2.5.11 Další příklady na kvadratické rovnice a nerovnice

Př. 2: Vyřeš nerovnici: ( x 2 x )( x 2 x )Dva kvadratické dvojčleny, rozložíme a najdeme kořeny:2x − x − 20 = ( x − 5)( x + 4)⇒ x1 = − 4; x2= 5( )( )2x x x x+ − 2 = − 1 + 2 ⇒ x1 = 1; x2= − 2Nakreslíme funkce2y x x= − − 20 a− − 20 + − 2 ≥ 0 pomocí grafů kvadratických funkcí.2y x x= + − 2 .42-4-2-224-4Protože zkoumáme součin dvou čísel, musíme si uvědomit, že součin je být kladný, i kdyžjsou obě čísla záporná. Proto do řešení patří i interval − 2;1 .K = ( −∞; −4 ∪ −2;1 ∪ 5; ∞ )Pedagogická poznámka: Předcházející příklad řeší studenti většinou taktoK = ( −∞; −4 ∪ 5; ∞ ) , předpokládají (špatně), že jakmile je jedna z funkcízáporná, je záporný i součin.Pedagogická poznámka: Jedna studentka zjistila, že při zjišťování řešení můžeme používat itento obrázek:42-4-2-224-4Po rozložení kvadratických trojčlenů na lineární, můžeme závorky proházet asestavit tak kvadratické trojčleny, které odpovídají funkcím na obrázku a kteréukazují řešení názorněji.2

Př. 3:Vyřeš rovnici2x x x− 2 + + 1 − 3 = 0 .Nic nového, překáží absolutní hodnota ⇒ odstraníme ji pomocí intervalů.Kdy číslo uvnitř absolutní hodnoty mění znaménko (a tedy i způsob, jakým k němu absolutníhodnota přistupuje) ? ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = − 1-1 ⇒ 2 intervaly( ; 1x ∈ −∞ − x + 1≤ 0 ⇒ x + 1 = − ( x + 1)Řešíme rovnici:2x − 2x − x −1− 3 = 02x − 3x− 4 = 0x − 4 x + 1 = 0( )( )x1= 4 , x2= − 12x x x− 2 + + 1 − 3 = 0-1 patří mezi čísla, se kterými jsme počítali, 4 mezi ně nepatří ⇒ K1= { − 1}.x ∈ −1;∞ )x + 1≥ 0 ⇒ x + 1 = x + 1Řešíme rovnici:2x − 2x + x + 1− 3 = 02x − x − 2 = 0x − 2 x + 1 = 0( )( )x1= 2 , x2= − 12x x x− 2 + + 1 − 3 = 0Obě čísla patří mezi čísla, se kterými jsme počítali ⇒ K2= { − 1, 2}.K = K ∪ K = { − }1 21;2Př. 4:Vyřeš rovnici2x x x− 3 + 2 − 2 = 0 .Stejné jako předchozí příklad, překáží absolutní hodnota ⇒ odstraníme ji pomocí intervalů.Kdy číslo uvnitř absolutní hodnoty mění znaménko (a tedy i způsob, jakým k němu absolutní2hodnota přistupuje) ? Zjistíme to pomocí nerovnice x − 3x≥ 0 .(teď neřešíme zadanou rovnici, jen zjišťujeme, jak se zbavit absolutní hodnoty)x x − 3 ≥ 0 x1= 0 , x2= 3( )03VýrazVýrazxx22− 3x≥ 0 , právě když x ∈( −∞;0 ∪ 3; ∞ ) .− 3x≤ 0 , právě když x ∈ 0;3 .Konečně můžeme řešit rovnici:2 2 2x − 3x ≥ 0 => x − 3x = x − 3xx ∈( −∞;0 ∪ 3; ∞ )Řešíme rovnici:2x x x− 3 + 2 − 2 = 0 .3

2x − 3x + 2x− 2 = 02x − x − 2 = 0x − 2 x + 1 = 0( )( )x1= 2 , x2= − 1-1 patří mezi čísla, se kterými jsme počítali, 2 mezi ně nepatří ⇒ K1= { − 1}.x ∈0;3Řešíme rovnici:2− x + 3x + 2x− 2 = 02− x + 5x− 2 = 02x − 5x+ 2 = 02x x x− 3 + 2 − 2 = 0 .2 2 2x − 3x ≤ 0 => x − 3x = − x + 3x2 2− b ± b − 4ac5 ± 5 − 4⋅1⋅ 2 5 ± 17x1,2= = =2a2⋅1 25 − 175 + 17x1= ≐ 0,44 , x2= ≐ 4,5622Kořen x1patří mezi čísla, se kterými jsme počítali, kořen x2mezi ně nepatří ⇒⎧⎪5 − 17 ⎫⎪K2= ⎨ ⎬⎪⎩2 ⎪⎭⎧⎪5 − 17 ⎫⎪K = K1 ∪ K2= ⎨−1;⎬⎪⎩2 ⎪⎭Pedagogická poznámka: V předchozím příkladu je důležité, aby ho studenti nebrali jakoněco nového, ale pouze jako další uplatnění již známé metody. Je potřeba hlídat,aby si při řešení kvadratické nerovnice neustále uvědomovali, že zrovna nepracujípřímo na konečném cíli, ale dělají úkol, který s konečným cílem pouze souvisí. Jdevlastně o jakési vnořování se do podprogramů.Př. 5:Vyřeš rovnicix2− 3 x + 2 > 0 .Nic nového, překáží absolutní hodnota ⇒ odstraníme ji pomocí intervalů.Kdy číslo uvnitř absolutní hodnoty mění znaménko (a tedy i způsob, jakým k němu absolutníhodnota přistupuje) ?0 ⇒ 2 intervalyx ∈( −∞ ;0x = − x2Řešíme nerovnici: x ( x)x2+ 3x+ 2 > 0− 3 − + 2 > 0 .Hledáme nulové body: x 2 x ( x )( x )Před x je kladné číslo – „ďolík“+ 3 + 2 = + 2 + 1 = 0 , x1= − 2 , x2= − 1.4

-2 -1-2 -1Hledáme body nad osou x ⇒Počítali jsme pouze s čísly x ∈( −∞ ;0 ⇒ K1= ( −∞; −2 ∪ − 1;0 .)x ∈ 0; ∞ x = xŘešíme nerovnici:x2− 3x+ 2 > 0x 2 − 3x + 2 = x − 2 x − 1 = 0 , x1= 2 , x2= 1.Hledáme nulové body: ( )( )Před x je kladné číslo – „ďolík“1 21 2Hledáme body nad osou x ⇒Počítali jsme pouze s čísly x ∈ 0; ∞ ) ⇒ K2= 0;1 ∪ 2; ∞ ) .( )K = K1 ∪ K2 = −∞; −2 ∪ −1;1 ∪ 2; ∞.Př. 6:Petáková:strana 15/cvičení 22 t) u) v)strana 15/cvičení 23 h) j)Shrnutí: Nic nového jsme se nedozvěděli.5