Materjali fail

*ProJ. Eerhald Fl6go,mi$ U_malsmnatif iamillss m CInnutitll|s.Hoor-Eeeti Kirioslus - Tsrtus.

Prof. Gerhard R6go.ilis o nalsmaallfiamillss ontgma viirlus.Esiloengastumise puhul 2. oktoobrii 1920Tartu Ulikooli aulas.Noor-Eesti Kirjastus -1921'Tsrtus.

Mis on matemaati\" j" milles on temav66rtus.Vanal hallil ajal, m6nituhat aastat tagasi, algabiiks teadusemees oma papiiiirusel kiriutatud matemaatilistteost, kSige vanemat, mida me senini tunneme,s6nadega.',Juhtn66rid k6igi variatudasiade iuurde saamiseks, koigisaladuste iuurde, mis peituvad asja d e s. " Tuhanded aastad tagasi oli matemaatilisem6tlemise ja uurimise aine suuremale iaole inimestesttume ia arusaamatu, selle teaduse sisu tundmatu iasaladuslik.Paliu aega on sellest nr66das. Pisikesest taime.kesest, mis esimene m6tleia inimene istutas, on aiaiooksul suurepdrane matemaatika teadusepuu viljakasvanud; iitlemata paliu igapievaseid n6udeid korraldabarvutamine ia matemaatiline mStlemine ; arvia m65t valitsevad meie kaubandust ia t66stust, arvuiaruumiteadus on saanud md6dapiismatuks t66riistaksigas inimese eksaktses teaduseharus, igas uurimisejam6tlemisevallas. Ja siiski - iihes asjas oleme meievana korra iuurde iidnud: m5istatuslisseudusse on matemaatika tinapievanialaanud.Suurem osa inimesi kuiutab endale, s6na ,,m a -temaatika" kuuldes, midagi l6pmata igavat, k6ige

kuivemat ia vdsitavamat ainet ette. paliud ehk iihendavadselle _s6nagak6iki kehalisi ia hingelisi valusidia elcamite koledusi oma kooliajast.Kui ehk kelleltki nendest kiisime, kellel }

. Matemaatikut, kui ta iust mitte professor ei ole,fi huvita t6siasi, et kui 3 iili5pilast semestri jooksulauditooriumis loengutel viibimise asemel 15 tundikriskil l5busamas kohas m6iida saadavad, siis 8 justniisama hoolsat ia elur66msat noortmeest seda tunni.arvu 40-ni j6uavad t6sta. Vdhemalt mitte enamkui t6siolu, et kui 3 postkaarti maksavad 15 Emk.,siis 8' sama kallist 40. Mis teda huvitab, on nendenelia arvu 3, 15, 8, 40 side: nende omadus,mida proportsionaalsuseks nimetatakse.Niiitused, nagu iilevalnimetatud ehk nendesarnased, on ainult sellev6rra tdhtsad, etnende kiilge on kerge m5tteid siduda,nende abil m6elda, nende m6ttelistsisu ,tldistades mSistet luua.Erijuhuse (3, 15, 8, 40) kdsitamisel ndeme, kuidasiiht nendest arvudest leida, kui 3 teist on antud:me leiame iildise iuhi, kuidas .tuhandeid iilesandeidlahendada, mis igapievane elu meile seab,Me 6pime iiksikasialiselt tundma peaaegu instinktiivsekssaanud m6tlemiseviisi, mida me arvamatapaljudel iuhustel tarvitame l3... ...15,1... 5,8. ...40.Mitte see ei ole tdhtis, et me oma kolme kiilalistkuuel viisil, nelia ,24-jal, viit 120-nel viisil v6imelauas aset v6tta paluda, vaid et need arvud on1.2.3, 1.2.3.4, 1.2.3.4.5,ja sellega siis iitdise toe iratundmine, etmistahes n asja n kohale VSib 1.2,3...n viisildra rnahutada,

IEi ole tdhtis, et ndituses 2 X 3 : 3 X 2 igrFkofd 6 vllia tuleb, kuid et siin nihtavale tuleb i I -dine omadus, mis on omane k5ikidele niisu.gustele korrutistele : va h e tat av us.Mitte niiitus ise, ka mitte nendekogu ei ole see, mis meid huvitablvaid iildine seadus, mis meie m6t-Iemist valitsebMitte m6ttelise sisu poolest tiihiadeia huvivaeste iilesannete lahendamisesei peitu matemaatika.Mitte arvutamised ia avalduste teisendamisedei ole tema siht, vaidtipsa'damine.m5tlemise metoodide aren-Kui senini ikka veel nii sagedasti arvamist kuuled,nagu oleks matemaatika'suur iilesannete kogu, naguoleks te:na sisu arvutamised ia teisendamised, kuiisegi haritlaste peres tiieline arusaamatusmatemaatika vastu valitseb, siis onsee suuremalt iaolt kooli ia 6petamiseviisisiiii: nii tihti iuhatatakse siilteatavadshabloonid kitte m6nede v:iljam6eldud kiisimusteia sisuvaeste iilesannete m6tteta mehaanilisekskdsitamiseks ia unustatakse matemaatika 6pe -tamise iilesanne: harida ettekuiutusev6imist ia hariutada iSriekindlat mdt.lemist; kaotatakse silmast suur eesmdrk,milleiuurde peaks piiiidma: meid tepsalt m6t.leiateks inimesteks kasvatada.M6tteta sholastiline 6ppeviis peabkadumal m6tte eksperimentide aseme I e viljam6eldud tiihiade ktisimuste kallal astugus ihiki ndel piiiid, lihtsate, igatihele arusaadavate,kui v6imalik, elun6uetest tekkinud kiisimuste

abil m6tlemist ja ettekujutust haridaia m6tte arendamisel meid k6rgemalevaimuilmadesse tdsta.Millel p6hieneb suurepdrane matemaatikateadusem6tteilm, mis on tema k6ikumata alusteks?Asiade lugemine t5i inimesele tiisarvud:l, 2, 3, 4, 5, .,,,.,kehade vaatlemine ruumkuiud : sirge, ringi, k6verad,pinnad ja kehad. Vaatlemise tcel leidis ta ka k6igelihtsamad arvude ia ruumkuiude omadused.'teaduseleKuid piisiv aluspandialles siis, kui raskes vaimut66s inimenearvu ia Iuiu kehadest lahti kiskus,millede vaatlernisel ja lugemisel nad olid tekkinud,need arvud ja kujud m5isteteks t5stisia viimased nende lihtsamate omadusteabil dra mdiiras.Vaim oli uue ilma ioonud: m6istetest;inimenii. oli loojaks saanud.Ta hahkas korda otsirna oma uues ilmas;ta vaatles, arvutas ia m6tles. Ta sidusarvusid iiksteisega, iihendas algkujusid uuteks iihendusteks,otsis vastavust arvude ja kuiude vahel. Tat6i ilmsiks saladused, mis peitusid tema vaimusiinnitustes,ia ndgi, et k6igil pool valitsebharmoonia.See oli t6de.Kuid vaimusiinnitused ei idinuds u r n u t e k s. Nad siinnitasid omasarnaseid, arveia kujusid, ia nende arv kasvas piirita,Et nendest iagu saada, l6i inimene uue m6iste ja nimetasteda: hulk.

lIIMis on hulk ? Arvud1, 2,3, 4,5,.....imurrud tlz,2ls,slt, oh, ulu,, . . . .;sirge tdpid kahe raia A ia B vahel ; sirged, mis an'tud ringi puutuvad, kerad, milledel iiks iihine tdpp -need kSik on hulgad. Uldiselt: on meil siisteem,nis l6pmata paliu asiu: arvusid,tippisid, sirgeid, kerasid ehk teisi kujusid ehk m5tteobiektesisaldab, n6nda et meie iga m6eldavaasja kohta v6ime 6elda, kas tema meie siisteemikuulub v5i mitte, siis nimetame seda hulgaks.. Oma tungis, aru saada Jumala loodusest, katsusinimene viimast oma vaimu siinnitatud ilmas k u -iutada. Kuid see oli v6imatu. Koiksiindis, kasvas, nirtsis sdil, elas ia muutus. Vaimuilmasvalitses jddvus ia muutumatus. Et kulutustv6imaldada, l6i inimene uued m6isted: muutuiaia sellest oleneva, sellest irarippuva funktsioonimdisted.Paar niiitust. Igale alatipile vastab mdiiratud6husooius; muutub aeg muutub soojus. Ohusooiuson aia funktsioon. Igale x-i tdhendusele avalduses5 x : (1 + xz) vastab selle viimase kindel m6iratudsuurus: on x : O, l, 2, 3 . . . .., on meieavalduse tihendused 0, 62, 2, 8lz, . . .. . .; avaldusevii5rtus on x-i funktsioon. Uldiselt: muutubkaks suurust ndnda, et igaiihe esimesesuuruse vidrtusele vastab mifrratudteise tihendus, siis on seeteine esimese funktsioon.Need suured neli m6istet : arv, kuiu, hulk,f unktsioon on meieaegse matemaatikanurgakivideks, algt6ed ak-10

i\,ilii1\i\i(Isioomid tema alusteks ja loogiliseltnendest tuletatud iireldused temasisu, tema ehitus.Aksioomide iilesseadmine, m6is-.tete uurimine, nende omaduste iilesleidmineia tundma6ppimine, nendevaimusiinnituste kuiutamine kindlatem6tteprotsesside abil, nendevaheliste sidemete kattesaamine,m6tteilmas v6imaluste olemasolemiseja mitteolemise t6endused,k6ige lihtsamate algt6dede leidmineja nendest k6ige teaduse sidu iireldamine,nende algt6dede uurimineia nendele raiatud teadusvalla piiridelaiendamine see on matemaatikaiilesanne.V6imatu on katsuda m5ne lehekiiljega ettekuiutustluua sellest varast, mis siin inimese vaim aastatuhandeteiooksul on loonud, sellest k6ige harmoonilisemast,mis tema mdte on siinnitanud, mis tema k5rgemalekSigest olemasolevast ideedes ehitanud. Lepime sellega,et tutvume m6ne matemaatilise probleemiga, mis paljupaliuaega kirsitule inimese vaimule m6tteteravuse proovikiviksolid, milledest m6ned iiks p6lv meelt heites lahendamatateisele edasi andis, mis oma drav6itmatusegailmakuulsaks .said ja siiski lihtsad ia igaiihele arusaadavadon.I . K5ik arvudl, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8t 9, 10, 11, 12, 73,...,.v6ib kahte suurde riihma iaotada: iihed,1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ....mida v6imatu on teguriteks lahutada, ia teised,4,6,8,.9, 10,'.2, 14, 15, 16,..,..11

t'Sui paliu on neid algarvusid?Uheksandas Euklides'e,,Aluste" raamatus t6enda.takse, et neid l5pmata palju on.r T6endus on idrgmine. Oletame, et neid m i t t el6pmata..palju ei ole. Korraldame nad suuruse iireleritta. Uks__neist peab k6ige suurem olema; olgutema p. V6tame korrutise arvudest iihest kuni p-ni :1. 2. 3.. ... pja lisame iihe iuurde :1.2.3.,....p -f r.rnis _teguritekslahutuvad. Esimesi nimetatakse algarvudeks.Saadud arv on suurem kui p. Tema kohtavoime ainult tihte kahest 6elda : tema on algarv, siisoleks meie viide tSendatud, ehk tema ei oli algarv.ta aga algarv,Fj 91"siis ta lahutub algtegurileks.Need ei aga -voiolla ei 2, ei 3, ei 4, .... sestiiks ei ole iihegi nendega "ap,iagatav : algtegurid on s u u -r e m a d kui p. See kiib meie oletusele, et p k6igesuurem algarv on, vastu. Tihendab, oletus k6ige suuremaalgarvu olemasolemisest pole 6ige: k6igJ suure-*"t^:i ole, algarvusid on l6pmata paliu.Siin on meie ees nditus iihest k-6ige m6luvamastmatemaatiliste t6enduste metoodist: v a st u vd i t e -line t6endamisviis. Meie oletame seda. mist6endatavale otse vastu kiiib, ja niitame, et meiem6tlemise saadus, meie loogiliselt tuletatud jireldus,oletusele rddgib.-v-astuTihendab, oletus ei ole aige.Kui paliu on algarvusid, mis onvihemad kui antud arv N? Kaks, v5ib ollaisegi kolm ehk enam tuhat aastat on selle kiisimusepdile vastust otsitud. Oleks meil vastus, siis teaksime,ku.i Raliu -algarvusidon vdhemaid kui N, kui paliuvdhemaid kui M, teaksime, kui paliu algarvusiJ ont2

-*.!.Fmistahes kahe arvu N ia M vahel. Meil oleks kdes suursenini teadmata sea d us, mi | | e i irel e a I garvudarvude reas teiste vahel seisavad,3. Vaatlemine sunnib meid viitma, et me a n t u dtdpist tasapinnal ainult iihe sirgev6imet6mmata, mis antud sirget ei l6ika, mistemaga paralleelne on.Kas n6uavad sedasama ka algt6ed,.mis me ruumiteaduse alusteks olemevStnud, ia meie m5tlemise p6hiseaduse d ? Teisiti, kas on v6imalik nendest algt6dedestjireldada nimetatud viidet, v6i peame sellega leppima,et Euklidese eeskujul teda iiheks nendest t6endamatapostulaatidest tunnistame, mis meie ruumiteaduse p6hipinnaksori ?Kakstuhat aastat on suuremsd teadusemehed iamStleiad seda kiisimust uurinud. Tuhanded on katseidsedavdidet t6endada. UL.ti nendest ei6nnestanud.Me teame niiiid, et see teisiti ei v6ioud ollagi :Euklidese postulaat ei ole idreldusalgt6d edest, mis geomeetria alusteks, nagu i5rgmised: kahte tdppi v6ib ainult iihe sirge abil iihendada,kaks sirget l6ikavad teineteist ainult iihes tipis,ehk mitte iiheski, ine.Ei ole v6imalik, sest vaim on mSttCilmadloonud, milledes tihendatudpostulaat maksev ei ole, ilmad, kus maks-&.vad on k6ik teised algt6ed, mis Euklidesegi ruumis,f viljaarvatud paralleelide aksioom. Ilmad, mis omailu ia t6dede kokkuk6la poolest maha ei idA sellest,rnillega me lapsep6lvest oleme harjunud ja mille deson v6imalik iust niisama histi, kui Euklidesegiruurnis, rn6tetes kuiutada maailmanihtuste kiiku,13

f"4. Olgu meil kolm taevakeha, oiituseks piiike'maakera" ia"kuu; me teame, et nad iiksteist. Newton'i;;; iirele killge t6mbavad, teame, kus l

lKiriutame nemad kasvavate nimetaiate iirjekorrasnia kui mitu murdu iihe nimetaiaga, siis kasvavate luge'iate iirjekorras, vilia iSttes murrud, mis liihenevad.N6nda saame:0, rfe Lft,2la, t1t,31+, 1 ltr'lu,'lu, alo, tla,6/u, . . . ..Kiriutame nende alla tf,isarvud I1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, .,...ia vastavus on kies : igal munul on oma numberoigale numbrile vastab oma murd.Niiiid kiriutame k6ik arvud sellesama printsiibi.ifirele tabelisse:t,z'E4/.4' ){ ,tz _t3 I:- t%l39'Ct 4' o't'L5t,'.19E,1.'7/t+14l2 Ji r3l,L++ 1,2-/./l "f5 tl1/T ,5!L',5t4' 'l:IT )! r 4't+ lJ ,154T e.1'719!_l+,a'+.5 ez t{ FTa11:c't l't/ia nummerdame nad, nagu nooltega tihendatud :0; Lfz, l; Lls, rlfe, 2;'lu, 7Lfs, Ztfz, 3i1; 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9, 10;.....Sellega on n5utud iiks-iiheline vastavusmeie k6igil pool tiheda tf,is- ia murd -15

Iarvude valla indiviiduumide ia tdisarvudevahel korraldatud: nummerdatavuson t6endatud.Laiendame endist arvvalda: tdis- ia lihtmurdudeletehk viimaste asemel l6plikkudele ia perioodilistelektimnendmurdudele, lisame iuurde k6ik l6pmatud mitteperioodilised kiimnendmurrud ia korraldame k6ik nedarvud suuruse idrele : saanle laiendatud arvvalla i mitteainult tiheda, vaid pideva arvvalla: arvkontiinuumi.Selle indiviiduumid ei ole enamn u m me rd at a va d, nagu seda hulkadeteooria looia'Georg Cantor t6endas.' Suut, senini lahendamatu ko ntiinuumprobleemoni kas on olemas hulkasid' mismitte nummerdatavad ei ole ia missiiski ei ole kontiinuumid?K6ikides osades tihedate ia igal pool pidevatearwaldade loomisega oleme file astunud piiridest, misettekuiutuse v5imised meile panevad: ette kuiutadasuudame ainult katkevaid hulki; m6isted t6stavadmeid k6rgemale sellest, mis meelteabil suudame ira tunda.6. Ja t5puks kolm kuulsat probleemi, milledejuured ua"n" Kreeka, osalt kogutii Egiptuse esikultuuriaiaspeituvad.Antud on mi ngisugune nurk. Jug"-tagu ta sirkli ia ioonepuu abil, teisitiioonistades,kolmeks.sirgeid ia ringeSamade rii stadega ioonistataguruut, mille pind oleks antud ringiPinnasuurune.Samade riistadega leida kuubikiilg, mille ruumala antud kuubiomast kaks korda suurem oleks.l6Jtl

Viimase kolme iilesande iseloomu kohta selguselej5udmiseks kulus piile kahetuhande aasta r.asket vaimutdcid;ringi kvadratuuri pidle isegi enam kui 4000.Kuid drgem arvakem, et praegu oskame n6utud konstruktsiooneteha ! Ei osanud endiste aegade teadusemehedseda, ei oska seda ka meii. Mis meieaga niiiid teame, on, et ka i i a I g i tulevikus iikskiinimene neid konstruktsioone sirkli i. ioonepuugateha ei saa. Sest nende riistadegaon seda v6imatu teha - ideedes.Praktiliselt on see muidugi iga tarvisoleva tipsusegav5imalik, kuid mitte absoluutse tipsusega ideeJes. --Samuti ei puuduta praktilist tarvidust ka see siigavtdsiasi, et olemas ei ole niisugust pikkust, mis peitukstiisarv kordi ruudu kiilies ia tema nurkioones.K6ikide nende vSimatuste vdirtus seisab s ii g a -vas dratundmises, et algt6ed, meie m6tlemisviisiaselle seaduied ei voimalda,ei luba, et iilevalnimetatud konstruktsioonidolemas oleksid. Meie ees on siinsiigavam dratundmine, et m 6 tl em i ne v6imatuksteeb m6eldava, et m6tlemine piiridpaneb endale, et piirita edasi i5uda.Milleks need abstraktsed asiad?Milleks k6ik see tuhandeaastane m6ttetci

-ll,lafF:-on praegusel aial tehnika teenistusse sea'tud, taf,aks p""u"g,, 6elda -,,te h niseeritud"'iII'Kulutav geomeetria 6petab meie ehitus- i" TltinateproiektJ vaimust paberile -viima ia v6imaldabsellega nende teostamist; graafilised ia numeerilisedmetoodid annavad meile v6imaluse i6udude mdngumasinates, ehitustes, sildades ia tornides uurida ia vii'maseid nSnda prolektida, et k6ige vdhema materiaali'kuluga k6ige suuiem vastupidavus ia tugevus v6imal-.duksl K6ige uuemad matemaatika saavutused annavadmeile i6i.t*-" tiiSriista probleemide kisitlemiseks,mis hiiglaturbiinide, mere- ia 6hulaevade ehitus meileseab. Matemaatilised aparaadid arvavad n6utavad suu'lused automaatselt velia, vabastavad meid pikkadest!a igavatest arvutamistest !a annavad meile sellega v6itttalusesihis edasi piiiida, mille iiks suurematest meieteaduse esindaiatest 19. aastasaial, Dirichlet, 5ra tihendas:,,uuerta aia matemaatika piiiid onarvutamise asemele m6tlemist seada"'Matemaatiline m6tlemisviis oli ka,see, mille pinnal uuema aia :ksaktneloodusteadus vilia kasvas' Selle aialugualgab alast, kus Galilei ffles seadis oma nii iSreldus--rilika kiisimuse kivide kukkumise kohta: kuidas?Mitte: mispdr"ri?Kiisimusega ,kuidas" oli katse loodustea-.duse alu seks tehtud. Katse pidi seatud kiisimusepiiile vastuse tooma. Ja selle vastuse kuiu onjirgmine:i,tlr{r8

kivi kukkumiseaegl-se sekundi l6pul2-se ,, ,3-da ,, ,,4-da , j,kukkumise kaugusalguskohast5,1 meetritr9,9 ,,45,6 tt78,4IISee lihtne tabel.on n6nda-6elda kivi kukkumisepievapilt, paremini: rida moment-iilesv6tteid,on uuritava siindmuse teaduslikI

{tlI{iIf unkts.ion a alse sideme eestikeelnet6lge.la n6ndasama ka iga teine looduseseadus. M 5 t -lemlne seaduste abil on funktsionaalne m6t I e min e: looduseuuriia m6tlemiseviison matemaatiline :Funktsio onid paliastavad mei lenihtuste saladuslisi sidemeid ianende 6petus otsib idivat muutuvuses.Looduseuuriia v6tab oma uurimiste vilia seadus'teks kokku ia nende abil kirjeldab ta siis maailmakiriusid siindmusi. Tema keeleks on f u n kt'Sioonide keel.See keel on tipsam kui iikski teine, Ifihike'arusaadav ia iihtlane k6ikides tema teaduseharudes'Ja ei leidu teist keelt, mis v6imsam oleks ia kohasemluurte looduseseaduste vlliendamiscks, teist keelt, mis omalihtsa tiiusega meis aimust iirataks iumalikust harmooniast,mis valitseb maailma i6udude keerulises mdngus'Kuid mitte ainult keeleks ei ole matemaatikaloodusteadlasele' Vaid ka k6ige tugevamakst66riistaksr seadustest ia algusandmetestasiade iooksu ette ira ndha' Newtoniseaduse liirele liiguvad tlhed ia pdikesed, maa'kerad ia tolmukesed ilmade ruumis. Selle seaduse iataevakehad-^ praeguse aia seisu abil toob matemaatikameile teateid k6ige pimedamast minevikust !akuulutab meile ette, mis saab olema kui kauges tu'Ievikus tahes'Mitte ainult seesuguste korrapiiraste nihtustepinnal ei leia matemaatika omale tti6p6ldu. Surevus,petinut ia t6ugude muutuvus' viirflimdngu, iuhused iaLatsete vead, 6hurakukeste l6pmata keeruline lend iavalgusekiirte korratu voolamine ka nendes20h

v a ld a d e s, kus nf,htused korraldamata, k qs n dhtusindib valitsevat pime iuhus, kanendest on v6imas matemaatilinet

[-*ttII It',IlUkski tein" teaduseharu ei v6imalda uuriiale suurematloomise vabadust, iikski teine ei Panetema pdiile nii suurt vastutust'O.u *6istete teravusega' oma algt6dedelihtsusega, oma m6ttekiiguselgusega, oila metoodide iildsusoga,u"l .ut"maatika eeskuiuks igalete i sele v a i m ut 6 ii -v all ale'Sellega, et.ta siduma 6Peta.bm6isteid iuumist ia aiast, et ta kindlaksmiirab m6isted muutumatusestia muutuvusest' kotkevusest ia pide-'vusest,iuhusest ia seadusest, sellega'et ta ..r'nr" p6hiuste uurimise funktsfoonim6iste Piile raiab' saab takogu meie ilmavaate p5hipinnaks -ialSi ratsionaalse m6tlemise. alusek.s'Matemaatika on seG aine' mlsmeid atla iuhib teadmise algp6hiadele,ia tema on, mis meid lahti Li'sub kaig..t maisest, meid k6rgem4leettekuiu-tuvast t6stab, i". lennutiivulv6imsalt iiles viib kaunimatesse ilmadesse,igavestesse, ie-"uatesse'piirita matteilmadesse' ilmadesse'kus valitsevad ideed.II,IT