Apuntes del Proceso Generalizado de Restauración

Yañez Medina, Medardo
Apuntes Proceso Generalizado de Restauración
[ ln( L)
]
∂
∂q
=
( β −1)
∑
⎛
⎜
i −1
t
⎞
⎟
β 1
n
j
β
−
( β−1
) n i 1
n
i 1
i 1
j 1 βq ⎛
−
⎞ β ⎛
−
⎞ ⎛
−
⎜ ⎟
⎞ Ecuación 4.27
=
⎜ t ⎟ ⎜
j
ti
q t ⎟ ⎜
j
t ⎟
⎜
+
−
j
= 0
i 1
β
β
i 2
α i 2 j 1 α
+
− ⎟ ∑ ∑
∑ ∑
∑
= =
i 2
j 1
j 1
⎜ ti
+ q t
⎝ = ⎠
= ⎝ = ⎠ ⎝ = ⎠
∑ j ⎟
j = 1
⎝
∑
⎠
Las ecuaciones 4.25, 4.26 y 4.27, forman el sistema de tres ecuaciones cuya
solución para un grupo de datos particulares da como resultado los estimados
para α, β y q.
Ecuaciones para los Parámetros del PNHP Caso 2: Equipo Operando
La estimación se realiza cuando el equipo esta operando ha transcurrido un
tiempo t k desde la ocurrencia de la ultima falla
Ecuación 4.28
[ ln( L)
]
α
∂
n
n
⎡
⎛
t q t
⎞ ⎛
q t
⎞
β
β
n
i 1
i 1 ⎤ ⎡ t ⎤ ⎜ + ∑ ⎟ ⎜ ∑ ⎟
⎢
⎛
−
⎞ ⎛
−
β
β
⎞
1
t
i
q t
j
q t ⎥ β ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 j
+ ⎢⎜
⎟ −
=
⎢
+ −
β + ∑ ∑
∑
α
i = 2
j 1
j 1
⎥ ⎢⎣
⎝ ⎠ ⎥⎦
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎣
⎝ = ⎠ ⎝ = ⎠ α α
⎦
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
K
j
j
β
j = 1 β j 1
( n) ⎥ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ 0
α α α α
∂ =
Ecuación 4.29
β
i −1
β
i −1
i −1
β
i −1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
n
β
n
n
β
n
t q t t q t q t q t ⎛
q t
⎞ ⎛
T q t
⎞ ⎛
q t
⎞ ⎛
q t
⎞
β
⎜ i
+
j ⎟ ⎜ i
+
j ⎟ ⎜ j ⎟ ⎜ j ⎟⎥
j
j
j
j
[ ln( L)
] ⎡
n
i 1
( n)
t t ⎤ ⎡
⎜ + ∑ ⎜ + ∑ ⎜ ∑ ⎜ ∑ ⎟
1
1
⎛
−
∑ ∑ ∑ ∑
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎞
⎟
⎟ ⎟
⎜ j = 1 ⎟ ⎜ j = 1 ⎟ ⎜ j = 1 ⎟ ⎜ j = 1 ⎟⎥
j = 1
j = 1
j = 1
j 1
= ⎢ + ln( t1 ) − ( n) ln( α ) − ⎜ ⎟ ln⎜
⎟⎥
+ ∑ ⎢ln⎜t
i
q t ⎟
j
ln
+ ln − ⎜ ⎟ ln⎜
⎟ + ⎜ ⎟ ln⎜
⎟
+ ∑ −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥
= 0
∂β
⎢
i 2 ⎢⎣
j 1
⎣
β
⎝ α ⎠ ⎝ α ⎠⎥
= ⎝ =
⎦
⎠ α
α α α ⎜ α ⎟ ⎜ α ⎟ ⎜ α ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎥
α
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎦
∂ =
Ecuación 4.30
[ ln( L)
]
∂
∂q
=
( β − 1)
∑
i −1
⎛ ⎞
⎜ t
n
∑ j ⎟
β
( β −1)
n i 1
j 0 βq ⎛
−
⎜ = ⎟
⎞
⎜ t ⎟
⎜
+
i −1
⎟ β ∑ j
i 1
α
∑
= i = 1 j 0
ti
q t
⎝ = ⎠
⎜ + ∑ j
⎟
⎝ j = 0 ⎠
β
−
β
α
i
n
∑
= 1
⎛
i
⎜
ti
+ q
⎝ j
−1
∑
= 0
β
⎞
t ⎟
j
⎠
−1
⎛
⎜
⎝
i
j
−1
∑
= 0
n
⎛
q t
⎞
j
⎞ ⎜ ∑
β ⎟
j = 1
t ⎟ ⎜ ⎟
j
+
⎠ q ⎜ α ⎟
⎝ ⎠
β
β
β
n
n
⎛
t q t
⎞ ⎛
t
⎞
⎜ K
+ ∑ j ⎟ ⎜ ∑ j ⎟
j = 1
j = 1
− β.
⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ = 0
n
⎜ α ⎟ ⎜T
q t ⎟
+ ∑ j
⎝ ⎠ ⎝ j = 1 ⎠
Al solucionar el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones 4.28, 4.29 y
4.30 para un grupo de datos se obtienen como resultado los valores de α, β y q.
Solución Numérica para la estimación de los parámetros del PGR
Desafortunadamente, los sistemas de ecuaciones desarrollados para la
estimación de los parámetros del PGR en los dos casos analizados no tiene una
solución matemática de forma cerrada. Por tal razón, se desarrollo un algoritmo
numérico basado en simulación de Montecarlo con la finalidad de resolver el
sistema de ecuaciones. A continuación se muestra y explica detalladamente el
flujograma de solución
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