakšićKornelije Kraguljac

1. Laplaceova transformacijaU matematici postoji više vrsta transformacija funkcija: Fourierova,Laplaceova, Poissonova, Mellinova ...Zajedničko im je da se definiraju pomoću integrala pa se zovu i integralnetransformacije, a nastale su iz dubokih matematičkih i praktičnih razloga. Uzdruge važne primjene, Laplaceova transformacija ima i primjenu u rješavanjulinearnih difercijalnih jednadžbi (skupa s početnim uvjetima – Cauchyevproblem). Takva se primjena može se prikazati shematski:DiferencijalnajednadžbaAlgebarskajednadžbaRješenjediferencijalnejednadžbeRješenjealgebarskejednadžbeZa razumijevanje Laplaceove transformacije potrebno je poznavati pojamnepravog integrala, pojam vektorskog prostora ( u ovom slučaju to će bitivektorski prostor funkcija definiranih bar za sve pozitivne brojeve) i pojamlinearnog operatora. Linearni operator je transformacija na vektorskimprostorima koja zbroj prebacuje u zbroj, razliku, i općenito, linearnukombinaciju u linearnu kombinaciju.2

Sveučilište u ZagrebuFakultet kemijskog inženjerstva i tehnologijeZavod za matematikuKolegij: Matematičke metode u kemijskom inženjerstvuLAPLACEOVA TRANSFORMACIJAMarko Ukrainczyk3120Zagreb, svibanj 2003.

dAko se f(t) i f () t mogu transformirati i ako je transformat od f(t) jednak F(s), a limdtf(t) postoji kad t→∞, tada je:lim sF( s) = lim f ( t)s→06. Teorem konačne vrijednosti.dAko se f(t) i f () t mogu transformirati i ako je transformat od f(t) jednak F(s),adtpostoji lim sF(s), tada je :lim sF( s) = lim f ( t)s→∞Pomoću teorema početne vrijednosti i konačne vrijednosti možemo naći vrijednostifunkcije u realnom području f(t) kod dva ekstrema, t=0 i t=∞ , i to bez korištenja inverznetransformacije.t→∞t→0Parcijalni razlomciZa primjene je osobito važna inverzna transformacija razlomljene racionalne funkcijes obzirom na s. Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke i onda se prema teoremu olinearnosti možemo ograničiti na inverzne transformacije parcijalnih razlomaka. Rješenje jetada zbroj svih pojedinih razlomaka preslikanih u realno područje.Općenito se transformat F(s) može prikazati kao omjer dvaju polinoma G(s) i H(s),koji su redova m i n, i koji se mogu prikazati padajućim redom potencija varijable s:mGs () asm+ a s +⋅⋅⋅⋅+ as+aFs () = =nH()s s + b s +⋅⋅⋅⋅+ bs+bm−1m−1 1n−1n−1 100a m i b n su realne konstante, a koeficijent najviše potencije od s u nazivniku može seizjednačiti s jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n>m i da je stoga F(s) pravi razlomak.Jedan od načina da se nađu parcijalni razlomci funkcije F(s) je pomoću algebarskemetode tzv. Heavisideovog razvoja. Kao konačni oblik dobijemo:Fs ()Gs () α α α α αnH()s s+ β s+ β s+ β s+ β s+β1 23i= = + + +⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅+1 2 3ingdje je H(s) reda n, a β i su suprotne vrijednosti korijena jednadžbe H(s)=0.Koeficijenti α i se dobiju pomoću slijedećeg generaliziranog izraza:⎛ Gs () ⎞αi= lim ⎜( s + βi)⎟s→−βi⎝ H()s ⎠no, imamo li poseban slučaj da se korijeni β jednadžbe H(s)=0 ponavljaju:9

Conference Program23rd August, Thursday12:00-20:00 Registration24th August, Friday8:30-9:10 Registration and coffee9:10-9:20 Conference opening9:20-10:20 Invited speaker:Christopher Piñón (Université de Lille 3)An occasional talk10:20-10:55 Anna Prażmowska (John Paul II Catholic University of Lublin)Polish coordination as adjunction10:55-11:10 Coffee break11:10-11:45 Adina Camelia Bletou (Universita Ca'Foscari, Veneza)I Incorporate Nouns of Various Structural Positions and ThematicRoles, Therefore I Am (The Verb)11:45-12:20 Georg Höhn (University College London)The 'case' system of Basque: A non-paradigmatic approach12:20-12:55 Tamer Akan (İstanbul Şehir University / Ankara University)Scrambling in Turkish12:55-14:00 Lunch break

Primjer (1) Koriste¢i tablicu Laplaceovih transformacija odrediti original funkcijeF (s) =1s 2 (s 2 + 4) .1Ukratko, funkcija F (s) =s 2 (s 2 +4)nastala je Laplaceovom transformacijom kao F (s) = L(f(t)) i stoga¢emo traºeni original f(t) dobiti inverznom Laplaceovom transformacijom f(t) = L −1 [F (s)]. Neke formuleLaplaceove transformacije nalaze se u priloºenim tablicama tako da je u lijevim stupcima funkcije original f,a u desnim plod Laplaceove transformacije F. Dakle, trebali bi prepoznati oblik zadane funkcije F u desnomstupcu i na temelju toga napisati original f iz lijevog stupca.U tablici se nalaze samo osnovni oblici, u koje ne spada i zadana funkcija F. Stoga treba najprije Ftransformirati kori²tenjem rastava na parcijalne razlomke:F (s) =⇒1s 2 (s 2 + 4) = A s + B s 2 + C + Dss 2 + 4 = As3 + 4As + Bs 2 + 4B + Cs 2 + Ds 3s 2 (s 2 + 4)1 = (A + D) s 3 + (B + C) s 2 + 4As + 4B⎧⎪⎨⎪⎩A + D = 0B + C = 04A = 04B = 1⎧⎪⎨⇒⎪⎩D = 0C = − 1 4A = 0B = 1 4Tek sada moºemo primijeniti inverz Laplaceove transformacije:[ 1f(t) = L −1 [F (s)] = L −1 14 s 2 − 1 ]14 s 2 + 4= 1 [ ] 14 L−1 s 2 − 1 4 · 1 [ ]22 L−1 s 2 + 4= 1 4 t − 1 sin (2t)8⇒ F (s) = 1 14 s 2 − 1 14 s 2 + 4gdje smo u posljednjem koraku iskoristili priloºenu tablicu Laplaceovih transformacija.