Optimiranje i planiranje pokusa - FSB

Optimiranje i planiranje pokusa 2012. 

Analiza varijance 

Analiza varijance 

• Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak 

predstavlja osnovni skup (populaciju) 

• U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance 

predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja 

nekog faktora na mjerenu vrijednost – rezultat 

• Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih 

sredina uzoraka 

Zagreb, rujan 2009. 

H. Cajner 

29.3.2012. 

1

Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora 

Redni 

uzorci 

broj 

mjerenja 

1 2 3 � j � k 

1 x 11 x 21 

� x k1 

2 x 11 

� � 

3 � � � 

� � � � 

i 

� 

n j 

� � � � x ij 

n j 

� x j� 

n j 

� x1� 

n j 

� x2� 

� � n j 

� x j� 

n j 

� xk 

� 

i�1 

i�1 

i�1 

i�1 

i�1 

x j 1 x x 2 

� � x j x k 


f ( F) 


Model: 

x � � ��x � � 

x 

ij j ij 

ij 

� 

�x 

� vrijednost i-tog mjerenja u 

j-tom stupcu 

� aritmetička sredina svih 

podataka 

j 

� doprinos ar. sredine j-tog 

uzorka 

�ij 

� slučajno odstupanje unutar 

uzorka 

Pretpostavka: 

2 

�E( ) 0; ( � ) � ij 

� �N� � � 

ij ij 

• Za provjeru gornje hipoteze H 0 nužno je odrediti dvije 

nezavisne varijance kako bi se formirao F test: 

1� � 

kb; kn 

F0 

� 

F 


H. Cajner 

• Model se može shvatiti i kao: xij � xj��ij 

�i �1, 

2, �, 

nj� 

� 

j 1, 2, , k 

� 

� � � � 

• Hipoteza: 

H0 : �x. 1 ��x. 2 ��x. k �0 

H : bar jedan �x �0 

1 

. j 

2 

s1 

F � � varijabla F-razdiobe s 

2 

s2 

kb = n1 –1s.s. i kn = n2 –1s.s. 

2 2 

( s � s ) 

1 2 

Odluka: 

ako F rač. > F 0 , odbaciti H 0, uz pogrešku 

prve vrste čija je vjerojatnost � 


H. Cajner 

29.3.2012. 

2

Postupak: 

N �n �n � �n � �n � 

1 2 � j � k ukupni broj podataka 

k n j 

2 

k n j 

��( 

xij 

� �) 

�� 2 2 j�1 i�1 

j�1 i�1 i, j 

0 � s � 

� 

N �1 

2 

( N �1) �s � ( x 

2 

��) � ( x �x �x 2 

��) � 


Konačno: 


� � 

ij ij j j 

i, j i, j 

� � � 

� x �x � x �� x �x � x �� 

( ij 

2 

j ) ( j 

2 

) 2 ( ij j ) ( j ) 

i, j i, j i, j 

� � � 

( x ��) � ( x �x ) � ( x ��) 

2 2 2 

ij ij j j 


SKO � SKO � SKO 

UKUPNO unutar između 

uzoraka uzoraka 

s s s 

2 2 2 

UKUPNO unutar između 

uzoraka uzoraka 

ANOVA tablica 

izvor varijacije 

Između uzoraka 

(faktor) 

Unutar uzoraka 

(ostatak) 

suma 

kvadrata 

odstupanja 

stupnjevi 

slobode 

srednji 

kvadrat 

odstupanja Frač. 

SKOizmeđu k‐1 s 2 između s 2 između/ s 2 ostatak 

SKOostatak N‐k s 2 ostatak – 

UKUPNO: SKOukupno N‐1 – – 

s 

F s 

2 

između 

uzoraka 

2 

unutar 

uzoraka 

= 0 


H. Cajner 

� � varijabla F-razdiobe s 

kb = k – 1 s.s. i 

kn = N – k s.s. 


H. Cajner 

29.3.2012. 

3

Primjer 1: 

• Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi, u % 

mjerenja 

5 

udio tvrdog drva, % 

10 15 20 

1 7 12 14 19 

2 8 17 18 25 

3 15 13 19 22 

4 11 18 17 23 

5 9 19 16 18 

6 10 15 18 20 

Suma po uzorcima 60 94 102 127 

Ar. sredina uzorka 10 15.67 17.00 21.7 

• Tablica analize varijance 


faktor: 

udio tvrdog drva 

slučajno odst. u 

uzorcima (ostatak) 

suma 

kvadrata 

odstupanja 


stupnjevi 

slobode 

srednji 

kvadrat 

odstupanja Frač. F0(�=0.01) 

382.79 3 127.60 19.61 4.94 

130.17 20 6.51 – – 

UKUPNO: 512.96 23 – – – 

Primjer 2: 

(Tippett, 1934.) 

PROBLEM 

UTJECAJNI 

FAKTORI 

UTJECAJNI 

FAKTORI 

OZNAKE SAST. 

DIJELOVA 


ukupna suma: 383 

ukupna ar. sredina: 15.96 

f ( F) 

1� � 

kb = 3; kn = 20 

F0 = 4.94 

� � 0.01 

F rač. > F 0 � odbaciti H 0 

uz vj. pogreške 1. vrste 

� = 0.01 

Loša kvaliteta pamučne niti (tekstilna 

ind.) 

5 vretena, svako sastavljeno od 4 

osnovna sastavna dijela (međusobno 

izmjenjivi) 

Kvadrat s 4 abecede (5x5) 

Dio VRETENO 

1 2 3 4 5 

I A B C D E 

II � � � � � 

III a b c d e 

IV 1 2 3 4 5 

F 


H. Cajner 


H. Cajner 

29.3.2012. 

4

MODEL: KVADRAT s 4 abecede 

Ponavljanj 

e pokusa 


VRETENO 

1 2 3 4 5 

1 E�d2 C�b1 A�e4 D�c5 B�a3 

2 C�c3 A�a2 D�d1 B�b4 E�e5 

3 A�b5 D�e3 B�c2 E�a1 C�d4 

4 D�a4 B�d5 E�b3 C�e2 A�c1 

5 B�e1 E�c4 C�a5 A�d3 D�b2 

ZAKLJUČAK: 

-mjereno: kvaliteta niti – dobra /loša 

- navjerojatniji uzrok loše kvalitete : dio B, vreteno 2 

Model analize varijance s dva promjenjiva faktora 


x � � ��x ��x � � 

• Model: ij j i ij 

xij 

� Vrijednost u i-tom retku i 

� 

j-tom stupcu 

� aritmetička sredina svih 

�x 

j 

�xi 

podataka 

� doprinos ar. sredine j-tog 

stupca 

� doprinos ar. sredine i-tog 

retka 

�ij 

� slučajno odstupanje (ostatak) 

Pretpostavka: 

�ij �N 2 

E( �ij) �0; 

�( 

� ) 

� � ij 

• Formiraju se dva F-testa: 

F-test (po redovima) 

1 

F-test (po stupcima) 

1 

. j 


H. Cajner 

H0 : �x. 1 ��x. i ��x. l �0 

H : bar jedan 

�x �0 

. i 

H0 : �x. 1 ��x. j ��x. k �0 

H : bar jedan �x �0 


H. Cajner 

29.3.2012. 

5

• dekompozicija sume kvadrata odstupanja: 

� � � 

2 2 2 

ij j i ostatka 



( x ��) � ( x ��) � ( x ��) � SKO 

SKO � SKO � SKO � SKO 

UKUPNO stupci 

redovi ostatka 

s s s 

s 

2 2 2 2 

UKUPNO stupci 

redovi 

ostatka 

ANOVA tablica 


suma 

kvadrata 

odstupanja 

stupnjevi 

slobode 

srednji 

kvadrat 

odstupanja Frač. 

Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s 2 redovi s 2 redovi/ s 2 ostatak 

Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s 2 stupci s 2 stupci/ s 2 ostatak 

Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s 2 ostatak – 

UKUPNO: SKOukupno N‐1 – – 



H. Cajner 

PRIMJER (1 prom. faktor): Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod. Prilikom kontrole 

mjerena je karakteristična dimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu 

automata. Potrebno je provjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične 

dimenzije) značajno razlikuje od serije do serije (među poduzećima). 

Red.br. UZORCI (poduzeće) 

1 2 3 4 

1. 160 158 146 151 

2. 161 164 155 152 

3. 165 164 160 153 

4. 168 170 162 167 

5. 170 175 164 160 

6. 172 166 168 

7. 180 174 

8. 182 

Descriptive Statistics (Spreadsheet1) 

Level of N Var2 Var2 Var2 Var2 Var2 

Effect Factor Mean Std.Dev. Std.Err -95,00% +95,00% 

Total 

26 164,1154 8,76049 1,718073 160,5769 167,6538 

Poduzece 1 7 168,0000 6,90411 2,609506 161,6148 174,3852 

Poduzece 2 5 166,2000 6,49615 2,905168 158,1340 174,2660 

Poduzece 3 8 163,6250 11,0316 3,900263154,4023 172,8477 

Poduzece 4 6 158,5000 7,66159 3,127832 150,4597 166,5403 

Effect 

Poduzece 

Error 

Total 

Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1) 

Sigma-restricted parameterization 

Effective hypothesis decomposition 

Degr. of Var2 Var2 Var2 Var2 

Freedom SS MS F p 

3 318,5 106,2 1,460 0,252855 

22 1600,2 72,7 

25 1918,7 


H. Cajner 

29.3.2012. 

6

PRIMJER (2 prom. faktora): Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na 

svakom od tri postojeća uređaja za točkasto zavarivanje. Rezultati ispitivanja prijelomne 

sile tih zavarenih spojeva zapisani su u tablici. Da li je svejedno u pogledu zavarenog 

spoja koji radnik zavaruje i na kojem uređaju? 

[N] Radnik 

Uređaj R1 R2 R3 R4 

S1 973 976 967 969 

S2 965 966 972 960 

S3 971 972 969 964 



Effect 

Radnik 

Uređaj 

Error 

Total 

Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1) 

Sigma-restricted parameterization 

Effective hypothesis decomposition 

Degr. of Prijelomna sila Prijelomna sila Prijelomna sila 

Freedom SS 

MS 

F 

3 8227 2,1 

Prijelomna sila 

p 

0,199535 

2 61 31 2,40,174578 6 7813 11 221 

Descriptive Statistics (Spreadsheet1) 

Level of N Prijelomna sila Prijelomna sila Prijelomna sila Prijelomna sila Prijelomna sila 

Effect Factor 

Mean Std.Dev. Std.Err -95,00% +95,00% 

Total 

12 968,6667 4,478907 1,292949 965,8209 971,5124 

Radnik R1 3 969,6667 4,163332 2,40370 959,3244 980,0090 

Radnik R2 3 971,3333 5,033223 2,905933 958,830 983,8366 

Radnik R3 3 969,3333 2,51661 1,452966 963,0817 975,5849 

Radnik R4 3 964,3333 4,509250 2,603417 953,1317 975,5349 

Uređaj S1 4 971,2500 4,031129 2,015564 964,8356 977,6644 

Uređaj S2 4 965,7500 4,924429 2,462214 957,914 973,5859 

Uređaj S3 4 969,0000 3,559026 1,779513 963,3368 974,6632 

• Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijance 

• 1 promjenjivi faktor 

• 2 promjenjiva faktora 

� � 

��xij � 

2 ij 

SKOukupno 

� x 

� � 

� ij 

� 

ii , N 

2 

2 

� � � � 

��x x 

ij � ��ij � 

i 

ij 

SKOizmeđu 

_ uzoraka � 

� � � � 

� � 

j njN SKO � SKO � SKO 

ostatak ukupno između _ uzoraka 

• indeksi u tablici podataka 

i 

j 

2 

� � 

��xij � 

2 ij 

SKOukupno 

� x 

� � 

� ij � 

i, 

i N 

� � 

2 ��xij � 

1 � � ij 

SKOizmeđu_stupaca� x 

� � 

�� ij 

n 

� � � 

j j � i � N 

2 

� � 

2 ��xij � 

1 � � ij 

SKOizmeđu_redova� x 

� � 

�� ij� 

� 

nii � j � N 

SKO �SKO �SKO 

ostatak ukupno između_uzoraka 2 


H. Cajner 

2 


H. Cajner 

29.3.2012. 

7

Optimiranje i planiranje pokusa - FSB

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?