Mathermatics

RksYgGb;rM yuvCn nigkILa
emeronsegçb nig lMhat;KMrU
sRmab;CaCMnYydl;sisSfñak;TI 12
2016~2017

រមភកថ
េនះ្រគន់ែតជជំនួយដល់អនកសិកគណិ តវ ិទយថន ក់ទី១២ ប៉ ុែន្តពុំែមនជឯករេពញេលញ
ស្រមប់កមមវ ិធីសិកថន ក់ទី១២ទំងមូលេនះេទ។
កន ុងជំពូកនីមួយៗៃនេមេរៀនេយើងបនែចកជពីរែផនក
ែផនកទី I: សេងខបេមេរៀនេដើមបីឲយអនកសិកចងចំនូវអ្វីែដលេរៀនរួចជនិយមន័យ និង្រទឹស្ត ីបទ
សំខន់ៗស្រមប់េធ្វើលំត់។
ែផនកទី II: លំត់គំរូ
េយើងបនបញច ូ លវ ិធី្រស្តមូល្ឋ នស្រមប់េធ្វើលំត់ងយៗេទមលំប់ទ្រមង់ជ
ករពនយល់េដើមបីអនុវត្តន៍។
កន ុងករសិកអនកមិន្រតូវពយយមេមើលចេម្លើយរបស់លំត់គំរូេទ។ អនកសិក្រតូវន
េយយកចិត្តទុកក់នូវ្របធនលំត់នីមួយៗែស្វងរកវ ិធីកន ុងករេះ្រយេនកន ុង
្រកស្រពងមរេបៀបេផងៗ េហើយក់សំណួ រខ្ល ួនឯងថ េតើលំត់េនះចេះ
្រយបនប៉ ុនម នរេបៀប និងេ្របើនិយមន័យ ឬ្រទឹស្ត ីបទអ្វីខ្លះ? េធ្វើែបបេនះេទើបអនកច
យល់បនសុីជេ្រម និងចងចំបននូវេមេរៀន ឬរូបមន្តែដលអនកបនេរៀនរួច។
េ្រកយេពលេធ្វើដំេះ្រយេលើ្រកស្រពងរួច ្រតូវចម្លងេយហមត់ចត់េលើ្រកស
្អ តេយសរេសរឲយមនរេបៀបេរៀបរយចប់សព្វ្រគប់
េទើបេផទងផទ ត់ជមួយចេម្លើយ
ែដលមន។ េធ្វើែបបេនះអនកនឹងទទួលេជគជ័យេហើយចបនចេម្លើយែដលល្អជង និង
ខ្លី ជងចេម្លើយែដលមនកន ុងគំរូេទេទៀត។
េដើមបីឲយេសៀវេភេនះកន់ែតល្អ្របេសើរ
េយើងខញ ុំរង់ចំទទួលកររ ិះគន់
េក្រគូ អនក្រគូ និងអនកសិកទំងយេយក្តីេមនសរ ីកយបំផុត។
និងែកលម្អបែនថមអំពី
្រកុមអនកេរៀបេរៀង

វ ិធី្រស្តស្រមប់េះ្រយវ ិ ញ គណិ តវ ិទយ
I. េផ្តើមៃនវ ិ ញ
នេយយកចិត្តទុកក់ និងយឺតៗនូវវ ិ ញ ទំងមូល។
កំណត់េពលេវអតិបរមែដលអនក្រតូវេ្របើស្រមប់េះ្រយ សរេសរចូល និង
េមើលេឡើងវ ិញរួមជមួយអ្រពិនទ ុេនកន ុងវ ិ ញ ។
េយើង្រតូវចប់េផ្តើមជមួយលំត់ែដលអនកយល់ថងយ។
II. េពលេធ្វើវ ិ ញ
កលបងេះ្រយកន ុង្រកស្រពង។ េ្រកយេពលេះ្រយចប់ ចម្លងចូល
កន ុង្រកសកិចចករ។ េបើមិនទន់េះ្រយចប់្រតូវេមើលេឡើងវ ិញកន ុង្រកស្រពង
េបើយល់ថ្រតឹម្រតូវេហើយបន្តចម្លងេយផចិតផចង់ជពិេសសចេម្លើយៃនល់សំណួ រ
មុនែដលចជួយ អនកឲយេះ្រយសំណួ របន្ត។
េបើអនក្របទះនឹងសំណួ រែដលមិនចេះ្រយបន្រតូវរក្រកសសកន ុង
្រកសកិចចករ និងបន្តេះ្រយសំណួ របនទ ប់ៃនលំត់េយអនុម័តលទធផល
ផ្តល់ពីខងេលើ។
សូមកុំេភ្លចថល់ចេម្លើយ្រតូវែតមនករពនយល់។
III.
ករេរៀបចំ្រកសកិចចករ
សរេសរចេម្លើយមសំណួ រនីមួយៗេយបង្ហ ញលទធផលែដលទទួលបន
ឲយចបស់ស់ និងេគរពមករកំណត់សរេសររបស់វ ិ ញ ។
សរេសរឲយបនចបស់ េជៀសងករេមើលមិនយល់។
ករសង់្រកប្រតូវេគរពមឯកែដលបនកំណត់។ េគមិន្រតូវេភ្លចថបនទ ត់ប៉ះ
ចជួយ ឲយគូរ្រកបបនល្អ។
រូបធរណី ម្រត្រតូវេចំណុ ចចំបច់ែដលមនេនកន ុងស្រមយបំភ្លឺរបស់អនក។

បញ្ជីអត្ថបទ
លីមីតនៃអៃុគមៃ៍ ........................................................................................................ 3
I.មមម ៀៃសមខេប ......................................................................................................... 3
1.ប្រមាណវិធីមលីលីមីត ........................................................................................ 3
2. លីមីតនៃអៃុគមៃ៍បណ្តា ក់............................................................................... 3
3. លីមីតតាមកា មប្រៀបមធៀប ............................................................................... 3
4. លីមីតនៃអៃុគមៃ៍ជួបប្រទះញឹកញាប់............................................................. 4
5. លីមីតនៃអៃុគមៃ៍ប្ីមកាណមាប្ត .................................................................... 4
6. លីមីតនៃអៃុគមៃ៍អុ ៊ិចសបណខ់ស្សែល ូ ............................................................ 4
7. លីមីតនៃអៃុគមៃ៍មោកា ីតមៃស្ែ ................................................................... 4
II.លំហាត់គំ ូ.............................................................................................................. 4
មេ ីមេ ៃ៊ិខ ប្ែីមីទីេនៃអៃុគមៃ៍.................................................................................19
I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................19
1.មេ ីមេនៃអៃុគមៃ៍.............................................................................................19
2.ប្ែីមីទីេនៃអៃុគមៃ៍..........................................................................................21
II. លំហាត់គំ ូ............................................................................................................22
អំខមតប្កាលកំណត់ ...................................................................................................31
I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................31
II.លំហាត់គំ ូ.............................................................................................................31
ស៊ិកាអមេ ភាែ ៃ៊ិខ សខ់ស្សែមកាខ ...........................................................................39
I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................39
1

II.លំហាត់គំ ូ.............................................................................................................40
ចំៃួៃកុ ំផ្ល ិច ...................................................................................................................56
I. មមម ៀៃសមខេប .......................................................................................................56
II.លំហាត់គំ ូ.............................................................................................................58
មកាៃ៊ិក ..........................................................................................................................69
I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................69
1.ប៉ា រ៉ា បូល .............................................................................................................69
2.មអលីប ................................................................................................................70
3.អុ ីស្ែបូល .............................................................................................................70
II.លំហាត់គំ ូ.............................................................................................................71
សមីកា ឌីមផ្ ៉ាខ់ស្សែល ................................................................................................78
I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................78
1.សមីកា ឌីមផ្ ៉ាខ់ស្សែលលំដាប់ទី1 .....................................................................78
2.សមីកា ឌីមផ្ ៉ាខ់ស្សែលលីមៃស្អ៊ែលំដាប់ទី 2 ......................................................79
II.លំហាត់គំ ូ.............................................................................................................80
ប្រូបប ..........................................................................................................................83
I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................83
II.លំហាត់គំ ូ.............................................................................................................84
ផ្លគុណនៃែី វិុចទ័ កន ុខលំហ ៃ៊ិខ អៃុេតាៃ៍...........................................................89
I.មមម ៀៃសមខេប ........................................................................................................89
II.លំហាត់គំ ូ.............................................................................................................90
2

លីមីតនៃអៃុគមៃ៍
I.មមម ៀៃសមខេប
1.ប្រមាណវិធីមលីលីមីត
ប ើ
ប ើ
x
lim f
xa L L 0 L 0 0 0
lim g x
xa
M 0 0 0
ប ោះlim
f x gx
xa
ប ោះ lim
f x gx
xa
ប ោះlim
f x
gx
xa
L
M
L
M
L
L
0 ?
0 ? ?
LM 0 ? 0
ប ោះ
x
f
lim
xa
g x
កំណត់សម្គា ល់ : រាងមិនកំណត់គឺ :
2. លីមីតនៃអៃុគមៃ៍បណ្តា ក់
L
M
និយមន័យ : បយើងម្គន u ជាអនុគមន៍កំណត់បលើ
I និង g ជាអនុគមន៍កំណត់បលើ
uI ។
0 0 ? ? ? ?
0
; 0 ; ;
0
អនុគមន៍ ណ្តា ក់ននu បោយ g បគសរបសរ g uជាអនុគមន៍កំណត់បលើ I បោយ g ux g ux
ប ើ u និង g ជាអនុគមន៍ដែលម្គន
limu x
x
។
និង lim gx
ប ោះ lim g ux
x
x
។
3. លីមីតតាមកា មប្រៀបមធៀប
ប ើ f x g x
និង ប ើ lim gx
x
ប ើ f x g x
និង ប ើ lim gx
x
ប ោះ
ប ោះ
ប ើ hx f x g x
និង ប ើ lim hx
lim
x
f x L
x
ប ើ f x L g x
និង ប ើ gx
lim 0
x
lim
x
lim
x
f
f
x
x
L និង lim g x
L ប ោះ
x
ប ោះ lim
x
f x L
3

កំណត់សម្គា ល់ : បគអាច កស្រាយែូចគ្នា កាលណ្ត x ឬ កាលណ្ត x a ( a ជាចំនួនពិត)
4. លីមីតនៃអៃុគមៃ៍ជួបប្រទះញឹកញាប់
n
1
លីមីតត្តង់ +∞ : lim x ; lim x ; lim 0
x x x
n
x
លីមីតត្តង់ 0 : n ជាចំនួនគត់រឺឡាទី វិជ្ជម្គន និងគូ
lim
x0
x0
1
n
x
n ជាចំនួនគត់រឺឡាទី វិជ្ជម្គន និងបសស
n ជាចំនួនគត់រឺឡាទី វិជ្ជម្គន និងបសស
lim
x0
x0
lim
x 0
x0
1
n
x
1
n
x
5. លីមីតនៃអៃុគមៃ៍ប្ីមកាណមាប្ត
sin x
1
cos x
lim 1 ; lim 0
x0 x
x0
x
6. លីមីតនៃអៃុគមៃ៍អុ ៊ិចសបណខ់ស្សែល
ូ
x
x
lim e
; lim 0 ; lim
x
x
x
e
x
e
x
x
e
ប ើ n 0 ប ោះ lim
x
n
x
n
x
និង lim 0
x
x
e
7. លីមីតនៃអៃុគមៃ៍មោកា ីតមៃស្ែ
lim ln x
x
lim xln
x
0
x0
ប ើ n 0 ប ោះ
II.លំហាត់គំ ូ
;
;
lim ln x
x0
ln
lim
x0
x
x
ln x
lim 0 ;
x
x
n
x0
;
ln x
lim 0
x
x
n
lim x ln
x0
កំណត់សម្គា ល់ : អាកសិកាត្តូវខំត្ ឹងបោោះស្រាយលំហាត់បោយខល ួនឯង ចំដណកចបមលើយសត្ម្គ ់ដតប្ទៀងផ្ទទ ត់។
4

1. f x
2
2x
x3
x
2
1
; គណ lim f x
x
ចបមលើយ
a. ចំប ោះត្គ ់ 0
b. បគបាន
x ; f x
1
lim 0
x
x
1 3
x 2
1 3
2
2x x3
x x
x x
2
x 1
2 1 1
x 1
1
2
2
x x
1
lim 0
x
x
;
2
2
2
2
2
1 3
ែូបចាោះ lim 2 2
2
x
x x
1
និង lim 1
1
2
x
x
2. f x
វិបាក
lim f x 2
x
1
x
1
x 2
គណ
lim f
x
x ; lim f x ; lim f x
x
x1
ចបមលើយ
ក. lim f x
1
x 1
1x 1x
lim
lim
lim
x
1
x 2 12x x
2 2 2 1
x 1
2
x x
1
lim 0
x
x
x x x x
ខ. lim f x
1
x 1
1x 1x
lim
lim
lim
x
1
x 2 12x x
2 2 2 1
x 1
2
x x
x x x x
គ. lim f x
x 1 x1
1
lim 0
x
x
1
lim
lim 1 2
x
1
x
1
x 2
x និង 2
lim 1 x 0
បោយ 1x 2
0
ចំប ោះ x 0
x 1
5

ែូបចាោះ
lim f
x1
x
3.គណ លីមីតខាងបត្កាម :
ក.
lim
x1
x 1
x 1
x 2
2
; ខ. lim
x2
3
x 8
; គ. lim
x0
1 x 1
x
sin x
ចបមលើយ
ក.
x 1 x 1
x
m
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 1 1 1
lim lim li
lim
x1 x 1 x1 x1 x1
x 1
2
x 2
2
ខ. lim
x2
3
x 8
a b a b a ab b
គ.
បយើងែឹងថា 3 3 2 2
ែូបចាោះ x 3 8 x 2 x 2 2x
4
តាង f
lim
x
x2 3
x2
2
lim
x0
តាង f x
x 2 2 x 2 2
x 22
x 3 8 x 2 x 2 2x 4 x 2 2
x 24
x 2 x
2 2x 4 x 2 2
x 2
x 2 x
2 2x 4 x 2 2
1
2
x 2x 4 x 2 2
x 2 2 lim
1 1
x 8 x x x 48
1 x 1
x
sin x
2 4 2 2
1 x 1
x
sin x
1 x 1 x 1 x 1
x
sin x
1 x 1
x
sin x
2x
x x sin x 1 x 1
x
1 1
x
2
6

lim f
x
x0 x0
2
lim
x
s in x 1 x 1
x
x
2
lim
lim
x0sin x x0
1 x 1
x
1
4. គណ lim 4x
2 1
x
2 1
បយើងប ើញ
x
ជារាងមិនកំណត់
lim 4
2
1
x
x បយើងឧ ម្គ x 1
2
x
; lim x 1
1 1
x x
2 2
4x 1 x 4 x 4
2 2
បោយ x 1
; x x និង
ែូចគ្នា ដែរ
x
2
4x
1 x 4
1
x
1 1 1
x x x
2 2
x 1 x 1 x 1 x 1
2 2 2
1 1
f x 4x 1 x 1 x 4 x 1
x x
ែូបចាោះ
2 2
1 1
x
4 1
x x
2 2
2
;
sin x x
lim lim 1
x0 0
x x sin x
2 2
1 1
lim x
និង lim 4 1 2 1 1
x
2 2
x
x x
វិបាក lim f x
x
5.កំណត់លីមីតត្តង់ 1
ននអនុគមន៍ f កំណត់បលើ 1, 1
2
ក. 3x 1 4 ; x
lim lim 1 0
x 1 x1
3x
1
x 1
បោយ
2
f
x
ខ.សិកាសញ្ញា នន
2
x 1 បោយបត្ ើតារាងខាងបត្កាម
x − ∞ − 1 1 +∞
x 2 − 1 + 0 − 0 +
7

2
2
គ. lim x 1
0
និង m x 1
x1
x1
x1
x1
li 0
វិបាក lim f x
និង lim f x
x 1
x1
x 1
x1
6. បគម្គនអនុគមន៍ f x
3 2
x x x
1
x 1
គណ
ក. lim f x
x
ចបមលើយ
ខ. lim f x
x
គ. lim
f x
x 1
3
lim f x lim
2
lim x
x x x
ក.
ខ.
x
x
x
x
3
lim f x lim
2
lim x
x x x
3 2
គ. x x x
lim 1 0
x1
និង x
lim 1 0
x1
លីមីតបនោះម្គនរាងមិនកំណត់ 0 0
f
x
2
1 1 x
x
x x x 1
x x x
x 1 x 1 x 1
3 2 2
1 1
2
ែូបចាោះ f x x
lim lim 1 2
x1 x1
7. បគម្គនអនុគន៍ f x
ក. lim f x
x
ចបមលើយ
ក.
3 2
x 3x a 1 x 33a
x
2
ខ. lim f x
x
x x 2
x
4x3
3
x
lim f x lim lim x
x
3
x
lim f x lim lim x
x
ខ.
x x 2
x
គ. lim
f x
x 3
( a ជាចំនួនពិតដែលឲ្យ)
. lim
f x
x 1
8

Nx
3 2
គ. តាង f x
ដែល
Dx
x3
និង Dx
lim N x 0
x3
N x x 3x a 1 x 3
3a
2
D x x 4x
3
lim 0 ; លីមីតបនោះម្គនរាងមិនកំណត់
2 2
3 1 31 3 1 3
N x x x a x a x x a x
x 3x 2 a 1
3 1
D x x x
2
x 3 x a 1 2
x a 1 8
a
lim f x
lim lim
x3 x3 x 3 x 1 x3
x 1 2
. lim 2 1
x1
x a a
និង x
lim 1 0
x1
0
0
lim f x
x 1
ម្គនសញ្ញា អាស្រស័យបៅសញ្ញា នន a និង x 1
2
x a1
ប ើ a 0 lim f x
lim
x1 x1
x 1
2
x a1
lim f x
lim
x1 x1
x 1
2
x a1
ប ើ a 0 lim f x
lim
x1 x1
x 1
2
x a1
lim f x
lim
x1 x1
x 1
2
x 1
ប ើ a 0 lim f x lim lim x 1
2
x1 x1 x 1
x1
8. បគម្គនអនុគមន៍ f x
3
x x x
2 2 5
x
x
កំណត់បលើ (0, )
ក. ង្ហា ញថា ចំប ោះ
5
2
x បគបាន f x
3
x
x
x
ខ. គណ
lim
x
x
x
គ. ទាញយកតនមលនន lim f x
3
x
x
9

ចបមលើយ
ក. ប ើ
5
x បគបាន 2 5 0
2
x និង x x
(បត្ ោះ 2 x 0 និង 2x 5 0 ) ែូបចាោះ
2 2 5 0
x 2 x 2x 5
x
3 3
បោយ
3 3
2 2 5
0, x x
x x
x
x
x x x x
ខ. ចំប ោះ
3 3 2
5 x x x
;
1
x
2 x
x x
x1
1
x
x
,
lim x
x
2
និង
1
lim 1 1
x
x
ែូបចាោះ
lim
x
x
x
x
lim
x
x
1
1
x
3 2
គ. បយើងប ើងថាចំប ោះ
5
2
x , f x
2
x
x
x
បោយ
lim
x
x
x
3
x
បយើងអាចទាញបានថា
lim
x
f
x
9. លំហាត់គំរូ
ក. គណ
បគបាន
sin 5x
lim
x0
5 x
sin
lim
X 0
X
X
1
បយើងតាង X 5
x
sin5x
ែូបចាោះ lim 1
x0
5x
2sin
x
2sin
ខ. គណ lim
4
x
lim
4
π
π
x x
4
x 4
x
4 4
តាង X x π ; x π
4 4 ប ោះ X 0
ែូបចាោះ
2sin x
4 sin
lim
X
2 lim
2 1 2
X 0
X
x
4
π
x
4
10

គ.គណ
2sin 5x
2sin 5x 5 x 5
lim lim
x
0 5 x 5
x 0 5 x 5 5 x 5
lim
x0
2sin5x 5 x 5
x
sin5x
lim x
0 0
x
lim(10 ) 5 5
x
5x
10 2 5 20 5
.គណ
lim
π
x
3
3 cos x
sin
x
π
x
3
បយើងបាន
3 1
3 cos x sin x 2
cos x sin x
2 2
π π
2sin cos xcos sin x
3 3
lim
π
π
x
x
3 3
2sin
π
x
2sin
π
x
3 3
π
sin
3 cos s in x
x x
lim 2
3
π
x
π
x
3
3
តាង X x ; x នាំឲ្យ X 0
3 3
ែូបចាោះ
3 cos x sin x sin X sin X
lim lim 2 2lim
2
π
x
X 0 X
X 0
X
3 x
3
10. លំហាត់គំរូ
ក.គណ
cos 2x
1
lim
x0
2 x
បយើងតាង X 2
X 0 X 0 X 0
c
1 cos
lim
os X 1 X
lim
lim
1 cos X
0
X X X
x
11

cosx
1
2
ខ.គណ lim
π
x
2
x
2
បយើងតាង X x ; ប ើ
2
x ំឲ្យ X 0
2
ែូបចាោះ
គ. គណ
π
cosx
1
2 cos 1 1 cos
lim
X X
lim lim
0
π
x
π
X0 X
X0
X
2
x
2
cos x 1cos x 1
2
cos x 1
lim lim
x0 x cos x 1 x0
x cos x 1
cos x 1 0 ឬ cos x 1 ឬ x
2 k,
k
បយើងបាន
2
cos
x1
cos x 1
1
cos x
lim lim lim
0
x 0 x cos x 1
x 0 x
x 0 x
11.គណ លីមីតននអនុគមន៍ខាងបត្កាម
ក.
xlim 1 sin x
2
2
sin x 1
ខ.
2tan x
sin x
lim
x0
x
ចបមលើយ
ក. តាង f x
បយើងបាន
f
2
sin x 1
ត្តង់
1 sin x
x
បយើងប ើញម្គនរាងមិនកំណត់
2
x
x
sin 2 x 1
sin 1 sin 1
1sin x 1sin
x
sin x1sin x1
lim f x lim lim sin x 1
sin x 1
x x x
2 2 2
ែូបចាោះ
x
2
ខ. តាង f x
x
lim f 2
2tan x
sin x
, ត្តង់ 0 បយើងប ើញម្គនរាងមិនកំណត់
x
0
0
0
0
12

f
x
ែូបចាោះ
2tanx sin x
x
x
,
x0
x
lim f 2 1
3
sin x tan x
lim lim 1
x0 x x0
x
12. បគម្គនអនុគមន៍ f x 2x xsin
x កំណត់បលើ ។
ក. បគកត់សម្គា ល់ប ើញថាចំប ោះត្គ ់ x , 1 sin x 1
, រកអនុគមន៍
g x ដែលត្គ ់
0,
។ ទាញយក lim f x
x f x g x
x
ខ. រកអនុគមន៍ h x ដែលត្គ ់ x 0,
f x hx
។ ទាញយក lim f x
។
x
។
ចបមលើយ
ក. បយើងបាន f x 2x xsin
x
ចំប ោះត្គ ់ x : 1 sin x
1
ប ើ 0
ែូបចាោះ
1 sin x 1
x បគបាន : sin
lim g x
x
ខ. ប ើ 0
g x ដែលត្តូវរកគឺ
x x x x
2x x 2x xsin x 2x x
x f x 3x
g x
x
lim x , បយើងទាញបាន lim f x
x
x
x បគបាន 1 sin x 1 បោយគុណ x
ដែលវិជ្ជម្គនបគបាន :
x xsin
x x ឬ 2x x 2x xsin x 2x x ឬ 3x 2x xsin
x x
ែូបចាោះ
lim h x
x
h x ដែលត្តូវរកគឺ
hx
x
lim x បយើងទាញបាន lim f x
x
x
f x x sin កំណត់បលើ
x
13. បគម្គនអនុគមន៍
2 1
* ។ បោយកត់សម្គា ល់ប ើញចំប ោះត្គ ់ x មិនសូនយ
1
sin 1
x ។ គណ lim f x
x0
។
13

ចបមលើយ
1
ប ើ x 0, sin 1 ែូបចាោះ
x
បោយ
14.លំហាត់គំរូ
2
lim x 0
x0
1
x sin x
x
2 2
បយើងបាន : f x
lim 0
x0
គណ លីមីតខាងបត្កាម :
2
a. lim x
ln x
x
2
b. lim
x ln x
x
ln
x
c. lim
x0
x
ចបមលើយ
a. តាង
2
f x x ln x
lim x
x
ែូបចាោះ
2
និង
lim f x
x
lim ln x
x
d.
lim
x
ln
x 3
x
2
b. តាង
2
f x x ln x
lim
x
វាម្គនរាងមិនកំណត់
2
x
និង lim ln x
x
f 2 2
x x ln x x 1
ln x
2
x
lim x
2 l x lim x
2 lim
x x x
c. តាង f x
ln x
n . 1
2
x
ln x
1= + lim 0
2
x
x
ln x
កំណត់បលើ (0, )
x
1
lim f x lim f x
lim ln x lim ln x lim 1
0
x x
0 x 0 x
x 0 x 0
x
14

d. តាង f x
lim
x
ln
x 3
2
កំណត់បលើ (0, )
x
2
ln x និង lim x
3
វាម្គនរាងមិនកំណត់
បែើបមបើគណ លីមីតបនោះបយើងតាង
x
3
2
x X 2 ែូបចាោះ X x 3
និង lim X
x
f
x
ln
X
3
2
3
3
3
ln X
2 3 ln
X
3 3
3
2 3
X 2 X
2
X
lim
f
x
x
3 3
2 ln X
lim
X
3 X
ដត
ln
X
lim 0
X X
ែូបចាោះ lim f x 0
x
15. បគម្គនអនុគន៍ f កំណត់បលើ(1, ) បោយ
គណ
ចបមលើយ
lim f
x1
x
និង
lim
x
f
x
បយើងតាង f x ux
ដែល
ln
។
f
x
3x
1
ln
x 1
។
u x កំណត់បលើ (1, ) បោយ u x
បយើងបាន lim3x
1
4 និង limx
1
0 ែូបចាោះ limu x
x1
x1
x1
វិបាក lim f x limln ux
x1 x1
1
x3
x
ចំប ោះត្គ ់ x នន (1, ) បយើងបាន u x
1
x1
x
1
x 3
1
3
x
lim ux
lim
lim x 3
x x 1 x
1
x1
1
x x
lim f x lim ln u x ln3
ែូបចាោះ
x
x
16. គណ លីមីតននអនុគមន៍ខាងបត្កាម :
x 1
3x
1
x 1
15

ក.
x 1
lim ln
x
x 2 ; x 1
lim ln
x
x 2 ; x 1
lim ln
x2
x 2
x2
; x 1
lim ln
x1
x 2
x1
lim x 1 ln x lim x
1 ln x
ខ. ;
x0
2ln x 1
គ. lim
x0
2 x
ចបមលើយ
;
x
2ln x 1
lim
x
2 x
x 1
ក.តាង f x
ln
x 2
x 1
lim 1 បយើងបាន lim f x
0
x
x 2
x
x 1
lim 1 បយើងបាន lim f x
0
x
x 2
x
x 1
lim បយើងបាន lim f x
x2
x 2
x2
x2
x2
x 1
lim 0 បយើងបាន lim f x
x1
x 2
x1
x1
x1
ខ. តាង
lim
x 1
1 ,
x0
x
f x x 1 ln x
limln x បយើងបាន
x0
lim x 1
, lim ln x បយើងបាន
គ. តាង f x
x
2ln x 1
2x
lim 2ln x 1
, lim2x
0
x0
x0
x0
lim f x
x 0
lim
x
f
x
បយើងបាន lim f x
x
0
2ln x 1 2ln x 1 ln x 1
f x
2x 2x 2x x 2x
ln x
1
lim 0 និង lim 0 បយើងបាន lim f x
0
x
x
x
2x
x
17.លំហាត់គំរូ
x
a. lim e
x
1
c.
ចបមលើយ
x
lim e
x0
x
e
x
x
x
a. តាង f x e x 1
x
lim e
; lim x
1
x
x
វាម្គនរាងមិនកំណត់ ∞ − ∞
b. lim
e x
x
2
x
d.
x
e 1
lim
x
x
16

x
x x 1
f x
e x 1 e
1
x x
e e
x x 1
x x 1
lim f x lim e 1 lim e lim 1
x
x
x x
e e x
x
x x
e e
x
1
x 1
x
lim 0 ; lim
0 ; lim 1 1 ; lim
e
x
x
e
x
e
x
x
x x
e e
x
ែូបចាោះ lim f x
x
b. lim
e x
f x
x
2
x
ែូបចាោះ lim f x 0
x
x
e x 1
e
x x
តាង
2 2
x
ដត lim e 0
x
1
និង lim 0
x
2
x
c.តាង
f
x
x
e
e
x
x
x x
e e
lim lim lim lim 1
x x
f x e e
x0 x0 x x0 x0
x
x0
x x
lim e e 2 និង
1
lim
x
x 0
x0
បយើងបាន lim f x
x 0
x0
x0
x x
lim e e 2 និង
lim 1
x0
x
x0
បយើងបាន lim f x
x 0
x0
d.តាង
f
x
x
x
e 1 e 1
x x x
x
e 1
lim f x
lim lim
x x x x
x
x
ដត lim
x
ex
និង
1
lim
0
x
x
បយើងបាន
lim f x
x
18. គណ លីមីតននអនុគមន៍ខាងបត្កាម:
ក.
x0
1
lime
x
; ខ.
lim e
x
1
x
x 3
; គ. lim xe
x
x
ចបមលើយ
x ux
ក. បយើងតាង f x
e e ដែល u x
limu x
x0 x0
x0 x0
1
1
x
1
X
lim បគបាន lim e 0
x
X
17

ែូបចាោះ
x0 x0
x0 x0
ux
lim f x lime
0
limu x
x0 x0
x0 x0
1
lim និង lim e
X
x
X
ែូបចាោះ
lim f x lim e
x0 x0
x0 x0
ux
1
lim lim 0 បោយ
x
x
x
ខ. ux
ែូបចាោះ
ux
lim f x lim e 1
x
x
x 3
គ. បយើងតាង
f x xe x
X 0
lim e e
1
X 0
កាលណ្ត x ,
f
x ម្គនរាងមិនកំណត់
ចំប ោះត្គ ់ 0
e
f x x
x
x ,
3
x
1
2
x
e
បោយ lim
x
2
x
ប ោះបយើងបាន
x
e
lim 1
x
2 បលើសពីបនោះបៅបទៀត
x
្លគុណ ,
lim
x
f
x
។
lim x
x
3
បយើងអាចទាញបានតាមលីមីតនន
19. កំណត់លីមីតននអនុគមន៍ខាងបត្កាម
x
ក. lim ln 1
e
, ខ. x
lim ln 1
e
, គ. x
lim e
ln x
x
x
x0
x
, . lim e
ln x
x
ចបមលើយ
x
x
ក. lim 1e
1 បយើងបាន e
x
lim ln 1
0
x
x
x
ខ. lim 1 e បយើងបាន lim ln 1
e
គ.
x
x
limln x ,lime
1
x0 x0
x
x
បយើងបាន lime
ln x
. lim ln x , lim e
x
x
x
x0
x
បយើងបាន lim e
ln x
x
18

មេ ីមេ ៃ៊ិខ ប្ែីមីទីេនៃអៃុគមៃ៍
I.មមម ៀៃសមខេប
1.មេ ីមេនៃអៃុគមៃ៍
a.រូ មនាបលើបែរីបវ
ដែនកំណត់ននអនុគមន៍ f(x) f′(x)
D f = D f ′ = R
a 0
ax + b
ax 2 + bx + c
x n (n ∈ R)
a
2ax + b
nx n−1
D f = D f ′ = R ∗ 1
− 1 x
x 2
D f = (0, +∞) និង D f ′ = (0, +∞) √x 1
2√x
លកខណឌ អនុគមន៍ អនុគមន៍ម្គនបែរីបវកំណត់
អនុគមន៍ u និង v ម្គនបែរីបវ
បៅបលើចប ល ោះ I និង λ ចំនួនបេរ
u + v
u. v
បលើចប ល ោះ I
u′ + v′
u ′ . v + u. v′
អនុគមន៍ u និង v ម្គនបែរីបវ
បៅបលើចប ល ោះ I និង v ≠ 0 បលើ I
អនុគមន៍ ណ្តា ក់: u ម្គនបែរីបវបលើ I,
v ម្គនបែរីបវបលើ u(I)
λ. u λ. u′
1
v
u
v
v ∘ u
− v′
v 2
u ′ . v − u. v′
v 2
(v ′ ∘ u) × u′
u ម្គនបែរីបវបលើ I , u > 0 បលើ I √u u′
2√u
u n (n ∈ R) nu n−1 . u′
19

.បែរីបវ ននអនុគមន៍ត្តីបកាណម្គត្ត
ដែនកំណត់ f(x) f ′ (x)
D f = D f ′ = R
cos x sin x
sin x
cos x
D f = D f ′ = R − { π 2 + kπ, k ∈ Z} tan x 2 1
1tan
x
2
cos x
D f = D f ′ = R − {kπ, k ∈ Z}
cot x 2 1
1 cot x
2
sin x
sinu
cosu
u
cos u
usin
u
u
2
cos u
tanu
2
u 1 tan u
u
2
sin u
cot u 2
u1 cot u
n
ប ើ
( )
f x ម្គនបែរីបវ នា ទ ់រហូតែល់លំោ ់ n បយើងកំណត់តាងបោយ f
n
n1
f x f x
។
x ដែល
ូ C.បែរីបវ ននអនុគមន៍អុិចសបណង់ដសយល និង បោការីតបនដព
ដែនកំណត់ f(x) f ′ (x)
D f = D f ′ = R e x e x
D f =]0, +∞[
e u
ln x
ln u
u ′ e u
1
x
u ′
u
d. អនុវតាន៍ននបែរីបវ
ds
dt
dv
dt
• បលបឿនននចល មួយបៅខណ t គឺ vt st
ដែល
• សំទុោះននចល មួយបៅខណ t គឺ at vt
ដែល
s t ជាចំម្គា យចរបៅខណ t ។
vt ជាបលបឿនននចល បៅខណ t ។
20

2.ប្ែីមីទីេនៃអៃុគមៃ៍
a.ត្ពីមីទីវននអនុគមន៍ជ្ួ ត្ ទោះញឹកញា ់ ( k ជាចំនួនបេរ)
អនុគមន៍ f(x)
f(x) = 0
f(x) = a
f(x) = x n (n ≠ −1)
f(x) = 1 √x
f(x) = 1 x 2
ត្ពីមីទីវ F(x)
F(x) = k
F(x) = ax + b
F(x) = xn+1
n + 1 + k
F(x) = 2√x + k
F(x) = − 1
x + k
f(x) = 1
1
x n (n ≥ 2) F(x) = −
+ k
(n − 1)xn−1 f(x) = 1 F(x) = ln|x| + k
x
sin
cos
f x x
F x x k
cos
sin
f x x
a 0, f x cos ax b
a 0, f x sin ax b
1
2
f x 1
tan x
2
cos x
f x
1
sin x
x
f(x) = e x
F x x k
1 F x sin ax b k
a
1 F x cos ax b k
a
F x tan
x k
F x x k
1 cot
cot
2
F(x) = e x + k
b.ត្ ម្គណវីធីបលើត្ពីមីទីវ ( c ជាចំនួនបេរ)
អនុគមន៍
f + g
λf
u ′ v + uv ′
u ′ v − uv ′
v 2
(v ′ ∘ u) × u ′
ត្ពីមីទីវ
F + G + c
λF + c
uv + c
u
v + c
v ∘ u + c
21

u n u ′
u n+1
n + 1 + c
u ′
u n (n ≠ 1) − 1
(n − 1)u n−1
u ′
√u
2√u
II. លំហាត់គំ ូ
កំណត់សម្គា ល់ : អាកសិកាត្តូវខំត្ ឹងបោោះស្រាយលំហាត់បោយខល ួនឯង ចំដណកចបមលើយសត្ម្គ ់ដតប្ទៀងផ្ទទ ត់។
1.គណ បែរីបវននអនុគមន៍ខាងបត្កាម:
ក. f(x) = 3x 3 − 4x + 2 ខ.f(x) = (2x − 1) 5
គ.f(x) = √1 + x 2 . f(x) = x(x + √1 + x 2 )
ចបមលើយ
ក. f(x) = 3x 3 − 4x + 2 បយើងបាន f ′ (x) = 9x 2 − 4
ខ. f(x) = (2x − 1) 5 បយើងតាង u = 2x − 1 ឬ u ′ = 2
f(x) = u 5 ⇒ f ′ (x) = 5u 5−1 . u ′ = 5u 4 × 2 = 10u 4
ឬ f ′ (x) = 10(2x − 1) 4
គ. f(x) = √1 + x 2 បយើងតាង u = 1 + x 2 ឬ u ′ = 2x
f(x) = √u
⇒ f ′ (x) = u′
2√u
f(x) = √1 + x 2 បយើងបាន f ′ (x) =
2x
2√1+x 2 =
22
x
√1+x 2
. f(x) = x(x + √1 + x 2 ) បយើងបត្ ើរូ មនា (uv) ′ = u ′ v + uv ′
v = x + √1 + x 2 ⇒ v ′ = 1 +
f ′ (x) = 1(x + √1 + x 2 ) + x (1 +
2x
2√1+x 2 = 1 +
x
√1+x 2)
x
√1+x 2
= (x + √1 + x 2 ) + x(√1+x2 +x)
√1+x 2 = (x + √1 + x 2 ) (1 + x
√1+x 2)
= (x+√1+x2 )(√1+x 2 +x)
√1+x 2 = (x+√1+x2 ) 2
√1+x 2
2. គណ បែរីបវននអនុគមន៍ខាងបត្កាម:
ក.
2
2
ខ. g x cos x
f x cos x

2 2
គ. hx cos x
ចបមលើយ
. k x x 2 cos 3 x 1
2
ក. f x cos x ម្គនរាង u 2 (x) បោយ ux cos
បគបាន (u 2 ) ′ = 2uu ′
f ′ (x) = 2u(x). u ′ (x) = 2(cos x)(− sin x) = −2 sin x cos x = − sin 2x
ម្គនរាង
2
ខ. g x cos x
តាមបែរីបវននអនុគមន៍ ណ្តា ក់បយើងបាន
cos v x បោយ v(x) = x 2
gx
cos vx vx
sin vx
2x 2xsin
x
2 2
2 2 2
គ. hx cos x cos
x g x
កា
2
ុងសំណួ រ ខ បយើងបាន gx 2xsin
x
x
2
2 2 2
2 2cos 2 sin 2 sin 2
h
x g x g x x
x x
x x
. k x x 2 cos 3 x 1
បយើងបត្ ើរូ មនា (uv) ′ = u ′ v + uv ′ និងcos
u usin
u
u = x 2 ⇒ u ′ = 2x
v cos u v
3sin 3x
1
2
2 cos 3 1 3sin 3 1 2xcos 3x 1 3x 2 sin 3x
1
f x x x x x
3.គណ
បែរីបវននអនុគមន៍ខាងបត្កាម
ក. f(x) = e x + 1 − xe x ខ. g(x) = 10x
k x
e x +1
x
ln x
x
គ. hx x 1 2ln x
.
2
ចបមលើយ
ក. f(x) = e x + 1 − xe x បយើងបាន f ′ (x) = e x − (1 ∙ e x + xe x ) = −xe x
ខ. g(x) = 10x
e x +1 ប ោះ g′ (x) = 10(ex +1)−10x(e x )
(e x +1) 2
23

ែូបចាោះ g ′ (x) = 10(ex +1−xe x )
(e x +1) 2
គ. hx x 1 2ln x បយើងបាន h ′ (x) = −1 − 2 = −x−2
x x
k x
x
ln x
u
uv uv
បយើងបត្ ើរូ មនា
2
x
v
v
.
2
1 2
1 x 2xx ln x
x
x 1 2x 2ln x x 1
2ln x
kx
4 3 3
x x x
4.គណ បែរីបវ នា ទ ់ននអនុគមន៍ f(x) = (3x + 4) 5
ចបមលើយ
បយើងប ើញ f(x) = (u(x)) 5 បោយ u(x) = 3x + 4 និង u ′ (x) = 3
f ′ (x) = 5(u(x)) 4 u ′ (x) = 5(3x + 4) 4 × 3
f ′′ (x) = (f ′ (x)) ′ = 4 × 5(3x + 4) 3 × 3 2
f (3) (x) = 3 × 4 × 5(3x + 4) 2 × 3 3
f (4) (x) = 2 × 3 × 4 × 5(3x + 4) × 3 4
f (5) (x) = 2 × 3 × 4 × 5 × 3 5 = 5! × 3 5
f (6) (x) = 0
5. គណ បែរីបវននអនុគមន៍ f x
ចបមលើយ
ចំប ោះ n > 5 f (n) (x) = 0
3x
1
ln
x 1
f
x
3x
1
ln
x 1
តាង u(x) = 3x+1
x−1
បយើងបាន f(x) = ln(u(x)) ⇒ f ′ (x) = u′ (x)
u(x) = 3x+1
x−1
f ′ (x) =
−4
(x−1) 2
3x+1
x−1
24
u(x)
⇒ u′ (x) = 3(x−1)−(3x+1)
(x−1) 2 =
−4
=
(3x+1)(x−1)
−4
(x−1) 2

6. គណ បែរីបវននអនុគមន៍ខាងបត្កាម
ក. f(x) = xe x ខ. g(x) = x 3 e x
គ. h(x) = ex
x 2
. k(x) = x e x
ង. l(x) = x 2 e −x ច. f(x) = e (1−1 x )
ចបមលើយ
ក. f(x) = xe x ⇒ f ′ (x) = 1 ∙ e x + x ∙ e x = e x (1 + x)
ខ. g(x) = x 3 e x ⇒ g ′ (x) = 3x 2 e x + x 3 e x = x 2 e x (3 + x)
គ. h(x) = ex
⇒ x 2 h′ (x) = x2 e x −e x ∙2x
= xex (x−2)
x 4
x 4
ែូបចាោះ h ′ (x) = ex (x−2)
x 3
. k(x) = x e x ⇒ k′ (x) = ex −xe x
ែូបចាោះ
k ′ (x) = 1−x
e x
(e x ) 2
= ex (1−x)
(e x ) 2
ង. l(x) = x 2 e −x ⇒ l ′ (x) = 2xe −x + x 2 (−e −x )
ែូបចាោះ l ′ (x) = xe −x (2 − x)
= 2xe −x − x 2 e −x = xe −x (2 − x)
ច. f(x) = e (1−1 x ) បយើងតាង u(x) = 1 − 1 x និង u′ (x) = 1 x 2
f(x) = e u(x) ⇒ f ′ (x) = u ′ (x)e u(x) = 1 x 2 e(1−1 x )
7.បគម្គនអនុគមន៍ f កំណត់បលើ បោយ f x
1
2
x
3 5
និង អនុគមន៍ g កំណត់បលើ
1,0
បោយ gx
ក.គណ
ខ.គណ
f
g
x
1 1
x
3
x
1 5
x
។ ង្ហា ញថា g x 0
ចំប ោះត្គ ់ x 1 និង x 0 ។
25

ចបមលើយ
ក. f x
1
2
x
3 5
កំណត់បលើ
5 4 4
2 2 2
បយើងតាង ux x 3 ux 52xx 3 10xx
3
4
2
xx
2 2
3 3
1 u x 10 3 10x
f x
f x
ux
u x
x x
2 10 6
ែូបចាោះ
f
x
10x
2
x
3 6
ខ. gx
1 1
x
3
x
1 5
កំណត់បលើ
1,0
បយើងតាង hx h x
2
1 3x
3
x x x
3 6 4
4
5x
1
1 5
k x
kx
x 1 x 1 x 1
3 5
gx h x kx
x
4
5 10 6
x
1 6
g
'
x
3 5
4
x x 1
6
3
បយើងបាន 0 និង
4
x
បលើ 1,0
5
x
1 6
0
(្ល ូកននពីរចំនួនអវិជ្ជម្គនោច់ខាត)
ែូបចាោះ g x 0
2
8. បគម្គនអនុគមន៍ f កំណត់បលើ បោយ f x xx 1 x
។
ចំនួនពិត f x 0
ចបមលើយ
2
ត្គ ់ x , f x xx 1
x
2x
f x 1 x 1 x x1
2 1 x
2
បយើងបាន
។ ស្រាយ ំភ្លឺថា ចំប ោះត្គ ់ x ជា
2
26

f
x
x
2 2
x 1 x x1 x 1 x
2 2
x x
1x
1x
1x
2 2
x 1 x 1 x 1 x
2
x 1x x
2 2
1x
1x
2
x
1x
2
1
x
ង្ហា ញថា ត្គ ់ចំនួនពិត x , f x 0
2
2
ត្គ ់ x បលើ ,
2
1x
0
2
ត្គ ់ x បលើ , x
x 2
1 0 ុដនា
x
2
1 x មិនអាចបសម
ើ 0 បទ
ពីបត្ ោះប ើ
x
2
1 x 0 ប ោះបគបាន
x
2
1 x ែូបចាោះបោយបលើកអងាទាំងពីរជាកាបរ
x
1 x ជាករណី មិនអាច។
2 2
វិបាក f x 0
9.គណ បែរីបវទី n ននអនុគមន៍
ក. f x sin x ខ. g x cos
ចបមលើយ
f x x x
2
ក. f x sin x cos sin
x
f x sin x sin x
sin x
2
2
ែូបចាោះបគអាចគិតថា :
( n)
f x sin
x n
2
P
តាមបគ្នលការណ៍ ននវិចារអនុម្គណរួម :
P ពិតចំប ោះ n 1
បយើងឧ ម្គ Pពិតចំប ោះ n
បយើងស្រាយ ញ្ញជ ក់ថាពិតចំប ោះ n 1
27

n1
n
f x f x
sin
x n
cos x n
2
2
sin x n sin x n
1
2 2 2
ែូបចាោះ P ពិតចំប ោះ n 1
ជាការសនាិោា ន : ចំប ោះត្គ ់ x និងចំនួនគត់ n 1
( n)
បគបាន បែរីបវទី n នន f x sin x គឺ
ខ. គណ បែរីបវទី n នន g x cos
cos x sin cos
g x
x
f x sin
x n
2
g x x x
2
g
x cos x cos x
cosx
2
2
ែូបចាោះបយើងគិតថា
n
g
x
cos
x n
2
Q
តាមបគ្នលការណ៍ ននវិចារអនុម្គណរួម :
Q ពិតចំប ោះ n 1
បយើងឧ ម្គថា Q ពិតចំប ោះ n
បយើងស្រាយ ញ្ញជ ក់ថា Q ពិតចំប ោះ n 1
n1
n
g x g x
cos x n
sin
x n
2
2
cos x n cos x n
1
2 2 2
ែូបចាោះ Q ពិតចំប ោះ n 1
ជាការសនិាោា ន : ចំប ោះត្គ ់ x និង ចំនួនគត់ n 1
បគបាន បែរីបវទី n នន g x cos
x គឺ
28
n
g
x
cos
x n
2
10. ប ើ f(x) = x 3 − x 2 + 2x − 1 កំណត់ត្ពីមីទីវននអនុគមន៍ f(x) ដែល វាយកតនមល 4 ចំប ោះ x = 1 ។
ត្ពីមីទីវទូបៅ F(x) = x4
4 − x3
3 + x2 − x + k
F(1) = 4 = 1 − 1 49
+ 1 − 1 + k បយើងបាន k =
4 3 12

ែូបចាោះត្ពីមីទីវត្តូវកំណត់គឺ F(x) = x4
− x3
+ 4 3 x2 − x + 49
12
11. រកត្ពីមីទីវននអនុគមន៍ខាងបត្កាម :
ក. f(x) = x 2 + 1 x 2 ខ. f(x) = 1
(x−1) 2 គ. f(x) = x
√1+x 2
ចបមលើយ
ក. f(x) = x 2 + 1 x 2 ត្ពីមីទីវនន x2 គឺ x3
បយើងបានត្ពីមីទីវនន F(x) = x3
3 − 1 x + k
3 ; ត្ពីមីទីវនន 1 −1
គឺ
x2 x
ខ. f(x) = 1
(x−1) 2 តាង u(x) = x − 1 ⇒ u′ (x) = 1
f(x) = u′ (x)
(u(x)) 2 ែូបចាោះ F(x) = − 1
1
+ k ឬ F(x) = − + k
u(x) x−1
គ. f(x) = x
√1+x 2 បយើងតាង u(x) = 1 + x2 ⇒
u ′ (x) = 2x
f(x) =
2x
= u′ (x)
2√1+x 2 2√u(x)
ែូបចាោះ F(x) = √1 + x 2 + k
12. រកត្ពីមីទីវននអនុគមន៍ខាងបត្កាម :
ចបមលើយ
2
ក. f(x) =
3−x
2
ក. f(x) =
3−x
1
xln
x
គ. f x
. f x
f(x) = −2 × u′ (x)
u(x)
2x+1
ខ. f(x) =
x 2 +x+1
ln x
x
តាង u(x) = 3 − x និង u ′ (x) = −1
ែូបចាោះ ត្ពីមីទីវ នន f(x) គឺ F x 2ln 3 x k
ចំប ោះ x ∈ (3, +∞) ; |3 − x| = x − 3 បគអាចបាន 2ln 3
F x x k
ខ.f(x) =
2x+1
x 2 +x+1
បយើងតាង u(x) = x 2 + x + 1 និង u ′ (x) = 2x + 1
29

f(x) = u′ (x)
u(x)
F x ln x x 1
k
ែូបចាោះ ត្ពីមីទីវនន f(x) គឺ
2
ដតចំប ោះត្គ ់ x ∈ R , x 2 2
+ x + 1 > 0 ែូបចាោះ ln 1
1
xln
x
គ. f x
តាង u x ln
f(x) = u′ (x)
u(x)
x និង u ′ (x) = 1 x
F x x x k
ែូបចាោះ ត្ពីមីទីវនន f(x) គឺ F x ln ln x k
x ∈ (1, +∞) , ln x 0 ែូបចាោះ lnln
F x x k
x ∈ (0,1) , ln x 0 ែូបចាោះ ln ln
ln x
x
. f x
តាងux ln
F x x k
x និង u ′ (x) = 1 x
F x 1 ln x k
2
f(x) = u ′ (x)u(x) បយើងបាន 2
13. គណ ត្ពីមីទីននអនុគមន៍ខាងបត្កាម
ក. f(x) = e (−2x−1) ខ. f(x) = (2x + 1)e (x2 +x)
គ. f(x) = xe (x2 +3)
ចបមលើយ
ក. f(x) = e (−2x−1) តាង u(x) = −2x − 1 និង u ′ (x) = −2
f(x) = − 1 2 u′ (x) ∙ e u(x)
ែូបចាោះ ត្ពីមីទីវនន f(x) គឺ F(x) = − 1 2 e(−2x−1) + k
ខ. f(x) = (2x + 1)e (x2 +x)
តាង u(x) = x 2 + x និង u ′ (x) = 2x + 1
បយើងបាន f(x) = u ′ (x) ∙ e u(x)
ែូបចាោះ ត្ពីមីទីវនន f(x) គឺ F(x) = e (x2 +x) + k
គ. f(x) = xe (x2 +3)
តាង u(x) = x 2 + 3 និង u ′ (x) = 2x
បយើងបាន f(x) = 1 2 u′ (x) ∙ e u(x)
ែូបចាោះ ត្ពីមីទីវនន f(x) គឺ F(x) = 1 2 e(x2 +3) + k
30

អំខមតប្កាលកំណត់
I.មមម ៀៃសមខេប
អនុគមន៍ f ម្គនត្ពីមីទីវ F បលើចប ល ោះ I និង a និងb ជាធាតុរ ស់ I
b
ប ោះ
b
f x dx a F x F b F a
a
a
f x dx 0
a
អនុគមន៍ f ម្គនត្ពីមីទីវបលើ I និង a និង b ជាធាតុរ ស់ I
b
a
ប ោះ f xdx f x
a
b
អនុគមន៍ f ម្គនត្ពីមីទីវបលើ I ។ ត្គ ់ abc , , ធាតុរ ស់ I ( ab
c)
b c c
f x dx f x dx f x dx
a b a
អនុគមន៍ f និង g ម្គនត្ពីមីទីវបលើ I ។ ត្គ ់ធាតុ ab , រ ស់ I និងត្គ ់ នន
b b b
f x g x dx f x dx g x dx
a a a
b
a
b
a
f x dx f x dx
អនុគមន៍ f និង g ជាអនុគមន៍ជា ់បលើ I និងម្គនបែរីបវ បលើ I និង ,
II.លំហាត់គំ ូ
b b
b
a
a
a
f x g x dx f x g x f x g x dx
abជាធាតុរ ស់ I
កំណត់សម្គា ល់ : អាកសិកាត្តូវខំត្ ឹងបោោះស្រាយលំហាត់បោយខល ួនឯង ចំដណកចបមលើយសត្ម្គ ់ដតប្ទៀងផ្ទទ ត់។
1.គណ អាំងបតត្កាលខាងបត្កាម
1
3
ក. x
1
dx ខ.
0
ចបមលើយ
1
3
ក.
ខ.
0
1
2
1 dx
x
1
2
គ.
2
4 1
4
x
1 5
x 1 dx x 1
4
4 4
1
1 1 1 1 7
dx
4 3
x
3x
3 24 24
2
1
0
1
2 dt
t
31

គ.
1
2
2
1 1
1 1
dt 1
2
t
t
2 2
2.គណ អាំងបតត្កាលខាងបត្កាម
4
1 du
u
1
e1
ក. ខ.
2
dt គ.
1
t
ចបមលើយ
ក.
4
1
4
du 2 u 4 2 2
u
2 2
e
ខ.
dt t 1
1
e
1
t
ln 1
គ. 1 x
x
e dx e
1
e
2 0 2 2 1
0
3.គណ អាំងបតត្កាលខាងបត្កាម
5
2
ក. 2 3
គ.
ខ. I
I x x dx
1
1
0 2 x
3 2
I dx
. I
2
x
ចបមលើយ
5
2 1 3 2
I x 2x 3 dx
x x 3x
1
3
1
5
ក.
ខ. I
125 1 160
25 15 13
3 3 3
2x
1
x x1
3
2
dx តាង
1 2
បយើងបាន
x
1
e dx
3
2x
1
dx
2
x x1
3 2
x
xe dx
3
u x x x 1 ឬ ux 2x
1
u
I dx ln | u x
| ln | x x 1|
1
u x
3 3
2
3
1 1
2
x
x
3
ln 1
1
(ពីបត្ ោះ x
2 x1 0ចំប ោះត្គ ់ x )
13
I ln13 ln3 ln 3
32

3 2
3
គ. I dx 4 x 4 3 2
x
2 2
3 2 2
x 1 1 9 1 9
.
x
I xe dx e e e 0
3
2
2 2
3
3
4. ក.កំណត់ចំនួនពិត ab , បែើមបីឲ្យ
x1
b
f x
a
x2 x2
2
ខ.
I f x dx
ចបមលើយ
1
x 1 b ax 2a b
ក. a
x 2 x 2 x 2
បយើងបាន
a
1
2ab1
ឬ
a
1
b
1
ែូបចាោះ
ខ.គណ
f
x
1
1
x 2
2 2
1
I f xdx 1 dx
1 1
x 2
dx
dx x ln | x 2 |
1 2ln 2 ln3 1 2ln 2 ln3
2 2 2 2
1 1
x 2
1 1
5.ក.កំណត់ចំនួនពិត ab , បែើមបីឲ្យ
f
x
x 2 a b
x1 x 1
x1
2 2
ខ.គណ
0
1
I f x dx
ចបមល ើយ
f
x
x 2 a b a x 1
b ax a b
x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1
2
x 1
a
1
បយើងបាន ឬ
a
b 2
ែូបចាោះ
f
x
a
1
b
1
1 1
x 1 1
x
2
33

ខ.គណ
0 0 1 0 1
0
I f xdx dx dx
1
1 1 1 2
x 1 ln | x 1|
1
x 1
x 1
0
1
0
0
x
1 x
1
1 1 1
ln 1 ln1 ln 2 1 ln 2
1 2 2
6.បគឲ្យអនុគមន៍ f កំណត់បលើ ( ,1) បោយ
2
f x
e x
2
x 1
x1
1
ក. v ជាអនុគមន៍កំណត់បលើ ( ,1)
ខ.កំណត់ត្ពីមីទីវនន f បលើ ( ,1)
គ. ជាចំនួនពិតដែល 0 1
x1
1
បោយ vx
e x
។ គណ v
x
; កំណត់
.រកលីមីតនន g កាលណ្ត ខិតបៅរក 1
ចបមលើយ
ក. គណ v
x
g f x dx
x x
x1 x1
1 1 1 1 2
v x e v x e e
x1 x1 x1
x1
x1 x1
2 2
ខ.កំណត់ត្ពីមីទីវនន f បលើ ( ,1)
បយើងបាន
ែូបចាោះ
គ. (0,1)
x1
2
x 1
v
x
e f x
2
x 1
ឬ f x vx
vx
ជាត្ពីមីទីវមួយនន f x
បលើ( ,1)
ពីបត្ ោះ vx f x
កំណត់ g
f xdx vx
បយើងបាន g v [ v ]
v v
.គណ lim
1 1 1 1
1 1 1 1
g e e e e
g lime e
1 1
1 1
1 1
។
34

.
1 0
lim 0
1 2
1
ែូបចាោះ
. lim
1
2 និង
1
វិបាក
1
1
1
1
1
X
lim e lim e 0
. ែូបចាោះ
X
1 1
1
1
0
lime lim e X e 1
1 X 0
lim 1 0 ែូបចាោះ
1
lim
1
1
1
1 1
1 1
lim g lim e e 1 0 1
lim g 1
បយើងបាន
1
7.គណ អាំងបតត្កាលខាងបត្កាម:
I
4 4
xdx និង
0 sin
4 4
sin cos
0
J x xdx
ចបមលើយ
គណ អាំងបតត្កាល
I
4
sin 4
0
xdx
2 2 1
cos 2x
cos 2x 1 2sin x sin x
2
1 1
x x x x
4 4
2
4 2
sin 1 cos2 1 2cos2 cos 2
បយើងែឹងថា
2
cos4x2cos 2x
1
ែូបចាោះ
2 1
cos 4x
cos 2x
2
បយើងបាន
4 1 1
cos 4x 1 3 cos 4x
sin x 1 2cos 2x 2cos 2x
4 2 4 2 2
3 1 1
cos 2x
cos 4x
8 2 8
4 4 3 1 1
4
I sin xdx cos 2x cos 4x dx
0 0
8 2 8
3 1 1
4 4 4
dx cos 2xdx cos 4xdx
0
8 2
0
8
0
3 4 sin 2x
4 sin 4x
4 3
1
x
8
4 32
32 4
0 0 0
គណ អាំងបតត្កាល
4 4
sin cos
0
J x xdx
35

បយើងសបងាតប ើញថា
4
0
4
sin
1 5
xcos
x ជាបែរីបវននអនុគមន៍ f x sin x
5
5
4
4 1 5 1 2 2
5 0
5 2
40
J sin xcos xdx sin x
8.បគម្គនអាំងបតត្កាល:
I 4 2 4
sin x cos xdx
0
និង
J 4 2 4
cos x sin xdx
0
គណ I J ; I J ; I និង J ។
ចបមលើយ
4 2 4 4 2 4 4 2 4 2 4
sin cos cos sin sin cos cos sin
0 0 0
I J x xdx x xdx x x x x dx
4 2 2 2 2 4
sin cos cos sin sin 2 cos
2
0 0
x x x x dx x xdx
1 4
4 2 1 1 1 1
4
sin 2xdx 1 cos 4xdx x sin 4x
0 0
0
4 8 8 4 8 4 32
4 2 4 4 2 4
sin cos cos sin
0 0
I J x xdx x xdx
2 2 2 2 1
4 4 2
sin xcos xcos x sin xdx sin 2xcos 2xdx
0
4
0
F x
1
sin 2 x
6
2
3
តាង f x sin 2xcos2x
ម្គនត្ពីមីទីវ
ែូបចាោះ
គណ
1 3 1
I J sin 2x4
24
0
24
I និង J
បោយ
I J
I J
32
1
24
បយើងបាន
1
I និង
64 48
J
1
64 48
9. គណ អាំងបតត្កាលខាងបត្កាម :
e
ln
1
I xdx ;
J
e ln x
dx ;
1
x
k
2e
1
e
dx
xln
x
36

ចបមលើយ
គណ
I
e
ln
1
xdx
បត្ ើអាំងបតត្កាលបោយដ្ាកបោយតាង
1
x
ln ; 1
u x x u x
v x v x x
u x v x
v x u x u x v
x
1
xln
x x ln x
x
e e e 1
I ln xdx xln
x
dx xdx
1
1 1
x
e e
e
x x dx e x e e
ln 1 1
I
គណ
e
ln xdx 1
1
1 1
1
e ln x
J dx
1
x
បយើងកត់សម្គា ល់ប ើញថា ln x
1 ln x
x x
តាង f x ln x f x
ែូបចាោះ f x f x
1
2
2
F x f x
វិបាក ត្ពីមីទីវនន ln x
x
1 ln x
2
1
x
គឺ 2
e ln x 1 2 1
J dx ln x
1
x
2
2
e
1
ln x
ដែលម្គនពីមីទីវ
x
គណ
k
2e
e
dx
xln
x
1 ln
x
បយើងកត់សម្គា ល់ប ើញថា
x ln x ln x
ត្ពីមីទីវនន f
គឺអនុគមន៍ ln f ។ ែូបចាោះ ត្ពីមីទីវននអនុគមន៍
f
អនុគមន៍ ln ln x ln ln
x
ប ើបយើងឧ ម្គ x 1
1
xln
x គឺ
2e
dx
2
k ln ln x ln ln 2e ln ln e
e
e
xln
x
e
37

e
ln ln 2 ln 1
ln 2
f x sin x ។
10.ក.រកត្ពីមីទីវននអនុគមន៍
3
ខ.ទាញយក
2 3
x sin xdx (បោយបត្ ើអាំងបតត្កាលបោយដ្ាក)
0
ចបមលើយ
3 2 1
cos2x
1 1
ក. sin x sin xsin x sin x sin x sin xcos2x
2 2 2
1
sin acos b sin a b sin a b
2
1 1
2
2
ែូបចាោះ sin xcos2x sin3x sin x sin3x sin
x
sin 3 x 1 sin x 1 sin3x sin x
3 sin x
1 sin3x
2 4 4 4
3
វិបាក : ត្ពីមីទីវនន f x sin x គឺ
3 1
F x cos x cos3x c
4 12
ខ.បយើងតាង
2 3
J xsin
xdx
0
បយើងបត្ ើអាំងបតត្កាលបោយដ្ាក
1
u x x u x
3 3 1 3 1
vx
sin x sin x sin3x vx
cos x cos3x
4 4 4 12
u x v x
u x v x u
x v x xsin x cos x cos3x
4 12
3 3 1
2
2 3
2
0
0
0
3 1 3 1
J xsin xdx x cos x cos3x cos x cos3x dx
4 12
4 12
3 1
3 1 3 1 28 7
2 2
cos xdx cos3xdx
4
0 12 sin
x2 sin3x
2
0
0 0
4 36 4 36 36 9
38

ស៊ិកាអមេ ភាែ ៃ៊ិខ សខ់ស្សែមកាខ
I.មមម ៀៃសមខេប
1.អនុគមន៍សនិទាន
ក.អនុគមន៍
y
2
ax bx c
px q
ដែល p0, a 0 និង
2
q
ax0 bx0 c 0 ចំប ោះ x0
p
រកដែនកំណត់
ទិសបៅអបេរភាព
D
- គណ បែរីបវ
y
q
p
អាសុីមតូត : ទ ត់ដែលម្គនសមីការ
- ប ើ
k
y mx n
px q
2
apx 2aqx bq cp
px q
2
q
x ជាអាសុីមតូតឈរ ។
p
ប ោះ ទ ត់ y mx n ជាអាសុីមតូតបត្ទត ។
- ត្កា ជាអុីដព ូលដែល្ចិតឆល ុោះជាចំណុ ចត្ សពវរវាងអាសុីមតូតទាំងពីរ ។
- ប ើ y 0 ម្គនឬសពីរខុសគ្នា ប ោះអនុគមន៍ម្គនអតិ រម្គបធៀ មួយនិងអ ប រម្គបធៀ មួយ ។
- ប ើ y 0 គ្នម នឬសប ោះអនុគមន៍គ្នម ន រម្គបទ ។
- ប ើ y 0 ម្គនឬសឌុ ប ោះអនុគមន៍គ្នម ន រម្គបទ ។
ខ.អនុគមន៍
y
2
ax bx c
2
px qx r
ដែល abc , , ខុសពីសូនយ និង p 0
អនុគមន៍ម្គនលកខណោះមួយចំនួនែូចខាងបត្កាម :
ត្គ ់ត្កា តាងអនុគមន៍បនោះម្គនអាសុីមតូតបែកមួយជានិចច ។
ចំនួនអាសុីមតូតឈរគឺអាស្រស័យនឹងចំនួនឬសរ ស់សមីការ
ប ើ
ប ើ
ប ើ
2
px qx r
0 ។
2
q 4pr
0 គ្នម នអាសុីមតូតឈរបទ និងត្កា ម្គនដមកដតមួយ ។
2
q 4pr
0 ម្គនអាសុីមតូតឈរមួយ
2
q 4pr
0 ម្គនអាសុីមតូតឈរពីរ
2.អនុគមន៍អុិចសប ូ ណង់ដសយល
q
x និង ត្កា ម្គនដមកពីរោច់គ្នា ។
2 p
q
x និង ត្កា ម្គនដមក ីោច់គ្នា ។
2 p
39

លំ ំននការសិកាអបេរភាព និង សង់ត្កា ែូចគ្នា បៅនឹងអនុគមន៍សនិទានដែរ ។
បគ្នល e : បគ្នល e ដែលបគបត្ ើម្គនតនមល e 2.718281 ។ អនុគមន៍អុិចសប ូ ណង់ដសយលបគ្នល e ចំប ោះ
x
ត្គ ់ចំនួនពិត x អនុគមន៍ f កំណត់បោយ f x e បៅថាអនុគមន៍អុិចសប ូ ណង់ដសយលបគ្នល e ។
បែរីបវ :
y
y e
e
x
x
e បយើងបាន
ux
ux
y e បយើងបាន
ការអនុវតាន៍អនុគមន៍អុិចសប ូ ណង់ដសយល
r
រូ មនាការត្បាក់សម្គស : A
p1
p
y e u x e
nt
x
u x
ដែល p ជាត្បាក់បែើម r អត្តាការត្បាក់ត្ ចាំឆ្ា ំ n ជា
ចំនួនែងននការទូទាត់ការត្បាក់កា ុងមួយឆ្ា ំ បហើយ A ជាចំនួនត្បាក់សរុ កា ុងរយោះបពល t ឆ្ា ំ ។ ប ើចំនួនែង
ននការទូទាត់បត្ចើនអននា ឬ ការទូទាត់ជា នា ទ ់ប ោះរូ មនាននការត្បាក់សម្គសកំណត់បោយ
A pe
ដែលកា ុងប ោះ A ជាត្បាក់សរុ p ជាត្បាក់បែើម r ជាអត្តាការត្បាក់សម្គស និង t ជាចំនួនឆ្ា ំោក់ត្បាក់ ។
3.អនុគមន៍បោការីត
លំ ំននការសិកាអបេរភាព និង សង់ត្កា ែូចគ្នា បៅនឹងអនុគមន៍សនិទានដែរ ។
បោការីត : បោការីតបនដពននចំនួនវិជ្ជម្គន k គឺជានិទសសនា x នន
x ln k បហើយ x ln k សមមូល
x
e
k ។
x
e ដែល
អនុកមន៍បោការីត : ប ើ x 0 អនុគមន៍បោការីតបនដពនន x កំណត់បោយ y ln x ។
លីមីត : ប ើ n0, x 0 ប ោះ lim ln
ln x
x ; lim 0
n
x0
x
x
1
បែរីបវ : ប ើ f x ln x ប ោះ f x
ដែល x 0 ។
x
u x
ប ើ g x ln ux
ប ោះ g x
ដែល ux 0 ។
u x
II.លំហាត់គំ ូ
x
e
rt
k បគកំណត់សរបសរ
កំណត់សម្គា ល់ : អាកសិកាត្តូវខំត្ ឹងបោោះស្រាយលំហាត់បោយខល ួនឯង ចំដណកចបមលើយសត្ម្គ ់ដតប្ទៀងផ្ទទ ត់។
1.សិកាអបេរភាពនិងសង់ត្កា ននអនុគមន៍ f ដែល
f
x
x 4
2x
3
ចបមលើយ
ដែនកំណត់រ ស់អនុគមន៍ f បយើងតាង
D
3
2 ពីបត្ ោះ 3
2x3 0 x
2
40

4
x 1
4
1
x 4
x 1
lim lim
lim x
x 2x
3 x 3 x
3
2
2
x2
x x
4
x 1
4
1
x 4
x 1
lim lim
lim x
x 2x
3 x 3 x
3
2
2
x2
x x
បយើងប ើញថា :
f
x
3 3
x x
2 2
1 11
2 2 2x
3
x 4
lim f x
lim 2 x 3
x 4
lim f x
lim 2 x 3
3 3
x x
2 2
ែូបចាោះ { ប ើ x > 3 បនោះ f(x) > 1 2 2
ប ើ x < 3 បនោះ f(x) < 1 2 2
3 11
lim x 4 4 និង lim 2x
3
0 )
3
2 2 3
(
x
2
x
2
( lim x
4
4 និង x
3
x
2
បយើងកត់សម្គា ល់ប ើញថាតាមលីមីតខាងបលើ ទ ត់ដែលម្គនសមីការ
1
y ជាអាសុីមតូតបែក ។
2
x 4
f x
2x
3
អបេរភាព :
បយើងបាន fx
11
2x
3 2
3 11
2 2
lim 2 3 0 )
3
x
2
3
x ជាអាសុីមតូតឈរ និង
2
ំឲ្យបយើងបានត្គ ់
3
x D ; f x
0 ែូបចាោះ អនុគមន៍ f ជាអនុគមន៍ចុោះបលើ D ។
2
តារាងអបេរភាព :
x
f x
1
f x 2
សងត្កា នន f x
បយើងសង់អាសុីមតូតឈរ
ម្គនសមីការ
3
x និង អាសុីមតូតបែក
2
3
2
1
2
41

1
y , បយើងបៅចំណុ ច
2
A: x 4, y 0
4
B : x 0, y C : x 1, y 5 D : x 2, y 6
3
2.សិកាអបេរភាពនិងសង់ត្កា ននអនុគមន៍ f ដែល
f
x
2
2x
7x5
x
2
5x7
ចបមលើយ
ដែនកំណត់ននអនុគមន៍ f :
សមីការ
x
2
គឺ D ។
5x 7 0 ម្គន 25 47 3 0 ពុំម្គនឬសបទ ។ ែូបចាោះ ដែនកំណត់នន f
2 7 5 7 5
2
x 2 2
2 2
2x 7x5
x x x x
lim f x
lim lim
lim
2
x 5x7
5 7 5 7
x x x x
lim f x 2
x x 2
x x
2
x 1 1
2 2
x
ែូបចាោះ ទ ត់ ដែលម្គនសមីការ y 2 ជាអាសុីមតូតបែកននត្កា រ ស់អនុគមន៍ f ។
អបេរភាព : f x
បយើងបាន
f
x
2
2x
7x5
បត្ ើ u u v uv
y y
2
2
x 5x7
v v
2
3
x 6x
8
បយើងសិកាសញ្ញា នន f 2
2
x
:
x 5x7
2
0 6 8 0
'
x 0 បៅចប ល ោះ (2,4) ;
f x x x បយើងបាន x 4 និង 2
f
តារាងអបេរភាព
f x 0 កាលណ្ត x 2 ឬ x 4
x 2 4
f x 0 0
f
x
2
ទីតាំងត្កា
f
x 2
2
2 3
1
c ននអនុគមន៍ f និង ។ បយើងបត្ ៀ បធៀ
3x
9
x 5x7
x និង f f
f
2 1, 4 3
x និង 2 ។ បយើងបាន
42

វិបាក :
3x
9
ចំប ោះ x 3, 0
2
x 5x7
ចំប ោះ
3, 2 ត្កា c
កាត់អាសុីមតូត
x f x
3x
9
ចំប ោះ x 3, 0
2
x 5x7
ត្កា c កាត់
បយើងបាន x 1 ឬ
បគអាចបត្ ើ
5
f
4
2
x
xox : f 0
សង់ត្កា នន f x
5
x
2
f 1 1 និង
ែូបចាោះ f x 2 និង ត្កា c បៅពីបលើអាសុីមតូត ។
ត្កា
ត្តង់ចំណុ ច 3,2 ។
c បៅខាងបត្កាមអាសុីមតូត ។
3.សិកាអបេរភាពនិងសង់ត្កា ននអនុគមន៍ f ដែល
f
x
x
2
2
x 1
3x2
។
ចបមលើយ
ដែនកំណត់ននអនុគមន៍ f :
សមីការ
x
2
3x 2 0 ម្គនឬស x 1 ឬ x 2 ែូបចាោះដែនកំណត់ D នន f គឺ
D 1,2
។
lim f x
1 និង lim f x
1 ទ ត់
x
x
2
2
c រ ស់ f ។ lim x 1
2 និង x
x
បយើងបាន
x
x
2
2
x1
x1
3x 2 0 កាលណ្ត x (1,2)
ដែលម្គនសមីការ y 1 ជាអាសុីមតូតបែកននត្កា
lim 3 2 0
3x 2 0 កាលណ្ត x( ,1) (2, )
បយើងបាន lim f x , lim f x
x1 x1
lim
x2 x2
f x , lim f x
បយើងបាន ទ ត់ដែលម្គនសមីការ x 1 និង x 2 ជាអាសុីមតូតឈរននត្កា c ។
អបេរភាព :
43

f
x
បយើងបាន
x
uv
uv
បយើងបត្ ើរូ មនា y
2
v
3x
2x
3
2
2
x 3x2
2
x 1
2
3x2
ម្គនរាង u
y
v
2
f
x
1
10 1
10
f x
0 x ឬ x
3
3
1
10 1
10
fx 0 ចំប ោះ x
3 3
1
10 1
10
fx 0 ចំប ោះ x ឬ x
3
3
1 10
f
1 10
6 2 10 និង
3
f
6 2 10
3
x
1
10
3
1
1
10
3
2
f x
0 0
f x 1 6 2 10
សងត្កា នន f x
ត្កា c នន
f
6 2 10
1
Ax
0,
y
2
x បានមកពីការកំណត់ចំណុ ចនិងបមគុណត្បា ់ទិសនន ទ ត់ ោះ ។ ត្តង់ចំណុ ច
បយើងបាន 3
f 0 ។ ទីតាំងននត្កា
4
y បយើងបាន f x 1
2
ការ 1
វិបាក :ចំប ោះ 1 x 1 ឬ ចំប ោះ
3
2 x បយើងបាន f x 1
0
ឬ f x 1 ត្កា
ទ ត់ ។
c បៅបលើ
1
ចំប ោះ x , f x
1
3
c
និង
ម្គនចំណុ ចរួម
1
ចំប ោះ x ឬ 1 x 2
3
3x
1
x 3x2
, f x 1 0 ឬ f x 1 បយើងបានត្កា
1
c បធៀ នឹង ទ ត់ ដែលម្គនសមី
c បៅពីត្កាម
44

4.បគម្គនអនុគមន៍ f ដែល
f
x
ក.កំណត់ចំនួនពិត abc , , ដែល ,
2
2x
x2
x 1
c
f x
ax b ។
x 1
ខ.ទាញ ង្ហា ញថា ទ ត់ ដែលម្គនសមីការ y2x
1
ខាង និង ខាង ។
គ.សិកាទីតាំងនន
និង
c ។
.សិកាអបេរភាព និង សង់ត្កា ននអនុគមន៍ f ។
ចបមលើយ
ក.កំណត់ចំនួនពិត abc , , ដែល
f
x
2
ax b a x b c
x 1
c
f x
ax b x 1
a2 a2
c
f x
ax b b a 1 b
1
x 1
b c 2
c
1
ជាអាសុីមតូតបត្តទននត្កា
c តាងអនុគមន៍ f
ខ.តាមចបមលើយ (ក) បយើងបាន
1
x 1
2 1 បយើងបាន f x 2x
1
f x x
1
x 1
1
lim 0 និង
x
x 1
1
lim 0
x
x 1
f x x ែូបចាោះ ទ ត់
lim 2 1 0
x
ត្កា c តាងអនុគមន៍ f ។
គ.សិកាទីតាំង
និង c : f x 2x
1
ចំប ោះ x( , 1) បយើងបាន
ចំប ោះ x( 1, ) បយើងបាន
ែូបចាោះ f x x
lim 2 1 0 និង
x
ដែលម្គនសមីការ y2x 1 ជាអាសុីមតូតបត្ទតនន
1
x 1
1
0
x 1
1
0
x 1
វិបាក
វិបាក
c បៅពីបលើ
c បៅពីបត្កាម
45

.សិកាអបេរភាព និង សង់ត្កា ននអនុគមន៍
ដែនកំណត់ D
1
ទិសបៅអបេរភាព
បែរីបវ
f
x
វិបាក : f x 0
2
2x
4x3
x 1
ត្គ ់ x
D
2
f
x
x D ,
1
lim f x
lim 2x
1
x
x
x 1
1
lim f x
lim 2 x
1
x1 x1
x 1
តារាងអបេរភាព
2
2x
x2
x 1
2
2x
4x
3 0
និង 2
,
x 1 0 ។
1
lim f x lim 2x
1
x
x
x 1
1
lim f x
lim 2 x
1
x1 x1
x 1
,
x 1
f x
f
x
សំណង់ត្កា
សង់អាសុីមតូត ដែល
ម្គនសមីការ y2x
1
បយើងបៅចំណុ ចដែលត្កា
c កាត់ y oy
គឺ
បយើងបៅចំណុ ចដែលត្កា c
2
កាត់ x ox
គឺ x x
x 0, y 2, f 0 3
2 2 0
1
17
x ; y 0 ឬ
4
x 2; y 4
1
17
x ; y
0
4
5.បគម្គនអនុគមន៍ f កំណត់បោយ
f
x
3x
1
ln
x 1
។ សិកាអបេរភាពនិងសង់ត្កា ននអនុគមន៍ f x ។
46

ចបមលើយ
3x
1
ដែនកំណត់ននអនុគមន៍ f : ln
x 1
ម្គនន័យលុោះត្តាដត 3 x 1 0
x 1
x
1
3
1
3x 1 0
x 1 0
3x
1
0
x 1
1
ែូបចាោះ D ( , ) (1, )
3
ទិសបៅអបេរភាព
3x
1
f x
ln
ln
u x
x 1
3x
1 4
x 1 1
, u x ux
x
2
4
2
ux
x
1
4
បយើងបាន f x
u x
3x
1 3x 1 x 1
x 1
1
បយើងប ើញបៅបលើ D ( , ) (1, ) , fx 0 ប ោះ f x ជាអនុគមន៍ចុោះបលើ D ។
3
3x
1
3x
1
lim 3 និង lim 3
x
x 1
x
x 1
3x
1 lim ln ln 3 បយើងបាន ដែលម្គនសមីការ y ln3 ជាអាសុីមតូតបែក
x
x 1
3x1 3x1
3x1
3x1
lim lim ln , lim 0 lim ln
x1 x1 x1
x1
1 x1 1
x1
ទ ត់ដែលម្គនសមីការ x 1 និង
តារាងអបេរភាព
x
សំណង់ត្កា
x x
3 3
1
x ជាអាសុីមតូតឈរ ។
3
1
1
3
f x
f x ln3
ln3
47

3x
1
f x
0 ln 0
x 1
ឬ 3 x 1 1 x 1
x 1
6.បគម្គនអនុគមន៍ g កំណត់បលើ ( 3,3)
បោយ
g x
3
x
ln
3 x
ក.សិកាភាពគូ និង បសសននអនុគមន៍ g
ខ.a.គណ លីមីតនន g ត្តង់ 3 និង 3
b.សិកាអបេរភាពនន g បលើ [0,3) រួចសង់តារាងអបេរភាពបលើ ( 3,3)
គ.បលើតត្មុយអរតូណរបមបគម្គន c ជាត្កា ននអនុគមន៍ g កា ុងតត្មុយបនោះ ។
a.កំណត់សមីការ ទ ត់ ោះ
T បៅនឹងត្កា
b.សង់ត្កា c
និង ទ ត់ ោះ T កា ុងតំរុយបនោះ ។
.សិកាសញ្ញា នន
g x បៅតាមតនមលនន x ។
ង.a. គណ បែរីបវននអនុគមន៍ hx xg x
។
c ត្តង់ចំណុ ច o ។
b.គណ
1
g x dx ។
0
ចបមលើយ :អនុគមន៍ g កំណត់បលើ ( 3, 3)
ក.សិកាភាពគូ និង បសសននអនុគមន៍ g
ប ើ x( 3, 3) , 3 x
3 x
បោយ gx
វិជ្ជម្គន , ប ើ ( 3, 3)
3
x
ln
3 x
x ប ោះ x
3x
1 3x
3x
3
x 3x
3
x
បយើងគណ g x ln ln ln
g x
x ; g x g x
ចំប ោះត្គ ់ ( 3, 3)
ខ.a.គណ លីមីតនន g ត្តង់ 3 និងត្តង់ 3
ែូបចាោះ g ជាអនុគមន៍បសស
បៅបលើ ( 3, 3)
3x
3x
lim limln
x33x
x3
3x
ទ ត់ដែលម្គនសមីការ x 3 ជាអាសុីមតូតឈរននត្កា c
48

3x
3x
lim 0 lim ln
3x
3x
x3 x3
b.សិកាអបេរភាពនន
g x បលើ [0, 3)
ទ ត់ដែលម្គនសមីការ x 3 ជាអាសុីមតូតឈរននត្កា c
3
x
x ម្គនបែរីបវបលើ (3, 3)
3
x
តាង u x ux
ែូបចាោះ gx
3
x
6
3
x 3
x 2
3
x
ln 3 x
ម្គនបែរីបវបលើ (3, 3)
u
x 3
x 6
g x
u x 3 x 3x 3x
3
x
បយើងប ើញថា 3 x3
x
6
2
វិជ្ជម្គនបលើ (3, 3)
ែូបចាោះ
x
g វិជ្ជម្គនបលើ (3, 3) និង g បកើនបលើ (3, 3)
តារាងអបេរភាព
គ.a.កំណត់សមីការ ទ ត់ ោះ
បយើងបាន
6 2
g0
9 3
សមីការ ទ ត់ ោះ T គឺ
0 0 0
y g
x g
ឬ
y
x 3
3
g x
g x
2
3
x
b.សង់ត្កា c និង ទ ត់ ោះ
T បៅនឹងត្កា
T
c ត្តង់ o ។
. សិកាសញ្ញា នន g x បៅតាមតនមលនន x( 3, 3)
49

បយើងប ើញថា g ជាអនុគមន៍បកើនបលើ(3, 3)
g 0 0
និង
ចំប ោះ x 0, g x g 0
0 , ចំប ោះ x g x g
ង.a. គណ បែរីបវននអនុគមន៍ hx x.
g x
0; 0 0
x
3 6x
h x g x xgx
ln
x 3 3 x 3
x
x
3 6x
ែូបចាោះ h x
ln 3 x 3 x 3 x
1 1 3
x
b.គណ I g xdx ln dx
0 0 3 x
បយើងបត្ ើលទធ្លខាងបលើបយើងបានត្ពីមីទីវនន
x
3 6x
ln 3 x 3 x 3 x
គឺអនុគមន៍
x 3
x ln 3 x
1 1
3
x 6x 1 6x
g xdx ln dx
dx
0 0 3 x
0
3 x 3 x
3 x 3 x
1 1 1 6x
g xdx xg x
dx
0 0 0
3x3x
1 6x
1 2x
2
1 8
dx 3 3ln 9 x 3ln
0 0 2
3 x 3 x
9 x 0
9
8 8
9 9
1
g x dx g 1 3ln ln 2 3ln ។
0
7. កា ុង លង់ត្ ោ ់បោយតំរុយអរតូណរបមo, i , j ; (ឯកតា:2cm) ។
បគម្គនអនុគមន៍ f និង g កំណត់បលើសំណុំ ចំនួនពិត បោយ:
x
និង g x 1
f x x e
x
x e និងបគតាង
ក.a.កំណត់លីមីតននអនុគម៍ f និង g ត្តង់ និង ។
c និងc ត្កា ននអនុគម៍ f និង g បនោះ។
b. ង្ហា ញថា ទ ត់ ដែលម្គនសមីការ y x ជាអាសុីមតូតននត្កា c ។
c.សិកាអបេរភាពននអនុគមន៍ f និង អនុគមន៍ g បលើ
។
d.សង់តារាងអបេរភាពននអនុគមន៍ f និង អនុគមន៍ g ។
50

ខ.ចំប ោះត្គ ់ចំនួនពិត x បគតាង hx f x g x
។
a. ង្ហា ញថាត្គ ់ចំនួនពិត x , h x 1 g x
b.ទាញយកទិសបៅអបេរភាពននអនុគមន៍ h បលើសំណុំ ចំនួនពិត ។
c.ស្រាយ ញ្ញជ ក់ថាត្កា
c និង c ម្គនចំណុ ចត្ សពវដតមួយគត់ដែលម្គនអា ់សុីសរ ស់វាតាងបោយ
បៅបលើចប ល ោះ [1,2] ។ ចូរកំណត់តនមលអមនន amplitude
d.សិកាបៅតាមតនមលនន x ទីតាំងបធៀ គ្នា រវាង
គ.សង់ ទ ត់
និងត្កា
c និង c ។
x
.ចំប ោះត្គ ់ចំនួនពិត x បគតាង x
a.បត្ ើអាំបតត្កាលបោយដ្ាកគណ
0
x
។
c និង c ។
h t dt
b.ទាញយកជារាងកបនាមសនិទាននន ន្ទត្កឡាជា
អ័កសអរបោបណ និង ទ ត់ដែលម្គនសមីការ x ។
ចបមលើយ:
1
10 ។
2
cm ននដែនដែលអមបោយត្កា
c និងc ,
x
x
បគម្គនអនុគមន៍ f និង g កំណត់បលើ បោយ f x x e និង g x 1 xe
;
c ជាត្កា តាងអនុគមន៍ទាំងពីរបនោះ។
ក.a.កំណត់លីមីត f ត្តង់ និង
c និង
ត្តង់
x
x
x
x e
f x x e x1 ;
x បយើងែឹងថា lim e
e
, lim 1
x
x
x
x
x
e
និង lim x , ែូបចាោះ lim x 1
x
និង lim f
x
x
x
ត្តង់
x
lim e 0
x
x
ប ោះបយើងបាន lim x
e
x
កំណត់លីមីតនន g ត្តង់ និង
ត្តង់
lim 1
x
x
និង lim f x
x
x
; lim e
x ប ោះបយើងបាន lim 1
lim g x
x
x
x
xe
x
51

ត្តង់
x
x
lim e 0 និង lim xe 0
x
x
ទ ត់ x ox
ដែលម្គនសមីការ 0
x x
, g x e xe ប ោះបយើងបាន gx
c ។
y ជាអាសុីមតូតនន
lim 0
x
b. ង្ហា ញថា ទ ត់ ដែលម្គនសមីការ y x ជាអាសុីមតូតននត្កា c ។
បយើងសិកាលីមីតនន
ម្គនសមីការ y
x
f x
x ។ f x x e បយើងបាន
x ជាអាសុីមតូតននត្កា c ត្តង់ ។
lim f x x
0 ទ ត់ដែល
x
c.សិកាអបេរភាពននអនុគមន៍ f
x
បយើងបាន 1
f x x e
-ចំប ោះ 0
x , f x 0
-ចំប ោះ x 0 ,
បលើ (0, ) ។
-ចំប ោះ x 0 ,
( ,0) ។
f x e
x
e ធំជាង 1 , ែូបចាោះ
សិកាអបេរភាពននអនុគមន៍ g
x
e តូចជាង 1 , ែូបចាោះ
f
x
x
f
x
អវិជ្ជម្គនោច់ខាត និង f ជាអនុគមន៍ចុោះោច់ខាតបៅ
វិជ្ជម្គនោច់ខាត និង f ជាអនុគមន៍បកើនបៅបលើ
x
1 xe
បយើងបាន gx e x 1 xe x xe
x
, g x
ម្គនសញ្ញា ែូច
x
g x
-ចំប ោះ 0
x , g x 0
-ចំប ោះ x 0 , x 0
(0, ) ។
-ចំប ោះ x 0 , x 0
( ,0) ។
d.តារាងអបេរភាពនន f និង g
, ែូបចាោះ g x
, ែូបចាោះ g x
x 0
f x 0
f
x
1
ខ.ចំប ោះត្គ ់ចំនួនពិត x បគបាន hx f x g x
a. ង្ហា ញថាត្គ ់ចំនួនពិត x , h x 1
g x
អវិជ្ជម្គនោច់ខាតនិង g ជាអនុគមន៍ចុោះោច់ខាតបលើ
វិជ្ជម្គនោច់ខាតនិង g ជាអនុគមន៍បកើនោច់ខាតបលើ
x 0
g x 0
g x
1
0
52

បយើងបាន h x f x gx 1e x xe x 1e x
1 x 1
g x
ចំប ោះត្គ ់ x , h x 1
g x
b.ទាញយកទិសបៅអបេរភាពនន h បលើ
បយើងប ើញបៅចបមលើយខាងបលើ g ម្គនអតិ រម្គត្តង់ x 1 ែូបចាោះត្គ ់
បានត្គ ់
*
x , 1 gx
c.ស្រាយ ញ្ញជ ក់ថាត្កា
បែើមបីរកចំណុ ចត្ សពវនន
*
x , gx 1 បយើងទាញ
វិជ្ជម្គនោច់ខាតនិងសូនយត្តង់ x 0 , h ជាអនុគមន៍បកើនោច់ខាតបលើ ។
c និង c ម្គនចំនុចត្ សពវដតមួយ ។
c និង c
បយើងរកចំនួនននឬសរ ស់សមីការ
f x g x f x g x 0 ឬ hx 0 ។ បយើងសិកាលីមីតនន h ត្តង់ និង
បែើមបីរកចបមលើយននសមីការ hx 0 ។
ត្តង់
x x x x x
hx f x g x x e e xe e 2 x
x
e
x
lim 0 , lim
x
x
x
2
និង lim e
x , ែូបចាោះ lim h x
e
x
x
x
ត្តង់
lim
x
ែូបចាោះ
f
x
និង
lim h x
x
បយើងបាន f x g x
lim g x 0
x
និង
lim h x
x
lim
x
h ជាអនុគមន៍ម្គនបែរីបវបលើ និង បកើនោច់ខាតបលើ និង h ។ បយើងទាញបាន h ជាអនុ
វតាន៍មួយទល់មួយពី បៅកា ុង ។ 0 ជាធាតុមួយនន ែូបចាោះវាម្គន ដតមួយគត់នន ដែល
h 0 ។ សមីការ hx 0 ម្គនឬសដតមួយគត់គឺ ។ ត្កា c និង c ម្គនចំណុ ចត្ សពវ
ដតមួយគត់ដែលម្គនអា ់សុីស ។ ប្ទៀងផ្ទទ ត់ថា [1,2] ។ បយើងគណ :
h1
2 2
f 1 g 1
1e
1.71 , h2 f 2 g 2 2 e e 2
បយើងបាន h1 0 h
h2
1
[1,2] ។ សិកាតនមលអមនន ដែលម្គន amplitude 10 : h1.6
0.3 ,
h1.6 0 h1.7
ែូបចាោះ 1.6
1.7 ។
, h ជាអនុគមន៍បកើនបលើ បយើងទាញបាន 1 2 ឬ
d.សិកាបៅតាមតនមលនន x ទីតាំងបធៀ គ្នា រវាង
c និង c ។
បយើងត្តូវសិកាសញ្ញា នន f x g x
ែូបចាោះគឺសញ្ញា នន h x ។ h ជាអនុគមន៍បកើនបលើ
h 1.7 0.05
និង
53

h 0 , ត្គ ់ x , hx 0 និងត្គ ់ x , hx 0
ែូបចាោះបយើងអាចសនាិោា នបានថា :
ចំប ោះ x f x g x
ែូបចាោះ ត្កា c
បៅបត្កាម
ចំប ោះ x f x g x
ែូបចាោះ ត្កា c
បៅបលើ
គ.សង់ ទ ត់
, 0
c ។
, 0
c ។
និងត្កា
c និង c
x
.ចំប ោះត្គ ់ចំនួនពិត x បគតាង x
a.គណ
x
0
h t dt
x
x
t t t
x h t dt t e e te dt
0 0
x t x x
t t t t
t 2e te dt tdt 2 e dt te dt
0 0 0 0
2
x
2
x
t t x x t
t
x e te dt e te dt
2
0 0
2
0
x x
ែូបចាោះ 2
2 1
0
។
I
x
t
te dt
0
v t e v t e
t
តាង ut t ut 1 ,
t
x
x
t t x t x x
I
te
e dt xe
e
xe e 1
0 0
0
2 2
x
x
2 2
x x x x x
x 2e 1 xe e 1 xe 31
e
2
x
2
x
x
ចំប ោះត្គ ់ x , x xe 31 e
b.គណ ជា
សមីការ x
c បៅបត្កាម
2
cm ន្ទត្កឡាននដែនដែលអមបោយ
។ ឯកតា 2cm ែូបចាោះឯកតាត្កឡាន្ទគឺ
x
c ។ ន្ទត្កឡាដែលត្តូវរកគឺ
2
4
S f x g x dx cm
0
c និង c , អ័កសអរបោបននិង ទ ត់ដែលម្គន
0
2
4cm ។ បៅបលើ [0, ] បយើងប ើញត្កា
S g x f x dx ឯកតាន្ទត្កឡា។
54

S
4cm 4 e 3e 3cm
2
2
2
2
បយើងចង់បានកបនាមសនិទាននន បយើងត្តូវ ំបាត់ e ដែល ប្ទៀងផ្ទទ ត់ f g
ែូបចាោះ e 1 e
ឬ e 2
e (ពីបត្ ោះ 2 )
2
3
S 4
3 3 cm 4
3 cm
2 2
2 2
S
2 2
2 2
3 2
2 4 2
12
2
55

ចំៃួៃកុ ំផ្ល ិច
I. មមម ៀៃសមខេប
ក.ចំនួនកុំ្លិចកា ុងទត្មង់ពិជ្គណិ ត
-ចំនួនកុំ្លិច z = a + bi បៅថាទត្មង់ពិជ្គណិ តននចំនួនកុំ្លិច។
a បៅថាដ្ាកពិត បហើយ b បៅថាដ្ាកនិមិតា ដែល a និង b ជាចំនួនពិត និង i 2 = −1 ។
-ប ើ z 1 = a 1 + ib 1 និង z 2 = a 2 + ib 2 ប ោះបគបាន
z 1 = z 2 ⇔ (a 1 = a 2 ) និង (b 1 = b 2 )
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + i(b 1 + b 2 )
z 1 − z 2 = (a 1 − a 2 ) + i(b 1 − b 2 )
z 1 ∙ z 2 = (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + i(a 1 b 2 + b 1 a 2 )
a ib a ib
z a ib a a b b a b a b
i
z a ib a b a b a b
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
-ចំនួនកុំ្លិចឆ្ល ស់ននចំនួនកុំ្លិច z = a + bi តាងបោយ z̅ = a − ib
-ចំនួនកុំ្លិច្ទ ុយននចំនួនកុំ្លិច z = a + bi តាងបោយ −z = −a − ib
ចំនួនកុំ្លិចកា ុង លង់កុំ្លិច z a ib តាងបោយចំណុ ច M ម្គនកូអរបោបន ,
អរតូណរបម
xoy ។ ចំប ោះ z a ib
អាចតាងបោយវុិចទ័រ ,
ab កា ុងតត្មុយ
OM a b បគថា OM ជាវុិចទ័ររូ
ភាពននចំនួនកុំ្លិច z a ib ។ ចំណុ ចកា ុងតត្មុយតាងចំនួនកុំ្លិច លង់ដែលត្ ោ ់បោយតត្មុយបនោះបៅ
ថា លង់កុំ្លិច ។ អ័កស x ox
ជាអ័កសដ្ាកពិត បហើយអ័កស y oy
ចំនួនកុំ្លិចម្គនរូ ភាពជា្ល ូកវុិចទ័រកា ុង លង់កុំ្លិច ។
ខ.ចំនួនកុំ្លិចកា ុងទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្ត
-ប ើបគម្គនចំនួនកុំ្លិច z = a + bi ប ោះម ូឌុលនន z តាងបោយ
r = |z| = √a 2 + b 2
-ប ើ z ជាចំនួនកុំ្លិចប ោះ |z| = |z̅| = |−z|
-ប ើ z 1 និង z 2 ជាចំនួនកុំ្លិចប ោះបគបាន |z 1 ∙ z 2 | = |z 1 | ∙ |z 2 |
បៅថាអ័កសដ្ាកនិមិតា ។ ្ល ូកនន
56

| z 1
| = |z 1|
z 2 |z 2 |
; |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |
-វុិចទ័រ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ជារូ ភាពននចំនួនកុំ្លិច z តាង φ ជាមុំតូច ំ្ុតនន (Ox ⃗⃗⃗⃗⃗ , OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
φ បៅថាអាគុយម ង់ននចំនួនកុំ្លិច z ។ បែើមបីគណ មុំ φ បយើងត្តូវបោោះ
ស្រាយត្ ព័នធសមីការ :
cos φ =
{
sin φ =
a
= a √a 2 +b 2 r
b
√a 2 +b 2 = b r
z = r(cos φ + i sin φ) បៅថាទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្តននចំនួនកុំ្លិច z = a + ib
-ប ើ z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) និង z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) ប ោះបគបាន
z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )]
z 1
z 2
= r 1
r 2
[cos(φ 1 − φ 2 ) + i sin(φ 1 − φ 2 )]
z n = [r(cos φ + i sin φ)] n = r n [cos(nφ) + i sin(nφ)] ; n ជាចំនួនគត់រុឺឡាទី
ដមលងវិលជ្ុំវិញគល់តត្មុយនន លង់កុំ្លិចជាទូបៅម្គនចំនួនកុំ្លិច zcos
isin
ប ើ Mz ជារូ ភាពនន
z cos isin
z ។
គ.សវ័យគុណ n និង ឬសទី n ននចំនួនកុំ្លិច
M z តាម ដមលងវិល្ចិត O (O ជាគល់តត្មុយ) នឹងមុំ ប ោះ
(cos φ + i sin φ) n = cos(nφ) + i sin(nφ) (ត្ទីសាី ទែឺម័រ)(Moivre)
-ប ើ z = r(cos φ + i sin φ) ជាចំនួនកុំ្លិចមិនសូនយ បហើយ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជម្គន
ប ោះ z ម្គន n ឬសទី n គឺ w 0 , w 1 , w 2 , … , w n−1 កំណត់បោយ :
n 2k 2k
wk
r cos
isin
n
n
ដែល k 0,1,2, , n
1
. អនុវតាន៍ចំនួនកុំ្លិចកា ុងធរណី ម្គត្ត
-ជាទូបៅ ប ើ A z
1
និង 2
AB z2 z1 z1 z ។
2
-ជាទូបៅ ប ើបគម្គន z
1
និង
2
B z ជារូ ភាពននចំនួនកុំ្លិច z
1
និង z
2
ប ោះចម្គា យ
z ជាចំនួនកុំ្លិចដែលម្គនរូ ភាពបរៀងគ្នា A z និង
1
B z បហើយ
2
ចំណុ ច
P z ជារូ ភាពននចំនួនកុំ្លិច z ដែល P សថិតបៅបលើ AB បហើយដចក AB តាម្លបធៀ
57

z1
z2
m:
n ប ោះបគបាន z
1
- ជាទូបៅ ប ើ A z , Bz និង
1
m
ដែល ។
n
C z បងកើតបានត្តីបកាណ ABC ប ោះបគបាន
2
AC z2
z
AB z z
1
2
បហើយ arg z
BAC
z
z1
z
II.លំហាត់គំ ូ
កំណត់សម្គា ល់ : អាកសិកាត្តូវខំត្ ឹងបោោះស្រាយលំហាត់បោយខល ួនឯង ចំដណកចបមលើយសត្ម្គ ់ដតប្ទៀងផ្ទទ ត់ ។
1.គណ z 1 + z 2 , z 1 − z 2 , z 1 z 2 និង z 1
z 2
ក. z 1 = −3 ; z 2 = 2 − i ខ. z 1 = √3 + i√2 ; z 2 = −i√2
គ. z 1 = 2 − i√3 ; z 2 = 2 + i√3
ចបមលើយ
ក. z 1 + z 2 = −1 − i
z 1 − z 2 = −3 − (2 − i) = −3 − 2 + i = −5 + i
z 1 z 2 = −3(2 − i) = −6 + i3
z 1
= −3
z 2 2−i = −3(2+i)
4−i 2 = −3(2+i) = −3
4+1 5 (2 + i) = − 6 − i 3 5 5
ខ. z 1 = √3 + i√2 ; z 2 = −i√2
z 1 + z 2 = (√3 + i√2) + (−i√2) = √3
z 1 − z 2 = (√3 + i√2)— i√2 = √3 + i√2 + i√2 = √3 + i2√2
z 1 z 2 = (√3 + i√2)(−i√2) = (√3)(−i√2) + (i√2)(−i√2)
= −i√6 − i 2 (√2) 2 = 2 − i√6
z 1
= (√3+i√2) = (√3+i√2)(−i√2) = −i√6+(i√2)(−i√2)
z 2 (−i√2)
(−i√2)
2i 2
= (−i√6+2)
−2
= −1 + i √6
2
គ. z 1 = 2 − i√3 , z 2 = 2 + i√3
z 1 + z 2 = (2 − i√3) + (2 + i√3) = 4
z 1 − z 2 = (2 − i√3) − (2 + i√3) = −i2√3
58

z 1 z 2 = (2 − i√3)(2 + i√3) = 4 − i 2 (√3) 2 = 4 + 3 = 7
z 1
z 2
= (2−i√3)
(2+i√3) = (2−i√3)(2−i√3)
(2+i√3)(2−i√3)
= 4−2×2(i√3)+(i√3)2
7
= 4−i4√3−3
7
= 1−i4√3
7
= 1 7
− i
4√3
7
2.សរបសរចំនួនកុំ្លិចខាងបត្កាមជាទត្មង់ពិជ្គណិ ត a + ib
ក. z = √ 2+i√2
√2−i√2
ខ. z = (3 + i)(5 − 2i)
គ. z = (4 − 7i) 3 . z = 6−7i
1+i
ចបមលើយ
ក. z = √2+i√2
√2−i√2 = (√2+i√2)(√2+i√2)
(√2−i√2)(√2+i√2) = 2+i4−2 = i
2+2
ខ. z = (3 + i)(5 − 2i) = 15 − 6i + 5i − 2i 2 = 17 − i
គ. z = (4 − 7i) 3
បយើងបត្ ើឯកលកខណោះភាព (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
z = (4 − 7i) 3 = 4 3 − 3 × 4 2 × 7i + 3 × 4 × (7i) 2 − (7i) 3
= 64 − 336i − 588 + 343i
បយើងបាន z = −524 + 7i
. z = 6−7i
1+i
= (6−7i)(1−i)
(1+i)(1−i)
3.សរបសរចំនួនកុំ្លិចខាងបត្កាមជាទត្មងត្តីបកាណម្គត្ត
ក. z = √3 + i ខ. z = 1 + i
គ. z = 1 − i√3 . z = − 1 √3
+ i
2 2
ចបមលើយ
ក. z = √3 + i = 2( √3
2 + i 1 2 )
= 6−6i−7i+7i2
1−i 2 = −1−13i = −1
− 13 i
2 2 2
បយើងអាចទាញបាន
3
cos និង
2
1
sin φ = π
2
6
59

ែូបចាោះ z 2cos isin
6 6
បយើងបាន z ម្គនម ូឌុល 2 និង អាគុយម ង់
រប ៀ មយ ងបទៀតតាមរូ មនា
π
6
r = √(√3) 2 + 1 2 = √4 = 2
3
cos a
r
2
, 1
sin b
r
2
បយើងបាន φ = π 6
ែូបចាោះ z = 2 (cos π 6 + isin π 6 )
ខ. z = 1 + i
r = √1 2 + 1 2 = √2
cos φ = a = 1 = √2
r √2 2
{
sin φ = b = 1 = √2
r √2 2
⇒ φ = π 4
ែូបចាោះ z = √2 (cos π 4 + i sin π 4 )
គ. z = 1 − i√3
r = √1 + (√3) 2 = √4 = 2
{
cos φ = 1 2
sin φ = − √3
2
⇒ φ = − π 3
ែូបចាោះ z = 2[cos (− π 3 ) + i sin (− π 3 )]
. z = − 1 √3
+ i
2 2
r = √(− 1 2 )2 + ( √3
2 ) 2
= √ 1 + 3 cos φ = −1 2 = − 1 = √1 = 1 , { 1 2
4 4
sin φ =
√3
2
= √3
1 2
⇒ φ = 2π 3
ែូបចាោះ z = cos 2π 3 + i sin 2π 3
4. បគម្គនចំនួនកុំ្លិច Z = z+2−i
z+i
បគឲ្យ z = a + ib និង z ≠ −i
60

ក. សរបសរ Z ជាទត្មង់ពិជ្គណិ តជាអនុគមន៍នន a និង b
ខ. រកទំ ក់ទំនងរវាង a និង b បែើមបីឲ្យ Z ជាចំនួនពិត
គ. រកទំ ក់ទំនងរវាង a និង b បែើមបីឲ្យ Z ជាចំនួននិមិតា
ចបមលើយ
ក. សរបសរ Z ជាទត្មង់ពិជ្គណិ តជាអនុគមន៍នន a និង b
Z = a+ib+2−i
a+ib+i
= (a+2)+i(b−1)
a+i(b+1)
= [(a+2)+i(b−1)][a−i(b+1)]
[a+i(b+1)][a−i(b+1)]
a(a+2)−i 2 (b−1)(b+1)+ia(b−1)−i(a+2)(b+1)
=
a 2 +(b+1) 2
a(a+2)+(b−1)(b+1) −2(a+b+1)
=
+
a 2 +(b+1) 2 i
a 2 +(b+1) 2
ខ. Z ជាចំនួនពិតលុោះត្តាដតដ្ាកនិមិតាបសម ើ 0 បយើងបាន −2(a + b + 1) = 0 និង (a ≠ 0និងb ≠ −1)
ែូបចាោះ ទំ ក់ទំនងរវាង a និង b បែើមបីឲ្យ Z ជាចំនួនពិតគឺ a + b + 1 = 0 និង (a ≠ 0 និង b ≠ −1)
គ. Z ជាចំនួននិមិតាលុោះត្តាដតដ្ាកពិតបសម ើ 0 បយើងបាន a 2 + b 2 + 2a − 1 = 0 និង (a ≠ 0 និង b ≠ −1)
ែូបចាោះ ទំ ក់ទំនងរវាង a និង b បែើមបីឲ្យ Z ចំនួននិមិតាគឺ a 2 + b 2 + 2a − 1 = 0និង(a ≠ 0 និង b ≠ −1)
5. ក. បោោះស្រាយបៅកា ុង C សមីការ z 2 − 2√2z + 4 = 0
បយើងតាង z 1 ជាឬសរ ស់សមីការដែលដ្ាកនិមិតាវិជ្ជម្គននិង z 2 ជាឬសមួយបទៀត។
ខ. a.កំណត់ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ននចំនួនកុំ្លិច z 1 និង z 2
b.កំណត់ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ននចំនួនកុំ្លិច ( z 1
z 2
) 2
ចបមលើយ
ក. បោោះស្រាយបៅកា ុង C សមីការ z 2 − 2√2z + 4 = 0
Δ = (2√2) 2 − 4 × 1 × 4 = 8 − 16 = −8 = (i√8) 2 = (2i√2) 2
z 1 = 2√2+2i√2
2
= √2 + i√2 ; z 2 = 2√2−2i√2
2
= √2 − i√2
ខ.a.កំណត់ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ z 1 និង z 2
z 1 = √2 + i√2 ; |z 1 | = r 1 = √2 + 2 = 2 និង { cos θ 1 = √2
2
sin θ 1 = √2
2
⇒ θ 1 = π 4
61

បយើងបានទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្តនន z 1 = 2 (cos π 4 + sin π 4 )
z 2 = √2 − i√2 ; |z 2 | = r 2 = √2 + 2 = 2 និង { cos θ 2 = √2
2
sin θ 2 = − √2
2
⇒ θ 2 = − π 4
បយើងបានទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្តនន z 2 = 2 (cos(− π 4 ) + i sin(− π 4 ))
b. កំណត់ម ូឌុល និង អាគុយម ង់នន ( z 1
z 2
) 2
z 1
z 2
= r 1
r 2
[cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin(θ 1 − θ 2 )]
z 1
z 2
= 2 2 [cos (π 4 − (− π 4 )) + i sin (π 4 − (− π 4 ))] = cos π 2 + i sin π 2
( z 1
z 2
) 2 = (cos π 2 + i sin π 2 )2 = cos π + i sin π
( z 1
) 2 ម្គនម ូឌុល |( z 1
) 2 | = 1 និង អាគុយម ង់បសម ើ π
z 2 z 2
6. កំណត់ cos3 និង sin3 ជាអនុគមន៍នន cos និង sin ។
ចបមលើយ
បយើងបត្ ើត្ទីសា
ី ទែឺម័រ :cos isin n
cos n isin
n
3
n = 3 បយើងបានcos isin cos 3 isin 3
cos isin cos 3i cos sin 3cos sin isin
មយ ងបទៀត 3 3 2 2 3
បត្ ោះ (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
3 3 2 2 3
cos isin cos 3cos sin i3cos sin sin
3 2 3 2 3
cos3 cos 3cos sin cos 3 cos 1 cos 4cos 3cos
បយើងបាន
2 3 2 3
3
sin3 3cos sin sin 3 1 sin sin sin 3sin 4sin
7. ក.គណ i n ចំប ោះតនមលននចំនួនគត់រឺឡាទី n ≥ 1 ។
ខ.ទាញរកតនមល i 2014
62

ចបមលើយ
ក. ចំប ោះ n = 1 i = i
ចំប ោះ n = 2
ចំប ោះ n = 3
i 2 = −1
i 3 = i 2 × i = −1 × i = −i
ចំប ោះ n = 4 i 4 = i 3 × i = −i 2 = 1
ចំប ោះ n = 5
i 5 = i 4 × i = 1 × i = i
បយើងប ើងម្គនខួ បសម ើ 4 សត្ម្គ ់ស្វីតននសវ័យគុណរ ស់ i
ែូបចាោះ ប ើ n = 4k ចំប ោះ k ជាចំនួនគត់រឺឡាទី វិជ្ជម្គនប ោះ i 4k = 1
ប ើ n = 4k + 1 ចំប ោះ k ជាចំនួនគត់រឺឡាទី វិជ្ជម្គនប ោះ i 4k+1 = i
ប ើ n = 4k + 2 ចំប ោះ k ជាចំនួនគត់រឺឡាទី វិជ្ជម្គនប ោះ i 4k+2 = −1
ប ើ n = 4k + 3 ចំប ោះ k ជាចំនួនគត់រឺឡាទី វិជ្ជម្គនប ោះ i 4k+3 = −i
ខ.ទាញយកពីលទធ្លខាងបលើគណ i 2014
តាមវិធីដចកអឺ ីែ ល 2014 បោយ 4 បយើងបាន 2014 = 503 × 4 + 2
ែូបចាោះ i 2014 = i 4k+2 ដែល k = 503
វិបាក i 2014 = −1
8.បោោះស្រាយបៅកា ុងសំណុំ ចំនួនកុំ្លិច C សមីការ (E): (z 2 + 1)(z 2 + 2) = 0
ចបមលើយ
(E): (z 2 + 1)(z 2 + 2) = 0
បោយគិតែល់ i 2 = −1
(E) ⇔ (z 2 − i 2 )(z 2 − 2i 2 ) = 0 ⇔ (z − i)(z + i)(z + i√2)(z − i√2) = 0
បយើងបានឬសរ ស់សមីការ z 1 = i ; z 2 = −i ; z 3 = −i√2 ; z 4 = i√2
9.បគកំណត់បៅកា ុងសំណុំ ចំនួនកុំ្លិច C សមីការ (E): z 3 + 8 = 0
ក.កំណត់ចំនួនពិត , ,
abc បែើមបីឲ្យ z 3 8 z 2az 2 bz c
ខ.បោោះស្រាយសមីការ
3
z
8 0
គ.សរបសរជាទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្ត ឬស z 1
, z 2
, z 3
រ ស់សមីការ E
63

ចបមលើយ
ក.កំណត់ចំនួនពិត a, b, c បែើមបីឲ្យ z 3 + 8 = (z + 2)(z 2 − 2z + 4 )
(បត្ ើឯកលកខណោះភាព a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
(z + 2)(az 2 + bz + c) = az 3 + (b + 2a)z 2 + (c + 2b)z + 2c
z 3 + 8 = az 3 + (b + 2a)z 2 + (c + 2b)z + 2c
a = 1
b + 2a = 0
បយើងបាន {
c + 2b = 0
2c = 8
a = 1
ឬ { b = −2
c = 4
z 3 + 8 = (z + 2)(z 2 − 2z + 4)
ខ.បោោះស្រាយសមីការ z 3 + 8 = 0
z 3 + 8 = 0 ⇔ (z + 2)(z 2 − 2z + 4) = 0 ⇔ z = −2 ឬ z 2 − 2z + 4 = 0
⇔ z = −2 ឬ (z − 1) 2 = −3 ⇔ z = −2 ឬ (z − 1) 2 = (i√3) 2
⇔ z = −2 ឬ z − 1 = i√3 ឬ z − 1 = −i√3
⇔ z = −2 ឬ z = 1 + i√3 ឬ z = 1 − i√3
ចបមលើយរ ស់សមីការគឺ : z 1 = −2 ; z 2 = 1 + i√3 ; z 3 = 1 − i√3
គ.សរបសរជាទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្ត ឬសរ ស់សមីការ (E)
z 1 = −2 = 2(−1 + i0) = 2(cos π + i sin π)
z 2 = 1 + i√3 = 2 ( 1 √3
+ i ) = 2 (cos π + i sin π )
2 2 3 3
z 3 = 1 − i√3 = 2 ( 1 √3
− i ) = 2[cos(− π ) + i sin(− π )]
2 2 3 3
10.បោោះស្រាយសមីការ
3
z
8 0
ចបមលើយ
z
8 0 z 8 ឬ
3 3
z
3
8
8 8 0i ម្គនម ូឌុល r 8 2
0 8
a 8
បោយ cos
1 និង
r 8
វិបាក : 8 8cos
isin
b 0
sin 0
r 8
បយើងបាន
64

ឬសទី 3 នន 8 កំណត់បោយ
w
k
3 2k 2k
8 cos isin
3 3
, k 0,1,2
1 3
ប ើ k 0 w0
2
cos isin 2 i 1
i 3
3 3
2 2
ប ើ k w i
1 2 cos sin 2
1
5
5
ប ើ k 2 w2
2
cos isin 1i
3
3 3
11.ក.សរបសរជាទត្មង់ពិជ្គណិ តចំនួនកុំ្លិច 1 2i 2
និង 3
2i 3
ខ.សរបសរជាទត្មង់ពិជ្គណិ ត្ល ូក S ដែល :
2 2 2 2 3 2 2001 2 2002
S i i i i i
ចបមលើយ
2 2
ក.1 2i 1 4i 2i
1 4i 4 3 4i
បគបាន i 2
3
3 2i 27 392i 33 4 8 i 9 46i
3 2i
9 46i
បគបាន 3
1 2 3
4i
ខ.សរបសរជាទត្មង់ពិជ្គណិ តនន្ល ូក S ម្គន 2002 តួ ដែល ំដ កជាពី្ល ូក :
S 2002 2 i 2i 3i 2001i 2002i
'
S
'
S ជា្ល ូកតួននសវ ុីតតគ្នា ននសវ ុីតនពវនាដែលម្គន្លសងរួមបសម ើ i
'
i
2002i
2002
S 2003i 1001 2005003i
2
ែូបចាោះ S 4004 2005003 i
12.បគម្គនចំនួនកុំ្លិច z 1
2 3i
និង z2 4 5i
ក.រកចំនួនកុំ្លិចតាងបអាយវុិចទ័រ AB
ខ.រកចំនួនកុំ្លិចដែលម្គនរូ ភាពចំណុ ចកណ្តា ល I នន [AB]
ចបមលើយ
ដែលម្គនរូ ភាព A z និង Bz
1
2
65

13.បៅកា
ក.បយើងកំណត់សរបសរ z AB ចំនួនកុំ្លិចតាងបអាយវុិចទ័រ AB
B A
z AB z z z2 z1 4 5i 23i 6 8i
ខ.បយើងកំណត់សរបសរ
zI ចំនួនកុំ្លិចដែលម្គនរូ ភាព I
z z z z i i i
1
i
2 2 2 2
A B 1 2
2 3 4 5 2 2
z I
2
ុង បគម្គនសមីការ z
4cos z 4cos2 2 0 ដែល ( , )
។
ក.កំណត់តនមលនន បែើមបីឲ្យចបមលើយរ ស់សមីការជាចំនួនពិត ។
5
ខ.បគឲ្យ ។ បោោះស្រាយសមីការខាងបលើបោយឲ្យចបមលើយជាទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្ត ។
6
ចបមលើយ
ក.បែើមបីឲ្យចបមលើយរ ស់សមីការជាចំនួនពិតវាត្តូវដត 0 ។
បយើងគណ :
2
2 2
b 4ac 4cos 4 4cos2 2 16cos 16cos2
8
ដត
2
cos2
2cos
1
ែូបចាោះ
2 2 2
16cos 32cos 16 8 16cos 8
1 2 1 1
16 cos 16 cos cos
2
2 2
2 2
0 cos
,
2 2
3 3
ឬ , ,
4 4
4 4
5 3
ខ. cos 6 2
តាមសំណួ រខាងបលើបយើងបាន :
3
3
16cos 8 16
8 16 8 4 4i
2
4
2
2 2
សមីការម្គនឬសកុំ្លិចពីរឆ្ល ស់គ្នា
66

3
4
2i
b
2
z1
3 i ; z2 z1 3 i
2a
2
បយើងបានសំណុំ ចបមលើយ S 3 i, 3 i
សរបសរ z
1
ជាទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្ត
2 2
z1 3 1 2
តាង 1
អាគុយម ង់នន z
1
a 3
cos1
z1
2
បយើងបាន 1 2k
; k
b 1
6
sin1
z1
2
ទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្តនន z 1
2
cos isin
6 6
សរបសទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្តនន z
2
z2 z1 z1 2 , អាគុយម ង់នន z2 argz1 arg z1
2k
; k
បយើងបានទត្មង់ត្តីបកាណម្គត្តនន z
2
គឺ z2 2 cos isin
6 6
។
14. ក.គណ
2 3 4 5
i , i , i , i រួចរកi n ជាអនុគមន៍ននតនមលចំនួនគត់ រុឺឡាទី វិជ្ជម្គន n ។
ខ.សរបសរ 1 i
ចបមលើយ
ជាទត្មង់ពិជ្គណិ ត រួចសរបសរ 1 n
i
ជាអនុគម៍ននតនមលចំនួនគត់ រុឺឡាទី វិជ្ជម្គន n ។
ក. បយើងបាន :
2 3 2 4 3 2 5 4
i 1, i ii i, i ii i 1,
i ii i
បយើងសបងកតប ើញថា i, 1,
i និង1 បកើតប ើងវិញែដែលៗ ។
ង្ហា ញថាត្គ ់ចំនួនគត់រុឺឡាទី វិជ្ជម្គន p ; 4 p 4 p 1, 1 , 4 p 2 1,
4 p
i i i i i 3 i
4p
4
ចំប ោះត្គ ់ចំនួនគត់រុឺឡាទី វិជ្ជម្គន p : i i
p
p
1 1
67

4 p 1 4 p 1 1
i i i 1i i
4 p 2 4 p 2
i i i
1 1 1
4 p 3 4 p 3
i i i 1 i i
ខ.
2
i 1 ំឲ្យ i i 1
1 n
n
1
បោយ
i i
n
i
បគបាន 1 i
i បគអាចសរបសរ 1
i
i
1
i i
n
i
n n n
, 1
1
i
បយើងបាន 4 p 4 p
1 i
1 ; n
4p
4 p
1
i i i
4p 1
i
i
4 p
1 4p1
1 1 ;
n4p
1
1
4p2 4p2
1 i
11
1 ;
n4p
2
4p
2
1
i i i
4p 3
i
4 p
3 4 p
1 3 1
; n4p
3
68

មកាៃ៊ិក
I.មមម ៀៃសមខេប
1.ប៉ា រ៉ា បូល
ក.សមីការសាង់ោននបា រា ូលដែលម្គនកំពូលជាគល់អ័កសកូអរបោបន
កំពូល កំណុំ ទ ត់ត្បា ់ទិស សមីការសាង់ោ ពណ៌
0,0 ,0
0,0
p x p
2
0, p y p
2
y
x
4px
4py
អ័កសឆល ុោះជាអ័កសអា ់សុីស
p 0បា រា ូលដ រភាព្តបៅរក
ទិស x 0
p 0 បា រា ូលដ រភាព្តបៅរក
ទិស x 0
អ័កសឆល ុោះជាអ័កសអរបោបន
p 0បា រា ូលដ រភាព្តបៅរក
ទិស y 0
p 0 បា រា ូលដ រភាព្តបៅរក
ទិស y 0
ខ.សមីការសាងោននបា រា ូលដែលម្គនកំពូលខុសពីគល់អ័កសកូអរបោបន
ទ កំពូល កំណុំ ត់ សមីការសាង់ោ
ត្បា ់ទិស
hk , h
p,
k x h p
hk , h,
k p
y k p
y k 2
4px h
x h 2
4p y k
ពណ៌
អ័កសឆល ុោះជាអ័កសបែក
p 0បា រា ូលដ រភាព្តបៅរក
ទិស x 0
p 0 បា រា ូលដ រភាព្តបៅរក
ទិស x 0
អ័កសឆល ុោះជាអ័កសឈរ
p 0បា រា ូលដ រភាព្តបៅរក
ទិស y 0
p 0 បា រា ូលដ រភាព្តបៅរក
ទិស x 0
69

2.មអលីប
ក.សមីការសាង់ោននបអលី ដែលម្គន្ចិតជាគល់អ័កសកូអរបោបន
្ចិត អ័កសធំ កំណុំ កំពូល សមីការសាង់ោ
0,0
បៅបលើអ័កស
អា ់សុីស
c,0
a,0
0,0 បៅបលើអ័កសអរបោបន 0, c
0, a
2 2
x y
1
2 2
a b
ab0
ដែល
2 2 2
c a b
2 2
x y
1
2 2
b a
ab0
ដែល
2 2 2
c a b
ខ.សមីការសាង់ោននបអលី ដែលម្គនកំពូលខុសពីគល់អ័កសកូអរបោបន
្ចិត អ័កសធំ កំណុំ កំពូល សមីការសាង់ោ
hk , ជាអ័កសបែក h
c,
k h
a,
k
hk , ជាអ័កសឈរ h,
k c
h,
k a
x h y k
2 2
1
2 2
a b
ab0
ដែល
2 2 2
c a b
x h y k
2 2
1
2 2
b a
ab0
ដែល
2 2 2
c a b
3.អុ ីស្ែបូល
ក.សមីការសាង់ោននអុីដព ូលដែលម្គន្ចិតជាគល់អ័កសកូអរបោបន
្ចិត អ័កសទទឹង កំណុំ កំពួល សមីការ
សាង់ោ
អាសុីមតូត
0,0 បៅបលើអ័កសអា ់
សុីស
c,0
និង
c,0
a,0
និង
a,0
x
a
y
b
2 2
1
2 2
2 2 2
c a b
b
y xនិង
a
b
y x
a
70

0,0
បៅបលើអ័កសអរ
បោបន
0,c និង
0, c
0, a និង
0, a
y
a
x
b
2 2
1
2 2
2 2 2
c a b
a
y xនិង
b
a
y x
b
ខ.សមីការសាង់ោននអុីដព ូលដែលម្គន្ចិតខុសពីគល់អ័កសកូអរបោបន
្ចិត អ័កសទទឹង កំណុំ កំពួល សមីការសាង់ោ អាសុីមតូត
hk ,
hk ,
ស្រស នឹង
អ័កសអា ់
សុីស
ស្រស នឹង
អ័កសអរ
បោបន
h c,
k
និង
h c,
k
h,
k c
និង
h,
k c
h a,
k
និង
h a,
k
h,
k a
និង
h,
k a
x h y k
a
2 2
1
2 2
b
2 2 2
c a b
y k x h
a
2 2
1
2 2
b
2 2 2
c a b
b
y k x h
a
និង
b
y k x h
a
a
y k x h
b
និង
a
y k x h
b
II.លំហាត់គំ ូ
កំណត់សម្គា ល់ : អាកសិកាត្តូវខំត្ ឹងបោោះស្រាយលំហាត់បោយខល ួនឯង ចំដណកចបមលើយសត្ម្គ ់ដតប្ទៀងផ្ទទ ត់ ។
1.រកសមីការសាង់ោនន
បា រា ូល ដែលម្គន
កំណុំ ត្តង់ចំណុ ច F 0, 1
និង ទ ត់ត្បា ់ ទិស y 1។
សង់ត្កា ។
ចបមលើយ
កំណុំ F សថិតបៅបលើអ័កសអរបោបន
ប ោះអ័កសឆល ុោះជាអ័កសអរបោបន។ បោយកំពូលសថិតបៅបលើអ័កសឆល ុោះនិងជាចំណុ ច
កណ្តា លរវាងកំណុំ និងចំនុចត្ សពវរវាង ទ ត់ត្បា ់ទិសនិងអ័កសឆល ុោះប ោះកំពូលម្គនកូអរបោបន (0,0) ។
2
បយើងបានកំពូលជាគល់ អ័កសកូអរបោបន ែូបចាោះបា រា ូល ម្គនសមីការ x 4py
,
71

F 0, p F 0, 1 p 1
បយើងបាន
x
2
4y
បា រា ូលកាត់តាមចំណុ ច 2, 1 ; 2, 1
។
2.បា រា ូលមួយម្គនកំពូលបៅត្តង់ចំណុ ច O 0,0
និងកំណុំ F សថិតបៅបលើអ័កសអា ់សុីស។
ចបមលើយ
ក.រកសមីការសាង់ោននបា រា ូលប ើវាកាត់តាមចំណុ ច A 8,8
។
ខ.រកតនមលនន x 1
ប ើចំណុ ច B x, 4
1
ក.បា រា ូលម្គនកំពូលO0,0
និងកំណុំ សថិតបៅបលើអ័កស
អា ់សុីសប ោះ អ័កសអា ់សុីស
ជាអ័កសឆល ុោះននបា រា ូល។
សមីការននបា រា ូលម្គន
រាង y
2 4px
, A8,8
បៅ
បលើបា រា ូលបយើងបាន
សថិតបៅបលើបា រា ូល។ សង់ត្កា ។
2
8 4 p8 p
2
ែូបចាោះ សមីការសាង់ោននបា រា ូលគឺ
y
2
8x
, F: p,0 2,0
ខ.រកតនមលនន x 1
B x 2
បៅបលើបា រា ូលដែលម្គនសមីការ 2
, 4 1
3.រកសមីការសាង់ោននបា រា ូលដែលម្គនកំពូល
ចបមលើយ
អ័កសឆល ុោះននបា រា ូល ជាអ័កសបែក
(កំពូលនិង កំណុំ ម្គនអរបោបនែូចគ្នា )
បយើងបត្ ើសមីការ : y k 2
4px h
កំពូល
V : h, k 2,1 h 2, k 1
y 8x 4 8x
ឬ x 1
2
1 1
2,1 និង កំណុំ ត្តង់ចំណុ ច
4,1 ។ សង់ត្កា ។
72

F : h p, k 4,1 h p 4 ឬ p 2 សមីការសាង់ោរននបា រា ូលបនោះគឺ
កំណុំ
2
y 1 8x
2
សមីការ ទ ត់ត្បា ់ទិស x h p 0
2
4.រកកូអរបោបនកំពូល កំណុំ និង សមីការ ទ ត់ត្បា ់ទិសននបា រា ូលដែលម្គនសមីការ x
1 4 y 3
សង់ត្កា ។
ចបមលើយ
សមីការបនោះម្គនរាង : x h 2
4p y k
ដែលម្គនកំណុំ ម្គនកូ អរបោបនh,
k p
កំពូលhk , និង ទ ត់ត្បា ់ទិសម្គនសមីការ y k p បោយបត្ ៀ បធៀ
2
x
1 4 y 3
និងសមីការខាង
បលើបយើងបាន h 1, k 3, p 1
កូអរបោបនកំពូលhk , 1,3
កូអរបោបនកំណុំ h, k p 1,4
សមីការ ទ ត់ត្បា ់ទិស
y k p 31
2
។
5. រកសមីការសាង់ោននបអលី ដែលម្គនកំណុំ មួយជាចំណុ ច1,0 និង ចំណុ ចកំពូលពីរម្គនកូអរបោបន2,0
និង 2,0
រួចសង់បអលី ប ោះ ។
ចបមលើយ
បោយកំពូលជាចំណុ ច2,0
និង2,0
ប ោះ្ចិតននបអលី គឺ
គល់អ័កសO0,0
បហើយ
អ័កសធំជាអ័កសអា ់សុីស។
73

a
c
,0 2,0 a
2
,0 1,0 c1
2 2 2
c a b ឬ
2 2 2
b a c
41
3
បអលី ម្គនសមីការ :
2 2
x y
4 3
1
2 2
6.បគឲ្យសមីការ 36x
4y
36
ក. ង្ហា ញថាសមីការបនោះជាសមីការបអលី ។ រកត្ ដវងអ័កសធំ,អ័កសតូច,កូអរបោបនននកំពូល
ទាំងពីរ និង កូអរបោបនននកំណុំ ទាំងពីរននបអលី ។
ខ. សង់បអលី ប ោះ។
ចបមលើយ
ក. បយើងដចកអងាទាំងពីរននសមីការបោយ36
បយើងបាន
2 2
36x
4y
36 36
1
ឬ
x y
1 3
2 2
1
2 2
វាម្គនរាង
x
b
y
, ab
0
a
2 2
2 2
1
ជាសមីការបអលី ដែលម្គន្ចិតជាគល់ អ័កសកូអរបោបន និងម្គនអ័កសធំបៅបលើអ័កស អរបោបន ។
តាមសមីការបនោះ បយើងទាញបាន
a 3 និង b 1 ត្ ដវងអ័កសធំ
2a 23 6 និង ត្ ដវងអ័កសតូច
2b 21 2 កំពូលទាំងពីរម្គន
កូអរបោបន
0,3 និង 0, 3
បយើងបាន
2 2 2 2 2
c a b
3 1 8
c 2 2, កំណុំ ទាំងពីរម្គនកូអរបោ
បន
0,2 2 និង 0, 2 2
2 2
ខ.សង់បអលី ដែលម្គនសមីការ 36x
4y
36
74

7. រកសមីការននបអលី ដែលម្គនកំពូលទាំងពីរជាចំណុ ច 3,2
និង 5,2
និង ម្គន
អ័កសតូចម្គនត្ ដវង 4 ឯកតា ។ សង់បអលី ។
ចបមល ើយ
កំពូលទាំងពីរសថិតបៅ
បលើអ័កសបែកប ោះបអលី
ម្គនសមីការសាង់ោ
x h y k
a
2 2
1
2 2
b
បោយ្ចិតននបអលី ជា
ចំណុ ចកណ្តា លននអងកត់
ភាជ ់កំពូលទាំងពីរប ោះបគបានកូអរបោបននន្ចិតបអលី :
5 3 2
2
h
, k
2 2
ឬ h1, k 2
ត្ ដវងអ័កសធំ
ត្ ដវងអ័កសតូច 2b 4 b
2
2 2 2
2a 5 3 2 2 8 8
x1 2 y2
2
ែូបចាោះ សមីការសាង់ោននបអលី គឺ 1
x1 y2
ឬ
4 2
2 2
2 2
16 4
1
2 2
8. បគម្គនសមីការ x 4y
16
ក. ង្ហា ញថាសមីការបនោះជាសមីការអុីដព ូល។
កំណត់កូអរបោបនកំពូល និង កូអរបោបនកំណុំ ។
ខ. រកអាសុីមតូត។
គ.សង់អុីដព ូល។
ចបមលើយ
2 2
ក.បគម្គន x 4y
16
បយើងដចកអងាទាំងពីរបោយ16
75

បយើងបាន
x 4y
16 16
2 2
1 ឬ
បយើងបាន a4, b
2
x y
4 2
2 2
1
2 2
កូអរបោបនកំពូលទាំងពីរគឺ
4,0
និង
4,0
2 2 2
c a b
16 4 20 បយើងបាន c 20 2 5
កូអរបោបនននកំណុំ ទាំងពីរគឺ
ខ.សមីការអាសុីមតូត
b
y x និង
a
ែូបចាោះ
គ.សង់អុីដព ូល
b
y x
a
1
y x និង
2
បែើមបីសង់អុីដព ូលបគ
បៅកំពូល និង គូសចតុ
បកាណដកងដែលម្គន
បណ្តា យ 8 ឯកតា
2 5,0 និង
2 5,0
1
y x
2
និងទទឹងត្ ដវង 4 ឯកតាបហើយ្ចិតបៅគល់អ័កសកូអរបោបន។ រួចបយើងគូសអាសុីមតូតបោយ
ល យអងកត់ត្ទូងននចតុបកាណដកងបនោះ។ រួចបយើងគូសអុីដព ូល ។
2 2
9.បគឲ្យសមីការ 16y
4x
36
ក. ង្ហា ញថាសមីការបនោះជាសមីការអុីដព ូល។
កំណត់កូអរបោបនននកំពូល និង កំណុំ រ ស់អុីដព ូល។
ខ.រកសមីការអាសុីមតូតននអុីដព ូល។
គ.សង់អុីដព ូលប ោះ។
ចបមល ើយ
2 2
ក. បយើងដចកអងាទាំងពីរននសមីការ16y
4x
36 បោយ36
76

បយើងបាន
2 2
16y
4x
36 36
1 ឬ
2 2
4y
x
9 9
1 ឬ
y
3
2
x
3
2 2
1
2 2
ែូបចាោះវាម្គនរាង
y
a
អរបោបន បយើងបាន
x
b
2 2
1
2 2
2
2 2 2 2
ដែលជាសមីការអុីដព ូលម្គនអ័កសទទឹងបៅបលើអ័កស
3
a , b 3 កូអរបោបនកំពូលទាំងពីរគឺ
2
3 9 45 9
c a b 3 9 5
2 4 4 4
3
c 5 កូអរបោបនននកំណុំ គឺ
2
ខ.សមីការអាសុីមតូត
3
a 2 1
y x x x ឬ
b 3 2
y
3
a 2 1
y x x x ឬ
b 3 2
គ.បែើមបីសង់អុីដព ូល
បយើងបៅកំពូលបហើយ
គូសចតុបកាណដកង
3 3
0, 5
2 និង
0, 5
2
1
2
x
1
y x
2
3 3
0,
2 និង
0,
2
ដែលម្គន បណ្តា យ 6 ឯកតា និង ទទឹង3ឯកតាបហើយម្គន ្ចិតបៅគល់អ័កសកូអរបោបន។គូសអងកត់ត្ទូង
និង ល យអងកត់ត្ទូងទាំងពីរបយើងបានអាសុីមតូតទាំងពីររ ស់អុីដព ូលប ោះ។
77

សមីកា ឌីមផ្ ៉ាខ់ស្សែល
I.មមម ៀៃសមខេប
1.សមីកា ឌីមផ្ ៉ាខ់ស្សែលលំដាប់ទី1
និយមន័យ : សមីការឌីប្រ ង់ដសយលលីបនដអ៊ែលំោ ់ទី 1 បមគុណបេរអូម ូដសន
(អងាទី 2 បសម ើសូនយ) ជាសមីការដែលម្គនរាងទូបៅ yay
0 ( a ជាចំនួនបេរ)។
ចបមលើយទូបៅននសមីការគឺ
y Ae
ax
ដែល A ជាចំនួនបេរណ្តមួយក៏បាន។
បែើមបីបោោះស្រាយសមីការឌីប្រ ង់ដសយលលីបនដអ៊ែលំោ ់ទី 1 បមគុណបេរ
, 0 បគត្តូវ :
មិនអូម ូដសន y ay px px
- រកអនុគមន៍ចបមលើយទូបៅននសមីការ yay
0 តាងបោយ y
c
- រកអនុគមន៍ចបមលើយពិបសសននសមីការ y ay px
តាងបោយ y p
- ចបមលើយទូបៅននសមីការ y ay px
វ ិធីបម្រមបរមួលថេរ : បែើមបីបោោះស្រាយសមីការ
ប ោះបគត្តូវ :
គឺអនុគមន៍ y ដែល : y yc yp។
y ay px
( E), p x 0
ax
- រកចបមលើយទូបៅននសមីការ yay
0 គឺ y Ae ( A ជាចំនួនបេរណ្តមួយក៏បាន)
- កា ុងចបមលើយ
y
y A x e
- ពី
ax
បែើមបីទាញរក
y A x e
ax
Ae ជ្ំនួសចំនួនបេរ A បោយអនុគមន៍ Ax
ទាញរក y រួចយក y និង y ជ្ំនួសកា ុងសមីការ
Ax
បគបាន :
ax
ax
ax
y
A xe aA xe
ax ax ax
E:
A xe aA xe aA xe px
ax
A xe
px
ax
A x
e px
ax
Ax
e pxdx c
, c ជាចំនួនបេរណ្តមួយក៏បាន
ax ax
ែូបចាោះ y e e pxdx c
ax ax ax
ចបមលើយទូបៅនន E គឺ y ce e e pxdx
ដែល
yc
ax
ce
ax
ax
និង
p
y e e p x dx ។
y ay px
78

2.សមីកា ឌីមផ្ ៉ាខ់ស្សែលលីមៃស្អ៊ែលំដាប់ទី 2
និយមន័យ : សមីការឌីប្រ ង់ដសយលលីបនដអ៊ែលំោ ់ទី 2 អូម ូដសន និងម្គនបមគុណបេរ
ជាសមីការដែលអាចសរបសជារាងទូបៅ ay
by
cy 0 ដែល abcជាចំនួនពិត
, ,
និង a 0 ។
ែំបណ្តោះស្រាយសមីការឌីប្រ ង់ដសយលលីបនដអ៊ែលំោ ់ទី 2 អូម ូដសននិងម្គនបមគុណបេរ
ជាទូថៅ:
-សមីការឌីប្រ ង់ដសយលលីបនដអ៊ែលំោ ទី 2 y
by
cy 0 អាចសរបសរ
ដែល និង ជាឬសននសមីការ
ជាសមីការ y y y y 0
2
សម្គា ល់ b c 0
។
2
-សមីការសម្គា ល់
b c 0 ននសមីការឌីប្រ ង់ដសយល y
by
cy 0
អាចម្គនឬស 2 ជាចំនួនពិតប្សងគ្នា ឬម្គនឬសឌុ ជាចំនួនពិត ឬ ម្គនឬស
2 ជាចំនួនកុំ្លិច។
2
ជាទូថៅ: -រកសមីការសម្គា ល់ b c 0 ននសមីការឌីប្រ ង់ដសយល y
by
cy 0
-ប ើសមីការសម្គា ល់ម្គនឬស 2 ជាចំនួនពិតប្សងគ្នា 1
និង
2
ប ោះ
x x
សមីការ y
by
cy 0 ម្គនចបមលើយទូបៅ y Ae Be
ជាចំនួនបេរណ្តមួយក៏បាន
x
y e , y e ជាចបមលើយបគ្នល។
- x
1 2
2
ជាទូថៅ: ប ើសមីការសម្គា ល់
b c 0 ននសមីការឌីប្រ ង់ដសយល
ដែល A និង B
y
by
cy 0 ម្គនឬសឌុ ជាចំនួនពិតគឺ 1 2
ប ោះបគបានចបមលើយ
x x
ទូបៅននសមីការឌីប្រ ង់ដសយលបនោះគឺ y Axe Be
ចំនួនបេរណ្តមួយក៏បាន។ y1
xe x
និង y2
e x
ដែល A និង B ជា
ជាចបមលើយបគ្នល។
2
ជាទូថៅ: ប ើសមីការសម្គា ល់
b c 0 ននសមីការឌីប្រ ង់ដសយល y
by
cy 0
ម្គនឬសកុំ្លិច 1 i
និង 2
i
ប ោះបគបានចបមលើយទូបៅនន
x
សមីការឌីប្រ ង់ដសយលបនោះគឺ y e C cos x Dsin
x
ដែលC និង
79

D ជាចំនួនបេរណ្តមួយក៏បាន។
រថបៀបថដាោះស្រាយសមីការឌីថេរ ៉ង់ម្សែលលីថនម្ ៊ែលំដាប់ទី 2 មិន ូម៉ ូម្សន
, px 0
y
by cy p x
- ដសវងរកចបមលើយពិបសសមិនអូម ូដសន តាងបោយ y
p ននសមីការ
ម្គនទត្មង់ែូចអងាទី 2
px
y
by
cy p x ដែល y
p
- រកចបមលើយទូបៅតាងបោយ y ននសមីការលីបនដអ៊ែលំោ
c
់ទី 2 អូម ូដសន y
by
cy 0
- បគបានចបមលើយទូបៅននសមីការលីបនដអ៊ែលំោ ់ទី 2 មិនអូម ូដសន ជា្ល ូកនន y
c
និង
y y y ។
c
p
y
p
គឺ
II.លំហាត់គំ ូ
កំណត់សម្គា ល់ : អាកសិកាត្តូវខំត្ ឹងបោោះស្រាយលំហាត់បោយខល ួនឯង ចំដណកចបមលើយសត្ម្គ ់ដតប្ទៀងផ្ទទ ត់ ។
1.បោោះស្រាយសមីការឌីប្រ ង់ដសយល y y
0
កា ុងលកខណឌ
2
y0
1; y0
1; y2 e
។
ចបមលើយ
ចបមលើយទូបៅនន y y 0 បយើងបាន dy y
dy dx ឬ dx
y
x
ែូបចាោះ ln y x c ឬ y Ae ( A ជាចំនួនបេរណ្តមួយ)
y
- កា
y
- កា
y
- កា
y
x
'
Ae ជាចបមលើយទូបៅននសមីការ
ុងលកខណឌ
0
y y
0
y 0 1 Ae 1 ឬ A 1
កា ុងលកខណឌ
y 0 1 Ae 1 ឬ A 1
x
e ជាចបមលើយពិបសសននសមីការ y y 0
ុងលកខណឌ
0
កា ុងលកខណឌ
y 2 e Ae e ឬ A 1
x
e ជាចបមលើយពិបសសននសមីការ y y 0
ុងលកខណឌ
2 2 2
កា
x
e ជាចបមលើយពិបសសននសមីការ y y 0
2.បោោះស្រាយសមីការ y 2y 0 កា
y
2
ុងលកខណឌ
2
y 0 1
y
y 0 1
2
e
ុងលកខណឌ
2
e
80

ចបមលើយទូបៅនន y 2y 0 បយើងបាន y dy
2y
ឬ 2y
dx
dy
2dx
y ឬ ln y 2x c
ែូបចាោះ
y
2x
Ae ( A ជាចំនួនបេរណ្តមួយក៏បាន) ជាចបមលើយទូបៅននសមីការ
y 2y 0។ កា
ែូបចាោះ
y
y
2
ុងលកខណឌ
2
e បយើងបាន Ae e A e
81
22 2 2
2 2x
2x
2
y e e e
ជាចបមលើយពិបសសននសមីការ y 2y0កា
2
2 e
។
3.បោោះស្រាយសមីការ y 2y 2x
3 E
ចបមលើយ
- បោោះស្រាយសមីការ y 2y 0 ឬ y 2y
dy
dy
2y
dx ំឲ្យ 2
y
ln y 2x c បយើងបាន
- រកចបមលើយពិបសសនន E
yp
yp
x
E 2 2 3
បគបាន
dx
a 2 ax b 2x
3
2ax a 2b 2x
3
2a2 a1
a 2b 3 b
1
y x
ែូបចាោះ 1
p
- ែូបចាោះ ចបមលើយទូបៅរ ស់ E គឺ
yc
2x
Ae
c
A
e
yp
ax b , yp
4.បោោះស្រាយសមីការឌីប្រ ង់ដសយល y
3y
4y
0
a
1
2x
y yc
yp
Ae x
E ។
រកចបមលើយពិបសសមួយននសមីការ E ប ើដខសបកាងអនុគមន៍ចបមលើយកាត់តាមចំនុច
0,1 បហើយ ទ ត់ ោះត្តង់ចំនុចបនោះម្គនបមគុណត្បា ់ទិសបសម ើនឹង 9 ។
ចបមលើយ
- បោោះស្រាយសមីការ :
E y
3y 4y
0
ុងលកខណឌ

2
សមីការ E
ម្គនសមីការសម្គា ល់ 3 4 0 ; 1 1, 2
4
x
4x
ែូបចាោះ ចបមលើយទូបៅរ ស់សសមីការ E គឺ y Ae Be
ជាចំនួនបេរណ្តមួយ។
x
4
- រកចបមលើយពិបសសដែលដខសបកាងតាង y Ae Be
0 0
1 Ae Be ឬ A B 1
បសម ើ 9 បយើងបាន
ជ្ំនួស 0
A និង B
x
កាត់តាមចំនុច x
0, y 1
បយើងបាន
បមគុណត្បា ់ទិសនន ទ ត់ ោះបៅដខសបកាងត្តង់ x0, y1
x
y Ae 4Be
4x
x បយើងបាន A 4B
9
AB1
A 4B
9
5B
10
ឬ 2
B និង A 1
x
4
ែូបចាោះ y e 2e
E កា ុងលកខណឌ ដខសបកាងកាត់តាមចំនុច
x0, y 1 និង បមគុណត្បា ់ទិសរ ស់ ទ ត់ ោះបៅដខសបកាងត្តង់ចំនុចបនោះបសម ើ 9 ។
x
ជាចបមលើយពិបសសននសមីការ
82

ប្រូបប
I.មមម ៀៃសមខេប
ត្ពឹតាិការណ៍ ្លគុណនន A និង B ជាត្ សពវននត្ពឹតាិការណ៍ A និងត្ពឹតាិការណ៍ B ។
ត្ពឹតាិការណ៍ ្ល ូកនន A និង B ជាត្ ជ្ុំននត្ពឹតាិការណ៍ A និងត្ពឹតាិការណ៍ B ។
ត្ពឹតាិការណ៍ B និងត្ពឹតាិការណ៍ D ជាត្ពឹតាិការណ៍ មិនចុោះសត្មុង កាលណ្តត្ពឹតាិការណ៍
្លគុណនន B និង D ជាត្ពឹតាិការណ៍ មិនអាចម្គន : B
D
ត្ពឹតាិការណ៍ 2 ជាត្ពឹតាិការណ៍ ្ទ ុយគ្នា ឬជាត្ពឹតាិការណ៍ ំបពញគ្នា កាលណ្តត្ពឹតាិការណ៍ ្លគុណននត្ពឹតាិការណ៍
ទាំង 2 ជាត្ពឹតាិការណ៍ មិនអាចម្គន និងត្ពឹតាិការណ៍ ្ល ូកននត្ពឹតាិការណ៍ ទាំង 2 ជាត្ពឹតាិការណ៍ ត្បាកែ :
A A ,
A A S
បគបានត្ពឹតាិការណ៍ 2 ្ទ ុយគ្នា ជាត្ពឹតាិការណ៍ មិនចុោះសត្មុង។
ត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ មួយ ជា្លបធៀ ននចំនួនករណី ស្រស
ចាំនួនករណី ស្រ
និងចំនួនករណី អាច P(A) = n(A)
ចាំនួនករណី អាច n(S)
ត្ ូបា ននលំហសំណ្តក S បសម ើនឹង 1: P(S) = 1
ត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ មិនអាចម្គនបសម ើបសម ើនឹង 0 : P(∅) = 0
ត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ មួយកា ុងលំហសំណ្តកជាចំនួនដែលបៅចប ល ោះ [0,1]
0 ≤ P(A) ≤ 1
ត្ ូបា ជាអនុវតាន៍ ដែលកំណត់ពីលំហសំណ្តក S បៅចប ល ោះ [0,1]
P ∶ S → [0,1]
ត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ ្លគុណ A និង B គឺ :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ប ើ A និង B មិនទាក់ទងគ្នា
P(A ∩ B) = P(A) × P(B ដែល A បកើតមុន) ប ើ A និង B ទាក់ទងគ្នា
ត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ ្ល ូក A និង B គឺ: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ប ើ A និង B ជាត្ពឹតាិការណ៍ មិនចុោះសត្មុង
ើ
ត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ ្ទ ុយ A គឺ: P(A̅) = 1 − P(A)
ប A និង B ជាត្ពឹតាិការណ៍ 2 កា ុងលំហសំណ្តកមួយដែល P(A) ≠ 0 ប ោះត្ ូបា ម្គនលកខណឌ នន
ត្ពឹតាិការណ៍ B បោយែឹងថា A គឺ: P(B|A) = P(A∩B)
P(A)
បគអាចគណ បានែូចគ្នា P(A|B) = P(A∩B)
P(B)
(P(B) ≠ 0)
តាមរូ មនាបនោះបគអាចទាញបានត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ ្លគុណ A និង B
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)
A និង B ជាត្ពឹតាិការណ៍ 2 ដែលម្គនត្ ូបា មិនសូនយ
បគថាត្ពឹតាិការណ៍ A និង ត្ពឹតាិការណ៍ B មិនអាស្រស័យគ្នា កាលណ្តត្ពឹតាិការណ៍ ទាំង 2 ប្ទៀងផ្ទទ ត់លកខណឌ ណ្ត
មួយកា ុងចំបណ្តមលកខណឌ ខាងបត្កាម :
83

1. P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ឬ
2. P(A|B) = P(A) ឬ
3. P(B|A) = P(B)
បគថាត្ពឹតាិការណ៍ A និងត្ពឹតាិការណ៍ B អាស្រស័យគ្នា កាលណ្ត
II.លំហាត់គំ ូ
P(A ∩ B) ≠ P(A) × P(B)
រូ មនាត្ ូបាសរុ : P(B) = P( B | Ai) P( Ai)
ត្ទឹសាី ទន បយស :
n
i1
P( A | B)
k
n
i1
P( B | A ) P( A )
k
P( B | A ) P( A )
កំណត់សម្គា ល់ : អាកសិកាត្តូវខំត្ ឹងបោោះស្រាយលំហាត់បោយខល ួនឯង ចំដណកចបមលើយសត្ម្គ ់ដតប្ទៀងផ្ទទ ត់ ។
i
k
i
1.កា ុងបសោងមួយម្គន លីពណ៌ ត្កហម 4
ីពណ៌ ល ប ម ចំនួន 3 និង លីពណ៌ សចំនួន 1 ។
បគចា ់យកមាង លីចំនួន 3 ។ បគសនា ិោា នថាត្ ូបា ដែលចា ់បានយក លីនីមួយៗជាសមត្ ូបា ។
គណ ត្ ូបា ននត្ពឹតាការណ៍ ខាងបត្កាម :
ក. ” យ ងតិចម្គន លីពីរពណ៌ ត្កហម ”
ខ. ” យ ងតិចម្គន លីពីរពណ៌ ែូចគ្នា ”
គ. ” ីទាំង ល ីម្គនពណ៌ ខុសៗគ្នា ”
ចបមលើយ :
បយើងម្គន លីសរុ ចំនួន 431
8
សំណុំ S ននដ្ាកដែលម្គនធាតុ ីរ ស់សំណុំ ីកា ល ុងបសោងម្គន
8!
8,3 87 56
3! 8 3 !
C
n S
ក.ត្ពឹតាការណ៍ A យ ងតិចម្គន លីពីរពណ៌ ត្កហមគឺជាត្ ជ្ុំននត្ពឹតាការណ៍
A : “ ម្គន
1
លីពីរពណ៌ ត្កហមនិងមួយបទៀតមិនត្កហម”
A : ”
2
ីទាំង ល ីពណ៌ ត្កហម ”
បោយ A1
A2
84

P A
C
C 4,2 C 4,1 C 4,3
; P
A
8,3 C 8,3
1 2
C
C 4,2 C 4,1 C 4,3
P A P A1 P A2
8,3 C 8,3
4! 4! 4!
2! 2! 3! 3! 324 4 28 1
56 56 56 56 56 2
ខ.ត្ពឹតាិការណ៍ B ” យ ងតិចម្គន លីពីរពណ៌ ែូចគ្នា ”
ត្ពឹតាិការណ៍ B អាចដចកជាពីរករណី
A : “
1
លីពីរពណ៌ ត្កហម និងមួយបទៀតមិនត្កហម ”
បយើងបាន P A
1
C
A : “ លីទាំង
2
ីពណ៌ ត្កហម ”
A : “
3
P A
2
C
C
4,3
8,3
4,2C4,1
C 8,3
ីពីរពណ៌ ល ប ម និងមួយបទៀតមិនប ម ”
P A
3
C
3,2 C5,1
C 8,3
A : “
4
ីទាំង ល ីប ម ”
P A
4
1
C 8,3
បោយ A1 , A2 , A3 , A មិនចុោះសត្មុងគ្នា ពីរៗបគបាន
4
P B
C
C 4,2 C 4,1 C 4,3 C 3,2 C
5,1 1 44 11
8,3 56 14
គ.ត្ពឹតាិការណ៍ C “ម្គន ីទាំង ល ីពណ៌ ខុសៗគ្នា”
ត្ពឹតាិការណ៍ បនោះ បយើងយក លីមួយកា ុងពណ៌ នីមួយៗគឺបយើងយក លីត្កហម 1
កា ុង 4 ជ្ំបរ ើស,
ីបល
ម 1 កា ុង 3 ជ្ំបរ ើស,
ល ីស 1 កា ុង 1ជ្ំបរ ើស
85

PC
431 12 3
C 8,3 56 14
2.កា ុងថាា ក់បរៀនមួយម្គនសិសស 30
ក់ដែលកា ុងប ោះ 14
ក់ជា រី។ កា ុងចំបណ្តម
សិសសទាំងប ោះ រី 8 ក់ និង ុរស 4 ក់ជាសិសសបៅកា ុងអបនាវាសិកោា ន។
សិសសែនទបទៀតបៅបត្ៅអបនាវាសិកោា ន។ បគបត្ជ្ើសបរ ើសសិសសម្គា ក់កា ុងថាា ក់បនោះ
បោយនចែនយ។ កំណត់ត្ពឹតាិការណ៍ ខាងបត្កាម :
A : “ សិសសដែលបត្ជ្ើសបរ ើសជាសិសសបៅកា ុងអបនាវាសិកោា ន ”
B : “ សិសសដែលបត្ជ្ើសបរ ើសជាសិសស ុរស ”
ក.-គណ ត្ ូបា ននត្ពឹតាការណ៍ A រួចរកត្ ូបា ននត្ពឹតាការណ៍ B
ខ.-គណ ត្ ូបា PB | A ម្គនន័យថាត្ ូបា ននការបត្ជ្ើសបរ ើសសិសស ុរស
បោយែឹងថាជាសិសសបៅកា ុងអបនាវាសិកោា ន។
-កំណត់ត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ A
B
ចបមលើយ
ក.បយើងអាចសបងខ សមមតិកមមខាងបលើកា ុងតារាងខាងបត្កាម
សិសស ចំនួន រី ចំនួន ុរស សរុ
កា ុងអបនាវាសិកោា ន 8 4 12
បត្ៅអបនាវាសិកោា ន 6 12 18
សរុ 14 16 30
12 2
P A
30 5
វិបាក
បោយម្គន រី 14 ែូបចាោះ សិសស ុរសម្គន 16
16 8
PB
30 15
ខ.-សិសស ុរសចំនួន 4
ក់បៅកា ុងអបនាវាសិកោា ន
4 1
PB | A
12 3
86

-កំណត់ត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ A
B
1 2 2
P A B PB | A P A
3 5 15
3.កា ុងដលបងប ៀរ 32 សនលឹកបគែកយកសនលឹកប ៀមួយសនលឹកបោយនចែនយ។
បគកំណត់ត្ពឹតាិការណ៍ :
A : “ សនលឹកប ៀរដែលែកយកបានជារូ ប ោះែូង ”
B : “ សនលឹកប ៀរដែលែកយកបានជាអាត់ ”
C : “ សនលឹកប ៀរដែលែកយកបានជាសនលឹកអាត់ និង ត្កហម ”
រកត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ A, B,
C ។
ចបមលើយ nS 32
រកត្ ូបា
រកត្ ូបា
រកត្ ូបា PC
C 8,1 8 1
P A
32 32 4
C 4,1
4 1
P B
32 32 8
សនលឹកប ៀត្កហមម្គន 16 សនលឹកែូបចាោះត្ ូបា បែើមបីបានសនលឹកប ៀត្កហមគឺ
1 1 1
PC
8 2 16
C 16,1 1
32 2
4.បៅកា ុងធុងមួយបគម្គន ូល ៊ែ 12 ដែលបគសរបសរបលខពី 1 ែល់ 12។ បគចា ់យក ូល ៊ែ 3
បចញពីធុងត្ពមគ្នា បោយនចែនយ។ រកត្ ូបា ននត្ពឹតាិការណ៍ ខាងបត្កាម :
A : “ បគចា ់បាន ូលទាំង ៊ែ ីម្គនបលខសុទធដតដចកោច់នឹង 3 ”
B : “ បគចា ់បាន ូលដតមួយគត់ម្គនបលខដចកោច់នឹង ៊ែ
3 ”
C : “ បគចា ់បាន ូលម្គនបលខតាមលំោ ៊ែ
់បកើនជាសវ ុីតនពវនាដែលម្គន្លសងរួម d 3 ”
D : “ បគចា ់បាន ូលម្គនបលខតាមលំោ ៊ែ
់ បងកើតបានសវ ុីតធរណី ម្គត្តម្គន្លបធៀ រួម
ចបមលើយ: បយើងបានសំណុំ បលខបលើ ូល ៊ែ
12! 12! 121110
S ម្គន nS
C 12,3
220
3! 12 3 ! 3!9! 6
1
q ”
2
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 សំណុំ ននដ្ាកដែលម្គន ី ៊ែ
ពហុគុណនន 3 គឺ 3,6,9,12 បែើមបីអាចបានត្ពឹតាិការណ៍ A បយើងយក ូល ៊ែ ីកា ុងចំបណ្តម ូល3,6,9,12 ៊ែ
ូល
87

ែូបចាោះ P A
រកត្ ូបា PB គឺបយើងយក ូលមួយកា ៊ែ
ចំបណ្តម 8 ប្សងបទៀត។
C 4,3 4 1
C 12,3 220 55
C C
PB
C
រកត្ ូបា PC
4,1 8,2 112 28
12,3 220 55
បគបរៀ ជាសវ ុីតដែលម្គន្លសងរួម d 3
1,4,7 , 2,5,8 , 3,6,9 , 4,7,10 , 5,8,11 , 6,9,12
ែូបចាោះ
6 3
220 110
PC
រកត្ ូបា PD
abc , , ជាចំនួនតាមលំោ ់ននសវ ុីតធរណី ម្គត្ត ដែលម្គន្លបធៀ រួម
1 1 1
បគបាន b a,c b a
2 2 4
abc , , ជាចំនួនគត់ធមមជាតិ ដែល a ត្តូវដតជាពហុគុណនន 4
ែូបចាោះ a
បយើងបានសវ
អាចយកតនមល 4,8 ឬ 12 ។
ុីត ីគឺ: 4,2,1 , 8,4,2 , 12,6,3
3
P D ។
220
វិបាក:
ុងចំបណ្តម ូលដែលម្គនបលខ3,6,9,12 ៊ែ
និងយកពីរបទៀតកា ុង
1
q ។
2
88

ផ្លគុណនៃែី វិុចទ័ កន ុខលំហ ៃ៊ិខ អៃុេតាៃ៍
I.មមម ៀៃសមខេប
ប ើ u⃗ = u 1 i + u 2 j + u 3 k⃗ និង v = v 1 i + v 2 j + v 3 k⃗ ជាវុិចទ័រកា ុងលំហ។ ្លគុណននវុិចទ័រ u⃗
និង v គឺជាវុិចទ័រកំណត់បោយ
u⃗ × v = (u 2 v 3 − u 3 v 2 ) i − (u 1 v 3 − u 3 v 1 ) j + (u 1 v 2 − u 2 v 1 ) k⃗ ។
ប ើ u⃗ , v និង w⃗⃗ ជាវុិចទ័របៅកា ុងលំហ និង c ជាចំនួនពិត ប ោះបគបាន :
ក. u⃗ × v = −(v × u⃗ ) ខ. u⃗ × (v + w⃗⃗ ) = (u⃗ × v) + (u⃗ × w⃗⃗ )
គ. c(u⃗ × v) = (c u⃗ ) × v = u⃗ × (c v) ឃ. u⃗ × 0⃗ = 0⃗ × u⃗ = 0⃗
ង. u⃗ × u⃗ = 0⃗ ច. u⃗ ∙ (v × w⃗⃗ ) = (u⃗ × v) ∙ w⃗⃗ ។
ប ើ u⃗ និង v ជាវុិចទ័រមិនសូនយបៅកា ុងលំហ និងតាង θ ជាមុំរវាង u⃗ និង v ប ោះបគបាន :
ក. u⃗ × v អរតូកូណ្តល់បៅនឹង u⃗ ្ង និង v ្ង។
ខ. |u⃗ × v| = |u⃗ | ∙ |v| ∙ sin θ
គ. ប ើ u⃗ × v = 0⃗ ប ោះ u⃗ និង v ជាវុិទ័រកូលីបនដអ៊ែនឹងគ្នា ។
.|u⃗ × v| =ន្ទត្កឡារ ស់ត្ បល ូត្កាមដែលសង់បលើវុិចទ័រ u⃗ និង v ។
ង. 1 |u⃗ × v| =ន្ទត្កឡារ ស់ត្តីបកាណដែលសង់បលើវុិចទ័រ u⃗ និង v ។
2
បគម្គនវុិចទ័រ u⃗ , v និង w⃗⃗ បៅកា ុងលំហ ។ ្លគុណចត្មុោះនន u⃗ , v និង w⃗⃗ តាមលំោ ់គឺជាចំនួនពិតដែល
កំណត់បោយ u⃗ ∙ (v × w⃗⃗ ) ។
ប ើបគម្គនវុិចទ័រ u⃗ = u 1 i + u 2 j + u 3 k⃗ , v = v 1 i + v 2 j + v 3 k⃗
u 2 u 3
និង w⃗⃗ = w 1 i + w 2 j + w 3 k⃗ ប ោះ u⃗ ∙ (v × w⃗⃗ ) = | v 1 v 2 v 3 |។
w 1 w 2 w 3
V ជាម្គឌរ ស់ត្ បលពីដ តដែលសង់បលើវុិចទ័រ u⃗ , v និង w⃗⃗ គឺ
V = |u⃗ ∙ (v × w⃗⃗ )| និង w ជាម្គឌរ ស់បតត្តាដអ៊ែតគឺ : w =
បានន័យថា យកម្គឌរ ស់ត្ បលពីដ តដចកនឹង 6 ។
u 1
|u⃗ ∙(v⃗ ×w⃗⃗ )|
សមីការបា រា ដមតនន ទ ត់ L កាត់តាមចំណុ ច P(x 0 , y 0 , z 0 ) បហើយស្រស នឹងវុិចទ័រ
v = (a, b, c) គឺ x = x 0 + at , y = y 0 + bt , z = z 0 + ct
x = x 0 + at
ឬ { y = y 0 + bt (t ∈ R)
z = z 0 + ct
សមីការឆល ុោះនន ទ ត់ L គឺ : x−x 0
= y−y 0
= z−z 0
។
a b c
សមីការសាង់ោនន លង់ដែលកាតតាមចំណុ ច P(x 0 , y 0 , z 0 ) និងម្គនវុិចទ័រណរម្គ ល់
n⃗ = (a, b, c) គឺ a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0 ។
សមីការទូបៅនន លង់គឺ : ax + by + cz + d = 0 (ដែល d = −(ax 0 + by 0 + cz 0 ) )។
6
89

មុំរវាង លង់ពីរគឺ : cos θ = |n⃗ 1.n⃗ 2 |
|n⃗ 1 ||n⃗ 2 | ដែល n⃗ 1 និង n⃗ 2 ជាវុិចទ័រណរម្គ ល់នន លង់ ។
ចម្គា យរវាងចំណុ ច Px , y , z និង , ,
1 1 1
Q x2 y2 z2
បៅកា ុងលំហគឺ
2 2 2
d x2 x1 y2 y1 z2 z1
។
សមីការសាង់ោននដស៊ែវ្ចិត C x , y , z កាំ r គឺ
សមីការទូបៅននដស៊ែវ :
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0
x x y y z z r
x y z 2x x 2y y 2z z k 0, k x y z r
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
ចម្គា យពីចំណុ ច Q បៅ លង់ ដែលចំណុ ច Q មិនបៅកា ុង លង់ កំណត់បោយ
D = |PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n⃗ |
ឬ D = |ax 0+by 0 +cz 0 +d|
|n⃗ |
√a 2 +b 2 +c 2 ដែល P ជាចំណុ ចបៅកា ុង លង់ និង n⃗ ជាវុិចទ័រ
ណរម្គ ល់នន លង់ ។
II.លំហាត់គំ ូ
ចម្គា យពីចំណុ ច Q បៅ ទ ត់ L កា ុងលំហកំណត់បោយ D = |PQ
វុិចទ័រត្បា ់ទិសនន ទ ត់ L និង P ជាចំណុ ចបៅបលើ ទ ត់ L ។
⃗⃗⃗⃗⃗ ×u⃗ |
ដែល u⃗ ជា
|u⃗ |
កំណត់សម្គា ល់ : អាកសិកាត្តូវខំត្ ឹងបោោះស្រាយលំហាត់បោយខល ួនឯង ចំដណកចបមលើយសត្ម្គ ់ដតប្ទៀងផ្ទទ ត់ ។
1.បគបអាយវុិចទ័រ u⃗ = −i + j + 2k⃗ ; v = 2i + 2j − 3k⃗ ។ រកវុិចទ័រ
ក. u⃗ × v ខ. v × u⃗ គ. u⃗ × u⃗
ចបមលើយ
i
ក. u⃗ × v = | −1
2
i
ខ.v × u⃗ = | 2
−1
i
គ. u⃗ × u⃗ = | −1
−1
j
1
2
k⃗
2
−3
| = | 1 2
2
| i − |−1 | j + |−1
2 −3 2 −3 2
1
2 | k ⃗
= (−3 − 4)i − (3 − 4)j + (−2 − 2)k⃗ = −7i + j − 4k⃗
j
2
1
k⃗
−3| = | 2 1
2
−3
2 | i − | 2 −1
−3
2 | j + | 2 −1
= (4 + 3)i − (4 − 3)j + (2 + 2)k⃗ = 7i − j + 4k⃗
j
1
1
k⃗
2| = | 1 1
2
2
| i − |−1
2 −1
2
| j + |−1
2 −1
= (2 − 2)i − (−2 + 2)j + (−1 + 1)k⃗ = 0⃗
2.រកវុិចទ័រឯកតាដែលអរតូកូណ្តល់បៅនឹងវុិចទ័រ u⃗ = i − j + 2k⃗
ចបមលើយ : ្លគុណវុិចទ័រ u⃗ × v អរតូកូណ្តល់បៅនឹងវុិចទ័រ u⃗ និង v គឺ
1
1 | k ⃗
2
1 | k ⃗
, v = 2i + j − k⃗
90

i
u⃗ × u⃗ = | 1
2
j
−1
1
k⃗
2 | = (1 − 2)i − (−1 − 4)j + (1 + 2)k⃗ = −i + 5j + 3k⃗
−1
បោយ |u⃗ × v| = √(−1) 2 + 5 2 + 3 2 = √1 + 25 + 9 = √35
ប ោះបយើងបានវុិចទ័រឯកតាដែលអរតូកូណ្តល់បៅនឹងវុិចទ័រ u⃗ និង v គឺ
u⃗ ×v⃗
|u⃗ ×v⃗ | = − 1
√35 i + 5
√35 j + 3
√35 k ⃗
u⃗ ×v⃗
វុិចទ័របនោះជាវុិចទ័រឯកតាពីបត្ ោះ | | |u⃗ ×v⃗ | = √ 1 + 25
35
35 + 9
35 = 1
3.បគម្គនចំណុ ច A(−1,2,3) ; B(1, −6, −1) ; C(2,2,2) បៅកា ុងលំហត្ ោ ់បោយ
តត្មុយយអរតូណរម្គ ល់(0, i, j, k⃗ ) ។ គណ ្លគុណវុិចទ័រ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ × AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ។
ចបមលើយ
បយើងបាន AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2i − 8j − 4k⃗
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3i − k⃗
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ × AC
i
⃗⃗⃗⃗⃗ = | 2
3
j
−8
0
k⃗
−4
−1
| = 8i − (−2 + 12)j + 24k⃗ = 8i − 10j + 24k⃗
4.បៅកា ុងលំហត្ ោ ់បោយតំរុយអរតូណរម្គ ល់ (0, i, j, k⃗ ) បគម្គនចំណុ ច
A(1,3,4) ; B(2,5,6) ; C(3,4,3) ; D(2,2,1) ។
ង្ហា ញថាចតុបកាណ ABCD ជាត្ បល ូ ត្កាម រួចរកន្ទត្កឡាននត្ បល ូ ត្កាមបនោះ ។
ចបមលើយ : ត្ជ្ុងឈមននចតុបកាណបនោះម្គនវុិចទ័រ ⃗⃗⃗⃗⃗ AB និង DC ⃗⃗⃗⃗⃗
A(1,3,4) ; B(2,5,6) វុិចទ័រ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = i + 2j + 2k⃗
C(3,4,3) ; D(2,2,1) វុិចទ័រ DC ⃗⃗⃗⃗⃗ = i + 2j + 2k⃗
បយើងបាន ⃗⃗⃗⃗⃗ AB = DC ⃗⃗⃗⃗⃗
ែូបចាោះ ចតុបកាណ ABCD ជាត្ បល ូត្កាមដែលម្គន ⃗⃗⃗⃗⃗ AB និង AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ត្ជ្ុងជា ់ ។
A(1,3,4) ; D(2,2,1) វុិចទ័រ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = i − j − 3k⃗
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ × AD
i
⃗⃗⃗⃗⃗ = | 1
1
j
2
−1
k⃗
2 | = (−6 + 2)i − (−3 − 2)j + (−1 − 2)k⃗
−3
91

= −4i + 5j − 3k⃗
បយើងបានត្កឡាន្ទត្ បល ូត្កាមគឺ
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗ AD| = √(−4) 2 + 5 2 + (−3) 2
= √16 + 25 + 9 = √50 = 5√2 ឯកតាន្ទត្កឡា
5.គណ ម្គឌត្ បលពីដ តដែលម្គនវុិចទ័រ u⃗ , v⃗ និង w⃗ ជាវិម្គត្ត :
u⃗ = i + 3j + k⃗ , v = 5j + 5k⃗ , w⃗⃗ = 4i + 4k⃗
ចបមលើយ : បយើងែឹងថាម្គឌរ ស់ត្ បលពីដ ត V = |u⃗ ∙ (v × w⃗⃗ )|
1
u⃗ ∙ (v × w⃗⃗ ) = | 0
4
3
5
0
ែូបចាោះ V = 60 ឯកតាម្គឌ
1
5| = 1 | 5 5
0 4 | − 3 |0 5
4 4 | + 1 |0 5
4 0 |
4
= 1(20) − 3(−20) + 1(−20) = 20 + 60 − 20 = 60
6.រកសមីការបា រា ដមតនន ទ ត់ កាត់តាមចំណុ ច A(0,0,0) បហើយស្រស នឹងវុិចទ័រ
u⃗ = i + 2j + 3k⃗ រួចរកសមីការឆល ុោះនន ទ ត់បនោះ ។
ចបមលើយ : បយើងបាន x 0 = 0 ; y 0 = 0 ; z 0 = 0
u⃗ = i + 2j + 3k⃗ = (1,2,3) = (a, b, c) ឬ a = 1 ; b = 2 ; c = 3
ែូបចាោះ សមីការបា រា ដមតនន ទ ត់បនោះគឺ
x x0
at 0 t t
y y0
bt 0 2t 2t
z z0
ct 0 3t 3t
x y z
សមីការឆល ុោះនន ទ ត់បនោះគឺ ។ 1 2 3
x
t
ឬ y
2t
, t
z
3t
7.រកសមីការ លង់ដែលកាត់តាមចំណុ ចខាងបត្កាម :
A (1,2,3) ; B (3,2,1) និង C( 1, 2,2)
ចបមលើយ: បែើមបីរកសមីការ លង់បគត្តូវរកវុិចទ័រណរម្គ ល់ n⃗ = (a, b, c) ។
វុិចទ័រណរម្គ ល់ n⃗ = (a, b, c) ជា្លគុណនន វុិចទ័រ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ និង AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ដែល :
A (1,2,3) ; B (3,2,1) បយើងបាន ⃗⃗⃗⃗⃗ AB = (3 − 1,2 − 2,1 − 3) = (2,0, −2)
92

A (1,2,3) ; C( 1, 2,2)
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ × AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = |
i
2
−2
j
0
−4
k⃗
−2
−1
បយើងបាន AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1 − 1, −2 − 2,2 − 3) = (−2, −4, −1)
| = −8i − (−2 − 4)j + (−8)k⃗ = −8i + 6j − 8k⃗
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ × AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 0⃗ ម្គន លង់ដតមួយគត់កាត់តាមចំណុ ច A , B , C ដែលវុិចទ័រណរម្គ ល់
n⃗ = (−8,6, −8) ។
ែូបចាោះ សមីការ លង់កាត់តាមចំណុ ច A(1,2,3)
គឺ a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0
−8(x − 1) + 6(y − 2) − 8(z − 3) = 0
ឬ −8x + 8 + 6y − 12 − 8z + 24 = 0
ឬ −8x + 6y − 8z + 20 = 0 .
93