VENE BOGOSLAVOV - ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE ZA I RAZRED SREDNJE ŠKOLE - 605 DINARA

M r V E N E T. B O G O S L A V O V

ZBIRKA

REŠENIH ZADATAKA

IZ MATEMATIKE

1

DVADESETOSMO IZDANJE

ZAVOD ZA UDŽBEMKE

I NASTAVNA SREDSTVA • BEOGRAD

1001

R ecen ten !

SvMozar Brankovlć, profesor

Pete beogradske gimnazije, Beograd

U rednik

Žarko Jovi í

d a v n i i odgovor«/ urednik

dr Petar Pİjanovti

Z a izdavača

prof, dr Dob ros av Bjclctić. direktor

ISBN 86-17-09031-6

5 ljubavlju unuku

Jovanu

PREDGOVOR OSAMNAESTOM IZDANJU

Prvo izdanje ove zbirke izašlo je iz štampe septembra 1970. godine. Napisano

je prema nastavnom programu matematike za I razred gimnazije (deo koji se

odnosi na algebru).

Trinaesto i četrnaesto izdanje je izmenjeno i dopunjeno poglavljima:

O skupovima, Matematička logika i Kombinatorika.

U petnaesto izdanje su uneti određeni sadržaji iz geometrije.

Ovo, osamnaesto izdanje prilagođeno je novom nastavnom planu i programu

iz matematike prirodno-matematičkog smera gimnazije.

Dopunjeno je sa 128 novih zadataka, pa se znatno razlikuje od prethodnih

izdanja.

Recenzentu ovog izdanja. Svetozaru Brankoviću, profesoru ..Pete beogradske

gimnazije u Beogradu, zahvaljujem na pažljivom čitanju rukopisa i pomoći u

izboru zadataka iz skupova i kombinatorike.

Po težini se zadaci u ovoj zbirci mogu podeliti na dve grupe: lakši i srednji

(80%) i teži (20%). Teži zadaci su označeni zvezdicom.

Zahvaljujem svojoj supruzi Nadeždi, koja mi je pomogla u pripremi i sređivanju

rukopisa.

Beograd, septembra 1992. godine

AUTOR

PREDGOVOR XXIII DOPUNJENOM IZDANJU

Ovo, dvadeset i treće izdanje dopunjeno je sa 293 nova zadatka. U svako

poglavlje dodat je izvestan broj novih zadataka. Znatne promene izvršene su u

poglavljima: Realni brojevi, Podudarnost i sličnost geometrijskih jigura. Sa ovim

dopunama, autor se nada da će se k\'alitet knjige znatno poboljšati.

25. avgust 1995. godine AUTOR

PREDGOVOR XXVI DOPUNJENOM IZDANJU

Ovo, dvadeset i šesto izdanje dopunjeno je sa 409 novih zadataka. Svako

poglavlje dopunjeno je novim zadacima.

Izvestan broj novih zadataka se prvi put javljaju u matematičkoj literaturi.

Oni su rezultat četrdesetogodišnje nastavne prakse autora. Sa ovim dopunama,

autor se nada. daje kvalilet zbirke znatno poboljšan. Da lije autor u pravu, sudce

dati budući korisnici zbirke.

7. juni 1999. godine AUTO R

4

PREGLED SIMBOLA I OZNAKE

skup

N

skup svih prirodnih brojeva

Z

skup svih celih brojeva

Q

skup svih racionalnih brojeva

R

skup svih realnih brojeva

e

pripada

<£ ne pripada

V

univerzalni kvantifikator

Vx)

znači: za svako x

3 kvantifikator egzistencije

3.v)

znači: postoji bar jedno x

=P implikacija (logički simbol)

A => B

znači: iz A sledi B\ A *= B znači: iz B sledi A

■» ekvivalencija (logički simbol)

A o B

znači: A =*■ B i B => A

A

konjunkcija (logički simbol)

ARB

znači: A i B

V

disjunkcija (logički simbol)

AV B

znači: A ili B

negacija

C

inkluzija

'U

unija skupova

n

presek skupova

0 prazan skup

x E [o, b ] ili a < h 1 H cta

0 0 teta

i

jota

_ J ._J

K K kapa

X

A .........

lambda

p M mi

Mala Velika Na/ıv

V

•V

■

£ i kül

o

(»mikron

°

n n pi

p 1* m

a i sigma

T T tau

V y ipsilon

<p «D fi

X X hi

V V psi

O J Q nrncga

O v a j iz v a n r e d n o rani p rim

e r k in e sk u Š ta m p e b io ]e

k o r iS ć e n z a u sta n o v lje n je

P ita g o r m e te o r e m e . K in e

s k a tr a d ie ija d o v o d i j e u

v e z u s a vnateinatićareiT i

Ć u P e i, k o ji j e v e r o v a tn o

P ita g o r in s a v r e m e n ik .

3 ' + 4 1 - .5 2

( 9 + 10 = 25)

5 3 + I 2 2 = 13'

( 2 5 + 144 = 1 6 9 )

E g ip a ts k i g e o m e tr i p o z n a

v a li s u bar j e d a n p rim e r

P ita g o r in o g p r a v ila - d a j e

k v a d r a t n a jd u ž e str a n e ( h i-

p o t e n u z e ) p r a v o u g in g tro -

u g la je d n a k zb iru k v a d r a ta

d r u g ih d v e ju stra n a (k m e

ta): p r im e r tr o u g la č ije tri

str a n e m e r e 5 , 4 i 3 je d i

m c e .V a v ilo n s fc i m a te m a

tič a ri p o z n a v a li s u ta k v ih

15 P ita g o r in ih trija d a b r o

j e v a .

7

ZADACI

I

GLAVA

1. LOGIKA I SKUPOVI

1.1. Osnovne logičke operacije

Primedbc:

1°. Simboli: -4, 0, 2, 5, VŠ, n , <?,... nazivaju se konstante.

2°. Simboli: a, b, c, jc, y, z, a, /?, y, A, B, C,... koji služe kao zajedničke

oznake za više objekata nekog skupa (skupova), nazivaju se promenijive.

3°. Znaci: +, . , : , —, U, D , koriste se za označavanje operacija i

nazivaju se operacijski znaci.

4°. Znaci: =, <, >, <, =, _L, ||,... koriste se za označavanje relacija i

nazivaju se relacijski znaci.

5°. Znaci: A, V, =>, o su znaci osnovnih logičkih operacija.

6°. Konstante i promenijive povezane znacima operacija nazivaju se

izrazi. Primeri: 2x,5m+ 3,y—7,a+ &b, itd.

7°. Rečenica zapisana .matematičkim simbolima naziva se formula.

8°. Rečenica .koja ima samo jednu istinitosnu vrednost T ( tačno) ili i

(netačno), naziva se iskaz.

9°. Iskazne konstante i. i T, iskazna slova a, b, s, r, P, Q,... i svi složeni

iskazi nastali pomoću znakova logičkih operacija v, a ->,=», o nazivaju se

iskazne formule.

Iskazna formula koja je tačna za sve vrednosti iskaznih slova naziva se

tautologija.

10°. Oznaka za reči: “svaki”, “ma koji”, “bilo koji” naziva se univerzalni

kvantifikator u oznaci V (obrnuto slovo A).

Oznaka za reči postoji: “najmanje jedan”, “makar jedan”, "neki”, “bar

jedan” naziva se egzistencijalni kvantifikator u oznaci 3 (obrnuto

slovo E).

9

1. Koje su od sledećih rečenica iskazi:

a) 1+ 1= 2: bi broj 16 je neparan broj; c) paran broj se može napisati

u obliku 2 n, gde je ti prirodan broj: d) rešenje jednaćine 3 v = 18 je

prirodan broj; e) (a — b)2 > 0, za svako racionalno a i 6; f) ah > 0 ako

su a i b istog znaka; g) a2 > 0 ako je a negativan broj; h) —cc < 0

ako je a negativan broj?

2. Koji od znakova < ,> , = , < > možemo staviti unieslo zvezdice {*)

da bi se dobio taćan iskaz:

a) 4* 4; b) 3*5; c) 6*5?

3. Dat je polinom p( a ) = x2 — 6 x + 8 < 0. Odrediti istinitost iskaza:

pO): p(2); p(3); p(4); p(5).

4. Odrediti sve parove (a, y) za koje je formula 2 a + y = 10 istinit iskaz

( a, y G Ñ ).

5. Dat je skup A = {I, 2, 3,‘4, 5b Odrediti vrednost istinitosti sledećih

tvrđenja: a) (3 aG /1)(a + 3= 10); b) (V aG A)(x + 3 < 10);

c) (V x G A){x 4- 1> a ); d) (3 .vG >i)(.v + 3 < 5);

e) {3 .tG /1)(.y2 = .v).

6. Odredili istinitosnu vrednost iskaza:

a) (1 < 2) A (2 < 5); b) ( 1< 3) A ( - 3 < - 2);

c) —>{1<2)A( zr <9).

7. Date su formule:

a) 5a—4 = 11 (aG Af); b')jt|6(,vE Z); c).v< 7A aGAí;

d) a> 3 A a < 5 A .vG e) (x < l V x > 5) A a G Z. Rešiti date formule.

odnosno naći sve vrednosti odgovarajućih promenljivih za

koje je istinitosna vrednost formule tačna.

8. Resiti date formule:

a) aG {1,2,3}; b) a{9 A a)6 aG 2; c) aj + x < 40 AaG A';

e) a<3v (a>5A a <8).

9. Popuniti tabelu:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 V 10 i

r(.v> 7V jt< 4)

r(.t< S)

1

■ ~ 1

1

T ( J r < T I

1

i

I ( J C ; * = x - x )

10

10. Dati su iskazi

1 l/l l\ 37

qsr-Anr-T

IO

3 ’

U 3/4 5 '* 2 3 4 5 5

Odrediti njihovu tačnosi, pa na osnovu toga odrediti istinitosnu

vrednost iskaza:

a) (pA r/)v (r As)\ b) {p V q) V ( pA *);

c)((/>V/•)A i)A(.vAr); d)((rVj]A(/iV.r))A i/;

e)(r/A(r A(*A p)))V((pA c/)V(i/A ,r)).

11. Odrediti istinitosnu vrednost iskaza:

a) (Ta((xaT) a (Ta T)))A.J_;

b) (((J. A _L) V (T a x)) v ((i v x) a (i v T)) a (T V1).

12. Odrediti istinitosne vrednositi iskaza:

13.

14.

P = 3 + 2*

3

2 -3 *

4

29

= — za * = 0.5;

24

g = 3(5-y)-2(jr- 1)= 1+ 3 v, za y=2.

pa zatim odrediti istinitosne vrednosli sledećih iskaza:

a)(pV q)A p; b){pAq)V q.

Dati su iskazi:

p = (o3 —2ax + 6a —DO.Sti1*^ Q,5a*x —a*xz +3o

a, x £ O,

q = ( a ‘ + I0o + 2 5 )( a — 5) = a' - 125.a £ Q,

r = ( 2 * — 3_v)(3*+ 3>’)-(4 j:- 5 y ) 3 -{6 * : + 17>‘3) =

= 40*y, *. v £ Q.

Odrediti njihove istinitosne vrednosti, pa na osnovu toga odrediti istinitosne

vrednosti sledećih iskaza:

a) p^{qVr)\ b) (p V q)A(r => q)\ c}((/=• r)V p,

Na osnovu istini tosnih vrednosti datih iskaza:

p = 23-4: = 27; <?= (8: - 4'):(16-64) = 23:

r = {273-64)2:(216*-36) = 6;

s=2y+ i3 = 53; r s 3 ’ + 3J| = 37.

Odrediti istinitosnu vrednost sledećih iskaza:

a) ((pV q)*> (sA /)}«. r;b)jt(p=> q)*> s )** ((.vA OV p).

c)((q<» s)*> p)<»(s^ f); d) ((-rA n o (p v </))«* ('*» (i«/ *» r

t t

15. Dati su iskazi:

a) a = ((4.v4 v 3 ) 3:(2.v2;y)s = 2.v2/ , .v,y £ 0 ;

b) 6 = ((3.v4>,2) 3:(3.v6jy)2 = 3a t 4, x,.yG 0 );

c) c = ((4y2 + 2.x1 - 3a3,)(4.\t —2.y2 + 5y: ) =

= xyJ + \Axiy — 10.t2>'2 + 4jc‘1+ 20y4, .v, yG 0);

d) d = {\0x:y2(0,016 + 0,4 j 2)-2 .ry 2 -6,4.xy)2 =

= 16.10'2, x,yG 0.

Odrediti njihove istinitosne vrednosti, pa na osnovu toga odrediti istinitosne

vrednosti sledećih iskaza:

a) (a => _’c ) o c) V

b) b) => (->co d)) A (a => ->6);

c) ((6*» -,c) => - ,(->oA d))V (-'d■» c).

16. Ispitati da li je iskazna formula

A = ((/?V q)A z ) o ((pA z)V (qA z)) tautologija?

17. Dokazati da je logička formula

/J = -'(ii => 6) «> (aA ~>6) tautologija.

18. Sastaviti istinitosne tablice za sledeće iskaze:

a) (p V g) V q\ b) (pV i/)V /•; c)pA(qAr)\

d) pV {q A r); e )p A (^ V r); 0 (/) A i/)Vr.

19. Odrediti istinitosne vrednosti iskaza:

a)(/iV ->^)=>r; b) (p V -> 9) => ( -> q V r);

c) (p V q)<> {q => - r ) ; d) (p «■ r) o q\

e) (p 0 q ) o ( “*p); f) ( "■P ** “■C P)) v (/> =*■"V7):

g) (pV -> r)o (p=> {q A r)); h) (( ~'p A => r ) *» (p V i-);

i) (p A -> r) o (p=> (q A r).

20. Dokazati da su istiniti iskazi za sve vrednosti p i q koje pripadaju

skupu ¡ T , l } : a ) ( p * ^ ) « - '( p A “' i ) (Ovaj iskaz može se uzeti

za definiciju implikacije.); b)»((p o q) A (q => p)) o ( ( p o #). (Ovaj

iskaz se može uzeti za definiciju ekvivalencije.) Svaka iskazna formula

tačna za sve istinitosne vrednosti iskazanih slova koja figurišu

u njoj naziva se tautologija.

21. Dokazati da su sledeće iskazne formule tautologije:

a) (pV q) V r o pV (q V r) i (p A q)A r<* p A (q A r)

(zakon asocijacije za V i A );

b) -> (p A q) o -> p V -**q i “• (p V q) o —-< p=> p (zakon dvojne negacije);

e ) (pV p ) o p (zakon idenpotencije disjunkcije);

12

0 (p A p) o p (zakon idenpotencije konjunkcije);

g) /JA (i/V r)» (p A ^ )V (/;A r) (zakon distributivnosti A prema A);

h) pV (qhr)o(pV cj)A(pV r) (zakon distributivnosti V prema A);

k) ((p =* 7) => (9 =» r)) =» /?=*>/• (zakon tranzitivnosti implikacije);

l) pV(pAq)<» p (zakon apsorpcije - gutanja - V prema A );

h) ((p o q) o (q o r J) o (p <» r ).

1.2. Osnovne skupovne operacije

1°. Skup je osnovni pojam u matematici. Usvaja se bez definicije u

logičkom smislu te reci. Često se umesto skup kaže: množina, mnoštvo,

kolekcija.

2°. Relacija članstva. Neka jeS dati skup. a p jedan objekat iz kolekcije

S, tj. p je član skupa5 piše se simbolički pE S. Negacijom, relacija pE S

postaje p £ S, što znači p nije element S, Znak E potiče od ¡talijanskog

matematičara G. Peano (1850—1932), te se relacija članstva često naziva

Peanova relacija.

3°. Podskup skupa (Relacija "biti deo od”). Ako su A i ¿dva skupa, pa je

svaki element skupa A istovremeno i element skupa B. onda se kaže daje A

deo od B ili podskup od B ili “parče” od B i piše se A C B ili B 2 A.

Simbilički

AQBo{y\xE A*> xEB).

Ova relacija se često naziva Kantorova relacija po velikom nemaćkom

matematičaru G. Cantoru (1845-1918).

4°. Presek skupova. Presek (zajednički deo) datih skupova jc skup

sastavljen od onih i samo onih elemenata koji pripadaju svim dalim

skupovima. Simbolički za dva skupa:

jt/

/iDfio{j(JjcE AAxEB\.

5°. Unija skupova. Pod unijom (združivanjem, spojem ili zbirom)

skupova podrazumevamo skup koji je sastavljen od onih i samo onih

elemenata koji pripadaju bar jednom od zadanih skupova. Simbolički za

dva skupa:

I

A\JB<»{^xEAM xEB\.

6°. Razlika dva skupa. Razlika dva skupa A i B u oznaci A \B je skup.

čiji su elementi, samo oni elementi skupa A. koji ne pripadaju skupu B. Ova

13

definicija simbolički:

A\Bt=>C- \a|a e A a a € 6 j C cA ,

7°. Simetrična razlika. Neka su A i £ dva neprazna skupa, z.A\B'\B\A

njihove razlike. Unija skupova A \B i B \ A naziva se simetrična razlika.

Simbolički:

ikl

AAB<*(A\B)U(B\A).

8°. Komplement skupa. Neka je A bilo koji podskup skupa E. Razlika

skupa E i ma kog njegovog podskupa A naziva se komplement skupa A i

označava se sa A\ kraće

ds/

A'o {a |a E E\A\.

14

Tvrđenje da a £ A' znači da x(fc A.

9°, Partitivni skup. Ako je A proizvoljan neprazan skup a P(A) skup

svih njegovih podskupova, onda se P(A) naziva partitivni skup skupa A.

Simbolički:

/,(A)o{x|jf £/»}.

Podskupovi skupa A su i 0 i skup A.

10°. Jednakost skupova. Ako je A C B i B C A, onda se kaže da su

skupovi A i B jednaki (identični, poklapaju se). Simbolički:

¡kf

A = Bo AQBaBCA.

11°. Uređene dvojke. Neka su A i B dva neprazna skupa a E A i b E B

dati elementi. Kažemo da je (a.bi) uređena dvojka (uređen par), ako je

element “a” proglašen prvim, a element “b” drugim u tom paru. U

uređenom paru (a, b) element a nazivamo prva komponenta, a b druga

komponenta. Dva uredjena para su jednaka ako je tačna ekvivalencija:

(x,y) = (a, b) o x — a A y — b.

12°. Dekartov proizvod (Kartezija). Dekartov proizvod nepraznih

skupova A i B u oznaci A xB je skup uređenih parova (x,y) pri čemu je

jcE A i y G B. Kraće:

¡kf

v4x5<»{(;c,)>)|*E A A y G B }.

Dekartov proizvod nepraznog skupa A sa samim sobom naziva se kvadrat

skupa A u oznaci A 2 = A x A.

R. Dekart (1596-1650) veliki francuski matematičar i filozof, osnivač

analitičke geometrije.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

Dati su skup S = {0,1,2,31 i relacija xG S; odrediti x

Dat je skup S = {(A, 8),±,( l,5),(/n,/,l/ ,W/ )}; odredi card 5.

Ako je Q skup velikih slova latinice, a R skup velikih slova ćirilice

(štampanih), odrediti presek QC\R.

Dat je skup P = {0,1,2,...., 9}. a) Odrediti skupove A i B tako da su

njihovi elementi ujedno i elementi skupa P i da je A = {jrj.t > 3[. a

B = {jr|jr < 8}; b) odredili skupove: A O B i B\A.

Dati su skupovi A = U |.v je ceo broj } i B = {.v| x > 0}. Odrediti

ADB.

Odrediti koja su od navedenih tvrđenja taćna a koja netaćna:

a ) 0 = {0| ; b ) 0 G 0 ; c) O G 0, d) 0 = 0 .

Dati su skupovi A = {.v| .v se sadrži u 12}, B = {x| x se sadrži u 20},

C = {.r | a- se sadrži u 32 }. Odrediti skupove: a) .4\(# UC),

bM U (Z inC ); c)C U U n Z f); d )M n f i) \C ; e}/f\(fl\C >.

Dat je skup P = {.r|,v = 2m + 3 A ,v = 5 m—3}. a) Odrediti realan parametar

m tako da skup P ne bude prazan, pa za tako navedenu vrednost

parametra m odrediti elemente skupa P\ b) za koje će vrednosti

parametra m skup P biti prazan?

Dati su skupovi: A = {a,b,c,d); B = {a,bA)\ C = {2.4,c|;

D = {a,b,3}; E = {1,6}. Odrediti a, b, c i d znajući da je: B C A.

C C A,D C A,£ C B.

Dat je skup S = {0,1,2.....9}. Odrediti skupove

A = {.r).t G S A -j“

~ G S} i B = {v|yG S a | ~ —>’| g S}, zatim

32.

33.

34.

odrediti skupove: AUB,AnB,A\B,B \ A i P(A\B),

Dat je skup S = {0.1.2,...,12}. Odrediti skupove

A = {jc|.vG 5 a |- ^ ] G S } i B= {>-|veSA

\2 3

zatim odrediti i skupove: AUB, AC\ B, A\B. B\A i P{ A \ B).

Ako je PUQ - {a,b,c,d,e,f,g,h}, PC\Q =

PU {c,d,f) = {a,c,d,f,g,h\, QU{a,f,h\ = \a,b,c,d,e. f ,h),

odrediti skupove P i Q.

Ako je AUB = {1,2,3,...,8}, AHB = {3,6.8}.

AU {1,6,8} = {1,2.3.....8}, BU {3,4,6} = {1.3,4,6,7,8}.

odrediti skupove A i B.

15

35. Dati su skupovi A = {2,5,4}, B = {1,2,4,5}. Odrediti koje od relacija

su tačne: A C B, A = fi, A D B, A * B, A G B, B E A.

36. Dati su skupovi A = {a,b,c,d}, B = {a,b,c,e}, C = \b,c,cl,e,f\. Dokazati

tačnost tvrđenja

a) ( /tu 8 ) n C = (,4nC )u(flr> C );

b ) (^ U 5 )n C = (/in C )U (5 n C );

c) ,4 U (5 n c ) = (/iu s ) n ( /iu c ) .

37. Dati su skupovi A = {l,3,4,6,7,8},B = {1,2,3,5,8,9}. Odrediti A/S.B.

38. Odrediti elemente skupova A,B, C, ako je A US UC = {1,2,3,4,5,6},

(/in C )U (5 n C ) = 0 , A\B = {1,3,5}, C\B = {2,4} i

(A D B )\C = {6}.

39. Dat je skup S = {a,b,c,d,ej\g,h,i\ i njegovi podskupovi:

A = {a,c,e,f,h}- B = \a,b,c,f,i}, C = {b,d,e,b\.

1° Odrediti skupove:

a) 4 U5; b j/lO S ; c)£U C ; d )5 n C ; e )^ U C ;

fM n C ; g)/JU (SU C ); h )/lU (S riC ); i) Af\{Bf\C).

2°. Odrediti i skupove: a) A; b)S; c)C; d)C v(/iU S);

e)Cs(AUC)-, f)C v(SUC); g)C xM n fi); h J C ^ n C ) ;

i) Cs (zlU(SUC)); j ) 0 ^ /1 0 ( 5 0 0 ) ; k)C s (,4U (SnC )).

3°. Pokazati da je _ _ _ _

{AC\Br\C)\J{Ar\BC\C)\J(AC\B r\C)KJ(AC\B nC) = A.

40. Neka su A i B dva podskupa skupa S. Tada je:

(1) (AUB)' = A'f\B‘.

(2) (AC\B)' = A'UB'.

41. Dati su skupovi A = je delilac broja 12};

B = {jc|;cje delilac broja 18}; C = '{'â:je delilac broja 30}.

Izračunati: a) /l\(5 U C ) i pokazati da važi

z l \ ( 5 U C ) = ( ^ \ f i ) \ C = ( z ( \ C ) \ 5 = ( ^ \ 5 ) n < ^ \ C ) ;

b ) (y in B )\C = (i4 \C )n {5\C );

c ) (/lU 5 )\C = (.4\C )U (5\C ).

Relacije ib) i c) objasniti Ojler-Venovim dijagramom.

42. Dati su skupovi A = {1,2,3,6}, B = {3,6}, C = {1,3,5}. Proveriti

tačnost jednakosti j4 \(5 \C ) = (/l\£ )U (/in C ).

43. Koristeći definicije operacija sa skupovima dokazati skupovnu jednakost

/l\( 5 \C ) = (^ \S )U (/in C ). (A,B,C su neprazni skupovi).

44. Odrediti partitivni skup skupa S = {0, {0}}.

16

45. Dati su skupovi: A = {*[| <x<5},B= {„t|l <.v<8},C = {1,3.4,8}.

Dokazati daje:

a) AA(BAC) = (AAB)AC;

b) Dokazati da jednakost pod a) važi za ma koje neprazne skupove.

46. Dati su skupovi:

A = {d,i,o,p,/-,.«?}; B - {e,i,l,m,o,p,s,z} i C = {e,i,j,o,p,s,t,v}.

Proveriti:

card( A U BU C) = cardA + cardB + cardC —card{AC\B) —

-card{ AC\B) —card( B f! C ) + card{ AC\BC\C)

{cardA znači kardinalan broj skupa .4).

47. U jednoj školi 330 učenika uči francuski, 470 učenika ući engleski,

420 učenika uči ruski, 140 učenika uči francuski i engleski, 180 francuski

i ruski, 250 engleski i ruski, a 120 učenika engleski, francuski i

ruski. Koliko je učenika u toj školi?

48. Dat je skup S = {1,2,5,8,9,11,15} i njegovi podskupovi

A= {2,8,9,15}, 5 = {1,2,1 1,15}, iC = {8,11,15}. Odrediti skup

M = ((/in 5 )n C )U « 5 ,\i?)U (5\(5U C))}.

49. Ako su A i B neprazni skupovi pomoću tablice pripadnosti uveriti se

da su tačna tvrđenja

a) ( / i u s ) n ( Z u f i ) = (^ n a )U M n ž F );

b) {A\JB)C\(AVB) = B.

50. Data su tri podskupa abecede:

A = {a,b,c,d,e\\ B = {b,d,f,g,m,n\ i C = {a,c,d,/,r,s\.

a) Dokazati da važi antidistributivnost

1° ^ \(5 U C ) = (/t\5 )fl(^ \C );

2° /J\(5 U C ) = (/l\5 )U (/i\C );

b) Dokaz izvedi i pomoću Ojler-Venovog dijagrama.

51. Neka su A i B dva neprazna skupa. Dokazati da za njih važi zakon

apsorpcije ,4U (.4U 5)= A i = A.

\

52. * Dat je skup S = {1,2,3,4,5,6} i njegovi podskupovi:

A = {2,4,5}, B = {1,4,5,6}, D = {2,4,5,6}.

Odrediti komplementarne.skupove

A = C,yi( A), B = Cx (B), D —Cs(D).

Zatim izračunati:

_

a- = (Û5)U(/1U5JU(4UD),

y = (AnB)U{AnB)V{AnD),

z = (AUD)n(AUD)n(Al>B).

17

53. Odrediti elemente skupa A = \a,b,c,đ} ako je

{a.6,7} D {6,c} = {¿,—5}; [a,b, 13} n \b,c) = {¿,-5};

ja,6,13} C A; {b,c,d} C A; {b,c,d} U {a,3} = {a,c,d,3}.

54. Neka su A,B,C podskupovi skupa S = {a<b,c,d,e} takvi daje:

AC\B = {b,d]\ AUB = {b,c,d,e}\ ADC = {¿,c};

AUC = {a,b,c,d}.

a) Odrediti A,B i C;

b) Odrediti simetrične diferencije AAB, BAC i CAA.

55. Dati su neprazni skupovi A,B,C. Pomoću Ojler-Venovih dijagrama

dokazati daje A\(B\C) * (A\B)\C tj. da ovaj zakon nije asocijativan.

56. Dati su skupovi: A = {jcJjc se sadrži u 12}, B = {;c|.y se sadrži u 20},

C = {.tjjt se sadrži u 32}. Odrediti skupove;

a) A \(£U C ); b ) 4 U 5 n C ; c)C U (^ H fi);

d) (5 \C )fM ; e )(4 D £ )\C ; f)^ \(B \C ).

57. Dat je skup uređenih parova: S = {(a,b),(c,a),(c,b),(d,b),(c,e)}.

Odrediti skup T simetričnih uređenih parova skupa S.

58. Dati su skupovi A = {a,6.c} i B = {a,/3,y}. Neki učenik je napisao

AxB = {(a,a),(a,/J),(y,c),(6,a),(/ii,6),(6,y),(c,cO,(c,/i),(c,y)}.

Da li je ovo ispravno?

59. Dati su skupovi: A = {a,b,c},B = C = {1,2}.

Odrediti skupove:

a)AXB\ b)(AxB)xC', c) Ax(BxC).

60. Dati su skupovi: 5 = {a,b,c,d,f}, A = {a,c,d,f}, B ~ {c,d,e,f}.

a) Odrediti sve podskupove skupa B\

b) Napisati sve elemente skupa P(A)',

c) Odrediti P ( ^ ) P lP ( 5 ) ;

d) Odrediti P{CS A)dP{CsB).

61. Dat je skup£ = {1, 2, 3,4, 5}. Odrediti skupove X i Y tako da bude:

X C E /\ {1,2,3} PUT = {2,3};

Y C E A Y \ {2,4} = {3,5} A Y H {1,2,4} = {2}, pa odrediti X \ Y.

62. Dati su skupovi A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {4, 5, 6, 7}. Odrediti skup X

tako da bude X \B = 0 i A \X = {!', 2, 3} .

63. Odrediti skupove A i B, čiji su elementi, ćeli brojevi i zadovoljavaju

relacije: a) AUB = {x| 1 < * < 7 } ; A'P\B = {*| 1 < *< 4},

6 i A i5(£B\A; b) zi U 5 = {;t| 1 < *<5},

AHB= {x{,2<x<6}, 10A \B i 2&B\A.

18

64. Dati su skupoviP = {1, 2, 3, 4, 5} i Q = {1,2,3,7}. Odrediti skupove:

a) P A Q\ b) Q A P\ c) (P A Q) A g; d) (P A g ) A (P U g).

65. Dati su univerzalan skupp = {a,b,c,d,e,/,g} i njegovi podskupovi

A = {b,d,e,g} iB = {a,c,/}. Odrediti njihove komplemente A'iB'.

66. Neka ie N (skup prirodnih brojeva) univerzalan skup, a skup

P = {^x= 2k,k E N} jedan njegov podskup. Odrediti komplement

P’ skupa P u odnosu na skup N.

67. Dati su skupovi: A = {n\n E N ,n< 10},

B = {«|»E N ,2 < n < 7} i C = {2,3,6}. Odrediti skupove X i Y tako

da važe relacije:

a) X C A iC U X = B\b)Y C A i BC\Y = C.

68. Ako su elementi skupa A prosti činioci broja 546, a elementi skupa B

prosti činioci broja 330, ispitati istinitost relacija:

a) [A\B)\J(Ar)B) = A; b) (AAB)D(A C\B) = 0 ;

c)(AAB)\{A\B)\J(ADB) = B.

69. U jednom odeljenju od 30 učenika odgovaralo je: 19 učenika matematiku,

17 učenika fiziku, 11 učenika istoriju, 12 učenika matematiku

i fiziku, 7 učenika istoriju i matematiku, 5 učenika fiziku i istoriju

i 2 učenika sva tri predmeta; a) koliko učenika je odgovaralo istoriju,

ali ne i matematiku; b) koliko učenika je odgovaralo dva predmeta

od tri moguća; c) koliko učenika je odgovaralo samo jedan

predmet?

70. Ako su A, B i C neprazni skupovi, dokazati da važi:

a ){A\B)(\B = &

b) AC\(AUB) = A;

c) (A U B )n c = ( A n c ) u ( B n c )

(distributivni zakon U prema D);

d) (ADB)UC = (AUC){1(BUC)

'(distributivni zakon fl prema U);

e) (AUB)\JC = (AU(BUC)) (asocijativni zakon unije);

f) "C \(A nB ) = (C \/i)U (C \B ) (De Morganov obrazac);

g) C \( / in 5 ) = (C \/l)U (C \5 ) (De Morganov obrazac);

h) AX{BnC) = (AxB)F\(AxC);

i) AX(BUC) = (AXB)U(AXC);

j) (AUB)xC = (AxC)U(BxC);

k) (AUB)xC = (AxC)U(BxC).

71. Na jednom kursu stranih jezika svaki sluŠalac uči bar jedan od tri

strana jezika (engleski, francuski i nemački), i to: 18 sluSalaca uči

francuski, 22 sluSaoca uči engleski, 15 sluSalaca uči nemački.

19

6 slušalaca uči engleski i francuski, 11 slušalaca engleski i nemački,

1 slušalac uči sva tri jezika. Koliko ima slušalaca na lom kursu i koliko

njih uči samo dva jezika?

72. Odrediti skup S tako da budu tačne (istovremeno) sledeće formule:

S n {1,3,6,9} = {3,6},

SU {2,3,9,11} = {2,3.5,6,9,11},

S C {3,5,6,7,9,11}

{6,11} CS.

Zatim odrediti x tako da bude S \ {1,2,6,11} = {*,3}.

73. Dati su skupovi A = {a,b,c} i B = {*,0}. Odrediti skup AxB.

74. Dati su skupovi A — {0,1,2} i B = {a, b,c\. Odrediti skupove A X B,

Bx A i nacrtati njihove grafove.

75. Dat je skup A = {a,b,c}. Odrediti skup A2.

76. Dat je skup A = {1,2,3.4,5}. Sastaviti sve:

a) uređene dvojke (x, y) elemenata x,yE A takve da je x < y.

b) uređene trojke (x, y, z) elemenata x, y,zE A takve da je x < y < z.

77. Dat je skup

Odrediti skupove A i B.

78. Dati su skupovi A = {a,b,c} i B = {b,c,cf}. Odrediti skupove:

a) (AxA)n(BxB); b) ( Ax A)D(AXB);

c ) (BXB)D{AXB).

79. Dat je skupS = {0,1,2,..., 12}. Odrediti elemente skupova:

û (snc),s\(zinc), F(c\(ziuB ))isx/i.

80. Dat je skup S = {0,2,4,6,8,10,12}. Odrediti elemente skupova:

(A\C)n{B\C),P((B\C)UA)iAxC.

20

1.3. Relacije i funkcije

Definicija 1. Relacija je bilo koji podskup Dekanovog proizvoda

proizvoljnih nepraznih skupova A i B. A kojepC (A x B) i( x. v i€ p. onda

kažemo da je x u relaciji sa v, i zapisujemo x p y.

Definicija 2. Binama relacija p skupa A je svaki dogovor, pravilo,

propis kojim se svakom paru {.c, v) elemenata (članova) skupa A dodcljuje

T ili 1.

Definicija 3. Neka je zadan neprazan skup A. Preslikavanje /.A 2-* A

naziva se binama operacija.

Definicija 4. Neka su A i B neprazni skupovi. Funkcija (preslikavanje)

skupa A u skup B je svaki podskup / skupa A x B koji ima ova dva svojstva-

1°. Skup svih prvih komponenata skupa / jednak je skupu A.

2°. ( x ^ y ^ E f A (* ,,j/2) E / => y, = V,.

Skup A naziva se domen (oblast definisanosti funkcije), a skup B kodomen

ili antidomen.

81. Dat je skup A = {1.2,3,4,5,6} i u njemu je definisana relacija

p:V(jr,j>)E A:x p v # p = .v+l.

Odrediti elemente relacije p i prikazati

je grafički u skupu A2.

82. Dat je šematski prikaz (graf) jedne

relacije p u skupu A = (1.2,3.4'} na

slici 1. Odrediti sve članove relacije

p, pa je napisati kao skup. si. l

83. U skupu M = <0,1,2,..., F0} odrediti relaciju p definisanu na sledeći

način:

V(x, >»)E M:x pj><»jc + jy=10.

84. U skupu A = {—2.—1,0,1,2,3} defmisane su sledeće relacije.

drf

tkf

85.

a) x p y<> x < y ; b).t p _y-» x = 2y ;

ikf ^ def

c) x p y o X1 = yz\ d) x p y*> x+y= 2.

Odrediti odgovarajuće skupove, nacrtati grafove i ispitati svojstva uh

relacija.

U skupu A = {—1,0,1} definisana je relacija p na sledeći način:

A:x p yo .r3 = y\ Da li je relacija refleksivna?

86. U skupu S = {jc|.xG N A a-< 12} definisana je relacija p na sledeći

način:

V{x,y)<ES:xpyo 3 |( x - ; 0 '

Pokazati daje p relacija ekvivalencije. Odrediti klase ekvivalencije i

odgovarajući količnički skup.

87. U skupu celih brojeva Z definisana je relacija p na sledeći način:

V(jc,_y)G Z:jc P y o x= y (mod 3)*. Pokazati da je p relacija

ekvivalencije, zatim odrediti odgovarajuće klase ekvivalencije i

količnički skup Z/p.

88. U skupu Z celih brojeva definisana je relacija p, tako daje:

V(jc, y)E Z:x p y o x = y (mod 5). Dokazati da je ova relacija u

stvari relacija ekvivalencije. Odrediti klase ekvivalencije i količnički

skup Z /p .

89. U skupu 5 = {1,2,3,4,5,7,9,11}, relacija p “ima isti ostatak kod de-

Ijenja sa 4 “ je relacija ekvivalencije. Dokazati.

90. U skupu N , relacija p “ima isti ostatak deljenja sa 7 “ je relacija

ekvivalencije. Dokazati, zatim naći količnički skup.

91. U skupu R data su preslikavanja:

f:x~* 3x + 5 i g\x -* 4x+6.

Izračunati:

a) (/° g )(6 ); b) (/°g )(m ); c) (g<>/)(6) d )(g °f)(m ).

92. Preslikavanja / i g, R -* R definisana su sa f(x) = x2 — 4x + 5 i

g(*) = 3 x -4 . Odrediti: a) / 2; b) g : ; c) / o g ; d> g » / .

93. Date su funkcije / i g definisane u R:x^ f(x) = 2xz —1 i

x "*■g(jc) = 4x3 —3jc. Dokazati da za date funkcije važi,

( /° g ) ( * ) = (g ° /)(* ).

94. U skupu S = {a,b,c,d,e,f}, je jedan vojnik a, dva poiučnika b,c i tri

kapetana d,e,f. U skupu S uočena je relacija p “mora prvi

pozdraviti”. Kakva je to relacija?

95. Data je funkcija x~* f(x)= 3x—2. Dokazati da je preslikavanje

dato ovom formulom jedan-jedan i na.

96. Dokazati da su bijektivna (1 —1 i na) preslikavanja:

*) f(x) = 4x-l, b) /(.r) = 5x—6; c) f(x) = ~x-^-

4 3

* x | označix se sadrži u y ili x jc činilac za y. Osim ove oznake, često pišemo x = 0(mod ;■)

čitamo x kongruentno 0 po modulu y, znači y jc deljivo s a x. Ova relacija se naziva relacija

kongruencije.

22

97.

98.

Dati su skupovi A —{a,(i,y,d) i B = {a,b,c,d,e,m) i preslikavanje

f\A -*■B ,f =

'a ¡i y 6\

d e m)

Dokazati daje / preslikavanje 1-1.

Dati su skupovi A = {a,b,c\ i B ={1,2,3} i preslikavanje

j = {(a,2);(6.2);(c,2)}. Dokazati da je preslikavanje / konstantno.

99. Data je funkcija / = 'a b c d e'

,2 4 1 3 V

Odrediti inverznu funkciju / 1 za datu.

100.

(\

Dato je preslikavanje / =

2

3 4 5\

1 2 5 4 /

Odrediti: a ) / ° / = / 2; b ) / ° / ° / = / 3; c ) / ° / ° / ° / =:/ 1-

101. Date su funkcije / = 1 2 3 4'

2 1 4 3;

i £ = 1 2 3 4

3 1 2 1

Odrediti: a) / ° g; b) # ° / ; c) / 2 ° g.

102. Date su funkcije: je-* f(x) = 3x—5 i x -* g( v) = 5x- 3.

Odrediti: a) /* '( * ) i g~i(x)\ b)/°g i g ° f ;

c) / " ' °g"‘ t

103. Ako je: a) /(.v + 1) = 5*-3; b) f(,2x—3) = 3.r+ 1:

c)/(3- 2.r) = 2x + 5; d) /(1 - x) = 3 - 2jc, odrediti m i .

104. Date su funkcionalne jednačine f(x+ 1) = 3.r+ 2 i

g(2.v + 3) = 2-3x Odrediti: a) f(x) i g(.x); b) / ° g ;

c) / '* °g.

105. Odrediti funkciju /(.v) koja zadovoljava funkcionalnu jednačim;

a) f(x) + 2 / ^ J = * b) (x- !)/(* ) + / ( ^ ] =

c) f{x) + x-f\

2 x-\)

—i

23

106.* Resiti funkcionalne jednačine:

a) /

jc—3 '\ JC+1

b) f\ (2x+2

2x + 4 ) 3x—r i -v + 3

4x+ 1

2jc- 3 ’

c) /

x +2 \ A +4

3 a- +5/ " 2a - f

' A+ l\

d) /(,A:-lJ“

107.* Odrediti funkcije /( * ) i g(x), koje zadovoljavaju sisteme:

a) / ( 2x+ l)+g(x- 1)= xA f{2x+ 1) —2g(x— 1) = 2.v';

b) f(2x+l) + 2g(2x+])=2xAf

x— 1 + g\ x-\

c) / ( * + 1) + xg(x4- 1) = 2.xA f\ g[-— 4 | = * —1.

x - 1 x —1.

x - \ \

108.* Ako je: / |- M - 2 g f c - M= * - 2 A / ( i- j+ g| x —,Y4“ 1,

(a * 0) tada je / °g = g » f = 1. Dokazati.

1.4. Elementi kombinatorike

Primedba 1. Neka je E = {e,,e2,e3,...,enj dati skup, onda postoji više

načina da se od njegovih elemenata, redajući ih na razne načine, formiraju

neki novi skupovi. Pri tome je važno utvrditi koliko će članova imati ti novi

skupovi i kako će broj članova tog novog skupa zavisiti od broja elemenata

početnog skupa.

Oblast matematike koja se bavi problemima ove vrste naziva se kombinatorika.

Primedba 2. Zadaci iz kombinatorike koji se rešavaju pomoću formula za

permutacije P(n) = ni, za varijacije V? = n{n— 1)(«—2)...(n-k + 1) i za

<

kombinacije Cj1= Lnisu u nastavnom planu i programu, već su namenjeni

V

boljim učenicima za razna takmičenja.

109. Napisati sve permutacije od: a) cifara 1,2, 3, 4; b) slova a,b,c,d;

c) reči OVAJ.

24

110. Napisati sve permutacije od cifara 3, 4, 5. 6. 7, koje imaju 6 na

prvom mestu, a 4 na drugom mestu.

111. Koliko ima petocifrenih brojeva koji se mogu formirati od cifara

1, 3. 5, 7, 9?

112. Koliko permutacija od cifara 1. 2, 3. 8 počinje: a) sa 5: b) sa 123;

c) sa 8 642?

113. U koliko permutacija elemenata 1,2,3.....8 stoje elementi 2, 4. 5, 6

jedan pored drugog, i to: a) u datom poretku; b) u proizvoljnom

poretku?

114. Napiši sve četvorocifrene brojeve čiji je zbir cifara 10 a cifra

desetica 5.

115. Koliko se cifara upotrebi za numerisanje od prve do 567 stranice

neke knjige (svaku cifru računati onoliko puta koliko se puta pojavljuje)?

116. Date su tri različite prave i na svakoj od njih po 5 različitih taćaka

Koliko ima najvišee trouglova čija su temena date tačke

117. Dat je skup tačakaS = {A,B ,C ,D,E ,F\ takav da tačke A.B,C.D pripadaju

pravoj a, a tačke E i F njoj paralelnoj pravoj b. Odrediti sve

prave takve da svaka sadrži tačno dve tačke iz datog skupa.

118. Na Milanovom rođendanu svi su se rukovali sa Milanom i medu

sobom. Bilo je ukupno 136 rukovanja. Koliko je Milán imao gostiju

na svom rađendanu?

119. Kvadrat stranice 6 cm podeljen je na kvadratne centimetre. Koliko

se duži, a koliko kvadata može uočiti na tako dobijenoj slici'.’

120. Pomoću vage treba izmeriti sve celobrojne težine od 1 kg do 13 kg

Koliko nam je najmanje tegova za to potrebno i kolika je težina tih

tegova?

121. U ravni su date dve klase paralelnih pravih: p,.p:.p^,■ ■■p., i

q^.q,.q.....qt,. Prave klase p presecaju prave klase q. Koliko |e

različitih paralelograma određeno ovim pravama (različiti paralelogrami

su oni koji imaju bar dva temena različita).

122. Na koliko načina 7 učenika može sesti na:

a) 5 različitih stolica;

b) 9 različitih stolica?

123. Koliko se šestocifrenih brojeva može sastaviti od cifara 0. 1.2. 3. 4. 5

uz uslov da se svaka cifra pojavljuje samo jednom i da su parne cifre

jedna uz drugu? (0 je parna cifra).

124. Koliko ima četvorocifrenih prirodnih brojeva napisanih pomoću

cifara 0,1.2,3,4,5.8 takvih da se:

a) cifre mogu ponavljati;

b) cifre ne mogu ponavljati;

c) cifre mogu ponavljati, a broj je deljiv sa 5?

125. Koliko ima petocifrenih prirodnih brojeva napisanih pomoću cifara

0,1,2,3.4,5,6 takvih da se:

a) cifre mogu ponavljati;

b) cifre ne mogu ponavljati;

c) cifre mogu ponavljati, a broj nije deljiv sa 5?

126. U neprovidnoj vrećici se nalaze 10 belih. 20 crvenih i 30 plavih

kuglica. Koliko najmanje kuglica treba izvući iz vrećice da bismo

sigurno imali:

a) tri crvene kuglice;

b) tri kuglice različite boje;

c) tri kuglice iste boje.

127. Na koliko načina je moguće sastaviti stražu, koja se sastoji od 5

vojnika i jednog oficira ako ima 40 vojnika i 3 oficira?

128. Koliko različitih četvorocifrenih brojeva je moguće napisati koristeći

cifre 1,3,5,7,9,0 samo jedanputa?

129. * Za koje vrednosti n i k je tačna konjunkcija

= 8:1 A c ;:,2:c ; : 2 = 4:3?

130. * U koliko tačaka se seče 18 pravih, od kojih 5 su paralelne, 6 se seku u

tački A a 4 u tački B?

131. * Dato je u ravni 10 crvenih i 8 plavih tačaka, tako da bilo koje tri nisu

kolineame. Koliko ima trouglova sa temenima u datim tačkama kod

kojih sva temena nisu iste boje?

132. * Na polici se nalaze 12 različitih knjiga, od kojih su 5 iz matematike,

4 iz fizike i 3 iz hernije. Na koliko različitih načina se mogu rasporediti

knjige na polici, ako se zna da knjige iz iste oblasti moraju

biti uvek jedna pored druge?

133. Elementi skupa S su tačke takve da su svake tri nekolineame, a svake

četiri nekomplaname. Ako je elementima skupa S određeno dva puta

više ravni nego pravih, koliko pravih i koliko ravni određuju elementi

skupa S I

20! 102! n! , ( n - 1)!

134. Skratiti razlomke: a) — ; b) — ; c) — i d> — .

26

135. Koliko elemenata sadrži skup ako broj svih permutacija od njegovih

elemenata: a) nije veći od 1000; b) nije manji od 500; c) jednak je 120?

136. Dat je skup S= 10,1,2,3,4,5}. a) Koliko se različitih šestocifrenih

prirodnih brojeva može formirati od elemenata skupa.?, tako da se

cifre u njima ne ponavljaju; b) koliko ima parnih brojeva određenih u

zadatku pod a)?

137. Obrazovati sve varijacije druge i treće klase, bez ponavljanja, od elemenata

1, 2, 3, 4 i izračunati njihov broj.

138. Koliko se signala može načiniti sa 5 različitih zastava, uzimajući ih

po jednu, po dve, po tri, po četiri i po pet zajedno?

139. Koliko se brojeva izmedju 3 000 i 5 000 može napisati pomoću

cifara 0, 1 ,2 ,..., 7 ako se nijedna cifra ne ponavlja u jednom broju?

140. Na koliko načina se od devet kandidata mogu izabrati četiri osobe na

četiri različite dužnosti?

141. Odeljenje jednog razreda broji 35 učenika. Oni su međusobno

razmenili fotografije. Koliko je ukupno razmenjenih fotografija?

142. Koliko se brojeva može napisati pomoću elemenata skupa Mt koji

čine prosti činioci broja 2 310. ako traženi brojevi sadrže po dva

različita prosta činioca?

143. Resiti jednačine: a) V" —20; b) V" = 120; c) 2 -V" = V ";

d) K5" = K4" (K4" je broj varijacije od n elemenata ¿-te klase)

144. Dat je skup E = 10,1.2,3.4,5}. Koliko se različitih prirodnih brojeva

većih od 1 000 može formirati od elemenata skupa E, tako da cifre

budu različite?

145. Napisati sve kombinacije treće i četvrte klase bez ponavljanja od

elemenata 1, 2, 3. 4, 5. 6 i izračunati njihov broj.

146. Odrediti broj različitih trouglova, koji se mogu dobiti spajanjem svih

temena šestougla.

147. Koliko se različitih grupa od po četiri učenika može izabrati od 17

kvalifikovanih. koje će reprezentovati školu na matematičkom

takmičenju?

148. Na jednom šahovskom turniru učestvuje dvadeset šahista. Svaki

treba da odigra partiju sa svakim. Koliko će biti odigrano partija na

turniru?

149. Na šahovskom turniru odigrano je 45 partija. Ako je svaki šahist t

odigrao partiju sa svakim učesnikom, odrediti broj učesnika

27

150. Koliko podskupova ima skup od 6 elemenata?

151. Koliko nastaje trouglova konstrukcijom svih dijagonala konveksnog

dvanaestougla ako im se teinena poklapaju sa temenima dvanaestougla?

152. Odrediti broj dijagonala: a) konveksnog petougla; b) konveksnog

dvanaestougla; c) konveksnog dvadesetougla; d) konveksnog n-tougla.

153. Dokazati tačnost jednakosti:

a) C0° + C ,6 + C,h + C b + C,b + C b + C„6 = 2";

b )C 0S+C,S+ C J= C 3S+ C /+ C 5S.

154. * U skupu od 12 tačaka postoji tačno 6 četvorki komplanamih tačaka.

Koliko različitih ravni određuju ovih 12 tačaka? (Opštinsko takmičenje

iz matematike 1982. god.)

155. U odeljenju ima 16 devojčtca i 20 dečaka. Za odeljenjsku zajednicu

treba izabrati četiri učenika, od kojih je bar jedna devojčica. Na koliko

načina se može načiniti izbor?

156. * Koliko ima petocifrenih prirodnih brojeva čiji je zbir cifara jednak 5?

(Opštinsko takmičenje iz matematike 1984. god.)

157. Koliko se različitih prirodnih brojeva manjih od 100 000 može

formirati od cifara 0, 1,2, 3, 4. 5?

158. * Dat je skup S = (1,2,3,4,5,6). a) Koliko se različitih šestocifrenih prirodnih

brojeva manjih od 600 000 može načiniti od elemenata skupa S,

tako da se u njima cifre ne ponavljaju; b) koliko ima neparnih brojeva

određenih u zadatku pod a)?

159. Resiti jednačine: a) C2" = 105; b) C " = 15 n; c) 5C 3" = C4" .

160. * Za koje vrednosti nje istinito tvrđenje:

a)Cj < c ; ; b)c" > c ; ; C) c ; 9_, < c f ?

161. * Za koje vrednosti n i k je tačna konjunkcija:

28

(Vkn :z;_, = 10:nA(C^:C"_, = 5:3)?

162. * Na tiketu sportske prognoze nalazi se 12 susreta, a) Koliko različito

popunjenih kolona obezbeđuje 12 lačnih pogodaka; b) koliko kolona

treba popuniti ako se “zna" rezultat pet susreta; c) koliko kolona treba

popuniti ako se “zna” da sedam susreta neće biti nerešeno?

163. U nekom odboru ima 7 lica (članova), a) Na koliko se načina mogu

izabrati predsednik, sekretar i blagajnik tog odbora? b) Na koliko se

načina svi članovi tog odbora mogu razmestiti (sesti) na 7 stolica?

164. Dat je skup S= {0,1,2,3,4,5}. a) Koliko se različitih petocifrenih

brojeva, deljivih sa 6. može formirati od elemenata skupa S. tako da

se cifre ne ponavljaju? b) Koliko se različitih petocifrenih brojeva

deljivih sa 15, može formirati od elemenata skupa 5, tako da se cifre

u tim brojevima ne ponavljaju?

165. Zbir broja dijagonala i broja stranica konveksnog mnogougla iznosi

153. Odrediti broj različitih trouglova, koji je određen temenima

ovog mnogougla.

166. Unutrašnji ugao pravilnog mnogougla veći je od odgovarajućeg

spoljašnjeg ugla za toliko, za koliko je veći od sopstvene petine

Odrediti koliko je različitih pravih određeno temenima ovog

mnogougla.

167. Između 3 000 i 7 000 nalaze se 1344 broja u kojima se nijedna cifra

ne ponavlja. Odrediti skup A čiji su elementi arapske cifre pomoću

kojih se mogu napisati pomenuti brojevi.

168. Dat je skup S = {A,B,C,...}. Elementi skupa S su temena

konveksnog mnogougla, konstrukcijom svih dijagonala mnogougla

dobijeno je 455 različitih trouglova. Odrediti card5 da ovo važi.

169. Elementi skupaS = {A.B.C.,..} su tačke od kojih su najviše dve kolineame

a najviše tri komplanarne. Odrediti kardinalan broj skupa S

ako je od njegovih elemenata određeno 364 različitih ravni.

29

II GLAVA

2. UVOD U GEOMETRIJU, VEKTORI

2.1. Tačka, prava, ravan. Odnosi pripadanja i rasporeda

Aksiome pripadanja:

Aksioma 1. Svake dve različite tačke određuju jednu pravu.

Aksioma 2. Svaka prava sadrži bar dve razne tačke. Postoje tri nekolineame

tačke.

Aksioma 3. Svake tri nekolineame tačke određuju jednu ravan.

Aksioma 4. Svaka ravan sadrži bar tri razne tačke. Postoje četiri nekomplaname

tačke.

Aksioma 5. Svaka prava, koja sa nekom ravni ima dve zajedničke različite

tačke, pripada toj ravni.

170. Neka su A, B, C, D četiri tačke jedne ravni od kojih ni jedna trojka

nije kolineama.

a) Koliko je pravih određeno datim tačkama?

b) Koliko je uouglova određeno ovim tačkama?

171. Svaka prava koja ne pripada ravni a ima sa tom ravni najviše jednu

zajedničku tačku. Dokazati.

172. Ako tačka A ne pripada pravoj p, postoji tačno jedna ravan koja

sadrži tačku A i pravu p. Dokazati.

173. Ako su p i q dve prave koje se seku, postoji tačno jedna ravan koja ih

sadrži. Dokazati.

174. Koliko ravni je određeno sa pet tačaka od kojih ma koje četiri nisu

komplaname?

175. Prave a i b mimoilazne su sa pravom c a međusobno su paralelne.

Ako su tačke A, B i C takve da je A E a, B G b i C G c, koliko je

najviše ravni određeno tačkama A, B, C i pravama a, bici

176. Prave a i b seku se u tački P. Prave a i c su paralelne, a prave b i c mimoilazne.

Ako su tačke A, B i C takve da je A GEa i A * P, B G b i

5?tP,aCGc, koliko je ravni određeno tačkama A, B,C i pravama

a, b, cl

177. Prave a i b pripadaju ravni a i seku se. Kakav položaj prema ravni a

može imati prava c, koja seče prave a i bi

30

178. Dato je 6 tačaka u prostoru. Koliko je ovim tačkama najviše određeno:

a) duži; b) trouglova?

179. Date su četiri prave koje se seku u istoj tački, od kojih ma koje tri

nisu komplanarne. Koliko je ravni određeno pomoću đatih pravih?

180. Koliko je ravni određeno trima nekomplanamim pravama koje imaju

jednu zajedničku tačku?

181. Koliko je najviše ravni određeno jednom pravom i trima tačkama

koje ne pripadaju datoj pravoj?

182. Dato je n tačaka u prostoru od kojih ma koje četiri nisu komplanarne.

Koliko je ravni određeno datim tačkama?

183. Koji je najmanji broj tačaka kojima je određeno 36 pravih?

184. Date su mimoilazne prave a i b, tačke A,, A2, A} na pravoj a, tačke

4 na pravoj b i tačka C van ovih pravih. Koliko najviše

različitih ravni određuju date tačke i prave?

185. Date su paralelne prave a i b i tačke A,, A2, A,,Ai na pravoj a, tačke

Bt,B2,B3,B4 na pravoj bi tačka C van ovih pravih. Koliko je najviše

različitih ravni određeno datim tačkama i pravama?

186. Date su prave a i b koje se seku u tački P, tačke A,, A2, A3 različite

ođ P na pravoj a, tačke 5, ,B2,B3,B4,BS na pravoj b i tačka C van

ovih pravih. Koliko je najviše različitih ravni određeno datim

tačkama i pravama?

187. Dato je 5 različitih tačaka u ravni koje ne pripadaju jednoj ravni. Za

svaki od različitih položaja datih tačaka. odrediti broj pravih koje

one određuju.

188. Date su dve paralelne prave a i b. Na pravoj a date su tačkeA.B.C.D

i na pravoj b tačke E,F,G. Koliko je konveksnih četvorouglova

određeno tim tačkama?

2.2. Paralelnost

Definicija. Prave a i b su paralelne (oznaka: a ||6) ako i samo ako a - b ili

prave a i b pripadaju jednoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.

Aksioma paralelnosti. Za svaku pravu a i svaku tačku A, van prave a u

ravni a, postoji tačno jedna prava p ravni a koja sadrži tačku A i paralelna je

pravoj a.

189. Dve različite paralelne prave određuju tačno jednu ravan. Dokazati

31

190. Ako su a, b, c različite prave jedne ravni i ako je prava a paralelna

pravoj b, a prava b paralelna pravoj c, tada je i prava a paralelna pravoj

c. Dokazati.

191. Date su paralelne prave p i q i nekolineame tačke A. B i C van njih.

Koliko ravni određuju date prave i date tačke?

192. Dve paralelne ravni presečcne trećom imaju paralelne presečne

prave. Dokazati.

193. Date su prave a i b koje se seku. Prava c pripada ravni određenoj pravam

aa i b i ona seče bar jednu od njih. Dokazati.

194. Neka su a, (3 \y tri razne ravni. Ako je o 11/S, a f ) y = a i /? D y = ¿,

tada je a 11b. Dokazati.

195. Ako su dve prave koje se seku u jednoj ravni paralelne sa dve prave

druge ravni, onda su te ravni paralelne. Dokazati.

196. Simetrala spoljašnjeg ugla pri vrhu jednakokrakog trougla paralelna

je sa osnovicom trougla. Dokazati.

197. Ako su a, b, c tri prave jedne ravni, važi:

a) a ± 6 A a ± c^ > 6 |jc;

b ) o ± 6 A a 11 c => bLc.

Dokazati.

198. Koliko je ravni određeno sa četiri paralelne prave od kojih ma koje

tri nisu komplaname?

199. Date su tri prave od kojih su dve paralelne, a treća je sa jednom mimoilazna,

a drugu seče. Koliko je ravni određeno datim pravama?

200. Ako jedna ravan seče jednu od dve paralelne ravni, tada seče i drugu.

Dokazati.

201. * Prava a seče pravu 6, a prava c je paralelna sa b. Sve tri prave su

komplaname. Odrediti broj tačaka koje su jednako udaljene od sve

tri prave.

2.3. Duž i ugao

Definicija 1. Neka je zadata prava a i neka su A i B dve razne tačke prave a.

Skup svih tačaka prave a između tačaka A i B zajedno sa tačkama A i B naziva

se duž i obeležava se AB. Tačke A i B nazivaju se krajevi duži.

Definicija 2. Neka su [Op i [Oq dve poluprave izvesne ravni ti, sa

zajedničkom početnom tačkom O. Unija polupravih [Op i [Oq naziva se

32

ugaona linija pOq. Ugaona linija pOq deli skup tačaka ravni n koje joj ne

pripadaju na dva disjunktna delà. Ove skupove nazivamo ugaonim oblastima

određene ugaonom linijom pOq.

Definicija 3. Ugao LpOq je unija ugaone linije pOq i jedne od ugaonih

oblasti određenih ovom ugaonom linijom.

202. Duži AB i CD pripadaju istoj pravoj i imaju isto središte O, tačke A i

C su sa iste strane tačke O. Odrediti kakve su međusobno duži AC i

BD, kao i duži AD i BC,

203. Zbir dužina dveju duži jednak je 9 cm. a razlika njihovih dužina je

5 cm. Izračunati dužine ovih duži.

204. Na polupravoj data su dva odsečka OA = a i OB = b. Tačka M je

središte duži AB. Odrediti dužinu odsečka OM.

205. Date su duž AB i tačka O na pravoj AB. Tačke M i N su središta

odgovarajućih duži OA i OB. Odrediti dužinu duži MN ako je

OA —3 cm, a OB = 7 cm.

206. Data je duž CD. Konstruisati duž AB, tako da je AB CD = 3:4.

207. Tačke O, A, M, B pripadaju pravoj p. Dokazati istinitost iskaza:

a) (AM = MB A O G AB) => OM = ^ (OA + OB);

b ) (AM = MB A O E AB)*>OM = ^\O B - OA\.

208. Ako su A, B,C i O tačke prave k, dokazati implikaciju:

( O - A - C - B ACB = 2AC) => OC = 2° A + OBm

209. Ako su A, B i O tačke prave p, dokazati implikaciju

4 OA + 3 OB

( O - A - B A MA = 0,75 MB A M G AB) => OM = ---------------- .

210. Ako su A, B, C i O tačke prave /, dokazati istinitost iskaza:

nOA + mOB

( O - A - C - B A AC :m = C B :n)Ô C =

m+ n

(nu nE N).

211.

212.

Data je duž AB = 36 cm. Izračunati rastojanje središta duži S od

tačke M, koja deli duž AB u odnosu 1 :3 .

Odrediti ugao koji opisuje velika kazaljka ćasovnika u toku icdnog sata.

33

213. Izračunati uporedne uglove ako je jedan od njih tri puta veći od

drugog.

214. Odrediti dva ugla sa paralelnim kracima od kojih je jedan za 40° veći

od drugog.

215. Razlika dva ugla sa normalnim kracima, od kojih je jedan oštar a

drugi tup, iznosi 30°. Odrediti ove uglove.

216. Odrediti takva dva ugla sa normalnim kracima od kojih je jedan tri

puta veći od drugog.

217. Prave p i q su paralelne, a / je njihova transverzala. Odrediti sve

transverzalne uglove ako je razlika spoljašnjih suprotnih uglova

| A A

— d(d je oznaka za prav ugao).

4

218. Ako je MN || KL, dokazati da je

L ABC = L NAB + L BCL (si. 2).

219. Poluprave Ox. Oy, Oz, Ot, koje pripadaju

istoj ravni, raspoređene su

ovim redom idući u pozitivnom

smeru. Dokazati implikaciju:

L xOz = L yOt => L xOy = L zOt.

220. Dva uporedna ugla se odnose kao 4:5. Odrediti ove uglove u stepenima.

221. Oštar ugao a i šestina njemu uporednog ugla su komplementni

uglovi. Izračunati ugao a.

222. U pramenu pravih a, b, c, d sa centrom S, prava a je normalna na b,

prava c je normalna na d. Odrediti uglove: a = LaSc, ¡5 = LbSd i

y = ¿.aSd, ako je ugao x = LcSb četiri petine ugla y = LcSci.

223. Izračunati zbir dva ugla, koji su suplementni, sa dva komplementna ugla.

224. Izračunati ugao koji je suplementan svojoj sedmini.

225. Tačkom M prave AB konstruisane su dve poluprave MC i MD, tako

da je ugao AMC = 54°, a ugao CMD iznosi polovinu ugla AMC.

Izračunati ugao DMB.

226. Na pravoj p data je tačka O. Poluprave Oa i Ob su sa iste strane prave

p i grade sa njom jednake uglove, a ugao aOb je 40°. Poluprava Om

normalna je na Oa i poluprava On normalna je na Ob. Izračunati

uglove koji sa pravom p grade poluprave Om i On ako se:

a) Om i On nalaze sa one strane prave p sa koje se nalaze Oa i Ob\

b) Om i On ne nalaze sa iste strane prave p sa koje se nalaze Oa i Ob.

34

227. Prave a i b seku se u tački O. Tačka O određuje na pravoj a pokiprave

Om i 0/7. a na pravoj b poluprave Op i Oq. Ugao mOp = 72°. Poluprava

Or je simetraia ugla mOp, a poluprava Os je normalna na Or

Izračunati ugao nOs.

228. * Dve prave seku se u tački S i obrazuju četiri ugla. Zbir unakrsnih

oštrih uglova jednak je polovini jednog od unakrsnih tupih uglova.

Odrediti merne brojeve svakog od tih uglova.

229. * Prave a i b seku se i obrazuju četiri ugla: dva oštra a i y i dva tupa /? i

d. Izračunati te uglove ako je l(a + y) = 5{(i + d).

230. Razlika ugla a i njemu uporednog ugla (} je 36°. Izračunati ugao y

komplementan sa ¡3.

231. Na pravoj p date su četiri tačke A - B - C —D. Ako je AD = 9 cm,

izračunati:

a) AB + CD\ b) rastojanje sedišta duži AB i CD.

232. Rastojanje sedišta duži od ma koje tačke izabrane na produžetku te

duži jednaka je poluzbiru rastojanja te tačke od krajeva te duži. Dokazati.

233. Data su dva uporedna ugla pOi/ i (¡Or. Neka su 0.v i Oy njihove simetrale.

a) Dokazati da su uglovi pOx i yOr komplementni.

b) Ako je ugao pOq = 35°, izračunati ugao rOy.

234. * Ugao koji čine simetraia jednog ugla i ma koja poluprava konstruisana

unutar tog ugla iz njegovog temena jednak je polurazlici ugla rta

koji je dati ugao podeljen tom polupravom. Dokazati.

235. Ako se saberu polovina, četvrtina i osmina ugla a, onda se dobija

ugao suplementan uglu a. Odrediti ugao komplementan i suplementan

uglu a.

236. Ako su i, i s2 simetrale dva uporedna ugla, tada je .i, ± s2. Dokazati.

237. Ako su a i fi komplementni uglovi, ugao d suplementan sa a i ugao r

suplementan sa /?, odrediti zbir 6 + c.

238. Uglovi a , i y zadovoljavaju konjunkciju a - y= d A fi + y —d

Odrediti relaciju koju zadovoljavaju uglovi a i /?. Šta se na osnovu

dobijene relacije može zaključiti o uglovima a i

239. Uglovi LCOD i L AOB imaju zajedničko teme O i raspoređeni sa

tako da L COD sadrži L AOB. Ako je L AOB = 100; i LCOD

140°, izračunati ugao koji čine simetrale L AOC i L BOD

35

240. Data je duž AB. Tačka O je njeno središte. Tačke M i A' su središta

duži AO i OB. Dokazati da je MN = —AB.

2

241. Tačke A,B, N ,C i D pripadaju pravoj p. Ako je

A — B — N —C —D i AB = CD, AC = BD, a .V je središte duži

AD. Dokazati da je N središte duži BC.

242. Na polupravoj čhdate su duži OA, OB, OC i OD, tako da kraj prve je

središte druge, a kraj druge je središte treće i kraj treće je središte

četvrte. Odrediti njihove dužine, ako je njihov zbir 30 cm.

243. Ako za dužine duži AB, AC i BC važi jednakost —- + = \, tada

tačke A,B iC pripadaju istoj pravoj. Dokazati. ^ AC

244. Dato je pet tačaka A, B, C, D i P, za koje važi AP = m, BP - m —b,

CD = a, DP = n iCP = a + n. Dokazati da se prave AB i CD seku u

tački P, i da je ona spoljašnja tačka za duži AB i CD.

245. Tačke A i B pripadaju pravoj m, a B i C pravoj n.

a) Ako je AB + AC ~ BC prave m i n se poklapaju. Dokazati.

b) Ako je AC = a, AB = b i CB = a + 2b, prave su različite. Dokazati.

246. Tačke A i B pripadaju pravoj p, a C i D pravoj q. Ako je

AD = 2 AC — 6 cm, CD = 9 cm, AB = AC + CB = 7 cm, tada se

prave p i q poklapaju. Dokazati.

247. Ako je L AOB = L A' OB' a poluprave OA i OA' pripadaju istoj pravoj,

a poluprave OB i OB' pripadaju istoj poluravni sa početnom pravom

AA'. Tada simetrala ugla BOB' je normalna na AA'. Dokazati.

248. Dat je ugao AOB = 48°, Poluprava OM deli dati ugao u odnosu 1 : 5, a

poluprava ON deli njemu uporedni ugao u odnosu 1 : 2. Izračunati

ugao MON.

249. Dat je ugao AOB = 45°. Konstruisati poluprave OA' i OB1, tako daje

ugao AOA' = 25° i ugao BOB' = 35°. Izračunati ugao A'OB'.

36

III

GLAVA

3. REALNI BROJEVI

3.1. Pregled brojeva. Polje realnih brojeva

1°. Skup prirodnih brojeva jV = {1.2.3......n .n + l,...|. U skupu N

deflnisane su operacije sabiranje ( + ) i množenje (•).

2'J.Skup celih brojeva Z = {...-3 ,-2 ,—1,0,1,2,3....}. U skupu Z celih

brojeva sem operacije sabiranja i množenja definisana je i operacija

oduzimanje (-). tj. zbir. proizvod i razlika dva ćela broja je ceo broj.

m i

3°. Skup racionalnih brojeva Q = \-\m E. Z,n€ž N )

. U skupu Q

deflnisane su operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje i delenje, pri čemu

je delilac različit od nule.

4°. Skup iracionalnih brojeva / = |.r|jc se ne može napisati u obliku —,

5°. Skup realnih brojeva R = Q U / . U skupu realnih brojeva važe sledeti

skupovni odnosi: N CZCQ CLR.R = Q\JJ.

250.

Ako je n prirodan broj, onda je

prirodan broj. Dokazati.

251.

Dokazati identitet (10 n + 5): = 100 n(n 4- I) + 25, zatim ga formulisati

kao pravilo za kvađriranje dvocifrenih brojeva, koji na mestu jedinica

imaju broj 5.

Primer: 35: = 100 X 3 X 4 + 25 = I 225.

Izračunati na ovaj način 152, 253, 45: , 55: , 75", 85', 95"

252. Ako je b + c = 10. onda je ( 10 a + b)( 10« + c) = 100 a{a + 1) + bc

Ovaj identitet može se koristiti kao pravilo za usmeno množenje

dvocifrenih brojeva, koji imaju istu cifru na mestu desetica, a zbir cifara

jedinica iznosi 10.

Primer: 47 x 43 = 100 x 45 + 7 x 3 = 2 000 + 21 = 2 021.

Izračunati na ovaj način: 32 X 38, 54 X 56. 77 X 73, 92 X 98, 22 X 28.

37

253.

1

Dokazati identitet \a + — = a(a + 1) + —.

Koristeći ovaj identitet izračunati:

254.

255.

256.

257.

258.

259.

260.

261.

262.

263.

264.

265.

266.

267.

268.

269.

270.

2)

s i 6 ^ 8 ^ 9,5: ; 10,5 \

Ako se kvadrat ma kog neparnog broja umanji za 1, dobijeni broj je

deljiv sa 8. Dokazati.

Dokazati daje broj 1331 kub prirodnog broja.

Ako je zbir cifara dvocifrenog broja jednocifren broj, da bi se

pomnožio sa 11. dovoljno je između njegovih cifara umetnuti zbir

njegovih cifara. Dokazati.

Zbir tri uzastopna ćela broja uvek je deljiv sa 3. Dokazati.

Dokazati daje proizvod od dva uzastopna parna broja deljiv sa 8.

Dokazati daje razlika kvadrata dva uzastopna neparna broja deljiva

sa 8.

Dokazati da se kvadrat neparnog broja može napisati u obliku

8 p + 1 (pje prirodan broj ili nula).

Dokazati da se kvadrat celog broja ne može završavati sa dve petice.

Dokazati daje neophodno i dovoljno da bi neki broj bio deljiv sa 72

da bude deljiv sa 8 i sa 9.

Ako je n ceo broj, tada je broj n(n2 4- 5) deljiv sa 6. Dokazati.

Ako je srednja cifra trocifrenog broja jednaka zbiru krajnjih cifara,

dokazati daje taj broj deljiv sa 11.

Za svako n, nG N , broj n3 + 11n je deljiv sa 6. Dokazati.

. . . , , ,21/7 + 4

Dokazati da je za svako n G Z razlomak---------- redukovan.

14n + 3

2/7 “i- 3

Dokazati da je razlomak-------- redukovan za svako rt £ Z.

5/7+7

Dokazati daje V3 iracionalan broj.

Dokazati da je broj V3 -

iracionalan.

Neka je H skup svih kvadratnih iracionaliteta oblika

p Jrq 4 l, gde p E Z i qE Z . Ako xG H i yE:H, pokazati da i

x + yG H , x - yG H i x- y S H .

38

271. Dokazati implikacije:

a) x = 3a - 1=>x{x 8a) + o(5.v + 3) = 1, «, xE Q\

fa) .r = a 4- 3 =* .v(.r - 3a) 4- a(a + x) = 9. a,xEQ \

c)(x = a ? + 3 a y = a! - 3)=> x (x - 2y) + y(x+ y)~ a* = 27.

a, -v G Q.

272. Ako je n prirodan broj, onda je izraz n (2a 4- 7 >( 7 /? 4- 1) deljiv sa 6.

Dokazati.

273. Dokazati da su za nE N brojevi:

a) « ’ —19 /?, deljiv sa 6;

b) a 5 - a, deljiv sa 5;

c) z?7—n, deljiv sa 7.

274. Dokazati daje rr - n (n prirodan broj) deljivo brojem 10.

275. Dokazati da je proizvod od ma koja četiri uzastopna prirodna broja

deljiv sa 24.

276. Dokazati daje izraz A = ns —5 n 1-+- 4 zz deljiv sa 120, nE A

277. Dokazati da je broj B = 4-20 » deljiv sa 48 za svako n parno.

278. Dokazati da broj A = n2 + l nije deljiv sa 3, ni za jedan prirodan

broj.

279. Odrediti četiri različita prirodna broja, ako se zna da je njihov zbir

jednak zbiru proizvoda najmanjeg i najvećeg i proizvod ostala dva.

280. Dokazati da broj n2 4- 8 n 4- 15 nije deljiv brojem »4- 4 za svako n

prirodno.

281. Ako je n prirodan broj, dokazati da je izraz

n(n2 - I)(n: - 5n 4- 26) deljivo sa 120.

282. Trocifren broj napisan u brojnom sistemu sa osnovom 7 ima iste cifre,

ali u obrnutom poretku, koji ima taj broj napisan u b ro jn o m

sistemu sa osnovom 9. Odrediti taj broj.

283. Data su dva dvocifrena broja. Ako je A njihov proizvod a/i proizvod

dvocifrenih brojeva nastalib razmenom njihovih cifara. tada je

razlika A - B deljiva sa 99. Dokazati.

284. Ako ćeli brojevi a i b imaju isti ostatak pri deljenju celim brojem i

tada razlika a - A je takode deljiva sa c Dokazati.

39

285. Dokazati da je broj:

a) 383 + 373 deljiv sa 75; b) 993 - 743deljiv sa 25;

c) 9 999 deljiv sa 3, 9, 11i 101; d) 673 —1deljiv sa 10;

e) 79s —1deljiv sa 10; f) 54° - 1 deljiv sa 5;

h) 9y + 9 deljiv sa 10; i) 9 33 + 14 deljiv sa 5;

j) IO3 —3 deljiv sa 3 (k prirodan broj).

286. Primenom osnovnih algebarskih identiteta dokazati jednakost:

a 53 - 34 8 ^ 54 —26 17

a) 54 + 2-152 + 34 *7 ’ 54 + 24 -5' + 26 33

287. * Ako je n prirodan broj tada je broj 4n* 2 + 5"+ 2 + 4 "+ 3 + 5n+ 3, deljiv

sa 10. Dokazati.

288. * Polinom a3 - 2(a - 1) - a, deljiv je sa kvadratom binom a —1. Dokazati.

289. Ako je n ceo broj polinom n' + 2 n} — n2 — 2 n ima za činioce četiri

uzastopna broja (n > 1). Dokazati.

290. Ako se proizvodu od dva uzastopna parna broja doda 1, dobija se

kvadrat neparnog broja, koji se nalazi između njih. Dokazati.

291. * Ako različita slova označavaju različite cifre, odrediti brojeve u jednakostima:

a) AB( =ČDB; b) MAK = AKA; c) A* = CBDE:

d) ABr = DEĆD. 3

292. Odrediti sve prirodne brojeve n za koje je —----- prost broj.

293. Odrediti sve prirodne brojeve n za koje je:

a) 9 n~ —25 prost broj; b) 16 n2 —121 prost broj.

294. Brojevi p, p + 2 i p + 4 su prosti. Odredi p.

295. Svaki prost broj veći od 3 ima oblik 6 k + 1 ili 6 k + 5. Dokazati.

296. Kvadrat prostog broja većeg od 3 ima oblik 12 n + 1. Dokazati.

297. Dokazati da prosti brojevi oblika 3 k + 1 imaju oblik 6/7+1.

298. Odrediti sve proste brojeve p, takve da brojevi //+ 10 i p+ 20 su

lakođe prosti.

299. * Brojevi p i 8 p~ + 1 su prosti. Dokazati da je broj 8 + 2 p+ 1

takođe prost.

40

300. Ako je p prost broj. tada je i i p : + | prost broj samo za p = 3. Dokazati.

301. Dokazati da suzama koji prirodan broj rt, brojevi 21 u + 4 ¡14//4-3

uzajamno prosti.

302. Prost broj p> 2 je razlika kvadrata dva prirodna broja. Odrediti ove

brojeve.

303. Ako je n ceo broj, dokazati da je n4 —n~ deljivo sa 12.

304. * Dokazati daje zbir kubova tri sukcesivna ćela broja deljiv sa 9

305. * Ako je zbir tri uzastopna ćela broja neparan broj, dokazati daje njihov

proizvod deljiv sa 24.

306 * Dokazati daje broj A = n ' + 3 n: - n - 3, deljiv sa 48 za n neparno.

n* -

307. a) Dokazati da je broj A = —— I----- 1----- - ceo broj ako ¡e n paran

24 8 12

broj.

b) Za koliko se poveća petocifren broj ako mu se svaka cifra poveća za 1.

308. Da li su brojevi:

a) 88 ; b) 9° ; c) 5" ; d) 76 , potpuni kvadrati?

309. * Dokazati da je proizvod četiri sukcesivna ćela broja uvećan za I

kvadrat celog broja.

310. Ako je n prirodan broj. onda je 5" + 5"+l 4-5"*:: deljivo sa 155 Dokazati.

311. Dokazati daje broj n{n2+ 2) deljiv sa 3 za svako n £ ,V.

312. Odrediti prirodne brojeve m i n, (m> n) za koje je zbir brojeva

(m + n). (m —n),(mn), — jednak 245.

313. Dokazati daje izraz 8" + 8"*' 4- 8"+ deljiv sa 584. n £ A'

314. Zbir prvih n uzastopnih prirodnih brojeva jednak je trocifrenom

broju čije su cifre jednake. Odrediti /; i traženi trocifreni broj

315. Dokazati da je za svaki prirodni broj n izraz /; ’ + 1988« deljiv sa 3.

316. Ako su a, b, c realni brojevi za koje važi a + b 4- c = 0 i abc = 1999,

onda je a(a + b)(a + c) = I 999. Dokazati.

317. Dokazati da je izraz 2" +2'1*1+2"r i .ne N, deljiv sa 14.

318. Ako je n paran prirodan broj, onda je n' - I 990 «deljivo sa 6 Dok.:

zati.

41

319.

320.

321.

322.

323.

324.

Izračunati zbir

1999’ - 1998: + 19972 - 1996: + ... + 3: - 2: + l 3.

Ako je n prirodan broj tada je

(2« —3)(2;i- 1)(2>i + 1X2/7+ 3) + 16. potpun kvadrat. Dokazati.

Dokazati da su periodični decimalni brojevi:

a) 0.777... ; b) 0,171717... ; c) 0,243243243... ; d) 2,292929... racionalni

brojevi.

Dokazati da je broj V2 + -/iT. iracionalan.

Dokazati daje n + -Jn iracionalan broj, ako n nije kvadrat nekog celog

broja. , , ................ a + o .

Ako jeo* + b‘ = 6ab, (a i ¿ćeli pozitivni brojevi), tada j e ----- - ira-

£7—0

cionalan broj. Dokazati.

325.

326.

327.

Dokazati identitete (325-330)

£i + |o | _ fa,£/>0

a) 2

0, £7 < 0

2 x + [x|

+ x + U|=."

.V- I-Vl + x-|xj = -K

- . x > 0

3x, x > 0

x

—, .v < 0

3

3x, x < 0

« -£ / £/.«<()

b)

0, a > 0

328.

£7 + 2 + | <

329. * £ ± 2 !ji + |a ± 2 d 2 ± i ! j i = „ = + 4 a + 4.

x-5 + |x-5|y + .(£ ^x-5-|x-5|^2

T i - | , - s |)-

330. *

= {x~ 5 )2.

331.

332.

42

Resiti jednačine (331—334):

a) j x | = 2 x —4; b ) |x - 3 | = 5.

a ) |x - 2 | = 2 x + 4; b ) |x + 2 |= 2 x + 4 .

333.

334.

335.

336.

a ) M + | * - 2 | = jr + 4; b) | x + 2 1+ 1x - 2 1= 3 x + 4.

„v 1 _ l . . . 1 I

1*1 2’ ! * - i | x - i ‘

Odredili intervale u kojima se nalazi realan broj x da bi bile tačne

nejednačinc (335-338):

a)|.v|<2;

b)|.r|>3.

a) | .v —2 | < 5; b)|2.r-3|<l.

337.

a) | - jr + 31< 4;

b) | - x + 11> 3.

3 7

4 4

338. a) —jr + 5 > —; b) | —.r - 6 1< —

2 2

5 1 5

339. Ako * je /(.v) = | .v + 31+ | .r - 31+ | .v: - 11, tada je / ( - jc) = /(.r).

Dokazati.

340. Ako * je f(x ) = i — - ( ~ 5 ’ tada je ^ = /(*)■ Do*

kazati.

3.2. Približne vrednosti. Apsolutna i relativna greška. Granica

greške. Značajne cifre i zaokrugljivanje brojeva

Primedba 1. Približni broj a naziva se broj koji se razlikuje od tačne

vrednosti ,v.

Definicija 1. Razlika# = |.v —<r/| naziva se apsolutna greška približnog broja a.

Definicija 2. Granica apsolutne greške At/približnog broja je svaki broj koji

nije manji od apsolutne greške tog broja, tj. |x —a\ < A o«> -A t/ < x - a<Aa

a - Ao < x < o + Ati, kraće x = ct± A a.

Definicija 3. Relativna greška, u oznaci đ, približnog brojanje količnik apsolutne

greške# i apsolutne vrednosti taćnog (približnog) broja( .r * O ia* 0), tj.

d = — , odnosno d = —. ako se ne zna tačna vrednost broja.

1*1 k l

Definicija 4. Granica relativne greške datog približnog broja naziva se svaki

Ai/

pozitivan broj đa. koji nije manji od te greške, za koje je 6 < đu, ili -—- S t),,

tj. A|jr|đ0. Pošlo je x = ci, prethodna formula postaje Aa=\a\da ili

° kl

6 = ^ .

43

341. Sa x ~ a označava se da je a približna vrednost za x. U sledećim

primerima izračunati apsolutnu i relativnu grešku:

a) 5 = 4.6; b) 2,564= 2,56; c) 0,881 = 0,88;

dl 8 = 7,98; e) 54.326= 54,32; 0 0.9991 = 0,999.

342. U kome se intervalu ■'alazi broj ,r ako je:

a) x = 56m( ± 0.02 m i; b) x ~ 75kg(± 0,003 kg);

c).r= 25± 0.006 d ).r= 8 km(± 0.016 km)?

343. Odrediti granicu apsolutne greške načinjene pri merenju težine nekog

tela ako se zna da se njegova težina nalazi između 32.5S2 kg i

32,588 kg.

344. Odrediti relativnu grešku približnih brojeva:

a) 40 m(± 0,006 m ); b) 40 kg( ± 0,005 kg);

c) 25 m(± 0.006 m); d) 8 km + ( ± 0,016 km).

Zatim izračunati grešku u procentima.

345. Rastojanje dva mesta na karti iznosi 24,6 cm (± 2 cm). Izračunati

rastojanje ta dva mesta u prirodi ako je razmera karte 1 : 2 500 000.

346. Pretvoriti razlomak ~ u decimalan broj ako je granica apsolutne

greške A<r a) 0.1; b) 0,01; c)0,00I; d) 0,0001.

347. Izračunati relativnu grešku približnih brojeva:

a) 2,5 kg(±0,002 kg); b) 5,6 m {±0,07 m);

c) 17,5 km (±14 m); d) 37,5 m (±24 mm).

348. Relativna greška približnog broja a = 8,64. da = 0,005. Izračunati

granicu apsolutne greške približnog broja.

349. Približni brojevi: a) 9,6; b) 0,64; c) 15,0; d) 6,4 dobijeni su na osnovu

pravila o zaokrugljivanju brojeva. U kojim granicama pripada

broj čija je približna vrednost data? Kolika je granica relativne

greške datog broja?

350. Ako je merena veličina a, apsolutna greška A a, relativna greška 6 a\

naći jednu od veličina ako su druge dve date:

a) A a = 0,1, a = 5,63; b) a = 6,425, d a% = 4% ;

c) A ¿7=7,8, ¿¿7 = 0,005.

351. Odrediti koliko pouzdanih cifara ima broj a = 2.3752 ako je relativna

greška tog broja ¿77 = 0,01.

352. Koliko pouzdanih cifara ima podatak 427,604 (±0,013)?

44

353.

354.

355.

356.

357.

358.

359.

360.

361.

362.

Ako je merenjem dva predmeta utvrđeno da su im dužine a = 5,43

(±0,03) m i 6 = 1,41 (±0,01) m, koje je merenje tačnije?

Dva tela su izmerena na istoj vagi, pri čemu se dobilo: Qt = 24,5

(±0,05) g; 0 2 = 12,380 (±0.05) g. Koje je telo izmereno tačnije i

koliko puta?

Odrediti razliku približnih vrednosti brojeva a = 5.863 ± 0.00005, i

6 = 2,746 ± 0,0005, zatim izračunati apsolutnu i relativnu grešku

razlike.

Odrediti proizvod brojeva 0,456 ± 0,0005 i 3,35 ± 0,0005 i relativnu

grešku proizvoda.

Date su približne vrednosti brojeva

a —l,2± 0,05,6 —3,46 ± 0,03, c= 5,09 ± 0,004. Izračunati x = —-■ .

h + c

A x i d x.

Zaokružiti brojeve:

a) 50 864, 196 438, 75 049 do stotica;

b) 65 384, 8 546 496, 1487 796 do jedinica trećeg reda;

c) 5,436; 83,6073; 0,8965; 8,9987 do stotih;

d) 12,3606; 6,00053; 0,5406 do trećeg decimalnog mesta

Koristeći pravilo parne cifre, zaokružiti do jedinica sledeće brojeve

83,5; 254,5; 869,5; 2 056.5.

Rastojanje između dva električna stuba mereno je četiri puta; u

prvom merenju dobijeno je 49.05 m, u drugom 49,10 m. trećem

48,97 m i četvrtom 48,87 m. Izračunati srednje rastojanje stubova i

zaokružiti ga u metrima.

Pretvoriti —u decimalan broj, pa ga zaokružiti postupno do drugog,

trećeg i četvrtog decimalnog mesta.

Pretvoriti u decimalan broj sledeće mešovite razlomke.

a) 2 — (pa ga zaokružiti na dva decimalna mesta);

b) 7 —(pa ga zaokružiti do treće važeće cifre).

6

45

IV

G LA V A

4. PROPORCIONALNOST VELIČINA

4.1. Razmera i proporcija

1°. Ako su a i b realni brc; i (b ^ 0), količnik a:b = k, odnosno —= k

nazivamo razmerom broje\ a a i b, k je vrednosl razmere.

2°. Jednakost dveju jednakih razmera a\b = c:d naziva se proporcija.

Članovi a i d su spoljašnji, a b i c unutrašnji članovi proporcije. Važi

ekvivalencija a : b= c : d o ad = bc, (abcd ^ OJ.

3°. Jednakost tri ili više jednakih razmera naziva se produžena proporcija.

Važi ekvivalencija:

, a b c d ,

a:m = b\n = c:p= d:qo> — = - = — = — {a, b,c, d, m, n, p,q * 0).

m n p q

<363. Izračunati nepoznati član ,v u sledećim proporcijama:

a) j::(2 + x)= 10,5:21; b) (x - 3): 15 = 2 1 ; 35;

46

c) 15 :(2 jc~- 1) = ^ : ( x - 4); d) (a + x ) : (a - x) = p : q.

364. Iz proporcija x :y = 5:4, ^ :z = 8 :1 5 i z : 3 - 6: 2 izračunati x.

365. Iz produžene proporcije x : y : 6 = 2 :5 :3 izračunati .* i v.

366. Iz proporcija a\b = 2:1'\ b\c= 6\1 obrazovati produženu proporciju

a:b:c.

367. Iz proporcija:

a) * : y = 8 :5 i y : z = 10:3;

b) *: y = 3 : 4 i y : z = 6 :5;

obrazovati produženu proporciju x:y:z.

368. Dokazati ekvivalencije:

a ) a : b = m : n o b \a —n:m,

b) a : b = m : ti o a : m - b : n.

369. Dokazati ekvivalencije:

a) a : b = c : d o (a + b ): b = (c 4- d ) : d\

b) a : b = c : d o (a —b ): b = (c —d ) : d\

c) (a + b ): (a — b) = (c + d ): (c ~ d) o a : b = c : d.


371.

372.

373.

374.

, a c 4 a - ■3 b _

a )b ~ d * 5a 4- 2b

b ) - = - = c — => 3am

n p im -

4c —3 d

5c + 2d'

b+ 2c a —2b + 3c

a b c d

c) — = ——-- = —=>

a + b + c 4- d

m n P 7 m + n + p + q

a b c

Ako je — = = 4, izračunati:

m n P

a) ci 3b 4* 2c a + b + c

b)

m — 3n + 2p

m + n + p

Dokazati implikaciju:

(o + b + c + d ) : (a - b + c - d) =

= (a + b — c — d) :(a — b — c + d)

Dokazati ekvivalenciju:

J

a c a~ -t- b 2 ac + bd

— <t>-----------

d ac + bd c -f d

¿7

/?j

a:c= h :d.

Data je direktna proporcionalnost formulom y — 1 x.

izabrati četiri vrednosti ,v,, x 2, x 3, x a za x, tako da je

:.r, : jc3 :xA= 1 : 2 : 1 : 3. Izračunati vrednosti y ,, y: , y }, y Akoje

odgovaraju vrednostima jc,f .x,, .v,, xA. Odrediti i uprostili razmeru

yt -y2 ’y 3 *y 4 *

Ispitati tačnost jednakosti y, : y, : y} : y4 = .r, : _x, : ,r3 : ,x4.

2

375. Data je obrnuta proporcionalnost formulom y = —. izabrati vrednosti

x

j:, , x 2, A-j za a, tako daje jc, : x 2 : ,v3 = 1:3:2. Izračunati vrednosti

y>< y2' y i obrnuto proporcionalni sa .x(, x 2, .x,.

Odrediti i uprostili razmeru — :— :— . Ispitati tačnost jednakosti

y2 )’3

1 i i

x\ '•x2 '• xi 1y> •y2-y2 = — :— :~ -

W y2

«*1

47

4.2. Primena proporcija

Primedba. Pri rešavanju zadataka primenom proporcija treba prvo utvrditi

da li su veličine x i y direktno ili obrnuto proporcionalne. Kažemo da su x i y

direktno proporcionalne ukoliko je y = kx, a obrnuto proporcionalne ukoliko

k

za x 1 v važi y — —.

x

376. Od 66 kg prediva dobije se 165 m tkanine. Koliko se metara tkanine

dobije od 112 kg prediva?

377. Zupčanik ima 54 zupca i pravi 84 obrtaja u minutu. Koliko zubaca

ima zupčanik ako pravi ¡26 obrtaja i u prenosu je sa prvim?

378. Radeći dnevno po 8 časova, 21 radnik za 6 dana izradi 720 metalnih

profila; za koliko će dana 28 radnika, radeći po 7 časova, izraditi

1 260 metalnih profila?

379.

380.

c

381.

382.

Radeći dnevno po 6 časova 40 radnika završi neki posao za 20 dana i

za to prime ukupno 192 000 dinara. Koliko dana treba da radi 50 radnika

ako rade po 8 časova dnevno, da bi primili ukupno 160 000 dinara?

Jedna prostorija osvetljena je sa 15 sijalica od 60 W. Koliko bi sijalica

od 75 W davalo isto osvetljenje?

Za 14 kilograma robe plaćeno je 980 dinara. Koliko će se kilograma

robe kupiti za 4 340 dinara?

100 norveških kruna vredi 12 700 dinara. Koliko će se kruna dobiti

za 571 500 dinara?

, 383. 65 radnika iskopa neki kanal za 23 dana. Posle 15 dana 13 radnika

napusti posao. Koliko dana treba onima koji su ostali da završe ostatak

posla?

384. Neki posao 6 radnika može da završi za 5 dana. Za koliko će dana

biti gotov isti posao ako posle 2 dana dođe još 3 radnika?

385. Greda dužine 3 m, širine 20 cm i debljine 100 mm košta 2 000 dinara.

Koliko će koštali greda dužine 4 m, širine 30 cm i debljine

110 mm?

386. Od određene količine bakra može se izvaljati 10 tabli dužine 2 m.

širine 1,5 m debljine 2 mm. Koliko se tabli, dužine 1,2 m, širine 0,5 m

i debljine 4 mm može izvaljati od iste količine bakra?

48

4.3. Račun raspodele i mešanja

Primedba. Rešavanje zadataka iz računa raspodele i mešanja se svodi na

rešavanje linearnih jednačina ili na rešavanje sistema što je detaljno

pokazano u rešenjima zadataka.

387. Dva radnika treba da podele premiju od 270 000 dinara srazmerno

svojim zaradama, koje iznose 650 i 700 dinara po jednom radnom

času. Koji deo premije pripada svakom radniku?

388. Jedan posao su uzela u akord 3 radnika i zaradila 246 000 dinara

Prvi radnik je radio 15 dana po 6 časova, drugi 9 dana po 8 časova, a

treći 12 dana po 7 časova. Koji deo zarade pripada svakom radniku7

389. Podeliti duž od 456 m na tri dela čije će dužine biti redom proporcionalne

brojevima —, —i — .

3 8 12

390. Jedna vrsta mesinga je legura bakra, cinka i olova, iegiranih po razmeri

65 : 34 : 3. Koliko ima svakog metala u bloku mesinga težine

456 kg?

391. Sumu od 728 000 dingra podeliti na tri lica tako da svako sledeće dobije

20% više od prethodnog.

392. Iz preostale dobiti na slobodnom rasprolaganju preduzeće podeli

1386 000 dinara na 2 1 visokokvalifikovanog, 63 kvalifikovana i 126

nekvalifikovanih radnika po ključu 12:8:5. Odrediti pojedinačnu

dobit svakog radnika iz ove tri kategorije.

393. Drvena greda podeljena je po razmeri 5 : 3. Veći deo ima dužinu 1.5 m

Odrediti dužinu ćele grede.

394. Tri električna otpora vezana u seriji stoje u razmeri 2:3.7. Ukupan

otpor je 24 oma. Koliki su pojedini otpori?

395. Fabrika ima 4 pogona. Promet pogona A iznosi X000 000 dinara za

5 meseci, pogona B 12 000 000 dinara za 7 meseci, pogona C 5 000 000

dinara za 6 meseci i pogona D 3 000 000 dinara za 10 meseci Kako

treba rasporediti ostvarenu dobit od 5 520 000 dinara na pojedine pogone,

srazmerno prometu i vremenu?

396. Koliko vode temperature 40° C i vode temperature 25° C treba pomešati

da se dobije 90 litara vode temperature 30° C?

397. Mlinsko preduzeće ima dve vrste brašna, od 720 i od 480 din po 1 kg.

Koliko treba uzeti od svake vrste da se dobije mešavina težine I 200 kg

čija bi cena bila 640 din. po kilogramu?

49

398. Jedan zlatar mesa srebro finoće 600%o i srebro finoće 900%o dobija

600 g finoće 850%o. Koliko grama srebra treba uzeti finoće 600%o, a

koliko srebra finoće 900%o?

399. Koliko treba uzeti sumporne kiseline jačine 52, a koliko jačine 88%

da se dobije mešavina od 144 litra, jačine 72%?

400. Ako se pomešaju 6 kg sumporne kiseline jačine 0,45 i 14 kg jačine

0,75, odrediti jačinu mešavine.

401. Koliko zlata finoće 900%o i zlata finoće 600%o treba legirati da se dobije

30 kg zlata finoće 800%o?

402. Čist vazduh je smeša azota (78%) i kiseonika (21%). a ostalo čine

neki retki gasovi. Koliko ima svakog sastojka u 546 I vazduha?

403. Tri paralelno spojena električna otpora stoje u razmeri 1 : 2 : 5. Ukupan

otpor je 10 oma. Izračunati pojedine otpore.

404. Vinar hoće da pomeša sa vodom 450 / vina koje prodaje po 1 100 din.

Koliko litara vode mora sipati da bi litar mešavine prodavao po 900 din?

4.4. Procentni i promilni račun

Primedba. U procentnom računu pojavljuju se tri promenljive veličine: p

procenat, G osnovna vrednost İli glavnica i P procentni iznos ili prinos i

stalna veličina 100 (procentni račun) i 1 000 (promilni račun). U zadacima

glavnica se pojavljuje:

1°. Kao čista glavnica G - procentni račun do sto.

P :p = G: 100;

2°. Kao uvećana glavnica (G + P) - procentni račun na sto.

P :/j = (G + P ) : (100 + p)\

3°. Kao umanjena glavnica (G - P) - procentni račun u sto.

P :p = (G — P):(\00 — p).

405. Izračunati 15% rabata od 55 400 dinara.

406. Sa 6% zarade roba je prodata za 1 272 000 dinara. Kolika je nabavna

cena robe?

407. Roba je sa 5% gubitka prodata za 212 135 dinara. Odrediti nabavnu

cenu robe.

408. Amortizacioni fond preduzeća povećan je od 5 620 000 dinara na

5 844 800 dinara. Koliko je povectyıje u procentima?

50

409. Najednom poljoprivrednom dobru ubrano je 13 540 vagona kukuruza.

Posle sušenja težina istog kukuruza je opala na 10 832 vagona

Koliko je to u procentima?

410. Štof je pojeftinio za 12%, tj. za 840 dinara prodaje se jevtinije.

Izračunati koliko je štof koštao pre, a koliko posle pojeftinjenja?

411. Norma je prebačena za 22% i proizvedeno je 89 060 jedinica proizvoda.

Izračunati normu.

412. Zajedno sa povećanjem od 16% trgovina je primila za prodam robu

371 200 dinara. Koliko je povećanje?

413. ) Na prodaji robe bio je gubitak 6%. Ako je roba prodata za 376 000

dinara, izračunati koliko košta roba.

414. )Po odbitku 12% provizije primljeno je 4 224 000 dinara. Kolika je

’ provizija?

415. Kaput je koštao pre pojeftinjenja 160 000 dinara, a sada košta 146

160 dinara. Za koliko je procenata cena snižena?

416. Robi je snižena cena za 20% i sada iznosi 4 640 dinara. Kolika je

bila stara cena?

417. Prcduzeće planira dobit od 2 542 000 dinara, a ostvari 2 389 480 di

nara. Kolika je u procentima ostvarena dobit?

418. Nagrada radniku po jednom času od 6 500 dinara poraste na 7 020

dinara. Koliko je to u procentima?

419. Pri obradi gvozdenog profila otpadak iznosi 2,76 kg, a u procentima

8%. Kolika je težina profila pre obrade?

420. Sa 4% troškova za robuje plaćeno 128 960 dinara. Kolika je bila kupovna

cena robe, a koliko je bilo troškova?

421. Sa povišenjem 15%, nagrada radnika je 2 875 dinara. Koliko je primao

po jednom Času pre povišenja?

422. Uz maržu od 15%, jedan metar štofa prodaje se po 5 980 dinara

Kolika je nabavna cena?

423.__Sa 5% vlage hektolitarska težina žita je 84 kg. Kolika je hektolitar-

__ ska težina žita posle sušenja ako procenat vlage ostane 2.5%''

424. /Pri transportu povrće kalira 8%, tako da sada teži 10 040 kg. Koliko

'■— je kilograma povrća kupljeno?

425. Najednom krosu u toku trke otpalo je 15%. te su na cilj stigla 102

učesnika. Koliko je učesnika stanovalo?

51

426. Pri kupovini robe za gotovo dobija se popust od 2,5%. Ako je na

računu 14 040 dinara. Kolika je prodajna cena robe?

427. Sa gubitkom od 2%, trgovinsko preduzeće proda 15 400 kg povrća za

452 760 dinara. Kolika je bila kupovna cena jednog kilograma povrća?

428. Odrediti 8 —%o od 3 246 000 dinara.

8

429. Posrednička provizija iznosi 636 dinara, a računata je od 424 000 dinara.

Odrediti promilnu stopu.

430. Provizija 7%o iznosi 602 dinara. Od koje je sume računata?

431. Troškovi su opteretili robu sa 17%o, tako da roba košta 292 896 dinara.

Koliko iznose troškovi?

432. Sa 2%o provizije roba je ustupljena za 1 251 999 dinara. Kolika je

bila kupovna cena robe?

433. Da li će se promeniti površina pravougaonika i za koliko (u procentima)

ako mu se dužina poveća za 30%, a širina smanji za 30%?

434. Jedna knjiga je za 25% skuplja od druge knjige. Za koliko procenata

je druga knjiga jeftinija od prve knjige?

435. Cena nekoj robi povećana je za 50%. Ža koliko procenata novu centi

treba smanjiti da bi se vratili na staru cenu?

436. Na kontrolnoj pismenoj vežbi bila su data tri zadatka. Pri lome 12%

učenika nije resilo nijedan zadatak, 32% učenika resilo je jedan ili

dva zadatka, dok je 14 učenika resilo sva tri zadatka. Koliko je ukupno

učenika radilo vežbu?

4.5. Kamatni račun

Priinedba. Ako je K ulog (kapital), p kamatna stopa, / kamata, i vrente u

godinama, m vreme u mesecima, d vreme u danima, tada je:

_ Kpt _ Kpm _ Kpd

~ 100’ “ 1200’ “ 36000'

437. Štediša je uložio 540 000 dinara na štednju sa 7,5% kamatne stope.

Koliko će kamate dobiti štediša posle 4 godine?

438. Koliko kamate donosi ulog od 108 000 dinara, po 8% kamatne stope

za 4 meseca?

439. Kolika je kamata na dug od 75 000 dinara sa 6% za 80 dana?

52

440. Kamatna stopa na ulog oročen na 6 meseci iznosi 75% Koliki je

ulog ako je na kraju obračunato 45 000 dinara kamate?

441. Sa kojom kamatnom stopom ulog od 540 000 dinara donese /a 30

dana kamatu od 4 500 dinara?

442. Zajam od 840 000 dinara sa 9% kamatne stope uzet je 15. marta

Kada je vraćen dug ako je na ime kamate piaćeno 8 400 dinara ’

443. Zajedno sa 8% kamate za 4 godine dužnik je isplatio dug sumom od

132 000 dinara. Koliki je bio dug, a koliko je platio na ime kamate''

444. Sa 6% kamate jedan ulog porasle za 75 dana na sumu 121 500 dinara.

Koliki je ulog?

445. Po odbitku 4% kamate za 3 godine dužnik je primio 440 000 dinara

Koju sumu dužnik treba da vrati posle 3 godine?

446. Zajedno sa kamtom 9% za 80 dana poverilac je primio 234 600 dinara.

Koliki je kapital, a kolika kamata?

447. Po odbitku 7% kamate za 55 dana. banka je isplatila 712 300 dinara

Od koje sume je raćunata kamata i koliko ona iznosi?

448. Zajedno sa kamatom 6% za 60 dana, dužnik je platio 222 200 dinar u

Koliki je kapital, a kolika je kamata?

449. Po odbitku 6% interesa za 110 dana dužnik je po meničnom zajmu

primio 147 250 dinara. Na koliku sumu glasi menica.’

450. Po odbitku 7,5% kamate za 40 dana dužnik je primio 440 300 dinara.

Koliku sumu ima da vrati?

53

V

G LA V A

5. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE

5.1. Podudarnost figura

Primcdba. U geometriji veliku primenu ima pojam podudarne figure:

duži, uglova, trouglova itd Dve figure su podudarne ako postoji

preslikavanje koje ih dovodi do uzajamnog poklapanja. Ako su dve figure

podudarne njihovi odgovarajući elementi su jednaki. Kod podudarnih

trouglova važi ekvivalencija:

A ABC = A A lB ]Cl o 4 5 = 4,5, A SC = 5,C, A CA=C, 4, A

ALA = ¿ 4 , A LB = LB, A LC = Z.C,.

Minimalan broj uslova da dva trougla budu podudarna daju se sledećim

stavovima o podudarnosti trouglova.

1°. Stav SUS:

AB = 4,5, A AC = 4,C, A LA = Z.4, => A ABC s A 4 ,5 ,C ,.

2°. Stav USU:

LA = L A, A AB = 4,5, A LB = Z.5, A 45C = A 4 ,5 ,C 1.

3°. Stav SSS:

45 = AtBt ABC = B,Cl AC4 = C,4, => A ABC = A 4 ,5 ,C,.

4°. StavSSU:

4 5 = 4,5, A 4C = 4,C, A LC = LC t A AB > AC ^ A 45C = A 4 ,5 ,C ,.

Označimo stranice trougla 45C sa: BC = a, AC = b i 4 5 = c,

naspramne uglove sa a, /? i y, odgovarajuće visine sa, ha, hh i hc i

simetrale uglova sas u, s i s .

Dokazati da su trouglovi ABC i 4 ,5 ,0 , podudarni kada su im jednaki

sledeći odgovarajući elementi (451-453):

451. a)ff = a,, 6 = 6, i h„ = h6i; b)o = <7,, c = c, i hb = hbi.

452. a)a = a„c = cl i tc = tq; b) c = c,, hc = hc>i tc = tCi .

453. z)b=b],sy = sYi i y = y]; b )c = c\,a = a t i sp =sfi>.

454. Dokazati da su dva jednakokraka trougla podudarna kada su im jed

naki elementi (a osnovica, b krak jeđnakokrakog trougla):

a )a = at,hh=htt\ b )b = bt,y = Y \‘> C )a = ax,ha=hat.

54

455. Dokazati da su dva pravougla trougla podudarna kada su im jednaki

elementi (o i b katete, c hipotenuza trougla):

a)a = a, i b= b, ; b)a = a,,a = a,; c)b= b,,c = cr

456. Trouglovi ABC i ^,5,Cj su podudarni ako su D i D, unutrašnje

tačke stranice AB i A^BÂ - D - B, A, - £), - ) i ako je

LBCD = LB\C^DS. Dokazati daje AD = AtDr

457. Na visini CD koja odgovara osnovici AB jednakokrakog trougla

ABC uočena je tačka M, koja je spojena sa temenima A i B Dokazati

da su trouglovi AMC i BMC podudarni.

458. Dokazati da su trouglovi ABC i -4,i?|Cj podudarni ako su im jednake

visine CD = C[Di, uglovi L CAD = CtAiD] i L CBD = Z. CiBiDi.

459. Dokazati da su trouglovi ABC i AiBiCi podudarni ako su im jednake

visine CD — C,D, i duži AD = AtDt i BD = ¿t,/),.

460. Dva jednakostranična trougla su podudarna ako su im jednake

visine. Dokazati.

461. Dva trougla su podudarna ako su im jednake po jedna stranica,

visina i medijane, koje odgovaraju tim stranicama. Dokazati.

462. Ako je prava s simetrala duži AB i M G jr, tada je A M = MB. Dokazati

463. Ako je poluprava O, simetrala ugla xOy, tačka M 6 s, tačka A E Ox,

B E Oy, MA ± Ox i MB L Oy tada je MA = MB. Dokazati.

464. Trougao je jednakokraki ako i samo ako su mu dve težišne linije jednake.

Dokazati.

465. U svakom jeđnakokrakom trouglu jednake su:

a) visine koje odgovaraju kracima;

b) težišne duži koje odgovaraju

kracima. Dokazati.

466. Primenom podudarnosti trouglova

izračunati širinu reke AB ako je

J5C = CD, A 1= A 2 = 90° Posmatrač

koji se nalazi u tački E vidi da

tačke A i C pripadaju istoj pravoj,

a DE = 70 m (si. 3).

467. Data su dva podudarna trougla. Dokazati:

a) njihove odgovarajuće težišne duži su jednake;

b) njihove odgovarajuće visine su jednake;

c) njihove odgovarajuće simetrale unutrašnjih uglova su jednake

55

468. U trouglu ABC stranica BC + 2AC, konstruisana je medijana AD.

Tačka E je središte duži DC, a K središte duži AC. Presek duži AE i

DK je tačka O. Dokazati:

a) Trougao ADO je jednakokraki;

b) AD je simetrala ugla BAE.

469. Dat je jednakostraničan trougao ABC. Na produženima stranica

AB,BC,CA konstruisani su odgovarajući odsečci BC, = AB,

CA, = BC, AB, = CA.

a) Dokazati daje trougao A,B,C, jednakostraničan;

b) Ako je P presek pravili A,B i C,A, tačka Q presek pravih C,A i

B,C i tačka R presek pravili A,B i B,C. Dokazati daje trougao PQR

takođe jednakostraničan.

470. U oštrouglom trouglu ABC tačke C,,AVB} su središta redom

stranica AB,BC, AC. Tačka H je podnožje visine konstruisane iz

temena A.

a) Kakav je četvorougao 5 ,0 ,^ ,//?

b) Prave AA, i B,C, seku se u tački K ,. Dokazati daje KB, = KC,;

c) Težišta trouglova ABC i AxBlCl se poklapaju. Dokazati.

471. Ako su kraci BA i CA jednakokrakog trougla BAC produžena preko

vrha A tako da je AE = AF, tada je FB = EC{F G AC,E G AB).

Dokazati.

472. Počev od dva suprotna temena romba konstruišu se na svaku stranicu

jednake duži. Četvorougao koji na taj način nastaje je pravougaonik.

Dokazati.

473. Dokazati da su dva trapeza podudarna ako su im jednake osnovice i

dijagonale.

474. Dva jednakokraka trapeza su podudarna ako su im jednake osnovice

i visine.

475. * Dat je paralelogram ABCD i prava p koja sa paralelogramom ima

samo jednu zajedničku tačku i to je teme D. Neka su A',B',C'

podnožja normala konstruisanih iz A, B, C na pravu p. Dokazali da

je AA' + CC' = BB‘.

476. Dat je jednakokraki trougao ABC i prava / koja je normalna na osnovicu

AB. Ako prava / seče jedan krak u tački M, a produžetak

drugog kraka u N, tada je trougao MNC jednakokrak. Dokazati.

477. * Dat je jednakostraničan trougao ABC. Svaka od stranica AB,BC,

CA, produžena je preko temena B,C,A za duž d tako da je

BM = CN = AP = d. Dokazati daje trougao MNP takođe jednakostraničan.

56

478. U trouglu ABC bilo koja težišna duž jednako je udaljena od druga

dva temena. Dokazati.

479. * Dal je jednakokraki trougao ABC sa vrhom u A i visinom /?/?, Ako

su iz ma koje tačke D osnovice BC konstruišu: DELAB i DFlAC,

tada je zbir BE + CF stalan i jednak CBr Dokazati.

480. U jednakokrakom A ABC simetrala kraka BC seče produženu osnovicu

AB u tački D. Na pravoj CD konstruisan je odsečak CE — DA,

D — C - E. Dokazati:

1° trougao DBC je jednakokraki;

2° trougao DBE je takode jednakokraki,

481. * U paralelogramu ABCD tačke F i E su središta naspramnih stranica

AB i CD. Odsečci AE i FC dele dijagonalu BD na tri jednaka dela

Dokazati.

482. * U jednakokrakom trouglu ABC simetrala kraka BC šeće osnovicu.-!/?

u tački D, lako da je A - D - B. Kada je na duži CD tačka E takva da

je CE = AD i C — D — E, dokazati da je:

1° trougao DBC jednakokraki;

2° trougao DBE jednakokraki.

483. * Ako se iz ma koje tačke M koja pripada osnovici AB jednakokrakog

trougla ABC konstruišu normalne duži MD i ME na oba kraka

(D £ AC, E £ BC), zbir ovih duži je konstantan i jednak visini

trougla koja odgovara kraku. Dokazati.

484. * Dat je trougao ABC. Na njegovim stranicama spolja konstmisani su

jednakostranični uouglovi ABM. BCN i A CP. Dokazati da su duži

AN, BP i CM jednake.

Označimo stranice trougla ABC sa BC = a, AC = b i AB = c,

naspramne uglove sa a, p i y, odgovarajuće visine sa hd, hh i h ,

težišne duži sa td, lh i tc i obim trougla sa 2.y. Konstruisati trougao

ABC ako je on zadat sledećim elementima (485-491):

485. a) a, c, ta\ b)c,p, ia.

486. a) a, p, hh; b)/?. K-

487. a) fi, K, tc\ b) V tc,c.

488. a) a + c, hc. P: b) a + b, c,

489. a )a + b,hh, c; b) a —b, c, P (a > b).

490. a) c - a , P, hc(c>a)\ b) c, p.

491. a) 2s, a, P\ b )s.p, hc.

57

492. Konstruisati jednakokraki trougao a k o su dati elementi («osnovica,

b krak ):

a)a,hh; b) b, htl\ c)a + b,/3; d) b - a,a,(b>a).

493. Konsturisati jednakostraničan trougao ako su dati:

a) zbir stranice i visine;

b) razlika stranice i visine.

494. Konstruisati jednakokrako-pravougli trougao ako su dati:

a) zbir kraka i hipotenuze;

b) razlika hipotenuze i kraka.

495. Konstruisati pravougli trougao ako su dati:

a) kateta i jedan oštar ugao;

b) oštar ugao i težišna duž koja odgovara hipotenuzi;

c) zbir katete i hipotenuze i oštar ugao;

d) razlika kateta i oštar ugao.

496. Konstruisati kvadrat ako su dati:

a) zbir stranice i dijagonale;

b) razlika dijagonale i stranice.

497. Konstruisati pravougaonik ako su dati:

a) zbir stranica a + b i dijagonala d\

b) zbir kraće stranice i dijagonale b + d i stranica a;

c) dijagonala d i razlika stranica a — b (a > b)\

d) razlika dijagonale i manje stranice d — b i duža stranica a.

498. Konstruisati paralelogram ako su dati:

a) stranice a, b i visina ha;

b) stranica a i dijagonale dt i d2,

c) duža stranica a, dijagonala dt i oštar ugao a\

d) dijagonale du dl i visina ha.

499. Konstruisati romb ako su dati (c/, i d2 su dijagonale, a - oštar ugao.

h —visina, a - stranica):

a) dt, a\ b) dt, d2\

c) a, d] + dz\ d) a, dt —d2(d, > d2),

500. Konstruisati trapez ABCD (gde su osnovice AB = «, CD = b, kraci

BC — c, AD = d i visina koja odgovara osnovici h) ako su dati:

a) a, b, d, h\ b) a, b, c, a;

c) a, b, «j, d2 (J, i d2 dijagonale trapeza);

d) a —b, h, £?,,(«> b).

58

501. Konstruisati jednakokraki trapez ako su dan:

a) osnovice i oštar ugao;

b) osnovice i dijagonala;

c) zbir osnovica, krak i dijagonala.

502. Konstruisati pravougli trapez ako su dati zbir osnovica i obe dijagonale.

503. Konstruisati deltoid ako su date obe dijagonale i jedna stranica.

5.2. Ortogonalnost prave i ravni. Ugao prave i ravni

Definicija. Prava p normalna je na ravan n (p ± J i) ako prava p i ravan n

imaju zajedničku taćku P i prava p je normalna na sve prave ravni .1 koje

sadrže tačku P.

Košijev stav. Ako prava p prodire ravan jt u tački P i ako je pri lome ona

normalna na dvema pravama a i b, koje pripadaju ras ni jt i sadrže tačku P,

tada je prava p normalna na ravan jt.

Ugao između prave i ravni. Ako prava p nije normalnu na ravan jt. tada

oštar ugao određen pravom p i njenom ortogonalnom projekcijom p' na

ravan jt naziva se ugao između prave p i ravni jt. Ako je prava normalna na

ravan, ugao između prave i ravni je prav

504. Ako su dve ravni paralelne sa trećom, one su paralelne i medu sobom.

Dokazati.

505. Prava p je paralelna sa ravni jt. Dokazati da postoji jedna i samo

jedna ravan a \ \n koja sadrži pravu p.

506. Odrediti geometrijsko mesto tačaka prostora sa osobinom da su sve

tačke podjednako udaljene od krajeva date duži.

507. Koji je dovoljan uslov da su prava i ravan uzajamno normalne9

508. Ako prava p sadrži tačke M i A/,, koje su podjednako udaljene od

krajeva date duži AB; dokazati daje prava p normalna na duž AB

509. Odrediti dužinu projekcije duži čija je dužina a cm i koja obrazuje sa

projekcijom ravni ugao: a) 60°; b) 30°; c) 45°.

510. Iz tačke M konstruisane su duži MA i MB do rasni jt (A. BE :x i.

Obe duži sa ravni jt zaklapaju ugao od 45°. Odrediti ugao između

njih ako su njihove projekcije na ravan uzajamno normalne

511. Iz tačke M konstruisana je na ravan jt normalna duž MM = u i d\ t

duži, MA i MB, koje sa ravni jt obrazuju ugao od 30°, a među sobom

ugao od 60°. Odrediti raslojanje između tačaka A i B

59

512. Iz tačke M konstruisane su do ravni n kose duži MA = 20 cin i MB =

15 cm. Projekcija prve duži na ravan n je 10 cm. Odrediti projekciju

druge duži.

513. Prava p prodire ravan n u tački K, a prave a i h pripadaju ravni rr i

aC\ b= Ako prave a i h zaklapaju jednake uglove sa projekcijom

/>, prave p, one zaklapaju jednake uglove i sa pravom p. Dokazati.

514. Dale su dve mimoilazne prave p i q i tačka A. Konstruisati pravu

koja sadrži tačku A i normalna je sa pravama p i q.

515. Dat je jednakokraki trougao osnovice AB = 6 m i kraka AC = 5 m.

Osnovica pripada ravni Jt, a vrh C je na rastojanju 2 m od ravni.

Odrediti ugao između ravni n i ravni trougla.

516. Tačka A pripada jednoj strani pravog diedra. a tačka B drugoj. Projekcije

tačaka A i B na ivicu diedra su tačke A, i Br Odrediti uglove

koje duž AB obrazuje sa stranama i ivicom diedra ako je AA, = BB{

= a cm i AtBi : AAS—-Jl.

5.3. Vektori

Vektor. Orijentisana duž naziva se vektor.

Uređen par tačaka (A,B) određuje vektor AB, odnosno (A,B) — AB.

Suprotan vektor, vektoru(A,B)je vektor{B, A), odnosno(A,B) = —(B,A).

Nula vektor je vektor ( A, A) = 0.

Proizvod realnog broja k i vektora v je vektor k v sa svojstvima

1°. Intenzitet vektora k vje \k v|=|A|jv|,

2°. Vektori v i k vsu istog pravca,

3°. Vektori vi k vsu istog smera ako je A' > 0 i suprotnog smera ako je k < 0.

517. Dati su vektori u i v. Konstruisati vektore jednake:

a)3i/+2v,

b)3w—2v.

518. Četvorougao čije dijagonale se uzajamno polove je paralelogram.

Dokazati.

519. Tačka M je središte stranice BC trougla ABC. Dokazati da je

AB+AC=2AM .

60

520. Dokazati da je moguće konstruisati trougao čije su stranice jednake

težišnim linijama datog irougla ABC.

521. Nad vektorima AB i AD konstruisan je paralelogram ABCD.

Odredili dijagonale paraielograma u funkciji datih vektora.

522. Nad vektorima AB i AD konstruisan je paralelogram. izraziti u funkciji

AB i AD vektore: OA, OB, OC, OD, gde je ACHBD = ¡O}.

523. Dijagonale romba ABCD su AC i BD. Izraziti preko njih vektore koji

se poklapaju sa stranicama romba.

524. Središta stranica AB, BC, CA trougla ABC su redom tačke C ,, A., B,,

a M je proizvoljna tačka ravni trougia. Dokazati da je

MA i + MBt + A/C, = MA+ MB+ MC.

525. Ako je T težište trougla ABC, tada je TA + TB+TC = 0. Dokazati

526. Da li su središta stranica proizvoljnog ćelvorougla temena paralelograma?

527. Dat je pravilan šestougaonik ABCDEF.

a) Ako su AX,B^,CUDX, EX,FXsredine njegovih strana AB, BC,CD.

DE, EF, FA, dokazati daje

AAI + BB]+CCI + DD, + EEI + FFI =0;

b) Ako je AA, = m, BB{ = n, odrediti vektore

ac,dd¡,ee¡,ad,ccx,ea,Je.

528. U A ABC tačke M i K su središta stranica AB i BC. Dokazati daje:

a) AC = 2 MK;

b) MK = ^|/?C + BA

529. Dat je pravilan šestougaonik ABCDEF. Ako je AB = p. BC ~ ./.

izračunati vektore CD, DE, EF, FA, AD, EA , AC.

530. Dat je A ABC, gde je AC —a,BC = b. Nad AC konstruisan je kvadrat

ACDE a nad BC, takođe kvadrat BCFG. Ako je AD = p i

BG = q, odredite vektore EF, DF, FG, DE u funkciji a, b, p i q

61

531. Dokazati ekvivalenciju MN —PO o MP = NQ.

532. Dat je kvadrat ABCD, gdejeC£ || BD,E E AD (slika 4 ). Dokazati:

534. Dat je jednakokraki pravougli A ABC. Nad stranicama su konstmisani

novi jednakokraki pravougli trouglovi BCO,, ACO, i ABO%.

Ako jeCZJ = r, CA — p, O.C = q, izračunati 0 ,0 ,, 0 ,0 , i 0 ,0 ,.

535. Neka su a, b i c proizvoljni vektori. Ispitati kolineamost vektora p i q

ako je:

a) p —-Jla+ b i q = 2a+ -Jl b\

b) p = b i q = -IŠ b\

c ) p = a -2 y fib it/=V3a—56;

d ) /?= 2a i q= 3a+c;

e ) p=2a—b+c i q = 2-J?>a—-J3b+ -/3 c.

536. Neka su a i b proizvoljni vektori. Kada su vektori p —đ+ b i

q = a—b kolineami?

537. Ako je M proizvoljna tačka u ravni trougla ABC, tada je

MT — ~{MA+ MB+ MC), gde je tačka T težište trougla. Dokazati.

538. Ako je M proizvoljna tačka u ravni paralelograma ABCD, tada je:

4 MO = MA+ MB+ MC+ MD, gde je O tačka preseka dijagonala

paralelograma. Dokazati.

62

539. Dalje pravilan šestougao ABCDEF. Neka su M središte duži DE, N

središte duži AM, P središte duži BC. Razložiti vektor NP po vektorima

AB i AF.

540. Neka su M i N središta neparalelnih stranica BC i AD trapeza

ABCD, a E i F presečne tačke duži M.N i dijagonala AC i BD. Tada

. — AB-DC n ,

je EF------- ------ -. Dokazati.

2

541. Neka su K, L, M i N središta stranica AB, BC, CD, DA četvorougla

ABCD. Primenorn vektora dokazati da se duži MK i NL seku u

tački 5 koja polovi svaku od ovih duži.

542. U trouglu ABC tačke P i Q dele, redom, stranice BA i BC u odnosu

BP : PA = 3:1, BO : QC = 3:1. Pomoću vektora dokazati da je

PQ\\AC.

543. Dat je četvorougao ABCD. Neka su E i F sredine stranica AB i CD.

Tada je:

a) EF+-AB+-DC = AC\ b)EF+-Fa +-ČD = BD\

2 2 2 2

c) AC+^BD = AD+BC = 2EF\

d) Ako je G središte duži EF, tada je 4 AG = AB+ AC+ AD;

e) GA+GBFGC+GD = 6. Dokazati.

544. Dati su vektori a = (-5,3) i b = ^2,—-^j. Odrediti vektore:

a) a+ b\ b) a- b; c) 3a+ 2 6; d) 2a— 4b.

545. Dati su vektori a = (m— l)i+(3m+4)j i b = (m+ \) i+(3/n+ 4) j,

gde je m realan parametar. Odrediti:

a) vektor v= 2a— 36 b;

b) za koje vrednosti parametra m vektor vje nula vektor'.'

546. Vektor v = (4,2) razložiti po vektorima a = (2 ,-l) i ¿>= (—4.3).

Odrediti koeficijente razlaganja.

547. Dati su vektori a = (4,-12), b = (5,- 1) i c = (3.5). Dokazati da postoje

dva realna broja m i n takva da je a = mb+ nc.

63

548. Dati su vektori a = (4,1), b = (5,-1) i c = (3,5). Vektor r: razložiti

po vektorima a i b.

549. Dat je vektore; = AtA2, sa početkom At(x,,y]) i krajem 5,(.r,, yt).

Odrediti Dekartove koordinate vektora a.

550. Data su temena trougla u Dekartovom koordinatnom sistemu

5 (1 ,-4 ), 5(2, 3 )iC (-5 , 4). Odrediti Dekartove koordinate vektora

AC, BC i AB i zatim izračunati njihove intenzitete.

551. Data su temena četvorougla 5 (—4 ,-2 ), 5(5, —5)C(1, 3) i D(—5, 0).

Odrediti koordinate vektora: AB, AD, AC, BD, BC i CD, zatim

izračunati njihove intenzitete.

552. U pravouglom koordinatnom sistemu apscisa vektora a je 6. Ako je

|a|= 10, odrediti ordinatu vektora a.

553. Odrediti y, tako da tačke 5(1. 3). 5(3, 5) i C(4, y) pripadaju istoj

pravoj.

554. Odrediti realan parametar m, tako da vektori ci = ( 3,—2) i b - (rn,4)

budu kolineami.

555. Data su tri temena paralelograma 5(2, 5 ),5 (- 1, 2) i C(6, 1). Odrediti

četvrto teme D paralelograma.

556. Sila F = 3 /—4j razložena je na dve komponente, od kojih je jedna

data vektorom 5, = 2/5-8 j. Odrediti drugu komponentu sile F.

5.4. Osna i centralna simetrija

5.4.1. OSNA SIMETRIJA

Osna simetrija u odnosu na pravu s je preslikavanje koje proizvoljnu taćku

M preslikava u tačku M' = d,{M), tako da je prava ,y simetrala duži MM'.

dej

Prava sje osa simetrije. Simbolički: ¿¡,(M) = M'<*s simetrala duži MM'.

557. Koliko osa simetrije (u ravni) ima:

a) kvadrat;

b) pravougaonik;

c) kružnica;

d) ugao;

e) prava;

f) duž?

64

558. Odrediti ose simetrije figure koju obrazuju:

a) prava i kružnica;

b) dve prave;

c) dve kružnice;

d) dve koncentrične kružnice.

Koja od ovih figura ima više osa simetrije i koliko?

559. Date su koncentrične kružnice k(0,r), K(0,R) i prava p. Dokazati

implikaciju; (K H p{A,B}A k O p = {C,D})=> AC =BD.

560. Date su dve koncentrične kružnice K^(0,r)yKy(0,r ,) i kružnica

Dokazati implikaciju;

(K, <lKy = {A,B} A K2HK3 = {C,D})=>

^(AB\\CD A AC = BD A AD = BC).

561. Svaka tačka M koja pripada jednoj od poluravni određenom osom

simetrije date duži AB bliža je onom kraju iste duži koja pripada istoj

poluravni kojoj pripada i tačka M. Dokazati.

562. Konstruisati trougao najmanjeg obima ako mu dva temena pripadaju

kracima datog ugla, a treće teme se poklapa sa datom tačkom u

oblasti datog ugla.

563. Konstruisati romb ako jedna dijagonala ima dužinu d i pripada datoj

pravoj a, a krajevi druge dijagonale pripadaju datoj pravoj b i datoj

kružnici K.

564. Konstruisati trougao ako je poznato: b, hc i a + c.

565. * Na obali reke treba da se izgradi vodotoranj, odakle se vodovodom

povezuju naselja A i B sa iste strane reke. Odrediti optimalno mesto

vodotomja da dužina vodovoda bude minimalna.

566. * Dati su L xOy i prava p. Konstruisati kvadrat čija dva suprotna temena

pripadaju kracima datog ugla, a druga dva pripadaju datoj pravoj

p.

567. * U dati trougao upisati trougao najmanjeg obima čije se jedno teme

poklapa sa datom tačkom na jednoj stranici datog trougla.

568. * Konstruisati jednakokraki trougao datog obima i visine koja odgovara

osnovici.

569. * Simetrične slike ortocentra trougla u odnosu na stranice trougla pripadaju

opisanoj kružnici oko trougla. Dokazati.

570. * Konstruisati pravougaonik ako su dati jedna stranica i zbir dijagonale

i druge stranice.

65

571.* Konstruisati pravougaonik ako su date stranice a i razlika dijagonale i

druge stranice d - b.

5.4.2. CENTRALNA SIMETRIJA

Centralna simetrija. U odnosu na tačku S je preslikavanje koje proizvoljnu

tačku M preslikava u tačku M' = o ^M ) takvu da je 5 središte duži MM1.

Tačka S je centar simetrije.

jtj

Simbolički: a ,( M) = M 'oSM = SM\

572.

573.

574.

575.

576.

577.

578.

579.

Konstruisati simetričnu sliku datog četvorougla u odnosu na centar

simetrije koji:

a) ne pripada četvorouglu;

b) pripada četvorouglu;

c) pripada jednoj stranici četvorougla;

d) poklapa se sa jednim temenom četvorougla.

Konstruisati simetričnu sliku polukruga u odnosu na centar simetrije

koji:

a) ne pripada polukružnici;

b) poklapa se sa centrom polukruga;

c) poklapa se sa jednim krajem prečnika polukruga.

Dati L xOy preslikati centralnom simetrijom

u odnosu na tačku 5 (si, 5).

Dve duži su centralno simetrične

prema jednoj tački O ako i samo ako

su paralelne i podudarne. Dokazati.

Koliko centara simetrije ima figura sastavljena od:

a) dve prave koje se seku;

b) dve paralelne prave;

c) tri paralelne prave različito udaljene jedna od druge?

si. 5

Svaka prava koja sadrži presek dijagonala paralelograma i seče

jednu stranicu, seče i suprotnu stranicu. Njen odsečakje raspolovljen

presečnom tačkom dijagonala. Dokazati.

Date su tačke A, prava a i kružnica K(0, r). Konstruisati duž MN sa

središtem u tački A i krajevima na pravoj a i kružnici K.

Poplava je uništila granice pravougaone parcele čija je jedna strana

tri puta veća od druge. Na jednoj od dužih strana parcele nalazi se

pumpa za vodu, a na suprotnoj jedno stablo. Takođe, na parceli se

nalazi jedan električni stub podjednako udaljen od dužih stranica

66

pravougaonika, a u odnosu na manje stranice dva puta je bliži jednoj

od druge. Odrediti granice parcele.

580. U trouglu ABC tačke su središta stranica trougla. tačka T je

težište trougla, a A2, B2, C2su središta odgovarajućih duži TA, TB. TC

Trouglovi A^ByCxi A2B2C2 su simetrični u odnosu na tačku T. Dokazati.

581. Na suprotnim (naspramnim) stranicama AB i CD paralđograma

ABCD konstruisane su duži AM = CN. Prava MN sadrži presećnu

tačku dijagonala. Dokazati.

582. Na produžecima stranica paralelograma ABCD konstruisane su tačke

A,, /?, , C ,, D,, tako da su tačke B, C, D, A središta odgovarajućih odsečaka

AA,, BB,, CC,, DDt. Koristeći centralnu simetriju dokazati

daje četvorougao A,BiClD] paralelogram.

583. Ako su tačke A i B, C i D dijametralno suprotne tačke dveju koncentričnih

kružnica, tada su odsečci AC i BD jednaki i paralelni, ili pripadaju

jednoj pravoj. Dokazati.

584. Dve spoljašnje kružnice jednakih poluprečnika sa jednom zajedničkom

tačkom odsecaju na pravoj, koja sadrži zajedničku tačku.

jednake tetive. Dokazati.

585. * Konstruisati trougao ako su date sve tri težične linije.

586. Konstruisati pravougaonik ako je dato jedno teme i dve tačke na

suprotnim stranicama, koje su simetrične u odnosu na središte pravougaonika.

587. Dati su kružni odsečak i tačka M u njemu. Konstruisati duž, čiji jedan

kraj pripada luku. drugi tetivi odsečka, a tačka M je središte

duži.

588. * Dati su u ravni A ABC i prave p i q [p 1 q). Neka su a p i o 4 dve

osne simetrije datog trougla. Dokazati da je:

a) o p( A A B C ) ° o A ABC) = o,(A ABC), gde je o, centralna simetrija

i p H q = {.£};

b) p.(AABC) = a JA ABC), ( a = 180°).

a

589. * Ako sufff i a v dve osne simetrije neke ravni Jt takve da je p ± q i

pO q= {S}, dokazati:

a) ° P ° ° q

b) op o oq = a„ o a p.

67

590. * Dat je trougao ABC. Ako je p.(a = 180°) rotacija oko temena A daa

tog trougla, a a A centralna simetrija istog trougla, dokazati d aje

a

5.5. Translacija

Translacija. Neka je M bilo koja tačka ravni, a vbilo koji vektor. Preslikavanje

koje tačku M preslikava u M\ tako da je MM' = v naziva se

J e / — .

translacija (pomak). Simbolički: r - ( M ) = M 'o MM' — v.

591. Dat je kvadrat ABCD. Odrediti njegove slike nastale translacijom

tako da se:

a) teme A preslikava u teme C;

b) teme A preslikava u središte stranice BC\

c) teme B preslikava u presek dijagonala.

592. Dat je jednakostranični trougao ABC. Odrediti njegove slike nastale

translacijom tako da se:

a) teme A preslikava u A’ (BA' = A'C);

b) središte stranice AB preslikava u središte stranice AC.

593. Data je kružnica K (O, R) sa prečnikom AB. Odrediti translacije koje

preslikavaju:

a) tačku O u tačku A;

b) tačku A u središte poluprečnika OB\

c) tačku B u datu tačku M kružnice.

594. Translacijom preslikati dati trougao ABC za vektor v:

a) v = AB',

b) v = BC;

c) v= CA.

595. Dat je trougao ABC. Translacijom za vektor u = AAt (AA, težišna

duž trougla) preslikati dati trougao u A A'B'C', zatim translacijom za

vektor v= AB preslikati trougao A'B'C' u A A"BnC . Odrediti tran-

slaciju za koju se A ABC preslikava u A A”B"C".

596. Dati su trougao ABC i njegova slika A A'B'C', dobijena nekom

translacijom. Duž čiji su krajevi centri opisane i upisane kružnice

68

A ABC jednaka je i paralelna duži Čiji su krajevi centri opisane i upisane

kružnice A A'B'C'. Dokazati.

597. * Konstruisati jednakostraničan trougao date stranice« čija dva temena

pripadaju dvema datim paralelnim pravama, a treće teme trećoj pravoj

koja seče date paralelne prave.

598. * Konstruisati jednakostraničan trougao date stranice a čija dva temena

pripadaju dvema datim paralelnim pravama, a treće datoj kružnici,

599. * Date su prave /,, /,, /3. Konstruisati duž date dužine, paralelnu sa /,,

čiji krajevi pripadaju pravama U i ly

600. * Dati su L x Ay i vektor v, koji pripada ravni ovog ugla. Odrediti

tačke B i C tako da B £ Ax i C G Ay i da je BC = v ili CB = v.

601. * Preseći dati trougao ABC pravom, tako da vektor na ovoj pravoj, između

dve stranice trougla, bude jednak datom vektoru v, koji pripada

ravni ovog trougla.

602. * Date su dve kružnice K]tK, i prava p. Konstruisati pravu n paralelnu

sa pravom p, na kojoj kružnice Kt i K, odsecaju jednake duži

603. * Date su kružnice K(0,r), r) i duž AB. Konstruisati duž

paralelnu i jednaku datoj duži, a da krajevi pripadaju datim kružnicama.

604. * Dati su vektor v, prava p i kružnica K(0, r). Konstruisati vektor jednak

datom vektoru v, tako da mu jedan kraj pripada pravoj p, a drugi

kružnici K.

605. Odsečak prave, koji sadrži središte jedne stranice trougla i paralelan

je sa drugom stranicom trougla, jednak je polovini te stranice i

polovi i treću stranicu trougla. Dokazati.

606. Konstruisati trapez datih osnovica a i b (a > b) i dijagonala d i dt.

607. Konstmisati četvorougao ako su date sve četiri stranice i duž koja je

određena središtima dve suprotne stranice.

608. Konstruisati trougao ako su dati jedan ugao i visine koje polaze iz temena

druga dva ugla.

609. Konstruisati trapez ako su dati:

a) osnovice i uglovi na većoj osnovici;

b) razlika osnovica, oba kraka i jedna dijagonala;

c) obe dijagonale, ugao između dijagonala i krak.

69

610. Dokazati da je:

a) t -* ° t = /-+ ,

AB BC AC

b) (¡¡°<v - *u+v>

c) ¡u ° l—u ~ ¡0'

d) / -» ° t -* ° t -» = /-*;

/Ifl AC Ct o

e) /j; o /- = o tD.

(i5 identično preslikavanje).

5.6. Rotacija

Rotacija. Ako je M bilo koja tačka ravni, tačka O data tačka i a orijentisani

ugao iste ravni. Kažemo daje M' slika originala M dobivena rotacijom oko

-* —*•

tačke 0 za dati ugao a , ako je OM = OM' i L MOM' = a. Tačka O je centar

-*

rotacije, a ugao rotacije. Simbolički:

def -*

p ~(M) = A/' o OM = OM' A ¿.MOM' — a.

O.a

611. Dat je trougao ABC i ugao a= 120° Rotirati dati trougao za dati

ugao:

a) ako se centar rotacije poklapa sa jednim temenom trougla;

b) ako centar rotacije pripada datoj tački O van trougla.

612. Rotirati oko date tačke za dati ugao:

a) jednakostranični trougao;

b) kvadrat;

c) kružnicu;

d) pravilan šestougao.

613. Izvršiti rotaciju datog trougla ABC oko tačke S za 60°

614. Data su dva podudarna, orijentisana u istom smeru, trougla sa neparalelnim

stranicama, koji pripadaju istoj ravni. Odrediti centar i

ugao rotacije koja preslikava jedan trougao u drugi.

615. Dat je kvadrat ABCD. Neka je K središte stranice AB, L središte

stranice BC. Odrediti centar rotacije i ugao rotacije koja preslikava:

70

a) duž AK u BL; b) vektor AK u LC.

616. Trougao A,, B,, C, je slika A ABC pri rotaciji za A = 90°oko datog

centra rotacije. Medijana A, M, A /l^ C , je normalna medijani

AM AAMC. Dokazati.

617. Nad stranicama AB i AC A ABC konstruisani su jednakostranični

trouglovi ABE i ACF. Ako se tačke C i E ne nalaze sa iste strane

stranice AB, a F i B se nalaze sa iste strane stranice AC, tada je

EF — BC. Dokazati.

618. Konstruisati jednakokraki trougao sa vrhom u datoj tački A i datim

uglom pri vrhu a, tako da mu temena osnove pripadaju datoj pravoj /

i datoj kružnici K(0 ,r).

619. U dati trougao upisati jednakokraki trougao ako su dati ugao pri vrhu

i položaj tog vrha na jednoj stranici datog trougla.

620. Dati su ugao xOy i tačka A u oblasti ugla. Konstruisati jednakokraki

trougao sa vrhom u A i uglom a = 30°, dok ostala dva temena B i C

pripadaju kracima datog ugla.

621. * Konstruisati jednakostranični trougao čija temena pripadaju trima

datim paralelnim pravama,

622. * Konstruisati jednakostraničan trougao, tako da mu temena pripadaju

trima datim koncentričnim kružnicama.

623. * Date su tri paralelne prave. Konstruisati kvadrat, tako da mu temena

pripadaju datim pravama.

624. * Date su tačka A i dve paralelne prave p i q. Konstruisati jednakostranišan

trougao čije je jedno teme data tačka A, a ostala dva pripadaju

datim paralelnim pravama.

625. * Konstruisati kružni luk ako je dato središte, odgovarajući centralni

ugao, a da krajevi luka pripadaju dvema datim pravama.

626. * Konstruisati kvadrat sa jednim temenom u datoj tački A, a temena B i

D pripadaju dvema datim paralelnim pravama.

627. * Konstruisati kvadrat sa jednim temenom u datoj tački A, a temena B i

D pripadaju dvema datim koncentričnim kružnicama.

628. * U dati kvadrat upisati jednakostraničan trougao čije jedno teme pripada

datoj tački na jednoj stranici kvadrata.

629. * Konstruisati jednakokraki trougao sa vrhom u datoj tački i uglom pri

vrhu 52° 30', tako da mu temena osnove pripadaju dvema datim

kružnicama.

71

5.7. Neke važnije teoreme o trouglu, četvorouglu, mnogouglu i

kružnici

r . Ako su a,(3,y unutrašnji uglovi trougla, a a y, spoljašnji uglovi,

tada je: a + + y = 180°, a, + /?, + y, = 360°, /? = a + y.

2°. Ma koja stranica trougla manja je od zbira druge dve, a veća od njihove

razlike.

3°. Ako su a,/3,y,<5 unutrašnji uglovi, a spoljašnji uglovi

četvorougla, tada je cr + /? + y + d = 360° i a t + /?, + y, + «3, = 360°,

n(n — 3)

4°. Broj dijagonala n - ugla je Dn = ---- ----- .

5°. Zbir unutrašnjih uglova n - ugla je Sn = (n - 2) ■180°

, . (n —2) • 180°

6 , Unutrašnji ugao pravilnog n - ugla je a = ----------------

7°. Centarlni ugao pravilnog n - ugla je s = 360°

n

360°

8°. Spoljašnji ugao pravilnog n ~ ugla je /? =

630. Mogu li memi brojevi unutrašnjih uglova trougla da zadovoljavaju razmere:

a) 1 : 2 : 3; b) 3 : 7 ; 8; c) 1 : 1 : 2 ? Ako mogu, izračunati

uglove.

631. U trouglu ABC L A = 25°, LB — 68°. Kroz njegova temena konstruisane

su prave paralelne naspramnim stranama. Izračunati uglove

trougla koji čine ove prave.

632. Odrediti oblik trougla (prema uglovima) ako je jedan unutrašnji ugao:

a) jednak zbiru druga dva;

b) veći od druga dva;

c) manji od druga dva.

633. Dva ugla trougla iznose 60° i 72°. Odrediti uglove koje obrazuju

visine trougla koje polaze iz temena datih uglova.

634. Odrediti ugao pod kojim se seku simetrale spoljašnjih uglova na hipotenuzi

pravouglog trougla.

635. Pod kojim se uglom seku simetrale oštrih uglova u pravouglom

trouglu?

636. Dokazati da se simetrale uglova a i ¡5 trougla ABC seku pod uglom

72

<p= 90°+

r 2

637.

638.

639.

640.

641.

642.

643.

644.

645.

646.

647.

648.

649.

650.

U trouglu ABC simetrala CD ugla y seče stranicu AB pođ uglom

<p= 110°. Izračunati uglove trougla ako se zna da je CD = BC.

U trouglu ABC simetrala CD ugla y gradi sa stranicom AB ugao

(p = 100°. Izračunati unutrašnje uglove trougla ako je BC = CD.

Simetrala AE ugla a i visina CD grade ugao tp = 50°. Izračunati unutrašnje

uglove trougla ako je AE = BE.

Simetrale uglova /? i y trougla ABC grade ugao tp. Ako je cr: ¡p = 1:2

P :y= 1:4. izračunati unutrašnje uglove trougla.

U pravouglom trouglu ugao koji zahvatuju hipotenuzina visina i hipotenuzina

težišna duž je 28°. Odrediti ugao između hipotenuzine

težišne duži i simetrale pravog ugla.

U jednakokrakom trouglu ABC {AB = BC), simetrala ugla BAC i

visina AD koja odgovara kraku obrazuju ugao od 18°. Izračunati

uglove trougla ABC.

U trouglu ABC (BC > AC) uglovi a i /? razlikuju se za 30°. Ako je D

tačka na stranici BC, takva daje AC = CD. Izračunati L BAD.

Izračunati unutrašnje uglove trougla, ako je poznato da jedan ugao

iznosi —drugog, odnosno —trećeg ugla.

3 4

Na produžetku kraka AC jednakokrakog trougla ABC, iza tačke C

data je tačka D, tako da je CD = AC. Dokazati da je trougao ABD

pravougli.

U trouglu ABC unutrašnji ugao kod temena C je 40°. Simetrale unutrašnjeg

i spoljašnjeg ugla kod temena C u preseku sa pravom AB

određuju jednakokraki trougao CDE. Izračunati uglove trougla ABC

U pravouglom trouglu hipotenuzina visina deli hipotenuzu na dva

odsečka čija je razlika jednaka dužini jedne katete. Izračunati uglove

trougla.

Ako se simetrale dva unutrašnja ugla seku pod uglom od 135°, tada je

trougao pravougli. Dokazati.

U trouglu ABC dati su uglovi a = 44° i y = 78°. Na pravoj AB

uočene su tačke D i E, tako daj e D - A - B - E i da je DA = AC i

BE = BC. Izračunati uglove ¿.ADC i LBEC.

Izračunati unutrašnje uglove jednakokrakog trougla ako:

a) Visina koja odgovara jednom kraku gradi sa drugim krakom ugao

od 32°;

b) Visine koje odgovaraju kracima seku se pod uglom od 48°;

73

c) Visina koja odgovara kraku i visina koja odgovara osnovici seku

se pod uglom od 127°;

d) Simetrala ugla na osnovici sa naspramnim krakom gradi ugao od

69°.

651. U jednakokrakom trouglu simetrala ugla na osnovici i visina konstruisana

iz istog temena grade ugao od 15°. Izračunati unutrašnje

uglove tog trougla.

652. U tupouglom trouglu ABC iz temena A tupog ugla konstruisana je do

preseka sa BC duž AD, koja sa stranicom AB gradi ugao jednak uglu

kod temena C. Zatim je konstruisana duž AE koja sa stranicom AC

gradi ugao jednak uglu kod temena B. Dokazati daje trougao ADE

jednakokraki.

653. Na stranici AB trougla ABC uočena je tačka D tako da je BD = BC.

Ako je spoljašnji ugao kod temena B 140°, a unutrašnji kod temena

A 35°, dokazati da je AD = DC.

654. U trouglu ABC spoljašnji ugao kod temena A je 134°, unutrašnji

ugao kod temena B je 62°. Izračunati treći ugao trougla i ugao pod

kojim sa seku simetrale uglova kod temena A i B.

655. Simetrala ugla a trougla ABC gradi sa simetralom y, (spoljašnji

B

ugao trougla) ugao jednak uglu —. Dokazati.

656. * Neka su u trouglu ABC uglovi /3 i y oštri uglovi i neka je /? > y. Dokazati

daje ugao između visine i simetrale ugla iz temena A jednak

t i

2

657. U trouglu ABC stranice AB i AC produžene su preko temena B i C i

konstruisane su simetrale spoljašnjih uglova koje se seku u tački O.

Dokazati da je A.BOC — 9 0 ° - —.

2

658.* Ako su a, b,c stranice trougla, a tu težišna duž, dokazati da je

b + c —a b + c

< r„ <

2

659.* U pravouglom trouglu težišna duž i visina konstruisane iz temena

pravog ugla obrazuju ugao jednak razlici oštrih glova trougla. Dokazati.

660. U trouglu ABC simetrale uglova a i y seku se u tački M. Izračunati

ugao (i ako se zna daje jednak polovini ugla AMC.

74

661.

662.

663.

664.

665.

666.

667.

668.

669.

670.

Ako je M središte stranice AC, N središte stranice BC trougla ABC,

tada je 2MN = AB i MN |) AB. Dokazati.

Svaka stranica trougla manja je od polovine njegovog obima. Dokazati

Zbir visina trougla manja je od njegovog obima. Dokazati.

Ako za stranice trougla važi a<b<c, dokazati:

a)<3 < a + b + c b)c> a + b + c

Zbir težišnih duži trougla veći je od poluobima trougla. Dokazati.

Zbir težišnih duži trougla veći je od — njegovog obima. Dokazati.

4

Središta stranica romba su temena pravougaonika, a središta stranica

pravougaonika su temena romba. Dokazati.

Središta stranica jednakokrakog trapeza su temena jednakostraničnog

paralelograma. Ispitati: kada je ovaj paralelogram romb, a

kada kvadrat.

Središta stranica četvorougla čije su dijagonale međusobno normalne

su temena pravougaonika. Ispitati kada je ovaj pravougaomk

kvadrat.

Ako je AA' težišna duž trougla ABC, tada su tačne implikacije:

BC

a )AA'=— =>£A = 90°;

BC

b) M > — =* L A < 90°;

BC

c) AA’ < ----=> L A > 90°. Dokazati.

671.

672.

673.

674.

675.

U trouglu ABC prava p 11AB i sadrži presek 5 simetrala uglova a i jS.

Ako je pD AC = \M), a pC\BC = {Af}, tada je MN = AM + BN

Dokazati,

Ako je tačka O ortocentar trougla ABC, dokazati da je

CAOB + CC = 180°.

Središnja duž MN trapeza ABCD paralelna je sa osnovicama i jednaka

je njihovoj aritmetičkoj sredini. Dokazati.

Dokazati daje trapez sa jednakim dijagonalama jednakokrak

Ako se jednake tetive AB i CD kružnice A-(ć?)seku u tački P i ako je

PA >PB i PC > PD, tada je PA = PC i PB = PD. Dokazati

75

676. Duži AM i AN su tangente duži kružnice £(0)koje odgovaraju tački

A. U tački P na manjem luku MN kružnice konstruisana je tangenta

koja seče ove duži u tačkamaS iC. Dokazati daje obim trougla ABC

konstantan i jednak 2 AM.

677. Zbir unutrašnjih uglova bilo kog n-trougla jednak je (n - 2 ) 1 8 0 °

Dokazati.

678.

Zbir spoljašnjih uglova bilo kog konveksnog ff-trougla jednak je

360°. Dokazati.

679.

Broj dijagonala bilo kog /?-trougla jednak je -----------. Dokazati.

680.

681.

Tri unutrašnja ugla četvorougla su 75°, 105° i 100°. Može li se oko

ovog četvorougla opisati kružnica?

Na datoj kružnici tačke A, B. C dele kružnicu na tri delà. Izračunati

unutrašnje uglove trougla ABC ako se delovi kružnice odnose kao

1 : 3 : 5 .

682. Date su kružnicaK(O) i prava a. Konstruisati tangente date kružnice

koje su:

a) paralelne sa pravom a\

b) normalne na pravu a.

683. Konstruisati kružnicu koja sadrži dam tačku A i datu pravu b dodiruje

u datoj tački B.

684. Ako su b i c katete, a hipotenuza pravouglog trougla i r poluprečnik

upisane kružnice, tada je2r = b + c — a. Dokazati.

685. Konstruisati kružnicu koja dodiruje dve prave koje se seku, i to

jednu od njih u datoj tački.

686. Konstruisati kružnicu datog poluprečnika, koja sadrži dve date tačke.

687. * Konstruisati trougao ako su dati dva ugla i poluprečnik opisane

kružnice.

688. * Konstruisati trougao ako su dati visina i težišna duž, koje odgovaraju

istoj stranici, i poluprečnik opisane kružnice.

689. * a) Konstruisati kružnicu datog poluprečnika R koja dodiruje datu

pravu h i datu kružnicu k (O, r).

b) Konstruisati kružnicu koja dodiruje dam kružnicu k (0,R ) i datu

pravu h u datoj tački M.

76

690. Konstruisati skup tačaka iz kojih se data duž AB vidi pod datim

uglom a .

691. Na datoj pravoj p odrediti tačku iz koje se data duž AB vidi pod datim

uglom:

a) 45°; b) 60°; c) 75°; d)a.

692. Konstruisati trougao ABC ako je dato:

a )a,t„,a; b )b,hh,fi\ c )c,tc,y.

693. Konstruisati proavougli trougao ako je data hipotenuza i njena visina.

694. Konstruisati jednakokraki trougao ako je data osnovica i ugao pri

vrhu.

695. Konstruisati jednakokrako pravougli trougao ako je data njegova

hipotenuza.

696. * Konstruisati pravougli trougao datog obima i visine koja odgovara

hipotenuzi.

697. Konstruisati kružnicu koja dodiruje datu pravu p i dalu kružnicu

K (O. R) u datoj tački M.

698. Konstruisati kružnicu koja dodiruje dve date kružnice K (O.R) i

K, (0{, R]), i to prvu u datoj tački M.

699. Konstruisati kružnicu datog poluprečnika r koja dodiruje dve date

kružnice K (O.R) i AT, (0:, R,).

700. Konstruisati kružnicu koja sadrži datu tačku A i dodiruje dve date

paralelne prave a i b.

701. * Konstruisati trougao ako su dati jedna stranica, ugao naspram nje i

visina koja odgovara toj stranici.

702. Konstruisati pravougli trougao ako su dati:

a) hipotenuza i ortogonalna projekcija jedne katete na hipotenuzi;

b) ortogonalne projekcije kateta na hipotenuzi.

703. Stranice trougla ABC su: a, b i c, a s poluobim trougla. Dodirne tačke

upisane kružnice dele stranice trougla na odsečke: s - a. s - b i s - c.

Dokazati.

704. Ako je krak jednakokrakog trapeza aritmetička sredina osnovica, u

njemu se može upisati kružnica. Dokazati.

705. Težišna duž trougla manja je od njegovog poluobima. Dokazati.

706. Težišna duž trougla manja je od poluzbira stranica između kojih se

nalazi.

77

707. Težišna duž pravouglog trougia koja odgovara hipotenuzi jednaka je

polovini hipotenuze. Dokazati.

708. Visina koja odgovara kraku jednakokrakog trougia obrazuje sa osnovicom

ugao jednak polovini ugla pri vrhu. Dokazati.

709. Prečnik AB i tetiva AC kružnice k obrazuju ugao od 30°. Tangenta

konstruisana u tački C seče pravu AB u tački D. Dokazati daje trougao

ACD jednakokraki.

710. Na datoj pravoj odrediti tačku iz koje se data duž vidi pod datim uglom.

711. U trouglu ABC odrediti tačku iz koje se sve tri stranice trougia vide

pod istim uglom.

712. Izračunati periferijski ugao nad kružnim lukom jednak kružne

linije.

713. Tačkama A i B kružna linija je podeljena na dva kružna luka koji

stoje u razmeri 5:7. Izračunati periferijske uglove koji odgovaraju

kružnim lucima.

714. Izračunati ugao između tangente i tetive ako tetiva deli kružnicu na

dva luka u razmeri 3 :7 .

715. Dva podudarna kruga seku se pod uglom a = 60°. Izračunati u

stepenima manji kružni luk određen presečnim tačkama.

716. Iz jedne krajnje tačke prečnika kružnice k konstruisane su tangenta i

sečica koje obrazuju ugao a = 20° 30'. Izračunati u stepenima manji

luk između tangente i sečice.

717. U tetivnom četvorouglu dva unutrašnja ugla na jednoj stranici iznose

152° i 134°. Odrediti druga dva ugla četvorougla.

718. Simetrale unutrašnjih uglova ma kog četvorougla uvek obrazuju

tetivni četvorougao. Dokazati.

719. U tangentnom četvorouglu tri uzastopne stranice iznose 5 cm, 9 cm i

15 cm. Izračunati četvrtu stranicu četvorougla.

720. Kružnice i k2 se dodiruju spolja u tački A. Ako je prava BC njihova

zajednička spoljašnja tangenta, ugao BAC je prav. Dokazati.

721. Ako se u tetivnom mnogouglu sa parnim brojem stranica unutrašnji

uglovi označe redom sa a t, a 2, a 3, ..., tada je a , + a 3 + a 5 + .. .=

— a 2 + a + a 6 + ... Dokazati.

722. Ako se u tangentnom mnogouglu sa parnim brojem stranica označe

stranice redom sa at, a2, a 3,..., tada je

a, + a, + a5 + ... = a2 + aA+ zr5 + ... Dokazati.

78

723. Ako je u jeđnakokrakom trouglu osnovica a jednaka visini koja

odgovara osnovici, tada je R = - a, gdc je R poiuprečnik opisane

kružnice trougla. Dokazati.

724. * U pravouglom trouglu simetrala pravog ugla istovremeno je i simetrala

ugla koji obrazuju visina i težišna duž koje odgovaraju hipotenuzi.

Dokazati.

725. Ako se iz svakog temena trougla i njegovog težišta konstruišu normalne

duži na bilo koju pravu koja ne seče njegove stranice, onda je

zbir normala iz temena tri puta veći od normalne duži iz težišta. Dokazati.

726. Za unutrašnje uglove četvorougla važi produžna proporcija

cc:2 = /?:3 = y :4 = d:7. Izračunati uglove četvorougla.

727. * U trouglu ABC izabrana je tačka M. Dokazati daje LAMB > LACB.

728. * Na stranici DC dalog kvadrata ABCD data je tačka M. Simetrala ugla

BAM seče stranicu BC u tački N. Dokazati daje AM = DM + BX,

729. * Dat je pravougaonik ABCD u kome je AB > BC, Tačka 5, je simetrična

tački B u odnosu na pravu AC, a E je presek pravih ABt i CD.

Dokazati da su trouglovi ADE i CEB[ podudarni.

730. * Ako su AM i BN visine trougla ABC, tada je četvorougao ABMS

tetivni. Dokazati.

731. * Neka su uglovi nalegli uz veću osnovicu jednakokrakog trapeza jednaki

60° i neka je manja osnovica jednaka kraku. Dokazati: da su dijagonale

ovog trapeza normalne na kracima, da polove uglove uz

veću osnovicu i da se seku pod uglom od 60°.

732. Neka su D,E \F dodirne tačke upisane kružnice u trouglu ABC

a 8 y

Dokazati da su uglovi trougla DEF, 90° - —, 90° - —. 90c -

gde su uglovi a , /? i y uglovi trougla ABC.

733. Simetrale uglova trougla ABC, seku opisanu kružnicu oko trougla u

tačkama X, T, Z. Uglovi trougla XYZ su: 90° — —, 90° -

90" - Dokazati, (a , /5 , y uglovi trougla ABC).

734. U trouglu ABC razlika dveju stranica jednaka je razlici odsečaka na

koje je podeljena treća stranica dodirnom tačkom upisane kružnice

Dokazati.

79

735. Data je polukružnica prečnika AB. Na kružnom luku date su tačke D

i E. Tetive AD i BE, kao i tetive AE i BD seku se u tačkama F i G

(tačka F ne pripada polukrugu). Dokazati da je FG 1 AB.

736. Neka je ABCD kvadrat upisan u krug, a P je ma koja tačka na luku

AD. Ugao DPA je tri puta veći, od ma kog ugla dobijenog spajanjem

tačke P sa dva uzastopna temena kvadrata. Dokazati.

737. Ako se u pravilnom petouglu dve nesusedne stranice produže do svog

preseka, oba produžetka jednaka su dijagonali petougla. Dokazati.

738. Visina romba polovi njegovu stranicu. Izračunati ugao između visina

romba koje sadrže teme tupog ugla.

739. Presečne tačke simetrala unutrašnjih uglova pravougaonika su temena

kvadrata. Dokazati.

740. Dat je krug sa centrom O. Tangente konstruisane u krajnjim tačkama

prečnika AB, seku proizvoljnu tangentu u tačkama C i D. Dokazati

da je ugao COD prav.

741. Projekcije dijagonale paralelograma na ma kojoj pravoj jednaka je

zbiru projekcije dve susedne stranice na istoj pravoj. Dokazati.

742. Ugao između simetrala dva uzastopna unutrašnja ugla četvorougla

jednak je poluzbiru druga dva ugla tog četvorougla; a ugao između

simetrala dva uzastopna spoljašnja ugla jednak je poluzbiru ta dva

unutašnja ugla. Dokazati.

743. Oštar ugao između simetrala suprotnih unutrašnjih uglova četvorougla

jednak je polurazlici druga dva ugla. Dokazati.

744. U trouglu ABC simetrale spoljašnjih uglova kod temena B i C seku

se u tački O. Dokazati da je ugao BOC - 90° — —.

745. U trouglu ABC, razlika uglova y i /? iznosi 90°. Simetrala ugla a

obrazuje sa stranicom BC ugao od 45°. Dokazati.

746. Visina koja odgovara kraku jednakokrakog trapeza jednaka je polovini

veće osnovice trapeza. Izračunati uglove trapeza.

747. U pravouglom trouglu hipotenuza je dva puta veća od jedne katete.

Izračunati oštre uglove trougla.

748. U trouglu ABC visine AF i CE seku se u tački O. Ako je CO = AB,

izračunati ugao ACB.

749. U jednakokrakom trouglu simetrala ugla na osnovici seče krak pod

uglom, jednakim uglu na osnovici. Izračunati unutrašnje uglove jednakokrakog

trougla.

80

750. Simetrala tupog ugla paralelograma seče jednu njegovu stranicu pod

uglom koji je jednak jednom od uglova paralelograma. Izračunati taj

ugao.

751. Simetrala ugla koga čine dijagonala i stranica romba obrazuje sa

drugom stranicom ugao od 66°. Izračunati uglove romba.

752. * Dat je provougli trougao ABC (ugaoC prav). Neka su AD i BF simetrale

uglova (tačka D E BC, F E AC). Tačke M i N su ortogonalne

projekcije tačaka F i D na hipotenuzu. Izračunaj ugao MCN.

753. Dalje trougao ABC. Van trougla konstruisani su kvadrati ABDE i

A CFG. Akoj eCEDBG= {H}, dokazati daje CE = BG \CEl BG.

754. Izračunati unutrašnji ugao pravilnog mnogougla, ako je razlika broja

dijagonala i stranica 25.

755. Koji pravilan mnogougao ima tri puta veći ugao od spoljašnjeg?

756. Izračunati zbir unutrašnjih uglova u vrhovima petokrake zvezde.

757. Spoljašnji ugao pravilnog mnogougla je devet puta manji od unutrašnjeg

ugla. Izračunati broj dijagonala tog mnogougla.

758. Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveća za 2, tada se centralni

ugao smanji za 6° Odrediti broj dijagonala mnogougla

759. Koliko dijagonala ima pravilni mnogougao. čiji je zbir unutrašnjih

uglova 1260°?

760. Za koliko se poveća zbir unutrašnjih uglova mnogougla, ako se bru

stranica poveća za 5?

761. * Ako se broj stranica mnogougla poveća za 11, onda se broj njegovih

dijagonala poveća za 1991. Odrediti zbir unutrašnjih uglova tog

mnogougla.

762. Na hipotenuzi BC pravouglog trougla ABC date su tačke D i E. takve

da je BE = AB i CD = AC. Izračunati ugao DAE.

163* Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveća za dva njegov se

ugao poveća za 9°. Odrediti broj stranica mnogougla (Klasifikacioni

ispit iz matematike za upis na tehničke i matematičke fakultete u

Beogradu 1991.)

764.* Tetiva kruga je za 2 manja od prečnika, a odstojanje centra kruga od

tetive za 2 manje od poluprečnika kruga. Izračunati dužinu tetive

(Prijemni ispit iz matematike za upis na Beogradski univerzitet juna.

1991.)

81

765. * Neka je u trouglu ABC, AB = AC i ugao kod teinena A veći od 30° i

neka je D tačka na stranici BC takva daje AE = AD. Izračunati ugao

EDC. (Prijemni ispit iz matematike za upis na Beogradski univerzitet,

juna ¡992.)

766. Dat je jednakostranični trougao ABC. Ako se sve tri stranice trougla

produže za duži jednake stranici datog trougla tako da je A —B - A,

i A —C ~ B i i C —A —Cf, tada je trougao A, B, C, jednakostranični.

Dokazati.

767. * Oko trougla ABC opisana je kružnica k i u tački C konstruisana je

tangenta t na nju. Ako prava p paralelna sa tangentom i seče stranicu

AC u tački E, a stranicu BC u tački D, tada je četvorougao ABDE

tetivni. Dokazati.

768. * Oko trougla ABC opisana je kružnica k i u tački C konstuisana je

tangenta t na nju. Ako kružnica A, kojoj je prečnik stranica AB

trougla ABC, seče stranica AC i BC u tačkama M i N dokazati daje

duž MN paralelna sa tangentom t.

769. Ugao između krakova trapeza je prav. Dokazati daje zbir kvadrata

dijagonala jednak zbiru kvadrata osnovica.

770. U pravougaoniku ABCD je AB = 2BC. Na stranici AB data je tačka

P takva da je LAPD = LDPC. Izračunati taj ugao.

771. U kvadratu ABCD je M središte stranice CD, a A je središte stranice

AD. Duž BM i CN seku se u tački E. Dokazati daje:

a) BMLCN\ b) AE = AB.

772. Dat je paralelogram ABCD. Ako tačka F E AD, F - D - A i

DF = AD. Tačka E E AB, A — B —E i AB = BE. Dokazati da je

F - C - E .

773. Ako se iz ma koje tačke na simetrali datog ugla xAy konstruišu

paralele sa kracima do preseka sa kracima dobiveni četvorougao je

romb. Dokazati.

774. Podnožja nonnala konstruisanih iz tačke preseka dijagonala romba

na njegove stranice jesu temena pravougaonika. Dokazati.

775. Simetrale unutrašnjih uglova pravougaonika obrazuju kvadrat. Dokazati.

776. Ako je manja osnovica trapeza jednaka zbiru krakova, simetrale unutrašnjih

uglova na većoj osnovici seku se na manjoj osnovici. Dokazati.

82

777. * Ako je veća osnovica trapeza jednaka zbiru krakova, simetrale

uglova na manjoj osnovici seku se na većoj osnovici. Dokazan.

778. * U svakom konveksnom četvorouglu zbir dijagonala je veći od zbira

dveju naspramnih stranica. Dokazati.

779. * U konveksnom četvorouglu zbir dijagonala je veći od poluobima. a

manji od obima toga četvorougla. Dokazati.

780. U konveksnom četvorouglu zbir dva spoljašnja ugla jednak je zbiru

dva unutrašnja ugla koji im nisu susedni. Dokazati.

781. Dat je trougao ABC. Poluprečnik OA kruga opisanog oko trougla

normalan je na pravu fi,Cj, gde su 5, i Cj podnožja visina konstruisanih

iz temena B i C. Dokazati.

782. U jednakokrakom trouglu uglovi na osnovici su dva puta veći od

ugla pri vrhu. Osnovica trougla je stranica pravilnog petougla upisanog

u kružnici opisane oko trougla. Dokazati.

783. * U kružnici k(0,R) upisani su kvadrat stranice a i jednakostranićan

trougao stranice b. Dokazati da je a2: b1 = 2:3.

784. * Ako se iz središta jedne katete pravouglog trougla konstruiše nórmala

na hipotenuzu, tada je razlika kvadrata odsečaka hipotenuze

jednak kvadratu druge katete. Dokazati.

785. Postoji li mnogougao koji ima: a) 1710 dijagonala; b) 1988 dijagonala.

Koliko stranica imaju traženi mnogouglovi?

786. * Neka je D tačka u kojoj krug upisan u pravougli trougao ABC dodiruje

hipotenuzu AB. Dokazati da tada važi jednakost

AC BC = 2ADBD.

787. Ako se broj stranica konveksnog mnogougla poveća za 5, onda se

broj dijagonala poveća za 45. Odrediti broj stranica prvobitnog

mnogougla.

788. Oko jednakostraničnog trougla ABC opisana je kružnica. Na luku

BC data je proizvoljna tačka M. Tada je BM +CM = AM. Dokazati.

789. Ako se broj stranica konveksnog mnogougla poveća za 5, onda se

broj dijagonala poveća za 1990. Koliko stranica ima mnogougau sa

takvim osobinama?

790. Broj dijagonala konveksnog mnogougla je 8 puta veći od broja

stranica. Odrediti zbir unutrašnjih uglova tog mnogougla

83

V I GLAVA 797.

6. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI 798.

6.1. Polinomi i operacije sa njima

Definicija 1. Neka su aQ,at,ci:......an dati realni brojevi. Preslikavanje P

kojim se realan broj x preslikava u relan broj

(1) a0x" + ii|jr""1 + a2x"~2+...+cin naziva se realan polinom.

Definicija 2. Ako je a0 * 0 broj n naziva se stepen polinoma P, što se

zapisuje n =st P i kaže se daje polinom P n-tog stepena po x.

Polinom (1) je sređen po opadajućim stepenima. Polinom može da bude

sređen i po rastućim stepenima promenljive.

Bezuov stav. Ostatak r deljenja polinoma P(x) s a x - n , gde je a konstanta,

jednak je P(a), tj. r = P(a).

Ako je ostatak r = P(a) = 0, polinom P(x) je deljiv sa x - a.

Potreban i dovoljan uslov da polinomi P(x) i Q(x) budu identički jednaki je

da koeficijenti njihovih odgovarajućih članova budu jednaki.

791. Srediti polinom 2x + 3x3 - 4x + 5x2 + 2x3 + 1- x2 po rastućim stepenima.

792. Srediti polinome:

a) 5 + 2x - 3x2 + 4a: + 6x2 - 2;

b) x* + 2.x3 - x + 4 + 2x: - 3x3 - 3 - x2

po opadajućim stepenima.

793. Odrediti zbir polinoma 5 + 2x + x 3 i 6 + 8x + 4x~ + 8x3.

794. Pomnožiti polinome x1 + 2x - 7 i 2x2 —x + 3.

795. Dati su polinomi P(x) = x3 + 2x2 —1 i Q(x) = x 2 + x + 1.

Odrediti polinome:

a) P(x) + Q(x); b )P(x)-Q(x); c)P(x)-Q{x).

796. Dati su polinomi: IP(x) = —2x: + 3x —1; P{x) = 4x" —5x + 3;

Q(x) = — 3x2 - 8x 4- 7.

Odrediti polinome:

a) fV(x) - P(x) -P ß(x); b) W(x) + P(x) - Q(x);

c) W{x) - P(x) - 0 {x)- d) 2W{x) - 3P(x) + ß(x);

e) —3W(x) + 2P(x) —5Q(x).

799.

800.

801.

802.

803.

804.

805.

806.

84

Dalje polinomP(x) = (x + 1)J - {x + 2)(x2 + 2 x - l) . Srediti polinom

P(x) po opađajućim stepenima.

Odrediti realne parametre a, b, c, tako da su polinomi P\ rj i Q(x)

identično jednaki:

a) P(x)= 2x3 - 9x2 + 13x- 6 i Q(x) = (x - 2)(av: + bx + c);

b) P(x) = 6x3 - 23,v: + 29jc- 12 i Q(x) = (x - l)(av: + bx + c),

c) P(x)= \2x3 —40-v" + 27a: —5 i Q(x) = (3.r- l)(a.v: + bx + c).

d) P(x) = x 3- 2xz + 3 i (2U) = U + l)(«r + hx + c)\

ej P(x) = 2x3 - x2 + .v -I- 4 i Q(x) = ( v + 2)(ax: + hx + c)

Odrediti količnik polinoma:

a) (2x2 + ,x —3) :(2jc+ 3); b)(3.r: + .t- 10) :(* + 2);

c) (2.t3 + 5x2 + lx + 4 ) \{x + 1);

d ) (2jc3 + x~ + x - 1):(jc2 -4- x+ 1).

Odrediti količnik polinoma:

a) (a2 - b2) : (a + 6); b) (a3+ />’): (a + b):

c) (o3 - 63): (a2 + ah + b2)\ d)(x3 - 3.v! + 3.v - 1) :(.r: - 2x + 1).

Dat je polinom 2ar3 —4x2 + ax - 2a, gde je a jedan parametar.

a) Odrediti parametar a tako da dati polinom bude deljiv sa x - 2,

b) Odrediti vrednost parametra a tako da ostatak deljenja dalog

polinoma sa .r —2 bude - 8.

Za koje je vređnosti realnih parametara a, b, c polinom F( ,r) đe!ji\ binomima:

x —1, x + 2, .v - 3;

a) F(x) = jc3 + ax: + bx + c;

b) F(x) = x4 - x3 + ax2 + bx + c?

Koristeći Bezuov stav ili na neki drugi način, odrediti ostatak deljenja

polinoma (803-806):

(2x* - x 3 + 3x2 - 4x+ l):(x- 1).

(3a:6 - 2jc} + x3 - 4x - 1) :(x + 2).

(2xi - 4x3 - 6x 2 + 2x—8 ):(2 x —3).

85

Odrediti ostatak pri deljenju polinima P(x) polinomom / ( a) (8 0 7 -

8 1 1 ):

807. * P(x) = X200 - 3a,w- I, f(x) = a 2 - 4x + 3.

8 0 8 . * P(x) = A"2000 - 4 A"1998 4- 2, / ( a ) = x2 - 2x.

8 0 9 . * P(x) = a2000 - 125a '997 + 5, / ( a ) = a 2 - 5 a .

8 1 0 . * Polinom /’(a) pri delenju sa a + i daje ostatak 3, a pri delenju sa

a - 1 ostatak 5. Odrediti ostatak pri delenju P(x) sa a 2 — 1.

8 1 1 . * Ako polinomP{a ) pri delenju sa a —1daje ostatak 6, a pri delenju sa

a + 2 ostatak -3, odrediti ostatak pri delenju P( a ) sa (a - 1)( a 4- 2).

8 1 2 . Odrediti realan parametar m tako da polinom

p(x) = a5 4- /ha ’ 4- 3a2 - 2a 4- 8, bude deljiv sa a 4- 2.

8 1 3 . Odrediti realan parametar m tako da polinom

p(x) = 9(a - wj)2(5a - 16) - ( a — 12)(7a —19)2, bude deljiv sa

a - 3 .

8 1 4 . Za koje je realne vrednosti parametra n polinom

p{a) = a3 —3/ja 2 + 4 ( h 2 4- 1) a —(/;3 + 5) deljiv sa a - 1?

8 1 5 . Odrediti realne vrednosti parametara a i b da polinom

p(x) = ax3 - ba 2 - 5 a + 4

pri deljenju sa a + 1 daje ostatak 6, a pri deljenju sa a - 1 daje ostatak

2.

8 1 6 . Dat je polinom p(x) = a 4 + a3 + ax2 4- bx + c. Odrediti realne brojeve

a, b ic tako da pri deljenju datog polinoma sa: a - 1, a - 2. a - 3

ostaci deljenja budu redom 1, 2 i 3.

8 1 7 . * Za koje je realne vrednosti parametra m polinom

p{x) — /ma3 + 1 1a 2 + 7 a 4- m deljiv sa 2 a + 3?

Odrediti realne brojeve m i n tako da polinom p(x) bude deljiv

polinomom / ( a), zatim odrediti njihov količnik 0 ( a) ( 8 1 8 - 8 2 2 ) :

8 1 8 . p (a) = 6a5 + mx4+ 2 7 a 3 + «a2 - 5a + 6, / (a) = 3 a 2 — 5 a + 6.

8 1 9 . p(x) = 2xA+ 5 a 3 —1 7 a 2 + rt, / ( a) = - 2 a 2 - a —6.

8 2 0 . p(a) = a4 - 3 a2 - 4 , / ( a ) = a 2 + mx + n.

8 2 1 . p(x) = a 3 + inx2 + nx - 3, / ( a ) = a2 - a + 1.

8 2 2 . p (a) = a4 + 2 a 3 4- 5 a 2 - 4 a 4- m, f (a) = a2 —a 4- n.

86

6.2. Rastavljanjc polinoma na činioce

Za rastavljanjc polinoma na činioce koriste se sledeći zakoni i formule

1. Distributivni zakon - izdvajanje činioca ispred zagrade

ah ± ac = a(b ± c).

2. Grupisanje članova

ax + av + hx + hv = v(a + 6 ) + y{a + h) = (a + b)(x + v).

3. Kvadrat zbira

a' + 2ab + b2 = (a + b)~ =(a+ b)(a + h).

4. Kvadrat razlike

a2 —2ab + b2 = (a- b^y= (a - h)(a- b).

5. Razlika kvadrata r

cr - b2 = (a —b)(a + b) = (a + b)(u - b).

6. Razlika kubova

a3—b3 = (a — b)(a~ + ab + b' ).

7. Zbir kubova

a3+ b3 =(a+ b){a' —ab + b).

8. Kub razlike

o 3- 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3= (a - b)(a - b)(a - b).

9. Kub zbira

___ __ a3+ 3 a2b + 3ab2 + b3= (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b).

823. Dokazati identitete:

a) ¿7* - b2= (a - b)(a + b)\

b) (a —b)2 = a2 —2 ab + b';

c) (a + b)2 = a2 + 2ab + b",

fd) a\~ b3= u T - b)(a2+ ab + b2); /

je) a3 + b3= (a + h)(a2 ~ab+ b');

0 (a —b)3= a3—3a'b + 3ab' - b ;

g )(a + b)3= a3+ 3a'b + 3ab' + b .

824. Koristeći formule (a + b)2 = + 2ab + b2 sleva nadesno, odrediti

kvadrat izraza:

a) 2x + 3y, b ) 3 ^ - 4 ; c)a + b + c,

d) a - b - c , e) 100-1; 0 1000+1;

g) 3jc- yf3; h) ti-v/2 + b4l\ i) - * - -•

87

825. Odrediti kub datih izraza:

a)x + 2; b ) .r - l ;

d) ax + by, e) x 2 + 3ay2\

c) 2x —3y\

n 1 u

826. Dopuniti date polinome tako da postanu kvadrati binoma, zatim ih

napisati kao kvadrate binoma:

a )x 2 + 2x + ...\ b) * 2 - 12* + ...; c) a2 - 24« + ...;

d) x2 - 4mx + ...; e)a2 + -jo + ...; f)a~ + l^fša 4- ...;

g) 1- 4p + ...;

j) ~~ J-'"1+ 4y2 + ...; k)xA+ / + . . . ;

16

h )a2 —ab + ...; h) 25.v2 + 1+ ...;

l)a 2 + 0,25

Koristeći formulu a2 — b2 = (a - b)(a+ b), rastaviti izraze (827—

829.

830.

831.

a) (zr+ b)2 - c 2;

b) y 2 -2 5 ; c) 16 - a 2;

e) 9 —1, i ) 9 r - ( v i3): ;

h) 0,25.r2_v2 - 0,0001.

M 4 2 9 4

b) — x ------v

7 25 16 y

x 49

c) 1 7 _ 36:

e) 144a2 — 25jtć; 0 ~ 1;

h )a2* '-b 2n.

b) (.t2 + y)2- 1; c) (x~2yy - 9z2;

d){a-5b)2 - a 2b2\ e) 0,49a2 ~(x~ y)2\ 0 1 - (2jc- 5 / ) 2.

a) (2a + b)2 - (x + 3y)2\ b) 4(a - b)2 - (2a + l)2;

c) (x + 3y )2 - 9(x - y)2\ d) 4(a + b)2 - (5 - c)2.

4 4

a) 81t74 - 166'*; b) — 625; c) (3jc— l)2 - 25;

81

• H H «m u »h h

832. : Koristeći formulu a} —¿>5—(a —b)(a~ + ab + b~), rastaviti izraze:

a )* 3 - 1;

b) x —27; c) 1- 2 7 a };

d) 64a3 - bb;

g) 125jt3- 8.

e) 343j 3 —27 y3; 0 1000a3- 0.001A3;

88

833. | Koristeći formulu a + b —{a + b)(a' —ah +/»'), rastaviti izraze

a) jc3 + 8;

d) 27 + - vJ;

8

g) (<r/ + 5)1+ 343.

b ) a V + — ;

64

e) I -t- O.OOl.r3;

c) 8o’ + A3;

f)(v+ !)' + 125;

834. Rastaviti na činioce polinome:

. a) 4xz + 4.v + 1; b) O.Olr + xy +’5 / ; c)a2 + a + 0.25;

đ) —2yz + y + z2\ e)«4- 8azc + 16c1; n 16

+ 4 + im.

835. Rastaviti na činioce polinome;

a)o 3 - 6trb+ 12aA3 -8 A 3; b) 27.r3+ 27x2y+9xy3 + y* ,

c) 1+ 15wj + 75m' + 125»ri; d) 8.r3- 12.x3 + 6jc —1;

. I , 1 , 4 #

e) — + - a' + a +tj; 0 27m’ —108/n‘u + 144nm' —64n

Koristeći distributivni zakon, rastaviti na činioce polinome (836-

838):

836. a) a " —ab\ b) \2a + l8oJ; c) mr— m’r,

----- d) 2an + 1+ 6a": e) xam* " - xam; 0 25a1" *! - 15a"

837. a) 4ab + 12ac —8ad\ b) 2(a + b) + x(a + A);

c) 9a b~ —6a~b + I2azb}; d)o(.v+1) —A(jr+i). ■ ’

838. a) 3{jt + y) + iur + £tk b) m(x —v) + nx - ny,

c) ac + ud —pc - pd; d) a'x + b2y + a'y+ b2.r;

e) b(x —3) + c(x —3) + 3 - .r;

0 p(x + y + 1) —q[x + y + 1) + r(x + y + I).

Kombinacijom metoda grupisanja i distributivnog zakona, rastaviti na

činioce polinome (839—840):

839. a) o 3 + 4zr + 4a+ 16; b) a} - a2b + 2abz - 2b\

c) A'3 —3.V + 3.v —9; d) 4a' + 2ab + 2ac + hc.

840. a) I4ab + 15ac - 10a: - 2lbc;

b) az" + bz" + az + bz + a + b\

c) g * V z * - 6xy* + 16x*y2s 2 - 12.x3/ ;

d) a 1+ a~b —a2c —abc\

89

e) a2x + a2 v —ax —ay + x + r;

f) ax~ + bx~ - hx —ax + cx2 —cx.

Rastaviti na činioce sledeče kvadratne trinome (841—842):

a) x~ - lO.v 4- 9; b) ni2 + 6m —7; c) 2x2 —I O.v —12;

d) .r: + 7.v +10; e) a 2 + 5a + 6; f) ~ 1l.v + 24.

a) 2x2 - 5.v - 3; b) 2x2 - 9.v —35; c) 6a2 + 1\a + 4;

d )3 v 2 + 20v+ 12; e)£/2 + « - 2 ; 0 6 /r - 39ft + 18.

Kombinacijom raznih metoda rastaviti na faktore polinome (843-

853):

a) a' + 2ab + ft' —c2: 'b) x ‘ —2xy + _y2 —9;

c) 4 —p 2 + 2pq—(]': d) 16/n2—9x2 + \2xy — 4y:;

e)a2b2 +c2 — 2abc- 25; f) x 2 - 1—2y - y2.

844.

a) a2 - ft2 +a — b; b) x 2 - y2 —x + 31;

c) 4a' —m~ — 2a + m. d)a" + a~ —4a —4.

8 4 5 . a) 2.v- 2_y —x 2 + 2.\}’ —jy2; b ) m2 + 2mn + u2 ~ x 2 + 2xy —>’*;

c )ax - bx — a 2 + 2 ab — A2; d ) 9 + 6 a + a 2 — b 2 — 2 bc — c 2.

8 4 6 . a) 7 x 3 + 2 x 2 - 6 3 x -1 8 ; b ) a:3 - a 2 - .r + 1;

c ) x } - x 2y - x y 2 + y 3; d) a 2; - 2 - x ' - y 2 + I.

8 4 7 . a ) ft3 + a b 2 - 4a ~ 4 6 ; b ) a 4 + 2 x 3 - a - 2;

c)os - a 3 + a 2 - 1; d ) p 3x 2 — <73a 2 — p 3 + q 3.

8 4 8 . a) a 5 - a 3 + 27a2 - 2 7 ; b ) o 6 - 1;

c) a V - a 3 - y 3 + 1; d) a ]b 2 - a 3 + 8 b 2 - 8.

8 4 9 . a) (x -j/)(.x 2 - c2) - ( a - z ) ( a 2 - y 2);

b ) A(A + 3)(A - 4 ) - (2b - 7)(A + 3 ) + b 2- 9;

^ ) ( a - 3 ) ( a 2 - a + 1) + ( a - 3 ) ( 2 x - 1) - ( a - 3 ) ( a 2 + 4 );

d ) ( x + 1)(4a - 3 ) - ( a + 1 )(a 2 - 4 ) — ( a + l)(x2 + 2a - 3).

850. a) 5a" + 2 —20a";

c) 12a3u+ 3 —27au+';

851.* a) a* + 4;

c) a4 + a2b2 + ft4;

b) a"b3n - 4 a " ft";

d)4a3n - 100a".

b) a4 + 4yA;

d) 1+ a2 + a4.

90

852. * a) x5 + x + 1; b) x' + a4+ I.

853. * a) x 2(y — z)+ _v: (z - x) + z: ( x - v);

b) (x + v + r)3 - x3 —y3- z 3;

c) (.v: + 5x)(x: + 5.v + 10) + 24;

d) (.Y: + 7x)(x2 + 7a + 22)+ 120.

Koristeći Bezuov stav, rastaviti na činioce polinome (854-860).

854. P(x) = x4 - 2x3- 7x2 + 8.v + 12.

855. P (x )= x i - 2 x ' - - x + 2

856. P(x) = xA+ x3- 16x2 -4.V + 48.

857. P{x) = x4 - 13x2+ 36.

858. P(x) = x 5- 3x4 - 5x3+ I 5x2 + 4x - 12.

859. P(x) = x 5 - xA~ 13.v3 + 13x2+ 36x - 36.

860. P(x) = .v5+ Sy4 - 1lx3- 27x2 + 10x + 24.

861. Dokazati Diofantove identitete:

a) (av+ by)~ + (ay — bx)2 = (a2 + b2)(x2 + r2):

b) (av - by)~ + (ay + bx)2 = (a' + b2)(x2+ v2);

c) (ax + by)2 - (,ay+ bx)2 = (a2 + b2)(x~ - y ).

862. Dokazati Lagranževe identitete:

a) (x2 + y 2 )(a2 + b2) - (ax + by)2 = {b x - ay)2;

b) (a-3 - y 2 + : 2 )(£j: + b2 + c2) - (ax + hy + cz)' ~

= (bx + ay)2 + (cy - b:)2 +(az - cx)‘ .

863. Dokazati identitet:

{ a - b)} + (/>-c)3+ ( c - o ) 3=M.a- b)(b - c )(e - a).

864. Dokazati da je polinom P(x) = X1' - x° + .r4 —x+ 1pozitivan za

svako x.

865. Dokazati daje polinom P( a) = h6 - n5+ h4 + n' - n + 1pozitivan

za sve realne vrednosti n.

866. * Dokazati identitete:

a) (o + b + c)2= a2 + b~ + c~ + 2ab + lac + 2 bc,

b) (a - b - c)2 = a 2 + b2 + c2 - 2ab -2 a c + 2 bc,

c) (a + b + c + d)2 =

= lo b + la c + 2ad+ 2 b c + I b d + 2c d + a: + b: + C + J ■

d) (a2 + b1 )(a4 - a2b2 + bA) - (a3 - 63)(a} + hi)=2b;

91

e) (jc+ y+ z)2 + ( x + y - z )2 + ( y + 3 - x )2 + (z + x - y)2 = .

= 4(x' + v" + z2).

867 * Ako je a2 + b2 + c2 = u i a + b + c — v, tada je

868. * Ako je a + b = u i ah = v. tada je a3 + b'’ = u(u2 - 3v). Dokazati.

869. * Dokazati da je polinom

—+ a

4

Kombinacijom raznih metoda rastaviti na faktore sledeće polinome (870-

879):

810. xn - x 8 + x* - 1.

871. 4(ab + cd)2 -(a 2 + b2- c 2 ~ d2)2.

872. (x + y + z + xyz)2 - (x)> + yz + xz + \)2.

873. (x2 - / ) * + 2(xl + / ) + !.

874. a" + a5 + a4 + 2a' + a- + a + 1.

875. x* -7 * py + 5x2y2+ 3lxy2- 3 0 y \

876. * (x2 + 4 x + 8)2 + 3x(x2 + 4x+ 8)+ 2x2.

877. * (x2 + x + 1)(jc3 + x+ 2 ) - 12.

878* (x + I)(jc + 3)(.v + 5)(x + 7) + 15.

879 * (x2 +x+ l)(x3+ x2 + 1 )- 1.

Dokazati daje dati polinom kvadrat drugog polinoma (880—887):

880. 36x6 + 12x3 + 1.

881. 4 (x + b)(x + b — a) + a 2.

882. * ( jc+ l)2(x 2 + 1) + jc2.

- u + - b2 —ah2 , kvadrat trinoma.

2 2

884* a2 -f (f l+ l ) 2 4- (a2 + a)2.

885* x{x- l)(x + l)(x + 2 )+ 1.

886* (jc + a)(x + 2a)(x + 3a)(* + 4a) + a\

887.* (a3 + l)2 - (a2 - l)2(a2 + 1).

92

6.3. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

Neka su: A,B,C,D. M polinomi različiti od nule.

1°. Količnik dva ćela racionalna izraza (polinoma), pri četnu je delilac

različit od nule, naziva se opšti algebarski razlomak, tj.

( 2 * 0).

2°. Vrednost razlomka se ne menja ako se brojilac i imenilac pomnože

jednim istim algebarskim izrazom (brojem) različitim od nule, tj.

P PM

— = ----- , (Q,M* 0).

Q QM ’

3°. Vrednost opšteg razlomka se ne menja ako se brojilac i imenilac pođele

jednim istim polinomom (brojem) različitim od nule, tj.

P:M P

-------= — . (£, M * 0).

Q:M Q

4°. Zbir (rafzlika) opštih razlomaka jednakih imenilaca je identički jednak

opštem razlomku istog imenioca, a brojilac je jednak zbiru (razlici)

broioca, tj.

A B A ±B

— ± —= --------, C*0.

c c

c

5°. Proizvod dva opšta razlomka identički je jednak opštem razlomku čiji je

brojilac jednak proizvodu broioca, a imenilac jednak je proizvodu

imenioca, razlomaka koji se množe, tj.

A C AC ^ _

--------------- , (B,D* 0).

B D BD

6°. Količnik dva opšta razlomka identički je jednak proizvodu razlomaka

deljenika i recipročne vrednosti razlomka delioca, tj.

B D

B C

(B,C,D* 0).

Skratiti razlomke (888-896):

888.

4 ab

9ab

a)

b)

c) la-b d) 9 ab3

6 a V

T8 ^ ’

21 ac

6 b'c

889.

.v(cr 3- b)

3alb\x+ y)

a)a (* + 2 ) ; b)

c)

2a2(x + 2)' 2ax+ 2bx' 45a2b3(x2 + 2xy + y ')

93

l - o 2 ,. x 2 —8x + 16 ,x

890. a)

b )--------- - < W ] ,

a - 1 ’ xy-4y ' ' x 3 + 2.x' + x

(o + 6)2 ~ 4 a2 ~ 9

d)

2a + 2i>+4’ 6 o6+36-o-3

5o2 + 10o6 + 56 x: - 1 . 6 o * 6 -3o - 3o6

891. a)

r r - ; b) ------- 7; c)

15o2 ~ 1562 ’ 1 + o2x2 - x2 - a 2' ' ab'- a b

(a2 + 62 + c2)2 ~ (o2 ~ 62 + c 2)2 (ax+ l) 2 - ( x + o);

^ 4o62 - 4a6c (1 _ * ' ) ( ! - a )

2n r m im

a3n- a b 2*

a b - b

892. a)

■I b )-rain

- 2au b" + a b 2n' a2"bm+ 2anbm+ bm

aA"cm- b 2ncm

on + 3 + a" +2

C) aucm- 6"cm’ on+5- o fl + 3

a1 + 62 - c2+ 2ab

894.* a)

a1 +c2 - b2 + 2ac’

a2+ 2a6 + 6' —4

c) —

a2 + 4o —6 ' + 4

b)

e)

a

2/i + I

—a

2/i —I

n —I

a" ' + a"

X4 + X2 + 1 o4 + 3o262 + 64 - 2 o J6 - 2o63

893 * a ) -

;b)

x4 + 3x2 + 2x3 + 2x+ 1

a 4 + a 262 + 64

a 4 + l - 2 a 2

, 2 . D’

1—a —a + a

a2 bc —b3c + 2b~c~ —6c

d)

4a2b2 - ( a 2 + b2 - c 2)2 '

895. a)

x2 - 5 x + 6 ,y2 - 3 y - 10, x2 —4ox + 3o2

x2 —3x + 2’ / + y + 2 ’ ° x2 - ( o + 6 ) x + o6

x j x - 3j+ x2 - 9 b a2 —4 —1a —2 1

896* a)

2x3 - 3x2 - 9x a 3 + 2 a 2 - 5 o - 6 ’

x3 - 6x2 + 1lx —6 x2 - 1+ | x + 11

(x3 —4x2 + 3x) 1x —2 [' |x [ ( x - 2 )

897.* Dokazati identitet

(o + l)4 + a + l _ a + 2

o4 - ( o 2 + 2 o + 2 )2 4

94

898.

Skratiti razlomke (898-907):

( « '+ a + l)- —(a —I)* x* + xy{x2 + v: )+ y*

a) —;---------- ;------------- b )--------------------------------:------ r—.

(a --a + !): -(a + 1): x4+ * * / + /

899.

900.

901.

902.

903.

^ _______ -v V 3- x*y3_______

x3y3( l - xy)2 - x3y \ x - y ) 2'

^ as + b' + ab~ - 3crb

ci~ —2ab —b~

a" + b~ —c2 —cl2 + 2(ab —cd)

a2 — b2 + c2 - d2 + 2(acbd)

a2 + b2 + c2 —d2 + 2 (ab + hc + ac)

a2 —b2—c2—d2—2( bd + hc + cd)

.v3+ ax2 + ax + a —1

.x3 + bx: + bx + b —1

^ (mx + ny)~ - (nx + my)z

J (ax + by)z -(bx + ay)2 '

^ xA- (a'+ b )x~ + a2b'

x~ + (a + b)x + ah

a3+ b3+ a(b2 + c : ) + h(a2+ c2)

904. *

a2—b3+ a(b2+ c2) - b(a2+ c")

cd + b3 + a2(b + c) + b2(a + c)

905. *

a3—b3+ a2(b + c)- b2(a +c)

(a + b)3 + (a+ b)2 +(a+ b)+\

906. *

(a + b)3— (a + b)~ + (a + b) —1

(ti + b + c)4 - 5(a+ b + c)2 + 4

907. *

(a + b + c)2 + 3 (a + b + c) + 2

908. Odrediti * realne brojeve /, m, n i p da se razlomak

xA+ lx3 + mx2 + nx + p

-------;------- :---------------, posle skraćivanja svede na razlomak

.T3 + 3 . f + x - 5

x3 -4 x 4 -5

x - 1

95

909. *

910.

x 3—6| x —5| —2Sx

*

" x : - x - 20+ 2 |x - 5 | '

911.

^ x3 - 2 4 | x - 101- iOO-v

*

x2 - 9 x —10 —3 1x —101'

912.

a4 - 16

A * = ----------------------------—---- .

a4 —4 a ’ + 8a ‘ —16a + 16

913.

914.

915.

916.

917.

918.

919.

Skratititi razlomke (909-912):

x 3+ ( 8 x + 1 5 ) |x - 3 |- 2 7

jc- —2.v—3 + 7 | .r —3|

Odrediti najmanji zajednički sadržatac polinoma (913-918):

a) a2—2a i a2+ 2a; b) x* —2x + l i 3x* —3;

c) a2 + 2ab + b1 i a' - b2; d) 2y2 - 8 i 3y: + 6y.

a) a2 - 10a + 25. 3o + 15 i 2a;

b) 3a —3. a" - I i a + 3;

c) 5a —5b, a' —b: i a2b + ab~\

d) 3a —15. a~ - 25 i 5 —a.

a) x: + xv. xy+ y~ i x ' + 2xy+

b) 2m: - 4mri + 2 n~, 6m~ —6n2 i 18m + 18m;

c) 25a: —10a + 1, 50a: + 20a + 2 i 25a' —1;

d ) a s -81a, a 4 + 18a2 + 8! i 4 5 a -5 a 3.

a) 4 - x2, x - 2 i 2x: - 8x + 8;

b) a 3 + 8a 2 + 16a i a 3+ 12a’ + 48a + 64;

c) 2a 4 - 2, a ’ + a 2 + a + 1i a 3 —a ' + a —1.

a) 9a + 15, 36a2 - 100 i - 9a2 + 3 0 a - 25;

b) 2ay2 - 2 a, y 2— 2 v2 + y i S^3 + 10y2 + 5y,

c) 4a2 + 4ab+ b2, 4 a' —b2 i 8a J + b .

a) 3xJ - 12x2 + 12x, 5x4 + 20x3+ 20x2 i 3nx2 - 12«;

b) 4x: + 4.v>’+ y2, 4x2- y2 i 12x3 - 12x:>'+ 3xj’2;

c) 3x3 - 12x2 + 12x, ax2 + 4ax + 4a i 3bx~ — 12b.

Uprostiti racionalne izraze (919—950):

3 5 7 L x+3 x—1

a) - + ------; b) — --------- — ; c)

x x x 4 4

J 2x+l 3x+ 1 x — 2

d )— — + — --------- — ; e)

4a 4a 4a

m + n

------- +

3

x - 3

x —5

m — n

~ T ~ '

x + 3

x —5

96

4a + 3b 2a— b

920. a)

10 15

1 1 a2 + b2

C )------1------ ------------------ ;

6o 4 b~ 6 ah'

92ft . ) — + -------- £ ± *

ah —b' a' — ab ab

16.x - X 2 3 + 2* 2 - 3 *

C)--- ----- + -------------------;

* ' —4 2 - * * + 2

x - 3 y lx —

b)

12 8 '

^ 2 m - 3p 4m-5/7

nr p m p '

b ) - r - ? - _ ------Í - .

a ' — 9 b ' a + 2b

Js 1 , 2 1

2 ----- + ------- , T r + *" n

JC - * 1- * - * “ + *

. 1 9*+ 3 2

5* 3* - 1

922. a) —-----7 - — — - +

6* + 3 8*2 - 2 2*- I’ b* X2 - 6* + 9 *2- 9

a' - a - 6 a - I

c)---- ----- ------ --------- 2;

5 4 - 3y2

d)— ------------ -—- — 3.

o ' —4 2 — a

2 y~ + 6 y y — 9

X

2

+

i

y

2

923. a)

X + 4 ~

xy x y - y x - xy

6* + 5 3 (2 * - 1) 50*

c )------ -------^ +

* + 5 * —5 x2 —25’

, o + 1 6a 2a —l

b ) -------- + —--------------------- ;

0 + 2 a' —4 0 —2

o + l 2 2

d) ■» 1 1 1"

ß a* —a a - a

a2+ab+b2 a2—ab+b2 2 a2b

924. a)

- +

a + b a —b a2 —b:

x2y 2 (x2- b2)(b2 - y2) {a2- x 2)(a2- y 2)

a2b2 b2(a2- b 2) a \a 2- b 2) ’

a2 - bx 3b —a 0+ 2*

c)

+

a 2 —ab + bx—ax 2a—2b 3a—3*

,25. a ) J i - ^ ] + 12 j + .U' * + l . »

* — *3 - i *- + * + i

8 15*+ 5

b > ^ +

9*3 —* 6* - 2 9*2 + 6* + 1

1 1

c)

-+x2

+ 10*+ 25 *2 - 1 0 jc+25 *2- 25

4o2 + 9o + 5 1 —2o 6

d)

a 3 - 1 a2 + a + I * a

926. a)

927.

3x~ 1

• +

2x + 1

X - 1 x2 -3 .x+ 2 ’

,

b)-------4-------1

x - 5 x+ 3 16

+

X — 3 x + 5 x2 - 2 x- 15’

X - 1 X —7 12 + ■

c)

X + 1 X + 7 je2 + 8x 4- 7

2x~ 4- 2 XV 4 xy

a) 4-

2x - y 2x y 4 3y ' 4x 4- 4x y - 3y '

b)

928. a) 14 3x 4

b)

3 -2 x 3 + 2x + ■

15,r-

2 —3* 2 + 3* 4 —9x2

9x2 1 6x

] + 3x 1- 3a- 9a2 - 1

5a 3 - 15a

a + 5x2 1 —10x4 25 4

a2

10(5a2 + 2 a)

1- 25a2

929.

a* 4 a x 2x 3

a)

a~x— X ax 4 X a~ - x 2 a + a’

5 a - 3a I 17a - 25a

b) H— :—— r 4 4

3a —3a

2a 4 2 a

a' —a"

6a* — 6a'

1 a - a

a — 1 a + I

3aJ a 4 1

a2 — 1 a ’

b)

d)

- a b a 2b + ab"

a 2 + ab ab

3a - 3y x2 - y 2

2x+ 2y x2 - 2xy 4 y2

931. a)

x4- l

2a2 + 2

a 3 + a a3 + a2 + a +1 (a —1):

bj

a2 + y 2 — z 2 + 2xy

a + b — c

b 1 — a 2 — c2 4- 2ac x + y —z'

x3 + 2a2 —a — 2

c)-

a + 1

a" 4 a a —2

a3 —2a2 —a + 2 x 4 2

98

2 n m - n\

a) 12 + * 1-

m —n) ^ m + n/

X + z

c)

X + y

X

x~ — yz

b)

\x + 2

d)

1+

- 1 /.x3 + 1 x)

\ 2x - i 2/

\ - a 2 1- b2

1 + 6 a + a2

la

21a2

] 6b2 ‘ 86

b2- r

b)

3 ..3

4xsy- 8xJy

, c)__

X —25 x- + 5x

15 b3c 5c2b2 x~ -3 x X2 - 9 ’

b - y

3<s3- 3y3 a2+ay+y'

a)l~

m

"

n

h l - T ri-

c)

c)l

a)

2x+ 1 2 x -\) 4x

2x —1 2x + 1 ' 6x+ 3’

X2 - JC-3

X —4

- x+ 2

b)

-Saa)

b)

—a

c)

a2 + b2 - c -

1 +

2ab

d)-

(a + b)~ —c*

4 a2b2

a~ + b1 a* —6J

1 + 2 m + m 2 1 — 2m2 + m*

'

1-

3x2 ^

1- jr

ax + a

25x3 - 110.T+ 121

x3- 2x —8

lb b2

i - —

a

+ ”

a

a—b

a2x

y

b2y *

a b

- + -

y x

e)

X

jf-1

1

+ 1

3x

X2- x + 1\x + 1 xl + 1;

u - V

4x2

3a-

3a .

1- 4.x -

9a2

u + 2v + 3v2

u - v

4 - 4 + a'

a

c)

i _ i

2 a

99

937.

0

2a 4- b 2a —b

2a — b 2a + b

4a1 + b2 _ 4a1 - b2

4a~ —b2 4í/: + ¿r

b)

2x - Q-

2x

8xJ - 2a

2

x

\

4x2-

2x + a

]-■

2x

2 x + a

')■

1+ a +

1—a

1 + 1 -ad)

—í - + 1-

, 1 l + x

1H— x _________

.V 1

i - i * " *

X

i

938.

é a' 4 a^

--- —+ ---- h L

4b- 2b

b)

x - y

\X + y

V

- — - - 1

[x+ y

+ 1 x _ y

y x

c)-

a:3 + y3

x + y — xy x - y +

x+ y

xy

x - y

d)

(X + y)1

3 xy

(x -y )'

xy

x - y

+ 1

939.*

x+ x2+ x3 +... + x"

1 1 1 1

X X X xn

940.

» ) M ----------

\y ■¥ xy x+ y x 4-xy) x

b)

x — xy

x2y + y 3

2x2

y3 - xy2 + x2y - x 3i

1- y-1 y

100

c)

d)

/ a a

■+ ■+ — 4(7 (7-4

6 —3(7 (7+2 a 2 —4 1 ( 7 - 2 ’

JC -^

M ]

,-T jvJ

4(73 - I

941. a)

(75—a2—(/ + 1

Í73 +b2

1 x2 + y1 (\ 1

+y

je

y

1

(T —2(7+1 ! —(7 (7+1 (7+1

b) 2(7 +

2b

a + - U Í b+ 1+

a + 2b) b\

?

c)

3(7+6 2í7: + 4íj 3(7” + 12(7+ 12 3(7(a + 2)2

942. a) \x +

b)

ax - l a 2

6a —121

2a: - 4

+ ■ 2a

2x2+ 6x —ax—3a a '—Ax'

x2 + x-2ax-2a

1 + - 3a: + x *\

a: + 3

943. a) ' a + +

*

1

V; 1

1

[ x - y ! A+ j’V

A++j Â+y a-+/

i at + 2ay x2 —4v: xy-2y

r -» , 2

b + c ¿7

a b + c \a b + c

: 1+

^ 2¿c

a

1 1 1 1A (a - +): + 4XV

b)

U 7 + l i \ 7 - r * u 1+ ^

944. a) if —+ 1

c)

a2 + a —2 ((a + 2)~ ~(?' _ 3 1

■3(7"l 4a2 —4 (72- í7

101

945.

f z - 2 (z + 4)2 ~ \ 1 ____1 \ z 3 + 2z2 + 2z+ 4

a)

[6z + (z~ 2 Y z —8 z - 2 ) z —2z" + 2z —4

/ 3 3a2 + 3a + 3 aA- a

b)

a —1 a2 —1 a 3+ lj

a — a

c)

8 c 3 m ( m + 2c m 3

1+

m3 - 8c3 2c - m j( 2c m + 2c

946.

947.

3.r + y\ 2 x + y' t 3y* '

a) İ1- 1-

1+ ■» J

x - y x + 2y) ■V - 4 v

\

2m 2 m~ + 2 m 4

b)

m ~m \ - m- ) m3 —1 m —1

1 3 V 2a - 1

c)

■+ • a —

a+l a3+ 1 a'—a+l^\ a+1

9 a 2 + ] 1

a)

l-6 a + 9 a 2 27a3- 9a2 - 3a + 1' 27a3 + 1

■(27a3- 18a2 + 3a)

( 2a2 + 3a 3a + 2 4a- l3! / 2o+3V

b İ4a: + 12a+9 2a + 3 + 2a + lj \2a - 3/’

3(3 —a) 4 6 2(5-a)

c ) ^ ----- L +

a2—i a+l a:+2a+l a3+a2—a—1

đ)

J ______ 1- m 1 - 2 m \ 4m + 2

2 + 4/ti 8/ti3+ 1 4m2 - îm + 1 j 2m —1 I —4m + 4m~

948.

a)

3 3jc x ~+ xy+ y~

2x + >» 3

X 2 + 2 x y + y 2

x + y

b)

3 x — 6

x+ 2

3 3x x 2 + 2 x + 4 \ 2 x + 2

'+ '

k* - 2 i 3 - 8 x + 2 J ’ X2 + 4 x + 4’

102

c)

3x + 6

2x2 —jc—10

■+

2x} + 2.x2 + 2x+ 2 2xJ - 2x2 + 2.v —2 I

i 5 , 3 3 ]

2a + 2 2 x -2 j

*«■<

Kl

+

1 1 2 4

949.* a) ------ + - -----+ — ----- j----- + - * * , + I«

I - .v 1+ x I + x2 1+ a-4 I + .r* l + .v16’

1

1

b) • +

- +

+

x (x + l) (x + l)(x + 2) (x + 2)(x+ 3)

I 1

+

(x + 3)(.t + 4) (x + 4 )(x + 5)'

9 —x~ x2 - (2 x - 3)2 4x2 - (.x- 3)2

d)

(2x + 3)2 - x2 4a2- ( x + 3 )2 9(.v2- ] )

e)

950 * a)

c)

x4-(x -l); x2-(x2-l)2 a2(a - 1): —i

C (x2 + l)2- x 2 x2(x + I)2 - l at4 - (x+ I)2 ’

a1- a 2 + 2a - 1 (a2- l ) 1- a 2 a2 -2a

{a2 + i)2 - x r a4 + 2a2-i- a~ —l j ' a3- l

| ,vJ - 11+ 1-v + 11

x 3 + x

| a2 —11+ x2 | x —11

2a2 —1 x 1

1

b) r + l * - n

\x+2\

■ x |-l x2—| JC|

d)—,

-1 x3 —21x | + !

rx21x - 11 2a | x + 1 j

e)|

+ 2.x- - 4 : | . x - 2|.

x —1 .v+ 1

951. Dokazati implikaciju

a)(xi* - y/\ x * + 1A }’* 1 A y # 0 );

xi - 1

y 2 + xy

1

y

- -

— 1

x- xys - yA+ y _ y2 + ) ’4 1 .

\ ^ 7 2 y

103

a b

—I— 2

b) (a ^ 0 A ^ 0 A a ?* - ¿>) => —— — +

1 1 I . 1

- + - —

a b a

] _ 1

b__ a

J _

ab

= 2 bi

c) (x ^ OA y * 0) :

'(x+ y)2

3 xy

\

- x - y ■

/

( x - y)

xy

- + 1

x + v

952 *

a)

1

1

■+

(a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c - a ) ( c - b )

b)

+

x2 - - x z - yz y2 - xy + xz - yz (z - x)(z - y)

a2 - bc b2 - ac c2 — ab

c )---------------------i----------------------- H

(a+ b)(a + c) (b + c)(a+b) (c + a)(c + b)

953.

Pokazati da vrednost izraza

4 1 4

1 1 b(abc + a + c)

ne zavisi od a, b, c.

954.*

955.

Pokazati da je vrednost izraza

1lx —2\

x" + 2x - ■ x + 1-

3x+ 1 / \

ceo broj za svako xG Z .

2x 2 + x + 2 \

3x+ 1 /


6a~ + 5a —1+ a + 4\

3

3a - 2 +

a+ l j ' a + 1

neparan broj za svako a G Z \ { - 1}.

104

956."“ Pokazati da je vrednost izraza

957.

958.*

959 *

960.

961.

4 - - 6 4

2 i 4

4 H----- (*~— 4 - - +

X x" X

neparan broj za svako ,r £ Z \ j0}.

Pokazati da je izraz

4x~(2.r + i)

]-2 x '

a b a2bl ab

i 1 (a+b)2~3ab a2 h2

} + l 3

a b

pozitivan ako su a i b suprotnog znaka, a negativan ako su istog znaka i

ako je a ^ O A i^ O A ja l^ d .


/ 1 21

1 (/ - 3): + 12/

+ ■

^/2 + 3/ + 2 r + 4/ + 3 r + 5 / + 6j

ne zavisi od t ako je / s* - 1 A f ^ - 2 A t * - 3.


1 1 1

b(abc + a + c) 1 I

a +

1 ° + b

b +

ne zavisi od a, b i c.


( , 5k--6A- + 3'|

\2 - k + 4k~ +

k - i

neparan broj za svako i/lA i£Z.

Pokazati da izraz

' a+ b a — b'' (a + b a — b

T

ya — b a+ b) - b £7 4- h t

ne zavisi od a i b, | a \ ^ b.

, (a # 0, b 0, c * 0)

2* + l + 2k

k - 1

105

962*

963.

Pod kojim uslovima je tačna jednakost:

x I 1 l l

a ) ------------------ -1------------------------- 1--------------------— = __

x(x- y)(x-z) )iy ~ x)(y- z) z (z ~ x )(z -y ) XJ

2 n -}

, je y‘ z~

b ) ------------------ 1---------------------- 1---------------------= )•

( x - y ) ( x - z ) ( y - z ) ( y - x ) ( z - . v ) ( z - v )

b —c c —a a — b

c ) ---------------------- i--------------------------H---------------------------=

(a-b)(a-c) (b-c)(b —a) (c —a)(c—b)

2 2 2

------ + ------- + ------- ;

a — b b —c c — a

ab

bc

d)

( c - ć i) { c - 6) (ci-b)(a — c) + ac

(b ~ c){b -a )

Dokazati identitete:

a)

a c — x ax

----------- + -------

c a c —cx

a * 0, c & 0, x & c;

a2 + 9bb)

2a + ■

3 b

a ^ 0, b * 0, a - 66.

a c — x

---- + -------+ 2

c — X

: ci + 9b12 \

1= 0?

11 ~ c + X

Cl + c — x'

ti + 6 b ~YbV + 3b + ~ ) = - (1’

Uprostiti racionalne izraze (964-981):

964.

(y + 3)(x-h ^ + 3 ) _ y ~ x + 3 2x 3

*

*((>’ + 3)2 “ + 3) ( y + 3 ) : - .v: + ,v+ v + 3'

965.

5 t y -3 x + 2 t 1 | 17jr—25(y+ 2)

X x - y ~ 2 ) x2- ( y + 2)’ 2(jt + ;-+ 2) + 6{x2 - {y+ 2)’)

966.

+ b)

x\a + b)

x3+ ( a + b)3

967.

x+ y+ b | y - ¿ V

x + y - b x + y+bj

(x + y+ b x + y — b

\ -t + y —b x + y+ b

106

f 1 3

968. *

;x4- y+ 1 (A4- y)3 + 1 (x+y)2- X—v+I

969.

1

x+ y -

V

2(,v+>’) - l \

X + y + 1 }

X + y 4- 1 j 6( x 4- y) 2(x4-j>)-!

A- +_y+2 (a' + j'): —4 a+>'-2

(o 4- 6)* + (c + c/)" (a 4-A)2

970. *

(fl 4- ¿)(c + d) (a + b)(c 4- d) - (c 4- d)1

[ (c + dŸ

(a 4- b)' - (a+ b)(c + d)

971.

972.

a2 4- fl(c 4- d) 4- (c 4- d)2 a' - a(c + d) + (c + d)2

a + c + d a —c —d

2a2(c 4- d)

a2 —(c 4- d)2

a~ — b(c+d) 3b —a a+2(c+d)

(a —b)(a - c - d) 2{a-b) 3{a-c-d)

2 (îi + b) 3 (fl 4- b)' 4- 2(fl 4- b) + 1 <; + b 4- 1

973. *

fl 4- b — Í (fl + A)] — 1 (a + by + a 4- b + 1

974.

4(x4- jy)2 + 9(x4- y) + 5 1- 2(x + y) 6

(X + - 1 (x + _y): 4- x + y + 1 1- x - y

Q>+ 3)2 + x(,y 4- 3) _ y + 3 - x________ 2a

975. *

x(y 4- 3): - x3 x(,v 4-3)4- x2 (y 4- 3)2 - x2

4-— 3 .

x + y+ 3

976.

977.

5 | a 4- A - 3a t 1 17x- 25{a+ b)

3x-3(a + b) x2 —(a 4- b)2 2(x + a+b) 6(x3 - (a 4-A): )

3a | a_______ 2x(a + b) ) 4,x(fl 4- b)

^x + a+b x - a - b x2 - (îj4- b)2j x2 - (a + b)2

107

978.=*

3 3(X + v) + 3(a- + y )2 + 3 (x + v)4 - -v - y '

x + y - 1

(jc+>')J + i 4

x+ y - ( x + y )'

3

979. f

+

\đ+/>+l (£7+i>)3 + l 0 + b)2- a - b+ \)

2(a + b)- P

\ci + b —

a + b + 1 j

980.

981.

' 2 2ja+b) \ _2(q + b)2 + 2{ci+ h) +

¿a+b)2- a ~ b \-(a + b )2) (a + b)} - 1

4

a + b —1

2ah 2 ab

--------- a ----------b

a+b , a + b

T i- + i i

---1------------------i" -----7“

b a — 2b a b — 2a

982. * Izračunati vrednost izraza

(\ + x){\+ v)(l + z) iAA_ m ~ n t v- /7~ P.tZ~RZJ!L

(1 - X)(l - ,v)(l - 2) ’ m + n ’ ' n + p ’ p + m

983. Dokazati identitet

1 1 1 1

a b+_c.b_a_±JL = ------ —------------- \ (ab * 0,a* -b, b * ~c,

1 1 1 1 a —c—b

---1-—+ — -

a b+c b a+c

\a + b).

984. * Dokazati da je vrednost izraza

konstanta, za abc z50.

108

985.* Dokazati implikacije:

a)

b ' + c~ — a~ (a + c —b)(a+b — c)

x = --------:-------A y - -------:-----—----------a

x 2 bc {a + b + c)(b + c — a)

/\(b * 0 ,c * 0,\b + a) |=>(jr+ l)( v+ 1) = 2;

b) (x + y + z = 0 A ( j: * z A xyz * 0)) ;

+ y 2 + z2

\_

( y - z Y + ( z - x)- + (.r-.y ):

c) [ - + 7- + - = 0A (abc * 0)) => ~ + — + ~ = 3;

\a b c I a' b~ c~

d) (cic + bc= ab A (a ^ lA b^ lA r / 1)) =s>

1 1 1 1- 2c

1 a l —b 1 —c (1 —a)(l —¿)(1 —c)

986.* Dokazati implikacije:

a)(xy + X * - 1A yz + y * - 1A zr + z * - 1A .ryz= I)

= i;

xy+x + 1 yz + y + 1 zr + z + I

b) (xyz * 0 A xyz = 1) =>

i

=>U + ^ I + >' + — + z + n ” U +

yj 2/ * M , +

c) (a + b + c = 0 A (abc * 0 A a 6 A b*c/\c* i/)) =>

(a - b b — c c —oj/ c a b

=>|------ + --------- 1- ------I ------- + -------+ -----

c a b Ka —b b -c c —a = 9.

987.* Dokazati daje za svako n £ .V:

1 1 1 1

a)-----+ — + — +

1-2 2-3 3-4 n( n + 1) n + 1

, . 1 1 1

1 n

b )------ 1-------- 1-------- h ... H------

1-3 3-5 5-7 (2n —l){2/t + 1) 2n + I

. 1 1 1

c)-----+ ------+ ------+ ...+

2-4 4-6 6-8

1

3;

2n(2n + 2)

_ 1, 1 i

1 n

d) — I---- + ----- h ... H— -

6 12 20 /¡‘ + 3n+2 2n + 4

2(2n+ 2)'

988. Odredite * sume:

, 3 5 7 2n+ I

a) —----r H----: 7 H— ;---7 + ... + ——----- ----- 7, n S N ;

l 3-2 ! 22 -3: 32 • 4 2 + !)-

1 2 3

b)

■H— :----7 + ... +

Ti nEN.

l 2 • 2 2 32 -52 ' 5‘ - 7 J (2/7 —l)'(2 n + 1)


989.

1 1 1 1

a b) (a b) (a2 + b2)2 -• (a~ — b~)~

(a+ b)2 —(a —b)~ ( \ 1'2

4-

r b2

1_ 2

a

~2 ~ +

b

2

990.

2l2

a b

1 i 1 + 1)

{(a + b)2 L 2 b2 )

- + -

,a b

991.

992 *

993*

994*

995.*

l- .x 4 , (1 —t4)(t —xa) , ( l - . r J)(A--.v4)(T2 -A-2 ,

----------1- ------------- --------- 1------------------------------------- 1-

1—x x — x

x2- xb

{ \ - x A){x - x* )(x2- xA)(x3 - xA)

+

x

6

- X

10

1

I — + — |+ 4 +4 . H| i + i i + i

( a + 6)3\ij3 b2) {a+b)A\a2 b2) (i7+6)5\tf b

a\b2

-{b — c) + ~{c - a) + ~(a — b)

c

b\c2

a~)

cVa

a

- + - * - + ■ C

b + c a + c a + b

1

4.

1 1 3

b + c a + c a+ b a + b + c

3+ a - + - b c - + -----

b + c a + c a+ b

' + — + 1

b + c c + a a+ b

110

996.

+

—a + b + c a —b + c a + b- ,

1

—a+b + c a - b + c a+ b~ c

997. Izračunati vrednost izraza:

+ 3

A =2(.t + y + z + xyz)+ (\-x)(\-y)(\-z) + (l + .r)(t + v)(l + z),

a - I b - ] . c - I

za .v = ------ , v = ------ i r = -------.

a 4- 1 b + 1 c + 1

nno ai • a ~ b b - c . c - a

998. Ako je x = — y = ------i z = -------, tada je

a+b b + c c + a

(1 + x)(l + y)( 1+ z) = (1 - *)( I - >>)(] ~ z). Dokazati.

999. Izračunati vrednost izraza

a —x b — x a' + b2

ab

A —-------- 1-------- ----- za.v =

b —x a — x x ' —(a + b)x + ab a + b

— x _ x I + a:

1000. A koje/l(;c) = o(.r) = ------, tada je

1+ a:’ ' I —x

A(B{x)) B(A(x)) +1 = 0. Dokazati.

Ako je o + b + c = 0. dokazati daje (1001-1004):

1001.* a1 + 6 ’ +e-3 = 3abc.

1002.*

1003.

a b c Y b + c c + a a + b

+------ + ------+ —— + ------- + 2

b+c c+a a+b)\ a b c

b-

■+

a2—(b —c)~ b: —(a —c)2 c '-(a -b )'

a2(a2-2bc) b2(bz -2ac) cz(cz -2ab) 3

aA—(b — c)A b* — (a —c)J c4—(a —b)4

1005.* Odrediti realan parametar m tako da razlomak

(,t + )’+ mz)2 + (jt + my+ z)2 + {/mlv+ y + z)2

------ ----------— r --------— -r-----1 --------- . ima konstantnu

( x - y ) - + ( y - z ) 2+ (x -z)2

vrednost, za sve vrednosti x, y i z.

III

988. Odredite * sume:

, 3 5 7 2n+ I

a) —----r H----: 7 H— ;---7 + ... + ——----- ----- 7, n S N ;

l 3 -2 ! 22 -3: 32 • 4 2 + !)-

1 2 3

b)

■H— :----7 + ... +

Ti nEN.

l 2 • 2 2 32 -52 ' 5‘ - 7 J (2/7 —l)'(2 n + 1)


989.

1 1 1 1

a b) (a b) (a2 + b2)2 -• (a~ — b~)~

(a+ b)2 —(a —b)~ ( \ 1 ' 2

4-

r b2

1 _ 2

a

~2 ~ +

b

2

990.

2l2

a b

1 i 1 + 1 )

{(a + b)2 L 2 b2 )

- + -

,a b

991.

992 *

993*

994*

995.*

l- .x 4 , (1 —t4)(t —xa) , ( l - . r J)(A--.v4)(T2 -A-2 ,

----------1- ------------- --------- 1------------------------------------- 1-

1—x x — x

x2- xb

{ \ - x A){x - x* )(x2- xA)(x3 - xA)

+

x

6

- X

10

1

I — + — |+ 4 +4 . H| i + i i + i

( a + 6 ) 3 \ij3 b2) {a+b)A\a2 b2) (i7+6)5\tf b

a\b2

-{b — c) + ~{c - a) + ~(a — b)

c

b\c2

a~)

cVa

a

- + - * - + ■ C

b + c a + c a + b

1

4.

1 1 3

b + c a + c a+ b a + b + c

3+ a - + - b c - + -----

b + c a + c a+ b

' + — + 1

b + c c + a a+ b

110

996.

+

—a + b + c a —b + c a + b- ,

1

—a+b + c a - b + c a+ b~ c

997. Izračunati vrednost izraza:

+ 3

A =2(.t + y + z + xyz)+ (\-x)(\-y)(\-z) + (l + .r)(t + v)(l + z),

a - I b - ] . c - I

za .v = ------ , v = ------ i r = -------.

a 4- 1 b + 1 c + 1

nno ai • a ~ b b - c . c - a

998. Ako je x = — y = ------i z = -------, tada je

a+b b + c c + a

(1 + x)(l + y)( 1+ z) = (1 - *)( I - >>)(] ~ z). Dokazati.

999. Izračunati vrednost izraza

a —x b — x a' + b2

ab

A —-------- 1-------- ----- za.v =

b —x a — x x ' —(a + b)x + ab a + b

— x _ x I + a:

1000. A koje/l(;c) = o(.r) = ------, tada je

1+ a:’ ' I —x

A(B{x)) B(A(x)) +1 = 0. Dokazati.

Ako je o + b + c = 0. dokazati daje (1001-1004):

1001.* a1 + 6 ’ +e-3 = 3abc.

1002.*

1003.

a b c Y b + c c + a a + b

+------ + ------+ —— + ------- + 2

b+c c+a a+b )\ a b c

b-

■+

a2—(b —c)~ b: —(a —c)2 c '-(a -b )'

a2(a2-2bc) b2(bz -2ac) cz(cz -2ab) 3

aA—(b — c)A b* — (a —c)J c4—(a —b)4

1005.* Odrediti realan parametar m tako da razlomak

(,t + )’+ mz)2 + (jt + my+ z)2 + {/mlv+ y + z)2

------ ----------— r --------— -r-----1 --------- . ima konstantnu

( x - y ) - + ( y - z ) 2+ (x -z)2

vrednost, za sve vrednosti x, y i z.

III

1006.* Odrediti realan broj m tako da razlomak

x3 —mx~ — 3(3 —ni) x —1

1007.*

( m - 8) .v3+ 3(10 - tri) X1 - 18 x+ 8 - m

za svako a-.

, . 1 1 i

Ako je - + —+ -

a b c

b + c c + a

------ + ------- +

a b

c

= - 3.

ima konstantnu vrednost

1008.*

------

a

+ -------

b

+

b + c a + c

c

a3 + b14- c1

ahc

1009.*

, . m n

z

Ako je — = —= -

* y Z cT

.2 ■

6'

b2

C

2 2 2

m

-1-

n

4-

p

r —

m: + n2 + p

a

2

b

r 2

c

2

x- + y2 + z- . Dokazati.

112

VII GLAVA

7. HOMOTETUA I SLIČNOST

7.1. Proporcionalnost veličina. Talesova teorema

Talesova teorema. Neka su ci i b dve prave koje se seku u tački S, p prava koja

ih seče redom u tačkama A i B, q prava koja ih seče u tačkama A'\B'. Tada je-

AB SA SB

y m A'B SA' SB'

gde je k koeficijent proporcionalnosti.

1010. Datu duž AB podeliti na tri delà proporcionalna dužima čije su

dužine m, n i p.

1011. Konstruisati tačke koje dele datu duž AB u datom odnosu m : n, ede

su m i n date duži.

1012. Na polupravoj Ax data je tačka B. Konstruisati na ovoj polupravoj

tačkuC, tako daje — = -.

AC 8

1013. Datu duž AB podeliti na 5 jednakih delova.

1014. Ako su date duži čije su dužine a i b, konstruisati duž čija je dužina;

a a —b a~ —b~

a )a-b\ b ) - ; c )----- d )---------------------- .

b a+ b a

1015. Ako su date duži čija je dužina a, b i c, konstruisati duž čija je

dužina;

a + b a + b

b )------ ; c )------ .

c a —c

1016. Tačka C deli duž AB u odnosu AC : CB = 2:3. Dužina duži AC je

4,8 cm. Odrediti dužinu duži AB i CB.

1017. Data je duž AB = 12 cm. Odrediti spoljašnju taćku C(.-l - B -C i.

tako daje AC :BC = 5:2.

1018. Tačka C deli duž AB u odnosu AC :BC = 3:2. Odrediti odnose

AC .AB i AB:CB.

1019. Kraci ugla A40N presečeni su paralelnim pravama AA i BB. (A i B

su tačke najednom kraku A, i na drugom). Izračunati dužinu duži

OA ako su OB + OA = 14 m i OB, : OA, =4:3.

113

1020.

1021.

1022.

1023.

1024.

1025.

1026.

1027.

Neka je T težište trougla ABC. Konstruirane su prave koje sadrže

tačku T i paralelne su sa AB i AC, i koje seku stranicu BC u tačkama

D i E. a) Odrediti odnose BD .BC i EC .BC\ b) Dokazati da su duži

BD, DE i EC jednake.

Najednom kraku ugla MON, počevši od temena. konstruišu se duži

0.4, AB i BC. koje stoje u odnosu 1:2 : 3. Na drugom kraku konstruii

55, II M i CC, \\AAt. Odrediti

sana je duž OA, = 5cm.Važi

dužinu odsečaka 4,5, i 5,C,.

Dat je trougao ABC. Na pravoj BC dat je raspored tačaka D — B -

-C -E tako da je BD - BC = CE. Neka je DF\\B \EF\\C, a presek

pravih FA i BC je tačka M. Dokazati da je: a) MB:BD =

= MC :CE; b) jednakost MB —MC\ c) tačka A težište trougla DEF.

Simetrala unutrašnjeg ugla trougla ABC deli stranicu naspram temena

iz kojeg polazi na dva odsečka koji su proporcionalni sa ostalim

dvema stranicama trougla. Dokazati.

Simetrala spoljašnjeg ugla trougla ABC deli stranicu naspram temena

iz kojeg polazi na dva odsečka, koji su proporcionalni sa ostalim

dvema stranicama. Dokazati.

U trouglu ABC konstruisana je simetrala ugla A. Stranica AB = 8 cm,

4C=14 cm, a odsečak5D je za 3 cm manji od odsečkaDC(B-D-C).

Izračunati stranicu BC.

U jednakokrakom trouglu krak je dodirnom tačkom upisane kružnice

podeljen u razmeri 7 :5 (računajući od vrha). Odrediti odnos kraka i

osnovice.

Stranice trougla ABC su a, b,c. Neka je BD simetrala ugla 5, O presek

simetrala uglova 5 i C. Odrediti odnos OD :OB.

7.2. Honrotctija

Ako je O data tačka a k dati realan broj različit od nule. Preslikavanje u oznaci

hQfigure F na FiguruF' pri kojem svakoj tački M figure/7 pridružuje tačku AF

figure/7' tako daje

OM' = k OM,

naziva se homotetija. Tačka O je centar homotetije, k je koeficijent homotetije.

Simbolički:

JcJ — .

h0(F) = F 'o OM' = k OM.

114

1028.

1029.

Konstruisati homotctičnu sliku za đatu pravu (ugao. trougao.

kružnica) ako je dala tačka O centar homotetije i ako je:

a) k = b) k = ——; c) k = 2; d) k - - 2.

Konstruisati iiomotetičnu sliku datog četvorougla ABCD ako je:

1030.

1031.

1032.

1033.

1034.

1035.

1036.

1037. Konstruisati * trapez, ako se duža osnovica, jedan krak i visina odnose

kao m:n: p i ako su dati oštar ugao između duže osnovice i drugog

kraka, kao i dijagonala koja sadrži teme datog ugla.

1038. Konstruisati * jednakokraki trapez date visine ako se krak, razlika osnovica

i dijagonala odnose kao m :n: p.

1039.

1040.

a) A centar homotetije i k =

b) S centar homotetije i k = ~ 1, gde je S središte jedne stranice

četvorougla.

Primenom homotetije. datu duž AB podeliti na:

a) tri odsečka, koji su proporcionalni dalim odsečcima m, n, p\

b) pet jednakih delova.

U dati oštrougli A ABC upisati jednakostraničan trougao MNP.

Konstruisati kružnicu koja dodiruje krake datog ugla xSv i sadrži

datu lačku A.

Homologne simetrale uglova dva homotetična trougla paralelne su

Dokazati.

Date su dve kružnice K{0) i AT, (O,), tako daje A' D AT, = {A/ {

i dve prave p, q, tako da je pC\q= {M\. Ako je A' H p\A, M\.

Kt A p = {M, B\, K f\q= \C ,M } i KxC\q={M.D), tada je

AC ]| BD. Dokazati.

Date su dve kružnice. U jednu je upisan četvorougao, a u dnigu treba

upisati četvorougao sličan prvom.

U dati trougao upisati trougao čije su stranice paralelne trima datim

neparalelnim pravama.

Konstruisati paralelogram ako su dati odnos dijagonala, ugao između

dijagonala i visina koja odgovara jednoj stranici.

U dati trougao upisati paralelogram ako su dati odnos njegovih

stranica, oštar ugao jednak uglu trougla i jedna stranica koja pripada

bilo kojoj stranici trougla.

1041. U dati kružni odsečak upisati pravougaonik ako jc odnos dijagonale i

jedne stranice m: rt, a duža strana pripada tetivi kružnog odsečka.

1042. U dati konveksni kružni isečak upisati:

a) kružnicu;

b) pravougaonik čije stranice stoje u odnosu m : tr,

c) kvadrat.

1043. * Date su tačke A i B i prava p kojoj ne pripadaju date tačke. Konstruisati

kružnicu koja sadrži date tačke i dodiruje datu pravu.

1044* Data je tačka A i prave p i /. Konstruisati kružnicu koja sadrži tačku

A i dodiruje pravu p, a centar joj pripada pravoj /.

7.3. Sličnost trouglova

Stavovi o sličnosti trouglova. Uočimo trouglove A ABC i A A'B'C'.

1°. Ako je na primer Z./1 = LA' A LB = LB' tada je A ABC ~ A A'B'C'.

2°. Ako je na primer LA = L A' A ■‘ tada je A ABC ~ A A'B'C'.

A'B' A'B'

AB AC BC

3°. Ako je na primer -— - = — — = ------ tada je A ABC ~ A A'B'C'.

A'B' A'C' B'C'

AB BC

4°. Ako je na primer—~ ~ ——- A L A = L A', a uglovi C iC'su ili oba oštra

A B' B'C'

ili oba tupa, tada je A ABC ~ A A'B'C'.

1045. Tačka D pripada stranici AB trougla ABC, duž DK paralelna je stranici

AC, tačka K G BC. Odrediti dužinu duži BK ako je

AD\DB = 5:6 iBC = 22.

1046. Ako su dva trougla slična, onda su njihove medijane proporcionalne

odgovarajućim stranicama. Dokazati.

1047. Visine u jednom trouglu su obrnuto proporcionalne odgovarajućim

stranicama. Dokazati.

1048. Proizvod bilo koje dve stranice trougla jednak je proizvodu visine

koja odgovara trećoj stranici i prečnika opisane kružnice oko trougla.

Dokazati.

1049. Odsečak koji spaja podnožja bilo koje dve visine datog trougla odseca

od njega trougao sličan datom trouglu. Dokazati.

116

1050. Data su dva trougla A ABC i A A' B'C'. Ako su odgovarajuće visine li

i //', stranice a i a', obimi S\S', površine P i P\ dokazati implikacije:

a) A ABC ~ A A'B'C’ => — = —;

W ct

b) A ABC ~ A A‘ B' C = > - = - ;

S’ a'

c) A ABC ~ A A'B'C' =* — = — .

F

1051. Dat je trougao ABC stranica AB = 20 cm, BC = 12 cm i CA = 16 cm.

Duž MN paralelna je stranici AB, gde M E BC, N E AC. Odrediti

duž MN ako je CM = 3 crn.

1052. Odgovarajuće stranice dva slična trougla su 15 cm i 6 cm, visina

koja odgovara većoj stranici je 8 cm. Izračunati visinu koja odgovara

manjoj stranici.

1053. Stranica trougla AB = 8 cm, a visina koja joj odgovara iznosi 6 cm:

na kom rastojanju od temena C treba konstruisati pravu paralelnu sa

AB tako daje njen odsečak između dveju stranica trougla jednak 4 cm?

1054. Dat je jednakokraki trougao osnovice 3 dm i kraka 6 dm. Odsečak

prave, paralelne osnovici između krakova, jednak je odsečku kraka

koji je bliži osnovici. Odrediti odsečak prave između krakova.

1055. U trouglu ABC su stranice AB = 15cm i AC = 10 cm, Konslruisana

je simetrala AD ugla A, D E BC. Duž DE || AB, E E AC. Odrediti

duži AE, EC i DE.

1056. Stranice trougla su 26 cm, 38 cm i 46 cm, a najmanja stranica njemu

sličnog trougla iznosi 13 cm. Odrediti ostale stranice drugog trougla.

1057. Stranice trougla su 27,21 i 18. Odrediti stranice njemu sličnog

trougla ako je koeficijent sličnosti 5 : 3 i konstruisati ovaj trougao

1058. Stranice trougla odnose se kao 3 : 6 : 5, a najveća stranica sličnog

trougla iznosi 3,6 dm. Odrediti obim drugog trougla.

1059. U trouglovima ABC i POR L A = LQ, LC —LP, ,4#=16cm.

AC = 20 cm, QR = 12 cm i PO je veća od BC za 13 cm. Odrediti ostale

stranice oba trougla.

1060. Dva trougla su slična. Zbir dve odgovarajuće visine je 121 cm. a

koeficijent sličnosti iznosi 1,75. Odrediti visine.

1061. U trouglu ABC dato je AC=30 cm, BC- 26 cm i visina C//=24cm.

Odrediti poluprečnik opisane kružnice.

117

1062. U kružnici poluprečnika 32,5 cm upisan je trougao ABC sirane

AC = 60cin i BC — 52 cm. Odrediti visinu CH trougla.

1063. * Visina CD jednakokrakog trougla ABC sa vrhom C sečc opisanu

kružnicu u tački E. Dokazati sličnost trouglova DBC i BCE i tačnost

jednakosti BC1= CD CE.

1064. Krak jednakokrakog trougla je 12 cm, a visina koja odgovara osnovici

je 8 cm. Odrediti poluprečnik opisane kružnice.

1065. * Tačkom K na prećniku AB kružnice konstruisana je prava / , normalna

na ovaj prečnik. Proizvoljna tačka M kružnice spojena je sa

tačkama A i B. Prave MA i MB seku pravu / u odgovarajućim

tačkama C i D,

a) Dokazati jednakost KC ■KD = AK KB;

b) Tačka E simetrična je tački B u odnosu na K. Dokazati da je

A KAC - A KDE.

1066. * U A ABC za uglove a, ¡5 i stranice a, b i c važi implikacija

/? = 2 a o />" = ci(ct + c). Dokazati.

1067. Stranice paralelograma su a i b, a veća visina jednaka je manjoj

stranici. Odrediti drugu visinu.

1068. Stranice paralelograma su 16 cm i 12 cm, a zbir njegovih visina je

24,5 cm. Izračunati visine.

1069. Visine paralelograma su 4 cm i 6 cm, a obim 30 cm. Izračunati

stranice paralelograma.

1070. Prava p sadrži jedno teme romba i na produžecima drugih dveju

stranica odseca odsečke. Dokazati daje stranica romba geometrijska

sredina ovih odsečaka.

1071. * U trapezu ABCD LBCA = ACDA\ dokazati daje dijagonala AC

geometrijska sredina osnovica trapeza.

1072. Dijagonale trapeza presečnom tačkom podeljene su u odnosu ni: n. a

srednja linija trapeza je s. Izračunati osnovice trapeza.

1073. Osnovice trapeza su a i />, a visina li. Odrediti rastojanje presečne

tačke dijagonala do veće osnovice.

1074. Osnovice trapeza su a i 6, a krak c. Izračunati pomoću njih dužinu .v,

za koju treba produžiti krak c do preseka sa drugim krakom.

1075. Na geografskoj karti nastojanja između tri mesta su 6 cm, 5 cm, i 4,5 cm

Najveće od ovih rastojanja u prirodi iznosi 15 km. Odrediti najmanje

rastojanje u prirodi i razmeru karte.

118

1076. Utvrditi kada su slična:

a) dva kvadrata;

b) dva romba;

cl dva pravougaonika;

d) dva paralelograma;

ej dva trapeza.

1077. Stranice petougla su: 3,5 cm; 1,4 cm; 2.8 cm: 2,1 cm i 4.2 cm

Najmanja stranica njemu sličnog petougla je 1,2 cm; izračunati ostale

stranice ovog petougla.

1078. Najveća stranica petougla iznosi 14 cm. a obim 46 cm. Izračunati

obim njemu sličnog petougla, ako je njegova najveća stranica 21 cm.

1079. Dvc odgovarajuće stranice sličnih mnogouglova iznose 35 cm i 14 cm.

a razlika njihovih obima je 60 cm. Izračunati njihove obime.

1080. U jednakokrakom trouglu osnovice 12 cm i kraka 18 cm upisana je

kružnica i konstruisana je tangenta paralelna osnovici Izračunati

dužinu odsećka tangente između krakova trougla.

1081. Stranice trougla odnose se kao 2 : 3 : 4. a obim njemu sličnog trougla

iznosi 83,7 cm. Izračunati stranice drugog trougla.

1082. Stranice četvorougla odnose se kao 20 ; 15 ; 9 : 8, a zbir dve manje

stranice njemu sličnog četvorougla je 25,5 crn. Odrediti stranice

drugog četvorougla.

1083. Konstruisati A ABC ako je dato:Z. A = a, L B = ¡i i visinaCC, = h

1084. Konstruisati jednakostraničan trougao date visine h

1085. Konstruisati trougao sličan datom ako mu je dala težišna duž

1086. Konstmisati trougao sličan datom ali dva puta većih stranica

1087. * Konstruisati trougao ako su data dva ugla i težišna duž koja

odgovara stranici na kojoj su nalegli dati uglovi

1088. * Konstruisati trougao ako su dati jedna stranica, jedan ugao na njoj i

razmera dvc druge stranice.

1089. * Poluprečnici dveju kružnica su R i r, a njihovo centralno rastojanje

d(d>R +/■). Izračunati rastojanje presečne tačke zajedničkih unutrašnjih

tangenata od središta datih kružnica.

1090. * Primenom sličnosti trouglova dokazati da težište deh svaku težišnu

duž u odnosu 2 :1 .

1091. * Dokazati da je konstantan proizvod odsečaka koje ortocentar trougla

gradi na istoj visini.

119

1092. * Neka je E središte stranice AB kvadrata ABCD. Odrediti u kojoj razmeri

duž£>£ deli dijagonalu AC.

1093. * Na osnovici AB jednakokrakog trougla ABC data je tačka M, tako

da je AM = k. Odrediti rastojanje tačke M od krakova A ABC u

funkciji a, b, k, gde je AB = a i AC = BC = b.

1094. U jednakokrakog trougla čija je osnovica a i krak b, ugao na osnovici

12°. Dokazati da je b = ^ja (a + b) .

1095. Data je kružnica k i tačka M van nje. Iz tačke M konstruisana je tangenta

t i sečica s , tako da je i fl k = {A,B) a t O k = \T\. Ako je

MA = 4 crn i MB = 9 cm, izračunati MT.

1096. U jednakokrakom trouglu centar upisane kružnice deli visinu koja

odgovara osnovici u razmeri 12:5, krak je 60 cm. Izračunati osnovicu.

1097. Dat je jednakokraki trougao ABC sa vrhom.fi, osnovice b i krakomn.

Ako su AN i CM simetrale uglova A i C, odrediti duž MN.

1098. U trouglu ABC prava CD je simetrala ugla C, tačka E pripada stranici

B C ,B -E -C , DE\\AC, B — D - A. Ako je BC = a, AC = b,

izračunati DE.

1099. Tačka F £ AD stranici paralelograma ABCD, A - D — F.BF seče dijagonalu

AC u E i stranicu DC u G. Ako jcEF = 32 cm, i GF =24 cm,

izračunati BE.

7.4. Primena sličnosti kod pravouglog trougla

Ako je trougao ABC pravougli LC = 90“, a i b katete, c hipotenuza, b liipotenuzina

visina CC', p i q dužine odsečaka fiC' i AC' na hipotenuzi, tada

važi: a2 = pc, b~ = cq, h2 = pq, a2 + b2=c".

1100. Ako je A ABC pravougli trougao sa pravim uglom C, a, b, c redom

dužine stranica fiC, CA, AB, h dužina visine CC', p i q i dužine

odsečaka BC' i AC' na hipotenuzi, tada važi:

(1) A ACC - A ABC, A CBC' - A ABC i A ACC' - A BCC'

(2) a" = pc, b2 = cq, h2 = pq. Dokazati.

1101. Za svaki pravougli trougao važi a2 + b2 = c2, gde su a i b dužine

kateta. c dužina hipotenuze. Dokazati.

1102. Ako su a i b dužine kateta, h dužina visine, koja odgovara hipotenuzi,

120

tada j e ---- = ----- H------- . Dokazati.

l2 2 i_2

h a b

1103. Kružnice (0,R) i (Ot,r) su spoljašnje sa zajedničkom taćkom T.

Konstruisana je spoljašnja zajednička tangenta AB Dokazati:

t° daje dužina t tangente AB geometrijska sredina prečnika kružnice:

2° da se duž AB vidi iz tačke T pod pravim uglom;

3° daje 0 0 , tangenta kružnice prečnika AB.

1104. U pravouglom trouglu katete su a i 6, njihove projekcije na hipote*

nuzi c su p i i/ hipotenuzina visina //. Odrediti ostala četiri elementa

ako su data dva:

a) b = 156 cm, q = 144 cm;

b) p = 225 cm, r/ = 64 cm;

c) a = 136 cm, h = 120 cm;

d) o = 130 cm, b = 312 cm;

e) p = 16 cm, q = 9 cm.

1105. Katete pravouglog trougla su 12 cm i 35 cm. Odrediti medijanu koja

odgovara hipotenuzi.

1106. Dat je jednakokraki trougao osnovice 36 dm i kraka 30 dm Odrediti

visinu koja odgovara osnovici.

1107. U jednakokrakom trouglu visina deli krak na odsečke dužine 7 cm i

2 cm, računajući od vrha. Odredili osnovicu trougla.

1108. Obim romba iznosi 100 mm, jedna dijagonala 30 mm. izračunati

drugu dijagonalu romba.

1109. Osnovice jednakokrakog trapeza su 21 cm i 11 crn. a visina je 12 cm.

Odrediti krak.

1110. Dve kružnice, poluprečnika 15 cm i 20 cm. seku se Izračunati

njihovu centralnu razdaljinu ako je dužina njihove zajedničke ieti\c

24 cm.

1111. Prečnik kružnice upisane u jednakokrakom trapezu je geometrijska

sredina osnovica trapeza. Dokazati.

1112. U jednakokrakom trapezu osnovica 16 cm i 9 cm upisana je

kružnica. Izračunati poluprečnik kružnice.

1113. U svakom pravouglom trouglu zbir kateta jednak je zbiru hipotenu/c

i prečnika upisane kružnice. Dokazati.

1114. Srednja linija jednakokrakog trapeza iznosi 4 dm. a visina 3 dm

Izračunati dijagonalu trapeza.

121

1115. U pravouglom trapezu razlika kvadrata dijagonala jednaka je razlici

kvadrata osnovica. Dokazati.

1116. Konstruisati geometrijsku sredinu za dve dale duži a i b.

1117. Date su dve duži čije su dužine a i b. Konstruisati duž dužine:

a) x = -Ja2 + b2 i;

b) y — -Ja2 - h2.

1118. Konstruisati odsečak dužine ,v ako je x = a^fk , gde je a dužina date

duži, a k pozitivan broj.

1119. * Konstruisati odsečak x ako je x =

duži.

1120. Konstruisati duž čije su dužine redom -Jl , VTž, VTT u odnosu na

dalu jediničnu duž,

1121. Konstruisati duž čije su dužine redom:

a) .v = -J4a2 + b

b) x = ^9a~ —4/r;

ah + — , gde su a, l\ c,d\e date

e) x: = a2 + ab\

f) x2 = b2- ab;

gde su a i 6(ij< b) dužine datih duži.

1122. Konstruisati kvadrat jednak:

a) zbiru dva data kvadrata;

b) razlici dva data kvadrata.

1123. * Konstruisati kvadrat jednak:

a) zbiru dva data pravougaonika;

b) razlici dva data pravougaonika.

1124. * Odrediti stranicu pravilnog:

a) osmougla i

b) dvanaestougla u funkciji poluprečnika R opisane kružnice.

1125. * Konstruisati kvadrat jednak razlici dva data jednakostranična trougla.

122

1126. * Konstruisati kvadrat jednak zbiru dva data romba.

1127. Ako su stranice trougla ABC :a = 2pq, b = p : - q:, <. = p~ + q .

gde su p i q(p> q) ma koji celi brojevi, tada je trougao ABC pravougli.

Dokazati. (Takvi trouglovi se nazivaju Pitagorini.)

1128. * Ako su a i b katete, a c hipotenuza pravouglog trougla. tada je

t] + t; ~ 5t2, gde su ta, tb i ic težišne duži trougla. Dokazati.

1129. Ako su r/ i ¿>osnovice, c i cl kraci, a cl, i r/, dijagonale trapeza, tada je

d2 + d: = c* + d2 + lab. Dokazati.

1130. * Primenom Pitagorine teoreme i sličnosti trouglova dokazati daje

površina trougla P.

z)P = -Js(s-a)(s- b)(s-c), b)P = ~ . c)P = s-r,

4a

gde su a, b i c stranice, s poluobim, i P površina trougla. a R i r

poluprečnici opisane i upisane kružnice trougla.

1131. Ako su ci. b i c stranice trougla ABC i ugao A < 90°. tada je

a1 = b2 + c ' —2cbt (Kamoov obrazac).

gde je i, ortogonalna projekcija stranice zlC na stranicu AB. Dokazati.

1132. * Ako su a. b i c stranice trougla ABC i ugao A > 90°, onda je

a2 = b2 + c2 + 2cbt, gde je ortogonalna projekcija stranice .-tC

na AB. Dokazati.

1133. Secice AB i CD kružnice k(0,R) seku se u tački P. Tačke A, B,C 11>

pripadaju kružnici k. Proizvod odsečaka PA i PB, odnosno PC i PD

konstantan je. Dokazati.

1134. Ako se tetive AB i CD kružnice k(O.R) seku u tački P. tada je

PA - PB = PC - PD. Dokazati.

1135. Ako se tetive AB i CD kružnice k(O.R) seku u tački P. tada je

PA ■PB = PC • PD. Dokazati.

1136. Sečica AB kružnice k(O.R) i tangenta i konstruisana u taçlı \I

kružnice k seku se u tački P. Dokazati da je PM' = PA PB.

1137. * Datu duž AB - a tačkom M podeliti po zlatnom preseku Isectio aure.!i

Primcdba. - Ako je neka duž podeljena na dva nejednaka dela tako daje \ee

deo geometrijska sredina ćele duži i manjeg dela. kaže se da je ta duž

podeljena po zlatnom preseku.

1138. Iz spoljašnje tačke P kružnice k(0, R) konstruisane su tangentna duž

.t i sečica s, koja sa kružnicom k obrazuje odsečke koji stoje u razmeri

m: n. Ako je dužina tetive na sečici a, odrediti tangentnu duž ■

1139. Iz spoljašnje tačke P kružnice k(0. R) konstmisana je sečica .s či ja je

spoljašnja dužina a. Tangentna duž konsiruisana iz iste tačke je

dužine 2a. Izračunati dužinu tetive x koja pripada sečici .v.

1140. Stranice trougla ABC su: BC = 15cm, AC — ]3cm i AB = 4cm.

Odrediti oblik trougla i izračunati visinu koja odgovara stranici AB.

1141. * Dve dijagonale pravilnog petougia seku se u tački M. Dokazati da su

obe dijagonale tačkom A7 podeljene po zlatnom preseku.

1142. * Dat je pravougaonik ABCD, gde je AB = 2AD. Iz temena A konstruisana

je nonnala na dijagonalu BD, koja seče stranicu CD u

tački E. Tada je duž DE = —DC. Dokazati.

J 4

1143. * Dat je paralelogram ABCD. Prava p sadrži temeC i seče dijagonalu

BD u tački F, a stranicu AD u tački E, tako da je BF = 4DE. Dokazati

da je AE = 3DE.

1144. Date su dve kružnice k(0, /-) i ( 0 ,, t\ ), koje se seku u tačkama A i

B. Tangentne duži konstruisane iz ma koje tačke P prave AB na

kružnice k i kt jednake su. Dokazati.

1145. Ako je u jednakokrakom trouglu osnovica jednaka visini koja joj

odgovara, tj. a = ha = 8 cm. Izračunati poluprečnik opisane kružnice.

1146. U trougao date stranice 30 cm i odgovarajuće visine 10 cm, upisan je

jednakokrako pravougli trougao, tako daje hipotenuza paralelna datoj

stranici, a teme pravog ugla pripada datoj stranici. Izračunati hipotenuzu.

1147. * Dat je pravougaonik ABCD. Iz jednog temena konsiruisana je normala

na jednu dijagonalu, koja deli prav ugao u razmeri 3:1.

Izračunati ugao između ove normale i druge dijagonale.

1148. U jednakokraki trougao osnovice 18 cm i kraka 27 cm upisana je

kružnica. Izračunati rastojanje dodirnih tačaka na kracima.

1149. U kružnicu poluprečnika r upisan je jednakokraki trougao, kod koga

je zbir osnovice i visine jednak prečniku kružnice. Izračunati visinu.

1150. U trougao osnovice 12 cm i odgovarajuće visine 9 crn upisan je polukrug.

Prečnik polukruga paralelan je datoj stranici, krajnje tačke

prečnika pripadaju drugim dvema stranicama trougla. Polukrug dodiruje

datu stranicu. Odrediti poluprečnik polukruga.

1151. Poluprečnik kružnog isečka je r, a njegova najveća tetiva a.

Izračunati poluprečnik kružnice upisane u kružni isečak.

124

1152. Iz ma koje tačke van kružnice konstruisane su tangenta i sečica na

kružnicu, tako da međusobno obrazuju prav ugao. Tangentna duž je

12 dm, a tetiva je 10 dm. Izračunati poluprečnik kružnice.

1153. Poluprečnik kružnice je 8 dm, tetiva AB je 12 dm. U tački A konstruisana

je tangenta iz tačke B tetiva BC paralelna sa tangentom.

Odrediti rastojanje tangente i tetive BC.

1154. * Tetive AB i AC kruga k su jednake, a tetiva AD šeće BC u tački E

Ako je AC = 12 i AE = 8, izračunati AD. (Prijemni ispit iz matematike

za upis na Beogradski univerzitet, juna 1992).

1155. * Ako je u trouglu ABC ugao kod temena A dvaput veći od ugla kod

temena B, a stranica AC = 2, AB = 3, izračunati stranicu BC.

(Prijemni ispit iz matematike za upis na Beogradski univerzitet, septembra

1991. god.).

1156. * U kružnom isečku poluprečnika R, upisana je kružnica poluprečnika

r. Tetiva isečka je 2a. Dokazati daje - = — +

r R a

1157. U trouglu osnovice a i visine h upisan je pravougaonik obima 2s. čija

dva temena pripadaju osnovici trougla, a druga dva stranicama

trougla. Izračunati stranice pravougaonika u funkciji od a, h i s

1158. U trouglu stranica a= 13 cm, b—15 cm i c—14 cm upisan je kvadrat,

tako da mu dva temena pripadaju osnovici c a preostala dva

stranicama a i b. Izračunati stranicu kvadrata.

1159. U trouglu stranica a = 30 cm, b = 26 cm i c = 28 cm upisan je pravougaonik

obima 50 cm, tako da mu dva temena pripadaju osnovici

c, a druga dva stranicama a i b. Izračunali stranice pravougaonika.

125

VIII

G LA V A

8. T R I G O N O M E T R I J A P R A V O U G L O G T R O U G L A

8.1. Trigonometrijske funkcije oštrog ugla.

Osnovne trigonometrijske identičnosti.

Rešavanjc pravouglog trougla

Ako je trougao ABC pravougli LC = 90°, LA = a , LB - ft,a i b katete c

hipotenuza, tada važe sledeće definicije:

1°. sina = - , 2°. cosa = —, 3°. tg a = —. 4°. ctga = —,

5°. seca = - ,

b

c c b a

c

6° . cosec a = —.

a

Osnovne trigonometrijske identičnosti:

Io. sin’ a + cos2 a = 1, 4°. tg a c tg a —1,

2°. tga =

3°. ctga =

sina

cosa ’

cosa

sm a

5°. sin a =

6o. cosa =

_ t g a _

V' + tg2«

1

+ tg2a

1160. Date su katete pravouglog trougla: a = 8 cm i /> = 6cm. O drediti

vrednosti svih trigonometrijskih funkcija uglova a i ft.

1161. Date su stranice a = 4cm i b = 3 cm pravougaonika ABCD. O drediti

odgovarajuće vrednosti svih trigonometrijskih funkcija ugla koji dijagonala

obrazuje:

a) sa većom stranicom;

b) sa manjom stranicom pravougaonika.

1162. Izračunati vrednosti trigonometrijskih funkcija nagibnog ugla dijagonale

kocke prema osnovi.

1163. Dati su hipotenuza c = 24 cm pravouglog trougla i sin a = 0,8.

Izračunati katete.

1164. Tangens jednog od oštrih uglova pravouglog trougla iznosi 0,75, a

manja kateta je 18 cm. Odrediti drugu katetu i hipotenuzu.

126

1165.

1166.

1167.

1168.

1169.

1170.

1171.

1172.

1173.

Proveriti tačnost jednakosti:

a) sin 54° = cos 36°;

b) cos 75° 30' = sin 14° 30';

c) cos (30° - a) = sin (60° + a ). 0° < a < 30°.

Izračunati vrednost izraza:

a) ( sin 60° + sin 30° )( sin 60° - sin 30°);

b) 4 sin 30° + 2 cos 30° - 3 tg 30°;

c) 2 sin 60° + 4 cos 60° - tg 60°.

Ako je a = 30°, dokazati da je:

4 —sin a 25 2

------ ;--------------- r— + ------:---- = 0.

I—sina 4 cos" a 1+ sin a

Ako je a = 30°, izračunati vrednost izraza:

a) cos 2 a + sin a; b) sin 2 a - cos a;

c) tg 2 a — tg a; d) cotg 2 a + cotg a.

Dokazati implikaciju:

sin a + cos

a + p = 90°

cos a + sin /i = tga.

9 sin a ~~ 3 cos cx

Ako je — - ——----- = 2, odrediti tga i ugao a i 0° < a < 90 ■

2 sin a + cos a

Odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ako je >1171 -

1172):

a2 — 4

a) sm a = 0,6; b) ctg a = —-— .

4a

6a . . a' ~ 9

a) tg a = 0,225; b)cosa = -^----- ; c) sin a -

a" + 9 if + 9

sin u + cos a

Odrediti vrednost izraza:------------ —----

7 5cos a —3stn a

ako je sin a = — i 0° < a < 90°.

Dokazati sledeće jednakosti (1174—1180):

1174.

1175.

1176.

1177.

sin4 a + cos'a + sin: a cos" a —1.

sin: x = cos: jc - cos4 x + sin4 x.

tg: a - sin" a = tg: a • sin: a.

cotg "a —cos: a = cos" a cotg "a.

12

1178.

1179.

1180.

sin a 1+ cos a 1193

1 —cos a sin a

1+ tg x + 1+ tg x — 1 2tg -v.

COS.T/l COS -Vj

cos: a ( tg a + 2)(2 tg a + 1) —5sin a cos a = 2.

1194

1195

1181.

1182.

1183.

1184.

1185.

1186.

1187.

1188.

1189.

1190.

1191.

1192.

Kakav je trougao za čije oštre uglove važi jednakost

sin' a + sin’ ¡3 = 1?

Dokazati jednakost

tg .v • tg (90° - x) = 1, 0° < .v < 90°

Dokazati daje:

a) cos"’ 18° + cos: 36° + cos' 54° + cos' 72° = 2;

b) tg 1° ■tg 2° • tg 3°... tg 89° = 1.

Ako je ,v = --------- Hb tg a i y = a tg a H----------, dokazati da je:

cos a

cos a

1 T . -I

x~ —y~ ~a' ~ b~.

., . cos a , . . . .

Ako je x = ------y = cos a tg p, z = sin a. izračunati vrednost

cos p

izraza A = x2 ~ y~ + z1.

Odrediti sin a i cos a ako je:

a) 2 sin a + 3 cos a = 3; b) 3 sin a + 4 cos a = 5:

c) sin a + cos u = -Jl.

Dato je tg a + cotg a = m. Izračunati zbir tg: a + cotg: a.

Ako je sin a - cos a —, izračunati sin 1a + cos4 a.

2

Odrediti osnovne elemente pravouglog trougla ako su dati liipotenuza

c = 50 cm i ugao a = 28° 24'.

Izračunati ostale osnovne elemente pravouglog trougla ako su

poznate katete: a = 304 cm i b = 297 cm.

Odrediti ostale osnovne elemente pravouglog trougla ako je dato (1191 -

1195):

a) Hipotenuza c = VŠ cm i ugao a = 48°;

b) kateta a = 30 cm i ugao a = 42° 6'.

a) Hipotenuza c = 65 cm i kateta a= 16 cm;

b) kateta a = 70 cm i b = 24 cm.

1196

1197

1198

1199

1200

1201

1202

1203

1204

1205

1206

1207

128

a) Kateta a = 28,15 cm i ugao /? = 58;

b) kateta b = 18 m i ugao /? = 36° 36'.

a) Kateta a = 261 cm i hipotenuza c= 461 cm;

b) kateta a = -Jvf cm i b = l'Jl cm,

a) Kateta a = -/Š cm i ugao /? = 35° 20';

b) hipotenuza c = 26 cm i ugao /3 = 49° 49’.

U jednakokrakom trouglii dati su krak b = 53,3 cm i ugao na osnovici

a = 54° 42'. Odrediti ugao pri vrhu i osnovicu.

U jednakokrakom trouglu dati su osnovica a =30 cm i krak

b= 113 cm. Odrediti ugtove.

U jednakokrakom trouglu dati su ugao pri vrhu y = 46°48’ i krak

b = 20 cm. Odrediti osnovicu i ugao na osnovici.

U pravilnom devetouglu poluprečnik upisanog kruga je r = 8 cm.

Izračunati stranicu devetougla i poluprečnik opisanog kruga.

U pravilnom desetouglu stranice a = 6,341 cm odrediti poluprečnik

opisanog i upisanog kruga.

Stranica romba je a = 12 cm i oštar ugao a = 52°. Odrediti dijagonale

romba.

Drvo baca senku dugu 5,5 cm, a Sunčevi zraci padaju pod uglom od

48°. Odrediti visinu drveta.

Iz dveju tačaka A i B pravog puta AB = 400 m tačka C van tog puta

vidi se pod uglovima ¿.CAB = 60° i LCBA = 45°. Izračunati rastojanje

tačke C od puta AB.

Dva puta ukrštaju se pod uglom od 15°. Jedno mesto udaljeno je od

jednog puta 6 km, a od raskršća puteva 12 km. Koliko je to mesto

udaljeno od drugog puta?

Dve sile /5 = 4 372 N i {7 = 5642N su uzajamno normalne.

Izračunati ugao koji zaklapa sila P sa rezultantom sila P i Q, kao i

veličinu rezultante.

Sa svetionika visine 120 m iznad mora vidi se brod pod depresionim

uglom od 15° 30'. Koliko je brod udaljen od svetionika?

Odrediti ušlo ve pod koj ima važe jednakosti i dokazati ih (1207—1213 i

1 + s in a c o sa 1 sin' a - 2cosa - 1 1

— - ■ - f ■■ ■— ■ ■^ ~ — — ------------

cos3a —sin3a sina + cosa cos: a - s i n : a /g:a - l

129

1208.

1 2 0 9 .

1210.

1211.

1212.*

1213.*

sin3 a + eos3a _____ _ 1+ 2cos~ a _

( s i n a - c o s a )(l-s in a c o s a ) eos2 a (tg 3a - 1) tga + 1

sin a eos a _ tg: a + 1

eos a + sin a cosa —sin a tg~ a - 1

( sin a + sin /? )2 + eos2 a eos2 /? = ( sin a sin /3 + l)2.

(c o sa + cos^ ) 2 + sin2 a sin /?2 = ( cosacos/? + 1)'.

---------— --------— - = ( tg a + ctg a ) \

1 —sin0 a —eos a

(V o + í r M ( i z 2 £

\ ctga )\ tga

\

+ ctg3a

/

tg4a.

2

130

IX GLAVA

9. LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

9.1. Linearna jednačina sa jednom nepoznatom

1®. Jednačina

(I) ax—b

je opšti oblik linearne jednačine sa jednom nepoznatom, gde je .r nepoznata.

2° Broj r je rešenje jednačine (1) akojear = b.

3°. Akojea ^ Ojednačina(l) ima jedinstveno rešenje x = —. Zaistao- = b.

a a

4° Ako je a = 0 i b 0, jednačina (1) je nemoguća i nema rešenja.

5°, Ako je a = 0 i b = 0, jednačina (1) je neodređena i ima beskonačno

mnogo rešenja.

6°. Jednačine P{x) = 0 i Q{x) = 0 su ekvivalentne ako je tačna formula

P W = o « 0 W = o.

1214. Dokazati da su ekvivalentne jednačine 23 - 9.x —11= 24 - 15x i

4x2 - (3 - 2x)(2 + x) = (2.v + l)(3x- 2).

1215. Da li su ekvivalentne jednačine:

62 —2(2(2(2x + 1) + 1) + 1) = 0 i

15 - 2(3x - 4(x - 5(2x + 5) + 3) - 2) = 3(4x - 9)?

1216. Dokazati da su ekvivalentne jednačine:

4x + 19 —6x = 12 + 5x i l-5 (4 (3 (2 x - 1) - 2) - 3) + 4 = 0.

1217. Pokazati da je nemoguća jednačina

j

x ~ 4 _ 3 - x

2 ~ 2

1218. Dokazati da je jednačina

1 + 3x 6x + 5 3x .

-------------------- = — , neodređena.

3 15 5

1219. Da li su ekvivalentne jednačine

x +2 = 2x—3i(x —5)(x + 2) = (x -5 )(2 x -D ?

131

1220. Zašto jednačina

( A

x+S = 4 x - 2 \x - 2 —

\ 3/

ima beskonačno mnogo rešenja?

1221. Rešiti po x jeđnačine:

a) 5{x - 1) - 4(x —3) = —20;

b) 10* - 2(25 - 3*) - 3 = 8(2jc - 6) - 5;

c) 3* + 5(x+ 2)(x — 2) = 5(x—1)(jc+ I)+ 6.

1222. Rešiti po 7 jeđnačine:

a) I,3(_y—0,7) —0,12( ^ + 10) = 5y~ 9,75;

b) 5(y + 2)(2y + 3) - 2(y - l)(5y- 4) = 75;

c ) ( 6 ^ - 3 ) ( 2 ^ + 1 )-5 (2 y+ l)2+ (3 y -l)2= ( y - I)2.

1223. Rešiti po * jeđnačine:

a) 1- 4x(x + 3)(2jc+ 9) + (2x + 5)3 = 0;

b ) (2x+ 3)2 —(1 4- 2x)(2x— \) = x2- ( x - l)2;

c) (5 a: —l)2 —5(2* + 4)( 2jc —4) = 1+ 5(x —l)2.

1224. 4 x ( 5 x - 4)(5jc—2) —(3jc— 11)(5jc+ 38) = 0.

1225. ( jc— 1)(jc—2) + (jr —2)(jc—3) —2(x+ 1)(jc—8) = 0.

1226. (*+ 8)2 + (* + 3)2 = ( jc+ 12)2 + (.v —5)2.

1227. (13x + 3)2-(5 ;t+ 1 0 )2 = (1 2 x - 3 ) 2.

1228. 5*(3;e+ 10) —(8 x + 3 )2 = (3 + 7 jc) ( 3 - 7 jc).

1229. (2x+ 5)3 - 4x(x + 3)(2x + 9)+ 1= 0.

1230. ( x - 0,1)2 - 3x(x-2,\ 1) = 7,033~(2x + 6,8)(jc- 0,8).

1231. Rešiti jeđnačine:

x x+ 2 _ x — l

a) —------ 3 = — ------ jc; b) 2 +

2

2 — 3« 4 u + 3

c )-------- + u - = —2—, d) h ± i

8

2 ' 4

y+ 17 3y-J_ _

1 -

4

2 - z

132

/ n )

1232,

Resiti jednačine (1232-1234):

„ 3(x 4- 1) 2(x — 3) , 31x

3 2------------- ^ + 2 l- 1 = l F + 4;

c)

(3y+ 1 2y—l \ _ c j>4-6

— j ~

5/4- 1__i(14- 9/ _3/-n

6 1 8 5 J 3

¡d),j(z4-I)-^(z-ll) = -^(2z-5).

1233.

1234.

1 + - — + 1 . -4-6*

, 4 . 2 I + 5z 2____ = i.

a) 2 6 24 12 3’

10 —7 jc \ + x

2x — ——---- x -----7—

h ) - - x + -

■= U

2 3

6 - x x 3 + x

c)

a)

1-

2 ~

■+ x — —-— = 3.

2 2

1,3 —3jc 1,8 - 8 x 0,4 -5*

1,2 0,3

b ) U j , _ M f c M = 0 , 4 , + 8,*

0,0 2 - 2 z l . _ 2g r j £ ) _ , |S

’ 0,02 2 0,01

1235.

1236.

Ispitati konjunkcije:

a)x + 3 ^0 A i2- 9 = 0; b) ^ - , i + l^0A i +1- ;

c) 5* —6 ^ 0 A 25*' —36=0.

Koristeći ekvivalenciju - = 0«’4 = 0A fi7! 0, rvšiti jednaćini.

X + \ . X ( X - 2)

a ) i - | = 0; b )4 — = 0;

x+ 1 x + 1 x

,.2x4-1

d ) ------ — = 1; e )------------ 3.

x — 1 24-X

133

1237. ReŠiti po .vjednačine:

x —3 3* —1

a)' + ■

* + 3 3x+ 1 = 2;

c) i f ± l _ 3 =

' 4jc—3

\ - x

2x - 9 3*

b )------- + --------

2x —5 3* —2

2x + 5

20.*—15 4*-3

29 4 = 3

0 24 *—88 2*- 16 3*- 24

1238. Resiti po jjednačine:

3y - 1 6 v + 5

11

a)---------------r +

y — 4 3^+9 5^+15 45

A y -\ 5y 6.V- 4 t | y+ 1

b)

y — 4 3y—\2 5;' —20 2 j- 8

y + 1 lly + 5 , - 3 + ,

c)

2y —1 12(2^ —1) 4 - 8 ^ 6

1239. Resiti po z jednačine:

1 5 —z 7 z —1

1240.

1241.

1242.

1243.

1244.

2z2-18 4z -36 z + 3 2z-6

6* + 5 7 —3z _ 12z2 + 30z —21

c)~ 4z + 3 3 —4z “ 16z2 —9

1 1 3(2*+1)

4* -6 8*+ 12 4*2 —9

= 0.

10*-18 1 4

12*2 —27 2*+ 3 18*- 27 9 (2 * - 3) = 0.

1 I 3 (* + 1) 1 •

+ — L---------= o.

18*2 —30* 12*2 —20* 18*2 —50 6*

2x— 1 *2—3* —4 *+16

*—3 *2 + * -1 2 * + 4 = 0.

2 1

y 2 — 4 ^2 —4^+4 y 1 -\-5y+€>

= 0.

134

W

6

2(7 + 14) 4y +11

-------------. . 2 -------------------------------------

y —6 y2 ~ 4y~ 12 7~+ 3y+2

;/ + 4 9 —3/ —2/2 , 13—3/ „

--------------------- :---- r -------- = 0.

/ + 4 16-/2 /-4

1247. Pokazati da jednačine:

* + 1 1

a)

• +

+ — = 0;

8 —X3 2x2 - x 3 x4 + 2x3 + 4x2 x2

x 2x-3 x2

X- 2 x+2 4 —x1’

nemaju rešenje.

1248. Rešiti po x jednačine:

1+ 3x 1- 3x 12

8 + 9x

b)'

3x-1 + 1+ 3x 1 —9x2’ °; 6x+l 1- 6x 36x2- 1

r v

c)-

.^ .4 x 2 + 20x + 25 + 4x2+ 4x+l (2x + 5)(2x + 1) '

1 3 4

d)) ?"

9 -f2x + 4xJ 9 -4 x 2 9 + 12x+4x‘

1249.* Rešiti po y jednačine:

3 0 ,7 5 7 -2 _ y 4-2

a)

4 7 - 12 7 2 —6 7 + 9 y} ~9y2+ 27^-27

4y 1 3

b)

1 - 6 7 + 1 2 / - 873 2(1 - 4y1) 2 - 8 7 + 8 /

1 5 - 7 \,2y-\_

I5 7 —IO 2773 -5 4 7 2 + 367- 8 1872- 24y+8

1250. Rešiti po xjednačine (1250—1259).

a)| x| + 2(x —3) = 6; b)|x-2| = 4;

c)|3x—2| + x=2; d)2|x + l|-+Jf-3=0;

e)| x| + 1x - 11= 1; f)|x+2| + |*-3| = 5;

g) |x -l| + |x-2| + |jc-3|=18; . 4j.

h) | x - 2 | + | x - l | = U + 2 |; k)2 + | x - 6 | - | * U

l) |x-2t + |x-3|+2|x-4|=9;

m) Ix + 11- |x| + 3| x - l | - 2 | x - 2 | - ^ + 2.

1251. a) ¡j-2|+ |jc+ 5) = 7; b) |x+4|—|jc—7|= 11;

c) |x - l|- |x + 5| = 6; d) |x + 4 |-|x -4 | = 8;

e )||x + 2 |-5 |= 8 ; f)||x - 6 |-8 |= 10.

1252.

1253.

1254.

1255.

1256.

X+4V2 = 3xV2 —4.

2x(V5-l) = 3-xV5.

(2x—3)2 —(x-v/2)2 * 2(x—V 2)(x—1).

(2xV 5- l)I-(4x-V5)2 =(2x-3V5)2.

x + 2 _ X + V2

V2 -I ” V2 + 1'

1257.

1258.

1259.

W 3W 2 = 2W 2W 3

■JÏ—'JÏ

V3 + V2

2V3 —V2 _ I-V 2

X 3V2 -V 3'

J ____1_

V2

VT®

Vs = Vïô-i

J _ + ± ' -

1260. ReSiti po ^ jednačine:

-P* I w

136

x + 1

- + x~5

■+ x— 2

II

= jc—21.

2 +

3 +

¿6

37

49

1 5

- +

7(x —3) 5(x—3) x-5 1

2 X 5)

1 1 3

l-x + 9 2 —jc—11 l-jc+3

7

4 — x

-2-------------3----------------------+ — ^

5 15

+ 5.

jc—3

— x—12

5

+ jc+ 2

- + 5

• = x —12.

- x+5

5

+ x -l

+ x-3

- + x—3 ■+ jt-1 6

7 3

Resiti po x jednačine:

3x - 5 5x—3

2x 2x —4 4 6 2x~ 3

a )---------------- + 4 x - 3 2x —5 3

9 4

Rešiti po x jednačine (mje realan parametar):

a) m(mx + 1) = 2(2x - 1); b) mJx - m: - 4 = 4m(x - I);

c) m2x + 4 = m(x + 4); d) 10 + 3 (x - 2) = « * + 1

137

1270.

Rešiti po jcjednačine (a je realan parametar):

a) 1- 3a + 5* = ax - 2a + 4x; b) (* + a)2 = x(.v + a) + 4a';

1271.

1272.

1273.

1274.

1275.

1276.

1277.

1278.

1279.

1280.

1281.

138

Resiti po y jednačine (a, b, c realni parametri) (1271-1279):

a) (3y -2c)2~ ( y - 2c)(2y + c) = 1 y 2 - 12c2;

b) (2y + a)2 = 4 (y+ l)(y-l) + 4(y + 1,2 5a2);

C) A y - b ) - c 2 = (y - b)(y+b)-cy;

d) a(b — y) + by + ab = a2 + b2.

(a2 + 2b2)(x-a) = (2a2 + b2)(x+b).

Aa~ y) + (b -y )2 =a2 + lb2.

(x-a)2- ( x - b ) 2 + 3(a-b)2 = 0.

4(x—a—l)2 + 5(x —3a — 2)2 = (3*+ l)2.

((a2 - \)x-l)2 +{2ax-l)2 = ((a2 + l).v+ l)2.

3ax-(2x- 3a): = (2x+ a)(5a-2x).

4a2-(3x-2a)2 = (5a-x)(5x+ 3a) - (2x + 3a)2.

(2x-3b)2= (x+6b)(x-9b)(Sx-12b)-(3b)3.

Rešiti po x jednačine (a, b, c, ni su realni parametri) (1280-1291).

, 3 2 3 x -lm

a)

x - m x+ m x2 - m2’

(a+b)x (a-b)(a-x) (2 x + a)(a-b)

b)

a — b a + b a + b

, b - x c - x a(c-2x) a - x a+ x 2ax

c)—— + -------= —------—; d)

a+ x a x a2 - b2 b - a a + b a2 - b2

a )------_

2a + x

+ .

x —2a ax —2

a + 2 a —2 a2 —4

.. 3n + x x —3n nx —3

b)------- +

n + 3 n —3 n2 - 9

3x- 2 x - I 2

o) —— — + ------ + - = 0;

a —2a a —2 a

2a —x 2a + x 2 ax

d)

1 — 2 a 2 a + 1 4 a 2 — 1

= 0.

1282.

1283.

1284.

1285.

1286.

1287.

1288.

1289.

1292.

1293.

a+b , . ci-b

------ x — 4 ab = -------x.

a —b a+b

a+b b —a a2 + b2

------ x = ------- x + -----------

a—b a+b 2

___________________ I 1 1___ \_= j_

(a2+a)x a2+a a+\ a ax

1 * 1 x

(a+1)5 a'+a a+ 1 a2+ 2a+\

a—b

- + -

X x+2a — 4b x-2a+4b

2 3a — 4x 3a

3a+2x 9a2 - 4x2 9a2 - \2ax+ 4x

2 2a —y 2a + y

= 0.

y+4 jv»2 —16 y 2- %y+\6

a+2b 2az + 5bz + b2 bz + b2

2m — 5 3 3x + 4

c)

(ni— 1)(j: + 2) x + 1 x2 + 3x+2

7 = 0 .

= 0.

z + a 2z2— 2a2 2z2-4az + 2a2

1290.

1291.

1

1 1

a) * + ■+

ax — a1 ax — ab bx - ab b x -b 2

a —4x a—4x 4

a2—5a+6 a2—a—b a2 —4

a + 1 3ć7_v—5 _ 4

b)

a(.v+3) a(x2 + 2x—3) x —1

x - 1 ax 21 x - a 2

d)

ā — 3 a1 + 2a + 9 a' -3 - 2 7

Režiti po v jednačinu (M, n, w realni brojevi):

n(v+ vv)

M =

v—w

Resiti po / jednačinu (R, r, p realni brojevi):

tr+ p _ R

tr- p r

= 0;

139

1294. Resiti po s jednačinu (P, r realni brojevi):

P = rn[r + s).

1295. Rešiti po ;• jednačinu (v, h realni brojevi):

3v=lr(3r~h).

1296. Pokazati da je rešenje jednačine (po .r):

(m - l)(2x + m) _ (.r - m)(m - 1) + .r(/n + 1)

m+ 1 m+1 m —1

pozitivno (777dati realan broj za koji važi to* 0 i | m\ * 1).

1297. Pokazati da je rešenje jednačine (po x):

-------------1-------------

ax + b ax — b

= ------------

2 ax + 4

2 ■» . . )

x~—ax x' + ax x~ — a

pozitivno ako su dati realni brojevi a istog znaka i ako je x * 0

1*1*0.

^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ X 1

1298. Data je jednačina------------1---------= ------------- (nGZ\{0}).

nx x 2 n

Pokazati daje rešenje date jednačine paran broj.

1299. Ako je o€E Z \{0,—1}, onda je rešenje jednačine:

x — \ 2x + 772 (w + 2)" ,

—;--------1-------------= ----------- neparan broj. Dokazati.

ir + n n + 1 o + l

1300. Pokazati da rešenje jednačine

x + b2 b2 - x _ a2 + b2

°2 ~ x x + a2 a* ~ x2

ne zavisi od datih realnih brojeva a i b, (o * b * 0, .t * ± a2).

1301. Pokazati da rešenje jednačine

_______ 3m_______ 4x - 3m _ 2

9m2 — \2mx+ 4x2 9m2 — 4x2 2* + 3 m

. . 3

ne zavisi od realnog parametra m ako je m * 0 i | .v| * —m.

1302. Pokazati da rešenje jednačine (o, b, c, realni parametri)

bx - c bx — a _ j

bc ab

ne zavisi od parametra b.

140

2* x —

1303. Data * je jednačina , - gde je a dati realan

a2 - 8 a' + 2a + 4 a - 2

broj.

a) Rešiti datu jednačinu po x.

b) Za koje je vrednosti broja a rešenje date jednačine pozitivan broj?

c) Koliko treba da bude a da bi rešenje jednačine bilo x = 0?

1304.

Rešiti jednačine po x(a, b, c i m realni parametri), (1305-1313):

x — ab x —ac x —bc

1305. *

a+ b + a + c b + > = a + b + c.

1306. *

1307*

1308.*

1309*

1310.*

1311*

Rešiti jednačine po x (m, n, p realni parametri):

x m + 1 1 m m

a) ------2 _ = i b)_ i ---------n--------^ _ = o.

m , m m

P~x

—+1 —+1

2 2

x — a x — b x —c

bc ■+

ac + ■ = 21 - + - + - 1.

ab

a-\-b—x a + c —x b+ c—x

--------------1------------- h--------------- 1-

1312.

2mx(m+ 1) + 3x x , x+ 1

*

■= 0.

ms - 27 m - 3 m~ + 3m + 9

1313.

n i(x 2 + 8) + 6 m m + 2

*

8 - x3 x - 2 X2 + 2x+ 4

4.v

a+ b + c = 1.

x+ b x — b b + x x- b + Zx

a+b a-b (a+b)J a2 - b2 a

x-\-a+2 a—x+2 2(x2- 2x + 2) + 2a(a- x + 5)

x —a — 2 x + a + 2

1

.r2 - a 2- 4 a - 4

( x - a — b)(x+a+ b) x2 +a2 + b2 - 2ax-2bx+2ab

2

(x + a+b)2'

x + a+b x —a - b 2(x: - a x - bx + ab)+ 3(a' + b‘)

x - a - b x + a+b x2- a 2-2 a b -b :

1

141

Rešiti jednačine po x (1314-1317):

1 3 1 4 .

1 3 1 5 .

1 3 1 6 .

1 3 1 7 .

3 —x 8 —x 2 - x 10 —x x + 2 5 — x

-------- 1----------1---------= ----------------------1---------.

8 —x 6 - x 4 - x 8 - x 6 —x 4 —x

3 x - 3_______ 2jc+ 2 _ 5(x —1)

2x2 —2

3x2 + 6x + 3 ~12x2-24x+12

x + 1 x + 2 x + 3 3(xJ — 2x2 + 6)

-------- 1-------- 4--------- —---------------------------- .

x - l x —2 x —3 (x —l)(x 2)(x —3)

3 + 2x 5 + 2 x_t 2(2x2 —1)

l + 2x 7 + 2x 7 + 16x+4x2 ‘

1 3 1 8 .

1 3 1 9 .

1 3 2 0 .

1 3 2 1 .

1 3 2 2 .

1 3 2 3 . *

1 3 2 4 .

1 3 2 5 . *

1 3 2 6 .

1 3 2 7 . *

142

Rešiti jednačine po x (a. 6, c, m i n su realni brojevi) (1318-1341):

_3________ 2 _ 3x—7(o+ b)

x - a - b x + a+b x 2-(a+ b)2

a —x a+x _ 2 ax

m+rt-a a + m+n a2-(m +n)2

2(6 + c) + x ^ x-2(b + c) _ (6 + c ) x - 2

b + c+2 b + c -2 ~ (6 + c)2 —4

3{o + b) + x x - 3(o + b) _ (a + b)x — 3

a+b+ 3 a+6—3 (a +b)2 —9

3x —2 x—1 2

(6 + c)(6 + c-2) 6 + c-2 6 + c

2{m+n) — x 2{m+n)+x 2 (m+n)x

1-2 (m+n) 2(/w+n)+l 4(m+ n)2 —1 “

---- !---- + ------- --------+ ---------I--------+ ----------- ----------- = 0.

a{x-a) o(x—6 —c) (6 + c )(x -a ) (6 + c ) ( x - 6 - c )

x —1__________ (m+ ri)x_______ 21x —(m + n)2

m+n- 3 (m+n)2+ 3(m+n) + 9 (m+n)2- ! ! '

(a+ 6 —l)(2x + g + 6) (x —a— 6)(q + 6 —1) x(a + 6+1)

a+b+\ a+6+1 a+6—1

(m + n)x+ 6 | (m + n)x-6 2 (m+n)x+4

(m+n)2-(m+n)x (m+ n)2 + (m + n)x (m+n)2- x 2

1328.

________ 3 (a+b)___________ 4 x-(a + b) 2

1329. *

9(a+ b)2 —\2(a + b)x + 4x2 9(a+b)2-4 x2 ~ 2x+3a+3b'

1330.

(m+n)x x .t(5m+ 5n+ 1) + m + n—1

1331. *

3(m+n)-2 3(m+n) + 2 9(m+n): -4

1332 *

x — a x —b x—c 3x

1333. —------ * 1--------- 1--------= -----------.

b + c c + a a+b a+b + c

1334.

1335.

1336.

1337.

1338.

x+b2 b2 — X (m+n)2 + b2

(m+n)2- x x+{m+n)2 (m+n)*-x2

X (m+n)x _ 2(m+n)2+ 3(m+n) + 5x

2(m+n)-5 2(m+n) + 5 A(m+n)2-25

2(a+ b)(a+ b+ l).t + 3x x x+1 _

(i3+è)3—27 a+b-3 (a+ b)2+ 3(a+ b)+ 9

b—c a—d a—d b—c

------------------1------------------= 0.

x —a x —b x —c x - d

1

m —

X 1 _

1 X 1 m

m + — x + —

X

m

x

aH--------,

a - b _ a+h

x a -b

a---------

a+b

_____1______ a

a+b a— b 2

ax ab

a

1

3 1-

1

a+ b

bx + a2 a2+ b2

x------------a------------—

a+b a—b

2a- b

x-a

1339.

+ 2 = 0.

143

1340.

1341*

3-*+4 2x + \ 2^ jc+ 1 67 * - 3 “ ^ * + 1

2 ____ 5 ^ _ 5 ________ 2_____2 + 5____

10 3 10 12 120

/ x

a+ 1 .r+1 , a+1 a(.x+l) x

+ ----- r - 1

•+ 1

ax+ 1 1 1 ax+ 1 2

x+ - * + -

a a

Rešiti jednačine po .v(a, b, c realni parametri), (1342-1349):

1342.*

f l . 1 ) '

l i a+ xj Ka — x

1

i 1 ) 1

\x a+ xj

1

a----

1

x — 1

1

1343*

1 * 1 a

a+ — x + -

x a

. x - a x - b x - c

1344. * ------ + ------- + ------ - = 3.

b + c c + a a+b

1

1345. * —--- ----------f *

a + 1 a2 —1 a3—a2+ a —1 a3+ a '+ a + l

2 (a+b a —b\ / a+b a - b \

1346. * a -----------------+ (2 —aH 1H--------------------- = 0.

a\ x b ) ^ ax ab )

1347, (0+4)(0+ _ £ _ j_ (a_ 4)|0_ _ £ _ | = 2^ - l - + -

+ b

U

2a x —2b x —2 c)

i«* — ------------------------------------= a+b + c.

1 ' i ' i

--------+ -----------h --------

x - 2a x - 2 b x - 2c

,s4,.. J-L---------- L J - 2 ( _ ! ------- ! _ )

^(a-jr)2 ( ¿ - jc)‘J \b — x a + x)

144

1350.* Rešiti jednaćinu / ( / ( * ) ) = 1, ako je /( .x)~— —.

b + ax

1351.

Resiti jednačine po x{a, b, c realni brojevi), (1351-1353).

a ax _ c cx

c cx- 1 a ax-\

a + x a - x _ 3a

1352. *

a2+ax + x2 a2-a x+ x2 + a‘x' +■x*)

x —a x - a —1 _ x — b x - b —I

1353. *

x - a - \ x - a - 2 jc- 6 - 1 x - b - 2

9.2. Primena linearnih jednačina sa jednom nepoznatom na

rešavanje raznih problema

1354.

1355.

1356.

1357.

1358.

1359.

1360.

1361.

Zbir dva broja je 45, a njihov količnik jednak je 7 : 8. Odrediti ove

brojeve.

Zbir dva broja je 47. Ako veći podelimo manjim, dobija se količnik

2, a ostatak je 5. Koji su to brojevi?

Imenilac jednog razlomka je za 2 veći od brojioca. Ako se oduzme

od brojioca i imenioca razlomka 1, dobije se - Odrediti razlomak.

2 2

Brojilac jednog razlomka je - imenioca. Ako brojiocu dodamo 5, a

imeniocu 15, razlomak postaje - Odrediti razlomak.

Razlika dva broja je 13,86. Ako većem broju premestimo decimalni

zarez zajedno mesto ulevo, dobije se manji broj. Odrediti brojeve.

Cifra jedinica jednog dvocifrenog broja je za 3 veća od cifre desetica.

Ako podelimo taj broj zbirom cifara, dobija se količnik 3, a

ostatak je 4. Odrediti taj broj.

Cifra jedinica jednog dvocifrenog broja je 2. Ako kvadrat toga broja

umanjimo za proizvod njegova susedna dva broja dobija se 1 Koji je

taj broj?

Zbir cifara jednog dvocifrenog broja je 8. Ako ciframa razmenimo

mesta, pa prvi broj podelimo drugim, dobije se količnik 2. a ostatak

je 10. Koji je to broj?

145

1362. Otac ima 45 godina, a sin 22. Kroz koliko će godina otac biti dva

puta stariji od sina?

1363. Kćerka je za 18 godina mlađa od majke, a pre 5 godina bila je od

majke 4 puta mlađa. Koliko je godina majci, a koliko kćerci?

1364. Odrediti takav ceo pozitivan broj da razlika proizvoda dva sledeća

broja i prethodna dva bude 600.

1365. Rastojanje izmedju dva mesta A i B voz je prešao tako daje; polovinu

puta prešao brzinom 80 km/č, trećinu puta srednjom brzinom

60 km/č, a ostatak, tj. šestinu puta srednjom brzinom 40 km/č.

Odrediti rastojanje između mesta A i B ako se zna da je voz proveo

23 časa na putu.

1366. Autobus je prešao rastojanje između mesta A i B brzinom 90 km/č, a

od B do A brzinom 60 km/č. Odrediti srednju brzinu autobusa na ćelom

putu u odlasku i povratku.

1367. Druga kosmička* brzina veća je od prve za 3,3 km u sekundi, a treća

je veća od druge za 5,2 km u sekundi. Proizvod prve i treće kosmičke

brzine brojno je veći od kvadrata druge brzine za 4,12. Odrediti sve

tri kosmičke brzine.

1368. Dva planinara, od kojih jedan prelazi 5 km/č a drugi 6 km/č, krenu

istovremeno jedan drugome u susret iz dva mesta udaljena 55 km.

Posle koliko časova će se sresti?

1369. Iz jednog mesta polazi u 6 časova kamion brzinom 60 km/č, a 2,5

časa kasnije iz istog mesta i istim pravcem polazi automobil brzinom

80 km/č. Kada i gde će automobil stići kamion?

1370. Dva tela kreću se po kružnici, čiji je obim 728 m, jednovremeno iz

iste tačke u suprotnom pravcu. Jedno prelazi u svakoj sekundi 30 m,

drugo 22 m. Posle koliko će se sekundi ona sresti?

1371. Dva kombajna mogu da požnju izvesnu površinu polja zasejanu

pšenicom za 3 časa i 15 minuta. Jedan od njih bi požnjeo istu

površinu za 7 časova. Koliko bi vremena bilo potrebno drugom kombajnu

za taj posao?

1372. Bazen se puni kroz dve slavine za 3 časa. Samo jedna slavina napunila

bi ga za 4 časa i 20 minuta. Za koje bi vreme napunila bazen

druga slavina?

Postoje tri kosmičke brzine. Telo koje dobije prvu kosmičku brzinu postaje satelit Zemlje;

telo koje dobije drugu kosmičku brzinu postaje satelit Sunca; telo koje dobije treću kosmičku

brzinu oslobađa se Sunčeve teže i ulazi u zvezdani prostor.

146

1373. Jedan bazen može se kroz jednu slavinu napuniti za 1 čas i 20 minuta,

a kroz drugu slavinu isprazniti za 2 časa i 10 minuta. Za koje

vreme bi se napunio bazen kad bi obe slavine bile otvorene?

1374. 14 560 dinara podeliti na 3 lica, tako da svako sledeće lice dobije

20% više od prethodnog. Kolike delove dobija svako lice?

1375. Za odličan plasman na takmičenju nagrađena su četiri učenika nagradom

od 36 000 dinara. Koliko dobije svaki učenik ako se nagrada

deli u razmeri 1,5 : 2 : 2,5 : 3?

1376. Ako se strana jednog kvadrata poveća za 2 cm, površina se poveća

za 16 cm2. Odrediti stranicu kvadrata.

1377. Površina jednog pravougaonika je za 125 cm: veća od površine

kvadrata nad manjom stranicom. Odrediti stranice pravougaonika

ako se razlikuju za 5 cm.

9.3. Linearna funkcija i njen grafik

Definicija 1. Funkcija x~* f(x) = kx+n, (k,nE R) naziva se linearna

funkcija.

Definicija 2. Realan broj a je nula funkcije ako je f(a) = 0.

Ako je /(.v) = 0, tada je £v + « = 0, pa je .v=- = a. Dakle nula linearne

K

( 'A i b

b)Mb)

grafika linearne funkcije i ose Ox.

je taćka preseka

Ako je x+ 0, y~ n, tačka5{0, n) je presek grafika linearne funkcije i ose 0\\

Dakle « je odsečak na osi Oy. Za « = 0 grafik linearne funkcije sadrži

koordinatni početak.

1378. Dati su skup A = {.t | .v < 6 A ,v£ N } i zakon preslikavanja / formulom

y = 2 x —1, r 6 A. Odrediti antidomen funkcije, zatim prikazati

/ kao skup uređenih parova.

1379. Neka je / preslikavanje skupa R -* R određeno formulom

f(x) = 3.v-2. Izračunati: / ( - 2); /(-l); /(0); /(/(0 ));

/(3-/(0)); /(/(.v )); /(/(-*)).

1380. Neka je / realna linearna funkcija određena formulom

f(x) = ax + b {a, b realni brojevi). Pokazati daje /(A) = /'(/(0)).

147

1381. Ako je /( x ) = 3 —x, pokazati da je / ( / ( * ) ) = x.

1382. Konstruisati u istom koordinatnom sistemu i pokazati šta imaju zajedničko,

a u čemu se razlikuju grafici sledećih funkcija

= y = ^x+ 2; y = ^ x + 4' y - ^ x - 4; y = ~ x ~ 1;

1

> = - - 2 .

2x

b)jt' = -^jc+3; y = - x + 3; y = x+3\ y = — x + 3') y= 2x + 3;

y = - 2*+3.

1383. Proučiti promene i grafički prikazati sledeće linearne funkcije:

a) y = \ x - Y , b) y = - 2x + 6; c) y = ~ x - 2;

l J 2

d) y = - x + 3; e) y = —x + 3; f) y = —2x + 4.

1384. * Ispitati promene i konstruisati grafik sledećih funkcija:

*)y = M - l ; b) = | jc 11; c)y= 2-\x\-

d) J = | 2 - jc|; e)y= x-\x[, =

1385. * Ispitati promene funkcije:

| jc|

y = x~\~

x

i konstruisati njen grafik.

1386. Dat je skup funkcija y = (4m - 6) x — (3m —2), (m realan broj).

a) Odrediti m tako da funkcija ima nulu x= 2.

b) Za nađenu vrednost m ispitati promene i konstruisati grafik funkcije.

1387. Dat je skup funkcija y — (k —2) x — (k —1), gde je k realan parametar.

Odrediti parametar k tako da njen grafik bude paralelan sa

grafikom funkcije y = 2 x - 6. Za dobijenu vrednost k ispitati funkciju

i konstruisati njen grafik.

1388. U skupu funkcija y = (a — 4) x —(3a —10) (a realan parametar)

odrediti parametar a tako da tačka M (1,2) pripada grafiku funkcije.

Za nađenu vrednost parametra a ispitati funkciju i skicirati njen

grafik.

1389. Date su familije funkcija y = (2m- 5) x+ 7 i y = (10 —m) x - 3. Za

koje su vrednosti parametra m grafici ovih funkcija paralelni?

148

1390. U skupu funkcija y —(m —2) x —3(m—3), gdeje /«realan parametar,

odrediti m tako da je x = 5, y = 7.

1391. U skupu funkcija f{x) —(a —2) x —2 a + 3 odrediti parametar a

tako da grafik funkcije odseca na y - osi odsečak dužine 5.

1392.* Ispitati promene i skicirati grafik funkcije:

a) y = x - 2 + j 4 —

U “ 11

|x + l |- |x - l |

c) y = -----------------------;

b) ^ = ^ —| j; | + —-

|jc-1 |

i x—1 —co < * < —2 1

d)y =

| - 2 j:+ 5 3<.r<+Mj

e) y = \x\ + \x~ 2k f) | y\= ^ + |x-3(.

1393. Dato je preslikavanje / : x -* | x| - 2x, skupa:

A = {.r | ,x G R A - 2 < .r < 4} na skup B.

a) Predstaviti ovo preslikavanje u pravouglom koordinatnom sistemu.

b) Odrediti skup B.

1394. Dato je preslikavanje / : x 4, skupa

^ = {jc|xE /? A -4 < jcS 4} na skup B.

a) Predstaviti to preslikavanje u pravouglom koordinatnom sistemu;

b) Odrediti skup B.

1395. * Data je realna funkcija f(x) = ax+ b.

Dokazati daje f(x + 3) —3 f{x+ 2) + 3 /( j:+ 1)-/(jt) = 0.

1396. Odrediti realnu funkciju / koja zadovoljava funkcionalnu jednačinu:

a) f (x— 2) = .r+ 3; b) f(x+ 1) = 3jc- 4; c )/(2 x ) = x+l:

Zatim konstruisati grafik dobijene funkcije?

1397. Date su linearne realne funkcije formulama:

a)/(*) = ^ * - 1; b)/(jr)=x+3; c) f{x) = 2 x - 4;

d )/(* ) = - * + 2; e) f(x) = -^ x + 1; f )/(* ) = 5 - x

Odrediti inverzne funkcije / _l datim funkcijama i konstruisati

grafike funkcija / i / '

Ispitati promene i konstruisati grafik funkcije (1398-1404):

1398. y = -J~x* +-Jx2 —10* +25.

1399* y = J x 2 - 2x+\ - Jx 2 + 6.r + 9.

149

1400. * ^ = | x + 2 H 2 a- - 4 |.

1401. * y = 12.r - 4 1- 1.r - 11+ 2.t - 4.

1402. * ;’ = !*+2|-|2*-4|-2.v + 3.

1403* y*(jr) = Jjc—11—2Jjt—4 J— 2x — 6.

1404. * / ( jc) = 2jc—5 —|jr—I |+ 2 | jc—3|.

1405. Data je funkcija formulom 5.r-3.v—4/?+3 = 0. Odrediti realan broj

p tako da njen grafik: a) sadrži koordinatni početak; b) da otseca na

v-osi odsečak 5.

1406. Datajc linearna funkcija formulom (2p + l).v + (3/?-5)v+4/> = 0,

p realan parametar. Odredili realan parametar p tako da je grafik

date funkcije: a) prava paralelna sa jr-osom; b) prava paralelna sa

.v-osom.

1407. Data je linearna funkcija formulom

C3m—2/r + 5)x—(m -n )iy+ 2m- 5/i+ 1= 0, (m, n G R).

Odredili realne brojeve m i n tako da se grafik date funkcije poklapa

sa simetralom: a) 1kvadranta; b) II kvadranta.

1408. Data je funkcija formulom Ax+By+ 6 = 0, (A,B £ R)i Odrediti

realne brojeve A i B tako da njen grafik sadrži tačku A/(1,2) i daje

paralelan sa grafikom prave y= x + 5.

1409. Dat je pramen pravih 2x+ v+4+ /t(x -3 ;f- 10) = 0. Odrediti centar

pramena.

1410. U pramenu pravih 2x + y+4 + k(x—2y — 3) = 0, odredili onu pravu

pramena čiji je grafik paralelan sa grafikom prave y — x + 7.

1411. U skupu funkcija y = (m -2 )|* |-3 (m # 13), gde je m realan broj.

Odrediti realan broj m tako da tačka P(5,7) pripada grafiku date

funkcije. Za tako dobijeno m ispitati promene i konstruisati grafik.

1412. U skupu funkcija ^ = (m -4 )|ij-(3 m - 10), m realan broj. Odrediti

parametar m tako da je x = 1, y = 2. Za nađenu vrednost parametra m

ispitati funkciju i konstruisati njen grafik.

9.4. Sistem linearnih jednačina

Definicija l. Konjunkcija jednačina a,,v + 6,>> = c, A a2x+ b2y = c, po

nepoznatim xi y, gde su a[tav b2,cv c2 zadati realni brojevi, pri čemu je

bar jedan od brojeva a,,a,, 6,, b2>cx,c2 različit od nule, naziva se sistem od

dve jednačine sa dve nepoznate.

i

150

Definicija 2. Uređen par realnih brojeva (a, (3) naziva se rešenje sistema ako

je a,a + 6,/ï = c, A a,a + b2f} = c2.

Rešenje sistema a ,j: + b,y = c, Aa,.x + 6,y = c, izraženo preko determinanata

glasi:

A, A ,

X~~T< y = ~7~> A * 0, gdeje

A =

a\

a2

Jcf

c. b,

—a.b, -a-,b., A , = 1 1

bz

>1 2 11 i

c, 6,

6iC|

b^Ci,

A, =

^ 1 ^ 2 . C ' I ‘

c,

/'a .

1 . Ako je A ^ 0, sistem ima jedinstveno rešenje — , M— .

A A ;

2°. Ako je A = 0, A1 = 0, A ( = 0, sistem je neodređen i ima beskonačno

mnogo rešenja.

3°. Ako je A = 0, A t * 0, A , * 0 , sistem je nemoguć i nema rešenja.

1413. Da li je uređeni par ( -2, 3) rešenje dalog sistema po x, y

2jt + 3_v = 5 A 3x + y = - 3?

1414. Da li je uređena trojka (4, 3, 2) rešenje datog sistema po x, y, r

x + y + z = 9 A x + 2y + 3z = 16 A x + 3 y + 4z = 21?

1415. Gausovom metodom resiti sledeće sisteme po x, y.

a) 2.r + 3 v = 7 A 3.v - 6y = 7; b) 5r + 2y = 29 A 3y —x = 1;

c) 3.r + 5y = 1A 3.v —1y = 8; d) 3,r + 2y = 26 A 6.r —3y = 3

1416. Metodom zamene resiti sledeće sisteme po x, y

a) 2x + y = —1A 4.r + 3y = 1; b) x - 2y = 7 A 2a - y — 8:

c) 5jt + y = —1A j0x +• 2y = —2; d) x + 2y = 5 A 3jt + 6y = 15.

1417. Grafički resiti sledeće sisteme po x, y

a)^+>»=5Aj:->’=l; b)x + y=3Ajr->’=l;

c) x+ 2y— 8 A y= —ar, d) .r+ y= IAx —y —5.

Rešiti sisteme po A', y (1418-1426):

1418. ; a) 3(x- l) + 5 (y - 1) = -4A 5(.v+ 3 ) - 3(j'+ 1)=64;

' b) 4(at+ 2) —7(a —y) = 7 A 7(.r + y) + I0(.r—2) = 79;

c |( x - I)(y+2)-(x-2)(y + 5) = 0A

A (jr+ 4)(y—3) -(*•+• 7)(y—4) = 0;

d) (x + 3)(x - 1) = 4y + x2 + 5 A (x - 3)(3.r + 2) = 3x: - 14> + 1>

151

1419.

1420.

1421.

1422.

1423.

1424.

1425.

1426.

1427.

3x+ 4(jc- 3) = 3 (3 r -3 )-3 7 A 3.y+ 2 (x -4) = 5(y + 2 ) - 28.

(x+ 2)2

3)(x + 3 ) - 3{.y + 5) = 0 A

A(2^-3)2-X4^-3) + 4 Í 3 x -3 H = 0.

2(jc+ 1 )(5 7 -6 ) = (5.ï+7)(2^-3)A(x+8)(^+1) =

= (jH-3)(*+5*

( j:+ 11):(jr + 6) = (>■ + 12):(>’ + 7)A (y + î):(x—1) = y:x.

(3x+2y+Uy.(2x+y-\) = 2A

A(5^:—3jv+ 4):(6jc+ 3 v+ 3) = 3:4,

(2jc- 3):(>>+ 3):(x— 2) = 5:6:3.

(5jc+3):(5-2^):(3j: - ^ + 4)= 1:3:2.

(3 * - l):(4_y—3):(6.t- 2y —1) = 2:5:4.

Rešiti date sisteme po x, y,

. v + 2 V—4 jc

a) “ ğ----- = “ A 1 )- 2x = - 3;

, , 5x~ 1 _ 3j>- 1 „ 11 “ X 11 + y

b) ~ + — =3A— + ^ = 3-

c ) i ± i + Z r i =4A £ z 2 _ Z ± 2 = _ 2.

3 4 3 ¿ 3 '

d) 3 ^ + 7 -5 , = 5;t- ^ ± 7 _ 2 i _3¿,=

Rešiti sisteme po *, y (1428-1437):

1428.

1 4 2 9 .

1 4 3 0 .

b)

+ Z ^ £ = Z ± 3 í _ 2 £ Z Í 2^ + 1 5 —4jc_

*+2x 12 3 6 A 15 20

12

*x-5y+ 1 4 x-7 y+ 5 6 y —5x —4

12 6 9------

A Sjt + ^ + I 2 s-y + 1

2

5x~4 - 3 U>'+I7Ax | 9y + 11 3y+4

y ~ x -

^ - k 3í = I+ ‘| A2í r 3 , _ t - 4 í _7

= jy + 1.

= 6.

152

£ z l - . ± ± z = l _ i ± 2 z . x z l , X y +4 4x-y

4 2 6 6 3 +Ts------------------Z 5 15

x+2y x —2y

= 1- x- 7 - 2y\ A

4 T~

2x-2y= 8.

l + x 2 x - y

;---------- - 3 , - S* f c 2 +i ^ 5 - „ . ^

\A

20

^ -0 ,8( 7 x + 2 ,5 ) = 2 lA i £ ^ :- | i = 2O+j).

% .x -y )t 1 , 8x 3^—10 3* + 4 y 5x y-17

------ O h 1<& = T T --------: — A ----------+ - =

3 15 5 4 8 6 12

(2 + jt)^—y—lj = 5 + —xy - 2(1 + x)A (x - l)2 + (2y+ 1): =

= (x±2y)2-2(\ + 2y)(x-\).

Uvođenjem novih nepoznatih rešiti sledeće sisteme po .r, y.

,1 4 24 in 7 18

a) — + — = 10 A ----------- —5;

x y x y

b) — + — = 7/\2-------!— = 3;

3x 5y 6x 10 y

, 5 4 4 5 41

c) ----------— + --= 2 A -— +

*+2y 2x+y x + 2y 2x 4- y 20

4 1

18 2,5

d) + = 1A

x + y - 1 x — y+ l x + y - 1 x - y + l

Rešiti date sisteme po x, y (1439-1458):

JL + ± =0,7AJ L - - U 0,9.

4x 2y 4x 2y

2 5 1 7 ,

5x 3y 10x 6y

7 5 4

■H----— = 8,5A

x - 2 y - 3 x - 2 y - 3 = 1.

4 6 8 9

------ + — — = 1,6A------------ — =1,1.

x+ y x - y x + y

■= 1.

153

1443.

1444.

1445.

1 4 4 6 .

1447.

1448.

1449.

1450.

1451.

1452.

1453.

--------- + — — - —

2.V-3 y 3 x -2 y

= 8A

3 x -2 y 2 x - 3 y

6 3

9 6

= IA

= 5.

x + y —1 x - y + 1 x + y — 1 x —y + 1

3 2

6 2,5

- + ■ = 7A

= I.

x + 2 y —2 2 x - y —3 x + 2 y —2 2x—y —3

5

5

-+5.V-4 v + I = 11A- +3(5.v-4v + l) = 31.

3 x -2 y -2 3 x - 2 y - 2

b1 L a2 b2

---- 1---- = a + b A-----------= a — b.

x y

2

a

L !

b a - b

a b

■+ ------ = IA

jc+ 3? x~ y x + y x —y

1

10

x +

4x ~ 5 y

1

x+

3

- = -----A

1 - 8

— 3

x ~ y

1

8

.Ai_i =J_+J_+_L

y x 2 x 5y xy

6jc- 11 y

1 1

1 8'

x + y

3

= 37 a

-+■

1 Î4

4a: + 3y 4x-3 y 55 4;tH-3y 4x- 3y 55'

6_________ 2 5 , 4 4

2x+ y-l 2x-y+ 3 2^2x + y - l y - 2 x - 3

y+1 , x+2 x2 + y2 + 10

* - y +W>; — 7 ^ 7 - a 2*+ 5 j, - i.

5

3'

= 3.

1 4 5 4 .

1 4 5 5 .

x2 + 5xy xy+5y2 xy x2y+5xy2

_ 3j + j;—15

10 10

3

z ~ 2 jt 3 _ ,v2 + xz + 2z2 —1

x+ 2 z x - 2 z ~ 4z2 — x2 a 3j:-1İ2=85.

1 4 5 6 .

x+ 2 x - 2

= l~ x+ y_ y-x

4 - x 2 6 5 '

154

1457.

1458.

•v - v + 60

A 2x+ v = 13.

5 x - y - 3 25x2- 2 9" - 6 ' y - y/

.v+ y 2x + + 5 x + 7

^ x J'+ i x~+xy—x—y x+y—xy~-ya

2x- 18 y + 23 3

9x2 - 16 4- 6xy + y2 ~ 2x+ v+4

Resiti date sisteme po .v, y (1459-1466):

1459.* | x + l| + |_y —11= 5 A | x + 1| = 4y —4.

1460* |x - l| + | j - 5 | = İA ^ = 5+|x- l|.

1461* 3| x| + 5^ + 9 = 0 A 2x-| _yj = 7.

1462.* |x+_y|= lA|x| + j vj= 1.

1463 * 2 x -3 |y |= lA|x|+2j;=4.

1464* |2x+ 3y| = 5A[2x-3^=l.

1465* |x —1\+ y+7>= 7Ax—2—|y + 3|= -1.

1466* |2x-l|-^=2A x-{4-^|=-I.

1467. Resiti date sisteme po x, y:

a ) x=2A y=3A x+ v = 5;

b) x —y = 3 A x + y = 5A 2x + 3y = 11;

c) 2x+^=0A x+y= —lA3x—2j>= 7;

d ) x + 9>= - 1A 2x + = 0 A x + 2 v = - 4.

1468. Primenom Gausovog algoritma resiti sledeće sisteme linearnih

jednačina po x, y, z:

a) x + 2y — 5z = 6 A —2x + y + 2z = 5 A ~ 3x + 3y—4z - 8;

b) x + 2y + 3z s= 1 A 2x + 4y - 6z = —2 A - x + 2y + 6z = 4;

c) x + 2y + 3z = 32 A 2x + y + 3z = 31A 3x + 2y + z = 28;

d) x + y + z = 9 A x + 2y + 3z = 16 A x + 3>>+ 4z = 21;

e) 5x+ 2y— 2z = 3 A 3x —4y+ 5z = 10 A 7 x - 3y + 6z= 19;

f) 3x —5jy + 2z = - 5 A 6x + 2.y - 3z = 23 A 4x - 3.y - r = 8;

g) - x —2y + 14z = 8 A 2x - 5y + 7 z = 9 A 4x - 2y - 3z = 24.

Rešiti date sisteme po x, y, z (1469-1498).

1469. a)x+_y=16Ax+z = 22A_y+z = 28;

b) 3x + 5j= 17 A 2x + 3z = 5A5>'-3z = 8;

155

On -ti -ii.

en

oo oe

N» i-<

NJ

X

+ +

+ +

' t O

N

Nr r ' r-N

*

OJ

X I

+ ;

N ^

I ^

X T '

IO

Si ^ i+

+ V;

M +

+ «

O 1

” nO

(O ' P

Si

II

■ti

S¡

+

on

ii

OA

On jjk

*jJ oj

NJ

NJ

o n

+

X;

I

O/i

Si

+

1>J

N IO

+

<0

N

fO

N

+

O J 4 1 .

V

I

N

II

OJ

X

+

NJ _

V

+

N

I

+

o I ~

>

VD

X

+ o

on

X:

r

NJ

N

NJ

X

+

on

~

t

N* tm m i

0 0 -u.

■O O

< 1

O v o 0 0

-pk

X

+

00

' s NJ

N

I

II

v j

S i

+ 0/1

N

+

OJ

+

on

>

N J

V

+

N>

M

1 n-

+

X

I

IM

I ’

on -_j

>

-Pk

X

I

on

X:

+

NJ

I

on

X

I

NJ

X:

I

OJ

N

NJ

X

I

on

Si

-P k

X

+

NJ

C

B i

OO

X

I

NJ

X;

+

N

Si

+

N>

X

o

>

00

X

+ NJ

NJ

X:

1

on

N

+ OJ

po

X

I

Si

+

-ta-

on

,sn-N

S;

NJ

X

NJ

NJ

N

+

+

v o * ^

N *“"

+

NJ

X

I i

-p.

>

Si

+

NJ

>

ox

Si

I

O J

X

N )

X

O J

> jS i

Si on I +

+ N

on

•

IO

to

I

N

>

NJ

X

+

CMO I

i 10

i ■

i M|

NJ

>

S i

I

NJ

X

+

o

>

On

N

+

on

X

n

00

■U

-o

On

NJ I ►—

N)

'N J i -

X:

+

' N>

N

II

I

NJ

N I I »-

>

O J

NJ I -

X

+

Si

I

NJ 1 -

Ni

no

N)

> O

P | o

on X

X +

I o

O

' v i s

Si +

+ o

O O J

vo N

N II

II v!

I >

00 O

4N

X

+

o

On

Si

+

c >

on

N

-pk -u ik t *

-J -J >4 vi sj si

O l <pk OkJ NJ l-> o

NJ

O J

>

■PkI X

+

on IS;

+

NJ I N

II

NJ

on

>

N> ] X

+

O J |X;

+

-pk I Ni

II

NJ

O J

>

o

X

+

j I s

Si

+

O J I V

N

-pk

>

-pk I -

X

+

S i

+

■Pk ] V

N

! ° °

+ >

• M X : o n I -

+ X

N J I N +

Il Sn I -

N J

OO

V

+

N

II

00

NJ

X

on

X

, + +

O j S i

"t I Jn. 1

>

-pk

. X

I

S;

+

on

N

on

>

X

N>

v j

>

p j O J

Si

+

Oj N )

X:

+

N J

O J

N

-pk

X

NJ

V

O J

N

I 1

> >

IO X

^ I + t o

Č ? Si

+ 1

N N

00

>

t o

*

I

+

00

N

NJ •—

to u>

O- n

■__ k k-^ k

*

+

to

+

N

U>

>

t o

V

I

N

II

t o

>

UJ

N

X

+

Si

+

N

t o

>

*

I

S i

II

L * J

>

*

+

N

tO - •

S i

> 0 V--/ II ^ II

|Si k ' on ✓—s

+ lil 1 s- ,-Pk X t o

1+

N

1 0 ^ 1

1 tnj i 1 +

-£x J^k 4^

< 0 VO NO VO sO

cy* (ii UJ IO

v o OO

CD xo

OO

00

00 -4

OO

ON

OO

U i

-C-

00 OO UJ

* ■

- ^

's X—

1 11 'x

, 0 £ +

LO tO

^+ *• S -

. ^ +

LS i ï* LO

0 1

N

N

1 'r r '

^ 0 1

• S - t o

J 1 s -

J ON +

O N

X

1

1 UJ

N

S— k'

^-- N î-(

O +

Î-C t o

1 S i

t o 1

0

V r-ı

+ ' î i '

t o

+

1

t o S i

0 +

UJ

T

2 3 6

A x+.y+z = 3;

15

x + y + z

d)

3

x + y - z

x - 2 v ~ 2

A — + — = , - 4 .

. . 2x+ 3> > -3 z

+ 4 A —- - = —A

10 3

1498.

1499.

.) = 3A ^ - 3A z - ^ ± y , 3;

2

3

y - 2 z

x - 2 z

b) x + = 5a y + ■ = 5 A z + = 5;

c)i £ ± Z = lAZ ± A £ = 2 A ^ = 5;

2 + 1 ' 2 x + 2 3 - y

d)

e)

x + ,y , X+ 2 , jy+ z ,

z + 2 y + 6 x + 4

x + y + z , x + y + z *+.V +2

14 - x —y x + z — 1,5 x — y + z

4 x —3 ^ + 2 2 5(2 z —3 x) . . 8 y - 3 x

; 3,5 x + y —3 3x - 2 ;y + 2,5 z 4 jy + z + 2

Uvođenjem novih nepoznatih rešiti sledeće sisteme po x, y, z

a6 4 5 3 8 , 5 . 9 12 10

a) — I----1— = 4A — I-----1— ~ 4 A — i------------ = 4;

x y z x y z x y z

b ) 2 + 3 _ 4 = J_ 3_ 4 + 5 = ]9 a 4_ 5 _ 6 = __[

x y z \ 2 x y z 2 A x y z 2'

1

6 _ 3

c)

- H a -

x+2>> y + z 10 x+2>> x - z 2

8

y + z x —z = i;

7 , 6 _ 21 5 15

d) ■+ ------ = 2A-

■= 2A- = 2.

x + y x + z x+ y y + z y + z x + z

Rešiti sledeće sisteme (1500-1506):

1500.

158

(3 y -5 )(3 z - 2) = ( 2 y - 5)(z - 2) A (3x - 4)(2 - z) =

= (3 x -8 )(z + l)A (x -3 )(> > + 6 ) = (2 x -9 )(2 -5 .y ).

1501. (6.x- l) ( y - 2 ) = (2 x -l)(3 y -4 )A (2 z -9 )(5 x + 4 ) =

= ( 2 z - l)(5 x -4 )A (3 x + 2 )(4 z-7 ) = (6v-5)(2z-5).

7 5 , 5 8

1502. ------ — + - ----- — = 1A-------- + — =— =lA

2 x + 3 y 3 y + 4 z 3y + 4 z 3 x + 4 z

40 21

A --------------------------------- 1.

3x4- 4 z 2.x+ 3 y

1503.

1504.

4 x y + 2.VZ- 2 yz = - 3.t>z A 3 x y — x z + y z = — x y z A

Axy+ x z + y z = x y z .

3xy - 4xz - 3yz = ~ x y z A 4xy + 3xz + 4yz = xyz A

A 2xy — x z — 2y z = 2 xyz.

1505.

y + z - x _ z + x - y _ x + y - z _ x y z

7 “ 11 “ 5 ~ T ‘

1506.

2 6 1 5 6 4

-----------------1---------------1------------------- A ---------------- i--------------1-

x + y + z 2 x — y y - 3 2 6 x+ y+ z 2.x— v

1 , 15 2 3

+ --------= 1A-----------------------------------= 7.

y - 3 2 x + y + z 2 x — y y - 32

1507. Resiti date sisteme po x, y, z, t:

a) x + y = 20 A x = 2z A z + t = 12 A 2y —3/ = 0;

b) x—y —z —/ = —2Ax —y+z —r=0A

A2x+ y —2z —! = OA x + y - z —t = 0;

c) x + y + z + r = 1A 2% — y + 3z + 5t — 4 A

A —x + 2y —z + / = —6A x + y —z —f = —1;

d) x + 2 y + 3z + 4t = 30 A 2 x - 3 y + 5 z - 2i = 3 A

A 3x + 4y — 2z - 1 = 1A 4x - y + 6z - 3/ = 8.

1508. Izračunati determinante drugog reda:

1 2 1 3 5 7 3 6 a b

; b) ; c) ; d) ; e)

2 5 1 7 6 8 4 8 b a

a -b 1 a -b - 2 x y 2

1 a+ b > g) ab a -b i h) , *

1509. Koristeći determinante drugog reda, rešiti sistem jednačina po x, y:

a) 2 x - y = 4 A x + y = 5;

b) x —2y = 3A 3x+ 2y= 13;

159

c) 3x + y = 5 A 2x — y = 5;

d ) x + 7 = 4 A x ~ 7 = 2 .

R e š it i d a te s is t e m e p o x, y (a, A, c, m, n, ... r e a ln i p a ra m etri) (1 5 1 0 —

1510.

1511.

1512.

1513.

1514.

1515.

1516.

1517.

1518.

a) mx + y = 1A 2x + y = 2;

b) ax + 2y = 1A 8x + ay = 2;

c) 2ax —3by = 12ab A ax + by = aA;

d) ar - 9 y= 14a A 2ax + 37 = Ta.

a) mx + ny = m2+ n2A /nx —ny= m2 —n2;

b) mx —2y=3A 3x + my = 4;

c) mx + (m —3)7 = 2m + 3 A 2/n.v —3(/n —3)7 = 1—«r,

d) a‘x —v = a —A A A3x + av = A2;

e) (a - 1)x + (a + 1)7 = 20 A 4x + 57 = a + 1;

0(0 + 2)* + (a-2)>>= 16A2*+47 = a-2.

. * 7 , * 7 2

a) - + - = lA — + — = -;

a A 3a 6b 3

b ) £ Z £ + Z Z * _ 1A£ + Z _ u

A a a A

c ) — — r + '

1 *

-Aa+A

a —A a —A a+A a —A a+A

_______________________________ 12aA

_____ 2a2 + 18A2

d)

X +■ y

a —3b a + 3A a ' —9b' a —3b a+3b a '—9b'

2ab x 7 2ac

X ■ + ■ y

A- + — = ^ r - T .

a —A a+A a2—A2 a —c a + c a2—A2

* 7 6ac 7 x 4aA

- -Aa—2b

a + 2A a2—4A2 a —3c a+3c a 2-9 c 2

(a + c)x t (c + a)7 _ {

ac A A ac

x

a+A x 7 _ a —A

■A •

a+A a-A a 2-A 2 a+A a-A a 2-A 2

i + z = £ lAi + z = £ .

A a A a A a

ax A3 X V _

---1-7 = — A —+ ——a.

A a a A

160

1519. a2x+ay = a + bA(a+b)x+ y = a + 2b

1520. ax + by = a2 + b2 Aa2x + b2y = a' -ab(a- h)+ b*

b2- a l

1521. x—(a+b)y = ---------A (b - a)x + aby = b".

1522. a v - ( a - b)y= b1 A {a+ b)x — by-a2 —

1523. a( x+ y ) - b{x- y) = " +- ■ A (a + b)( 1- .r) - b( I - y) = -A _

o+b

a+b

.... x-a+ 2b y b x y .v+v

1524. ----- ------ + ¿ = - a — + — = -----

b c c ab be ac

1525. ax+—y = a2 A —x +a)’= a3.

a a

2x—b 2y—a 2 x-a 2y + b a+b

1526. ---------- --------- = 2 A--- 1--------1--------- :— —-,

a b b' a' ab

y 3.y (a— b)2 ^ x ^ y _ a' +ab2

1527.

a —b a+b a + b a b ab + b2

x+y+2 a2-a+ ] x+y—2 a3- 1

1528.

x—y —2 a- l x—y+2 a2 + I

x , y 2ab x . y _ la c

1529. ------- 1--------= —------ -A ----- — i 1 *

a—b a + b a2 —b2 a—c a+c a2—c

x—c y+b x—a v—c

1530. + ------ = 2 A —— - + ——- = 2.

a+b a+c b+c a—b

x + y _ a

1531.

x + c a + b

x—y b—c y+b a + c

- M

1532. - + ^ = 1

a b e a b c

1533. Dat je sistem (k + 3)x+(k — 2)y= 2k + IA {A' + 8).v + {A —5)>’ =

= 2k + 3. Odrediti realan broj k tako da sistem bude neodređen, zatim

odredi .t tako da bude y> 0.

1534.» a) * = 2 A -

y _ 4 ab

a+b a — b a —b a + b a2 —b

i'

b) i ± z + Č Z 1 = 2 A i - 1 Z I =

a b b a ab

16!

2a 3b 2a 3b a b a2 + b2

c)— x ------y + 1= — + — A — X-----v = -----------;

b a b a b a ab

d) = 2ab A

a — b a + b

a~ + ab + b2 a2 —ab + b2

= 2 a.

1535.* Dat je linearni sistem po x, y (m, n realni parametri):

y = 2m A ^ = 4.

m + n m — rt mu

Pokazati daje rešenje sistema pozitivno ako je mn * 0 A /« + ±n.

1536.* Dat je linearni sistem po x, y (a i b realni parametri):

x + y ,_x-yA x , y

—------—----------A---------1-------- = 2a.

a~ + b' 2 ab a+b a —b

Pokazati daje rešenje sistema pozitivno za svako

ab OA a ±b.

1537.* Pokazati da su rešenja sistema po x, y (/; realan parametar):

x y _ Sn x y _ 2 + 8n2

1—2« 1 + 2« 1—4«" 1-2« 2« + 1 1—4n2

neparni brojevi za svako « £ Z.

1538.* Uvođenjem novih nepoznatih resiti sisteme po x, y (a, b, « realni

parametri):

v 2« 1 10« 3

a) — ------------ — = ] A -------- + --------- = 1:

x + ny x — ny x + ny x — ny

b a a - b b2

b)

-------A ------

= 2.

* a1 y + b 2 ab x — a2 y + b 2

1539. Dat je sistem po x, y (a, b realni parametri):

(a —\)x+ by= \Aax + 2by=b.

Odrediti parametre a i b tako da je sistem neodređen.

1540. Dat je sistem po x, y (a realan parametar):

jr + (a — 1)y= l A (a — l)x—3(a — 1 )y= 2a+ 1.

Za koje vrednosti parametra a sistem je nemoguć?

1541. Dat je sistem po X, y (a parametar):

ax + y = a — 1A 6x + (o —l)_y = 4.

Odrediti realan parametar a tako da je:

a) sistem neodređen;

b) sistem nemoguć.

162

1542. Dat je sistem po x, y (w, parametar};

2x + (m - l))' = 3 A (/«+ 1)j:+ 4y = - 3,

Odrediti parametar m tako daje;

a) sistem neodređen;

b) sistem nemoguć.

1543Dat je sistem po x, y (k realan parametar):

(k + 2)x + ( k - l ) y = l A 4 x - 5 y = S + k.

Odrediti parametar k tako da sistem ima jedinstveno rešenje.

1544. * U sistemu jednačina po x, y.

{p - q)x + {3p - 5)y = 2pq A (p + q)x + (q -l)y = 6pq.

(j>, q realni parametri) odrediti parametre p i q tako da sistem ima

beskonačno mnogo resenja.

1545. * Resiti date sisteme (a, b, c, d, m. ... su realni parametri) (1545-1549)

a) jhjc + y + z = i A x + my + z — mA x + y + mz — m2;

b) {b + c)(y+ z) - ax + (c — b) = 0

A(c + a)(z + x) — by + (a- c) = 0

A(o+ b){x + y ) - cz + { b - a) = 0,(a -1- b 4-c* 0);

c) x + ay + a2z + a 3 = 0 A x+ by + b2z + b3= ÖA

Ax+ c y + c 2z + ci - 0.

1546. (c+û)_y + (o+ b)z = (b + c)x + 2a* A

A (fl+ b)z + (b+ c)x= (c + a)y+ 2b3 A

A(£>+ c)x+(c + a)y = (a+ b)z + 2c3.

1547. ay+ bx = cAcx + az = bA bz + cy = a.

1548. x + y+ z= \Aax+ by+cz = dAa2x + b2y+c2z = d~

1549. y + z + u = a + 6 A z + u + x = a + 4 A u + x + y =

= a + 2 A ,r+ y+ z = a.

9.5. P r im e n a s is t e m a lin e a r n ih je d n a ć in a na r e ša v a n jc raznih

p r o b le m a

Opšti oblik linearne nejednačine sa jednom nepoznatom se može javiti u

jednom od oblika:

(l)iijr>6, (2) ax> b, (3)ax<b, (4 )ax<b.

gde su a, b realni brojevi x nepoznata.

163

Za rešavanje nejednačine (i) važi sledeće:

1° Za a > 0 ima za rešenje svaki realan broj x > —;

a

2°. Za a < 0 ima za rešenje svaki realan broj x < —;

a

3°. Za a = 0. h < 0, rešenja su svi realni brojevi.

4°. Za a = 0. b > U. nema rešenja.

1550.

1551.

1553.

1554.

1555.

1556.

1557.

1558.

1559.

Dva broja imaju osobinu daje zbir četverostrukog prvog broja i za 4

uvećanog drugog broja jednak 50, a razlika trostrukog prvog broja i

polovine drugog broja jednaka je 22. Odrediti ove brojeve.

Ako se dva broja uvećaju za 3. dobijeni zbirovi se odnose kao I : 2. a

ako se drugi broj podeli prvim, dobija se kolienik 2, a ostatak je 1

Odrediti ove brojeve.

Razlika, zbir i proizvod dva broja odnose se kao I : 3 : 6. Odrediti

ove brojeve.

Ako se zbir brojioca i imenioca jednog razlomka podeli razlikom

imenioca i brojioca, dobija se 6, a ako se od brojioca i imenioca

razlomka oduzme 3, dobija se —. Odrediti razlomak.

Ako se uveća brojilac jednog razlomka za 1 a imenilac za 3, dobija

2

se razlomak — a ako se oduzme 5 od imenioca i brojioca razlomka,

1 3

dobije se —. Odredili razlomak.

Odrediti sve parove celih brojeva (,r, y) čiji je zbir jednak proizvodu.

Jedan splav sastavljen od dva metala ima težinu a kg. Posle potapanja

u vodu splav je lakši za b kg. Odrediti po koliko kilograma od

svakog metala sadrži splav ako se zna da prvi metal gubi u vodi p%

od svoje težine a drugi metal q%.

Svaki prost neparan broj može se predstaviti samo na jedan način -

kao razlika kvadrata dva prirodna broja. Dokazati.

Na koliko se načina broj 105 može predstaviti u obliku razlike kvadrata

dva ćela broja? Napisati sve te oblike.

Dva radnika mogu da završe neki posao za 8 časova. Desilo se daje

prvi radio 6 časova, a drugi 9 časova i da su završili — deo posla. Za

r 56

koliko časova može svaki odvojeno da završi taj posao?

164

1560.

1561.

1562.

1563.

1564.

1565.

1566.

1567.

1568.

1569.

1570.

1571.

Dva radnika treba da završe jedan posao. Ako rade zajedno, završiće

taj posao za 12 dana. Ako radi prvo jedan radnik 9 dana. pa zatim

drugi 6 dana, završiće samo ~ posla. Za koliko će dana završiti taj

posao svaki od nj ili kada sam radi?

Ako se podeli jedan dvocifren broj zbirom svojih cifara. dobije se

količnik 5, a ostatak je I Ako se tom broju doda 9, dobija se broj

napisan istim ciframa obrnutim redom. Odrediti taj broj.

Cifra desetica jednog dvocifrenog broja je za 5 veća od cifre jedinica.

Ako promene mesta njegove cifre i dobijeni broj se podeli datim.

dobije se količnik 2, a ostatak je 7. Odrediti prvi broj.

Zbir cifara jednog dvocifrenog broja je s. Ako cifre razmcne mesta,

dobiveni broj je za m veći od prvog. Koji je taj broj?

Pre četiri godine otac je bio 7 puta stariji od sina, a posle 4 godine

biće 3 puta stariji od sina. Koliko godina ima sada otac, a koliko sin?

Zbir godina majke i kćerke je 46. Posle 10 godina majka će biti 2

puta starija od kćerke. Koliko godina sada ima majka a koliko kćerka?

Dva traktora različite snage mogu da pooru jednu parcelu za a dana

Za jedan dan jedan traktor poore p% od površine koju poore drugi.

Za koliko dana može svaki traktor sam da poore ćelu parcelu

Dva automobila kreću istovremeno iz dva različita mesta zl i B čije je

rastojanje d km. Ako se kreću jedan drugom u susret, sreću se posle u

časova, a ako se kreću u istom pravcu, stignu se posle b časova. Koliko

kilometara prelazi svaki od automobila?

Obim jednakokrakog trougla je p cm, a osnovica mu je veća od

kraka za r cm. Izračunati stranice trougla. Da li zadatak uvek ima

rešenje?

Zbir tri broja je 80. Ako se podeli prvi broj drugim, dobiju se

količnik 3, a ostatak je 3. a ako se podeli treći prvim, dobije se isti

količnik, a ostatak je isti. Odrediti brojeve.

Zbir cifara trocifrenog broja je 16. Ako izmene mesta cifra desetica i

jedinica, dobija se broj za 72 manji od drugog, a ako se podeli dati

broj sa cifrom desetica, dobija se količnik 76, a ostatak je 7. Odrediti

trocifren broj sa ovim osobinama.

Odrediti tri broja ako su dati zbirovi za svaka dva od njih.

165

1572. Tri radnika obavljaju neki posao. Prvi i drugi radnik završili bi taj

posao za m dana; drugi i treći za n dana; a treći i prvi za p dana. Za

koliko bi dana svaki od njih sam završio taj posao?

9.6. Linearne nejednačine sa jednom nepoznatom i njihovo

rešavanje

Resiti date nejednačine po x (1573—1575):

1573. a) 5(4 —3x) < 2^2jc — 1

b) 3( y —2) + 9jc < 2(x + 3) + 8;

c) 2.y(2y —5) - (2.t + l) 2 < —1;

d) 9(4* + 1): - 4(6.v—2)(6jc+ 2) < 43.

3jc—1 x+ l x 5x— 1 3x ■ 13 5y + 1

1574. a) < 1 -----; b ) -------- < --------;

7 4 10

x —1 5(y + I) 2x —21 3v —14 5

c)5 >2 + d)-

8

9 “ 72

1575.

1576.

1577.

a) | x —3 1< 1; b) | 2x + 3 j < 5; c) J 3 - 2x \ > 5;

d) | 5y + 3 > 8; e) | x + 11> 2 | x + 2 1.

Odrediti najmanji ceo broj koji zadovoljava nejednačinu:

4 7 11 4

2 0 — y-25 — >42 — + 3 — y.

15 18 18 15

Odrediti najveći ceo broj koji zadovoljava nejednačinu:

3y—I x + 9 2y+4 9y+1

----------1---------< ----------------------

12 11 11 12

1578. Resiti date nejednačine po x (m je realan parametar):

a) mx > 3;

b) m(x—1) < jc+ 2;

c) 2x —m > mx ~ 3;

d) m(mx—5)<4y- 10;

e) x —m>{2 —x){m—1).

1579. Resiti date konjunkcije (sisteme):

a ) 2Y + 3>Y + 1A y + 3>2y-6;

7 + 5İJC

18

b) 0,41+ - < - y - 1,2 A 5jc + 17 > 9x - 63;

' 3 3

166

c) (x - l) 2+ (X -2)- > 2 (x - 3 ) - - 1A — + L 2 i >

3

x — 3 1

^ 6 1 + , jc— 3 2x- 7

d) 2(2x + 1) > 3 ------— A — >1 +

5 9 2

i . x + 1 x + 2 x - 3 a - 4 x - 2 x - 5

e)----------— — < —i 1---- ——A—r— >14-

5 4 ' < ' 3 2 3

Resiti nejednačine po * (1580-1581):

1580. a) (jc—l)(x —4) > 0; b) (* + 3)(x-5)< 0;

c )4 ^ > 0; d ) i ± ^ s o.

5 —*

x - 1 3

1581, a )-----

x —2 2

6 —x

c) ------< - 2;

3 —*

x — 4

.,5-2* 1

5+x 2

„ 2x—3

d)------->3.

4 - *

1582. Odrediti skup celih brojeva (x, m, yE Z) za koji su pozitivni izrazi:

,5 - * 5-2m , 9 - 2j>

a )------ jc ; b )74 T4- 7 ~ m ; c)^----- 4y —1?

1583. Odrediti skup celih brojeva (x, m, y EZ) za koji su negativni sledeći

izrazi:

5x —4

a)- 5x —7

b)(8m- 1)(11—2m)\ c)(3v+7)(4v- 15).

1584. Resiti nejednačine po x:

* > 7 ‘ <o;

x2 + 3

b)

(2*+ l)3

------- “ >0;

x- 5

15

(x-i)

c) - > 0;

x + 2

x

d )| l _ 1 | <0; e) l ' - ' U l ; f)

x

x

x+ 2 <2.

1585. * Resiti dvojne nejednačine po rv.

. . n— 1 , ,. _ 3n+10

a) —3 < --<5; b) 1< --------- <2.

n+l n+1

1586. * U funkciji y = (2k + 4) x -f k - 3 odrediti parametar k tako da njen

grafik seče >*-osu ispod koordinatnog početka i da pri tome bude rastuća.

167

1587.* Data je funkcija:

, 0 3 —2k 2k + 1

5 -k 2k + 2

1° y = -, —_ x +

y —-— -*+■

A- + 5 3 — k ' A' + l 3 —n

a) Odrediti parametar k tako da njen grafik šeće y-osu iznad koordinatnog

početka i da pri tome bude rastuća.

b) Odrediti parametar k da funkcija bude rastuća.

c) Odrediti parametar k tako da funkcija bude opadajuća.

1588.

1589.

Za koje vrednosti parametra m jednačina:

m (x-3) + 2x = 0

ima rešenje po x manje od 2.

U jeđnačini:

2{ii - 3a:) + .y = 4a ~ 10(.v - a) + 36

odrediti parametar i; tako da rešenje jednač ine po x bude negativno.

1590. Odrediti sve realne vrednosti parametra m za koje jednačina:

m(x- 3)4- 3 = m2x

ima rešenje po x veće od 2.

a —2x 2 — ax

1591. U jeđnačini

= a — 2, { a realan broj) odrediti realan

broj a tako da rešenje po^r bude veće od -2

,, . , . a+ x a a

1592. U jeđnačini------ + - = -------

x x x - 1 + (a realan broj), odredili realan

broj a tako da rešenje jednačine po x bude veće od

x —1

6.

1593.

Za koje vrednosti realnog broja n jednačina

x 2x —n

= 1, ima rešenje manje od 1?

x — 2/7 X 1 ~2nx

1594. Data je jednačina po x (h realan broj),

9b2- 8 4-3A3 4b + 3b2x

______ |______ — _______

2x + 4 2 — x x2 - 4

Rešiti jednačinu po .v, a zatim odrediti realan broj b tako da je x < 1.

1595. Za koje vrednosti parametra m sistem jednačina po x, y.

titx+ y = m A jc —y = 2

ima negativno rešenje (x < 0 A y < 0)?

1596. Odrediti realan parametar a tako da rešenje sistema

a z — 4y = a + 1a 2x+ 2ay ——1

po x, y zadovoljava konjunkciju x > 0 A y < 0.

168

1597.* U sistemu jednačina:

(m + 1)x - my = 4 A 3.r —5_v = m

odrediti realan parametar m tako da rešcnje po x, y zadovoljava

relaciju:

x - y< 2.

¡598.

1599.

Dat je sistem:

nx — y = 5A 2.v + 3ny = 1.

Odrediti realan parametar n tako da rešenje po x, i zadovoljava

konjunkciju .v > 0 A y < 0.

Za koje realne vrednosti parametra m rešenje sistema jednačina po

y-

mx —2y = 3 A 3.t + my = 4

zadovoljava konjunkciju x > DA y < 0?

1600.* Odrediti parametar m tako da sistem:

mx + (m — 2)y = 2 A 2.v -t- 3,y = —3

ima rešenja po x, y koja zadovoljavaju konjunkciju v > 1A x > v.

1601.

1602.

1603.

Dat je sistem:

(a + 3 )x - 2( a + 3)y = 12 - 3a A (n + 3).r + (a + 3) v = - 1- a

Odrediti sve ćele vrednosti parametra a za koje je rešenje sistema po

x, y negativno.

Dat je sistem jednačina po ,v, v:

3(m— 3)x —(m —3)y = 19 —4/nA(m —3).v- 2(m- 3)y = 3 - 3m,

gde je m realan parametar. Odredili sve ćele vrednosti parametra mza

koje je tačna konjunkcija.

Dokazati ekvivalenciju | x | ž a A a > 0 o —a S .v £a.

1604. Primenom * ekvivalencije iz prethodnog zadatka resiti nejednačine

3.t

2.v + 3

a) <2; b)

2*+ 3

2.V-3

x —2

c)

.t+2 <1; 2.V+2

d) <4.

1605.* Resiti nejednačine:

X - + 2

b)(,+ 2)|x-JL > -L

X ' •+ 0

Ib9

1606.*

1607.*

1608*

1609*

1610.*

1611.*

1612.*

Rešiti nejednačine (1606-1619):

X X -

------------------->

3

.

9 —JC

x + 3 X- + 3*

2 —X x + 2 lx — X

■+ ------- <

x + l X i X* —1

3 X 3(x + 3)2 - x(9 + 2x~)

X + 3 > 3x2 + 9x

4 X 1

4x2 —9 2x —3 2x3 + 3x

4x X 1

+ -

9x2 - 4 3x + 2 3x' - 2x

1 1 X2 - 2

—I- ^ n

X X + 1 X* + X

a)

<0.

2 3

>-------b)

2 y — I 3y — A 12/n—1 4 m + 3

/ - I t - 3

c ) --------< ------

At + 5 At - 3

X2 + 10x4-25 A

X2 + 5x

1613. *

a İ T T İ a 0 ; b) X —2 >0.

, 3a3 - a 2 - 3a + 1

1614. *

b)-----------------------> 0.

a + 3a

1-3 a

1615.

1616.

1617.

1618.

1619.

2 |x + 2 |+ jx -3 |> 5 .

3 |x + 3 |- |2 x - 3 |< 8 - 3 x .

|xj —2|x—6| < 2x+ 6.

a) |5 - x | + |2x+4|>2x+ 10; b)

a)|x + 4| —|x-7j<II;

c ) |x + 4 |- |x - 4 |> 8 ;

x X 2 —5x+4

e) ^----- 1-------> 0;

|x - l |( 3 - x )

2 3

g |x-3¡-l + |x-3|+2

^0; h)

3|x| + 2

<3.

|x| 1

b) IX —l|- ¡ x + 5¡>6;

d)|x-2| + |x-7|<9;

2 3

f ) r n - 7 + r ^ r S 0 ;

|x |—1 |x| + 2

_4_______ 5

|x-l|+l |x —1| —2 >0.

170


a + c

c)(£>a>0Ac>0)=^[ —>

------

b b + cf

d)a>0A6>0A —<— => a a + c c

\{

b d) b b + d d ]’

e) (a > 0 A b > 0 A c > 0) => a2 + b2 + c2 > ab + ac + bc.

1621. Dokazati da za aritmetičku sredinu A, geometrijsku G i harmonijsku

H važi nejednakost H <G< A.

1622. Ako su a i b pozitivni brojevi, dokazati nejednakost:

a b

- + ->2.

b a

1623. * Ako jen+6 + c=/, ¿r>0, ¿>0ic>0, tada je:

(1 —a)( 1 —b)( 1—c) > 8 abc. Dokazati.

1624. * Ako je a + b + c = 6(a, b.cG R), tada je:

a2 + b2 + c~ > 12. Dokazati.

1625. * Ako su a, b i c memi brojevi stranica trougla, tada je

abc >(a+b — c)(b + c —a)(a + c - b). Dokazati.

9 .7 . G r a f ič k a in t e r p r e t a c ij a siste m a lin ea rn ih n ejed n a čin a sa

d v e n e p o z n a t e . R e š a v a n j e p r o b le m a lin e a r n o g p ro g ra m ira n ja

1626. U Oxy - ravni šrafirati oblasti u kojima važe sledeće nejednakosti:

a)x> — 3; b)Â 2; c)*-;' + 3>0; d)2z + —4<0.

1627. U Oxy - ravni šrafirati oblasti u kojima važe konjunkcije:

a) ,t —y + 1<0Ajc+2-)'+3>:0;

b) x< —3a 2x—^ + 4 > 0 a3jt-3>' + 5<0;

c) ar+_y>lAjc —2jv< 0 A j: —jz<1;

d ) | x | < 4 A | ^ < 2 ;

e) 2x - y < IA jr + 2y > 1A 2x - 2y < 1A 2x + 2y > 3.

171

1628. Maksimizirati funkciju L — 4- y, uz ograničenja:

x —y < 3 A x < 4 A .r 4- 2 v > I D A x —y > —2 A x > 0 A y > 0.

1629. Minimizirati funkciju I. = 2.v—y, uz ograničenja:

x —v S 1A 2 x 4- y < 11 A v —2.v < 3 A y < 5 A x + y > 1A

Ajc> 0 a y > 0.

1630. Naći najmanje i najveće vrednosti funkcija = .r + y i

L2 = —2x —y u oblasti:

3.r+ 2y> 6 A .v- 2y < 2A -3 .r+ 2y < 6 A x > 0 A _)■> 0.

1631. Grafičkom metodom naći optimalno rešenje sledećih zadataka

linearnog programiranja:

a) jc + 4y < 24 A 3* + y < 21 A x + v ^ 9 A x > 0 A y > 0,

L = 2x + 5y max;

b) - x + 3y < 9 A 2x + 3y < 18 A 2x - y < 10 A .t > 0 A y > 0,

L = 4x+ 2y-* max;

c) 2x + y > 20 A 2.v + 3 v 2 30 A x > 0 A y > 0,

L = 3.V + 2y -> min;

d) 15jc+ 4;■ > 60 A 20a + 3y < 60 A y < 7 A .v > 0 A v > 0,

L = 3jc+ y -> max;

e) 5x + 2_)’< 100 A 6x+ ;> >30a x + 2/>20 A x>0 A 6< y<30.

Lx=2x4- y-* max i = x = 2 v -> min.

172

X

GLAVA

10. RAZNI ZADACI’

1632.

1633.

1634.

1635.

1636.

1637.

1638.

1639.

Rešiti po x jednačinu 2x + 1x - ] | = 5.

Dat je sistem jednačina po x, y (a realan parametar):

3* + y = 13 A x - y = 7 V (a ~ 2)x - 5y = 10,

Odrediti parametar a tako da sistem ima resenja.

Odrediti uglove onog pravouglog trougla za koji važi formula

(a + b)2= 8P, gde su a i b katete, a P površina trougla.

Rastaviti na činioce:

(a+ b + c)(ab + bc + ac) - abc.

U dati jednakostranični trougao ABC upisati trougao KLM čije su

stranice normalne na stranice dalog trougla, tako da K G AB,

L G BC, M G CA.

Dokazati da je broj a2- a deljiv sa 30 za svako ćelo a

Dati su pravougaonikAZMV, tačkaP u pravougaoniku i tačka£? van

pravougaonika, tako da su trouglovi LMP i MNQ jednakostranični.

Dokazati da je duž PQ jednaka dijagonali datog pravougaonika.

Ako je | x | ^ 1, y * 0, y * -x, važi identitet:

/

.t2 - 1

y2 + xy

Dokazati.

1

V y

1- xy2- y* + y y* + y + 1

y

1640. Ako je f(x) + 3 / | —j = X1 (.t * 0), izračunati /(2).

1641. U pravouglom trouglu ABC (ZC = 90°)CD je visina iz temenaC

Ako je N središte duži CD i M središte duži BD, dokazati da je

AN 1 MC.

1642. Ako M tačka u trouglu ABC, dokazati daje

AM + MB < AC + CB.

’ Ovi zadaci služe za ponavljanje, ulvrdivanje, produbljivanje i sistematizaciju cclokupnog

nasiavnog gradiva. Uglavnom su koriićcni na raznim opStinskim i mcduopJlmskim takmi*

icnjima iz matematike.

173

f

1643. Dokazati implikaciju:

O - * ) 3 + (z-x): + (z-y)3 - ( y + z - 2 x ) 2~ (z + x~2y)-~

—(x + y —2z)1 = 0^>x=y=z.

1644. Dokazati daje

-1

-i

i , b-'\

i ir' + ° " ) sr ' 4-

âb~1+ ba~' t l 2 J

1645.

(a = 0, b * 0).

ay -

Ako je a & 0, b ^ 0, c * 0 i ----

X V z „ ,

—= —= Dokazati.

a b c

b~' - a

a~'b~'

= 2 b,

onda je

1646. Neka su M i N središta stranica BC i CD paralelograma ABCD.

Prave AM i AN seku dijagonaluBD u tačkamaK i L. Dokazati daje

DL = LK = KB.

1647. Koliko ima celih brojeva izmedju 100 i 10 000 kod kojih su tačno tri

cifre jednake?

1648. Rešiti jednačinu po x, x + 1x | =

1649. Pokazati da vređnost izraza:

a

A = ± + - X

a b - a a+b

ne zavisi od a i b za x = a \b - a )

b(b + a)

1650. Ako je: (1) a + b = x + y

(2) a2 + b2 = X1 + y2

dokazati da je a 3 -f 63 = xi + y 3.

M

ab * 0 i | a I ^ b.

1651. Dokazati daje izraz:

a + b a - b

¿ - ¡ - + - L . +

a - b a+b ir+ai+Z,2 a2-a b + b3

jednak nuli jedino za a = 0.

(a * b)

1652.* Dat je trougao ABC sa uglovima LCAB = 60° , L ACB = 90° i

tačka M na stranici BC. Ako je CM = p i MN = q, izračunati veličinu

x= AM u funkciji veličina p i q.

174

1653. * Ako se stranica AB paralelograma ABCD produži preko temena B za

duž BE = AB, a stranica AD preko temena 0 za DF = AD, tada

tačke E, C i F pripadaju istoj pravoj. Dokazati.

1654. * U trouglu ABC konstruisane su simetrala spoljašnjeg ugla u tcmenu

A koja seče naspramnu stranicu u tački D i visina AE. Ako je

AD = 2AE, dokazati da je tada L B - L C - 60°.

1655. Ako se dvocifren broj podeli cifrom jedinica, dobije se kao količnik

cifara jedinica, a ostatak cifara desetica. Odrediti taj broj (obrazložiti

rešenje).

1656. * Date su prava i dve taške van prave, obe sa iste strane prave. Konstruisati

trougao tako da mu jedna stranica pripada datoj pravoj, a da su date

tačke podnožja visina koje odgovaraju dvema stranicama trougla.

1657. Dokazati ekvivalenciju:

— = —= —]<> (a2 + b2 +c-){p2+ q2+ r2) = (ap + bq + cr)2.

P 9 rj

1658. Dat je pravougli trougao ABC( L ACB = 90°). Nad njegovim

katetama konstruisani su kvadrati ADKC i CBHE. Dokazati da je

zbir rastojanja tačaka D i H od prave AB jednak dužini hipotcnuze

AB.

1659. Konstruisati grafik funkcije:

1660.*

1661.

1662.

1663.

y = ■y]x2 —2jc+ 1 - yjx2 + 6.v+ 9.

Razlika četvrtih stepena dva broja od kojih prvi pri deljenju sa 5 daje

ostatak 1, a drugi pri deljenju sa 5 daje ostatak 2, deljiva je sa 5. Dokazati.

ax + b

Neka su a, b, c, d, x ćeli brojevi. Ako se razlomak-------- može skracx+

a,

titi sak, ondajead - ¿cdeljivo sa k, pri čemu je £ ceo broj. Dokazati.

Rešiti jednačinu po .t (a dati realan broj):

x ax 2 a' + ia + 5.x

+

2a — 5 2a + 5 4a2 - 25

a zatim odrediti realan broj a tako da je x < - 1.

Rešiti jednačinu po x (a dati realan broj):

4a2 3a + 3 _ la2 { 3

3x+4 + x2- l 3*2-3 x - l ’

a zatim odrediti realan broj a tako da je x > 2.

175

1664. Resiti linearni sistem po x, y (a dati realni broj):

(a —2).v + (n + l)j> = 20 A 4x4- 5_v = o + 1,

a zatim odrediti realan broj a tako da je tačna konjunkcija

r>0A vSOu skupu celili brojeva.

1665. Resiti sistem po .v, v {a dati realan broj):

(a + 2) x + (a — 2) y — 16 A 2x + 4.v = a — 2.

a zatim odrediti realan broj a tako daje tačna relacija _v= 3x.

1666. Data je linearna jednačina po .v (a dali realan broj):

9a2 - 8 4 - 3 a1 u(4 + 3rzx)

2x + 4 x —2 x2 —4

ax x x(5a+ 1) + ( q - 1)

b)-----------1-------------------------;--------------■

2a- 2 2a+2 9a~ - 4

Rešiti jednačinu, a zatim odrediti realan broj a tako da je ,v < 1.

1667. Prava MN je zajednička spoljašnja tangenta kružnica i K:, koje

se seku u tačkama A i B (M i N su dodirne tačke). Izračunati zbir

L MAN + L MBN.

1668. U nekom razredu na kraju školske godine niko nije dobio ocenu

odličan iz matematike. Svaki šesti učenik bio je vrlo dobar, svaki

treći dovoljan, a svaki deveti nedovoljan. Broj učenika je između 20

i 40. Koliko je učenika dobilo ocenu 3 i koliko je bilo učenika u

razredu?

1669. * Ako je a+ b + cpiijjj i a2 dj A2 + c2 = 1, izračunali a" + b ' + c\

1670. * Konstruisati grafik funkcije | y\ = x + 1x —3 1'.

1671. * Dokazati da je n' + 1lr? (n E N ) deljivo sa 6.

1672.* Odrediti sve cele brojeve za koje je q3 + 1 takođe ceo broj.

a — 1

1673. Ako su x, y, i z takvi brojevi da je x + y + z = 0. dokazati daje zbir

kubova ova tri broja deljiv sa 3,

1674.* Odrediti f(x) i g{x) ako je:

+ g(2x+l)=2x - g(2x + l) = x, (x * 1).

1675.* Odrediti sva celobrojna rešenja jednačine x2 + xv + y 2 = 1.

176

1676. U jednakokrakom irouglu ABC, gde su osnovica AB = 18 cm a kraci

BC = ziC = 15cm. upisan je pravougaonik čije su stranice ,v i 3v,

tako da mu dva temena pripadaju osnovici AB, a druga dva kracima.

Izračunati stranice pravougaonika.

1677. U jednakokrakom trouglu ABC, gde je osnovica AB = 36 cm. a kraci

zlC = BC —25 cm upisan je kvadrat stranice jc, tako da mu dva temena

pripadaju osnovici a druga dva kracima AC i BC. Izračunati

stranicu .v kvadrata.

1678. Romb je upisan u jednakokraki trougao zlfiC, lako da mu jc jedno te*

me A, a dve stranice pripadaju pravama AB i AC. Ako je AC = 6 cm.

BC = 8 cm, izračunali stranicu romba.

1679. Deltoid se sastoji iz dva jeđnakokraka trougla čija zajednička osnovica

iznosi 40 cm, a kraci po 25 cm i 52 cm. Izračunati dijagonale

deltoida.

1680. Osnovica trougla je c = 56cm, odgovarajuća visina //. = 15cm i

težišna linija /,. = 17 cm. Izračunati stranice a i b trougla.

1681. * Ako se polinom + my + 2 podeli sa y —1, količnik je / ( v). a

ostatak R. Ako se isti polinom podeli sa y+ 1. količnik je g(j) a

ostatak r. Odrediti realan broj m tako da je R = r.

1682. * Polinom P(x) — .v'14* 2x3 + ax2 + 2.v+ b je kvadrat drugog polinoma,

gde su a i b realni brojevi. Odrediti drugi polinom i realne brojeve

a i b.

1683.

U jednačinama odrediti realne brojeve A,B, C i D tako da om \ uže za

svako .v (1683-1687):

x + 3 _ A Bx + C

(x + I)(x2 + I) ~ x+ l x 3 + l '

1684.

1685,

1686.

2x2 _ A i B , Cx+D

x * -[ ~ x - \ x+ i .r + r

-------------—------j----- -j-----------.

x3 - 2x2 * x - 2

______ 6______ _ A + B + Cx + D

x* + x 3 —X —1 x + 1 x - 1 x" + x + 1

1687.

X 1 + 1

-x(x- l)3

A_ _B_ C + ___g__

X x - l (x— l): (* ” ^

177

1688.*

Resiti jednačinu po x (m realan broj):

»i(x' + 8) + 6 m ni+ 2

----------------------1---------- = —---------------- ,

g _ v3 x - 2 x" + 2x + 4

a zatim odrediti realan broj mtako da je j x| < 4.

1689. Resiti * jednačinu po x (ni dati realan broj):

2 mx( m + 1) + 3x x X + 1

---------.-------------------------H----- ;--------—— ~ 0,

ni —27 ni —3 nr +3m+ 9

a zatim odrediti realan broj m tako daje | x | < 2.

1690. Resiti * jednačinu po x (a realan broj);

x + a + 2 a —x + 2 _ 2(x2 —2x + 2) 4- 2a(a — x + 5)

x —a - 2 x + a + 2 x2—a2 — 4a — 4

a zatim odrediti realan broj a tako daje | x| < 1.

1691. Resiti * jednačinu po x (¿7 dati realan broj):

a + 1 3ax —5 _ 4

ax + 3a ax2 + 2ax —3a x —T

a zatim odrediti realan broj a tako da je | x | < 2.

1692. Resiti * jednačinu po x (m dati realan broj):

2m —5 3x + 4

(m— l)(x+2) x + 1 x: + 3x+2

a zatim odrediti realan broj mtako da je | x | < 1.

1693. Prava * a seče pravu b, a prava c je paralelna sa b. Sve tri prave su

komplaname. Odrediti broj tačaka koje su jednako udaljene od sve

tri prave.

1694. Dokazati * identičnost:

i 2 2

a b b c c a'

1695.

1696.*

(a — c)(b — c) (b —a)(c — a) (c—b)(a—b)

Ako unutrašnji uglovi četvorougla čine razmeru:

a) 3 : 4 : 5 : 6;

b) 5 : 7 : 11 : 13,

onda je četvorougao tetivni. Dokazati.

= ab + ac+ bc.

Dati su polinomi P(x) = x2 — 3x + 2, Q(x) = x~ + 3x + 2. O d re d iti

polinom R((2(x)), zatim dokazati daje deljiv sa x 2 + 3x+ 1.

178

1697. * Dat je polinom P(x) = .v4 + mx' 4- nx~ + px+ 8. Odrediti realne

brojeve m, n i p tako da ovaj polinom bude deljiv sa

(x —l)(jr + 6x + 8).

1698. * U polinomu P(x) - x' + axz + bx + c, odrediti realne brojeve a. b i c

da bude deljiv sa (r - l)3.

1699. * U polinomu x s + mxA+ 2x3 + nx~ - 3.t + p, odrediti realne brojeve

m, n i p da bude deljiv sa x} + 1,

1700. Ako je P(x) = 2x + 3, g(.t) = 4.v + 9, tada je P(Q(x)) = 0{P(.r)).

Dokazati.

1—x

1701. Data je funkcija f{x) —------ Izračunati f(f(x)).

1+ x

1702. Dat je pravougaonik ABCD, zatim je konstruisana prava AMNF,

koja seče dijagonalu BD u M, stranice BC i DC u N i P.

a) Dokazati daje duž AM geometrijska sredina za duži MP i MN;

b) Dokazati da je proizvod DP -BN stalna veličina i ne zavisi od

izbora sečice.

1703. * Dat je trougao ABC u kome je visina CM jednaka stranici AB.

a) U dati trougao ABC upisati pravougaonik tako da mu jedna

stranica pripada stranici AB trougla i da se stranice pravougaonika

odnose kao m : n, gde su m i n date duži.

b) Dokazati daje obim svih tako nastalih (upisanih) pravougaonika

konstantan i jednak 2AB.

1704. * U istom koordinatnom sistemu konstruisati grafik funkcije

y = ^ x - 3 i y= x-\x\.

a) Osenčiti oblast ravni xOy kojoj pripadaju sva rešenja sistema

3 . .

y > —x —3 A y < x —| .v | .

5 j g

b) Da li tačke .4(5,0), B (-1, — —) i C (10,3) pripadaju grafiku

3 5

funkcije y = - x —3.

1705. * Ako jea4 + 6J + cJ +i/J = 4 abcd, tada je a -b = c = d Dokazali

1706. * Koji uslov zadovoljavaju realni brojevi a, b, c i d da bi izraz

a2 + d2 - 2b(a + c - b) + 2c(c - d) imao najmanju vrednosf’

1707. * Konstruisati kružnicu koja sadrži tačke M i N a tangentna duž konstruisana

iz date tačke P ima dužinu a.

1708. Odrediti sve ćele brojeve .v i y za koje je .rv + .r-3 i = 10.

179

1709. Turista je prešao 105 km. Daje dnevno prelazio po 6 km manje, na

putu bi proveo dva dana više. Koliko kilometara dnevno je prelazio

turista.

1710. Vozeći ravnomemo 15 minuta biciklista je prešao polovinu puta AB.

Drugu polovinu je vozio 6 km/h manje od prvobitne brzine. Tako je

ceo put od A do B prešao za 33 minuta. Odrediti brzinu kretanja bicikliste

i dužinu puta AB.

1711. Ako je ,v: + -rr = 7, izračunati ,v + —.

x'

x

1712. Dat je razlomak čiji je imenilac za 1998 veći od njegovog brojioca.

Ako se đatom razlomku doda - , dobija se razlomak koji je za tri puta

veći od prvog razlomka. Odrediti imenilac i brojilae datog razlomka.

40

1713. Odrediti razlomak koji je jednak razlomku — İ kod koga je zbir brojioca

i imenioca jednak 111.

^

1714. * Ako je x realan broj i ako je x + — = 3, odrediti:

1 1 x

a )* J + — b) x* + — .

x

x

1715. * Rešiti jednačinu -Jx2+ 2.r+ 1+ ~J\-2x + x: = 2 000.

1716. * Ako je nE N, tada je —— -------1----- jednako 0 ili takode pripada

skupu V. Dokazati. ^ 0 ^4 30

1717. Zbir cifara dvocifrenog broja je 11, a ako cifre zamene mesta novi

broj je za 5 veći od trostrukog traženog broja. Odrediti taj broj.

1718. * Cifra desetica trocifrenog broja, čiji je zbir cifara 15, jednaka je 5.

Zamenom mesta cifara stotica i jedinica dobijeni broj je za 39 veći

od dvostrukog prvog broja. Odrediti taj broj.

1719. * Odrediti skup tačaka ( a, v) u Dekartovoj ravni koji zadovoljavaju

relaciju * + |.y|= -y+|_y|.

1720. Težišne duži koje odgovaraju katetama a i 6, pravouglog trougla su

. t + r. 5

ta i th . Dokazati da važi - f---- — = - .

a~ + b 4

1721. Rešiti sistem nejednačina y < a+ 1A x+2y < 2Ay> —2.

180

Okružno takmičenje 1994/95.

Prvi razred

1722. Dokazati da broj koji se u dekadnom zapisu piše korišćenjem jedino

cifara 2 i 6, nije razlika kvadrata dva ćela broja.

1723. Dat je beskonačan skup S parova prirodnih brojeva. Dokazati da u

tom skupu postoje parovi (a, b) i (x, y) takvi da je a < x i b< y.

1724. Kako treba izabrati predznake + ili - ispred brojeva pa da vrcdnosl

izraza ± 1± 2 ± ... ± 1 995 bude što bliža nuli?

1725. Ako svaka dijagonala četvorougla ABCD polovi njegovu površinu,

dokazati daje ABCD paralelogram.

1726. Nad stranicama trougla ABC na spoljnu stranu konstruisani su jednakostranični

trouglovi ADB. BEC i CFA. Dokazati da su duži AE,

BF i CD podudarne i da se seku u jednoj tački.

Republičko takmičenje Novi Sad - 16. mart 1996.

Prvi razred

1727. Za vrhove dva stuba visine II i 15 metara, koji su na rastojanju od

9 m, zakačen je kanap dužine 15 m. Na kanap je okačen težak teg i

pušten da klizi, sve dok se teg ne nađe u najnižoj tački. Na kojoj visini

će se nalaziti tada teg?

1728. Ako su a, b, c, i d pozitivni realni brojevi takvi daje

5a+b 6ci+b . Ici + b n , , %+b

------- = --------- i --------= S, onda, izračunati --------.

5c+d 6c+ d IcArd 9c+ ć/

1729. Neka je n prirodan broj i r/delitelj 2n:. Da li n: - J može biti potpun

kvadrat?

1730. Ali-Baba se nalazi u pećini u kojoj ima zlata i dijamanata. Kilogram

zlata košta 20 dinara, a kilogram dijamanata košta 60 dinara. Na raspolaganju

mu se nalazi jedan kovčeg. Pun kovčeg zlata teži 200 kg,

a pun kovčeg dijamanata teži 40 kg. Težina praznog kovčega je

zanemarljiva. Ali-Baba može da ponese 100 kg. Koliko zlata i koliko

dijamanata treba da ponese Ali-Baba da bi najviše profitirao-’

Okružno takmičenje iz matematike 21.2.98.

Prvi razred

1731. Koliko tročlanih podskupova {a,b,c} ima skup A - {)9,20,....98j,

takvih da je a+ b + c deljivo sa 3 ?

181

1732. Neka su a i b realni brojevi za koje važi

a}-la b 2 = &,

Naći a' -t- b2.

b, -3 a 1b= VöT.

1733. Dokazati da je tačka S centar upisanog kruga trougla ABC ako i

samo ako je aAS+ bBS + cCS = 0, gde su a, b i c dužine odgovarajućih

stranica.

1734. Naći sve složene brojeve n E N koji ne dele proizvod svih prirodnih

brojeva manjih od n .

1735. Neka je dat AABC sa uglovima LA = 50°, LB = 60°, i tačke D i E

na stranicama AB i BC redom, tako da je LDCA = LEAC = 30^

Odrediti LCDE.

Republičko takmičenje Kragujevac - 14. mart 1998.

Prvi razred

1736. a) Rastaviti na činioce izraz: .v4 + x2y~ + j'4.

b) Ispitati da li je broj 9 1996 + 3I WS4- 1 prost.

1737. Neka su a, b,c dati različiti brojevi iz R\ J,0}, i neka je dat izraz

y) = ---------r -------- t ((o ~b)2(c~ x)(c- y) -

(a-xV{a-y)-

~(c—a)2(b — x)(b—y)),

gde x,y ^ a. Dokazati da postoje izrazi / ( a ) i g(y) (tj. takvi da / ne

sadrži y, a g ne sadrži a), tako da se izraz F(.v,y) može, za svako

.v.j’G R, .v^ y, x,yi£ a, prikazati u obliku

V(x,y) = —— ( / ( a:) - g(y)).

x ~ y

1738. Dat je izraz *l*3*3: *33* "-* 3 l9‘,7*3l9gii. Arkadije i Branislav naizmenično

zamenjuju po jednu zvezdicu sa + ili sa —. Branislav nastoji

da broj koji se dobije, posle zamene i poslednje zvezdice, bude

deljiv sa 7. Može li Arkadije da ga spreči u tome ako on prvi igra?

1739. Dat je trouga ABC. Odrediti sve tačke M u njegovoj ravni, tako da

trouglovi ABM.BCM i CAM imaju jednake površine.

1740. Dokazati da osmougao kome su svi unutrašnji uglovi jednaki i kome

su dužine svih stranica racionalni brojevi ima centar simetrije.

182


Prvi razred - A kategorija

1741. Dat je konveksan petougao A,A2A3A4A5. Neka su B,,B:, /?,. B4središta

stranica A,A2, A2A3, A2A4, A4Af redom. Označimo sa M i JV

središta duži B2B4 i B{B3. Odredite odnos dužina duži MN i A,Ay

1742. Dat je polinom

P(x)=x3m' - 2000*1999 + 2000jr'*“ — •+ 2000.t3-2000.x + 2000

Izračunati P(1999).

1743. Koliko ima parova (.v,j1) racionalnih brojeva, lako daje

2.t2 + 5 / = 1?

1744. Dat je skup A. Medu njegovim podskupovima definišemo relaciju —:

X, Y C A, X ~ Y ‘*> X ny*0. Ispitati da li je - refleksivna,

simetrična, asimetrična ili tranzitivna.

1745. Neka je M unutrašnja tačka paralclograma ABCD. Dokazati daje

MA + MB + MC + MD manje od obima paralelograma


Prvi razred - B kategorija

1746. Ako je n prorodan broj veći od dva, dokazati daje broj

nn - 128;jfe+4096

{n3—4n2 + 8/7 —8 ) 2

potpun kvadrat prirodnog broja.

1747. Dat je polinom

P(x) = x 3000 - 2000.rl<w + 2000.rl9,s -••• + 2000aj - 2000.r + 2000.

Izračunati P(1999).

1748. Neka su tačke K i L redom središta stranica CD, i AD kvadrata

ABCD, a S presečna tačka duži BK i CL .

a) Dokazati daje četvorougao ABSL tetivni.

b) Dokazati da je trougao ASB jednokraki

1749. Dat je skup A. Medu njegovim podskupovima definešimo relaciju -

X,YCA, X -~Y XC\Y *0. Ispitati da li jc - refleksivna,

simetrična, asimetrična ili tranzitivna.

1750. Naći sve proste brojeve p takve da su i brojevi 4p~ + 1 i 6p~ + I

prosti.

183

R E Š E NJ A

I

GLAVA

]. LOGIKA I SKUPOVI

1. Sve navedene rečenice su iskazi.

2. a) =. < >; b) <; c) >.

1.1. Osnovne logičke operacije

3. p( 1) = 1: —6 • I + 8 = 3 > 0; netačan;

p( 2) = 2 2- 6 • 2 + 8 = 0; tačan itd.

10 —y

4. Kako je .v = — A .v > 0 A 10 - y > 0 =>v < 10; pošto je v E N i

10 — y

y< 10 => y= 1,2, 3, ...,9a.vE N i x= — -— , onda je y = 2,4,6 i 8,

a x= 4,3,2 i 1. Traženi parovi su: (4,2); (3,4); (3,4); (2,6) i (1,8).

5. a) JL; b) T; c) T, T, T.

6. a) T; b) T; c) ±.

7. a) Broj 3 je jedino rešenje;

b) Svi ćeli brojevi .v delioci broja 6. To su: ±1,± 2. ± 3, ± 6.

c) To su brojevi: 1, 2. 3, 4, 5, 6;

d) Jedinstveno rešenje .v = 4;

e) Data formula ima više rešenja. Sva rešenja date formule je skup

A\JB, gde je skup A = {0,-1,—2,-3,...}, a skup B = {6,7,8,...}.

8. a) .v = 1,2,3; b) .v = - 3 V x = 3; c)*=l,2,3; d).v=6,7.

9. . _ _______ ______________________________ _

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

r{x> 7V r < 4 ) T T T X X X X T T T

[" ' ' '

tU < 9 a .t< 5) T T T T JL X X X X X

r(lv < 7 ) T T X i. X X X X X X

1

rtAr1 = x-x) T T T T T T T T T T

184

p = T, q=T, r = X, s = 1.

a) T; b)T; c) 1; d)T.

a) 1; b) T.

a) T; b) T. p =T, q =T.

p=T, q= L, r = T; a) T; b) 1; c) T.

p ■— T, q = i-, r = T, i = _L, t = JL

a) T; b) T; c) T; d) T.

ci =T; b=L\ c =T; d=L.

a)l; b) J_, c) T.

Prvi način: Sastaviti istinitosne tablice za formulu A, pa na osnovu

toga izvesti zaključak. Kako su kolona L leva strana i kolona D desna

strana u ekvivalenciji,

formula

p <7 pVq p/\: gA: [ T d \ m\

A je tautologija.

Drugi način: Ako

T

T r r - \7 T -'

T 1

pretpostavimo da

T|_±_ X 1 X

formula A nije T X n

T tautologija, onda

T TT

TX1

postoje neke istinitosne

vrednosti

T

T X X XX -T-l T|

slova p, q, z za Xr X T —X 1 TTTJ

koje je A = ±.

Tada bi postojale

--

samo ove mogućnosti:

X 1

— 1 XT

a) (P v <?) A z ~ T i {pb q) V (qA z) = j_;

b) (p V q) A z = 1 i (/?A z) V <r/A z) = T’

Razmotrimo oba slučaja.

a)(jwVr/)Az-T ako je p V q = T i - = ^ (a(ja ,inamo u-j mogućnosti

p = J, q = T i z = T;

2. p = ±. q ~ T i z = T;

3. p = T, q = J- i z = T.

U sva tri slučaja je (p A z) V (q A z) =t, što znači daje pretpostavka

pod a) nemoguća.

Analizirajući slučaj b) (p V q) a z = j. ako je pV q = l i z=r.

imamo tri mogućnosti:

1 . p V q = JL i z = T,

2. pV q = T i z = ±,

± T T T — T TT —1

XXT X X X X H

185

3. /?V^ = l i : = l,

a tada je uvek (p A r ) V (/> A -) = _L. pa je pretpostavka b) nemoguća.

Odakle zaključujemo da formula A ne može imati nikad istinitosnu

vrcđnost X. Dakle, formula A je (antologija.

17. Prvi način: Pomoću tablice istinitosti za formulu A.

a b b - b a h - 'b

A

---1

T T T X L X T

T 1 X

X

T

T

- ____ T .

JL

T

T

X

1 X T T X X T

Drugi način: Ako pretpostavimo da formula A nije tautologija, onda

postoje dve mogućnosti:

a) b) = T i aA~>b = ±\

b) ~‘(a=> b) = _L i aA~‘b = T.

■Analizirajmo slučaj a). Da bi bilo ->(o b) = T treba da je a = T,

b = -L, onda je a A -*A = T. Dakle, pretpostavka pod a) je nelačna

Analizirajmo slučaj b). Da bi važilo ~^(a => b) = X treba daje: a = T,

b = T; a = _L, b = i. i a = -L, b = T. U sva tri slučaja nije a A -‘b = T,

dakle, pretpostavka pod b) je netačna. Znači formula A je tautologija.

18. a) Iskazi p i q su dve osnovne promenljive veličine od kojih treba

a) b)

P <7 p V q (pV^).Vıy

T T T T

P <t r p V q ( p V ? ) V r

T T T T T

T X T T

X T T T

X X X X

sastaviti sve moguće kombinacije

od T i X. Tablice istinitosti za

iskaze p.q,pVq i (/jVr/jVc/

date su u tabeli a), i to za svaki

iskaz u odgovarajućoj koloni istim

redom.

T T X T T

T X T T T

T X X T T

X T T T T

X T X T T

X X T X T

X X X X X

186

b) Tablica istinitosti za iskaz (p V q) v /-je nešto složenija, pajc broj

mogućnosti 8, jer se javljaju tri osnovne promenljive, te se u tablici

istinitosti javlja 8 vrsta. Tablica istinitosti datog iskaza je tabela b).

19. Analogno prethodnom zadatku sastaviti tablicu istinitosti za svaki iskaz.

20. Tablica istinitosti za formulu pod a) data je tabelom.

p <7 "’ <7 p*>q

T T X T i T T

T 1 T ± T 1 T

J. T 1 T 1 T T

T T 1 T

\

Dakle, ova formula je tautologija.

21. Analogno prethodnom zadatku sastaviti tablice istinitosti itd.

1.2. Osnovne skupovne operacije

22. x = 0,1,2,3.

23. card S = 4.

24. Qf\R {A,B,H,0,P,C,EJ,K, M\.

25. a) A= {3,4,5,6,7,8}, B = {0,1,2....,8};

b) AHB = {3.4,5.6,7,8}, £ \A = {0.1,2}.

26. A C\B = N , tj. skup prirodnih brojeva.

27. a) Sva tvrđenja su netačna.

28. a) {3,6,12}; b) A\ c) {1,2,4,8,16,32}; d) 0. e) A.

29. aj P = {7}; b) skup P je prazan za svako m* 2.

30. a = \, b — 2. c — 2, d = 4.

31. A = {0,4,6,8,9},

B = {0,2,4}, /l U Z? = {0,2,4,6,8.9}, AC\B = {0,6,8},

A\B = {6,8,9}, B \ A = {2}.

P(A\B) = {0, {6}, {8}, {9}, {6,8}, {6,9}, {8,9}, ¡6.8.9} !■

32. A = {0,6,12}, B = {0,2,6,8} itd.

33. P= {a,c,f,g,h); Q = {b,c,d,e,f,h}.

34. A = {2,3,4,5,6,7,8}, B —{1,3,6,8}.

187

35. Prva i peta su tačne, ostale su netačne.

36. Bez uputstva.

37. i W = {2,4.6.7.9}.

38. .1 = {1,3,4,5,6!. & = i6}, C = i2.4}.

39. 1° a) AUB = {a, b,c\e,f,hj};

b) AHB= [a,c,f\\

c ) BUC= ja, b,c,d,e,f ,h,i\;

d

) Bnc = {b);

e) .4UC = {a,h,c,d,e,f,h}[

0 A n C = {e, h)\

g) .-IU(j9U O = {a,b,c,đ,e,f,h,i}‘,

h) A fl (B fl C) = {a, b, c,e,/, /?};

i) / i u i s n a = 0.

2°a) A = {b,d,g,i);

b) 5 = \d,e,g,h)-,

c) C —{a,c,/,g,i\;

d) Cs(A\JB)={d,g};

e) Ci(zfUC)={g,M;

f) Cs(*UC)={g};

g) C,(A(~\B)= {b.d.e, g, h,i};

h) Cv(^PlC)= {ct, b,c. d, f,g,i}]

i) Cs(AU(B\JC))={g\-,

j ) C,(^D{finC)) = 5;

k) CA.(id U (8 nC)) =

3°Kako je_i4n5flC = 0; =0; AHB DC = {a,c,f};

ADB flC =0. tvrđenje je tačno.

40. Ovde treba dokazati da za urtiju i presek dva skupa važe de Morganovi

zakoni. Dokaz možemo izvesti na više načina: grafički, računski

i pomoću tablice istinitosti.

Dokaz obrasca (1):

Prvi način: Koristeći Ojler-Venove dijagrame (si. 6) dokaz se lako

izvodi.

Drugi način: Koristeći simbole matematičke logike, definiciju, unije,

preseka i jednakost skupova, imamo lanac ekvivalencija:

.vGMUSj'o jcGSA (ADB)

.vGSA -’(.xG AUB)

•» vG S A -’(jrG A U xG B)

188

° xESA(x$AA x <£B)

«> U 6 S A ,v<£ A) A (xESA x <£B)

o x E A' A xEB’

x £ (zi'fljEJ'). Kraj dokaza.

SI. ć

Treći način: Pomoću tabiice istinitosti:

xeA x<=B ,v 6 (/i U B I xe(AUBj xeA' j e b' xSA'r\B'

T T T X ± X

T X T X X T X

X T T X T X ±

X J. JL

T T

T T

Dokaz obrasca (2):

Prvi način: grafički prikaz rešenja koristeći Ojler-Venove dijagrame

(si. 7).

J-

SI. 7

Drugi način: Koristeći simbole matematičke logike i definicije, un j

preseka i jednakosti skupova imamo:

xE(AUB)'o xES A x<£ (AC\B)

o XESA^(xEADB)

189

o xG S A i . v e AAxE.B)

xE S A{x<£ AV x£B )

o (.v e S A .Vk A) V (.V G S A .v £ B)

o xE A’V :xG B'

o

,v6 {A1U B'), što je i trebalo dokazati.

Treći način: Dokaz je prikazan tabelom:

T T X X X

T 1 1 1 T ± T j. 1 X ± ± T T T T

tG.-I x BB .vet.-mfi) .r 6 (/t C\B) xeh x e (A u s )!

Iz tabele se vidi daje kolona ,v£ (A ClB)' ima istu istinitosnu vrednost,

kao i kolona .rG (/T U flj, stoje i trebalo dokazati.

41. A = {1,2,2,4,6,12}; B = {1,2,3,6,9,18}; C = {1,2,3,6,10,15,30}.

42. Razlika B \ C = {6}, A \ ( B \C ) = {1,2,3}. Kako je A\B = {1,2} i

/inC = {l,3}, to izlazi da je (A \ B) U (A flC ) = {1,2}

U{1,3) = {1,2,3}. Data skupovna jednakost je tačna.

43. Polazimo od ekvivalencije, odakle sledi lanac ekvivalencija:

x e ( A \ ( B \ C ) ) o ( x G A A ari ( B \C ) )

(.v G A A ->(x £ B A .v £ C ))

» ( r G A A (.vi B V .vGC))

o (a G A A x Č 5 ) V ( * E A A a E C )

o ( . v G / l \ 5 ) U ( . t G / i n C )

o a G (A \ B) U (A HC). Kraj dokaza.

44. Skup S ima dva elementa. To su 0 i {0}. Partitivan skup je

P(S)= {0,{0},{{0}},{0{0}}}.

45. a) Skup A = {1,2,3,4,5},skupB = {2,4,6,7}. RazlikaB\C = {2,6,7},

a A \ (BAC) = {4,5}, a razlika (BAC) \ A = {6,7,8}. Odatle sledi

(1) AA(BAC) = {4,5,6,7,8}. Razlika A\B = {1,3,5} iB \A = {6,7}.

Simetrična razlika AAB = {1,3,5,6,7}. Razlika C $/lA B ) = {4,8} i

(zlAB) \ C = {5,6,7}, odakle

(2) (A A C )A C = {4,5,6,7,8}.

Iz (1) i (2) sledi daje data jednakost tačna.

b) Dokaz je prikazan sledećom tabelom pripadanja. Iz kolone L (leva

strana) i kolone D (desna strana) sledi da je tvrđenje tačno.

190

A B c BhC 1. Mfl 0

e e e E 6 e

£ e E e E £ E

e E e e E E

e E E i e E E

E e e i E 6 E

46. Bez uputstva.

47. 770 učenika.

E e E e e e E

E E E e e E e

E E E E E E E

48. {5,7,9,15}.

49. Bez uputstva.

50. a )L = {a,b,c,d,e}\{b,d,f,g,m ,n\V {a,c,d,f,r,s\ = | a,b,c,d,e)

\a ,b ,c ,d ,f,g ym,n,r,s} = {<?}.

D = ({a1b,c,d,e} \ {b,d,f,g,m,n})C\({a,b,c,d\ \ {a,c,d,f ,r,s$ =

{a,c,e} Pl {b,e\ = {e}.

Kako je leva strana L jednaka desnoj D, tvrđenje je tačno.

51. Dokaz se izvodi po definiciji, tj.

(rG AU(AnB))<*(,xE AV xE AHB)

» .v G /lV (.v G A/\xEB)*>xEA* AU(ADB) = A.

Drugi zakon: xE (/in(,4UZ?))<» xE ,4A.y£(/IU S )

o.Y G ^ A (.re,lV .rG fi)o,tG .-l= > /i HM UZ?) = A.

52. A = {I,3,6},Ž? = {2,3},D = {1,3},* = {1,2,3,4,5} ili

* = {1,2,3,4,4,6} = A, y= {2,3,6}, z = {1,2,6}.

53. A = {—5,3,7,13}.

54. A = {b ,c,e,f},B = {b,d,e),C = [a,b,f).

55. Tvrđenje je tačno.

56. A = {1,2,3,4,6,12}, B = {1,2,4,5,10,20}, C = {1,2,4.8.16,32}.

a) A \ ( B U C ) = {3,6,12}; d) (B\C)fl.4 = 0.

57. T = {(b,a);(a,c);(b,c);(b,d)-,(e,c)}-

58. Nije, jer (y ,c )< £ A x B već (y ,c )E B x A ; (0,b)<$AxB već

( P ,b ) E B x A .

191

59. a) A x B =

{(aPo:);(ii,j8);(ii,y);(6.ir);(61^);(i,y);(c,a);(c,/J);(c,y)};

b) (AxB)xC =

{((i7.a).l);((a,«),2);((/>,a),l);((6,tf ),2);((t\cf),l):((c\er),2);

((a,/?),l);((a,/J),2);((i,/S),l);((i,/f),2);((c,/?).l);((c,/?),2);

((a,y),l);((a,y),2);((6,y),l);((6,y),2);((c,y),l);((i‘, y),2)}.

60. a) Imamo 2J - 16 pođskupova, tj. dva trivijalna 0 i B. 4 jednoćlana,

6 dvočlanih. 4 tročlana, i to su svi članovi skupa P(B):

b) P(A) ima takođe 24 = 16 podskupva;

c) P (A )n P (B )= {0 ,{c \A đ }A f)A c ,d },{c ,f\,{d ,f},{c ,d J}}-,

d) P((C,A)n(CxB))={0,{b}\.

61. X, = ¡2,3} ili X 2 = {2,3,4} ili X 3= {2,3,5} ili X A= {2,3,4.5}.

Y = {2,3,5}; X,\Y = 0, X : \Y= {4}; X ,\Y = 0, X A\Y = {4}

62. ,V, = {4,5}, X : = {4,5,6}, A'3 = {4,5,7}, = {4,5,6,7}.

63. a) A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,3,4,6}.

b) A= {2,3,4,5}, B = {1,3,4,5}.

64. a) PAQ = {4,5,7}; b) 0/±P = PAO = {4,5.7};

c) <PAg)A0 = P; d) {1,2,3}.

65. A' = {o.c,/} = S , 5 '= {b,d,e,g} - A.

66. />' = {x|.ve N \P) = {x\x = 2k — \,k G N}.

A', = {4,5,7}, X 2 = {4,5,6,7},

Jf, = {3,4,5,6,7} itd.

y, = {2,3,6}, y, = {2,3,4,6},

y3 = {2,3,5,6} itd.

68. Skup A = {2,3,7,13},

a B = {2,3,5,) 1}. sve tri

relacije su tačne.

69. a) 4; b) 18; c) 5 (si. 8). Si 8

70. Pri dokazivanju skupovnih jednakosti koristi se definicija jednakosti

dtj

dva skupa, tj. A = B‘»A Q B f\B Q A (dva skupa su jednaka ako, i

samo ako. svaki član jednog skupa je član i drugog skupa i obratno).

Dokaz skupovne jednakosti pod f). Data jednakost je:

(V .r)(jcG C \(/4 n 5 )o ,r£ (C \/!)U (C \B ).

(Koristiti definiciju unije, preseka i razlike skupova.)

192

(Vx)OteCA;c<č(/in£)o x e (C \^ )v jte(c\fi).

(Ponovo se koriste definicije unije, preseka i razlike skupova.)

( V ij(.r£ C A i.v E A A X E B <» (xECAx& A)V(xECAx(£B)

(Vx)(xEC A (.v i A V x& fl)» (.v £ C A .T i A)V(xECAx&B)

(F) (V.r)cA (-,a v —16) o (cA 1zj)v (cA->A).

Formule xE A,xE B,xE C označene su redom sa a,b,c. Kako je

formula (F) tautologija, što se lako proverava, ovim je dokazana skupovna

jednakost pof f). Slično se dokazuju i ostale.

Dokaz skupovne jednakosti pod h):

AX(BC\C) = (AxB)C\(AXC), ako i samo ako

(Vx)(;tE /4x(i?nC )«* .vE(/lx5}n{zlxC)). Ovde smo koristili

jednakost skupova. U sledećem koraku ćemo koristiti definiciju

Dekartovog proizvoda. Činjenica da neki element xpripada Dekanovom

proizvodu nekih skupova znači da je x uređen par, recimo

x = (y, z) tj. Da prva koordinata y pripada prvom skupu, a druga z

drugom skupu. Dakle, jednakost koju dokazujemo tačna je ako važe

ekvivalencije:

(Vv)(Vz)(Ê AA zEBHC) v,z)E AxB A(y,z)E AxC.

(Korišćena definicija Dekartovog proizvoda i preseka.)

(Vy)(Vz)(j>E A A(z E B A z E C))

o O 'E A A zE B)A(yE A A zEC).

(Korišćene definicije preseka i Dekartovog proizvoda.)

Ako sa p označimo y E A, sa q z E C i sa r z E C, za dokaz date skupovne

jednakosti treba dokazati da je iskazna formula

pA(qAr)** {pAq)A(pAr) tautologija. Što se lako dokazuje pomoću

tablice.

71. Na kursu ima 38 slušalaca; dva jezika uči 15 slušalaca.

72. 5 = {3,5,6,11},* = 5.

73. A X B = {(«,*);(*,□); (A,*);(*,□); (c,*); (^P)}: (si- 9)-

( a.D ) (b, □) (c.D)

□ C-- — — -9------------ - -9- ------

1 1

B

A

i( a, *) !(b,*

- ------

1

1

1

1

___1_____

: i :

------------

1

A

a

1

¿

b

r

i A x 0

1

C

193

74. A*B= {(0,fl);(0,6);(0,c);(l,fl);(l,*);(l,c);(2,fl);(2,6);(2ic)}.

Bx A= {(ij,0);(ij,l);(ij,2);{6,0);(i>,i); (¿’,2);(c,0);(c, 1);(c,2)}.

Njihovi grafovi dati su na slici 10.

75. A' = A x A = {(.a,a);(a,b)-(a,c);(b,a);(b,b);(b,c);(c,a);;

(c,6);(c,c)}.

76.

b) (l’2I3);Ćl,2,4);(l,2,)5);( 1*3,4);( 1,3,5);(1,4,5); ’

(2,3,4);(2,3,5);(2,4,5);(3,4,5).

77. {1,2,3}.

78. a ) ( ^ x ^ ) n ( f ix f l) = { ( 6 >6);(6,c);(c,c);(c,6)}.

b) (y 4 x .4 )n (/Jx £ ) = {(<?,£); (fl,c);(6,6);(6,c);(c,A);(c,c)}.

79. /i = {1,4,7,10},5 = {0,10},C = -¡10,12}, AU(BnC)=A,

B \(A(1C) = {10},

P(C\(AUB))= {0,12},

Bx A = {(0,1); (0,4);(0,7);(0,10);(10,1);(10,4); (10,7);(10,10)}.

80. A = {0,6,12},5 = {0,6,12},C = {6,8,10,12}.

81. p={(l,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,6)};

(si. 11).

1.3. Relacije i funkcije

SI. II

82. p = {(1>1);(2,2);(3,3);(4,4);(1,2);(1,3);(1,4);(214);(3,4)}.

83. p = {(0,10);(1,9);(2,9);(3,7);(4,6);(5,5);(6,4)^7,3);(8,2);(9,1);

(10,10)}.

84. a) p = {(—2,—1); ( 2,0);( 2,1);(—2,1);(—2,2);(—2,3);(—1,0);

.... (2,3;)};

c) P = {(—2,—2); (—1,—1);(0,0);(1,1);(2,2);(—1,1);(—1,1);(—2,2;)};

refleksivna i simetrična.

d) p = {(-1,3); (0,2);(1,1);(2,0);(3,—1 )} simetrična.

85. Relacija p = {(-1,-1); (0,0); (1,1)}

V.vG^l je (* ,* )G p (-l,-l)G p ,(0 ,0 )G p ,(l,l)G p , pa je refleksivna

(si. 12). Na grafu svaki element

skupa A ima petlju, te nam ta petlja pokazuje

da je p refleksivna.

SI 12

86. 1° Relacija p je refleksivna, jer je V.vG S:3|(.v- *)=> 3|0 (nula je deljiva

sa svakim brojem, pa i sa 3).

2°Relacija p je simetrična ako je 3|(.t-_y)=> x-y= 3 k, onda je

y - x = - ( x - y ) = -2k = 3 (~k), tj. 3\y-x, pa je

3|jc— 3|>- —jci x,yES.

3° Relacija je tranzitivna ako je:

3 |(jr—y)/\ 3|(_p- z) => x —y= 3A A y—z = 3m, onda je

x— z = x — y+ y — z = 3A + 'im— 3(A + m) = 3n, tj. 31(j: —r ),

pa je 3)(x—y)A 3|(.y—z) => 3|(jc- z); x,y,zES, znači pje relacija

ekvivalencije.

Relacija p je razbila (rastavila) skup S na tri podskupa:

S0 = {3,6,9,12} = {x|jt= 3k,kES),

5, = {1,4,7,10} = {x\x = 3k + lkE S\,

S, = {2,5,8,11} = {x|x = 3A + 2,k E S], tj.

skup S je pomoću relacije p rastavljen na tri klase ekvivalencije. Prvu

klasu čine brojevi skupa S deljivi sa 3; drugu klasu ekvivalencije čine

članovi skupaS, koji prideljenjusa3daju ostatak 1i treću klasu čine

brojevi koji pri deljenju sa 3 daju ostatak 2, pa je količnički skup u

oznaci S / p = {¿'„.Sj ,S3}, (si. 13).

195

87. Analogno prethodnom primeru pokazuje se da je p relacija ekvivalencije.

Klase ekvivalencije su:

Z0 = {0,±3,±6,,..} = {3A|A'G Z};

Z, = - 5 - 2 , 1,4,7,...} = {3k + l|Ar G Z) i

Z, = {—4,—1,2,5,8,.,.} = {3A + 2|A G 2), pa je količnički skup:

Z ! p= {Z0,Z ,,Z 2}.

88. Dokaz daje data relacija klasa ekvivalencije izvodi se kao u prethodnom

zadatku. Klase ekvivalencije su:

Z0 = {5*1* G 2} = 0; Z, = {5* + 1|A 6 Z ) = 1;

Zj = {5 k + 2\k G Z ) = 2;Z , = {5/t + 3|A* G Z |= 3 i

Zj = {5A + 4|A G Z} = 4 .

Prema tome, količnički skup je

Z i p= {Z0,Z (,Z ,,Z j,Z 4} = jo, 1,2,3,4 j.

89. Klase ekvivalencije su: Z0 = {4}; Z, = {1,5,9}; Z2 = {2}; i

Zj = 13,7,11}; a količnički skup je

Z / p = { Z 0,Z 1,Z s>Z3} = |i,2 ,3 ,4 |.

90. Svaki se prirodan broj može napisati u obliku n = lq + r, gde je

r = 0,1,2,3,4,5,6. Ta relacija je refleksivna, simetrična i tranzitivna.

Klase ekvivalencije imaju za predstavnike r. Imamo 7 klasa ekvivalencije:

0 ,i,2,3.4,5,6:

0 = {0,7,14,...} = {* = 7r/ + 0},

"l = {1,18,15,...} = {* = 7 4-1},

2 = {2,9,16,...} = { * = 7 9 + 2},

196

6 = {6,13,29,...} = {« = 7(7+ 6},

Količnički skup N lp = jo,l,2,3,4,5,6j.

9 1 . a ) ( /° g ) 6 = 9 5 ; b) ( / o g ) w = \2,n + 23;

c )(g ° /> 6 = 9 8 ; d ) ( g 0/) w = l2 * ;+ 6 .

92. a) / 2 - / » / = / ( * 2- 4 .y+ 5) = (,r 2 - 4 * + 5)2-

4(jc2 - 4x+ 5)+ 5= ** - 8a:3 + 22xz - 24* + 10;

b) g : = 9je—16; c) f ° g = 4*: - 20*+26;

d) g ° f = 3*‘ - 12*+ 11.

93. Poznato je da proizvod funkcija nije komutativan. ali za ove dve važi,

tj.(/ o g)x = 32** - 48*4 + 18*: - 1;

[g°f)x= 32*6 - 48*4 + 18*: - J. Dakle, važi / °g = g»f.

94. Ta relacija je antirefleksivna, jer nijedan čovek ne pozdravlja samog

sebe. Ta relacija nije ni simetrična, jer ako x pozdravi prvi y, y ne

pozdravi prvi x. Relacija je antisimetrična. Ako x mora da pozdravi

prvi y, y mora prvi da pozdravi z, to x mora prvi da pozdravi z. Relacija

p je tranzitivna.

95. Primedba 1. Preslikavanje je 1-1 (jedan-jedan) ukoliko različitim

likovima*,,*, uvek odgovaraju različite slike /(* , ),/(*,), tj. za sve

*i ,*2 iz domena važi implikacija

(1) *, * * ,= > / ( * ,) * / ( * ,) .

Često se za dokaz koristi kontrapozicija implikacije (1), tj.

(2) / ( * ,) = /(* ,)= > =x2.

Za dato preslikavanje, ako se pimeni (2) imamo

3*| - 2 = 3*, - 2 o 3*, = 3*, <=>*,= *,. Dakle, preslikavanje je 1-1.

Primedba 2. Preslikavanje je ako svaki realan broj a je slika bar jednog

realnog broja *, tj. Va€ R,(3xE R),f(x) = a. Jednačma

197

102.

_ x + 5

, g - ‘( x ) = A' + 3

a) / ' ( * ) — 3

b) / 0 g = /(g O )) = f(5x— 3) = 3(5x- 3)- 5 = 14,

g ° / = (g(/(-v)) = g (3 x -5 ) = I5 x - 28;

. n p. -i _ -x+ 28 5.V + 2

103. a) /{ .r)= 5.v—8; b) / ( , ) = * i ± i l c) /( X ) “ 8 " *

2

d) /( * ) = 2x + 1.

13—3r 5 —

104. a) f{x) = 3x —1, g(x) = — — b) f ~ ' ° g ' j ‘

105. Ako se uvede smena - = / data jednačina

* t

(1) / ( * ) + 2 /f~ ] = x, svodi se na oblik / ( " 1 + 2 /U ) ,

(2) / y + 2 / ( x ) = - .

Iz (1) i (2) dobija se / ( x ) = - —— ( x * 0).

3x

b) /(-v) = - i - ( x ^ 0;1); c) /( x ) = (x * “ i U-

l - x x —1 ^

x + 2 11 r —fi 2 -1 x

106. a ) /( x ) = 7T-T-7; b ) /( * ) = c) / ( * ) =

6x + 4’

9x—10’ 13x —5

3—x

d)/(x ) =

3 x - l

107. a) /(x ) = ^ (x - - l) , g(x) = - i ( 2 x 2 + 3x+ 1);

D 3

. x 2- 4x4-1 x 2 —3x+ 1

b) /( x ) = ---- ----------- , g(*) = ----------;— , (x * 1);

1 —x

x —1

2x

c) /( * ) = - 2 . g(x) = — j-, (x * 1;2).

1

108. f(x) = - ,g ( x ) = l ,f ° g = g ° f = \.

198

1234 2134 3124 4123

1243 2142 3142 4132

1324 2314 3214 4213

1342 2341 3241 4231

1423 2413 3412 4312

1432 2431 3421 4321.

64357 64537 64735

64375 64573 64753.

P(5) = 5!= 120.

1.3. Elementi kombinatorike

a) 7! = 5040; b) 5! = 120; c) 4! = 24.

a) 5! = 120; b) 5!-4! = 2880.

Ima 15 brojeva, i to su:1054, 1450. 4051, 4150. 2053, 2350. 3052,

3250, 1152, 1351, 3151. 2251, 2152, 1252, 5050.

Medu 567 brojeva ima 9 jednocifrenih, 90 dvocifrenih i 468 trocifrenih.

Dakle, 9 • 1+ 90 ■2 + 468 -3=1593 cifre.

Najviše trouglova ima ako su svake tri tačke sa raznih pravih nekolineame.

Tada trouglove dobijamo međusobnim povezivanjem.

Takvih trouglova ima 5-5-5= 125, ili tako što za osnovicu uzimamo

duž na jednoj od pravih, takvih trouglova ima 10-10= 100 sa osnovicom

na jednoj pravoj - ukupno 3 -100 = 300. Prema tome, najveći

mogući broj trouglova je 125 + 300 = 425 trouglova.

Ima ukupno 10 pravih: AE, AF, BE, BF, CE, CF. DE, DF i prave a i b.

n j | j

Ako je bilo n gostiju, tada je broj rukovanja --------- = 136«»

n (n + l) = 16 • 17 => « = 16 V n+ 1 = I 7«» rt = 16, bilo Je 16 gostiju.

Milan 17-ti.

Odaberimo bilo koju pravu kvadratne mreže. Kako je na njoj 7

tačaka, to je ukupan broj duži (7 -6): 2 = 21. Kako takvih pravih ima

1 4 -7 horizontalnih i 7 vertikalnih, ukupan broj duži je 21 • 14 + 294

Od uočenih duži 6 ima I cm, 5 duži 2 cm, 4 duži ima 3 cm, 3 duži

4 cm, 2 duži 5 cm i samo 1 duž 6 cm. Ukupan broj kvadrata je:

6-6 + S -5 + 4 -4 + 3 -3 + 2 -2 + 1-1 = 91 kvadrat.

Potrebno je najviše 3 tega, i to od 1,3 i 9 kg, jer je 1= 1; 2 = 3 -1;

3=3; 4=3+1; 5 = 9 -3 —1; 6 = 9 -3 ; 7 = 9 + 1-3 ; 8 = 9 -1 ; 9=9.

10=9+1; 11=9+ 3-1; 12=9+3 i 13=9+3+1.

199

121.

122.

123.

1 2 4 .

1 2 5 .

1 2 6 .

1 2 7 .

1 2 8 .

129.

130.

1 3 1 .

1 3 2 .

J U ‘ y

Ako prave klase p presečemo prava ma klase q imamo —^— + 45

duži od kojih je svaka osnovica jednog paralelograma. Na svakoj

6 *5

pravoj klase p imamo —— = 15 duži od kojih se svaka može kombinovati

sa svakom duži iz prethodne klase. Ukupan broj paralelograma

je 15-45 = 675.

a) Stolice „biraju” đake na 7 -6-5-4-3 = 2 520 načina;

b) Đaci „biraju” stolice na 9-8-7-6-5-4-3 = 181 440 načina

Ako bi 0 mogla biti na početku, tada se broj parnih cifara može

poredati na 4! načina, pri čemu svakom od tih rasporeda odgovara 3!

rasporeda parnih cifara, tj. bilo bi 41-31 + 144 rasporeda. KakoOiie

može biti na početku, treba oduzeli 2 ?■3! = 12 rasporeda, pa je

traženi broj 144—12=132 rasporeda.

a) 5-6-6 ■6 = 1080; b) 5-5-4-3 = 300; c) 5-6-6-2= 360.

a) 6-7-7 -7-7 = 14 406; b) 6-6-5-4-3 = 2 160;

c) 6 -7 -7 -7 -5 = 10290.

a) 10 belih + 30 plavih + 3 crvene = 43 kuglice;

b) 30 plavih + 20 crvenih + I bela = 51 kuglica;

c) 2 bele + 2 crvene + 2 plave + 1 = 7 kuglica.

Vf —

„ = 11, ¿ = 7.

= 1974024 načina.

= 300 različitih brojeva.

-1 - —1 h= 124.

10-9

Od 10 crvenih tačaka može se konstruisati ------ = 45 duži sa crve-

2

nim krajevima. Svaka od tih duži može se kombinovati sa 8 plavih tačaka

tako da dobijamo 45 - 8 = 360 trouglova. Slično imamo - y = 28

plavih duži i 28 • 10 = 280 trouglova sa dva plava i jednim crvenim

temenom. Ukupan broj traženih trouglova je 360 + 280 = 640.

Knjige iz matematike međusobno se raspoređuju na 5-4-3-2-1 = 120

načina, iz fizike 4 • 3 • 2 • 1 = 24 načina i iz hernije 3 • 2 • 1= 6 načina.

Kako sa oblastima ima 6 mogućih rasporeda

MFH, MHF, FMH,FHM,HFM, HNF

to je ukupan broj 6 • 120 ■24 • 6 = 103 680 rasporeda.

200

133. Na osnovu pretpostavke imamo

n(n~ !)(« - 2) _ ? «(« —1) - ---- -— n = 8. Dakle, 28 pravih, 56 ravni.

6

134. a) 380; b) 10 302; c) «; d) ( n - 2)(n —1).

135. a) «! < 1000 => n < 6; b) n!> 500 =t>« > 6; c) « S5.

136. a) P(6) —P(5) = 6 !- 5! = 600;

b) 5! + 5 !+ 5 !-4 !—41=312.

137. V* = 4 -3 = 12, 12 21 31 41

13 23 32 42

14 24 34 43.

138. V,5 + Vi + Vi + Vi + Vi = 325.

139. 2-Vl = 2-7-6-5 = 420.

140. 3 024.

141. V? = 35-34= 1190.

142. Elementi skupa M su: 2.3,5,7,11, broj traženih brojeva je 20.

143. a) Data jednačina ekvivalentna je jednačini «(« —t) = 5-4. Kako su«

i « —1uzastopni prirodni brojevi, ona je tačna za n = 5 i n - 1= 4, tj

jednačina ima jedinstveno rešenje u skupu prirodnih brojeva « = 5.

b) Data jednačina ekvivalentna je jednačini «(« - 1)(« - 2)= 6-5-4.

kako su « ,« —1 i n—2 tri uzastopna prirodna broja to je «=6,

n —1= 5 i n —2 = 4 => n = 6;

c) « = 5; d) n = 5.

144. Traženi brojevi su četvorocifreni /?,, petocifreni B}, šestocifreni

B4 = Vi ~Vl = 3 00,= Vi - Vi - 600.

Broj svih traženih prirodnih brojeva je 300 + 600 + 600=1500, (Odu-

***». jeanacina---------- = 40 eavivaientna je jednačini «(«-11= 10-9.

njeno jedinstveno rešenje je « = 10.

150. 64 podskupova.

151. C'l = 220.

201

152.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

161.

162.

163.

a)C,s- 5 = 5; b) C ^ - ! 2 = 54; e)C,:o- 2 0 = 170;

JS n(n-l) n(n-3)

d) l , - n = -----------n —— —— .

2 2

C j' —6■ 3 = 202 ravni.

\6\(20\ . (\6\(20

= 54060.

2 12 1 1 1

Postoje samo sledeće mogućnosti da se broj 5 napiše kao zbir 5 prirodnih

brojeva: 5=5+0+0+0+0, 5=4+1 +0+0+0, 5=3+2+0+0+0,

5=3+1+1+0+0, 5=2+2+1+0+0, 5=2+l+l+l+0 i 5=1+1+1+1+1. U

svakom od ovih slučajeva izračunavamo broj svih mogućih rasporeda

(radi se o pennutacijama sa ponavljanjem) i od njega oduzimamo

broj onih rasporeda koji počinju nulom:

5! 5! 5! 5! 5! 5! 5!

----(----- 1----- 1----------1----------1----- 1------

4! 3! 3! 2!-2! 21-2! 3! 5!

( 4 \ 41 41 4 ! 4 \ 4O

——h — + -— H----- \-----t- —

3! 2! 2! 2! 2! 3lJ

= 70. Dakle, 70 brojeva.

Traženi brojevi mogu biti jednocifreni Blt dvocifreni B2, trocifreni

j93, četvorocifreni i petocifreni55, a ovi rasporedi od dalih brojeva

su varijacije sa ponavljanjem, pa je:

s, = Kf - 1 = 5,

—6 —t

B2=Vi -V i = 6' —6 =30,

b ] = 65- 6 - = 180,

BA=V l-V } = 6*-63 = 1080,

5 J = k 't - K ' = 6i - 6 ‘ = 6480.

Ukupno prirodnih brojeva je: 5+30+180+1 080 + 6 480=7 775 (gde

su oduzeti brojevi koji počinju sa nulom),

a) 6!—51=600; b) 5!+5! + 5! —4! —4! —4! = 288.

a) Data jednačina ekvivalentna! je jednačini n(n— 1)= 15-14, odakle

sledi da je n = 15 ili n —1 = 14, pa je n = 15;

b) n =31; c) n =23.

a)» <9; b )n > 9 ; c) k < 10.

k= 6. /t =15.

= 312 = 531 441; b) 37 = 2 1S7; c) 3! -27 = 31 104.

a) 210; b) 71 = 5 040.

202

a) Svi petocifreni brojevi koji se mogu formirati od elemenata skupa

S mogu sc graditi kao permutacjje bez ponavljanja od sledećth

podskupova skupa S. 5, = {1,2,3,4,51; 5, = {0,2.3,4,5|;

Sj = (0.1,3,4,5}; 5, = {0,1,2,4,5};5S= {0,1,2,3,5} i5 , = ¡0.3.2,3,4}.

Kako brojevi deljivi sa 6 moraju biti parni i deljivi sa 3. a brojevi

deijivi sa 3 moraju imati takve cifre daje njihov zbir takođe deljiv sa

3, zaključujemo da jedino skupovi 5, i SAsadrže takve cifre. Od svih

permutacija koje se mogu formirati od elemenata skupa 5, dolaze u

obzir samo one koje se završavaju brojem 2 ili brojem 4 i njih ima

414-4! =48.

Analogno, pemiutacije elemenata skupa St dolaze u obzir samo kad

završavaju brojevima 0,2 i 4, ali pemiutacije koje počinju nulom a

završavaju se sa 2 i 4 nisu petocifreni brojevi, pa ih treba oduzeti.

Broj permutacija koje završavaju sa 2 i 4 je 2(4!-3!) =36. Ukupan

broj petocifrenih brojeva deljivih sa 6 je

4!-M!+4!+2(4!—3!)=108.

b) 4I+41+4!—3!=66.

Na osnovu pretpostavke sledi da je

n(n—3) „ .

- — ---- + n = 153 » n(n- 1) = 18 ■17 « n = 18, tj mnogougao je

osamnaestougao.

Broj različitih trouglova koji su određeni temenima osamnaestougla

je C jB= ( *^] = 816 trouglova.

Ako je a„ unutrašnji a fin spoljašnji ugao pravilnog mnogougla, na

osnovu pretpostavke je

1 . (/j —2)-180° 360° . in „

~a„ = /?„ ■=■----------------= ------ o w -2= 10< »/i= 12.

5 " Hn 5n n

Mnogougao je dvanaestougao. Broj različitih pravih je

66 pravih.

To su četvorocifreni brojevi koji počinju sa 3,4,5 i 6, a to su varijacije

treće klase od n elemenata, tj.

4-v; = 1344* /j(h-1 )(/j- 2) = 366* ,,(n- l)(n-2) = 8-7-6 <=>

«=8. Skup A ima devet cifara, A = (0,1,2,...,8}

C; = 4 5 5 ~ «(«—l)(n —2) = 2 7 3 0 /i(n —l)(n - 2) = 15-14-13 o

n= 15v n —1= 14 V n —2 = 13 => n = 15. Card5=15.

C ; = 364 » ( / j — l ) ( / 7 — 2) = 2184 o n(n—l ) ( w - 21 = 141312

* n - 1 4 V n - 1= 1 3 V n -2 = 12 o n = 14. Card S = 14.

203

II

G L A V A

2. UVOD U GEOMETRIJU. VEKTORI

2.1. TaČka, prava, ravan, odnosi pripadanja i rasporeda

170.

a) Broj različitih pravih određenih datim tačkama je:

C\ = (2) = = 6, i to su: {A,B} C ii,, {A,C} C att {A,D} C flj,

174.

175.

176.

177.

178.

179.

180.

181.

182.

183.

{fi,C}Ca4, [B ,D \C a „ {C ,D )C a 6.

Broj ravni određenih sa 5 nekomplanamih tačaka je

5-4-3

= 10. Odrediti sve ravni analogno zadatku 151.

1-2-3

Određeno je 6 ravni, i to: {a,b\ C a t, {A,B,C} C a 2, {a,C} C av

{b,C} C a A, {e,A} G a s>jc.fi} G a 6.

Određeno je 5 ravni, i to: {atC} C n ,. {/f,fi,C} C n ,, {0,6} C 7 3,

{6,C}C jt4, jc.fi} C j t 5.

cC a.

a) 15 duži: b) 20 trouglova.

6 ravni.

3 ravni,

četiri.

c „ _ _ w (n -l)(rt-2 )

M—- 1\

Iz uslova---- ----- = 36 je r>{n — 1) = 72, odnosno n(n—1) = 9-8,

odakle izlazi da je n = 9 (tačaka).

2.2. Paratelnost

184.

Prava a sa svakom od tačaka fi, ,fi; ,fi3,fi4,C određuju po jednu ravan

i prava b sa svakom od tačaka A],A2,A2,C određuju po jednu ravan,

tj. 9 ravni. Zatim, trojke tačaka (C .^,,5 ,); (C,/i,>itd

određuju još 12 ravni, dakle određeno je ukupno 21 ravan.

204

185. 15 ravni.

186. 18 ravni.

187. Neka su tačke A,B,C,D,E. Ako su četiri tačke na istoj pravoj kojoj

ne pripada peta, tada ima 1+4=5 pravili. Ako su dve trojke tačaka

kolineame, recimo A,B,C i A,D,E, tada ima 2+ 2-2=6. Ako postoji

samo jedna trojka kolineamih tačaka, tada ima 1+ 1+ 3-2 = 8

pravih. Ako nema trojki kolineamih tačaka, tada ima ^ 4 . = 10

pravih.

188. Svaka duž prave a sa jednom duži prave b određuju jedan čctvorougao.

Na pravoj a sa dat im tačkama A.B.C.D moguće je uočiti

6 duži, na pravoj b sa tačkama E,F,G moguće je uočiti 3 duži.

Dakle, ima ukupno 6'3 = 18 četvorouglova.

191. Osam.

198. Njihov broj odreden je obrascem C, = [ij = y~~ = 6. Ako su date

pra\e,a,b,c,d, njima je određeno 6 ravni, i to: {a,b) C rr,, !«,£.’( C ,t ,.

{a,d\ C n j, {¿.o} C jzA, {b,d} C nrs, {c,d}<Zji6,

199. Dve.

201. Dve tačke.

2.3. Duž, ugao i trougao

202. 1° Po pretpostavci je

AO = O B /\C O = OD*> AO —CO = OB - OD => AC = BD (si.14).

I-------- 1--------- 1--------- 1---------- 1

A C O D B

SI. 14

2° Po pretpostavci je

AO = OB A OD = O C => AO + OD = OB + OC => AD =CB.

^03. 7 cm i 2 cm.

204. OM = Z±A.

205. 1° Neka je tačka O — A —B (sİ. 15), tada je

MN = ON - OM = Ô B - jO A = ^(OB - OA) = 2 era.

205

2° Neka je A —O — B, onda je:

MV = MO + ON = }-OA + -OB = -(OA + OB) = 5 cm.

2 2 2

O M A N B

SI. 15

206. AB .CD = 3:4 AB = ^CD, odakle zaključujemo da treba dužCO

podelili na 4 jednaka delà, od kojih tri poslednja odgovaraju duži AB.

207. a) lz (AM = AfflAOG AB)

=>(OM = OA + AM A OM = OB —MB)

=> 20A/ = OA + OB + AM - MB *>OM = ^(OA + OB).

b) 1z (AM = MB A O G .45)

=> (OA/ = M A -OAhOM = O B- MB)

=> 20A/ = OB — OA ^ OM = ~ |0 5 - 0>41, jer je uvck OA/ > 0, a

0 5 —OA > 0 ili OB — OA < 0 u zavisnosti od izbora tačke O.

208. Pošto je (O — A — C — B)f\(CB = 2AC )*>

(O C = OA + A C A O C = O B - C B A CB = 2/iC) =>

(20C = OA + OB + AC —C3 f\CB = 2 AC)*>

2OC = OA + O B -A C *> IOC = OA + OB + OC - AC =>

3OC = OA + OB + OA => OC = 2QA±OB_

3

209. Pošto j e ( 0 - ^ - S ) A MA = 0,75MB A A/G /iß =*

(OA/ = OA + MA A OM = OB —MB A MA = 0,15MB) =>

20M = OA + OB + ^MB-i\ÎB =>W M = 40A + 4B - MB

W M = 40B + 3OB + OB- MB =>

W M = 4OB + 305 + OM + M B- MB =>

10M = 4 0 5 + 305 => OM = 4Qg-+ 3 Q g .

206

Kako je { O - A - C - B ) A AC:m = CB:n)=>

(OC = OA + AC A OC = OB-CBAAC ~ =>

n

nOC + /nOC = nOA 4- nAC + —mCB A AC =

n

OC(m+ n) = nOA + nAC + mOB -nAC Ô C = n0A + m0B,

m+n

time je dokaz završen.

Kako je /1S = SB = 18 cm, konjunkcija

AM + MB = 36 A AM: MB = 13 » AM — 9 A MB = 27 cm, onda je

p(S, M) = 9 cm.

30°.

135° i 45°.

110° i 70“,

105° i 75°.

45° i 135°.

80°, 100°.

a = 72°.

Kako je ugao y unakrsan

sa uglom a (slika 16), to su

uglovi x i y komplementni,

tj. x = 40° a y= 50°. Prema

tome, a = fl = 50°; y = 40°. $1.

Kako je a + ^=180°, £ + <5=180°, <p+ d = 90°, to je

a + P + <p +6 = 360°, odnosno a + £ + 90°= 360°, odakle je

a + p = 270°

a = 157°30'.

LDMB = 99°

a) 20°; b) 20°.

LnOs = 126°.

36°; 36° i 144°; 144°.

a = y=75°, £ = <5= 105°.

207

230. a = 108°, yS = 72°. y = 18°.

231. a) 3 cm; b) 7.5 cm.

232. Neka je O seđište duži AB i M ma koja tačka na produžetku duži,

tada je; MA = MO + OA, MB = MO —BO. Njihov zbir je;

MA + MB — 2 MO o MO = ^ + ^ .

2

233. a) LpOq+LqOr~ ISO0«- ±A.pOq + ~LqOr* 90°

«■ LpOx + LyOr = 90°;

b) LrOy= 12° 30'.

234. Neka je CO simetrala ugia ACB i CM proizvoljna poluprava konstruisana

u oblasti ugla, tada je: CMCA = LACO + LOCM,

jLMCB = LBCO —LOCM, a njihova razlika

LMCA-LMCB = 2LMCO «■ Z M 70 = -{AMCA - LMCB).

2

235. Suplementan fi = 84°, komplementaran y= 6°.

237. 6 + £ = 270°

239. 120°.

242. 2 cm, 4 cm, 8 cm, 16 cm.

243. Pomnožiti pretpostavku s AC ud,

244. Iz pretpostavke da je AB = b, AP = m i BP = m—b sledi da tačkaP

pripada pravoj AB. Iz CD = a, i DP = n i CP = a+ n sledi da P pripada

i pravoj CD.

245. a) Zbir dve stranice trougla veći je od treće stranice itd.

246. Iz pretpostavke da je DA = 2AC sledi da je AC = 3, kako je

AC + AD = CD = 9. Tačka A,C i D pripadaju istoj pravoj, takode iz

AC +BC = 7 sledi daje CB = 4, što zjiači da A,C i B pripadaju istoj

pravoj itd.

248. 84° ili 52° ili 128° ili 96°.

249. 105° ili 15° ili 35° ili 55°

208

III GLAVA

3. REALNI BROJEVI

3.1. Pregled brojeva. Polje realnih brojeva

250. Brojilac razlomka postupno se transformiše na sledeći način:

n} -n = n(n2 - 1) = w(/7-])(/?+ 1).

Pošto je n prirodan broj, to su i/7-1,/7 i n+ 1tri sukcesivna prirodna

broja. Proizvod tri uzastopna prirodna broja uvek je deljiv sa 6, pa je

( r l > r i j+ l 2 uvel! p rid a n broj.

254. Označimo sa 2/7+ 1 ma koji neparan broj. Onda je:

(2/7+ 1)2 —1 = 4/j: + 4/i = 4//(/i - 1).

Pošto je n prirodan broj, to su n i n + 1dva sukcesivna prirodna broja,

a njihov proizvod je uvek paran broj, tj. n (// + I) = 2k, k E N, pa je

proizvod 4/)(/7+ 1) = 4 - 2i: = 8 k deljiv sa 8 za (Vi G ¿V).

255. Kako je 1 331 = 1 000 + 300 + 30+1 =

iOJ + 3-102-l + 3 -l(M J + l 3 = (1 0 + l)J = 11\ time je dokaz završen.

256. Neka je dat dvocifren broj 10c/+6, gdeje 0 < a + A < 10. Proizvod

(10a + ¿/)■1l = (10fl+ 6 )(1 0 + n = 100a+ 10(o + (?) + ¿, time je

dokaz završen.

Primer: 24*11= 264; 34-11 = 374; 62-11 = 682.

257. Neka su brojevi /?, /?+ 1, /? + 2 tri sukcesivna ćela broja, onda je njihova

suma/7 + (/?+ l)+ (« + 2)= 3// + 3 = 3(/i+ 1), tj. deljiva šatri.

258. Neka su 2/7 i 2«+ 2 dva sukcesivna parna broja, njihov proizvod je

2« (2 //+ 2) = 4n (//+1) = 2i, pa je 4 rt(//+ 1) = 8 i deljiv sa 8 za

(V/7 6/V ),

259. Neka su sukcesivni neparni brojevi 2/7—1 i 2/7+1, onda je

(2//+ 1): -(2 /7 —1)J = 4//2 + 4/7+ 1- 4//' + 4/7- 1= 8/7, tj. deljivo

sa 8 za (V/j G jV).

260. Ako bilo koji neparan broj označimo sa k. dobija se

k = 2/7+ 1 k 2 = (2/7+ l) = 4(/?(/7 + 1))+ 1. Kako je:

n (//+ 1) = 2p, tada je k 3 = 8//+ 1(p = 0,1,2,3....), odnosno

* ’ = 1; 9,25,49,...

209

261.

262.

263.

264.

265.

266.

Da bi se kvadrai celog broja a završavao sa 5, mora bili oblika

a = 10« + 5(« G N ) o a~ = {10« + 5)"a' = 100«' + 100« + 25

a' = 100(/T + n) + 25, tj. broj a2 završava se sa 25.

Ako je A G Z, i ako je on deljiv sa 8 ili 9, onda je:

A A

A

— = m G Z A ——« i Z=>-~ - = m-n=>

8 9 8

A = 72(/«—«) = 72Ar, gde je m— « = k G Z.

A

Poštoje —~ = k G Z, tj. ako je A deljiv sa 8 i 9, onda je deljiv i sa 72.

Obrnuto, ako je:

A A „ 2 A A

7 2 = r= > 9 1 8 r = r' S Z 'h k = p S > H = 9 p = r* G Z ’ Čime

dokaz završen.

Dati izraz može se transfomiisati u identičan izraz:

n(«: + 5)3= «(«' - 1)+ 6 = «((«- ])(« + 1) + 6)) =

«(« —])(« + 1)+ 6«.

Ovaj izraz je zaista deljiv sa 6, jer proizvod ( « - 1)«(« + 1) od tri

sukcesivna ćela broja je deljiv sa 6, a 6« je očigledno deljivo sa 6.

Trocifren broj je oblika 100.V+ 1 0 y + z, x,y,z G N. Kako je po

pretpostavci y= x + z, tada je:

100*+ 10y + z = 100*+ 10(* + z) + z = 110*+ 1lz = 1l(10*+z).

Dobijeni broj je očigledno deljiv sa 11.

Dati izraz se postupno transformiše na sledeći način:

» 3 + ll« = n(rt2 - l + 12) = « ((« - 1)(«+ 1)+ 12) =

«(« —!)(« + 1)+ 12«, odnosno sledi tvrđenje.

Dati razlotnak može se postupno transformisati na sledeći način:

21« + 4 14« + 3 7 « + l , , 7 « + l 1

14« + 3 14«+ 3 14«+1 14«+ 3 14« +3

7«+ 1

= 1 + -

2 +

I

7«+l

Razlomak —------ je redukovan, razlomak

7«+ 1 J

-je takođe redukovan, pa je i dati razlomak redukovan.

2 + - 7 « + !

267.

268.

269.

210

Za n = Odali razlomak postaje —, tj. redukovan je, Ako je razlomak

2/7 + 3 ^ 5/i + 7 rc+1

-redukovan, tada je redukovan i razlomak ------7 = 2 + -

5/7+ 7

n+1

2n+ 3 2/;+ 3

Ako je razlomak redukovan, tada je redukovan i razlomak

2n + 3

= 2 + • 1 2/7 + 3

, čime je dokaz završen.

n+1 n + 1

Treba prvo dokazati teoremu: ako je a 2 deljivo sa 3, onda je u deljivo

sa 3. Uočimo da se svaki ceo broj a može napisati u jednom od ovih

oblika:

3«

a = 3/r+l =#■a2=

3/1 + 2

9n2

9n2 + 6/7+ 1

9/72 + 12// + 4

,(/? ceo broj).

Pošto je, prema pretpostavci, a 2 deljivo sa 3, a 2mora biti jednako 9/?\

odakle sledi da je a = 3n, odnosno uje deljivo sa 3. Dokaz da je V3

iracionalan broj izvešćemo metodom svođenja na protivurećnost.

Pretpostavimo suprotno, odnosno da je 43 količnik neka dva ćela

broja p i q :V3 = — , gde su p i q uzajamno prosti brojevi, tj. daje 1

9

njihov najveći zajednički faktor, jer u protivnom mogli bismo

p

razlomak —prethodno skratiti i preći na takav slučaj. Tako, polazimo

9

od pretpostavke:

(*)V3 = —; p,qGZ,p,q su uzajamno prosti. Na osnovu {*)

dobijamo p = q43 => p2= 3 q2. U tom slučaju p 2je deljivo sa3,pa je

i p deljivo sa 3 (prethodna teorema). Dakle, imamo p= 3r ,r £

Tada je 9r: = 3q2 =>q2 = 3r2, odakle sledi daje 9 deljivo sa 3, te je i

p deljivo sa 3 (prethodna teorema). Prema tome, p i q imaju zajednički

faktor 3, odnosno nisu uzajamno prosti. Došli smodoprotivurečnosti.

To je kraj dokaza da je V3 £ Q.

Neka je 4 2 -4 2 = r(r racionalan broj), odakle sledi:

43 * 4 2 +r => 3 = (V2 + r)" «> 3 = 2 + 4Ir + r1 =» 42 =

1 —r

Leva strana jednačine 42 G /, desna strana------ G Q, tj, iracionalan

2r

broj jednak je racionalnom, Stoje nemoguće.

211

270.

272.

Kako je xE H i vG H, ondaje.v= px+ cpj2 i y = p2+ ^,V2.zbir

x+ y= (/?, + p2) + (qi + </2)V2 = p' + q'J2 E //. Analogno se pokazuje

d a.r—y E / / i x-yE H.

Primedba 1. Broj /{ « lje deljiv sa 2, ako i samo ako je deljiv u

svakom od slučajeva n —2k i n = 2k+ 1.

Primedba 2. Broj /( « ) je deljiv sa 3 ako i samo ako je deljiv u

svakom od slučajeva n = 3A', n = 3k + 1 i n = 3k + 2.

Potrebno je dokazati daje dati izraz deljiv sa činiocima broja 6, tj. 2 i

3. Za dokaz daje dati broj deljiv sa 2 primenimo primedbu 1.

„ , . 2k(4k + 7)(14A + 1)

Za ii = 2k, imamo — ------- ----- -------- - = k(4k + 7}{ \4k + l)E N,

za n = 2k + 1dobija se

(2k + 1)(4A + 9)(14A' + 8)

--------- ^ ---------- - = (2k + 1)(4A + 9)(7A + 4) E jV.

Za dokaz daje deljiv sa 3 koristimo primedbu 2.

Za n = 3A,3A'( 6A' + 1^ 1 ]k + ^ + 7 )(21At+ 1) E N\

za n = 3k + 1,

(3A + 1)(6A + 9)(21A + 8)

= (3* + ])(2A- + 3)(21A + 8) E N,

za n = 3A' + 2,

(3A + 2)(6A-+1I)(2]A+15)

3

čime je dokaz završen.

= (3A + 2)(6A + 11)(7 A- + 5) E N ,

273.

Primedba 3. Broj /( « ) je deljiv sa 5, ako i samo ako je deljiv u

svakom od slučajeva; n = 5k, n ~ 5k + 1, n = 5k + 2, n - 5k + 3,

n = Sk + 4, (« E N ).

Primedba 4. Broj f(n) je deljiv sa 7, ako i samo ako je deljiv u

svakom od slučajeva: n = 7A, n = 7A' + 1, rt = Ik + 2, n = 7A' + 3,

n = Ik + 4, n = 7A + 5, n = Ik + 6, (rt E N ).

a) Dati izraz se transformiše u oblik:

H3 *—n— 18« = n(n— 1)(«+ 1)—18w itd.

b) Dati izraz se transformiše na sledeći način:

n5 -n = »(V - 1) = n{n-l)(n+l)(n: + 1). i iskoristi se primedba 3.

c) Pošto se dati izraz svede na oblik n1 — n = n(nb —1) =

«(r?3 —1)(/73 + 1)= n(n- l)(ff + 3)(«2-n + l)(n* + n+ 1), pa se iskoristi

primedba 4.

212

274. Kuko je

/i5—n = »(;i4 — Î) = n (/i- l)(;r+ l)(/r - 4 + 5) =

= n(n~ l)(n+ 1)(«- 2){n + 2)4- 5n(ii- 1)(«+ 1).

Prvi sabirak je deljivsa 10, jer se među njegovim činiocima nalaze 2 i

5, drugi sabirak je očigledno deljiv sa 10, čime je dokaz završen.

275. Proizvod n{n+ l)(n + 2 )(/j + 3) je deljiv sa 8, jer je proizvod svaka

dva parna broja, tj:

n(/i+I) = 2 i, (n + l)(n+ 2) = 21, [n + 2){n+ 3) = 2m, k,l,mGN.

Proizvod svaka tri uzastopna parna broja je deljivsa 3, samim tim dati

proizvod je deljiv sa 3 • 8 = 24.

276, Činioci datog izraza su 5 uzastopnih celih brojeva, tj,

A = (n - 2)(n — !}«(«+ I)(» + 2). Ovaj proizvod je deljiv sa 3,5 i 8,

pa je deljiv i sa njihovim proizvodom 120.

277, Za n= 2 k,

B = U (k 2 +5) = Zk(k2 - 1+ 6) = - l)(Ar + 1) + 6) =

8 A r(jfc-l)(Jt + l ) + 4 8 i t .

Kako je proizvod k(k —l)(k + 1) deljiv sa 6, (tri uzastopna cela broja)

prvi sabirak je deljiv sa 48, a drugi je očigledno deljiv sa 48.

278. Ako je n = 3k,A = 9k2+ 1, prvi sabirak je deljiv sa 3, drugi nije. Za

n = 3k + \,A = 9k2 + 6k + 2, A nije deljivo sa 3. ostatak je 2. Za

n = 3A' + 2, A = 9k2+ \ 2k + 5 i u ovom slučaju A nije deljivo sa 3.

279. Neka su traženi brojevi x,y,u i v(l <x<y< u < v). Na osnovu

pretpostavke imamo jednaćinu .r + y + u + v = ,vv+ yu

(x- 1)(v—l) + (y —l)(i/~ 1)= 2. Kako su .v,j’,w i vprirodni brojevi

imamo tri mogućnosti:

1° Akoje(j: —1)( v—1) = OA (y— l)(w - 1) = 2, odakle proizlazi daje

x= l,y~2,u = 3, v proizvoljno;

2° Ako je (a: - 1)( v—1)= lA(_y- 1) = I, dobija se

x = y = u = v = 2, ovo rešenje, međutim, ne zadovoljava;

3° Ako je (ar—l)(v—1) = 2 A (y- 1)(h- 1) = 0 ne dolazi u obzir.

280, Dokaz sledi iz jednakosti n2 + 8rr+ 15 = (n + 4)' - 1.

281, Za dokaz iskoristiti jednakost n(n2 —l)(n2 -5 n + 26) =

= (u - 3 ) ( n - 2 )(n —1) n ( n + 1)4- 20 n(n- 1) («4- I).

213

282. Ako su x,y,z(x,ytz < 7) cifre log broja, tada je

7 ; .v+ 7y+ z = 92z+ 9y+ x<> y= 8(3 x - 5z).

Dakle, y je deljivo sa 8, kako je y < 7, mora biti y = 0, pa je 3.v = 5r.

Odatle, na osnovu x < l ,z< l, dobija se x = 5, z = 3. Traženi broj je

5 -7 ' + 0-7 + 3+248.

283. Ako je a = (10a+ 6)(10c + d), a b = (106-t-o)(l0ć/ + c), uoči razliku

A — B itd.

285. a) Primeni identitet = (rr+ b)(a' — a b + b1);

b) Slično kao pod a);

c) 9999 = 100- - 1= (100+ 1)(100- 1) itd.;

d) 672 - 1= (67' + 1)(67: + |)(67 + 1)(67—1) itd.

287. Dati broj se može napisati u obliku:

4"+l (8 + 2) + 5"*'(25 + 5) itd.

291. a) AB = \ 6,C = 2, CDB = 256;

b)ÂK = 25, MAK = 625;

c) AB = 39,C = 2, DECD = 1521;

d ) = 7 , i ? = 4 , CBDE —2 4 0 1 .

292.

293.

n1- 1 (n — l)(w* + n + 1)

Samo za n = 6. (uputstvo: — -— = ----------- ------------,« -1 = 5 jt(| j

a) 2; b)3.

294.

Kako su p, p + 1, p+ 2 tri ćela sukcesivna broja, to je jedan od njih

deljiv sa 3. Zato mora da je p = 3, jer su tada brojevi p, p+2, p + 4

prosti. Ako je p + 1deljiv sa 3 (p > 3) tada je p + 4 = (p-t-])+3, njje

prost broj.

295. Prirodan broj veći od 3 može imati jedan od oblika: 6A, 6A + 1.

6k + 2, 6k + 3, 6k + 4 i 6k + 5. Kako sit brojevi 6 k, 6k + 2 ,6k + 3 i

6k 4- 4 složeni, onda su brojevi oblika 6k + 1i 6k + 5 prosti.

296. Na osnovu prethodnog zadatka imamo:

( 6 k + l) 2 = 36A-2 + 1 2 k + l= 12*(3* + l ) + l = 12n+l, gde je

Jt(3A + 1) = n ceo broj. Takođeje

(6k + 5)2 = 36k7 + 60A + 25 = 12{3k3 +5k + 2)+ 1== 12m+1, gde

je m= 3k 2 + 5k + 2 ceo broj.

Kako je k £ N, može biti neparan ili paran. Ako uzmemo da je

neparan, tj. k = 2 n + 1, tada je 3k + 1= 3( 2n + 1) + 1= 6n + 4 složen

broj, zato k mora biti paran broj, pa će biti za k = 2n, 3k + 1= 6n+ 1,

a to je prost broj. Na pr.

31 = 3.10+1 = 6-5+1.

Prost broj može biti: 1° 3; 2° 3k + 1; 3° 3k + 2. Pretpostavku zadatka

zadovoljava prvi slučaj p = 3, tj. p+ 10 = 13, p + 20= 23. U drugom

slučaju, p + 20 = 3k + 21 je složen, a u trećem slučaju

p + 10 = 3A + 12 je takođe složen.

Ako su p i %p~ + 1prosti, tada je p = 3, jer za p = 3k + 2 i = 3A + 1,

broj %p2+ lje složen. Za p= 3,

8p' + 2p + 1= 8-3“ + 2-3 + 1= 79je takođe prost broj.

Zap = 3, 8 p : + 1= 73 je prost broj. Treba dokazati ako je p * 3, daje

8p" + 1 složen broj. Neka p nije deljivo sa 3, tj. p — 3A± 1. Tada

8/t + 1= 8(3A±1)2+ 1= 3(24A: ± I6A + 3). dakle, ako je

p = 3A ± 1, tada je 8 /r + 1 složen broj. Broj 8p1 + 1je prost samo za

P = 3-

Neka je prirodan broj d najveći zajednički delitelj dalih brojeva. Tada

je 21/7 + 4 = c/irf 14/i + 3 = dm, gde su k i m prirodni brojevi.

Množenjem prve jednačine sa 2, a druge sa 3, dobija se 42rt + 8 = 2dk

i 42/7 + 9 = 3dm.

Razlika ovih jednačina je (3wi- 2k)d= 1. Odavde sledi d a je d = 1.

Dakle dati brojevi za ma koji prirodan broj n imaju najveći zajednički

delitelj d = 1, Sto znači da su oni uzajamno prosti.

Neka je x~ — y2 = p, gde su x i y prirodni brojevi, tada je

(.t+ >')(.*->') = p-1, odatle je *+ v= p A x - y= !. Rešcnje ovog

p + 1 p —1

sistema je a- = ^ -, y = -- Dakle, ma koji prost broj može se

predstaviti kao razlika kvadrata dva ćela broja —+—i ——

Kako je nJ - n2 = n~(n- I)(u+ 1), dalje se dokaz svodi na zadatak

189.

Neka su uzastopni ćeli brojevi n - 1,n,n+ 1tada je

(n— i)3+ n3 + (« + l)3= 3«{n* + 2). Uoči mogućnosti

n = 3k, n = 3k + 1, n = 3A + 2 itd.

215

305.

306.

307.

308.

309.

310.

311.

3 1 2 .

Postavljene uslove zadovoljava broj A = 2n(2n+ l)(2n + 2) =

= 4«(h+ 1)(2/i + 1). Vidi uputstvo zadatka 272.

Broj A se svodi na oblik A = (rt—1)(«+ 1) (/? -H3). Za n = 2k + \,

A — 8k(k + !)(/: + 2). k,k + l,ft + 2'sil tri uzastopna ćela broja itd.

Dati izraz se svodi na oblik A = - + + ^ za n = 2k\

, , k (k +1) (2k + 1) „

a) A = --------------——, (£ ceo broj). Vidi uputstvo zadatka 189.

6

b) 11 111.

a) 88’ = 8U = ( 8 * b) 9^ = 9a+1 = (32**1)2, (9g neparno);

c) 56? = 522 = (5* )2;. d) 76> =1* = ( 7 * ) \

Neka su uzastopni brojevi n,n+],n + 2 i n4-3, tada je

w(/7+ l)(n + 2)(n + 3)+ 1 = (n2 + 2>n)[n2 + 3n + 2) + I =

= (n2 + 3»)2 + 2(m: + 3n)+ 1= ((/i2 + 3w)+ l)2 = A'2, £ je ceo broj.

Dati izraz se može nastaviti na ove činioce

5" + 5 fl*t 4-5"+2 = 5"(1 + 5+25) = 31-5". Kako su činioci dalog

izraza 5 i 31, oni su uzajamno prosti, to je dati izraz deljiv sa njihovim

proizvodom 5131 = 155.

Za h = 3k, n(n2 + 2 )= 3A(9A2 +2), deljivo sa 3.

Za « = 3A + 1, n(n2 + 2) = (3A + 1)(9A2 + 6A + 3) =

= 3(3A + 1)(3A2 + 2A + 1) deljivo sa 3.

Za n = 3Jfc + 2, «(w2 + 2) = (3* + 2)(9/c2 + 12k + 6) =

= 3(3* + 2)(3A2 +4k + 2) je deljivo sa 3. Kraj dokaza.

Na osnovu pretpostavke je (m+ « )+ (m -n ) + H— = 245 0

2m+mn + — = 2 45—(« + 1): = 245.

fj /i

Kako je — = k, tojesi(« + l)2 = 5-l2. Odatle je i = 5, n + 1= 7 ih

n ,

n = 6, a nm = nk = 5 ’6" = 30. Dakle, m= 30, « = 6.

313.

314.

gW+ 8«+' + 8*+* = 8n_l(8 + 8 2 + 8J) = 584' S"-1.

«(«+1) j

Kako je I + 2 + 3+.. .+n = -----— >a Vocifren broj

216

1 OO.v -H 0* + x = 11J x, imamo

«(« + t)

- — - = 11 »(» + I) = 2-3-37jt« 36-37 ili 37-38.

Kako 38 nije deljivo sa 3, kao jedina mogućnost ostaje .v = 6, n = 36,666.

Kakoje n 3+ 198to = n J - n + 1989« = « (« - l)(« + 1)+ 1989«.prvi

sabirak je deljiv sa 3, jer je proizvod tri uzastopna ceia broja, a drugi je

očigledno deljiv sa 3.

Ako jeo 4- b + c = 0. onda je« + b= —c i a+c= ~b, pa je

a(a + b)(a + c) — a{~b)(-c) = abe = 1999.

Pošto je 2" + 2**x+2"*2 = 2"(1 + 2 + 4) = 2” -7 = 14-2"”', pa je

tvrđenje tačno.

Kako je «3 - 1990« = n3- « - 1989» = « ( « - I)(n+ 1 ) - 3-663«.

Proizvod tri uzastopna ćela broja deljiv je sa 6. Pošto je »paran broj i

3-663« je deljivo sa 6. Kraj dokaza.

Ako se odgovarajuće razlike kvadrata rastave na činioce dati izraz

postaje 1 999+1 998+1 997-r.,.+3+2+l = l 999 000.

Pošto je

(2n —3){2»—1)(2»+ l)(2« + 3)+ 16=(4«3- l)(4«3- 9 ) + l6 =

= 16«4 —40«3 + 25 = (4«: - 5 ) \ Kraj dokaza,

a) Neka je x = 0,777... racionalan broj, ako prethodnu jednaćinu

pomnožimo sa 10 dobija se 10* = 7 +0,777...= 7+*, odatle

7 .

9x = 7 ■» x = —, je racionalan broj;

b) Neka je x = 0,171717... racionalan broj. Ako pomnožimo ovu

jednačinu sa 100 dobija se

100*= 17,1717:1:7 ...o 100*= 17 + * o 99*= 1 7 o * = —;

99

. 234 9 A 227

c) --= — ; d )------.

999 37 99

Neka je a/2 + VÎT = r (r racionalan broj). Odatle sledi

■JÏÎ = r - V 2 o 17 = r2—2r4l + 2 <=■ 2r4l =

—15

r : - 15«>V 2=---------. Kako je leva strana ove jednačine ira-

2r

cionalan broj, a desna racionalan, pretpostavka -JÏ + i/Ï7 = r je

netačna. Dakle, Vž + VÎT, je iracionalan broj.

217

3 2 3 . Neka je x+-Jn = r (r racionalan broj), tada je Jn = r~n, što je

nemoguće, jer je na levoj strani jednakosti iracionalan, a na desnoj

racionalan broj.

324. Iz pretpostavke dobija se da je n+ b = 2-Jlab i a —b=l4ab.

. . , .. a + b l4 2 a b rr .

Količnik poslednjedvejednačine — - = n^ j ~ 1 ■

325.

a+\a\ a + a 2a o+\a\_o__

a) Za a > 0,------- = ——- = — = a; za a < 0, —- ----- ?

2 2 2 2 2

u

326.

_ . 2jc-I-jjc| 2x + x , , 3.t . n

Za x > 0,-------- ■+ x+ x = — — 4-x4-x = — 4 -2 x - ix,

3 3 3

. 2x4-|x| , , 2x —x x

z a x < 0 ,-------- • + x+ x = -------- + x —x ——.

3 ' 3 3

330. Za x > 5

x - 5 + |x -5 |V , ( jc—5—|jr —5[\ _

4x—54-x —5V (x - 5— x + 5:j2 = |2 £ z l 0 j 2+ 0 2 = ( x - 5 ) 2.

Za x < 5,

x — 54-|x —5| x - 5 - |x - 5 |j 2 _ | x - 5 - .v + 5] +

+( £ T l ± i z i ) = o = + ( ^ )

2

= (x-5)2.

331. a) a-= 4; b) x = -2 v x = 8.

332. v = -6; b) a = -2.

333. a) x = “ V i = 6; b )x = 0 .

3

334. a)x = —2 v x = 2 ; b ) x > l.

335. a) ,vG [—2,2]; b ) x G { - « -3 ] U [3,oo).

336. a) xG [—3,7]; b )x G (l,2 )1.

337. a) —14 < x < 2; b ) x £ ( - oo -6 ] U [3,oo).

17 u 13*: 17

338. a) x £ ( - » , — - ) U ( - 1,»); b ) y ^ ^ T

218

3.2. Približne vrednosti. Apsolutna i relativna greška. Granica

greške. Značajne cifre i zaokrugljivanje brojeva

a) Apsolutna greška a =jjc—a\= 0,4, a relativna greška

<5= —= — = q,08;

x 5

b) a = 0,004,(3 = 0,00156; c )a = 0,001;<5 = 0,001135

a) 55,98 m< .r <56,02 m; b) 74,997 kg< a:<57,003 kg;

c) 24,994< .r <25,006; d) 7,084 km< x <8,016 km.

Kako je a+ Aa = 32,588 kg, a - A a = 32,582 kg, oduzimanjem se

dobija A a = 0,003 kg.

Iz formule x~ a+ Aa sledi a = 40 m, Aa = 0,03 m, pa je relativna

Aa 0,03

greška = — = ----- = 0,00075, a procentualna greška

\a\ 40

dp = m - d a%= 0,075%.

b) 0,0125%; c) 0,024%; d)2%.

123 km (±250 m).

a) 0,7; b) 0,67; c) 0,667; d) 0,6667.

^ 0^002 = o,0016; b) 0,0125; c) 0,008.

2,5

Aa =|a|(5a = 8,64-0,005 = 0,0432.

a) Neka je a = 9,6 približna vrednosl broja x. Granica greške

aproksimacije ove približne vrednosti iznosi a = 0,05, pa je

Aa = 9,6 ± 0,05. Granica relativne greške ove približne vrednosti je;

. Aa 0,05

¡5a = — = -j— = 0,00520833, pa je da %< 0,53.

a 9,6

b) 6a%< 0,79; c)(5„%<0,04; d) 6 ,%<0,79.

Primenom obrasca Aa =|a| da dobija se :

a) = -7-7 = 77“ < 0,018; b)A a= 0,257; c) a =1560.

|a| 5,63

219

351. Tačnesu prve đve cifre, jer je A a = 0,024. Tvrđenje sledi iz obrasca

a(±Aa).

352. Četiri.

353. 6a = 0,005.,., ó„ = 0,007. Tačnije je prvo merenje.

354. = 0.005.... 6^ = 0,007. Drugo merenje je tačnije 5 puta.

355. a— b~ 3,12, A(<7—b) = 0,001, 6a_h=0,2% .

356. 1,5; 0,3%.

357. 0.84±0,01,0, = 0.011; A t = 0,00926.

358. a) 50,900; 196 400; 75 000; b) 65 400, 8 546 500, 1487 800;

c)5,44, 83,61, 0,90; d) 12,361; 6,001; 0,541.

359. 84,254, 870; 2 056.

360. 49 m.

361. 0,33; 0,333; 0,3333.

362. a) 3,29; b) 7,833.

2 2 0

IV GLAVA

4. PROPORCIONALNOST VELIČINA

4.1. Razmera i proporcija

a) x = 2; b) jc= 12; c) x = 5; d) x = .

p + q

x = 6.

jc *=4, = 10.

Date proporcije ekvivalentne su proporcijama:

(1) a:2 = b:3

(2) b:6=c:l.

Proporcija (1) ekvivalentna je proporciji (3)o:4 = b.b. Proporcije (2)

i (3) mogu se napisati kao produžena proporcija

a:4 = b:6 = c:7, odakle sledi:

a\b\c = 4:6:7.

a)jr:j’:2 = !6:10:3; b) *:>■:? = 9 :12:10.

a) Prvo dokažimo implikaciju:

(1) a:b = c:d => (a + b):b = (c + d)d.

Dokaz se izvodi lancem ekvivalencija:

, , a c a , c a+b c+d

a\b = c:d <x>— = —« —+ ]= —+ !<=> —-— = — —,

b d b d b d

odakle je (a + b):b = (c + d)d.

Implikacija (a + b):b=(c + d):d=za:b = c:d

(2) se takode dokazuje lancem ekvivalencija:

(a + b):b =(c + đ):d c* (a + b)d = b(c + d) o

o ad + bd = bc + bd <=>ad = bc c=>a:b =c:d.

Iz tačnosti implikacija ( I) i (2) sledi tačnost implikacije a).

Dokaz ćemo izvesti nizom ekvivalencija:

a c 4a 4c 4o „ 4c „ 4a-3b

—= —o — = — =n>----- 3 = ------ 3=^----------

b d b d b d b

4a-3b b

° 4c-3d ~ d

4c-3d

221

371.

3 7 3 .

3 7 4 .

3 7 5 .

Znači imamo lakođe niz ekvivalencija;

a c Sa 5c 5a ^ 5c ^ 5a + 2b 5c + 2d

—= — <=> — = — Cv — + 2 = — + 2 <=>------ ------------- - <->

b d b d b d b d

5a + 2b b

o (2 )

5c + 2d d

t 4 a - 3 b 4 c -3 d

J 5a + 2b 5c + 2d

a) 4; b) 4.

_ , . ... . . a c a2 + b2 ac + bd

Dokaz implikacije —= — = » • - ■ , ■= —------- se izvodi na sledeći

način. b d ac + bd c' +d '

a c

Iz — = — = k sledi da je a = kb i c = kd. odakle je;

b d

a2 + b2 k 2b2 +b1 lr (k 2 + 1) i

--------- = — -— ------= — -------= —; znači

ac+bd k 2bd + bd bd{k2+ \) d

ac + bd k 2bd + bd bd(k2 + \) b

c2 + d2 ~ k 2d 2 + d 2 ~ d 2( k 2 + 1) " d '

_ . , a c a " + b 2 ac + bd

Dakle: —- — ------- .

b d ac + bd c + d~

a1 + b~ ac + bd a b

Dokažimo i implikaciju

ac + bd c2 + d ' c d

Uočimo niz ekvivalencija;

a +b ac+bd . ^ ,1 .. j * , -,2

<ž>{a~ + b~ ){c~ + d )={ac + bd)'<^>

a2d 2 + b2c2 + 2abcd o (ad - bc)2 = O co ad = bc o —= —.

b d

Tačnaje.

Tvrđenja su tacna.

4 .2 . P r im e n a p r o p o r c ij a

376. Od j+. 66 kg prediva dobij a se i 165 tkanine, a od

I 112 kg prediva dobija se x m tkanine.

Pošto su veličine u kg ixm direktno proporcionalne (Stoje označeno

strelicama) veličine, onda je:

222

,x: 165 =112:66,

odakle se dobija x = 280 m.

Zupčanik ima * 54 zupca i pravi i

I x zubaca i pravi

84 obrtaja, a zupčanik

126 obrtaja

Kako su brojevi zubaca obrnuto proporcionalni broju obrtaja, što je

označeno strlicama, to je:

x;54 = 84:126,

odakle se dobija x = 36 zubaca.

Kad I 21 radnik radeći po i 8 h za vf. 6 dana izradi 720 profila .onda

će N" x radnika radeći po 7 h za ' x dana izraditi I 1260 profila

Veličina x dana i veličina y radnika su obrnuto srazmeme, veličine

x dana i z časova su takođe obrnuto srazmerne i, na kraju, x dana i

t profila je direktno proporcionalno (Stoje označeno strelicama), pa

se dobija složena proporcija:

= 21:28

= 1260:720,

iz koje je x = ~ -8-21-1260

7 • 28 • 720

9 dana.

Analogno prethodnom zadatku dobija se Setna:

i 40 radnika a*. 20 dana j 6h i 192 000

"X" 50 radnika I xdana v 8h v 160 000

i odavde složena proporcija x :20 = 40:50

= 6:8

= 160 000:192 000, pa je:

20-40-6-160000

x = ------------------------= 10 dana.

50-8-192 000

12 sijalica.

62 kg.

4 500 kruna.

Posle 15 dana otišlo je 13 radnika. Znači da posle 15 dana 65 radniku

treba još 10 dana da rade, pa da posao završe, tj.:

i 65 radnika a . 8 dana

▼52 radnika I x dana

223

65-S

Odakle sledi proporcija .v:8 = 65:52, a = —;- — = 10 dana.

~,0 4 , , i o65 j radnika ^ s 8 dana

384. Iz Seme radnika T x dana

sledi proporcija x: 3 = 6:9, x = ——- = 2 dana.

385. 4 400 dinara.

386. 25 tabli.

4 .3 . R a č u n p o đ e t e i m e š a n j a

387. Ako sa .t označimo dco premije prvog radnika, onda je 270000-i

deo drugog radnika. Po pretpostavci, ovi delovi treba da stoje u

razmeri brojeva 650 i 700, što se izražava proporcijom:

a-; (270 000- a) = 650:700.

Pošto članove druge razmere skratimo sa 50 i primcnimo osnovno

svojstvo proporcije, dobij amo jednačinu:

14a = 13 ■270 000 = 13a

27 a = 13 • 270 000 c? a = 130 000.

Deo premije prvog radnika je 130 000 dinara, a deo drugog je

270 0 0 0 - 130 000= 140 000 dinara.

388. Neka su a, y i z zarade sva tri radnika. One su direktno proporcionalne

brojevima dana i brojevima časova, odnosno ukupnom broju časova:

x:y:z = 150 -6 :9 -8 :1 2 -7

ili

x:y:z = 90:72:84.

Pošto drugu razmeru skratimo sa 6, dobija se proporcija:

a: 15 = y:\2 = z : 14 = £.

Zarade radnika su a = 15a, y = 12k, z = l4Ar, a po uslovu zadatka

njihov je zbir jednak ukupnoj zaradi.

15* + 12* + 14* = 246 000 => k = 6 000.

Zarada prvog radnika a = 15/: = 90 000 dinara, drugog radnika je

y = \ 2k = 72 000 dinara i trećeg z = 14A' = 84 000 dinara.

389.

390.

3 9 1 .

128 in, 216 m, 112 m.

Cu = 287,28 kg, Zn = 155,05 kg, Pb = 13,68 kg.

. a •20 6a

AJco prvo lice dobije a, onda drugo lice dobije a + --------= — .a treće

100 5

224

20

36.v

100 ~25‘

Na osnovu pretpostavke dobiju se jednačina:

x + — = 728000, .t = 200000.

5 25

6.t

Prvo lice dobiju x = 200 000 dinara, drugo — = 240000 dinara, u

, 36.V

treće -— .r = 288 000 dinara.

25

392, Grupa visokokva liti kovanih dobije 252 000 dinara, a svaki radnik ove

grupe po 12 000 dinara, grupa kvali Okovan ih 504 000 dinara, svaki

radnik po 8 000 dinara i treću grupu - 630 000 dinara, po radniku 5 000

dinara.

393. 2,4 m.

394. Ukupan otporje/î = /?, + /?, ~ /?,. Otpori su/f, - 4oma./î, ^ 6omai

/t, = 14 oma,

395. Dobit po pogonima: A - 1380 000 dinara, B - 2 070 000 dinara,

C - 1 035 0C0 i pogon D - 1035 000 dinara.

396. Ako je x količina vode u ilirima 40° C. tada je:

40.x + 25( 90 - .v) = 90 • 30 => r = 30.

Treba 30 / vode od 40° C i 60 / od 25° C.

397, Vrednost x kg pr\'e vrste iznosi v 720 dinara Vrednost {1 200 v) kg

druge vrste iznosi ( 1200 —.v) - 480 dinara. Vrednost 1200 kg

mešavine iznosi 1200 ■640 dinara. Zbir vrednost i pomešamh vrsta

jednak je vrednosti mešavine:

12x + ( 1 2 0 0 - x)48 =1200'64, odakle se dobija .r = 800.

Od prve vrste treba uzeti 800 kg, a od druge vrste 400 kg

398.

399.

Analogno prethodnom zadatku je:

600 x + 900(600 - .v)= 600 • 850, ,x = 100.

Srebra finoće 60G'/„ treba 100 grama, a srebra finoće 900 j, ^00

grama.

. 52• x (144 —$ 88 1 4 4 -7 2 .,.. , . M

Iz jednačme — + ----- ¡ ^ — = dobija se da je .t = 64.

Dakle, treba uzeti 64 / jačine 52%, 80 / jačine X8f c

225

400. Izjednačine 6 ■0.45 + 14 • 0.75 = 20.v nalazimo daje jačina mešavine

x = 0,66.

401. Ako se uzme x kg zlata finoće 900°/w, onda je (30 - v) kg zlata li noće

600%,. Kako su količine čistog zlata pre i posle legiranja jednake,

sleduje:

0,9.v + 06( 30 - .v) = 0.8 • 30 => .v = 20.

402.

403.

Ako se deo vazduha sa azotom označi sa A, kiseonik sa O i ostali

sastojci sa X , tada je:

78 21 J _

N + 0 + A '=546 i N 0 : X =

100' 100' 100’

odakle se dobije da je N = 439,92, <9 = 118,44 i X = 5,64

Upotrebi jednačinu — = -— -t---- + — -

R R. R, Rj

/?, =17 oma, R2 = 34 oma i = 85 oma.

404. Ako je v količina dodatne vode, biće:

900(450 + x) = 450 ■1100 c* .r = 100.

4.4. Procemtni i promilni račun

405. Napomena. - U procentnom računu pojavljuju se tri promenljive

veličine: procenat (p), osnovna vrednost ili glavnica (G) i procentm

iznos ili prinos (P}, a pored ovih i stalna veličina, broj 100 (ili 1000).

U zadacima glavnica se pojavljuje;

a) kao čista glavnica (6) od koje se izračunava prinos. U ovom slučaju

zadatke rešavamo procentnim računom od sto;

b) kao uvećana glavnica ((G + P) - ćista glavnica uvećana za prinos.

U ovom slučaju zadatke rešavamo procentnim računom na sto;

c) kao umanjena glavnica (Cl - P) čista glavnica umanjena za prinos

U ovom slučaju zadatke rešavamo procentnim računom u sto.

U sva tri slučaja iz dve date od triju promenljivih veličina G,P i pi

broja (100 ili I 000) možemo izračunati tTeću nepoznatu veličinu.

15 dinara rabata dobija se od glavnice 100 dinara, P dinara rabatom

dobija se od glavnice 55 300 dinara. Pošto su prinosi (P i i 5) direktno

proporcionalni glavnicama (55 400 i 100), sledi proporcija:

Z5: 15 = 55400:100.

55400-15

odakle je P = ------------- = 8 310 dinara.

J 100

J06. Pošto su P i p direktno proporcionalni uvećanoj glavnici

G+P= 1272000i 100 + p = 106, sledi:

P:p = (G + P):(100 + p),

ili

P: 6= 1272 000:106,

odakle dobijaino:

1272 000-6

P = --------------- = 72 000 dinara.

106

Nabavna cena je G = 1272 000 - 72 000 = 1200 000 dinara.

407. Pošto su P i p direktno proporcionalni umanjenoj glavnici {<7 - P) i

(100- p), sledi:

P :p = (< ?-P ):(100-/> )

ili

P :5 = 212 135:95,

odakle dobijamo:

P = 2121355 = 11 165 dinara

95

Nabavna cena je 212 135 + 11 165 = 223 300 dinara.

408. Prvi iznos je čista, a drugi uvećana glavnica, pa je prinos

P = 5 844 800 - 562 000 = 2 248 000 dinara.

Fond je povećan od 5 620 000 dinara na 224 800 dinara. Fond je

povećan od 100 dinara na p, pa je;

p: 224 800= 100-5620000,

odakle je:

2 248 000

p =------------ = 4%.

5620000

409. Prva suma je Čista, a druga suma umanjena glavnica, pa je prinos

P = 13540- 10 832 = 2 708,

a procenat:

100P 100-2 708 _

p =------ = -------------- = 20%.

G 13540

410. Pre pojeftinjenja 1 m stola je koštao 7 000 dinara, posle pojeftinjenju

košta 6 160 dinara.

411. Poznata je uvećana glavnica, pa je:

„ (G + P)-100

G = --------- ------- = 73000.

100 + p

227

Proizvodnja G + P = 89 060 jedinica.

Norma G = 73000 jedinica.

412.

413.

414.

415.

416.

417.

418.

419.

420.

421.

422.

423.

424.

425.

426.

427.

428.

429.

430.

431.

432.

51 200 dinara.

Poznata je umanjena glavnica, pa se iz proporcije:

<G - P) :(100 - p) = G : 100 ili 37 000 : 94 - G 100 dobite da je tena

koštanja G ~ 400 000 dinara.

Provizija je 576 000 dinara.

8,65%.

5 800 dinara.

94%.

8 % .

34.5 kg.

Kupovna cena je bila 124 000 dinara, a troškovi 4 960 dinara.

2 500 dinara,

5 200 dinara.

82 kg.

10 913 kg.

120 učesnika.

14 000 dinara.

30 dinara.

28 968; 23 376; 62 016.

1,5%.

86 000 dinara,

4 896 dinara.

Postoje 1 251 999 uvećana glavnica, tada je:

1251999-2

= 2499.

1002

Kupovna cena robe je 1249 500 dinara.

1

j Ii

228

Površina cl a tog pravougaomka P, = ab. Površina novog

P3- 1.3« • 0,76 = 0,91 cii = 0,9IP. Dakle, P, manje j c od P. za 9%.

Neka je x - cena prve knjige, y - cena druge knjige. Prema uslovu

zadatka t = y + 0.25y = ¡,25 v. Odatle je v - = O.KO.v. tj.

y = 80%. 125

. y

Akoê x stara cena, a y nova cena. onda je y = 1,5x, odatle .t = — . tj.

x = - y ft 0,667 y, odnosno za 33-% traženo smanjenje

Ako je r broj učenika koji ¡e radio vežbu, tada je

12 32

—- x + — - x + 14 = x, odavde je v = 25 učenika.

100 100 1

-4.5. Kamatni račun

Primedba:

Iznos od /k 100 dinara naraste na p dinara za jk 1godinu:

iznos od I K dinara naraste na I / dinara za ' l godinu.

Kako su ove veličine direktno proporcionalne to jc

I:p = K:\Q0^r:\=>I = — .

100

Ako je K ulog (kapital), p kamatna stopa, / kamata, vrane u

godinama /, tada je:

I = Kpt 540000-7,5-4 = 162 000 dinara.

100 100

Pošto je mesec 12-ti dco godine, biće:

K p m 108 000-8-4

/ = = 2 880 dinara.

1200 I 200

Pošto je dan 360-ti deo računske godine, biće:

K -p d 75000 6-80

/ = ■= 1000 dinara.

36 000 36 000

Primenom obrasca:

1200/

K =-------- , đobijamo da je A' - 120 000 dinara.

p ■m

10% .

25. aprila.

Ako sa x označimo sumu duga, onda je

Tada sledi jednačina:

t - 8 ■4

--------kamata na taj dug

100

229

.v • 8 • 4

x +--------- =132 000 dinara,

100

odakle je x = 100000 dinara.

Dakle, dug je 100 000 dinara, a kamata 32 000 dinara.

Primedba. - Ovde je kapital uvećan za kamatu, onda kamatu i kapital

izračunavamo interesnim računima na sto.

4 4 4 .

445.

446.

447.

448.

449.

450.

Ako je ulog x, onda je interes na taj dug:

X ^ pa sledi jednanačina .v + A =121 500, odakle je

36 000 36 000

,r= 120000 dinara.

x ■4 • 3

Ako sa x označimo sumu duga, onda j e :— —1 trogodišnja kamata na

V- 4 ■3

taj dug. Radi toga dužnik je primio x ----------- . što iznosi 440 000

x 4 • 3

dinara, pa sledi jednačina: x - - ^ —= 440 000, odakle je

x = 500 000 dinara.

Primedba.- Ako je kapital umanjen za kamatu, onda se kamata i

kapital izračunavaju interesnim računom u sto.

Kapital je 230 000 dinara, a kamata 4 600 dinara.

7700 dinara,

K = 220 000 dinara, 1 =2 200 dinara.

150 000 dinara.

444 000 dinara.

230

V

GLAVA

5. IZOMETRIJSJCE TRANSFORMACIJE

5.1. Podudarnost figura

a) Prvo dokazati podudarnost pravouglih trouglova BEC i B,EtC,

(E podnožje visine hh), odakle tledi da je LC = LC, itd.

b) Dokazati podudarnost oba para pravouglih trouglova na koje visina

lih deli trougao; odatle sledi podudarnost trouglova AB( i A B,C

a) Ako je CE = ti i Cj£j = f , pomoćni trouglovi BEC i fl,£jC; su

podudarni (SSS)' odatle je ugao B jednak uglu Bt itd.

b) Pravougli trougao CDE, gde je CD = l\ , a CE = t i trougao

C,D]E]su podudarni; odatle sledi da su uglovi AEC i A,E,CI jednaki

Trouglovi AEC i AiE[C] su takode podudarni itd.

a) Trouglovi ACF i A,C,F, su podudarni (SUS); odatle sledi daje

a = a, itd.

b) Trouglovi ABO i A^B^QXsu podudarni BQ = .v.t itd.

a) Pravougli trouglovi ABD i /1,/f.D, su podudarni {AD = 1; odatle

sledi da je LB = LBt itd.

Pravougli trouglovi ABC i AiBlCt su podudarni (SUU) itd.

Trouglovi BCD i BlC]D] su podudarni, pa jeDB =D B, i odavde je

AB -D B = AlBl ~ D tBt, lj. AD s A,Dt.

Pravougli trouglovi ADM i BDKf su podudarni (SUS): odatle sledi da

je AM = MB \L MAD = - L MBD itd.

Posmatrajmo trouglove ABC i EDC (si. 3).

Pošto je: BC = CD (pretpostavka).

L \ = L2 = 90° (pretpostavka),

¿3 = Z.4 (unakrsni);

tada je A ABC = A CDE => BA = DE = 70 m.

Bez uputstva.

Bez uputstva.

Bez uputstva.

231

470. a) Četvorougao B^CÂî je trapez;

b) Četvorougao AÇ, A,B, je paralelogram, njegove dijagonale se

polove.

471. Iz podudarnosti trouglova BAF i CAE sledi tvrđenje.

472. Neka je AK = AH = CF = CG. Tvrdimo da je četvorougao EFGI!

pravougaonik Zaista AA¿77 = A CFG (zašto?). Odatle sledi daje

EH =FG. !z podudarnosti trouglova BEF i DGH sledi daje

EF — HG. Dakle, četvorougao EFGfl je paralelogram.

Međutim. LAEH + ¿.BEF = 90°, jer je LAEH = 9Ö0—¿vi,

¿-BEF = 90 LB, LA A- Lb — 180°, pa je LFEH = 90c, što znači da

je taj paralelogram pravougaonik.

473. Konstruiše se C£|ifiD i C tD{||2?,£>,Četvorouglovi BECD i BlElCfit

su paralelogram i, AACE = AAlClD] itd.

474. Bez uputstva.

475. Ako jeCMLBB' tada je trougao CMB podudaran satrouglom AA'D, pa

j eBM = AA'. Četvorougao MCCB' je pravougaonikCC = MB Aid.

476. Neka je prava C.v\\AB i neka je

/ n . t = -¡¿>} (sİ. 17). Tada su

trouglovi MCD i CDN podudarni

jerje:

CD = CD, LCDM = LCDN = 90°,

LNCD = LCAB, LABC = L MCD

(uglovi sa paralelnim kracima).

Iz podudarnosti sledi daje

CM = CN, pa je trougao MCN

jednak okraki. si. 17

477. Trouglovi BNM, CNP, APM su podudarni jerje

AM = BN = CP — a + d (a stranica trougla ABC),

BM = CN = AP= d i LB = LC = LA. Iz podudarnosti trouglova

sledi tvrđenje MN = NP = PM.

478. Neka je AD težišna duž trougla ABC i neka je BELAD i CFlAD.

F G AD, E G AD. Iz podudarnosti pravouglih trouglova BDE i CDE

sledi d a je BE = CF.

2 3 2

479. Neka je DHLBB,(/? £ M J , tada je DH = EBr Iz podudarnosti

trouglova UDE i BDH i iz pretltodne jednakosti sledi

DE = DH = FBt. Dakle: BE + CF = FB]+ CF = CB,.

480. \° DB = DC (Tačka D pripada simetrali DF duži #C), te je EBCD

jednakokraki.

2° LDBC = LDCB - LBAC => LDAC = ZflC'E. PoStoje

BC —AC (po pretpostavci) i

CE = DA (po pretpostavci),

tada je

ADAC = ABCE (1 stav) =>

BE = DC; a kako je

DC = DB BE = BD i tro-

ugaoDBE je jednakokraki (si. 18).

481. Posmatrajmo trougiove FBM i EDN (si. 19). Kako je

FB = ED = -^ AB, ¿1 = L2 (naizmenični), ¿3 = Z.4 (sa paralelnim

kracima), tada je AFBM s A EDN (II stav) BM = .V/>. Posmatrajmo

takođe trougiove: AFL i FBM, gde je F.P\\BD. Kako je

AF = FB (po pretpostavci). ¿5 = ¿3 (saglasni), ¿6 = AI (saglasim

tada je AAFL = AFBM (II stav) => FL — BM. Pošto je FL - ME .

imamo BM = MN = ND. sto je trebalo dokazati.

A

SI. 19 SI 20

482. TTačka D £ r (s je simetrala duži BC) (si. 20), pa je DB =D(

Troitgao DBC je jednakokraki.

2° AADC = ABCE {[) itd.

483. Ako je A A' visina jednakokrakogtrougla, a MFLAA '(/■'£ I. tad ■

su trouglovi A MF i EME podudarni (zašto?) itd.

484. Posmatrati trougiove ABN i BCM, zatim trougiove ABP \ ACM

233

485. a) Neka je E središte stranice BC. Pomoćnitrougao ABE se lako

/ a

konstruiše, jer su mu poznate sve tri stranice

i

b) Pomoćni trougao ABE se može konstruisati, jer su mu poznate dve

stranice i jedan ugao (r,

486. a) Ako je D podnožje visine hh, pomoćni trougao ABD se lako

konstruiše. Poznati su kateta hh i oštar ugao a.

b) Iskoristiti uputstvo pod a).

487. a) Neka je D podnožje visine ht . Pomoćni pravougli trougao BCD se

lake konstruiše Kružnica k(C, tc) n BD = {£}. Tačka E je

središte stranice AB itd.

b) Neka je E podnožje visine hh. Pomoćni pravougli trougao ABE se

može konstruisati (poznata je kateta hh i hipotenuza c). Ako je D

središte stranice AB, kružnica k(D, tc) n AE = {C}.

488. a) Neka je AE = a + c. Pomoćni trougao AEC se može konstruisati,

B

jer su poznati stranica a + c, ugao E = — i visina hc. Simetrala s duži

EC šeće stranicu AE u tački B itd.

b) Neka je BE = a + b. Pomoćni trougao BEA se može konstruisati

y

(ugao E = , a + b, c) itd.

489. a) Neka je AE = b + a. Pomoćni trougao ABE se može konstruisati

pomoću a + b,c, itd.

b) Pomoćni trougao ABE se može konstruisati pomoću poznatih

elemenata c, a —b, (3. Simetrala duži AE seče pravu BE u tački C itd.

490. a) Pomoćni trougao AEC se može konstruisati pomoću poznatih

f>

elemenata: AE = c —a, ugao E = 90°+ hc itd.

b) Pomoćni trougao AET se može konstruisati jer su poznate njegove

stranice AE = ^ ,A T = ^ t a,ET = ~ 1C, gde je T težište trougla, a E

središte stranice AB itd.

491. a) Nekaje dat raspored tačaka M — A — B — N na pravoj p tako daje

AM = b i BN = a: tada je MV = 2s, Možemo konstruisati pomoćni

2 3 4

trougao MNC, jer je ugao M = — « i • ugao N v = —.

P . Tačke /l i B

2 2

pripadaju duži MN i simetralama duži MC, odnosno NC itd.

b) Iskoristiti analizu zadatka pod a).

492. a) Pomoćni pravougli trougao ABD može se konstruisati, poznata mu

je hipotenuza a i kateta AD = hh itd.

b) Bez uputstva.

c) Pomoćni trougao AMC se može konstruisatijer.su stranica

MC = ci + b, ugao M = --,a ugaoC = 180°-2/?. Simetrale duži AM

i MC seku se u tački B itd.

493. a) Pomoćni pravougli trougao BOE može se konstruisati jer su poznati

kateta DE = a+ h, ugao B = 75° i ugao E = 15°. Presek simetrale v

duži BE i duži DE određuje temeC trougla itd.

b) Trougao BDE može se konstruisati jer su poznati stranica

BE = ii - h, ugao /? = 60° i ugao E = 105° itd

494. a) Pomoćni pravougli trougao ACE se može konstruisati. Poznati su elementi

AACE: kateta CE =a + c,ugaoC = 90°i ugao£ = 22°30'. itd

b) U pravouglom trouglu CEA kateta CE = c -a , ugao = 90° i

ugao E = 67°30'; pa se lako konstruiše itd.

495. b) Iskoristiti da je težišna duž koja odgovara hipotenuzi jednaka

polovini hipoienuze itd.

c) Pomoćni pravougli trougao ACF je odreden katetom CF = n + c i

O

uglomF = — itd.

d) Ako su dati razlika kateta b - a(b >o) i ugao a, pomoćni trougao

ABF je određen katetom AF = b - a, uglom A = a i uglomF = 135‘

496. a) Pomoćni pravougli trougao ABE je određen katetom AE = u + ti.

uglom A = 90° i uglom E = 22° 30' itd.

b) Pomoćni pravougli trougao BEC je odreden katetom BE = J - u.

uglom B = 90° i uglom E = 67° 30': BC je stranica kvadrata itd.

497. a) Trougao AEC je određen stranicom AE = a + b, stranicom l t ' = J

i uglom E = 45°. Simetraia duži CE u preseku sa AE određuju teme B

itd.

b) Pravougli trougao ABE može se konstruisati jer su poznate kateta

AB = a\ k a t e t a = b + ci. Simetraia.vduži AEscčeBE u tačkiC itd

235

c) Trougao AMC se može konstruisati; poznati su: ■stranica

AM = a —b. stranica AC = d i ugao M —135". Presek simetrale ,t

duži MC sa pravom AM odrđuje teme 5 pravougaonika itd.

d) Pravougli trougao ABN je određen katetama AB = a i BN = d - b,

teše lako konstruiše. Simetrala.vduži AN seče pravu BN u tački C itd.

498. a) Može se konstruisati trougao ABC jer su poznate dve stranice i

visina koja odgovara jednoj od njih.

b) Može se konstruisati trougao ABO, gdeje O presek dijagonala.

c) Može se konstruisati trougao ABC, gde je ugao 5 = 180°~ g itd

d) Može se konstruisati pravougli trougao AEO, gde je E projekcija

preseka dijagonala O na stranicu AB.

499.

500.

a) Može se konstruisati pravougli trougao ABO, gde su 0 presek

a

dijagonala, ugao A — — i ugao O = 90° itd.

b) Može se konstruisati pravougli trougao ABO, poznate su katete

d, , d,

AO = - L iOB = - 1 .

2 2. d. cl

c) Trougao ABM je određen stranicama AB = a, AM = -— t- — i

2 2

uglom M = 45°, pa se može konstruisati.

d) Trougao ABL se može konstruisati, jer su ntu poznati

AL = —------ -, AB = a i ugao M = 135°.

a) Neka )qCE\\AD. Trougao EBC se može konstruisati jer su poznate

EB = a —b, EC = d i njegova visina h itd.

b) Trougao EBC se može konstruisati jer su poznati: EB = u-b,

BC = c, ugaoE — a{CE\\AD).

c) Neka je CE\\BD,E pripada pravoj AB. Trougao AEC se može

konstruisati pošto su poznati: AE = a+ b, AC = dt, EC = d2 itd

d) Trougao EBC se može konstruisati pošto su poznati: BE = a - b,

ugao E = a i visina koja odgovara stranici EB itd.

501. Koristiti uputstvo iz prethodnog zadatka.

502. Koristiti uputstvo iz prethodnog zadatka.

503. Bez uputstva.

5.2. Ortogonalnost pravih i ravni. Ugao prave i ravni

506. Traženo geometrijsko mesto tačaka je simetrijska ravan dale duži.

236

508. Neka je D sedište duži AB. Dokažite daje

Af,D i A/, normalna na duži AB (si. 21).

Kako je MA = MB (zašto?), trougao

MAB je jednakokraki, MB je njegova

visina, pa je MDLAB. Slično M ¡D±AB,

dakle ravan određena tačkama MDM,

normalna je sa dve prave koje se seku i

koje joj pripadaju itd.

. a ct-Jl a j l

a) —cm; b )----- cm; c )------ cm.

2 2 2

510. 60° (trougao KIAB je jednakostraničan). si. 21

511. AB = 2a (vidi prethodni zadatak).

512. 9 cm.

513. Neka prava p prodire ravan it u tački K, prava p, je projekcija prave p

na ravan jt; a i b prave koje pripadaju ravni n i simetrične su sa p.

(si. 22), Uočite na pravoj p tačku

p

M i odredite njenu projekciju My

na pravoj p r Kroz tačku M i

konstruišite pravu c±pt ¡odredite

aC\c= {A} i Af~lc = jB\.

Koristeći podudarnost trouglova

KM i A i KM ^B dokažite da su

podudarni i trouglovi KM/i i

KMB, itd.

514. Konstruišite ravan a 1 p, koja

sadrži datu tačku A i ravan j3 ±q,

koja takođe sadrži datu tačku A

(si. 23). Odredite presek ove dve

ravni, tj. a D /? = c. Pošto prava c

pripada ravni a ± p, sledi da je

c l p , a pošto prava c pripada i

ravni j3 ± q, to je c± q. Dakle, c je

tražena prava. Ako pretpostavimo

da ravni a i /? imaju više

zajedničkih pravih, tom slučaju

SI.23

23?

ravni a i /? bi se poklapale i prave p i r/ bi bile normalne na jednu istu

ravan. To bi značilo da su one međusobno paralelne, šio je suprotno

pretpostavci. Znači prava cje jedina prava koja sadrži A i normalna je

pravama p i t/. tj. zadatak ima samo jedno rcšenje.

515.

516.

U trouglu ABC, AC = BC (si. 24)

AB pripada ravni .t, C, je projekcija

temenaC na ravan

(CC, ± 71) AR = 6m,CC, = 2m

i AC = 5 m. Da bismo odredili

traženi ugao, uočimo visinu CD

trougla ABC. a ona je u ovom

slučaju i težišna duž trougla.

Ravan d, određena tačkama C.D

i C, je normalna na AB (pošto je

CD1.AB, C C ,±A B, CC, Jl ji).

Sledi daje ugao CDC, ugao dicdra. Iz pravouglog trougla CDC, je

._____ |

CD = V5: —3: = 4. Pošto je = - sledi daje ugao CDC, =30°

Neka je jisn , prav diedar, tačka A i B na njegovim stranama i A{i B

njihove projekcije na ivici s diedra. (si. 25). Dato je da je

AAi =BB] =a cm i A,B, : AA, = V2. Traže se: ¿.(AB,x),

L (AB, ti , ) i ¿.(AB,.s), Na osnovu pretpostavke je AAtl n , BB ¡Lipa.

su duži AB, i A,B projekcije duži AB na ravan n i ti ,. Sledi da su

¿.(AB.x)= ¿BAB,\ L{AB.n ) = LABA,. Iz jednakosti AA, = o>

A,B, = u ji, pa se iz pravouglog trougla AA,B, dobija

AB, = ÂB'- + A}B- = oV3.

Pošto je trotigao ABB{ takode

pravougli,________

AB = ^¡AB; +BB; = 2a.

U pravouglim trouglovima ABB]

BB, AA, 1

i BAA. je L

1 J AB AB 2

Sledi da je LBAB, = 30° i

LABA, = 30° što znači da je

L(AB,x)= L(AB,Jii)= 30°

238

Da bismo odredili ¿.(A Bts), konslruišimo u ravnih, BC ■>i . I,f --v.

koje se ku u lački C. Dobijeni četvorougao A.B.BC je

pravougaonik, pa je:

(1) 5C = zl.5, = a~Jl i A{C = BB{= a, sledi daje:

(2) AC = 4a ' + a' = a42.

Iz (1) i (2) trougao ABC je jednakokraki, a postoje

AC' + BC' = AB~, on je i pravougli. Dakle,

¿(AB1s) = A.ABC = 45°

5.3. V'ektori

517. U proizvoljnoj lački 0 odredili vektor OA = 3«, a zatim vektor

Ah = 2 v ; vektor OJ? je traženi vektor tj 0 5 = 3tr + 2v (si. 26). Iz

tačkeO, konstruisati vektor 0,/J, = 3». zatim vektor A.b - -2 v

VektorO,S, = 3w— 2v (sl 27).

B

B,

SI 26

SI 27

518. Po pretpostavci jc AO = OC A

05 = DO (sl. 28). Zbir ovih

jednakosti daje

A0+ 0B_= DO+ OC ~->

AB = DC, tj. četvorougao

ABCD je paralelogram.

-,9 AM = AB+ BM

AM = AC+CM

2 AM = AB+ BC+ BM+ CM =

= AB+ BC+ O = AB+ BC. Vektori BM i CM su dva suprotna

vektora, pa je njihov zbir nula vektor.

239

520, Neka su A, B, C, središta stranica BC, AC i AB trougla ABC; AA,,

BB, CC, su vektori koji se poklapaju sa odgovarajućim težišnim

linijama AA,, BB,, CC,, tada je

■ T i?/’ ■m m AD ■ m fA

AA. = AB+---; CC. = CA+ :— : BB. = BC+ — .

2 2 2

Zbir ovih jednakosti daje

AA. + BB.A-ČC. =AB+ — + — + G4+ — + BC =

1 1 1 2 2 2

= ^ ( 5 C + C / l + / i i ) = | 0 = 0 ; AA, + BB, + CC, = 0 , tj.

vektori AA, , BB,, CC, obrazuju trougao.

521.

AC = AB+ AD. DB = A B - AD.

522.

5? = ^ £ . 5 5 = i £ = J l ,

523.

A B = ^ (A C -B D ).

CD = ~(B D - AC ), DA = —(JiC+ ¿D).

2 2

527. b) = 2(m-f n), DD, = - /s£t = —71, /1D = 4 ^

CC, —2(m— n),

= 4 w—2 /?j, CC, = n —m,

528. D £ = —p, EF = — q, AD = 2 q, AE = a q - p,

AC = p+ q , CD = q - p, FA - p - q ,

529. DF = a - p+ q, FG = -b , DG = a+ q~Cp+b),

EF = 2a - p+ q.

534. 0 20 2 = p+ q+ r\ 0 ,0 , = q+ 2 p\ 0 ,0 , = 2 q.

535. Vektori p i q su kolineami ako je p = k q, gde je k E R. Kako je

q = 2(^2 a+ b) = yfl p. vektori p i q su koiinearni;

240

b) (/ = V? p, vektori p i <ysu kolinearni;

c) i/ = V3 p. kolinearni:

d) 1/, nisu kolinearni;

e) r/ = V3 p, kolinearni.

Nisu nikad kolinearni.

Iskoristiti daje MT = MA+ AT, MT = MB+ BT 1

MT = MC+ CT itd.

Vektor NP može se izraziti na ovaj način:

NP = NM+ MD+ DC+ CP,

NP = NA+ AB+ Jp.

Zbir ovih jednakosti se svodi na sledeći način:

2 NP= MD+ DC+ AB = - AB- AF

2

Odavde sledi NP = —AB— — AF.

4 2

(Vektor DC = —AF, a vektor MD —- AB ).

Ako je P središte duži NL i O proizvoljna tačka, tada je:

(1) 5 ? = - ( 0 4 + OB+OĆ+OD).

4

Slično, ako je Q središte duži MK, takode:

(2) 0Q = OA+ 0B+ 5 5 + 55).

Iz (1) i (2) sledi

(3 )P = Q.

Kako tačkaP pripada duži NL, a tačka Q duži MK i znamo daje

(4) NLf)MK={S\, to iz (3) i(4) sledi P = Q =S

Kakoje:PQ = PB+BQ = -BP+BQ, BP = -BA, BQ = -BC, to

— 3 — — 3 —

je PQ = -(B C - BA ) = — AC.

- 1 3 - 4 ----------

Pošto je PQ = - AC, v e k t o r i i AC su kolinearni {PQ\\\C).

241

543. a) Na osnovu si. 29 očigledno je:

(1) AB+BC = AC, AD+DC = 4C;

(2) EF = ~ T b + B C --D C , EF = ~ ~ J b + a D-t--D C,

2 2 2 2

Zbir jednakosti (2) dobija se

2EF = BC+AD ili

(3) EF = ~(BC+AD).

Zbir jednakosti (1) je:

AB+ BC+ AD+ DC = 2 AC<>

A

E 8

(4)(/JB +D C ) + (5C + AD) = 2 AC.

SI. 29

Kombinovanje (3) i (4) dobtja se AB+ DC+ 2EF = 2 AC «■

0 Očigledne su jednakosti:

AB = AG+ GB, BC = BG+ GC,CD = CG+ GD, DA = DG+ GA,

njihov zbir je:

AG+ GB+ BG+ GC + CG + GD + DG+ GA — AB+

BC+ČA+DA = 0

ili GA + GB+ GC + GD ——(AG+ BG +CG+ DG), odnosno

GA+ GB+ GC+ GD = 0, što je trebalo dokazati.

544. a )a+ b =

c) 3 ^ + 3 i = (-ll,6 ),|3 fl+ 3 i|= V i5 7 ;

d) 2 ćt—46 = ( - 18,12), \2a- 46|= 2VTT7.

545. a) v==(—m — 5 ) /+ ( —3m— 4 )/;

b) ni za jednu vrednost parametra m vektor v nije nula vektor.

242

546.

547.

548.

549.

Da bismo vektor v razložili po vektorima a i h. potrebno je da važi

nta+ nb = v (gde su ni i n koeficijenti razlaganja); tada jc

m(2i - j) + n(—4i + 3y) = 4 i + 2 j

(ni - 4n)i + (-n i + 3/i)y = 4 /+ 2 j.

Ovi vektori su jednaki ako i samo ako je

2»i- 4;j = 4 A —m + 3n = 2:

odavde se dobije daje m= 10 i n —4, pa je v==jl0a+ 4 b

m= 2. n = —2.

- 11- 15-

c ~ — a -i-----b.

14 14

Ako je O koordinatni početak pravouglog Dekanovog sistema, tadaje

a = OA2— Oa, i OA] —xi i+ y i /, OAz = *, /+ y2 j.

Zamenom u prethodnu jednakost dobija se da je

a = (x2 - .v,) i + (yt - Jt,;) j = (*, - .v,, y2 - yt ).

550.

.Ako se iskoristi resenje prethodnog zadatka, dobija se:

~AB = ( 1,7), \AB\=- 5^/2; BC = (—7,1), \BC\=5^2;

AC = (—6,8), \AC\= 10;

551.

552.

553.

554.

AB = (9,-3), AD = ( - 1,2), AC = (5.5), BD = (- 10.5),

BC = (—4,8), CD = (-6 ,-3 ).

8 ili-8.

Vektori AB i AC su kolineami, y = 6.

Iz jednakosti ¿ = jfca:m i+4 j — k(3i— 2 j) dobija se k = - 2 i

m = — 6.

555.

556.

D( 9,4). ^ ______

Nekaje druga komponenta sileF, F, =(.v,y). KakojeF = /•+/;.

onda je 2 i + 8 j+ x i + y j = 3 i- 4 j\ odavde je F = ( 1." 1-) •

243

5.4. Osna i centralna simetrija

5.4.1 OSNA SIMETRIJA

Shl.

562.

563.

Neka je AB data duž. s njena osa simetrije, a C tačka koja pripada

istoj poluravm sa tačkomi?. Pošto su

A i C sa suprotnih strana ose .v. to

O iri5 = jA '} (si. 30); tada je

AK = BK. Kako je

AK + KC = BK + KC, a

BK + KC > BC, onda je

AK + KC >BC, tj. AC >BC.

Analiza. - Neka je traženi trougao si .30

AB„C0. Tačka B0 i C„ pripadaju

kracima ugla xOy. Spajanjem B0i

C0 sa simetričnim slikama A-,i A,

tačke A u odnosu na ose simetrije

Ox i Oy dobijamo otvoren obim

trougla, koji je jednak dužini

izlomljene linije

(si. 31). Ova izlomljena linija ima

najmanju dužinu ako pripada

pravoj liniji, tj. C„ i Bu se pokla-

S) 3i

paju sa A, i A2.

Konstrukcija. - Konstmisati simetrične slike 4,i A2 tačke u odnosu

na Ox i Oy. Prava A, A-, seče krake ugla Ox i Oy u lačkamajS iC; one su

temena traženog trougla.

Dokaz.- Dokaz sledi iz analize i konstrukcije;

Diskusija.- Za LxOy < 90°

zadatak ima jedno

rešenje;

za LxOy > 90° nema

rešenja.

Analiza. - Neka je

ABCD traženi romb

(si. 32). Da bismo

konsiruisali romb

treba odrediti jedno

SI. 32

teme, na primer C.

244

Pošto su dijagonale romba njegove ose simetrije, simetrična slika

prave b u odnosu na a seče K u temenu C

Konstrukcija. - Konstruisati pravu /?, simetričnu sliku pravoj h u

odnosu na«. Odrediti sliku A tačkeC i središte^ romba, zatim u ostala

dva temena B i D.

Dokaz. - Dokaz sledi iz analize i konstrukcije,

Diskusija. - 1) bt fl K = {C,C,) dva re.šenja.

2) /;, fl K = {O jedno rešenje.

3) b, C\K = 0 n em a rešenja.

564. Analiza. - Neka je traženi trougao ABC (si. 33) Na produženoj

stranici AB odredimo tačku

D, tako da je AD = n -i- c.

a + c

Trougao ADC je odreden i

može se konstruisati.

Trougao DCB je jednakokraki,

a visina koja odgovara

osnovici je osa simetrije

i seče AD u trećem

temenu trougla.

Konstrukcija.-Konstruisati duž AD = a + c\ na odstojanju h od AD

konstruišemo k\\AD. Kružni luk sa centrom u A i poluprečnikom h

seče pravu k u tački C, a simetrala 5 duži DC seče AD n temenu B

Dokaz. - Trougao ABC je traženi, pošto je AC = b\

AB + BC — AB + BD = a + c, visina ht ~ AM po konstrukciji.

Diskusija. - Za /?t. < b <a + c zadatak ima jedno rešenje.

565. Analiza. - Neka je najpodesnije mesto za vodotoranj u tački C . a

dužina vodovoda AC0 + BCn

minimalna. Neka je 5, simetrična

slika tačke B u odnosu na obalu

MK\ tada je C„B = C0B,, a zbir M

AC0 + CnBx treba da je manji od

bilo koje izlomljene linije koja

spaja A i fl,, tj. izlomljena linija

ACr,Bx (si. 34) treba da poslane

prava linija. Tfl, D MK = (O je

optimalno mesto za vodotoranj.

SI M

Konstrukcija - Konstruiše se simetrična tačkafl. tačke B u odnosu na

obalu MK. ABXD MK = {C} je tražena tačka.

B,

245

Dokaz.- Pretpostavimo da AC + BC nije najkraće rastojanje tačkeC,,

od A i B. tj. AC0 +C0B, <AC+CBt ili AC0 + C„B, <AB„ a to je

protivurečno teoremi o zbiru dve stranice trougla.

Diskusija.—Zadatak ima uvek samo jedno rešenje.

566. Konstruisati simetričnu sliku jednog kraka datog ugla simetrijom ap.

Presek slike kraka sa drugim krakom određuje jedno teme kvadrata itd.

567. Vidi zadatak 562.

569. Neka je // ortocentar AABC, a AX,B.,C^ presečne tačke opisane

kružnice oko A.-1SC, sa produžecima visina trougla. Kako jc

LB = LAA,C (kao periferijski nad istim lukom) i LB = LAtHC (kao

uglovi sa normalnim kracima), tada je LAA,C = LAXHC. tj. A/l,HC

je jednakokrak. Tačke A, i // su simetrične u odnosu na simetralu BC

Analogno postupamo i sa ostalim dvema stranicama.

570. Produžiti stranicu BC za dužinu dijagonale, zatim konstruisati simetralu

duži BE = b+ d itd.

571. Konstruisati pomoćni pravougli trougao ABE, čije su katete a \d - b,

zatim konstruisati simetralu duži AE itd.

577. Ako prava / 3 S,

IC\DC = \ M\ centralno simetrična

slika tačke M je

M, E AB, jer je AB centralno

simetrična slika CD u

odnosu na S'. Pošto su M i

A/, simetrične u odnosu na

S, to je MS = SMt (si. 35).

5.4.2. CENTRALNA SIMETRIJA

578. Analiza. -N eka je MN tražena duž (si. 36). Simetrična slika a, pravea

u odnosu na A prolazi kroz tačku N . Tačke M\ Asu simetrične u

odnosu na A.

Konstrukcija. - Konstruisati centralno

simetrične slike B, i C,

proizvoljnih tačakaS iC prave «u

odnosu na tačku A. tj.

d J B ) = B ,,d jC ) = Cl,

dA{a) = a^, SI. 36

246

o, DK = -|jV }, a NA D a - \M\.

Dokaz. - Dokaz sledi iz analize i konstrukcije.

Diskusija. - 1)«, fl K - \N ,N ,\ dva rešenja;

2) tt, fl K = (A }jedno rešenje;

3) 0, D K = 0nem a rešenja.

579. Analiza. - Neka su ABCD granice parcele,

pri čemu je AB = a,BC = 3a, LS = SH, a

K,E i S je mesta redom: pumpa, stablo i

električni stub (si. 37).

KSDBC = {A*,}, AT, je simetrična tačka za

K u odnosu naS\ takođe su£ i £j centralno

simetrične u odnosu naS; što znači položaj

pravih AD i BC je odreden. SL i SH su

normale prema AD i BC.

Konstrukcija. - Konstruisati sa iste strane — o —

tačke L i H duži LA = HB = a, a u suprotnom

smeruLD = HC = 2a. Tako dobijamo temena parcele (granice).

SI .17

Konstrukcija i dokaz slede iz analize.

Diskusija. -

a) K.S, E ne pripadaju istoj pravoj - jedno rešenje.

b )K,S,E pripadaju istoj pravoj i SK = SE - zadatak je neodređen

c) K,S,E pripadaju istoj pravoj! SK * SE - nema rešenja

2 2 2

585. Konstruisati AATM, gde je AT = w a,TM = - T i AM = ~ ir Ako

jeS.središte duži TM, simetrija d,(zl) = B. tada su 5 i A dva temena, a

T težište trougla.

591. a)r_ * ;

AC ___

- — BC

b) r-*(w = ABA------);

u 2

c) r .+ : (O presek dijagonale).

BO

595. a)r-*(k: = /M ,+ AB).

V

596. Bez uputstva.

5.5. Translacija

247

597.

Analiza. —Neka je traženi AABC (si.38). Preslikali trougao ABC

translacijom za vektor CC, ma kog modula u pravcu paralelnih pravili

u A zI^C ,. Trougao .4,5,C, se može lako konstruisati, zatim ga

preslikati translacijom za vektor CC,, čiji kraj pripada pravoj /.

Konstrukcija.- Nad duži

AtB| = u, Aj £ P-B\ £

konstruisati jednakostra- ~

ntčan trougao /l ,5,(7,, a

translacijom za vektor D

C,C preslikati ga u

AABC.C £ /.

Dokaz. —Dokaz sledi iz analize i konstrukcije.

sl-38

Diskusija. - N ekajet/= p(p, ç)rastojanje između paralelnih pravih.

Tada:

1 °a > d zadatak ima 4 rešenja;

ili a = d, zadatak ima dva rešenja;

3 aa < d zadatak nema rešenja.

598.

599.

602.

Nema uputstva.

Uočiti proizvoljnu tačku A na pravoj /, pa konstruisati duž AB jednaku

datoj duži i paralelnu sa /,, a zatim konstruisati kroz tačku B pravu

?||/a, ? n / 3 = {5,}itd.

Konstrukcija je prikazana na slici 39.

603.

KružnicuK(0,r)preslikati translacijom u K '(0\r) za vektoru, čiji je

intenzitet jednak datoj duži, a pravac isti sa pravom AB.

K' C\K = {N,N,} iliK 'D K , = {N} ili K'nK}= 0 itd .

248

604.

605.

606.

Preslikati datu pravu p translacijom za vektor v u p'.

p’ C\ k = {M , M '} ili p‘ C\k = {M) ili p D k = 0 ud.

U AABC (si. 40) tačka M je središte stranice AC i MN\\AB. Preslikati

duž BN translacijom za vektor MN

u duž PM. Iz podudarnosti trouglova

AAPM = AMNC sledi da je i MN - CN

i AP = MN, a iz translacije je MP = NB

i PB = MN pa je CN = NB i

AB = AP + PB = MN 4- MN = 2MN.

SI. 40

Analiza. —Neka je ABCD traženi trapez (si. 4 i); ako translacijom za

vektor DC preslikamo dijagonalu DB u CE. dobićemo trougao AEG

kome su poznate sve tri stranice.

SI. 41

Konstrukcija. - Konstruisati AAEC stranice AC = d. EC = dt i

AE - a + b, a translacijom duži EC za vektor CD preslikamo u duž

BD.

Dokaz.—Dokaz sledi iz analize i konstrukcije.

Dikusija.— Za \d, —d\<a + b < rf, +d zadatak ima rešenja. Ako

ovaj uslov nije ispunjen, nema rešenja.

607. Analiza.— Neka je ABCD traženi četvorougao (si. 42) a M i N

središta suprotnih stranica AB i CD. Povezivanjem datih elemenata

postižu se sledeće tri translacije: a) preslikati translacijom stranicuBC

za vektor CD u PD: b) duž MN za vektor ND =

u položaj OD:

c) odsečak PD za vektor DA u položaj RA. Iz MQ —-CD i BP - CD

sledi daje Q središte duži AP. a iz RA = PD daje Q presek dijagonala

paralelograma ARPD. Trougao ARD je određen i može se

konstruisati. Trougao APD može se konstruisati jer su mu poznate

249

dve stranice i medijana, a takođe i trongao ABP čije su sve tri stranice

poznate, a samim tim i četvorougao ABCD može se konstruisati.

Konstrukcija. - Konstruisati trougao ARD čije su sve tri stranice

poznate. Preslikati AR translacijom za vektor AD u DP. Konstruisati i

&4BP (poznate sve tri stranice), zatim preslikati DP translacijom za

vektor PB u CB\ dakle četvorougao ABCD je konstruisan.


Diskusija.— Zadatak ima jedno rešenje ako je moguća konstrukcija

trouglova ABD i ABP, tj. ako su ispunjene relacije:

\d —b\ < 2 m < d + bi\a —c\< AP <ci + c.

609. a) Translacijom za vektor DC preslikati AD u EC. Trougao EBC je

pomoćni i može se konstruisati jer su poznati stranica EB = a - b i

nalegli uglovi a i /3 itd.

b) Istu translaciju kao pod a).

Pomoćni trougao EBC može se konstruisati - poznate su sve tri

stranice itd.

c) Translacijom za vektor DC preslikati dijagonalu DB u CE.

Pomoćni trougao AEC može se konstruisati jer su poznate sve tri

stranice: a + b, dt, a-. itd.

5.6. Rotacija

614. Centar rotacije koja preslikava datu duž AB jednaku i neparalelnu sa

nekom duži AlBl je tačka u kojoj se seku simetrale duži. Čije su krajnje

tačke homologne tačke rotacije itd.

250

615. Prescksimetrala duži AB iAZjetačkaO, koja je centar rotacije, a ugao

rotacije je 90°.

616.

617.

Pri rotaciji prava se preslikava u pravu koja zaklapa sa svojim likom

ugao jednak uglu rotacije itd.

Pri rotaciji ugla CAB u smeru kazaljke

na satu oko tačke A, poluprava AC

poklapa se sa polupravom AB.

Pri ovoj orijentaciji imamo:

LCAF = -60°, LBAE = -60°.

AC = AF i AB = AE,

što znači da su tačke E i F slike tačaka

B i C, pri rotaciji oko tačke A za ugao

—60° (si. 43). Duž EF je lik duži BC

za istu rotaciju, pa je EF = BC. SI 43

618. Analiza. - Neka je trougao ABC traženi trougao (si. 44). Pri rotaciji

prave / oko tačke A za ugao a njena slika l, sadrži tačkuC. a slika B

tačke B poklapa se sa tačkom C, pošto je AB = AC.

Konstrukcija.-Neka je AH l i H E /; tadajep-.(//) = //, i

p —(/) = /,, AH i _L/,; /, D k = {C,C,}, p (C) = B. Tačke B i C su

a ~a

temena traženog trougla ABC.


Diskusija. - Ako je

1° /, D k = {C, C, }, dva rešenja:

2° /, fT k = {C}, jedno rešenje;

251

619. Nekaje A, dato teme traženogjednakokrakog trougla, na stranici BC,

Rotacijom stranica AC za dati ugao a , oko tačke A, preslikava se u

A‘C . Neka je A'C'CAB = {C,}. Tačka C, rotacijom za suprotan

ugao —a , oko A, preslikava se u B,. Trougao A,B.C, je traženi

trougao itd.

620. Rotacijom p a(a = 30°) oko tačke A jednog kraka ugla, čija slika u

preseku sa drugim krakom određuje drugo teme trougla itd.

621. Neka su ci, b i c date paralelne prave i neka je .-1 bilo koja tačka na

pravoj a . Rotacijom p-(a = 60°) oko A pravu c preslikamo li c\

c'C\ b = {B\. Suprotnom rotacijom p -B preslikamo u C itd.

622. Neka su ,A\ i A-, tri date koncentrične kružnice, Kt najmanjeg, a

K, najvećeg poluprečnika i neka je A E /i,. Rotacijom p a(ct = 60°)

oko A, kružnicu K preslikati u K \. K \H K z = {ii,5,}, zatim

suprotnom rotacijom p a(a = 60° )B preslikati u C itd.

623. Neka su p, 4 i/-date paralelne prave i neka je A bilo koja tačka prave p.

Rotacijom p_6 (a = 90°) prava r se preslikava u /-’ D q - \B\.

zatim rotacijom p - oko tačke A, tačku B preslikati u D itd.

626. Neka su p i q date paralelne prave, rotacijom p s (a = 90°) oko A

imamo aa(p) = p\ neka je pT \q= {B\ itd.

627. Analogno prethodnom zadatku.

628. Rotirati dati kvadrat oko date tačke za a — 60°.

629. Rotirati jednu datu kružnicu oko date tačke za dati ugao itd.

5.7. Neke važnije teoreme o trouglu, četvorouglu, mnogouglu i

kružnici

630. Proporcija

a:B:v= 1:2:3— = — = —= k <» a = k A B = 2k A y = 3k.

K ' 1 2 3

Ova konjttnkcija sa jednačinom « + /J + y = 180° daje

k + 2k + 3k = 180°«- 6k =180° » k = 30°.

Dakle, a = 30°,/? = 2-k = 60°,y = 3-k = 3-30°= 90° - trougao je

pravougli.

b) a = 30°,/? = 70°, y = 80°;

c) a~B~ 36°,y = 108°.

252

25°.68°.87°.

a| Pravougli,

b) tupougli,

c) oštrougli.

48° ,132°.

45°

135°.

Nema uputstva.

a — 30°, (i = 70°, y = 80°.

a = 60°, ¡i = 80°, y = 40°

a= 80°,/? = 40o,y = 60°

a = 60°,/5 = 24°, y = 96°.

Neka je CD hipotenuzina visina, CE težišna duž iCF simetrala pravog

ugla (si.45). Kakoje ugaoDC'£ = 28°, toje ugaoC£D = 62°. Postoje

CE = EA, tada je LECA = LEAC — 31°. Što znači da je

L ACD = 59°, traženi L DCF = 21 DCA - L FCA = 59°-45° = 14

a = f} = 12°,y= 36°.

Neka je traženi ugao BAD = x (si. 46). Kako je trougao AfX

jednakokraki tada je L CAD = L ADC = a — x.

L ADC = ¿.DAB + L ABD (spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru

dva unutrašnja), tj.

a - x = /3 + x*> a -/3 = 2 x o a - /i = 30°o 2x = 30° o ,v = 15J

24°,60°,96°,

253

645. Kako je AC = BC i AC = CD,

to je BC = CD, trougao BCD je takode jednakokraki (si. 47). Ugao

BCD = a + a = 2a, spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva

unutrašnja nesusedna. Iz trougla BCD imamo d a je

2a + 2x= 180°o a + .x = 90°.

ugao ABD = a + x = 90°, tj. trougao BCD je pravougli.

D

SI. 47

646.

647.

Simetrale CD i CE obrazuju prav ugao (si. 48), tj. ugao ECD = 90°,

CE = CD. Trougao CDE je jednakokrako pravougli, odakle je

a = 115° i /f = 25°.

Neka je ABC pravougli trougao, ugao C = 90°, i neka je CA <CB.

Ako je D podnožje visine, a E tačka duži DB tako da je AD = DE,

irougao AEC jednakokraki (si. 49). Na osnovu pretpostavke

AC = BE =CE, pa je trougao BCE jednakokraki, pri čemu je ugao

AEC = a spoljašnji, pa je a = 2/3. Kako je a + fi = 90°, to je

/S = 30 °,a = 60°(sl. 49). ’

SI. 49

648. Ako se simetrale uglova a i £ seku u tačkiS, tada iz trougla ABS sledi

254

da je —+ —+ 135°= 180°~ ^ + ^ = 45°o a + p = 90°.

2 2

Dakle ugao y — 90°.

649.

650.

651.

652.

653.

654.

655.

656.

657.

658.

L ADC = 22°, L BEC = 34°

a) 58°,61°,61°; b) 48°,66°,66°; c) 74°,53°.53°; d) 32°,74°.74°

70°,70°,40°.

Po pretpostavci L CAE —L ABD —p, a L BAD = L ACE = y

L ADE = fi + y i L AED = P + y. to je L ADE = L AED. Dakle

trougao ADE je jednakokraki.

Na osnovu pretpostavke dobija se da je L DCA = ADAC = 35°.

odatle je AD = DC,

Treći ugao trougla je 72°, a ugao između simetralaje 126°

Bez uputstva.

Neka je AD visina a AE simetrala ugla a. Tada je

LBAE = - yLBAD = W -p,LDAE = - - m ° - B ) = ^ .

2 r 2 H 2

Bez uputstva.

Neka je AD = ltl. Iz trouglova ACD i ABD imamo b < iu + ^ i

a

c< tit + —. Njihov zbir daje h + c<2tJ + a

(1)

b + c —a < ta. Neka je AE = 2la, tada je

AE<BE + AB, (BE = AC), 2ta < ^ Y -o (2) < ~ -

659.

660.

661.

662.

Iz ( 1) i (2) sledi tvrđenje.

Neka je A D težišna duž a A D visina {L A = 90°), tada je trougao /1OB

jednakokraki, L OAB = fi. a L BAD = y, dakle: E D A O = f}-y.

P = 60°

Neka je duž yVP|| AC,PE AB: tada je & CMN s A A’PB. odakle

sledi tvrđenje.

Neka su a, b i c dužine stranica trougla ABC. Poznato je daje ma koja

stranica trougla manja od zbira ostalih dveju stranica, pa je a < b + c

Odavde sledi niz ekvivalencija:

255

a + b + c

a + a <a + b + c o 2a <a+ b+c a <

663.

664.

665.

667.

čime je tvrđenje dokazano.

Kako je kateta pravouglog trougla manja od hipotenuze. biće

ha < c, hh < a, Ii < b. Odavde sledi da je hu + bh + /?, < a + b + c.

Ako jeo c ——; 1„ — — > b —— itd.

Ako su M ,N ,P,Q redom središta stranica AB.BC.CD i AD romba

ABCD. tada je MN = | AC, PQ = ^ AC i PN = ^BD, MQ = ^BD

(zadatak 438). Odavde na osnovu tranzitivnosti jednakosti sledi daje

MN = PQ\PN = MQ itd.

667.

668.

669.

670.

673.

674.

676.

Iskoristi uputstvo prethodnog zadatka.

Analogno prethodnom zadatku.

b)Težišna duž AA' trougla deli ugao a nauglovea, i a ,

BC

(a, + c t, = a). Takode j e BA' —A'C — .

BC

Iz A ABA \ s obzirom na pretpostavku AA' < ——. sledi daje

AA' < BA' => /J < a, a iz A AA'C je AA' < A'C o y < a. Odavde je

P + y < a l + a2 = a. tj. ($ + y<a. Ako uzmemo u obzir

a + (i + y = 180°, tada je a + a < 180°<» 2a < 180°,a < 90°. što je

trebalo dokazati.

Trouglovi ASM i BSN su jednakokraki (zašto?) itd.

Neka je NC = NB, prava DN seče produžetak stranice AB u tačkif.

A NCD = A NBE itd.

Ako j e D 'e AB i C'G AB, tako da je DD'l AB i CC'± AB tada je

A ACC' = A BDB' itd.

Tangentne duži konstruisane iz tačke na kružnici jednake su, tj.

AM = AN,BM = BP i CP = SN. Obim trougla AB + BC+CA =

AB + BP+PC + 0 L = AB+BM + NC+CA = AM + AN = 2AM,


256

680. Četvrti ugao tog četvorougla jednak je:

360 —(75°+105°+100°)= 360°—280°= 80°.

Kako su uglovi 75° i 105°, 100° i 80° suplementni, pomenuti

četvorougao je tetivni, tj. može se opisati kružnica.

681. 20°; 60°; 100°.

683. Neka je poluprava Bxlb. a s simetrala duži AB. Središte tražene

kružnice nalazi se u preseku poluprave Bx i simetrale x, tj

BxDs= {0} itd.

684. Bez uputstva.

685. Središte kružnice određeno je u preseku normale u datoj tački i

simetrale ugla koji zahvataju date prave itd.

686. Bez uputstva.

687. Konstruišimo tangentu Bi kružniceK(0, R), gdeje/? dati poluprečmk.

zatim tetivu BC, koja sa tangentom Bi gradi dati ugao a, i na kraju

tetivu BA, koja gradi dati ugao sa BC itd.

689. a) Konstruišimo skup tačaka I na rastojanju R od date prave h, a zatim

kružnicu K{(0,r + R). Ako je:

a) AT, P l/= (67,,0,}, O, i O-, su središta traženih kružnica zadatak

ima dva rešenja;

b) KtHI= {O,}, O, je središte tražene kružnice zadatak ima jedno

rešenje;

c) C\ 1= 0 - zadatak nema rešenja.

690. Vidi poznatu teoremu u udžbeniku.

691. Konstruiši skup tačaka iz kojih se data duž vidi pod datim uglom.

692. Data stranica trougla se vidi pod datim uglom itd.

693. Vidi uputstva za prethodne zadatke.

694. Vidi uputstvo prethodnog zadatka.


6^6. Obim trougla a+ b + c se vidi iz teniena pravog ugla pod uglom 135°.

dalje kao prethodni zadaci.

697, Neka je prava i tangenta kružnice K u tački M. Središte tražene

kružnice je presek simetrale s ugla (l,p) i poluprave OM itd.

257

698.

6 9 9 .

7 0 1 .

7 0 5 .

7 0 7 .

7 1 2 .

7 1 3 .

7 1 4 .

7 1 5 .

7 1 6 .

7 1 7 .

7 1 9 .

7 2 0 .

7 2 1 .

7 2 2 .

Tačke N iN t pripadaju pravoj OM i simetrične su u odnosu na tačku

M, tako daje MN = /?,. Središte tražene kružnice je presek prave OM

i simetrale duži Ot N , odnosno duži OxN , itd.

Središte tražene kružnice je presek kružnica L(0,R + r) i

L](Ot,Rx+/-).

Konstruiše se skup tačaka k iz kojeg se data stranica trougla vidi pod

datim uglom, a zatim prava / paralelna sa datom stranicom, na

odstojanju jednakom datoj visini od date stranice. Treće teme trougla

je u preseku kružnice k i prave l. Ako je k D / = {C,Cj}, zadatak ima

dva rešenja. Ako je k CM = {C}, zadatak ima jedno rešenje. Ako je

k n / = 0 , zadatak nema rešenja.

Neka je AA, = tu. Iz trougla AAtB sledi daje:

a . a

ta <c+ —, a iz trougla AA,C daje: ta < b + —.

Ako se uzme zbir ovih nejednakosti, dobija se tvrđenje.

Neka simetrala s katete BC seče ovu katetu u tački E, a hipotenuzu u

tački M. Kako je MB = MC, to je y= d, pa je MC = MB (si. 50).

Postoje e + d = 90°, i a + y= 90°, i y = d to je a = e, pa je MA = MB.

Odatle sledi daje MA = MC = MB, što je trebalo dokazati.

a= 15°.

a = 75°,/?= 105°

a = 54°.

a = 120°.

= 41°.

28° i 46°

11 cm ili 21 cm.

Nema uputstva.

Nema uputstva.

Nema uputstva.

258

Visina trougla a = x + R. IzpravouglogtrouglaO.-lDdobijasedaje:

gde je O centar opisane kružnice, a D središte osnovice trougla. Ako

se eliminiše .v iz prethodnih jednačina, dobija se tvrđenje.

Iskoristiti osobinu srednje linije trapeza.

a = 45°,

= 67°30', y = 90° i <3= 157°30'.

Neka je AM C\BC = {A}. Ugao AKB je spoljašnji ugao trougla ACK,

pa je Z AKB > L ACK. Na isti načinje L AMB > L AKB. Na osnovu

ove dve nejednakosti sledi nejednakost L AMB > L ACB.

Odrediti na pravoj DC, iza D u odnosu

naC, tačku E tako daje

ED = NB (si. 51). Trougao

ABN podudaran je trouglu ADE,

pa je L BAN = L EAD =

Ugao MAE = L EAD = 90°pa

je MA = ME = DM + DE =

= DM + NB.

SI. 51

L CAB — Z DCA, kao naizmenični. L CAB = Z CAB,, Jer je prava

ABt simetrična sa pravom AB u odnosu na CA. Dakle,

Z DCA = L CAB,, pa je trougao AEC jednakokrak (AE = EC). Dalje

je CB, =CB = DA i Z DEA = Z CEB,, kao unakrsni, pa je trougao

ADE podudaran sa trouglom C i^f.

Stranica AB je zajednička hipotenuza pravouglih trouglova ABM i

ABN. Tačke A, B, M i pripadaju kružnici k sa centrom u taćki O, koja

je središte duži AB itd.

Neka je EFD dobijeni trougao (si. 52),

tada je ugao EDF = ^ Z EOF =

= —(180°-a) = 90°——.

2 2

259

Ugao DEF — —L DOF =

^ (1 8 0 °-£ ) = 9 0 - y .

Ugao EFD ~ —L EOD —

2

= —(180°—y )= 90°——.

2 2

(Primedba. Periferijski ugao jednak je

polovini centralnog nad istom tetivom).

733. Na osnovu primedbe u prethodnom zadatku imamo daje

AZXA = LZCA = ^ y ,L ABY = ZYXA = ^ (si. 53), pa je

_ Y + P

L ZXY = LZXA + L AXY =

2

Slično za druga dva ugla.

" £ = “ - w - 2 .

2 2

SI. 53 SI. 54

734. Neka suD,E i F dodirne tačke, i to: B-D-C,C~E-A, A-F-B. Tada

je BD = Bh, CD = CE, AE = AF (tangentne duži), dalje je

BC —AB = B D + C D - B F —AF =

= BD +CE — BD —AE = CE — AE, stoje trebalo dokazati.

735. Uglovi ABD i AEB su pravi (si. 54). Prema tome, AE i BD su visine

trougla ABF, FN je treća visina, tj. FG _LAB.

260

Uglovi: APB,BPC iCPD su međusobno jednaki, kao periferijski nad

jednakim tetivama itd.

Neka je M tačka preseka stranica AB i DC, trouglovi BMC i AMC su

jednakokraki, izračunati njihove uglove itd.

<p= 60°.

Bez uputstva.

Neka je dodirna tačka proizvoljne tangente; tada je

L AOC = L COE = a \L BOD = L DOE = 0 (zašto?). Tada je

2a 4- 2/? 180°

L COD = a + P = = 90°

Neka je E presečna tačka simetrale unutrašnjih uglova a i fi

četvorougla ABCD. Iskoristiti teoremu o zbiru unutrašnjih uglova

trougla AEB i četvorougla ABCD itd.

Neka se simetrale unutrašnjih uglova a i y sekti u tački E pod oštrim

uglom .r. Unutrašnji ugao kod temena E četvorougla ABCD je

180°—x. Iskoristiti teoremu o zbiru unutrašnjih uglova četvorouglova

ABCD i AECD itd.

Simetrala ugla a gradi sa stranicom BC ugao

x = p + ~ Iz sistema a + (i + y= 180°Ay- /J = 90°. sleduje da je

a + 2y = 270°, ~ + y = 135° Iz jednaćine x + y + —= 180° proizlazi

daje x = 180°- 135°= 45°.

30°, 150°.

60°, 30°

Iz podudarnosti trouglova ABF i COF sledi da je trougao AFC

jednakokrako pravougli, pa je ugao 45°.

72°, 36°.

60°.

88°, 92°.

261

752.

Primenom podudarnosti trouglova

imamo:

iz podudarnosti trouglova BCF i

BMF sledi BC = BM.

Iz podudarnosti trouglova

A CD i AND sledi AC = AN.

TrougloviSCA/ i ACN su jednakokraki (si. 55). si. 55

Iz trougla BCM sledi ugao M ---- — — ,

a iz trougla A CN sledi daje ugao N — — —

2

cx "i- Q

Odatle proizlazi da je ugao MCN = — = 45°

753.

754.

755.

756.

757.

758.

759.

760.

761.

762.

763.

765.

766.

Iz podudarnosti trouglova ABG i AEC sledi daje BG = EC, odatle

L ABG = L CEA = ip. Iz trougla

BHE => Z. 77 + 45°+ #?(/i+2) = 120°o n(n + 2)= 10• 12 <=>

n n + 2

n = 10 V n + 2 = 12

27.

= 10; 35 dijagonala.

s„+5 - = (« ” 2 + 5)1808- ( n - 2)180° = 900°.

31500°

45°.

/ = 8.

AD = AE +DE = 8 + 10 = 18. {BE2 = 80, BE2 = ED -AE,

£© = 10).

Kako je A 5/4,5, = AC5,C, (SUS), odatle sledi daje A,B, =B£\

itd.

262

Iskoristiti teoremu o uglu između tangente i tetive i teoremu o

transferzalnim uglovima.

Četvorougao ABMN je tetivni, pa je ugao MNB = 180°-rr, tj. ugao

MNC = a, ugao tCB = a (ugao između tangente i tetive) Kako je

L MNC — Z A'Cr —a, dakle naizmenični uglovi su jednaki, prave

MN i / su paralelne.

Neka je AD H BC = {5} i L ASB = 90°, to je:

(1) AC2 = AS2+CS2

(2) BC2 = BS2+DS2

(3) AB2 = AS2 +BS2

(4) DC2 = DS2 +CS2 .

Z b ir(l)i(2 )je T C 2+ £ C 2= AS2+CS2 + BS: +DS1,

a zbir (3) i {4) AB2 + DC2= AS2 + BS2 + DS2 + CS2,

Odatle je AC2+BC2 = AB2 +DC2; čime je dokaz završen.

Kako je Z CPD = Z APD = Z PDC to jo PC - CD = 1BC, pa je

L BPC = 30° Traženi ugao je L APD - 75°.

a) Trouglovi BCM i CDN su podudarni, pa je L KfBC = L NCD

Kako je L NCD + L NCB = 90°, to je L MBC + L NCB = 90°.

odatle L BEC = 90°

b) Četvorougao ABEN je tetivni, pa je L AEB = L ANE Kako je

L ANB = L CMB = L MBA, to je trougao ABE jednakokraki.

Trouglovi BEC i DCF su podudarni. Iz podudarnosti sledi da je

L BEC = L DCF i L BCE = L DFC i L EBC = L BCD (naizmenični).

U trouglu BEC je : LBEC + L BCE + Z. BCD = 180" ili

L DCF + L BCE + L BCD = 180° Znači duži EC i CF pripadaju

jednoj pravoj.

Neka je tačka M na simetrali datog ugla i BM\\Ax(B & Ay) i

CM\\Ay{C G Ax). Prema tome, četvorougao A CMB je paralelogram

pa je BM = AC, CM = AB. Trougao AMC je jednakokraki (zašto?)

pa je Cd = MC - MB = AB, čime je dokaz završen.

Neka je OEXAB i OGlCD (si. 56). to OE i OG pripadaju jednoj

pravoj, takođe OF i OH pripadaju jednoj pravoj. Sem toga je

OE = OF - OG = OH jer su to visine podudarnih trougtova

AOB,BOC,COD, AOD. Prema tome, dijagonale EG i FH četvorougla

EFGH su jednake i uzajamno se polove, pa je taj četvorougao

pravougaonik.

263

775. Kako je svaki od uglova£.-i£),£,D /ijeđnakpo450, ugao AED = 90° S

druge strane DE\\BG i AE\\CG tj. četvorougao EFGH je pravougli

paralelogram. Međutim GF = CF-CG, EF = DF-DE, postoje

CF = DF i CG = DF to je GF = EF, tj. četvorougao EFGH je kvadrat

(si. 57). itd.

i

776. Neka je u trapezu ABCD,CD<AB i CD = AD + BC. Odredimo

tačkuf tako daj eD —E - C f\DE = DA, tada je CE = CB. Trouglovi

ADE i BCE su jednakokraki.

Odatle je L DAE = L DEA, L CBE = L CEB.

Kako je CD 1|.-4B, to je L DEA = LBAE .LCEB — L EAB.

Odatle proizilazi daje L DAE = LBAE i L CEB = L EAB, tj prave

AE i BE su simetrale uglova A i B na osnovici trapeza.

777. Vidi dokaz u prethodnom zadatku.

SI. 56 SI. 57

778. U datom konveksnom četvorouglu ABCD neka su dijagonale

AC = I,BD = f , treba dokazati da je /+ / >a + c ili / + f > b+d.

Neka su: A,5, ||,4C i C,Dt || AC,D E 0 ,0 , ,B £= A,Bt a

B,C, ||BD i AtD, ||BD,B £ AAtBn D E C,D, (si. 58 ).

Iz odgovarajućih paralelograma sledi daje:

AA, =B,C = x:AlB = D,D = y;BB, = DC, =z\AD, =CC, = u.

Iz trouglova AA^B,BB^C,CCtD, ADD{sledi redom:

x + y > a, x + z > b, z + u > c, y+ u > d.

Zbirovi prve i treće nejednačine, zatim druge i četvrte su:

(1) x+y+ z+ u>a+c

(2) x + y + z + u > b + d.

Kako je y+ z = t,x+u = f (1) i (2) postaju

(3) 1+f >a + c i 1+f > b + d,

što je trebalo dokazati.

264

779. Ako iskoristimo oznake i sliku prethodnog zadatka imamo:

/< ( j+ i ) ,/ < c + ^ ,/< A + f , / <a + d, njihov zbir je

21+2 f < 2(7+ 2b + 2c + 2d ili

(4) / + f <.a+ b + c+ d.

S druge strane, zbir (3) iz prethodnog zadatka 21+ 2f> a+ b + c+cl

ili

a+b+c+d . ,

(5) ---------------< / + / .

Iz (4) i (5) imamo

a+b+c+d

--------------- < 1+ J <a+ b + c + d, što je i trebalo dokazati.

780. Ako su unutrašnji uglovi a,(i,y,6 a spoljašnji tada je

a+ft+y+d= 360°o y + d = !80°-a + 180°—/3.

Kako je a , = 180°—a, /?, = 180°-/?, dobijamo neposredno da je

y + d = + /?,. Kraj dokaza.

781. Neka je At tangenta u tački A kružnice opisane oko trougla ABC

Kako je četvorougao BCBiCi tetivni (si.59) to je fi + f= 180°. sa

druge strane, (zašto'.’) sledi

d a je d = tu. Dakle, At\\C,B,,(OA±At), Sto je trebalo dokazati.

782. Neka je ugao pri vrhu a a uglovi na osnovici /? i y (/? = y), tada je

/? = y = 2a, pa je a + /? + y = Sa = 180°=> a = 36°,/Š = y= 72".

Centralni ugao BOC = 72° Manji luk BC je petina kružne linije a

tetiva BC stranica pravilnog petougla.

265

a b ci2 2

783. Kako je a = R-Jl, b = R^l3, odatle je —¡= = -7= ^

V2 V3 6- 3

783. Neka je u A ABC, LC = 90°, CD = DB, BE = /?, /!£ = <7, tada jc

p2=BD2 —DE2,q2 = ad2- de2.

Njihova razlika p 2 - q' = /1D" ~BD’ = AD~ -C D : = AC2.

784. a) Na osnovu pretpostavke imamo

^ = 1710 o n( n - 3) = 3 420 o n( n - 3) = 60 • 57 «■ n = 60.

Dakle, mnogougao ima 60 stranica,

b) Nema rešenja.

786. Neka su x,y,z tangentne duži konstruisane iz temena A.B.C. Tada

je (;t+ z)2 + (}>+ z )' = (x+ y)2 o xz+ yzA- z 2 — xy<t>

xz + x}’+ yz + z2 = 2xy «■ (_y + z)(x+ z) = 2xy. Kraj dokaza.

785. Na osnovu pretpostavke je

u (» -3 ) + 45 =

(w + 5)(n + 2) o IO« = 80 o n = 8.

786. Neka je D tačka duži AM takva da je MD = MB. Trougao BMD je

jednakostraničan BD = BM. Iz podudarnosti trouglova ABD i BMC

sledi da je AD = CM, pa je AM = AD + DM = CM + BM.

787. Ako je broj stranica mnogougla n, tada je

n(n — 3) (/7 + 5 ) ( /7 + 2)

—-------- + 1990 = — — —-------- o n = 388.

790. Kako je ”(- - - = 8« o n = 19. Pa je (19 - 2) 180° = 3 060°

266

V I GLAVA

6. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI

6.1. Polinomi i operacije sa njima

1- 2a+ 4a2 + 5a\

a) 3a2 + 6x + 3; b) a4 —a3+ a2 - 1+ 1.

11+ 10.Y+ 4.v2 + 9a3.

2a4 + 3.V3 —13a2 + 13a—11.

a) *3+ 3x2 + b) jc3 + a2 —x—2; c) jr f 3a4 + x - a + 1.

a )—9a 2+3;

P(x) — 3—a2.

e) 29a2 + 21a—26.

a) Za određivanje koeficijenata a,b,c treba da iskoristimo teoremu:

dva polinoma su identički jednaka ako su im odgovarajući koeficijenti

uz iste stepene jednaki. Sređeni polinom

Q( a) = ax3 + (b —2a)x~ + (c—2b)x—2c.

Ako iskoristimo navedenu teoremu dobija se:

P(a)= Q(a) » ax' + (b-2a)x2 + (c-2b)x-2c = 2x3-9 a“ +l3.r-6.

Daljom primenom teoreme dobija se:

a = 2A ¿ —2a = — 9Aa —2 b = 13 A —2c = —6»

a= 2A b= —5Ac= 3.

Dakle, vrednosti realnih parametara za koje je R{a) = £?(a)su

a = 2,b = -5, c— 3;

b) a= 6, b = —17, c = 12; c) a = 4, b = -12, c = 5;

d) a = 1, b = —3, c = 3; e) ne postoji polinom ax' + bx+c koji

zadovoljava postavljeni uslov.

a )A -l; b) 3a—5; c ) 2 a 2 + 3a+4; d) 2a—1.

a)a-b\ b)a2-ab+ b2; c)a-b; d) a- 1.

a) a = 1; b) a = 0,5.

a) a = —2, b = —5,c= 6; b) a= -7 , b = I,c = 6.

Ostatak r = p( 1) = 1. (Bezuov stav).

r = p (-2) = 255.

267

806.

807.

r =

175

8

Ostatak dcljenja polinoma P(x) sa f(x) jc linearni

r(x) = ax + b, tj.

P(x) r(x)

(1) = Q(X) + ~ P(x) = Q{x)f( X) + ax + b.

/{-v) /(.v)

polinom

Za date polinome dobija se

/*(*) = S?(.t)(.r—3)(.v —1) + oj.+ b. KakojeP(3) = - 1a />(l) = - 3(

tada iz (1) imamo 3o + 6 = —1A o + 6 = —3. Odavde je

o = l ,6 = —4, r( .r) = .v —4.

808.

809.

810.

811.

812.

813.

814.

815.

816.

817.

818.

819.

820.

821.

822.

r= 2.

r(x)=5.

Kako je

(l)/j(.r) = (a-4- 1X*~ \)Q{x) + ax+b.

Primenom Bezuovog stava P( 1) = 5, P (—1) = 3. Za x = I i x = - 1iz

(1) sledi a+ b = 5A —a+h = 3. Odatle jeo = 1, b = 4. Dakle, ostatak

delcnja P(x) sa .v: —1je r(.v) = Jt + 4.

r(.r)= 3at+ 3.

Primeni Bezuov stav. m= —l.

m, = 5 V m2 = 1.

r —p( 1) = 0<* - r t3+ 4o" —3n = 0 o —n(n —IX«- 3) = 0*»

o rt, = 0 V rt, = 1V o3 = 3.

a = 3, b - 0.

a = —31, A = 71, c = —42.

m= 6.

Iz identiteta

6x5+ mx4 + 27jv3+ m 2 - 5.v 4- 6 = (3*2 - 5* + 6)(a t 3+ bx2 + cx + / )

proizlazi d a je o = 2 , 6 = —3. c= 0,d = 1, m = —19 i rt = —15.

Količnik Q(x) = 2x} —2>x~ + 1.

ni = -14, n= 24, Q(x) = X1 + 3x—4.

ni = 0, rt = 1, Q{x) = x2 + 1 ili m = 0, n = -4 , Q{x) = x‘-4 .

m = - 4 , rt = 4, Q(x) = x - 3.

m= 7, « = !,£ ?(* )- + 3 * + 7.

268

6.2. Rastavljanje polinoma na činioce

a) 4a3+ \2xy + 9y2\

c) ((a + 6) + c)3= ir +b: +c2 + 2ab+2ac+ 2bc\

cl) ( a - (b + c))~ = u~ + b2 + c2- 2ab- 2ac—2bc,

Ii) 2a" +- 2abv6 + 3/r.

a) .v3 + 6a: + 12a + 8;

a) X2 + 2a + 1= (a+ I)3;

, , 4 4

e) a' 4- —aH----;

5 25

g) 1-4/7 + /T = ( l - 2 p ) 3;

b) 8a3—36a3y + 5.ry3—81 y

d) a3 - 4wa + 4/?73= (A-2m)";

0 a 3 + 2-\/5a + 5 = (a + V5)*l

4 2

k ) x * + y 62x*y' = (x'-+y3)2;

l)a3+ 0,25-a = (a-0,5)3.

a) (jc—!)(*+!); c) (4 —a)(4 + a); e) {3a-l)(3a + 1);

0(3ar-V3)(3.v + V3); g) (aV 0 ,1 X 0 + 0,1);

h) (0,5xy—0,01)-(0,5x>'+ 0,01).

g )(a—b)(a + b)(a2 + b~).

a) (o + b-c)(a+ 6 + c); c) (a- 2y—3 r)(.r-2y+ 3z);

d) (a-5b—ab)(a-5b+ab); f) (l-2.v+5.v: )(l + 2.r-5.y3).

a) (2a+ b — x-3y)(2a + 2b + x+3y);

b) (4a—2b+ 1)(—2 6 - 1);

c) 8.v(3y-.v);

d) (2a+ 2¿ + c —5)(2a + 2A—c + 5).

a)(3a-26)(3a+ 26)(9a: + 463);

d)(A-3)(A + 2);

269

832.

833.

834.

835.

836.

837.

838.

839.

840.

841.

842.

270

f)U " l (-V-1).

a) (a - l)(,v2 + a+ 1); c) (1 - 3o)(l + 3a + 9a2 );

d) (4a- 62 )( 16a2 + 4ab2 + 64);

f) (10a—0,16)( 100a2 + a6 + 0,0162).

(,v+ 2)(a2 - 2.V+ 4);

d)

(3+H 9~f-v+;4

e) ( H- 0,1 A')( 1—0,1a + 0,0 U- ); g) (a+ 12)(a‘ + 3a —1).

a) (2.V+ l)2;

d ) 0 '- z ) 2;

a) (a —26)3;

d) (2a- l)3;

b) (0,lx+Sj')2; c)(a+0,5)2;

e)(a: -4 c )2;

b)(3^+j)3;

e)(^ + a2J;

h) - y + 2j •

c) (l + 5m)3;

f)(3m -4a)3.

a)a{a—b); b) 6a3(2a2+ 3); c)mr(l-m);

d) 2a" (a + 3); e) a'nx(an - 1); f) 5a" + l(a" + 2 - 3).

a) 4a( b + 3c - 2ar); b) (a 4- 6)( 2 + .r);

c) 3a26( 3a6- 2 + 462 ); d) (a+ 1)(a - b).

a) (*+ >>)(3 + a);

c) (a+ a'X a-p );

e) (a —3)(6 + c —1);

a) (a + 4)(a+ 4);

c) (a —3)(a2 + 3);

a) ( 2a —3c)( 7 6 —5a);

b) (m+a)(A-^);

d) (a2 + 62)(a+ y)\

f) (a+ y + 1)(p~q + r),

b) (a - 6)(a2 + 262);

d) (2a+ 6)(2a + c).

b) (a + 6)(z2 + z + 1);

c) 2aj'1(2a2 + 1)(4az2 - 3+); d) a(a+ 6)(a-c);

e) (a + y)(a2-a + 1); f) (a+ 6 + c)(a - 1)a.

a) ( a — 1)(a — 9); b) (m +7)(m - 1); c) 2(a+ 1)(a- 6);

d) (a +2)(a + 5); e ) (a+ 6)(a— 1); f) (a - 3)(a- 8).

a) (2 a + 1)(a —3);

d) (3y+2)(y+6);

b) (2a+ 5)(a— 7);

e) (.V+ 2)(a— 1);

c)(2a+l)(3a + 4);

f) 3(26—1)(6 —6).

a) (a + 6 + c)(a + 6 - c);

c) (2 —p+q)(2 + p-q)\

e) (ah-c — 5)(ab-c + 5);

a) (a —6)(a + 6+1);

c) ( 2a — m)( 2a + m —1);

a) (a- >’) ( 2 - a + +);

c) (a - 6)(.r-a+ 6);

a) (7a+ 2)(a + 3)(a—3);

c ) ( - ï- J ’) 2(-v+/);

b)(A->— 3)(a- v+ 3);

d) (4m—3a + 2y)(4m+ 3a- 2>•):

t)(A->/-l)(A+>-+!).

b) {x-y)(x+y~ 1);

d) (a+ 1)(a+ 2)(a—2),

b) (m + « + x - y)(m+ n- r+ y);

d) (3 + a + 6-c)(3 + a - h+c)

b) (a- 1)2(a + 1);

d) O'2 + 1)( a —1){a+ i)

a) (a+ 6)(6 —2)(6+ 2);

b) (A+2)(A- 1)(a2 +A+ 1);

c) (a - l)(a+ l)2(a2 -a + !);

d) (A- 1){a+ 1){p~ q){p2qp + q2).

a) (a- 1)(a+ 1){a + 3)(a2 - 3a + 9);

b) (a - l)(a+ l)(a2-a + l)(a2 +a+ 1);

c) (a- 1)(3»- 1)(a2 + A+ 1)( V2 + y+ 1);

d) (a + 2)(6 —1)(6+ 1)(a2 —2a + 4).

* )(x - y )(x - z)(z-y); b) (6 —4)(6—l)(6 + 3);

c) (a- 3)(a- 4); d) (a+ l)(2a + 4).

a) 5a"(a —2)(a+ 2); b) a"6"(6- 2)(6+ 2);

c) 3ab+i(au+1 —3)(a“+i + 3); d) 4a"(a" -5 )(a" +5).

a) a4+ 4 = a4 + 4a2 + 4 - 4a2 = (a2 + 2)2 - 4a2=

(a2 - 2a+ 2)(a2 - 2a+ 2);

b) (a2 + 2xy+ 2y2 )(a2 - 2xy+ 2y2 );

c) (a2 +a6+ 6: )(a2—2a6 + 62);

d) 1+ a2 + a4 ={1 + A2)2- A2= (İ-A+A2)(l+A + A2),

a) A5 + A+ 1 = A5- A2 + a2 + A+ 1= A2(a' - |) + A2 + A + I =

= A2(a- 1)(A2+ A + 1) + ( a2 + A+ 1) = (A2 + A+ 1HA ‘ - A2+ 1).

b ) A* + A4 + l = a' + 2a4 + 1-a4 =

= (a4 - a2)(a4 + a2 + 1) = (a4 - a2 + 1)(a2 + a + !Xa2 —a + !)

a) (a- ^)(a- z)(y - z ) \ b) ((a+ ++ z)1- a3) - ( y3 + z3) =

= (a + >>+ z - a)((a+ > '+ z)2 + a(a+>'+ z) + a2) -

~(y+z)(y2-y z ~ z : ) =

= (_y+ z)(3a2 + 3a7 + 3a>-+ 3az + 3yz) = 3(v+ z)(a+ vKa+ :).

271

c) Neka je x2 + 5x = v, tada je:

yiy+ 10)+24 = y2 + 10y + 24 = (y + 4 )(y + 6) =

(x2 + 5x + 4)(x’ +5.V+ 6) = (x+ l)(x+ 3)(.v+ 4)(x+ 2).

854. Pošto su prosti činioci broja 12: ± 1,±2,±3,±4,±6,± 12, treba odrediti

koji činioć anulira dati polinom. Kako je P( —1) = 0, to je P(.v)

deljiv sa x + l. Količnik je Q(x) = x3 - 3x2 —4x + 12. Dakle,

P(x) = (x + l)(.r - 3x2 - 4.v+ 12). Ponovimo postupak za polinom

Q(x), 0(2) = 0. polinom 0(.v) je deljiv sa x-2, odgovarajući količnik

je x2 —x - 6, pa je:

P(x) = (x+ l)(x-2)(x2 - X— 6) = (x+ 1)(jc- 2)(x + 2 )(.v -3).

855. P(x) = ( x + l ) ( x - l) ( x - 2 ) .

856. / >(x) = (x + 4 )(x + 2 )(x -2 )(x -3 ).

857. ,P(x) = (x + 3)(,x + 2)(x —2)(x —3).

858. P(x) = (x + 2)(x+ l) ( x - l) ( x - 2 ) ( x - 3).

859. P(x) = (x + 3)( x + 2)( x - 1)(x - 2)(x - 3).

860. P(x) = ( x - l)(.v+ l)(x+ 2 )(x - 3)(x+ 4).

864. Dati polinomP(x) = x(x— l)(x2 + x + l)(x‘ + 1)4-1, paje za x > li

x < 0 P (x )> 0 .

S druge strane, P(x) = X1' +(1 - x)(l + x4( 1+ x + x2 + x 3 + x4)), pa

je z a O < x < l takođe P (x )> 0 , tj. polinom P(x) je pozitivan /.a

svako x.

865. Kako je P( ti) = (n~ —n + 1), sledi da je P(n) > 0 za svako n.

869. —a —b ~j .

870. (x —l)(x+ 1)(at2 + 1)(a:8 + 1) itd.

871. (~a+ b + c+d)(a-b + c+d)(a+ b-c+d)(a+ b + c-d).

872. (x —l)(x+ l) ( y - 1)0>+ l ) ( z - l)(z + 1).

873. (x 2 + y 2)2 + 2(x2 + y2) + 1 - 4 x2y2 = (x2 + y2 + l)2 - 4x2y2 =

= (x 2 + y 2 + 1 ~ 2xy)(x2 + y 2 + 1 + 2xy).

874. ( a + l ) 2(a 2 + l)(fl2- i7+ 1)-

875. Smenom x = ty, dati polinom postaje

_ 7 / 3 + 5 /z + 31/ —30) = y*(t— !)(/ —3 )(/-5 )(/ + 2),

272

j e t = — činioci polinoma su ( x - y )(x -3 y )(x - 5y)(x+ 2y).

y

kako

876.

877.

878.

879.

880.

881.

882.

883.

(x+2)(x + 4)(x2 + 5x+ 8), (smena: x2 + 4.x+8 = i).

( x - l)(x + 2 )(x 2 +.x + 5), (smena: x2 + x + I = >»).

Množenjem krajnjih i srednjih činioca proizvoda dati polinom se

svodi na oblik (.V + 8x4- 7)(x" + 8.x+ 15)+ 15.

Smenom .v: + 8.x + 7 = y, postupno se dobijaju činioci datog polinoma

(x + 2){x + 6){x' + 8.x+ 10).

((.x2+ l) + x)(x3+ (x 2+ ! ) ) - ! =

= x3(x2 + l) + *4+(.x2 + l)2 + x(x2 + l ) - l =

= (x2 + l)(.v3 + 2x2 + x) = x(x + l)2(x2 + 1).

(6x3 + l)2.

(2x+2b-a)2.

(x + l)2( x 2 + l) + x ' = (x 2 +1)2 +2.x(.x: + l)+ x ‘ = ( x 2+ l+ x )2.

Smena, a+ - = /, tada je a2 + — = r - 2 , dati polinom postaje,

a

a'

884.

885.

886.

887.

888.

889.

(a2 + a+ l)2.

(x2 + .X—l)1.

Dati polinom se svodi na oblik:

(x2 +5ax + 4a2)(x2 + 5ax + 6a2) + £r'' =

= (x2 + 5ax)2 + 10n: (x2 + 5ax) + 25a4 = (x 2 + 5ax+5a2)2.

Z72(C7+ 1)- = (a (a + l))2.

6.3. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

2 I a

a) —, (a, b * 0);

3a

b)

2

{a, b * 0); c) —, (a,c * 0).

3c

x -f- 2

a) —— , (a * 0, x f--2); b) (x

2 a ■ 2

~b)\

d) -1 , (x * 2); f) ——-.(v ^ O ,

a

890.

a) —(a+ 1), ( a * l) ; b) * “ 4 ,(> -* 0 ,x * 4 );

y

273

891.

892.

893.

894.

895.

896.

,.ü + b+2 . . _ a 3

d)------------.(o + è + 2^ 0 ); e) — -, (a * -3).

. a+ b

b)

b- 1

—— ~>(a7i ±1, JC?4 ±1);

a — 1

a (b + c ) ?

d)-^—;---- , (a,A * 0, b ^ c); e) 1, (x * ± 1, a * ±1).

6

a '+ A " l a" —1

a) ~7~T7’ (û * °’ û * ^ b) —— 0,o ît-l);

a —b a + 1

d) -■ , (a * 0. a * - 1); e ) a " ( a - l) ,( a * 0, a * -1).

a (a -I)

. + X 2 + 1 —X2 (.■r + l)2- * 2 _ ;r-jr+l

a)

X* + x2 + \ + 2x* +2x2 + 2x ( jT + x + I ) 2 j r + j c + l ’

a J + a V + ¿ J + 2 a 2¿ r - 2 a 3fr-2a¿>3 =

b>

(a2 + i?2)2- ( a - 6 ) 2

(a2 + b2 — ab)2 {a2~ab+b2)

(a2 - ab + b2 )(a2 + ab + b2 ) a2 +ab+ b2

a+ b —c

a ) -----------,( a + ¿ + c * 0 ); b) a + 1, (a ^ ± 1);

a— b + c

a+b — 2

c )---- —— , ( a + è * - 2 ) ; d)

a— b+ 2

___________ bc (a + b -c * 0^

(¿ + c)2 - a 2 ’U + c - í> * 0 /

a ) - —7, (Jf ^ 2); b) - — 7, O * - 2); c) - — ^ .( x * a ) .

X—1 y —1 X— b

a) Ako je x < 3, \x— 3j = —(jc—3), onda je:

x|x—3|+ x~ - 9 _ (x— 3)(—x + ,x + 3) 3(.v —3)

2x}- l x 2-9 x ~ x(2x2 - 6 x + 3 x - 9) ~ x(x- 3)(2x + 3)

= ----- ------ , C-v * 3).

x(2x-3)

Ako je x> 3, |jf-3 | = x~3, onda je:

4 - 3 |+ . r —'». ( » - ^ 3 1 . 1 4

2x - 3 x 2 -9 x x(x- 3)(2*+3) x 2

274

898.

899.

900.

901.

902.

903.

904.

905.

906.

907.

908.

909.

910.

911.

1

b ) ----za a < 2;----- - za a > 2;

ci *b 1 (i-f-3

4 1 „ 1 ^

c) — , za x < 2; —za x > 2;

X .V

d) za x < - 1, - za .v G [-1,01 - - * ■ X + 1

r 1 - », z a x >0 ------.

2~ * x-2

a )£ ± l (o *0);

a-2

1

a) (xy * 0, x * ± 1):

i - r

- p c p - <*■**»

a) a-b\ b)(x-a)(x-b) (x*-a,x*-b)

a+ b —c—d

a -b + c —d

a+ b + c —d

a—b — c—d

X + (7 — 1

x+ b—1

a + b

a —b

a2 + b

-,((7 + b + c* 0).

a - - b 2

(7 + 6 + 1

(7+6-1*

(« + h + c+ 2)((7+ b + c + 1), (smena: a + b + c = x).

Na osnovu uslova zadatka dati razlomak je skraćen kvadratnim polinomom

ax2 + bx+c zato važe identiteti:

x J + 3x: + .x - 5 = (ax2 + 6x + c)( v - 1) i

x4 + /x3+ nvc2 +nx+ p = (ax2 + bx + c)(x2 - 4 v + 5), odakle se dobije:

a = 1, b = 4, e —5, / = 0. m = -6 , n = 0 i p = 25.

Za x < 3, A =f x + 1; za x = 3; neodređen: za x > 3, A - x + 3

Za x < 5, ^ = .x + 3; za x = 5, neodređen; za x > 5, A = x - 1.

Za x < 10, A = x+ 6; za x = 10, neodređen: za x > 10. .4 = x+ 12.

275

Q -f- 2

912. A = ---- - ( o * ±2).

a —2

913. al S = a(a-2)(a+ 2); b) S = 3(x —l)3(x + 1);

c) 5 = (_>-+ b)2(a-b); d) S = 6y(y- !)( y+ 1).

914. a) S = 6a(a- 5)2(a + 5)\ b) S = 2(a— !)(«+ 1)(o+ 3);

c) 5 = 5ab(a + b)(a-b); d) S = — 3 (a-5 )(o + 5).

.915. a) S = xy(x+y)2\ b) S = 18(m -n)2(m +n);

c) S = 2(5o- 1)2(5îj+ l)3; d) 5 = -Sa(a2 + 9)3(o3 - 9).

916. a) S = —2(x —2)2(x+ 2); b)S = a (a + 4 )3;

c)5 = 2(ö3 + 1)(ö3- ] ) .

917. a) i 1= —12( 3a —5)2(3 + 5); b) 5 = I0ay(y- \)2(y+ l)2;

c) S = (2a + b)2(2a-b)(4a2 - 2ab+ b2).

918. &)S= I5/7jc2(jc—2)2(.r+ 2)1; b) S = 3 x (2 x - jm)2(2x +>>)2;

c)S = 3abx(x + 2)2(x -2 )1.

919. a ) - ;

b) 1;

. 2m x + 1

C) ; d ) ------- ;

3 a

e) 5—X

920.

80+116 , 4x + 3 y 3 —2 a ,

a)

b) —■ ; c) ■ - ,(ab* 0).

3

24 126-

921.

2b

a) ,(ab* 0,a* ß)\ b) — 36

a(a —b)

a1-9 b 2'

922. a)— —, fxî-^-

' 6(4x2 —1) I, 2)

c) 0, (a * ±2);

923. a) - 1, (xy * 0, x * y)\

c ) f ¿ —,(x * ± 5 );

5—x

2ö3

924. a ) ------, (ab * 0 ,a * b)\

a + b

, lla+x . , , . V

c )---------- , (a * b, x * a).

6(a- x)

d) 0, (xy^ ± l/x * 0).

2x3 + 5x —3

b) (x~ 3)2(x + 3)

,(x * ± 3 );

2 y(y - 9 )

b) ~~Z> (a * ±2);

a+2

d) — , (a* 1,0* 0).

b) 1, (ab * 0,a* ±6);

925. a )2 ,(x * l);

b)

4x3

c)- (-V2 —25)3

926.

2 V

a )—— ,(x * 2 );

1—x

b)

,( x * ± 2 , X * 0);

3 x - 1

„ 12 ,

d )-----~,(a* O

a—1

2x + 6

12

-.(x*3); c )—— ,( x * - l) .

x+5 x+7

927. a )-,(2 x -y * 0, 2x+3y* 0); b) - V- ,( x * ±^).

2 —3x

2(i~5x)

928. a) 6x, \x * - j ;

b)

I + 5x

929. a) —— ,( x * O.İJCİâ);

a+ x

b) — ,(x*a).

x + a

930. a )------ , (a * ± 1);

b ) iî- 6 ,(ab* 0,a* 6);

a + x

»i 2

c) —-*—, (x ^ ± i, o ^ 0); d) —, (x * ± v).

x —1

2

x+,v+ z

931, a) (x * ± 1 ,0 ^ 0); b)

x —1

b + c-a

c) a, ( x * ± 1. x * ± 2, a * - 1).

4mn

1

932. a) —

m~ —n 2 ’

t ) İ , ( z i O , r - ^ i O | ; d)—

X

a

b) - — ,(a,6,c-.x,y * 0);

931 ^ -r—Â ^ b * °);

9ab

6bx

c) (X-5KX+3) b+ y

934. a) (m * 0, n * 0, m * n);

nı+ ;;

c) , x * 0 , x * ± - ;

2x+ 1

x+ 2

11

e ) ^ ± 7 T - l * - < * ~ * * - 7 ;

935. a) ——, (_y * ±a), a * 0, y ^ 0);

y '

b)

2(0-y)

\ + 2x

,<X*±1);

l + x

d)íj, ( x ^ - i ) ;

b) '-—r - A a * b , a * 0 l

O*

276

936.

c) 4 —2a, (a * 0, a * 2).

ax+ by ,,

a) .X+ 5a, (x* 5a);

b) — - t— . (¿>*0, ,r^ 0 , 7 * 0);

c) 3a, f a * 0, x * ± 3a b

d ) 2ab,(n i 0, f e i 0);

e )(w -v )',(i/ ^ v).

937.

938.

939.

940.

4a2+ b2

a)

2 ab

b) (2.Y + a )î\2 .ï-a ); c )l + a; d) .t.

a—2b

a) , (b * 0);

b ) —

2b

x'

, (.y * y * 0, x * - y),

c) 0, (.r * y * 0,*?* —y); d) (x* y * 0.x* >-)■

Za x* 0,.ï ”+i .

1 x+ 1

a ) ------,(x* 0,y* 0,x*-y); b ) ------- ,( * * 0,j>* 0,.x^-v);

x+y

x}’

c ) v 2° (W* 2’a * 4); d) — r ~ T ’ (x * °’y * °)-

3(a—4) y +x

941.

a) (H 56

b) -a,{ait 0,b* 0).

942.

943.

c) — , (a * 0,a * —2).

6a

1

a) x * 2,x* 3,1^^ —

a + 2x

2/

a) - ^ - r , ( x ? * 0 , y * 0,jxj

x + y "

c) X , (x * 0 ,y* 0,|jc| * 2y).

; b) - , (x * -3,x* - 1,** 2a).

a

* y)\ b ) — ^*y,y*o)>

y

944.

945.

278

2 bc

a)

(b + c—a)2

a+2

c) ,(a*0M *l,a*3).

_ n +1

1

a) J Ï Ï ’W * 2*

c )— — ,{c* 2c).

2c-m

b ) — ,{x*0,y*Q ,x*-y)\

xy

1

b)

a-

^

1

-7,(14*1);

946. a) 2j^» (* * y,\A * 2y); b) — ^

(m -1)

-.(m * 0,m* 1);

c) 1, (a & - !)•

947. a) 9a1,IH ^ 3 !: b)

4 a2 + 4a —5

(2a+ l)(2a - 3)"’

a —1

0;

d ) o , | m * - | .

948. a) —— . (M * j>);

x - j

b) 9, (|x)*2,x* 1);

c i— ^ .C N ^ 2. ! ^ !)•

1 1

949. a) Pošto j e ------ +

- onda je:

x —1 x+l \- x

• + ------+

1 ^

■

2 2 2

l - x 1 + * l + x 1- x2 1+ jT l - x s

Dodavanjem ovom zbiru četvrtog razlomka, zatim petog 1

dobija se konačno:

1 1 2 4 8 16 32

• + ------+ ------- - + ------ r + -----r + -

1- x 1+ x 1+ x3 1+ x4 l + x‘ 1+ x14 1- x

(W* i);

b) dati zbir se lako određuje ako se napiše u obliku:

1

1U 1 1 U

x x + l j " U + 1 x + 2 )'\x + 2 x+ 3/

1 1 w 1 1 ] 1

v+3 x + 4) \x + 4 x + 5/ X x+ 5 x(x + 5)

2a-2

c)l; d) 1,(M* *)! e)— ,(a*0,a*2,a*l).

32 ’

šestog

279

950. Za x < 1 razlomak je -1 ; za —1 < j < 1A jc ^ 0, 2 + a—aj

; a za

x3 + 1

a > i, l;

952.

953.

954.

955.

956.

957.

958.

959.

960.

961.

962.

964.

965.

966.

967.

968.

969.

.. « 3 - a2 „ „ 5 —a , x2 —3

b) za a < -2 , •—-----: za —2 < x < 2, ; a za a > 2 ,------- •

x+2 x+2 a+2

2a2

c) ža a < —1,2; za —1 < a < 1, — -----; za a > 1, 0;

2a*-1

1 + A” 1 + A*

d) za a < 0 A a ^ —1,---- —; za a > 0 A 1, a ^ -------.

1 - a 1 A

a) 0, (a 5* b * c); b) 1, (a ^ y ^ z); c) 0, (Jzaj * -b , b * -c).

4.

3a - 2.

2a + 3.

2a+ 1.

ab

(a + 6 )2‘

- 1.

2 k — 1 .

4.

Za a) i b) važi x ^ y ^ z ^ 0, a za c) \ d) a ^ b ^ c ^ 0.

Primedba. U narednim zadacima rad se pojednostavljuje uvođenjem

odgovarajuće smene.

6

—7— ~ r, (smena: y+ 3 = a).

a + ^+3

7 r 7 T 2 - ( £m“ a ^ + 2 = '’).

0, a ^ a 4- b ^ 0, a t* —a — b.

4, [a + jyj ^ A.

1, X + y^ —1.

a 4* y

a+ ^ + 2 ’ \x+^*2.

280

970.

971.

972.

973.

974.

975.

976.

977.

—1, ((cv + b)(c + d) * 0,a + b *■c + d), (smene: a + b = x,c+ d = y)

2a2

, Q c+d|*a).

a + c + d

1ia + c+ d

, (a* b<a c + d).

6 (a—c — d)

2,a+b:+ 1.

-----------1C* + y * U smena: x+ y = a).

x+ y — !

---- — - >'+3).

x+ y+ 3

2

x+a + b

x - a - b

a+ b

(]*)* a+b).

(J.vj & ¿7 + b,a+ h * 0).

978. -----— , (|jc+ H * 1 ).

x + y - \ 1 ■'

979. ,Aa+b*l).

a+b— 1

980. — f-+ ^ (a+b* 0,a+b * 1).

(a+ b —1)'

981. a6, (Ja| 6).

982. 1, (m np * 0, —n, m^ - p , n ^ -p ).

984. 4, (abc ^ 0).

985. b) Kvadriranjem pretpostavke .v+ y+ z = 0 dobija se:

(A) x2 + y 2 + z2 = -2(x)’+yz + xz). Takođe iz pretpostavke se dobija

y — z = —x — 2z, z - x = -y-2x; x -y = -z-2y.

Zbir kvadrata ovih jednakosti svodi se na:

(B) (y-z)2 +(z-x)2 +x-y)2 = 5(x2 +y2 + z: )+4(x>-+.rz + yz\

Količnik (A) i (B) postupno se transformiše na sledeći način:

______ x2 + y2 + z2

________ -2(xy+yz + xz)

(y -z )2+ (z- x)2 + x - y ) 2 5(x2 +y2+ z2)+ 4(.ry + xz + yz)

_ —2(jy'+;tz + _yz) __ J_

—10( xy + xz + yz) + 4{xy + xz + yz) 3

281

c) postoje

I + J. 4. i = 0 => - + —= —

a b c a b c

odakle izlazi:

_1_ J _ J _ = 3_____3_

a2 b~' c3 a2b ab~

Množenjem ove jednakosti sa cibc dobija se:

bc ac ab

— + 7T + — = “ 3c i V U

a~ b~ c Ka b

- 3 , i - b = 3,

što je trebalo dokazati.

986. a) Prvi razlomak tvrđenja proširi se sa z a drugi sa zx i iskoristi daje

xyz = 1.

b) Posle identičnih transformacija leva strana tvrđenja postaje:

*> t . 2 2 i 2 r

, . , . 2 , x - y + x z +y z

x +y +z + -------- ---------------- + 6-

(xyz)

1 z yz xz xy i v x

— xyz + — + -— I----- 1------ 1------- !------1-----

\ xy x y z xyz xz yz)

t t t i 5 5 . 2 2 ./-

= x2 + y2 4- z~ + x~y~ + x‘z ‘ + y~z~ + 6 —

/

x

2

y z~

^

x

7

y

2

+x

. 2

z

2

+

i

y

2

z

2 \

24---- --------1-------------------- = 4;

^ xyz

XV

c) proizvod:

a—b b — c c —a

--------1--------- h

^ c a b ) a—b 6 —1 \ a b

c b2 — bc + ac —a2 c c(a — b) —(a~ - b ) _

= 1 + - = 1 + -

a—b ab a—b ab

= l + — __ 14-— ( c - ( q + f>)>; postoje

a — b ab ab

c — - ( a 4- b), to posmatrani proizvod ima vrednost

2c ^

1 + - — . Na isti način dobijaju se proizvodi:

ab

282

a—b b~c c — a\ a

b —a b —c c—a)

„ 2(a3+ b3+c3)

=3H----—+

= 3 + - = 3 + 2-3abc

ab bc ac abc abc

= 3+ 6 = 9, jer je o + b + c = 0 => o3+ 63+ c 3= 3abc.

987. a) Leva strana se postupno transformiše na sledeći način

1 1 1 1

------i------- 1-------K. ,H —

1-2 2-3 3-4 m(n+1)

i n

1 1

= 11 l + l — -

\2 3V

n n + 1j

1 «+1—1 n

, čime je dokaz završen.

«+1 n+ ! n + 1

b), c), d), analogno pod a).

988. Očigledna jednakost

2k +1 1 1

za k = l,2,3,.../7

At2(At+ l)2 k 2 (* + l)2

postaje —

3

= 1

,

-

1 5 = 1 — ■

22 ’ 22 -32 _ 22 32’

7 1 1 2/i+l 1

32 -42 32 42 ’ ’ /j2(/7+ 1) n 1 (/7+1)2

Sumiranjem gornjih jednakosti dobija se:

3 5 . 7 . . 2/7+ 1 77(77+ 2)

+...+

l2 -22 + 2 2 -32 ' 32-42

b)

989. a2b\

990. 1.

77( 77 + 1)

2 (277+ 1 y

772(t7+ 1 )2 (77+ 1) 2 *

1

283

991.

992.

993.

994.

995.

996.

997.

998.

999.

1000.

1001.

1002.

1003.

1 0 0 4 .

4.

1

o V

abc.

a+b + c

uputstvo:

a+ b + c (uputstvo: 3 = 1+ 1+1).

a+ b + c (brojilac napiši u obliku:

2 a

—a+b + c ■+ 1 +

3 1 1

■+ •

a + 6 + c a + b + c a+b + c a+b + cj

2 b

a —b + c ■+1 +

2c

va + b — c - + 1

16 abc

(\ + a)(l + b)(]+c)

Zamenom datih vrednosti za x,_y i z, dobije se tvrđenje.

—2 (a1 + b2 +ab)

ab

4(5(x))i?(zt(x))+l =

(x*±l,x* 0).

i - — i + 1-x

\ - x 1+ * -4.x

i + — i - l ^

1—x 1 + x

4x + 1 = 0,

Ako se kubira pretpostavka dobija se lanac ekvivalencija

(ia+ /?)3 = (—c)3 o a 3 + 63 + 3ab(ci+ b) = —c 3

a3+ 63 + c 3 = —3ab(a+ b) = 3 abc.

Iz pretpostavke b + c= — a, a + c= — b i a+b = — c, zamenom ove

vrednosti u datu jednakost dobija se tvrđenje.

Iz pretpostavke sledi da je a + b = —c, a + c = —6, pa je

a2 —(b —c)2 = (a + b-c){a + c - b) = 46c, analogno

b2—(a — c)2 = 4oc, c2-{ a -b )2 = 4 ab. Ako se iskoristi prethodni

zadatak d je a 3+ 63 + c 3 = 3abc, dokaz se lako izvodi.

Ako se iskoristi uputstvo iz prethodnog zadatka i ekvivalencija

a+b + c-0<^b2+c2=a2- 26c, tada je prvi sabirak

284

o2(a2 —26c)_ a2{a2 —lbc) _

a A - ( f e - c ) J ( a 2 + ( 6 - c) 2)(£T~ { h - c )2)

a*(a2-2bc) a 2 . , . . b2 . c2

= ---- , analogno drugi sabirak , treći

(2o2 - 4 6 c)4Ac 8 bc

8 ac 8n£

..... .. . a2 b1 c2 a} +b3 +c3 _ 3

Njihov zbir je------ 1------d-------

8 bc 8 ac 8 ab 8 abc 8

1005. Ako je vrednost razlomka c = const, tada je

(.t+ y + mz)2 + (.r+ my+z)2+ (mx + y + z)2 —c = 0.

(x-y)2 + ( y - z ) 2 + (x-z)2

Sređivanjem ove jednakosti dobij a se

F(x.y,z) = Ax2 + Ay2 + A:2 + Bxy + Bxz + Byz, gde je

A = m2 — 2c + 2, B = 4m+2c+2.

F(x,y,z) = 0 ‘» A = 0a B = 0<>m= -2.

1006.

Slično prethodnom zadatku. m = 5V m= 6.

1 1 1 , ... a + b

1007. Iz pretpostavke - + —= — . postupno se dobija------

a b c c

a + c ac b + c bc ... , , ,

~ r — = - 77, ------= — 7, njihov zbir je

b b a a'

a + b a+c b + c I I 1 1 \ ,

------- 1— — H--------= —aba — + — + — \. Kako je

a a

1 1

1 1 1

- + - = — —r + —r + — = — 1odatle sledi tvrđenje

~ 1 abc


1009. Pretpostavka — = —= — = k, se može napisati u obliku,

x y z

(1) m= kx A n = kyA p = kz. Zbir kvadriranih jednačina (1) je

m2 + n2 + p 2 = k 2(j:2 + j>2 + z2)«-

m‘ + n~ + p~

(2) k 2 =

x2 + y 2 + z2

ab

c2

285

Sistem (1) se može napisati u obliku — =

a

Zbir njihovih kvadrata je

6 I?"

Iz (2) i (3) sledi tvrđenje.

VII

GLAVA

7. H0M0TET1JA I SLIČNOST

7.1. Proporcionalnost veličina. Talesova teorema

Konstrukcija. Na polupravoj Ax odredimo redom tačke C. D i F tako

da je AC =m,CD - ni DF = p(sl. 60). Zatim konstruišemo DN \\FB

i CM\\FB. Tačke M i N dele datu duž u datoj razmeri.

Dokaz. —Primenom Talesove teoreme dobij a se:

AM'.MN .NB = AC'.CD JDF ili AM:MN:NB = m:n:p.

Dakle, tačke M i N dele duž AB u razmeri m:n:p.

SI. 60

Na polupravoj Ax odredimo tačke C, D i F tako da je AC = m i

CD = CF = n (si. 61), zatim konstruišimo DB\\CM i CN\\FB.

SI 61

287

Dokaz. —Primenom Talesove teoreme dobija se:

MA _ CA _ m .

~MB~ČD~~n '

(2 )M ± = C A = T.,

NB CF n

Tačka M đeli duž AB unutrašnjom podelom u razmeri m:n, a tačka N

.M A NA

deli duž AB spoljašnjom podelom u istoj razmeri m:n, tj. = — .

1 0 1 2 . Iskoristiti rešenje prethodnog zadatka.

1 0 1 3 . Na polupravoj Axodredimo tačke A/,, A/,, A/,, M Ai Ms tako daje

AM X- A/jA/, = M .A/j = 4 = M ^M ^ zatim

A/4/V JiM 55,"A/3^ ; ||M 55 itd.

1 0 1 4 . Neka je .r dužina tražene duži. Kako je x = cib<* x.a = b: 1, primenom

Talesove teoreme konstruiše se tražena duž.

c) x = —— - (a+ i>):l = (a—b):x,

a+b

a2 —b2

d) x = ----------» a:(a— b) = (a+ b):x.

a

1 0 1 5 . Analogno prethodnom zadatku.

1 0 1 6 . /li? = 12 cm, C5 = 7,2 cm.

1 0 1 7 . BC = 8 cm.

1 0 1 8 . 3:5; 5:2.

1 0 1 9 . 6 m. /

1 0 2 0 . BD:BC = 1:3; EC:BC =1:3. / —

1 0 2 1 . 10 cm i 15 cm. SI. 62

M

/ w

1 0 2 3 . Neka je CM simetrala ugla iLACB, a BD\\CM i A -C -D . Prema

Talesovoj teoremi imamo proporciju (si. 62)

B

D

(I)

AM:MB = AC.CD.

Kako je y = / , y = <3, y' = £, to je e = ¿, ACBD jednakokraki, tj.

CB = CD. Proporcija (1) postaje AM :MB = AC.CB. Kraj dokaza.

288

1024. Iskoristite dokaz prethodnog zadatka (si. 63). Kako je BD\\CN, Ch'

simetrala spoljašnjeg ugla kod temena C, prema Talesovoj teoremi

dobija se AN :NB = AC:CD.

Slika 63.

1025. Neka je DC = x, tada je BD —x —3. Kako je (.t —3):x = 8:14, (na

osnovu prethodna dva zadatka) odatle je .r = 7 cm, BC = 11 cm.

1026. Kako je AE.EB = 7:5, odatle AB :EB = 12:5 (si. 64). Pošto je

BC

BE = BD,dBD = ----, to je AB:BD = 12:5 ili AB:BC = 12:10 = 6:5.

2

1027. U trouglu ABC simetrala ugla B deli stranicu AC na dva dela tako da

je

DC :AD = a:co (DC + AD)JDC = (a + c):a o

. ab

o b.DC = (a + c):a •» DC = ----- .

a + c

U trouglu BCD konstruisana je simetrala CD uglaC, odatle

OD DC _ b

OB a a + c

289

7 .2 . H o m o t e t i j a

1028. Na polupravoj Cx\\AB (si. 65) postupno prenosimo odsečke CD = m,

DE = n, EF = p. Prave ACHBF = {S }, SDD AB = {M} i

S £ rM £ = {//}.

Na osnovu homotetije H(S,k) dobija se AM :m= MN :n= NB :p.

Da bismo podelili duž AB na pet jednakih delova, na polupravu Cx

nanosimo pet jednakih duži, postupno kao u prethodnom slučaju

(si. 66).

_m

s

SI. 65

Ovaj način deljenja duži na jednake delove je opštiji i jednostavniji,

jer je potrebno lenjirom i šestarom konstruisati samo jednu polupravu

paralelnu datoj.

1031. Proizvoljna duž M XPX, čiji krajevi pripadaju dvema stranicama trougla

ABC (si. 67) je stranica

jednakostraničnog

koji je homotetičan sa traženim

trouglom MNP u homotetiji

H (A,K ). Teme N traženog

trougla je presek poluprave

A N , i strane BC.

1032. Neka je xSy dati ugao i A data tačka u oblasti ugla (si. 68). Središte

tražene kružnice pripada simetrali SI datog ugla xSy. Proizvoljna

tačka O, simetrale SI je središte kružnice K {(O ,), koja dodiruje krake

datog ugla. Konstruisana kružnica AT, (O ,) i tražena kružnica su homotetične

u homotetiji H(S,K). Tački A tražene kružnice odgovaraju

dve homotetične tačke M i M x kružnice K{Ox). Poluprečnik

290

sadrži tačku A i paralelan je sa 0 XM ili OtMt, tj.: AO'\\MO] i

£7,M\\\AO. Tačke O i O' su središta tražene kružnice. Ako A pripada

oblasti datog ugla xSy i ¿ jcS z < 180°, zadatak ima dva rešenja.

Si. 68

1034. Kružnice K i su inverzno homotetične u odnosu na centar homotetije

M. Homotetična slika duži AC je duž BD itd.

1035. Iskoristiti homotetiju kružnica itd.

1036. Konstruisati jednakokraki trougao osnovice n i kraka m , zatim dopuniti

trougao do jednakokrakog trapeza dijagonale p, pa potom iskoristiti

datu visinu i homotetiju sa centrom u jednom od temena trapeza.

1037. Konstruisati trapez AB^C^D^ tako daje ABt = m, BlC]= n, visina p

i LA = a dati ugao. Trapez A B ^ ^ , je homotetičan sa traženim

trapezom ABCD, sa centrom homotetije A itd.

1039. Analogno prethodnom zadatku.

1040. Nema uputstva.

1041. Neka je O središte tetive datog odsečka. Konstruisati pravougli trougao

čija je kateta n, hipotenuza m, tačka O središte katete n. Ako je n

stranica, a m dijagonala pravougaonika, traženi pravougaonik je homotetičan

sa ovim u odnosu na centar homotetije tačke O itd.

1042. Iskoristiti homotetiju čiji je centar u centru kružnog isečka.

1043. Neka je / simetrala duži AB, IC\p= {i} i neka je K'(O') ma koja

kružnica sa središtem na simetrali / duži AB i tangenti p. Kružnica

K \0 ') i tražena kružnica homotetične su sa centrom homotetije u

tački S.

291

1044, Neka je pC\¡ = {S}. aK'(O') bilo koja kružnica sa središtem na pravoj

/. Tražena kružnica homotetična je sa kružnicom K ’(O' ) i sa centrom

homotetije u tački S.

1045. BK = 12.

7.3. Sličnost trouglova

1048. U M B C . CH _LAB, CD = 2R (R poluprečnik

opisane kružnice) —(si. 69).

Potrebno je dokazati da je

AC BC =CD CH.

Dokaz. - Kako je LA = LH = 90°,

LB = LD (zašto?)

^ ACHB ~ ACAD => CH :CA = CB:CD

CA CB = CD -CH.

Ako iskoristimo uobičajene oznake

CA = b,CB = a, CH = h c , CD = 2/?.

tvrđenje se može napisati u obliku crb = 2R ■hc.

1049. Dato je: A/l BC, CD LAB, AE JlBC (si. 70). Dokazati:

ADBE - AABC. Dokaz: ugao LB je zajednički za AABE i ACDB.

LE = LD = 90° => AABE -

~ A CDB AB-.BC = BE:DB.

C

Pored toga. AB i BC su stranice

AABC, BE i DB stranice

ADBE, LB je zajednički zahvaćen

ovim stranicama, pa je

ADBE ~ AABC, čime je dokaz

završen.

1051. MN = 5 cm.

1052. 3,2 cm. st 70

1053. 3 cm.

1054. 2.

1055. 6 cm, 4 cm, 6 cm.

1056. 19 cm i 23 cm.

1057. 45, 35, 30.

1058. 8,4 dm.

1059. 12 cm, 15 cm, 9 cm.

292

1060.

1061.

1062.

1063.

1064.

1066.

1067.

1069.

1072.

1073.

1074.

1075.

1076.

1078.

1079.

1080.

1081.

1082.

1083.

44 cm. 77 cm.

16,25 cm.

48 cm.

Nema uputstva.

9 cm.

Na polupravoj AB treba odrediti tačku E tako da je BE - BC = u

tada je AAEC ~ AECB itd.

a

6 cm i 9 cm.

2ms 2ns

m+n m+ n

ah

a+ b

bc

a - b

11,25 km, 1:250 000.

3 cm, 2,4 cm, 1,8 cm, 3,6 cm.

69 cm.

100 cm, 40 cm.

6 cm.

18,6 cm, 27,9 cm, 37,2 cm, si 71

30 cm, 22,5 cm, 13,5 cm, 12 cm.

Analiza. - Ovaj zadatak rešavamo metodom „sličnih slika" Konstruišemo

prvo lik sličan traženom, a zatim ga preslikamo izvesnom

homotetijom na traženi lik. Konsrukcija. - KonstruiSe: o AA'B'C .

tako daje ¿.A' = a, ZB' = /?. Neka jeCC' = ht visina ovog trougla.

Odredimo na polupravoj CCj tačku Cj, tako da je CC, = hL Konstruišimo

zatim sliku trougla CA'B‘ pri homotetiji sa centrom C i

CC,

k = — (si. 71).

CC,

Dokaz. - Dokazujemo da je A-IBC traženi trougao Iz osobine

homotetije sledi daje

LA = LA’ = a, LB = LB’= 0, L C ‘ = ZC, = 90“, tj. CC je visina

293

1084.

1089.

1092.

1093.

1094.

trougla AABC. Po konstrukciji CC, = hc, dakle AABC je zaista

traženi trougao. Iz konstrukcije zaključujemo da zadatak uvek ima

rešenje.

AA'B'C'

Analogno prethodnom zadatku konstruišemo jednakostraničan

itd.

Rd rd

R + r’ R + r

Ako je DE fl AC = {?}, tada je AAEP - APDC, odakle sledi

AP.CP = AE'DE = AE :2AE = 1:2.

kyj4bz - a 2 {a -k )^ 4 b 2- a l

2b

2b

Neka je AE simetrala ugla BAC (si. 72) Tada su trouglovi ABC i

ABE slični (zašto ?). Iz sličnosti je:

AB.AC = BE :AB <» a\b = (b—a),a o a' = b(b —a)-»

b~ = a2 + ab-» b= Ja(a + b).

C

M

1095.

Neka je sC\k = \A,B) \ iDk = {T}. Trouglovi MAT i MBT (si. 73)

su slični jer je LBMT — LAMT i LMTA = ETBA (Ugao između tangente

i tetive i periferijski ugao nad tom tetivom), pa je

MA:MT = MT: MB <=>MT1 = MA ■MB = 4 • 9 = 36 => MT = 6cm.

1096. Neka je AD visina jednakokrakog trougla koja odgovara osnovici, a

E dodirna tačka kraka AB j kružnice, O centar kružnice. Iz sličnosti

pravouglih trouglova ABD i AOE imamo AB:BD = AO:EO= 12:5.

{EO = DO), odatle je BD = 25 cm, BC = 50 cm.

1097. Kako je AM-.MB = b:a<* (AM + MB):MB = (a + b)\a*>

294

Trouglovi BMN i BAC su slični, pa je:

(2) MN:BM = b:a. ,

Iz (1) i (2) dobija se da je MN = ——.

a + b

1098. Kako je BD.AD = a\b o c:BD = (a+ i):« «

ac

(1) BD = a+ b

Iz sličnosti trouglova BED i BCA sledi da je

(2)DE :BD = b:c.

Iz (1) i (2) dobija se daj e DE =

1099. Trouglovi BEA i GEC su slični

(si. 74), odakle je

. . . a-y a 8 a

(1) — - = - 0 ^ = 0 ------.

8 x x

Iz sličnosti trouglova DGF

i GBC imamo

(2)

y_

2 4

a - y . Eliminacijom y iz (1)

x+S

i (2) dobija se jednačina x2 = 256

x = 16 cm.

SI. 74

7 .4 . P r im e n a s lič n o s t i k o d p r a v o u g lo g tr o u g la

1103. TNeka je OxK\\AB u pravouglom trouglu AOO^K hipotenuza

0 0 1= R + r, a katete OK = R - r i 0 :K = /; tada je

i1 = (R + r)3 - (R - r)1 o t1 = 2R ■2r.

2°Kakoje LTAB + LTBA = -LAO T+ ^ T O tB, =

^(AAOT + sLTO,B, ) = 90°,

sledi daje Z.ATB = 90° (si. 75).

3°ZajedniČka unutrašnja tangenta

MT seče AB u tački M, koja je

središte duži AB pošto je

MA — MT = MB. Kako je

M TlO O ] pro-izlazi da je OOy

tangenta kružnice prečnika AB.

295

1104. a) 65 cm, 25 cm, 169 cm, 60 cm; b) 255 crn, 136 cm, 289 cm, 120 cm;

c) 255 cm, 289 cm, 64 cm, 255 cm; d) 338 cm, 50 cm,288 cm. 120 cm,

e) 25 cm. 20 cm, 15 cm, 12 cm.

1105. 18,5 cm.

1106. 24 dm.

1107. 6 cm.

1108. 40 cm.

1109. 13 cm.

1110. 25 cm ili 7 cm.

1112. r = 6 cm.

1114. 5 dm.

1116. Potrebno je konstruisati duž x tako da je a:.v= x:b ili .v2 = ab ili

x = 4ab.

I način Na polupravoj Al konstruisati odsečke HA - a i Hb = b

(si. 76). U tački H konstruisati normaln do presečne tačke M sa

kružnicom prečnika AB. Duž HM = a:.

Dokaz. - Iz pravouglog trougla A MB je H M 2 = AH HB (poznata

teorema), dakle x je geometrijska sredina za a i b.

II način. - Na polupravoj Al konstruisati odsečke AB = b i AH =o

(si. 77). U tački H konstruisati normalu do preseka sa kružnicom

prečnika AB. Duž AM = x.

Dokaz. - Trougao ABM je pravougli, pa je AM 2 = AB-AH

(poznata teorema) x2 = ab.

1117. Duž x je liipotenuza pravouglog trougla SAB, ka tete SA = a i SB = b

(si. 78).

Duž y je kateta pravouglog trougla SAB, hipotenuza BA = a i kateta

296

SB = b (si. 79).

1118. l°Kako je x z = a-ka, sledi daje .r geometrijska sredina duži a i kcr,

dakle konstrukcija može da se izvrši kao u zadatku (1116).

2 Broj k se može uvek predstaviti kao zbir ili razlika kvadrata, pa se

konstrukcija može obaviti kao u zadatku (1117). Na primer, ako se

konstruišu duži OA = a (si. 80). AB = a(ABLOA).

BC = a(BC±OB) itd., dobiju se postupno odsečci

OB = -Ja1 + a' = a-il.

OC = -J3a2 + a~ = u ji,

OD = «V4,

OE = a-IŠ itd.

E>a bismo konstruisali duž

dužine x = a-Jvi, predstavljamo S) no

je na jedan od sledećih načina:

x2 =o-13zrili x2 = (3 a ): + (2rr)' ili x2 = (7a): -(6 o )‘.

1119. Konstrukcija. - Obavićemo postupno sledeće konstrukcije (si. <11

a) konstruisati odsečak m iz jednakosti m1 = ab\

b) konstruisati odsečak n iz jednakosti e\c = d:n,

c) konstruisati odsečak p iz jednakosti p 2= ncf:

d) konstruisati odsečak x iz jednakosti ,t: = n' + p 2\

1120.

1121.

1122.

1 1 2 3 .

1 1 2 4 .

1 1 2 5 .

Kako je -Jl = 7 7 ^1 = V42 - 37 ; -Ju = V T4 = V 4 2- 2 T;

•Jvf = -J17■ 1 = %/4: + l 1, treba konstruisati jednu od prethodnih

konstrukcija.

c) Iskoristiti da je jr = — , gde je y = -sja1 + /r itd.

x‘ a' b' y

Neka je x stranica traženog kvadrata, a, b i c stranice datih kvadrata.

Tada je:

a) X1 = b2 + c : ; b) jT = b2~ c 2 itd.

Ako je x stranica traženog kvadrata, a i b stranice prvog pravougaonika,

a,c i d stranice drugog pravougaonika, tada je

a) x 2 = ab + cd\ b) ,v" = ab —cd itd,

flt = W 2 - V 2 ; an = R - jl ~ S .

a,h i b,h’ su stranice i visine datih trouglova. Ako je x stranica

traženog kvadrata, na osnovu pretpostavke x2 = —-----—. Odavde je

= y 2 - z 2, gde je = ~-h, z 2 = ~ ‘h' itd.

1126.

1 1 2 7 .

1 1 2 8 .

1 1 2 9 .

1 1 3 0 .

Analogno prethodnom zadatku, ako je x stranica traženog kvadrata,

a.h i b,h‘ stranice i visine datih rombova, tada je

x 2 = ah+ bh' — y 2 + z 2, gde je: y 2 = ab i z 2 = bh' itd.

Kako je ispunjena jednakost a2 + b2 = c2, tvrđenje je tačno.

Za p = 2, q = 1; a = 4, b = 3, c = 5.

Za p = 3, g = 1; a = 6, b = 8, c = 10, itd.

Primeni tri puta Pitagorinu teoremu.

Primeni Pitagorinu teoremu.

Iz pravouglih trouglova ACD i ABD (sl.82) je:

( 1) h2=cz-x* ih2 = b2-(a-x)2.

Eliminacijom h iz (1) dobija se:

a2+c2- b 2

(2) ,v = -------------- .

2a

Tada prva jednačina (1) postaje:

298

(3) h2=\c

a2 +c~ - b3

2 a

a2 +c2- b 1

c + - , Ako se zatim od obe

2 a

strane jednakosti a+ b + c = 2s oduzme redom 2a, 2b i 2c, dobijamo

jednakosti;

(4) b + c - a —2 (s-a ),

a + c — b = 2(s—b) i

a+ b — c — 2(s — c).

Jednakost (3) se iransformiše

na oblik (5):

1

(5) h~ = — -(b + a —c)(b~a-c)(a+c-bta+b-¥c).

4 a

Jednakost (4) i (5) određuje nepoznatu visinu h, tj.:

2

h = —tJs(s — a)(s~ b)(s—c).

ah a 2

Tada je površina trougla/>= — = -----Js(s-a)(s-b)(s-c) ili

_____________ 2 2 a

(6) P = J s ( s ~ a ) ( s - b X s - c ) .

Obrazac (6) se naziva Heronov obrazac,

1131. Primenom Pitagorine teoreme

na trouglove A CD i CBD

fsl. 83) dobija se:

h2 = b~ — b2, a* = h2+ (c— )'.

Odatle sledi da je

a2 = b2 +c2 - 2cb{.

Ovaj obrazac se naziva

Karnoov obrazac.

1133. Kako je tJ>AD - A PCB (si. 84),

jer je ugao P zajednički, a

L B - L D , kao periferijski

uglovi nad istim lukom AC.

onda je PA:PC = PD:PB.

Odatle sledi tvrđenje da je:

PA -PB = PC -PD.

c

St H

299

1134. Iz sličnosti trouglova PAM i PMB sledi tvrđenje.

1135. Nema uputstva.

1136. Konstrukcija. —Neka je

BC1 AB i BC = —. Kružni-

2

ca

seče duž AC u

tački D, a kružnicaL(A, AD)

duž AB u tački hi, koja deli

duž AB po zlatnom preseku.

Dokaz. — Ako se iskoriste A

prethodni zadatak i slika 85.

biće:

(1) AB2 = AD AE. si. 85

Neka je AM = xr, tada je AE - a + x, pa

(1) postaje .v(jr + fl) = a: x 2 = a ( a - .r) a:x = x:(a-x), čime je

dokaz završen.

Iz pravouglog trougla je:

A C 2 = AB2+ B C : ^ \^ x + ~ j = a 2 + ( | j o j c + | = ^

~ . r = ^ (V 5 -l),

1138.

1139.

1140.

1141.

1142.

što znači da se tačka A/, koja deli duž a po zlatnom preseku može

računski odrediti.

a-Jmn

x = --------.

n — m

.x = 3a.

Iskoristiti Kamoov obrazac. Tupougli; h= 12.

Ako se dijagonale AC = d i BD = d pravilnog petougla stranice a

seku u tački M, onda je AABC ~ ABCA/. Iz sličnosti sledi da je

d:a - a:(d-x), gde je AM - x. Treba dokazati da je a - x = AM,

odakle sledi tvrđenje.

Pravougli trouglovi ADE i BAD su slični, jer su im jednaki uglovi

DAE i ABD (zašto?), tadaj eDE:AD = AD.AB. Kako je AB = 2AD.

to je DE\AB = 1:2. Znači, DE je polovina stranice AD ili četvrtina

od DC

300

1143.

1144.

1145.

1146.

1147.

1148.

1149.

Iz sličnosti trouglova FBC i DEF

imamo : BC DE = BF.DF = 4,

odatle BC = ADE i AD = ADE.

Prema tome sledi da je AE = İDE

(si. 86).

SI 8b

Na osnovu zadatka 1136. sledi PD 2= PA-PB i PA PB = PE2,

odatle je PD2 - PE2 PD = PE.

R = 5.

Ako je liipotenuza 2.r i na osnovu sličnosti odgovarajućih trouglova

imamo: 30:10 = 2.v:( 10- .r) «■ x = 6 2.v - 12.

Neka je BE L AC, E 6 AC, tačka 0 presek dijagonala. Na osnovu

pretpostavke ugao EBC. = —-90°, znači ugao EBO je polovina pravog

ugla, tj. 45°.

Neka su dodirne tačke na kracima D i E, a na osnovici F. Kako je

AD = AF = BF = BE = 9, CD = CE = 18. Iz sličnosti trouglova

ABC i CDE imamo: AB.DE = ,-lC:CDo 18:£>£ = 27:18, odatle je

DE = 12.

Prečnik AD seče osnovicu BC u tački E. Iz pravouglog trougla ABD,

hipotenuzina visina BE2 = AE-ED

= h(2r-h). Zamenom u

ovu jednačinu a = 2 r- h dobija se h = —r.

1150.

1151.

1152.

1153.

1154.

Neka je BC osnovica trougla, a DF = 2r prečnik kruga (BC'\DF)

Trouglovi ABC i ADF su slični, otuda imamo:

I2:2r = 9:(9 —r) 1 2 (9 -r) = I8 r« r= 3 ,6 .

a r

x = --------. (Uputstvo: iskoristiti sličnost odgovarajućih pravouelih

a+ 2r

trouglova).

r= 13 dm.

.r = 9 dm.

Trouglovi ABD i ACD su pravougli prečnika AD. BD = AC,

EB = BC. Pa je BE2 = 144 - 64 = 80, BE2 =ED AE o ED= 10:

AD= 8 + 1 0 = 18.

301

1 1 5 5 .

1 1 5 6 .

1 1 5 7 .

1 1 5 8 .

1 1 5 9 .

Neka je AE - AC i E - A -B . Trouglovi

kraki i slični, pa je

EB :E C = BC :AC o(b + c):a = a :b o a 2

o a2 = 2(2 + 3 )o o * = 1 0 o a = VTÖ.

Nema uputstva.

a(s — h) h(a - s)

a —h ’ a —h

84

— cm.

13

18 cm, 7 cm.

EBC i AEC su jednako-

b{ b + c) o

302

VIII

G L A V A

8. TRIGONOMETRIJA PRAVOUGLOG TROUGLA

1160.

1162.

8 .1 . T r ig o n o m e t r ij s k e fu n k c ije o š t r o g u g la . O s n o v n e tr ig o n o

m e t r i j s k e id e n t ič n o s t i. R e š a v a n je p r a v o u g lo g tr o u g la

4 3 4 3 . . 3 4 .

sin a = —, cos a = - , tg a = cotg a = sin 0 = cos /3 = —. itd.

5 5 5 4 5 5

6 ¡2 rr

sina = — , cosa = J —, tg a = — , cotg a = v2.

1163.

1164.

19,2 cm. 14,4 cm.

30 cm, 24 cm.

1165.

1168.

a) ^ b) 2; c) 2.

* i . , - , 2V3 ,, 4V3

a) 1; b) 0; c) — ; d) — .

1170.

1171.

1172.

tg a = 1; a = 45°.

, 4 3 . 4

a) cos a = —; tg a = — i cotg a =

5 4 , 3

. . . 4a a" - 4

b) sin a = —-----; cosa = —;— 7.

a2+ 4 a' + 4

. . 9 40 . _ 40

a) stn a = — , cosa = — 1cotg a -

41 41 y

b) sin a = —-----, tg a = — — ,

a + 9 6a

, 6a a 3~ 9

c) cos a = —-----, tg a =

a + 3 6a

1173. i i

99'

303

1174.

1181.

1183.

1185.

1186.

Leva strana date jednakosti može se identično transformisati nasledeći

način:

sin *a + cos' a + sin: a cos3 a = sin3 a(sin : a + cos3 a) + cos: a =

sin3a + cos3a = 1. Važi za svako a.

Iz date jednakosti sledi sin2 a + sin3 = l => sin 3 a = 1 - sin: /? =>

=s>sin3 a — cos3 /?. Kako su uglovi a i /? oštri, to je sin o O ,

cos/? > 0. pa je sina = cos/? sin a = sin(90° —/?)«>

a = 90°-/? «> a + ¡3 = 90°, tj. trougao je pravougli.

Koristiti obrasce za komplementarne uglove.

A= 1.

a) Iz sistema 2sina + 3cosa = 3 A sin3 a -I-cos3 a = 1, nalazimo

(sin a = 0 A cosa = I)VI sin a = — A cósa = —

I 13 13/

1187.

1188.

3 4 . 4 l

b) sin a = - , cos a = —. cj sin a = cos a = —

5 5 2

m2 - 2.

Iz date jednakosti je:

(sin a —cosa) = I r . * , 1 3

— => 2sin a c o s a = 1---- => sin a c o sa =

U ) 4 8

pa je:

sin4a-feo s4 a =

(sin3 a ) 3 + (cos3 a ) 3+ 2 sin3 a cos3a —2 sin3 a cos3 a =

/ 3 \ 2 23

(sin3a + cos3a ) 3-2 (s in a c o s a )3 = 1 —2İ —I = — ,

1189. Za oštre uglove pravougiog trougia važi a + /? = 90°. odakle je:

jS = 90°-28°24’ = 61° 36'.

Iz definicije trigonometrijskih funkcija u pravouglom trouglu je :

a

- = sina«> a = c sin a o o = 50sin 28°24',

c

pa je: 5 ~ 50 • 0,47562 cm ~ 23,78 cm.

Slično je:

304

- = c o s a o b = 50cos28°24' ,

c

pa je b~ 50-0,87965 cm ~ 43,98 cm.

1190. Na osnovu Pitagorine teoreme je:

c = V304: + 2972 = ^92416 + 88 209 = ^180625 = 425 cm.

a 304

Kako j e t g « = —=>tgct = —— => tg a = 1,02357 =* a = 45° 40’.

b 297

iz a + fi = 90° dobijamo /? = 44° 20'.

1191. a) a = 1,662 cm, b = 1,496 cm, /3 = 42°.

1192. a) b = 63 cm, ct = 14° 151.

1193. a) c= 53,12 cm, b = 45,05 cm.

1194. a) b= 380 cm, a = 34° 39'.

1195. a) b - 1,228 cm, c = 2,123 cm.

1196. b= 61,59 cm, y = 75° 36*.

1 1 9 7. a = /8 = 82° 22’ 19", y = 15° 15122".

1198. o = 15,886 cm, a = 66° 36'.

1199. Uočiti jednakokraki trougao čija je osnovica stranica pravouglog devetougla

i krak poluprečnik opisanog kruga. Ugao pri vrhu ovog

trougla je devetina punog ugla. Rešavanjem dobijamo a = 3.371 cm,

R = 3,884 cm.

1200. R= 10,26 cm, r = 9,758 cm.

1201. d\ =21,57 cm, d2 = 10,52 cm.

1202. 4,95 m.

1203. d = ^9^12- ~ 507,16 ni

1 + V3

1204. yp]2 km.

1205. a = 52° 13' 39", R = 7137,69^.

1206. 432,71 m.

305

IX G L A V A

9. LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

1215. Nisu.

9.1. Linearna jednačina sa jednom nepoznatom

1217. Tvrđenje je tačno jer se data jednačina svodi na 0 -x = 3.

1218. Data jednačina je neodređena jer se svodi na oblik 0 -.r= 0.

1219. Nisu, jer im se skupovi rešenja ne poklapaju.

1221. a) —27; b) neodređena; c) 7.

1222. a )2 ;b)l;c)-^

1223. a) —3; b) —1,1; c) nemoguća.

1224. x = 10.

1225. x = -4.

1226. x = 12.

1227. x= 2

1228. x=9.

1229. x = —3.

1230. x= l,\.

1231. a) 3; b) 13; c) 5--; d)

1232. a) Nemoguća; b) 3; c) 7; d) 19.

1233. a) Neodređena; b) —; c) 3.

1234. a) 0,1; b) 20; c) 0,808.

1235. Data konjunkcija * + 3 * 0 A j r - 9 = 0 o

o x + 3 ^ 0 A ( i - 3)(x+ 3) = 0 o

o , v - 3 = 0, odnosno .t = 3,

tj. Rešenje date konjunkcije je x= 3;

6

b) j: = —1; c) x = ——.

306

x —3

1236. a) Data jednačina — = 0 o x - 3= OA x+1 * o

« i -3=O o i = 3,

tj. rešenje date jednačine je x= 3.

1237. a) x = —0,6; b) x = c ) x = l; d) x= 12.

1238. a ) y = 3 ; b ) y = 9 ;

1239. a )o e /? \{ 0 ,2 } ; b) x G 0 ; c) z = 3.

1240. * —

1241.

1242. x = —3 ,||x |^ oj.

1243. x = 1 6 ,( x * 3 ,x * - 4 ) .

1244. y = 2 2 ,(\)\* 2 ,y * -3 ).

1245. . y = - 5 0 ,( j '* 6 1y * - l , y * - 3 ) .

1246. r = |, ( |f |* 4 ) .

1247. Nema rešenje. Zašto?

1248. a) x = —1; b ).t = y; c).r = -8.5; d)x = ^ .

1249. a) y = - l ; b) y = ~^- c) y=4.

1250. a) Ako je x < 0, data jednačina:

|.t]+ 2 (x -3 )= 6 o - ,r + 2 .r - 6 = 6 A .t< 0 « .r= 12A x< 0

Ova konjunkcija je _L, pa jednačina u ovom slučaju nema remenja.

Ako je x > 0, data jednačina:

|xj+ 2(ar—3) = 6*» x + 2 x -6 = 6 A x ž O

3x= 12A _r>0

x = 4 A x>0.

Konjunkcija je tačna za x = 4; dakle rešenje date jednačine je x = 4.

b)x = —2 V x = 6 ; c)x = OV.r = 1. d )jr= -5 V x = -j;

307

e) 0 < x < 1; f)-2 < x < 3 ; h) x, = lVx2 = 3; k)x>6;

1) -V, = 1V x2 = m)x = -2V x> 2.

1251.

a) .VG [-5.2]; b) x G [7,+ oo); c)xG(-oo,5];

d) xG[4,+ oo); e) x = 11V x = —15; 0 x = 24V x = -12.

1252.

1253.

1254.

_ 4(7 + 472)

* 17

_ 3(375 + 2)

41

41-72

1255.

49VŠ

X = -----------

1256.

1257.

1258.

_ 5(7 + 76)

43

x = (12-7V6)(l + V2).

1259.

1260.

1261.

1262.

1263.

1264.

1265.

5710+13

x = -------------.

2

a) y =3; b) y = ^-\ c) y = ^ , d)v=3.

Z

o

a) x=]-\ b) X = —2.

X = 24.

X = 2.

x= 10.

x= 24.

308

1266. -r = 15.

1267. x —20.

1268. a).v= 3; b).v=24.

1269. a) Data jeđnačina je ekvivalentna jednačini:

(m—2 )(/m + 2)jc= —(/«+ 2).

Za egzistenciju rešenja date jedračine u zavisnosti od realnog

parametra postoje sledeće mogućnosti:

I slučaj. - Ako je (m—2)(/n+2)?t 0, tj.

m * ±2, Tada data jeđnačina ima broj------ kao jedinstveno reženje.

2 —m

II slučaj. —Za ;h—2 = 0, tj. /?; = 2. Pošto smo za m dobili sasvim

određenu vrednost, prethodno ćemo odrediti jednačinu koja

odgovara toj vrednosti.

To je jeđnačina:

(2 - 2)4* = -4 , tj. 0 •* = ~ I i ona je nemoguća.

III slučaj. —Ako je m+ 2 = 0, tj. m — -2. Za tu vrednost parametra m

data jeđnačina se svodi na jednačinu

0 ■x = 0, svaki realan broj je njeno rešenje.

b) Ako je m & ±2, m ž- 0. jeđnačina ima jedinstveno rešenje

m— 2

m(m+ 2)

Za m= — 2 i n = 0 jeđnačina se svodi na 0 • a: = 16, odnosno 0-.r= 4;

jeđnačina je nemoguća. Za m = 2 jeđnačina se svodi na 0-* = 0. pa

je neodređena i ima bezbroj rešenja.

4

c) Ako je m ^ 0 i m * l, jeđnačina ima jedinstveno rešenje —.

m

Za m = 0 nemoguća, za m = 1neodređena.

1270.

1271.

d) Za m * 3 rešenje je —'—, a za m - 3 jeđnačina je nemoguća.

ni— 3

a) Za a 1rešenje je jt = —1, azan = 1neodređena;

b) za a 5* 0 rešenje je x = 4a, za a - 0, neodređena;

• 1 .

c) ako je a * 0 i a * - 1, rešenje .v = ——, za a - 0 nemoguća.

a

a) Za c * 0 rešenje je y = 2c, za c = 0. neodređena;

b) za a * 1 rešenje je y = a + 1, za a = 1, neodređena;

c) za c rešenje je y = b+c, za b = c, neodređena;

d) za a * b rešenje je y = b - a, za b - a, neodređena.

309

1272.

1273.

1 2 7 4 .

1 2 7 5 .

1276.

a' + ab+b~ u t

* = ---- :---------- .(M * 6)-

b — a

y ~

a 2+ 261

.(« * 2 6 ).

a —2b

a2 + b2 - 2ab

x = ■

,(£>*«)■

b -a

49a' + 68a + 23

x =

38a + 34

1

.* = ■ 4n{a+ V)

, (« * 0. a * —1).

1277.

1 278.

1 279.

Za a * 0 jedinstveno rešenje x = 2a, ako je a —0 jednačina je

neodređena.

Jednačina ima jedinstveno rešenje .t - 3a za a * 0 , a za a = 0

jednačina je neodređena.

Jednačina ima jedinstveno rešenje x = - ^ - za 6 * 0 , a za 6 = 0

neodređena je.

25

1 2 8 0 .

1281.

a) Za |jcJ * m, rešenje x = — ;

(a -b )2

b) ako je a * b * 0, |oj * 6, rešenje jednačine je x = za

2b

a = b = 0 neodređena;

ab

c) ako je jx| * a, 6 * 0 rešenje jednačine je .r =

b - c 2’

za h — c jednačina je nemoguća, a ako je b = c= 0, jednačina je

neodređena.

đ) za |a|* b rešenje jednačine je x = —— ,a z a a = b = Ojednačinaje

6 —a

neodređena.

8# —2

a) Za |« |* 2 . a * 0 , rešenje jednačine je x = --------, za a = 0

jednačina je nemoguća;

a

b) za | n | * 3, n * 0, rešenje jednačine * = za « = 0

jednačina je nemoguća;

310

c) ako je a ^ 0, a & 2, a ž —3, Tešenje jednačine je x = ■— ,

, a+ 3

za a= 0, a— 2 i o = - 3 jednačina je nemoguća;

d) ako je |a( i* —, a & 1, rešenje jednačine je x = — —, a ako je

4 1 - o

a = 1 jednačina je nemoguća.

1282.

x = a2 - 63, (| a | * b, ab * 0).

1283.

1284.

1285.

1286.

1287.

1288.

1289.

1290.

1291.

x = a b b).

a

x = — , (0 * 0, x * O.ff * -1).

2a + 2

a 3(a+ 2)

* = , ( a * - l , a * 0).

a + 1

x = 2a, (x * 0, | x | * 2a - 46).

x = 0, ja * 0, | x | * ~

4 —a a i

y = - ^ ,( \ y \ * 4 < a * - 2 ) .

z~ a + b , (za j z | ^ a, a * 0. a & - 6, a za a = - 6 neodređena je).

* = - . ( M * 2 , c * 3 ) .

a + b

a) Ako je x & a, x ^ 6, a ^ 6 rešenje jednačine je x =

b) Posle sređivanja data jednačina ekvivalentna je konjunkciji

(a ^ 0 A i qi —3x & 1) A (1 —6a)x = 13a—4.

Ako je —3, tj. - - ^ - 3« ^ - ' .

. l - 6o 5

rj . . 13a- 4 , 5

Za x * 1;--------- * 1«» a * —

1- 6o ]9'

- 4

A k o a £ j o , } => t = ~

1 6 5 19] 1 - 6a

311

1 2 9 2 .

1 2 9 3 .

1 2 9 4 .

1 2 9 5 .

1 2 9 6 .

jedinstveno rešenje jednačine. Za a = —jednačina je nemoguća.

6

c) Posle svođenja đata jednačina ekvivalentna je konjunkciji

(m ^ iA r ? ! - 2 A .r ^ —1) A (4/u—1 )jr = 5 —8/«.

„ „ . 5—8m _ .

Za jct=—2 tj.-------- ^ —2=> m & — 3=> 0.

4 m - 1

Za m + —1, - — — t* —1 o m ^ 1. Dakle, ako m ^ . , 4 jednačina

4 m - 1

4j

. 5 —8m

1

ima jedinstveno rešenje x = -------- , Ako je m = 1, m = —jednačina je

4m~ 1 4

nemoguća, nema rešenja.

a+ 3

d) Ako je a 7^2, rešenje jednačine je .v = , a za £7 = 2 jednačina

2(^-2)

je nemoguća.

w(n—M)

v = , (v ^ w, n ^ jW).

M — n

t =

p(R+ r)

r(p -r)

P —r~ir

s = ,{r* 0).

rn

3v+ /i3

r = ,(A *0).

3/72

1

jc= - { m - 1 ).

, (r 7^ p Q, r & R).

1 2 9 7 .

1 2 9 8 .

1 2 9 9 .

1 3 0 0 .

1 3 0 1 .

1 3 0 2 .

;c = —ab.

2

x —2 n.

jc= 2/7+ 1

__1^

2'

* = 0.

ac

Za b t* 0 i a c rešenje i = ------, za b = 0 jednačina je neodređena,

a za ¿7 = 0 nemoguća.

312

A 4(0+1)

1303. a) Za a ^ 0, x = —----------- ;

a + 2a + 2

b) za a > - 1, jer je a2+ 2a+ 2 = (a + 1): + I > 0 za svako a\

c) x = 0 za a = - 1.

1304. a) Za m * 0 i m ^ 2 rešenje j: = m + 1;

• i i . , n p

b) za n * p * 0 i \ x p resenje x = ------ ,(m* n).

m - n

1305. Data jednačina je ekvivalentna jednaćini:

a + b — c +

x — ac

a + c - b \ + x - bc

b + c -o=0

x —ab — a c - be x -a c -b c -a b x-bc-ab~ac

o ----------------------1---------------------- 1------------------- - = o

a+b a + c b+c

o (.r—ab —ac—bc a+b a+c b + c)

, l n 1 1 1

o x — ab — ac—bc — 0 A------4---------h ---- ^ 0.

a+b a+c b+c

Odavde izlazi da je rešenje date jednaćine:

x = ab + ac+ bc.

Ako j e ------ H--------H-------- = 0, data jednačina postaje identitet

a+b a+c b+c

i zadovoljena je za svako x.

1306. Data jednačina ekvivalentna je jednačini:

\ bc b c) \ ac a c) \ ab a b,

o (x —a —

1 1

— + —

bc ac

= 0.

Ako je abc * 0 , — + — + — *0, rešenje date jednaćine je

bc ac ab

x = a+ b + c.

313

1307. Data jednačina je ekvivalentna jednačini:

= 4 — 4*

a+ b + c

a + c - x

/ b + c - x

+ 1 +

l

&

,»(« + i

,

+ c - ^J -

i

+ -

1

+

A- j - 4 - + b + c—x = 0

a+b + c

(a+b + c ♦ i + i — * - = 0

!~ İ » b c a+b+c

, 1 1 1 4

o x = a+ 6 + c/\ —+ —H----------- ------ * 0.

a b c a+b+c

1308. Slično prethodnom zadatku data jednačina ekvivalentna je jednačini:

x

± i - * \ + ( * z ± - * Y

a + b a) \ a - b a)

x - b

b — x

\a 2- b 2 (a+ b)2

ab-bx ab-bx 2(ab-bx)

= 0

a(a+b) a(a-b) (a+b)2( a - b )

(ab LS> 1 1 2

jj££âia+b) a(a-b) (a + 6 )2( o - 6 ) ;

Odatle je a b - bx = 0 o x = a za ab * 0 i a * ±b.

= 0

= 0.

1309.

1310.

a - 2

x —----- .

<3+2

a+b

1311.

1312.

1313.

1314.

1315.

1316.

2(o+ 6)'

Za m * 3, x = ----- za m = 3 neodređena a za m = - 3 nemoguća.

m— 5

2 m+ 2

x = 1.

x = 3.

x = 0.

314

1317.

1318.

1319.

1320.

1321.

1322.

1323.

1324.

1325.

1326.

1327.

1328.

1329.

1330.

1331.

7

x —

8

x= 6(o + A), (| jc| * a+ A). Primcdba. U zadacima od 1318 do

1332, treba koristiti smenu za 13l8,o + A= c, za 1319. ot+ n = Aitd.

Za a ^ ±(m + n) rešenje jednačine je x = m+ n-a

Za|A + c |^ 2 , o ^ O rešenje jednačine je x = ^ + ^

A+ c

b + c= 0, jednačina je nemoguća.

18(o + A)-3 Z z\a + b \^ 2 ,a + b * ft rešenje jednačine je x =

■, za

o+o

o + 6 = 0 jednačina je nemoguća.

Ako je A + c * 0, A + c

_ 6 —c —b

2, A+ c ^ - 3 rešenje jednačine je

c+A + 3'

1 i 1 4(m+n)'

Ako je \ mJr n \^ - , m+ o ^ l , rešenje jednačine je x =---------- . a

ako je m+ n = 1jednačina je nemoguća.

Ako je o 5* 0, x ^ a, x & b + c, a + b + c * 0, b * —c, rešenje je

o + b + c

x = -----------.

2

m+ n+ 3

Ako je m + n 2 i m + n * 3 rešenje jednačine je x = ^ m+ n_ 1>' a

z am + n = 2 jednačina je nemoguća.

Za | o + A |

1 i a + A* 0 rešenje jednačine je x = -{o + A- 1)'-

Za | m+ n j & x rešenje je x = m+ n

2b ‘

Ako je | x| ^ (m + n)2 rešenje je x=

3 3(o+6)

Za 1*1*—(a + A) i a + A 0 rešenje jednačine je .t = — ~ ■

„ , I 5 „ . 2 2(m+n)+3

Za m+ n\& —, m+ n ^ 0 i m+ n * x = -------- -—r-

1 1 2 3 2(m +n)-3

2 1

Za I m+ n I * - i w+ n * -1 , x = —--------— ■

1 1 3 X m + "+ 0

za

315

1332.

1333.

1334.

1335.

1336.

1337.

1338.

1339.

1340.

1341.

1342.

1343.

1344.

1

Za a + b ^ ±3, jednačina ima jedinstveno rešenje x = —

a + b + 1

Data jednačina ekvivalentna je jednačini:

i x —a x —b

3.x

— I + — 1 + - 1 + 3 - - = 0 o

C + iJ a+ b a + b + c

1 1 1

(x —a - b —c„ + ------+ • = 0.

\b + c c + a a+b a + b + c)

Odatle se dobija rešenje jednačine x = a+ b + c.

Data jednačina ekvivalentna je lancu ekvivalencija

1 1 \ . J 1 1 \

(b -c) - ( a - d i

x~ a x —d x - b x —c ) = 0 o

J r - o « ( » -

(x~ a)(x— d) (x -b )(x -c )

ad— bc

(a+ d —b— c)x = ad—b co x =

a+ d — b —c'

(x * a, b,c,d i a+ b ^ b + c).

x = m, (m& 0).

x = ab, (|o| * b).

x = b, (ab ^ 0).

_ a 2 + 2b2 ..............

* = - ^ ^ , ( ¡ „ 1 * 4 ) .

2 / 1 1

x = ------,\ X* —, x * — ,a + b ^ 0\.

a+b \ a b

x ——91.

1 4 a

Za x 5* — rešenje je x = —-----.

a a~ +1

x = —2a, (x ^ 0, x

x = a, (a* 0, x * 0).

±a).

x = a+ b + c, (data jednačina je ekvivalentna jednačini

x a

1 + ( x - b

X c

b + c Kc + a a+ b - 1 = 0 ) .

316

1

1345. * = , - , ( jt^ ± 1 ).

a + a + 1

1346. x - b, (x * 0, a * 0, b * 0).

1347. x = ab,(a*±b).

1348. x —a+ b + c. Uputstvo. Brojilac napisati u obliku

2 a

■+1 +

x —2a

2a

1349. x = ----- b, x * a, * * b).

a+ b

2b 2c

x - 2 b + 1 + x~~ 2c ■+1

1350. x = 1, za a ^ b\ za a = b neodređena.

. „ a + c

1351. Za a * c, x = —----------- 7, za a = c neodređena.

a~ -t-£7C + C"

1352. Za a ^ 0, x = — za a = 0 neodređena.

2a-

1353. Neka je x —a = t,x —b=u, tada data jednačina se svodi na

jednačinu

u1 —3i/ = t 1 — 3t. Ako se vratimo na nepoznatu x dobija se

2(a-b)x = (a-b)(a+ b + 3). Ako je a * b * ± \, jedinstveno

rešenje

x — g+

Ako je a = b, neodređena.

2 J

9.2. Primena linearnih jednačina sa jednom nepoznatom na

rešavanje raznih problema

1354.

1355.

1356.

.r: (45 — = 7 : 8; 21 i 24.

x

47 - x = 2 + 5

41- x

3

5'

14 i 33.

317

1357. Neka je imenilac razlomka *, tada je brojilac —x. Na osnovu uslova

zadatka je:

* x + 5 ,

---------= - 2 * + 15= * + 15* = 0.

x + 15 3

Razlomak koji zadovoljava postavljeni uslov ne postoji.

1358. 15,4; 1,54.

1359. 25.

1360. Jednačina koja izlazi iz postavljenog uslova je neodređena, pa su

traženi brojevi: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.

1361. 36.

1362. 45+ x= 2(* + 22); kroz jednu godinu.

1363. (* —5)4 = *+18 —5; majka ima 29 godina, kćerka 11 godina.

1364. (* + l)(* + 2) —(* —1)(*—2) = 600 o * = 100.

1365. Neka je traženo rastojanje * km. Tada je rastojanje po etapama:

X X X

—km —km i —km, a vreme po etapama je:

2 3 6

X X X

2 3 * 6

—- ; — i — . Po uslovu zadatka je:

80 60 40 J

X X X

------ 1--------1------ = 23,

160 180 240

odakle nalazimo da je * = 1440 km.

1366. Neka je srednja brzina jednaka * km/č, a rastojanje između A i B,

s kilometara. Tada je:

s , s 2 s

■H-----= — o

90 60 *

1 , 1 2

~ + — = —A * * 0,

90 60 *

o x = 2-180

5

= 72 km/č.

1367. Ako je prva kosmička brzina x km u sekundi, tada je druga

(*+3,3) km u sekundi, a treća (*+ 3,3 +5,2) km u sekundi. Na

osnovu pretpostavke sledi: *(*+ 8,5) = (* + 3,3)2 + 4,12, odakle

nalazimo da je * = 7 ,9 km u sekundi, tj.: prva kosmička brzina

318

1368.

1369.

1370.

1371.

jednaka je 7,9 km/s, druga kosmička brzina jednaka je 11,2 km/s,

treća kosmička brzina jednaka je 16,4 km/s.

5/ + 6/ = 55, posle 5 časova.

601= 80(/ - 2,5); u 16 h posle 300 km.

30f + 22/ = 728; posle 14 sekundi.

- U - U l

10 15 x, 5 =

1,30 dana.

1372.

_1_ J_

4I + *

j

3 = 1; 9 časova i 45 minuta.

1373.

f \

J ____1_

l i ' 2 i

3 6J

x = 1; 3 časa i 28 minuta.

1374.

x+ jc+20- 100

. , x 20

+ 6 —+ 6--------

5 5 100

= 14 500;

1375.

1376.

I. 4000 d; II. 4 800 d; III. 5760 d.

I. 6 000; II. 8000; III. 10000; IV. 12000.

3 cm.

9 .3 . L in e a r n a fu n k c ija i n jen g r a fik

1378.

1379.

1380.

Antidomen

5 = {1,3,5,7,9};/= {(1,1),(2,3),(3,5),(4,7),(5,9)}.

/ ( 2) = -5 ; /( 0 ) = -8 ; / ( 3 - / ( 0 ) ) = 1;

/ ( / ( * ) ) = 3 ( 3 x - 2) —2 = 9 x - 8:

/ ( / ( - * ) ) = 3 (3 (~x)~ 2 ) - 2 = - 9 x - 8.

f(b ) = ab+b

f ( f ( 0 ) ) = a ( a -0 + b ) + b = ab + b

f(b )= A fm

1381.

/ ( / ( ■ * ) ) = 3 — ( 3 — x ) = x

319

1382. a) Grafici svih funkcija zaklapaju isti ugao sa x ~ osom a imaju

različite odsečke na v —osi (si. 87);

SI. 87 SI. 88

b) imaju isti odsečak na y —osi, a različite ugaone koeficijente

(si. 88).

1 3 8 4 . a) Za .y < 0, y = —x — 1, a za x > 0, y= x — 1. Promene date funkcije

su prikazane tabelom, a grafik ima oblik (si. 89).

X —0 0 - l 0 1 + 0 0

y

+ 0 0 \ 0 \ - i / 0 / + “

e) grafik je prikazan na slici 90;

f) grafik je prikazan na slici 91.

320

1385. Ako je x < 0, tada je

x .

y= x ---- = JC—1.

X

Ako je x > 0, tada je

x

y = x + —= x + 1.

x

Promene date funkcije prikazane su tabelom:

SI. 92

X — 00 0 + 00

y + 00 / -1 ¡1

+ 1 / + 00

agrafikje prikazan na slici 92. Tačke A i B ne pripadaju grafiku jer za

x = 0 funkcija nije definisana.

1386. m = 2, y = 2x - 4.

1387. k = 4, y = 2 x - 3.

1388. a = 2, y = ~2x+ 4.

1389. m= 5.

1390. y —2x- 3.

1391. « = —1, / ( * ) = —3j + 5.

1392. a) Za ,r < — 1 i x~.> \,y = 2 x

1393.

II

£

z a — l < r < l , y= —2;

b ) a k o j e x < 0 , y = 2 jc— 1, a k o je

0 ' = x i z a x ž l , 3 ,= 1-

h- H ^ 1

[-3 x , (-2 5 x < 0)

(0£ x<4)

(si. 93);

b )B = { > |- 4 < y<6}.

321

1394. a) Za - 4 < .r < 0, /(.r) = —x—4;

za 0 < .v< 4. f{x) = . r - 4, (sl.94);

b ) 5 = { ^ ( = [ - 4 , 0 ] ) .

1396. a) Neka je jt- 2 = /, tada je

/ ( 0 = (/ + 2) + 3 = r + 5=>/(jc) = x + 5; si 94

b) ako je *+ 1= t, tada je

/{ f ) = 3(r~ ! ) - 4 = 3 /- 7 =>

f(x) = 3x~ 7;

c) / ( x ) = | + l .

1397. a) Primenom formule f~'(f(x)) = x dobija se ij = .v.

ReŠavanjem ove funkcionalne

jednačine po / “' dobijamo traženu

funkciju. Smenom —x—1= t dobija

2 y

se x = 2t + 2; tada je

/ " '( / ) = 2r+ 2 (si. 95)

b ) / ‘ ‘ O f) = - * + 3 ;

c) / " '( * ) = ^-T+ 2;

d ) / " '( * ) = -* + 2 ;

e) f ~'(x) = -3 x ~ 3;

0 / ' ' ( x ) = 5 -x .

1398. Primenom definicije kvadratnog korena dobija se:

y = + tJ(x—5)2=|ij+|x-5) itd.

1405. a) Linearna funkcija y = hc + n sadrži koordinatni početak ako je odsečak

na y - osi n —0. Kako se data funkcija svodi na oblik

5 , 3-4p . 3 4b

----= Q

„

» p —

3

y ~ r + - r K v - 3

4

b)l ^ £ = 5 - p = - l

322

^ . , ... 3m -2» + 5 2w -5n+l , .

1407. a) Data funkcija je oblika y --------------- x + ------------- , treba je

m—n

m — n

uporediti sa jednačinom sirnetrale I kvadranta y - x, pa je:

3m—2n + 5 , 2m—5/7+1 . , , .....

---------- = 1A---------- = 0, odavde sledi da je

m—n

m- n

m — —3, n = — 1İ

M H 3

1408. A = 6,B = -6.

1409. 5 (1 -3 ).

1410. y = x —1

1411. m = 4, y ~ 2jxj —3.

1412. m= 2, y= —2|x) + 4.

1413. Da

1414. Da.

9.4. Sistem linearnih jednačina

1415. a) 3 ,|; b)(5,2); c)(3, 1); d) (4, 7).

1416. a) (—2, 3); b) (3 ,-2 );

c) sistem neodređen ^ —- j, a G R j:

d) sistem neodređen ((a.5—2çc),aER).

1418. a) (8,-4); b) (5.2); c){5,7);

d) sistem je nemoguć.

H19. (-4,1).

1420. Sistem ima bezbroj (mnogo) reienja. tj sve uređene parove koje

zadovoljavaju jednačinu 4;c—3 / - 2 = 0

1421. (1,3).

1422.

( H

1423. | ( » ” )

1424. (4,3).

1425. (0 ,-2 ).

1426. j ' 1 1

, 3 ’ 2

1427. a) (3, 4); b) (5,-3); c)(8,5); d) (3, 2).

1428. a) Nemoguć; b) (1,-3).

1429. (2,1).

1430. (3,2).

1431. Svi uređeni parovi koji pripadaju pravoj 5xdatog

sistema.

= 11 su rešenja

1432.

1433.

1434.

1435.

1436.

1437.

1438.

(3, 2).

(5,10).

(3,2).

(5, 4).

Sistem je neodređen, svaki uređeni par koji

* + Sy = 5, je rešenje sistema.

pripada pravoj

a) Uvođenjem novih nepoznatih, na primer —= u , —= v, transfory

miše se u ekvivalentni sistem:

x

14« + 24v= 10A 7w- 18v = -5 ,

odakle se rešenje dobija Gausovom metodom:

1 , . 1 1.1.1

v = -,a ta d a je —= =

3 x 1 y 3

pa konačno dobijamo rešenje sistema (7, 3);

324

c) " ^ = “;d r r v’a 2 *

1 1

d) smena: - = u ;----------- = v, (5,4).

AT+y-İ jc-_y+l

X

1439. Smena: - = u, - = v. ( 1,5; 2,5).

0 i i , 1 1 ,

1440. S m ena:- = m , - = v, ( - ;- ) .

X y 5 3

„ 1 1

1441. Smena:----- - = u

x - 2 y - 3

1442. (7,3).

1443. Smena:

1444. (3,1).

y

v. (4; 4).

1 i

= u, ---- — = v, (5, 3).

2 x - ly 2>x-2y

1446. Smena:---------------= u, 5 x -4 y + 1= v, (5,4).

3 jr -2 y —2

1447. Smena: —= u, —= v, (a, b).

X y

1448.

1449.

1450.

1451.

1452.

(a+b, a — b).

(5, 2).

(-2 ,-5 ).

(2J)

Smena:

1453. (3,-1).

1454. (5,3).

1455. (21,-2).

1456. (-14,1).

14S?- (5,3).

___ i_____ » -------1— - = v,(), u

2 x + y -\ 2x -y+ l

325

1458. Sistem je nemoguć, nema rešenja,

1459. (3,2); (-5,2).

1460.

1461.

/3 U \

U ’ 2 f

i i 11)

k2 ’ 2 J

1 4 6 2 . Ako je ,v>0, ^ > 0 tada sistem postaje x + y = 1, x + y = 1. Rešenja

su svi uređeni parovi čiji je zbir članova I. Za x < 0 i y < 0 sistem

postaje j: + y = —1, x+ y= - 1. Rešenja su svi uređeni parovi čiji je

zbir članova —1.

1 4 6 3 . ( 2 , 1).

,4M -

1 4 6 5 . ( 5 , 1).

1 4 6 6 . ( 2 , 1 ) ; ( 8 , 1 3 ) .

1 4 6 7 . a ) ( 2 , 3);

b) (4,1);

c) da bismo izbegli rad sa razlomcima, korisno je izmeniti redosled

jednačina i za prvu jednačinu, ako takva postoji, uzeti onujednačinu

u kojoj je koeficijent uz prvu nepoznatu 1 ili —1.

S obzirom na ovu napomenu, umesto datog sistema uzima se ekvivalentni

sistem:

x+ y = —1, 2 x + y= 0 , 3x—2 y = l.

A k o p rv u je d n a č in u p o m n o ž im o s a —2 i d o d a m o j e d r u g o j, a zatim

p r v u je d n a č in u p o m n o ž im o sa - 3 i d o d a m o tr e ć o j, d o b ija m o e k v iv a

le n tn i siste m :

x + y = - l , - y = 2 , ~ 5 y = 10.

I z d r u g e i tr e ć e je d n a č in e d o b ija m o y = - 2 . Z a m e n o m - 2 u m e sto y

iz p r v e j e d n a č in e n a la z im o x= 1. P r e m a t o m e , u r e đ e n a d v o jk a

( 1 , - 2 ) j e j e d in s t v e n o r e še n je d a to g s is te m a ;

d ) p r im e n o m G a u s o v o g a lg o r itm a d a ti s is t e m e k v iv a le n ta n je

s is te m u x+ y = - \ A —y = 2 A -3 y = -3. P r e m a to m e , z a y se d o

b ije iz d r u g e je d n a č in e y - -2, a iz tr e ć e y = 1, š t o j e isto v r e m e n o

n e m o g u ć e ; d a k le s is te m j e n e m o g u ć .

326

1468. a) Ako se prva jednačina pomnoži sa 2 i doda drugoj, zatim se prva

pomnoži sa 3 i doda trećoj, dobija se ekvivalentni sistem:

x + 2y— 5 z = 6,

(1) 5y - 8z = 17,

9y— 19z = 26.

Eliminacijom y iz druge i treće dobija se jednačina 23z = 23, pa je

sistem (1) ekvivalentan trougaonom sistemu:

x+ 2y— 5z = 6,

(2) 5_y— 8z = 17,

23z = 23.

Iz sistema (2), sukcesivno iz treće jednačine, dobije se z - I, iz druge

y = 5 i, na kraju, iz prve x = 1; dakle rešenje datog sistema je uređena

trojka (1,5, 1);

b) i ” 1,^ ’ 3 / c )(4 ' 5- 6): d )<4’ 3’ 2); eH>.2- 3);

0 (2 , 1 ,-3 ); g) (10, 5, 2). ^

1469. a) (5, 11, 17); b) (4, 1,-1); c) (1 ,-2 , 3); d ) jl,- ,-lj.

1470. (5 ,3 ,- 1).

1471. (-5 ,8 ,7 ).

1472. Sistem je neodređen.

1473. (11,4,5).

1474. ( 1 2 ,2 4 , 3 6 ) .

1475. (-10,30,20).

W76. (2,3,1).

1477. ( 2 , 1 , - 1 ) .

1478. ( - 1 , 6 , 8 ) .

1479. (1,2,5).

1480. ( 9 , 7 , 3 ) .

1481. (6,2,1).

1482. ( 6 , 2 , - 2 ) .

327

1483. (6,4.2).

1484. (1,10,100).

1485. (3,5,7).

1486. (-1,1,2).

1487. (6,4,2).

1488. (4,2,12)

1489. (51,76,1).

1490. (0,1,3).

1491. (3, U ).

1492. (99; 112,5; 504).

m(Aa + Bb + Cc) n(Aa + B +Cc) p(Aa +Bb + Cc)

Am+Bn + Cp Am+Bn + Cp Am+Bn + Cp

1494. (5,10,15).

1495. (9,10,17).

1496. (1,4,7).

1497. a) (2 ,1,-1); b) (-1, 6, 8); c) (-2 , 2, 3); d)(4,5,6).

1498. a) (5, 6, 7); b)(7,6,5); c )(l,2 ,3 ); d) (4, 3, 5);

e) (2, 3, 4); f) (2, 3, 4).

1499. a) Smenom —= « , — = v, —= / dati sistem ekvivalentan je sistemu:

x y z

6u + 4v+5? = 4 a 3u + 8v+ 5/ = 4 A 9m—12v—10/ = 4 o

1 1 1

K = - A v = - A r = -

3 4 5'

Rešenje datog sistema je uređena trojka (3, 4, 5);

b) (6,12, 8); c) (4, 3,1); d) (4, 3, 2).

1500. (4, 2,1), (Smena: - = u, — = v, - = / ).

x y z

1501. (1,3,5).

328

Smena: = «, = v. = '. (4,2,1).

2x + 3 y 3y+4z ’ 3jr+4z

Dati sistem ekvivalentan je sistemu:

4 2 2 3 1 1 , 1 1 1 .

z y x z y x z y x

1 1 1

Zatim smena: —= u, — = v, —= /, (1 ,2 ,- 2).

z y x

(-1 , 1,2).

Data produžna proporcija ekvivalentna je sistemu:

3 3 3 3 3 3 , , 3 3 3

— + -------- = 7 A-------- + — = 11A-----+ —+ — = 5

xy xz yz xy xz yz xy xz yz

Neka je — = !(, — = vy — = t, tada je — = 3, — = 2, — = -

xy xz yz xy xz yz 3'

, , 2 1 3

odatle x = ± —, v = ± —,z = ± -.

3 2 4

(3, 2, 1).

a) (8, 12,4,8); b )(l, 1,1.1); c) (1, - 1, 2. - l); d) <1,2, 3, 4).

Izraz ab — cd (a, b,c,d brojevi ili izrazi) dogovorno se zapisuje u

a d

obliku kvadratne šeme . i naziva determinanta drugog reda

c b

a)

znači:

1 2

2 5

a

c

d

b

= ab~ cd .

= 1-5—2-2 = 5—4=1;

b) 4; c) -2 ; d) 0; t)a2- b 2\ î)a2- b z-l, g)a: + b:;

h)x3- y 3;

a) x =

4 -1

5 1

2 -1

1 1

i ± İ = ’ = 3,

2+1 3

329

y=

2 4

1 5

2 -1

1 1

1

b ) |4 ,- |;

1 0 -4 6 . s . . . . .

— ■ = —= 2, rešenje sistema je uređeni par (3, 2);

c) (2,-1); d) (3, 1).

1 5 1 0 .

1 5 1 1 .

N . . . ( 1 2(1 -m )

a) Ako je 2 rešenje sistema -------, ----------- , a za m = 2, sistem

je nemoguć; \2 —m 2 — m

1 2

b) ako je |îj| ^ 4, sistem ima jedinstveno rešenje

za a = 4 neodređen, a za a ——4 nemoguć; \a + 4 a + 4)

c) ako je ab 0 rešenje sistema (2b-2a), a za a = b = 0 sistem je

neodređen;

đ)za a* 0 jedinstveno rešenje (5,-a), zao = 0 sistem je neodređen.

a j Z a m ^ O i / i ^ O jedinstveno rešenje (m, i/) a z a m = n = 0 neo-

. (3/w+8 4m -9\

b) sistem ima jedinstveno rešenje — ----- , --------- ;

\m2 + 6 m2 + 6)

c) ako je m ^ 0 i m 3 jedinstveno rešenje:

m + 2 m + l\

m m— 3

za m = 0 i m = 3 sistem je nemoguć;

.2 \

, a za a+ b = 0

i a + b’a +b

d) za a+b^G jedinstveno rešenje

sistem je nemoguć;

e) za a ^ 9 jedinstveno rešenje ( - a - 1\,a+ 9), za a = 9 sistem je

neodređen;

f) zaa* - 6 jedinstveno rešenje(10- a , a - 6), z a o = - 6 neodređen.

1 5 1 2 .

< a2 b

b) Za I a | * b jedinstveno rešenje

{a~ b ’ b -a

nemoguć, a za a = - b neodređen;

¡; za a = b sistem je

c) za Ja | * b rešenje j; I ° I=! b neodređen;

1 5 1 3 .

1 5 1 4 .

d) za | a I* 2b i ab * 0 rešenje je (a+ 2b, a-2b).

(a,-a).

(a -2 b + 2c,a+2b- 2c).

330

1515.

1516.

1517.

1518.

1519.

1520.

1521.

1522.

abc abc \

âb + ac + bc ab + ac + bc)

a

b

Ka— b’ a+b)

(a4 +a~b~ + b* ,—ab(a2+ b')),

b(a2 + b2)^

- b \

a

\a a)

(a— b,a+ b), (ab * 0).

â+b, -J, (ab* 0).

(a, a + b).

1523.

1524.

a b

a+b a+b

(a— b,b — c).

\,(a*Q,a* b).

1525.

f_____i _____

((lH -o)(l + iiz) (l + o)(l+o*)j

1526.

(a3 + b2 a1 +ab—2b~

2b2 ' 2b

(a = 0,b*0).

1527.

ab,

a + b

1528.

1529.

a2(a3 + o 2 —1) a2(a3-a~ l ll ismena: x+ y= u, x -y ~ v)

1 > 2 _ . I ’

a 1- a + l ' a2- a +1 /

(a,-a).

331

1530.

1531.

Dati sistem ekvivalentan je sistemu:

- - 1 + ^ - 1 = 0 A ^ - - - - - - c + - ~ * - ° - - c = 0.

a+b a+c a—b b + c

Rezultat: (o + b + c,a + c —b).

Iz prve jednačine koristeći osobinu proporcije: ako je —= —, onda

_

n o '

. m+n p + q , , 2jc a + b -c a+ b-c

j e ------ = ------- , dobij a se — = ----------- o ,v = ---------- y.

m -n p - q 2 y a+c—b a+ c-b

Zamenom x u drugoj jednačini nastaje lanac ekvivalencija

a+b-c

a+c-b'* , Lw . (a + c)(a+ b-c)

------- TT----- - ^(a+b)(y+b )= ---------------------- ------ +c(o+c)o

y+b a+c a + c-b

-> .. (a+c)(a+b-c)y

{a+ b)y----------------------- — = c(a+c)~ b(a + b)<*>

a + c - b

(a+ b)(a + c) — b(a+ b) —(a + c)(a + b) + c(a + b)

- c(o+ b) —b(a+ b)*

a + c — b

1532.

1533.

1534.

1535.

c(a+b)~ b(a+b)

y --------------- ;------= c(a + b)—b(a+ b} <»

a+c—b

y = a + c-b,

x = a+b-c, (a+b-c, a + c-b).

(

abc abc \

ab + ac+ bc' ab + ac+ bcj

1 2

Za k = — sistem je neodređen, y > 0 za x > —.

8 5

a) Za Ja| * b i ab 0 rešenje je (a+ b,a-b).

. (a+b a -b \ .

b) zaab& Ojeđinstveno remenje

I ——, —-— I za ab = 0 sistem neo-

dređen;

. , _ , . .

ej za ab ^ 0 rešenje je

(a + b a —b\

------ , ------- a z a a fc = 0 sistem je

dređen; \ 0 a )

d)(a 2- b \ a 3 + bi).

((m+n)2,(m -n)2).

neo-

332

1536. ((a+ b)\(a-b

1537. (2/7+1, 1-2«).

1538.

1539.

1540.

1541.

1542.

1543.

1544.

1545.

a) 2/7

b) (a2+ b \ a 2- b -).

a = 2, = 2 ili a = 0, b = 0.

o = 1 ili a = —2.

a) a = 3; b )a = -2 .

a) m= —3 b) /?? = 3.

k^2.

16

8

17 17’

a) Sabiranjem sve tri jednačine dobija se:

{m+ 2)(jt + y + z) = m1+ 777+ 1.

Ako je /?? 7- 2, tada je:

,,, //t'+ m + l

(i) *+>>+? = -----— — .

7/7 + 2

Kombinovanjem (1) sa sve tri jednačine datog sistema dobija se:

m2+m+\ m2 — 1

x( 1 - m) = ---------r------1=

m+ 2 m+2

, _ w): + m + l

> 0 -/« ) = ------— ----- m ~ -

7/7+2

(m- 1)

777+ 2

m2 + 7/7+1 ■, (/77-l)(l-77J‘)

Z(1 ~ 777) = ---------1------ 777* = '

777+ 2 777+2

Za //; * 1dati sistem ima jedinstveno reSenje:

( 777+ 1 1 (1 + 7W)2 '

( 777+ 2 ’ 777+ 2 ’ 777+ 2 j

Za 777= 1dati sistem se svodi samo na jednu jednačinu:

x+ y+ z = 1,

neodređen je i ima beskonačno mnogo reSenja za \ = a&R i

y —¡3 G R, z = l - a - pa je relenje sistema uređena trojka

(a,/}.\ — a-f}\aGRAj}&R).

333

1546.

1547.

Za m = - 2 jednačina ( 1) posiaje:

0(;t+>’+ z ) = 3,

tada je sistem nemoguć;

b) sumiranjem sve tri jednačine dobija se:

(a + b+c)(x + y+ z) = 0.

Kako je a + b + c * 0. onda je x+>>+z = 0. pa je ,t + ^ = -c ,

z + x ——y, y + z = —x.

Dalje dati sistem svodi se na oblik:

(6 + c )(-x )-a c + c —b = 0,

(c+a)(—y)—by+a—c = 0,

(a+ b)(-z)-cz + b —a = 0,

odakle se dobija jedinstveno rešenje

(

c—b a —c b —a

a + b + c a + b + c a + b + ct

c) (—abc,ab + bc+ac,—a —b—c).

(b2 —bc + c2,a 2 -a c + c2,a 2 —ab+ b1).

Ako se prva jednačina podeli sa ab, druga sa ac, a treća sa bc,

{abe * 0) dobija se sistem

y , x c x z b z y a . ,

— + — = —-A —+ —= — A —h —= — . Zbir sve tri jednačine

b a ab a c ac c b bc

sistema . x y z 1( c b a \

j e — + — + — = — — h--------1------ . Odavde je

a b c 2 \ab ac bc)

£ = Í £ + Z + £ L ( i + z L i ( _ ^ + A + M

c [a b cj \a b) 2 \ab ac bc) ab

a' + b2- c 2 a2+c2 — b2 . b2+c2- a :

z = -----■—:----- , analogno y = ---------------- i x =

2ab 2ac 2 bc

1548.

1549.

\ c - d \ b - d ) (,a - d ){c - d ) (,b - d )( a - d Y

i,{c —a)(b —a) ' (a—b)(c—b) ’ (fc —c)(a—b)¡

(a - 6 a a + 6 a + 12\

l 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 J

334

9,5. Primena sistema linearnih jednaćina na rešavanje raznih

problema

1550. 4.v + ( j + 4) = 50 A 3jt——= 22; (9, 10).

y J

1551. (jr+ 3):(>'+ 3) = 1 : 2 A ——2 + —; sistem je neodređen.

1552. (6, 3). X

1553. - .

7

9

1554. - .

7

1555. Na osnovu pretpostavke dobija se jednaćina:

xy = jt+ y<* ( jc—l)( y - 1)= 1.

Pošto ćeli brojevi x - 1i y - l imaju proizvod 1, lo traženi par (,r,y)

mora biti rešenje sistema:

(x— 1 = 1A y — 1 = 1)V (,v- 1 = —lA y - 1 = —1), odakle izlazi

rešenje (0, 0) ili (2, 2).

1556.

Označe se sa x i y težine u kilogramima prvog i drugog metala u

splavu. Na osnovu pretpostavke dobija se sistem:

px qy

1006-crü ap- 1006

x+ y = a A-----+ -----= bo x = -a y=p

-q p 100 100

-q

1557. Neka je p prost neparan broj, a x i y prirodni brojevi. Tada je:

x2- y 2 = p o (x -y )(x + y)= p.

Pošto je p prost broj. tada je:

p + 1 p —1

x - y = lA x+ > -= p « r = — A p — .

Dakle, prost broj p može se predstavili kao razlika kvadrata dva

prirodna broja .v: —y 2ako je x= p+ I i y = p- 1

2 '

1558. Na osnovu pretpostavke sledi:

x2- y 2 = 1 0 5 « U -y ){ x + y)= 1-105= 3-25= 7-25 = 5-25.

Poslednja jednaćina ekvivalentna je sistemima:

(jr- I = l A x+ y= 105)V (x-_y= 3A x+ y= 35)V(x- y~ 7 A

Ax+ y = 15)V (.r->'=5A x + >'= 21),

odakle izlazi da je:

105 = 532 —522 = 193 —16: - 163 = I3: - 81 = 113- 4 3.

335

1559.

1560.

1561.

1562.

1563.

1564.

1565.

1 , 1 1 6 9 51 x . 102 .

—+ — = - A —+ —= — , 14 časova i 18—časa.

x y 8 x y 56 3

1 1 1 9 6 2 n .

—+ —= — A —I— = —, 18 dana i 36 dana.

x y 12 x y 3

10a + v 1 . . . .

= 5 + ------ A 10.x:-I- y = 10^+ x. Traženi broj je 56.

x+ y x+y

_ 10a + v 7 . . . .

x —y = 5A ——— = 2 + ——;— . Traženi broj je 83.

10,v+ x 10>’ + a

, n „ 9 s - m 9s + m

x + y = st\ 10a + y = 10_y - a —m, x = -------- , y = ■

18 18

Ako su godine sina sada x, a godine oca yt tada je

y — 4 = 7(a — 4)A y+4 = 3(jr+ 4), odakle izlazi x = 8, y = 32.

((a + y= 4 6 A .r+ 1 0 = 2 (j'+ 10)), 12 godina i 34 godine.

1566.

- + - = lA-i- = J L . i

» y x 100 y

f i l + — l i , + — )}

VA 1 0 0 /A p ))

1567.

1568.

1569.

1570.

1571.

d(a+b) d(a-b)

av. + ov, = d \a v.-a v1 = c /o v, = —:---------, v, = —--------.

2 1 2ab 2 2ab

p — r 2r+ p

—-— cm --------- cm, za p> 4r.

3 3

a + y + z = 80A — = 3 + —A —= 3 + ~;(18, 6,57).

y y x x

x + y + z = 16a 100 a + 10y + z —(100a + IOz + y) = 72 A

100a+ 1 0 v+ z 7

--------------------- 76 + —. Traženi broj je 691.

y

y

Ako su traženi brojevi a, y, z, a dati zbirovi a, b,c tada je:

x+ y = aAy+z = bAz + x = c<*

a + c— b a+b — c b+c—a

X —-----—— A y = ---------- Az = ----------- .

1572.

1 1

* y

1 1

—+ —m = 1A —+ —\m= 1A —+ ~ \p = 1

y

z

1 1

z

x

336

x =

2 mnp 2 mnp 2 mnp

— ;------A y = -----------------A z = ■

mn + np—mp np + pm-nm pm+mn-pn

1573.

1574.

1575.

9.6. Linearne nejednačine sa jednom nepoznatom i njihovo

rešavanje

21 I

a) jc> — ; b) jc< 2; c)x> 0; d )x < -,

9

a) ar< 7; b )a:< l; c);c<3; d ) r < - .

a ) 2 < .r < 4 ; b) —4 < .r < 1; c) xG l)U(4,+ w);

e ) - 3 < * < - |

1576.

1577.

1578.

5.

- 1.

a) Razlikujemo tri slučaja:

1° ako je m > 0, tada je mx > 3 .t > —, pa je rešenje svaki broj koji

m

je veći od —;

m

2° ako je m < 0, tada je mx > 3 o x < —, pa je rešenje svaki broj koji

m

je manji od —;

m

3“ ako je m= 0, tada nejednačina glasi 0-.t>3; i nema ni jedno

rešenje;

b) za m = 1je 0 • x < 3, pa je x ma koji realan broj;

, . , . m+2

ako je m > 1, tada je x < ■ m— 1

m+2

ako je m < 1, tada je x > m - - i r

m—3 m —3

c}zam = 2, xG (-«>,+<»} za m< 2, * > ------za m > 2, x < r — ’

2. —m ** 1n

1579.

a) —2 < .t < 9; b) ^ < Jr<20; c)xE0,

4

337

d)*G(iw); e)x>5'

1580. a) Koristimo ekvivalenciju

A B > 0 o ( A > 0 /\B > 0 ) V ( A < 0 A B <0),

gde su A i B bilo koji realni brojevi. Tada je:

( x - l) ( .r - 4 ) > 0 o

o ( x - 1>0A x-4 > 0 ) V ( x-1 <0A jc—4 < 0)

«> (*> lA x> 4)V (x< lA x<4)

<*■x>4V x< 1.

Prema tome, polazna nejednačina je ekvivalentna sa disjunkcijom

x>4V x< 1.

b) Iskoristite ekvivalenciju

,15 < 0 o (/l < 0A 5 > 0)V (/i > 0A 5 < 0); —3 < * < 5;

c) Iskoristite ekvivalenciju

/l

— > 0 o ( ^ > 0A B >0)V (A < 0A 5< 0); 2 < x <5;

B

d) —3 < x < 4.

x- 1 3 r - 1 7

1581. a) Kako je —— - < —o ——- - —< o

x —2 2 x —2 2

~ 2 (x -2 )—3(x—2)

2 (x -2 )

tada se primenom ekvivalencije:

— <0o(/l>0A5<0)V(/l<0A5>0)

B

dobije daje xE (—o°,-2)U (4,+ oo);

b ) x E (-o o -5 )U (l,+ oo);

c) 3 < x < 4.

1582. a) {x | x = 1, 2, 3, 4};

b) {m\m = 1, 2};

c) {y\y = “ 4, —3, —2, —1}.

338

1583.

1584.

a) {x\x= 1};

b) {m I m = - 5 , - 1,-4,-3,-2,-1};

c ) {y\y - ! > 2 > 3 } .

a) x < 1; b) X > 5; c )x > -2 ; d)z<0;

e) X > - ili X < 0; 0 X< 4 ili X> 2.

1585.

1586.

1587.

1588.

1589.

1590.

Are (-2 , 3).

Io a) k G

2° a) A G (-1 , 3); b) A'G (-1.5); c) * £ ( - » . -

—2 < m < 4.

a < - 3.

mG

l)U(5.+ w).

1591.

1592.

1593.

1594.

1595.

1596.

1597.

1598.

X = — ; a G ( —oo,-2)U (-l,+ «).

ci+ 2

la

X =

1 ,-

a— 1

n

X = ---------- ; n G ( - « -2 )U (- 1,+ “ V

2 (« + l)

x = ^ — ,b<=\ U(4,+ °°).

3 6 -4 3/

—2 < m < —1.

a > 1 2 . . 5

m > ---- ili m < ——

3 2

1599.

1600.

m> 2.

339

1601.

1602.

1604.

1605.

1606.

1607.

1608.

1609.

10 —So _ 2a— 13

{o\a = 3,4, 5, 6}.

3(a + 3 )'y ~ 3{ö + 3) ’

1 — m 2 + m .

a ) i e ( - » , - 6 ) u | - | , + »j; b) .<■ £(-», 0);

c) xE (0 ,-« }; đ) ï G ( - 00, í]U[5,+ oo).

a) -rG (-4 , 2); b) xE (-« = ,- 12)U(3,+ oo).

xE (—3, 0)U (0,+ k>).

j r e ( - o o - l ) U ( - l , 0 ) .

xE (—3, 0)U (0,+ oo).

xE

1610.

1611.

xE

x E ( - o o ,-i)U (-l, 0)U(3,+ oo).

1612.

1613.

a)xER\

( 3 1

b)m E “ T .-jT t c) r e (-1,25; 0,75).

4 12

b )x G (-5 , 0)U (2,+ oo).

1614.

1615.

a ) a e ( - o o - 3 ) u ( - 3 , + oo);

xER.

b) a G ^ - l . i j u ^ , ij.

1616.

1617.

xE (-1 8 ,+ »).

1618.

1619.

b) xE

m

a) - 4 < x S 7 ; b ) x G 0 ; c ) xE 0 ; d)2<x<9;

e ) j c 6 ( - « , 1)U(3,4]; f ) x e (!,+ »]; g )xG [3,4]; h)xG (l,3).

340

1620. a) Na osnovu pretpostavke a < A=>a + a< a + b => 2a<a+ b*

... a+b

(1) « < — .

takođe na osnovu pretpostavke a < b=> a + b< h+ b* a+ b<2b

(2) 2 ± A .

2

Iz (1) i (2) sledi tvrđenje:

a + b

a < ------ < b.

2

c) Na osnovu pretpostavke ¿7<Aa c>0=> ac<bc=>

ab + ac <ab+ Ac=> a(b + c) < b(a+c) =>—

b

čime je tvrđenje dokazano.

b+c

1621. Primedba. —1° Aritmetička sredina A pozitivnih brojeva a i Aje:

* !■ a 4.

A —---- .

2° Geometrijska sredina G pozitivnih brojeva a i Aje: G = Jab.

*f 2ab

3° Harmonijska sredina // pozitivnih brojeva a i Aje: H = a+b

Uočimo Ii tačnu konjunkciju (k), sledi lanac ekvivalencija:

(k) {(a—6): > 0 Aa > 0A A> 0)<* (a-b)2 + 4ab

(a+ b): > 4 a b o

( 1)

(a+b)

2 )

>ab

Dalje slede ekvivalencije:

a + b i—— a + b I

------ > -Jab o — -

2 2ab -Ja,

2ab

( 2) < -[ab o H žG.

¿7+6

Iz(1) i (2 )sledi d a j e / / <£:£/(.

1622. Ako iskoristimo dokazanu nejednakost A > G. tada je

a b

- + -

b a a b a b

> ----- ■ »- + - £ 2.

2 V A a A a

341

1623. Ako se iskoristi dokazana nejednakost A > C7. dobija se

(1) a+b^2-Jab,a + c^2-Jač i b + c>2yfbč.

Na osnovu pretpostavke sledi:

(2) a+ b = 1—c,a+c= 1—c i b+c= 1—a.

Nejednakost (Ij^se svodi, ako se uzme u obzir (2), na oblik:

(3) 1—až2Voc,\-b2.2-Jač i \-c2:2-Jab.

Njihov proizvod daje tvrđenje.

1624. iskoristiti očigledne nejednakosti

(a-h): žO,(a-c): >0,(b~cf >0 i pretpostavku.

1625. Na osnovu pretpostavke sledi:

a' >a‘ -(b-c ) : , b' >b: —(c—a)2,c2 ^ c~ — (a—b) \

Njihov proizvod: a'b'c: >(a+ b-c)2(a + c - b)~(b + c ~ a)2 o

abe >(o + b-c)(a+c—b)(b + c-a).

9.7. Grafička interpretacija sistema linearnih nejednačina sa

dve nepoznate. Rešavanje problema linearnog programiranja

1626. Šrafirane oblasti prikazane su na slici 96 a - d.

SI. 96

1627. Na slici 97 prikazane su šrafirane oblasti pod c) i d).

342

1628. Konstruišimo najpre skup dopustivih rešenja. Da bismo to postigli

konstruišimo grafike pravih: x— y = 3, .v = 4, x+ 2y = 10 i x - y = 2

i ispitajmo da li koordinatni početak zadovoljava odgovarajuće nejednačine.

Zamenom x= 0 i y = 0 dobijamo da su sve date nejednačine

tačne. Prema tome,

skup dopustivih rešenja je

šrafirana oblast na slici 98, pri

čemu su uzeti i uslovi nenegativnosti

rešenja( x > 0 i y > 0).

Funkcija cilja je L = x+y.

Varirajući L dobijemo familiju

pravih. Od svih pravih koje

seku skup dopustivih rešenja

treba odrediti onu kod koje je

L maksimalno. Kako L raste,

graftk prave x+ y = L se

N \

\ \

SI. 98

translatomo pomera sleva nadesno. Ekstremum (maksimum) funkcije

biće dostignut kada prava x + y = L sadrži tačku (4, 3). Tada je

max,L = 7. Da smo tražili minimum, on bi bio dostignut za onu

pravu koja sadrži tačku (0, 0). Prema tome, bilo da tražimo maksimum,

bilo minimum, dobijemo tačno jedno rešenje.

1629. Konstruišimo najpre prave x — y= 1, 2.v+ y = 11, y= 5 i .r+ v= 1 i

ispitajmo tačnost odgovarajućih nejednakosti u tački 0(0, 0). Zamenom

x = 0 y = 0 dobijamo da

su prve četiri nejednačine

tačne, a da peta nije. Skup

dopustivih rešenja šrafiran je

na slici 99. Na istoj slici prikazane

su i neke od pravih

2x - y = L(LGR). Kako i

opada zdesna ulevo, minimalna

vrednost se dobije za pravu

2x- y —3, pa je min.Z = —3.

Tačke iz skupa dopustivih

rešenja, koje sadrži prava

2x— y= 3, jesu sve tačke duži

čije su krajnje tačke (0, 3) i

(1,5). Prema tome, u ovom slučaju problem nema jedinstveno

rešenje, već ima beskonačno mnogo rešenja.

343

1630. Funkcija i, ima najmanju vrednost i , - 2 za a 2 y ■a najveću

vrednost nema (si. 100). Slično se zaključuje da fimkcij . L2 nema

najmanju vrednost, a da je najveća max Lt — 1 za x i y = 0.

= 2;

1631. a) max£ = 33 za x~ 2, y —5; b ) maxi. = 28 za x 6,y

c) min L = 33; d) nema rešenja; e) max £, = 46, min L2 = 20.

344

X GLAVA

1632. x —2.

10. RAZNI ZADACI

1633. Sistem 3x+ y= 13A x— y= 7 x = 5y = —2, znači i treća jednačina

treba da sadrži i?(5,-2), tj.: (a— 2)5 + 10 = 10 a — 2.

ab

1634. Površina pravouglog trougla P = — . Ako se uzme u obzir

pretpostavka, dobije se

Rezultat: a = 45°,/3 = 45°, y = 90°.

(a+b)~ ab 2 ,

---------- = — (a- b)~ = 0 a= b.

8 2

1635. Dati izraz postupno se transformiše identičnim transformacijama na

sledeći način:

(a + b + c)(ab + bc + ac) —abc =

= a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2+ca2 + 2>abc — abc =

= (abč+a2b) + (b2c + ab2) + (ac2 + a2c) + (bc2 +abc) =

= ab(a + c) + b2(a + c) + ac(a + c) + bc(a + c) =

= (a + c)(ab+ b2 +ac + bc) = (a + c)(b(a+ b) + c(a+ b)) =

= (a + c)(a + b)(b + c).

1636. Analiza. - Upisani trougao ima uglove

od 60°, pa je i on jednakostraničan.

Trouglovi AKM,BLK i CML podudarni

su međusobom. Pravougli trougao

AKL ima oštre uglove od 30° i

60°, pa je AM — 2 AK. Konstrukcija

i dokaz slede neposredno iz analize

(si. 101).

1637. Dati izraz, identičnim transformacijama,

postupno se rastavlja na činioce

na sledeći način:

ai —a = (a— l)a(a+ 1)(£/2+ 1) =

■ = (a —l)a(c?-t- ])((a2 —4) + 5) =

. =(a— 2)(a— 1)a(a+ l)(a+2) + 5(a- 1 )a(a + 1).

Kako su činioci prvog sabirka pet uzastopnih celih brojeva, njihov

proizvod je deljiv sa 30, a drugi sabirak ima za činioce broj 5 i tri

uzastopna ćela broja, pa je njihov proizvod deljiv sa 6, a čitav proizvod

u drugom sabirku sa 30; dakle i dati izraz je deljiv sa 30.

1

345

1638. Trouglovi KIM i QMP su podudarni

(zaSto?). odakle sledi

KM =PQ (si. 102).

1640. Za x = 2 dobija se jednačina

/( 2 ) + 3 /W = 4 ,

a za x = - dobija se jednačina

^1+3/(2 ) = |

4

Rezultat eliminacije / ^ - j iz gornjih

jednačina je jednačina

-8 /(2 ) = 4 - - , odakle je

Si. 102

J 32

164!, PoSto je MN srednja linija trougla BCD, to je MN ||i?C, tj.

MN 1 CA. Poštoje i CD 1 AM, to je N ortocentar A ACM, a AN je

visina istog trougla, tj. AN _LMC.

1642. Neka je AMDCB = {K), tada se primeni nejednakost trougla najpre

na trougao AKC, pa na trougao MKB:

AK < AC + CK

MB<MK+KB\

posle sabiranja ovih jednakosti dobija se

AM + MB < AC + CB.

1643. Kvadriranjem i svođenjem sličnih monoma pretpostavka se svodi na

oblik:

2,r" + 2 j’2 + 2z: - 2 x y —2 xz~ 2 yz = 0.

Odavde izlazi da je :

(x~ y): + (x ~ z)' + ( y - z ) 2 = 0.

Zbir kvadrata jednak je nuli ako je svaki sabirak jednak nuli, tj.

x - y = 0, x - z = 0, y ~ z = 0; odavde sledi da je x = y = z.

1646. Prava MN seče produžetke stranice AB i AD (si. 103) u tačkama P i

Q. Trouglovi: A BPM, A MCN i A NQD su međusobno podudarni

(zašto?), pa je PM = MN = NQ. Poštoje MN srednja linija trougla

346

1647.

1648.

1649.

1650.

BCD, tada je MN ||5Z>. Primenom

Talesove teoreme sledi

BK = KL = LD.

81.

1

x = ~.

2

Vrednost datog izraza A = 0,

dakle ne zavisi od a i b.

Ako se kvadrirajednakost(l)i uzme u obzir jednakost (2), dobije se :

(3) xy = ab,

Ako se (1) kubira i uzmu u obzir (2) i (1), dobije se tvrđenje.

o.

1654.

Neka su a,fi,y unutrašnji uglovi trougla ABC, a a , spoljašnji ugao

trougla sa temenom u A. Pošto je na osnovu pretpostavke

AD

AE = -y -, tada je L DAE = 60° i L ADE = 30°. Iz L ABD sledi:

(l)/? = ^ - - 3 0 ° ,

1655.

a iz ABC sledi:

(2) ce, = P + y.

B + y

Iz (1) i (2) dobija se jednačina /? = ----- - + 30°.

Odavde sledi ¡3— y= 60°.

^

Neka je traženi dvocifreni broj lO.t+j/, na osnovu pretpostavke

može se formirati jednačina J, tj.:

, 10.t + _y x

J ----------= jH—

y

y

o 10x+ y = y 2 + x

« 9x = y (y - I)

Pošto su x i y prirodni brojevi manji od 10 i zadovoljavaju poslednju

jednačinu, izlazi da je x = 8, y = 9, a traženi broj je 89.

347

1656.

1658.

1659.

348

_ pravougli »uglovi

Analiza.

hipotenuzu, koja pripada

datoj pravoj p.

Na osnovu teoreme

„Ugao nad prečnikom

je prav“ sledi da je

duž, čiji su krajevi

date tačke M i N, tetiva

polukružnice prečnika

AB.

Konstrukcija. - Neka

je s simetrala date duži

MN, a sn /> = {0|-

KonstruiSimo kružnicu

K(0,0M). Dva temena

trougla su tačke

AiB,knp={A,B\.

Treće teme C trougla se dobije

u preseku pravih AM i

BN (si. 104). Dokaz se lako

izvodi na osnovu analize i

konstrukcije.

Neka je HQl AB

DP 1 AB (si. 105), tada je:

(1) A BQH = A CLB

(USU)=> BL= QH\

(2) A APD = A ACL

(USU)=>AL=DP.

Hipotenuza trougla

AB = AL+LB. Na osnovu (1) i (2)

sledi da je AB = PD + QH, čime je

dokaz završen.

Data funkcija se svodi na oblik

y = \x—l|- x+ 3[ Ako se uzme

u obzir definicija apsolutne vrednosti,

onda je:

1) x < —3A y= 4,

2 ) -3<x<lAy = - 2 x - 2 ,

3 ) x>lAj> = ~4.

Grafik je prikazan na si. 106,

K

SI. 105

A M B i A B N ¡moju isu, (zaj

/

/

/

/

/

1 6 6 0 . Neka su brojevi m i rt. Na osnovu pretpostavke je:

(1) —= k + -*>n = 5k + \,

V ' 5 5

(2) - = !+-=> m = 5l+2, k,lEZ.

v 5 5

Razlika četvrtih stepena podeljena sa 5

n4 - mA_ (n2 + m2)(n2 - m2)

~ 5 5

ako se uzmu u obzir (1) i (2), tada je

5(5k 2 + 2k + 512 + 41 + 1)(25A:2 + 10* - 512 - 201 - 3)

K - J e


1 6 6 1 . Po pretpostavci imamo daje

ax+b = kM, M E Z,cx+ d = kP, P E Z.

Odavde se dobija da je b = kM — cix i d = kP — cx.

Razlika ad—bc —a(kP —cx) —c(kM — ax) = k(aP - cM) E Z.

Dakle, razlika ad~ bc je deljiva sa k.

1662. Z a n ^ O , x = 2a+3 ;.x<-l, xE 0,- .

2 a -3

3 3a

1663. Z a o ^ - , x = ------- \x>2 za a G | - 6 , - - 1.

2 2a+ 3

1664. Ako je a* 9, rešenje sistema je (-a - 11, a+ 9); da bi x > 0 i

y£0 a6 (-w ,-ll). , 10_ 2<, _ 6,

1665. Ako je ¿7 * —6, rešenje sistema je

, y = 3jc za a = 9.

T * «

1666. Za a ^ ——rešenje jednačine je

2 a

x = , .v < 1za aG —co,—“' U (4,+ oo).

3a —4

1667. L MAN + L MBN - 180°

2 ’ 2

349

1668.

Neka je x broj učenika u odeljenju, a

dobar. Tada je

broj učenika sa ocenom

1669.

l + ± + l + y = X<>y=l±(X,ye{2l22,...,39}).

6 3 9 ] o

7,vje deljivo sa 18 za .v = 18 i .v = 36, 18 £ {21, 22...., 39}, pa je broj

učenika u odeljenju 36, a sa ocenom tri ocenjeno je 14 učenika.

Kvadriranjem prve jednakosti dobija se:

(o+ b)2 = (-c ): o a2 + b2- c 2 = - 2 ab

o (a' + b2 - c 2)2 = 4a2b: o

(\)a +b'+c* = la2b2+ 2a2c2 + 2bl Ic2.

Kvadriranjem druge jednakosti je (a2 +b2+c2): = l2 o

(2) 2a2b2 + 2aV + 2b2c2 = 1- a 4 - bA- c\

Iz (1) i (2) dobijamo:

1671.

I način. —Postupno transformišemo dati izraz na ovaj način,

nJ +1 ln = n[n2 + ll)=rt(rt:-l-fl2) =

= n((n- l)(n+ 1)+ 12)= n ( n - l)(n+ 1)+ 12n .

Prvi sabirakje deljiv sa 6 jer je proizvod tri sukcesivna broja deljiv

sa 6. Drugi sabirakje deljiv sa 6 jer je 12 deljivo sa 6.

II način. —Broj je deljiv sa 6 ako je deljiv sa dva i sa tri. Broj je deljiv

sa dva ako je deljiv sa n = 2k i n = 2k + 1. Broj je deljiv sa 3 ako

je deljiv sa n = 3k, n = lk + 1i n = 3k + 2. Lako se proverava da je

ovo tvrđenje u ovom zadatku ispunjeno.

350

1672.

1673.

1674.

1675.

1676.

1677.

1678.

Dati izraz postupno transformišimo na sledeći način:

a 3+ 1 a3— 1+ 2 (a - l)(fl‘+ «+1) + 2

a —1 a—1 a—1

2

—a~ +a+ 1+

a— 1

Dati izraz je ceo broj ako i samo ako je a— 1 = ±1 i a— 1 = ±2.

Odavde sledi da je a E {—1, 0, 2, 3}.

Kako je z = - x —y, tada je:

z 3 = - x3 - y 3- 3x2y — 3xy2.

Odavde sledi da je:

x3 + y 3+ z 3 = —3xy(x+ y) = -3xy(-z) = 3xyz.

Dakle, zbir kubova ovakva tri broja je deljiv sa 3.

Ako se odrede zbir i razlika datih jednačina, dobijamo da je:

x 3jc x x

f I = — • 1) = —• Ako se uvedu sm ene-------= t i

x — 1 2 2 x —1

3.v . . . x—1

2x+ 1= z, lako se dobija daje f(x) = i g(x) =

2x—2

Data jednačina se postupno svodi na ekvivalentne jednačine:

x2+ xy+ = 1<» x2 + 2xy+ y 2 = 1+ xy

(x + _v)2 — 1 = xy

o (j: + y+ 1)(jc+ y — 1) = xy.

Na osnovu pretpostavke treba odrediti koji ćeli brojevi su rešenja

poslednje jednačine. Pošto su x i y ćeli brojevi to jc+ y+ 1 i ,r+ v—1

treba da budu ćeli brojevi. Treba resiti u skupu celih brojeva sledeće

sisteme:

(jc= 0A x + y+ 1= 0 ),(j = 0A x + y — 1= 0),

(y= 0A x + y+ 1= 0),(v = 0A x + y - 1= 0),

(a-+ y+ 1= jcA x+ y —1= y), (j:+ y+ 1= yA x + y — 1= x),

(,r + y + 1 = —xA x + y — 1= —y),

(a'+ y+ 1= —y A x + y — 1= —x).

Skup uređenih parova { (0 ,-l);(-l, 0);(0, 1);(1, 0);(1,- 1);(—1, 1)}

su sva celobrojna rešenja.

Stranice pravougaonika su: x= 3,3 i 3.v= 9,9 ili x= 4 i 3.t = 12.

Stranica kvadrata je x= 12 cm.

Jedna dijagonala romba je visina h = 2^5 cm, koja odgovara osnovici

jednakokrakog trougla, druga dijagonala i/=4cm. a stranica

romba x = 3 cm.

351

1679.

1680.

1681.

1682.

1683.

1684.

1 6 8 5 .

1686.

1687.

1688.

1689.

dt = 40 cm, d7 = 63 cm.

a - 39 cm. 6 = 25 cm.

m = 0.

Drugi polinom je oblika Q(x) = x2+ x+c,c je realan broj. Iz identiteta

P{x) = {i?(x)): dobija se da je a= 3,6= l,c = 1 a polinom

£>(*) = jT + j +I.

Ako se pomnoži data jednakost sa najmanjim zajedničkim imeniocem,

dobija se jednakost:

(/i + fi)^J + (5 + C )x+^4-C = *+3.

Ova jednakost važi za svako .t ako i samo ako je

A + B = OAB + C = 1A A +C = 3. Odatle se dobija daje

A = \ , B - - \ , C = 2~

/4 = ? 5 = ~ ? C = 0 ’ D = I '

A = B = - l .C = 1.

A = -3 ,8 = ],C - 2,D - -2.

A = -\,B = 2,C=\,D = 2.

Za m 2 i x * 2 jednačina ima jedinstveno rešenje x = 2 m+ 2

m— 2

Za m= 2 i x= 2 jednačina je nemoguća: m G ( - “ l)U(5,+ °°).

Za m * 3 i x * 2 jednačina ima jedinstveno rešenje:

1

x = -- m+ 3

----U ----- ,+ «>

1690.

1691.

1692.

1693.

a —2

x = ,a G [0 ,+ oo).

a + 2

4-13a

x= ■ ■,zaa*0,a*-,aE\ — ,2 .

6a —1

25

5 —8m

x = 4 m—1

Dve tačke.

(H

352

1696. Traženi polinomP(Q(x)) = (x : + 3.t+ 2): - 3(j:‘ + 3x+ 2) + 2,

smenom .v2 + 3x= t dalje je P(Q(x)) = (/ + 2)" - 3(r + 2) + 2 =

= / ( r + 1) = ( jc2 + 3 x ) ( x 2 + 3jc + 1 ) .

1697. Kako je (x— 1)(jT + 6jc+ 8) = ( x - l)(x+ 2)(x+ 4), primenom

Bezuovog stava P (l) = 0, P[—2) = 0, P(—4) = 0, dobija se

m+ n+ p + 9 = 0 A — 8n + 4«—2/7 + 24 = 0

A - 64m+ 16« —4p + 264 = 0. Odakle se dobija da je

m = 4, « = —3, p = —10.

1698. Na osnovu uslova zadatka imamo da je

x4 + 2ax2 + bx+c = ( * - l)3(;c + n), odakle se dobija daje

a = -6 , b = 8, c = —3, « = 3.

1 6 9 9 . m = - 3 , n = \, p = 2.

1701. / ( / ( * ) ) = *.

1702. a) Iz sličnosti A /1MB ~ A PMD sledi da je

(1) AM:MP = MB:MD;

iz sličnosti A MBN - A AND sledi da je

(2) MN-.AM = MB.MD.

Iz (1) i (2) sledi da je AM2 = MP-MN.

b) Iz sličnosti A DPA ~ A ANB sledi da je

DP\AD = AB.BN o DP ■BN = AD • AB = const.

1703. a) Pravougaonik stranica m i «je homotetičan upisanom pravougaoniku

u trouglu ABC itd.

b) A ABC ~AQPC (QG AC,PGBC)-> AB:QB = CH \CK

(,K G CH). Obim, O = 2(QP + PS) = 2(CK +PS) =

2{CK + KH) = 2CH = 2 AB.

1704. a) Osenčeni deo je oblast trougla čija su temena

b) sve tri tačke pripadaju grafiku.

1705. Data jednakost se transformiše postupno:

a* + b“ + 2 <3*6' —2a*6' + c4 + d i + 2 c2d 2 —2c1 d 2 = 4 abcd

(a2 —b2)2 + (c2 —d ') 2 + 2(ab —cd)2 = 0.

Zbir kvadrata jednak je nuli ako i samo ako je svaki kvadrat jednak

nuli, tj. o* —6* = 0 A c' —d~ = OAab —cd = 0, odatle sledi da je

a = b = c= d.

353

1706. Dat izraz identički je jednak izrazu: ( a - b f +(b — c)2 + (c-d)2.

Zbir kv adrata je jednak nuli ako i samo ako je svaki kvadrat jednak

nuli, tj. (a—b)2 = 0 V (ć -c ): = 0V(c —d)2 = 0, odavde je

a —h = c = d.

1707. Neka je tačka T zajednička tačka kružnice i tangente PT, a Q presečna

tačka kružnice i sečice PM, tada je:

PT1 =PM-PQ<> PM-.PT =PT:QP<»PM\a = cr.QP. Dakle, PQ

je četvrta proporcionala za tri date duži, pa se tačka Q po Talesovoj

teoremi lako odredi na pravoj PM, sada su poznate tri tačke M, N i

Q oko kojih treba opisati kružnicu itd.

1708. Data jednačina ekvivalentna je jednačini

7

( z - 3 ) ( v + l) = 7 « z 3 = ------. Odakle zaključujemo da je

y + 1

y+ 1= ± 1V y+ 1= ±7, tj. x — 3 G {—1,1;—7,7}, a

* e {-4,2,4, 10}.

Rešenje je skup uređenih parova

U ž O e {(4, 6);(2,-8);(10, 0);(-4,-2)}.

1709. Ako turista prelazi x km, tada je:

105 105

------------- = 2 o z( x- 6) = 21,15*> .r = 21 km.

x— 6 x

1710. —v = ( —+ — )(v—6 ) v= 36 km. AB =18 km.

4 \4 20/

1711. x‘ + —r = 7 x2 + 2x- + -~ = 9 « (z + —] = 9 o . r + - = ±3.

Xi x X \ x) x

1 1 k

1712. Neka je dati razlomak x, tada je x + - = 3z o x = — = -----

5 10 10A-

~>22

Znači, 10A: —k = 1998 k = 222. Dakle, traženi razlomak je — —.

2 220

1713. Traženi razlomak je pa je

7Iz

40z+ 7 Iz - 1998 11 Iz = 1998 o z = 18, razlomak je

720

1278'

354

1714. a )* 3± -V = 1 8 ; b) * 4 + = 47.

*3 x4

1715. * = ±1000.

1716. Dati izraz se transformiše na oblik

n(nA- 5tr + 4) n(n2 - 4)(n: - ! ) _ (» + 2){n+ \)n(n~l)(n- 2)

120 5! 5!

n + 2\

Ovo je binomni koeficijent, dakle prirodan broj.

fn + 2,

Za n + 2 > 5, odnosno n > 3, za « < 3, | 1=0.

1717. Ako je * cifra desetica, onda je 11- * cifra jedinica, pa je prvi broj

10*(11- x) a drugi sa zamenjenim ciframa 10(11—*) + x pa je na

osnovu pretpostavke 10(11—* ) + * = 3(10 .r+ 11—* )+ 5. Traženi

broj je 29.

1718. Na osnovu pretpostavke imamo

100(10- *) + 50 + * = 39+ 2(100*+ 50+ 10-*).

Odakle je * = 3, broj je 357.

1719. Relaciju zadovoljavaju sve tačke u I kvadrantu koje pripadaju pravoj

y = x i koordinatni početak, sve tačke u III kvadrantu i sve tačke na

negativnom delu * —ose (si. 108).

1720. Bez uputstva.

1721. Svi uređeni parovi (*, t) u trouglu ABC i tačke na stranicama AB i

AC. Temena trougla su: .4(0, 1),B(—3,-2),C(6,—2). (si. 109).

355

1722. Broj pisan jedino ciframa 6 i 2 je deljiv sa dva ali nije sa 4, dok je

razlika kvadrata, ako je paran broj. deljiva i sa 4.

1723. Neka je A minimum prvih koordinata a B minimum drugih koordinata

tačaka iz S i neka su {/U') i [X,B) dve taćke iz S. Kako u skupu

T = j(.v. v)| \£x<,X, 1< v<i'} ima konačno mnogo cetobrojnili

tačaka, postoji tačka (x,y) iz S koja mu ne pripada. Za nju važi

A<x,Y < y ili X < x, B < y.

1724. Kako je k - (k + l)-(* + 2) + (* + 3) = 0 za k = 4,5.....1992 i

1+ 2 - 3 = 0 predznaci se mogu izabrati da vrednost izraza bude

nula.

1725. Dovoljno je dokazati da se dijagonale polove. Neka je O presek dijagonala.

Kako su površine trouglova ACD i ACB jednake, visine iz

temena D i B su jednake. Iz jednakosti površina ACD i BCD sledi

jednakost površina trouglova A OD i BOC. Kako su im visine iz temena

D, odnosno B jednake, vredi AO = CO. Slično se pokazuje da

je BO = DO.

1726. Trouglovi AEC i BFC su podudarni jer je AC = CF,CE = CB,

L ACE = L BCF = y+ 60°. Stoga je AE —BF. Ovi trouglovi rotacijom

okoC za 60° preslikavaju se jedan u drugi. Stoga se i odgovarajuće

prave AE i FB seku u nekoj tački O pod uglom od 60°, dakle

L AOF = ¿.BOE = 60°. Kako se duž AF vidi iz tačke O pod uglom

od 60°, četvorougao AOCF je tetivan, pa je i L COF = L CAF = 60°

Stoga je L AOC = 120° Slično se dokazuje da je ¿.BOC = 120°

Ugao L AOB je dopuna zbira ovih uglova do punog ugla, pa iznosi

takode ¡20°. Analogno se dokazuje da se duži DC i BF seku u nekoj

tački O' iz koje se duž AB vidi pod uglom od 120°. Kako su O i O' sa

iste strane prave AB, moraju se O i O' poklapati. Time je dokaz

završen.

1727. Teg će se spustiti do najmanje moguće

visine. Neka su tačke A,B,P,Q

označene kao na (si. 110). Neka je

C tačka na AP takva daje.SC = 15m.

Simetrala duži AC šeće duž BC u

tački M koja je tačka ravnotežnog

položaja tega. Dokažimo to.

Neka je M' tačka na kojoj se

zaustavio teg. Neka je M' niža od

tačke M, i neka je C’ tačka na AP,

različita od A, takva da je

AM'= M'C. SI. 1 10

356

Tada je AM'+M'B = C' M'+ M'B >C'B>CB = 15 m (jer je C' niža

odC). Dakle M je traženi položaj, a tražena visina se lako računa:

BD = 12, CP = 3 => MN = 7.

1728.

1729.

1730.

1731.

5a —b 6a + b 6c + d 6a + 6 c a

-------—-------- =>--------= -------- =>-------- = -------- =>

5c+ d 6c + rf 5c+ d 5a + b 5c + d 5a + b

5c+d

c

5a + b d

------- => —

a c

— = k =>d = kc, b ~ ka =>

a

la + ka „ ii 9 a+b 9a + ka a

=>--------- = 8 => - = 8 =>---------= ---------- = -

Ic + kc c 9 c + d 9 c+kc c

9 a + b

Dakle--------= 8.

9 c + d

Ne.

Neka je 2n2 = £#.

Ar2(w: +¿0 = A2»2 + k 2d= k2n2 + kln2 =

= n2(k2 + 2k)= n2[(A' + l)2 —1].

Izraz [(/r+ l)2 - 1] nije kvadrat ni zajedno k.

Neka je Ali-Baba poneo x kg dijamanata i y kg zlata. Jasno je da su .v

i y nenegativni realni brojevi. Iz ograničenosti prostora u kovčegu

sledi da je:

x .

v

-----1------ —1.

40 200

Kako Ali-Baba ne može da ponese teret teži od 100 kg, to je

.x + y < 100.

Odavde dobijamo da je y < 200 —5.x, y < 100 —x. Sledi da je

y < 100 - x, 0 < x £ 25; y < 200 - 5x, 25 < x < 40.

Ali-Babin profit iznosi

60x + 20 v < 2 000 + 40x, 0 < x < 25;

60x+ 20>' < 4 000 - 40x, 25 < x < 40.

Sledi da će Ali-Babin profit biti najveći ako ponese 25 kg dijamanata

i 75 kg zlata, i u tom slučaju će iznositi 3 000 dinara.

Razbij mo skup A na disjunktne podskupove:

A0 - skup svih brojeva deljivih sa 3,

A, - skup svih brojeva koji pri deljenju sa 3 daju ostatak 1, i

357

A, - skup svih brojeva koji pri deljenju sa 3 daju ostatak 2.

Broj elemenata u ovim podskupovima je, redom, 26, 27, 27.

Da bi zbir a + b + c bio deljiv sa 3 moraju:

(1) sva tri sabirka davati pri deljenju sa 3 isti ostatak, tj. svi biti iz jednog

od ovih podskupova. ili

(2) sabirci davati različite ostatke pri deljenju sa 3, tj. iz svakog od

ovih podskupova biti po 1sabirak.

. 26-25-24 27-26-25

Podskupova prve vrste ima------------+ 2-------------= m,

6 6

a podskupova druge vrste ima 26-27" = n.

Traženi broj podskupova je m+n.

1732. (a2 + b2)2 =a*+3a*b2+la2b4+b* =

= a b~ 6a V + 9a 2b4 + A6 - 6a V + 9AV =

= (a3- 3aA2): + {A3 - 3An2 )2= 82 + V ôF = 125.

a2+ b2 = VÎ25 = 5.

1733. Označimo sa A,,Bf,Ct presečne tačke simetrala uglova sa naspramnim

stranicama. Tada imamo:

AA, = ———AC+ ~ —AB, B B ,= - ^ —B A + -^ -B C ,

o + c £7-fc a + c

Označimo sa S centar upisanog kruga:

{S\ = AA,nBB„ AS = X AA, i BS = (xBB,.

Iz AS = AB+BS dobijamo:

, b+c a+c

A = -----;---- U =-----;---- .

a+b+c a+b+c

Odatle se dobija aAS+ bBS+cCS = 0.

Neka je S, neka tačka za koju važi:

aAS, + bBS, + cCS, = 0.

Imamo (a + b + c)SS, = 0^SS, = 0 =>5, =S.

358

1734. To je 4. Za n > 4 i n = ab imamo: a ** b ili n = rT, a >2.

1735. Obeležimo sa K presek AE i CD. Trougao AKC je jednakokraki (jer

je L KCA = L KAC = 30°), pa je AK = KC i L AKC = 120°. Kako je

L AKC dva puta veći od L ABC dobijamo da je K centar opisanog

kruga oko A ABC (centralni ugao nad tetivom AC je dva puta veći

od periferijskog), pa je AK =KB =KC. A AKB je jednakokraki

(AK = KB)=>L KAB = L KBD = 50°-30°= 20°

LDKE = L AKC = 120° (unakrsni uglovi), sledi daje četvorougao

DBEK tetivni, pa je LKDE = LKBE (periferijski uglovi nad istom

tetivom). LKDE = LKBE = 60°-20°= 40°. Znači LCDE = 40°.

1736. a) X4 + x2y 2 + y4 = x* + lx 2y 2 + y* - x2y2 =

= (x2 + xy+ y2)(x2 -x y + y 2).

b) Neka je a = 3 "Q. Dati broj je

a 4+iJ: + l = (3 4 + 2ii2 + l “ ii2 = (ii2 + l): - a :! =

= (a2 +a+ l)(a2 —a+ 1).

Kakoje 31998 + 3W + 1> 1i 31998 - 3W + 1 > 1, to je dati broj složen.

1737. U izrazu G(x,y) = (x - y)V(x,y) zamenimo y= 0 i dobijemo

/( * ) = A A (a-b)2(c-x)c-(c-a )2(b-x)b).

a (a —x)

Slično, zamenom x = 0 dobijamo g(y) = f(y).

Proverom se utvrđuje da zaista važi za svako

y>V(x,y) = —^—( / ( * ) —/(> ’))•

* - y

1738. Da. Primetimo daje 1+3J= 4-7, odakle sledi daje svaki broj oblika

3" + 3'1+3, gde je n nenegativan ceo broj, deljiv sa 7. Prvim potezom

Arkadije zamenjuje prvu zvezdicu (ispred broja 1) znakom +. Zatim

grupiše preostalih I 998 članova u 333šestorke uzastopnih stepena, a

u okviru svake šestorke formira tri para oblika

(3a+l, 3“ +<),(3“ +i, 36*+5),(3tt+\ 36t+6), (k = 0,1,2,3,...,333).

Kad Branislav zameni zvezdicu nekim znakom, Arkadije zamenjuje

zvezdicu istim znakom ispred drugog broja iz istog para. Dobijeni

broj, očigledno, pri deljenju sa 7 daje ostatak 1.

1739. Tačka M se ne može nalaziti na nekoj od pravih AB,AC,BC. Prema

tome, imamo sledeće slučajeve:

359

(1) M je unutar A ABC. Tada je

P( A ABM) = P(ABCM) = P(ACAM) = ^/>(A /İ5C).

Ako bi se AYnalazila unutar nekog od trouglova

ABT.BCT.CAT (T je težište A ABC), recimo unutar A ABT,

imali bismoP(A ABM)<P{A ABT)=^P(A ABC).

Dakle, mora biti M = T.

(2) Neko teme trougla ABC se nalazi unutar trougla određenog

tačkom M i sa ostala dva temena. Neka je to teme A. Tada je

P(ABCM) = P(AACM) + P(AABM) + P(A ABC), pa ovakva

tačka M ne zadovoljava traženi uslov,

(3) Tačke A,B,C,M su temena konveksnog četvorougla. Ako je S

presek njegovih dijagonala (npr. {5} = ABDCM),

imamo P(A ACM) = P(ABCM)=> hA = h„, gde su hA i hHrastojanja

tačaka A,B od prave CM redom, pa je AS = SB.

P{A ACM) = P{A ABM) *> P(A ACS) = P(A BMS) *CS = SM.

Dalde, dijagonale četvorougla ABCM se polove.

Prema tome, postoje ukupno 4 tražene tačke M: težište A ABC, i tri

tačke simetrične temenima trougla u odnosu na središta naspramnih

stranica.

1740. Neka je A,,A2,...ASosmougao kao u zadatku i neka su as,az,...aH

dužine njegovih stranica. Dokažimo da je četvorougao A,A,A5A6

paralelogram. Neka su p,q,r,s prave koje sadrže temena A, i Az, A, i

At, Ai i A6, A7 i At, redom, a P,Q,R,S presečne tačke pravih p '\q,q

i r, r i s, s i p, redom. Lako je dokazati da je četvorougao PQRS

360

. V2 V2 .

pravougaomk čije su stranice PS = at ------1-a, + a ,----- 1

V2 -Jl 2 * 2

RQ = a, ■— + ai +ab-----. Kako je PS = RQ dobijamo:

. + \ V 2

a,-a, =(a4+ab-a,-a 2)-— .

Pošto su dužine stranica racionalni brojevi dobija se at —ai = 0.

Dakle, četvorougao A,A1ASA6 je paralelogram jer ima dve paralelne

i jednake stranice. Njegove dijagonale A,AS i A2A6 seku se u tački

O. Slično se može dokazati da su i ostali četvorouglovi obrazovani

parovima naspramnih stranica osmougla paralelogram! i daje tačka

O zajednički centar simetrije tih četvorouglova, a time i datog osmougla.

1741. Neka je P središte duži A,A4. Tada je B]PBiB2 paralelogram, pa je

N središte duži PB2;

j

MN je srednja linija trougla B2PB4, tj.MN = —PB4.

a

Kako je PBt srednja linija trougla A,A4AS, sledi da je MN = —.

1742. Označimo sa a broj 1 999. Tada je

/»(l 999) = P(a) = a2000 —(a+ l)a,999+...-(a + 1 )a + a+ 1

____ 2000 2000 1990 , 1999, 2 2 i _ 1

= a —a —a +a +...+a —a —a + a+ 1= 1.

1743. Neka su pt,p2,qE. Z i NZD(p,,p2,q) = 1 takvi da je

2^— j + f>|— j = 1. Tada je l p 2 +5p\ = q2, odnosno

q2 = 2 p 2(mod5). Znači 5 | q i 5 | /?,. pa 25 15p\. Dakle 5 | p2.

To je kontradikcija sa pretpostavkom NZD(p],p2,q) = 1.

1744. 1) A = 0. Tada je - simetrična, antisimetrična i tranzitivna, a nije refleksivna.

2) A ima tačno jedan element. Tada - nije refleksivna, a jeste simetrična,

antisimetrična i tranzitivna.

3) Ako A ima bar dva elementa, tada - nije ni refleksivna, ni antisimetrična,

ni tranzitivna, a jeste simetrična.

1745. Neka prava koja prolazi kroz M i paralelna je sa BC seče AB i DC u

tačkama/3 i R, a prava koja sadrži M i paralelna je AB neka seče AD

i BC u tačkama S i Q. Tada je MA < AP + MP = AS + AP. Slično

MB <PB + QB; MC <CQ + RC\ MD <DR + DS i sabiranjem dobijemo

tvrđenje.

n 12 —128rt6 + 4 096 (n 6- 64)2

1746. —-------- ;------------- - = -------------------------- ---------------- - =

(rt3- 4 n 2 + 8 rt-8 )- ((/» —2)(W + 2w + 4 ) - 4n(n - 2))2

_/ (/73- 8)(rt3 + 8) \2 _

\(n- 2)(n2 - 2n + 4)}

(rt —2)2(rt2 —2rt + 4)2(rt + 2)2(rt2-t-2rt + 4)2

(rt —2)2(rt2 —2rt + 4)2

= ((n + 2)(n2-f 2n + 4))2.

1747. Označimo sa a broj 1 999. Tada je

361

/’(]9W) = f ( 1.) = 0=“ - ( „ + | + ,

- a - a - a + a + - + a 1 ~ a 2- a + a + 1= 1.

1748. a) A BKC s A CLD => L BSL - L CSK ~ 180°- L SCK - L SKC =

= m °-/.L C D -L DLC - 90°; L BAL + ¿.BSL = 180°.

b) L ASB = LALB (jer je četverougao ABSL tetivni)

L ALB = L CKB = L KBA. Sledi AS = AB.

1749. 1) A = 0. Tada je - refleksivna, simetrična, antisimetrična i tranzitivna.

2) A *■ 0. Tada - nije ni refleksivna, ni antisimetrična, ni tranzitivna,

a jeste simetrična.

1750. Jedino rešenje je

p = 5. p = Sk± 1. 5 14 p : + 1.

p = 5k±2. 5\6p- + L

362

LITERATURA

1. H.n. A iitohob. M. ÎI.Ero6cKH, E.E. H h k h t h h . A.M. Čam om : CôopmiK zadan

no 3neM enmapnou MameMamuKe, MocKBa 1964.

2. H b. A iicb, A.AurcJioB. n . Ctüm6 obob: CôopmiK om zadanu no anzeôpa.

Cotpuna 1958.

3. A lendorfer i Okli: Principles o f M athematics, u prcvodu, Beograd 1966.

4. C. Bréard: M athématiques 3e' Paris 1962.

5. C. Bréard: M athématiques 2e' Paris 1969.

6. V.Bogoslavov: Zbirka rešenih zadataka iz algebre, I razred gim nazije, Beograd

1972.

7. P. Vasić, R. Janić. V. Bogoslavov: Zbirka rešenili zadataka iz m atem atike za 11

razred zajedničke osnove srednjeg usm erenog obrazovanja, Beograd 1978.

8. A.Com bes: Excercices & Problèm es de M athém atiques, Paris 1968.

9. Doekciani, Berman, Frellich: M odem algebra Strukture and M elhod Book I:

Boston.. N ew York. Atlanta. Gcncva, ili. Dalas, Palo Alto.

10. B.K.ErepeB, B. B. 3aflueB, E. A. Kopbchckh, T. H. MacnoBa. H. OpnoBCKas.

P. H. rio3oflCKHfi. r.C.PaxOBCKaa. M.H. CKaitaBtt: CôopmiK zadan no

MameMamuKe djm KOHKypciibix 3K3aMeiiOG oo emy3bi. MûCKBa 1969.

11. fl. K. O apaneen h M.C.ComhhckhIî : Aiieeôpa, MocKBa 1966.

12. P. A. Kajmmi: A m eôpa u 3neMenmapnbie r/jyiiKiiuu, MocKBa 1966.

13. B, A. KpcHMap: 3aàanmiK no arneôpe. Moctcea 1968.

14. E. U. Kyincmco: CôopnuK KOiiKypciibiux saàan no MameMamuKe, Jlem m rpaa

1964.

15. V. Lespinard cl R. Remet: Algebre classe de première A ’-C -M -M ’, Lyon 1961.

16. B.E. JhmcKMH, JI.B. O bchhiihkob, A. H. TynoîÎKOB, M. H. UiaGyttHH: 3aàanu

no 3JieAtenmapnoii MameMamuKe. MocKBa 1968.

17. V. Lespinard et R. Pcrnct: G éom étrie 1®A ’C M M ’, Lyon 1961.

18. V. M ihailović: G eometrija za 1 razred gim nazije. B eograd 1964.

19. V.M ihailović: Geometrija za 11 razred gim nazije, prirodno-m atem atičkog

smera, Beograd 1964.

20. M ichel Queysanne, André Rcvuz: M athématique tom e 1, Paris 1969.

21. n.C. M oachob: CôopmiK sadan no cneqwtbiiOM teypey 3jteMenmapHbie

MameMamuKe. MocKBa 1864.

22. E.neTKaiiHitit, C.ManonoB. H.MapTimoB. K.neTpoB: CôopuuK om saàanu no

MameMamuKe sa Kandudam-cmyàenmu. C o(])hh 1965.

23. H.X. CuBauiHJtCKn: SaàanuuK no zjicmchm apnoù MameMamuKe. MocKBa 1966.

24. 1. Slamate. I. Stoian: Culegere de problem e de algebra, Bucuresti-1965.

25. K.y.LUaxno: CôopmiK 3aàan no 3jteMenmapHoù MameMamuKe, noebiuieiioù,

M hhck 1965.

26. C.H. TyMaHOB: Aseeôpa, MocKBa 1966.

363

beleSka o autoru

Mr Vene Bogoslavov rođenje 1932. godine u selu Paralovu, opSlina Bosilcgrad Po

zavrietku gimnazije u BosilegrBdu, zavrtio je matematiku na Prirodno-malcmatičkom

fakultetu u Beogradu (1958)

Godine 1967 zavrtio je specijalističke studije na Prirodna-matcmatiikom fakultetu, a

magistrirao je 1981 godine na Elektrotehničkom fakultetu, U 1980 godini mr Vene

Bogoslavov je za izuzetne rezultate u vaspilno-obrazovnom radu stekao zvanje pedagoškog

savetmka

Radni vek započeo je kao gimnazijski profesor u beogradskim srednjim Školama Od

1965. godine radi kao profesor u Petoj beogradskoj gimnaziji.

U toku rada mr Vene Bogoslavov biojc na mnogobrojnim funkcijama rukovodilac

aktiva matematičara grada Beograda i matične Škole, mentor novim profesorima, član

uređivačkog lima u Zavodu za udžbenike i nastavna sredstva, član odbora za proučavanje

problema nastave matematike u osnovnim i srednjim Školama pri Prosvctnom savetu Srbije

i dr Pored ovih funkcija, obavljao je i druge stručne poslove kao Sto su: član Školskog

odbora i saveta Škole, u sindikatu Ud.

Objavio je mnogobrojne knjige i članke iz oblasti matematike koji su doživel i zapažen

uspeh, imali veliki broj izdanja u milionskom tiražu. Njegove zbirke poslale su opSti

jugoslovenski udžbenici koji se svakodnevno koriste na svim prostorima bivše i danaSnjc

Jugoslavije

Udžbenici Z birko zadataka iz m atem atike za IV razred gimnazije (prvo izdanje 1968.,

30. izdanje 1998. g , ukupan tiraž 216802 primeraka); Z birka r e ie n ih za d a ta k a iz

m atem altke I (prvo izdanje 1970 g , 25. izdanje 1998. g ; ukupan tiraž 317835 primeraka):

Zbirka reien ih zadataka iz m atem atike 2 (prvo izdanje 1971. g., 23 izdnnje 1998. g ;

ukupan tiraž 212816 primeraka), Zbirka reien ih zadataka iz m a tem a tike 3 (prvo izdanje

1972 g . 22 izdanje 1998 g , ukupan tiraž 235310 primeraka); Z b irka za d a ta k a za IV

razred pnradno-matcmaličkc slrukc-ćctiri izdanja (prvo izdanje 1980 g . ukupan tiraž

32000 primeraka), Zbirka zadataka za II razred usmerenog obrazovanja-dva izdanja,

ukupan tiraž 120 000 primeraka. koautori dr Petar Vasić, dr Radovan Janić: Matematika za

IV razred usmerenog obrazovanja elektrotehničke i građevinske struke, koautori dr Petar

Vasič, dr Radovan Janić i dr DobriloTomić (ukupan tiraž 18.000 primeraka); 50 testo va za

p ro veru zn a n ja iz m atem atike za osnovnu iko lu , koautori: dr DuSan Adnadcvić, GliSa

NeSković i Dragoslav Milić (prvo izdanje 1988. g„ 7. izdanje 1995 g.; ukupan tiraž 139.000

primeraka). Logaritam ske tablice (prvo izdanje 1993 g , ukupan tiraž 30.000 primeraka),

L ogaritam ska i eksponencijalna fu n k c ija sa zbirkom za d a ta ka , koautor: Svctbzar

Branković (prvo izdanje 1996.g ).

Mr Vene Bogoslavov bio je recenzent mnogih udžbenika matematike. On je nosilac

mnogih diploma, priznanja (Arhimedes. Plakcta Zavoda za izdavanje udžbenika) i

zahvalnica,

Živi u Beogradu, penzionisan je 19. 09. 1999. g. kao profesor Pete beogradske

gimnazije, sa 40 godina rada u nastavi.

I GLAVA

]. LOGIKA 1S K U P O V I....................................... 9

L I. Osnovne logičke operacije....................... 9

1.2. Osnovne skupovne operacije........................13

1.3 Relacije i funkcije ........................................21

1.4. Elementi kombinatorike.......................... 24

II G LAVA

2. UVOD U GEOMETRIJU. VEKTORI . . . . 30

2.1 Tačka, prava, ravan. Odnosi

pripadanja i rasporeda................................. 30

2.2. Paralelnost.....................................................31

2.3. Duž i u g a o .....................................................32

III GLAVA

3. REALNI B R O J E V I.............................................. 37

3.1. Pregled brojeva. Polje realnih

bro jeva................................................ 37

3.2. Približne vrednosti. Apsolutna i

relativna greška. Granica greške.

Značajne cifre i zaokrugljivanje

bro jeva.......................... ' ...........................43

IV G LAVA

4 PROPORCIONALNOST V E L IČ IN A . 46

4.1. Razmera i proporcija.....................................46

4.2. Primena proporcije............................. . 48

4.3. Račun raspodele i mešanja...........................49

4.4. Procentni i promilni ra č u n ...........................50

4.5. Kamatni račun ............................................... 52

V GLAVA

5 .1ZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE . 5 4

5.1. Podudarnost fig u ra ................ . 5 4

5.2. Ortogonalnost prave i ravni. Ugao

prave i r a v n i..................................................59

5.3. V e k to ri........................................................... 60

5.4. Osna i centralna simetrija ...........................64

5.4.1. Osna sim etrija.....................................64

5.4.2. Centralna simetriju ...........................66

5.5. Translacija.....................................................68

5.6. Rotacija............................................................70

5.7. Neke važnije teoreme o trouglu,

čctvorouglu. mnogouglu i kružnici . . . 72

V I GLAVA

SADRŽAJ

V II

6.2. Rastavljanje polinoma na činioce . . . . 87 •

6.3. Operacije sa racionalnim

algebarskim izrazima.....................................93

G LAVA

7. HOMOTETIJA I S L IČ N O S T .......................... 113

7.1. Proporcionalna veličina. Talesova

teorema............................................................113

7.2. H om otetija..................................... . - - 114

7.3. Sličnost tro u g lo v a ........................................116

7.4. Primena sličnosti kod pravouglog

tro u g la ............................................................120

V III

G LAVA

8. TRIGONOMETRIJA PRAVOUGLOG

TROUGLA ........................................................ 126

8.1 Trigonometrijske funkcije oštrog

ugla. Osnovne trigonometrijske

identičnosti. Rešavanje pravouglog

tro u g la ........................................................ 126

IX

G LAVA

9. LINEARNE JEDNAČINEI

N EJE D N A Č IN E ........................................

9.1. Linearna jednačina sa jednom

nepoznatom .....................................

9.2. Primena linearnih jednačina sa

jednom nepoznatom na rešavanje

raznih p ro b le m a ..............................

9.3. Linearna funkcija i njen grafik .

9.4. Sistem linearnih jednačina.............

9.5. Primena sistema linearnih jednačina

na rešavanje raznih problema . . .

9.6. Linearne nejednačine sa jednom

nepoznatom i njihovo rešavanje . .

9.7. Grafička interpretacija sistema

linearnih nejednačina sa dve

nepoznate, Rešavanje problema

linearnog programiranja.................

X

G LAVA

10. RAZNI Z A D A C I...........................................173

I G L A V A

REŠENJA

6. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI . . . 84 1. LO GIKA 1S K U P O V I..................................... 184

6.1. Polinomi i operacije sa njima ................ 84 1.1. Osnovne logičke operacije....................... 184

145

¡45

150

163

166

171

365

1.2. Osnovne skupovnc operacije................

1.3. Relacije i fu n kc ije ................................

. 187

. 194

I 4 Elementi kombinatorike................... 199

II GLAVA

2 UVOD U G EO M ETR IJU ............................

21 Tačka. prava, ravan. Odnosi

pripadanja i rasporeda.........................

2.2. Paralelnosl.......................................

2.3 Duž i ugao . . ...................................

III GLAVA

3. REALNI B R O J E V I.........................................

3.1. Pregled brojeva. Polje realnih

brojeva......................................................

3.2. Približne vrednosli. Apsolutna i

relativna greška. Granica greške.

Značajne cifre i zaokrugljivanjc

brojeva.....................................................

IV G U V A

4 PROPORCIONALNOST V E LIČ IN A .............

4.1 Razmera i proporcija ................................

4.2. Primena proporcije..................................

4 3. Račun raspodele i mešanja......................

4 4. Proccntni i promilni raču n......................

4.5 Kamatni ra č u n .........................................

V GLAVA

5. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE . . .

5.1 Podudarnost figura...................................

5.2 Ortogonalnost prave i ravni. Ugao

prave i r a v n i............................................

5.3. V ekto ri......................................................

5.4. Osna i centralna simetrija ......................

5.4.1. Osna simetrija ...........

5.4.2. Centralna simetrija ......................

5.5. Translacija...............................................

5.6. Rotacija.....................................................

5.7. Neke važnije teoreme o trouglu,

čctvorouglu, mnogouglu i kružnici , . .

V I GLAVA

6 RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI . . .

6.1. Polinomi i operacije sa njima ............

204

204

204

205

209

209

219

221

221

222

224

226

229

231

231

236

239

244

244

246

247

250

252

267

267

6.2. Raslavljanjc polinoma na činioce . . . 269

6.3. Operacije sa racionalnim

algebarskim izrazima................................ 273

V II GLAVA

7. HOMOTETJJA I S L IČ N O S T ............................ 287

7.1 Proporcionalna veličina. Talcsova

teorema......................................................... 287

7.2. Hom otetija...................................................290

7.3. Sličnost trouglova ...................................... 292

7.4. Primena sličnosti kod pravouglog

tro u g la......................................................... 295

V III GLAVA

8. TRIGONOMETRIJA PRAVOUGLOG

TROUGLA ...................................................... .303

8.1. Trigonometrijske funkcije oštrog

ugla. Osnovne trigonometrijske

identičnosti. Rešavanje pravouglog

tro u g la..........................................................303

IX GLAVA

9. LINEARNE JEDNAĆINE I NEJED-

N A C lN E ................................................................306

9.1. Linearna jednačina sa jednom

nepoznatom ................................................306

9.2. Primena linearnih jednačina sa

jednom nepoznatom na rešavanje

raznih problem a......................................... 317

9.3. Linearna funkcija i njen g ra fik ...................319

9.4. Sistem linearnih jednačina......................... 323

9.5. Primena sistema linearnih jednačina

na rešavanje raznih p ro blem a...................335

9.6. Linearne ncjcdnaćinc sa jednom

nepoznatom i njihovo rešavanje.............337

9.7. Grafička interpretacija sistema

linearnih nejednačina sa dve nepoznate.

Rešavanje problema

linearnog programiranja.............................342

X GLAVA

10. RAZNI Z A D A C I................................................345

L ITE R A TU R A ..........................................................363

I3ELEŠKE O A U T O R U ......................................... 364

366

Mr Vene T. Bogoslavov

ZB IRKA REŠENIH ZADATAKA IZ M A T E M A T IK E I

D va d eset sed m o izdanje

Izd a v a č

ZAVOD ZA U DŽB EN IK E I NASTAVNA SREDSTVA

Beograd, Obilićev venac 5

L iko vn i urednik

M rTA M A RA POPOVIĆ - NOVAKOVIĆ

L e k to r

SELMA ČOLOVIĆ

K o rice

Ž E U K O DUROVIĆ

G rafički urednik

DUŠAN KNEŽEVIĆ

K orektori

ZORICA BAĆKOVIĆ

GORICA MARKOVIĆ

TATJANA ZORIĆ

K om p ju terska o b rada

R A D O V A N O V IĆ ..P.S. Tech"

Obim: 23 Štamparska tabaka

Format: AS

Tiraž: 17 000 prime raka

Štumpa DŠIP ..Bakar" — Bor

VENE BOGOSLAVOV - ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE ZA I RAZRED SREDNJE ŠKOLE - 605 DINARA

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?