Математические аспекты макро и микроэкономики - Финансовый ...

ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИКафедра математикиИ.Г.ШАНДРАМАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАКРО И МИКРОЭКОНОМИКИ(тексты лекций спецкурса )МОСКВА – 19981

ОГЛАВЛЕНИЕВВЕДЕНИЕГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАКРОЭКОНОМИКИ§ 1. Собственные векторы и собственные значения неотрицательных матриц.§ 2. Модель Кейнса рынка товаров.§ 3. Модель Хикса агрегированного рынка.§ 4. Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса.§ 5. Линейная модель обмена.§ 6. Продуктивность модели Леонтьева.§ 7. Модель равновесных цен.ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МИКРОЭКОНОМИКИ§ 8. Теория производства.§ 9. Математические основы теории потребления.§ 10. Некоторые вопросы экономической динамики.2

§1. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц1. Определение 1.1. Число λ называется собственным значением (числом)матрицы А размеров n× n, если существует ненулевой п-мерный вектор-столбец, такойчтоAx = λ x ; (1.1)при этом вектор x называется собственным вектором матрицы А, соответствующимсобственному значению λ .Для того, чтобы число λ было собственным значением матрицы А, необходимои достаточно, чтобы оно было решением характеристического уравнения:A− λE= 0, (1.2)где E - единичная матрица размеров n× n.Матрица А может иметь не более п действительных собственных значений.Читателю в качестве упражнений предлагается доказать следующие утверждения,необходимые нам в дальнейшем.Замечание 1.1. Собственные числа матрицы А и транспонированной матрицы А Тсовпадают.Замечание 1.2. Если x - собственный вектор матрицы А, то любой коллинеарныйему вектор (т. е. вектор вида αx, α ≠ 0 ) также является собственным векторомматрицы А, причем оба вектора соответствуют одному и тому же собственному значению.2. Собственные векторы и собственные значения неотрицательных матриц являютсяважными характеристиками функционирования экономических систем. Особоеместо среди неотрицательных матриц занимают неразложимые матрицы.Определение 1.2. Матрица А называется неотрицательной (положительной)и обозначается A ≥ 0( A > 0), если все ее элементы неотрицательны (положительны).Неотрицательная квадратная матрица А размеров n× n называется разложимой,если одновременной перестановкой строк и столбцов ее можно привести квиду:A1 A2A = , ( 1.3)O A3где O - нуль-матрица, а А 1 и А 2 - квадратные матрицы размеров r × r и( n− r) × ( n−r)соответственно, в противном случае матрица называется неразложимой.Замечание 1.3. Любая положительная матрица неразложима.Замечание 1.4. С экономической точки зрения разложимость матрицы говорит отом, что в рамках данной экономической системы существует некоторая автономнаяподсистема. Так, если элемент a ij матрицы А показывает какое количество продукции i-ой отрасли используется в j-ой отрасли, то разложимость матрицы А говорит о том, чтосуществует группа отраслей, не использующих продукцию остальных отраслей. Неразложимостьматрицы А показывает, что любая отрасль хотя бы косвенным образом используетпродукцию всех отраслей.Замечание 1.5. Квадратная матрица А размера 2× 2 разложима тогда и толькотогда, когда либо а 12 =0, либо а 21 =0.4

AДействительно, если а 21 =0, то матрица А уже приведена к виду (1.3). Если жеа 12 =0, то меняя местами первую и вторую строку, а затем первый и второй столбец (т.е. перенумеровав индексы) мы приведем матрицу к виду (1.3).Замечание 1.6. Матрица С - разложима тогда и только тогда, когда существуетматрица В, которая путем перестановок строк может быть приведена к единичной, тоесть матрица А=В Т СВ есть матрица вида (1.3).Доказательство этого утверждения мы предлагаем читателю провести самостоятельно.Замечание 1.7. Из разложимости матрицы A в общем случае не следует разложимостьматрицы (А) 2 . Так, например,А = 0 11 0 - неразложима, а А 1 02 = - разложима.0 1Теорема 1.1.(Фробениуса-Перрона). Неотрицательная матрица А имеет такоесобственное значение λ A≥ 0 , что λ ≥ λ для любого собственного значения λ матрицыА. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор x A, соответствующийсобственному числу λ A. Причем, если А неразложима, то λ A> 0 иx A> 0.Доказательство данного утверждения весьма громоздко и требует привлеченияаппарата математического анализа. Поэтому мы приведем его лишь для матрицы размеров2×2.Действительно, пустьa bA = ; abcd , , , ≥0.c dХарактеристическое уравнение для А имеет вид:a − λ b2A − α E == λ − ( a + d ) λ − cb = 0(1.4)c d − λВычислив дискриминант полученного квадратного уравнения, получим, что2D = d+ a + 4cb≥0. (1.5)( )Следовательно, матрица А имеет хотя бы одно действительное значение, причем, очевидно,чтоd a D d a DλA= + + + −≥ λ2 =( 1.6)2 2Найдем собственные векторы, соответствующие λ А. Уравнение (1.1) или эквивалентноеему уравнение ( A λ )имеют вид− E x = 0 в координатной форме с учетом выражения для λ A⎧a− d − D⎪ x2⎨⎪ d − a −⎪cx1+⎩ 21+ bxDx22= 0= 0(1.7)5

Так как определитель системы в силу (1.2) равен нулю, то уравнения системы (1.7) линейнозависимы, т. е. одно из них можно получить путем умножения другого на некотороечисло. Для определенности будем считать, что второе уравнение есть следствиепервого. Очевидно, чтоa d Dk = − − ≤ 0 ,2( т. к. D ( a d)≥ − 2 , см. (1.5)). Причем k < 0, если c ≠ 0 и d ≠ 0 (То есть когда матрицанеразложима). Итак, возможны четыре случая:а) если k < 0, b > 0 (а это имеет место, в частности, для неразложимых матриц),то xA = ( b; − k)t > 0, при t>0;б) если k=0, b>0, то xA = ( ) t ≥в) если k < 0, b = 0 , то xA = ( )г) если r=0, b=0, то x ( t m)10 ; 0,при t > 0 ;01 ; t ≥0, при t > 0 ;A= ; , при t > 0 , m > 0 .А это показывает, что во всех случаях существует неотрицательный собственный векторx A, соответствующий λ A. Причем, для неразложимой матрицы (случай а))x A> 0. Теорема доказана.Определение 1.3. Собственное значение λ Aнеотрицательной матрицы Аназывается Фробениусовым числом (числом Фробениуса), а собственный векторx A ( ≥ 0)- Фробениусовым вектором (вектором Фробениуса) матрицы A.Пример 1.1. Пусть A = 0 2 . Данная матрица неразложима. У нее существует2 3два собственных значения: число Фробениуса λ A= 4 , ему соответствует собственныйвектор x A=(2 ;1)t (он является вектором Фробениуса при t>0) и собственное значениеλ 21=− , ему соответствует собственный вектор x = t( −21) ( t ≠0)λ > Aλ2 .; . Очевидно, что; ( x A≥ 0 при t > 0 ) и собственное значение λ 2= 1, соответ-Пример 1.2. Пусть A = 1 0 . Данная матрица разложима. У нее существует2 3два собственных значения: λ A= 3 - фробениусово число, ему соответствует собственныйвектор x = At( 10 )ствующий собственный вектор x = t( −11) ( t ≠0); .Замечание 1.7. Так как собственные значения матриц А и А Т совпадают, то числаФробениуса данных матриц равны.Пусть P A- вектор Фробениуса матрицы А Т , тогдаTA PA = λAPA.Транспонируя это равенство, мы получим:TTP A = λ PAAA6

(Напомним, что в данном равенстве P A T рассматривается как вектор-стрoка). Поэтомувесьма естественно говорить о векторах P Aи x Aкак о соответственно левом и правомвекторах Фробениуса матрицы А.Следствие 1.1. Если матрица A ≥ 0 неразложима, то кроме вектора x A(определенного с точностью до положительного множителя) у нее нет других неотрицательныхсобственных векторов.В самом деле, пусть y ≥ 0 и Ay= λ y. Тогда, умножив это равенство слева наP A T , получимλA( PA) λ( )T y P TAy⋅ = ⋅ (1.8)Так как P A> 0 , то PT A⋅ y >0. Следовательно λ = λ A.То есть все неотрицательные собственные векторы будут соответствовать λ A. Болеетого, в силу Теоремы Фробениуса-Перрона y > 0 . Предположим, что векторы x Aи y- линейно независимы. Т. к. эти векторы определены с точностью до положительногомножителя, то мы можем считать, что первая координата у них равна 1. Тогда векторxA − y будет собственным вектором матрицы А, соответствующий λ A, но первая координатабудет равна нулю, что противоречит Теореме Фробениуса-Перрона для неразложимойматрицы, следовательно, x Aи y - линейно зависимы, т. е. xA = ty( t >0 ) .Следствие 1.2. Если A ≥ B >0 , то λ ≥ λ .kСледствие 1.3. Пусть A ≥ 0, тогда ( λ A ) является число Фробениуса ( )ABA k .Следствие 1.4. Если λ A- число Фробениуса матрицы A ≥ 0, то αλA+ β естьчисло Фробениуса матрицы αA+ βE( α, β > 0 ) .Доказательство этих утверждений мы предлагаем провести читателю самостоятельно.3. Обозначим через r - вектор, координата r i которого есть сумма элементов i-ойстрочки матрицы А, а через m - вектор, координата m i которого есть сумма элементовi-того столбца матрицы А. Очевидно, чтоa) r = Al ; б) m = l T A(1.9)где l = ( 1,..., 1).Пусть m = min m i ; M = max m i ; r = min r i R = max r i . Тогда имеет местоТеорема 1.2. Число Фробениуса λ Анеотрицательной матрицы А удовлетворяетусловиям:а) r≤λ A≤R; б) m ≤ λA≤ M(1.10)Причем, если матрица А неразложима, то все неравенства строгие за исключениемслучая, когда r=R или m=M.Доказательство. Пусть x - вектор Фробениуса, сумма координат которого равна1, т. е. l x =1 (такой вектор мы можем всегда выбрать, так как, если суммаTкоординатx равна t( > 0 ), то вектор Фробениуса y = 1 t x будет иметь сумму координат,равную 1). Для x мы имеем7

Ax = λAx .Умножив это равенство слева на l и учитывая (1. 9б), получимmx = λAxlТак как xl =1, тоλ A= xm= x1m1 + x2m2 + ... + x nm nОтсюда вытекает, чтоmx ( 1+ ... + xn) ≤λ A≤ M( x1+ .. + xn)(1.11)Причем, если матрица неразложима, то все x i> 0 и в (1. 11) оба неравенства строгие(за исключением случая m=M). Учитывая, что сумма координат вектора x равна 1, из(1. 11) получаем (1. 10а). Соотношения (1. 10б) получаются путем аналогичных рассуждений,но проделанных для матрицы А Т .Следствие 1.5. Если все суммы элементов строк (столбцов) неотрицательнойматрицы А равны одному и тому же числу λ (т. е. R = r = λ или M = m = λ ), то числоФробениуса λ Aравно λ .Пример 1.3. Пусть1 1 3 1 0 2A = 2 0 3 ; B = 3 0 03 5 0 1 1 1тогда λ A= 6 (т. к. суммы элементов каждого столбца равны 6) и λ B= 3(т. к. суммыэлементов любой строки равны 3).§2. Модель Кейнса рынка товаров.1. Пусть Y - величина совокупного национального дохода некоторой страны, С иI - соответственно объемы потребления и инвестиций. Равновесным национальным доходомY называется национальный доход, равный расходам страны, т. е.Y = I + C . (2.1)Путем анализа статистических данных американской экономики английский экономистДжон Кейнс в 30-е годы пришел к выводу, что величина потребления есть линейнаянеоднородная функция от Y, т. е.C = aY + b(2.2)где а - коэффициент склонности к потреблению ( 0< a < 1), а b - базисное потребление,ниже которого уровень потребления не может опуститься. Перепишем уравнение (2.1),(2.2) в следующем виде:⎧Y− C = I,⎨(2.3)⎩−aY + C = b.Соотношения (2.3) представляют собой систему линейных алгебраических уравненийотносительно неизвестных Y и C (I, b, a считаются заданными). Определитель системыΔ= 1−a . Величина 1− a называется коэффициентом склонности к сбережениям. Такимобразом, если 1−a ≠ 0, то у системы (2.3) существует единственное, причем положительное,решение8

1Y * = ( )a I +1b −aC*= ( )a I +1b −(2.4)Определение 2.1. Величина1k =( 1−a)называется мультипликаторомКейнса, а F=I+b - конечным спросом.Замечание 2.1. Мультипликатор k играет важную роль в теории Кейнса и в другихмакроэкономических теориях. Так как 0< a < 1, то его можно рассматривать каксумму бесконечно убывающей прогрессии, т. е.12 311− a + aa+ a + ... + ... (2.5)Отсюда в силу (2.4) вытекает, что если, например, величина инвестиций возрастает наΔI , то прирост национального дохода ΔY и прирост потребления ΔC будут равны соответственно:ΔY 2= ΔI + aΔI + a ΔI+ ... (2.6)2 3ΔC = aΔI + a ΔI + a ΔI+ ... (2.7)Соотношение (2.6.) показывают, что увеличение инвестиций на ΔI приведет к увеличениюдохода на величину ΔI (эффект первичного распространения инвестиций). Но,т. к. домашние хозяйства величину aΔIпотратят на потребление, то доход дополнительноувеличится на aΔ I (вторичный эффект распространения) и т. д., в результатеэтого процесса (называемого мультипликативным процессом) произойдет увеличениедохода на величину ΔY= kΔI(см. рис1.)QQQ=YQ=C 2 +Y 2Q=C 1 +Y 1Y * 1 Y * 2 YРис.12Пример 2.1. Рассмотрим модель Кейнса при условии, что I=10, b=20, а = . Тогдаконечный спрос F=I+b равен 30, мультипликатор Кейнса k равен 1 \ ⎜1− ⎟ = 3 .3⎛ 2 ⎞⎝ 3 ⎠Учитывая это, из (2.4) получаем следующее значение равновесного национального дохода:Y * = 330 ⋅ = 90. Увеличение инвестиций, например, на величину ΔY = 39 ⋅ = 27, приведет к увеличению национального дохода на величину. Причем, первичный эф-9

фект распространения инвестиций равен 9, вторичный равен 6, эффект третьей волныравен 4 и т. д.Нахождение равновесного национального дохода и мультипликативный эффектможно проиллюстрировать следующим образом:Замечание 2.2. Обозначим через S = Y − C величину сбережений, тогда из (2.1)следует, что в точке равновесияIY ( ) = SY ( )То есть величина инвестиции равна величине сбережений (см. рис.2).QSIРис.2Y *YЗамечание 2.3. Пусть y - реальный национальный доход (в качестве такогообычно используют величину национального дохода, выраженную в ценах какого-тофиксированного года). ТогдаY = p⋅ y,где p - индекс цен. При фиксации y данное уравнение задает некоторую гиперболуУвеличение Y приводит к смещению этой гиперболы вправо вверх.Пусть y e - максимальное значение y , которое может достигнуть экономическаясистема. В Кейнсианской теории предполагается, что увеличение номинального доходаY приводит к пропорциональному увеличению реального дохода y до тех пор покаY ≤ py e . То есть на некотором этапе экономическая система на рост Y реагирует неповышением цены p, а увеличением уровня производства. Если же Y > py e , то дальнейшееувеличение Y приводит к росту индекса цен, т. е. к инфляции. Графически этоможно проиллюстрировать следующим образом:а)P1 2P 110

б)P1Y 1 Y 2 Y eРис.32P 2P 1Y 1 Y e YРис.4В случае а) переход из состояния Y 1 в состояние Y 2 приводит к росту производства.В случае б) переход из состояния Y 1 в состояние Y 2 приводит к инфляции.Рассмотрим модель Кейнса с учетом государственных расходов G и налогов T .Она имеет следующий вид:⎧Y = G+ I + C⎨⎩C = aY ( − T ) + bОтсюда получаем.Y = G + I + aY − aT + bG− aT + I + bY * =(2.8)1− aНалоги и государственные расходы являются важными инструментами фискальнойполитики государства (инструментами государственного регулирования). Соотношения(2.8) показывают, как пользоваться этими инструментами. Так, увеличениегосударственных расходов G ведет к росту равновесного дохода Y *, и, наоборот, увеличениеналогов T приводит к уменьшению равновесного национального дохода Y *.Из соотношений (2.8) также вытекает, что в случае бездефицитного бюджета (т.e. G = T )Y* = G+ I + b 1−aт. е. в этом случае, государственные расходы выведены из под действия мультипликатора.Упражнения.1) Рассмотреть модель Кейнса рынка денег и определить равновесный для этогорынка уровень национального дохода. Данная модель характеризуется соотношениями,11

⎧MS= M0⎪⎨MD = m0 + τ Y⎪⎩MD= MSгде M S - предложение денег (количество денег в обращении), M D - спрос на деньги,M0 0 0, m ,τ > . Выяснить каково будет изменение Y *при увеличении M 0 (эмиссии денег)и уменьшении M 0 .2) Рассмотреть кейнсианскую модель рынка труда⎧LS= L0⎪⎨LD = l0 + μ Y ,⎪⎩LD= LSгде LS - предложение рабочей силы, LD - спрос на рабочую силу, L0, l0,μ > 0 .Найти равновесный национальный доход Y *. Исследовать вопрос об изменении Y *при увеличении и уменьшении предложения рабочей силы.§3 Модель Хикса агрегированного рынка.В своей знаменитой статье “Мистер Кейнс и классики” в журнале "Экономика"Дж. Хикс предпринял попытку объединить кейнсианский подход, считавшим основнымфактором достижения равновесия на рынках труда и денег уровень национальногодохода, и монетаристский подход, ставивший во главу угла процентную ставку. Он построилмодель объединенного (агрегированного) рынка товаров и денег. Эта модель задаетсяследующей системой уравнений:⎧Y = C + I + G⎪I = I − r⎪ 0 α⎪C = aY + b−βr⎨⎪MD = m0+ τY −γr⎪MS = M0+ δr⎪⎩MS= MD,где I0, m0,a,b,α , β , γ , δ > 0, a < 1Из первых трех уравнений системы, характеризующей рынок товаров, находимY = I0 − αr+ aY + b−β rI0+ b+GY = 1− a = α + β r(3.1)или ( )0Таким образом ,существует бесконечно много состояний равновесия рынка товаров,которые можно изобразить графически при помощи прямой, называемой линией IS(см. рис.5)r I12

SYРис.5Подобным образом из четвертого, пятого и шестого уравнений системы, характеризующихрынок денег, получаемm0+ τ Y − γr= M0+ δrилиM0− m0γ + δY = + r(3.2)τ τДанная прямая, описывающая состояния равновесия на рынке денег называется линиейLM(см. рис.6).rMLYРис.6Пересечение прямых LM и LS дает состояние, при котором оба рынка будут находитсяв равновесии(см. рис.7).IrMLSY *Рис.7YУпражнения.1) Исследовать направление перемещения прямых IS и LM при увеличении(уменьшении) G и M 0 .2) Показать, что при увеличении G происходит увеличение Y *и r *, а увеличениевыпуска денег M 0 приводит к увеличению Y * и к уменьшению реальной процентнойставки r *.3) Опровергнуть (графически) парадокс вымывания инвестиции, утверждающий,по мнению монетаристов, что фискальные рычаги мало эффективны, т. к. увеличениегосударственных расходов G (с целью увеличения r *) приводит к увеличению ставки r,что уменьшает инвестиции I , а ,следовательно, уменьшает Y .13

*, *, * в модели агрегированного рынкатоваров, денег и труда, описываемого уравнениями4) Найти равновесное состояние ( Y r w )Y = C+ I+GI= I0−αrC = aY + b − βr + w ϕMD = m0+ Y τ −γrMS = M0+ δrLS = L0+ ψwLD = l0− μ wгде LS - предложение рабочей силы (труда); LD - спрос на рабочую силу; w - реальнаязаработная плата, ϕ, ψ, μ, L , l > .0 0 0§4. Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса.В данном параграфе мы рассмотрим динамический вариант модели Кейнса, известныйпод названием модели делового цикла Самульсона-Хикса. Если в модели Кейнсаиспользуется принцип независимого (от величины национального дохода) характераинвестирования, то в модели Самуэльсона-Хикса используется так называемый принципакселерации, т. е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональныприросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующимуравнениемIt = VYt−1 −Yt−2 , (4.1)( )( ) ( ) ( )где V ( > 0)- фактор акселерации, ( )национального дохода соответственно в ( t −1)-ом и ( )It - величина инвестиций в период t, - величиныt − 2 -ом периодах.Естественно также предположить, что спрос на данном этапе зависит от величинынационального дохода на предыдущем этапе, т.е., чтоCt = aY t− 1 + b. (4.2)( ) ( )Условие (2.1) равенства спроса и предложения в динамическом варианте имеет вид:Y ( t) = I( t) + C( t). (4.3)Подставляя в (4.3) выражения для I(t) из (4.1) и выражения для С(t) из (4.2) , находим:Y ( t) = ( a+ V ) Y ( t −1) −VY ( t − 2 ) + b . (4.4)Уравнение (4.4) известно, как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородноеразностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами(если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины a и Vпостоянны).Замечание 4.1. Методы решения данного класса уравнений во многом аналогичнырешению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.Так, общее решение уравнения (4.4) определяется по формуле~Y = Y + Y , (4.5)об щ. об щ.14

где Y ч.. - некоторое частное решение уравнения (4.4), Y ~ об щ .- общее решение соответствующегооднородного уравнения (т. е. в предположении, что b=0 ), в нашем случаеэто уравнение:~ ~ ~Y t − a+ V Y t − 1 + VY t − 2 = 0 . (4.6)( ) ( ) ( ) ( )Замечание 4.2. Для нахождения общего решения уравнения (4.6) необходимосперва решить характеристическое уравнение2λ − ( a+ V ) λ + V =0 . (4.7)После этого могут возникнуть три варианта.1) Оба корня λ 1и λ 2действительны и различны. Тогда общее решение находитсяпо формуле:~Y ( t) A ( ) t=1λ1 + A2( λ2), (4.8)где А 1 и А 2 - произвольные константы, t - положительное целое число.2) Оба корня действительны и равны ( λ1 = λ2= λ), тогда~Y t = Attλ + A t⋅λ , (4.9)( ) 1( ) 2 ( )3) В случае комплексно сопряженных корней λ1 ,2= r ( i cosϕ± sinϕ)~tY ( t) = ( r) A cos( t ) + A sin( t )( 1 2 )ϕ ϕ . (4.10)Замечание 4.3. Чтобы определить константы А 1 и А 2, необходимо задатьначальные условия⎧Y( 0)= Y0,⎨(4.11)⎩Y() 1 = Y1.В нашем случае это означает, что необходимо зафиксировать первоначальный уровеньнационального дохода Y(0) и уровень национального дохода Y(1) на первом этапе.Замечание 4.4. Мы можем легко найти частное решение уравнения (4.4), еслиположим, чтоY ( t) = Y ( t − 1) = Y ( t − 2 ) = Y * , (4.12)т. е. использовав в качестве частного решения равновесное решение Y*. ИмеемY* = ( a+ V ) Y * − VY * + b.bОткуда Y ч = Y * = . (4.13)1 − aПример 4.1. Рассмотрим модель Самуэльсона при условии, что а=0,5; V=0,5; b=4; Y(0)=8; Y(1)=10. В этом случае на основании (4.13) получаем, что частным решением(4.4) будет=4Y ч( 1−05 , )= 8(4.14)Найдем корни характеристического уравнения2λ − λ + 05 , = 0(4.15)Имеем,Таким образом,λ1,2⎛ π π ⎞= 1 ± i = 2⎜icos± sin ⎟ .⎝ 4 4 ⎠15

t ⎛ t tY t = ⎜ A cosπ ⎞+ A sinπ ⎟ .1 2⎝ 4 4 ⎠А следовательно, в силу (4.5) и (4.14),t ⎛ tπ tπ ⎞Y ( t) = 8+ ( 2)⎜ A1cos+ A2sin⎟ .⎝ 4 4 ⎠Учитывая, что Y(0)=8 и Y(1)=10, получаем0⎧( 2) ( A1cos0 + A2sin0)+ 8 = 8,⎪⎨ 1⎛π π ⎞⎪( 2)⎜ A1cos + A2sin ⎟ + 8 = 10.⎩ ⎝ 4 4 ⎠Откуда находим, что А 1 =0 и А 2 =1.Следовательно,t ⎛ tπ⎞Y ( t) = 2( 2)sin ⎜ ⎟ + 8.⎝ 4 ⎠Замечание 4.5. В зависимости от значений а и V возможны четыре типа динамики.Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательныйхарактер. Так, в рассмотренном выше примере динамика носила колебательныйс возрастающей амплитудой характер. Мы рекомендуем читателю самостоятельноопределить виды динамики в зависимости от а и V.Замечание 4.6. Если Y(t-1)

( ) = ( −1) − 05 ( ) + 4+ 74⋅( 12)Y t Y t , Y t , , . (4.22)Частное решение (4.22) на основании (4.21) будем искать в виде:Y ч( t) = 8+ A⋅( 12)Подставляя выражение для Y(t) из (4.21) в (4.17), находимОтсюда после сокращений получаем, чтоили ( , ) , ( , )tСледовательно, Y ч = 8+ 144 , ⋅( 12 , ) .tt, . ( 4.23)( ) ( ) −( )−( ) ( )t t 1 t 2t8+ A 12 , = 8+ A 12 , − 058 , + A⋅ 12 , + 4+ 74 , ⋅ 12 , .( )t−( , ) A( , ) A( , ) , A , ( , )2 2 212 12 − 12 + 05⋅ − 7412 = 0.A 074 = 7412 2, т. е. А=14,4 .Очевидно, что характеристическое уравнение в данном случае будет совпадать с характеристическимуравнением (4.15), рассмотренным в примере 4.1. Поэтому.tt⎛ tπtπ⎞Yt () = 8+ 14, 4⋅ ( 12 , ) + ( 2)⎜ A1 cos + À2sin ⎟⎝ 4 4 ⎠Положив здесь Y(0)=15,4; Y(1)=25, 54, получим, что А 1= 0, А 2 =1, т. е.tt tYt () = 8+ 14, 4⋅ ( 12 , ) + ( 2)sin π .4§ 5. Линейная модель обмена1. В данном параграфе мы рассмотрим линейную модель обмена, известнуютакже под названием модели международной торговли. Пусть y 1,..., y n- национальныедоходы стран p 1,..., p nсоответственно, Y = ( y 1 ,..., y n ) - вектор национальныхдоходов: C = ( C ,..., 1C n ) - вектор потребления, c = ( c 1,..., c n ) - вектор нормы потребления⎜ci= ⎟ , показывающий какую часть своего дохода страны тратят на потреб-⎛ Ci⎞⎝ y ⎠ление; A { a ij }i= - структурная матрица торговли (элемент а ij матрицы А показывает какуючасть национального дохода страна Р j тратит на закупку товаров у страны Р i ).Таким образом, страна Р i в результате продажи товаров получит доходIN = a y + a y + + a yили в матричном видегде ( )i i i in n1 1 2 2... , i=1,2,...., n , (5.1)IN= AY , (5.2)IN = IN1,..., IN n- вектор дохода от продажи.В данном пункте мы будем исходить из трех предположений.1) Рассматриваемая экономическая система замкнута, т. е. все страны покупаюттовары только друг у друга. Данное условие в наших обозначениях может быть записаноследующим образом:a + a + ... + a = c(5.3)i1 i2in i17

Это показывает, что сумма элементов i-того столбца матрицы А равна с i . Уравнение(5.3) в матричной форме выглядит, какTe A = c(5.4),..., .2) Национальные доходы всех стран полностью тратятся на потребление (С i =Y i ).Следовательно, с i =1, т. е.c = e(5.5)В силу последнего соотношения условие (5.4) эквивалентно условиюc A = c(5.6)где e = ( 1 1)Замечание 5.1. Так как с i =1, то из (5.3) вытекает, что все суммы элементовстолбцов матрицы А равны 1. Отсюда на основании Следствия 1.5 вытекает, что числоФробениуса λ Aматрицы А равно 1. Поэтому из (5.6) вытекает, что c является левымвектором Фробениуса структурной матрицы торговли.3) Национальный доход Y ( t +1 ) в период t+1 равен доходу от продажи в предыдущемпериоде, т. е.Y ( t + 1 ) = IN( t). (5.7)С учетом (5.2) последнее условие принимает вид:Y t + 1 = AY t . (5.8)( ) ( )Уравнение (5.8) называется уравнением линейного обмена (без учета сбережений). ЕслиY ( 0 ) - первоначальный вектор национального дохода, то из (5.8) следует, что в периодt вектором национального дохода будетY t( ) ( A) tY ( )= 0 (5.9)(при условии, конечно, что за это время структурная матрица торговли не изменилась).2. Естественно возникает вопрос, возможна ли в рамках данной экономическойсистемы взаимовыгодная торговля, т. е. существует ли такой вектор Y , при которомAY ≥ Y . (5.10)Эти соотношения показывают, что все страны получили либо прибыль, либо по крайнеймере не имеют убытков. Покажем, что в (5.10) возможен лишь только знак равенства.Действительно, предположим противное : что в неравенствах (5.10), рассмотренныхпокоординатно, имеется хотя бы одно строгое неравенство. Тогда просумми-e = 1,..., 1 , получимровав все эти неравенства, т. е. умножив (5.10) скалярно на ( )eAY > eY .Учитывая (5.6), получаемeY > eY .Мы пришли к противоречию. Следовательно,AY = Y . (5.11)С экономической точки зрения данный результат вполне очевиден, т. к. если былибы страны, имеющие прибыль, то в силу замкнутости данной экономической системы,должны быть и страны, имеющие убытки.Замечание 5.2. Из (5.11) вытекает, что вектор Y , определяющий равновесноесостояние системы, является правым вектором Фробениуса матрицы А (т. к. λ A=1,18

см. Замечание 5.1). Следовательно, для любой модели международной торговли существуетравновесное состояние Y , причем, если матрица - неразложима, то Y >0.Замечание 5.3. Т. к. вектор Фробениуса Y Aопределен с точностью до знака, тоточнее говорить о равновесном распределении доходов. Если структурная матрица торговлиА неразложима, то равновесное распределение доходов определено однозначно.Пример 5.1. Пусть структурная матрица торговли имеет вид:⎛07 , 06 , 0⎞⎜⎟A =02 , 02 , 04 ,.⎜⎟⎝ 01 , 02 , 06 , ⎠Определим равновесное распределение национальных доходов. Уравнение (5.11) вданном случае равносильно системе:⎧07 , y1 + 06 , y2 = y1⎪⎨02 , y1 + 02 , y2 + 04 , y3 = y2⎪⎩01 , y1 + 02 , y2 + 06 , y3 = y3Решив ее, находим, что y : y 2 :1: 1 Y = k 2; 1; 1, k > 0.y1:2 3= , т. е. ( )Замечание 5.4. Из (5.8) и (4.11) вытекает, что, если Y ( )0 = Y (одному из правыхвекторов Фробениуса матрицы А), то в результате торговли доходы стран останут-tY 0 = Y , но существует lim Y ( t) = lim( A) Y ( 0) = Z , то изся без изменения. Если же ( )(4.8) следует, что AZ = Z , т. е. то, что Z также будем вектором Фробениуса матрицыА. Таким образом, вектор Фробениуса Y Aопределяет не только равновесное , но ипредельное состояние системы.Замечание 5.5. Можно показать, что если А неразложима и λA > λ для любогособственного значения λ матрицы А, то будет существовать предел последовательностиY ( t) = ( A) tY ( 0 ) при любом Y ( 0 ) (доказательство это факта можно найти в [1]).Неотрицательные матрицы А, обладающие подобным свойством, называютсяустойчивыми. Таким образом, если структурная матрица торговли А устойчива, то последовательностьнациональных доходов Y ( t ) будет сходится к равновесному состоянию.учетом сбережений. Пусть s i- норма сбережений страны ( )t→∞t→∞i i i3. В данном пункте мы рассмотрим более общую ситуацию: модель обмена сP s = 1 −c, - вектор нормысбережений. Обозначим через S ~ и C ~ следующие диагональные матрицыsа) S~ ⎛ 10 ⎞ ⎛c10 ⎞⎜ ⎟ ~ ⎜ ⎟=s2; б) C = ⎜ c2⎟(5.12)⎜ ⎟⎝0s n ⎠⎜ ⎟⎝0c n ⎠~ ~Очевидно, что S = E − C(5.13)S s y , s y ,..., s y . Как легко видетьПусть S ~ - вектор сбережений, т. е. = ( 1 1 2 2 n n)S= SY~ . (5.14)19

В рассматриваемом случае национальный доход Y ( t +1 ) в период t+1 будет складыватьсяиз сбережений в период t и дохода от продажи в период t, т. е.~Y t + 1 = SY t + AY t , (5.15)( ) ( ) ( )или, если подставить в (5.15) выражение для S ~ из (5.13),~Y ( t + 1) = AY ( t) + Y ( t) −CY ( t).Последнее условие может записано, как~ΔY t + 1 = AY t −CY t , (5.16)где ΔY ( t + ) = Y ( t + ) −Y ( t)ΔY ( t + ) ≥( ) ( ) ( )1 1 - прирост национального дохода. Требование1 0 приводит к условию( ) CY ( t)AY t ≥ ~ . (5.17)Нетрудно, подобно тому, как это делалось выше, показать, что в (5.17) возможен лишьзнак равенства. Действительно, из (5.12б) легко получить, что~eC = c(5.18)Умножим (5.17) скалярно на e = ( 1 1)что c y> cy, что невозможно. ЗначитА, следовательно, ( ) ( ),..., . Тогда, учитывая (5.4) и (5.18), мы получим,AY t( ) CY ( t)= ~ (5.19)Y t + 1 = Y t = Y , т. е. данный вектор описывает равновесное состояниесистемы.Замечание 5.6. Если вектор нормы сбережений c > 0, то нетрудно показать, чтоопределение равновесного дохода, также как и в предыдущем случае, сводится к определениювектора Фробениуса некоторой неотрицательной матрицы. Действительно, еслиc > 0, то из (5.12б) следует, что у C ~ существует обратная матрица⎛ 1 ⎞⎜ 0 ⎟⎜ c1⎟~ ⎜ ⎟C− 1 1= ⎜ ⎟ ,⎜ c2⎟⎜ 1 ⎟⎜0⎟⎝ ⎠причем C ~ − 1≥ 0 ; тогда, умножив (5.19) на C ~ −1 , получимCY = Y ,~ −где C = C 1A ( ≥ 0 ) - структурная матрица потребления, элемент cij которой показывает,какую часть потребления c iстрана p jтратит на закупку товаров у страны P i .Замечание 5.7. В случае, когда s = 0 (отсутствие сбережений) структурная матрицапотребления C совпадает со структурной матрицей торговли А.Замечание 5.8. Нетрудно показать, что левым вектором Фробениуса матрицы Cявляется вектор нормы потребления c .c n20

§6. Продуктивность модели ЛеонтьеваРассмотрим экономическую систему, состоящую n отраслей, каждая из которыхпроизводит однородный продукт. Пусть A = (a ij ) - матрица прямых затрат (матрицаЛеонтьева), ее элементы (a ij ) показывают, какое колличество продукции отрасли i затрачиваетсяна производство единицы продукции отрасли j.Обозначим⎛ x1⎞⎜ ⎟⎜ x2⎟X = ⎜ ⎟ - вектор валового выпуска отраслей,...⎜ ⎟⎝ x n ⎠⎛ y1⎞⎜ ⎟⎜ y2 ⎟Y = ⎜ ⎟ - вектор конечного потребления....⎜ ⎟⎝ y n ⎠Уравнения межотраслевого баланса, как известно, имеют вид:⎧x1= a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn+ y1⎪x2= a21x1+ a22x2+ ... + a2nxn+ y2⎨, (6.1⎪ . . . .⎪⎩xn= an1x1+ an2x2+ ... + annxn+ ynили в матричной формеX = AX + Y. (6.2)Заметим, что X и Y - векторы с неотрицательными компонентами. Основную задачумежотраслевого баланса можно сформулировать следующим образом: зная матрицуЛеонтьева A и объемы конечного потребления Y, найти объемы валового выпуска Xвсех oтраслей .Определение 6.1. Неотрицательная матрица A называется продуктивной, еслидля любого неотрицательного вектора Y существует неотрицательное решение X системы(6.2).Имеет местоТеорема 6.1 Hеотрицательная матрица A продуктивна тогда и только тогда, когдаее число Фробениуса меньше единицы.Доказательство. Пусть матрица A— продуктивна. Тогда для любого вектораY ( ≥ 0)существует решение X ( ≥ 0)системы (6.2). Пусть Y > 0 , тогда, очевидно, X>0.Умножим равенство (6.2) слева на левый вектор Фробениуса, имеемилиλTTT( p ⋅ X ) + ( p ⋅Y) p X ,A AA=TT( 1 − λA)( pAX ) = ( pAY).p A≥ 0 , Y > 0, X > , то ( p T A⋅ X ) > 0 и ( ⋅Y ) > 0Так как 0p T A. Поэтому из последнего равенствавытекает, что λA< 1.Обратно, пусть A имеет число Фробениуса λ A

⎛⎜A⎜⎜0⎜⎝Y1⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛a11a12...a1ny1⎞⎜⎟⎜a21a22...a2ny2⎟~A =⎜.. . . .. .⎟,⎜⎟⎜an1an2...annyn⎟⎜⎟⎝0 0 ... 0 1⎠где a ij — элементы матрицы A,y ,...,форме матрицу ~ A можно записать так:1yn— координаты вектораY . В более компактной⎛ A Y ⎞⎜⎟ .⎝ 0 1 ⎠TTУмножая эту матрицу слева на ( n + 1)-вектор p , где p = ( 0;...;0;1 ) легко убедиться,что ~ Tp A = pT . . Следовательно, одно из собственных значений матрицы A ~ являетсяλ = 1.~Пусть вектор X = ( x1 ,..., xn,xn+ 1) = ( X , xn+1)является собственным векторомматрицы A ~ , т.е. A ~~ x = λ~x . Это в силу определения матрицы A ~ равносильно тому, что⎛ A Y ⎞⎛X ⎞ ⎛Y⎞⎜ ⎟⎜⎟ = λ ⎜⎟ , (6.3)⎝ 0 1 ⎠⎝xn+ 1 ⎠ ⎝ xn+1 ⎠или⎧AX+ Y x⎨⎩xn+1= λ xn+1n+1= λX,.(6.4)Если λ ≠ 1, то из (6.4) следует, что λn+1= 0, в силу чего (6.4) примет вид Ax= λ x .Следовательно, λ — собственное значение матрицы А и, по нашему предположению,λ < 1. Таким образом, λ ~ = 1является положительным и максимальным по модулюAсобственным значением, следовательно, является числом Фробениуса. По теоремеФробениуса-Перрона у матрицы A ~ существует неотрицательный собственный вектор~X ~ X , x , соответствующий λ ~ = 1. Очевидно, что x 0, так как в противном( )=An+ 1Aслучае из (6.4) следовало бы, что A x = x . А это противоречит тому, что число Фробениусаλ < 1. Поэтому мы можем считать, что x 1 (очевидно, что вектор~ xтакжеAявляется вектором Фробениуса). Равенство (6.4) в силу того, что x 1 принимает видAX + Y = X .Причем, так как, ~ x = ( X , x n +1) ≥ 0,, то X ≥ 0 . Следовательно, матрица А — продуктивна.Следствие 6.1. Если сумма любого столбца матрицы (любой строки) меньшеединицы, то матрица продуктивна.Справедливость данного утверждения вытекает непосредственно из теоремы 1.2.и теоремы 6.1.n+1=n+1≠n+1=x n+ 122

С экономической точки зрения сумму элементов столбца матрицы А можнотрактовать как суммарные затраты отрасли на выпуск единицы продукции. Если этизатраты меньше единицы, то отрасль рентабельна. Таким образом, следствие 6.1.утверждает что, если все отрасли рентабельны, то матрица А - продуктивна.§7 Модель равновесных цен.Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева -так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А - матрица прямыхзатрат, х =(х 1 , х 2 ,..., х п ) - вектор валового выпуска. Обозначим через p =(р 1 , р 2 ,..., р п )- вектор цен, i-тая координата которого равна цене единицы продукции i-той отрасли;тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р . 1 х 1 . Часть своего доходаэта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпускаединицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме а 11 , второйотрасли в объеме а 21 , и т.д., n-ой отрасли в объеме а n1 . На покупку этой продукцииею будет затрачена сумма, равная а 11 p 1 +a 21 p 2 +...+a n1 p n . Следовательно, для выпускапродукции в объеме х 1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукциидругих отраслей сумму, равную x 1 (a 11 p 1 +a 21 p 2 +...+a n1 p n ). Оставшуюся часть дохода,называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V 1 ( эта часть доходаидет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).Таким образом, имеет, следующее равенство:x 1 p 1 =x 1 (a 11 p 1 +a 21 p 2 +...+a n1 p n )+V 1 .Разделив это равенство на х 1 , получаемp 1 =a 11 p 1 +a 21 p 2 +...+a n1 p n +v 1 ,где v 1 =V 1 /x 1 - норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости наединицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальныхотраслейp 2 =a 12 p 1 +a 22 p 2 +...+a n2 p n +v 2. . . . . . . . . . . .p n =a 1n p n +a 2n p 2 +...+a nn p n +v n .Найденные равенства, как нетрудно видеть, могут быть записаны в матричной формеследующим образом:Тp = А p+ v ,где v =(v 1 , v 2 ,..., v n ) - вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученныеуравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей,что x заменен на p , y - на v , А - на А Т .Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости,прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозироватьизменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в однойиз отраслей.Пример 7.1. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей.Назовем их условно: топливно-энергетическая отрасль, промышленность исельское хозяйство. Пусть⎛01 , 01 , 02 , ⎞А T ⎜⎟=03 , 02 , 02 ,⎜⎟⎝02 , 03 , 02 , ⎠23

- транспонированная матрица прямых затрат, v =(4, 10, 4) - вектор норм добавленнойстоимости. Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемсяформулойp = С Т v ,где С Т =(Е-А Т ) -1 - транспонированная матрица полных затрат.После необходимых вычислений имеемС Т = 10444 ,⎛058 , 014 , 018 , ⎞⎜⎟028 , 068 , 024 ,⎜⎟ .⎝025 , 029 , 069 , ⎠⎛10⎞⎜ ⎟Отсюда получаем, что p = С Т v =20⎜ ⎟ .⎝15⎠Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увеличениенормы добавленной стоимости на 1,11. Определим равновесные цены в этомслучае. Принимая во внимание, что v =(5,11, 10, 4), находим, что⎛ 1145 , ⎞p = С Т ⎜ ⎟v =20,7⎜ ⎟ .⎝15,625⎠Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5%, второй - на 3,5%,третьей - на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызваннуюэтим повышением инфляцию.24

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МИКРОЭКОНОМИКИ§8 Теория производства.1.Пусть Q ( x ,..., )x n1- производственная функция, моделирующая зависимостьвеличины выпуска годовой продукции от величины выпуска годовой продукции от величинызатраченных факторов (ресурсов) производства x1,..., xn. Оптимальным планомпроизводства ( x1*,...,xn*)называется точка максимума функции прибылиП ( x1,..., xn) = pQ( x1,..., xn)− px1 1−...− pnxn, (8.1)где р - цена единицы выпускаемой продукции (pQ - функция дохода), p1,..., pn- факторныецены.Множество уровня производственной функции называется изоквантой, а множествоуровня функции затрат (издержек)называется изокостой.( x1,..., xn) = p1x1+ ... pnxnC +Неоклассическая производственная функция Qx ( )1,..., - это функция, имеющаянепрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяющая следующимаксиомам.1. Аксиома о неотрицательности выпускаQx,..., ≥ (8.2)( )1x n0при любых неотрицательных значениях факторов.2. Аксиома об увеличении выпуска при увеличении любого из факторов, т. e.∂Q∂x> 0,..., > 0 . (8.3)∂x1∂x n3. Аксиома убывающей эффективности факторов (убывающей предельной производительностилюбого фактора)22∂ Q ∂ Q< 0,..., < 0(8.4)22∂x1∂x nпри∂Q∂Qlim =+∞ ,..., lim =+∞(8.5)x1→0∂xxn→0∂x1∂Q∂Qlim = 0,..., lim = 0 . (8.6)x1→+∞∂xxn→∞1∂xn4. Аксиома о невозрастающей отдаче на единицу расширения масштаба производстваQtx ( 1,..., txn) = t μ Qx ( 1,...,xn)(8.7)для любого t ≥ 0 , где μ ∈(01 ; ]. Величина μ характеризует эффект от расширениямасштаба производства. При μ

Замечание 8.1. Функции, удовлетворяющие условию (8.7), называются однородными,при этом μ называется степенью однородности. При μ =1 функцию называюлинейно-однородной.Любая однородная функция удовлетворяет условию∂Q∂μ∂x x Q∂x x Q ∂Q∂1+ ... +n=μ1n∂x x Q∂x x Q ∂Q∂1+ ... +n=μ1n∂x x1+ Q... + Qn∂x= , (8.8)nназываемому формулой Эйлера.Основные экономико-математические характеристики производственной функции:1. Средняя производительность i-го фактораQqi= ; i=12 , ,..., n . (8.9)xi2. Предельная производительность i-го фактораQmi= ∂ . (8.10)∂xi3. Коэффициент эластичности по i-му фактору∂Qxiei= ⋅ . (8.11)∂ xiQНаибольшее распространение имеют двухфакторные производственные функцииQKL ( , ) , где К - величина затраченного капитала (основных фондов), а L - величиназатраченного труда. Для двухфакторных моделей дополнительно выделяются следующиехарактеристики:4. ФондовооруженностьKk = . (8.12)L5. Предельная норма замещения труда капиталомQ QSk= ∂ ∂/ . (8.13)∂L∂K6. (Предельная) эластичность замещения труда капиталом−1⎛ ∂Sk k ⎞σk= ⎜ ⋅ ⎟ , (8.14)⎝ ∂kSk ⎠и капитала трудом−1∂SL kσl= ⋅ . (8.15)−1∂ k S( )2.Утверждение 8.1. Пусть pQ( K, L ) - функция доходов, аCK ( , L)= WL+ RK- функция затрат. Тогда для оптимального плана производства( K*, L* ) :Wp ;а) предельная производительность труда равна реальной заработной платеL26

б) предельная фондоотдача равна реальной рентной плате R p ;в) предельная норма замены труда капиталом равна отношению факторныхцен.Доказательство. Вычислив частные производные функции прибыли П(K, L)вточке (K*, L*)имеем:∂П∂= p Q −∂K∂KR =0; (8.16)∂П∂= p Q −∂L∂LW =0 . (8.17)Отсюда находим:а) ∂ Q W= ; б) ∂ Q R W= ; в) Sk= . (8.18)∂Lp ∂Kp R3. Утверждение 8.2. Пусть Q(K, L) - неоклассическая производственная функциястепени однородности μ , тогдаa)μ = ek + eL , (8.19)б) μ есть норма издержек.Доказательство. а) Рассмотрим формулу Эйлера для функции Q(K, L)∂Q∂μ∂K ⋅ K + Q∂L ⋅ L = Q.(8.20)Разделив обе части формулы(8.20) на Q, находим∂QK ∂QL⋅ + ⋅ = μ .∂KQ ∂LQОтсюда, на основании определения коэффициентов эластичности по труду и капиталу,получаем (8.19). Из (8.19), в частности вытекает, что неоклассическая производственнаяфункция неэластична ни по труду, ни по капиталу, т. е.a) e k 0 (на основании аксиом 1 и 2) и μ ≤1, то e L < μ ≤1и e k < μ ≤1.находимб) Подставляя в (8.20) выражения ∂ Q∂L и ∂ Q∂K из (8.18а) и (8.18б) соответственно,Wp L + R p K = μ Q,WL + RKт. е. μ =- норма издержек. Здесь WL + RK - величина издержек, а pQ -pQвеличина дохода. В частности , 1− μ есть норма прибыли.4. Утверждение 8.3. В неоклассической модели уровень занятости L* естьубывающая функция от реальной заработной платы.Доказательство. Пусть w = W . Тогда из (9.18а) получаем.p27

∂Q = w.∂LДифференцируя последние соотношения по L, находим2∂ Q ∂w= .2∂L∂LТак как ∂ 2Q02∂L < (см. аксиому 3), то ∂w< 0 . А, следовательно, на основании теоремы∂L о производной обратной функции ∂ L∂w < 0 .5. Утверждение 8.4 . Средняя производительность любого фактора неоклассическойпроизводственной функции есть убывающая функция от этого фактора.Доказательство. Дифференцируя (9.9) по х i, имеем∂Q⋅ xi− Q∂q⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞i∂ Q ∂xiQ ∂QxiQ= ⎜⎟ ==1 = ( − 1)2 22( ) ( )⎜ ⋅ −⎟⎜⎟ еi∂xi∂xi⎝ xi⎠ xixi⎝ ∂xiQ ⎠ ⎝ xi⎠2Т. к. Q > 0, ( xi)> 0, li< 1(неоклассическая производственная функция неэластична полюбому фактору, см. (8.21)), то ∂ qi< 0 .∂xi6. Утверждение 8.5. В точке максимума прибыли норма прибыли имеютнейтральную эластичность.Доказательство. Пусть q - количество выпускаемой продукции, П(q) - величинаПприбыли, π( q)= - норма прибыли, т. е П ( q) = π ( q)⋅q. В точке максимума прибылиqимеемП ′ = π ′ ⋅ q + π = 0 .qОтсюда получаем, что eπ ( q)= π ′ ⋅ = −1, т. е. e π =1. Это говорит о нейтральнойπэластичности нормы прибыли.Пример 8.1. Пусть p= 8 −q- зависимость между ценой и количеством выпускаемойпродукции, с=2 и с 0 =5 - соответственно норма переменных издержек и постоянныеиздержки. Найти оптимальный план выпуска продукции в предположении, чтопроизводитель стремится максимизировать прибыль.Доказательство. Из условия задачи следует, что величина дохода производите-2 5П q в нашем случаеля равна ( 8 − qq, ) а издержек - ( q + ) . Таким образом, прибыль ( )равна ( 8−qq ) − ( 2q+5)т. е. П ( q) = 6q− q2− 5Вычислив производную от П ( q ) , имеем в точке экстремумаП ′( q)= 6− 2q=0.Следовательно, q* = 3. Причем, т. к. П ′′ = − 2

Решение. Необходимо найти максимум функции T=tq при условии,что предприятие тоже будет стремиться максимизировать свою прибыль. В отличие отпредыдущего примера прибыль предприятия уменьшается на величину tq, т. е.П = 6q−q 2 −5−tq. Вычислив производную и приравняв ее к нулю, получим в точкемаксимума П ′ = 6−2q− t = 0, т. e. qt= 3 − . 2Поэтому,2⎛ t ⎞ tT = tq= ⎜3 − ⎟ t = 3t− .⎝ 2 ⎠ 2Следовательно, T ′ = 3 −t. Так как в точке максимума T ′ = 0 , то t* = 3. При этомtq = 3 − = 15 , , т. е. в два раза меньше, чем в предыдущей задаче.2Упражнения.1. Доказать формулу Эйлера (см. (8.8)).2. Доказать, что линейно-однородная функция неограниченна.3. Доказать, что частная производная однородной функции степени μ есть однороднаяфункция степени μ −1 .4. При каких условиях произведения производственных функций неоклассическоготипа есть неоклассическая производственная функция.5. При каком условии линейная комбинация неоклассических производственныхфункций есть неоклассическая производственная функция?QKL ,Q( 00 ; ) = 0.6. Доказать, что для линейно-однородной производственной функции ( )а) не существует оптимального плана производства;2∂ Qб) 0∂K∂L >Q K, L - неоклассическая производственная функция, доказать, что7. Пусть ( )8. Пусть Q ( K L), - неоклассическая производственная функция степени однородностиμ , qk ( )= Q K ⎝ ⎜ ⎞;1 ⎟ , доказать, чтоL ⎠а) Q L qQ∂L∂ μ 1= μ −; г) = L ( μ ⋅ q( k ) − k ⋅ q′( k))( )б) l k q ′ k∂Qμk= ⋅ ; д) ( )qk ( )∂K = L −1q′k( )в) l k q ′ kq( k )L= μ − ⋅ ; е) Sqk ( )k−q′( k )9. Пусть Q ( K L)= μ k ., - неоклассическая линейно-однородная функция. Доказать, что;;29

( K,L)Q ⎛ K ⎞= Q⎜; 1⎟= q( k).L ⎝ L ⎠10. Пусть Q * - величина выпуска, соответствующего оптимальному плану( K *,L *)в неоклассической модели. Найти величину прибыли п *.11. Построить изокванты основных двухфакторных производственных функций:α βμ μQ = AK L α; β ≥ 0; α + β ≤ 1 ; Q = aK + bL 0 < μ ≤ 1( ) ( )β12. Пусть ( )Q K; L = AK α L - функция Кобба-Дугласа.Доказать, чтоа) она является неоклассической;б) вогнута, при α + β −является неоклассической, а при μ

Из необходимого условия экстремума для функции Лагранжа следует, что⎧∂F∂U⎪= − λp1= 0∂x1∂x1⎨(9.3)⎪ ∂F∂U= − λpn= 0⎪⎩∂xn∂xnОптимальный план зависит от изменения цены на товары и бюджета, т .е.x * = d p1,...,p K . (9.4)Функции ( p K )( )i in,d i, называются функциями спроса на i -ый товар.Множество уровня функции полезности называется поверхностью безразличия.Товар называется ценным, если при увеличении бюджета спрос на него увеличивается,т. е. i > 0.∂kРост цены на товар, при котором величина функции полезности остается неиз-∂x *менной за счет соответствующего увеличения бюджета, называется компенсационным.Если при компенсационном росте цены на i -ый товар спрос на j -ый товар увеличива-⎛⎛∂xj* ⎞ ⎞ется ⎜⎟⎜⎟ comp. > 0 , то товары называются взаимозаменяемыми; если же⎝⎝∂pi⎠ ⎠⎛ ∂xj* ⎞⎜⎟comp.< 0 , то товары называются взаимодополнительными. Товар Ajназываетсяваловым заменителем продукта A⎝ ∂pi⎠∂xj*i, если > 0 . Говорят, что функция спроса∂p( p k )x * , обладает свойством валовой заменимости, если с увеличением цены на любой∂xj*товар спрос на все остальные товары не убывает, т. е., если ≥ 0,j ≠ i . В том∂pi∂xj*случае, когда > 0 при j ≠ i , говорят о сильной валовой заменимости.∂piОсновные классы функций полезности, используемые в теории потребления,совпадают по своему виду с основными классами производственных функций (см. (2) -(5) § 8). Аналогично определяется и неоклассическая функция полезности.2.Утверждение 9.1. Существует хотя бы один ценный товар.Доказательство. Дифференцируя соотношение (9.1) по K , находимk∂x1* ∂x2* ∂xnp1+ p2+ ... + pn= 1 . (9.4)∂k∂k∂kИз (9.4), в силу того, что все цены положительны, вытекает существование товараA l , для которого l > 0 . В противном случае, левая часть соотношения (9.4)∂x *∂kбыла бы неположительной, а правая - положительной.Утверждение 9.2. При компенсационном росте цены на i -тый товар в неоклассическоймодели предельный прирост капитала равен спросу на этот товар, т.е.i31

∂k = xi∂pi*. (9.5)Доказательство. При компенсационном росте цены функция полезности постоянна.Поэтому, принимая во внимание ,правило дифференцирования сложной функции,мы получаем⎛ ∂U⎞ ∂U⎛ ∂x1⎞ ∂U⎛ ∂xn⎞⎜⎟ =⎜⎟ + ... +⎜⎟⎝ ∂pi⎠ ∂xcomp.1 ⎝ ∂pi⎠ ∂xcomp.n ⎝ ∂pi⎠ comp.= 0 . (9.6)Из соотношений (9.3) вытекает, что∂U∂U= λp1,...,= λpn.∂x1∂xn(9.7)В силу последних соотношений уравнение (9.6) принимает вид:⎛ ** ⎞⎜⎛ ∂x1⎞⎛ ∂xn⎞λ p1 ...⎟ = 0⎜⎜⎟ + + p⎜⎟n.⎟⎝ ⎝ ∂pi⎠ comp.⎝ ∂pi⎠ comp.⎠∂UТак как > 0 (аксиома 2) и p1> 0 , то из (9.7) вытекает, что∂x1λ > 0 . (9.8)Следовательно,⎛ ∂x1* ⎞⎛ ∂xn* ⎞p1 ⎜⎟ + ... + p⎜⎟n⎝ ∂pi⎠ comp.⎝ ∂pi⎠ comp.= 0 . (9.9)Далее, продифференцировав соотношение (9.1) по p i , получаем⎛ ∂x⎞⎛ ∂x⎞1*n*∂k⎜ ppn+ xi=∂p⎟ + +⎜i∂p⎟1...*⎝ ⎠comp⎝ i ⎠∂p.comp.i(9.10)Из (9.10) с учетом (9.9) вытекает (9/5).3.Утверждение 9.3. Если функция полезности U ( x1 ,..., x n) вогнута, то аксиомаоб убывающей полезности товара выполнена, т. е.2∂ U< 0 .2∂x iДоказательство. Если функция U вогнута, то x TGx, где G - матрица Гессе:22⎛ ∂ U ∂ U ⎞⎜ ,..., ⎟⎜ ∂x1∂x1∂x1∂xn⎟G = ⎜⎟⎜⎟2⎜ ∂U∂ U ⎟⎜ ,..., ⎟⎝ ∂xn∂x1∂xn∂xn⎠Пусть X = ( 1, 0,...,0), тогда2UX T ∂G X = < 0 . Подобным образом, полагаяx2∂X = ( 0,1,0,...,0)и т. д. = ( 0,...,0,1)22∂ U ∂ UX получаем < 0,...,< 0.22∂x∂22x n32

4. Утверждение 9.4 Если функция полезности вогнута, то функция спросаX * ( p)является убывающей функцией от цены.Доказательство. Для удобства будем считать, что осуществляется компенсационныйрост на первый товар. Продифференцируем соотношения (9.7) по p1, и, учитываяправило дифференцирования сложной функции, найдем22⎧∂U ∂x1∂ U ∂x∂x⎪ ⋅ + ... + ⋅ = ⋅ p1+ λ2⎪∂x1∂p1∂x1∂xn∂p1∂p122⎪ ∂ U ∂x1∂ U ∂xn∂λ1⎨ ⋅ + ... + ⋅ = ⋅ p2(9.11)⎪∂x2x1∂p1∂x2∂xn∂p1∂p1⎪2∂U∂x1∂ U ∂xn∂λ⎪ ⋅ + ... + ⋅ = ⋅ pn.⎩∂xn∂x1∂p1∂xn∂xn∂p1∂p1Уравнение (9.11) можно записать в более удобном векторном виде, какG ⋅ ∂ x *p = ∂λ∂ ∂p ⋅ p+λ e 1 . (9.12)где G - матрица Гессе, ( )p p p n= , ,..., . Умножим (9.12) слеваскалярно на вектор ∂ x *∂px T1 1= 1 ,..., - вектор цен, e 1 ( 10 0)1T, имеем:∂ ∂ x * ∂λ ⎛ ∂ x * ⎞ ∂x*G⎜ p ⎟∂p1∂p1⎝ ⎠Уравнения (9.9) эквивалентны тому, чтоxp ⋅ ∂ *∂p= 0.1Поэтому уравнения (9.13) принимает вид:T⎛ ∂ x * ⎞ ∂Gx *λ ∂ x *⎜ ⎟ = .⎝ ∂p⎠ ∂p∂p1= ⋅λ∂p⎜⋅ +1∂p⎟. (9.13)1∂p11 1∂ ∂ xОтсюда, учитывая, что λ > 0 и ⋅ G < 0 (матрица Гессе отрицательно определена- см. аксиому 3а) получаем∂p1∂p1∂x1* < 0 . (9.15)∂p15. Утверждение 9.5 В неоклассической модели потребления для любого товарасуществует хотя бы один взаимозаменительный товар.Решение. Докажем это утверждение для определенности для первого вида товара.В этом случае уравнение (9.9) имеет вид:⎛ ∂x1* ⎞⎛ ∂xn * ⎞p1⎜ ⎟ + ... + pn⎜ ⎟ = 0 . (9.16)⎝ ∂p⎠⎝ ∂p⎠x Ti1 comp. 1 comp.33

⎛ ∂x⎞iОтсюда, с учетом (9.15) получаем, что существует товар, такой , что ⎜⎟ < 0 (т.⎝ ∂pi⎠comp.к. в противном случае в левой части этого уравнения было бы положительное число).6. Утверждение 9.6. Имеет место уравнение Слуцкого∂xi * ∂xi * ∂xi *= ⎛ x i *∂pi⎝ ⎜ ⎞⎟ − ⎛ ∂pi⎠ ⎝ ⎜ ⎞⎟ ⋅∂k⎠comp.Доказательство. При компенсационном росте цены piбюджет есть функцияот этой цены, т. е. K = K( p i ) . Следовательно,( x ∗i) сomp = x ∗i(p 1 ,…, p n ,K(p i )) .Дифференцируя эти соотношения по p i , находим:⎛ ∂xi * ⎞ ∂xi * ∂pi∂xi * ∂k⎜ ⎟ = ⋅ + ⋅ .⎝ ∂pi⎠ ∂p∂p∂k∂pcomp.i iiОтсюда, принимая во внимание (9.5), получаем (9.16).7. Утверждение 9.7. При повышении цены p i в неоклассической модели с вогнутойфункцией полезности спрос x ( p)* на ценный товар уменьшается.Доказательство. Это вытекает из уравнения Слуцкого, т. к. для ценного товара∂xi * ⎛ ∂x* ⎞> 0 и ⎜ ⎟ < 0 (см. (9.15.).∂k⎝ ∂ ⎠p icomp.Утверждение 9.8. Пусть Qxy ( , )- неоклассическая функция полезности. Докажем,что в точке ( x y )*, * касательная к линии безразличия совпадает с бюджетнойлинией.Доказательство. Так как касательная к линии безразличия и бюджетная линияпроходят через одну точку ( x*, y* ) , то достаточно доказать, что в данной точке совпадаютих угловые коэффициенты. Для бюджетной линии ax + by = k угловой коэффициентравен:a k(т. к. y =− + ).b bak1 =−bС другой стороны, угловой коэффициент к линии безразличия Qxy ( )∂Q/ ∂xy′ =− .∂Q/ ∂yНа основании (9.7) получаем.∂Q/ ∂xλaay′ x =− =− =− .∂Q/ ∂yλbb, = C естьТаким образом, задача о нахождении оптимального плана потребления ( x y )*, * с геометрическойточки зрения равносильна нахождению точки касания кривой безразличияи бюджетной линии.34

Упражнения.1.Доказать, что если коэффициент эластичности по i -тому товару постоянен( )ei x = α = const , то спрос на i -тый товар обратно пропорционален относительнойцене p ki т. е.x C k i* = .pДоказать, что C = α , где μ - степень однородности функции полезности.μ2. Доказать, что задача о нахождении минимума функции расходовCxy ax byQxy , эквива-( , ) = + при фиксированном уровне функции полезности ( )лентна нахождению точки касания линии безразличия Qxy ( ) Qi, = 0 с одной из бюджетныхлиний ax + by = k .3. Доказать, что спрос x 1 * нейтрален относительно p 1 (т. е. абсолютная величинаэластичности спроса равна единице) тогда и только тогда, когда функция спросаx2*,..., x4*не зависит от p 1 .4. Найти минимальный уровень расходов потребителя при ценахp 50 , p = 150 на товары x и y соответственно при условии, что функция полезно-x=yсти Q = 100x 4 y = 100134 .*, * в неоклассической модели с функцией полез-5. Найти функции спроса ( x y )α αности ( )U x, y = Ax + by бюджетом K и ценами соответственно a и b. Доказать, чтоэти функции обладают свойством сильной валовой заменимости.6. Доказать, что функции спроса в неоклассической модели есть однородныефункции нулевой степени однородности, т. e.xi *( tpi,..., tpn, tk) = xi( p1 ,..., pn,k).7. Доказать, что косвенная функция полезности( )( ) ( )U * k, p = U x * k,p неоклассического типа есть возрастающая функция отK иубывающая от p 1 ,..., p n .μ8. Доказать, что величина есть цена единицы полезности, т. е.λ *μ K= ,λ * U x *( )где ( x*, λ *)- точка максимума функции Лагранжа (см. (9.2)), соответствующейнеоклассической функции полезности Ux ( ) cтепени однородности μ .35

9. Пустьe( x )ei( x)μi*- коэффициент эластичности по i -ому товару неоклассическойфункции полезности. Доказать, что часть бюджета, которую потребитель тратитна покупку i -ого товара, равнаe( x )i*μpxii, где μ - степень однородности, т. e.eki* = . μ§10. Некоторые вопросы экономической динамики.В данном параграфе будут рассмотрены примеры применения теории дифференциальныхуравнений в непрерывных моделях экономического роста. Эти модели, вотличие от дискретных моделей, базирующихся на теории разностных уравнений,наиболее эффективны при изучении экономических систем на протяжении длительногопромежутка времен1. Модель естественного роста (рост при постоянном темпе прироста).Пусть Y ( t)- количество продукции некоторой отрасли, проданной к моментувремени t по фиксированной цене p, т. e. отрасль к моменту t получила доход pY ( t ) .Пусть It ( ) - величина инвестиций, направляемых на расширение производства, m -норма инвестиций m = const, m∈[ 01 ; ] , тогда( )( ) mpYt ( )It= . (10.1)Мы будем предполагать, что выполнена аксиома о ненасыщаемости потребителя,т. е., что весь произведенный отраслью товар будет распродан. В результате расширенияпроизводства отрасль получит дополнительный доход, часть которого будет использованадля дальнейшего расширения производства. Этот процесс приведет к увеличенияинвестиций, т. e.Y ′ = lI , ( 10.2)где l1 - норма акселерации. Подставляя в (10.1) значение I из (10.2), получаемгде kт. е.= lmp. Из (10.3) вытекает, чтоdy∫dyyЕсли Y ( t )∫= kdt илиY ′ = kY , (10.3)y= kdt ,lnY = kt + ln c ⇒ y = ce kt . (10.4)0 = Y0, то из (10.4) имеем, что Yo= Ce 0,т. e. C = Y o e 0, следовательно,Y( )( t) Y e kt −=t 00 . (10.5)Интегральная кривая уравнения (10.5) имеет вид:kt−kt36

Рис.8Замечание10.1. Дифференциальным уравнением (10.4) описываются также динамикароста цен при постоянном темпе инфляции, процесса радиоактивного распада ипроцесса размножения бактерий.2. Рост в условиях конкуренции.Рассмотрим более общий случай по сравнению с пунктом 1. Пусть P = pY ( ) -⎛ ∂pубывающая функция ⎜⎝ ∂y < ⎞0 ⎟ ,т.е. с увеличением выпуска будет происходить насыщениерынка, и цена будет падать. Проведя аналогичные рассуждения (см. пример 1),⎠мы получим уравнение:y ′ = kp( y)y, (10.6)здесь k = lm. Уравнение (10.6) представляет собой дифференциальное уравнение сразделяющимися переменными. Так как k > 0, p> 0, y > 0, то из (10.6) следует, чтоY ( t ) есть возрастающая функция. Исследуем Y ( t)на выпуклость. Дифференцируяуравнение (10.6) по t , получаем⎛ ∂p⎞Y ′′ = Y ′ ⎜ ⋅ + ⎟⎝ dy y p ,⎠⎛ ∂py ⎞или Y ′′ = kY ′ p⎜⋅ + 1 ⎟ ,⎝ dy p ⎠⎛т. е. Y′′ = kY′ p⎜1−⎜⎝где ( p)1 ⎞⎟⎟⎠e y(10.7)yе yY p= ⋅ - эластичность спроса. Из (10.7) вытекает, что если спрос эластичен∂ p Y(т. е. e > 1), то Y ′′ > 0 имеет направление выпуклости вниз, а, если спрос неэластиченe < 1, то Y ′′ < 0 имеет направление выпуклости вверх.yПусть, например, ( )pY = b− aY ( a>0)тогда, уравнение (10.6) принимает вид:37

l =( + ) kf ( k *)Упражнения.β α *.1. Для производственной функции F = KL найти:а) интегральные кривые ktуравнения ( ) (10.12);б) стационарную кривую;в) lim kt ( ) ;t→∞2. Пусть F = aK + bL - линейная производственная функция. Найти:а) интегральные кривые уравнения (10.12);б) стационарную кривую и условия ее существования;в) lim kt ( ) ;t→∞Y t уравнения (10.7) (логистические кривые).3. Найти интегральные кривые ( )Выделить среди них стационарные и найти lim Y ( t)t4. Пусть Gt () e tt→∞= 2 sin - государственные расходы, Ct ( ).m =1- норма акселерации. Найти величину государственного дохода ( )Y= + 5 - потребление,2Y t , если известно,что Y 0 = 11.5. Найти и построить интегральные кривые уравнения (10.6) в случае, когда ценана продукцию обратно пропорциональна количеству выпущенной продукции.6. Найти кривые, имеющие постоянную эластичность, равную α .7. Найти интегральные кривые и построить их схематический график для уравненияСамуэльсонаp′ ( t) = k( d( t) − s( t)) ( k = const > 0 )в случае, когда спрос и предложение - линейные функции от цены, т. е.d t = ap + b, S t = mp + n,m,n,a,b = const,a < 0, m > 0 .() () ( )Литература.1. Макаров В. Л., Рубинов А. М., Математическая теория экономической динамикии равновесия - М., Наука, 1973.2. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.3. Аллен Р. Математическая экономия. - М.: Изд. ин. Лит.,1963.4. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. - М.: Изд. ин. Лит.,1963.5. Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. - М.:Наука, 1979.5. Ланкастер К. Математическая экономика. - М.: Сов. радио, 1972.40