Realna analiza I gla.. - PMF

POGLAVLJE 1.METRIČKI PROSTORI 2Tada uredjeni par (X, d) nazivamo metrički prostor.Primjedba 1.1.1 U literaturi se nekad osobina (M1) navodi kao(∀x, y ∈ X) : 0 ≤ d(x, y) < ∞.Zaista, primjetimo da je u gornjoj definiciji metrike navedeno da je preslikavanjed : X ×X → R, odnosno da je d realna funkcija, tj. da nikada ne uzimavrijednost ∞. Stoga trebamo biti oprezni, i uvijek prvobitno provjeriti da lizadata funkcija uzima samo konačne vrijednosti, ukoliko to nije unaprijednavedeno.Prvo ćemo navesti neke konkretne primjere metričkih prostora. Da bidokazali da je odredjena funkcija metrika, uvijek ćemo pristupiti na isti način:provjeriti ćemo da li je zadata funkcija realna, a zatim provjeravamo i aksiome(M1)-(M4) iz same definicije metrike. Najčešće je jednostavno pokazatida su zadovoljene osobine (M1)-(M3), dok dokazivanje osobine (M4) možepredstavljati nešto ozbiljniji zadatak. Tada su nam često od velikog značajasljedeće teoreme:Teorem 1.1.1 (NEJEDNAKOST HÖLDERA) Neka su a i , b i ∈ R (iliC) (i = 1, 2, ..., n), i neka je za realan broj p > 1, broj q definiran sa 1 p + 1 q = 1.Tada za sve n ∈ N vrijedin∑n∑ n∑|a i b i | ≤ ( |a i | p ) 1 p ( |b i | q ) 1 q .i=1i=1Teorem 1.1.2 (NEJEDNAKOST MINKOWSKOG) Neka su a i , b i ∈R (ili C) (i = 1, 2, ..., n), i neka je p ≥ 1. Tada za sve n ∈ N vrijedi(i=1n∑n∑n∑|a i + b i | p ) 1 p ≤ ( |a i | p ) 1 p + ( |b i | p ) 1 p .i=1i=1Kao što je navedeno i u skripti, obje ove nejednakosti imaju i svoj integralnioblik, tj. vrijede i sljedeće nejednakosti(∫ ba∫ ba|f(t)g(t)|dt ≤ (∫ bai=1∫ b|f(t)| p dt) 1 p ( |g(t)| q dt) 1 q ,∫ b ∫ b|f(t) + g(t)| p dt) 1 p ≤ ( |f(t)| p dt) 1 p + ( |g(t)| p dt) 1 p .aaa