多粒子系の量子力学

多 体 系 の 量 子 力 学 的 記 述目 次1. 量 子 力 学 的 多 粒 子 系 の 種 類2.2 粒 子 系 の 量 子 力 学3. 異 種 の 粒 子 から 構 成 される 有 限 多 粒 子 系4. 同 種 粒 子 の 不 可 識 別 性5.スピン 自 由 度 をもつ 同 種 の 多 粒 子 系 の 波 動 関 数 の( 位 置 、スピン) 交 換 に 対 する 対 称 性6.フェルミ 粒 子 に 対 するパウリの 排 他 原 理6.1 電 子 の 量 子 状 態 の 占 有 の 仕 方6.2 スレーター 行 列 式6.3 どのような 場 合 に、 反 対 称 化 が 重 要 になるか?7. ボーズ 粒 子 の 量 子 状 態 の 占 有 の 仕 方8. 複 合 粒 子 の 量 子 統 計 性9. 金 属 中 の 電 子 集 団 とバンド 理 論Made by R. Okamoto (Kyushu Inst. of Tech.)Filename=Many-particle-quantum-summary090611c1. 量 子 力 学 的 多 粒 子 系 の 種 類(A) 有 限 個 の 粒 子 から 構 成 される 多 粒 子 系(A1) 異 種 の 粒 子 から 構 成 される 有 限 多 粒 子 系(A1-1) 孤 立 した 異 種 多 粒 子 系水 素 原 子 、 電 子 陽 電 子 対異 種 2 原 子 系 (COなど)重 陽 子(A1-2) 外 場 の 中 の 異 種 多 粒 子 系外 部 磁 場 (または 電 場 )の 中 の 水 素 原 子(A2) 同 種 の 粒 子 から 構 成 される 有 限 多 粒 子 系(A2-1) 孤 立 した 同 種 多 粒 子 系核 子 の 多 体 系 としての 原 子 核 ( 核 子 = 陽 子 、 中 性 子 の 総 称 )金 属 原 子 クラスター(A2-2) 外 場 の 中 の 同 種 多 粒 子 系He 原 子 中 の2 電 子 系人 工 原 子 中 の 有 限 多 電 子 系 ( 量 子 ドット)半 導 体 界 面 における 有 限 電 子 系(B) 無 限 個 の 粒 子 から 構 成 される 多 粒 子 系金 属 中 の 電 子 集 団1

2.2 粒 子 系 の 量 子 力 学簡 単 のために、1 次 元 (x 軸 上 )の2 粒 子 の 運 動 を 考 える。3 次 元 に 拡 張 することは 容 易 。2.1 2 粒 子 系 の 波 動 関 数 とその 確 率 解 釈Ψ( x , x ; t)1 2| Ψ( x , x ; t)|ΔxΔx21 2 1 2x 1X 2領 域 (x 1~x 1+Δx 1), (x 2~x 2+Δx 2)に2 粒 子 が 存 在 する 確 率 に 比 例+∞ +∞Ψ 2x1 x2 t dxdx = 1 2−∞ −∞∫ ∫| ( , ; )| 1波 動 関 数 の 規 格 化2.2 孤 立 した( 外 場 なし)の 相 互 作 用 しない2 粒 子 系2 粒 子 系 のハミルトニアンH重 心 座 標 と 全 質 量相 対 座 標 と 換 算 質 量2 粒 子 系 の 運 動 量 演 算 子02 2 2 2 ∂ ∂≡− −2m ∂x 2m ∂x2 21 1 2 2mx + mxMmm ⎛1 21 1 1 ⎞x≡ x1−x2, μ ≡ , ⎜ ≡ + ⎟m1+ m2 ⎝μm1 m2⎠1 1 2 2X ≡ , M ≡ m1+m2→ x = X + x,x = X − xm2 m11 M 2Mp ∂, ∂≡ px≡i ∂x i ∂x1x21 2 ∂→ p 1x+ p2x= ≡ Pi ∂Xハミルトニアンの 重 心 相 対 運 動 分 離2 2 2 2 ∂ ∂H 0 =− −2μ∂x 2M ∂X2 2X2

∂H 0Ψ ( x1, x2; t) = iΨ( x1, x2; t)∂tΨ ( x , x ; t) = ψ ( x , x ) ⋅exp(-i Et/ )1 2 1 2ψ( x , x ) ≡ϕ( x) Φ( X),1 22 2 2 2 ∂ ϕ( x) ∂ Φ( X)− ⋅Φ( X) − ⋅ ϕ( x) = Eϕ( x) ⋅Φ( X)2 22μ∂x 2M ∂X2 '' 2 ''⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ϕ ( x) Φ ( X)→⎜− ⎟+ ⎜− ⎟=E⎝ 2 μϕ( x) ⎠ ⎝ 2 M Φ( X) ⎠ErelE CM22 '' '' ''→− ϕ ( x) = Erelϕ( x), − Φ ( x) = ECMΦ( x)2μ2ME + E = ErelCM→ ϕ = ≡2( x) exp( ikx), k 2 Erel/ ,2( X) exp( iKX), K 2 MECM/ ,Φ = ≡μ相 対 運 動 の 平 面 波重 心 運 動 の 平 面 波2.3 孤 立 した( 外 場 なし)の 相 互 作 用 する2 粒 子 系 ∂ H ≡− −2m ∂x 2m2 2 2 21rel∂+ V(| x − x |)2 2 1 21 2∂x22 2 '' '' ''− ϕ ( x) + V(| x|) ϕ( x) = Erelϕ( x), − Φ ( x) = ECMΦ( x)2μ2ME + E = ECM→ ϕ( x): 相 対 運 動 ポテンシャル 内 の 閉 じ 込 め 問 題 の 解 ,Φ ( X) = exp( iKX), K ≡ 2 ME / CM2重 心 運 動 の 平 面 波3

En異 種 2 粒 子 系 としての 水 素 原 子陽 子 を 静 止 させた 近 似 計 算 の 結 果 ( 電 子 のエネルギー)24⎛ 1 ⎞∞mee, R2 ∞2n 4πε04πcRch=− ≡⎜ ⎟⎝ ⎠= 1.09737318 × 10 m7 -1( 陽 子 質 量 を 無 限 大 にした 場 合 の)リュドベリ 定 数陽 子 と 電 子 の 相 対 運 動 を 考 慮 した 計 算 の 結 果 ( 電 子 のエネルギー)1 1 1≡ +μ m mpemmp e me me→ μ = = ≈ = me(1 − 0.0005434)m me1p+ me1+1+m 1840pR exp=1.0968 × 10 m7 -1En24⎛ 1 ⎞effμ, R2 eff2n 4πε04πcR ch e=− ≡⎜ ⎟⎝ ⎠= 1.096775965× 10 m7 -13 桁 から5 桁 まで2 桁 だけより 精 確 になった!!孤 立 系 の 場 合孤 立 した2 粒 子 系 は 重 心 運 動 と 相 対 運 動 は 厳 密 に 分 離 される例 : 水 素 原 子 の 重 心 運 動 は 自 由 粒 子 的 ( 古 典 的 )であるが、電 子 と 陽 子 の 間 の 相 対 運 動 は 量 子 力 学 的 である!!孤 立 した3 粒 子 以 上 の 多 粒 子 系 :重 心 運 動 をいかに 厳 密 に、または 効 率 的 に 分 離 するかがポイント!!重 心 運 動 の 混 入 による 架 空 の 効 果 が 内 部 運 動 に 影 響 する!!厳 密 に 分 離 するにはヤコビ 座 標 (Jacobi coordinates)の 導 入 が 不 可 欠 。多 粒 子 系 の 重 心 運 動 は 自 由 粒 子 の 運 動 (= 古 典 的 運 動 !)多 粒 子 系 においては 内 部 運 動 こそが 量 子 力 学 的 運 動気 体 の 古 典 統 計 力 学 では、 水 素 原 子 の 重 心 運 動 だけを 考 え、相 対 運 動 ( 電 子 の 励 起 )を 無 視 した。熱 的 揺 らぎはk B T 程 度 で、 常 温 では 約 0.025 eV 程 度 。 電 子 の 励 起 エネルギーは数 eV 程 度 であるから、 常 温 では 内 部 運 動 ( 電 子 の 励 起 )の 効 果 は 無 視 できる。4

3. 異 種 の 粒 子 から 構 成 される 有 限 多 粒 子 系(1) 孤 立 した 異 種 多 粒 子 系r 1異 種 原 子 からなる2 原 子 分 子 (COなど)m 12 2⎡ ⎤ ⎢− Δ1− Δ2⎥ψ( r1, r2) + V( r1− r2 ) ψ( r1, r2) = Eψ( r1, r2)⎣ 2m1 2m2⎦r 2m 2R mr + mrM11 2 2≡ , r ≡r1−r2mm1 2M ≡ m1+ m2,μ ≡m + m1 2 ψ ( r, r ) = f( r) F( R),E = E + E1 2 rel CMボルン・オッペンハイマー 近 似(Born-Oppenheimer approximation)分 子 の 運 動 を 考 える 際 、 原 子 核 の 質 量 は 電 子 の質 量 の 数 千 倍 であるから、( 陽 子 の 質 量 )=1840x( 電 子 の 質 量 )原 子 核 の 運 動 は 比 較 的 ゆっくりで、 電 子 が 原 子 核に 相 対 的 に 運 動 している 間 は「 静 止 」していると扱 ってもよいとみなす。Hˆ = Hˆ + Hˆ + Hˆ≈ Hˆ+ Hˆelectron electron-nucleus nucleuselectronelectron-nucleus5

重 心 運 動2 − Δ RF( R) = ECMF( R)2M → FR ( ) = Cexp( −iPR⋅ / )平 面 波 自 由 粒 子 的 運 動古 典 的 運 動相 対 運 動2 − Δrf( r) + V( r) f( r) = Erelf( r)2μRr ()↓ f( r) = f( r, θφ , ) = Ym( θφ , )r2 22 d Rn() r ⎡ ( +1) ⎤− + V() r + R ()2 2 nr = ErelRn() r2μdr⎢2μr⎥ ⎣⎦遠 心 力 ポテンシャルV()r6

微 小 振 幅 近 似2 ( +1)W() r ≡ V()r +22μr2dW( r) 1 d W( r)2≅ W( r) +r= r( r− r ) + ( )2 r=rr− r + dr2 dr1 2 2≅ W( r) + μω ()x x≡r−r2 d R ⎡ ( +1) 1 ⎤− + + + ≅2μ⎣ 2 2 ⎦2 22n2 2( )2 ⎢V r μωx ⎥Rn ErelRndxΘΘ ≡μr2 : 慣 性 モーメント回 転 ー 振 動 スペクトル21 ( + 1)Erel( n)= V( r) + ω( n+ ) + ; n= 0,1, 2, , =0,1, 2, 2 2ΘErel( n )n = 20n = 0 = 2 =1 = 0n = 17

4. 同 種 粒 子 は 互 いに 区 別 できない( 同 種 粒 子 の 不 可 識 別 性 )原 子 以 下 の 階 層 では、 同 じ 種 類 の[ 量 子 的 ] 粒 子 のそれぞれを 区 別 できない。「 同 じ 種 類 の[ 量 子 的 ] 粒 子 」とは、 質 量 、 電 荷 、スピンなどが 同 じ、 物 理 的 な条 件 が 同 じであれば、 全 く 同 様 に 振 舞 う[ 量 子 的 ] 粒 子 のことをいう。me=1.6021773×10 coulμ =−1.00115962μ-30e=0.91093897×10 kg-19運 動 の 軌 跡 から 区 別 することもできない。BeμB≡2mcある 時 刻 で2つの[ 量 子 的 ] 粒 子 が 空 間 的 に 異 なる 場 所 にいたとしても、 時 間 の 経 過 とともに波 動 関 数 が 広 がってゆき、2つの 粒 子 の 存 在 確 率 密 度 は 重 なっていく!力 学 的 な 性 質 からも 区 別 することもできない。e運 動 量 が 交 換 するなどの 相 互 作 用 がある。個 々の 電 子 や 個 々のクォークはなぜ 互 いに 瓜 二 つなのか?• 粒 子 はそれ 自 体 独 立 した 存 在 ではなく、ある 量 子 場 の 特 殊 な 表 れ(「よじれ」)• 全 体 的 に 見 れば、 量 子 場 はいずこも 皆 同 じ• 固 体 のように 見 える 物 質 も、ぜんぜん 場 所 をとることのない 量 子 場 の表 れにすぎない。• 物 質 粒 子 とは 単 に 量 子 場 がたまたま 集 中 しているところ、風 呂 場 の 蒸 気 が 凝 縮 して 水 滴 になるように、 物 質 粒 子 は 場 から 凝 縮してくるのだ。8

5. スピン 自 由 度 をもつ 同 種 の 多 粒 子 系 の 波 動 関 数 の( 位 置 、スピン) 交 換 に 対 する 対 称 性 ψ = ψ ( r1, s1, r2, s2)ˆ P12ψ( r1, s1, r2, s2) ≡ψ( r2, s2, r1, s1) = λψ ( rˆ 2 2( P12) ψ( r 1, s1, r 1, s1, r2, s2, s2) = λ ψ( r 2)1, s1, r 2, s2)λ = ±1ˆ P12ψ( r1, s1, r2, s2) = ψ( r1, s1, r2, s2):対 称ˆ P ψ( r, s , r , s ) =−ψ( r, s , r , s ): 反 対 称12 1 1 2 2 1 1 2 2(プランク 定 数 h-barの 単 位 で)半 整 数 スピンを 持 つ 粒 子交 換 操 作 に 反 対 称 的フェルミ 粒 子 : 電 子 、 陽 子 、 中 性子fermion 物 質 を 構 成 する 粒 子交 換 操 作 に 対 称 的(プランク 定 数 h-barの 単 位 で)整 数 スピンをもつ 粒 子ボース 粒 子 : 光 子 、フォノン、 中 間子boson フェルミ 粒 子 間 の 相 互 作 用 を 媒 介 する 粒 子相 対 論 的 量 子 力 学( 場 の 量 子 論 )により 導 出9

6. フェルミ 粒 子 に 対 するパウリの 排 他 原 理1925 W. Pauliひとつの 量 子 状 態 を 占 有 できるのは 電 子 は1つだけである。電 子 の 量 子 状 態 n 主 量 子 数軌 道 角 運 動 量 z 成 分m 方 位 量 子 数 ( 軌 道 角 運 動 量 )mスピンz 成 分s{ } { }( n, , m , m s)ψその 波 動 関 数n, , m , msψ ( ab , ) =−ψ( ba , ) a≡ n, , m , m , b≡n, , m , m仮 に、2つの 電 子 が 同 じ 状 態 を 占 有 しようとすればa a a sa b b b sbψ ( aa , ) =−ψ( aa , ) → ψ( aa , ) = 06.1 電 子 の 量 子 状 態 の 占 有 の 仕 方例 : 幅 aの 無 限 量 子 井 戸 における2 電 子 系(スピン 自 由 度 なしの 場 合 )量 子 状 態 ;(n)En/E1n 番 目 の 状 態 の量 子 化 されたエネルギー9(3)(3)⎛ π ⎞En= ⎜ n n=⎝2ma⎠2 22,( 1,2, )2 ⎟ 光 子( 電 磁 波 )光 子( 電 磁 波 )電 子 間 の 相 互 作 用 などによって1 粒 子 エネルギー準 位 は 変 化 しないと 仮 定41(2)(1)(2)(1)2 電 子 系 の 基 底 状 態 2 電 子 系 の 低 い 励 起 状 態10

En/(スピン 自 由 度 ありの 場 合 ) 量 子 状 態 ;(n, m s )E19(3, +1/2)(3, -1/2)(3, +1/2)(3, -1/2)(3, +1/2)(3, -1/2)4(2,+1/2) (2, -1/2)(2,+1/2) (2, -1/2)(2,+1/2) (2, -1/2)1(1,+1/2) (1, -1/2)(1,+1/2) (1, -1/2)(1,+1/2) (1, -1/2)2 電 子 系 の 基 底 状 態2 電 子 系 の 低 い 励 起 状 態スピンについて 縮 退 がある 場 合 、(スピン 上 下 を 持 つ 電 子 2 個 占 有 などと)まとめて 表 現 することが 多 いので 注 意ψ6.2 スレーター 行 列 式∫フェルミ 粒 子 系 に 対 する 反 対 称 規 格 化 状 態 ϕ * ( r , s ) ϕ ( r , s ) dr= δ ( k = 1,2)a k k b k k k ab 1 ψa1, a( r2 1, s1, r2, s2) ≡ ⎡ (1 1, 1) (2 2, 2) (2 1, 1) (1 2, 2)2⎣ϕa r s ϕa r s −ϕar s ϕar s ⎤⎦ 1 ϕa( r1 1, s1) ϕa( r1 2, s2)= 2 ϕ ( r, s ) ϕ ( r , s )a2 1 1 a22 2( r , s , r , s ) = −ψ( r , s , r , s )a , a 1 1 2 2 a , a 2 2 1 11 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 1*∫∫ ψ a1, ar2 1s1 r2 s ψ 2 a1, ar2 1s1 r2 s2 drdr = 1 211

どのような 場 合 に、 反 対 称 化 が 重 要 になるか?地 球 上 にある1 個 の 水 素 原 子 と 月 の 上 のもう1 個 の 水 素 原 子 を 考 えたとき、2つの 水 素 原 子 の2つの 電 子 間 に 反 対 称 化 を 考 慮 する 必 要 があるか?十 分 遠 方 にある 電 子 間 の 反 対 称 化 は 考 慮 する 必 要 はない!説 明 :相 関 のない2 電 子 系 の 波 動 関 数Φ( r, r ) ≡ ϕ ( r ) ϕ ( r )1 2 a 1 b 2反 対 称 化 された2 電 子 系 の 波 動 関 数 1 Ψ ( r1 , r2) ≡a 1 b 2 b( r1) ar2)N* 1 = Ψ ( r, r ) Ψ( r, r ) drdr∫∫[ ϕ ( r ) ϕ ( r ) − ϕ ϕ ( ]1 2 1 2 1 2*ab a 1 b 1 12( )22 *N 2⎛ → = 1 ϕa( r1) ϕb( r1) dr⎞⎜ +1 ⎟≡ 2 1 + Sab,⎝∫⎠ S ≡ ϕ ( r) ϕ ( r)dr∫ラベルaの 電 子 がある 空 間 領 域 V a に 存 在 する 確 率相 関 のない 波 動 関 数 の 場 合P *2( V ) ( r , r ≡ Φ ) Φ ( r , r ) drdr = ϕ ( r ) dr a∫∫Va1 2 1 2 1 2 a 1 1Vaラベルbの 電 子 の 座 標 についての 積 分 は 全 領 域 について 実 行∫反 対 称 化 された 波 動 関 数 の 場 合 P V r r r r drdr∫∫*antisym( a) ≡ Ψ (1, 2) Ψ( 1, 2)1 2VaVa2 2 2 = ϕ (2 ar1)dr1−ϕ ( r) ϕ ( r) dr ϕ ( r ) ϕ ( r ) drV2N∫aN∫V∫a* *a 1 b 1Vab 2 a 2 2ラベルaは、そのラベルをもつ 両 方 の 波 動 関 数 に 現 れているために、干 渉 項 は 領 域 V aにわたる 両 方 の 積 分 をもつ。12

領 域 V a に 存 在 する 確 率 が、 相 関 のない 場 合 と 反 対 称 化 された 場 合 で相 違 が 顕 著 になるのは, 重 なり 積 分 が 変 数 の 領 域 V a において 重 要 であるときのみである。( 基 底 状 態 の)は 波 動 関 数 は 束 縛 状 態 に 対 しては 指 数 関 数 的 に 減 少 するので、この 重 なり 積 分 が 重 要 になるのは、 原 子 がお 互 いに 非 常 に 接 近 している場 合 のみである。2 2-βx- β( x−L)ϕbxϕ () x = e , () = ea∫→ − − ∝ −2 2 2exp[- βx β( x L) ] dx exp( βL/ 2)Va→0 (as L →∞)パウリ 原 理 は 原 子 や 分 子 において 考 慮 されるべきものであるが、原 子 が 十 分 に 離 れている 場 合 に 状 況 では 考 慮 する 必 要 はない。原 子 間 隔 が 数 オングストロームである 結 晶 格 子 においてさえ、重 なり 積 分 はしばしば 小 さくて、 反 対 称 化 は 不 要 である。水 素 原 子 の 平 均 半 径 としてのボーア 半 径a ≈ 0.53AB1∫1Nフェルミ 粒 子 系Pˆ ψξ ( , , ξ, , ξ, , ξ )k≡ψξ ( , , ξ, , ξ, , ξ )1k=−ψ ( ξ1, , ξk, , ξ, , ξN)( r , s ) ≡ ξk k k ϕ * ( r , s ) ϕ ( r , s ) dr = δ ( k = 1,2, , n)a k k b k k k abψ ( ξ , , ξ ) =a a 1 NN1N !kϕ ( ξ ) ϕ ( ξ ) ϕ ( ξ )a 1 a 2aNN1 1 1ϕ ( ξ ) ϕ ( ξ ) ϕ ( ξ )a 1 a 2a2 2 2ϕ ( ξ ) ϕ ( ξ ) ϕ ( ξ )a 1 a 2a NN NNNN13

7. ボーズ 粒 子 の 量 子 状 態 の 占 有 の 仕 方1つの 量 子 状 態 を 莫 大 な 個 数 のボーズ 粒 子 が 占 有 することも 可 能 !ボーズ 粒 子 (ボゾン)はひとつの 状 態 を複 数 の 粒 子 が 占 有 できるボーズ・アインシュタイン 凝 縮 (BEC)8. 複 合 粒 子 の 量 子 統 計 性ファルミ 粒 子 の 奇 数 個 から 構 成 される 複 合 粒 子 :フェルミ 粒 子ファルミ 粒 子 の 偶 数 個 から 構 成 される 複 合 粒 子 :ボーズ 粒 子14

9. 無 限 個 の 粒 子 から 構 成 される 多 粒 子 系金 属 中 の 電 子 集 団 とバンド 理 論固 体 が 金 属 か 絶 縁 体 であるかは, 固 体 内 の 電 子 の 運 動 状 態 により 決 まる。(1) 固 体 内 で 電 子 が 感 ずるポテンシャルが 一 定 値 V 0 の 場 合 :自 由 電 子 ガス 模 型 (フェルミガス 模 型 )自 由 電 子 に 対 して 長 さLの 周 期 的 境 界 条 件 を 設 定 すると、電 子 の 固 有 関 数 は 平 面 波 となる。( 簡 単 のため、1 次 元 の 場 合 を 考 える)exp( ikx) 2πφk( x) = ,( k = n, n= 0,1,2, )L L固 有 エネルギー2 2 2 2 k 4π 2Ek= + V0 = n + V2 0( n = 0,1,2, )2m2mL固 有 エネルギーは 一 般 には 離 散 的 であるが、長 さLが 十 分 に 大 きければ、 連 続 的 な 値 をとる。EF2 2( kF)= : フェルミ・エネルギー2mpF≡ kF: フェルミ 運 動 量15

(2) 固 体 内 で 電 子 が 感 ずるポテンシャルが 原 子 近 傍 に 限 定 される 場 合 : 電 子 状 態 のバンド 理 論1 次 元 ( 長 さL)で、 同 じ 原 子 が 等 間 隔 a(= 格 子 定 数 )で 並 び、周 期 的 ポテンシャルが 作 用 すると 仮 定 。 V( x+ a) = V( x)φk( L) = φk(0);( L=Na)φk( x+ a) = cφk( x);( c = 1)ikx→ φk( x+ a) = e φk( x):Blochの 定 理φ ( x: ) Bloch関 数kN 個 の 原 子 からなる 系 で、 原 子 間 の 重 なりが 無 視 できると、n 番 目 の 原 子 の 電 子 の 波 動 関 数φ1Niknank( x) = ∑eφ ( x)N n=1φ φ φ −n n n 1( x)[ ( x+ a) = ( x)]16