g1

Najprej spoznajmo ukaz Manipulate, ki ga uporabimo za dinamično predstavitev raznih rezultatov.
In[1]:=
Manipulate[
Plot[a (x - b)^2 + c, {x, -5, 5}, PlotRange {-20, 20}, PlotStyle Thick],
{a, -3, 3}, {b, -3, 3}, {c, -3, 3}]
a
b
c
20
Out[1]=
10
-4 -2 2 4
-10
-20

2 vaja3.nb
Manipulate[
Graphics[Polygon[{A, B, C}], PlotRange 5]
, {{A, {0, 0}}, Locator}
, {{B, {1, 4}}, Locator}
, {{C, {2, 3}}, Locator}
]
Fourierova transformacija
F(ω) =
-∞
∞
f (t) ωt t
f (t) = 1
2 π -∞
∞
F(ω) -ωt ω
∞
F s (ω) = f (t) sin (ωt) t
0
∞
F c (ω) = f (t) cos (ωt) t
0
inverzna formula
Fourier - sin transformacija
Fourier - cos transformacija
1. Nariši graf funkcije
f (t) = sin t , če
0 , če
0 ≤ t ≤ π
t < 0 ali t > π

vaja3.nb 3
Za definicijo zlepljene funkcije so primerni ukazi If , Which ali PieceWise .
A = Piecewise[{{Sin [t], 0

4 vaja3.nb
d = FourierTransform[A, t, ω]
1 + π ω
2 π 1 - ω 2
B = A * Exp[iωt]
iωt Sin[t] 0 ≤ t ≤ π
0 True
c = Integrate[B, {t, -Infinity, Infinity}]
2 iωt
InverseFourierTransform[d, ω, t]
1
2 1
Sign[π - t] + 1
Sign[t] Sin[t]
1
2
1
Sign[π - t] + 1
Sign[t]
Sin[t]
Integrate[c * Exp[-iωt], {ω, -Infinity, Infinity}]
1
2 1
Sign[π - t] + 1
Sign[t] Sin[t]
∞
Razlika med rešitvama je v ne čisto enakih definicijah transformirane in inverzne funkcije.
Tu so tri različne konvencije, ki jih razni avtorji uporabljajo :
∞
F(ω) = f (t) ωt t f (t) = 1 ∞
-∞
2 F(ω) -tω ω (Tomšič, Slivnik)
π -∞
F(ω) =
1 2 π
∞
f (t) ωt t f (t) = 1
-∞
2 π
∞
F(ω) -tω ω
-∞
(Wolfram Mathematica)
F(ω) =
1 2 π
∞
f (t) -ωt t f (t) = 1
-∞
2 π
∞
F(ω) tω ω
-∞
(Kreyszig)
Program Mathematica se tem konvencijam prilagaja z opcijo FourierParameters.
Mi torej uporabljamo FourierParameters {1, 1}
3. Uporabi ukaz Manipulate in prikaži grafa funkcije
f (t) = e -t^2/a in njene Fourierove transformiranke v isti koordinatni sistem za vrednosti parametra a ∈ [1, 5].

vaja3.nb 5
In[6]:= Clear[t, b, c, d, ω]
ba = Exp[-t^2 / d]
ca = FourierTransform[ba, t, ω]
Plot[{b, c}, {t, -4, 4}]
Manipulate[Plot[{b, c}, {t, -4, 4}], {d, 1, 5}]
Out[7]=
- t2
d
Out[8]=
- d ω2
4
2
1
d
1.0
0.5
Out[9]=
-4 -2 2 4
-0.5
-1.0
Out[10]=
4. Z ukazom Plot nariši graf funkcije
f (t) = e-t/10 sin (10 t) , če t ≥ 0
0 , če t < 0
in nariši graf gostote spektra F(ω) z ukazom LogLogPlot na intervalu ω ∈ [0.1 , 100] !
Primeri nalog za preverjanje
5. Poišči Fourierovo transformacijo F(ω) funkcije f (t) = - t
Koliko je F(4) ?
Rezultat : 0.117647
In[12]:= t = 4
Out[12]= 4

6 vaja3.nb
In[21]:= f = FourierTransform[Exp[-Abs[t]], t, ω]
d = FourierTransform[Exp[-4], t, ω]
N[d, 7]
Out[21]=
Out[22]=
Out[23]=
2 π DiracDelta[ω]
4
2 π DiracDelta[ω]
4
0.04591050 DiracDelta[ω]
6. Funkcija θ(t) je enotna stopnica. V Mathematici se imenuje UnitStep.
f (t) = θ(t - 3) - θ(t - 5) , g (t) = ( 1 - t ) ( θ(t - 1) - θ(t + 1) )
Koliko je vrednost konvolucije h (t) = ( f * g) (t) v času t = 4.5 ?
Rezultat : -0.875
7. Poišči inverzno Fourierovo transformacijo funkcije F(ω) = -2 ω .
Koliko je f (1 / 2) ?
Rezultat : 0.149793
8. Poišči Fourier - kosinusno transformacijo F c (ω) funkcije f (t) = θ(t - 2) - θ(t - 6) .
Nato poišči ničle funkcije F c (ω) . Koliko je najmanjša pozitivna ničla ?
Rezultat : 0.392699
Analiza konvolucije funkcije f (t) s konstanto
Naloga je odkriti, kakšno preoblikovanje poljubne funkcije f (t) predstavlja konvolucija te funkcije
z naslednjo konstantno funkcijo. Kakšen je vpliv parametra σ ?
konst (t) = 1
2 σ
, če t ≤ σ
0 , če t > σ
Izpeljemo :
∞ t+σ
( f *konst) (t) = f (u) konst(t - u) u = 1/(2 σ) f (u) u =
-∞
t-σ
1/(2 σ)* ( ploščina pod krivuljo f (u) na intervalu t - σ < u < t + σ ) =
povprečna vrednost funkcije f (u) na tem intervalu

vaja3.nb 7
In[28]:= konst[t_, σ_] = Which[t < -σ, 0, t < σ, 1 / (2 σ), True, 0];
Plot[konst[t, 0.2], {t, -2, 2}, PlotStyle Thick]
(*kvluc[t_,σ_]=Integrate[f[u]konst[t-u,σ],{u,-∞,∞}];*)
kvluc[t_, σ_] := 1 Integrate[f[u], {u, t - σ, t + σ}];
2 σ
2.5
2.0
Out[29]=
1.5
1.0
0.5
-2 -1 1 2
Za primer vzemimo naslednjo nezvezno funkcijo f (t).
In[24]:=
Clear[f]
f[t_] = Which[t < 0, 0, t < 1, 1, t < 2, 2, True, 3];
graff = Plot[f[t], {t, -3, 6}, PlotStyle Thick, AspectRatio Automatic]
(* formula za ploščino pod f[t] v širini 2σ okrog t *)
plosc[t_, σ_] := Block[{ogli, n},
ogli = {{t + σ, f[t + σ]}, {t + σ, 0}, {t - σ, 0}, {t - σ, f[t - σ]}};
For[n = Max[Ceiling[t - σ], 0], n ≤ Min[Floor[t + σ], 3], n++,
ogli = Join[ogli, {{n, n}, {n, f[n]}}];]
Print[ogli];
Polygon[ogli]
]
6
5
4
Out[26]=
3
2
1
-2 2 4 6

8 vaja3.nb
V naslednjem ukazu Manipulate:
Z miško vlečemo neodvisno spremenljivko t po abscisni osi.
Rdeča pika sledi vrednosti konvolucije (f*konst)(t).
Zeleno je obarvana ploščina pod funkcijo f na intervalu ( t-σ , t+σ ).
Parameter σ lahko spreminjamo.
In[32]:=
Manipulate[
Show[
graff, (* graf funkcije *)
Graphics[
{FontSize 18,
Text["t", {tt 〚1〛 , -0.4}],
Text[StringJoin["σ= ", ToString[σ]], {-2.5, 2.5}],
{RGBColor[0.8, 1, 0.8], plosc[tt 〚1〛 , σ]}, (* zelena plosčina *)
{RGBColor[1, 0, 0], Disk[{tt 〚1〛 , kvluc[tt 〚1〛 , σ]}, 0.1]}} (* rdeča pika *)
], PlotRange {{-3, 6}, {-0.5, 3.5}}, AspectRatio Automatic,
ImageSize {800, 300}, TicksStyle Directive[14],
Ticks {{-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3}}],
{σ, 0.1, 1}, {{tt, {-1, -0.2}}, {-1, -0.5}, {4, 0}, Locator, Appearance None}]
Out[32]=
V naslednjem ukazu sta prikazana grafa funkcije in konvolucije s konstanto.
Opazujmo vpliv parametra σ !
In[33]:=
Manipulate[
Show[
graff,
Plot[kvluc[t, σ], {t, -3, 6}, PlotStyle {Red, Thick}, AspectRatio Automatic]
], {σ, 0.01, 1}]
Out[33]=
Odgovor :
Konvolucija neke funkcije f (t) z dano konstantno funkcijo predstavlja glajenje
funkcije.
f*konst je zvezna funkcija in se prilega funkciji f . Parameter σ pomeni stopnjo
glajenja.
Konvolucija dane funkcije f (t) s konstanto oz. Gaussovo krivuljo
σ
1
2 π
- t2
2 σ 2

vaja3.nb 9
In[34]:= σ = 0.1;
f[t_] := Which[t < 0, 0, t < 1, 1, t < 2, 2, True, 3];
Konst[t_] := Which[t < -σ, 0, t < σ, 1 / (2 σ), True, 0];
Gauss[t_] := Exp[-t^2 / (2 σ ^2)] / (σ Sqrt[2 Pi]);
KvlucKonst[t_] :=
NIntegrate[Konst[u] f[t - u], {u, -5 σ, 5 σ}, AccuracyGoal 4, PrecisionGoal 4];
KvlucGauss[t_] := NIntegrate[Gauss[u] f[t - u],
{u, -5 σ, 5 σ}, AccuracyGoal 4, PrecisionGoal 4];
Show[GraphicsArray[{
{Plot[Konst[t], {t, -3, 3},
PlotStyle -> AbsoluteThickness[2], AspectRatio Automatic,
TicksStyle Directive[14], PlotRange All],
Plot[KvlucKonst[t], {t, -3, 4}, PlotStyle -> AbsoluteThickness[2],
AspectRatio Automatic, TicksStyle Directive[14]]},
{Plot[Gauss[t], {t, -3, 3}, PlotStyle -> AbsoluteThickness[2],
AspectRatio Automatic, TicksStyle Directive[14], PlotRange All],
Plot[KvlucGauss[t], {t, -3, 4}, PlotStyle -> AbsoluteThickness[2],
AspectRatio Automatic, TicksStyle Directive[14]]}
}]]
GraphicsArray: GraphicsArray is obsolete. Switching to GraphicsGrid.
Out[40]=
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
-3 -2 -1 1 2 3 4
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
-3 -2 -1 1 2 3 4