Anteckningar i Inledande Matematik

Anteckningar i 

Inledande Matematik 

Anders Logg 

Chalmers tekniska högskola 

(Utkast, version 30 augusti 2016)

Copyright © 2016 Anders Logg

Förord och läsanvisningar 

Dessa anteckningar är avsedda att användas som kompletterande material i kursen Inledande 

matematik på M (TMV225) på Chalmers. Vi kommer i huvudsak att använda oss av boken 

Calculus (Adams & Essex) men läsvecka 1 och 6 kommer vi att läsa kapitel 1 respektive 6 i 

dessa anteckningar som täcker ämnen som inte tas upp i Adams & Essex. 

Kapitel 1 behandlar grundläggande matematisk notation, talföljder, konvergens, Cauchyföljder 

och konstruktionen av de reella talen R. Detta kommer vi att få stor användning för under 

de kommande veckorna. 

Kapitel 6 behandlar metoder (algoritmer) för lösning av ekvationer: bisektionsalgoritmen, 

fixpunktsalgoritmen och Newtons metod. 

Synpunkter och korrigeringar mottages tacksamt, på Twitter (@professorlogg) eller på 

email (logg@chalmers.se)! 

Anders Logg 

Göteborg, 30 augusti 2016 

Tack! 

Stort tack till Niklas Ericsson och Stig Larsson för många bra kommentarer och synpunkter 

på texten! Stort tack också till övningsledare på TMV225 för korrekturläsning av bokens facit: 

Robert Forslund, Felix Held, Carl Lundholm, Raad Salman och Joel Sjögren.

Innehåll 

0 Ekvationen f (x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1 Reella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.1 Mängdlära 11 

1.2 Matematisk logik 12 

1.3 Rationella tal 16 

1.4 Talföljder och konvergens 19 

1.5 Reella tal 24 

1.6 ⋆ Datorrepresentation av reella tal 31 

2 Funktioner (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

2.1 Introduktion 39 

3 Gränsvärde och kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 


4 Derivata och linjärisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 


5 Approximation och serieutveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 


6 Ekvationslösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

6.1 Introduktion 47

7 Tillämpningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 


8 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 


Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

Bibliografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

0. Ekvationen f (x) = 0 

I detta inledande kapitel funderar vi på hur man löser skalära ickelinjära ekvationer på 

formen f (x) = 0 och på vad det egentligen innebär att lösa en ekvation. Vi presenterar ett 

par exempel på till synes enkla ekvationer som visar sig vara mycket svårlösta och ser hur 

dessa kan lösas med generella metoder. 

Symbolisk ekvationslösning 

Hur löser man ekvationen f (x) = 0? Denna fråga kommer att gå som en röd tråd genom första 

delen av den här boken. 

Vi är vana vid att lösa enkla algebraiska ekvationer som till exempel andragradsekvationen 

x 2 + bx + c = 0. Vi kan direkt skriva upp lösningen (lösningsskaran) som 

x = − b 2 ± √b 2 /4 − c. (1) 

Men låt oss för en stund fundera på ekvationen x 2 = 2, det vill säga b = 0 och c = −2. Lösningarna 

ges då av 

x = ± √ 2. (2) 

Men vad är √ 2? Har vi verkligen löst ekvationen x 2 = 2 genom att skriva x = √ 2, eller har vi i 

själva verket bara hittat på en symbol ( √ ) för lösningen? Och hur vet vi alls att ekvationen 

har en lösning? Finns talet √ 2? Dessa frågor kommer vi att besvara redan i kapitel 1 när vi ger 

mening åt symbolen √ . 

Detta med att ge mening åt olika symboler är centralt inom matematiken och vi kommer i 

de följande kapitlen att ge mening åt symboler som √ 

d 

, lim n→∞ , 

dx och ∑∞ n=1 och, inte minst, 

hitta användning för dessa verktyg. 

Men även om man kan ge mening åt symboler som √ så räcker det inte långt om man 

vill lösa allmänna ekvationer på formen f (x) = 0. För vad är till exempel lösningsformeln för 

följande till synes enkla ekvation? 

x = cos(x) (Ekvationen kan alternativt skrivas som f (x) = x − cos(x) = 0.) (3) 

Denna ekvation saknar en enkel lösningsformel. Vi skulle kunna hitta på en symbol för ekvationens 

lösning (ty ekvationen har en lösning), men vi kommer istället att se hur lösningen enkelt 

kan beräknas med en generell lösningsalgoritm.

8 Kapitel 0. Ekvationen f (x) = 0 

Generella lösningsalgoritmer 

I kapitel 6 kommer vi att konstruera kraftfulla lösningsalgoritmer som, under vissa milda antaganden, 

kan lösa alla tänkbara ekvationer skrivna på formen f (x) = 0, till exempel f (x) = 

x 2 + bx + c = 0, f (x) = x 2 − 2 = 0 eller f (x) = x − cos(x) = 0: bisektionsalgoritmen, fixpunktsalgoritmen 

och Newtons metod. 

Gemensamt för dessa algoritmer är att lösningsprocessen är iterativ; lösningen konstrueras 

genom att steg för steg beräkna allt noggrannare approximationer av lösningen, vilket kan göras 

med ett enkelt datorprogram. Ingen av algoritmerna ger en explicit formel för lösningen. Som en 

försmak på detta undersöker vi hur ekvationerna x = cos(x) och x 2 = 2 kan lösas iterativt. 

Exempel 0.1 — Lösning av ekvationen x = cos(x) med fixpunktsiteration. För att lösa 

ekvationen x = cos(x) gissar vi att lösningen är x = 1, vilket faktiskt inte är en helt orimlig 

gissning. Låt oss kalla denna gissning för x 0 och låt oss testa vad som händer om vi nu sätter in 

denna gissning i högerledet och beräknar x 1 = cos(x 0 ) = cos(1) ≈ 0.54. Detta värde tar vi som 

vår nya gissning. Varför detta skulle vara en bättre gissning återkommer vi till i senare kapitel, 

men låt oss för stunden se på detta som en lyckosam chansning. . . Vi upprepar förfarandet och 

stoppar nu in x 1 i högerledet och får x 2 = cos(x 1 ) ≈ 0.86. Om vi upprepar detta ett antal gånger 

ser vi att talen x 0 ,x 1 ,x 2 ,... ser ut att närma sig ett tal i närheten av 0.73908513321516: 

x 0 = 1 

x 1 = cos(x 0 ) ≈ 0.54030230586814 

x 2 = cos(x 1 ) ≈ 0.85755321584639 

x 3 = cos(x 2 ) ≈ 0.65428979049778 

x 4 = cos(x 3 ) ≈ 0.79348035874257 

x 5 = cos(x 4 ) ≈ 0.70136877362276 

. 

x n = cos(x n−1 ) 

. 

x 79 = cos(x 78 ) ≈ 0.73908513321515 

x 80 = cos(x 79 ) ≈ 0.73908513321517 

x 81 = cos(x 80 ) ≈ 0.73908513321516 

x 82 = cos(x 81 ) ≈ 0.73908513321516 

x 83 = cos(x 82 ) ≈ 0.73908513321516 

Detta förfarande kallas fixpunktsiteration och ger, i detta fall, en följd av tal som ser ut att 

närma sig (konvergera mot) ett tal ¯x ≈ 0.73908513321516. Vilket är då detta tal ¯x? Jo, eftersom 

uppenbarligen också cos( ¯x) ≈ 0.73908513321516 (se sista raden i följden av tal ovan) så drar vi 

slutsatsen att talföljden närmar sig det tal ¯x som löser just ekvationen x = cos(x)! 

I figur 1 åskådliggörs detta grafiskt. Vi ser att iterationerna snabbt närmar sig ett värde 

i närheten av 0.73908513321516. Vid närmare undersökning finner man att i varje iteration 

minskar avståndet mellan x n och lösningen ¯x med en faktor 0.67 ≈ sin( ¯x). I senare kapitel 

kommer vi att förstå varför. Vi kommer också att förstå hur vi skall göra för att lösningen skall 

konvergera (mycket!) snabbare. 

 

Exempel 0.2 — Lösning av ekvationen x 2 = 2 med fixpunktsiteration. Inspirerade av det 

förra exemplet försöker vi nu lösa ekvationen x 2 = 2 med fixpunktsiteration. Vi gissar återigen 

att lösningen ges av x = 1 och sätter x 0 = 1. Till skillnad mot ekvationen x = cos(x) så kan vi 

inte direkt sätta in x 0 i högerledet och få ut en ny gissning. Vi måste därför på något sätt lösa ut x 

ur ekvationen. Vi resonerar då på följande sätt. Om vår gissning x 0 är för liten (vilket den ju är, 

vi vet att √ 2 ≈ 1.41) så bör 2/x 0 vara för stor. Omvänt, om x 0 är för stor, så bör 2/x 0 vara för

9 

Figur 1: Iterativ lösning av ekvationen x = cos(x). Till vänster talen x 0 ,x 1 ,x 2 ,... som funktion 

av iterationsnumret n. Till höger “felet” |x n − 0.73908513321516|. 

liten. Och om x 0 är precis rätt, det vill om säga x 0 = √ 2 så är 2/x 0 = 2/ √ 2 = √ 2 = x 0 . Vi kan 

då hoppas på att medelvärdet av x 0 och 2/x 0 är en bättre gissning. Vi sätter därför 

x n = x n−1 + 2/x n−1 

. (4) 

2 

Om vi upprepar (itererar) detta förfarande får vi en följd av tal som ser ut att mycket snabbt 

närma sig ett tal i närheten av 1.4142135623731: 

x 0 = 1 

x 1 = (x 0 + 2/x 0 )/2 ≈ 1.5 

x 2 = (x 1 + 2/x 1 )/2 ≈ 1.4166666666667 

x 3 = (x 2 + 2/x 2 )/2 ≈ 1.4142156862745 

x 4 = (x 3 + 2/x 3 )/2 ≈ 1.4142135623747 

x 5 = (x 4 + 2/x 4 )/2 ≈ 1.4142135623731 

x 6 = (x 5 + 2/x 5 )/2 ≈ 1.4142135623731 

x 7 = (x 6 + 2/x 6 )/2 ≈ 1.4142135623731 

x 8 = (x 7 + 2/x 7 )/2 ≈ 1.4142135623731 

x 9 = (x 8 + 2/x 8 )/2 ≈ 1.4142135623731 

x 10 = (x 9 + 2/x 9 )/2 ≈ 1.4142135623731 

I figur 2 ser vi att lösningen redan efter fem iterationer har konvergerat mot lösningen ¯x ≈ 

1.4142135623731. I kapitel 6 kommer vi att förstå varför denna iteration konvergerar så mycket 

snabbare än iterationen för x = cos(x) i exempel 0.1. Innan vi lämnar ekvationen x 2 = 2 för 

stunden noterar vi att ekvationen 

x = x + 2/x 

2 

(5)

10 Kapitel 0. Ekvationen f (x) = 0 

Figur 2: Iterativ lösning av ekvationen x 2 = 2. Till vänster talen x 0 ,x 1 ,x 2 ,... som funktion av 

iterationsnumret n. Till höger “felet” |x n − 1.4142135623731|. 

är en omskrivning av ekvationen x 2 = 2, vilket indikerar att när iterationen har konvergerat så 

har vi funnit lösningen ¯x = √ 2 eftersom då vänsterled är lika med högerled i ekvation (5). 

Beräkning och matematisk analys 

Vi ser att ekvationerna x = cos(x) och x 2 = 2 enkelt kan lösas med hjälp av fixpunktsiteration 

(en dator kan utföra iterationerna på en bråkdel av en mikrosekund). Men vad är det som gör att 

fixpunktsiterationen fungerar? Varför närmar sig talföljden mystiskt lösningen till ekvationen? 

Vi kommer att kunna besvara dessa frågor i detalj och inte bara kunna förklara när och varför 

iterationen fungerar, utan också hur snabbt iterationen kan väntas ge ett svar. 

För att förstå och analysera fixpunktsiteration och andra generella tekniker för ekvationslösning 

kommer vi i de följande kapitlen att i detalj konstruera och studera det matematiska 

teoribygge som går under namnet matematisk analys. Vi kommer att behöva studera grundläggande 

begrepp från den matematiska analysen: de reella talen, funktionsbegreppet, gränsvärden, 

kontinuitet, derivata och serieutveckling (kapitel 1–5). Med hjälp av dessa verktyg kommer vi 

i kapitel 6 att kunna konstruera och analysera kraftfulla generella algoritmer för lösning av 

allmänna ekvationer på formen f (x) = 0. 

Redan i bokens första kapitel kommer vi att definiera de reella talen och finna att ekvationen 

x 2 = 2 faktiskt har en lösning x = √ 2 och att den lösningen är ett reellt tal.

Mängdlära 

Matematisk logik 

Rationella tal 

Talföljder och konvergens 

Reella tal 

⋆ Datorrepresentation av reella tal 

1. Reella tal 

I detta kapitel introducerar vi de reella talen som är själva byggstenen för den matematiska 

analysen. Att konstruera de reella talen är en högst icketrivial uppgift, men vi tar oss an 

uppgiften med gott mod och kommer att bli rikligt belönade i senare kapitel; vi kommer 

inte bara att kunna sova bättre — trygga i vetskapen att de kalkyler och beräkningar vi gör 

vilar på en solid matematisk grund — utan vi kommer också att se hur konstruktionen av 

de reella talen återkommer i konstruktionen och analysen av de beräkningsalgoritmer vi 

använder för att lösa ekvationer, allt från den enkla ekvationen x 2 = 2 till kopplade system 

av ickelinjära partiella differentialekvationer. 

1.1 Mängdlära 

För att effektivt kunna resonera om tal, funktioner och andra centrala objekt inleder vi med att 

sammanfatta grundläggande notation och resultat från mängdlära och logik. Vår första definition 

är mängdbegreppet. 

Definition 1.1 — Mängd. En mängd X är en samling av objekt. Om x är ett objekt i mängden 

X säger vi att x är ett element i mängden X och skriver x ∈ X, vilket utläses “x tillhör X”. Om 

x inte tillhör X skriver vi x /∈ X, vilket utläses “x tillhör inte X”. 

Detta är en högst informell definition (för vad är egentligen en “samling av objekt”?) men vi 

kommer att nöja oss med denna intuitiva definition. 1 En mängd skrivs ofta med klammerparentes 

som i följande exempel: 

A = {1,2,3,4,5}, (1.1) 

B = {1,2,3}, (1.2) 

C = {3,4,5,☺,♫}, (1.3) 

D = {5,☺,♫,3,4}, (1.4) 

E = {1,{1},{1,2,3}}, (1.5) 

F = {}. (1.6) 

Vi noterar direkt två viktiga punkter. För det första är en mängd oordnad, vilket innebär att 

elementens ordning saknar betydelse. Således är mängden C samma mängd som mängden D. 

1 En mer rigorös definition kan göras utifrån Zermelo–Fraenkels axiom; se till exempel [Tao06].

12 Kapitel 1. Reella tal 

För det andra kan elementen i en mängd också vara mängder såsom mängden E bestående av 

de tre elementen 1 (talet 1), {1} (mängden vars enda element är talet 1) och mängden {1,2,3}. 

Slutligen noterar vi att en mängd kan vara tom (mängden F). Det finns bara en sådan mängd. 

Den kallas tomma mängden och betecknas /0. 

När vi nu har definierat mängdbegreppet är det dags att definiera ett antal viktiga relationer 

och operationer på mängder: inklusion, likhet, union, snitt, differens och produkt. Vi ger följande 

informella definitioner. 

Definition 1.2 — Relationer mellan mängder. Låt A och B vara mängder. 

(Inklusion) A är en delmängd av B omm 2 alla element i A också är element i B; 

skrivs A ⊆ B. 

(Likhet) A och B är lika omm A ⊆ B och B ⊆ A; skrivs A = B. 

(Strikt inklusion) A är en strikt delmängd av B om A ⊆ B och A ≠ B; skrivs A ⊂ B. 

Definition 1.3 — Operationer på mängder. Låt A och B vara mängder. 

(Union) Unionen av A och B är mängden av alla objekt som är element i 

A eller B; skrivs A ∪ B. 

(Snitt) Snittet av A och B är mängden av alla objekt som är element i 

A och B; skrivs A ∩ B. 

(Differens) Differensen av A och B är mängden av alla element i A som inte 

också är element i B; skrivs A \ B. 

(Produkt) Produkten av A och B är mängden av alla ordnade par (a,b) 

där a är ett element i A och b är ett element i B; skrivs A × B. 

Exempel 1.1 — Relationer och operationer på mängder. Låt A-F vara mängderna definierade 

i (1.1–1.6). Då gäller (exempelvis) följande relationer: 

B ⊆ A (B är delmängd av A.) (1.7) 

B ⊂ A (B är strikt delmängd av A, mer precist.) (1.8) 

C = D (C och D är lika.) (1.9) 

F ⊆ A (/0 är delmängd av alla mängder.) (1.10) 

F ⊂ A (/0 är strikt delmängd av alla icke-tomma mängder.) (1.11) 

Vi kan också bilda nya mängder med hjälp av operationerna union, snitt, differens och produkt: 

A ∪ B = {1,2,3,4,5} (1.12) 

A ∪C = {1,2,3,4,5,☺,♫} (1.13) 

A ∩ B = {1,2,3} (1.14) 

A ∩C = {3,4,5} (1.15) 

A \ B = {4,5} (1.16) 

A \C = {1,2} (1.17) 

A × B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),...,(5,3)} (1.18) 

 

1.2 Matematisk logik 

Logik är matematikens språk och mängdläran kan anses vara en del av den matematiska logiken. 

Vi kommer inte att ge några formella definitioner av logiken utan sammanfattar istället den 

2 “omm” = “om och endast om”.


grundläggande notationen: ¬ (negation), ∧ (konjunktion — och), ∨ (disjunktion — eller), ⇒ 

(implikation) och ⇔ (ekvivalens). Vi ser på dessa symboler som mer precisa och kompakta 

skrivsätt för motsvarande uttryck på svenska språket. 

De logiska operatorerna ¬, ∧, ∨, ⇒ och ⇔ opererar på logiska utsagor. En logisk utsaga 

är ett uttryck som kan vara antingen sant (T) eller falskt (F), aldrig båda. Exempel på sådana 

uttryck är: 

P = Solen är en stjärna. (1.19) 

Q = (1 + 1 = 2) (1.20) 

R = (5 ∈ {1,2,3}) (1.21) 

De första två utsagorna är sanna (har värdet T) och den tredje utsagan är falsk (har värdet 

F). Notera att inte alla uttryck är utsagor. Exempelvis är 1 + 1 ett uttryck men inte en utsaga. 

(Uttrycket har värdet 2, inte sant eller falskt.) Notera också att ett uttryck kan se skenbart logiskt 

ut men ändå inte vara en giltig logisk utsaga. Exempelvis är 

0 

0 = 1 (1.22) 

inte en logisk utsaga eftersom division med noll inte är väldefinierat. 

De fem grundläggande logiska operatorerna ¬, ∧, ∨, ⇒ och ⇔ kombineras med utsagor 

för att bilda nya utsagor (uttryck som har värdet T eller F). Den första operatorn ¬ är en unär 

operator, vilket innebär att den opererar på en enda utsaga (operand). Om P är en utsaga betyder 

¬P detsamma som “icke P”, det vill säga den logiska motsatsen. (“Solen är inte en stjärna.”) 

De övriga fyra logiska operatorerna är binära och opererar på två utsagor (operander). Om P 

och Q är utsagor så betyder P ∧ Q detsamma som “P och Q” (att både P och Q är sanna); P ∨ Q 

betyder detsamma som “P eller Q” (att någon eller bådadera av P och Q är sanna); P ⇒ Q 

betyder detsamma som “P implicerar Q” (att Q måste vara sann om P är sann); och P ⇔ Q 

betyder detsamma som “P är ekvivalent med Q” (att P och Q alltid har samma sanningsvärde). 

Vi inför också symbolen för uteslutande eller; P Q är sann om och endast om exakt en av 

utsagorna P och Q är sanna. 

Eftersom logiska utsagor måste vara antingen sanna (T) eller falska (F) kan vi definiera 

de logiska operatorerna fullständigt genom att räkna upp alla tänkbara värden som de kan ta 

i en tabell, vilket vi gör i följande definition. Att på motsvarande sätt försöka skriva upp alla 

värden som x + y (operatorn +) kan ta om x och y är reella tal skulle generera en betydligt längre 

tabell. . . 

Definition 1.4 — Logiska operatorer. Låt P och Q vara logiska utsagor. Då definieras de 

fem grundläggande logiska operatorerna enligt följande sanningstabeller: 

¬ P 

P ∧ Q 

P ∨ Q 

P ⇒ Q 

P ⇔ Q 

F T 

T F 

T T T 

T F F 

F F T 

F F F 

T T T 

T T F 

F T T 

F F F 

T T T 

T F F 

F T T 

F T F 

T T T 

T F F 

F F T 

F T F 

Sanningstabellerna utläses så att om exempelvis P är sann och Q falsk, så är ¬P falsk, ¬Q 

sann, P ∧ Q falsk, P ∨ Q sann, P ⇒ Q falsk och P ⇔ Q falsk. Sanningstabellerna är intuitiva och 

behöver inte memoreras, förutom möjligtvis P ⇒ Q i fallet när P är falsk då implikationen alltid 

är sann, oavsett sanningsvärdet för Q. 

Vi kommer senare i boken att bevisa ett stort antal satser. En matematisk sats är en logisk 

utsaga och ett bevis är en serie logiska slutledningar som visar att utsagan (satsen) är sann. Vi


kommer då att ha användning för ett antal grundläggande regler för logisk algebra och slutledning. 

Vi presenterar och bevisar några viktiga sådana regler som vår första sats. 

Sats 1.1 — Logisk algebra. Låt P, Q och R vara logiska utsagor (sanna eller falska). Då är 

följande utsagor sanna: 

P ∧ Q ⇔ Q ∧ P P ∨ Q ⇔ Q ∨ P (kommutativa lagar) 

(P ∧ Q) ∧ R ⇔ P ∧ (Q ∧ R) (P ∨ Q) ∨ R ⇔ P ∨ (Q ∨ R) (associativa lagar) 

P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) (distributiva lagar) 

¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q (De Morgans lagar) 

Bevis. Vi bevisar den första av De Morgans lagar och lämnar de övriga utsagorna som övningsuppgifter. 

Vi sätter upp en sanningstabell och för in alla möjliga värden på utsagorna P och Q. 

Vardera av dessa kan vara antingen sanna eller falska: 

¬ (P ∧ Q) ⇔ ¬ P ∨ ¬ Q 

T T T T 

T F T F 

F T F T 

F F F F 

Vi använder därefter definitionerna av de logiska operatorerna och fyller i sanningsvärdet för alla 

delutsagor (inifrån och ut): 

¬ (P ∧ Q) ⇔ ¬ P ∨ ¬ Q 

F T T T T F T F F T 

T T F F T F T T T F 

T F F T T T F T F T 

T F F F T T F T T F 

Enligt sanningstabellen är utsagan (ekvivalensen ⇔) alltid sann (en tautologi), vilket bevisar 

satsen. 

 

Sats 1.2 — Logisk slutledning. Låt P och Q vara logiska utsagor (sanna eller falska). Då är 

följande utsagor sanna: 

((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q 

((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P 

(Modus ponens) 

(Modus tollens) 

Dessa båda utsagor är sanna oavsett sanningsvärdena för P och Q men vi kommer framförallt 

att använda dem då vi vet att P är sann respektive Q falsk: 

Modus ponens 

Modus tollens 

P ⇒ Q (P implicerar Q är sann) P ⇒ Q (P implicerar Q är sann) 

P (P är sann) ¬Q (Q är falsk) 

∴ Q (därför är Q sann) ∴ ¬P (därför är P falsk) 

Symbolen ∴ uttyds “därför”. 

Bevis. Se problem 1.2.


Slutligen skall vi införa beteckningar för kvantorer, som används för att konstruera logiska 

utsagor om variabler, det vill säga logiska uttryck vars sanningsvärde beror av värdet på en eller 

flera variabler. Speciellt kommer vi att uttala oss om utsagor som gäller för antingen alla eller 

något (minst ett) möjligt värde på en variabel som i följande exempel: 

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (1.23) 

x 2 = 2. (1.24) 

Sanningsvärdet för dessa båda utsagor beror (potentiellt) på vilka värden variablerna a, b och x 

har. Genom att komplettera utsagorna med “för alla” eller “för något” får vi kompletta logiska 

utsagor som är antingen sanna eller falska: 

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , för alla reella tal a och b, (1.25) 

x 2 = 2, för något reellt tal x. (1.26) 

Vi ger följande definitioner för kvantorerna ∀ (för alla) och ∃ (för något). 

Definition 1.5 — Logiska kvantorer. Låt X vara en mängd och låt P(x) vara en logisk utsaga 

vars sanningsvärde beror av variabeln x ∈ X. 

Uttrycket ∀x ∈ X : P(x) (“för alla x i X är P(x) sann”) definieras som 

x ∈ X ⇒ P(x); (1.27) 

det vill säga “om x är ett element i mängden X så är P(x) sann”. 

Uttrycket ∃x ∈ X : P(x) (“det finns minst ett x i mängden X sådant att P(x) är sann”) definieras 

som 

¬(∀x ∈ X : ¬P(x)); (1.28) 

det vill säga “P(x) är inte falsk för alla x i X”. 

Vi kommer också att använda symbolen ∃! som betyder samma sak som ∃ med tillägget att det 

bara finns ett möjligt värde på variabeln x. Satsen ∃!x ∈ X : P(x) utläses då: “det finns ett unikt 

(ett enda) x i mängden X sådant att P(x) är sann”. 

Vi inför också symbolen | som används för att definiera mängder. Notationen {x ∈ X |P(x)} 

utläses “mängden av alla x i X som uppfyller P(x)” eller “mängden av alla x i X för vilka P(x) är 

sann”. 

Exempel 1.2 — Logiska kvantorer och konstruktion av mängder. Med hjälp av de logiska 

kvantorerna kan vi formulera följande (sanna) utsagor: 

∀a,b ∈ R : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (1.29) 

∃x ∈ R : x 2 = 2, (1.30) 

∃!x ∈ R : x 2 = 2 ∧ x > 0. (1.31) 

I dessa exempel har vi använt beteckningen R för mängden av reella tal som vi ännu inte har 

konstruerat. Vi kan också definiera mängder: 

{x ∈ R|x > 2}, (1.32) 

{a ∈ R|∀x ∈ R : a + x(1 − x) < 1} (1.33) 

Den första av dessa mängder kan enklare uttryckas som intervallet (2,∞) och den andra mängden 

kan uttryckas som intervallet (−∞, 3 /4).


∈ 

⊆ 

⊂ 

Mängdrelationer 

tillhör 

är delmängd av 

är strikt delmängd av 

Logik 

¬ icke 

∧ och (konjunktion) 

∨ eller (disjunktion) 

⇒ implicerar 

⇔ är ekvivalent med 

uteslutande eller 

Mängdoperationer 

∪ union 

∩ snitt 

\ differens 

× produkt 

Kvantorer 

∀ för alla 

∃ existerar 

∃! existerar unikt 

Tabell 1.1: Liten matematisk ordlista. 

Vi har nu infört all den grundläggande notation vi kommer att använda för att uttrycka 

matematik i resten av boken. Notationen sammanfattas i tabell 1.1. Vid en första anblick kan 

kanske mängden av nya definitioner och symboler kännas skrämmande, men betänk då att (i) 

man vänjer sig snabbt och (ii) listan av symboler vi redan nu har träffat på är relativt komplett; vi 

kommer inte att införa många fler symboler i senare kapitel. 

1.3 Rationella tal 

Vår huvuduppgift i det här kapitlet är att konstruera de reella talen R som är grunden för den 

matematiska analysen. Vår utgångspunkt är de rationella talen Q, det vill säga alla tal x som kan 

skrivas på formen x = p/q där p och q är heltal och q ≠ 0: 

Q = {p/q| p,q ∈ Z, q ≠ 0} (de rationella talen) (1.34) 

Vi erinrar oss också de naturliga talen N och de hela talen Z som kan ses som delmängder av de 

rationella (och de reella) talen: 

N = {0,1,2,3,...} (de naturliga talen 3 ) (1.35) 

Z = {0,1,−1,2,−2,3,−3,...} (de hela talen) (1.36) 

Vi kommer inte att ge någon formell definition av dessa talmängder men vi erinrar oss om att N, 

Z och Q har de välkända algebraiska 4 operationerna addition (x + y) och multiplikation (xy). De 

rationella talen har följande viktiga och välkända algebraiska egenskaper (räkneregler). 

3 De naturliga talen definieras ibland med, ibland utan, talet 0. Vi väljer här att låta 0 ∈ N och betecknar de positiva 

hela talen med Z + . 

4 Algebra är läran om räkning med symboler.

1.3 Rationella tal 17 

Sats 1.3 — Algebraiska egenskaper för Q. Låt x,y,z ∈ Q. Då gäller följande algebraiska 

lagar: 

x + y ∈ Q 

xy ∈ Q 

x + y = y + x 

xy = yx 

(sluten under addition) 

(sluten under multiplikation) 

(kommutativ lag) 


(x + y) + z = x + (y + z) (associativ lag) 

(xy)z = x(yz) 

x(y + z) = xy + xz 

x + 0 = x 

1x = x 

∃−x ∈ R : x + (−x) = 0 

x ≠ 0 ⇒ ∃x −1 ∈ R : xx −1 = 1, 

(associativ lag) 

(distributiv lag) 

(additiv identitet) 

(multiplikativ identitet) 

(existens av additiv invers) 

(existens av multiplikativ invers) 

Operationerna subtraktion (x − y) och division (x/y) definieras utifrån existensen av additiv 

respektive multiplikativ invers. Talet −y är det rationella tal som uppfyller att y + (−y) = 0 och 

vi kan därefter definiera x − y = x + (−y). På samma sätt kan vi, om y ≠ 0 definiera x/y = xy −1 

där y −1 är det rationella tal som uppfyller att yy −1 = 1. 

Notera att de naturliga talen N och de hela talen Z saknar några av dessa egenskaper. 5 

Speciellt saknar de hela talen Z multiplikativ invers; x = 3 ∈ Z men det finns inget tal x −1 ∈ Z 

som uppfyller xx −1 = 1. Talet x −1 = 1/3 måste istället definieras som ett rationellt tal. De 

naturliga talen N saknar också additiv invers; x = 3 ∈ N men det finns inget tal −x ∈ N som 

uppfyller x + (−x) = 0. Talet −x = −3 måste istället definieras som ett heltal. Notera också att 

de naturliga talen och de hela talen kan anses vara delmängder av Q; varje tal x ∈ N eller x ∈ Z 

kan skrivas x/1 ∈ Q. Vi har alltså N ⊂ Z ⊂ Q. 

Vi konstaterar också att de rationella talen har följande välkända ordningsegenskaper. Dessa 

egenskaper, liksom de algebraiska, kan relativt enkelt visas från motsvarande egenskaper för de 

naturliga talen. 

Sats 1.4 — Ordningsegenskaper för Q. Låt x,y,z ∈ Q. Då gäller följande ordningslagar: 

x = y x < y x > y 

x < y ⇔ y > x 

x < y ∧ y < z ⇒ x < z 

x < y ⇒ x + z < y + z 

x < y ∧ z > 0 ⇒ xz < yz 

(trikotomi) 

(antisymmetri) 

(transitivitet) 

(addition bevarar ordning) 

(positiv multiplikation bevarar ordning) 

Liksom de hela talen kan rationella tal vara positiva och negativa. Absolutbeloppet av ett rationellt 

tal definieras som talets storlek (avstånd till x = 0) utan tecken. 

5 De egenskaper som listas i sats 1.3 gör de rationella talen Q till en så kallad kropp (engelska field). De hela talen 

Z — i avsaknad av multiplikativ invers — är inte en kropp men däremot en ring medan de naturliga talen N — i 

avsaknad också av en additiv invers — är en semiring.


Definition 1.6 — Absolutbelopp. Absolutbeloppet |x| av ett rationellt tal x är 

{ x, x ≥ 0, 

|x| = 

−x, x < 0. 

(1.37) 

För absolutbeloppet gäller den mycket viktiga triangelolikheten. 

Sats 1.5 — Triangelolikheterna. Låt x,y ∈ Q. Då gäller följande olikheter: 

|x ± y| |x| + |y| (triangelolikheten) 

||x| − |y|| |x ± y| 

(omvända triangelolikheten) 

Bevis. Se problem 1.3. 

 

De rationella talen räcker långt, men inte till allt. Speciellt uppstår en del märkliga situationer 

inom geometrin. Vad är till exempel längden av diagonalen på en kvadrat med sidlängd 1? Vad 

är förhållandet mellan omkretsen och diametern av en cirkel? Svaren är som bekant √ 2 och π. 

Båda dessa tal är irrationella, det vill säga √ 2 /∈ Q och π /∈ Q. Vi visar först att √ 2 inte är ett 

rationellt tal och återkommer i ett senare kapitel (när vi har definierat det reella talet π) till ett 

bevis för att π /∈ Q. 

Sats 1.6 — √ 2 är inte ett rationellt tal. Det finns inget tal x ∈ Q som uppfyller x 2 = 2. 

Bevis. Vi bevisar att det inte finns något x /∈ Q som löser x 2 = 2 genom att först anta att x ∈ Q 

och x 2 = 2. Detta leder till en motsägelse, vilket visar att antagandet är falskt, det vill säga 

¬(x ∈ Q ∧ x 2 = 2). 

Antag att x 2 = 2 och att x = p/q ∈ Q för p,q ∈ Z. Förkorta bråket p/q så långt som möjligt 

så att x = p ′ /q ′ för p ′ ,q ′ ∈ Z där p ′ och q ′ saknar gemensamma faktorer. Vi har då 

x 2 = 2 (1.38) 

(p ′ /q ′ ) 2 = 2 (1.39) 

(p ′ ) 2 = 2(q ′ ) 2 . (1.40) 

Därmed måste (p ′ ) 2 vara ett jämnt tal, varför också p ′ måste vara ett jämnt tal (ty kvadraten av 

ett udda tal är udda). Vi kan då skriva p ′ = 2k för något k ∈ Z. Vi har då 

(2k) 2 = 2(q ′ ) 2 (1.41) 

4k 2 = 2(q ′ ) 2 (1.42) 

2k 2 = (q ′ ) 2 . (1.43) 

Därmed måste (q ′ ) 2 vara ett jämnt tal, varför också q ′ måste vara ett jämnt tal. Både p ′ och q ′ är 

alltså jämna tal, vilket motsäger att p ′ och q ′ saknar gemensamma faktorer (de innehåller ju båda 

faktorn 2). Detta är en motsägelse 6 (), vilket bevisar satsen. 

 

Satsen bevisar att det finns “hål” i det rationella talsystemet; Q saknar viktiga tal som √ 2 och 

π. I själva verket finns det oändligt många hål i Q. Därför behöver vi utvidga Q och fylla igen 

hålen. Resultatet av vår utvidgning kommer att vara mängden R som består av just Q med hålen 

ifyllda. 

6 Denna bevisteknik kallas ibland reductio ad absurdum; motsatsen till det som skall bevisas reduceras till en 

uppenbarligen falsk utsaga.


Innan vi gör detta noterar vi att vi kan beräkna godtyckligt bra approximationer av √ 2. I 

kapitel 0 såg vi ett exempel på en algoritm som beräknar allt noggrannare approximationer av 

√ 

2. Samma sak gäller för alla reella tal; varje reellt tal kan approximeras godtyckligt väl med 

rationella tal. Vi skulle kunna stoppa här och säga att det finns tal som är irrationella och dem 

kan vi endast approximera. Exempelvis skulle vi kunna säga att √ 2 representeras av algoritmen 

från exempel 0.2. Detta är i princip vad vi kommer att göra — vi kommer att definiera reella tal 

med utgångspunkt i approximerande talföljder — men vi kommer att formalisera de reella talen 

så att vi enkelt kan utföra kalkyler med dem, såsom 

x = √ 2 (1.44) 

x 2 = 2. (1.45) 

1.4 Talföljder och konvergens 

Talföljder spelar en central roll i den matematiska analysen och vi kommer att använda dem för 

att definiera de reella talen. De beräkningsalgoritmer som vi i senare kapitel skall studera kommer 

också att generera talföljder, precis som de algoritmer vi såg exempel på i kapitel 0. 

Definition 1.7 — Talföljd. En talföljd (x n ) ∞ n=0 är en regel7 som för varje naturligt tal n = 

0,1,2,3,... bestämmer ett entydigt värde x n i en mängd X. 

Följande exempel visar olika sätt att generera talföljder. 

Exempel 1.3 — Jämna tal. Regeln x n = 2n genererar en naturlig talföljd, nämligen de jämna 

talen 0,2,4,6,... 

 

Exempel 1.4 — Udda tal. Regeln x n = 2n + 1 genererar en naturlig talföljd, nämligen de 

udda talen 1,3,5,7,... 

 

Exempel 1.5 — Fibonaccital. Regeln x 0 = x 1 = 1 och x n = x n−1 + x n−2 för n ≥ 2 genererar 

en naturlig talföljd, nämligen Fibonaccitalen 1,1,2,3,5,8,13,21,... 

 

Exempel 1.6 — Gyllene snittet. Låt (x n ) ∞ n=0 vara talföljden från föregående exempel (Fibonaccitalen). 

Regeln y n = x n+1 /x n genererar då en rationell talföljd, nämligen 

y 0 = 1 

y 1 = 2 = 2 

y 2 = 3/2 = 1.5 

y 3 = 5/3 ≈ 1.6666666666667 

y 4 = 8/5 = 1.6 

y 5 = 13/8 = 1.625 

y 6 = 21/13 ≈ 1.6153846153846 

y 7 = 34/21 ≈ 1.6190476190476 

y 8 = 55/34 ≈ 1.6176470588235 

y 9 = 89/55 ≈ 1.6181818181818 

y 10 = 144/89 ≈ 1.6179775280899. 

Talföljden närmar sig (konvergerar mot) talet φ = ( √ 5+1)/2, det gyllene snittet. Vi återkommer 

till denna talföljd i problem 1.7. 

 

Exempel 1.7 — Harmonisk talföljd. Regeln x n = 1/(n + 1) genererar en rationell talföljd, 

nämligen den harmoniska talföljden 1, 1 /2, 1 /3, 1 /4, 1 /5,... Talföljden närmar sig (konvergerar mot) 

0. 

7 När vi i nästa kapitel har definierat funktionsbegreppet kommer vi att kunna säga att en talföljd är en funktion 

f : N → X.


Exempel 1.8 — Roten ur två. Regeln x 0 = 1 och x n = x n−1 − (xn−1 2 − 2)/2 genererar en 

rationell talföljd, nämligen 

x 0 = 1 

x 1 = 3/2 = 1.5 

x 2 = 11/8 = 1.375 

x 3 = 183/128 = 1.4296875 

x 4 = 46127/32768 ≈ 1.4076843261719 

x 5 = 3042762591/2147483648 ≈ 1.4168967450969 

x 6 = 13033533669502966463/9223372036854775808 ≈ 1.4130985519638. 

Talföljden närmar sig (konvergerar mot) √ 2. Precis som i exempel 0.2 från kapitel 0 är detta 

ett exempel på en fixpunktsiteration för lösning av ekvationen x 2 = 2, men en betydligt mindre 

effektiv sådan. Vi återkommer till denna talföljd i datorövning 1.10. 

 

Några av talföljderna från dessa exempel utmärker sig från de andra. Talföljderna från 

exempel 1.6, 1.7 och 1.8 skiljer sig från de första tre exemplen på två viktiga punkter (förutom 

att de är rationella). 

För det första ser talen ut att närma sig något. I fallet med den harmoniska talföljden som 

ges av x n = 1/(n+1) är det lätt att se att talen x n närmar sig 0. I de andra två fallen är det svårare 

att se att talen närmar sig just ( √ 5 + 1)/2 och √ 2 men med hjälp av en miniräknare kan vi 

misstänka att så är fallet och med papper och penna faktiskt också bevisa att talföljderna måste 

konvergera mot just dessa tal (se problem 1.7 och 1.8). 

För det andra ser talen ut att stabiliseras; ju större n blir, desto mer lika blir talen. Denna 

aspekt, att talföljderna stabiliseras, är intimt förknippad med den första aspekten, att talföljderna 

närmar sig något. Intuitivt verkar det rimligt att om talföljderna stabiliseras, så måste de också 

närma sig något, och omvänt, om talföljderna närmar sig något, så måste de också stabiliseras. 

Vi kommer strax att formulera detta som en sats — att en talföljd stabiliseras om och endast om 

den konvergerar mot något — men först måste vi precisera exakt vad vi menar med att närma sig 

och att stabiliseras. Vi börjar med att definiera begreppet konvergent talföljd. 

Definition 1.8 — Konvergent rationell talföljd. En konvergent rationell talföljd med gränsvärde 

¯x ∈ Q är en rationell talföljd (x n ) ∞ n=0 sådan att 

∀ε ∈ Q + ∃N ∈ N : n ≥ N ⇒ |x n − ¯x| < ε. (1.46) 

Med andra ord för varje (litet) rationellt tal ε > 0 finns det ett (stort) naturligt tal N sådant att 

avståndet |x n − ¯x| mellan x n och ¯x är mindre än ε om n är större än eller lika med N. 

Vi säger då att talföljden (x n ) ∞ n=0 konvergerar mot gränsvärdet ¯x och skriver 

alternativt 

lim x n = ¯x, (1.47) 

n→∞ 

x n → ¯x då n → ∞. (1.48) 

Denna definition försöker fånga vad det betyder att en talföljd närmar sig något och säger att 

avståndet |x n − ¯x| kan göras hur litet som helst (ε ∈ Q + , ett positivt rationellt tal) om bara n är 

tillräckligt stort. Vi kan tänka på denna definition som ett vattentätt argument som måste hålla i 

en rättegång där en skicklig åklagare anklagar en talföljd för att inte vara konvergent (en förseelse 

som normalt leder till stränga påföljder). Försvararen inleder då med att hävda att talföljden 

faktiskt är konvergent eftersom skillnaden |x n − ¯x| kan göras hur liten som helst. Åklagaren tror


naturligtvis inte på detta och begär att skillnaden skall göras mindre än ε = 10 −6 . Försvararen 

måste då konkret kunna svara med ett stort tal N sådant att skillnaden |x n − ¯x| är mindre än 10 −6 

för alla n ≥ N. Beroende på vilken talföljd man har att göra med blir svaret annorlunda, men 

kanske svaret blir att så länge n ≥ N = 1000 så är faktiskt |x n − ¯x| < ε = 10 −6 . Åklagaren låter 

sig inte nöjas utan begär helt fräckt att skillnaden skall göras mindre än 10 −100 ! Återigen måste 

försvararen kunna ange ett tal N sådant att skillnaden garanterat är mindre än 10 −100 för n ≥ N. 

Om försvararen alltid kan ge svar på tal, oavsett vilket ε som åklagaren väljer, så är det bevisat 

att talföljden är konvergent; för varje litet ε (men större än noll!) måste försvararen kunna säga 

ett N som garanterar att |x n − ¯x| < ε för alla n ≥ N. Och detta är exakt vad definition 1.8 säger: 

∀ε > 0, ε ∈ Q ∃N ∈ N : n ≥ N ⇒ |x n − ¯x| < ε. (1.49) 

Notera att talföljden mycket väl kan vara konvergent, även om försvararen inte lyckas bevisa det 

i en rättegång. Det är vår uppgift som matematiker (försvarare) att konstruera vattentäta bevis 

men det är inte alltid vi lyckas. I nästa exempel ges ett vattentätt bevis för att den harmoniska 

talföljden, x n = 1/(n + 1), från exempel 1.7 är konvergent. 

Exempel 1.9 — Den harmoniska talföljden är konvergent. Den harmoniska talföljden 

1, 1 /2, 1 /3, 1 /4, 1 /5,... definieras av x n = 1/(n+1). För att kunna hävda att den är konvergent måste 

vi för varje givet (rationellt) ε > 0 kunna bestämma ett N sådant att |x n − ¯x| < ε om n ≥ N. Till 

att börja med konstaterar vi att gränsvärdet ¯x bör vara 0. Vår uppgift är nu att bevisa det utifrån 

definitionen 1.8. Vi gör detta genom att bestämma en formel för N som gör att vi enkelt kan 

räkna ut N för varje givet ε. Vi noterar först att avståndet mellan x n och ¯x ges av 

|x n − ¯x| = |x n − 0| = |x n | = |1/(n + 1)| = 1/(n + 1). (1.50) 

Vi vill att denna skillnad skall vara mindre än ε och sätter därför upp och löser olikheten: 

1/(n + 1) < ε (1.51) 

1/ε < n + 1 (1.52) 

n + 1 > 1/ε (1.53) 

n > 1/ε − 1. (1.54) 

Vi måste alltså bestämma ett naturligt tal N sådant att denna olikhet är uppfylld så snart n ≥ N. 

Eftersom 1/ε inte nödvändigtvis är ett naturligt tal (om till exempel ε = 2 /3) och för att olikheten 

måste gälla då n ≥ N väljer vi 

N = ⌈1/ε⌉ − 1 + 1 = ⌈1/ε⌉. (1.55) 

Beteckningen ⌈x⌉ betyder avrundning uppåt till närmaste större heltal (det minsta heltal som inte 

är mindre än x). Motsvarande notation för avrundning nedåt är ⌊x⌋. Givet ett tal ε > 0 kan vi då 

garantera att |x n − ¯x| < ε så länge n ≥ N = ⌈1/ε⌉. Vi har därför garanterat svar på tal om någon 

kommer och begär att |x n − ¯x| skall göras mindre än ett visst ε > 0, hur litet detta ε än må vara. 

Speciellt vet vi att |x n − ¯x| < 10 −100 om n ≥ N = ⌈1/10 −100 ⌉ = 10 100 . 

För att dubbelkolla vår kalkyl ser vi hur nära x n är ¯x = 0 om n ≥ N = ⌈1/ε⌉. Vi får 

|x n − ¯x| = 1/(n + 1) ≤ 1/(N + 1) < 1/N = 1 

⌈1/ε⌉ ≤ 1 

1/ε 

= ε, (1.56) 

det vill säga |x n − ¯x| < ε, vilket känns betryggande.


Begreppet konvergens kan också illustreras grafiskt. I figur 1.1 illustreras talföljden som 

genereras av formeln 

x n = (−1) n /(n + 1). (1.57) 

Denna talföljd liknar den harmoniska talföljden från exempel 1.7 med skillnaden att talen växlar 

tecken. Figur 1.1 visar att talföljden närmar sig gränsvärdet 0 och att talföljden håller sig innanför 

den “kanal” som definieras av x = ±ε = ±0.1 om n ≥ N = ⌈1/ε⌉ = 10. 

Figur 1.1: Talföljden definierad i ekvation (1.57) konvergerar mot ¯x = 0. För n ≥ N = 10 gäller 

att |x n − ¯x| < ε = 1/10. 

Vi noterade tidigare att talföljderna från exempel 1.6, 1.7 och 1.8 har två viktiga egenskaper: 

de ser alla ut att närma sig ett visst tal, och de ser alla ut att stabiliseras då n växer. Den första 

egenskapen, att närma sig något, har vi definierat som konvergens. De tre talföljderna konvergerar 

mot ( √ 5 + 1)/2, 0 respektive √ 2. Detta kan vi strikt talat ännu inte uttala oss om eftersom vi 

varken har definierat √ 2, √ 5 eller konvergens för reella tal, men vi har åtminstone bevisat att 

den harmoniska talföljden konvergerar mot det rationella talet 0. Den andra egenskapen, att 

stabiliseras, innebär att istället för att närma sig något, så närmar sig talen varandra. Talföljder 

med den egenskapen kallas Cauchy-följder och vi ger följande definition som påminner mycket 

om definitionen av konvergent talföljd. 

Definition 1.9 — Rationell Cauchy-följd. En rationell Cauchy-följd är en rationell talföljd 

(x n ) ∞ n=0 sådan att 

∀ε ∈ Q + ∃N ∈ N : m,n ≥ N ⇒ |x m − x n | < ε. (1.58) 

Med andra ord för varje (litet) rationellt tal ε > 0 finns det ett (stort) tal N sådant att avståndet 

|x m − x n | mellan x m och x n är mindre än ε om både m och n är större än eller lika med N.


Vi ser att begreppet Cauchy-följd definieras på nästan samma sätt som begreppet konvergent 

talföljd med den skillnaden att istället för att närma sig ett visst tal, så närmar sig talen varandra. 

På samma sätt som tidigare gäller det att för varje ε > 0 säga precis vilket N som gör att avståndet 

|x m − x n | blir mindre än ε så snart m ≥ N och n ≥ N. Och på precis samma sätt gäller det att 

kunna bevisa detta med ett vattentätt argument. I följande exempel ges ett bevis för att den 

harmoniska talföljden som vi tidigare visat är konvergent också är en Cauchy-följd (vilket vi 

snart skall se att den måste vara). 

Exempel 1.10 — Den harmoniska talföljden är en Cauchy-följd. Den harmoniska talföljden 

definieras som tidigare av x n = 1/(n + 1). För att visa att den är en Cauchy-följd betraktar vi 

avståndet |x m − x n | som alltså måste göras litet: 

|x m − x n | = |1/(m + 1) − 1/(n + 1)| 1/(m + 1) + 1/(n + 1) < 1/m + 1/n (1.59) 

≤ 1/N + 1/N = 2/N < ε, (1.60) 

förutsatt att m,n ≥ N och 2/N < ε, det vill säga 

N > 2/ε. (1.61) 

Detta villkor är garanterat uppfyllt om vi väljer 

N = ⌈2/ε⌉ + 1. (1.62) 

För alla ε > 0 gäller alltså att om m,n ≥ N = ⌈2/ε⌉ + 1 så är |x m − x n | < ε, vilket visar att 

(x n ) ∞ n=0 är en Cauchy-följd. 

Vi återvänder nu till de tre talföljderna i exempel 1.6 (gyllene snittet), 1.7 (harmonisk talföljd) 

och 1.8 (Roten ur två). Vi har sett att den harmoniska talföljden är såväl konvergent som Cauchy, 

men vad gäller för de andra två talföljderna? Vi kommer i kapitel 6 att kunna visa att dessa 

båda talföljder faktiskt är Cauchy-följder. Däremot är de inte konvergenta enligt definition 1.9 

eftersom deras potentiella gränsvärden φ = ( √ 5 + 1)/2 och √ 2 inte är rationella tal. Vi har ju 

tidigare visat att √ 2 inte är ett rationellt tal och på liknande sätt kan man visa att √ 5 inte är ett 

rationellt tal. Slutsatsen är att en rationell Cauchy-följd inte behöver vara konvergent (mot ett 

rationellt tal). Däremot måste en konvergent rationell talföljd alltid vara en Cauchy-följd, vilket 

följande sats visar. 

Sats 1.7 — En konvergent rationell talföljd är alltid en rationell Cauchy-följd. Låt 

(x n ) ∞ n=0 vara en rationell talföljd. Om (x n) ∞ n=0 är konvergent så är den också en Cauchy-följd. 

Bevis. Vi skall i detta bevis använda oss av två knep som vi kommer att ha stor nytta av i många 

bevis och övningar. Det första är att “lägga till och dra ifrån” och det andra är triangelolikheten 

som vi redan har träffat på. 

Vi vet att (x n ) ∞ n=0 är konvergent, vilket innebär att det finns ett gränsvärde ¯x sådant att 

skillnaden |x n − ¯x| kan göras godtyckligt liten, så länge n görs tillräckligt stort. Vi vill nu visa att 

skillnaden |x m − x n | också kan göras godtyckligt liten. Vi argumenterar för detta genom att säga 

att eftersom både x m och x n ligger mycket nära ¯x, så måste de också ligga mycket nära varandra. 

Rent konkret uttrycker vi detta genom att lägga till och dra ifrån ¯x och använda triangelolikheten: 

|x m − x n | = |x m − ¯x + ¯x − x n | |x m − ¯x| + | ¯x − x n |. (1.63) 

Givet ε > 0 väljer vi nu N sådant att |x m − ¯x| < ε/2 och |x n − ¯x| < ε/2 om n ≥ N för något visst 

N ∈ N. (Talföljden är konvergent så vi kan göra skillnaden hur liten vi vill, till exempel mindre 

än ε/2.) Vi får då 

|x m − x n | |x m − ¯x| + | ¯x − x n | < ε/2 + ε/2 = ε, (1.64)


under förutsättning att m,n ≥ N, vilket visar att (x n ) ∞ n=0 är en Cauchy-följd. 

 

En konvergent rationell talföljd måste alltså alltid vara en Cauchy-följd; en talföljd kan inte 

närma sig något utan att också stabiliseras. Däremot gäller inte det omvända, eftersom vi har sett 

exempel på talföljder som är Cauchy-följder men som inte, enligt vår definition, är konvergenta. 

Detta verkar vara en brist eftersom talföljderna faktiskt ser ut att närma sig något: ( √ 5 + 1)/2 

respektive √ 2. Bristen ligger hos de rationella talen Q. Som vi nämnt tidigare finns det hål i Q, 

vilket gör att talföljder kan konvergera just mot ett sådant hål. Man kan faktiskt med visst fog 

säga att det finns fler hål än det finns rationella tal, så det är inte så märkligt att hitta talföljder 

som konvergerar mot just ett sådant hål. När vi strax har definierat de reella talen och fyllt igen 

hålen kommer vi att ha korrigerat denna brist och visat att alla reella Cauchy-följder måste vara 

konvergenta. Innan dess skall vi visa en viktig egenskap för konvergenta talföljder. 

Sats 1.8 — En rationell talföljds gränsvärde är alltid unikt. Låt (x n ) ∞ n=0 vara en konvergent 

rationell talföljd. Då är dess gränsvärde unikt. 

Bevis. Vi behöver visa att om talföljden (x n ) ∞ n=0 konvergerar mot ¯x så kan den inte samtidigt 

konvergera mot ett annat tal ¯x ′ . Antag att så skulle vara fallet, det vill säga att x n → ¯x, x n → ¯x ′ 

och ¯x ≠ ¯x ′ . För att visa att detta är omöjligt väljer vi ε = | ¯x − ¯x ′ |/2 > 0 och därefter N så stort att 

|x n − ¯x| < ε för n ≥ N och N ′ så stort att |x n − ¯x ′ | < ε för n ≥ N ′ . Vi betraktar skillnaden mellan 

¯x och ¯x ′ genom att lägga till och dra ifrån x n . För n ≥ max(N,N ′ ) har vi 

| ¯x− ¯x ′ | = | ¯x−x n +x n − ¯x ′ | | ¯x−x n |+|x n − ¯x ′ | < ε +ε = | ¯x− ¯x ′ |/2+| ¯x− ¯x ′ |/2 = | ¯x− ¯x ′ |. (1.65) 

Vi kommer då fram till slutsatsen att | ¯x − ¯x ′ | < | ¯x − ¯x ′ | och eftersom | ¯x − ¯x ′ | > 0 kan vi förkorta 

och får 1 < 1 (). Detta är en motsägelse, vilket bevisar satsen. 

 

1.5 Reella tal 

Vi har sett att rationella talföljder ibland ser ut att konvergera mot tal som inte är rationella; 

x = √ 2 är bevisligen inte ett rationellt tal men vi har trots det sett två exempel på algoritmer som 

producerar lösningar till ekvationen x 2 = 2 med godtycklig precision. Hur skall vi då definiera 

det svårfångade talet √ 2 och alla andra reella tal? 

Det är frestande att definiera de reella talen som de tal som kan approximeras godtyckligt 

väl med rationella tal, med andra ord som de tal som man kan närma sig godtyckligt väl med 

rationella talföljder. Men det finns en uppenbar brist med en sådan definition, nämligen den att vi 

inte har definierat vad ett tal är för något; vi kan inte definiera de reella talen som den delmängd 

R av mängden av alla tal T som kan approximeras godtyckligt väl av rationella tal eftersom 

mängden T inte är definierad. 

Vi måste istället definiera de reella talen som något konkret. Vi gör detta genom att identifiera 

de reella talen med de beräkningsalgoritmer (regler) som genererar dem, eller mer precist som de 

rationella Cauchy-följder som genereras av beräkningsalgoritmerna. 8 Talet √ 2 kan då definieras 

antingen som den rationella Cauchy-följd (x n ) ∞ n=0 som genereras av regeln x n = x n−1+2/x n−1 

2 

(exempel 0.2) eller som den rationella Cauchy-följd (y n ) ∞ n=0 som genereras av regeln y n = 

y n−1 − (y 2 n−1 − 2)/2 (exempel 1.8), eller som vilken som helst annan rationell Cauchy-följd som 

“konvergerar mot samma sak”. För att göra detta precist måste vi först definiera vad vi menar 

med att två Cauchy-följder konvergerar mot samma sak. 

8 Mer precist definierar detta inte de reella talen i vanlig mening, utan “endast” de så kallade beräkningsbara reella 

talen, see [Tur67].


Definition 1.10 — Ekvivalenta Cauchy-följder. Två rationella Cauchy-följder (x n ) ∞ n=0 och 

(y n ) ∞ n=0 är ekvivalenta omm talföljden (z n) ∞ n=0 där z n = x n − y n konvergerar mot 0; det vill 

säga 

∀ε ∈ Q + ∃N ∈ N : n ≥ N ⇒ |x n − y n | < ε. (1.66) 

Vi skriver då (x n ) ∞ n=0 ∼ (y n) ∞ n=0 . 

Exempel 1.11 — Ekvivalenta Cauchy-följder. Talföljderna (x n ) ∞ n=0 och (y n) ∞ n=0 där x n = 

1 + 1/(n + 1) och y n = (n + 1)/(n + 2) är ekvivalenta, ty om z n = x n − y n gäller att 

z n = 1 + 1 

n + 1 − n + 1 (n + 1)(n + 2) + (n + 2) − (n + 1)2 

= 

n + 2 (n + 1)(n + 2) 

= n2 + 3n + 2 + n + 2 − n 2 − 2n − 1 

(n + 1)(n + 2) 

= 

(1.67) 

2n + 3 

→ 0, (1.68) 

(n + 1)(n + 2) 

då n → ∞. Skillnaden mellan talföljderna närmar sig noll, varför talföljderna har samma gränsvärde, 

nämligen det naturliga talet 1. 

 

Givet en rationell Cauchy-följd (x n ) ∞ n=0 låter vi [(x n) ∞ n=0 ] beteckna mängden (ekvivalensklassen) 

av alla rationella Cauchy-följder som är ekvivalenta med (x n ) ∞ n=0 . Med denna notation kan 

vi nu konkret definiera det reella talet √ 2: 

√ 

2 = [(xn ) ∞ n=0], (1.69) 

där (x n ) ∞ n=0 är den rationella Cauchy-följd som genereras av algoritmen i exempel 0.2. Med 

andra ord är √ 2 ekvivalensklassen bestående av talföljden från exempel 0.2 och alla andra 

ekvivalenta talföljder (alla andra talföljder som “konvergerar mot samma sak”). Detta är ett sätt 

att uttrycka att √ 2 definieras av den rationella talföljden från exempel 0.2 men att man lika gärna 

kan definiera √ 2 som talföljden från exempel 1.8. 

Vi är nu redo att ge definitionen av de reella talen. 

Definition 1.11 — De reella talen R. De reella talen R är mängden av alla ekvivalensklasser 

av rationella Cauchy-följder. 

Ett reellt tal x ∈ R är alltså en ekvivalensklass av Cauchy-följder av rationella tal och kan 

representeras av vilken som helst av alla möjliga Cauchy-följder i ekvivalensklassen. 

Med denna definition på plats återstår det att visa att definitionen är meningsfull. Speciellt 

måste vi reda ut om och i så fall hur man kan räkna med reella tal. Vad är till exempel summan 

av två reella tal? Vi vill också att våra välbekanta talsystem N, Z och Q skall kunna inordnas 

som delmängder av R. 

Vi har definierat de reella talen R men vi måste också definiera de vanliga operationerna + 

(addition), − (subtraktion), · (multiplikation) och / (division) för reella tal. 

Definition 1.12 — Algebraiska operationer för de reella talen R. Låt x = [(x n ) ∞ n=0 ] och 

y = [(y n ) ∞ n=0 ] vara reella tal. Vi definierar då operationerna + (addition), − (subtraktion), · 

(multiplikation) och / (division) enligt 

x + y = [(x n + y n ) ∞ n=0], (1.70) 

x − y = [(x n − y n ) ∞ n=0], (1.71) 

x · y = [(x n · y n ) ∞ n=0], (1.72) 

x/y = [(x n /ỹ n ) ∞ n=0], y ≠ 0, (ỹ n ) ∞ n=0 ∼ (y n ) ∞ n=0, ∀n : ỹ n ≠ 0. (1.73)


Givet två reella tal x = [(x n ) ∞ n=0 ] och y = [(y n) ∞ n=0 ] kan vi alltså bilda summan z = x + y genom 

att beräkna summan av de båda talföljderna: z n = x n + y n . Det återstår att visa att denna summa 

faktiskt också är (representant för) ett reellt tal, det vill säga att (z n ) ∞ n=0 också är en Cauchyföljd. 

Sats 1.9 — De algebraiska operationerna för reella tal är väldefinierade. Låt x = 

[(x n ) ∞ n=0 ] och y = [(y n) ∞ n=0 ] vara reella tal. Då är x + y, x − y, x · y och x/y (y ≠ 0) också reella 

tal. 

Bevis. Vi visar att x + y är ett reellt tal och lämnar övriga operationer som övningsuppgifter. 

Operationen x/y kräver extra eftertanke eftersom vi vill undvika att y n = 0 i uttrycket x n /y n . 

Vi vill alltså visa att om (x n ) ∞ n=0 och (y n) ∞ n=0 är Cauchy-följder så är (x n + y n ) ∞ n=0 också en 

Cauchy-följd. Låt ε > 0 vara givet och låt z n = x n + y n , n = 0,1,2,.... Betrakta nu skillnaden 

z m − z n (som skall bli liten för stora m och n om (z n ) ∞ n=0 skall vara en Cauchy-följd): 

|z m − z n | = |(x m + y m ) − (x n + y n )| = |(x m − x n ) + (y m − y n )| |x m − x n | + |y m − y n |. (1.74) 

Eftersom (x n ) ∞ n=0 och (y n) ∞ n=0 båda är Cauchy-följder kan vi göra avstånden |x m − x n | och 

|y m −y n | godtyckligt små för stora m och n. Välj N ∈ N sådant att |x m −x n | < ε/2 och |y m −y n | < 

ε/2 för m,n ≥ N. Vi får då 

|z m − z n | |x m − x n | + |y m − y n | < ε/2 + ε/2 = ε. (1.75) 

Vi ser att |z m − z n | < ε om m,n ≥ N, vilket visar att (z n ) ∞ n=0 är en Cauchy-följd. 

 

Vi konstaterar alltså att vi kan addera, subtrahera, multiplicera och dividera reella tal (undantaget 

division med noll) genom att helt enkelt utföra motsvarande operationer på de talföljder (Cauchyföljder) 

som representerar de reella talen. 

Exempel 1.12 — √ 2 · √2 

= 2. Låt (x n ) ∞ n=0 vara den talföljd som genereras av algoritmen i 

exempel 0.2 och låt (y n ) ∞ n=0 vara den talföljd som genereras av algoritmen i exempel 1.8. Låt 

också x = [(x n ) ∞ n=0 ] och y = [(y n) ∞ n=0 ] vara motsvarande reella tal som representeras av dessa 

båda Cauchy-följder. 9 Bilda nu talföljden (z n ) ∞ n=0 definierad av 

z n = x n y n . (1.76) 

Resultatet är en talföljd som till synes närmar sig talet z = 2: 

x 0 = 1 y 0 = 1 z 0 = 1 

x 1 = 1.5 y 1 = 1.5 z 1 = 2.25 

x 2 ≈ 1.4166666666667 y 2 = 1.375 z 2 ≈ 1.9479166666667 

x 3 ≈ 1.4142156862745 y 3 = 1.4296875 z 3 ≈ 2.0218864889706 

x 4 ≈ 1.4142135623747 y 4 ≈ 1.4076843261719 z 4 ≈ 1.9907662656145 

x 5 ≈ 1.4142135623731 y 5 ≈ 1.4168967450969 z 5 ≈ 2.0037945933983 

x 6 ≈ 1.4142135623731 y 6 ≈ 1.4130985519638 z 6 ≈ 1.9984231371570 

I föregående exempel utgick vi från de två Cauchy-följderna (x n ) ∞ n=0 och (y n) ∞ n=0 som båda 

är representanter för det reella talet √ 2. Vi såg också att produkten av dessa båda talföljder 

ger en talföljd (z n ) ∞ n=0 som ser ut att konvergera mot talet 2 ∈ N ⊂ Q. Men vad är relationen 

mellan det naturliga talet 2 och det reella talet z = [(z n ) ∞ n=0 ]? Vi besvarar denna fråga genom 

9 Vi har ännu inte visat — men misstänker starkt — att dessa båda talföljder är Cauchy-följder. Vi återkommer till 

denna fråga i kapitel 6.


att inkludera de rationella talen Q i de reella talen R. För varje rationellt tal X ∈ Q låter vi 

(x n ) ∞ n=0 vara den talföljd som definieras av x n = X för alla n. Denna talföljd är (uppenbarligen) 

en Cauchy-följd eftersom |x m − x n | = |X − X| = 0 < ε för alla m och n. Vi kan då definiera det 

reella talet x = [(X) ∞ n=0 ] och sätter definitionsmässigt x = X. Speciellt kan det rationella (och 

naturliga) talet 2 betraktas som ett reellt tal i form av (ekvivalensklassen för) talföljden 2,2,2,... 

Varje rationellt tal kan därför anses vara ett reellt tal. På liknande sätt inkluderade vi tidigare 

de hela talen Z i de rationella talen genom att identifiera varje heltal x ∈ Z med det rationella 

talet x/1. Vi har därför 

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, (1.77) 

vilket illustreras av diagrammet i figur 1.2. 

Figur 1.2: Talsystemen N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. 

Vi sammanfattar de reella talens algebraiska egenskaper i följande sats, motsvarande sats 1.3 

för de rationella talen.


Sats 1.10 — Algebraiska egenskaper för R. Låt x,y,z ∈ R. Då gäller följande algebraiska 

lagar: 

x + y ∈ R 

xy ∈ R 

x + y = y + x 

xy = yx 

(sluten under addition) 

(sluten under multiplikation) 



(x + y) + z = x + (y + z) (associativ lag) 

(xy)z = x(yz) 

x(y + z) = xy + xz 

x + 0 = x 

1x = x 

∃−x ∈ R : x + (−x) = 0 

x ≠ 0 ⇒ ∃x −1 ∈ R : xx −1 = 1, 

(associativ lag) 

(distributiv lag) 

(additiv identitet) 

(multiplikativ identitet) 

(existens av additiv invers) 

(existens av multiplikativ invers) 

Bevis. Vi har redan sett att x+y ∈ R och att xy ∈ R. Vi nöjer oss här med att visa den kommutativa 

lagen x + y = y + x. Låt x = [(x n ) ∞ n=0 ] och y = [(y n) ∞ n=0 ]. Då följer att 

x + y = [(x n + y n ) ∞ n=0] = [(y n + x n ) ∞ n=0] = y + x, (1.78) 

vilket skulle visas. Notera att vi här har använt oss av den kommutativa lagen x n + y n = y n + x n 

för de rationella talen x n och y n . 

 

I tillägg måste vi också visa att de reella talen kan ordnas, det vill säga att man kan jämföra 

reella tal (x < y, x = y eller x > y). Speciellt måste vi utreda vad som menas med positiva reella 

tal (x > 0) och negativa reella tal (x < 0). 

Definition 1.13 — Positiva och negativa reella tal. Ett positivt reellt tal är ett reellt tal x 

som kan representeras av en rationell Cauchy-följd (x n ) ∞ n=0 , sådan att 

x n ≥ α > 0 (1.79) 

för något positivt rationellt tal α > 0. Ett negativt reellt tal är ett ett reellt tal y som kan 

representeras av en rationell Cauchy-följd (y n ) ∞ n=0 , sådan att 

y n ≤ −α < 0 (1.80) 

för något positivt rationellt tal α > 0. 

Exempel 1.13 — Positiva och negativa reella tal. Cauchy-följden som definieras av x n = 

0.01 + (−1) n /(n + 1) konvergerar mot talet ¯x = 0.01 som uppenbarligen är ett positivt reellt tal, 

trots att Cauchy-följden (x n ) ∞ n=0 inte uppfyller kravet att x n ≥ α > 0 för något tal α > 0. Däremot 

kan talet ¯x = 0.01 också representeras av en Cauchy-följd som uppfyller detta krav, till exempel 

x n = 0.01 för alla n eller x n = 0.01 + 1/(n + 1), vilket gör ¯x = 0.01 till ett positivt reellt tal. I 

båda fallen håller sig Cauchy-följden på tryggt avstånd från x = 0, nämligen avståndet α = 0.01.


Definition 1.14 — Ordning av reella tal. Låt x och y vara reella tal. Då definierar vi 

x > y ⇔ x − y är positivt (1.81) 

x < y ⇔ x − y är negativt (1.82) 

x ≥ y ⇔ x > y ∨ x = y (1.83) 

x ≤ y ⇔ x < y ∨ x = y (1.84) 

Sats 1.11 — Ordningsegenskaper för R. Låt x,y,z ∈ R. Då gäller följande ordningslagar: 

x = y x < y x > y 

x < y ⇔ y > x 

x < y ∧ y < z ⇒ x < z 

x < y ⇒ x + z < y + z 

x < y ∧ z > 0 ⇒ xz < yz 

(trikotomi) 

(antisymmetri) 

(transitivitet) 

(addition bevarar ordning) 

(positiv multiplikation bevarar ordning) 

Med dessa definitioner kan vi som tidigare för rationella tal definiera absolutbeloppet och bevisa 

triangelolikheterna. 

Definition 1.15 — Absolutbelopp. Absolutbeloppet |x| av ett reellt tal x är 

{ x, x ≥ 0, 

|x| = 

−x, x < 0. 

(1.85) 

Sats 1.12 — Triangelolikheterna. Låt x,y ∈ R. Då gäller följande olikheter: 

|x ± y| |x| + |y| (triangelolikheten) 

||x| − |y|| |x ± y| 

(omvända triangelolikheten) 

Slutligen skall vi visa den viktiga sats som säger att varje reell Cauchy-följd 10 måste vara 

konvergent och omvänt (de reella talens fullständighet). Vi bevisade tidigare motsvarande sats 

för de rationella talen (sats 1.7) och noterade då att konvergenta rationella talföljder alltid är 

Cauchy-följder, men att rationella Cauchy-följder inte nödvändigtvis måste vara konvergenta 

(mot ett rationellt tal). Vi utvidgar först våra tidigare definitioner av konvergenta talföljder och 

Cauchy-följder till reella tal. 

Definition 1.16 — Konvergent reell talföljd. En konvergent reell talföljd med gränsvärde 

¯x ∈ R är en reell talföljd (x n ) ∞ n=0 sådan att 

∀ε > 0∃N ∈ N : n ≥ N ⇒ |x n − ¯x| < ε. (1.86) 

Med andra ord för varje (litet) reellt tal ε > 0 finns det ett (stort) naturligt tal N sådant att 

avståndet |x n − ¯x| mellan x n och ¯x är mindre än ε om n är större än eller lika med N. 

Vi säger då att talföljden (x n ) ∞ n=0 konvergerar mot gränsvärdet ¯x och skriver 

lim x n = ¯x, (1.87) 

n→∞ 

10 En reell talföljd är alltså en talföljd (x n ) ∞ n=0 där varje x n är ett reellt tal (en ekvivalensklass av rationella 

Cauchy-följder. . . ).


alternativt 

x n → ¯x då n → ∞. (1.88) 

Definition 1.17 — Reell Cauchy-följd. En reell Cauchy-följd är en reell talföljd (x n ) ∞ n=0 

sådan att 

∀ε > 0∃N ∈ N : m,n ≥ N ⇒ |x m − x n | < ε. (1.89) 

Med andra ord för varje (litet) reellt tal ε > 0 finns det ett (stort) tal N sådant att avståndet 

|x m − x n | mellan x m och x n är mindre än ε om både m och n är större än eller lika med N. 

Vi kommer att visa att dessa båda definitioner är ekvivalenta, det vill säga att för reella tal gäller 

att en konvergent talföljd alltid måste vara en Cauchy-följd och omvänt, att en reell Cauchy-följd 

alltid konvergerar mot ett reellt tal. Vi kommer att behöva följande hjälpsats (lemma) som säger 

att om en reell Cauchy-följd råkar bestå av rationella tal så är denna Cauchy-följd konvergent i 

meningen att den konvergerar mot ett reellt tal. 

Lemma 1.13 — En reell Cauchy-följd av rationella tal är alltid konvergent. Låt (x n ) ∞ n=0 

vara en reell Cauchy-följd av rationella tal. Då är (x n ) ∞ n=0 konvergent med gränsvärdet ¯x = 

[(x n ) ∞ n=0 ] ∈ R. 

Bevis. Eftersom (x n ) ∞ n=0 är en rationell Cauchy-följd så är ¯x = [(x n) ∞ n=0 ] ett reellt tal. Varje tal 

x m i talföljden är ett rationellt tal som också kan uttryckas som ett reellt tal: x m = [(x m ) ∞ n=0 ] (en 

rationell Cauchy-följd där alla tal är lika med x m ). Om m är tillräckligt stort gäller då att 

|x m − ¯x| = |[(x m ) ∞ n=0]−[(x n ) ∞ n=0]| = |[(x m −x n ) ∞ n=0]| = [(|x m −x n |) ∞ n=0] [(ε) ∞ n=0] = ε, (1.90) 

eftersom (x n ) ∞ n=0 är en Cauchy-följd och därmed |x m − x n | kan göras godtyckligt liten. 

 

Med andra ord konvergerar en rationell Cauchy-följd mot sig själv. . . (mot det reella tal som den 

representerar). Vi visar nu satsen om de reella talens fullständighet. 

Sats 1.14 — De reella talens fullständighet. Låt (x n ) ∞ n=0 vara en reell talföljd. Då är (x n) ∞ n=0 

konvergent om och endast om den också är en Cauchy-följd. 

⋆ Bevis. Vi noterar först att eftersom samma algebraiska lagar gäller för de reella talen som 

för de rationella talen så följer att en konvergent talföljd också måste vara en Cauchy-följd på 

samma sätt som i beviset av sats 1.7. 

Det återstår att visa att om (x n ) ∞ n=0 är en Cauchy-följd så måste den också vara konvergent 

(mot ett reellt tal). Vi konstaterar att varje tal x m i talföljden nu är ett reellt tal och därmed kan 

representeras som en rationell Cauchy-följd. Vi skriver x m = [(x mn ) ∞ n=0 ] där x mn är rationellt tal 

nummer n i en rationell Cauchy-följd som representerar det reella talet x m . Vi får då en tabell 

(matris) av rationella tal där rad m är en rationell Cauchy-följd som representerar (konvergerar


mot) det reella talet x m : 

x 00 x 01 x 02 x 03 x 04 x 05 x 06 x 07 ··· x 0 

x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 ··· x 1 

x 20 x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26 x 27 ··· x 2 

x 30 x 31 x 32 x 33 x 34 x 35 x 36 x 37 ··· x 3 

x 40 x 41 x 42 x 43 x 44 x 45 x 46 x 47 ··· x 4 

x 50 x 51 x 52 x 53 x 54 x 55 x 56 x 57 ··· x 5 

x 60 x 61 x 62 x 63 x 64 x 65 x 66 x 67 ··· x 6 

x 70 x 71 x 72 x 73 x 74 x 75 x 76 x 77 ··· x 7 

. . . . . . . . 

. .. 

Vår uppgift är nu att utifrån denna tabell av rationella tal konstruera en rationell Cauchy-följd 

som representerar det gränsvärde vi söker för vår reella Cauchy-följd (x n ) ∞ n=0 . Eftersom varje 

rad m är en rationell Cauchy-följd vet vi enligt lemma 1.13 att avståndet |x mn − x m | kan göras 

godtyckligt litet om n väljs tillräckligt stort. Låt nu N = N(m) vara det (minsta) tal för vilket 

(exempelvis) |x mn − x m | < 2 −m för alla n ≥ N(m). För varje rad m väljer vi alltså en kolumn 

N(m) sådan att |x m,N(m) − x m | < 2 −m . Detta genererar en rationell talföljd (x m,N(m) ) ∞ m=0 . Vi visar 

först att denna är en Cauchy-följd. Givet ε > 0 har vi 

|x m,N(m) − x n,N(n) | = |x m,N(m) − x m + x m − x n + x n − x n,N(n) | (1.91) 

|x m,N(m) − x m | + |x m − x n | + |x n − x n,N(n) | (1.92) 

< 2 −m + ε/3 + 2 −n < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε, (1.93) 

om m och n väljs tillräckligt stora. Detta följer av att (x n ) ∞ n=0 är en Cauchy-följd och att därmed 

|x m − x n | kan göras godtyckligt liten. (Vi måste också välja m och n så stora att 2 −m < ε/3 

och 2 −n < ε/3, det vill säga m,n > ⌈ln(3/ε)/ln2⌉.) Vi har således visat att (x m,N(m) ) ∞ m=0 är en 

rationell Cauchy-följd och att därför ¯x = [(x m,N(m) ) ∞ m=0 ] är ett reellt tal. 

Det återstår att visa att (x n ) ∞ n=0 konvergerar mot just ¯x. Vi betraktar därför skillnaden |x m − ¯x| 

och visar att den kan göras godtyckligt liten om m görs tillräckligt stort. Vi noterar först att 

x m − ¯x = [(x mn ) ∞ n=0] − [(x n,N(n) ) ∞ n=0] = [(x mn − x n,N(n) ) ∞ n=0] = [(y mn ) ∞ n=0] = y m , (1.94) 

där alltså (y mn ) ∞ n=0 är en rationell Cauchy-följd som ges av y mn = x mn − x n,N(n) . Storleken på y mn 

kan nu uppskattas som följer: 

|y mn | = |x mn − x n,N(n) | = |x mn − x m + x m − x n + x n − x n,N(n) | (1.95) 

|x mn − x m | + |x m − x n | + |x n − x n,N(n) | < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε, (1.96) 

för tillräckligt stora m och n. Vi drar slutsatsen att för stora m representerar Cauchy-följden 

(y mn ) ∞ n=0 ett reellt tal y m sådant att |y m | ε. Härav följer att för givet ε > 0 kan vi välja m 

tillräckligt stort så att 

|x m − ¯x| = |y m | ε, (1.97) 

vilket visar att (x n ) ∞ n=0 konvergerar mot det reella talet ¯x. 

 

1.6 ⋆ Datorrepresentation av reella tal 

Reella tal har en central betydelse inom matematiken, naturvetenskapen och ingenjörsvetenskapen 

och vi kommer i den här boken, från och med nu, nästan uteslutande arbeta med reella tal.


Speciellt kommer vi att studera generella algoritmer för att lösa generella ekvationer med hjälp 

av datorn, men hur representeras reella tal i datorn? 

En speciell typ av reella tal är decimalutvecklingar, det vill säga talföljder (x n ) ∞ n=0 där x n är 

ett tal med n decimaler och vars första n − 1 decimaler är desamma som för x n−1 : 

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, 3.1415926, 3.14159265, .... (1.98) 

Eftersom |x m − x n | < 10 −min(m,n) så är en decimalutveckling (x n ) en Cauchy-följd och representerar 

därmed ett reellt tal. 

Datorer använder ändliga decimalutvecklingar för att representera reella tal. Beroende på 

vilket operativsystem och programmeringsspråk som används kan antalet decimaler skilja sig åt, 

men den vanligast förekommande representationen är flyttalsstandarden IEEE 754 binary64, 

normalt kallad double. Enligt denna standard används 64 bitar (8 byte) för att representera reella 

tal som ändliga binära utvecklingar. Av dessa 64 bitar används 52 för att lagra decimalutvecklingens 

signifikanta siffror (mantissan), 11 bitar för att lagra talets storlek (exponenten) och en 

bit för att lagra talets tecken. Detta medför att antalet signifikanta decimala siffror är begränsat 

till (ca) 16 ≈ 52 · ln2/ln10. 

Eftersom antalet decimaler är ändligt kommer nästan alla tal, såsom √ 2, π och till och med 

talet 0.1 att representeras endast approximativt. Samma sak gäller för alla räkneoperationer som 

+, −, · och /. Dessa utförs approximativt. Flyttalsstandarden garanterar att det relativa felet i 

representationen av alla tal och alla räkneoperationer är maximalt ε, där ε är den så kallade 

maskinprecisionen. Maskinprecisionen ε definieras som det minsta talet ε sådant att 

1 + ε > 1. (1.99) 

Denna olikhet är alltid uppfylld om ε > 0 är ett reellt tal, men behöver inte vara uppfylld med 

flyttalsaritmetik. För binary64 är ε = 2 −52 ≈ 2.22 × 10 −16 . 

Storleken på ε kan enkelt beräknas med hjälp av Algoritm 1 som ger just ε ≈ 2.22 × 10 −16 . 

Notationen ε ← ε/2 betyder tilldelning, det vill säga att värdet ε/2 beräknas och variabeln ε 

uppdateras till detta värde. 

Algoritm 1 Beräkning av maskinprecisionen ε 

Utdata: Approximation (inom en faktor 2) av maskinprecisionen ε 

1: ε = 1 

2: while 1 + ε > 1 do 

3: ε ← ε/2 

4: end while 

5: ε ← 2ε 

Om x och y är två reella tal, + vår vanliga additionsoperator, så kommer en dator att i själva 

verket utföra följande operation: 

x + y ≈ x + y ≈ x + y, (1.100) 

där x är flyttalsapproximationen av x, y är flyttalsapproximationen av x och + är flyttalsapproximationen 

av +. Var och en av dessa approximationer introducerar ett relativt fel av storlek ε. 

Detta innebär att 

|(x + y) − (x + y)| |(x + y) − (x + y)| + |(x + y) − (x + y)| 

ε|x + y| + |x − x| + |y − y| ε(|x| + |y|) + ε|x| + ε|y| 

≈ 2ε(|x| + |y|). 

(1.101)


De avrundningsfel som görs i representationen av reella tal och räkneoperationerna är ofta så 

små att de inte märks. Dock kan många små räknefel i en komplicerad beräkning tillsammans 

ackumuleras och leda till stora fel. Vissa beräkningar är mer känsliga än andra och till synes små 

avrundningsfel kan leda till oväntade resultat, som i följande exempel. 

Exempel 1.14 — Avrundningsfel. Betrakta funktionen f (x) = 4x/((x + 1) 2 − (x − 1) 2 ). Eftersom 

f (x) = 

4x 

(x + 1) 2 − (x − 1) 2 = 4x 

x 2 + 1 + 2x − x 2 − 1 + 2x = 4x 

4x = 1 (1.102) 

gäller att f (x) = 1 för alla x ≠ 0, men låt oss beräkna f (x) för allt mindre värde på x med 

flyttalsaritmetik. Detta kan göras enkelt i till exempel MATLAB, Python eller C++ där datatypen 

binary64 (double) är standard. 

x 

f (x) 

1 1.0000000000000000 

0.1 0.9999999999999998 

0.01 0.9999999999999993 

0.001 1.0000000000000826 

0.0001 1.0000000000003879 

1 × 10 −5 0.9999999999990004 

1 × 10 −6 0.9999999999990002 

1 × 10 −7 0.9999999999712448 

1 × 10 −8 1.0000000033019139 

1 × 10 −9 0.9999999727707815 

1 × 10 −10 0.9999999172596364 

1 × 10 −11 0.9999999172596364 

1 × 10 −12 0.9999666116837077 

1 × 10 −13 1.0002442259568016 

1 × 10 −14 1.0007999171934443 

1 × 10 −15 0.9481262373411579 

1 × 10 −16 1.8014398509482001 

Det som händer när x närmar sig 0 är att (x + 1) 2 ≈ 1 + 2x och (x − 1) 2 ≈ 1 − 2x och dessa båda 

tal beräknas med ett relativt fel av storlek (ca) ε: 

(x + 1) 2 − (x − 1) 2 ≈ 1 + 2x ± ε − (1 − 2x) ± ε ≈ 4x ± 2ε. (1.103) 

Om x och ε är av samma storleksordning blir beräkningen därför mycket otillförlitlig.


Övningar 


Övning 1.1 Låt A = {1,2,3} och B = {2,3,4}. Bestäm följande mängder. 

(a) A ∪ B (b) A ∩ B (c) A \ B (d) A × B 

Övning 1.2 Låt A = {1,3,5,7,9} och B = {2,4,6,8,10}. Bestäm följande mängder. 

(a) A ∪ B (b) A ∩ B (c) A \ B (d) A × B 

Övning 1.3 Låt A = {1,2,3}, B = {2,3,4} och C = {3,4,5}. Bestäm följande mängder. 

(a) A ∪ B ∪C (b) A ∩ B ∩C (c) (B \ A) ∩C (d) (A × B) ×C 

Övning 1.4 Låt A = {1,3,5,7,9}, B = {2,4,6,8,10} och C = {1,2,3,...,10}. Bestäm 

huruvida följande relationer är sanna eller falska. 

(a) A ⊂ C (b) B ⊆ C (c) A ∪ B ⊂ C (d) A ∩ B ⊆ C 

Övning 1.5 Låt A = {1,3,5,7,9}, B = {2,4,6,8,10} och C = {1,2,3,...,10}. Bestäm antalet 

element i följande mängder. 

(a) (A ∪ B) ×C (b) (A ∩ B) ×C (c) (A × B) ×C (d) A × (B ×C) 


Övning 1.6 Låt P, Q och R vara logiska utsagor med sanningsvärdena T, F respektive T. 

Bestäm sanningsvärdet för följande utsagor. 

(a) P ∧ (Q ∨ R) (b) (P ∨ Q) ∧ R (c) ¬P ∨ ¬(Q ∨ R) (d) ¬(P ∨ ¬(Q ∧ R)) ∧ P 

Övning 1.7 Använd sanningstabeller för att bestämma huruvida följande logiska utsagor är 

tautologier (sanna oavsett sanningsvärdena för P, Q och R). 

(a) P ∨ P ⇒ P (b) ¬¬P ⇔ P (c) P ∨ (Q ∧ R) ⇔ ¬(¬P ∧ ¬Q) ∧ R 

(d) (P ∧ ¬Q) ∧ R ⇔ (P ∧ R) ∧ ¬Q 

 

Övning 1.8 Bestäm sanningsvärdet för följande logiska utsagor. 

(a) ∀x ∈ R∃y ∈ R : x + y = 1 (b) ∀x ∈ R∃y ∈ R : xy = 1 

(c) ∀x ∈ R∃y ∈ R : y 2 = x (d) ∃y ∈ R∀x ∈ R : xy = 0. 

Övning 1.9 Bestäm sanningsvärdet för följande logiska utsagor. 

(a) ∀x ∈ R∀y ∈ R : xy < |xy| (b) ∀y ∈ R∃x ∈ R : 5x + y = 0 

(c) ∀y ∈ R∃x ∈ R : x 2 + 5x + y = 0 (d) ∃x ∈ R∃y ∈ R : ∀z ∈ R(x + π)(y + √ 2)z = 2z. 

Övning 1.10 Uttryck följande mängder matematiskt (med mängdnotation, logiska operatorer 

och kvantorer). 

(a) Alla positiva reella lösningar till ekvationen x 5 − x + 1 = 0. 

(b) Alla reella tal som uppfyller x = x 2 .


(c) Alla positiva udda tal, dvs talen 1,3,5,.... 

(d) Alla tvåpotenser, dvs talen 1,2,4,.... 

 


Övning 1.11 Bestäm alla heltalslösningar till följande ekvationer och olikheter. 

(a) |x + 5| + |x − 5| = 100 (b) 4x 2 − 9 < 0 (c) |2x + 1|/|2x − 1| ≤ 1 

(d) |x 2 + x| x 2 + |x| 

 

Övning 1.12 Bestäm alla rationella lösningar till följande ekvationer. 

(a) x 5 = 1 (b) 9(x − 5)(x − 7) = 280 (c) 9x 2 + 3x − 6 = 0 (d) √ x + 1 + x = 5 

Övning 1.13 Bestäm alla rationella lösningar till följande olikheter. 

(a) x 5 1 (b) 9(x − 5)(x − 7) < 280 (c) 9x 2 + 3x − 6 0 (d) √ x + 1 + x < 5 

Övning 1.14 Låt x, y och z vara rationella tal. Använd triangelolikheterna för att visa att 

följande olikheter alltid är uppfyllda eller visa att de inte är uppfyllda (genom att hitta ett 

motexempel). 

(a) |x+y| |x−z|+|z+y| (b) |x−2y| |x−z|+2|z−y| (c) |x−2y| |x−2z|+2|z−y| 

(d) ||x| − |y|| |x − 3y| + 4|y| 

 

Övning 1.15 Använd triangelolikheten för att uppskatta (bestämma en övre gräns för) följande 

uttryck då 1/10 x 10. 

(a) x 3 + 1/x (b) x −3 + x (c) (x 2 − 9 + 3x)/(x + 3) (d) (1/x + 2x)(x + 2/x) 


Övning 1.16 Bestäm gränsvärdena för följande konvergenta talföljder. 

(a) x n = 3 − 5n/(6n + 3) (b) x n = (3n 3 + 5n + 1)/(3n 2 + (n + 1)(n 2 + 1)) 

(c) x n = (3 − n)/|3 + n| (d) x n = (10x n−1 − (xn−1 2 − 3))/10, x 0 = 1 

Övning 1.17 Visa att följande talföljder är konvergenta, det vill säga bestäm gränsvärdet ¯x 

och N = N(ε) så att |x n − ¯x| < ε för n ≥ N(ε). 

(a) x n = 1/(n + 1) 2 (b) x n = (n + 1)/(n + 2) (c) x n = 1/ √ n 

(d) x 0 = 0.3, x 1 = 0.33, x 2 = 0.333, . . . 

 

Övning 1.18 Visa att följande talföljder är Cauchy-följder, det vill säga bestäm N = N(ε) så 

att |x m − x n | < ε för m,n ≥ N(ε). 

(a) x n = 1/(n + 1) 2 (b) x n = (n + 1)/(n + 2) (c) x n = 1/ √ n 

(d) x 0 = 0.3, x 1 = 0.33, x 2 = 0.333, . . . 

 

Övning 1.19 Bestäm N så att |x n − ¯x| < 10 −16 då n ≥ N för följande konvergenta talföljder. 

(a) x n = 1/(n + 1) + 1/(n + 2) (b) x n = 1/(n + 1) − 1/(n + 2) 2 (c) x n = (1/2) n 

(d) x 0 = 1, x 1 = x 0 + 1/2, x 2 = x 1 + 1/4, x 3 = x 2 + 1/8 . . .


Övning 1.20 Bestäm N så att |x m − x n | < 10 −16 då m,n ≥ N för följande Cauchy-följder. 


(d) x 0 = 1, x 1 = x 0 + 1/2, x 2 = x 1 + 1/4, x 3 = x 2 + 1/8 . . . 

 


Övning 1.21 Bestäm huruvida följande talföljder representerar reella tal. 

(a) 1,1,1,... (b) 1,2,3,... (c) 1,1/2,1/3,... (d) √ 2 + 1, √ 2 + 1/2, √ 2 + 1/3,... 

Övning 1.22 Ange för var och en av följande Cauchy-följder en (annan) ekvivalent Cauchyföljd. 


(d) x 0 = 1, x 1 = x 0 + 1/2, x 2 = x 1 + 1/4, x 3 = 1 + 1/8 . . . 

 

Övning 1.23 Låt x = [(x n ) ∞ n=0 ] och y = [(y n) ∞ n=0 ] vara två reella tal givna av x n = 1+1/(n+1) 

och y n = 1 − 1/(n + 1). Beräkna, med hjälp av definitionen av de algebraiska operationerna 

för reella tal, följande uttryck. 

(a) x + y = [(x n ) ∞ n=0 ] + [(y n) ∞ n=0 ] (b) x − y = [(x n) ∞ n=0 ] + [(y n) ∞ n=0 ] 

(c) xy = [(x n ) ∞ n=0 ] · [(y n) ∞ n=0 ] (d) x/y = [(x n) ∞ n=0 ]/[(ỹ n) ∞ n=0 ] 

Övning 1.24 Bestäm huruvida det reella talet x = [(x n ) ∞ n=0 ] är positivt, negativt eller lika 

med 0. 

(a) x n = 0.1 + (−1) n /n (b) x n = n 2 /(⌈ √ n + 1⌉(n + 1)(n + 2)) 

(c) x n = −0.1 + (n 2 + 1)/(5n 2 + 3) (d) x n = 1/(n + 1) − 1/(n + 2) 2 

Övning 1.25 Låt (x n ) ∞ n=0 vara den Cauchy-följd som definieras av x 0 = 1 och x n = (x n−1 + 

a/x n−1 )/2 för a ≥ 0. Denna Cauchy-följd är en representant för det reella talet √ a. Bestäm 

en rationell approximation av talet √ a på formen p/q för följande tal genom att beräkna 

x 3 ≈ √ a. 

(a) a = 0 (b) a = 1 (c) a = 7 (d) a = 100 

Problem 


Problem 1.1 Tolka följande mängddefinition (Russells paradox) och fundera kring huruvida 

X ∈ X eller X /∈ X: 

X = {x|x /∈ x}. (1.104)



Problem 1.2 Bevisa sats 1.2, det vill säga visa med hjälp av sanningstabeller att de logiska 

slutledningarna modus ponens och modus tollens är tautologier. 

 


Problem 1.3 Bevisa sats 1.5, det vill säga visa med hjälp av ordningslagarna för rationella 

tal att triangelolikheterna gäller för rationella tal. 

 

Problem 1.4 Visa att √ 3 inte är ett rationellt tal på samma sätt som i beviset av sats 1.6. 

Problem 1.5 Försök på samma sätt visa att √ 9 inte är ett rationellt tal. 

 

Problem 1.6 Om x /∈ Q och y /∈ Q, gäller då att x + y /∈ Q, det vill säga om x och y är 

irrationella tal, måste då summan vara irrationell? 

 


Problem 1.7 Visa att om talföljden (y n ) ∞ n=0 i exempel 1.6 konvergerar så konvergerar den 

mot talet φ = ( √ 5 + 1)/2. 

 

Problem 1.8 Visa att om talföljden (x n ) ∞ n=0 i exempel 1.8 konvergerar så konvergerar den 

mot talet √ 2. 

 


Problem 1.9 Bevisa att subtraktion och multiplikation av reella tal är väldefinierade (sats 

1.9), det vill säga visa att om (x n ) ∞ n=0 och (y n) ∞ n=0 är rationella Cauchy-följder så är också 

(x n − y n ) ∞ n=0 och (x ny n ) ∞ n=0 rationella Cauchy-följder. 

Problem 1.10 (⋆) Bevisa att division av reella tal är väldefinierat (sats 1.9), det vill säga visa 

att om x = [(x n ) ∞ n=0 ] och y = [(y n) ∞ n=0 ] ≠ 0 är reella tal så är också x/y ett reellt tal. 

 

Datorövningar 

Datorövning 1.1 Skriv ett program som genererar talföljden (x n ) 100 

n=0 för x n = n. 

Datorövning 1.2 Skriv ett program som genererar de udda talen mellan 1 och 100. 

 

Datorövning 1.3 Skriv ett program som beräknar summan ∑ 100 

n=0 x n för x n = n. 

Datorövning 1.4 Skriv ett program som beräknar summan av de udda talen mellan 1 och 

100.


Datorövning 1.5 Skriv ett program som genererar alla primtal mellan 2 och 1000. 

 

Datorövning 1.6 Skriv ett program som genererar de första 1000 primtalen. 

 

Datorövning 1.7 Skriv ett program som beräknar approximationen √ 2 ≈ x 100 för x n = 

(x n−1 + 2/x n−1 )/2 och x 0 = 1. 

Datorövning 1.8 Skriv ett program som beräknar approximationen √ 2 ≈ x N för x n = (x n−1 + 

2/x n−1 )/2 och x 0 = 1 där N är det minsta talet sådant att |x N − x N−1 | < 10 −10 . 

Datorövning 1.9 Skriv ett program som genererar talföljden (x n ) N n=0 för N = 106 då 

x n = 4 

n 

∑ 

k=0 

(−1) k /(2k + 1). (1.105) 

Ser talföljden ut att vara en Cauchy-följd? Vilket reellt tal representerar den i så fall? 

 

Datorövning 1.10 Låt som tidigare (x n ) ∞ n=0 vara talföljden som definieras av x n = (x n−1 + 

2/x n−1 )/2 och x 0 = 1. Låt (y n ) ∞ n=0 vara talföljden som definieras av y n = y n−1 − α(y 2 n−1 − 2). 

Skriv ett program som genererar talföljderna (x n ) 20 

n=0 och (y n) 20 

n=0 

för α = 0.01, α = 0.1 

och α = 1. För varje talföljd, plotta i samma figur avståndet till ¯x = √ 2 som funktion av n. 

Använd semilogaritmisk skala.

Introduktion 

2. Funktioner (I) 

2.1 Introduktion

Introduktion 

3. Gränsvärde och kontinuitet 

3.1 Introduktion

Introduktion 

4. Derivata och linjärisering 

4.1 Introduktion

Introduktion 

5. Approximation och serieutveckling 

5.1 Introduktion

Introduktion 

6. Ekvationslösning 

6.1 Introduktion

Introduktion 

7. Tillämpningar 

7.1 Introduktion

Introduktion 

8. Repetition 

8.1 Introduktion

Facit 

Kapitel 1 

Övningar 

Ö1.1 (a) {1,2,3,4} (b) {2,3} (c) {1} (d) {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)} 

Ö1.2 (a) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} (b) /0 (c) {1,3,5,7,9} 

(d) {(1,2),(1,4),...,(1,10),(3,2),(3,4),...,(3,10),...,(9,10)} (25 element) 

Ö1.3 (a) {1,2,3,4,5} (b) {3} (c) {4} 

(d) {((1,2),3),((1,2),4),((1,2),5),((1,3),3),((1,3),4),...,((3,4),5)} (27 element) 

Ö1.4 (a) T (b) T (c) F (d) T 

Ö1.5 (a) 100 (b) 0 (c) 250 (d) 250 

Ö1.6 (a) T (b) T (c) F (d) F 

Ö1.7 (a) Tautologi (b) Tautologi (c) Ej tautologi (d) Tautologi 

(a) F 

P ∨ P ⇒ P 

T T T T T 

F F F T F 

(b) 

¬ ¬ P ⇔ P 

T F T T T 

F T F T F 

(c) 

P ∨ (Q ∧ R) ⇔ ¬ (¬ P ∧ ¬ Q) ∧ R 

T T T T T T T F T F F T T T 

T T T F F F T F T F F T F F 

T T F F T T T F T F T F T T 

T T F F F F T F T F T F F F 

F T T T T T T T F F F T T T 

F F T F F T T T F F F T F F 

F F F F T T F T F T T F F T 

F F F F F T F T F T T F F F

54 Kapitel 8. Repetition 

(P ∧ ¬ Q) ∧ R ⇔ (P ∧ R) ∧ ¬ Q 

T F F T F T T T T T F F T 

T F F T F F T T F F F F T 

(d) 

T T T F T T T T T T T T F 

T T T F F F T T F F F T F 

F F F T F T T F F T F F T 

F F F T F F T F F F F F T 

F F T F F T T F F T F T F 

F F T F F F T F F F F T F 

Ö1.8 (a) T (b) F (c) F (d) T 

Ö1.9 (a) F (b) T (c) F (d) T 

Ö1.10 (a) {x ∈ R|x 5 − x + 1 = 0 ∧ x > 0} (b) {x ∈ R|x = x 2 } = {0,1} 

(c) {n ∈ N|∃k ∈ N : n = 2k + 1} (d) {n ∈ N|∃k ∈ N : n = 2 k } 

Ö1.11 (a) x = ±50 (b) x = −1,0,1 (c) x = 0,−1,−2,−3,... (d) x = 0,−1,−2,−3,... 

Ö1.12 (a) x = 1 (b) x = 1 /3, x = 35 /3 (c) x = −1, x = 2 /3 (d) x = 3 

Ö1.13 (a) {x ∈ Q|x 1} (b) {x ∈ Q| 1 /3 < x < 35 /3} (c) {x ∈ Q|x −1 ∨ x 2 /3} 

(d) {x ∈ Q|x −1 ∧ x < 3} 

Ö1.14 (a) |x + y| = |x − z + z + y| |x − z| + |z + y| 

(b) Ej uppfyllt, motexempel: x = 0, y = z = 1 

(c) |x − 2y| = |x − 2z + 2z − 2y| |x − 2z| + |2z − 2y| = |x − 2z| + 2|z − y| 

(d) ||x| − |y|| |x + y| = |x − 3y + 4y| |x − 3y| + |4y| = |x − 3y| + 4|y| 

Ö1.15 (a) 1010 (b) 1010 (c) 139/2.9 ≈ 47.9 (d) 900 

Ö1.16 (a) 13 /6 (b) 3 (c) −1 (d) √ 3 (sätt x n = x n−1 ) 

Ö1.17 (a) ¯x = 0, N = ⌈ε − 1 2 ⌉ (b) ¯x = 1, N = ⌈ε −1 ⌉ − 1 (c) ¯x = 0, N = ⌈ε −2 ⌉ + 1 

(d) ¯x = 1 /3, N = ⌈ln(3 −1 ε −1 )/ln10⌉ (flera möjliga lösningar) 

Ö1.18 (a) N = ⌈ √ 2ε − 1 2 ⌉ (b) N = ⌈2ε −1 ⌉−1 (c) N = ⌈4ε −2 ⌉+1 (d) N = ⌈ln(3 −1 ε −1 /ln10⌉ 

(flera möjliga lösningar) 

Ö1.19 (a) N = 2 × 10 16 

(b) N = 2 × 10 16 

(c) N = ⌈16ln10/ln2⌉ = 54 (d) N = ⌈16ln10/ln2⌉ = 54 (flera möjliga lösningar) 

Ö1.20 (a) N = 4 × 10 16 (b) N = 4 × 10 16 (c) N = ⌈16ln10/ln2⌉ + 1 = 55 

(d) N = ⌈16ln10/ln2⌉ = 54 (flera möjliga lösningar) 

Ö1.21 (a) Ja (talet 1) (b) Nej (ingen Cauchy-följd) (c) Ja (talet 0) (d) Nej (ingen rationell 

talföljd) 

Ö1.22 (a) 0,0,0,... (exempel) (b) x n = π −n (exempel) (c) x n = 1/lnn (exempel) 

(d) x n = ln(e + 1/n) 2 (exempel) 

Ö1.23 (a) [(2)] ∞ n=0 = 2 = 1 + 1 (b) [(2/(n + 1)∞ n=0 ] = 0 = 1 − 1 

(c) [(1 − 1/(n + 1) 2 ) ∞ n=0 ] = 1 = 1 · 1 (d) [(1 + 2/n)∞ n=0 ] = 1 = 1/1 

Ö1.24 (a) x > 0 (b) x = 0 (c) x > 0 (d) x = 0 

Ö1.25 (a) 1 /8 (b) 1 /1 (c) 977 /368 (d) 128702801 /8565608 

Problem 

P1.1 X är mängden av alla mängder som inte innehåller sig själva (som element i mängden — 

notera att en mängd mycket väl kan bestå av mängder). Detta innebär att X ∈ X om och 

endast om X uppfyller villkoret för att tillhöra mängden, det vill säga X /∈ X. Med andra 

ord gäller att X ∈ X ⇔ X /∈ X vilket är en motsägelse. Den grundläggande problematiken 

är att man inte kan bilda en mängd bara genom att lista mängdens egenskaper på formen 

X = {x|P(x)}. I allmänhet måste man definiera delmängder på formen X = {x ∈ Y |P(x)}.


P1.2 Modus ponens: 

Modus tollens: 

((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q 

T T T T T T T 

T F F F T T F 

F T T F F T T 

F T F F F T F 

((P ⇒ Q) ∧ ¬ Q) ⇒ ¬ P 

T T T F F T T F T 

T F F F T F T F T 

F T T F F T T T F 

F T F T T F T T F 

P1.3 Om x + y 0 så gäller att |x + y| = x + y. Eftersom x |x| och y |y| så gäller enligt sats 

1.4 att |x + y| = x + y |x| + |y|. Om x + y < 0 så gäller att |x + y| = −(x + y) = −x − y. 

Eftersom −x |x| och −y |y| så gäller enligt sats 1.4 att |x + y| = −(x + y) |x| + |y|. 

Genom att byta tecken på y följer att |x + y| |x| + |y|. 

För att visa den omvända triangelolikheten använder vi triangelolikheten för att visa 

|x| = |x − y + y| |x − y| + |y|, vilket ger |x| − |y| |x − y|. På samma sätt ser vi att 

|y| − |x| |y − x|, dvs −(|x| − |y|) |x − y|. Eftersom då ±(|x| − |y|) |x − y| följer att 

||x| − |y|| |x − y|. Genom att byta tecken på y följer att ||x| − |y|| |x ± y| 

P1.4 Antag att x 2 = 3 och att x = p/q ∈ Q där p och q är relativt prima (saknar gemensamma 

faktorer andra än 1). Då gäller att (p/q) 2 = 3 och således p 2 = 3q 2 . Eftersom p 2 då är är 

multipel av 3 måste också p vara en multipel av 3 (eftersom 3 är ett primtal). Vi kan då 

skriva p = 3k för k ∈ Z. Detta ger (3k) 2 = 3q 2 och därför 3k 2 = q 2 . Vi drar slutsatsen att 

också q måste vara delbart med 3 vilket motsäger antagandet att p och q är relativt prima. 

P1.5 På samma sätt som i beviset av att √ 2 och √ 3 inte är rationella tal får vi p 2 = 9q 2 . Detta 

betyder inte att p måste vara en multipel av 9 eftersom 9 = 3 × 3. 

P1.6 Nej, tag exempelvis x = 1 + √ 2 /∈ Q och y = 1 − √ 2 /∈ Q. Då är x + y = 2 ∈ Q. 

P1.7 Notera att y n = x n+1 /x n = x n−1+x n 

x n 

= x n−1 

x n 

+1 = 1/y n−1 +1. Om iterationen konvergerar mot 

en fixpunkt ȳ så löser den ekvationen ȳ = 1/ȳ + 1, vars lösningar ges av ȳ = (± √ 5 + 1)/2. 

Eftersom uppenbarligen y n > 0 så måste talföljden konvergera mot ( √ 5 + 1)/2 (om den 

konvergerar). 

P1.8 Om iterationen x n = x n−1 − (xn−1 2 − 2)/2 konvergerar mot en fixpunkt ¯x så löser den 

ekvationen ¯x = ¯x − ( ¯x 2 − 2)/2, vars lösningar ges av ¯x = ± √ 2. Iterationen konvergerar 

mot √ 2 eller − √ 2 beroende på startpunkt. 

P1.9 (Subtraktion) Om (x n ) ∞ n=0 och (y n) ∞ n=0 är Cauchy-följder så är (z n) ∞ n=0 = (x n − y n ) ∞ n=0 

också en Cauchy-följd ty |z m − z n | = |(x m − y m ) − (x n − y n )| = |(x m − x n ) − (y m − y n )| 

|x m − x n | + |y m − y n | < ε för m,n N och N tillräckligt stort. 

(Multiplikation) Om (x n ) ∞ n=0 och (y n) ∞ n=0 är Cauchy-följder så är (z n) ∞ n=0 = (x ny n ) ∞ n=0 

också en Cauchy-följd ty |z m − z n | = |x m y m − x n y n | = |x m y m − x m y n + x m y n − x n y n )| = 

|x m (y m − y n ) + (x m − x n )y n | |x m ||y m − y n | + |y n ||x m − x n | = |x m − ¯x + ¯x||y m − y n | + |y n − 

ȳ + ȳ||x m − x n | (|x m − ¯x| + | ¯x|)|y m − y n | + (|y n − ȳ| + |ȳ|)|x m − x n | (1 + | ¯x|)|y m − y n | + 

(1 + |ȳ|)|x m − x n | < ε för m,n N och N tillräckligt stort. 

P1.10 Om y ≠ 0 så kan y representeras av en rationell Cauchy-följd (ỹ n ) ∞ n=0 sådan att |ỹ n| ≥ 

α > 0 för något α > 0. Om (x n ) ∞ n=0 och (y n) ∞ n=0 är Cauchy-följder så är (z n) ∞ n=0 = 

(x n /y n ) ∞ n=0 också en Cauchy-följd, ty |z m − z n | = |x m /y m − x n /y n | = |x m /y m − x m /y n + 

x m /y n − x n /y n | = |x m (1/y m − 1/y n ) + (x m − x n )/y n | |x m ||1/y m − 1/y n | + |1/y n ||x m −


x n | = |x m − ¯x + ¯x||y m −y n |/|y m y n |+|1/y n ||x m −x n | (|x m − ¯x|+|¯x|)|y m −y n |/α 2 +|x m − 

x n |/α α −2 (1 + | ¯x|)|y m − y n | + α −1 |x m − x n | < ε för m,n N och N tillräckligt stort. 

Datorövningar 

D1.1 

1 for x in range ( 101 ): 

2 print x 

Python code 

Alternativt: 

1 xs = [x for x in range ( 101 )] 

2 print xs 

Python code 

1 for x = 0:100 

2 x 

3 end 

MATLAB code 

Alternativt: 

1 xs = 0:100 

MATLAB code 

D1.2 

1 for x in range (1, 100 , 2): 

2 print x 

Python code 

Alternativt: 

Python code 

1 xs = [x for x in range (1, 100 , 2)] 

2 print xs 

1 for x = 1:2:100 

2 x 

3 end 

MATLAB code 

Alternativt: 

1 xs = 1:2:100 

MATLAB code 

D1.3 

1 s = 0 

2 for x in range ( 101 ): 

3 s += x 

4 print s 

Python code


Alternativt: 

Python code 

1 s = sum ([x for x in range ( 101 )]) 

2 print s 

1 s = 0; 

2 for x = 0:100 

3 s = s + x; 

4 end 

5 s 

MATLAB code 

Alternativt: 

1 s = sum (0:100) 

MATLAB code 

D1.4 

1 s = 0 

2 for x in range (1, 100 , 2): 

3 s += x 

4 print s 

Python code 

Alternativt: 

Python code 

1 s = sum ([x for x in range (1, 100 , 2)]) 

2 print s 

1 s = 0; 

2 for x = 1:2:100 

3 s = s + x; 

4 end 

5 s 

MATLAB code 

Alternativt: 

1 s = sum (1:2:100) 

MATLAB code 

D1.5 

1 primes = [] 

2 for x in range (2, 1001 ): 

3 is_prime = True 

4 for p in primes : 

5 if x % p == 0: 

6 is_prime = False 

7 break 

8 if is_prime : 

9 primes . append (x) 

10 print primes 

Python code


1 primes = []; 

2 for x = 2:1000 

3 is_prime = 1; 

4 for p = primes 

5 if mod (x, p) == 0 


7 break 

8 end 

9 end 

10 if is_prime 

11 primes = [ primes x]; 

12 end 

13 end 

14 primes 

D1.6 

MATLAB code 

1 primes = [] 

2 x = 2 

3 while len ( primes ) < 1000 : 

4 is_prime = True 

5 for p in primes : 

6 if x % p == 0: 

7 is_prime = False 

8 break 

9 if is_prime : 

10 primes . append (x) 

11 x += 1 

12 print primes 

Python code 

1 primes = []; 

2 x = 2; 

3 while length ( primes ) < 1000 


5 for p = primes 

6 if mod (x, p) == 0 


8 break 

9 end 

10 end 

11 if is_prime 

12 primes = [ primes x]; 

13 end 

14 x = x + 1; 

15 end 

16 primes 

D1.7 

MATLAB code 

1 x = 1.0 

2 for n in range ( 100 ): 

3 x = (x + 2/x) / 2 

4 print x 

Python code


1 format long 

2 x = 1; 

3 for n = 1:100 

4 x = (x + 2/x) / 2; 

5 end 

6 x 

MATLAB code 

D1.8 

1 x = 1.0 

2 TOL = 1e-10 

3 dx = 2* TOL 

4 while abs (dx) >= TOL : 

5 xnew = (x + 2/x) / 2 

6 dx = xnew - x 

7 x = xnew 

8 print x 

Python code 

1 format long 

2 x = 1; 

3 TOL = 1e -10; 

4 dx = 2* TOL ; 

5 while abs (dx) >= TOL 

6 xnew = (x + 2/x) / 2; 

7 dx = xnew - x; 

8 x = xnew ; 

9 end 

10 x 

MATLAB code 

D1.9 

Python code 

1 x = 0.0 

2 N = 1000000 

3 for n in range (N + 1): 

4 k = n 

5 x += 4.0*(-1)**k / (2*k + 1) 

6 print x 

MATLAB code 

1 format long 

2 x = 0; 

3 N = 1000000; 

4 for n = 0:N 

5 k = n; 

6 x = x + 4*( -1) ^k / (2* k + 1) 

7 end 

D1.10 

1 from pylab import * 

2 

Python code


3 def generate_sequence_x (N): 

4 x = 1.0 

5 xs = [x] 

6 for n in range (N): 

7 x = (x + 2/x) / 2 

8 xs. append (x) 

9 return array (xs) 

10 

11 def generate_sequence_y (N, alpha ): 

12 y = 1.0 

13 ys = [y] 

14 for n in range (N): 

15 y = y - alpha *(y**2 - 2) 

16 ys. append (y) 

17 return array (ys) 

18 

19 N = 20 

20 

21 xs = generate_sequence_x (N) 

22 ys0 = generate_sequence_y (N, 0.01) 

23 ys1 = generate_sequence_y (N, 0.1) 

24 ys2 = generate_sequence_y (N, 1) 

25 

26 semilogy ( range (N + 1), abs ( sqrt (2) - xs), ’-o’) 

27 semilogy ( range (N + 1), abs ( sqrt (2) - ys0 ), ’-o’) 



30 

31 xlabel (’$n$ ’) 

32 ylabel (’$| x_n - \ sqrt {2}|$’) 

33 grid ( True ) 

34 legend ([’$( x_n )$’, 

35 ’$( y_n ), \\ alpha = 0. 01$ ’, 

36 ’$( y_n ), \\ alpha = 0.1$ ’, 

37 ’$( y_n ), \\ alpha = 1$ ’], loc =5) 

38 show () 

MATLAB code 

1 N = 20; 

2 

3 xs = generate_sequence_x (N); 

4 ys0 = generate_sequence_y (N, 0.01) ; 

5 ys1 = generate_sequence_y (N, 0.1) ; 

6 ys2 = generate_sequence_y (N, 1); 

7 

8 semilogy (0:N, abs ( sqrt (2) - xs), ’-o’) 

9 hold on 

10 semilogy (0:N, abs ( sqrt (2) - ys0 ), ’-o’) 



13 

14 xlabel (’n’) 

15 ylabel (’x_n - sqrt (2) ’) 

16 grid on 

17 legend (’x_n ’, ’y_n , alpha =0.01 ’, ’y_n , alpha =0.1 ’, ’y_n , alpha =1 ’) 

MATLAB code


1 % In separate m- file generate_sequence_x .m 

2 function xs = generate_sequence_x (N) 

3 x = 1; 

4 xs = [x]; 

5 for n = 1:N 

6 x = (x + 2/x) / 2; 

7 xs = [xs x]; 

8 end 

9 end 

MATLAB code 

1 % In separate m- file generate_sequence_y .m 

2 function ys = generate_sequence_y (N, alpha ) 

3 y = 1; 

4 ys = [y]; 

5 for n = 1:N 

6 y = y - alpha *(y^2 - 2); 

7 ys = [ys y]; 

8 end 

9 end

Bibliografi 

[Tao06] Terence Tao. Analysis. Volym 1. Hindustan Book Agency, 2006 (se sidan 11). 

[Tur67] 

Alan Turing. “On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem”. 

I: Proceedings of the London Mathematical Society 42 (1936–7), sidorna 230–265 (se 

sidan 24).

Anteckningar i Inledande Matematik

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?