3_energy

1
کار و انرژی

همدقم
•
یکی
زا
فادها
یلصا
ملع
کیزیف
یسررب
یژرنا
.تسا
•
یتکرح ره
دنمزاین
یژرنا
.تسا
•
لصا
یگتسیاپ
یژرنا
؛
یژرنا
زا
یتروص
هب
یتروص
رگید
لیدبت
.دوش یم
•
رد
نیا
لصف
اب
موهفم
راک
عورش
هدرک
و
نآ
ار
هب
یژرنا
یشبنج
طبترم
یم
.مینک
2

تعریف کار
شده انجام کار کند؛ جابجا را خود اثر نقطه نیرو اگر
•
است.‏
نیرو ضربدر جابجایی =
کار
1Joule 1N 1 m
3

داریم؛ کلی در حالت
•
W F. r F
r cos
4

5
مولفه عمود بر نیرو کار انجام می دهد

الزاما هر نیرویی که بر جسم وارد می شود بر روی آن کار انجام نمی دهد
میز حرکت روی و است طنابی به متصل که ؛ جسمی مثال
دهد؛ می انجام دایروی
6

کارِ‏ منفی
ها وزنه بر دست که نیرویی وزنه،‏ آوردن باال حین در
•
دهد.‏ می انجام منفی کار کند می وارد
7

یک کشاورز با استفاده از تراکتور،‏ باری را به مسافت
20
مثال
متر می کشد.‏ وزن کل
بار 14700 N
5000 N
تحت زاویه
36.9
هر یک از نیروهای وارد بر جسم را محاسبه کنید.‏
باالی افق وارد می کند.‏ نیروی اصطکاکی به
بزرگی 3500 N
است.‏ تراکتور نیروی ثابت
نیز بر جسم وارد می گردد.‏ کار
N
f k
F
mg
8

W F. d F d cos (5000) (20) (0.8) 80kJ
F
W f . d f d cos (3500) (20) ( 1) 70kJ
f k k
W
W
N
mg
0
0
W W W W W 80 70 10kJ
total F f N mg
9

در شکل زیر،‏ یک قطعه
می رود.‏ جرم اطاقک
به جرم 0.25 kg
مثال
بر روی کف یک اطاقک قرار گرفته است که توسط کابل به
اندازه d = 2.4 m
900 kg
می باشد.‏ در طی مسافت
،d
چه مقدار کار توسط کابل بر روی این قطعه صورت پذیرفته است؟
اگر نیروی عمودی بر قطعه از سطح برابر
با F N = 3 N
حل •
T
:
باال
باشد،‏
جهت مثبت را رو به باال می گیریم.‏ نیروی وارد شده
از طرف کابل
را T می نامیم،‏
•
• در مورد کل سیستم داریم؛
F N
T F ( m M ) g ( M m ) a (1)
N
برای قطعه m
داریم؛
•
FN
mg ma
a 2.2 m / s
2
mg
10

آورد؛ بدست را می رابطه از حال 1 توان T
•
T
1.0810
4
N
در انجام شده کار بنابراین
طی جابجایی d
؛ با بود برابر خواهد
4
W T d 1.5910
J
11

ب)‏
مثال
T
T
در شکل مقابل،‏ یک طناب بدور دو قرقره بدون جرم و بدون اصطکاک پیچیده شده است.‏ یک
قوطی به جرم
m = 20 kg
طناب وارد می کند.‏ فلا)‏
از یکی از قرقره ها آویزان شده است.‏ شخصی
نیروی F
)
)
برای اینکه قوطی را به
بر یک طرف
برای اینکه قوطی در سرعت ثابت حرکت کند،‏ نیروی F چقدر باید باشد؟
اندازه 2cm
جابجا کنیم بخش آزاد طناب را چه اندازه باید کشید؟ در
حین کشیدن،‏ چه مقدار کار توسط نیروی گرانشی بر قوطی وارد می شود.‏
: حل
2T = mg
شکل این در ندارد.‏ شتاب حرکت پس است ثابت سرعت چون الف-‏
از است.‏
•
طرفی ، F = T
در نتیجه
برابر نیروی F
با ½ mg خواهد
بود.‏
2 cm
قوطی اینکه برای ب-‏
همین به نیز طناب طرف دو باید شود،‏ می کشیده باال به
•
اندازه
باال بروند؛ پس دست باید بخش آزاد
را 4 cm باال ببرد.‏
12

؛ با بود برابر خواهد وزن نیروی کار
•
W mg 0.02 (196) (0.02) 3.9J
mg
13

کار نیروی متغیر
؛ نباشد ثابت نیرو اگر
•
W
r
r
0
F.
dr
14

مثال ؛ نیروی فنر
است؛ مکان با متغیر نیروی یک فنر کشسانی نیروی
•
F
k x
از x 0 تا x ؛
فنر،‏ نیروی کار
طی جابجایی
•
x
x
1 x 1
W F . dx ( ) ( )
x kx dx kx k x x
0 x0
2 2
2 2 2
0
x
0
15

مثال
فنری به طور قائم آویزان،‏ و در ابتدا در حالت تعادل است.‏ جسمی
به جرم 6.4 kg
به فنر می بندیم،‏ اما ابتدا آن را همانجا نگه می
•
داریم تا فنر کشیده نشود.‏ سپس دستی را که جسم روی آن است به آرامی پایین می آوریم تا جسم با سرعت ثابت پایین بیاید و به
نقطه تعادل برسد.‏ فنر به
اندازه 0.124 m
دست ما روی جسم انجام داده است را حساب کنید.‏
نسبت به طول طبیعی اش کشیده شده است.‏ کاری را که
‏)ال ف ) گرانش،‏ ‏)ب(‏ فنر و ‏)ج(‏
حل : جهت
کنیم.‏ می انتخاب پایین به رو دلخواه به را مثبت
mg k d k
mg
d
.
برآیند ؛ تعادل در حال
نیروها صفر
•
k 506
N / m
16

؛ وزن کار نیروی
W mg . d mgd (6.4) (9.8) (0.124) 7.78J
mg
1 2 2 1 2 1
2
W
s
k ( x x
0) k d (506) (0.124) 3.89J
2 2 2
کار نیروی فنر؛
برای محاسبه کار نیروی دست؛ ابتدا باید نیروی دست را حساب کنیم
F 0 mg kx F hand
0
F mg kx
hand
d
2
W
hand
( mg kx ) dx mgd kd 3.89J
0
1
2
17

کنیم؛ را حساب کل اگر کار
W W mg
W s
W
hand
0
پس است؛ آن صفر بر وارد نیروهای کل برآیند بنابراین آید،‏ می پایین ثابت سرعت با و آهسته جسم چون
کل کار
باید صفر شود.‏
18

قضیه کار و انرژی
انرژی جنبشی سرعت جابجایی کار
1 1
W K K mV mV
2 2
2 2
2 1 2 1
19

مثال
0.15 kg
30 m /s
مسابقه یک در
بیسبال،‏
بازیکنی
با سرعت را توپ
می پرتاب
کند.‏ جرم
توپ
می
•
باشد.‏ دست این بازیکن
در حین پرتاپ چقدر کار روی توپ
انجام
داده است؟
حل : طبق
؛ انرژی کار-‏ قضیه
•
1 1
2 2
2 2
W K
2
K
1
K
2
0 mV (0.15) (30) 68J
20

چند مورد از مقادیر انرژی جنبشی
انرژی جنبشی حرکت مداری زمین
یک هواپیمای بوئینگ 744 در
بیشینه سرعت
اتومبیل ‏)در سرعت )90km/h
5
510 J
9
710 J
33
2.610 J
قدم زدن انسان
سقوط قطره باران
الکترون در یک اتم هیدروژن
18
2.210 J
5
410 J
60J
مولکول هوا در دمای اتاق
21
6.210
J
21

مثال
ثابت 20 N/m
مطابق شکل زیر،‏ جسمی به جرم 0.1 kg
جسم با سرعت
بر روی یک تخت هوا به فنری با
به طرف راست در حرکت است.‏ بیشینه فاصله
متصل شده است.‏ در ابتدا فنر کشیده نشده و
که جسم تا آنجا می تواند برود را درصورتی که تخت هوا
)μ k = 0.47(
d
1.5 m/s
حل
روشن باشد،‏ یعنی اصطکاک نداشته باشیم و همین طور در حالتی که دستگاه خاموش بوده و اصطکاک وجود دارد
آورید.‏
بدست
:
1
K K K K mV
2
1 1 1
W ( kx
2
kx
1
) kd
2 2 2
2
2 1 1 1
2 2 2
در حالتی
که اصطکاک
نداریم ؛
1 2 1 2
k
W K kd mV
1
d V 1
0.106m
2 2
m
22

در حالتی که اصطکاک داریم؛ عالوه بر کار نیروی فنر
باید کار نیروی اصطکاک را نیز در نظر بگیریم،‏ پس
+
کار کل =
کار نیروی اصطکاک
کار فنر
=
کار نیروی اصطکاک برابر است با
کار کل
تغییر انرژی جنبشی
W
f
f k
d k
mgd
1 2
WTotal W f
W s
kd k
mgd
2
WTotal
K
1 1
kd mgd mV
2 2
2 2
k
1
1 2 1 2
kd k
mgd mV
1
0
2 2
،
2
kmg kmg 2 mV
1
d ( ) ( ) 0.086m
k k k
23

مثال
در ارتفاع 3
به جرم 200 kg متری از یک تیرآهن افقی قرار دارد.‏ سرچکش رها شده
اندازه 7.4 cm
سرچکش
و تیرآهن را به
در زمین فرو می برد.‏ در حین پایین آمدن ریل نیروی اصطکاک
60 N بر سرچکش وارد می کند.‏ با استفاده از قضیه کار انرژی،‏ سرعت سرچکش درست وقتی
به تیرآهن می خورد،‏ وهمین طور نیروی متوسطی که سرچکش بر تیرآهن وارد می کند را
محاسبه کنید.‏
حل :
• ‏)جهت مثبت را روبه پایین می گیریم(‏
W mgd (200) (9.8) (3) 5880 N
mg
W f d 60 3 180N
f
s
W W W 5880 180
5700N
Total mg s
K W K K K 5700N
Total
2 1
1 2
K
2
mV
2
5700 V
2
7.55 m / s
2
24

باالی F
3
2
نیرو همین نیز چکش که کند،‏ می وارد چکش به روبه نیروی تیرآهن ؛ به نقطه از جابجایی حین در
•
F = ?
؛ که است این کند.‏ سوال می وارد تیرآهن بر را
3
از 2
بر چکش وارد نیروی کل
در جابجایی
؛ به
•
FTotal
mg f F
W F d ( mg f F ) d
Total
Total
Total
2,3 2,3
W K K K K
K
d
3 2 2
2
F mg f N
2,3
79000
25

مثال
در شکل زیر،‏ جسمی به جرم m بر روی سطح افقی بدون اصطکاکی قرار گرفته و به انتهای یک فنر متصل شده است.‏ جسم ابتدا
در مکانی قرار دارد که فنر کشیده نشده است
جسم بر حسب x در شکل زیر رسم شده است
.)x = 0(
افقی F نیروی
F بزرگی .)K s = 4 J(
در جهت مثبت بر آن اعمال می شود.‏ نمودار انرژی جنبشی
و مقدار ثابت
فنر k
را بیابید.‏
•
WTotal
K
: حل
برای حل
می توان از قضیه
کار انرژی استفاده کرد.‏
•
•
دو نیرو بر جسم وارد می شود ؛
نیروی خارجی F و نیروی کشش فنر
.
•
1
2
2
WTotal W spring
W F
k d F d
کار کل
• برابر است با ؛
26

1
2
2
K k d F d
طبق قضیه
• کار انرژی؛
کنیم،‏ = 1 x و = 2 x
دو نقطه
از نمودار انتخاب می
و معادله
باال را برای هر
نویسیم؛ یک می
•
1
x k F
2
2
1 ; 4 (1) (1)
1
x k F
2
2
2 ; 0 (2) (2)
از حل دو معادله
باال خواهیم داشت؛
•
F
8N
k 8 N / m
27

توان
آهنگ
انجام کار را توان می
گویند.‏
•
P
W
t
• توان متوسط ؛
P
dW
dt
• ای؛ توان لحظه
P F.
V
28

مثال
d 2
d 1
2kg
جسم روی بر
نهایی مکان تا اولیه مکان از جرم به متحرک
وارد
می شود.‏
متوسط توان
از ناشی
نیروی F
F 3i 7 j 7k
در بازه زمانی 4
ثانیه را بدست آورید.‏
نیروی F
d 3i 2 j 5k
1
d 5i 4 j 7k
2
حل :
• توان برابر است با
W
P
t
پس
• ابتدا باید کار را محاسبه کنیم؛
29

؛ با است برابر کار
•
W F. ( d d ) 32J
2 1
توان بنابراین
برابر خواهد شد
؛ با
•
P
32
8W
4
30

منابع
• Fundamentals of Physics, HALLIDAY & RESNICK, Jearl Walker
• Sears and Zemansky's University Physics
• Hans C. Ohanian, John T. Markert, Physics for Engineers and Scientists
31