4 Funkcije

Zadatak 2. Neka je f : X → Y te A, B ⊆ X i C, D ⊆ Y . Dokažite da vrijedi:a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)b) f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B) i obrat ne vrijedic) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D)d) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D)Zadatak 3. Funkcija χ A : X → {0, 1}, gdje je A ⊆ X, definirana formulom⎧⎨ 1, x ∈ Aχ A (x) =⎩ 0, x /∈ A.naziva se karakteristična funkcija skupa A. Dokažite da vrijedia) χ A∩B (x) = χ A (x) · χ B (x)b) χ A∪B (x) = χ A (x) + χ B (x) − χ A (x) · χ B (x)c) χ A C(x) = 1 − χ A (x)d) χ A\B (x) = χ A (x) − χ A (x) · χ B (x).Kompozicija funkcijaNeka su f : A → B i g : C → D dvije funkcije. Ako je R(f) = f(A) ⊆ C tada jejedinstveno odredena funkcija h : A → D takva da je h(x) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x) kojuzovemo kompozicija funkcija f i g.Primjer 5. f : R → R, f(x) = 3x + 1; g : R → [0, +∞〉, g(x) = x 2 =⇒g ◦ f, f ◦ g : R → R, (g ◦ f)(x) = 9x 2 + 6x + 1, (f ◦ g)(x) = 3x 2 + 1.Svojstva kompozicije funkcija:(i) nije komutativna: f ◦ g ≠ g ◦ f,(ii) asocijativna je: f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ hZadatak 4. Odredite g ◦ f i f ◦ g ako su funkcije f i ga) f : R → R, f(x) = 4 − x 2 ; g : 〈0, +∞〉 → R, g(x) = ln x,b) f : N → Z, f(n) = −2n; g : Z → Z, g(n) = n 2 − 7.Zadatak 5. Dane su funkcije f, g : R → R: f(x) = ax + b, g(x) = cx + d, a, b, c, d ∈ R. Uzkoji uvjet funkcije f i g komutiraju (u smislu komponiranja funkcija)?3