ciÄ gi liczbowe - Instytut Informatyki UG

JerzyToppMatematykaFunkcjejednejzmiennejElbląg2012

PRZEWODNICZĄCYKOMITETUREDAKCYJNEGOWYDAWNICTWAPWSZWELBLĄGUdrhab.inż.JerzyŁabanowski,prof.PWSZwElbląguRECENZENTdrhab.GrażynaKwiecińska,prof.APREDAKCJA,KOREKTAIPROJEKTOKŁADKIWydawnictwoTechniczno-NaukoweJASe-mail:jagoda.szczerkowska@gmail.comOlgaStrzelecJerzyPaczyńskiWydanozazgodąRektoraPWSZwElbląguc○CopyrightbyWydawnictwoPWSZwElbląguISBN978-83-62336-16-6WydawnictwoPaństwowejWyższejSzkołyZawodowejwElblągu82-300Elbląg,ul.WojskaPolskiego1,tel.0-556290555

4.20.Badaniefunkcji ..........................................1594.21.Ćwiczeniasprawdzające .....................................163Rozdział5. CAŁKANIEOZNACZONA .............................1665.1. Definicjacałkinieoznaczonej...................................1665.2. Całkowanieprzezpodstawianie .................................1695.3. Całkowanieprzezczęści......................................1765.4. Przykładyredukcyjnychmetodobliczaniacałek ........................1785.5. Całkowaniefunkcjiwymiernych .................................1805.6. Całkowaniefunkcjitrygonometrycznych ............................1865.6.1. Całkiziloczynupotęgsinusaicosinusa ........................1865.6.2. Całkowaniefunkcjipostacisinmxcosnx,sinmxsinnxorazcosmxcosnx .....1885.6.3. Uniwersalnepodstawienietrygonometryczne......................1925.7. Całkowanieniektórychfunkcjiniewymiernych .........................1955.7.1. Całkowanieprostychfunkcjipierwiastkowych .....................1955.7.2. Całkowaniemetodąwspółczynnikównieoznaczonych .................1975.7.3. PodstawienieEulera ...................................1985.7.4. Podstawieniatrygonometryczne.............................2005.8. Ćwiczeniasprawdzające .....................................204Rozdział6. CAŁKAOZNACZONA ................................2056.1. Wprowadzeniedodefinicjicałkioznaczonej...........................2056.2. Definicjacałkioznaczonej ....................................2086.3. Podstawowewłasnościcałkioznaczonej.............................2146.4. Funkcjagórnejgranicycałkowania................................2206.5. WzórWallisaiwzórStirlinga ..................................228Rozdział7. ZASTOSOWANIACAŁEK..............................2307.1. Poleobszaru............................................2307.2. Długośćłukukrzywej.......................................2407.3. Objętośćbryły...........................................2447.4. Objętośćbryłyobrotowej.....................................2467.5. Polepowierzchnibryłyobrotowej ................................2517.6. Ćwiczeniasprawdzające .....................................254Rozdział8. CAŁKINIEWŁAŚCIWE ...............................2568.1. Całkiniewłaściwepierwszegorodzaju..............................2568.2. Całkiniewłaściwedrugiegorodzaju ...............................2618.3. Kryteriazbieżnościcałekniewłaściwych ............................2648.4. Ćwiczeniasprawdzające .....................................271Rozdział9. ROZWIJANIEFUNKCJIWSZEREGIPOTĘGOWE ............2739.1. Pierwszeprzykłady ........................................2739.2. SzeregTayloraiszeregMaclaurina ...............................2809.3. ObliczeniazwykorzystaniemszeregówTaylora.........................2879.4. Ćwiczeniasprawdzające .....................................292Odpowiedzidoćwiczeń ........................................293Indeks ...................................................302

PRZEDMOWAZprzyjemnościąudostępniamstudentomkolejnączęśćzbiorunotatekdowykładówićwiczeńzmatematyki,jakieprowadzędlastudentówinformatyki,budownictwaimechanikiwPaństwowejWyższejSzkoleZawodowejwElbląguorazwUniwersytecieGdańskim(ijakieprowadziłemteżwPolitechniceGdańskiej).Tuprzedstawiamelementyrachunkuróżniczkowegoicałkowegofunkcjijednejzmiennej.Inneczęścinotatekprzedstawiłemwpodręcznikach„Wstępdomatematyki”i„Algebraliniowa”.Książkatajestpołączeniemklasycznegopodręcznikazezbioremzadań.Przedstawiamwniejpodstawowedefinicjeitwierdzenia,dużąliczbęprzykładówirysunkówilustrującychpojęciaiteorięorazbardzoobszernezestawyzadańdoprowadzeniaćwiczeńwuczelniachorazdosamodzielnegorozwiązania.Ufam,żetadużaliczbaprzykładówirysunkówułatwizrozumienieprzedstawianychtreści,adziękizałączonymzadaniomstudentodkryjedalszezależnościpomiędzypoznawanymipojęciamiiuzyskaspodziewanąbiegłośćrachunkową.Wcelukontrolipoprawnościrozwiązywaniazadań,nakońcupodręcznikaprzedstawiłemodpowiedzidozadań.Podręczniktenprzeznaczonyjestdlastudentówpoprzedniowspomnianychkierunkówstudiów,aleufam,żebędzieonprzydatnyrównieżdlawieluinnych.Zakładam,żestudenci,którychbędęuczyłwoparciuotenpodręcznik,wstopniuzadawalającymznaćbędąpodstawymatematykiwzakresieliceum–znaćbędąpodstawowewłasnościdziałańnaliczbachorazwłasnościpodstawowychfunkcjielementarnych.Zakładamteż,żestudenciaktywnieiuczciwiebędąchcielipoznawaćelementymatematykinapoziomiewymaganymwszkolewyższej.Tympodręcznikiemchcęimtoułatwić.Chcęteżdostarczyćstudentomprostychnarzędzimatematycznychiprzygotowaćichdozrozumieniakolejnychprzedmiotówścisłych,informatycznychoraztechnicznychznajdującychsięwprogramachichstudiów.Osiągnięciewspomnianychcelówbędziewspólnymsukcesemautoraistudentów.Dlatakichstudentówicelównapisałemtenpodręcznik.Wszelkieuwagiotympodręcznikuiinformacjeozauważonychusterkachmożnakierowaćnaadresj.topp@inf.ug.edu.pl.Pełnainformacjaopoprawionychfragmentachdostępnabędziepodadreseminf.ug.edu.pl/~jtopp.Tamteżznajdąsięwskazówkidotrudniejszychćwiczeń.PragnęwyrazićswojepodziękowaniepaniprofesorGrażynieKwiecińskiejzajejuwagiipoprawki,którepozwoliłyulepszyćprzedkładanytekst.Nakoniecmamprzyjemnośćnapisać,żepracanadtympodręcznikiemniebyłabymożliwabezwsparciamojejrodziny,którejtęksiążkępoświęcam.JerzyTopp

Rozdział1CIĄGILICZBOWE1.1.CiągiiichpierwszewłasnościDefinicja1.1.1.Funkcjęf: N→R, (1.1)którakażdejliczbienaturalnejnprzyporządkowujeliczbęrzeczywistąf(n)=x n ,nazywamynieskończonymciągiemrzeczywistymlubpoprostuciągiem.Wartośćtejfunkcjidlaliczbyn,czyliliczbęx n ,nazywamyn-tymwyrazem(aczasami—wyrazemogólnym)ciągu(1.1).Ciąg(1.1)możebyćokreślonyprzezpodanieregułytworzeniajegowyrazówlubprzezwyliczeniex 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n ,...początkowychjegowyrazów.(Wtymostatnimprzypadkuwyrażamynadzieję,żeczytającpoczątkowewyrazyciągu,dobrzezrozumiesięregułętworzeniawszystkichwyrazówciągu.)Naoznaczenieciągu(1.1)używamysymbolu(x n ) n∈N lubczęściej(x n ).Wwieluprzypadkachbędziemyużywaćsformułowania„ciągx n ”,mającnamyśliciągowyrazieogólnymx n .Narys.1.1przedstawiliśmydwiemożliwegeometryczneilustracjeciągu(x n ).Wpierwszymprzypadkukażdejliczbienaturalnejnodpowiadapunkt(n,xn )napłaszczyźnie.Wdrugimprzypadkuliczbienaturalnejnodpowiadapunktx n naosiliczbowej.(a)✻x 3(2,x 2)x 2x 4(1,x 1)(3,x 3)(b)(4,x 4)x 1x 5(5,x 5)0 1 2 3 4 5✲x 5x 1 x 4x 2 x 3✲Rysunek1.1.Ciąg(x n)napłaszczyźnie(a)inaosiliczbowej(b)(Przykład1.1.1.Pierwszymiwyrazamiciągu(x n )=czyliliczby 3 2 ,6 3 ,9 4 ,12 5 ,15 6 ,...3nn+1)sąliczby 3·11+1 , 3·22+1 , 3·33+1 , 3·44+1 ,...,Przykład1.1.2.Ciąg 3 7 , 5 10 , 7 13 , 9 16 ,11 19 ,...jestciągiem,wktórymn-tywyrazokreślonyjestwzoremx n = 2n+13n+4 dlakażdejliczbynaturalnejn.Przykład1.1.3.Ciągliczbnaturalnych1,2,3,4,...jestciągiem,wktórymx n =ndlakażdejliczbynaturalnejn.Przykład1.1.4.Ciąg1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,...jestciągiemodwrotnościkolejnychliczbnaturalnychioczywiściexn = 1 n dlakażdejliczbyn∈N.

8 1.Ciągiliczbowe(a)✻(5,5)5(4,4)4(3,3)3(2,2)2(1,1)10 1 2 3 4 5x n =n✲(b)1✻(1,1)x n = 1 n(2, 1 2 ) (3, 1 3 ) (4, 1 4 )0 1 2 3 4✲Rysunek1.2.Ciągx n=n(a)iciągx n= 1 n (b)Przykład1.1.5.Jeśliairsąliczbamirzeczywistymi,tociąga,a+r,a+2r,a+3r,...,czyliciąg,któregon-tywyrazdanyjestwzoremdlan∈N,nazywasięciągiemarytmetycznym.x n =a+(n−1)rPrzykład1.1.6.Jeśliaiqsąliczbamirzeczywistymi,tociąga,aq,aq 2 ,aq 3 ,...nazywasięciągiemgeometrycznym 1 .Jesttociąg,wktórymkażdyn-tywyrazokreślonyjestwzoremx n =a·q n−1 .Przykład1.1.7.Ciąg,wktórym,począwszyodpewnegomiejsca,poszczególnewyrazywyrażająsiępoprzezwyrazywcześniejsze,nazywasieciągiemrekurencyjnym.Przykładowo,ciąg(x n ),wktórymx 1 =x 2 =1 i x n =x n−2 +x n−1 dla n3,jestciągiemrekurencyjnym(inneprzykładyciągówrekurencyjnychprzedstawionowprzykładzie1.7.1ićwiczeniu1.7.1).Wtymciągukażdywyraz,począwszyodtrzeciego,jestsumąswoichdwóchbezpośrednichpoprzedników.Łatwomożnazauważyć,żepoczątkowymiwyrazamitegociągusąliczby1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...Tenkonkretnyciąg,obecnienazywanyciągiemFibonacciego,pochodzizksiążkiLiberabaciautorstwategożmatematyka.Uważasię,żewłaśniewtejksiążcepierwszyrazwEuropiezastosowanodziesiętnyzapisliczb.Ćwiczenie1.1.1.Wyznaczyćwskazanewyrazyiwskazaneróżnicewyrazówciągu(x n ):1.x 2008 ix 2009 ,gdyx n =1+(−1) n ;2.x 2008 ix 2009 −x 2008 ,gdyx n =1+2+...+n;3.x 2 ,x 3 ix 2n −x 2n−1 ,gdyx n = 1 n! + 1(n+1)! +...+ 1(2n)! ;4.x 2 ,x 3 ix 4 ,gdyx 1 =1ix n =2x n−1 +1dlan2.Definicja1.1.2.Niech(x n )i(y n )będądwomaciągami.Wtedyciąg(x n +y n ),wktórymkażdyn-tywyrazjestsumąn-tychwyrazówciągów(x n )i(y n ),nazywamysumąciągów(x n )i(y n ).Podobniedefiniujesięciągi(x n −y n ),(x n·y n )i( xny n)(gdyy n ≠0dlan∈N)nazywaneróżnicą,iloczynemiilorazemciągów(x n )i(y n ).1 Pierwszepisemnewzmiankioliczbachtworzącychciąggeometrycznypochodząztzw.papirusuRhinda(nazywanegoteżpapirusemAhmesalubpapirusemAhmosa).Papirustenpowstałokoło1650r.p.n.e.(ijestkopiąmatematycznegotekstuspisanegookoło2000r.p.n.e.).Mówisięwnimosiedmiudomach,wktórychjestposiedemkotów.Każdyztychkotówzjadaposiedemmyszy,każdamyszzjadaposiedemkłosówzboża,azkażdegokłosawyrastasiedemmiarziarna.Podobnytekstmożnaznaleźćwopublikowanejw1202r.książceLiberabaciFibonacciego:„7starszychkobietpojechałodoRzymu;każdaznichmiała7mułów,zktórychkażdyniósł7worków;każdyworekzawierał7pakunków;każdypakunekzawierał7noży,zktórychkażdyzapakowanybyłw7pochewek”.

1.1.Ciągiiichpierwszewłasności 9Przykład1.1.8.Ciąg ( n+ √ n 2 +1tgnciągów( √ n 2 +1)i(tgn).)jestsumąciągów(n)i(√n2 +1tgnDefinicja1.1.3.Ociągu(x n )mówimy,żejeston1.rosnący,jeżeli ∀ n∈N x n+1 >x n ;2.malejący,jeżeli ∀ n∈N x n+1 0(x n+1 −x n 1( xn+1x nx n dlakażdejliczbynaturalnejnn 0 ,gdzien 0 jestpewnąliczbąnaturalną.Podobniedefiniujesiępojęcieciągumalejącego(niemalejącego,nierosnącegolubstałego)odpewnegomiejsca.(a) (b) (c)✻✻c✻✲✲x n=c✲Rysunek1.3.Ciągrosnący(a),nierosnący(b)istały(c)Definicja1.1.4.Mówimy,żeciąg(x n )jestmonotoniczny,gdyjestonniemalejącylubnierosnący.Mówimyteż,żeciąg(xn )jestściślemonotoniczny,gdyjestonrosnącylubmalejący.Powiemyteż,żeciągjestmonotonicznyodpewnegomiejsca,gdyjestonniemalejącylubnierosnącyodpewnegomiejsca.Podobniedefiniujesiępojęcieciąguściślemonotonicznegoodpewnegomiejsca.Przykład1.1.9.Pokażemy,żeciąg(x n ),wktórymx n = 2nn+1 dlan∈N,jestrosnący(rys.1.4(a)).Wtymceluwystarczyzauważyć,żeróżnicax n+1 −x n jestdodatniadlakażdegonnaturalnego.Istotnie,dlakażdegon∈Nmamyx n+1 −x n = 2n+2n+2 − 2nn+1 = 2(n+2)(n+1) >0.Przykład1.1.10.Weźmyterazpoduwagęciąg,wktórymx n =|n−5|+|n+5|dlan∈N.Bezproblemumożnazauważyć,żex 1 =x 2 =...=x 5 =10ix n =2ndlan5.Terazzauważmy,żex n+1 −x n =0dlan=1,2,3i4orazx n+1 −x n =2(n+1)−2n=2>0dlan5.Ztegowynika,żeciągx n =|n−5|+|n+5|jestniemalejący(irosnącyodpewnegomiejsca)(rys.1.4(b)).Przykład1.1.11.Ciągx n = 5nn!niejestmonotoniczny,boróżnicax n+1 −x n = 5n (4−n)(n+1)!zmieniaznakwzależnościodn.Dokładniejmamyx n+1 −x n >0dlan=1,2,3,ajednocześniex n+1 −x n =0dlan=4orazx n+1 −x n 1(n+3)! 44 n

10 1.Ciągiliczbowedlakażdejliczbynaturalnejn.(c)25✻(a)2✻x n= 2nn+1(b)10✻x n=|n−5|+|n+5|201510x n= 5nn!10 123456789✲0 12345678910✲5✲Rysunek1.4.Ciągrosnący(a),niemalejący(b)iniemonotoniczny(c)Ćwiczenie1.1.2.Określającznakróżnicyx n+1 −x n lubwartośćułamka xn+1x n,zbadaćmonotonicznośćciągu(xn ),wktórym:1.x n = n3n+1 ;2.x n = 10n(2n)! ;3.x n =n−2 n ;4.x n =n 2 −n;5.x n =n!;6.x n = (n+1)!+n!(n+1)!−n! ;7.x n = n 3 n;8.x n =1−(1/3) n ;9.x n = 2nn! ;10.x n = √ n 2 +1;11.x n = 10n2 n2 ;12.x n = √ n 2 +1−n;13.x n =1n+lnn ;14.x n =cos π n .15.x n =1− 1n+1 − 1n+2 .Ćwiczenie1.1.3.Danyjestciąg(x ( ) n ),wktórymx 1 jestdodatniąliczbąrzeczywistą,ax n+1 =12x n + x2 1x ndlakażdejliczbynaturalnejn.Indukcyjniewykazać,żeciąg(x n )jeststały.Definicja1.1.5.Mówimy,żeciąg(x n )jestograniczonyzdołu,gdyPodobniemówimy,żeciąg(x n )jestograniczonyzgóry,gdy∃ m∈R ∀ n∈N x n m. (1.2)∃ M∈R ∀ n∈N x n M. (1.3)Mówimytakże,żeciąg(x n )jestograniczony,gdyjestonjednocześnieograniczonyzdołuizgóry.Zpowyższegojestoczywiste,żeciąg(x n )jestograniczonywtedyitylkowtedy,gdy∃ M∈R ∀ n∈N |x n |M. (1.4)(a)✻(b)✻y=M(c)M✻✲y=m✲✲−MRysunek1.5.Ciągograniczonyzdołu(a),zgóry(b),ograniczony(c)Przykład1.1.13.Ciągx n =1/njestograniczony,bo|x n |=|1/n|1dlakażdejliczbyn∈N.

1.2.Granicaciągu 11Przykład1.1.14.Ciągx n =sin(n+1)jestograniczony,bo|x n |=|sin(n+1)|1dlakażdejliczbyn∈N.Przykład1.1.15.Ciągx n =(2n+3)/njestograniczony,bodlakażdejliczbyn∈Nmamy|x n |=2n+3∣ n ∣ =2n+3 =2+ 3 n n 5.Przykład1.1.16.Ciągx n = 5nn!jestograniczony,bo–jaktowynikazjegomonotonicznościomówionejwprzykładzie1.1.11–mamy|x n |=x n x 4 =x 5 = 544!dlakażdejliczbyn∈N.Przykład1.1.17.Ciągx n =(−1) n nniejestograniczony,bodlakażdejliczbyM∈ Rikażdejliczbynaturalnejn,jeślin>M,tomamy|x n |=|(−1) n n|=n>M.Ćwiczenie1.1.4.Zbadaćograniczonośćciągu(x n ),gdy:1.x n = 5n1+n ; 3.x n = 3n3 n +3 ; 5.x n =(−1) n + 1 4√n4 +42.x n = 1+n21+n 3; 4.x n =100− √ n 2; 7.x n =n+1 ;n; 6.x n = 2nn! ; 8.x n =n3 −n/2 .Definicja1.1.6.Jeśli(x n )jestciągiem,a(k n )jestrosnącymciągiemliczbnaturalnych,tociąg(x kn ),czyliciągx k1 ,x k2 ,x k3 ,...,x kn ,...,nazywamypodciągiemciągu(x n ).Przykład 1.1.18. Ciąg2,4,6,8,...kolejnychparzystychliczbnaturalnychjestpodciągiemciąguwszystkichliczbnaturalnych1,2,3,4,5,...Przykład1.1.19.Ciąg(4n+1)jestpodciągiemciągu(2n−1)kolejnychnieparzystychliczbnaturalnych,aciąg(2n−1)jestoczywiściepodciągiemciągu(n)wszystkichliczbnaturalnych.Przykład 1.1.20.Jeślix n =|n−5|+|n+5|dlan∈N,to–wobecnaszychobserwacjizprzykładu1.1.10–ciągx n+5 =2n+10jestrosnącympodciągiemciągux n =|n−5|+|n+5|.Przykład1.1.21.Zanalogicznychobserwacjizprzykładu1.1.11wynika,żepodciągx n+4 =5 n+4 /(n+4)!jestmalejącympodciągiemciągux n =5 n /n!.Przykład1.1.22.Weźmyterazpoduwagęciągx n =(−1) n .Jegopodciągx 2n =(−1) 2n =1jeststałympodciągiemciągux n .Podobniex 2n−1 =(−1) 2n−1 =−1jeststałympodciągiemciągux n .Natomiastwpodciągux n n=(−1) nn naprzemianwystępująliczby−1oraz1iniejestonmonotonicznympodciągiemciągux n .1.2.GranicaciąguDefinicja1.2.1.Mówimy,żeliczbarzeczywistaxjestgranicą(dokładniej,granicąwłaściwą)ciągu(x n ),piszemyx n →xprzyn→∞lublim x n=x,n→∞jeżelidlakażdejliczbydodatniejεistniejeliczban 0 taka,żekażdywyrazciąguoindeksiewiększymodn 0 różnisięodxomniejniżoε.Symbollimjestskrótemłacińskiegosłowalimesoznaczającegogranicę.Zapislim n→∞ x n =xczytamy„limesx n ponzmierzającymdonieskończonościrównasięx”lub„x n dążydoxprzyndążącymdonieskończoności”albo„x n zmierzadox,gdynzmierzadonieskończoności”.Liczban 0 występującawpowyższejdefinicjizależyodliczbyεiodsamegociągu.Zpowyższejdefinicjijestoczywiste,żemamylim x n=x ⇔ ∀ ε>0 ∃n→∞ n0∈R∀ n>n0 |x n −x|0 ∃ n0∈R∀ n>n0 −εn0 x−ε

12 1.CiągiliczboweZatemmożnapowiedzieć,żeliczbaxjestgranicąciągu(x n ),jeżeliwyrazytegociąguodostateczniedużychnumerachróżniąsiędowolniemałoodliczbyx.Równoważnie,liczbaxjestgranicąciągu(x n ),jeżeliwdowolniemałymotoczeniuliczbyxznajdująsięprawiewszystkiewyrazytegociągu,tj.wszystkiepozabyćmożeskończonąichliczbą(rys.1.6).(a)x−εx n3x✻(b)x−ε1234 n 0 n✲x−ε x x+ε(x 2 x 3 x 1 x n)✲Rysunek1.6.Granicawłaściwaxciągu(x n)napłaszczyźnie(a)inaosi(b)Definicja1.2.2.Ciągmającygranicę(będącąliczbąrzeczywistą)nazywasięciągiemzbieżnym.Każdyinnyciągnazywamyciągiemrozbieżnym.Wśródciągówrozbieżnychwyróżniamyciągi,któremajągranicęniewłaściwą.Definicja1.2.3.Mówimy,żeciąg(x n )magranicęniewłaściwąplusnieskończoność(lubmówimy,żeciąg(xn )jestrozbieżnydoplusnieskończoności),piszemy lim x n=∞lubx n →∞,n→∞jeżeli∀ M∈R ∃ n0∈R∀ n>n0 x n >M. (1.6)Analogiczniemówimy,żeciąg(x n )magranicęniewłaściwąminusnieskończoność(lubmówimy,żeciąg(x n )jestrozbieżnydominusnieskończoności),piszemy lim x n=−∞lubx n →−∞,n→∞gdy∀ M∈R ∃ n0∈R∀ n>n0 x n M,gdyn>n 0x 1y=Mx 2x3n 0n✲xRysunek1.7.Ciąg(x n)rozbieżnydo∞Przykład1.2.1.Zauważmy,żejeślix n = 1 n ,tox n→0przyn→∞,bodlakażdejliczbydodatniejεmamy∣ |x n −x|=1 ∣∣∣∣n −0 = 1 n 1 ε =n 0.Todowodzi,żeistotniemamylim n→∞1n = 0.Prześledźmytojeszczeraznakonkretnychliczbachε.Przykładowo,jeśliε=0,4,tomamyn 0 =1/ε=2,5.Wtymprzypadku,jeślinjestliczbąnaturalnain>n 0 =2,5,to|x n −x|=|1/n−0|=1/nn 0 =1000,to|x n −x|=|1/n−0|=1/n

1.2.Granicaciągu 13(a)1 111 1 1n 543 2 1( )−1 −ε 0 ε 1✲1✻(b)ε=0,001−ε=−0,001x n= 1 n✻n 0=1000✲Rysunek1.8.Równośćlim n→∞1n =0naosi(a)ipłaszczyźnie(b)1Przykład1.2.2.Podobniejakwyżejuzasadniasię,że limn→∞n 2=0.Takjestistotnie,bodlakażdejliczbydodatniejεmamy∣ |x n −x|=1 ∣∣∣∣n 2−0 = 1 n 2 √ 1/ε=n 0 .Przykład1.2.3.Odnotujmy,żejeśliciąg(x n )jeststały,powiedzmyx n =x,tolimx= x.n→∞Stwierdzenietojestkonsekwencjąfaktu,żedlakażdejliczbyε>0ikażdejliczbynaturalnejnmamy|x n −x|=|x−x|=02·M+1 n 2−1=M.

300 Odpowiedzidoćwiczeń√ √2arctg( √ 2tgx)−x+C;33.cosx−(10/3)arctg((cosx)/3)+C;34.tgx−ctgx+C;35.(1/5)tg √ 5 x+C;36.2arctg (1−x)/x−2 (1−x)/x+C;37.xln(x+x 2 )−2x+ln(1+x)+C;38.(x 2 /2)((lnx) 2 −lnx)+√x 2 /4+C;39.ln|lnx+ 4+ln 2 x|+C;40.15ln(4+cosx)+(1/2)cos 2 x−4cosx+C;41.−ctgx−x+C;42.(1/3)tg 3 x+(1/5)tg 5 x+C;43.ln|tgx|−1(2sin 2 x)+C;44.(1/5)ln|(2tg(x/2)+1)/(tg(x/2)−2)|+C;45.(1/2)(tgx+1/ √ 2arctg( √ 2tgx))+C;46.(2x−3)/2+2 √ 2x−3+ln(2x−2)−2arctg √ 2x−3+C;47.(2sinx−sin 2 x−1)e sinx +C;48. √ x 2 −9/(9x)+C. 5.8.2.1.(x 2 /2)ln(4+x 4 )−x 2 +2arctg(x 2 /2)+C;2.− √ 5+x−x 2 +(1/2)arcsin((2x−1)/ √ 21)+C;3.(x 2 /2)arccos(1/x)− √ x 2 −1/2+C;4.xtgx+ln|cosx|+C;5.(9/8)arcsin((2x−1)/3)+(2x−1) √ 2+x−x 2 /4;6.3(xlnx−x)+C.Rozdział66.1.1.1.33/2;2.32/3;3.21;4.2/3;5.1/4;6.635/2.6.2.1.1.24;2.π/4;3.a 2 ;4.26;5.14;6.40;7.π 2 /2;8.2−π 2 /2;9.2π+4.6.3.2.1.0;2.7;3.−64;4.17;5.−73;6.4.6.3.3.1.π/4;2.9π/2;3.0;4.π/2+8.6.4.1.1.sinx 2 ;2.0;3.2x ∫ x0 sint2 dt+x 2 sinx 2 ;4.−sina 2 ;5.2x √ 1+x 4 ;6.3x 2 / √ 1+x 12 −2x/ √ 1+x 8 ;7.−sinxcos(πcos 2 x)−cosxcosxcos(πsin 2 x);8.0;9.−sin(x/2)cos(x/3);√1+sin 4 xcosx.6.4.2.1.π/4,1,−1/2;10.(72x 4 +53x 2 −2)/((16x 2 +1)(9x 2 +1));11.2 √ 1+x 6 /x;12.2.−π,−π,(π 3 +2π)/4;3.0,2/e,4/e;4.0,1,0;5.0,0.6.4.3.f(x)jestwypukławprzedziale(−∞;−1/2)iwklęsławprzedziale(−1/2;∞).Punkt(−1/2;f(−1/2))jestpunktemprzegięciafunkcjif(x).6.4.4.1.3e 9 ;2.1;3.π 2 /4;4.0;5.1;6.1/3;7.3;8.1/(x+ √ x 2 +1);9.1.6.4.5.1.52;2.(162 √ 3−4 √ 2)/15;3.28−4e;4.((e+1) 6 −64)/6;5.21/8;6.2/3;7.π/4+1;8.(ln3−1)/2;9.(ln(2− √ 3)+ √ 3)/4;10.2/3;11.2;12.e 2 /4;13.4 √ 2/3;14.ln3−1;15.(12 √ 3−π−12)/6;16.−7/2;17.3;18.π;19.−2;20.16/35;21.2 √ 2−2;22.8;23.π;24.(2 √ 2−1)/3;25.1/3;26.π/2;27.π/2;28.π/3;29.ln(e+1);30.(π−2)/2;31.e 2 −3/e 2 +2;32.(1/2)sin(π/16);33.8/15;34.π 2 /4;35.2ln( √ 5−2)+ √ 5−1;36.1/π;37.20e 6 /9;38.e−2;39.π/4−π 2 /32−(1/2)ln2.6.4.6.1.π;2.π;3.2;4.3.6.4.7.1.fc=1=f(−1/2)=f(1/2);2.fc=1=f(1)=f(3);3.fc=4/3=f(2/ √ 3);4.fc=8/3=f((6−2 √ 3)/3)=f((6+2 √ 3)/3);5.fc=4=f((1+ √ 7)/3);6.fc=30/13=f(27000/2197);7.fc=0=f(π/2)=f(3π/2);8.fc=3=f(0);9.fc=0=f(π/2);10.fc=0=f(π).6.4.9.π 2 /4.6.4.10.π/4iπ/4.6.4.12.1.5;2.5;3.2;4.3/2;5.5;6.10.6.4.13.1.2/3;2.1;3.1/4;4.0;5.1/8;6.2/π;7.sin1;8.15/4;9.2 √ 2−2.6.4.14.1.(4 √ 2−16)/3;2.2 √ 3−2/3+4/π;3.3/(ln2)−(4/π)ln2−2;4.22/3.6.4.15.I 0=π/2,I 1=1,I 4=3π/16iI 5=8/15.Rozdział77.1.1.1.9/2;2.1/6;3.4/15;4.15/8−2ln2;5.12;6.5/12;7.2ln3−2;8.2π 2 −π 3 /3;9.1/6;10.2;11.2;12.2 √ 2−2;13.8/π−1;14.4/π−1;15.4/π−1/2;16.π/2;17.1;18.π/4−ln2;19.3/4−(2ln2)/π;20.4/3;21.128/15.7.1.2.e/2−1.7.1.3.e 2 /2−e−1/2.7.1.4.2/3.7.1.5.(π+3 √ 3−3)/24.7.1.6.a=3/2.7.1.7.1.256/15;2.72 √ 3/5;3.8 √ 2/15;4.3−e;5.π/8;6.3π/4;7.5;8.1/6;9.22/5;10.4/3;11.9π/2;12.3π;13.π/8;14.π/32;15.2π+80/π.7.1.8.1.π 2 ;2.4π 3 /3;3.(e 4π +e 2π )4;4.1;5.(2π+3 √ 3)/24;6.3π/4.7.1.9.1.π;2.4;3.4π;4.π/2;5.9π/4;6.27π/2;7.9π/2;8.9π/2.7.1.10.1.2π/3− √ 3/2;2.4π/3− √ 3;3.5π/4−2;4.5π/24− √ 3/4;5.3π/4;6.π/2−1;7.1− √ 2/2;8.11π−12 √ 2;9.5π/4−2;10.5π/4.7.1.11.1.π/3+ √ 3/2;2.2π/3+ √ 3;3.π/4;4.π/4+2;5.π/4;6.π;7.4π/3+2 √ 3;8.π/3+2− √ 3.7.1.12.1.2π+3 √ 3/2iπ−3 √ 3/2;2.2π+3 √ 3/2iπ−3 √ 3/2.7.1.13.(16 √ 2−20)/3.7.2.1.1.e 2 +1;2.e 3 −e −8 +11;3.2 √ 2;4.8 √ 2−4;5.4 √ 2−2;6.e 3 −e −3 ;7.3/2;8. √ 2(e π −1);9. √ 2(e π −1);10. √ 2− √ 10/3+ln(3+ √ 10)−ln(1+ √ 2);11.4−2 √ 2;12.2ln2;13.8((π 2 +1) 3 −1)/3;14. √ 2+ln(1+ √ 2);15. √ 2(1−e −π/2 );16.(37 √ 37−1)/27;17.2 √ 5ln(2+ √ 5);18.tgh(1/2);19.(ln( √ 37+6)+6 √ 37)/12;20.779/240;21.1;22. √ 2π;23.π 2 /2;24.12;25.ln2;26.3 √ 2/4.7.2.2.1.52/3;2.12;3.50/3;4.31/6;5.53/6;6.32/3;7.6;8.(13 √ 13−8)/27;9.(e 2 +1)/4;10.(24−ln2)/8;11.2ln3−1;12.ln(1+ √ 2)−ln √ 3;13.ln(e 2 +e −2 );14.595/144;15.17/6;16.2055/64;17.1;18.26 √ 3/3.7.2.3.1.4;2.2πa;3.4a;4. √ 2(e 2π −1);5.( √ (π 2 +2) 3 −2 √ 2)/3;6.a(π √ 4π 2 +1+ 1 2 ln(2π+√ 4π 2 +1)).7.3.1.1/5.7.3.2.1/30.7.3.3.1/110.7.3.4.(e 4 −e 2 )/2.7.4.1.1.6π;2.20π/3;3.π;4.π 2 /2;5.π(e−2);6.π 3 /4−2π;7.πln(3/2);8.156;9.6π;10.256π/35;11.12π;12.32πa 3 /105;13.π/4;14.5π 2 ;15.π 2 /4+π/2;16.3πln25. 7.4.2.1.198π;2.2π/3;3.πln10;4.2π;5.2π(1− √ 3/2);6.π(e 2 +1)/2;7.π 2 /4;8.32π/35.7.4.3.1.125π/3i125π/3;2.π(e 2 +4e−3)/2iπ;3.8π/9i2π/3;4.25π/2i25π/3;5.5π/28i5π/28;6.16π/15iπ/2.7.4.4.1.162π;2.64π/15;3.π/6;4.1296π/5;5.16π/15;6.29π/30;7.(2π 4 −3π 2 )/12;8.8π. 7.5.1.1.98π/3;2.8π;3.61π/1728;4.8π(2 √ 2−1)/3;5.π(2 √ 2−ln(3−2 √ 2));6. √ 3π/2+πln( √ 3+2)/4;7.π( √ 2− √ 5/4+ln2−ln( √ 10+ √ 2−1− √ 5));8.π(e √ 1+e 2 − √ 2+ln(e+ √ 1+e 2 )−ln(1+ √ 2));9.π( √ 5− √ 2+ln2−ln( √ 10+ √ 2−1− √ 5));10.32πa 2 /5;11.263π/256;12.32 √ 5π;13.8 √ 5π;14.32 √ 2π;15.(17 √ 17−5 √ 5)π/6;16.π(1+(1/2)sinh2);17.348(1+ √ 2)π/5;18.π(3 √ 10− √ 2−ln(3+ √ 10)+ln(1+ √ 2))/ √ 219.2 √ 2π(e π −2)/5;20.64π/3.

Odpowiedzidoćwiczeń 3017.6.1.180(2 √ 5+ln(2+ √ 5)≈532,42m 2 .7.6.2.4π 2 rR.7.6.3.19.8m.7.6.4.4π(r 3 −(r 2 −d 2 ) 3/2 )/3.Rozdział88.1.1.1.1/18;2.1/50;3.2;4.π/12;5.π/9;6.2/e;7.1/6;8.0;9.1;10.e 2 /4;11.1/2;12.1/4;13.π/4;14.1−ln2;15.(ln2)/2;16.rozbieżna;17.e−1;18.π/2;19.1/8;20.(ln2)/2+π/4;21.π/4;22.1/2;23.(2ln2)/3;24.π;25.1;26.π/4;27.ln2;28.arctg2+ln5−π/2.8.2.1.1.4;2.π/4;3.32/3;4.π/2;5.rozbieżna;6.rozbieżna;7.−6;8.8;9.rozbieżna;10.rozbieżna;11.1;12.2;13.π/2;14.(8/3)ln2−8/9;15.π;16.rozbieżna;17.rozbieżna;18.rozbieżna;19.−2/e;20.ln(2+ √ 3).8.3.2.1.2π/(3 √ 3);2.2π/(3 √ 3);3.rozbieżna;4.zbieżna;5.zbieżna;6.2π;7.zbieżna,8.rozbieżna;9.zbieżna;10.rozbieżna;11.zbieżna;12.zbieżna;13.rozbieżna;14.zbieżna;15.rozbieżna;16.zbieżna;17.zbieżna;18.zbieżna;19.zbieżna;20.π/4+1/2.8.4.1.1.π;2.π/2;3.8π(2+ln 2 8−2ln8)/27;4.ln(16).8.4.2.16π/3.8.4.3.1.2π;2.π;3.π;4.π 2 /4.8.4.4.πi∞.Rozdział99.1.1.1. ∑ ∞n=0 (−1)n x n ,|x|

IndeksAbelatwierdzenie276aksjomatciągłości27d’Alembertakryterium45aproksymacjafunkcji130arcuscosinus88,110—cotangens88,111—sinus87,109–110—tangens88,111arytmetykafunkcjiciągłych83—granicciągów(funkcji)15,72—pochodnych106astroida240asymptotapionowa154—pozioma155—ukośna156–157badaniefunkcji158Bernoulliegonierówność22bezwzględnazbieżnośćcałki266–267——szeregu40Bolzano-Cauchy’egotwierdzenie39,70,97,266Bolzano-Weierstrassatwierdzenie28bryłaobrotowa245całkabezwzględniezbieżna266–267—Darboux209—nieoznaczona165–203—niewłaściwa255–271——drugiegorodzaju260——pierwszegorodzaju255—oznaczona204–228—Riemanna212—rozbieżna255,261—warunkowozbieżna266—zbieżna255,261całkowalnośćfunkcji209całkowanie166—funkcjiniewymiernych194–203——pierwiastkowych194——trygonometrycznych177,185–194——wykładniczych171——wymiernych179–185,194——zawierającychtrójmian172–174—przezczęści175–177,223——podstawianie168–175,223—szeregu274—ułamkówprostych179ciągarytmetyczny8—Fibonacciego8—geometryczny8—liczbowy7—malejący9—monotoniczny9,27–28—monotonicznyiograniczony27—niemalejący9—nierosnący9—normalnypodziałów212—ograniczony10,15—rekurencyjny8,30—rosnący9—rozbieżny12—stały9—zbieżny12ciągłośćfunkcji81——naprzedziale88——odwrotnej86——wpunkcie82——złożonej83—jednostajnafunkcji92—jedonstronnafunkcji88cykloida235,240definicjaCauchy’egogranicyfunkcji59—Heinegogranicyfunkcji68długośćkrzywej239–243drugapochodnafunkcji120ekstremumlokalnefunkcji133,142–146funkcjaarcuscosinus88,110——cotangens88,112——sinus87,109——tangens88,110—całkowalna209—ciągła81——nazbiorze81,83——wpunkcie81,83,89—Dirichleta210—dwumianowa285—Eulera266—górnejgranicycałkowania219—jednostajnieciągła92—kawałkamiciągła215—lewostronnieciągła88—logarytmiczna87—niemalejąca(nierosnąca)30—odwrotna86—ograniczona71,95—pierwiastkowa87—pierwotna165—pochodna102—podcałkowa209—potęgowa87—prawostronnieciągła88—rosnąca(malejąca)30

Indeks 303—różniczkowalna102—różnowartościowa86—wklęsła147,149—wykładnicza87—wypukła147,149funkcjehiperboliczne113—kołowe113granicaciągu11,14—funkcji59–60——wnieskończoności63——złożonej75—lewostronnafunkcji64–65—nieoznaczona18,73–74—niewłaściwa12——funkcji62—prawostronnafunkcji64–65granicecałkowania209ilorazróżnicowy100interpretacjageometrycznapochodnej103jednostajnaciągłośćfunkcji92kardioida236koniczynka237kresdolny(górny)zbioru26kryteriumBolzano-Cauchy’ego22—całkowezbieżnościszeregu267—Dirichleta48,269—ilorazowed’Alemberta45—Leibniza49—pierwiastkoweCauchy’ego47—porównawczezbieżnościcałek263———szeregów42–43—zbieżnościcałkiniewłaściwej263,265krzywabiegunowa236—Kocha239—parametryczna233,239—prostowalna239lemniskata237liśćKartezjusza125liczbae79–80—Eulera29—Napiera29linearyzacjafunkcji130Maclaurinaszereg280maksimumlokalnefunkcji133metodawspółczynnikównieoznaczonych196minimumlokalnefunkcji133monotonicznośćfunkcji142–146najmniejszawartośćfunkcji135największawartośćfunkcji135nieciągłośćdrugiegorodzaju90—pierwszegorodzaju90—usuwalna90nierównośćBernoulliego22normalnadowykresufunkcji104normalnyciągpodziałów212n-tapochodnafunkcji120n-taresztaszeregu37objętośćbryły243–250——obrotowej245—kuli249—stożka249otoczeniepunktu59paradoksmalarza270pionowastyczna104pochodnafunkcji100——odwrotnej108——określonejparametrycznie127——uwikłanej123——złożonej115—iloczynufunkcji106—ilorazufunkcji106—lewostronna102—logarytmicznafunkcji118—odwrotnościfunkcji107—prawostronna102—różnicyfunkcji106—sumyfunkcji106pochodnewyższychrzędów120podłogaliczby14podciągciągu11,14podstawieniaEulera197–199—trygonometryczne199–202podstawowecałkinieoznaczone166—twierdzenierachunkuróżniczkowego220poleobszaru205,229–238—powierzchnibryły250–253promieńzbieżnościszeregupotęgowego52przedziałwklęsłościkrzywej(funkcji)147—wypukłościkrzywej(funkcji)147—zbieżnościszeregupotęgowego52punktciągłościfunkcji81—krytycznyfunkcji134—nieciągłościdrugiegorodzaju90——funkcji81——pierwszegorodzaju90—przegięciafunkcji(krzywej)148–149—skupienia59—stacjonarnyfunkcji134—wewnętrzny59redukcyjnemetodycałkowania177–179,189–190równanienormalnejdowykresufunkcji104—stycznejdowykresufunkcji103równośćLeibniza277różniczkafunkcji129—n-tegorzędu129różniczkowalnośćfunkcji102—iciągłośćfunkcji105różniczkowaniefunkcji102—szeregu274resztaszeregu37—wzoruTaylora140rozbieżnośćcałki255,261

304 IndeksrozwinięciefunkcjiwszeregMaclaurina280————Taylora280sąsiedztwopunktu59spiralaArchimedesa243—hiperboliczna243—logarytmiczna243stałacałkowania166stycznadowykresufunkcji103sufitliczby14sumacałkowaDarboux208——Riemanna212—częściowaszeregu33—szeregu33szereganharmoniczny41—bezwzględniezbieżny40—Dirichleta44—dwumienny285—geometryczny35—harmoniczny39–40—liczbowy33—Maclaurina280—naprzemienny48—potęgowy51,272–291—rozbieżny33—Taylora280—teleskopowy34—warunkowozbieżny40—zbieżny,33śnieżynkaKocha58średnicapodziału207Tayloraszereg280torus247,253–254trąbkaTorricelliego270–271twierdzenieAbela276—Bolzano-Cauchy’ego39,70,97,266—Bolzano-Weierstrassa28—Cantora94—Cauchy’egookondensacji44———wartościśredniej139—Darboux97—Fermata133—del’Hospitala151—Lagrange’a137—odwóchciągach20——działaniachnagranicach72——trzechciągach20———funkcjach71——wartościśredniej137——zachowaniunierównościdlagranic71—Rolle’a138—Weierstrassa95–96ułamekprosty179uniwersalnepodstawienietrygonometryczne191ważniejszegranice76–81wartośćśredniafunkcji218—głównacałki258—najmniejszafunkcji135—największafunkcji135warunekkoniecznyzbieżnościszeregu39—zbieżnościcałki266——ciągu22——szeregu39–40warunkowazbieżnośćcałki266——szeregu40wielomianMaclaurina140—Taylora139wklęsłośćfunkcji146–151współczynnikdwumianowyNewtona285wypukłośćfunkcji146–151wzórNewtona-Leibniza222—Stirlinga228—Taylora140—Wallisa227zbieżnośćcałki255,261—ciągu12—szereguDirichleta44——geometrycznego35zbiórotwarty97—spójny97złożeniefunkcjiciągłych83