2 - MASINAC.org

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________SADRŽAJUVOD 41. KOMPONENTE LJULJANJA BRODA I POLAZNE JEDNAČINE 72. LULJANJE BRODA NA MIRNOJ VODI 102.1. Poniranje broda 102.2. Valjanje broda 142.3. Posrtanje broda 172.4. Spregnuto poniranje i posrtanje broda 192.5. Hidrodinamički koeficijent u jednačinama ljuljanja 283. TALASI NA PLOVNOM PUTU 3431 3.1. Hidrodinamička di ičk teorija talasa 353.2. Statistička teorija talasa 55PREDAVANJA 2009. 1

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4. LJULJANJE BRODA NA REGULARNIM TALASIMA 864.1. Prinudne sile i momenti 874.2. Prenosne funkcije ljuljanja broda 944.3. Plovidba na bočnim talasima 984.4. Plovidba ka talasima 1124.5. Plovidba na kosim talasima 1324.6. Spregnute jednačine ljuljanja broda 1334.7. Dopunski problemi valjanja broda 1354.7.1. Prigušenje pri valjanju 1354.7.2. Nelinearno valjanje 1374.7.3. Parametarsko valjanje 140PREDAVANJA 2009. 2

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5. LJULJANJE BRODA NA NEREGULARNIM TALASIMA 1475.1. Spektri i statističke vrednosti ljuljanja broda 1525.2. Posledice ljuljanja j j broda 1585.2.1. Zalivanje palube, izletanje propelera, sleming 1585.2.2. Dodatni otpor i smanjenje brzine 1685.2.3. Dinamička opterećenja broda na talasima 1775.2.4. Uticaj ljuljanja na putnike i posadu 1885.3. Kriterijumi pomorstvenosti 20054 5.4. Mogućnosti ć poboljšanja j pomorstvenosti ti broda 2045.4.1. Plovidba ka talasima 2045.4.2. Plovidbe na bočnim talasima 2165.4.3 Stabilizatori valjanja 2195.4.3.1. Pasivni stabiliztori 2195.4.3.2. Aktivni stabiliztori 2325.5. Operativnost broda 248PREDAVANJA 2009. 3

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________UVODPonašanje broda na talasima,Pomorstvenost broda,SeakeepingDo sada (u svim predmetima)proučavali brod na mirnoj vodiU stvarnostiPredmet IX (III) semestra, fond 3+2Nema projekata i grafičkih radova(za sada)Ispit: pismeni + usmeniLiteratura“Hendsauti” sa predavanjaKnjiga: Milan Hofman, Ponašanje brodana talasima, upripremipripremi...A.R.J. Lloyd, Seakeeping: Ship Behaviorin Rough Weather, Lloyd 1998.itd.Površina mora je često uzburkana...Vetar stvara talase, koji dovode doljuljanja broda...PREDAVANJA 2009. 4

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Statistički gledano, mirno more (visina talasa 0-1 m,svetski prosek ) 30% vremenaNa severnom Atlantiku 20%...U preostalih 70-80% slučajeva, more je uzburkano...Većinu vremena brod se ljulja na talasima...Nekoliko posledica ljuljanja• Neprijatno za putnike i posadu,• Otežan rad posade,• Otežan rad brodskih uređaja,• Otežano izvršenje zadatka (tegljenje, spasavanje,gađanje, sletanje helikoptera, utovar/istovar...),• Smanjenje brzine plovidbe (namerno i spontano),o),• Dodatne dinamičke sile (dovode do opterećenjakonstrukcije, pomeranja tereta...),• Sleming, zalivanje palube, izletanje propelera...itd...Sve posledice ljuljanja su negativne...Jače oluje, dovode do jačeg ljuljanja...“otežan rad” postaje “onemogućen”...javlja se opasnost od brodoloma –prevrtanja broda, pucanja konstrukcijeitd.Većina brodskih nesreća desilase na uzburkanom moru...Predmet: kako smanjiti ljuljanje injegove posledice....Treba proučiti ljuljanje, predvidetiposledice i (koliko je to moguće) ć poboljšati pomorstvenost broda...PREDAVANJA 2009. 5

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Predmet je težak...Proboj je načinjen 1950-70, prelaskomna realne (neregularne) talase, irazvojem tzv. “strip teorije”...Proračun oaču pomorstvenosti o ost je prvoprimenjivan u ratnoj brodogradnji,ali se danas proširio i na komercijalnebrodovei postao jedan od osnovnih brodskihproračuna...Ljuljanje deluje zastrašujuće ne samo zaljude na brodu, već i za nas koji treba da gaproučavamo...Ali, takav je put po kome od pamtivekaplove brodovi...Istorijski, sa proučavanjem ljuljanja broda jezapočeto krajem 19. veka (Frud, Krilov),stiglo se do tzv. regularnih (sinusnih) talasa, izapalo u ćorsokak...Proračun je obiman, i sprovodi se(komercijalnim) programima izpomorstvenosti...Treba znati koristiti programe...Ali, krenimo redom...PREDAVANJA 2009. 6

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________1. KOMPONENTE LJULJANJA BRODA I POLAZNE JEDNAČINEŠest generalisanih koordinata,šest “ljuljanja”, suBrod na talasima je kruto telo koje vršiopšte kretanje...šest stepeni slobode...Uvodimo dva koordinatna sistemasopstveni sistem x, y, z (sistem vezan zabrod) sa poćetkom u G,i inercijalni sistem ξ, η, ζ, sa početkom u O .Kada brod pliva u ravnoteži, bez trima inagiba, sistemi se poklapaju...zamisli...ξ G - zaletanje (surge),η G - zanošenje (sway),ζ G – poniranje (heave),φ - valjanje (roll),ψ - posrtanje (pitch),θ - zakretanje (yaw),Koristimo Njutnov zakonm ⋅ a = FB G Ri Zakon o promeni momentakoličine kretanja (za težište G)dL G= MGdtPREDAVANJA 2009. 7

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Projektovanjem Njutnovogzakona na tri inercijalneose slediD ⋅ ξG= F ξD ⋅ ηG= F ηD ⋅ ζ = F −D⋅gGζJ ϕ + ( J −J ) ψθ − J ( θ + ϕψ) = Mx z y xz xJ ψ + ( J − J ) ϕθ+ J ( ϕ 2 − θ2 ) = My x z xz yJ θ + ( J −J ) ψϕ −J ( ϕ− ψθ )= Mz y x xz zOsa y – glavna osa inercije... J = J = 0,J = J = 0xy yx yz zyPri čemu je FR= W + F V+ vetar W = m ⋅gVBmB= D F = F F F FV( ξ,η,ζ )Projektovanjem Zakonao promeni momentakoličine kretanja na trisopstvene ose, slediJ xz = J zx postoji...ali je mali u odnosu na aksijalne momente inercije, J xz « J x ,J y ,J zPretpostavljamo, takođe, da su kretanja mala...φ(t), ψ(t), θ(t) « 1Pretpostavka dobra za posrtanje i zakretanje, ali sumljiva zavaljanje...J ϕ =MxxJ yψ = MJ θ = MzzyJednačine ne deluju “opasno”... aliPREDAVANJA 2009. 8

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Desnu stranu jednačina čineVaži Laplasova jednačina2 2 2∂ φ ∂ φ ∂ φhidrodinamičke sile i momenti...+ + = 02 2 2∂ξ ∂η ∂ζSprega Dinamike i Mehanike fluida...i Koši-Lagranžov integral Ojlerove jednačine...Na svaki element e e podvodnog og dela∂φbroda deluju p i τ ... p( ξηζ , , , t) = pat−ρgζ−ρ−∂t2 2 2⎡⎛ 1∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ⎞ ⎤− ρ ⎢2 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥⎢ ∂ξ ∂η ∂ζ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ FV=− pndS∫Postupak, u principu:Srešiti Laplasovu jednačinu sa odgovarajućimZanemarujemo viskoznost... τ = 0 graničnim uslovima....(pokušaćemo da izbegnemo...)Strujanje je potencijalno...Potencijal brzine φ = φ( ξ, η, ζ , t)Pretpostavka opravdana...sem za valjanja...Postoje šest ljuljanja, šest pomeranja u odnosu naravnotežni položaj...Samo za tri kretanja, to je položaj stabilneravnoteže... rezonancija...koja?PREDAVANJA 2009. 9

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________2. LJULJANJE BRODA NA MIRNOJ VODIProblemi ljuljanja broda na mirnojvodi, sami po sebi, nemaju većitehnički značaj za brodogradnju...Međutim, dovoljno su jednostavnida preko njih uvedemo...2.1. Poniranje brodaPretpostavljamoϕ= 0, ψ = 0, vo= 0Tražimo ζ G (t) = ?Kada je brod u ravnoteži, O = GKada ponire, važiformalno jeFζD ⋅ ζ = F −D⋅gSGζ=− ν ⋅ ∫pndSAli, da (za sada) izbegnemo Laplasovujednačinu... pretpostavljamo direktno( o)Fζ Fζ F ′ ζp = po+ p′...= +Hidrostatička komponenta(prema Arhimedovom zakonu) ( o)Fζ= ρgρgVV = Vo−V′V′ = V′() t ≈ζG()t AVLza ζ G «1( o )Fζ = ρgVo −ρgζGAVLPREDAVANJA 2009. 10

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Hidrodinamičku komponentupretpostavljamo u oblikuF′ =−n ζ −m ζζ ζ G ζGFizičko objašnjenje uvedenih parametaram ζ – dodatna masa broda pri poniranju.n ζ – prigušenje broda pri poniranjujeste dinamičkač a ζ = 0 , ζ = 0GG→jeste linearna...ali fizički smisao??F ′ = ζ0Odakle prigušenje, kadasmo zanemarili viskoznostvode?talasi...D ⋅ ζ = F −D⋅gGζD ⋅ ζG = ρgVo −ρgζGAVL −n ζζG −m ζζG−D ⋅g FF′( o)ζ( D + m ) ζζ G+ nζζ G+ ρgA VL ζ G= 0Prepoznajemo diferencijalnu jednačinuslobodnih prigušenih oscilacija...ζSređivanjem, sledi ζ + 2μ ζ + ω ζ = 02G ζ G ζ Gnζμζ=2D( 1+κ )ωζ=ζgAVLV ( 1+κ )oζκζ=mDζPREDAVANJA 2009. 11

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Rešenje jednačine...−μ tζ () t = ζ eζsin( ω t−γ)Goζζωζ=α gδT1( + κ )ζΨ2μζ2ζ=ζ1− = 1 Ψ2 ζ−ζωζ ω ω ωζ=μωζζΨ

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Sopstveni period poniranja može seizraziti kaoδT1( + κζ)Tζ= 2π= 2πKζTα gδ( 1 + κζ)Kζ= = ( 0,37 ÷ 0,47) m / sα gT = ( 2,3 ÷ ζ3)T T = 3 − ζ13 sI prigušenje ne možemo tačno č odreditiditibez detaljnijeg proračuna...Ali, prigušenje je posledica talasa...veći talasi koje stvara brod svojimponiranjem, veće prigušenje...Da li veće prigušenje pri poniranjuimaju brodovi sa uspravnim ilitrouglastim rebrima...?Ključni parametar je vertikalni prizmatičnikoeficijentδ=ϕVeće ć φ v , manje prigušenje...Kod uobičajenih brodskih formiΨζ= 0,15 −0,25Dinamičke reakcijevαζ () t = ζ () t = ζ e sin( ω t−γ)A G oma = F −mgANF = mg + m tNζ () A...−μ t ζζΨ ζ 1 ?ζVažinζ⎡⎣V⎤⎦> nζ⎡⎣U⎤⎦statička + dinamička reakcijaPREDAVANJA 2009. 13

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________2.2 Valjanje broda( Jx+ m ) ϕ + Mr( ϕϕ)+ Mst( ϕ)= 0M ≈ gD⋅MG ⋅ϕ, za ϕ 1st= ϕ + ϕ ϕ + ≈ ϕ( 1 ) ( 2)M n n ...nr ϕ ϕ ϕ( J + m ) ϕ+ n ϕ+ gD⋅MG⋅ ϕ = 0xϕϕPretpostavljamo ζG = 0,ψ = 0Tražimo φ(t) = ?VažiJ ϕ = MM = M + M′( o )x x xM( o) =−M ( ϕ)xM ′xϕxst= −m ϕ− Mxr(ϕ) ω =ϕ ϕ+ μ ϕ+ ω ϕ =22 ϕϕ0gDMGnϕμϕ=J + m 2( J + m )x−μ ϕ tϕϕ () t = ϕ e sin( ω t+γ)oϕ( ωϕ≈ ωϕ)μϕΨϕ= = Ο( 0,1) 1ωϕmalo, ali na njega utiče i trenje...ϕxϕPREDAVANJA 2009. 14

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Možemo pisatiJ = D⋅jx2xωϕ=1 gMGj 1+κxϕPeriod se (zbog MG) menja u širokimgranicama...T = 6 − ϕ40 s2π1+κT > Tza uobičajeneϕϕ ζeTϕ= = 2πjxbrodske formeωϕgMGmϕκϕ= = O( 0,1) 1Dobili veoma slične rezultate za ζ (), t ϕ () tGJxDiferencijalne jednačine istog tipa...2πj poznata formulaxT≈ϕ iz predmeta javljaju se dodatne mese, prigušenja,gMG Plovnost isopstvene frekvencije...stabilitet broda...Treba uočiti razlike ovih kretanjaj x= c ⋅Bc = 0,3 – 0,4κ = O() 1 = ? κ 1Prema IMO Kriterijumu u vremenskihe uslova...c =g ⎛⎜0,372+ 0,023π ⎝BT− 0,043L100⎞⎟⎠ζΨ < Ψ 1 ,Ψ ϕ =??ϕζζ G() t 1ϕ()t 1?ϕPREDAVANJA 2009. 15

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dinamičke reakcijeUticaj utovara teretav = r⋅ ϕ a = r⋅ ϕ a = r⋅ ϕ2A,AN,AT2Fz = mg+ my Aϕ−mzAϕ2F = mgϕ−mz ϕ−my ϕy A AOpet postoje statičke i dinamičke reakcije...Dodatno, ukoliko je teret slobodno oslonjen(nefiksiran), javlja se problem proklizavanja...Fy> μFzMG =D MG −m ( z −z)oo o o P SDx x o oo+ m2 2J = J + G G D + PG mjx=DoJx+ mSlično i pomeranje tereta...PREDAVANJA 2009. 16

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________2.3. Posrtanje broda 2 ψ + 2μ ψ+ ω ψ = 0ψψμψ=22D j ( 1+κ )ynψψωψ=1 g MLGj ( 1+κ )yψPretpostavljamo ζ = 0v , = 0Tražimo ψ(t) = ?Jy ψ =MyM = M + M′( )y y yζ G o( o ) ( L)My = − Mst ≈ − gD⋅ MLG⋅ψM ′ =−n ψ−m ψyψ( J + m ) ψ + n ψ+ gD⋅M G⋅ ψ = 0yψψψL−μ ψ tψ () t = ψ e ψsin( ω t+γ)oRezultat veoma sličan valjanju..??Aliψmψκψ= =O()1JJ yI A iMLG≈ MLF= =V V2y′ VL y′ooψPREDAVANJA 2009. 17

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________I = I , i = i (?)y′ y y′yV = δLBT , A = αLBoyVL1 gMLGiygαωψ= = ⋅⋅⋅=j ( 1+ κ ) j δ T( 1+κ )ψjy2πTψ= =2πω iψyyδ T1 ( + κ ψ)α gIzrazi veoma slični izrazima zasopstvenu frekvenciju i sopstveniperiod poniranja, i ta sličnost nijesamo formalna...ψZa uobičajene brodske forme važiκSlediPrema tomeψ ≈ κζy yωi≈≈ωj, T ≈Tψ ζ ψ ζTζ ≈ Tψ < TϕŠto ima dalekosežne posledice...(rezonancija)...Takođe jeΨψμψ= ≈Ψωtako da su, za uobičajene brodskeforme, poniranje i posrtanjeveoma slična kretanja...ψζPREDAVANJA 2009. 18

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Sledi∫ ∫ ∫ ∫( o ) ( o)F = df = g dVo− gGbdx + g xbdxζρ ρ ζ ρ ψL L L LTreba prepoznati pojedine integrale∫LdVo= Vobdx = AVLxbdx = SVL = xC AVL∫ ∫LL( o )F gD gAVL GgAVL xCζ= −ρ ⋅ ζ + ρ ⋅ψdf ′ =− ζ dn −ζ dmAζdm = m′ ⋅ dx , dn = n′⋅dxζ ζ ζ ζm′ = m′( x)n′ = n′( x)ζζAζζζ(kao i u prethodnim izvođenjima)df ′ =−m′ ( ζ −x ψ) dx −n′( ζ −xψ) dxζGζ∫ ∫ ∫ ∫ ∫F′ = df ′ = − ζ m′ dx − ζ n′ dx + ψ m′ xdx + ψn′xdxζ G ζ G ζ ζL L L L LGIntegrali u izrazu zahidrodinamičku silu su∫L∫L∫mdx ′ = mζndx ′ = nζζζi “mešoviti” članoviL∫Lmxdx ′ =mζnxdx ′ = nζζψζψDodatna masa iprigušenje u jednačiniiponiranja, usledposrtanja broda...PREDAVANJA 2009. 22

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________VažiOdnosnoF′ =−m ζ − n ζ + m ψ + n ψζ ζ G ζ G ζψ ζψ= + ′ − =( o )DζGFζFζgD= gD − ρgA ζ + ρgx A ψ −m ζ − n ζ + m ψ + n ψ−gDPa je diferencijalna jednačina poniranjaVL G C VL ζ G ζ Gζψ ζψ( D + m ) ζ G+ n ζ G+ ρgA VLζ G−m ψ −n ψ − ρgA VLx Cψ = 0ζ ζ ζψ ζψPosrtanje se javljau jednačiniponiranja...Na sličan način dobijamo idiferencijalnu jednačinu posrtanjaMy∫=− x⋅dfL= ∫∫( o)My= − x⋅ df − x⋅df′LL...Pre nego što ispišemo jednačinu posrtanja,malo ćemo iskomplikovati problem...Pretpostavljamo da brod napreduje, odnosno daje v ≠ 0oStrujanje j oko broda tada definitivno nije(ni približno) ravansko...Ovakvo 3D strujanje možemo, međutimrazložitiPREDAVANJA 2009. 23

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________φξη ( , , ζ, t) = − v ( , , ) ( , , , )oξ + φ′ ξ η ζ + φ′′ξ η ζ t uniformnastrujaposledicanapredovanjaposledicaponiranja iposrtanjaAko je brod dovoljno vitak, i ako je brzina napredovanjadovoljno mala, može se pokazati da važi∂φ′′≈ 0∂ξv ′′ ≈ ξ0Tako da je strujanje koje stvara poniranje i posrtanje broda opet ravansko (u ravnimarebara η,ζ)a jednačine poniranja i posrtanja, nakon komplikovanog izvođenja, glase( D+ m ) ζ + n ζ + ρgA ζ −m ψ −( n −v m ) ψ−ζ G ζ G VL G ζψ ζψ o ζ2( J + m ) ψ + n ψ+ ( ρgI −v m −v n ) ψ −y ψ ψ y o ζ o ψζ−( ρgA x − v n ) ψ = 0 ,VL C o−m ζ − ( n + v m ) ζ − ρgA x ζ = 0 .ψζ G ψζ o ζ G VL C GζPREDAVANJA 2009. 24

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Koeficijenti u jednačinama su∫ ∫ ∫L L L′ ∫2, ′ ∫,′∫m = m′ dx , m = m′ x 2 dx , m = m = m′xdxζ ζ ψ ζ ζψ ψζ ζn = n dx n = n x dx n = n = n xdxζ ζ ψ ζ ζψ ψζ ζL L LPri čemum′ = m′( x)n′ = n′() xζζpredstavljaju dodatnu masu i prigušenje rebra koje vršivertikalno oscilatorno kretanje – poniranje.Da bi odredili dili ove koeficijente, ij treba rešiti 2D problemstrujanja oko rebra...Svođenje realnog 3D problema strujanja na ravanskostrujanje oko rebra (trake) naziva se “strip teorija” ...Uvedena 1957-70, i predstavlja jedan od nekolikoključnih č koraka k u razvoju ponašanja broda na talasimaPrikazane jednačine (sa dodatnom, desnom stranom –talasima) izveli su Korvin-Krukovski i Džejkobs(Korvin-Kroukovsky & Jacobs) 1957. godine...ζζPrve, i ne sasvim tačne...Kasnije, različite verzije...Söding...Tasai...Ruski autori...Salvesen, Tuck &Faltinsen, 1970)Jednačine su veoma slične, irazlikuju se (uglavnom) samou članovima uz v o u jednačiniposrtanja...Strip teorija važi ukolikoje brod dovoljno vitak, abrzina dovoljno mala ... ?Teško je povući granicu...Grubo L/B>5(3)F R < 0,3 (0,6)Ako je brod zdepastiji, ilibrži, druge 3D metode...PREDAVANJA 2009. 25

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Jednačine su spregnute...U jednačini posrtanja,javlja se poniranje, ujednačini posrtanja javljase poniranje...Fizički, nema poniranjabez posrtanja, i obrnuto...Šta spreže jednačine?Napredovanje brodaUkoliko je vo= 0deo članova koji sprežujednačine, otpada...Spreže i asimetrija pramac – krmaJednačine sadrže “mešovite članove”∫m = m′ xdx = m , n = n′xdx = nψζ ζ ζψ ψζ ζ ζψLUkoliko bi postojala simetrija pramac – krma, odnosnoukoliko bi glavno rebro bilo ravan simetrije i u pogleduforme i u pogledu mase...važilo bip∫−∫ ∫ ∫kk0 x 0 x− m′ xdx = m′ xdx , − n′ xdx =n′xdxζ ζ ζ ζx 0 x 0odnosno m = m = 0 , n = n = 0ζψψζSpregnute jednačine bi postale nezavisne, odnosno svele se na∫Lζψψζp ( D + m ) ζ + n ζ + ρgA ζ −m( Dψ+ −m( ζn) ζ G −+ vnmζζ G ) ψ+ −ρ gA VL ζ G=0ζ G ζ G VL G ζψ ζψ o ζ( J −( ρgAVLxC − vonζ) ψ = 0 ,y+ m ) ψψ + nψψ+ ρgIyψ= 02( Jy + mψ) ψ + nψψ+ ( ρgIy −vomζ −vonψζ) ψ −Nezavisno poniranje i nezavisno posrtanje koje smo ranijerazmatrali, −m moguće ζ − ( n je + samo v mpod ) ζ specijalnim − ρgA x uslovima... ζ = 0 .ψζ G ψζ o ζ G VL C GPREDAVANJA 2009. 26

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Podsetiti se, u vezi s tim, relacijaRešenja spregnutih jednačinaIy′ = Iy,iy′= iy... ζ () t =⋅⋅⋅Realni brodovi nisu simetrični u odnosu naglavno rebro, tako da važe “pune”jednačine ljuljanja...Gψ () t=⋅⋅⋅vidi Teoriju oscilacija...Ipak, gruba simetrija pramac – krmapostoji...zbog toga su mešoviti članovi manji odostalih koeficijenata...Ukoliko je (uz to) brzina plovidbe dovoljnomala, nezavisne jednačine predstavljaju(grubu) aproksimaciju problema...Koristićemo ih, zbog njihovejednostavnosti, za opis i razumevanjepojava...Bitno nam je da znamo da sukretanja spregnuta...da znamo koliko su “dobre”nezavisne jednačine kojekoristimo u većini izvodjenja...ali, pre svega, da sada imamopostupak za određivanjehidrodinamičkih koeficijenata...a konkretne proračune treba raditi saspregnutim jednačinama...PREDAVANJA 2009. 27

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________2.5. Hidrodinamički koeficijentiu jednačinama ljuljanja brodaPrema strip teoriji, hidrodinamičkekoeficijente u jednačinamaponiranja i posrtanja mogućejeodrediti na osnovum′ = m′( x)n′ = n′() xζζkoje slede iz rešenja strujanja okorebra koje vrši poniranje...i integracijom ij ovih veličina podužini brodaIako je svođenje realnog 3Dproblema na 2D strujanje, veomaznačajno uprošćenje...i rešavanje ovakvog ravanskogproblema nije jednostavno...Postupak se sastoji iz dva delaζζPrvo, rešava se problem strujanja oko kružnogrebra, koje je donjom polovonom uronjeno utečnost, i koje prinudno oscilujeje po zakonuζ () t = ζ sinωtProblem je prvi rešio Ursel 1949. godinePreciznije, ij rešio je Laplasovu jednačinupostavljenog problema, i odredio φ = φ ( ξ , η , ζ , t )Dalje je iz Koši-Lagranževog integrala odrediopritisak, odnosno (integracijom pritiska)hidrodinamičku silu...Ovu silu je podelio na tri komponente, koje susrazmerne pomeranju, brzini i ubrzanju...Komponenta sile srazmerna ubrzanju, daje dodatnu masuKomponenta sile srazmerna brzini, daje prigušenje...GoPREDAVANJA 2009. 28

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Urselovim rešenjem određuju sehidrodinamički koeficijenti kružnihrebara...Ali, to je tek prvi korak...Drugi korak je konformno preslikavanjePoznato je, iz Mehanike fluida, da setransformacijom Žukovskog⎛ a1⎞Z = ao⎜z+z⎟⎝ ⎠strujanje oko kružnice preslikava ustrujanje oko aeroprofila...Koeficijenti a o , a 1 određuju oblikaeroprofila – tzv. profila Žukovskog, iugao nastrujavanja...Za brodogradnju je daleko značajnija tzv.Lujsova (Lewis) transformacija⎛ a aZ = a ⎜z+ +⎝zz1 3o 3sa kojom se strujanje oko kružnice preslikavau strujanje oko tzv. Lujsovog rebra...Koeficijenata a 1 , a 3 određuju oblik rebra...⎞⎟⎠PREDAVANJA 2009. 29

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ustvari, oblik rebra zavisi od dvabezdimenziona – brodska parametraB 21 ( + a1 + a3)=T ( 1− a + a )βR= =1 32 2( 1−a1 −3a3)A πBT 4 1+ a −a( )Lujsova rebra izgledaju2 23 1Lujsova rebra se ne poklapaju sa stvarnimbrodskim rebrima...Realna brodska rebra istog β , i istog B/Tmogu imati različit oblik...Ipak, Lujsova rebra odgovaraju tipičnimoblim rebrima, blagog uzvoja...Nisu dobra aproksimacija za glisere ibrodove oštrog uzvoja...Z l i lik β L j b i tiZa malo i veliko β , Lujsova rebra mogu imatineprihvatljiv oblikPREDAVANJA 2009. 30

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Oblast dobrih i loših Lujsovih rebara(bez dokaza)Rešenja pokazuju da dodatna masa iprigušenje, osim od oblika rebra, zavise i odfrekvencije poniranja.Pri niskim frekvencijama nema prigušenja, adodatna masa poniranja beskonačno raste...Pri visokim frekvencijama (vibracijamarebra) prigušenje nestaje, a dodatna masateži konstantnoj vrednosti1m′ ⎯⎯⎯→ a ⎡( 1+ a ) 2+ 3a2 ⎣2 2ζρπω →∞o 1 3Ustvari, Lujs je “svoju” kompleksnutransformaciju uveo rešavajući problemvibracija broda, još 1929. godinedavno pre primene transformacije naljuljanje broda...Na problem poniranja i posrtanja su jeprvi primenili Porter 1960, Tasai 1961...⎤⎦PREDAVANJA 2009. 31

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Zavisnost dodatne mase i prigušenja odfrekvencije oscilovanja stvara dodatni problem uproračunu poniranja i posrtanja broda na mirnojvodi...Sopstvene frekvencija zavise od dodatne d mase...?Neophodan je interativni postupak...U daleko važnijem problemu ljuljanja broda natalasima, ovakva teškoća (principijelno) nepostoji...Za ostala kretanja (valjanje, zanošenje, zakretanje)važim = m′ dx,n = n′dx∫ϕ ϕ ϕ ϕL∫m = m′ dx,n =n′dxL∫L∫η η η η∫2 2m = x m′ dx,n = x n′dxθ η θ ηLL∫Lkoja se takođe mogu dobiti istimpostupkom...odnosno Lujsovom transformacijomrešenja strujanja oko kružnog rebrakoje vrši prinudno valjanje, odnosnoprinudno zanošenje...Rešenja koja se dobijaju prikazanimpostupkom su izuzetnokomplikovana, i određuju seposebnim programima...(eventualno, dijagramima dobijenimna osnovu programa...)Ustvari, najsloženiji j deo kompjuterskihprograma iz Pomorstvenosti broda je bašodređivanje hidrodinamičkihkoeficijenata...Diplomski: Kuzmanović 2000PREDAVANJA 2009. 32

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________,,Određivanje hidrodinamičkih koeficijenata predstavlja 2.ključni korak u razvoju proračuna pomorstvenosti broda...Danas postoje i tačnija rešenja od onih koje daje LujsovatransformacijaPosebno za veoma puna rebra, rebra sa sečnicom,rebra sa bulbom itd...Koriste se metodeKonformno preslikavanje višeg reda (tzv. close-fit metod)⎛⎞⎜ ⎟ ⎜ ∑⎝ ⎠ ⎟⎝ ⎠n⎛ a1a3 a5 a7 ⎞a2i−1Z = aoz+ + + + ⋅⋅⋅ = a3 5 7 o⎜z+2i−1z z z z zi=1Program SEAWAY (Johan Journeé)danas program OCTOPUS firme AMARCONAproksimacija rebra nizom izvora i ponora (tzv. Frenkovmetod)I najjednostavnija – Lujsovatransformacija daje tehničkiprihvatljive rezultate zauobičajene deplasmanskebrodove...Kada se odrede dodatnemase i prigušenja rebra...Dodatne mase i prigušenjabroda∫Lmdx ′ = mζitd...dobijaju se numeričkomintegracijomijnpr. Simpsonovim pravilom...ζDrugim numeričkim (CFD) metodama, npr. MKEPREDAVANJA 2009. 33

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________3. TALASI NA PLOVNOM PUTUPostoji, u različitim oblastima Fizike, višemogućih definicija talasa...... talas predstavljaja poremećaj koji se,konačnom brzinom, prostire krozneprekidnu sredinu.Za formiranje talasa je potrebno da postojineprekidna sredina – kontinuum, koji senalazi u stanju stabilne ravnoteže.To može biti vazduh u atmosferi,elektromagnetno polje, elastično telo, ili unašem slučaju, slobodna površina tečnosti.Ukoliko se ovakvo stanje na nekom mestuporemeti, sredina će zaoscilovati oko svogravnotežnog položaja, a poremećaj – talas,širiće se od izvora poremećaja u okolnusredinu...Ako je sredina vazduh, poremećaj možebiti mala promena pritiska izazvanagovorom, talas koji nastaje je zvuk kojičujemo, j , a brzina njegovog gprostiranja jebrzina zvuka...Ako je sredina elektromagnetno polje, rečje o elektromagnetnim (npr. svetlostnim)talasima, koji se prostiru brzinomsvetlosti...Bitna brzina prostiranja...Nas interesuju talasi na graničnoj površivode i vazduha, tzv. slobodnoj površinivode.Ova površina nalazi se u stanju stabilneravnoteže pod uticajem sile gravitacije.Voda tada miruje, iznad nje je vazduh naatmosferskom pritisku, a sama slobodnapovršina je horizontalna i nepoktretna.PREDAVANJA 2009. 34

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Uzroci poremećaja ovakvog ravnotežnogstanja mogu biti različiti...Od kamena koji pada u vodu, broda, vetra...pa do zemljotresa.U ovom predmetu se bavimo talasima kojinastaju pod dejstvom vetra, u olujama...Međutim, zbog nepoznatih početnihuslova kretanja, taj put zapada ućorsokak...Neophodno je iskoristiti i obimnaosmatranja i merenja olujnih talasa, istatističkom analizom tih podataka doćido stohastičke teorije koja dopunjujeklasičnu hidrodinamiku.Tek kombinacijom ova dva pristupauspećemo da opišemo slobodnu površinuolujnog mora, i razjasnimo svu njenuneponovljivost i (prividnu) haotičnost.Problem je složen, i prinuđeni smo da mupristupiti p na dva načina.S jedne strane, klasična hidrodinamičkateorija omogućava da odredimo osnovnasvojstva talasa na površini vode i dobijemomoguća rešenja uzburkane površine mora.3.1. Hidrodinamička teorijaDa bismo uprostili problem, uvedemonekoliko bitnih uprošćenja...Prvo, zanemarujemo viskoznost vode,odnosno pretpostaviti da je voda idealnatečnost.PREDAVANJA 2009. 35

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Viskoznost vode dovodi do smanjenjaamplitude talasa (do prigušenja talasa)tokom njihovog prostiranja. Ovo prigušenjeje malo...Pretpostavka t je opravdana, i suštinskipojednostavljuje matematičko tretiranjeproblema...jer omogućava uvođenje potencijala brzinestrujanja.Sledeće, pretpostavljamo p da voda nijeograničena obalama, ili dnom.Razmatramo, znači, talase na dubokom,otvorenom moru (okeanu), što i jestenajvažniji slučaj s aspekta ljuljanja broda.Ova pretpostavka je u skladu saprethodnim, jer uticaj viskoznosti ik postaje tjbitan samo u okolini čvrstih granica.Na kraju, pretpostavljamo da je kretanjetečnosti – ravansko.Iako se na uzburkanom moru javljaju talasirazličitih pravaca, osnovni, dominantni talasi seprostiru u pravcu vetra...Najčešće, u odnosu na dimenzije broda, talasiimaju približno ravanski karakter...Koliko je ovo uprošćenje opravdano ..?PREDAVANJA 2009. 36

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Teorijska analiza ravanskih talasa na slobodnojpovršini idealne neograničene tečnosti...Koordinatni sistem x,zSlobodna površina z = ζ ( x, t)Potencijal brzine φ = φ( x, zt , )Važi Laplasova jednačinaGranični usloviUslov duboke vode∂ φ∂x∂ φ∂z2 2+ = 02 2φ = 0 , za z → −∞Poremećaj nestaje duboko pod slobodnompovršinom...Na slobodnoj površini veže dva uslova:dinamički i kinematički...Dinamički uslov: pritisak vode na slobodnojpovršini jednak atmosferskom pritisku...p = p , za z =ζ( x, t)atUprošćenje: zanemaren površinski napon...proučavamo tzv. gravitacione talaseZanemarene i fluktuacije atmosferskogpritiska usled vetra...Kinematički uslov: brzine vode i slobodnepovršine, u pravcu normale na slobodnupovršine, su jednakev = V , za z =ζ( x , t)N NζZamisli slučaj v N > V N ... ili v N < V NKinematički uslov definiče slobodnupovršinu...PREDAVANJA 2009. 37

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Koristimo Koši-Lagranžev integral...2 2∂φ 1φ φpxzt ( , , ) pat ρgzρ ρ ⎡ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞= − − − ⎤2⎢ + ⎥∂t ⎜∂x ⎟ ⎜∂z⎟⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦i u njega smenjujemo dinamički uslov na slobodnoj površiniSladiOdnosno, nakon sređivanja2 2∂φ 1 ⎡⎛∂φ ⎞ ⎛∂φ⎞ ⎤pat−ρgζ−ρ− ⎢ + ⎥ = p∂t 2⎜∂x ⎟ ⎜∂z⎟⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦2 21 ⎡∂φ 1⎛∂φ ⎞ 1⎛∂φ⎞ ⎤ζ =− ⎢ + + ⎥ , za z = ζ( x, t)g ∂t 2⎜∂x ⎟2⎜∂z⎟⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦Izvođenje kinematičkog č uslova preskačemo...Dobija se, nakon obimnog izvođena i sređivanjaat∂φ ∂ζ ∂φ ∂ζ= + , za z = ζ ( x, t)∂z ∂t ∂x ∂xPREDAVANJA 2009. 38

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Problem je, prema tome, matematički opisansledećom jednačinom i graničnim uslovima2 2∂ φ ∂ φ+ =∂x∂zz = ζ ( x, t) :02 21 ⎡∂φ 1⎛∂φ ⎞ 1⎛∂φ⎞ζ =− ⎢ + +g ∂t 2⎜∂x ⎟2⎜∂z⎟⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ φ ∂ ζ ∂ φ ∂= +ζ∂z ∂t ∂x ∂xz →−∞ : φ = 02 2Problem je, i pored niza uprošćenja, veomasložen⎤⎥⎥⎦Pretpostavićemo da su poremećajislobodne površine mali...i izvršiti linearizaciju graničnihuslova na slobodnoj jpovršiniVažiz = ζ ( x, t) :ζ =−1g∂φ=∂z∂φ∂t∂ζ∂tDaleko jednostavnije, ali ključnaprepreka još nije savladana...Granični iuslovi iii dalje važe nanepoznatoj granici....Granični uslovi su nelinearni...i važe na nepoznatoj granici..!PREDAVANJA 2009. 39

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Da bismo i to prevazišli, razvićemodobijene granične uslove u stepeni red uokolini ravnotežnog stanja, z = 0 .Treba se setiti Maklorenovog reda...2 2z df ( 0) z d f ( 0)f ( z) = f( 0) + + + ...21! dz 2!dzVažiPa umesto graničnih uslovaz = ζ ( x, t) :2 2 3∂φ( x, ζ, t) ∂φ( x, 0, t) ∂ φ( x, 0, t) ζ ∂ φ( x, 0, t)= + ζ+ +2 3∂z ∂z ∂z2 ∂z2 2 3∂φ( x, ζ, t) ∂φ( x, 0, t) ∂ φ( x, 0, t) ζ ∂ φ( x, 0, t)= + ζ + +3∂t ∂t ∂t∂z 2 ∂∂ t zOdnosno∂φ( x, ζ, t) ∂φ( x, 0, t)≈∂z∂z∂φ( x, ζ, t) ∂φ( x, 0, t)≈∂t∂t......ζ =−∂φ=∂zdobijamo1g∂ζ∂t∂φ∂t1 ∂φ( x, 0, t)ζ =−g ∂t∂φ( x0t , , )∂ζ=∂z∂tDeluju veoma slično...ali postoji suštinskarazlika...Linearizacija i ij uslova naslobodnoj površini neobuhvata samo zanemarenjemalih članova...Već i razvoj u stepeni red...PREDAVANJA 2009. 40

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dinamički uslov diferenciramo ismenimo u kinematički...dobijamo jedinstven granični uslov2∂φ1∂φ+ = 0 , za z = 02∂z g ∂tTako da kompletan problem popotencijalu brzine glasiz = 0:∂ φ∂x∂ φ∂z2 2+ = 02 22∂φ1 ∂ φ+ = 02∂z g ∂tz →−∞ : φ = 0Nepoznata slobodna površina jeeliminisana iz problema...Ali, kada odredimo potencijal brzine...važi1 ∂φ( x, 0, t)ζ ( xt , ) =−g ∂tIz potencijala brzine, sledi slobodna površina...Interesantno, talase na vodi ne opisuje tzv.talasna jednačina2 2∂ f 2 ∂ f=c2 2∂t∂xveć Laplasova jednačina...Pre nego što rešimo problem, treba se podsetiti...funkcija oblikaf ( x±ct)predstavlja talas nepromenjenog oblika, koji seprostire u pravcu x ose konstantnom brzinom cPREDAVANJA 2009. 41

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Rešenje za potencijal brzine (rešenjeLaplasove parcijalne diferencijalnejednačine) pretpostavljamo u obliku∞φ( xzt , , ) = ∑φn( xzt , , )n=1Opšte rešenje tražimo kao zbir(superpozicije) elementarnih rešenja...Ovakav princip superpozicije, prema komeje zbir elementarnih rešenja takođe rešenje,a zbir svih (beskonačno mnogo)elementarnih rešenja - opšte rešenje, važisamo za linearne sisteme...Dalje, svako elementarno rešenjepretpostavljamo u obliku proizvodaφ ( x, zt , ) = F( z) ⋅ f( xt , )n n nSmenom u Laplasovu jednačinu, ikorišćenjem graničnog uslova dubokevode......dobija seφ ( xzt , , ) =− Be knz cos( kx± ω t+ε )n n n n nBn, kn, ωn,εnveličinesu integracione konstante, čiji fizičkismisao (za sada) ne znamo...Smenjujemo dobijeni izraz u granični uslov2∂φn1 ∂ φn+ = 0 , za z = 02∂z g ∂t∂φnkz n=− Bken ncos( kxn± ωnt+ εn)=∂z=− Bkn ncos( kxn± ωnt+εn)2∂ φn2 kz n= B ω e cos( k x± ω t+ ε) =2 n n n n n∂t2= B ω cos( k x± ω t+ε )n n n n n− 1 2k + n n0g ω =PREDAVANJA 2009. 42

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Sledi jednostavna, ali veoma važna relacijaω =2ngknčiji se fizički smisao još ne vidi...To je tzv. disperziona relacija talasa naslobodnoj površini tečnostiPrivremeno, to je uslov pod kojim jeemementarno rešenje problema...φ ( x , zt , )Poremećaj slobodne površine takođe se sastojiiz beskonačnog zbira elementarnih poremećaja∞ζ( x, t) = ∑ ζn( x, t)n=1pri čemu u za svaki od elementarnig e e poremećajaećajaslobodne površine važi1ζn( xt , ) =−g∂φn( x, 0t , )∂tnNa osnovu∂φn∂tkz n=± B ω e sin( k x± ω t+ε )Sledi konačnoiligde jen n n n nζ ( xt , ) = Asin( kx± ω t+ε )n n n n nζn( xt , ) = An sin ⎡⎣kn( x± ctn) + εn⎤⎦cnωn=knAnBnωn= ∓gTo je elementarni, sinusni, pravilni iliregularni talas.c n – brzina prostiranja talasaA n – amplituda talasaTalas je harmonijska (sinusna)funkcija u prostoru i vremenu.PREDAVANJA 2009. 43

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________U određenom trenutku opisan je funkcijom Talasna dužina i period povezani su stalasnim brojem i frekvencijomζn( x) = Ansin( knx+ εn+ const)2π2πλn= , Tn=a na određenom mestu, funkcijomknωnζn( t) = Ansin( ωnt + εn+ const)Pošto su talasni broj i frekvencija povezanidisperzionom relacijom 2ω = gkvažia takođe iTn2π2π = = ... = λnω gcnω g gλnk k 2πnn= = =n nnnω n – kružna frekvencija talasak n – talasni brojε n – fazni pomeraj.brzina prostiranja talasa zavisi od talasnedužine..!Talasi na površini vode su disperzioni...Duži talasi se prostiru brže...PREDAVANJA 2009. 44

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Zavisnost brzine i perioda talasa odtalasne dužineNagib talasa∂ζα ( , ) nnxt = = Akn ncos( kxn− ωnt+εn)∂xAαnon= Akn n= 2π λnU okviru linearne teorije, nagib talasa je mali...odnosno An λnBrzina strujanjaλ n [m] c n [m/s] T n [s]1 1,25 0,8100 12,5 81000 40 25...filmski trikovi∂φnkz nvxn = = ωnAne sin( knx− ωnt+εn)∂x∂φnkz nv zn= =−ω nA ne cos( k nx− ω nt+εn)∂zPa je brzina strujanjav = v + v =ω A e2 2n nx nz n nkznPREDAVANJA 2009. 45

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________vcOdnos brzine strujanja i brzine talasa jen n nnkz nω A e= =n n=onωnk nkz nkz nkAe α e 1brzina strujanja je daleko manja odbrzine prostiranja talasa...Poremećajni pritisakLinearizovani Koši-Lagranžev integral...pxzt ( , , ) = p ρ at− gz−ρ ∂φ∂tp′∞p′ = ∑ pnBez dokaza:∂φnkz npn=− ρ =± ρgAe nsin( k nx± ω nt+ εn) =Putanje delića tečnosti na dubini h su∂tkružnice radijusakh nA e − kz n=± ρgeζ ( x, t)Delići rotiraju oko svojih ravnotežnihpoložaja po kružnim putanjama čiji seradijus eksponencijalno smanjuje sdubinom vode...I dok delići tečnosti ostaju u neposrednojblizini svojih ravnotežnih položaja,poremećaj – talas tokom vremenaprevaljuje velika rastojanja...nn=1Poremećaj pritiska je harmonijska funkcijakoja ima frekvenciju talasa.......stvara promenljivu pobudnu silu, koja istomfrekvencijom deluje na brod i izaziva njegovoprinudno oscilovanje na talasima.nPREDAVANJA 2009. 46

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________O uslovu duboke vodePri prostiranju regularnog talasa, poremećajstrujanje zahvata vodu pod slobodnompovršinom, i eksponencijalno opada sadubinom vode, po zakonu⎛ z⎞exp( kzn) = exp⎜2π ⎟⎝ λn ⎠Eksponencijalna funkcija brzo opada...i postaje zanemarljiva mnogo pre nego štoeksponent postane beskonačno veliki.z =−λ nexp( −2π) ≈0,0018z =−λ n/2 exp( −π) ≈0,043Izvedena teorija važi i za voduograničene dubine, ukoliko je 1h > λ2 nUslov duboke vode je relativan...Za talas dužine 1 m , bazen dubine polametra je dubok...a za talas dužine 1 km mnoga svetska morasu plitka.Energija talasaElement tečnosti pod talasom osciluje uodnosu na svoj ravnotežni položaj, i posedujekinetičku i potencijalnu energijudE = dE + dEdE = v ⋅ dm = ρv ⋅dV1 2 1 2k 2 n 2 n1 2 2 2k ndE = ρω A e z dVkk 2 n ndE = gz ⋅ dm = ρgz ⋅dVp∫1 2 2 2knzE dE ρω A e dV= = =k k 2 n nVVζ n1 2 2 2k z 12ρω2 n nρ4 n−∞∫p∫n 2kn n= A S e dz = gA S ⋅e ζPREDAVANJA 2009. 47

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________2knζζnne = 1+ 2knζn+ ... = 1+ 4π + ... ≈1λnEk 1 2ek= = ρ gA4 nSKinetička energija je srazmerna kvadratuamplitude talasa, i ne zavisi od vremena...⎡⎤E dE dE gS zdz zdz gS zdz gSζn0∫ ∫ ⎢∫ ⎥−∞ ∫−∞∫ζn1 2p=p−p= ρ − = ρ = ρ ζ2 n⎣⎦0V VoEp 1 2 2ep = = ρ gAn sin ( knx− ωnt+εn)2ST2nTn1 ρ gAn2ep = epdt = sin ( knx− ωnt+εn)dtT ∫0 2T ∫0∫T n0n2 1sin ( kx− ω t+ ε ) dt=Tn n n 2 nep=14ρgA2nne = e + e = ρgA1 2n k p 2 nPokazaće se kao veoma važnaformula...A posebno formula za gustinuenergije uzburkanog mora∞∞∑n = 1 n=1∑1e= en= g A2 ρ2nPREDAVANJA 2009. 48

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Grupna brzina talasaTermin “disperzioni talasi”Bez dokaza...grupa disperzionih talasa bliske talasne dužineω = ω( k), disperzija – rasipanjec = c( λ)??kreće po površini vode tzv. grupnom brzinomZamislimo, lokalnu oluju u kojoj, podtalasadωu =dejstvom vetra, nastaju talasi različitihdktalasnih dužina...brzina jesve strane, pri čemu grupa talasa dužined 1 g 1 g1u gk cλ , za vreme t , prevali put( ) 2dω2 k 2 2πt gut =2 2πλTom brzinom prenosi se i energija talasaZa talase na površini duboke vode, grupna Talasi se, od mesta nastanka, prostiru naZnači, disperzioni talasi imaju neobično Duži talasi prestižu kraće...svojstvo da se grupa talasa kreće brzinom Najduži talasi dolaze na čelo, a najkraćirazličitom od brzine pojedinačnih talasa koji je ostaju na začelju kolone, pri čemu sesačinjavaju...jrazmak kizmeđu đ čela l i začelja č tokomSvaki talas u grupi se rađa na začelju, probija kavremena povećava...njenom čelu i, baš kada postane lider, nestaje...A grupa napreduje dalje, noseći sa sobomenergiju poremećaja.Talasi različitih dužina, nastaliistovremeno na istom mestu, rasipaju sepo velikom prostoru...PREDAVANJA 2009. 49

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ovo rasipanje – disperzija,isključivo je posledica zavisnostibrzine prostiranja od talasne dužine.Iako površina uzburkanog mora uoluji nije ni približno sinusnogoblika...do posmatrača na udaljenoj obalipristižu – kao mrtvo more, prvonajduži, pa sve kraći i kraći(približno) sinusni talasi.Prividna frekvencija talasaInteresuje nas frekvencija talasau odnosu na pokretnogposmatrača...Posmatramo brod koji plovipod uglom (kursom) μ uodnosu na pravac prostiranjatalasaVažix = v tcos μ+ ξcos μ−η sin μoTalas je, u x, y sistemu, definisan kaoζ( xt , ) = A sin( kx −ωt)slediζξη ( , , t) = Asin ⎡⎣k( vtocos μ+ ξcos μ−ηsin μ)−ωt⎤⎦PREDAVANJA 2009. 50

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________ζ( ξ, η, t) = Asin ⎡⎣kcos μ⋅ξ −ksin μ⋅η −( ω −vokcos μ)t⎤⎦kξ= kcos μ , kη= ksinμtalasni brojevi u pravcu osa ξ, ηp( vkcos)ω =± ω − μfrekvencija talasa u odnosu nakoordinatni sistem ξ, ηTo je prividna (relativna) frekvencijatalasa, frekvencija u odnosu na brodFrekvencija je (fizički) pozitivna...znak minus se odnosi na sličajω< vkcosμooPrividna (relativna) brzina talasa uodnosu na brod jeωpcp= = c−vkocos μTalasne dužine u pravcu pokretnih osa ξ i η(efektivne talasne dužine) iznose2πλξ= =kξλcos μ2πλη= =kΑmplitude nagiba talasa u pravcu osa ξ i η(efektivne amplitude nagiba)α = k A=α cos μξξoηλsin μα = k A=α sin μηηoPREDAVANJA 2009. 51

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Specijalni slučajeviPrimerPlovidba bočno u odnosu na talaseπωpμ =± ωp= ω , cp= = c2kPlovidba ka talasimaμ = π ωp = ω+vkoc = c+vpStacionarna plovidba, pri kojoj jje p0Može se javiti pri plovidbi niztalase, ukoliko je gλvo≥ c=2πKurs pri kome se javlja sledi izω − vkcosμ = 0ostoω =pi iznosiμst⎛ 1 gλ⎞= ⋅⋅⋅= arccos⎜vo2π⎟⎝ ⎠PREDAVANJA 2009. 52

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Neregularni talasiRegularni, sinusni talas je elementarnorešenje problema...∞= ∑n=1Opšte rešenje jeζ( x, t) ζ ( x, t)∞∑n = 1∞ζ ( xt , ) = Asin( kx± ω t+ε )∑n n n nζ( xt , ) = An sin ⎡⎣kn ( x ± ctn ) +εn⎤⎦.n=1To je neregularni talas...U izrazu se javlja beskonačno mnogointegracionih konstanti A n , ε n , kojepredstavljaju amplitude i fazne pomerajepojedinih komponenti...Ove konstante je (u principu) mogućeodrediti iz graničnih ili iz početnih uslovaproblema...Kako?nPotrebno je poznavati oblik poremećene slobodnepovršine u nekom trenutku, npr. t o = 0tzv. početni uslov∞∑n = 1∞ζ( x0 , ) = Asin( kx+ ε ) =∑n n n= a cos k x+b sin k xn=1n n n nili zakon promene slobodne površine nanekom mestu, npr. x o = 0tzv. granični uslov∞∑n = 1∞ζ( 0t , ) = Asin( ω t+ ε ) =∑n n n= a cosωt +b sinωtn=1n n n nUvedene su nove integracione konstantea = A sin ε , b = A cosεn n n n n nPREDAVANJA 2009. 53

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________tako da važi2 2 a∞nA Na osnovu koeficijenata Furijeovogn= an + bn , εn= arctgb ζ( x0 , ) = Ansin( kxn+ εn)=n reda a n , b n∑slede sve integracioneU izrazima za početni i granični uslovn=1konstante A n , ε n u izrazu zaprepoznajemo razvoj funkcija u Furijevov red...∞neregularni talas...= a cos k x+b sin k x∑ n n n nKoeficijenti Furijeovog reda sun=∑1λ12U praktičnim problemima brodogradnjean= ζ ( x, 0)cos knxdx,granični i početni∞uslovi uzburkanogλ ∫10mora ζ( 0t , nisu ) = poznati... ∑ Ansin( ωnt+ εn)=λ12 2πn=1pa izloženi put za teorijsko određivanjebn = ζ ( x, 0)sin knxdx, kn= n⋅,∞λ ∫10λ amplituda A1∑n i faznih pomeraja ε n nijeodnosnoprimenljiv...∑ = an cosωnt+bnsinωntn=1T12Projektant broda najčešće nije upoznatan= ζ(,)cos 0 t ωntdt,T ∫ni sa morima po kojima će brod10ploviti...T12 2πbn = ζ( 0, t)sin ωntdt, ωn= n⋅. Ćorsokak?T ∫10T1Neophodno od oje izloženu hidrodinamičkudod č Prema tome, ukoliko znamo funkciju ζ ( x, 0)teoriju gravitacionih talasa dopunitistatističkim podacima o olujama...ili funkciju ζ (, t0)neophodno je taj granični ili početni uslovrazviti u Furijeov red...PREDAVANJA 2009. 54

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________3.2. Statistička teorijaPrimenom klasične hidrodinamičke teorijegravitacionih talasa, slobodna površinaolujnog mora može odrediti samo do nivoaintegracionih i ihkonstanti u izrazu zaneregularne talase...Ove intagracione konstante treba odrediti izpočetnih ili graničnih uslova problema kojisu, u slučaju realnih oluja, nepoznati...Problem je još složeniji...Dosadašnja teorija opisuje talase koji mogupostojati na slobodnij površini, ali neopisuje mehanizam njihovog nastanka...Ovaj mehanizam složen...Vetar nad slobodnom o površinomopredstavlja turbulentnu struju vazduhastalno promenljive brzine...Brzina i pritisak vazduha menjaju se i uprostoru i u vremenu nepredvidivo, kaoslučajne veličine...A baš te slučajne i nepredvidive fluktuacijepritiska na slobodnoj površini pretstavljajuosnovni mehanizam nastanka talasa...Uz to, na stvaranje talasa utiče i trenje(viskozni granični sloj) između vode ivazduha...I sami talasi dodatno remete struju vetra ipolje pritiska vazduha nad slobodnompovršinom...Pod dejstvom turbulentne struje vazduha ispomenutih sekundarnih efekata, naslobodnoj površini se (prvo) formiraju malitalasi u smeru vetra, koji vremenom postajusve viši i duži...Talasi se razvijaju, a na već formiranimtalasima se stalno stvaraju novi talasčići...Proces se kontinualno nastavlja, prenosećienergija vetra u energiju talasa...PREDAVANJA 2009. 55

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Istovremeno počinje i suprotni proces disipacijeenergije, pre svega kroz mehanizam loma talasa.Naime, talasi pod dejstvom vetra postaju svestrmiji (oštriji) i u jednom trenutku postajunestabilni – lome se i gube energiju.Ukoliko vetar duva dovoljno dugo na dovoljnovelikom prostoru, uspostavlja se dinamičkaravnoteža između primljene i izgubljeneenergije...talasi prestaju da rastu, odnosno na slobodnojpovršini se formiraju tzv. potpuno razvijenitalasi...e=constPrimer, vetar od obale...Proces razvoja talasa je relativno spor...Potrebno vreme i prostor meri se satima,odnosno desetinama kilometara, i prvenstvenozavisi od brzine vetra.Kod jakih oluja, za potpuni razvoj talasapotrebno je vreme od preko 24 sata, i prostorod preko 100 kilometara.S obzirom na korišćeni granični uslovp at = const,i na zanemarenje viskoznosti...klasična hidrodinamička teorija ne možeopisati ove pojave...Kada vetar prestane da duva, talasinastvljaju prostiranje kao mrtvo more...razdvajaju se po talasnim dužinama(rasipaju se) i posle dužeg vremena,prerastaju u približno regularne talase.i samo ove pojave, formalno, pokrivaklasična teorija...Proširićemo je, primenom statističketeorije, i na realne oluje...Neophodno je, prethodno, definisatineke osnovne statistučke veličinevezane za talase na površini mora...PREDAVANJA 2009. 56

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Srednje visine i amplitude talasa Srednja amplituda talasa je 1A = h2Često se koristi i srednja vrednost grupenajvećih talasa...Ukoliko se od N merenja izdvoji deo (grupa) nnajvećih talasa...odgovarajuća srednja visina obeležava se sa h n / NMeri se, na zadatom mestu, veliki brojuzastopnih visina talasa h i ...Talasi su neregularani, i uzastopne visinese međusobno razlikuju.Srednja vrednost svih izmerenih visina,srednja visina i talasa je tadahN1=N ∑i = 1higde je N » 1Tako imamo h1/ 3,h 1/ 5,h1/10odnosnoA=h11/ n 2 1/nOd ovih srednjih visina i amplituda, načešće sekoriste tzv. značajna visina, odnosno značajnaamplituda talasah 1/ 3,A1/ 3,Zašto su baš one“značajne”..?PREDAVANJA 2009. 57

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Srednja odstupanja slobodne površineod ravnotežnog položajaU prethodnoj analizi merene su visine iamplitude talasa...Pretpostavimo sada da se meri odstupanjeslobodne površine od ravnotežnog položaja, i tou nizu uzastopnih trenutaka t i , s korakom Δt...N∑i = 11ζ = ζi( ti)= 0NFizički, slobodna površina osciluje okosvog ravnotežnog položaja.Daleko je važnije srednje kvadratnoodstupanje slobodne površine odravnotežnog nivoaN=∑1 2σ = ∑ ( )oζi tiNi 1odnosno koren srednjeg kvadratnogodstupanja (Root Mean Sqare)RMS = σ oUkoliko je broj merenja dovoljno velik(N » 1), dobijaja se niz podataka ζ i (t i ) čijasrednja vrednost (srednje odstupanjeod ravnotežnog nivoa) iznosistandardno odstupanja, stanardnadevijacuja itd...PREDAVANJA 2009. 58

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________σ ο je moguće prikazati i u drugaćijemobliku...Proširimo izraz sa Δt...1 2σo= ζi( ti)⋅ΔtTM i 1Ako Δt→ dt ,ζ ( t ) → ζ ( t),iiNT ∑=∑∑→pa sledi 12σ= ∫oζ() tdtT M 0Pri čemu je, na osnovu hidrodinamičketeorije∞∞ζ() t = ζ () t = A sin( ω t+ε )∑∑n n n nn= 1 n=1Sledi, nakon složenog izvođenja...∫0T MT M∞TMζ () t dt = A2 ∑2 2nn=1∫to je tzv. Persevalova teoremaIma širi značaj od statističke teorije neregularnihtalasa...važi uvek kada se podintegralna funkcija možeizraziti u obliku beskonačnog trigonometrijskoggredaNa osnovu Persevaloveteoreme, važi∞1σo= A2∑n=1Dobijena relacija je izuzetno važna...Ona uspostavlja vezu između jedne statističkeveličine (σ o ) sa amplitudama regularnih talasa(odnosno integracionim konstantama) A n koje suu prethodnom poglavlju ostale neodređene...∞12S obzirom nae = g An2 ρ ∑n = 1imamo (ključnu) vezu klasične (determinističke)teorije, i statističke teorije talasae=ρ gσ2noPREDAVANJA 2009. 59

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Funkcije raspodele amplitude i visine talasaUkoliko se izmerene amplitude talasa A irazvrstaju po veličini...pa se broj amplituda n i koji pripada pojedinimintervalima ΔA podeli s ukupnim brojemmerenja N i nanese nad odgovarajućiinterval...dobija se stepenasta linija – tzv. histogramUkoliko se interval smanjuje ( Δ A → dA)stepenasta linija histograma prelazu ukontinualnu funkciju f(A)...poznatu kao funkcija raspodele amplitudetalasa.Analizom višedecenijskih merenja morskiholuja ustanovljeno je da, za potpunorazvijene talasa, približno važi tzv. Rejlijevzakon raspodele amplitude talasa2AA−2of ( A) ≈ e σσPoznata je veza funkcije raspodele iverovatnoće...Površina ispod krive raspodele, izmeđuzadatih granica...jednaka je verovatnoći da će se amplitudatalasa nalaziti unutar ovih granica...Verovatnoća da će amplituda talasa bitiveća od neke zadate vrednosti A o iznosi∞V ( A > Ao) = f ( A )dA∫AoPa je2A1σoV( A> Ao) = A⋅ e dA=eσ ∫ Ao0o2oA∞ − −2 2σoPREDAVANJA 2009. 60

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Moguće je, za slučaj Rejlijeve raspodele,naći vezu izmeđuDobija se...A ≈ 1, 25 σoA ≈ 2 0 σ1/ 3,oA n / N,σ oh ≈ 2, 5 σoh 4 0 σ1/ 3≈,oAko jeV( A> A ) = 1ojedan talas će sigurno imati amplitudu veću ilijednaku A o ...Rešimo2Ao−2σoNe 1= po A oA 2 55 σ1/ 10≈,oh 5 1 σ1/ 10≈.oA = A = 2σln No max oMoguće je odrediti i maksimalnuamplitudu N uzastopnih talasa...Verovatnoća da će amplituda jednog od Ntalasa biti veća od A o jeN∑n = 12 2oAoA−−2 2σσoV( A> A ) = e = Neooje najverovatnija maksimalna amplitudu Nuzastopnih talasa.Ako jedobija seV( A> A ) = po( p i)NA = A = 2σlno max opTo je maksimalna amplituda čija jeverovatnoće p i ...iiPREDAVANJA 2009. 61

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Spektar talasaPodsetimo se: neregularni talasi se sastojeiz beskonačnog niza regularnihkomponenti, od kojih svaka ima svojufrekvenciju ω n , i amplitudu A n ...Definisaćemo sada, za svaku odkomponenti neregularnog talasa, veličinu2An( ωn)Sn( ωn)=2 ⋅ Δωgde je Δω razmak (korak) između susednihfrekvencijaUkoliko svako ovako definisano S nnanesemo nad odgovarajuće ω n ,dobija se stepenasta linija...Površina ispod svakog od stepenika jeS1 2( ω ) ⋅ Δω = A ( ω )2n n n nUkupna površina ispod stepenaste linije je∞∞∑Sn n ∑ n nn= 1 n=11 2( ω ) ⋅ Δω = A ( ω )2ePovršina = = σoρ gUkolikoΔω → dωSn( ω ) → S( ω)To je spektar energije talasa, ili spektar talasanPREDAVANJA 2009. 62

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Spektar talasa pretstavlja raspodelu energije talasa pofrekvencijama...Talasi frekvencije koja odgovaraja maksimumuspektra (frekvenciji ω m ) nose najveću energiju...To su tzv. modalni talasi.Energija talasa sa “repova” spektra (frekvencijamanjih od ω min i većih od ω max ) je zanemarljiva...Površina ispod spektra je i dalje∫0∞eS( ω) dω = = σoρ gElementarna površina je1S ( ω )dω =de ρ g1 depa sledi S( ω)= ⋅ρ g dωMerenjem neregularnih talasa (preciznije, merenjemniza uzastopnih nivoa slobodne površine ζ i uintervalu T M ) može se odrediti spektar talasa...Naime, na osnovu izmerenih vrednosti ζ i , moguće jeFurijeovom analizom odrediti amplitude komponentitalasa...Na osnovu dobijenih vrednosti, određuju seodgovarajuće vrednosti S n (ω n ), odnosno, ukoliko jebroj komponenti dovoljno velik, spektar talasa S(ω).Ovakav postupak određivanja spektra na osnovupoznatog oblika slobodne površine, zvaćemospektralna analiza talasa...PREDAVANJA 2009. 63

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Moguće je definisati moment spektra n-togreda (n-ti moment spektra) kaonσ = ω ⋅S( ω)dωn∫0∞Razjašnjava java indeks u oznaci σ o ...važi (na primer) i∫∞2 4σ = ω S( ω) dω , σ = ω S( ω)dω2 40 0Prividni spektar talasaFrekvencija ω koja se javlja u prethodnimizrazima je apsolutna frekvencija talasa uodnosu na nepokretnog posmatrača.Spektar se može preračunati i na prividnufrekvenciju talasa ω p ...Osnovna formula za preračunavanje jeS( ω) dω = S( ω ) dω...elementarna energija talasa ne zavisi odkoordinatnog sistema, odnosno od brzineposmatrača...pp∫∞Energija koja je odgovara talasu apsolutnefrekvencije ω, odgovaraće i talasu prividnefrekvencije ω p ...SledidωpS( ω) = S( ωp) ⋅dωΚoristimo relaciju2voωωp= ω − cos μgVažidω p 2v ω g − 2v ωcosμ1o cosμodω = − g = gg − 2voωcos μS( ω) = S( ωp) ⋅gPREDAVANJA 2009. 64

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________odnosnogS( ωp) = S( ω)g − 2v ωcosμ⋅To je prividni spektar talasaodnosno spektar u odnosu naposmatrača (brod) koji se krećebrzinom v o pod uglom μ uodnosu na pravac prostiranjatalasaSrednji periodi talasaPeriodi neregularnih talasamogu se različito definisati...npr. kao period koji odgovaranulama...ili period koji odgovarabregovima (grebenima) talasa...Srednje vrednosti ovakodefinisanih perioda suoTTN( o) 1 ( o)TiNi = 1= ∑N( p) 1 ( b)= TiN ∑i = 1Kao srednji period neregularnih talasa uzima se i periodkoji odgovara frekvenciji tešižta spektra∫∫∞ω⋅S( ω)dω 0 σ1ω = =∞σoS( ω)dω0Važi (bez dokaza)( o ) σoT = 2ππσ 22oT = π = 2πσω σ1( b)σ2T = 2ππσ 4Koristi i tzv. modalni period2πT = koji odgovara maksimumu spektramωmPREDAVANJA 2009. 65

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Širina spektra talasaSpektar talasa obuhvata samo jednu oblast (pojas)frekvencija, između minimalne ω min , i maksimalne ω maxŠirina pojasa može biti različita...tako da razlikujemo spektre širokog i spektre uskogpojasa frekvencija...U ekstremnom slučaju, uski spektar se svodi na jednifrekvenciju (predstavlja jedan regularni talas),dok široki spektar obuhvata sve frekvencije, i svodi se natzv. beli šum...Tipično, kod izrazito uskog spektra broj bregova i nula jepribližno isti, tako da važi... ( o) ( b)T ≈ TKod širokog spektra broj bregova je veći od broja nula, iu ekstremnom slučaju važi ( o) ( b)T TZato se, kao mera širine spektra, uzima bezdimenzioniparametar2( b)⎛T⎞ ε → 0 uski spektarε = 1 −⎜ ( o)⎟⎝T⎠ ε → 1 široki spektar0 ≤ε≤1Rejlijeva raspodela (pa i celateorija...) važi samo za relativnouske spektre...PREDAVANJA 2009. 66

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Osmatranja i merenja talasaPostoji ogroman broj podataka o talasima nasvetskim morima i okeanima...Ovi podaci su sakupljeni na dva načina –osmatranjem i merenjem...Osmatranja talasa, pre svega visine talasa,najčešće su vršili (i vrše) pomorci s brodovatokom svojih redovnih putovanja...Iako iskusni osmatrači registruju visinu talasablisku značajnoj j visini talasa, ovi podaci su,pojedinačno gledano, veoma nepouzdani ipodložni subjektivnoj proceni...Ovu manu (bar delimično) ublažava njihovogroman broj...(preko 55 miliona osmatranja sakupljenih uperiodu dužem od jednog veka...)Podaci dobijeni osmatranjem imaju i dodatninedostatak: po pravilu, predskazuju usloveplovnog puta blaže od od realnih...Reč je o grešci metode:dobijeni su dugogodišnjim osmatranjem sabrodova koji, neminovno, teže da izbegnujake oluje...Zato jesu i pogodni za brodove sadelimičnom slobodom izbora rute i vremenopolaska (teretnih, putničkih brodova),a potcenjuju stanja mora za ratne brodove i(posebno) za fiksne konstrukcije kakve sunaftne platforme...Podaci dobijeni merenjem talasaspecijalnim uređajima (npr. okeanografskimbovama) daleko su pouzdaniji i precizniji.Ovi uređaji, uz visinu, najčešće mere iperiod i pravac prostiranja talasa, kao iodgovarajuću ajuću brzinu vetra.Na žalost, broj raspoloživih podataka jedaleko manji.U novije vreme talasi se mere i satelitskimosmatranjem...PREDAVANJA 2009. 67

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Stanje moraPrema Svetskoj metereološkoj organizaciji(World Meteorological Organisation, WMO)postoji 10 stanja mora...Stanje Značajna visinaOpis moraOpis moramoratalasa [m](engleski)0 0 Mirno Calm (glassy)1 0-0,1 Naborano Calm (rippled)2 0,1-0,5 Malo valovito Smooth (wavelets)3 0,5-1,25 Umjereno valovito Slight4 1,25-2,5 Valovito Moderate5 2,5-4,0 Jače valovito Rough6 4,0-6,0 Jako valovito Very Rough7 6,0-9,0 Teško more High8 9014 9,0-14,00 Vl Vrlo teško more Very High9 preko 14,0 Izuzetno teško more PhenomenalBoforova skala “jačine vetra”Stepeni Bofora[°Bf]Brzina vetra [kn] Opis vetra Opis vetra(engleski)0 0-1 Tišina Calm1 2-3 Lahor Light air2 4-7 Povetarac Light breeze3 8-11 Slab vetar Gentle breeze4 12-16 Umeren vetar Moderate breeze5 17-21 Umereno jak vetar Fresh breeze6 22-27 Jakivetar Strong breeze7 28-33 Žestok vetar Moderate gale8 34-40 Olujni vetar Fresh gale9 41-48 Jakiolujni vetar Strong gale10 49-56 Orkanski Whole gale11 57-65 Jakiorkanski Storm12 preko 66 Orkan HurricaneBrzina vetra i visina talasa su povezani...u slučaju potpuno razvijenih talasa,prema ITTC-u, važi...Brzina vetra [kn]Značajna visinatalasa [m]20 3,130 5,140 8,150 11,060 14,621/3≈0,002262⋅ v+ 0,1076⋅vh v vPodaci osmatranja i merenja sakupljenisu u više okeanografskih atlasa, od kojihje najsveobuhvatniji Hogben, Dacunha& Olliver, 1986...Neke od tabela...PREDAVANJA 2009. 68

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Podela svetskih mora premaHogben, Dacunha &Olliver, 1986...Značajna visinatalasa [m]Svetskiprosek (%)SeverniAtlantik (%)Severni deoSevernogAtlantika (%)0 -1 30,8762 25,4262 19,02911 -2 41,3902 41,2120 36,29412 -3 17,3499 19,4275 22,96293 -4 6,3129 7,9164 11,5724Stanjemora01Svetskiprosek (%)11,25SeverniAtlantik (%)SeverniPacifik (%)0 02 7,2 4,1Jadranskomore (%)4 -5 2,4564 3,4665 5,64003 31,68 22.4 16,9 43,05 - 6 0,5685 0,8266 1,37024 40,19 28,7 27,8 17,26 - 7 0,5375 0,8380 1,46055 12,8 15,5 23,5 4,27 - 8 0,2512 0,4187 0,77728 - 9 0,1382 0,2409 0,45556 3,02 18,7 16,3 1,09 - 10 0,1156 0,2203 0,42207 0,93 6,1 9,1 0,0110 - 11 0,0022 0,0039 0,00888 0,12 1,2 2,211 + 0,0014 0.0034 0,00739 0,01 0,02 0,11024,6PREDAVANJA 2009. 69

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Svetski prosek (verovatnoća pojavljivanja u %)T [s]h 1/3[m] 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 Suma1,0 0,311 2,734 6,402 7,132 5,071 2,711 1,202 0,470 0,169 0,057 0,019 0,006 0,002 0,001 0 26,2872,0 0,020 0,764 4,453 8,841 9,045 6,020 3,000 1,225 0,435 0,140 0,042 0,012 0,003 0,001 0 34,0013,0 0 0,057 0,902 3,474 5,549 4,973 3,004 1,377 0,518 0,169 0,050 0,014 0,004 0,001 0 20,0924,0 0 0,004 0,150 1,007 2,401 2,881 2,156 1,154 0,485 0,171 0,053 0,015 0,004 0,001 0 10,4825,0 0 0 0,025 0,258 0,859 1,338 1,230 0,776 0,372 0,146 0,049 0,015 0,004 0,001 0 5,0736,0 0 0 0,004 0,063 0,277 0,540 0,597 0,440 0,240 0,105 0,039 0,013 0,004 0,001 0 2,3237,0 0 0 0,001 0,015 0,084 0,198 0,258 0,219 0,136 0,066 0,027 0,010 0,003 0,001 0 1,0188,0 0 0 0 0,004 0,025 0,069 0,103 0,099 0,069 0,037 0,017 0,006 0,002 0,001 0 0,4329,0 0 0 0 0,001 0,007 0,023 0,039 0,042 0,032 0,019 0,009 0,004 0,001 0,001 0 0,17810,0 0 0 0 0 0,002 0,007 0,014 0,016 0,014 0,009 0,005 0,002 0,001 0 0 0,07011,0 0 0 0 0 0,001 0,002 0,005 0,006 0,006 0,004 0,002 0,001 0,001 0 0 0,02812,0 0 0 0 0 0 0,001 0,002 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0 0 0 0,01113,0 0 0 0 0 0 0 0,001 0,001 0,001 0,001 0 0 0 0 0 0,00414,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,001 0 0 0 0 0 0 0,001Suma 0,331 3,559 11,937 20,795 23,321 18,763 11,611 5,827 2,480 0,926 0,313 0,099 0,029 0,009 0PREDAVANJA 2009. 70

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________100 p 47h 1/3[m]Severni Atlantik (verovatnoća pojavljivanja u %)T [s]3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 Suma1,0 0 0,072 1,416 4,594 4,937 2,590 0,839 0,195 0,036 0,05 0,001 0 0 0 0 14,6852,0 0 0,005 0,336 3,299 8,001 8,022 4,393 1,571 0,414 0,087 0,016 0,003 0 0 0 26,1673,0 0 0 0,062 1,084 4,428 6,920 5,567 2,791 0,993 0,274 0,063 0,012 0,002 0 0 22,1964,0 0 0 0,012 0,318 1,898 4,126 4,440 2,889 1,301 0,445 0,124 0,030 0,006 0,001 0 15,5905,0 0 0 0,002 0,089 0,721 2,039 2,772 2,225 1,212 0,494 0,162 0,045 0,011 0,002 0,001 9,7756,0 0 0 0,001 0,025 0,254 0,896 1,482 1,418 0,907 0,428 0,160 0,050 0,014 0,003 0,001 5,6397,0 0 0 0 0,007 0,085 0,363 0,709 0,791 0,580 0,311 0,131 0,046 0,014 0,004 0,001 3,0428,0 0 0 0 0,002 0,027 0,138 0,312 0,398 0,330 0,197 0,092 0,035 0,012 0,003 0,001 1,5479,0 0 0 0 0,001 0,008 0,050 0,128 0,184 0,171 0,113 0,058 0,024 0,009 0,003 0,001 0,75010,0 0 0 0 0 0,003 0,017 0,050 0,080 0,082 0,059 0,033 0,015 0,006 0,002 0,001 0,34811,0 0 0 0 0 0,001 0,006 0,018 0,033 0,037 0,029 0,017 0,008 0,003 0,001 0 0,15312,0 0 0 0 0 0 0,002 0,007 0,013 0,015 0,013 0,008 0,004 0,002 0,001 0 0,06513,0 0 0 0 0 0 0,001 0,002 0,005 0,006 0,006 0,004 0,002 0,001 0 0 0,02714,0 0 0 0 0 0 0 0,001 0,002 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0 0 0,01115,0 0 0 0 0 0 0 0 0,001 0,001 0,001 0,001 0 0 0 0 0,00416,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,001001 0 0 0 0 0 0,001001Suma 0 0,077 1,849 9,419 20,363 25,170 20,720 12,956 6,087 2,465 0,872 0,275 0,081 0,020 0,006p ji – verovatnoća pojave određenevisine i određenog perioda talasaNazadPREDAVANJA 2009. 71

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Standardni spektri talasaPosmaču, dok gleda uzburkano more,površina vode izgleda potpunohaotično...To je (delimično) posledica disperzije,odnosno činjenice da se svaka odkomponenti talasa kreće različitombrzinom i time stalno (i samo na izglednepredvidivo) menja oblik slobodnepovršine.Utisak haosa unosi i stvarnanepravilnost i neponovljivost, koja jeposledica slučajnih, nepredvidivihturbulencija u struji vetra koji stvaratalase.Zato svaka oluja i jeste nepredvidiva ineponovljiva, i time podložna samopribližnoj, statističkoj analizi.Kao posledica ovakvih procesa, ispektri olujnih talasa su jedinstveni ineponovljivi...Obimna ispitivanja su, međutim, pokazala daspektri izmereni u različitim olujama, na potpunorazličitim morima, i pored toga što nisu identični,pokazuju značajnu pravilnost...TipičnoičMerenja pokazuju da spektri talasaprvenstveno zavise od:• jačine vetra,• trajanja oluje,• prostiranja oluje,• prisustva, položaja i oblika obala,• ostataka prethodnih oluja (mrtvog mora).PREDAVANJA 2009. 72

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Npr. uticaj brzine vetra i razvojatalasa (kvalitativno) sličanDugo se, tokom razvoja okeanografije ibrodogradnje, tragalo za pravomfunkcijom spektra olujnih talasa...Funkcijom koja se dovoljno dobrouklapa u obimnu i raznovrsnueksperimentalnu dadoteku d realnihtalasa,a koja je dovoljno opšta i jednostavnada se može primeniti na standardnebrodske proračune...Danas, za proračune u brodogradnji, kaostandardni spektar talasa na otvorenom moru(spektar okeanskih talasa), ITTC preporučujefunkciju oblikaaS( ω)= ⋅5ωb−4e ωUstvari formula u sebi sadrži dva različitaspektra, u zavisnosti od izbora parametara a i b...To su jednoparametarski ITTC spektar, odnosnoPirson – Moskovicev spektar (Pierson –Moskowitz)i dvoparametarski ITTC spektar, odnosnoBretšnajderov (Bretschneider) spektarZa jednoparametarski spektar važi2311 ,a = 0. 0081⋅ g , b =2h1/3Parametar je visina talasa, ili brzina vetra...Spektar (približno) važi samo za razvijene talase...PREDAVANJA 2009. 73

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Kod dvoparametarskog spektra važi2h1/3 691a = 173⋅ , b =4 4T TOsim značajne visine, kao drugi parametar a spektra javlja se srednji period talasaVaži i u fazi razvoja talasa...Primer standardnih spektaraDvoparametarski spektar se svodi najednoparametarski (razvijeni) spektar kada jeT = 3 861⋅h.1/3Frekvencija koja odgovara maksimumuspektra (modalna frekvencija talasa ω m )određuje se tako što se prvi izvod funkcijespektra izjednači sa nulom...Dobija sehT1/ 3,σ o, oσ = constωm⎛4b⎞= ⎜5 ⎟⎝ ⎠142π⎛ 5 ⎞Tm= = 2πω⎜4b⎟⎝ ⎠m14PREDAVANJA 2009. 74

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Za standardni ITTC spektar važi∫∞aσo= S( ω)dω=0 4bodnosno (za oba spektra)Proračunom se dalje dobijaσ =oh21/316( o) ( b)T ≈ 0, 920T , T = 0, Tm≈1,296TVaži, neočekivano( b)⎛T⎞ε = 1− ⎜ = 1( o)⎟⎝T⎠2??Rejlijeva raspodela važi samo za (relativno)uske spektre...Dobija se zbog4σ = ω S( ω)dω→∞4Međutim, vrednosti spektra olujnih talasa asapri visokim frekvencijama, koje odgovarajumalim talasnim dužinama, potpuno sunezanimljive za brodogradnju...Zato se standardni spektar talasa koristisamo do frekvencija kod kojih amplitudatalasa postaje zanemarljivo mala, npr. doωmax≈ 3ωm2Tada je parametar širine spektra ε ≈ 035 ,Standardni ITTC spektar, u domenufrekvencija koje su interesantne za ljuljanjabroda, jeste relativno uzak, i za takve talase(približno) važi Rejlijev zakon raspodeleamplituda...∫0∞Mali, ali značajni problem...PREDAVANJA 2009. 75

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Standardni ITTC spektri odnose se na otvorenomore (okeane) gde nema uticaja obala...Za mala mora i priobalne vode, uticaj blizine ioblika obale može biti veoma bitan...Zt Zato su, tokom tk godina, razvijani ilkli lokalni spektri ktiza mnoga svetska mora i priobalne plovne rute...Najpoznatiji od ovih spektara je spektarSevernog mora...tzv. JONSWAP spektar(Joint North Sea Wave Project)U nedostatku pouzdanijuh podataka...JONSWAP spektar se može koristiti iza druge priobalne vode...Postoji i spektar za Jadransko a more –Tabainov spektar...PrimerS = 0 658⋅3 3 S Bf ( ω )( ω) , , ( ω)f( ω)= e1 ⎛ ω ⎞− 122γ⎜−ω ⎟⎝ m ⎠γ = 007 , zaω ωS B (ω) – Bretšnajderov spektar2mmPREDAVANJA 2009. 76

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Određivanje slobodne površine iz poznatog spektraStatistička teorija realnih morskih talasa uvedena jeradi prevazilaženja ćorsokaka u koji nas je dovelaklasična, hidrodinamička teorija...Ustanovili smo: i pored nepredvidivosti ijedinstvenosti svake pojedinačne oluje, spektrienergije talasa različitih oluja pokazuju značajnupravilnost...Uveli smo standardne funkcije koji omogućuju dase, na osnovu osnovnih statističkih parametara oluje(značajne visine i srednjeg perioda talasa), predvideodgovarajući spektri neregularnih talasa...To je ključ rešenja.Iz poznatog spektra moguće je rekonstruisatislobodnu površinu uzburkanog mora...odnosno odrediti odgovarajuće neregularne talasečime se prevazilazi problem određivanjaintegracionih konstanti A n , ε n koji se javioprimenom klasične teorije.Postupak je inverzan postupku zaodređivanje spektra na osnovupoznate (merene) slobodne površineuzburkanog mora...Poznati spektar S(ω) deli se naveliki broj traka širine Δω iodređuje površina svake trakeS( ωn) ⋅Na osnovu definicije spektra2An( ωn)Sn( ωn)=2 ⋅ Δωn n n nΔωsledi amplituda talasa koja odgovarafrekvencije ω nA( ω ) = 2S( ω ) ⋅ΔωTo je jedna od dve integracionekonstante n-te komponente talasa...PREDAVANJA 2009. 77

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Izraz za neregularne talase tada glasi∞∞∑ n ∑ n n n nn= 1 n=1ζ( xt , ) = ζ ( xt , ) = Asin( kx± ω t+ ε ) ≈N∑n = 1≈ 2S ( ω ) Δω ⋅ sin( k x ± ω t + ε ).n n n n nManjem koraku odgovara veći broj komponenti N,tako da rezultat ne zavisi od proizvoljnog izboraΔω...2ωTl Talasni ibroj jkk ldii i n sledi iz disperzione relacijenk n=gZato će se, u nizu uzastopnihproračuna slobodne površine na bazipoznatog spektra, uvek dobiti različitrezultat...Iako je to posledica ograničenja kojanosi statistička teorija...ovakav slučajni izbor faznih pomerajaε n unosi u račun potrebnu dozunepredvidivosti i jedinstvenosti kojuimaju i stvarne oluje...tako da za potpuno određivanje neregularnih talasakoji odgovaraju zadatom spektru, preostaje još samoda se odrede fazni pomeraji ε n ...Fazni pomeraji se, međutim, ne mogu odrediti izspektra talasa.Pri rekonstrukciji slobodbe površine uzimaju se, popravilu, kao slučajne veličine u intervalu 0 – 2πPREDAVANJA 2009. 78

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Trodimenzionalni efekati – direkcioni spektarОd početka је pretpostavljeno da su talasiravanski...Talasi su posledica vetra, a vetar se neprekidnoi nepredvidivo menja oko svoje srednjevrednosti, kako po intenzitetu, tako i popravcu...Prateći vetar, na slobodnoj površini seformiraju talasi čiji j se pravac prostiranja rasipaoko srednjeg, osnovnog pravca vetra...I strujanje vode u takvim uslovima je “blago”trodimenzionalno.Ovaj zanemareni 3D efekat uračunava sepreko tzv. direkcionog spektar talasa koji,osim od frekvencijezavisi i od pravca u odnosu na osnovni pravacprostiranja talasa...S*( ω, μ) = f( μ) ⋅S(ω)Funkcija f(μ) mora biti parna u odnosuna μ , i mora važiti∫2π0f ( μ)dμ = 1Najčešće se koristi* 2 2S ( ω, μ) = cos μ⋅S( ω)ππ π− ≤ μ ≤2 2PREDAVANJA 2009. 79

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Džinovski talasiDefinisali smo srednje amplitude talasa, npr.A, A , A ...1/3 1/5ali i očekivane emaksimalne a amplitude , npr.( pi)A , AmaxmaxPotražimo odnos maksimalne i srednjeamplitude, npr.A 2oln Nmax1 1 TM= σ = lnN= ln⎛ ⎜ ⎞⎟A 2 σ 2 2 ⎝ T ⎠1/3 oDobijene vrednost zavisi samo od brojatalasa N, odnosno vremenom sporo, alikontinualno rastu...Teorijski, amplituda bi postala beskonačnovelika, ukoliko bi oluja trajala beskonačnodugo...Realno, oluje traju nekoliko časova,sasvim retko nekoliko dana...tako da najverovatnija maksimalnaamplituda dostiže (približno)2A 1 / 3Prikazana statistička teorija predviđa(povremeno i retko) izuzetno velike –džinovske talase (freak waves, roguewaves)...čija je amplituda preko dva puta veća ć odznačajne...Ovakvi džinovski talasi opažaju se uolijama, i (kako se smatra) predstavljajuuzrok mnogih brodoloma...PREDAVANJA 2009. 80

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Npr. Draupnerski novogodišnji talas:Interesantno je da osmatranja i merenjatalasa ukazuju da je pojava džinovskih talasačešća od one koju predviđa izloženastatistička teorija...Džinovski talasi koje predviđa izložena teorija,posledica su veoma nepovoljne (i veoma retke)superpozicije linearnih komponenti...Kod velikih i strmih talasa, linearne teorija nijeadekvatna...i dolazi do složene, nelinearne inerakcijepojedinih komponenata...Kratkoročna i dugoročna statistikaDosadašnja statistička analiza odnosala sena jednu oluju, za koju važi jedan(nepromenjen) spektar talasa...Tokom takve oluje ne menja se ni srednjavisina, niti srednji period talasa...Ovakvo nepromenjeno stanje obično trajenekoliko časova, sasvim retko nekolikodana...Analiza se zato naziva kratkoročnastatistika talasa.Ako se kratkoročna statistika poveže stabelama koje daju verovatnoću pojavetalasa na određenim morima i plovnimrutama...moguće je odrediti maksimalne amplitudei u dužem vremenskom periodu, kojiobuhvata niz različitih oluja...To je tzv. dugoročna statistika talasa.PREDAVANJA 2009. 81

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Pođimo od formuleIzvedena je iz kratkoročne statistike:2TM⎛ Ao⎞V ( A≥ Ao) = exp⎜−⎟T ⎝ 2σ o ⎠Koja daje verovatnoću da ćeamplituda talasa biti veća od A oVaži za jedno stanje mora odnosno jednu značajnu visinu (od koje zavisi σ o o) ) i jedan srednjiperiod talasa...Povezaćemo formulu s tabelama koje daju verovatnoću p ji pojave talasa određene značajnevisine i određenog srednjeg perioda...Da bismo dobili verovatnoću da će amplituda talasa biti veća od A o u nekom dužemvremenskom periodu T D , dovoljno dugom da za njega važi odgovarajuća tabela, potrebno jesabrati verovatnoće za sve oluje (oluje svih visina talasa, i svih perioda talasa) koje seočekuju...⎡2 2 2TD ⎛ Ao ⎞ TD ⎛ Ao ⎞ TD ⎛ Ao⎞ ⎤V( A≥ Ao) = ⎢p11 exp⎜− exp exp ...( 1) ⎟+ p12 ⎜− ( 1) ⎟+ p13⎜− ( 1)⎟+ ⎥+⎢⎣T1 ⎝ 2σo ⎠ T2 ⎝ 2σo ⎠ T3⎝ 2σo⎠ ⎥⎦⎡2 2 2T D ⎛ A o ⎞ T D ⎛ A o ⎞ T D ⎛ Ao ⎞ ⎤+ ⎢p21 exp ⎜− ( ) 22 exp ( ) 23 exp ( )... ...2 ⎟+ p ⎜− p2 ⎟+ ⎜− 2 ⎟+ ⎥+ =⎢⎣T1 ⎝ 2σo ⎠ T2 ⎝ 2σo ⎠ T3⎝ 2σo⎠ ⎥⎦n m 2p ji ⎛ Ao⎞= TD∑∑exp ⎜−.( j)⎟TabelaTi⎝ 2σ o ⎠j= 1 i=1PREDAVANJA 2009. 82

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Na osnovu izvedene formule sledijednačina za određivanje najverovatnijemaksimalne amplitude talasa u periodu T DNaime, ako smenimoV A ≥A =1( o)amplituda A o postaje najverovatnijamaksimalna amplituda A max ,a izraz se svodi na jednačinuAko se izabere radni vek broda od 20 godina= O(10 8 s), dobija se amplituda najvećegtalasa koji će doživeti brod, itd...Severni Atlantik:∑∑n m 2pji⎛Amaxexp⎜ ( j)Tj 1 i 1i 2σ= = ⎝ o⎞TD− ⎟=1⎠Ovaj izraz je moguće rešiti ponepoznatoj A maxAko ose izabere abeeperiod T D od 100 godina= O(10 10 s), rešavanjem po A max dobijase amplituda tzv. stogodišnjeg talasa,odnosno maksimalna amplituda talasakoji se javlja jednom u veku.PREDAVANJA 2009. 83

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________RezimeSlobodna površina uzburkanog mora (u okviru linearne teorije talasa) sastoji se izbeskonačnog zbira harmonijskih (regularnih) komponenti∞=∑ζ ( xt , ) = Asin( kx± ω t+ε )∑n 1n n n nDa bi se iz ovog izraza odredila slobodna površina, potrebno je poznavati pojedineamplitude i fazne pomeraje A n , ε nAmplitude A n određujemo iz spektra talasa S(ω ) An( ωn) = 2Sn( ωn)⋅ΔωFazne pomeraje ε n biramo kao slučajne veličine...Ako je poznat spektar talasa, može se (sem slobodne površine) odrediti niz drugih statističkihveličinaσo, RMS, h, h1/3, hmax, T , Tm...Ključ je spektar talasa...Uproračunima ponašanja broda na talasima koriste se (najčešće) standardni spektri...Da bi se odredio standardni spektar, potrebno je poznavati dve (ili samo jednu)statističku veličinu oluje, najčešće h1/ 3,TPolazi se od oluje za koju je poznato ...PREDAVANJA 2009. 84

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Za kraj, tri tipična numerička primeraBrzinavetra(kn)Značajnavisinatalasa(m)Stanjemora(WMO)Jačinavetra(°Bf)Maks.period(s)Modalnipriod(s)Maks.dužinatalasa(m)Modalnadužinatalasa(m)Verovatnoćapojavljivanja,svetski prosek(%)20 3,1 5 5 13,4 8,79 318 120 2030 5,1 6 7 18,5 11,6 533 200 560 14,6 9 11 30,6 19,5 1467 567 0,001PREDAVANJA 2009. 85

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4. LJULJANJE BRODA NA REGULARNIM TALASIMALjuljanja broda na mirnoj vodi predstavljaju (jezikom Mehanike) slobodne prigušeneoscilacije tela oko svog ravnotežnog položaja...Poremećaj pritiska koji izaziva regularni talas je harmonijska funkcija koja imafrekvenciju talasa...a brod ove oscilacije pritiska oseća prividnom frekvencijom talasa ω p ...Τreba očekivati da ljuljanja broda na regularnim talasima predstavljaju prinudne prigušeneoscilacije, ij kod kojih je poremećajna ć sila (prinuda) )harmonijska funkcija frekvencije ω p ...Diferencijalna jednačina ovakvog kretanja glaseAZ+ 2 μ Z+ ω Z + = ω t+δ... sin ( )2 ZZ Z p ZD+mZA Z , δ Z – nepoznata amplituda i fazni pomeraj pobudne sile (momenta)...Javljaju se dve frekvencije, ω Z , ω p ...PREDAVANJA 2009. 86

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4.1. Prinudne sile i momentiPostupak za određivanje A Z , δ Z prikazujemo na primeruponiranja i posrtanja broda koji plovi pramcem ka regularnimtalasima, konstantnom brzinom v o ...Pri tom jeω= ω + vkp T o TPri proučavanju poniranjebroda na mirnoj vodi,pošli smo od jednačineD ⋅ ζ = F −g⋅DGζTreba usaglasiti koordinatne sisteme i oznake...Osa ξ prolazi kroz ravnotežni položaj težišta G...Ravnotežna površina vode nalazi se na ordinati ζ VL odhorizontalne ravni ξη...Poremećena slobodna površina u inercijalnom sistemu ξηζ glasiζ ( ξ, t) = ζ + ζ ′ ( ξ, t) = ζ + A sin( k ξ + ω t)T VL T VL T T pOva jednačina i dalje važi,s tim što sila F ζ sadasadrži i poremećaj kojiunose regularni talasi...Primenom postupka p kojismo koristili na mirnojvodi (primenom tzv. stripteorije), dobija sePREDAVANJA 2009. 87

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________F = gD−ρgA ζ −n ζ −m ζ − + A ω t+ δ + FF( d )ζ VL G ζ G ζ G...ζsin(p ζ) ζ.( p)F ζporemećajna sila poznate frekvencije, ali nepoznate amplitude A ζ i nepoznatogfaznog pomeraja δ ζ , koja je posledica regularnih talasa( d )F ζ javlja se usled tzv. difrakcije talasa... Tada važi−⎛ k T h −2πh⎞e = exp⎜⎟≈1Pritisak u proizvoljnoj tački vode ispod⎝ λT⎠regularnog talasa jeTp = ρgA e −kh sin( k ξ + ω t)T T T ph = ζVL−ζdubina vode ispod ravnotežneslobodne površinePritisak deluje na trup broda...dubina h je manja ili jednaka gazu broda...Pretpostavićemo, radi jednostavnosti, da sutalasi daleko duži od gaza broda, λ T » T( p)ζRazlika zavisnosti poremećajnog pritiskaod dubine vode u odnosu na klasičnulinearnu zavisnost hidrostatičkog pritiska,poznata je u literaturi kao Smitov efekat...Korišćenom aproksimacijom nijezanemaren samo Smitov efekat, već ikompletan uticaj dubine vode...Ovaj uticaj se ne zanemaruje u većinisavremenih kompjuterskih programima ...Lj. Radosavljebić...PREDAVANJA 2009. 88

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Vertikalna sila kojom pritisak p T delujena proizvoljni element dužine broda(elementarnu traku broda), tada iznosidf( p)ζ= pTb( x)dx ≈≈ ρgA b( x) ⋅ sin( k ξ + ω t)⋅dxT T pS obzirom na ψ « 1 važi ξ ≈ xTada je∫( p)F gAT b( x) sin( kTx pt)dxζ= ρ ⋅ + ω ⋅ =L= ρgA ⎡TQC sin( ωpt) + QS cos( ωpt)⎤⎣ ζζ ⎦Q = b( x)cos k xdx , Q = b( x)sink xdxC T S Tζ∫Lζ∫LTo je ranije pretpostavljeni oblik poremećajne sileUkupna vertikalna sila izazvanaporemećajnim pritiskom p T je tadaF∫= df =( p) ( p)ζζL∫= ρgA b( x) ⋅ sin( k ξ + ω t)⋅dxT T pL( p)Fζ = Aζ ωpt+δζA = ρ gA ⋅Qζsin( )TζQarctgδ ζ=QSCζζpri čemu jeQ = ζQ + Q2 2C SζζPREDAVANJA 2009. 89

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Treba razjasniti član( d )F ζ( p)U prethodnom izvođenju korišćen je poremećajnipritisak p T koji je posledica (samo i isključivo)regularnih talasa...Izrazi za ove talase su izvedeni na “praznoj” slobodnojpovršini, bez prisustva broda...Realno, brod svojim prisustvom remeti regularnetalase...Brod je prepreka o koju talasi udaraju, i na kojoj dolazido njihovog odbijanja i prelamanja – odnosno tzv.difrakcije talasa...Uticaj ovog dopunskog efekta obuhvata (difrakcioni)( d )članF ζZanemarićemo uticaj difrakcije...Ovo zanemarenje poznato je u literaturi kaohipoteza Fruda i Krilova...Uticaj difrakcije se ne zanemaruje u većinisavremenih kompjuterskih programima...M. Simonović...Vratimo se na izrazF = A sin( ω t+δ )ζ ζ p ζU specijalnom slučaju kada vodnalinija ij broda poseduje simetrijuijpramac – krma, važilo biQ = b( x)sink xdx =⋅⋅⋅= 0Sζ∫LZa uobičajene brodove zato važiQSζ QCζQ = Q + ζQ ≈ QT2 2C S Cζ ζ ζAζ≈ρgAT⋅ b ( x )coskTxdx∫LQSζarctgδ ζ= ≈0δζ≈ 0QCζPREDAVANJA 2009. 90

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ostaje još da proučimo funkciju⎛ x ⎞Qζ≈ b( x)cos kTxdx = b( x)cos2π dx∫ ∫ ⎜ ⎟⎝ λT ⎠LIntegral se rešava numerički, za svaki brod...Rešenje, međutim, zavisi prvenstveno ododnosa dve karakteristične dužine: L i λ T ,ima neka zajednička svijstva...Uslučaju kada su talasi daleko duži od broda,λ T » L , važix2π 1 Q ≈ b( x) dx =ζAVLλAζT= ρ gA ATVL∫LU slučaju kada je brod daleko duži od talasa,L » λ T , važiQ ≈ ζ0LTipično, funkcija ima oblikjer podintegralna funkcija više puta menjaznak u domenu integracije...tako da je Qζ() 1 ∼ 10% A VLPREDAVANJA 2009. 91

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Slično se dobuja i za pobudni momentposrtanja...Polazi se od( p) ( p)dMyx dfζx pTb( x)dx= ⋅ = ⋅ ( ) =...i dobijaM = A sin( ω t−δ)( p)yψpψ2 2A ψ= ρ gαo⋅QψQ = Q + 1 30% I∼CQQ ()ψSψyψψQarctgδ ψ=QSCψψZbog (grube) simetrije pramac – krma, važiQCψ QSψUobičajeno je da se koriste bezdimenzioneamplitude poremećajne sile i momenta a ζ , a ψA = ρ gA A ⋅aζTVLA = ρ gαI ⋅aψoyςψ⎛ x ⎞Qψ≈ QS= xb( x)sin kTxdx = xb( x)sin2π dxψ ∫ ∫ ⎜ ⎟⎝ λT ⎠LLPREDAVANJA 2009. 92

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Gde je1a ≈ ζb( x)cosk TxdxA ∫VLL1a ≈ ψxb ( x)sin k TxdxkI∫TyLU slučaju valjanjaDobija seM = A sin( ω t+δ )( p)xA ≈ gD ⋅MG ⋅k A ⋅aϕTϕTϕTδϕϕπ≈2Baϕ= 1 za = 0λa →0 zaϕT,B→∞λT,Za pravougaonu vodnu liniju moguse odrediti analitički...aaζψλ⎛T π L ⎞= sin ⎜ ⎟πL⎝ λT⎠3Bλ ⎡T ⎛πλT ⎞ πλT ⎛πλT⎞⎤= sincos3 ⎢ ⎜ −4πIyL⎟ ⎥L⎜L⎟⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦VažiB / λ 1,a ≈ 1TϕPREDAVANJA 2009. 93

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4.2 Rešenja jednačina, prenosne funkcijeNezavisne (približne) diferencijalnejednačine koje opisuju ljuljanje broda natalasima imaju oblik2 2Z+ 2 Z+ Z = A a t+μ ω ω ω δsin ( )Z Z Z Z p Zgde jeA = A T kod poniranja,A = α = k A kod posrtanja i valjanjao T TRešenje diferencijalne ij jednačine je− μZ Zt () = Z thoe sin( ωZt+ εZ) +opšte rešenjehomogenog dela jednacine+ Zo sin( ωpt+ γZ)partikularno rešenjenehomogene jednacineRešenje homogenog dela jednačineodumire, tako da posle izvesnog prelaznogperioda važiZ() t = Z sin( ω t + γ )o p ZAmplituda i fazni pomeraj ovog kretanja suZγo2AωZ= =22 2 2 2ω − ω + 4μ ω=gde su( )Z p Z p( Λ )A22 2 2ZΨZΛZ1− + 422μZωZ 2Ψ ZΛZ= arctg = arctgω −ω 1−ΛZ 2 2 2Z p ZΨZμZ=ωZωpTZΛZ= =ω TZpPREDAVANJA 2009. 94

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Već su se više puta sreli s prikazanim postupkom i rešenjima diferencijalnejednačine prinudnih oscilacija...Da li razumeju ..?Brod, na početku č ljuljanja, j osciluje sa dve nezavisne frekvencije, sopstvenom ω Ziprinudnom ω p ...Pri tome, amplituda i fazni pomeraj sopstvenog ljuljanja Z ho i ε Z zavise odpočetnih uslova kretanja... Amplituda i fazni pomeraj prinudnog ljuljanja ne zaviseod početnih uslova...Posle izvesnog vremena sopstvene oscilacije odumuru, i brod nastavlja daoscilacije prividnom frekvencijom talasa ω p ...a kretanje više ne zavisi od početnih uslova...Brod, prema tome, na početku kretanja pokušava da se ljulja svojom sopstvenomfrekvencijom, ali se vremenom povinuje diktatu prinude...Ne treba, međutim, pomisliti da sopstvena frekvencija broda ne utiče na njegovodlj dalje kretanje...Brod se ljulja prinudnom frekvencijom talasa ω p , ali odnos frekvencija ω p / ω Zpresudno utiče na amplitudu i na fazni pomeraj njegovog kretanja.PREDAVANJA 2009. 95

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Bezdimenzioni odnos Z o /A u Mehanici senajčešće naziva faktor pojačanja oscilacija...Kod ljuljanja broda se odomaćio terminprenosna funkcija ljuljanjaPrenosne funkcije su, prema tomePZZ= o oZA= Akod poniranjaTZo Zo ZoPZ= = =A α k Ao T Tkod posrtanja i valjanjaPogodno je i za rotaciona kretanja definisatiprenosnu funkciju oblikaZoPZ=A TDobija se ZoPZ = = kTPZATTakο definisana funkcija nije bezdimenziona...S obzirom da prenosne funkcije ljuljanjabroda imaju izuzetan značaj...uvešćemo ih ovde i na drugačiji način, kojiće im dati i novi smisao, i objasniti njihovnaziv.Videli smo da regularni talas, koji je uokolini koordinatnog početka opisanfunkcijomζ ′ T () t = A T cos( ω p t+εT)dovodi do ljuljanja brodaZ() t = Z cos( ω t + ε + γ )o p T ZMože se reći, drugačijim rečnikom č odonog koji je do sada korišćen, da seulaz ζ ′ () t Ttransformiše se u izlaz Z()tPREDAVANJA 2009. 96

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Izraze možemo napisati u kompleksnom oblikuζ ′ =TpAe ωoTi( t+ε )Ti( t + + )p T ZZ = Z e ω ε γgde samo realni idelovi ifunkcija imaju svojefizičko značenjeIzlaz svodimo na fazu ulaza...iγ i( t+)Z p TZ = Z e ⋅e ω εoodnosno uvodimo tzv. kompleksnu amplitudu izlazaKompleksna prenosna funkcija, prematome, transformiše ulaz u izlazZ = P ⋅ζ ′ZNjen modul – realna funkcija P Z ,transformiše amplitudu ulaza A T uamplitudu izlaza Z oZo = PZ ⋅ATZa funkcije koje na ovaj načintransformišu (pretvaraju, preslikavaju,prenose) ulaz u izlaz,TZo=i ZZoe γOdnos izlaza i ulaza jei( ωpt+εT)ZeoZo Zoi( ωpt+εT)′T AeATAT TiγZP e P eu tehnici (elektrotehnici, automatskomupravljanju...) odomaćio se terminprenosna funkcija, koji je prihvaćen i ubrodogradnji.U literaturi na engleskom jeziku čestose umesto odgovarajućeg terminatransfer function, za realni deoprenosne funkcije koristi i terminResponse Amplitude Operator, iodgovarajuća oznaka RAOZiγZZ= = = = =Z⋅ζse, umesto odgovarajućeg terminaP Zkompleksna prenosna funkcijaNjen modul je ranije uvedena (realna) prenosnafunkcija P Z , a njena faza je γ ZPREDAVANJA 2009. 97

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4.3. Plovidba na bočnim talasimaPretpostavićemo da brod plovi bočno u odnosu naregularne talase...Važiμ = -π/2 , ω p = ω T ,a izraz za slobodnu površinu glasiζ ( η, t) = ζ + A sin( k η+ω t)T VL T T TTalasi se prostiru od pozitivne kanegativnoj osi ηBrod istovremeno vrši valjanje φ(t),poniranje ζ G (t) i zanošenje η G (t)...a nezavisne diferencijalne jednačinekretanja glase( Jx+ m ) ϕϕ + n ϕϕ + gD⋅MG⋅ ϕ = Aϕ sin( ωTt+δϕ)( D+ m ) ζζG + n ζζG + ρgAVLζG = Aζ sin( ωTt+δζ)( D + m ) η + n η = A cos( ω t+δ )η G η G η T ηAnaliziraćemo, detaljno,samo valjanje broda...PREDAVANJA 2009. 98

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Pretpostavićemo da je dužina talasadaleko veća od širine brodaλT BTada važiaϕ ≈ 1A diferencijalna jednačina valjanja glasi2 2 ϕ + 2μ ϕ + ω ϕ = αω cosωtRešenje jeϕ ϕ o ϕϕ() t = ϕ cos( ω t−γϕ)Izraz za prenosnu funkciju valjanja glasi2= ϕoϕϕα= =2o2 2 2 2ω − ω + 4μϕωTP=oω( ϕ T )1TTa fazni pomeraj valjanja γ φ iznosiγϕgde je2μϕωT2Ψ ϕΛϕ= arctg = arctg2 2 2ω −ω 1 −ΛϕΛTωTϕ = =ωϕNa osnovu disperzione relacije, važiω = gk =2TT2πgλtako da se prenosna funkcija može izraziti i uoblikuo= =( 1 2 ) 242 2ϕ− Λϕ + ΨϕΛαo2ϕ( ϕ T )PϕTTT2ϕϕTωλT2ϕωλ − 2πg + 8πgμ λϕTodakle sledi amplituda valjanja φ oPREDAVANJA 2009. 99

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dijagrami prenosne funkcije i faznogpomeraja su...Dijagrami se odnose na jedan brod natl talasima svih ihfrekvencija, odnosno svihtalasnih dužina.Brod na jednom regularnom talasupredstavlja tačku u dijagramima...Iako se prenosne funkcije, zbog različitihprigušenja i različitih sopstvenihfrekvencija, razlikuju od broda dobroda...sve imaju neke bitne zajedničkekarakteristike...PREDAVANJA 2009. 100

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Posmatrajmo funkciju oblikaPϕ=1( Λ)21− + 4Ψ Λ2 2 2ϕ ϕ ϕVažiP ϕ( 0)→ 1P ( ∞ )→0ϕoP⎛ϕ⎞ϕ() 1 = ⎜ ⎟ =⎝αo⎠rez12ΨϕOblast dijagrama u okolini rezonancije(obično 0,75 < Λ φ < 1,25) naziva sekritična oblast.Levo od kritične je potkritična, a desnonatkritična oblast.PREDAVANJA 2009. 101

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Krajnji levi deo dijagrama, koji odgovaravrednostima faktora poremećaja Λ φ « 1,je tzv. daleka potkritična oblast valjanja.U toj oblasti, sopstveni period valjanjabroda daleko je kraći od perioda talasa,T φ « T TVaži P ϕ ≈ 1γϕ≈ 0ϕ ≈ αoϕ() t = ϕ cosωtNagib talasa je∂ζα ( , ) TTη t = = αocos( kTη+ωTt)∂ηpa vrednost nagiba u okolini broda (zamalo k T η) iznosiα () t ≈ α cosωtSlediϕ() t ≈ α () tTooTT o Tto je oblast krutog valjanjaPREDAVANJA 2009. 102

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Okolinu rezonancije Λ φ ≈ 1 karakteriše izraženirezonantni piko 1P⎛ϕ⎞ϕ() 1 = ⎜ ⎟ =⎝αo⎠ 2Ψϕusled ldkoga je nagib ibbroda daleko dlk veći odnagiba talasa.Za brodove bez specijalnih uređaja zasmanjenje valjanja (npr. ljuljnih kobilica),bezdimenzioni koeficijent prigušenja je tipičnoΨ φ = 0,05 - 0,1 , tako da visina rezonantnogpika iznosi i( (φ o /α o ) rez = 5 – 10 .Zbog toga i talasi sasvim malog nagiba (npr. 1–2°) dovode do velikih amplituda valjanjabroda...Ovako velike amplitude valjanja su opasne...a dovode u pitanje i opravdanost korišćenjalinearne teorije...Linearna teorija samo grubo i neprecizno dajevisinu rezonantnog pika, ali precizno određujeoblast valjanja koju treba izbegavati...rezFazni pomeraj valjanja je γ φ (1) = π/2 ,tako da zakon rezonantnog valjanja(formalno) glasiϕ() t =−ϕ sinωtNajveći nagibi (amplitude) valjanjajavljaju se na bregu i u dolji talasa...oTPrimer rezonancije...PREDAVANJA 2009. 103

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Na desnom kraju dijagrama (za Λ φ » 1)nalazi se tzv. daleka natkritična oblastvaljanja...U ovoj oblasti sopstveni period valjanjabroda daleko duži od perioda talasa, T φ » T TBrod se ponaša tromo, i ne stiže da pratidejstvo talasa, tako da je amplitudanjegovog valjanja zanemarljivo mala...ϕ()t ≈ 0Zanošenje i poniranje broda postoje, ali sebrod pri tom ne naginje...Ovakvo valjanje, naziva se meko valjanjebroda.Između daleke potkritične oblasti (oblastikrutog valjanja), rezonancije i dalekenatkritične oblasti (oblasti mekog valjanja),dijagram prenosne funkcije se kontinualnomenja...Oblast dijagrama u kojoj j će se brod nalazitiizavisi od njegovog sopstvenog periodavaljanja, i od perioda talasa...Zato se teorijski svaki brod, u zavisnosti odtalasa, može naći u svakoj od oblasti valjanja...PREDAVANJA 2009. 104

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________S druge strane, različiti brodovi natalasima iste talasne dužine nalaze se urazličitim oblastima dijagrama...pri čemu su brodovi kraćeg sopstvenogperioda uvek pomereni ulevo u odnosu nabrodove dužeg sopstvenog perioda...Sopstveni period valjanja broda je2πjTxϕ≈gMGi zavisi od dimenzija broda preko radijusainercije j x , i od početnog stabiliteta brodapreko metacentarske visine MG .Veliki brodovi, čija je metacentarska visinana granici minimalno dozvoljene, imaćenajveće, dok će mali i (ili) izuzetno ostabilnibrodovi, imati najmanje sopstvene periodevaljanja...Na osnovu toga, moguće je predvideti i(donekle) uticati na ponašanje broda nabočnim talasima...Numerički primer...Posmatrajmo valjanje tri različita broda na istimregularnim talasima...Neka talasi imaju dužinu λ T = 200 m.Τo je tipična dužina najvećih (modalnih) talasau umereno jakoj okeanskoj oluji...Dobija seλ T = 200 m, T T = 11,6 s, ω T = 0,555 rad/sT φ (s) ω φ (rad/s) Λ φoblastvaljanjaBrod A 5 1,257 0,43 potkritičnaBrod B 12 0,524 1,03 kritičnaBrod C 30 0,209 2,58 natkritičnaPREDAVANJA 2009. 105

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Prethodna analiza je nepotpuna jer, u realnimuslovima, na slobodnoj površini istovremenopostoje talasi različitih dužina...Za potpuniju sliku treba zato sačekatipoglavlje o valjanju broda na neregularnimtalasima...Ipak, treba uočiti da i najduži talasi realniholuja nemaju periode duže od pola minute,tako da brodovi s ovako dugim sopstvenimperiodima praktično nikada ne zapadaju urezonanciju valjanja...jNajmanje prigušenje (samo usled trenja)imaju brodske forme sa kružnim rebrima...Što su forme oštrije, prigušenje raste, kakousled vaćih talasa koji se indukuju, tako iusled ldddt dodatnog viskoznog ik vrtloženja... tlž Da bi se značajnije povećao otpor privaljanju, brodu se dodaju izdanci, tzv.ljuljne kobilice...Ukratko, i o prigušenju pri valjanju...Od prigušenja presudno zavisi visinarezonantnog pika...Prigušenje je posledica sistema talasa kojise indukuju samim valjanjem broda, ali idodatnih d viskoznih ih efekata...Ljuljne kobilice i slični idodaci d već ć spadaju djProblematika je izuzetno složena, i još uvek u posebane uređaje – tzv. stabilizatorenije do kraja rešena...ljuljanja, o kojima ćemo posebno govoriti...Ipak, neki od kvalitativnih zaključaka u veziprigušenja su očigledni...PREDAVANJA 2009. 106

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Da rezimiramo...Najnepovoljnija oblast valjanja broda na regularnim talasima je kritična oblast (oblastrezonancije) koju, kad god je to moguće, treba izbeći...Brod treba da bude što dalje od rezonancije, bilo u potkritičnoj, bilo u natkritičnoj oblastivaljanja... Šta je bolje?..Ovakvo “podešavanje” oblasti valjanja je (delimično) pod kontrolom projektanta i (ili)zapovednika broda...Oni mogu uticati na sopstveni period valjanja preko metacentarske visine broda...Videće se da zapovednik broda ima i dodatni efikasan način da izbegne rezonanciju –prmenom pravca kretanja broda...I projektant broda ima dodatnu mogučnost da smanji negativan uticaj rezonancijepovećanjem prigušenja, odnosno pogodnim izborom forme i (mnogo efikasnije)ugradnjom tzv. stabilizatora valjanja...Ni projektant, niti zapovednik broda, međutim, ne mogu uticati na same talasa, pogotovošto u realnim uslovima na slobodnoj površini postoji veliki broj talasa različitih perioda...Zato ova analiza ostaje nepotpuna...i biće dopunjena i zaokružena tek u poglavlju o valjanju broda na neregularnim talasima...Analogija, lenjivac, štreber, entuzijasta...PREDAVANJA 2009. 107

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Do sada smo analizirali samougao valjanja (nagiba broda)φ(t)...Sada ćemo odrediti i ugaonubrzinu i ugaono ubrzanje brodapri valjanjuj ϕ() t =−ϕoωT sin( ωTt−γϕ)2 ϕ() t =−ϕoωT cos( ωTt −γϕ)Mogu se definisati i prenosnefunkcije ugaone brzine i ugaonogubrzanjaω T = ω φP ϕ2= ϕωo TϕωωoT ϕΛϕωTωTPϕα= oα= = =oω ω μ ω Λ Ψ Λ( T) T( )2 22 2 2 2 2 2 2ϕ− + 4 ϕ1− ϕ+ 4ϕ ϕP ϕ22 2 2= ϕωo T 2 ϕωωo 2T ϕΛϕωTωTPϕα= oα= = =oω ω μ ω Λ Ψ Λ( T ) T ( )2 22 2 2 2 2 2 2ϕ− + 4ϕ1− ϕ+ 4ϕ ϕ.PREDAVANJA 2009. 108

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dijagrami prenosne funkcije valjanja veomasu slični odgovarajućim dijagramima izDinamike i Teorije oscilacija...Postoji, međutim, i jedna bitna razlika...razliku.Prigušenje i sopstvena frekvencija valjanjabroda, za razliku od klasičnih problemaoscilacija, zavise od frekvencije kretanja,odnosno menjaju se duž apcisa ovihdijagrama...To je posledica činjenice da dodatna masam φ i prigušenje n φ zavise od frekvencijekretanja...što je opet (fizički) posledica sistema talasakoji se indukuje samim valjanjem broda...Ovakva zavisnost hidrodinamičkihkoeficijenata od frekvencija ne utiče bitnona valjanje, jer su koeficijenti maliZa poniranje i zanošenje nabočnim talasima dobija seζG() t = ζG sin( ωTt−γζ)PζζoηG() t = ηG cos( ωTt−γη)G=oGoAToPηη=ATDaleko značajniji će biti uticaj na poniranje iposrtanje broda...PREDAVANJA 2009. 109

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Pomernja, brzine i ubrzanja tačaka brodaKoristimoyCzCcos βC= sin βC= ϕ 1rrCCDobija sevC ≈ ηG − z η CϕvC ≈ ζG + y ζ CϕOdnosno integraljenjem i diferenciranjemv = v + vvGC G CGC= r ϕCr = y + z2 2C C C( )vC = ηG − r Cϕ sin βC + ϕ ≈ ηG −rCϕϕcos βC −rCϕsinβη C( )vC = ζG + r Cϕ cos βC + ϕ ≈ ζG − rCϕϕsin βC + r Cϕcosβζ Cη = η − z ϕC G Cζ = ζ + y ϕC G Ca≈ η −z ϕηC G Ca C≈ ζG + y ζ CϕZbir (razlika)harmonijskihfunkcija...PREDAVANJA 2009. 110

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Pomeranje (poniranje i posrtanje)proizvoljne tačke broda jednako je zbiru(razlici) harmonijskih funkcija istefrekvencije...vvaaTakav zbir (razlika) je opetharmonijska funkcija...ηC = ηC sin( ω )o Tt−γCηζ = ζ sin( ω t −γ)Pa jeC C T Co= η = η ω cos( ω t−γ)oη= ζ = ζ ω cos( ω t−γ)C C C T T CηC C C T T Cζo2= η =− η ω sin( ω t −γ)C C C T T Cηo2= ζ = −ζ ω sin( ω t−γ)C C C T T CζoζηζζZa amplitude i fezne pomeraje dobija senakon trigonometrijskog računa...2 2 2η = η + z ϕ −2η z ϕ cos( γϕ −γη)C G C o G C oo o o2 2 2ζC = ζG + xCϕo + 2ζG xCϕosin( γϕ −γζ)o o oγCγηCζ⎛η sinsinGγo η− zCϕoγ ⎞ϕ= arctg⎜ηG cosγ z coso η Cϕoγ ⎟⎝−ϕ ⎠⎛ζG sinγ coso ζ− xCϕoγ ⎞ϕ= arctg⎜ζG cosγ x sino ζ Cϕoγ ⎟⎝+ϕ ⎠PREDAVANJA 2009. 111

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4.4. Plovidba broda ka talasimaSpregnute jednačine poniranja iposrtanja na regularnim talasima glase( D+ m ) ζ + n ζ + ρgA ζ −m ψ −( n −v m ) ψ−( ρgA x − v n ) ψ =ζ G ζ G VL G ζψ ζψ o ζ VL C o ζ( ωptδζ)= A sin + ,⎛2v ⎞2 o( J ) ( ) y+ mψ ψ + nψψ + ρgI y′− vmo ζ+ ψ −mψζζG − nψζ + vmo ζζG−⎜ω ⎟⎝p ⎠ζ( ψ )− ρgA x ζ = A sin ω t + δ .VL C G ψ pjednačine Salvensena, Taka i Faltensena, STF (Salvesen, Tuck & Faltinsen, 1970)Približne, nezavisnejednačine su( D + m ) ζ + n ζ + ρgA ζ = ρgA ⋅Q sinωtζ G ζ G VL G T ζ p( J + m ) ψ + n ψ+ ρgI ψ = ρgα ⋅Q cosωty ψ ψ y′o ψ pOdnosnoPREDAVANJA 2009. 112

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________2 2ζ + 2μ ζ + ω ζ = A ω a sinωtG ζ G ζ G T ζ ζ p2 2 ψ + 2μ ψ+ ω ψ = αω a cosωtψ ψ o ψ ψRešenja jednačina glasePζζGζG () t = ζG sin( ωpt −γζ)oψ() t = ψocos( ωpt−γψ)2ζo= = =AT=ω ⋅ a( ζ p)ζ22 2 2 24ζ ppγγζψ22μζωζ 2ΨζΛζ= arctg = arctg2 2 2ω −ω 1−Λζp22μψωψ 2ΨψΛψ= arctg = arctg2 2 2ω −ω 1−Λω − ω + μ ω Faktori poremećaja definisani su preko prividneaζ( Λ ) 21− + 4Ψ Λ2 2 2ζ ζ ζω ⋅ a2 ψoψ ψψ= = =α2o2 2 2 2ω − ω + 4μψωpP=( ψ p)a( Λ )ψ22 2 2ψΨψΛψ1− + 4ψpfrekvencije, odnosno prividnog perioda talasa...ζψRezultati deluju veoma slično rezultatimavaljanja...Postoje, međutim, dve (naizgled) male razlike...Λζψ ,Tζψ,ωp ωT + vko T= = = =Tpωζψ,ωζψ,ω vkT= + = +ω ω λT o T ( o)ζψ ,Λζψ,voζψ , ζψ, TTako da rezultati direktno zavise od brzinenapredovanja broda v o ...Bezdimenzione amplitude sile (momenta) a ζ , a ψzavise od parametra L/λ T ...PREDAVANJA 2009. 113

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ove “male” razlike bitno komplikuju problem...Analiziraćemo prvo funkcijeP Pζψfζ= , fψ=aζaψkoje nemaju veći fizički č ili tehnički č značaj, ali(formalno) imaju isti oblik kao prenosne funkcijekoje smo proučili u prethodnom odeljku...Jedina razlika je u prividnoj frekvenciji, odnosnofaktoru poremećaja...Sopstvene frekvencije poniranja i posrtanja imajubliske vrednosti...Podsetimo se, sopstveni periodi suδT1( + κζ)Tζ= 2πα g2πjyδ T1( + κ ψ)Tψ= =2πω i α gψyi ne razlikuju za više od 10%, tako da (grubo) važerelacijeω ≈ω , Λ ≈ Λζ ψ ζ ψBrod je u istoj oblasti ljuljanja(potkritičnoj, kritičnoj, natkritičnoj) i zaponiranje, i za posrtanje...Ukoliko je u rezonanciji...PREDAVANJA 2009. 114

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Pri tome, sopstveni periodi ne sadrže nekipogodan parametar, kakav je npr. MG kodvaljanja, preko koga bi projektant mogaoefikasno da utiče na ovu karakteristiku broda...Na sopstvene periode poniranja i posrtanja,može se uticati samo u početnim fazamaprojektovanja...Po pravilu, i prigušenja poniranja i posrtanjase bitnije ne razlikuju...Ali oba su znatno veća od prigušenja broda privaljanju...Zbog toga su rezonantni pikovi funkcija f ζ , f ηznatno niži od rezonantnog pika u slučajuvaljanja broda...Analizirajmo sada uticaj brzine plovidbeApscisa dijagrama je prividna frekvencijatalasa...Tačka na dijagramima predstavljaju brod najednom talasu, ali samo pri jednoj brziniplovidbe...Promenom brzine, tačka (brod) menjasvoje mesto na odgovarajućoj krivoj...Kao što se vidi iz izrazaζT ( o)ζζvoλTΛ = Λ +povećanjem brzine, brod pomera udesno...PREDAVANJA 2009. 115

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Uticaj brzine je potpuno nov u odnosu naplovidbu na bočnim talasima, i dajeznačajnu mogućnost smanjenja ljuljanjabroda...Kao što se kod valjanja j rezonancija moglaizbeći promenom metacentarske visine(odnosno sopstvenog perioda valjanja),kod plovidbe ka talasima rezonancija semože izbeći (ili izazvati) promenom brzineplovidbe.Pi Primer, za bolje razumevanje...Tri broda različite brzine, na istim regularnim talasima...λ T = 200 m, T T = 11,6 sT ζ (s) Λ ζ(ο)v o (kn) Λ ζOblastponiranjaBrod A 6 0,52 0 0,52 potkritičnaBrod B 6 0,52 15 0,75I veoma brzi brod ne dostiže netkritičnuoblast plovidbe...Daleka natkritična oblast, na talasima koji suduži od broda, je nedostižna...Spori brodovi se uglavnom nalaze upotkritičnoj oblasti plovidbe, brzi u kritičnoj,a tek veoma brzi brodovi mogu (i to samoizuzetno) doseći i natkritičnu oblast...Zato se sporiji brodovi obično blaže ljuljajupri plovidbi ka talasima...potkritična –kritičnaBrod C 6 0,52 30 0.98 kritičnaSmenjenje brzine plovidbedeluje povoljno naponiranje i posrtanjebroda...Videćemo da smanjenjebrzine plovidbe, uzudaljavanje odrezonancije, ima i dodatneblagotvorne efekate...PREDAVANJA 2009. 116

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Brodovi s dužim sopstvenim periodimaponiranja i posrtanja upadaće urezonanciju pri manjim brzinamaplovidbe...Odnosno, da bi se brod zadržao upotkritičnoj kiič oblasti iii pri većim brzinama,potrebno je da mu sopstveni periodiponiranja i posrtanja budu što kraći...T( o)ζΛ = Λ + vζζZaključak je suprotan valjanju broda...oZnači, iako su rešenja za valjanje brodaformalno slična rešenjima za poniranje iposrtanje, važe (makar što se sopstvenihperioda tiče) potpuno suprotni zaključci...Za valjanje j su povoljniji j duži, a zaponiranje i posrtanje broda kraćisopstveni periodi ljuljanja...Uz ovu bitnu razliku, dodaćemo još jednuvezanu za daleku natkritičnu oblastljuljanja...λTZamislimo da brod juri ogromnom brzinomka talasima, i tako uspe da dostigne dalekunatkritičnu oblast poniranja i posrtanja...Poniranje i posrtanje broda u tom slučaju bibilo zanemarljivo malo...ali koliko bi to bilo povoljno?Brod ne bi ponirao ni posrtao i, umesto da seljulja, “ronio” bi kroz talase...uz neprekidno i neprihvatljivo zalivanjepalube i stalne udare talasa po nadgrađu...Prethodna analiza odnosila se na “uobičajene”brodove...Postoje i specijalni brodovi, projektovani daplove baš u dalekoj natkritičnoj oblastiponiranja i posrtanja...To su tzv. SWATH(Small Waterplane Area Twin Hull) brodovi...2πTζ= = 2πωζV ( )o1+κζgAVLPREDAVANJA 2009. 117

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________PREDAVANJA 2009. 118

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Analizirali smo funkcije f ( ω ), f ( ω )i proučili važan uticaj brzine plovidbe v o ...ζpψpSada se vraćamo na prenosne funkcijeponiranja i posrtanja⎛ L ⎞P = f (p) a ,ζ ζω ⋅ζ ⎜ ⎟⎝λT⎠LP⎛ ⎞= f (p) aψ ψω ⋅ψ ⎜ ⎟⎝λT⎠i analiziramo (neobičan) uticaj parametra L/λ TMnoženjem funkcija f ( ω ), f ( ω )funkcijama a ( L/ λ ) , a ( L/λ )ζfunkcija f ζ (odnosno f ψ ) raspada se nafamiliju prenosnih funkcija, od kojih svakaodgovara jednoj brzini plovidbe...ζTpψψpTSvaka kriva odgovara jd jednom brodu natalasima svih prividnih frekvencija, prijednoj, konstantnoj brzini plovidbe...Naime, izrazω = ω + vk = gk + v kp T o T T o Tmoguće je rešiti po k Ti iskoristiti2πλT=kTPREDAVANJA 2009. 119

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dobija se, nakon sređivanjaλT=4πv2og + 2ωv − g( g+4ωv )p o p oodnosnoT 2ωTzavo≠ 02πgλ = za vo= 0Sledi da različitim brzinama v o , pri istojprividnoj frekvenciji ω p , odgovarajurazličiti odnosi L/λ T ,odnosno različite vrednosti poremećajnesile a ζ i poremećajnog momenta a ψ .Svakoj brzini v o odgovaraće, prematome, po jedna prenosna funkcija(odnosno )P ψP ζPri veoma malim prividnim frekvencijama,za sve prenosne funkcije važiP , P1ζ ψ →zaωp→ 0To je posledica činjenice da male vrednostiprividne id frekvencije odgovaraju veomadugim talasima...Tako da, uz fζψ ,( 0)= 1Važi iL/ λT 1PREDAVANJA 2009. 120

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Odnosno, s obzirom naa ≈ 1ζψ ,Pri veoma visokim prividnim frekvencijamatalasa, za sve prenosne funkcije važiP , P 0 za ωp→∞→ζ ψ pOvo je posledica činjenice da visokaprividna frekvencija odgovara veomakratkim talasima...ω → ∞, λ → 0, L//λ →∞p T Tpa jef,( ∞ ζψ) → 0 aζψ, → 0Između ovih krajnjih vrednosti, prenosnefunkcije se bitno razlikuju...Pri tome, na karakter funkcija presudno utičeodnos dužine broda i dužine onog talasa nakome dolazi do rezonancije...24πvoλT=g+ 2ωv − g( g+4ωv )p o p oPREDAVANJA 2009. 121

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dužinu talasa na kome dolazi do rezonancijeodređuje se iz izraza λ T = f ( ω p )kada se u njemu smeni ωp= ωζ(odnosno ω = ω )VažiλrezUkoliko jepψ24πvo=g + 2ωv − g( g+4ωv )ζ/ λrezoL 1odnosno ukoliko do rezonancije dolazi nadugim talasimavaži a ( L/ λ ), a ( L/ λ ) ≈ 1ζreza rezonantni pik će ima klasičnu vrednost1( P )rez,( Pζ ψ) rez≈ ( fζ , ψ)rez=2ΨUkoliko jeψL 1/ λrezrez2 ζψ ,odnosno ukoliko do rezonancije dolazina kratkim talasimaζovaži a ( L/ λ ), a ( L/ λ ) ≈ 0ζreza vrednost prenosne funkcije u rezonancijije zanemarljivo mala( P ) ,( P) 0ψrezζ rez ψ rez≈Između ovih (nerealnih) krajnosti, nalazi sefamilija prenosnih funkcija koje odgovarajurazličitim brzinama plovidbe, odnosni različitomodnosu L/λ rez ...Pri tome, većoj v o uvek odgovara dužirezonantni talas, odnosno izraženiji rezonantnipik...PREDAVANJA 2009. 122

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Uočava se da neke od prenosnih funkcija,prvenstveno one koje odgovaraju manjimbrzinama, uopšte nemaju rezonantni pik.Na osnovu ove činjenice, rezonancijumožemo podeliti na opasnu i bezopasnu...Pri bezopasnoj rezonanciji sopstvena iprinudna frekvencija jesu jednake, ali ovupojavu ne prati karakterističan rezonantnipik, odnosno izrazito povećanje amplitudeljuljanja...Oštru granicu između opasne i bezopasnerezonancije je teško povući, jer je (donekle)stvar dogovora šta smatramo za „izraženirezonantni pik”...Uobičajeno je da se kao granica usvajaL λ ≈ 1/rezAko su talasi na kojima dolazi dorezonancije duži od broda, rezonancija jeopasna.Ako su talasi kraći od broda , rezonancija jebezopasna.Već je rečeno da se rezonancija može izbećismanjenjem brzine plovidbe, odnosno da je (stog aspekta) povoljnija sporija plovidba brodaka talasima...Sada zaključujemo da smanjenje brzine ima idodatni povoljan efekat: ukoliko brod upadneu rezonanciji, j, manjim brzinama odgovarajukraći rezonantni talasi, odnosno bezopasnijarezonancija...Smanjenjem brzine brod se, na dijagramimaprenosnih funkcija pomera ulevo, ali i“preskaće” na nižu krivu...PREDAVANJA 2009. 123

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dužina rezonantnog talasaλrez24πvo=g + 2ωv − g( g+4ωv )ζoosim od brzine plovidbe, zavisi i odsopstvene frekvencije poniranja, odnosnoposrtanja broda...Višim sopstvenim frekvencijama, odnosnokraćim sopstvenom periodima, odgovarajukraći rezonantni italasi...Već smo videli da su kraći sopstveniperiodi povoljni za izbegavanjerezonancije...Sada zaključujemo da kraći periodi, sličnokao i manja brzina plovidbe, imaju idodatni povoljan efekat –pri kraćim sopstvenim periodimarezonancija će biti bezopasnija...ζoDa li brod, ploveći ka talasima, upada uopasnu ili u bezopasnu rezonanciju poniranjai posrtanja, predstavlja jedno od njegovihključnih svojstava...Zato ćemo prethodnu analizu dopuniti jednimpreglednim ldi dijagramom za proveru ove važneosobine broda ...tzv. dijagramom tipa rezonancije.Polazimo od izrazaΛT ( o)ζζ= Λζ+ vλTo( o)vλ o = ( Λζ −Λζ)T TζDobija se, nakon sređivanjaFRΛ ζ= −⎛ L⎞⎜ ⎟ ⋅ Tζ⎝ λT ⎠FR=vogL1L2π λTTζ= TζgLPREDAVANJA 2009. 124

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dobijena je zavisnost Frudovog broja odtri bezdimenziona parametra⎛ L ⎞FR= f ⎜Λζ, , Tζ ⎟⎝ λT ⎠Dva, od ova tri parametra, odnose se narezonanciju:parametar Λ ζ određuje da li postoji ili nepostoji rezonancija,a parametar L/λ T određuje da li jerezonancija opasna ili bezopasna...Pretpostavljamo da je brod u rezonanciji1 λ = λΛ ζ = T rezi za taj slučaj funkciju prikazujemo ukoordinatnom sistemuT − ζF RU šumi linija uočavamo krivu za odnosL/λ rez = 1koja (po ranijem dogovoru) deli oblastopasne od bezopasne rezonancije...FRΛζ= −⎛ L ⎞⎜ ⎟ ⋅ Tζ⎝ λT ⎠Za sve krive ispod ove granične linije,parametar L/λ rez je veći od jedan,– rezonancija je bezopasna...Za sva krive iznad ove granice, parametarL/λ rez je manji od jedan– rezonancija je opasna.Granična linijaFR1 1= −T2πζ1L2π λdeli oblast opasne od bezopasne rezonancije...TPREDAVANJA 2009. 125

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________To je “dijagram tipa rezonancije”Dijagram jg tipa rezonancije je univerzalan, usmislu da se (za razliku od dijagrama prenosnihfunkcija) odnosi na sve brodove...Brod, pri jednoj brzini plovidbe predstavlja tačkuu ovom dijagramu...Da li je u opasnom ili u bezopasnom područjuzavisi isključivo od njegovog sopstvenogbezdimenzionog perioda poniranja (odnosnoposrtanja) i od Frudovog broja...Pri tome, jedini proračun za određivanje pozicijebroda u dijagramu predstavlja proračunsopstvenog perioda...Dijagram ne daje kvantitativne podatakeo tome kolika su ljuljanja broda...ali zato veoma pregledno kvalitativnoprikazuje kompleksan uticaj brzineplovidbe i sopstvenog gperioda narezonanciju broda...Što je brod dalje od granične linije, bližekoordinatnom početku, rezonancija jebezopasnija...Granična linija seće apcisu u tačkiT = 2π≈ 2,5ζtako da se brodovi sa većim sopstvenimperiodom nalaze u području opasnerezonancije, i kada ne napreduji...a brodovi sa sopstvenim periodommanjim od 2,5 mogu, povećanjembrzine, dospeti do oblasti opasnerezonancije...PREDAVANJA 2009. 126

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Pri tome je brod sa manjimsopstvenim periodom poniranjauvek u povoljnijem položaju...i graničnu liniju dostiže pri većimbrzinama...Primer, tri broda različitih brzina:L = 100 mT ζ (s) v o (kn) F Rλ rez L/λ rez RezonancijaBrod A 6 0 0 56,2 1,779 BezopasnaBrod B 6 15 0,246 132,6 0,754 OpasnaBrod C 6 30 0,492 198,1 0,504 OpasnaPREDAVANJA 2009. 127

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Pomeranja, brzine i ubrzanja tačaka brodaDiferenciranjem brzina sledekomponente ubrzanjaaC = ζC ≈ ζG −xζ Cψa= ≈ z Cξ C Cψξv = v + vGC G Cv = r ⋅ψGCCxCzcosα C= sinα C=rrProjektovanjem na ose, sledivC ≈ ζG − rCψcosαC = ζG −xζ CψvC ≈ rCψ sinαC = zξ CψCCCa integracijom brzina,komponente pomeranjaζC = zC + ζG −xCψζ ′CξC = xC + zCψξ ′Pri tome važiCξ′ ζ′Zakoni poniranja i posrtanja broda suζ () t = ζ sin( ω t−γ) ,G G poψ() t = ψ cos( ω t−γ) ,opCψζCPREDAVANJA 2009. 128

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Pa je i vertikalno kretanja (poniranje)proizvoljne tačke C harmonijskafunkcija...ζ = z + ζ sin( ω t−γ)C C C op Cgde se za amplitudu i fazni pomerajdobijaγC≈ arctgζ ≈ ζ + x ψ2 2 2C G C oooζ sinγ + x ψ cosγG ζ C ooζ cosγ − x ψ sinγG ζ C ooζζa odgovarajuće prenosne funkcijeζ= =⋅⋅⋅≈ + C 2 2 2 2ζ ζ ψAToP P xCCkTP ζCζoCo2P= = ωpPζ, P ωCCpPζ = =ζCAATNa osnovun poznatih prenosnih funkcijaponiranja i posrtanja broda, moguće je...TζCVertikalna brzina i ubrzanje su ζ = ω ζ cos( ω t −γ)C p C p Co 2ζ =−ω ζ sin( ω t −γ)C p C p CoPrimer...PREDAVANJA 2009. 129

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Za analizu uslova pod kojim talasi zalivajupalubu, ili uslova pod kojim pojedine tačkebroda izranjaju (izleću) iz vode...neophodno je odrediti vertikalnukoordinatu proizvoljne tačke broda uodnosu na slobodnu površinu vode, ζ rel ...Važiζ = ζ () t −ζ() tCrelC Tpri čemu jeζ () t ≈ ζ + A sin( ω t+k x )T VL T p T CPREDAVANJA 2009. 130

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dobija seζrel= ( z − ζ ) +hC C VLC+ ζCsin( ω t− ) − A sin( ωt+k x)opγC T p T C ζ ′( oζ = h + ζ ) sin( ω t−δ)CrelC Crelp Cv = ζ t = ζ ω ω t−δ( o)rel C() cos( )rel Crelp p CCrelPrimer prenosne funkcije relativnogpomeranja proizvoljne tačke broda uodnosu na slobodnu površinu...ζ = ζ + A − 2ζ A cos( k x + γ )( o)2 2C C T C T T C Crel o oζP 1 P 2P cos( k x )( o)Crel2C= = +relC− A TC T C+γCζ ωP 1 P 2P cos( k x )( o)Crelp 2v= = ωrelp+C−ATC T C+ γCPREDAVANJA 2009. 131

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4.5. Plovidba na kosim talasimaPrividna frekvencija talasa zavisi od μSasvim ukratko... ω =± ( ω −vkcosμ )ptako da sve prenosne funkcije zavise iod kursa broda...Primer, 3D prenosne funkcije...u zavisnosti od frekvencije ω To0 ≤ μ ≤ 30°30°≤μ ≤ 60°60°≤μ ≤ 120°120°≤μ ≤ 150°150°≤μ ≤ 180°Plovidba niz talase, talasi skrme (following sea)Talasi s krme – bočno(quartering sea)Plovidba na bočnimtalasima, talasi s boka(beam sea)Fregata,L = 110 m,v o = 25 knTalasi s pramca – bočno(bow sea)Plovidba ka talasima,talasi s pramca (head sea) ωT = const → λT= constPREDAVANJA 2009. 132

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4.6. Spregnute jednačine ljuljanja brodaOpet, sasvim ukratko...Brod ima 6 stepeni slobode, tako da postoje 6jednačina ljuljanja...I u najopštijem slučaju kretanja, nisu svejednačine spregnute...Sistem od 6 jednačina se raspada na dvasistema od po 3 spregnute jednačine...to su diferencijalne jednačine simetričnihkretanja (zaletanja, poniranja i posrtanja)i diferencijalne jednačine nesimetričnihkretanja (zanošenja, valjanja i zakretanja)...Jednačine, sem mešovitih članova, sadrže iuticaj difrakcije talasa...PREDAVANJA 2009. 133

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________( D+ A ) ξ + B ξ + A ζ + B ζ + A ψ + B ψ=ξξ G ξξ G ξζ G ξζ G ξψ ξψcs= F cosωt+F sinωtA ξ + B ξ + ( D+ A ) ζ + B ζ + C ζ + A ψ + B ψ+ C ψ =ζξ G ζξ G ζζ G ζζ G ζζ G ζψ ζψ ζψξpcs= F cosωt+F sinωtA ξ + B ξ + A ζ + B ζ + C ζ + ( J + A ) ψ + B ψ+ C ψ =ψξ G ψξ G ψζ G ψζ G ψζ G y ψψ ψψ ψψζpcs= M cosωt+M sinωtψpζξψpppcs( D+ A ) η + B η + A ϕ+ B ϕ+ A θ + B θ = F cosω t+F sinωtηη G ηη G ηϕ ηϕ ηθ ηθ η p η pA η + B η + ( J + A ) ϕ + B ϕ + C ϕ + ( − J + A ) θ + B θ =ϕη G ϕη G x ϕϕ ϕϕ ϕϕ xz ϕθ ϕθcs= M cosωt+M sinωtA η + B η + ( − J + A ) ϕ + B ϕ + ( J + A ) θ + B θ =θη G θη G zx θϕ θϕ z θθ θθϕpcs= M cosωt+M sinωtθpθϕpp......PREDAVANJA 2009. 134

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4.7. Dodatni problemi valjanja broda4.7.1. Prigušenje pri valjanjuNezavisna a jednačina avaja valjanja jaboda broda nabočnim regularnim talasima glasi( Jx+ m ) ϕϕ+ Mr( ϕ) + gD ⋅MG ⋅ ϕ = gD ⋅MG ⋅αo cosωTtpotM ( ϕ ) = M + Mvisr r rvis lam ( n)= M = n ϕ+ n ϕ⋅ ϕ + ...pot potMrn ϕϕrϕϕprigušenje nije linearno...J m n n n gD MG gD MG tpot lam ( n)(x+ϕ) ϕ+ (ϕ+ϕ) ϕ+ ϕϕ⋅ ϕ + ⋅ ⋅ ϕ = ⋅ ⋅αocosωTSvodimo naJ m n gD MG gD MG t( e)(x+ϕ) ϕ+ ϕϕ+ ⋅ ⋅ ϕ = ⋅ ⋅αocosωTI određujemo ekvivalentno linearno prigušenje ( e)n ϕ= ??PREDAVANJA 2009. 135

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Određivanje nelinearnog prigušenja privaljanju je veoma komplikovano, i jošuvek nije rešeno s dovoljnomtačnošću...Čisto teorijskim putem – za sadanemoguće...Semi – empirijske formule, uglavnomnedovoljno tačne i nepouzdane...Problem je čak i eksperimentalnoodređivanje(razmera)...To je, najverovatnije, najslabijakarika u proračunima ponašanja natalasima...Rečeno je već da prigušenje zavisi iod frekvencije valjanja...Najvažnije je, međutim, prigušenje prirezonanciji...Tipično...tako da nije neophodno određivati prigušenjeza sve frekvencije...Eksperimenti:slobodno, prigušeno valjanje...ili prinudno rezonantno valjanje...PREDAVANJA 2009. 136

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4.7.2. Nelinearno valjanjeDiferencijalna jednačina nezavisnognelinearnog valjanja broda na bočnimtalasima glasi( J + m ) ϕϕ + M ( ϕ) + M ( ϕ) = M ( ω t)x r st T Tpri čemu sva tri momenta Mr, Mst,MTmogu biti nelinearna...Pod nelinearnim valjanjem, međutim,proučavamo samo uticaj momentastabiliteta...Do sada smo koristili aproksimacijuMst≈gD⋅ MG⋅ϕSada, stvarnu vrednostMst= gD⋅h( ϕ)Diferencijalna jednačina valjanja se tadasvodi na2 2 ϕ+ 2μ ϕ+ ω h( ϕ) = ωα cos( ωt+ε )gde jeϕ ϕ st ϕ o T Thst( )hϕst( ϕ ) =MGPotrebno je bezdimenzioni krak stabilitetaprikazati (npr) u formi polinoma3 5 7h= ϕ+ c ϕ + c ϕ + c ϕ + ...st 3 5 7i numerički rešiti diferencijalnu jednačinu...PREDAVANJA 2009. 137

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dobija seRešenja nelinearne jednačine, za razliku odlinearne, ne predstavljaju harmonijske funkcije...ali i ona su periodične funkcije vremena čijaamplituda, nakon početnog prelaznog perioda,postaje tj (makar prividno) iid )konstantna...tIako se i oblik, i period razlikuje se ododgovarajućeg linearnog rešenja,najvažnija razlika javlja se u amplitudamavaljanja...Prema linearnoj teoriji, brod se ne možeprevrnuti na bočnim talasima...Prenosne funkcije nelinearnog valjanjaimaju “krivu kičmu”,odnosno tipično izgledaju...PREDAVANJA 2009. 138

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Problem je komplikovan...Mogu postojati npr. višeznača rešenja urezonantnoj oblasti..To je oblast histerezisa, dolazi doo je ob ast ste e sa, do a dobifrukacije...PREDAVANJA 2009. 139

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________4.7.3. Parametarsko valjanjeBrod koji plovi ka talasima (ili niz talase)vršiće, od svih šest komponenti ljuljanja,samo poniranje i posrtanje...Tk Tako makar predviđa teorija koju smo dosada izložili...Jednačina valjanja broda u takvimuslovima glasi( x ϕ)J + m ϕ + n ϕ + gD⋅MG⋅ ϕ = 0ϕi identična jednačini valjanja broda namirnoj vodi...Svaki eventualni poremećaj koji bi doveodo naginjanja broda oscilatorno bi opadao i,posle izvesnog vremena, nestao...Praksa, međutim, pokazuje i drugačijeponašanje broda:pri određenim brzinama plovidbe ka, i niztalase, može se javiti i valjanje broda...To je tzv. parametarsko valjanje...U slučaju da je prividna frekvencija talasadvostruko veća od sopstvene frekvencijevaljanja broda...i da je dužina talasa približno jednaka dužinibroda...ovo valjanje može porasti do veoma opasnihamplituda...To je slučaj tzv. parametarske rezonancije.Iako se parametarsko valjanje broda proučavlodecenijama...u širim brodograđevnim krugovima smatralose da je reč o interesantnom teorijskomfenomenu, koji se može reprodokovati ustrogo kontrolisanim eksperimentima, ali kojine predstavlja opasnost za realne brodove urealnim olujama...Pojavom velikih kontejnerskih brodovakrajem dvadesetog veka, stvari su seneočekivano i bitno promenile...PREDAVANJA 2009. 140

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Projektanti kontejnerskih brodova su, težeći dapovećaju palubu za smeštaj kontejnera, brodskimrebrima davali sve veći poprečni nagib (fler), i toposebno u krmenom delu broda...Dobijene forme su delovale povoljno s aspektaponašanja na talasima:izrazita V – rebra i puna vodna linija su, u principu,pogodni za poniranja i posrtanja broda...Dugi sopstveni periodi valjanja, koji su posledicamale MG, pogodni su za valjanje broda...Projektanti tisu, međutim, đ prevideli sklonost ovakvihformi ka parametarskom valjanju...Rezultati su bili zastrašujući...Ogromni kontejnerski brodovi su se “divlje” valjajupri plovibi ka olujnim talasima...i to posebno u situacijama kada bi zapovednik, uželji da smanji poniranje i posrtanje, smanjivaobrzinu broda...U takvim uslovima su se veze kontejnera kidale, abrodovi su stizali u luke sa razbacanim, oštećenim ipogubljenim teretom...Parametarsko valjanje j je, odsporednog fenomena, postalo jedna odnajaktuelnijih oblasti dinamike brodana početku 21. veka...A epizoda sa velikim kontejnerskimbrodovima na prelazu vekova ostaćekao opomena do čega može dovestiuvođenje novih formi...bez sveobuhvatnog sagledavanja svih,pa i sasvim neočekivanih aspekata iopasnosti.PREDAVANJA 2009. 141

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Objašnjenje...Pri izvođenju jednačine valjanjapretpostavljeno je da je metacentarska visinabroda konstantna...Međutim, ukoliko brod plovi upravno natalase, oblik uronjenog dela trupa, a time ioblik vodne linije, se kontinualno menja...Ova promena je prvenstveno posledica talasa,čiji bregovi i dolje mimoilaze brod, ali(donekle) i poniranja i posrtanja samog brodaizazvanog talasima...Najveće razlike u obliku vodne linije javljajuse pri talasnoj dužini jednakoj dužini broda...i to između slučajeva kada je brod na bregu ikada je brod na dolji talasa...Posebno su ugroženi brodovi s izraženompromenom oblika vodne linije s gazom...odnosno brodovi s velikim poprečnimnagibom rebara na svom pramčanom ikrmenom delu...VažiodnosnoMG = FK + MF −GKMG = M ( )oG + fMG ωptconstIxMF = VPretpostavljamo, približno1f ≈ MGMG cospt2 Δ ⋅ ωoPREDAVANJA 2009. 142

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Sledi1⎞Jx+ m ϕ + n ϕ + gD⋅ ⎜MoG+ ΔMG ωpt ϕ = 02⎟⎝⎠( ) ⎛ϕ ϕcosodnosno( cosp) ϕ+ μ ϕ+ ω + ε⋅ ω ϕ =22ϕ ϕ1 t 0gde jeΔMGε =2M GoI pored toga što se od diferencijalne jednačinevaljanja broda na mirnoj vodi razlikuje samoza jedan harmonijski član...dobijena diferencijalna jednačina jeneuporedivo komplikovanija...Svodi se, pogodnom transformacijom, na tzv.diferencijalnu ijl jednačinu jd Matjea (Mathieu)...a njena rešenja se mogu prikazati samo uformi specijalnih funkcija, poznatih kaofunkcije Matjea...Jednačinu možemo prikazati u obliku2 2ϕ + 2 μ ϕ + ω ϕ = − ε ⋅ ω ϕ⋅cosωtϕ ϕ ϕkoji liči na jednačinu prinudnog valjanja...pri čemu je sada pobudni član na desnoj stranijednačine posledica promenljivog parametrau samoj jednačini ...Odatle se ovakvo valjanje j i naziva“parametarsko”.U jednačini se javljaju dve frekvencije, patreba očekivati rezonanciju...Problem je, međutim, znatno složeniji...Rešenje jednačine valjanja na mirnoj vodi,eksponencijalno opada s vremenom...Rešenje jednačine valjanja na talasima težiharmonijskoj funkciji...Jednačina parametarskog valjanja ima idrugačije rešenje...pPREDAVANJA 2009. 143

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Rešenje može biti stabilno, i nestabilno...što zavisi od parametaraμΨϕ=ωωpΛϕ=ωϕϕϕΔMGε =2M GoPostoji beskonačno mnogo“parametarskih” rezonancijau okolini kojih je rešenje nestabilno...2Λ ϕ= , n = 1, 2, 3, 4...nSlede iz tzv. Ins-Stratovog (Ince-Strutt)dijagrama (važi za Ψ φ = 0)Glavna parametarskarezonancija je Λϕ= 2PREDAVANJA 2009. 144

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Da bi se rezonancija javila, potrebno je daΨ φ bude dovoljno maloi da ε bude dovoljno veliko...Dijagram asa prigušenjemVaži, približno2( ϕ) ≈ ⎡ − ( . ⎤ϕ) + ( ϕ ϕ)2 2εmin Λ 2 a 1 05Λ Ψ Λ⎢⎣⎥⎦a = 1, 25 za Λ < 2,a = 1za Λ ≥ 2ϕϕParametar ε je najveći... ukoliko je λ T = LUslovi glavne parametarske rezonancijesu, prema tomeParametar ε mora biti i veći od pragaparametarske rezonancije ...ΔMGε = > ε2M GominΛ ≈ 2, λ ≈ L,ε > εϕTminPrva dva uslova mogu se prikazati u formidijagrama parametarske rezonancijePREDAVANJA 2009. 145

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Za plovidbu ka talasima,polazi se odω = ω + vkp T o Tv =⋅⋅⋅oi, za uslove glavneparametarske rezonancijeΛϕ= 2, L/ λT= 1nakon sređivanja dobija...FR2 1= −T2πϕ1 2FR= − za slučaj2πT ϕ1 2FR= + za slučajπ T 2 ϕvvoo< c> cTTNa isti način, za plovidbu niztl talase, sledi ldiPrema linearnoj teoriji, brod se u slučajuparametarske rezonancije prevrće...Realno, ljuljanje postaje nelinearno,a amplituda neraste do beskonačnosti...PREDAVANJA 2009. 146

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5. LJULJANJE NA NEREGULARNIM TALASIMAValjanje, poniranje i posrtanje broda na regularnimtalasima opisuju diferencijalne jednačine oblika2AZZ + 2 μ Z Z+ ω ZZ + = ptZD mω −+δ... sin ( )Član na desnoj strani jednačine predstavljaporemećajnu silu (ili moment) kojom talasi deluju nabrod...Neregularni talasi predstavljaju zbir beskonačno mnogoregularnih talasa različitih frekvencija, od kojih svakistvara odgovarajuću silu i moment...Diferencijalna jednačina ljuljanja broda naneregularnim talasima, prema tome, glasi∞1 2Z + 2 μ ZZ + ω Z Z + = AZn in tZnD mω −+ ∑δZ... sin ( )Z n=1gde ω n predstavlja n-tu komponentu prividnefrekvencije talasaRešenje jednačine se sastoji izzbira opšteg rešenja homogenogdela...i jednog od njenih partikularnihintegrala...Partikularni integral jednačineima oblik∞∑n 1=∑Z () t = Z sin( ω t−γ)on n ZnS obzirom da homogeni deorešenja diferencijalne jednačineeksponencijalno opada iisčezava...ovo rešenje, posle izvesnogvremena, predstavlja ukupnoljuljanje broda na neregularnimtalasima...PREDAVANJA 2009. 147

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Zaključujemo:Kao posledica činjenice da neregularnitalasi predstavljaju zbir beskonačnomnogo regularnih, sinusnih talasarazličitih frekvencija...i ljuljanje broda na neregularnim talasimapredstavlja beskonačan zbir ljuljanja naovakvim regularnim komponentama.To je princip superpozicije...koji omogućava da se relativnojednostavno dođe do kretanja broda urealnim uslovima, ukoliko su poznatarešenja na regularnim talasima...Ključni uslov principa superpozicije jelinearnost jednačina koje opisujukretanje.Ukoliko ove jednačine nisu linearne,ovakav princip ne važi...a određivanje ljuljanja na neregularnimtalasima postaje daleko složenije.Sledi da je, za određivanja zakona ljuljanjabroda na neregularnim talasima, potrebno jerešiti ljuljanje na valikom broju regularnihkomponenti...i zatim sabrati tako dobijena rešenja.Za ovakav postupak je neophodno poznavatioblik neregularnih talasa, odnosno znatiamplitude regularnih komponenti A n , kojeodgovaraju svakoj (n-toj) prividnoj frekvencijitalasa ω n .Ιako brodograditelj ne zna ove amplitude uuslovima realnih oluja...on poseduje tzv. standardne spektreneregularnih talasa iz kojih možerekonstruisati površinu uzburkanog mora...Pokazaćemo, međutim, da se ljuljanje broda naneregularnim talasima može rešiti ijednostavnije, bez određivanja pojedinačnihamplituda talasa...direktno iz poznatog spektara talasa, primenomtzv. spektara ljuljanja broda.PREDAVANJA 2009. 148

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.1. Spektri i statističke vrednosti ljuljanjabrodaIz izraza za prenosnufunkciju ljuljanjamoguće je dobitiZPZ( ωn)=Aon( ω )n( ω )2 2Zo( ωn) 2 An( ωn)2PZ ( ωn) PZ ( ωn) ST( ωn)2⋅Δω= 2⋅Δω= ⋅ppri čemu je iskorišćenop1ST( ωn) =2nA n n2n( ωn)ΔωDefinisaćemo, analogno spektru talasa, spektarljuljanja broda (spektar valjanja, poniranja,posrtanja...)21 Z ( )oωS ( ) =nBωn2 ΔωSledi formula2S ( ω ) = P ( ω ) ⋅S( ω )B n Z n T nppUkolikoΔω→ dωpdiskretne vrednostiS ( ω ), P ( ω ), S ( ω )T n Z n B npostaju kontinualne funkcije prividnefrekvencije ω pS ( ω ), P ( ω ), S ( ω )tako da važiT p Z p B p2S ( ω ) = P ( ω ) ⋅S( ω)B p Z p T pTo je ključna relacija proračuna ljuljanjabroda na neregularnim talasima...Omogućava da se, iz zadatog spektraneregularnih talasa i poznate prenosnefunkcije ljuljanja broda,odredi spektar ljuljanja broda naneregularnim talasima.pPREDAVANJA 2009. 149

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ukoliko, kod rotacionih kretanja, koristimoprenosnu funkcijuZo( n) Zo( n) PZ( n)Pω ω ωZ( ωn)= = =α ( ω ) k ( ω ) A ( ω ) k( ω)n n n n n n n nsledi alternativna formula222SB ( ωp) = PZ( ωp) ⋅ k ST( ωp) = PZ( ωp) ⋅S α( ωp)gde je Sα ( ω p) tzv. spektar nagiba talasa...Ukoliko se vrednosti spektra ljuljanja nanesunad ogdovarajuće frekvencije ω n sa korakomΔω p ...dobiće se stepenasta linija...Površina pod svakim od ovako dobijenihihstepenika iznosi1 2SB ( ωn) ⋅ Δωp = Zo( ωn)2a ukupna površina ispodstepenaste linije je∞∞S∑B n p∑o nn= 1 n=11 2( ω ) ⋅ Δω = Z ( ω )2Dokazano je ranije da za neregularnetalase važi relacija∞( T)1 2σ = ∑oAn( ωn)2n=1To je tzv. Persevalova teorema... kojavaži i za ljuljanja brodaPREDAVANJA 2009. 150

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Važi, prema tome12∞∑n = 1Z( ω ) = σ2 ( B)o n osledi ldi∞∑n = 1S ( ω ) ⋅ Δω = σ( B)B n oAko, daljedobija se∫0∞Δω→ dωSp( B)B p p op( ω ) dω = σZaključimo, ukoliko se odredi spektar ljuljanjabroda...njegovom integracijom po prividnimfrekvencijama, sledi srednje kvadratno odstupanjeljuljanja...Odatle slede i ostale statističke veličine ljuljanjabrodaPovršina ispod funkcije spektraljuljanja broda jednaka je srednjemkvadratnom odstupanju ljuljanja brodaod njegovog ravnotežnog položajaRMSZB=σ( B)o= 125 , ⋅ RMSB1/3 BZ≈ 2⋅RMS...PREDAVANJA 2009. 151

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Šematski S ( ω ) = P 2 ( ω ) ⋅S( ω )v p v p T p2S ( ω ) = P ( ω ) ⋅S( ω )a p a p T pgde suP,Pvaprenosne funkcije brzine, odnosnoubrzanja pri ljuljanju broda...Analogno spektru ljuljanja, mogu sedefinisati spektri brzine i ubrzanja ljuljanjaS ( ω ) =vn21 vZ( ωn)2 Δω pSa( ω ) =Postupkom prikazanim za spektarljuljanja, moguće je dokazati da važeformulen21 aZ( ωn)2 Δω p∫(0∞Površina ispod spektara brzine iubrzanja suS ( ω ) dω = σ( v)v p p o∫S duge strane, na osnovu relacija0∞S( ω ) dω = σa)a p p o2PPv = ωp Pa= ωpPZZsledi2 2 2S ( ω ) = ω P ( ω ) ⋅ S ( ω ) = ω S ( ω )v p p Z p T p p B p4 2 4S ( ω ) = ω P ( ω ) ⋅ S ( ω ) = ω S ( ω )a p p Z p T p p B pPREDAVANJA 2009. 152

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________∫∫tako da važe relacije∫∫∞∞2 ( B)Sv( ωp) dωp = ωpSB( ωp)dωp = σ20 0∞∞4 ( B)Sa ( ωp ) dωp = ωp SB ( ωp )dωp = σ40 0Slediσ= σ( v) ( B)o 2σ= σ( a) ( B)o 4Ključna formula proračuna ljuljanja broda naneregularnim talasima2S ( ω ) = P ( ω ) ⋅S( ω )B p Z p T pmože se se koristiti u još dva važna tehničkaproblema...VažiSB( ωp)PZ( ωp)=S ( ω )odnosno daje prenosnu funkciju u slučajupoznatog spektara ljuljanja i spektra talasa...TpKoji je to tehnički problem?Pri eksperimentima u bezenima za modelskaispitivanja ljuljanja broda...pomoću specijalnih uređaja (tzv. generatoratalasa) stvore neregularni talasi poznatogspektra,postavi model broda i meri njegovoljuljanje...Spektralnom analizom izmerenih vrednostiljuljanja... određuje se spektar ljuljanjabroda.Formula tada daje prenosnu funkcijuljuljanja broda...Do prenosne funkcije se tako dolazi samojednim eksperimentom na neregularnimtalasima...Alternativno, prenosna funkcija ljuljanja bise mogla odrediti merenjem na regularnimtalasima...ali bi tada bio neophodan veliki brojeksperimenata.PREDAVANJA 2009. 153

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Važi, takođeSSBT( ωp)=2PZ( ω )p( ω )odnosno iz formule se može odrediti spektar talasa uslučaju č poznatog spektra ljuljanja j i poznate prenosnefunkcije.Gde se javlja takav problem?Već je spomenuto da se talasi na svetskim morima iokeanima decenijama sistematski mere...Kako se može meriti talas sa plovnog objekta(okeanografskog broda, bove) ukoliko se sam objekatljulja?Ne mere se talasi, već ljuljanje plovnog objekta...Spektralnom analizom ljuljanja sledi spektar ljuljanja...Tada, iz poznate prenosne funkcije plovnog objekta...sledi i spektar neregularnih talasa.Formula, prema tome, predstavlja ključ zaokeanografska merenja spektara neregularnih talasa...pNa osnovu proračunatih statističkihvrednosti ljuljanja,moguće je odrediti i verovatnoćuda će amplituda ljuljanja biti većaod neke unapred zadate vrednosti...Na osnovu činjenice da zaamplitude ljuljanja približno važiRejlijeva raspodelaf( Z ) Z⎛exp⎝Z2ooo≈( B) ( B)σ ⎜−o2σoverovatnoća da će amplitudaljuljanja Z o biti veća od vrednostiZ d iznosi⎞⎟⎠PREDAVANJA 2009. 154

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________∞∞2 21ZoZdo>d=∫o o=∫( B) o−( B) o= −( B)Zσo Z2σo 2σo⎛ ⎞ ⎛ ⎞V( Z Z ) f( Z ) dZ Z exp ⎜ ⎟dZ exp⎜ ⎟dd ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Na isti način, verovatnoće da će amplitude brzine i ubrzanja pri ljuljanju bitiveće od neke unapred zadate vrednosti, iznose∞∞221 ⎛ v ⎞ ⎛∫ ∫vdd ( B) ( B) ⎜ ( B)vσ2 v2σ2 2σ2⎞Vv ( > v) = fvdv ( ) = v⋅exp⎜− ⎟dv= exp⎜−⎟dd ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∞∞22∫1∫aadd ( B) ( B) ( B)aσ4 a2σ4 2σ4⎛ ⎞ ⎛ ⎞V( a > a ) = f( a) da = a⋅exp ⎜− ⎟da = exp⎜−⎟dd ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Umesto verovatnoće, mogu se odrediti i srednje frekvencije pojavljivanjaamplituda većih od Z d , v d , odnosno a d ...p d , d , dVeza verovatnoće V i odgovarajuće srednje frekvencije (u hercima) glasiVf ( Hz)= =T 2σ( B)V o( B)pπ σ2Odnosno, srednji broj događaja na čas, iznosif ( 1/ h) = 3600 ⋅ f ( Hz)PREDAVANJA 2009. 155

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Primer ljuljanja na kosim neregularnim talasima...Kada se primeni postupak...2S ( ω ) = P ( ω ) ⋅S( ω )B p Z p T p∞( B)SB ( ωp)dωp = σo∫0...Test brod je fregata dužine 110 m, pri brziniod 25 knPREDAVANJA 2009. 156

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________PREDAVANJA 2009. 157

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.2. Posledice ljuljanja brodaViše puta je naglašeno da ljuljanje brodadovodi do niza pojava koje su nepovoljne zasam brod, za teret, za posadu i putnike...Sada, kada smo proučili osnovne principeproračuna ljuljanja broda...možemo se pozabaviti najvažnijim od ovihnegativnih posledica ljuljanja...5.2.1. Zalivanje palube, izletanjepropelera, slemingPojave razmatramo zajedno zbog sličnostimetoda koje se koriste pri njihovoj analizi...Takođe, zato što su sve tri najopasnije priplovidbi broda pramcem ka talasima...I dok su prve dve jasne već po svom nazivu...sleming je neophodno dodatno objasniti...PREDAVANJA 2009. 158

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Pri analizi zalivanja palube, izletanjapropelera i pramčanog dela brodskog dna,iskoristićemo izraz( oζ = h + ζ ) sin( ω t−δ)CrelC Crelp Ckoji (za slučaj regularnih talasa) dajezavisnost relativnog rastojanja proizvoljnetačke broda od slobodne površine vode...Interesuju nas uslovi pod kojim ćeproizviljna tačka C, koja se u ravnotežinalazila na visinu h C nad neporemećenomslobodnom površinom, biti zalivenavodom...odnosno uslovi pod kojim će tačka C kojaje bila na dubini h C , izroniti iz vode.Do uranjanja, odnosno izletanja tačke Cdoći će ukoliko njena relativna koordinatau nekom trenutku promeni znak...Ovaj uslov, na osnovu činjenice da sinusnafunkcija osciluje između vrednosti ±1, dajejednostavnu relacijuζ >( o )CrelhCgde je, na osnovu ranijeg izvođenjaζ = ζ + A − 2ζ A cos( k x + γ )( o)2 2C C T C T T C Crel o oAko ovaj rezultat primenimo na karakterističnetačke...Dobijamo uslove zalivanje palube, izletanjepropelera, izletanje pramčanog dela dna...ζ >( o )KrelhKζ >( o )PrelhPζ > T( o )DrelPREDAVANJA 2009. 159

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Uslov izranjanja pramčanog dela dnajeste potreban, ali ne i dovoljan uslovsleminga...Da bi došlo do karakterističnih udara dnao površinu vode, neophodno je (dodatno)da brzina dna u odnosu na površinu vodebude dovoljno velika...Minimalna vertikalna brzina dna uodnosu na površinu vode pri kojoj dolazido sleminga, tzv. granična brzina, iliprag sleminga (v ps ) obično se izražavapreko odgovarajućeg Frudovog brojav( ps) psF =RgLOvaj broj određen je eksperimentalno(Ochi1964) i približno iznosiiSlediF ≈ 0,091( ps)Rvps≈ 0,091 gLVertikalna relativna brzina dna broda u odnosuna slobodnu površinu regularnog talasa jev t t( o)rel= ζC () = ζ cos( )rel Cωrel pωp −δCUslovvrel> vprema tome dajepsω ζ >( o )p D0,091 gLSlede uslovi sleminga na regularnimtalasimaζ > T( o )Drelω ζ >relrel( o )p D0,091 gLPređimo sada na neregularne talase...PREDAVANJA 2009. 160

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Princip proračuna ljuljanja na neregularnimtalasima prema kome se, iz poznatih prenosnihfunkcija ljuljanja i poznatog spektra talasa,određuju se spektri ljuljanja...važi i za relativna kretanja –relativno vertikalno pomeranje i relativnuvertikalnu brzinu proizvoljne tačke broda u odnosuna slobodnu površinu vode...Važe formule∫∫∞2S ( ω ) = P ( ω ) ⋅S( ω )rel p C p T p( v ) 2 2 2S ( ω ) = ω ⋅P ( ω ) ⋅ S ( ω ) = ω ⋅S( ω )rel p p C p T p p rel pSledi0Srel( ω ) dω = σ( rel)rel p p o∫gde jerelPCrelζ=A( o)C∞∞( v) 2 ( rel)Srel ( ωp ) dωp = ωpSrel ( ωp ) dωp = σ20 0relTNa osnovu ranije izvedenih formulaza verovatnoću...V( Z )⎛exp⎝Z2do> Zd = ⎜−( B)2σo⎛ vVv ( > vd) = exp⎜−⎝ 2σSledi i2d( B)2⎛hV( ζC> h) = exprel ⎜−⎝ 2σo2⎞⎟⎠⎞⎟⎠( rel)2⎛ vVv (C> v) = exp⎜−rel⎝ 2σ( rel )2što je moguće direktno primeniti nakarakteristične tačke zalivanja palube,izletanja propelera i sleminga...⎞⎟⎠⎞⎟⎠PREDAVANJA 2009. 161

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________V2( o)K( ζK> h ) exprel K= ⎜−( rel)2σoV( ζ ) ⎛exp⎝⎛⎝hh2( o)PP> hrel P= ⎜−( rel )2σo⎞⎟⎠⎞⎟⎠Vζ( o)(D) exprel⎛ T> T = ⎜−⎝ 2σ2( rel)o⎞⎟⎠2( o)ps(D> v ) exprel ps= −⎜ ( rel)2σ2V v⎛⎝v⎞⎟⎠2 2 22⎛ T ⎞ ⎛ v ⎞ ⎡ ⎛psT v ⎞⎤psV( slem) = exp ⎜− exp exp( rel ) ( rel) ( rel) ( rel )2σ ⎟⋅ − = ⎢− +⎥⎜o2σ ⎟ ⎜22σo 2σ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ 2 ⎠⎥⎦( rel)V o( rel)pπ σ2Vf ( pojava / čas)= 3600 = 3600T 2σPREDAVANJA 2009. 162

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Primer, mali kontejnerski brod,L = 110 m, v o = 12 knPlovidba ka talasimaNije moguće napraviti brod koji se nećeljuljati na talasima, kao ni brod kod koga seneće javljati niz nepovoljnih posledicaljuljanja...Međutim, projektant broda jeste umogućnosti da (donekle) podesi parametrebroda tako da svi nepovoljni efekti dostižumaksimalno dozvoljene vrednosti (norme)pri približno istoj jačini oluje...Samo takav brod će, s aspektapomorstvenosti, biti dobar brod...Na kosim talasima...Pun brod, dobro uravnotežen...PREDAVANJA 2009. 163

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ukoliko dođe do sleminga, veoma je bitnajačina udara brodskog dna o površinu vode...Pritisak na dnu broda zavisi od brzine udara,ali i od forme pramčanih rebara...Pritisak pri slemingu može se izraziti prekoamplitude relativne vertikalne brzine dna uodnosu na površinu vode2 2 ( o)2ps = 1 ρcsv 1rel= ρcsωpζDrel2 2Koeficijent ij c s zavisi, iiprvenstveno, odporečnog nagiba rebara (tzv. flera) uokolini pramca broda...U slučaju ravnog dna, koeficijent pritiskaje najveći, i smanjuje se kako rebrapostaju oštrija...Tako su tipična U-rebra, s aspekta pritiskapri slemingu, nepovoljnija od V-rebara...Koeficijent se određuje eksperimentalno,ili (aproksimativno) teorijskom formulom⎛1cs1 ctgp2 π θ ⎞= + ⎜ ⋅ ⎟⎝ ⎠Važi za uglove veće od 20°...Ukoliko se odredi( rel)σ 2može se odrediti srednja, značajna...ali i (najverovatnija) maksimalna relativnabrzina...2PREDAVANJA 2009. 164

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________v 2 N(= σrel )lnmax 2N = 3600⋅ f ⋅t oPrimer malog kontejnerskog brodah 1/3 = 5,5 mfV V= =T 2πσσ( rel)o( rel)2t o vreme trajanja oluje (npr. 2 časa)Najverovatniji maksimalnidinamički pritisak na dno brodapri slemingu, tokom t o časovatrajanja oluje, jep= 1cv2 ρ2max s maxPREDAVANJA 2009. 165

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.2.2. Dodatni otpor i spontanosmanjenje brzine na talasimaPri plovidbi po mirnoj vodi, na brod delujudve sile u pravcu kretanja: potisak propelerau smeru brzine, i otpor broda nasuprotbrzini plovidbe...Ukoliko je brzina plovidbe konstantna, ovedve sile su jednakog intenziteta i nalaze se udinamičkoj ravnoteži...Posmatraćemo sada odgovarajuće sile priplovidbi broda konstantnom brzinom v opramcem ka talasima...Poniranje i posrtanje broda na talasima suprigušena oscilatorna kretanja, odnosnokretanja tokom kojih se gubi energija...Fizički, ički energija se troši na sistem talasakoje brod stvara svojim ljuljanjem...Posledica je manja brzina plovidbe, ili većiotpor broda pri nepromenjenoj brzini...Da bi brzina plovodbe na talasima ostalanepromenjena – jednaka brzini na mirnojvodi, neophodno je da energiju koja se gubitokom ljuljanja nadoknadi brodskipogonski motor.On mora, preko propelera, stvarati većusilu potiska, i njome savladati dodatni otporbroda na talasima...Preciznije, ako pretpostavimo p da brodplovi konstantnom brzinom v o pramcemka talasima (pretpostavimo da nemazaletanja) ukupni otpor broda će bitipromenljiv, R = R(t) .Ukoliko su talasi regularni, ova promenaotpora je oscilatorna, ,prividnomfrekvencijom talasa ω p ...a srednja vrednost otpora tokom jednogciklusa ljuljanja (tokom perioda T p )iznosiPREDAVANJA 2009. 166

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________1R =∫ Tp 0T pRtdt ()i veća je od otpora broda na mirnoj vodi R oOdredićemo, kao prvi i nejteži korak,energiju koja se gubi pri poniranju iposrtanju broda...Izvođenje ćemo, zbog jednostavnosti,sprovesti na uprošćenom modelu poniranjai posrtanja broda na mirnoj vodi, beznapredovanja...Može se pisatiR = R +ΔRgde je ΔR srednji dodatni otpor broda naregularnim talasima.Izvešćemo sada izraz za ovaj dodatni otpor.oVertikalna hidrodinamička sila koja delujena proizvoljni element (traku) dužine dxtokom njenog poniranja i posrtanja namirnoj vodi diiznosiidf ′ =−ζn′ dx −ζm′dxdf ′prPREDAVANJA 2009. 167

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________df pr ′predstavlja elementarnu siluprigušenja...S obzirom da traka, pri poniranju i posrtanjubroda, vrši približno vertikalno kretanje(poniranje)...rad sile prigušenja na elementarnompomeranju trake jedA = df ′ ⋅ dζ = − ζ n′dx ⋅ dζ=prdζ dt2=−ζ ndx ′ ⋅dζ ⋅ =−n′ ζ dxdtdt dζOvaj elementarni rad jednak je energiji koja seizgubi pri kretanju trake tokom vremena dt.Ukupna izgubljena energija broda tokomjednog ciklusa ljuljanja T p ...dobija se integracijom izraza za dA po dužinibroda i po vremenuΔ=∫∫2E nζdxdtLTp′ Dobijeni dvostruki integral predstavlja,prema tome, energija koja se gubi priponiranju i posrtanju broda na mirnoj vodi,tokom perioda T p ...Ukoliko brod, tokom poniranja i posrtanja,vrši i napredovanje konstantnom brzinom v o ,izraz postaje nešto komplikovaniji.dm′n′ →n′−v dxpa je odgovarajući izraz za gubitakenergijeΔ⎛ dm′⎞= ∫∫ ⎜ ′ −dx⎟⎝ ⎠2E n voζdxdtLTpUkoliko slobodna površina nije mirna,već brod plovi ka regularnim talasimadužine λ T ...oPREDAVANJA 2009. 168

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________u izrazu za energiju će se, umesto apsolutnebrzine poniranja proizvoljne tačke broda,javiti relativna brzina te tačke u odnosu naslobodnu površinu vode... ζ → v relIzraz za gubitak energije je tada⎛ dm′⎞ΔE = n −v v ⋅dxdt∫∫⎜ ′odx⎟⎝ ⎠LTp2relVreme se javlja samo u izrazu za v rel ...Integracijom po vremenu dobijamoTpTp∫2 ( o)22∫2rel rel p p0 0Slediv dt = ζ ω cos ( ω t− δ)dt =( o) 22 ( o)21rel pT2 p rel p= ζ ω ⋅ = πζ ω⎛ dm′⎞ΔE = πω n −v ζ dx∫( o) 2p ⎜ ′o reldx⎟⎝ ⎠LPreostaje da se ovaj gubitak energije povežes dodatnim otporom ΔRTo je relativno jednostavno...Gubitak energije ΔE tokom jednog ciklusaljuljanja j j jednak je radu sile dodatnog otporana pomeranju koje odgovara tom ciklusu...Sila otpora je horizontalna, a horizontalnopomeranje broda koje odgovara perioduljuljanja T p jednako je talasnoj dužini λ T ...Važi, prema tomeOdnosnoT∫LΔ E = Δ R⋅λπωp ⎛ dm′⎞ ( o) ΔR = n′v 2oζreldxλ⎜ −dx⎟⎝ ⎠To je tražena formula za dodatni otpor brodapri plovidbi konstantnom brzinom karegularnim talasima...Formula Heridzme i Bukelmana (Geridsma& Bukelman 1972)TPREDAVANJA 2009. 169

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________PrimerΔRIako je formulabezdimenzionog ΔR=2 2dodatnog otporaρ ATB / Lπωp ⎛ dm′⎞ ( o) ΔR = n′v 2oζreldxλ⎜ −dx⎟⎝ ⎠kontejnerski broda L = 175 m...T∫Lrelativno komplikovana, neke bitne osobinerezultata koje ona daje mogu se odmah uočiti...Prvo, dodatni otpor postoji i ukoliko nemanapredovanja broda...Pogonski sistem, prema tome, mora stvaratipotisak da bi obezbedio nepromenjenu pozicijubroda na talasima...Drugo, otpor može postojati, pri visokimfrekvencijama, i ukoliko nema ljuljanja broda...Treće, iako se ljuljanje smanjuje s porastomprigušenja n' , dodatni otpor raste s porastomovog koeficijenta...Zato brodovi čija je forma dobra sa stanovištaponiranja i posrtanja, mogu imati veliki dodatniotpor, veći od dodatnog otpora „loših“ formi.PREDAVANJA 2009. 170

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Formula Heridzme i Bukelmana izvedena je podpretpostavkom da brod plovi pramcem karegularnim talasima...Dodatni otpor na neregularnim talasima, možese, na osnovu principa superpozicije, izračunatikaoNΔR= ∑ ΔRn( ωn)n=1Za dodatni otpor na neregularnim talasima,međutim, najčešće se koristi nešto drugačija,integralna formula.Izraz se transformišeΔRn( ωn)2ΔRn( ωn) = ⋅ An( ωn)=2A ( ω )gde je iskorišćenonn2= 2Δr ( ω ) S ( ω ) ΔωΔr( ω ) =nnn n n n pΔRAA ( ω ) = 2S ( ω ) ⋅Δωn n n n pnnDodatni otpor na neregularnimtalasima je tadaN∑n = 12ΔR= 2 Δr ( ω ) ⋅S( ω ) ΔωAkoformula postaje∫n n n n pΔω → dωp∞R = 2 2r (0p) ST( p)⋅dpΔ Δ ω ω ωTo je formula Herizme i Bukelmanaza dodatni otpor broda naneregularnim talasima...Treba naći Δr u funkciji prividnefrekvencije... (igra, na neki način,ulogu prenosne funkcije...)pPREDAVANJA 2009. 171

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Primer ukupnog otpora na neregularnimtalasimakontejnerski broda L = 175 m,Sprega ponašanja broda na talasima ipropulzije broda...Potisak propelera u slobodnoj vožnji T prodređuje se iz bezdimenzione karakteristike...TprKT =2 4ρn Dprv A( 1−w) vJ = =oDn DnprprKojom brzinom v o napreduje brod?Potrebno je odrediti potisak propelera T pr ...i naneti ga u dijagram...VažiPresek krivih R i( )T 1− t = RprT ′prT ′prdaje brzinu plovidbe...Pretpostavimo (npr) da motor radi na max.režimu, i da je pri tome n = n MCRZa (pretpostavljenu) brzinu v o ...vo → J → KT →Tpr →T′prsledi tačka u dijagramu...Da li motor može da razvije n MCR ??PREDAVANJA 2009. 172

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Odgovor daje dijagram snage...Potrebno je odrediti tzv. propelersku krivu snage motora P B (n), odnosno konstruisati dijagramPPBBPDP T′prvA TTpr= = = =η ηηη ( J ) ηηη ( J ) ( 1−t ) ηηη( J)S S R o S R o S R oPERv ⋅o= =ηηηη( J) ηηηη( J)H R S o H R S oηH=1−t1−wP D – snaga predata propeleru,P T – snaga potiska propelera,P E – snaga otpora,η H – koeficijent ij efikasnosti i trupa,η R – koeficijent prelaza,η S – koeficijent efikasnosti vratilnog voda,η o – koeficijent efikasnosti propelera uslobodnoj vožnji.PREDAVANJA 2009. 173

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ponovo koristimo karakteristiku propeleraK T ( J )Ako postupak ponovimo za krive otpora natalasima...Dobijamo niz krivih P B ...Za odabranu tačku na krivoj otpora R, v o ...konstruišemo pomoćnu krivuTTK * T( J) = = ... =J2 4 2 2 2ρnD ρD ( 1−w)vpr pr 2pr pr osledi J, odnosno n, i odgovarajuće P B ...Pri tome, svakoj tački na krivoj P Bodgovara druga brzina plovidbe v o ...U konkretnom slučaju, motor (pri max.režimu) razvija n MCR samo do talasavisine 5 m...Kriva potiska, za h 1/3 > 5 m , nije dobroodređena...PREDAVANJA 2009. 174

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Treba odrediti n iz dijagrama snage, iponovo odrediti potisak...Sledi, konačno, ispravna kriva potiska...Na osnovu ovog razultata, slede i neštodrugačiji rezultati ljuljanja...odnosno dijagram spontanog smanjenjabrzine broda na talasima, prinepromenjenom (maksimalnom) režimurada motoraNpr. ubzanje i sleming broda rastu sbrzinom plovidbe...i dostići će maksimalne vrednosti, primaksimalnim brzinama...PREDAVANJA 2009. 175

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Da bi se odredile maksimalne vrednosti, neophodno je program iz ponašanja na talasimaspregnuti sa programom iz otpora i propulzije...PREDAVANJA 2009. 176

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.2.3. Dinamička opterećenjabroda na talasimaVeć je kod udarnog pritiska prislemingu pokazano da se na talasimajavljaju opterećenja kojih, pri plovidbibroda na mirnoj vodi, nema...Ustvari, sve sile koje deluju na brod, nabrodske uređeje i teret, menjaju se priljuljanju broda...Sile koje deluju na teret – klizanje i prevrtanjeteretaPretpostavimo da se, u proizvoljnoj tački napalubi broda koji se ljulja na talasima, nalaziteret mase m, čije težište C ima komponenteubrzanja a ξ , a η i a ζ ...U klasičnim, statičkim proračunimaopterećenja broda, dinamičke sile seuračunavaju preko određenih(iskustvenih) koeficijenata sigurnosti...Pokazaćemo da se, nakon što se odredeljuljanja broda, dinamička opterećenjabroda mogu i egzaknije proračunati...Važiodnosno ma = mg + F + FC N Tma ≈ F −Fϕηyma ≈ F − mg + F ϕζzzygde je iskorišćenocosϕ ≈ 1 sinϕ ≈ ϕPREDAVANJA 2009. 177

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dobija sez( ζ )( ηϕ )F = m a + gF = m a + gyPrimer sila koje deluju na kontejner visokonad palubom, na bočnim talasima...Poznato jea = a t−osin ( ωpγ )sin ( ωpγ )η η ηa = a t−ζ ζ ζoϕ = ϕocos( ω t p−γϕ)SlediF = mg+ ma t−zζsin ( ω )o pγζ( ω γ ) ϕ ( ω γ ) ( ω γ)F = ma sin t − + mg sin t − = F sin t −y η p η o p ϕ y p yooF′ = ma ζz o o2 2 2Fy = m⋅ aη + g ϕo + 2aη gϕosin( γϕ −γη)o o oPREDAVANJA 2009. 178

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Za proračun reakcija na neregularnim talasima, potrebne sunam prenosne funkcije...F′= = =z 2ωζ ζAToPF mPzampPFyo4 2 2 2 2PF = = m⋅ ωypP + g P+ 2gωpP Pγ −γATsin ( )η ϕ η ϕ ϕ η22S = P ( ω ) ⋅ S ( ω ) S = P ( ω ) ⋅S( ω )F F p T pzzF F p T pIntegracijom spektara slede odgovarajuće srednjekvadratne vrednosti ovih veličina σ ο (F z ) , σ ο (F y ) ...Na primer, najverovatnija maksimalna reakcija u Ncikluisa jeF = 2σln Nmaxoyt oN = TyT = 2πσoσRazmotrićemo sada važan slučaj slobodno postavljenogtereta na palubu broda, odnosno uslovi pod kojima će doćido pomeranja – klizanja ili prevrtanja ovako postavljenogtereta...2U slučaju slobodnopostavljenog tereta mora bitizadovoljen uslovFz> 0jer bi se, u protivnom, teretodvojiti od palube.Takođe, mora biti zadovoljenuslovF < Fμy t zUkoliko ovaj uslov nijeispunjen, dolazi do klizanjatereta.Uslov odsustva klizanja je,na bočnim č talasima, oštriji– teret će pre proklizati,nego što će se odvojiti odpalube...PREDAVANJA 2009. 179

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________S obzirom naa − μ a + gϕ

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ustvari, krak b predstavlja jedinu nepoznatu ujednačini...Sledib =2( aη+ gϕ) h−j Caζ+ g ϕDa bi se teret valjao zajedno s brodom, krak bmora biti unitar gabarita teretab ≤ lU protivnom, doći će do preturanja teretaUl Uslov da ne dolazi ido preturanja tereta t može senapisati u obliku2ha ⋅ + gh⋅ϕ−la ⋅ − j ⋅ϕ ≤ glηZbir četiri harmonijske funkcije...ζTo je opet harmonijska a funkcije iste frekvencije...amplitude A prUslov da ne dolazi do preturanja tereta, izraženpreko ove amplitude glasi≤ glCAprPošli smo od pretpostavke da se teret,iako je slobodno oslonjen na palubu,kreće zajedno s brodom...Ovakva kruta veza tereta i broda ćepostojati ukoliko je istovremenozadovoljena oba uslovaAkl< μ gtApr≤glU protivnom, doći će do pomeranjatereta u odnosu na brod...Pojava pomeranja tereta može imativeoma opasne posledice, i predstavljajedan od čestih uzroka havarija, pa iprevrtanja brodova koji plove na olujnimtalasima...PREDAVANJA 2009. 181

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Na osnovu prethodne analize pomeranjatereta na regularnim talasima, moguće jeodrediti verovatnoću proklizavanja ipreturanja na realnim, neregularnimtalasima...Potrebno je odrediti prenosne funkcijeuvedenih amplituda A kl i A pr ...A AklprPkl= , Ppr=A ATada jeTT2S = P ( ω ) ⋅S( ω )kl kl p T p2S = P ( ω ) ⋅S( ω )pr pr p T p2⎡ ( μ g)⎤tV( A > μ g) = expkl t ⎢−⎥⎣ 2σ( kl)o ⎦2⎡ ( gl)⎤V ( A > gl) = exp−pr⎢⎥⎣ 2σ( pr)o ⎦Primer, verovatnoća preturanjaslobodno oslonjenog kontejnera unajvišem redu broda dužine 110 m∞σ ( kl) = ∫oS kl( ω p)dωp∫0∞σ ( pr) = ∫ S ( ω ) dωo pr p p0PREDAVANJA 2009. 182

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dinamička opterećenja brodskekonstrukcijeOsnovno opterećenje brodskekonstrukcije javlja se usled lokalneneravnoteže dve vertikalne sile:brodskih težina (težine konstrukcije,tereta, uređaja) s jedne, i sile uzgonabroda, s druge strane...Iako je ukupni uzgon broda u stanjuravnoteže jednak ukupnoj težini broda,raspodela ovih sila po dužni broda jeneravnomerna i različita...Na svaki segment dužine broda dxdeluju elementarna sila uzgona dU(x) ielementarna težine dW(x)...Usled njihove razlike javlja severtikalno opterećenje q z (x) ...odnosno transverzalna sila T z (x) imoment savijanja M sav (x) u poprečnompreseku broda, koji dalje dovode dosmičućih i normalni napona...Proračun transverzalnih sila i momenata savijanjau poprečnom preseku broda, poznat kao proračunuzdužne čvrstoće broda, predstavlja jedan odosnovnih brodograđevnih proračuna...U klasčnoj verziji ovog proračuna, transverzalnesile i momenti određuju se za brod u ravnotežnompoložaju plivanja, na mirnoj vodi...Dinamički efekti, koje ovakav statički proračunzanemaruje...uračunavaju se grubo i približno, kroz tzv. dodatnutransverzalnu silu i dodatni moment savijanja, čijevrednosti propisuju klasifikaciona društva...PREDAVANJA 2009. 183

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Pokazaćemo da je, nakon što seproračuna ljuljanje broda na talasima,moguće proračunati ove dinamičkeefekte...odnosno dobiti naprezanja (normalne ismičuće napone u poprečnom presekubroda) koji obuhvataju kako statičke, takoi dinamičke komponente...Posmatraćemo brod koji ponire i posrćeploveći pramcem ka regularnimtalasima...Izdvojićemo deo broda, na primer deo odkrme do proizvoljne pozicije x ...Uticaj pramčanog dela broda (ostatkabroda) reprezentuju sile i momenti kojideluju u poprečnom preseku – to su (podefiniciji) i iji) transverzalna sila, i momentsavijanja u poprečnom preseku broda...Ove veličine, međutim, obuhvataju idinamičke efekte ljuljanja broda...Za izdvojeni, krmeni deo broda važi Njutnovzakonmx ( ) ζ = F( x) + T( x)SlediG z zxT ( x ) = m ( x ) ζ −F ( x)z G zVertikalna sila koja deluje na element (traku)dužine dx broda koji vrši poniranje i posrtanje naregularnim talasima jedF =q ( x )dxz z q qpri čemu je uvedena pomoćna koordinata x qkoja definiše poziciju trake, različita od pozicijex posmatranog poprečnog preseka...xPREDAVANJA 2009. 184

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________SlediT ( x) = m( x) ζ q ( x ) dxx−∫z G z q qLpri čemu je (kada se zanemare mešoviti članovi i difrakcija talasa)...qz( xq) =− gm′ ( xq) + ρg⎡AR( xq) −ζ qb( xq) ⎤− ζqn′ ζ( xq) − ⎣⎦ζqm′ζ( xq)++ ρgA b( x )sin( k x + ω t)T q T q pζq= ζG −xq ⋅ ψ = ζG sin( ω ) cos( )o pt−γζ−xqψo ωpt−γψ ζ = ζ −x ⋅ ψ= ω ζ cos( ω t− γ ) + x ω ψ sin( ω t−γ)q G q p Gop ζ q p o p 2 2ζ = ζ −x ⋅ ψ = −ω ζ cos( ω t− γ ) + x ω ψ sin( ω t−γ)q G q p G op ζq p o pq ( x ) =− gm′( x ) + ρ gA ( x ) −z q q R q−ρgζ b( x )sin( ω t− γ ) + ρgψ x b( x )cos( ω t−γ) −G q p ζo q q po−ω ζ n′ ( x )cos( ω t−γ ) −ω ψ x n′( x )sin( ω t−γ) −p G ζ q p ζ p o q ζ q p ψo2 2+ ωζ m′ ( x )sin( ω t− γ ) − ωψ x m′( x )cos( ω t− γ) +p G ζ q p ζ p o q ζ q p ψo+ ρgA b( x )sink x cosω t + ρgAbx ( )coskxsin ω t .T q T q pψψT q T q p 2 2ζ = ζ −x ⋅ ψ = −ω ζ cos( ω t− γ ) + x ω ψ sin( ω t−γ)G G G p G p ζ G p o px x o xψψPREDAVANJA 2009. 185

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Dobija se, nakon sređivanjaT ( x) = m( x) ζ − q ( x ) dx =⋅⋅⋅z G z q qx∫x( o)2 2= T z( x) + ζ ⎡G ρgA ( ) − ( ) − ( ) sin( − ) −o VLx m x ωp ωpmζx ⎤⎣⎦ωptγζ2 2−ψ ⎡oρgSVL( x) m( x) xG ω ( ) cos( )x pωpm x ⎤⎣− −ζψ−⎦ωpt− γψ++ ω ζ n ( x)cos( ω t− γ ) + ω ψ n ( x)sin( ω t−γ) −p G ζ p ζ p o ζψ p ψo−ρgA Q ( x)cosω t − ρgAQ ( x)sinωtT S pζT C pζOdnosno( din)Tz( x) = To( x) + To ( x)sin ⎡⎣ωpt+γT( x)⎤⎦Amplituda i fazni pomeraj dinamičkog dela transverzalne sile zavise od koordinate preseka x,i mogu se odrediti preko opštih trigonometrijskih formula (zbir niza harmonijskih funkcija...)Ukupna vertikalna transverzalna sila u poprečnom preseku sastoji se iz statičke komponente(koja se javlja u ravnotežnom položaju plivanja broda na mirnoj vodi), i dinamičke,oscilatorne komponente, koja je posledica ljuljanja i talasa...Amplituda ove dinamičke komponente moguće je odrediti nakon što se proračuna ljuljanjebroda, odnosno (u konkretnom primeru plovidbe ka talasima) nađu amplitude poniranja iposrtanja broda...PREDAVANJA 2009. 186

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ukoliko je određena amplitudatransverzalne sile, njena prenosna funkcijaglasiPTz( dinT) o( ωp)( ωp)=Aodakle sledi spektar transverzalne sile, itd...Moment savijanja u poprečnom presekubroda moguće je dobiti primenom zakonao promeni momenta količine kretanja zaizdvojeni deo broda (deo broda od krmedo proizvoljne pozicije x)...Umesto za težište krutog tela (kako je touobičajeno u Mehanici), zakon o promenimomenta količine kretanja izdvojenogdela broda pišemo za poprečni presek nakoordinati x...Zakon o promeni momenta količinekretanja, projektovan na osu y’, tada glasiTJ ( x) ψ = M ( x) + M ( x)y′ y′savM ( x) = J ( x) ψ −M ( x)sav y′ y′∫M ( x) = J − ( x− x ) q ( x ) dx =⋅⋅⋅sav yψ′q z q qDobija se, nakon sređivanjax( din)Msav( x) = Mo ( x) + Mo ( x)sin ⎡⎣ωpt+γM( x)⎤⎦( dinM) o( ωp)PM( ωp)=ATPrenosnu funkciju momenta moguće jeodreditinakon što se proračuna ljuljanje broda, odnosnonađu amplitude poniranja i posrtanja...Zatim sledi klasičan proračun na neregularnimtalasima...PREDAVANJA 2009. 187

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.2.4. Uticaj ljuljanja na posadu i putnikeLjuljanje izrazito nepovoljno utiče i nakomfor i na radne sposobnosti ljudi nabrodu...Putnici (veoma često) osećaju mučninu, arezultati rada posade su lošijeg kvaliteta, uzveći napor i zamaranje...Pri većim ubrzanjima, rad postajenemoguć...Nastanak mučnine i povraćanja, kao i uslovepri kojima je posada prinuđena da preknerad, moguće je relativno dobro povezati saubrzanjima i ostalim parametrima ljuljanjabroda...Za smanjeni kvalitet rada i dodatni d zamormornara pri ljuljanju, još uvek nijepronađeno adekvatno kvantitativno merilo...Ali, krenimo redom...Morska bolestČovek, ukoliko se nalazi na brodu koji seljulja, može osetiti slabost, glavobolju,mučninu... Može doći i do povraćanja...To su simptomi morske bolesti.Smatra se da je morska bolest posledicaneusklađenosti signala koje ljudski mozakdobija od različitih čula...Dok centar ravnoteže u unutrašnjem uhuregistruje promenljiva ubrzanja usledljuljanja, noge šalju mozgu drugačijesignale... Pri tom, podaci koje dobija odočiju ne moraju biti usaglašeni ni sa jednimni sa drugim...Konfuzija mozga usled ovihkontradiktornih informacija manifestuje sekod većine ljudi mučninom i ostalimsimptomima morske bolesti...(zašto?)PREDAVANJA 2009. 188

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Sklonost ka morskoj bolesti je individualna.Čak je i sklonost istog čoveka, u različitimprilikama, različita...Većina ljudi ponekad doživi morsku bolest, alise, ukoliko je duže izložena ljuljanju, j j na tostanje adaptira...Morska bolest prestaje ubrzo nakon prestankaljuljanja, i (osim što je veoma neprijatna) nijeopasna, i ne ostavlja nikakve posledice.S medicinskog aspekta to i nije bolest, većnormalna reakcija zdravog organizma nanenormalne uslove...Postoji niz medikamenata koji umanjujuneprijatne simptome, uglavnom tako štoblokiraju funkcije mozga...Uz to, mogućnost nastanka morske bolesti sesmanjuje j ukoliko je čovek kaktivan, odnosnoukoliko mozak zaokupi drugim problemima...Postoji i niz narodnih (mornarskih) lekovaprotiv ove bolesti, od kojih je najpoznatiježvakanje korena đumbira...I pored toga što je medicinski bezopasna,morska bolest predstavlja veliki problem iza putnike, i za posadu broda.Bolest nije samo neprijatna...Mornar oboleo od morske bolesti nijesposoban za ozbiljnije poslove, a brod sobolelom posadom može bitionesposobljen za izvršenje zadatka...Putnik oboleo od morske bolesti svakakone uživa u turističkom krstarenju, i teškoda će ponovo izdvojiti novac za sličnesvrhe...Zato se problemu morske bolesti pridajeozbiljan značaj, a uslovi pod kojima seona javlja detaljno su ispitivani i ulaboratorijskom, i u realnom okruženju.Pokazalo se da pojava morske bolestizavisi, pre svega, od promenljivogubrzanja kojem je čovek izložen na brodukoji se ljulja...PREDAVANJA 2009. 189

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Preciznije, pojava morske bolesti zavisi od:• Intenziteta (amplitude) ubrzanjaS porastom intenziteta ubrzanja,verovatnoća pojave morske bolesti raste;• Perioda ukomeječovek izloženubrzanjuVerovatnoća pojave morske bolestivremenom raste, a zatim dolazi doadaptacije organizma;• Frekvencije ubrzanjaPostoji frekvencija ubrzanja na koju ječovek najosetljiviji, odnosno frekvencijakod koje je pojava morske bolesti najčešća.Ova neprijatna frekvencija ljuljanja iznosioko 1 rad/s, odnosno odgovaraneprijatnom periodu ljuljanja od oko 6 s ;• Individualne osetljivosti, pola i starostiosobe na brodu.Pojava morske bolesti zavisi (u manjojmeri) i od pravca ubrzanja, iako su podacio ovom uticaju donekle kontradiktorni...Zavisnost pojave morske bolesti od intenziteta ifrekvencije ubrzanja daju rezultati obimnihlaboratorijskih eksperimenata (npr. O’Hanlon& McCauley 1974)...U eksperimentima je veliki broj ispitanikaizlagan promenljivom vertikalnim i ubrzanjimaoblikaa = a sinωtoAmplitude a o i frekvencija ω su sistematskimenjane od testa do testa...a eksperiment prekidan ukoliko je ispitanikpočinjao da povraća...Za verovatnoću morske bolesti (ustvari,verovatnoću povraćanja), koja se premauvedenom terminu Motion Sickness Incidencenajčešće obeležava sa MSI, dobijena je približnaformulaMSI = Φ( z ) ⋅Φ( z )at1−Φ ( z)e2dx2π=∫−∞zx2PREDAVANJA 2009. 190

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________2z = 2, 128 ⋅log( a 2 / g) −9, 277 ⋅log( ω/ 2π) −5, 809 ⋅log ( ω/ 2π) −1,851az = 1, 13⋅ z + 1, 989 ⋅log( T ) −2,904 gde je t vreme trajanja eksperimenta u časovimat a soČovek nije osetljiv na niske frekvencije,niti na visoke frekvencije (vibracije)...Najosetljiviji je na frekvencije od približno1 rad/s (oko 0,16 Hz), bez obzira naamplitudu ubrzanja i trajanjeeksperimenta...Verovatnoća pojave morske bolesti rastetokom prva dva časa...Eksperimenti nisu trajali duže, i u njima sene vide efekti adaptacije organizma nanovo stanje...Ukoliko je čovek duže izloženpromenljivom ubrzanju, simptomi morskebolesti počinju (nakon približno šest sati)da se smanjuju, a posle dva do tri danapotpuno nestaju.PREDAVANJA 2009. 191

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Oscilacije frekvencijom od oko 1 rad/s nesamo da pogoduju pojavi morske bolesti, većih (nezavisno od morske bolesti) čovekdoživljava kao nerealno jake...Ovo pokazuju eksperimenti (Shoenberger1975) u kojima su iskusni piloti, adaptirani naoscilatorna kretanja, izlagani promenljivomvertikalnom ubrzanju sa zadatkom da ocenejačinu ljuljanja...Ubrzanjima različitog intenziteta i frekvencijedavali su brojčanu ocenu–Čovek ne oseća pravi intenzitetindeks subjektivne jačine ljuljanja (pooscilatornih ubrzanja...engleskom nazivu Subjective Magnitude –Ubrzanja određenih (neprijatnih)SM) u odnosu na referentno kretanjefrekvencija čine mu se veća nego štoubrzanjem od 0,6g frekvencijom 1 Hz, za kojepokazuju objektivna merenja...je dogovorena ocena 10.Naša čula nas i u ovom slučaju varaju,143 ,Dobijena je formula ⎛a SM A o⎞prikazujući svet drugačijim od realnog.= ⋅⎜ ⎟⎝ g ⎠2 2A= ⎡1−exp( −1, 65ω ) ⎤⎣⎦( 75, 6−49, 6⋅ ln ω+ 13, 5⋅lnω)PREDAVANJA 2009. 192

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ubrzanja pojedinih tačaka broda koji se ljuljana regularnim talasima jesu sinusne funkciječija je frekvencija jednaka prividnojfrekvanciji talasa...tako da formula za MSI (na regularnimtalasima) )dj daje dobre rezultate.Da li se ova formula može primeniti i prikretanju broda na neregularnim talasima?Verovatnoća pojave morske bolesti zavisi odamplitude i frekvencije ubrzanja...Koju amplitudu ubrzanja, i koju frekvencijukoristiti u realnim uslovima ljuljanja broda naneregularnim talasima?S obzirom da neregularni talasi predstavljajuzbir regularnih komponenti, moguće jeiskoristiti proračunati spektar vertikalnogubrzanja tačke broda S a (ω p ) .Amplituda ubrzanja koja odgovara prividnojfrekvenciji ω n (po definiciji spektra) iznosia = 2S ( ω ) ⋅Δωn a n pDeljenjem spektra na veliki broj traka širineΔω pmoguće je odrediti amplitudu ubrzanja kojeodgovara svakoj frekvenciji ω ni primenjuje j formula za MSI...Verovatnoća pojave morske bolesti naneregularnim talasima je tada zbir svihverovatnoća na regularnim talasimaNMSI = ∑ MSI N 1n=1nProračun je, međutim, samo formalan...Primenjeni princip superpozicije važi samoza linearne probleme...Da li složeni procesi nastanka morskebolesti, u kome ljudski organizam spontanoreaguje na neprirodne uslove kojima jeizložen, važe tako prosti zakoni?Eksperimenti ne daju ubedljiva slaganjaproračunatih vrednosti sa realnim, olujnimuslovima...PREDAVANJA 2009. 193

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Verovatnoća pojave morske bolesti naneregularnim talasime se češće određuje nanešto drugačiji način...korišćenjem tzv. doze morske bolesti (MotionSickness Dose Value), ) koja je definisana kaoTs⎡22 ⎤MSDV = ⎢ aζ() t dt0⎥⎣∫⎦gde je T s vreme u kome je čovek izloženljuljanju,dok kjea ζ vertikalno ubrzanje posmatranetačke broda filtrirano po frekvencijama.Naime, vertikalno ubrzanje tačke broda kojise ljulja na neregularnim talasima može seizraziti kaoN∑ n n ( n n)n=1aζ () t = a ( ω )sin ω t−γgde se amplitude komponenti ubrzanja a n (ω n )određuje iz proračunatog spektra ubrzanja, nauobičajeni način...1Ubrzanje filtrirano po frekvencijama je tada∑Naζ () t = an( ωn)sin( ωnt− γn)=n=1N∑n = 1= W( ω ) ⋅a ( ω )sin( ω t−γ)n n n n nFilter W je dobijen eksperimentalno, iizgleda (prema propisima ISO 2631)PREDAVANJA 2009. 194

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Verovatnoća pojave morske bolesti dobijase na osnovu doze morske bolesti kaoMSI (%)= K ⋅MSDVgde koeficijent K zavisi od nizaindividunalnih faktora osobe koja jeizložena ljuljanju:pola, starosti, prethodnog iskustva nabrodovima, uvežbanosti, pa i trenutnepredispozicije...Uobičajena vrednost za odrasle putnikemešovitog pola je K ≈ 1/3Postupak proračuna MSDI je sledećiOdredi se, na poznati način, prenosnafunkcija vertikalnog ubrzanja P a (ω p ) ...Tada jeP ( ω ) = W ( ω ) ⋅P( ω)a p p a p2 2 2S ( ω ) = P ⋅ S ( ω ) = W ⋅ P S ( ω ) =a p a T p a T p2= W ( ω ) ⋅S( ω )p a p∞σ4 = Sa( ωp)dωp∫0S duge strane, srednja kvadratna vrednostfiltriranog ubrzanja jeσN T 1 s2 1 24=∑ζ(i) =∫ζ( )NTs 0i=11Ts⎡22 ⎤MSDV = ⎢ aζ() t dt⎥= Tsσ40Primer:putničkibrod L =200 m,plovipramcemkatalasima⎣∫a t a t dt⎦MSDV = a TRMSsPREDAVANJA 2009. 195

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________U ovom kursu se, jedino pri proučavanjumorske bolesti odaljujemo od fizičkihzakona i uobičajenih inženjerskihproračuna...U igri su, uz mehaničke veličine kakve suubrzanje, frekvencija itd, i spontanereakcija ljudskog organizma na uslove nakoje nije naviknut...Ove reakcije organizma su dalekosloženija od čisto mehaničkih zakona nakojima se zasniva ponašanje broda natalasima...Logično je zato i tačnost proračuna dalekomanja...Osim složenosti samog problema, postojei drugi razlozi zbog kojih je korelacijaproračuna sa pojavom morske bolesti urealnim uslovima relativno slaba...Proračuni (za sada) uzimaju u obzir samovertikalnu komponentu ubrzanja...Činjenica je da su vertikalna ubrzanja, posebnopri plovidbi ka talasima, i posebno kod dužihbrodova, znatno veća od poprečnih...Međutim, ukoliko brod plovi koso, a posebnobočno u odnosu na talase, javljaju j j se i značajnepoprečne komponente ubrzanja...A čovek (po svemu sudeći) nije manje osetljivna poprečna od vertikalnih ubrzanja, posebnopri nižim frekvencijama oscilovanja...Postoji još jedan nedostatak metoda vezanihza proračun doze i verovatnoće morskebolesti...Naime, MSI je definisan kao početakpovračanja osoba na brodu...Međutim, znatno pre povračanja, čovek osetislabost, glavobolju i mučninu...Ljudima na brodu može biti veoma neprijatno(mogu patiti od morske bolesti) i kada nepovraćaju...PREDAVANJA 2009. 196

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Prekid rada usled ljuljanjaPrimenićemo uslove odsustva kljizanja ipreturanja tereta...a − a + g < gημ ϕ μtha ⋅ + gh⋅ϕ−la ⋅ − j ⋅ϕ ≤ glηζζ2CtAkl< μ gtApr≤gl2⎡ ( μ )t g ⎤V( A> μ g) = exp−kl t ⎢ ⎥⎣ 2σ( kl)o ⎦2⎡ ( gl)⎤V( A > gl) = exppr⎢−⎥⎣ 2σ( pr)o ⎦na čoveka a (mornara) a) koji stoji na palubibroda...Pretpostavićemo da mornar stoji poprečnou odnosu na brod i da je, radi sigurnijegoslanjanja, blago raširio noge...Uslovi klizanja i preturanja su izvedeni zakruti teret, a ne za čoveka koji bi reagovaopre nego što prokliza, ili izgubi ravnotežu...Nagnuo be se, pridržao, seo...Trudeći se da ne padne, međutim, mornar bibio prinuđen da prekine rad.Uslovi klizanja i preturanja teretaprimenjeni na mornara na brodupredstavljaju uslove prekida rada usledljuljanja...PREDAVANJA 2009. 197

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Podaci za tipičnog mornara su2l ≈ 0,5 mh ≈ 1mjC≈ 05m ,Koeficijenti ij tiklizanjasuva paluba, adekvatna obuća:mokra, klizava paluba:μk ≈ 07 ,μk ≈ 019 ,Primer: mornar na komandnommostu teretnog broda dužine 110m, koji plovi na bočnim regularnimtalasima... Visina talasa je 3 m.PREDAVANJA 2009. 198

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Uobičajeno je da se verovatnoćaproklizavanja i preturanja mornara(verovatnoća prekida rada) preračunavajuu srednje frekvencije u minutama...Odnosno srednji broj prekida rada usledklizanja ili gubitka ravnoteže u minutu...To je tzv. indeks prekida rada.Obeležavaja se sa MII (MotionInteruption Index)V( kl) V( kl)σo( kl)MIIkl= 60 = 60T 2πσ ( kl)V ( pr) V ( pr) σ o ( pr)MII pr = 60 = 60T 2 πσ( pr)Primer: mornar na komandnom mostuteretnog broda dužine 110 m, koji plovina bočnim neregularnim talasima...22Mornari su nekada prinuđeni da rade i uuslovima u kojima je MII veći od uobičajenihnormi...Tada su, međutim, izloženi riziku od povrede,njihov rad usporen, a rezultati lošijegkvaliteta...Situacija ij je posebno teška na ribarskimbrodovima, gde se od posade zahteva da lovei u ekstremnim vremenskim uslovima.Rad na ovakvim brodovima i predstavlja zatojedno od najopasnijih zanimanja...PREDAVANJA 2009. 199

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.3. KRITERIJUMI POMORSTVENOSTIVažan aspekt proračuna ponašanja broda natalasima predstavljaju maksimalnedozvoljene vrednosti pojedinih parametaravezanih za ljuljanje broda – tzv. norme, ilikriterijumi pomorstrvenosti broda...Norme koje će biti prikazane predstavljajuplod dugogodišnjeg iskustva pomoraca ibrodograditelja...Ipak, s izuzetkom onih i koje su ušle upravila, treba ih shvatiti i uslovno, kaosmernice za projektovanje...Uticaj na putnike i posaduStandardi ISO 2631 daju gornju granicuvertikalnog ubrzanja koja dovodi didoizrazitog nekomfora (severe discomfortboundary) kod ljudi nenaviknutih naljuljanje...Primenjuju se prvenstveno na putnikena brodu, i dovode do pojave morskebolesti kod oko 10% neadaptiranihodraslih osoba.Uz to, u vezi vertikalnog ubrzanjapostoji još još ceo niz preporuka...PREDAVANJA 2009. 200

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Vertikalno ubrzanje, RMS vrednost0,02g Putnici na brodovima za krstarenje.Stariji ljudi. Blizu donje granice na kojojpojava morske bolesti nije verovatna.Vrednost koja se koristi za poseban komforputnika.0,05g Putnici na feribotima. ISO standardza period izloženosti od pola sata. Izazivasimptome morske bolesti kod približno 10%neadaptiranih odraslih osoba.0,100g Intelektualni l rad za ljude relativnodobro adaptiranje na ljuljanja (na primernaučnike na istraživačkim brodovima).Manuelni rad zahtevnije prirode. Dugoročnopodnošljivo za posadu.0,150g Težak manuelni rad za ljudeadaptirane na ljuljanje: na primer posadu naribarskim brodovima i brodovimasnabdevačima.0,200g Laki manuelni rad za ljudeadaptirane na ljuljanje. Nepodnošljivo udužem periodu. Brzo dovodi do zamora.Uobičajeni maksimum na komandnom mostutrgovačkih i ratnih brodova (STANTAG 4154). )0.275g Jednostavan laki rad. Najvećapažnja mora biti usmerena na održavanjeravnoteže. Prihvatljivo samo u kratkomperiodu na pramcu broda, ili na brzimbrodovima.Poprečno ubrzanje, RMS vrednost0,100g Uobičajeni maksimum nakomandnom mostu trgovačkih i ratnihbrodova (STANTAG 4154). Generalno, limitpoprečnog og ubrzanje je oko o 50% vertikalnog.PREDAVANJA 2009. 201

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Verovatnoća morske bolesti MSI (%)10% za 2 h Putnici na putničkimbrodovima20% za 4 h Posada na ratnimbrodovimaIndeks prekida rada MII (broj u minuti)0,5 Za zahtevnije poslove (na primerdopuna goriva i snabdevanje naotvorenom moru).1 Uobičajena maksimalna vrednost zaposadu ratnih i trgovačkih brodovaUgao valjanja, RMS vrednost4 – 6° STANAG 4154 preporučuje limitod 4° ° za ratne brodove. Pojedini iautoridozvoljavaju i veće vrednosti.Ugao posrtanja, RMS vrednost1,5°Uticaj na konstrukciju broda, teret i opremuSlemingSrednja učestalost sleminga 20 – 60/časInteresantno t je da nižu vrednost tdaje STANTAG4154 za ratne brodove.Verovatnoća sleminga 1 - 3%Zalivanje palubeSrednja učestalost zalivanja palube 30 – 90/časNižu vrednost daje STANTAG 4154 za ratnebrodove.Verovatnoća zalivanja palube 2 – 7%Izletanje propeleraUčestalost izletanja propelera 90 – 120/čas (na¼prečnika).Verovatnoća izletanja 10 – 25%Izletanje sonaraUčestalost izletanja aktivnog sonara 24/časUčestalost izletanja pasivnog sonara 90/časPREDAVANJA 2009. 202

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Kombinovani kriterijumiPostoji više pokušaja da se uspostavikombinovani kriterijum pomorstvenosti zaodređeni tip broda...Jd Jednu od mogućih kombinacija ij za teretnetbrodove dao je Ochi 1995:Pun brod:V[zalivanja palube i/ili značajne vrednostivertikalnog ubrzanja na pramcu ≥ 0,4 g] ≤ 0,07Prazan brod:V[sleminga i/ili značajne vrednosti vertikalnogubrzanja na pramcu ≥ 0,4 g] ≤ 0,03Specifične misijePojedine misije koje brod obavlja zahtevaju,zbog svoje složenosti, oštrije norme od onihkoje su prikazane u prethodnom tekstu.Posebno su detaljano proučene misije ratnihbrodova u okviru NATO propisa STANTAG4154. Na primer:Dopuna goriva na otvorenom moruMII = 0,5/minMSI = 20% za 4 časaZalivanje palube = 0.5/časPoletanje i sletanje aviona s fiksnim krilima(RMS vrednosti)Vertikalno pomeranja 0,8 mPoprečno pomeranje 2,3 mVertikalna brzina 0,7 m/sPoletanje i sletanje helikoptera (RMS)Ugao valjanja 2,5°Ugao posrtanja 1,5°Vertikalna brzina 1 m/sPREDAVANJA 2009. 203

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.4. MOGUĆNOST SMANJENJALJULJANJA BRODALjuljanje broda je, kao što je već višeputa istaknuto, nepovoljno i opasno...Na žalost, more po kome plove brodovije često uzburkano, a ljuljanjeneizbežno.U takvoj situaciji, jedan od važnihzadataka projektanta (a i zapovednikabroda) je da smanji ljuljanje i njegovenepovoljne posledice...Razmotrićemo mogućnosti koje stojena raspolaganju projektantu broda...5.4.1. Poniranje i posrtanje brodaZnamo: Na valjanje broda projektant možeuticati vertikalnim pomeranjem težišta broda,odnosno promenom MG...Za ponirenje i posrtanje nema neki sličan,pogodan parametar...Da li ipak postoje neke druge (skrivene)mogućnosti...Uticaje smo već ć (delimično) ič razmatrali prianalizi poniranja i posrtanja na regularnimtalasima...Uticaj brzine plovidbePri plovidbi broda ka talasima, smanjenjejbrzine plovidbe uvek deluje povoljno...Primer: fregata dužine 110 m, koja plovi katalasima značajne visine 5 mPREDAVANJA 2009. 204

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Zašto je smanjenje brzine povoljno?PREDAVANJA 2009. 205

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Iako smanjenje brzine predstavljajednu od malobrojnih sigurnih meraza smanjenje ljuljanja, ova mera je (nažalost) veoma retko pod kontrolomprojektanta broda...Brzina broda je, po pravilu, izričitzahtev naručioca broda koji projektantmora da zadovolji...Često, naročito kod brzih brodova,brzina plovidbe i nije ograničenasnagom motora...već prevelikim ubrzanjima islemingom do koga dolazi priplovidbi broda ka talasima...Razarači...A projektant, da bi obezbediozahtevanu brzinu na uzburkanommoru, mora da primeni druge mere zasmanjenje poniranje i posrtanje...Uticaj veličine brodaDobro je poznata činjenica da se većibrodovi manje ljuljaju na olujnom moru...Samo avanturisti kreću na okean u malimčamcima...U eskadrili ratnih brodova koja plovi katalasima po uzburkanom mora, uvek sunajugroženije male jedinice...Dok nosači aviona i bojni brodovi jedvaosećaju talase, mali prateći brodovi,razarači i fregate, ulažu maksimalan naporda ne zaostanu za grupom...Posada fregata, sa zavišću posmatra svojekolege na velikim brodovima.Primeri brodova različitogdeplasmana...PREDAVANJA 2009. 206

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Zašto je povećanje deplasmanapovoljno?Sami....PREDAVANJA 2009. 207

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Analiza malog povećanje deplasmana, bezpromene odnosa glavnih dimenzija...Geometrijski slični brodovi...Primer: Povećanje dimenzije broda (L, B, T) za10%, deplasman za 33%.Zaključujemo, povećanje deplasmana brodadovodi do smanjenja ljuljanja broda koji plovi katalasima...I generalno, povećanje broda poboljšava njegovoponašanje na talasima.Da bi značajnije smanjilo ljuljanja, povećanjebroda mora biti dovoljno veliko...i prevazilazi male varjacije dimenzija koje su unadležnosti projektanta.PREDAVANJA 2009. 208

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Deplasman broda jednak je zbirubrodskih masa...I direktno utiče na cenu broda...Projektant (po pravilu) težiminimalnom deplasmanu, kojeobezbeđuju izvršenje zadataka koji sepostavljaju pred broda...Svako veštačko povećanje mase brodapredstavlja daleko preskupu meru zapoboljšanja pomorstvenosti...Primenjuje se sasvim retko, kod ratnihbrodova, kada se jedino povećanjembroda može obezbediti pouzdanoizvršenje zadatka na uzburkanommoru.Otrovni gas...Uticaj odnosa glavnih dimenzijaPretpostavimo da su deplasman i brzina brodazadati i konstantni...Razmotrimo mogućnost smanjenja j poniranja iposrtanja promenom odnosa glavnih dimenzija.Postavljeni zadatak je tipičan za ranu fazuprojektovanja broda, kada projektant zna brzinukoju brod mora da zadovolji...proračunao je preliminarnu vrednost deplasmana...a treba da odabere (u okviru relativno uskihpreporuka za određenu vrstu broda) glavnedimenzije broda...Reč je o veoma važnom izboru, od koga umnogome zavisi kvalitet budućeg broda...Koliko je projektant t u mogućnosti ć da utiče nasmanjenja ljuljanja budućeg broda pravilnimizborom i variranjem odnosa glavnih dimenzija?Skepsa profesora Žornea...PREDAVANJA 2009. 209

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Sopstveni periodi poniranja i posrtanja moguse izraziti u bezdimenzionom obliku...g TT= δT 2π( 1 κ )= +ζ ζ L Lαζg jyTTδψ= Tψ = 2π( 1+κψ)L i LαPovoljno je da sopstveni periodi budu štomanji...yNameće se, kao potencijalno povoljnamera, smanjene odnosa T/L ...odnosno smanjenje gaza na račundužine, pri B = constSem povoljnog uticaja na sopstveneperiode, povećanjem dužine smanjujese i Frudov broj...voFR=gLMeđutim, smanjenje gaza,povećava se verovatnoćasleminga...?⎡2⎛ 2T vV( slem) = exp⎢− +rel⎢ ⎜2σo 2σ⎣ ⎝2ps( ) ( rel)⎞⎤⎥⎟⎠⎥⎦PREDAVANJA 2009. 210

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Primer:Poniranje, posrtanje, vertikalno ubrzanje nakomandnom mostu i verovatnoća sleminga dva brodajednakog deplasmana, jednake širine, a različite dužinei gaza...Reč je o malom vešenamenskom brodu – roditelju,dužine 110,6 m, čija je dužina povećana za (približno)10% na račun smanjenja gaza.Razlika odnosa T/L dva broda je približno 20%, što jeoko maksimuma koji bi projektant, u realnimuslovima...Da li je rezultat povoljan?Promena glavnih dimenzija neminovno utiče i na ostaleosobine broda...Produženje broda na račun gaza povoljno je s aspektaotpora broda na mirnoj vodi...ali izrazito nepovoljno s aspekta čvrstoće broda...Posebno, ako smanjenje gaza prati i odgovarajućesmanjenje visine broda, odnosno ako se ne menjaslobodni bok.PREDAVANJA 2009. 211

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Kaže se da je dužina najskuplja brodskadimenzija...Ustvari, produženjem broda raste momentsavijanja, a smanjenjem visine, smanjuje seotporni moment poprečnog preseka.Elemente brodske konstrukcije treba jačedimenzionisati, što dovodi do težegbrodskog trupa...Pretpostavljen je konstantan deplasmanbroda...Da li će veća težina trupa bitikompenzovana lakšim motorom (zbogsmanjenja otpora), ili će se smanjiti nosivostbroda?Svaka intervencija na glavnim dimenzijamaneminovno pokreće celu spiralu ključnihpitanja projektovanja broda...i zato ovim promenama treba pristupatioprezno i selektivno, ne povodeći se samoza jednom od karakteristika broda.Uticaj koeficijenata formeIzrazi za sopstvene bezdimenzione periodeponiranja i posrtanjagTTδ= T = 2π( 1+κ )ζ ζL Lαζg jyTTδψ= Tψ = 2π( 1+κψ)L i Lαukazuju da treba težiti što manjemvertikalnom prizmatičnom koeficijentuϕvδ=αPretpostavimo da se forma broda modifikujetako da se zadržava konstantan deplasman iglavne dimenzije...a smanjuje vertikalni prizmatičnikoeficijent...yPREDAVANJA 2009. 212

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ustvari, prema prethodnim pretpostavkama, važiDδ = = constρLBTtako da se povećava samo koeficijent punoće vodnelinije α ...Popunjavanje vodne linije dovodi do promeneforme rebara...Da li je ovakva promena formepovoljna?Posmatrajmo prigušenje...nρ g2′B=nR3ωp=ωpωp2g⎛ B ⎞Rn = f ⎜ωp, , βR⎟⎝ TR⎠Širina rebara u pramčanom i krmenom delu brodase povećava, što, pri nepromenjenom gazu, dovodido većih odnosa B R /TR .S obzirom na uslov D = const, površine rebara sene menjaju, što, pri povećanoj širini, dovodi dosmanjenja koeficijenta punoće rebra β R ...Rebra pri tom dobijaju karakterističan “V” oblik...β ,n′RB / T ,n′ RRPREDAVANJA 2009. 213

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Fizički, novi V oblik rebara indukuju većetalase pri poniranju, koji odnose većuenergiju...Mera, koju smo uveli na osnovu formule zabezdimenzione periode, pokazala se veomapovoljna i sa stanovišta prigušenja!Dodatno, i veoma povoljno...novi oblik pramčanih rebara ima većipoprečni ugao nagiba (fler) θ p , što bitnosmanjuje udarne pritiske na dnu broda,ukoliko i dođe do sleminga.Popunjavanjem vodne linije na pramcu ikrmi, raste radijus inercije vodne linije...T gy δTψ = Tψ = 2π( 1++κψ)L i Lαšto, uz nepromenjeni radijus inercije j y ,dodatno smanjuje sopstveni period posrtanjabroda.Razmotrimo sada uticaj popunjavanja j vodnelinije na sleming.Zbog manjeg poniranja i posrtanja, prinepromenjenom gazu broda, opasnost odsleminga se smanjuje...j yyPREDAVANJA 2009. 214

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Rezimirajmopopunjavanje vodne linije (odnosnopovećanje koeficijenta α ) deluje, makarkvalitativno, kao veoma dobra mera zasmanjenje j poniranja i posrtanja...Povoljno utiče na sopstvene periode,prigušenje i sleming, bez vidljivihnegativnih efekata sa aspektapomorstvenosti...Ipak, kao i svaki lek, i ova mera ima svojekontraindokacije.Popunjavanje vodne linije u krmenom delubroda dovodi, u krajnjem ishodu, do široke(tzv. transom) krme...Ovakva krma je, pri većim brzinama,povoljna i sa stanovišta otpora,što predstavlja jedan od retkih primera gdesu zahtevi ponašanja na talasima i zahteviotpora na mirnoj vodi, usaglašeni...Pri popunjavanju vodne linije napramčanom delu broda, na žalost, zahteviotpora i pomorstvenosti nisu usaglašeni...Povećanje ugla “ulaza” vodne linije napramcu negativno utiče na otpor broda...i projektant mora da usvoji kompromisnorešenje između dva suprostavljenazahteva...Otpor?Primer:Povećanje koeficijenta α za oko 5,5%,pri nepromenjenom deplasmanu,glavnim dimenzijama i brzini brodaPREDAVANJA 2009. 215

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.4.2. Valjanje brodaVeć više puta naglašeno, na valjanje se možeefikasno uticati promenom MG...Ostalo je nejasno šta se dešava na neregularnimtalasima...s obzirom da uvek postoje komponente talasa uodnosu na koje je brod u potkritičnoj, kritičnoj ilinatkritičnoj oblasti...Da li je skepsa opravdana...?Primer: mali kontejnerski brod na bočnimneregularnim talasimaPREDAVANJA 2009. 216

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________U većem delu dijagrama, valjanja sepovećava s porastom MG...Povoljno je smanjenje MG...To je tipično natkritično ponašanje...Najmanje amplitude valjanja i ubrzanja javljaju primalim metacentarskim visinama, na granicidozvoljenih s aspekta stabiliteta broda...To je oblast dugih sopstvenih perioda, i mekogvaljanja broda...S povećanjem metacentarske visine, amplitudevaljanja i ubrzanja rastu...Tek pri izuzetno velikim metacentarskimvisinama, i posebno pri jakim olujama, uočava se(izvesan) povoljni efekat povećanja metacentarskevisine...Ovaj povoljan efekat potkritičnog valjanja je,međutim, mali, uočava se samo kod ugla, a nei kod ugaonog ubrzanja,i to pri metacentarskim visinama koje sutehnički veoma teško ostvarljive...Situacija je neuporedivo povoljnija pri malimmetacentarskim visinama.Da li se rezultati ovog pojedinačnog primerasmeju prihvatiti kao generalni zaključak?PREDAVANJA 2009. 217

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Različiti brodoviPrethodna analiza, prema kojojuobičajeni brodovi na neregularnimtalasima imaju (uglavnom) natkritičnoponašanja...važi samo za uobičajene brodove...Katamarani, na primer, imaju drugačijeponašanjePREDAVANJA 2009. 218

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.4.3. STABILIZATORI LJULJANJA 5.4.3.1. Pasivni stabilizatoriProjektant može poboljšati ponašanjebroda na talasima promenom veličinebroda, promenom forme broda, promenomrasporeda masa itd...Postoji, međutim, i drugi put.Ljuljanje se može smanjiti primenomspecijalnih uređaja – tzv. stabilizatoraljuljanja.Ovi uređaji đ se prvenstveno primenjuju j kodvaljanja, a sasvim izuzetno, i to samo kodspecijalnih brzih brodova, i na smanjenjeposrtanja i poniranja.Postoji niz različitih stabilizatora, koji sebaziraju na bitno različitim principima...i i(Sam termin “stabilizator” nije adekvatan,jer nijedan od uređaja ne povećavastabilitet...)Pasivni stabilizatori valjanja rade na dvaprincipa:mogu povećavati prigušenje (otpor) broda privaljanjuto su prigušivači valjanja,a mogu vršiti tzv. dinamičku apsorpcijuoscilovanja,odnosno biti tzv. dinamički apsorberi valjanja.a. Prigušivači valjanjaLjuljne kobiliceLjuljne kobilice (bilge keels) su tipičanpasivni stabilizator valjanja koji radi naprincipu povećanja prigušenja...Ustvari, to je najprostiji, najmanje efikasan,ali i najčešće primenjivan stabilizatorvaljanja...PREDAVANJA 2009. 219

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Teško da ga možemo nazvati uređajem...reč je o pločama koje se postavljaju(zavaruju) upravno na uzvoj broda, i takoremete poprečno opstrujavanje vode privaljanju...1M = 2r ⋅ F = 2r ⋅ c v A2 ρ2⎛ B⎞2v ≈ r kϕ≈ ϕ GK + ⎜2 ⎟⎝ ⎠2k k k k k kM≈ ρc r A ϕ ϕ3k k k kJednačina valjanja broda sa ljuljnimkobilicamaMoment oko ose x koji stvaraju silekoje deluju na kobilice su2 2( ) cos ϕ+ 2μ ϕ+ β + β ϕ ϕ + ω ϕ = αω ωtϕ ϕ k ϕ o ϕ TPREDAVANJA 2009. 220

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ljuljne kobilice povećavaju koeficijentprigušenja zaβρcr A3k kk≈2xk( κ)D⋅ j 1+ ϕck≈5−7Uticaj ljuljnih kobilica je najveći u okolinirezonancije...Postoji niz semi-empirijskih postupaka zapreciznije određivanje koeficijenta c k ...Efikasnost ljuljnih kobilica zavisi i odnjihove površine A k ...Veće kobilice, daju veće prigušenje...Pri tome je širina kobilica, po pravilu,ograničena gabaritom broda (nalaze seunutar pravougaonika B x H)...i najčešće je u granicama 0,3 – 1 m.U protivnom, kobilice bi smetale pripristajanju i plovidbi u plitkoj vodi.Zato dužina kobilice treba da bude što veća,i najčešće se kreće u granicama 25 – 50%dužine broda.Tipično, smanjenje rezonantnog pika jeΔ P = 0, 25−0,5Na neregularnim talasima zavisi od slučajado slučaja (položaja pikova prenosnefunkcije valjanja u odnosu na spektar nagibatalasa), ali tipičnoϕPREDAVANJA 2009. 221

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Poboljšanje dostiže 20% ...Primena ljuljnih kobilica ima i svojih mana...Kobilice su izdanci koji povećavaju okvašenupovršinu broda, i time otpor broda pri plovidbi umirnoj vodi...Da bi se ovaj negativni efekat smanjio, odnosnoograničio samo na povećanje otpora trenja,kobilice treba postaviti tako da minimalnoremete uzdužno opstrujavanje broda...Za određivanje položaja kobilica duž broda,često se koriste eksperimenti u kome sestrujanje vizualizuje...Na model broda se, u okolini uzvoja, lepetrake i prati se njihov položaj tokomkretanja modela kroz mirnu vodu...Na osnovu toga se odruđuje pravacstrujnica, duž koga se postavljaju ljuljnakobilica...Problem se može javiti kod brodova kojise, u službi, kreću bitno rezličitimbrzinama (npr. remorkeri, ribarski brodoviitd), jer položaj ljuljnih kobilica optimalanza jednu, može biti izrazito nepovoljan zadrugu brzinu plovidbe...Dugogodišnje iskustvo je pokazalo daizvesno povećanje otpora broda, pa itežine konstrukcije koje stvaraju ljuljnekobilice, predstavlja razumnu cenu zasmanjenje valjanja...Zato je većina savremenih morskihbrodova, ukoliko nemaju neki efikasniji(i skuplji) uređaj, opremljena bar ovimjednostavnim stabilizatorom...PREDAVANJA 2009. 222

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________ParavaniKod manjih brodova, a posebno kodribarskih brodova gde ljuljne kobilicemogu smetati pri izvlačenju mreža...koriste se i tzv. paravanskistabilizatori – paravani.Oni su posebno popularni naSevernom Atlantiku, u priobaljuKanade i SAD...Reč je o čeličnim pločamaspecifičnog (obično trouglastog)oblika vezanih sajlama, koje sespuštaju u vodu preko izbačenihdržača, tako da ih brod vuče tokomplovidbe po talasima...Pošto sajle prenose silu samo dok suzategnute, paravani “rade”neizmenično...Prigušenje tokom valjanja stvara samojedan od paravana – onaj koga brod utom trenutku povlači naviše...PREDAVANJA 2009. 223

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Kada brod ne napreduje, uticaj je sličanuticaju ljuljnih kobilica...Tipičan uticaj na neregularnim talasimaKada brod napreduje, javlja se i dopunskiefekat prigušenja...Tipičan uticaj na prenosnu funkciju...PREDAVANJA 2009. 224

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________b. Dinamički apsorberi valjanjaApsorberi valjanja su mehanički oscilatorikoji se postavljaju na brod s ciljemsmanjenja valjanja...Kao absorber, b može se (u principu) i )koristitii imasa vezana oprugama, klatno, ili nekislični uređaj...Pasivni ljuljni tankoviPasivni ljuljni tankovi se dele na “obične”tankove (a), U-tankove (b) i “spoljne” U-tankove (c), itd.Tankovi se, u slučaju nevremena, delimičnopune spoljnom vodom koja, usled valjanjubroda, osciluje...Podešavaljem sopstvene frekvencije i drugihparametara oscilovanja vode u tanku, ovakviuređaji postaju efikasni apsorberi valjanja...Postoji, međutim, i bolje tehničko rešenje...Kao apsorber valjanja se, najčešće, koristivoda u specijalnim – tzv. pasivnim luljnimtankovima broda...klatno – dizalica...Analiziraćemo jednu od mogućihkonstrukcija: pasivni U-tank...Tipično, koristi se tankovi u dvoboku okosredine broda, koji se spajaju cevima...PREDAVANJA 2009. 225

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Treba, prvo, rešiti oscilovanje vode unepokretnom U-tankuμ sω =lsekv2glekvl∫0=∫koeficijent prigušenjaAodlAsopstvena frekvencija stubatečnostiekvivalentna dužinastuba tečnostiU slučajuPri izvođenju diferencijalne jednačineoscilovanja, polazi se od odgovarajućeLagranževe jednačine druge vrste...d ∂Ek∂Edt ∂s∂sk− =QDobija se, nakon izvođenja... s+ 2μs+ ω s = 0s2ssAol ≈ 2h + ( B−b ) −dAekv s s sdPunjenjem / pražnjenjem tanka, menja se l ekv ,odnosno podešava sopstvena frekvencija ω s ...PREDAVANJA 2009. 226

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________U – tank, na brodu koji se ljulja...Interesuje nas prenosna funkcija(odnosno amplituda) valjanjaP ϕϕo=αoU klasičnom slučaju P= f( Λ , Ψ )ϕ ϕ ϕgde suωTΛϕ=ωϕΨϕμ=ωϕϕProblem sa dva stepena slobode...ddt∂Ek∂ ϕ∂Ek− =∂ϕQϕd ∂Ek∂Edt ∂s∂sk− =Dobijaju se spregnute jednačine...2 2 ϕ + 2μ ϕ+ ω ⋅ ϕ + a s+ c s = ωα cosωtϕ ϕ s s ϕ o TQsSada jegde suΛsP= f( Λ , Ψ , Λ , Ψ )ϕ ϕ ϕωsΛs= ωϕssμsΨs=ωje moguće ć menjati (podešavati)promenom nivoa vode u tanku...s s + 2μ s+ ω s+ a ϕ+ c ϕ = 0s2sϕϕΨsje moguće menjati (podešavati)otvaranjem – zatvaranjem zasunaPREDAVANJA 2009. 227

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Razmotrićemo, prvo, slučaj slabog prigušenjavode u tankuΨs 1odnosno slučaj kada je zasun u spojnoj cevipotpuno otvoren...Posmatrajmo rešenja u funkciji Λ φ , pri različitomparametriu Λ s ...Da bi se eliminisao rezonantni pik valjanja,neophodno je podesitiω = ωsϕTo je opšte pravilo pasivnog U-tanka:sopstvenu frekvenciju oscilovanja vode u tankutreba izjednačiti sa sopstvenom frekvencijomvaljanja broda...Efekat na rezonantnu amplitudu valjanja je tadaveoma veliki...PREDAVANJA 2009. 228

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Međutim, prenosna funkcija valjanjabroda, umesto jednog rezonantnog pika,sada poseduje dva pika...Tank uklanja opasnost od rezonantnogvaljanja, ali ugrožava brod na talasimadrugih, ranije bezopasnih frekvencija...Na neregularnim talasima, nova prenosnafunkcija broda s tankom ne mora bitipovoljnija od prenosne funkcije broda beztanka...Dobija sePretpostavićemo sada da se sopstvenafrekvencija oscilovanja vode u tankupoklapa sa sopstvenom frekvencijomvaljanja broda (Λ s = 1)...Odnosno da je tank, shodno prethodnojanalizi, i najefikasniji...ijiIspitaćemo, pod tim uslovom, lučaj jakogprigušenja vode u tanku...Postiže se pritvaranjem zasuna...Uticaj veoma mali...Povoljan u okolini razonancije...Nepovoljan u dalekoj potkritičnojoblasti...Optimalno rešenje se (očigledno)nalazi između slučaja slabog, i slučajajakog prigušenja...PREDAVANJA 2009. 229

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Treba naći srednje - umereno prigušenjeoscilovanja vode u tanku...pri kome prenosna funkcija valjanja brodanema izraženi rezonantni pik, ali ni novepikovi u potkritičnoj i natkritičnoj oblasti...I stvarno, pri vrednostimaμsΨs= ≈02 , −035,ωsdobija sePrenosne funkcije valjanja broda s ljuljnimtankom su, pri veoma malim frekvencijamatalasa, veće od jedan...Ovaj rezultat posledica je statičkog efektaslobodne površine...odnosno smanjenja efektivne metacentarskevisine pod uticejem slobodne površine vodeu tanku.Da ovaj statički efekat ne bi bio suviševeliki, ograničava se odnosAG 02 ,MG ≤što, kod uobičajenih konfiguracija, dajeodnos mase vode u tanku premadeplasmanu brodam 002 , 005 ,D = −Ovo ograničenje, međutim, ograničava iefikasnost ljuljnih tankova...PREDAVANJA 2009. 230

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Na neregularnim talasima dobija seVeličina, a time i efikasnost ljuljnogtanka je ograničena negativnimefektom slobodne površine vode utanku na statički stabilitet broda...Da bi tank, u okviru svoje veličine,imao maksimalan efekat, trebapodesiti parametre tanka...Da rezimiramo...Pogodno je kao pasivne U – tankove koristititankove u dvoboku oko sredine broda, koji sespajaju cevima...što je tehnički lako izvodljivo...• Sopstvena frekvencija oscilovanjavode u tanku treba da je jednakasopstvenoj frekvenciji valjanjabroda...• prigušenje treba da bude umereno,između ekstremno malog i ekstremnovelikog...Ovi parametri se podešavajupromenom nivoa vode u tanku...i podešavanjem položaja zasuna...Analiza ostalih tipova pasivnihtankova, veoma slična...PREDAVANJA 2009. 231

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.4.3.2. Aktivni stabilizatoriAktivni stabilizatori valjanja predstavljajudeo petlje automatskog upravljanja (kontrole)valjanja...Aktivna perajaAktivna peraja su vrsta podvodnih krila,koja se postavljaju iznad uzvoja, okosredine brodaNa brodu postoje merni uređaji – senzori, kojimere kretanje broda (npr. nagib, ugaonubrzinu, ugaono ubrzanje valjanja)...Na osnovu izmerenih kretanja sistem aktiviraservo motor, koji dalje pokreće samstabilizator...Kretanje stabilizatora utiče na valjanje broda,što registruju senzori... čime se petlja zatvara.Krila su simetrična, i vezana za servo motorkoji može menjati napadni ugaonastrujavanja vode tokom plovidbe...Peraja se, po pravilu, mogu uvlačiti u trup,da ne bi povećavala otpor na mirnoj vodi ismatala pri pristajanju broda...Kod ratnih brodova su češća “fiksna”rešenja...PREDAVANJA 2009. 232

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Presek peraja je simetričnan hidroprofilna koji, pri napredovanju broda, vodanastrujava brzinom v oKoeficijent uzgona profila c L zavisi od vitkostikrila A R , i od tipa profila...Za peraje zadate geometrije, koeficijentuzgona profila je, međutim, isključivo funkcijanapadnog ugla ε ...Ukoliko je napadni ugao ε = 0 , na profildeluje samo sila otpora F DUkoliko je napadni ugao različit od nule,javlja se i sila uzona12Za (relativno) male napadne uglove zavisnostFL=c L Ap vo2 ρ je približno linearnaZa razliku od ljuljnih kobilica, uticajperaja na valjanje bitno zavisi od brzineplovidbe...i v o = 0 je praktično zanemarljiv...pri čemu se, s promenom smera napadnog uglamenja znak koeficijenta c L , odnosno smer sileuzgona...cL≈ a εLPREDAVANJA 2009. 233

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Peraja na suprotnim bokovima supodešena tako da zaklapaju napadneuglove suprotnog smera...Sada dolazimo do ključnog problema ovog, isvakog drugog aktivnog stabilizatora...Po kom zakonu treba pokretati stabilizator da biuticaj na smanjenje valjanje broda bio najveći?Kako izabrati zakon zakretanja peraja ε(t) ?Sile koje deluju na dva perajastvaraju ukupan moment za osu xM = 2F r = ρc A r v ≈2p L p L p p o2≈ ρ A rv ⋅ aε = aa ⋅ε()tp p o L L MMoment kojim peraje deluju na brodje, prema tome, srazmeran napadnomuglu peraja, odnosno zakonuzakretanja peraja ε(t) ...Diferencijalna jednačina valjanja broda saperajama, na regularnim talasima, glasi( x ϕ )J + m ϕ + n ϕ + gDMG⋅ ϕ =ϕ= gDMGαcosωt −Mo T pNameće se, makar na prvi pogled, rešenje kodkoga aktivni moment poništava pobudni momenttalasaM = gDMG α cosωtp o Todnosno zakon zakretanja peraja glasigDMGαoε() t = ⋅cosωTta2PREDAVANJA 2009. 234

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Tada bi valjanje broda opisivalajednačina slobodnih oscilacija, čijerešenje vremenom opada i teži nuli, pase brod na talasima uopšte ne bi valjao!Takvo elegantno poništavanje valjanja,jna žalost, nije tehnički izvodljivo.Na brodu nije unapred poznatafrekvencija talasa ω T , a ni amplitudanagiba talasa α o , posebno u slučajuplovidbe po neregularnim talasima...Zato nije moguće servo motoruzadavati kretanje koji zavisi od ovihveličina...Ma koliko poništenje momenta talasadelovao primamljivo, moramo potražitidrugo, tehnički primenljivije rešenje.Neophodno je meriti zakone valjanjabroda...i na osnovu tih kretanja zadavatikretanje stabilizatoru...Najbolje (iako ne i jedino rešenje) je ono pri komeservo motor zakreće peraja srazmerno ugaonojbrzini valjanja brodaε () t = ⋅ ϕa ωTada se aktivni moment peraja menja po zakonuMp= aLaM ⋅ ε () t = aLaMa ω⋅ ϕa diferencijalna jednačina valjanja postaje( x ϕ )odnosnoJ + m ϕ + n ϕ + gDMG⋅ ϕ =ϕ=gDMG α cos−oωTt aLaMa ωϕ2 2( ) ϕ ϕ ϕcos ϕ + 2 μ + μ ϕ + ω ⋅ ϕ = αω ωtp o TAktivni moment peraja se (formalno) javlja kaododatni koeficijent prigušenja –aktivnoprigušenje μ p ..!Aktivni stabilizator tako “napada” isti član kao inajprostiji prigušivači valjanja – ljuljne kobilice...Rezultat aktivnog stabilizatora je, međutim, dalekopovoljniji...PREDAVANJA 2009. 235

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Kod brzih brodova (tipično v o > 15 čv)uticaj peraja postaje veoma značajan, aprigušenje valjanja veoma efikasno...Na neregularnim talasimaTipična prenosna funkcija valjanjavelikog gputničkog broda (kruzera)opremljenog aktivnim perajamaRezonantni pik je, zbog velikog aktivnogprigušenja potpuno poništen, a prenosnafunkcija monotono opada s porastomfrekvencije valjanja.PREDAVANJA 2009. 236

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Aktivne peraje su veoma efikasanstabilizator valjanja...Danas, najefikasniji...Imaju, međutim, i dve bitne mane...Njihova efikasnost zavisi od(kvadrata) brzine plovidbe...Uticaj im se smanjuje sa smanjenjembrzine plovidbe, i neupotrebljive sukod sporih brodova...Takođe, ceo uređaj, koji osim perajaobuhvata senzore, servo motor idodatnu opremu, je veoma složen iskup...Posebno u slučaju kada se perajeuvlače u trup broda.(Cena je i preko milion dolara)Zato nisu primenljiva na jeftinebrodove...ŽiroskopiKada se u knjigama ili predavanjima iz Mehanikestigne do poglavlja o žiroskopima, naglasi se(možda da se opravda složena teorija koja sledi) dažiroskopi služe kao stabilizatori valjanja broda...To je samo delimično tačno.Žiroskopi su se primenjivali kao stabilizatorivaljanja u prvoj polovini dvadesetog veka, ali sudanas praktično istisnuti iz upotrebe...I pored toga, ovde ćemo objasniti princip njihovograda, i to ne samo iz istorijskih razloga...Naime, iako istisnuti iz upotrebe kao stabilizatori,žiroskopi su se (zbog svojih jedinstvenih osobina)izborili za drugo, važno mesto unutar petljeautomatske stabilizaciju valjanja broda...Uz to, i danas se povremeno javljaju pokušajireaktiviranja žiroskopi kao aktivnih stabilizatoravaljanja broda...PREDAVANJA 2009. 237

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Osnovni deo brodskog žiroskopa zastabilizaciju valjanja predstavlja disk (rotor)velikog prečnika i mase, koji se velikom,konstantnom ugaonom brzinom obrće okosopstvene ose...Neka je to osa z, a ugaona brzina sopstvenerotacije ω o = constUgaona brzina sopstvene rotacije može seizraziti u vektorskom obliku ωo= ωokLežajevi A 1 , A 2 , o koje se oslanja vratilorotora nisu nepokretni, već su vezani zaprsten (ram) koji može da se ljulja (obrće)oko poprečne ose y ...pri čemu se ram (preko svog vratila) oslanjao ležajeve B 1 , B 2 , koji su kruto vezani zatrup broda...Ugaonu brzinu obrtanja rama oko ose y jeugaona brzina precesije ω p , koja se uvektorskom obliku izražava kao ω = ωpp jDok nema precesionog kretanja (dok je ω p = 0)ovakav uređaj – žiroskop, ne pokazuje nikakvaneuobičajena svojstva...Međutim, kada mu se zada malo precesionokretanjeω()tωpodnosno kada se zaljulja oko ose y ...menja se pravac ose sopstvene rotacije z ,a uređaj se ovoj promeni odupire napotpuno specifičan (žiroskopski) način...oPREDAVANJA 2009. 238

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Javlja se žiroskopski efekat, odnosnouređaj stvara žiroskopski moment M = J ω × ω =−J ω ω iG z o p z o pMoment je upravan na vektore ugaonihbrzina, odnosno deluje oko uzdućne osebroda x ...Znači, moment ne teži da vrati osusopstvene rotacije u prvobitni položaj, većda ceo uređaj obrne oko treće, upravneose...Fizički, moment deluje na rotor, i prenosise kao spreg dve suprotne dinamičke sileF A (koje deluju u ležajevima A 1 , A 2 ) naram...Dalje, j,preko sprega dinamičkih sila F B(koje deluju u ležajevima B 1 , B 2 )žiroskopski moment se prenosi na trupbroda...Pema tome, kada se ram žoroskopa zaljulja pozakonu ω p (t) , na brod će delovati momentM () t = J ωω () tG z o pUkoliko su moment inercije i soptvena ugaonabrzina žiroskopa dovoljno veliki, ovakavmoment može služiti za stabilizaciju valjanjabroda...PREDAVANJA 2009. 239

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Videli smo da je aktivni stabilizatornajefikasniji kada deluje momentomkoji je srazmeran ugaonoj brzinivaljanja broda...Prema tome, zakon preceseije koji sezadaje žiroskopu treba da glasiω () t p∼ ϕ() t = a ϕ()ttako da se žiroskopski moment menja pozakonuM t = J ωa ⋅ G() z o ωϕ() tconstodnosno (matematički) da povećavaprigušenje u diferencijalnoj jednačinivaljanja broda...Dobro projektovan aktivni žiroskop nijemanje efikasan od aktivnih ih peraja...Čak ima i jednu značajnu prednost:njegova efikasnost ne zavisi od brzineplovidbe, tako da može smanjiti iljuljanje broda koji ne napreduje...ωŽiroskopi, međutim, imaju niz ozbiljnih mana...To je složen i skup uređaj, koji zahvata značajan(žiroskopski) prostor unutar broda...Uređaj, sem servo motora koji zadaje precesionokretanje, mora posedovati i motor koju zadajestalno (konstantno) sopstveno obrtanje...Tipično, veliki putnički brodovi su imali višežiroskopa, sa rotorima prečnika preko 4 m, masepreko 300 t, koji bi se pokretali u slučaju oluje, iobrtali sa skoro 1000 o/min.Uređaji imaju i dodatne probleme, vezane zasamu prirodu žiroskopskog efekta...Zamislimo da brod sa žiroskopom počne daposrće...Žiroskop bi to prepoznao kao precesionokretanje, stvorio moment oko uzdužne ose iizazvao valjanje broda!Rešenje je, na prvi pogled, da se uređaj obrne za90°, tako da osa sopstvene rotacije postanehorizontalna... Tada bi, međutim, svako skretanjebroda izazivalo neželjene žiroskopske efekte...PREDAVANJA 2009. 240

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ovi problemi se mogu rešiti ugradnjom dva(tzv. tandem) žiroskopa koji međusobneponištavaju neželjene efekte...Sistem se, međutim, dodatno komplikuje, ipostaje nekonkurentan drugim aktivnimuređajima za stabilizaciju valjanja broda...Jedan od (retkih) savremenih pokušajarevitalizacvije žiroskopaŽiroskopi su (možda) izgubili utakmicukao stabilizatori, ali su se izborili zadrugu važnu ulogu...Osnovna osobina žiroskopa je da prepoznajepromenu pravca ose sopstvene rotacije, i dana nju reaguje stvaranjem žiroskopskogmomenta...Ova osobina ima ceo niz važnih primena...a idealna je za ulogu senzora u petljuautomatske stabilizacije valjanja...Naime, ako je ram žiroskopa postavljen takoda precesiju stvara valjanja broda...žiroskop će na svako valjanje reagovatimomentom srazmernim ugaonoj jbrziniivaljanja...i na taj način davati impuls servo motoruaktivnog stabilizatora – npr. perajima.A za ovu svrhu, žiroskopne treba da ima velikedimenzije i veliku masu,niti visoku cenu...PREDAVANJA 2009. 241

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Aktivni ljuljni tankoviU pasivnim ljuljnim tankovima, voda vršislobodno oscilovanje...Efikasnost ljuljnih tankova može se bitnopovećati ć ako se u njih ugrade uređaji đ kojiizazivaju prinudne oscilacije vode...Za to su posebno pogodni U-tankovi, u koje semože ugraditi reverzibilna pumpa u spojnu cev...ili periodično dovodi vazduh visokog pritiska uprostor nad slobodnom površinom...U prvoj varjanti se (tipično) koristi propelerskapumpa velikog kapaciteta.U drugoj varjanti, vazduh pod pritiskom sedovodi iz kompresora i razvodi prekočetvorokrake slavine...Uobičajeno je da oba rešenja služe i kaonakretni sistemi broda...odnosno sistemi koji ispravljaju neželjenistatički nagib broda.PREDAVANJA 2009. 242

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Tipična prenosne funkcije broda sa aktivnimljuljnim tankovima (slabo prigušenje, slučaj sakompresorom)...kpgde je bϕ= Δ p = k p ϕ2ρlekvDobijene prenosne funkcije pokazuju da efektiaktivnog tanka (makar teorijski) ne zaostaje zaefektima aktivnih peraja..Dodatno, uticaj ljuljnih tankova ne zavisi odbrzine napredovanja broda, i u tom pogledu imajuznačajnu prednost u odnosu na aktivna peraja...Situacija, međutim, nije tolikopovoljna...Kod ovih stabilizatora, zbog većeinercije sistema, ne može se izbećiznačajno kašnjenje kretanja vode utanku za ugaonom brzinom valjanja...što bitno pogoršava realni oblikprenosne funkcije u odnosu na dobijenateorijska rešenja...Posebno su u ovom pogledu nepovoljniU-tankovi s reverzibilnim pumpama...Takođe, i utrošak energije za aktiviranjeU-tanka je relativno velik...Zato se, u praksi, aktivni ljuljni tankovinisu pokazali konkurentni aktivnimperajama...i danas su (za razliku od pasivnihtankova) praktično istisnuti izupotrebe... (?)PREDAVANJA 2009. 243

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________KormiloNa svakom brodu postoji kormilo ikormilarski uređaj, potpuno nezavisno odproblema ponašanja broda na talasima...Postojeće ć kormilo se, međutim, đ možeiskoristiti i kao aktivni stabilizatori valjanjabroda...Ustvari, pomorci su oduvek znali da veštimmanipulisanjem kormilom mogu smanjitiljuljanje broda...I dok su oni to vekovima radili na osnovuiskustva (na osećaj)...danas su razvijeni sistemi upravljanjakormilarskim uređajem koji automatizujuovaj tradicionalni metod stabilizacijebroda.Teorija je, u principu, veoma slična, teorijiperaja...Efikasnost uređaja je, međutim, znatnomanja...Projektant uređaja s aktivnim perajimaodređuje (bira) parametre peraja tako da dobijedovoljno veliko aktivno prigušenje valjanja...Pod njegovom kontrolom su, pre svega,površina peraja i maksimalni napadni ugaoperaja...Kod kormila je situacija drugačija...Površina kormila je zadata drugim uslovima, inije pod kontrolom projektanta uređaja zastabilizaciju valjanja...Osnovna razlika je, međutim, u maksimalnomnapadnom uglu...Kod peraja je ovaj ugao ograničen samohidrodinamičkim uslovima (odvajanjemstrujnica, kavitacijom), i kreće se oko 25°...Kod kormila, da bi se izbeglo skretanje broda skursa, ugao zakretanje se ograničava na znatnomanje vrednosti...PREDAVANJA 2009. 244

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Aktivno prigušenje koje se postiže kormilomje zato daleko manje...Kormilo, kao stabilizator valjanja, je dalekomanje efikasno od aktivnih peraja,i odgovara (grubo) tipičnim pasivnimstabilizatorima valjanja...tako da ovakav metod stabilizacije nezahteva poseban stabilizator, niti posebanservo motor.Sve što treba dodati je senzor valjanja,id dopunski sistem upravljanja j (postojećeg)ć kormilarskog uređaja...S druge strane, i kormilo i kormilarskiuređaj već postoje na brodu...Uređaj je zato oko deset puta jeftiniji, ineuporedivo manji, i lakši od aktivnihperaja...Dodatna prednost je što se može naknadnougraditi u brod, bez ikakve značajnijerekonstrukcije...PREDAVANJA 2009. 245

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Izbor tipa stabilizatoraUobičajeno je da savremeni brodoviimaju neki od stabilizatoraljuljanja...Ukoliko su one nedovoljne...treba razmišljati o pasivnim ljuljnim tankovima...Danas se, najčešće koriste• ljuljne kobilice,• pasivni ljuljni tankovi,• aktivne perajePraktično svi komercijalni i ratnibrodovi imaju (bar) ljuljnekobilice...Tipično, savremeni kontejnerski brodovi imajupasivne ljuljne tankove...Smanjuju i opasnost od parametarskog valjanja..PREDAVANJA 2009. 246

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Ukoliko su ljuljni tankovi nedovoljni,najbolji (i najskuplji) stabilizator suaktivna peraja (active fins)...Postoji i niz drugih stabilizatora:paravani (za ribarske brodove)kormila (za brze brodove,posebno pri naknadnomugrađivanju)aktivni ljuljni tankovi (trenutnopotisnuti)žiroskopi (ponovo)itd...Koriste ih putnički brodovi (kruzeri)...Ratni brodovi (sistem bez uvlačenja)Mega jahte...PREDAVANJA 2009. 247

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________5.5. OPERATIVNOST BRODAImali smo problem da ocenimo ukupnupomorstvenost broda...da uporedimo kvalitet različitih brodova...To nam omogućava parametar poznat kaooperatinost broda (operability), ili operacionaefikasnost broda...Operativnost broda predstavlja verovatnoću da će,pri iizvršenju zadatka, sve norme pomorstvenostitibiti zadovoljene...Ustvari, verovatnoću da će brod moći da izvršitraženi zadatak...Da bi se odredila operativnost broda potrebnoje, prvo, proračunati č pojedine jdi karakteristike kt tikljuljanja u funkciji visine talasa...i odrediti stanje mora (visinu talasa) na komebrod dostiže maksimalno dozvoljene vrednosti(norme) ovih karakteristika ljuljanja...Zatim, na osnovu dugoročne statistikestanja mora...treba odrediti verovatnoću dostizanjabaš one visine talasa na kojima broddostiže norme...To je složen, i obiman posao...Prikazaćemo postupak, kroz jedantipičan primer...Mali kontejnerski brod – fider dužine110,6 m, brzine 14 kn, plovi naSevernom Atlantiku (zona 9) s istoka nazapad, u zimskom periodu...PREDAVANJA 2009. 248

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Proračunamo (npr) RMS vrednost poprečnogubrzanja na komandnom mostu, pri plovidbina bočnim talasima...Odredimo visinu talasa na kojima ubrzanjedostiže normu (npr. 02g) 0,2g) ...i dobijamo tako( aη)1 3h/= f( μ)Unutar sive zone, norma je zadovoljena...Dobijamo (npr)( aη)1 3h/( 90° ) ≈4,75mUradimo to za različite pravce plovidbe...Kolika je verovatnoća pojave talasa prikojima je norma zadovoljena..?Zavisi od oblasti plovidbe...Zona 9, pravac plovidbe istok – zapad,zimski period...PREDAVANJA 2009. 249

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Verovatnoća pojavljuvanja telasa u oblasti 9,decembar - februarh 1/3 (m) W NW N NE E SE S SWμ = 180° μ = 135° μ = 90° μ = 45° μ = 0° μ =- 45° μ = -90° μ =- 135°0-1 0.006832 0.004286 0.003014 0.003801 0.004312 0.00423 0.0033 0.0073111-2 0.029313 0.019289 0.013062 0.010992 0.01503 0.022184 0.032221 0.0371492-3 0.040994 0.024816 0.0157 0.011587 0.015893 0.02585 0.052989 0.043673-4 0.039892 0.021545 0.012372 0.008565 0.011519 0.018424 0.045614 0.038734-5 0.03284 0.015679 0.008038 0.005267 0.007022 0.01081 0.028921 0.0282575-6 0.024244 0.010378 0.004773 0.002885 0.003881 0.005828 0.015722 0.0187726-7 0.01675 0.006542 0.002638 0.001466 0.001971 0.003102 0.007958 0.011461Dobija se (npr)( aη)V ⎡h13/( 90° ) ⎤ ≈⎣ ⎦≈ 0, 0030 + 0, 01306 + 0,0157 ++ 0, 0124 + 0, 0080 = 0, 0522...7-8 0.01102 0.004061 0.001444 0.000687 0.000924 0.001598 0.003688 0.0027668-9 0.007053 0.002482 0.000754 0.000321 0.000493 0.000846 0.001747 0.0039529-10 0.004408 0.001466 0.00044 0.000137 0.000246 0.00047 0.000776 0.00217410-11 0.002645 0.000902 0.000251 9.16E-05 0.000123 0.000282 0.000388 0.00118611-12 0.001543 0.000564 0.000126 4.58E-05 6.16E-05 0.000094 0.000194 0.0007912-13 0.000882 0.000338 6.28E-05 0 6.16E-05 0.000094 0.000194 0.00039513-14 0.000661 0.000226 6.28E-05 0 0 0 0 0.000198preko 14 0.000882 0.000338 6.28E-05 0 0 0 0 0.000395PREDAVANJA 2009. 250

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Uradimo to za sve pravce plovidbe uodnosu na talase...i saberemo verovatnoćen∑μnn∑μ = 180° μ =− 180°( aη) ( aη)V = V ⎡h ⎤+V ⎡h⎤a 1/ 3( μn) 1/3( μn)η ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= 0 μ = 0nOdređene su( ϕ) ( ψ)( aζ)V ⎡h13 /( μ) ⎤, V ⎡h13 /( μ) ⎤, V ⎡h13/( μ) ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦,⎣ ⎦( aη) ( slem)V ⎡h13 /( μ) ⎤, V ⎡h13/( μ)⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦Dobijamo verovatnoću da u zimskimmesecima poprečno ubrzanje neće bitiveće od norme...Postupak treba ponoviti za niz različitihkarakteristika ljuljanja broda, iodgovarajućih normi...U konkretnom primeru, zbogjednostavnosti, analizirano je samo 5karakteristika povorstvenosti:RMS vrednost amplitude valjanja,posrtanja, vertikalnog i poprečnogubrzanja na komandnom mostu, iverovatnoću sleminga...ϕψ , , a , a , V( slem)ζηPREDAVANJA 2009. 251

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Verovatnoća da pojedinačna karakteristika ljuljanje broda neće prevazići normu(odnosno da će karakteristike ljuljanja biti manje od maksimalno dozvoljenih),za sve moguće uglove plovidbe broda u odnosu na talase, je tadaμ = 180° μ =− 180°n∑n∑() i() iVi = V ⎡h1/ 3( μn) ⎤+V ⎡h1/3( μn)⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦μ = 0 μ = 0nnVerovatnoća da će sve norme biti zadovoljene jednaka je proizvodu svih verovatnoća, i iznosi∏Ω = V ⋅V ⋅V ⋅⋅⋅= ∏V=1 2 3 ii 1To je tražena operativnost (operaciona efikasnost) brodanU konkretnom primeru, dobija se Ω ≈ 0,72 =72%Toliki procenat vremena brod bi bio u stanju da obavlja predviđenu službu u zimskimmesecima na Severnom Atlantiku...U preostaih 28% slučajeva, kontejneri ne bi mogli biti isporučeni u predviđenom roku...PREDAVANJA 2009. 252

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Da se vidi primena ovog bezdimenzionogparametra, uporedićemo nekoliko različitihbrodova...Brod A – mali kontejnerski brod (L = 110 m)...Brod B – veliki kontejnerski brod (L = 282 m)...Brod C – mali kontejnerski brod, većeg odnosaL/T...Brod D – kontejnerski brod (L = 175 m),V forme rebara...Brod E – kontejnerski brod (L = 175 m),U forme rebara...Brod F – kontejnerski brod (L = 175 m), većebrzine plovidbe...Svi u oblasti 9 Severnog Atlantika, tik uzimskim mesecima...Primeri potvrđuju ono što smo(kvalitativno) već znali...Pomorstvenost broda se poboljšava sapovećanjem broda, sa smanjenjem brzineplovidbe, sa popunjavanjem vodne linije...Međutim, sada imamo, u formibezdimenzionog parametra Ω, i objektivnukvantitativnu meru ovih uticaja...PREDAVANJA 2009. 253

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA____________________________Το nam omogućava da odgovorimo i naranije postavljeno pitanje:koliko je projektant broda u mogućnostida, pri zadatom deplasmanu, poboljšapomorstvenost broda?Ako je neko očekivao da vešt projektantmože sprečiti, ili dramatično smanjitinegativne posledice ljuljanja, svakakonije bio u pravu...Međutim, izvesna poboljšanjaoperativnosi (prema navedenimprimerima, reda veličine 5%) ipak jesumoguća...Mogućnosti proračuna operativnostibroda znatno su veće i složenije od onihkoje su date u nekoliko prethodnihprimera...Moguće je uzeti u obzir znatno veći brojkriterijuma...Moguće je, dalje, uzeti u obzir različite pravceplovidbe,i tako, na primer, analizirati operativnostratnih, patrolnih brodova...Moguće je upoređivati različita stanjaopterećenja broda, različite rute plovidbe irazličita godišnja doba...Proračun operativnosti omogućavaju analizu ipoređenje različitih rešenja s aspektapomorstvenosti...i zato predstavlja (ili treba da predstavlja)važan deo studija izvodljivosti i ranih fazaprojektovanja brodova...Na neki način, analiza operativnosti brodapredstavlja krunu celog proračuna ponašanjabroda na talasima...PREDAVANJA 2009. 254