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Nuova ARTEC
Corso di perfezionamento
La discalculia: procedure diagnostiche e strategie terapeutiche
7-8/10/2011
Dott.ssa Riccardi Ripamonti Itala
Dott.ssa Cividati Barbara

EVOLUZIONE NEI MILLENNI
- e nelle storie dei popoli -
DELLE ABILITA’ E COMPETENZE
MATEMATICHE
..alcune note..

Le slaids che seguono sono state liberamente tratte da:
Charles Seife (2002),“Zero. La storia di un’idea pericolosa” Bollati Boringhieri, Torino.
Stanislas Dehaene (2001)“Il Pallino della matematica” Oscar Mondadori, Milano.
Verso la fine degli anni 30 l’archeologo Karl Obsolon rinvenne in Moravia
un radio di lupo vecchio di 30.000 anni (Età della pietra) recante una
serie di tacche incise in profondità,
si tratta di 55 tacche disposte in gruppi di cinquine, le
prime 25 separate dalle altre da una tacca aggiuntiva di
lunghezza doppia
c’è quindi il sospetto che si contasse per cinquine e poi si
contrassegnassero i gruppi di cinque cinquine.
Perché proprio cinque?
Il medesimo accidente di natura che fornì all’uomo
cinque dita per mano fece, a quanto pare, del cinque
la base di numerazione maggiormente utilizzata da
tantissime culture

Pare che ai primordi della matematica si
distinguesse solo tra “uno” e “molti”.
L’evoluzione nel tempo delle lingue primitive
consentì, poi, di distinguere tra
“uno” “due” e “molti” e successivamente
“uno, due, tre” e “molti”
ma restavano assenti i termini delle quantità
intermedie
(alcuni linguaggi presentano ancor oggi queste carenze).

Secondo i glottologi
l’unità di misura di riferimento dei protolinguaggi
- da cui discesero gli idiomi europei -
è il numero dieci
di conseguenza,
i popoli che li parlavano è credibile che impiegassero
un sistema di numerazione a base 10
Qualunque sistema di numerazione, comunque,
non disponeva di un nome per lo zero.
Il concetto corrispondente semplicemente non esisteva.
Siccome non serve un numero per esprimere
l’assenza di qualche cosa non viene in mente di
collegare un simbolo alla mancanza di oggetti.

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Greci e Romani sdegnavano lo zero
al punto di bandirlo dai propri scritti nonostante ne riconoscessero
l’utilità.
Il perché di questo comportamento?
LO ZERO ERA PERICOLOSO.
Essendo lo zero connesso al vuoto e al nulla,
ecco sorgere, per via dell’atavico sgomento dinanzi al niente e al caos,
il timore dello zero.
Il timore dello zero, però, scendeva più in profondità
rispetto ad una semplice angoscia riguardo al nulla:
agli occhi degli antichi
le proprietà matematiche dello zero erano inesplicabili.
A qualunque numero aggiungiamo se stesso otteniamo un numero diverso
(aggiungiamo uno a uno e otteniamo due,
ma se aggiungiamo zero allo zero otteniamo sempre zero)
ugualmente tutte le regolarità del comportamento dei numeri con le altre
operazioni vengono a crollare.

Lo zero si scontrava
con le basilari posizioni ideologiche occidentali
perchè racchiudeva in sé due concetti funesti per quello
schema di pensiero, quegli stessi concetti che, difatti,
avrebbero portato al crollo della dottrina aristotelica dopo
un lunghissimo regno:
quello di vuoto e di infinito.
La visione greca della realtà fisica, forgiata da Platone, Aristotele e
Tolomeo, sopravvisse a lungo al crollo della civiltà che l’aveva
creata. In quell’universo non esisteva il niente; lo zero non vi era
contemplato. Per duemila anni, per questa ragione, non poté
accettarne il contenuto; e le conseguenze furono tremende.
Prima di essere pronti ad accogliere lo zero, i pensatori occidentali
avrebbero dovuto smantellare il proprio mondo.

p. 20SC
Il sistema di numerazione SUMERICO
Già intorno al 200 a C. i Babilonesi avevano preso ad
usare due cunei obliqui per rappresentare uno
spazio corrispondente ad una colonna vuota
dell’abaco.
Ma lo zero
non era altro che un segnaposto, rappresentava lo
spazio vuoto dell’abaco,
non possedeva un valore numerico proprio,
non aveva una sua collocazione nella sequenza
numerica.

Con il VII secolo,
caduta ormai Roma da tempo
l’Occidente era in piena crisi,mentre l’Oriente prosperava.
La crescita dell’India
veniva eclissata dall’affermarsi di un’altra civiltà:
l’ISLAM.
Tramontava la stella dell’ovest, nasceva quella dell’Est.
Attraverso la cultura islamica,
lo zero (che questa cultura prese dall’India),
sarebbe finalmente arrivato in Occidente.

La cristianità inizialmente respinse lo zero,
ma il commercio lo reclamò ben presto.
Nel 1299 Firenze mise al bando i numeri arabi
con la motivazione ufficiale che avrebbero potuto essere redatti in forma
ambigua e agevolmente falsificati
(uno svolazzo della penna e zero poteva essere trasformato in sei).
Alla fine le pressioni commerciali ebbero partita vinta e lo zero
si diffuse con rapidità nel resto d’Europa:
lo zero era giunto e il vuoto con lui.
Nella cristianità, quindi in Italia,
lo zero venne accettato solo intorno al XVII secolo

Nel conteggio in avanti si inizia sempre da uno.
Nel conteggio all’indietro viene spontaneo inserire lo zero.
Tuttavia, in alcune occasioni, partiamo a contare dallo zero:
il cronometro, il contachilometri di una vettura nuova, la giornata dei
ferrovieri inizia alle 00.00.
Il motivo per cui il conteggio in avanti inizia sempre con
uno a che vedere con l’ordinamento:
senza lo zero non abbiamo paura di confondere
il valore di numerosità che il numero esprime (cardinalità)
con il posto che occupa (ordinalità), perché coincidono.
Con l’avvento dello zero cardinalità e ordinalità non erano
più intercambiabili.

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Nell’antichità i fondamenti del contare apparvero
prima della scrittura.
L’evoluzione della notazione numerica scritta,
comunque, è passata
• dalla corrispondenza biunivoca,
• al raggruppamento,
• ai simboli che rappresentavano il raggruppamento,
• alla ripetizione di simboli secondo il principio additivo.
Ma l’addizione non poteva esprimere i numeri molto grandi
per cui è stato necessario ricorrere alla moltiplicazione.

I Cinesi, cinque secoli fa,
inventarono una notazione perfettamente regolare,
che si è conservata fino ai giorni nostri.
Essa comprende solo
13 simboli arbitrari fra le cifre che vanno da 1 a 9 e
i numeri 10,100,1000 e 10.000.
Il numero 2342 si scrive semplicemente “2 1000 3 100 4 10 2” A questo
punto la scrittura è diventata
il riflesso della numerazione orale.
I matematici indiani
donarono all’umanità, tramite i sapienti del mondo arabo,
la notazione posizionale in base 10 oggi universalmente usata.
Dire cifre arabe è improprio perché in realtà sono
indiane.

Quando il nostro cervello immagazzina le cifre da
memorizzare
in memoria uditiva
(di qui la fatica a ricordare i numeri fonologicamente simili: sei, sette)
ne conserva in memoria i dati per circa due secondi.
La capacità mnemonica è determinata
dal numero di cifre
che riusciamo a ripetere in meno di due secondi.
Chi ripete più in fretta ha una memoria migliore.
I nomi delle cifre cinesi sono particolarmente brevi:
si può pronunciarne, la maggior parte, in meno di un quarto di secondo.
Gli equivalenti in francese o inglese, invece, richiedono
un terzo di secondo in più per essere pronunciati.

Le ricerche fatte confermano che c’è una solida
correlazione tra,
il tempo necessario a pronunciare i numeri, in
una certa lingua, e
l’estensione di memoria di coloro che la
praticano.
I nomi dei numeri influiscono anche in modo
determinante nei conti e nel calcolo mentale

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Gli errori di conteggio, tipici dei nostri bambini,
(ventotto, ventinove, ventidieci, ventiundici ecc.)
sono assolutamente sconosciuti nei paesi asiatici.
In questi paesi, infatti, i nomi dei numeri sono dedotti
tramite una regola molto facile:
11=dieci-uno, 12= dieci-due, 21=due dieci uno, ecc.
I bambini americani (e italiani), invece, devono imparare a
memoria, oltre ai numeri dall’uno al dieci, anche
quelli dall’undici al diciannove e quindi
le decine dal venti al novanta.
Questa differenza linguistica provoca nei nostri bambini
circa un anno di ritardo (nella numerazione)
rispetto a quelli cinesi.

Per questi motivi i bambini cinesi
hanno meno difficoltà dei coetanei americani
nell’apprendere i principi della
numerazione posizionale in base 10.
Quando si chiede loro di formare il numero 25,
utilizzando cubetti (unità) e barre composte da dieci cubetti,
i piccoli cinesi scelgono, spontaneamente,
due barre composte da dieci cubetti e cinque unità.
Questo dimostra una buona comprensione della
notazione decimale.
Alla stessa età i bambini americani si mettono ancora a
contare, laboriosamente, venticinque cubetti.
La base dieci, trasparente per le lingue asiatiche, costituisce
un piccolo rompicapo per gli scolari occidentali.

I cinesi, inoltre, sono più efficaci nell’insegnare ai bambini le
tabelline in quanto:
• non si soffermano sulla tabellina dell’uno
• quando insegnano una tabellina fanno subito osservare ai
bambini anche quella “inversa” ( vale a dire: 2x7 ma
anche 7x2)
In questo modo i bambini devono memorizzare
solo 36 prodotti.

L’ipotesi che la memoria abbia un ruolo centrale
nel calcolo mentale dell’adulto
é, oggi, universalmente accettata.
Tuttavia, gli adulti, dispongono di altre
numerose strategie di calcolo.
Quando si comincia a frequentare la scuola,
si ha un rovesciamento dell’aritmetica mentale.
Da una conoscenza intuitiva delle quantità numeriche,
dominata dalle strategie di calcolo,
si passa a una aritmetica imparata a memoria,
e non è un caso che questo coincida
con le prime difficoltà matematiche.

Il cervello non è preparato al compito di
immagazzinare in memoria
una quantità di informazioni numeriche
Spesso questo costa la
perdita di ogni comprensione intuitiva delle
operazioni aritmetiche.

Perché il nostro cervello
fa fatica a mettere in memoria
quarantacinque addizioni e trentasei moltiplicazioni
(tavola delle somme e delle moltiplicazioni)?
Eppure conosciamo centinai di informazioni arbitrarie,
nomi e cognomi, date, indirizzi ecc.
All’età in cui il bambino comincia a faticare con l’aritmetica
impara quotidianamente una decina di parole nuove
senza sforzo apparente.
Cosa c’è di diverso nelle tavole delle moltiplicazioni perché sia
così difficile, anche dopo 10 anni di allenamento,
ricordare alla perfezione quella quarantina di informazioni
che esse contengono?

PROVATE A MEMORIZZARE QUESTA TABELLA
• Carlo Leopardi abita in via Rosa
• Carlo Rosa abita in via Giuseppe Garibaldi
• Rosa Alberto abita in via Giuseppe Mazzini
• Carlo Leopardi lavora in via Giuseppe Mazzini
• Carlo Rosa lavora in via Mazzini Giuseppe
• Rosa Alberto lavora in via Carlo Alberto

Imparare a memoria elenchi di questo genere sarebbe
estremamente difficoltoso e le confusioni numerosissime.
In effetti si tratta di tabelle aritmetiche mascherate.
• Carlo 3 Leopardi 4 abita (+) in via Rosa 7 3+4= 7
• Carlo 3 Rosa 7 abita (+) in via Giuseppe 1 Garibaldi 0 3+7= 10
• Rosa 7 Alberto 5 abita (+) in via Giuseppe 1 Mazzini 2 7+5= 12
• Carlo 3 Leopardi 4 lavora (x) in via Giuseppe 1 Mazzini 2 3x4= 12
• Carlo 3 Rosa 7 lavora (x) in via Mazzini 2 Giuseppe 1 3x7= 21
• Rosa 7 Alberto 5 lavora (x) in via Carlo 3 Alberto 5 7x5= 35

Osservate da questo nuovo punto di vista,
le tavole aritmetiche riacquistano ai nostri occhi di adulti
le difficoltà intrinseche che presentano ai bambini
che le vedono per la prima volta.
La cosa straordinaria non è
che facciamo fatica ad impararle,
ma piuttosto che finiamo per ricordarcele …..
ma il nostro cervello non riesce a ricordare fatti
numerici proprio perché la sua memoria non è
organizzata come quella di un calcolatore.

La memoria umana è associativa
intreccia legami multipli
tra informazioni disparate.
Sono proprio questi legami associativi
che permettono
la ricostruzione di un ricordo
sulla base di informazioni frammentarie.

• p. 140
La memoria associativa
costituisce, al tempo stesso,
la forza e la debolezza del nostro cervello.
La forza
quando ci permette,
- partendo da una vaga reminiscenza,
di dipanare poco a poco l’intera matassa di ricordi
(non c’è al momento nessun software capace di ricostruire
questo accesso per contenuto).
- di usufruire delle analogie per applicare
a una nuova situazione
una conoscenza appresa in circostanze diverse.

La debolezza
quando è importante mantener le conoscenze
separate le une dalle altre, al riparo di qualsiasi interferenza,
come le tabelle aritmetiche.
Purtroppo per i matematici
il nostro cervello, per milioni di anni,
si è sviluppato in un ambiente
dove i vantaggi della memoria associativa
superavano di gran lunga gli inconvenienti per il calcolo.
Per questo dobbiamo sempre fare i conti
con le interferenze e le associazioni inadeguate
che la nostra memoria evoca, automaticamente,
malgrado i nostri sforzi.

I MODELLI PER LA COSTRUZIONE DEL
NUMERO NEL BAMBINO

Stanislas Dehaene “Il Pallino della matematica” Oscar Mondadori, Milano, 2001
La matematica, come la conosciamo oggi,
ha, alle spalle, una lunga evoluzione
ad opera del cervello,
un organo biologico che rappresenta,
a sua volta,
il risultato di una evoluzione biologica
ancora più lunga, governata
dai principi della selezione darwiniana.

Il Modello Piagetiano
della costruzione del numero nel bambino
vede il numero come una costruzione operatoria.
Piaget postula l’esistenza di condizioni prerequisite, quali
alcuni principi logici, all’origine della costruzione del numero
nel bambino..
L’acquisizione del numero richiede, a suo avviso, la presenza
del pensiero costituito da operazioni,
(azioni interiorizzate, reversibili e coordinate tra di loro).
Per Piaget
il numero è il risultato della sintesi operatoria tra
classificazione e seriazione.

Piaget considera fondamentali
• la capacità di ragionare in termini transitivi
(se A>B e B>C, allora A > C),
che consente al bambino di ordinare i numeri per grandezza, e
• la conservazione della quantità
per cui, in un insieme, il numero degli oggetti non cambia
se questi vengono sparpagliati così da occupare una porzione differente di spazio,
ma solo se si aggiunge o si toglie qualche elemento.
• il sapere astrarre dalla natura e dalle caratteristiche
degli oggetti che costituiscono l’insieme, quali
le dimensioni, la forma, colore
ma
ha escluso la possibilità dell’esistenza di un modulo innato
che permette di riconoscere la numerosità, distinguerne i mutamenti, e
di ordinare i numeri sulla base delle loro grandezze.

Prima degli anni ottanta, nessuna esperienza metteva
veramente in dubbio il dogma piagetiano secondo il
quale i bambini molto piccoli sono sprovvisti del concetto
di numero.
Tuttavia, già a partire dagli anni settanta, sono comparsi
diversi studi che hanno preso in considerazione
i processi di quantificazione numerica
(trascurati o considerati secondari nel modello piagetiano).
Sono nati così modelli che prendono in considerazione la
conta, il subitizing e la stima numerica,
evidenziano la ricchezza numerica nel bambino pre-scolare e
la importanza cruciale del periodo che va dai 2 ai 7/8 anni

Lo studio pionieristico di Starkey e Cooper (1980)
ha dimostrato come i bambini siano sensibili,
già a 4-6 mesi,
alla numerosità di una serie di pallini neri.
Da questo studio ha preso vigore il filone che ha messo in
luce l’esistenza di un modulo innato.
Secondo Dehaene (2001, p.69), l’ipotesi più verosimile, è che
“il modulo di riconoscimento dei numeri si organizzi per
maturazione cerebrale, sulla base di informazioni
codificate geneticamente”.

Solo negli ultimi decenni
- in seguito alla possibilità tecnica di registrare
le risposte agli stimoli anche in neonati -
si è potuto riscontrare la presenza di
capacità numeriche nei bambini, persino a pochi giorni di vita
Gli studi hanno evidenziato come, anche numerosi animali
- tra questi i ratti e i piccioni –
siano in grado di rappresentarsi, mentalmente, delle quantità,
di trasformarle secondo certe regole aritmetiche e
di compiere conti elementari.
Un sistema protonumerico
che l’uomo condivide con gli animali.

Le loro capacità si basano
sull’ “accumulatore”
un vero e proprio sesto senso numerico che permette
la percezione delle quantità
allo stesso modo
di quella del colore, della forma, della posizione degli oggetti
e offre, sia all’animale che all’uomo, un
istinto del numero,
un’intuizione diretta delle quantità numeriche.
Tuttavia “l’accumulatore”
non permette di manipolare i numeri discreti,
ma soltanto grandezze continue.
(pensiamo alle colonne degli istogrammi)

Nel corso dell’evoluzione l’uomo è stato dotato
della capacità di utilizzare un vasto sistema di simboli scritti e orali:
il linguaggio
mediante il quale ha imparato a
“etichettare” un’infinità di numeri.
Etichette che simbolizzano e discretizzano le quantità,
parole e simboli,
che permettono di distinguere sensi arbitrariamente vicini,
e di superare i limiti dell’approssimazione.
Numeri vicini, le cui proprietà aritmetiche sono assai diverse,
come 49 e 50, possono così essere distinti.

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A sei mesi i bambini sanno distinguere
il numero di azioni fatte da una bambola (due o tre salti)
possiedono
una rappresentazione astratta dei numeri.
Infatti, dagli esperimenti fatti risulta che
- indipendente dal modo in cui gli giungono gli stimoli
visivo o uditivo -
quando sentono tre suoni
esaminano più a lungo l’insieme di tre oggetti,
quando ne sentono due
il loro sguardo si attarda su quello di due oggetti.

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Pare che le capacità di calcolo esatto dei piccolissimi
si limitino ai numeri 1,2,3,
solo occasionalmente si sono rivelati capaci di
cogliere la differenza tra 3 e 4
Sul piano dell’evoluzione
è interessante notare come
la natura abbia fondato le basi dell’aritmetica
sulle leggi fondamentali della fisica.

Le leggi impiegate dall’intuizione aritmetica dei bambini piccoli,
come minimo, sono tre:
- la prima
lo stesso oggetto non può occupare due posizioni distinte
contemporaneamente
- la seconda
due oggetti diversi non possano occupare la stessa posizione
- la terza
un oggetto fisico non può sparire né comparire, improvvisante,
la sua traiettoria spazio-temporale deve essere continua.
Sono queste le leggi che forniscono una
solida base all’embrione della teoria dei numeri
di cui sembrano dotati il cervello umano e quello animale.

p.69/70
Secondo Dehaene è verosimile che il
modulo di riconoscimento dei numeri si organizzi per maturazione
cerebrale,
sulla base di informazioni codificate geneticamente.
Quale ne sia l’origine, non ci sono dubbi che,
dopo i sei mesi,
il bambino possiede un contatore aritmetico rudimentale,
capace di riconoscere i numeri piccoli e di combinarli in
addizioni e sottrazioni elementari
la sola nozione aritmetica semplice di cui
sembra essere privo è forse la
relazione d’ordine

Per i bambini piccoli le quantità 1,2,3
sarebbero come per noi i colori:
rosso, giallo, blu,
li riconosciamo,
sappiamo che combinati tra loro possono dare altri colori
(blu+giallo=rosso)
ma ignoriamo
in quale ordine appaiano nello spettro dell’arcobaleno.
La nozione
“più grande”/ più piccolo”
comparirebbe dopo i 15 mesi

Solo dopo i 15 mesi cominciano a scegliere il gruppo più
numeroso di giocattoli
(così come fanno i macachi e gli scimpanzé).
Verosimilmente questa competenza potrebbe derivare da
un’operazione di astrazione dell’addizione e della sottrazione:
il “più grande” sarebbe il numero che si ottiene aggiungendo;
il “più piccolo” quello che si ottiene sottraendo.
Eseguendo addizioni successive il bambino vedrebbe
dunque accendersi, in un ordine riproducibile, i rilevatori
1, 2, 3 e finirebbe così per
memorizzare la loro posizione nella serie.

p.134/135
• A 2 anni e mezzo
un bambino riesce a contare oggetti, eventi e suoni diversi;
per lui contare è un procedimento astratto
che si applica a ogni tipo di oggetto
• A 3 anni e mezzo
sa che l’ordine in cui recita i numeri è fondamentale,
mentre non ha importanza l’ordine in cui li indica.
Il bambino ha gli automatismi del contare
ma non ne comprende lo scopo e così non gli viene in mente di
contare quando la situazione lo richiederebbe
(ad es,: “dammi tra dadini”, ne prende una manciata a caso)

Modelli che prendono in considerazione la
conta.
A partire dagli anni settanta compaiono, quindi, numerosi studi
che prendono in considerazione
i processi di quantificazione numerica
(trascurati o considerati sencondari nel modello piagetiano):
conta
subitizing
stima numerica
Gli studi sulla conta mettono in luce
la ricchezza di conoscenza numerica nel bambino prescolare e
mettono in rilievo la crucialità del periodo di età che va
dai 2 ai 7/8 anni.

Si considerano tre modelli
che prendono in considerazione la conta
1) Gelman e Gallistel:
I principi implici nella conta.
2) Fuson:
L’integrazione dei significati delle parole-numero
3) Steffe :
La costruzione delle unità concettuali e della serie
numerica.

I principi impliciti nella conta
(Gelman e Gallistel)
Il modello distingue due tipi di processi:
quelli che riguardano la formazione delle
rappresentazioni di numerosità degli insiemi
approssimate (subitizing) o precise (conta)
quelli che riguardano le
abilità di ragionamento numerico
cioè operare
- sulle numerosità
(fare inferenze sulle relazioni,es.:maggiore minore uguale)
- sulle trasformazioni numeriche
(es.: addizione, sottrazione).
Le due abilità sono strettamente connesse in quanto
il ragionamento numerico infantile opera sulle
rappresentazioni di numerosità fornite dalla conta.

Principi impliciti nella conta,
che costituiscono la competenza della conta, sono:
Corrispondenza uno a uno
Ordine stabile (gli indicatori devono essere
organizzati secondo un ordine ripetibile)
Cardinale (l’ultimo indicatore, utilizzato per
contrassegnare gli elementi della collezione, designa la
numerosità della stessa)
Astrazione: i principi di cui sopra possono essere
applicati a qualsiasi tipo di collezione di elementi purché
siano discreti - costituiscono unità distinte -
Irrilevanza dell’ordine

Il bambino sembra possedere una comprensione
“implicita” dei principi che regolano la conta.
Si tratterebbe di strutture conoscenza
“elementari” o “scheletriche”
specifiche del dominio
innate nell’uomo
che guidano l’azione, l’assimilazione e la strutturazione
dell’esperienza sui diversi piani.
Queste strutture innate
(i principi della conta, come ad es. i principi di causalità)
guidano l’attenzione dell’individuo verso gli stimoli
ambientali rilevanti per la costruzione dei concetti
strutturati in modo simile a loro (isomorfi).

Tuttavia, quando la struttura di ciò che deve essere acquisito,
non condivide
la struttura dei principi innati della conoscenza,
può risultare, addirittura,
di ostacolo all’apprendimento.
Ad esempio le frazioni rappresentano ciò che si ottiene
dividendo due numeri e non ciò che si ottiene dall’operazione
di contare le cose.
(Olga Liverta Sempio).

Sebbene il linguaggio e la cultura matematica
ci abbiano permesso di superare, ampiamente,
i limiti impostici dal sistema protonumerico animale,
questo modulo primitivo
(“l’accumultore”)
resta ancora al centro della nostra intuizione dei numeri,
e conserva un’influenza notevole nel nostro modo di
percepire i numeri, di immaginarli, di scriverne o di
parlarne.

Le cifre arabe ci hanno permesso di accedere ad una
aritmetica non approssimativa
ma che rimane dipendente dalle sue radici
che affondano nell’intuizione numerica:
ogni volta che ci troviamo davanti a un numero, il nostro
cervello non può impedirsi di trattarlo come una quantità
continua e di rappresentarlo con precisione decrescente,
proprio come farebbe un ratto o uno scimpanzé.
La percezione dei numeri sottosta a tre
Leggi o effetti

Effetto distanza
Per quantità più vicine
e più difficile riconoscere qual è la più grande.
Effetto grandezza
Le capacità di calcolo peggiorano quando
aumenta la grandezza dei numeri da confrontare.
Effetto compressione
l’immagine che noi abbiamo dei numeri
è quella di una serie compressa dove
i numeri grandi occupano meno “spazio” di quelli piccoli

La compressione del numero è un riflesso:
quando vediamo un numero
il nostro cervello
non si limita a identificare una successione di caratteri famigliari ma
costruisce rapidamente
una rappresentazione continua e compressa della quantità associata.
Questa conversione in “quantità” si produce
in modo automatico e incosciente, alla velocità di un lampo.
E’ impossibile vedere la forma del numero 5 senza tradurla,
quasi istantaneamente, nella quantità cinque,
e ciò avviene anche quando questa traduzione non ci è di alcuna utilità.
La regola mentale, mediante la quale misuriamo i numeri,
non è graduata in modo regolare, ma
tende a comprimere i grandi numeri in uno spazio limitato

Gli studi hanno evidenziato che
esistono dei legami
tra i numeri e lo spazio e tra i numeri e le dita.
Possiamo farci un’idea di questi legami se consideriamo che
l’area corticale deputata alla rappresentazione quantitativa dei
numeri
è la regione parietale inferiore,
più nello specifico
la sua circonvoluzione posteriore detta “giro angolare” o
“area 39 di Brodman”.
Si tratta di un area associativa
che si trova alla convergenza delle informazioni che arrivano
dall’udito, dalla vista e dal tatto,
proprio l’ideale per l’astrazione numerica che si applica
a tutte le capacità sensoriali.
Gli studiosi ritengono che quest’area sia suddivisa
in microregioni specializzate
per i numeri, per lo spazio, per le dita.

Geary (1993) ha identificato
tre tipologie di difficoltà aritmetiche,
una delle quali ha le sue basi nei problemi visuo-spaziali:
allineare correttamente in colonna i numeri per compiere
un’operazione, riconoscere il valore posizionale delle cifre.
Altri studi (Hermelin B.e O’Connor N. 1986)
hanno dimostrato che
esiste una forte correlazione tra capacità in matematica e
abilità nelle percezioni spaziali.
Del resto, nell’antica Grecia, con Euclide e Pitagora,
geometria e aritmetica erano intimamente collegate.

Anche i legami tra i numeri e le dita sono naturali.
Gli studi di alcuni Autori
(Butterworth, 1999,Dehaene S. 2001)
danno le rappresentazioni di numerosità
contigue a quelle delle dite nel lobo parietale del nostro cervello.
I legami tra i numeri e le mani sono evidenti,
basti pensare che le modalità di conteggio più antiche,
o in uso presso popolazioni non culturalizzate,
si basano sulle dita
e che tutti i bambini, di qualsiasi cultura,
hanno sempre iniziato a contare usando le dita.
I glottologi ritengono che
il numero dieci
sia l’unità di misura di riferimento dei protolinguaggi
- da cui discesero gli idiomi europei -
di conseguenza, i popoli che li parlavano dovevano impiegare
un sistema di numerazione a base 10.

Veniamo, dunque, al mondo con un
circuito accumulatore
che ci conferisce un’intuizione delle quantità aritmetiche.
Il cervello di un bambino non è una spugna
è un organo, già strutturato,
che impara da ciò che è in risonanza con le sue conoscenze anteriori.
Per questo è adeguato
alla rappresentazione delle quantità continue e
alla loro manipolazione approssimativa sotto forma analogica,
ma si mostra invece molto riluttante
a ingurgitare vasti sistemi di assiomi o lunghi algoritmi simbolici
per i quali l’evoluzione non lo ha mai preparato.
E’ inutile, dunque, bombardarlo di assiomi astratti.

La sola strategia ragionevole per insegnare la matematica sembrerebbe
quella di
arricchire progressivamente l’intuizione dei bambini
facendo leva
• sul talento precoce per la manipolazione delle quantità e il conteggio,
• stuzzicando la loro curiosità con giochetti divertenti,
• esponendo, via via, utili scorciatoie che la notazione simbolica
permette, ma senza mai separarla dall’intuizione quantitativa,
• introducendo, alla fine, i sistemi formali o assiomatici.
La scuola, invece, si accontenta, spesso,
di inculcare un’aritmetica meccanica e priva di senso.

Prima di andare a scuola, il bambino dispone già di una
notevole capacità di approssimazione e di conteggio,
ma a scuola, questo bagaglio matematico informale,
non sempre viene considerato un fatto positivo,
anzi, a volte, addirittura un handicap
(o non viene proprio considerato).
Contare sulle dita,
per esempio, è frequentemente considerato
un atteggiamento infantile che
una buona educazione ha il dovere di eliminare.
Eppure tutta la storia delle numerazioni ha dimostrato
che si tratta di un
prezioso strumento per assimilare la base 10.

Disprezzare le conoscenze precoci dei bambini può avere
un effetto disastroso sul resto della loro carriera scolastica.
Molti bambini “negati per la matematica”
sono di fatto allievi normalmente dotati che
sono partiti male nello studio di questa materia.
Le loro prime esperienze a scuola li hanno convinti che
l’aritmetica è una materia arida, staccata da ogni tipo di intuizione:
“Bisogna fare come dice la maestra anche se non si capisce il perché”.
Si sono convinti che non ne capiranno mai niente
e così la fobia per la matematica,
viene ad aggiungersi alle considerevoli difficoltà che già pone
l’aritmetica.

Possiamo aiutare i bambini a superare queste difficoltà
costruendo le conoscenze matematiche nel loro cervello
su qualcosa di concreto (le quantità)
e non sull’astrazione (le cifre),
rispettando le possibilità e i limiti
della struttura cerebrale.
Ma, per farlo, è necessario conoscere queste possibilità e
questi limiti.
E questo vale sia
per l’insegnamento che per la riabilitazione.

Valutare i prerequisiti per
l’apprendimento delle
abilità del numero e del
calcolo.
Gennaio 2008
Centro Ripamonti - Dott. Cividati Barbara

La batteria BIN 4-6 propone una serie di
prove per l'esame delle componenti di base
dell'apprendimento matematico, e permette
di individuare profili di rischio nelle
competenze e abilità relative
all'«intelligenza numerica» in bambini dai 4
ai 6 anni, suddivise in 5 fasce d'età, che
tengono conto degli incrementi costanti e
naturali di sviluppo.

1° parte:
Area lessicale
I processi lessicali fanno riferimento al nome dei numeri
rappresentano l’aspetto più mediato dalla cultura, che si
innesta sulle funzioni simboliche

Area lessicale
1) Corrispondenza nome-numero
2) Lettura di numeri scritti in codice arabico
3) Scrittura di numeri

Non si calcolano come esatti i numeri scritti al contrario, secondo i dati del test
presentato un bambino di 6 anni mediamente conosce i simboli arabici di almeno 2
numeri

2° parte:
Area semantica
I processi semantici riguardano la rappresentazione mentale
della quantità, la numerosità o in termini matematici i principi
di cardinalità del numero.

Area semantica
1) Confronto tra quantità
2) Comparazione tra numeri arabici

Alcuni confronti presentano una complessità: richiedono di discriminare tra
quantità e grandezza.

3° parte:
Conteggio
Il possesso di abilità di conteggio include competenze
diversificate riferibili ad aspetti semantici, di ordine stabile e
lessicali del numero che si integrano tra loro e diventano
competenze specifiche del conteggio

Conteggio
1) Enumerazione avanti e indietro
2) Seriazione numeri arabici
3) Completamento di seriazioni

4° parte:
Area della pre-sintassi
Riguarda i processi che stanno alla base della sintassi del numero che si
riferisce alle diverse relazioni di ordine di grandezza all’’interno di
numeri grandi o composti a più cifre

Area della pre-sintassi
1) Corrispondenza tra codice arabico-quantità
2) Uno-tanti
3) Ordine di grandezza

Valutare il ragionamento che sottostà alla risposta del bambino.

Risultati finali del
bambino:
Schema riassuntivo

Tabella di valutazione per bambini dai 5 anni e 6 mesi ai 6
anni

STRUTTURE E FUNZIONI NEUROLOGICHE
ALLA BASE DELLA CAPACITÀ
DI
OPERARE CON I NUMERI

• Sono state identificate tre particolari aree del lobo
parietale che sembrano coinvolte in modo
differenziato nelle rappresentazioni e nel
processamento delle informazioni numeriche
• Il giro angolare sinistro sembra più attivo in compiti
a maggior componente verbale (calcolo esatto)
• Il lobo parietale posteriore superiore sembra più
attivato da compiti che richiedono attenzione
spaziale (approsimazione, sottrazione, confronti)
• Il solco intraparietale orizzontale (HIPS) è attivo
nelle manipolazioni di quantità tipiche del “number
sense” (giudizi di grandezza, stime, ecc.)

Il solco intraparietale orizzontale (HIPS): manipolazioni di quantità tipiche del “number sense”
Il giro angolare sinistro: compiti verbale, calcolo esatto
Il lobo parietale posteriore superiore: compiti di attenzione spaziale

Gli studi di alcuni Autori
(Butterworth, 1999,Dehaene S. 2001)
danno le rappresentazioni di numerosità
contigue a quelle delle dite nel lobo parietale del nostro cervello.
I legami tra i numeri e le mani sono evidenti,
basti pensare che le modalità di conteggio più antiche,
o in uso presso popolazioni non culturalizzate,
si basano sulle dita
e che tutti i bambini, di qualsiasi cultura,
hanno sempre iniziato a contare usando le dita.
I glottologi ritengono che
il numero dieci
sia l’unità di misura di riferimento dei protolinguaggi
- da cui discesero gli idiomi europei -
di conseguenza, i popoli che li parlavano dovevano impiegare
un sistema di numerazione a base 10.

• p. 222/223
Le regioni prefrontali
sostengono un ruolo chiave
in matematica e in particolare in aritmetica.
Una lesione di queste regioni non pregiudica, in generale, le operazioni
più elementari, ma le successioni di calcoli possono venire alterate.
I soggetti che ne sono affetti non applicano gli algoritmi correttamente,
non usano le cifre nell’ordine giusto, dimenticano i riporti, mescolano
i risultati intermedi: tutte mancanze che rilevano un’incapacità
nell’organizzare l’esecuzione di una sequenza di operazioni.
Certi pazienti affetti da lesioni frontali soffrono di
difficoltà di “stima cognitiva”:
danno spesso risposte assurde a problemi numerici semplici
e non riescono a verificare se il risultato dato è secondo il buon senso.
Le due componenti:
pianificazione e verifica, si basano in primo luogo sull’
”amministratore centrale”
al quale fanno riferimento le regioni prefrontali.

La corteccia prefrontale
che sostiene un ruolo chiave
in matematica e in particolare in aritmetica
è una delle regioni cerebrali specifiche della specie umana.
Al periodo dell’ominazione è associata
una straordinaria crescita della corteccia prefrontale che
occupa oggi circa un terzo della nostra corteccia.
La sua maturazione sinaptica, particolarmente lenta, è legata alla
maggior parte degli apprendimenti umani poiché essa si estende
almeno fino alla pubertà.
Osserviamo anche che
sono proprio le regioni frontali le prime a soffrire dell’invecchiamento
cerebrale.
Nell’invecchiamento normale, si trovano certi
aspetti della sindrome frontale:
mancanza di attenzione, difficoltà di pianificazione e
perseveranza nell’errore,
si conservano invece i comportamenti di routine.

Nell’articolo di F.Benso e G. Stella
“Il fuoco attentivo e la Dislessia Evolutiva”
(Dislessia, n°3, ottobre 2005, Erikson Trento) si legge:
“… la lettura è un processo multimodale che dipende
dall’efficenza delle sub-componenti percettive (visuo-uditive) e
dalla gestione delle risorse attentive
necessarie all’assemblaggio di tali componenti …”
Lo stesso possiamo dire riguardo alla matematica:
ma allora,
l’anomalo comportamento del
“processore centrale”
responsabile dell’allocazione delle risorse attentive,
ritenuto possibile base del disturbo specifico di lettura,
può giocare anche un ruolo determinante
nella discalculia

Questi AA. tra l’altro scrivono:
“.. modulo e processore centrale sono legati, specialmente
nella fase di sviluppo:
un disturbo che si genera da alcuni aspetti del processore
non favorisce una buona modularizzazione,
mentre un disturbo che parte dal sottosistema periferico da
modularizzare può lasciare deboli alcune funzioni esecutive
dedicate, perché non vi è un “nutrimento a feed back” del
modulo sul processore….”

p. 224
Il cervello dispone di una panoplia (armatura) di
circuiti specializzati:
alcuni riconoscono le cifre,
altri le traducono in quantità interna,
altri ancora permettono di recuperare fatti.
La caratteristica fondamentale di queste reti di neuroni è la
modularità
funzionano autonomamente, in un campo ristretto e
senza uno scopo particolare,
Si limitano a ricevere informazioni
in un certo formato in entrata e a
trasformarle in un altro formato formato in uscita.

La potenza aritmetica del cervello umano sta
soprattutto
nella capacità di concatenare questi circuiti elementari
sotto l’autorità delle regioni cerebrali anteriori quali
la corteccia prefrontale e la regione cingolata anteriore.
La specializzazione delle aree cerebrali permette
una divisione efficace del lavoro,
la loro orchestrazione,
sotto l’egida delle aree prefrontali,
la flessibilità,
indispensabile alla concatenazione e
all’esecuzione di nuove strategie aritmetiche.

LA DISCALCULIA EVOLUTIVA

CRITERI DI
INDIVIDUAZIONE PRECOCE:
Discrepanza INTELLIGENZA (QI) con
-Lettura e scrittura di numeri ad una cifra
-Fatti aritmetici
-Enumerazione all’indietro
Presenza di segni dislessici
Diagnosi dalla fine della III classe di scuola primaria
Familiarità per il disturbo prevalenza anche 10 volte superiore a quanto
atteso nella popolazione normale

COME FARE DIAGNOSI DI
DISCALCULIA EVOLUTIVA

CRITERI PER FARE DIAGNOSI DI
DISTURBO SPECIFICO
DELL’APPRENDIMENTO
Intelligenza
nella
norma
Assenza di
disturbi
neurologici
Assenza di
disturbi
sensoriali
Assenza di
disturbi psichiatrici
importanti

Criteri diagnostici per Disturbo del
calcolo [ICD 10 - F81.2 ]
A. La capacità di calcolo, misurata con test
standardizzati somministrati individualmente, è
sostanzialmente inferiore a quanto previsto in base
all’età cronologica del soggetto, alla valutazione
psicometrica dell’intelligenza e a un’istruzione
adeguata all’età.
B. L’anomalia descritta al punto A interferisce in modo
significativo con l’apprendimento scolastico o con le
attività della vita quotidiana che richiedono capacità
di calcolo.
C. Se è presente un deficit sensoriale, le difficoltà nelle
capacità di calcolo vanno al di là di quelle di solito
associate con esso.

Sotto una unica classificazione sono rappresentate
difficoltà che interessano aspetti molto differenti:
-Comprensione dei simboli aritmetici
-Comprensione del valore quantitativo dei numeri
-Allineamento in colonna (abilità visuo-percettive)
-Memorizzazione di combinazione tra numeri (tabelline)
-Uso competente delle procedure di calcolo

MODELLI E TEORIE
CHE INFLUENZANO LE PROPOSTE PROGETTUALI
PER L’ACQUISIZIONE DI ABILITÀ E COMPETENZE
NELL’AMBITO DEL NUMERO E DEL CALCOLO

La letteratura riporta due modelli fondamentali relativi alla
cognizione numerica nell’adulto:
1 – Il modello McCloskey, Caramazza e Basili
2 – Il modello del triplice codice di Dehaene (1992)
Secondo il modello McCloskey l’architettura generale del
processamento numerico è organizzata in due moduli:
Sistema dei numeri (produzione e comprensione dei numeri)
Sistema del calcolo (comprende tre componenti indipendenti tra loro:
segni delle operazioni, fatti numerici, procedure di calcolo.)

Modello McCloskey (1985,1992)
Procedure del calcolo mentale e scritto
Fatti aritmetici
Rappresentazione semantica astratta
Comprensione dei numeri Produzione dei numeri
verbale – arabica verbale -arabica

TEMPLE (1991; 1997) DAL MODELLO DI McCloskey
Esistono tre tipi di discalculia evolutiva
Dislessia per le cifre: difficoltà nell’acquisire i
processi lessicali in comprensione e in
Produzione
Discalculia per i fatti aritmetici: difficoltà
nell’acquisire i fatti numerici
Discalculia procedurale: difficoltà
nell’acquisizione di procedure e algoritmi
implicati nel calcolo

Il modello McCloskey considera
il processamento numerico
esclusivamente
un processamento di tipo linguistico e simbolico
per cui le competenze esaminate sono solo
il calcolo e la transcodifica
e non tiene conto di due ambiti fondamentali
la quantificazione e l’approssimazione

2 -Modello del triplice codice
(Stanislas Dehaene (1992) Stanislas Deheaene e Laurente Cohen (1995,199,2000)
L’architettura del processamento numerico distingue in questo
modello non solo operazioni di transcodifica e di calcolo,
ma anche processi di quantificazione e di
approssimazione.
Secondo questo modello i numeri possono essere rappresentati
mentalmente in tre differenti codici, caratterizzati da tre specifici tipi
di rappresentazione, a loro volta riferibili a specifiche operazioni di
processamento numerico e di calcolo:
1) Codice verbale-uditivo
2) Codice arabico-visivo
3) Codice analogico

e
Subitizing
Rappresentazione
analogica,
di grandezza
Stima
Confronto
numerico
Lettura Input
numeri grafemico o
arabici fonemico
Rappresentazione
Rappresentazione
Scrittura Output
Numeri grafemico o
arabici fonemico
Calcoli
complessi
Giudizi di
grandezza
arabico-visiva
Rappresentazione schematica del modello del triplice codice (Dehaene, 1992;
Dehaene e Cohen, 1997)
Giudizi
di parità
uditivo-verbale
Enumerazion
e
Calcolo
approssimativo
Fatti
aritmetici

Il Modello del triplice codice (Dehaene) prevede il
“codice di grandezza”
Che costituisce
un passaggio obbligato per alcuni compiti:
stima, calcolo approssimato,
mentre non è indispensabile per altre attività:
calcolo scritto e fatti aritmetici.
Ha una notevole importanza
- nel subitizing, quindi nel calcolo mentale,
- nella previsione dei risultati di un’operazione
- nell’ipotizzare le operazioni per risolvere un problema
una carenza a questo livello, potrebbe compromettere le costruzioni
nell’ambito del numero e del calcolo.

Difficoltà in ambito
numerico
difficoltà di
-lettura
-scrittura
-ripetizione
(Possono interferire problemi fonologici)
Discalculia
Difficoltà in ambito di
calcolo
(cognizione del numero)
-Problemi di memoria di lavoro visuo-spaziale (fatti numerici)
-Difficoltà di memoria verbale (conteggio all’indietro e tabelline)
in possibile comorbidità con Dislessia
-Difficoltà di codifica semantica
Difficoltà di
quantificazione/subitizing

Difficoltà
spazio-temporali
e/o nella
rappresentazione
simbolica
errori o eccessiva lentezza nel
calcolo
Difficoltà nei
problemi
aritmetici
Difficoltà di
linguaggio
(anche “alte”)
difficoltà di
comprensione/analisi
del testo

CARATTERISTICHE DEI BAMBINI
DISCALCULICI

Difficoltà ad operare in modo fluente ed automatico
nell’ambito del numero e del calcolo,
che si manifesta in bambini che non presentano
deficit intellettivi, né psicologici o sensoriali,
né problemi ambientali.
Può essere associato alla dislessia.
Vanno quindi distinte ed escluse dalla discalculia quelle difficoltà
determinate da deficit intellettivo, inadeguata esposizione ai
contenuti curriculari, presenza di deficit sensoriali, difficoltà emotive
L’incidenza del disturbo discalculico viene quantificata
dalla maggior parte delle ricerche
nel 6%
(comparabile al numero di bambini con disturbo di lettura)

La discalculia è spesso associata ad altre difficoltà di apprendimento
ma viene riconosciuta più tardi
soprattutto perchè
il primo ciclo della scuola primaria
non esaurisce l’apprendimento della strumentalità di base:
i numeri complessi sono affrontati nel secondo ciclo,
così come, alcuni algoritmi
e la costruzione dei fatti aritmetici,
si completano successivamente ai primi due anni di scuola.
Quindi alla fine della seconda primaria
molte difficoltà possono non essere ancora emerse
alle valutazioni degli insegnanti.
Diversamente da quanto avviene per l’apprendimento della lettoscrittura
che,potendosi dire concluso, a livello strumentale,
alla fine della seconda classe di scuola primaria permette anche alla
scuola di rilevare le eventuali dificoltà.

Un alunno discalculico
viene riconosciuto
quando diventano evidenti le sue difficoltà
nel conteggio, nella transcodifica
nella costruzione dei fatti aritmetici,
nel controllo degli algoritmi di calcolo,
difficoltà nei compiti con algoritmi complessi
Spesso lo stesso bambino che aveva evidenziato la dislessia
manifesta, successivamente, queste difficoltà.

Il calcolo e il ragionamento non sono
le uniche componenti nelle difficoltà discalculiche
(nel numero e nel calcolo)
possono essere coinvolte anche abilità
- linguistiche: comprendere e/o nominare i termini e/o le operazioni
- percettive: riconoscere/leggere i simboli numerici o i segni aritmetici
-attentive: copiare correttamente i numeri, ricordare i riporti e i
prestiti nelle operazioni
- mnemoniche: ML,MBT, MLT
- matematiche: contare oggetti, apprezzare le numerosità
- spaziali: distanze, lunghezze, direzioni
- temporali: prima, adesso, dopo relativi

La difficoltà a comprendere i problemi
non è considerata nell’ambito della discalculia,
tuttavia, molto sovente, nella clinica e nella riabilitazione,
incontriamo soggetti che associano le due difficoltà.
E’ un fatto che
se non sono in grado di fare i calcoli
posso sempre ricorrere alla calcolatrice,
ma
se non capisco quale operazione mi porta a risolvere un problema
sono in difficoltà in molti frangenti della vita.
Per questo è importante,
più che insegnare le procedure,
far arrivare i bambini a possedere il concetto dell’operazione.

• Nella discalculia evolutiva
ci troveremmo di fronte a
difficoltà
nelle prove di apprezzamento della numerosità
cioè alla disfuzione del modulo numerico innato,
per cui le difficoltà di processamento numerico e di calcolo
sarebbero secondarie a questa disfunzione.
• Nelle difficoltà di apprendimento
Ci troveremmo di fronte a
adeguate
prove di apprezzamento della numerosità
mentre le difficoltà di processamento numerico e di calcolo
sarebbero secondarie
alle informazioni che provengono dall’ambiente,
compreso l’insegnamento scolastico
(Butterworth, 2005)

Si pone quindi il quesito:
E’ corretto parlare di discalculia evolutiva anche se
non è presente un deficit nell’area delle competenze analogiche?
Vi sono alcune teorie (Shallice,Anderson) relative ai processi di
modularizzazione che portano a sostenere che
le difficoltà specifiche di calcolo e di processamento
numerico possono essere determinate da
una distorsione nel progressivo interfacciarsi
del modulo numerico innato con altre competenze,
come ad esempio il linguaggio.

Per quanto riguarda
il trattamento (e la prevenzione)
è determinante lavorare sulla numerosità
in quanto
• se c’è una disfunzione a livello di modulo numerico innato
(apprezzamento di numerosità e giudizi di grandezza)
i deficit nelle altre aree
(calcolo a mente, fatti aritmetici, calcolo scritto, transcodifica)
saranno secondari al primo
• se il modello numerico innato è adeguato
occorre recuperare il collegamento di questo con gli
apprendimenti scolastici che si basano, spesso
esclusivamente, sulla manipolazione del codice arabico,
creando una frattura con il bagaglio di competenze che il
bambino ha quando arriva a scuola.

STRUMENTI DIAGNOSTICI PER
LA DISCALCULIA EVOLUTIVA

Area Analogica
(modello del
triplice codice)
Area
Arabico-Visiva
Area
Uditivo-Verbale
Giudizi di grandezza
Confronto numerico
Subitizing
Calcoli complessi
Giudizi di parità
Lettura
Scrittura
Enumerazione
Fatti aritmetici
Ripetizione
BDE
X
(Prova 9 QN)
X
(Prova 9 QN)
X
(Prove 6 – 8 QC)
X
(Prova 2 QN)
X
(Prova 7 QN)
X
(Prova 1 QN)
X
(Prove 3-4-5 QC)
X
(Prova 10 QN)
Dyscalculia Screener
X
X
X
X

Limiti dei test in uso:
Natura estremamente eterogenea dei test
-Semplicità/complessità delle prove (problemi)
-Valutazione delle variabili di correttezza e di rapidità
-Validazioni per scuola media e superiori
-Modello neuropsicologico alla base dello strumento diagnostico/aree indagate
-Criteri di inclusione condivisi

Batteria BDE

FOGLIO
RIASSUNTIVO

- CONTEGGIO
- LETTURA
- SCRITTURA
- RIPETIZIONE
PROVE RELATIVE ALLE
ABILITA’ NUMERICHE
- CODIFICA SEMANTICA

CONTEGGIO
Tempo di conteggio in avanti 1-100
Tempo di conteggio all’indietro 100-1
Differenza espressa in secondi tra conteggio in avanti
e conteggio all’indietro
Somma degli errori commessi
I quattro punteggi ponderati permettono di ottenere un unico
punteggio ponderato

LETTURA
E SCRITTURA DI
NUMERI IN CIFRE
-
RIPETIZIONE DI
NUMERI

CODIFICA SEMANTICA
Prova delle “Triplette”
Segnare il numero più grande tra tre numeri
presentati uno sotto l’altro (T+E)
Prova di Inserzioni
Collocare il numero in uno degli spazi bianchi,
all’interno di una serie di numeri (T+E)

PROVE RELATIVE ALLE
ABILITA’ DI CALCOLO
TABELLINE
MOLTIPLICAZIONI A MENTE
ADD./SOTTR. 10
CALCOLO SCRITTO

Dot Enumeration
Numerical Stroop
Multiplication
DYSCALCULIA SCREENER
(Butterworth 2003)
Dati normativi in stanine
Additione standard score.
Popolazione inglese 6 / 14
anni

Dati alunno

Pres. Test 1

Stimoli test 1

Stimoli test 1

PROVA DI
DOT ENUMERATION

Stimoli test 2

Stimolo test 2

PROVA DI
NUMERICAL STROOP

Stimolo test 3

Stimolo test 3

PROVA DI
ADDITION

Stimolo test 4

PROVA DI
MULTIPLICATION

Stimolo test 5

Dati finali Dyscalculia Screener

Percentuale media di risposte corrette, per
età e subtest (Butterworth, 2003)
Dot
Enumeration
Numerical
Stroop
6 anni 7 anni 8 anni 10 anni 12 anni 14 anni
91% 91% 91% 91% 91% 93%
80% 83% 88% 90% 93% 95%
Addition 65% 79% 82% 89% 92% 89%
Multiplication 78% 88% 88%

Ma tutto ciò non basta…….
Valutare un bambino, con difficoltà nell’ambito del
numero e del calcolo, richiede una osservazione di tipo
qualitativa e non solo quantitativa, oltre che un
successivo confronto con altre prove (ad es.Wisc-r).
E’ necessario ricordare che i test sono un utile guida da seguire ma anche che,
da soli, non riescono a dare una quadro completo di ciò che realmente è il
bambino che abbiamo davanti, compresa la sua emotività e capacità di reagire
nelle diverse situazioni.

A gennaio 2011 è stato pubblicato, dalla Erickson, il testo
PREVENZIONE E TRATTAMENTO
DELLE DIFFICOLTÀ DI NUMERO
E DI CALCOLO
Attività e materiali per terapisti, insegnanti e genitori
di Itala Riccardi Ripamonti

Dal momento che le abilità si sviluppano attraverso
• la predisposizione innata
• l’esposizione a stimoli adeguati
• la frequenza degli stimoli
il trattamento di una disabilità
deve essere
• dominio specifico
• intenso

Per realizzare strumenti riabilitativi efficaci occorre
far riferimento a
modelli che informano sull’ architettura
computazionale dei numeri e del calcolo
per desumere da questi
strumenti riabilitativi efficaci.

Il tipo di approccio proposto
è stato elaborato,
• operando sul campo con i bambini discalculici,
• partendo dai presupposti teorici, già riportati,
secondo i quali è fondamentale partire ad operare
dalla rappresentazione quantitativa
(Butterworth, 2002, 2003, 2004, 2005),
quindi si fa riferimento
• all’uso delle dita
intimamente legato allo sviluppo dei concetti di numerosità
(ricordo che le rappresentazioni delle numerosità del cervello sono contigue a
quelle delle dita nel lobo parietale)
• alle competenze relative alla quantificazione presenti sin dalla
nascita
per cui i bambini sono in grado di compiere, da subito, operazioni
con le quantità
(quando sono presentate in modo conforme alle caratteristiche della mente)
in quanto queste competenze sono indipendenti dai numeri scritti.

Butterworth postula l’esistenza
di un modulo numerico innato
che permette di:
• riconoscere le numerosità
• distinguere i mutamenti di numerosità
• ordinare i numeri in base alle dimensioni
• processare piccole quantità
Secondo questo Autore la capacità di apprezzare la
numerosità è alla base di tutte le successive abilità
di calcolo e di processamento numerico.

Il modello di riferimento è quello
del triplice codice
Stanislas Dehaene (1992, 2001)
che distingue nell’architettura del processamento numerico
non solo operazioni di transcodifica e di calcolo,
ma anche processi di quantificazione e di approssimazione,
quindi prevede
il “codice di grandezza” ( o analogico)
che permette di risalire alle caratteristiche degli stimoli
astratti (quantificazione).

L’ approccio proposto tiene conto del percorso evolutivo nel
bambino che prevede
• un primo livello: semantico
il b.o attinge alle proprie doti innate di contabilizzare il
mondo in termini di quantità
(siamo quindi nel campo delle strategie intuitive)
• un secondo livello: lessicale
che si avvale del codice linguistico dei numeri
• un terzo livello: sintattico
che utilizza il calcolo scritto con le sue regole procedurali.

Nel calcolo mentale noi utilizziamo solo i primi due
livelli,
semantico e lessicale
- come succedeva prima dell’introduzione delle cifre arabiche -
per cui componiamo e scomponiamo le quantità.
Nel calcolo scritto invece perdiamo il riferimento alle
quantità e applichiamo procedure meccaniche.

La nostra proposta pone l’accento sui due primi livelli,
in quanto, il calcolo scritto, riceve comunque un grosso input
• dall’organizzazione del campo numerico
- che diventa possibile rappresentarsi in modo ordinato e strategico –
• dalla velocizazione del calcolo mentale
• dall’ arricchimento del magazzino dei fatti numerici.

Tutto questo in conformità all’ipotesi
(McCloskey, Caramazza, Basile, 1985)
secondo la quale
il numero è il risultato della stratificazione di più significati.
I processi implicati nel calcolo deriverebbero della
convergenza di più operazioni,
che agendo neurologicamente in modo separato,
danno luogo a competenze cognitive differenti quali:
la comprensione, la produzione e il calcolo.

È possibile, quindi, aiutare i bambini
incoraggiandoli ad utilizzare le loro competenze,
sia innate che acquisite,
proponendo una struttura d’ordine fisso,
di riferimento stabile,
su cui collocare gli elementi da contare,
che ricalca quella naturale fornita, dalle due mani e dalle dieci dita,
adatta alle caratteristiche della mente.

Possiamo ovviare,
alle limitate capacità di rappresentazione della nostra mente,
utilizzando una modalità di raggruppamento
che consente di creare fotografie mentali ridotte, semplificate:
se valutiamo una collezione in termini di quantità,
è come se sostituissimo ad ogni oggetto un tondo:
la nostra mente quindi è come
se vedesse prima i tondi degli oggetti stessi
(Bortolato 2000/2002).

Dal momento che i bambini possono operare solo
a livello semantico e lessicale
dobbiamo aiutarli
- fornendo loro rappresentazioni adatte alle capacità della mente
che lavora solo in condizioni di percezione simultanea
- incoraggiando l’uso delle dita,
intimamente legato allo sviluppo dei concetti di numerosità
come sottolineato dagli studi che danno le rappresentazioni di numerosità
contigue a quelle delle dite nel lobo parietale del nostro cervello
(Butterworth, 1999,Dehaene S. 2001).

Materiale didattico-riabilitativo
Ci si avvale di materiale
– appositamente relizzato –
che il bambino può manipolare,
così da aiutarlo a
•consolidare ed interiorizzare il concetto di quantità
•acquisire gli strumenti alla base delle operazioni di calcolo mentale.
Inizialmente si lavora,
sulle mani e sulla loro rappresentazione

per poi passare a visualizzare le quantità
• con dei pallini, organizzati come le dita delle mani,
• con lastriscia del 10

Anche cinque elementi, tuttavia,
non possono essere valutati a colpo d’occhio
(sappiamo che il subitizing arriva a tre/quattro elementi)
per cui si prevedono molte attività di gioco per prendere confidenza
con la struttura del cinque, (1+4, 3+2).
Quando questa competenza,
che è la chiave di costruzione di tutto il sistema numerico,
è automatizzata
le successive quantità possono essere viste come
una reduplicazione, senza fine, di questo ordine.
Infatti la stessa scomposizione permette di costruire tutti i numeri:
5+1=6 , 5+2=7…….. 5+5=10.
Andando oltre il dieci il discorso non cambia:
5 +5+1 = 11 come dire 10 + 1 = 11 ........
5 + 5 +5 + 1 = 16 come dire 10 + 5 +1 = 16, oppure 15 + 1 = 16....

Si raggiungono questi obiettivi utilizzando le carte delle mani ma anche:
• torri da 1 a 10 elementi costruite con i mattoncini delle costruzioni
in commercio
• carte raffiguranti le torri stesse (fino a 5 o a 10 elementi),

Con le torri si invitano i bambini a costruire
una scala da 1 a 10
partendo da torri di cinque elementi
che possono essere spezzate solamente in due (1+4, 2+3).
Viceversa
si dovrà ritornare a torri di soli cinque elementi
sempre rispettando la consegna che,
• ogni torre, non può essere spezza in più di due parti e che
• nessuna parte può essere lasciata in sospeso.
Con le carte delle torri, delle manine e dei pallini si fanno tutta una
serie attività: ricostruzione della quantità 5 o 10 mettendo insieme
due carte attraverso vari giochi:
da ruba mazzo,
a straccia camicia,
a memory.

Contemporaneamente, si utilizza una struttura che aiuta i bambini a
visualizzare l’organizzazione numerica sulla base 10:
il quadrato del 100
una struttura di riferimento stabile, di ordine fisso.
Per operare sul quadro del 100 si utilizzano, in particolare
• i gettoni tondi con un lato neutro e l’altro lato con scritti i numeri
da uno a cento (unità in blu, decine in rosso).
• le strisce di carta dal 5 e da 10 quadratini (corrispondenti al quadro
del 100)

Il quadro del 100
permette di collocare gli elementi da contare,
in uno schema che ricalca la struttura naturale
delle mani e delle dieci dita
ed è quindi adatta alle caratteristiche della nostra mente.
Il bambino, guidato opportunamente,
è così facilitato a cogliere
• le relazioni tra i numeri
• la base 10
(struttura portante del nostro calcolo decimale)
• ad operare sulle quantità.

dada
da 21 a 37 = 37-21 (prima meno due decine poi meno un’unità)

Infine si propongono le carte delle centinaia e delle migliaia,
E si opera su di esse sempre attraverso giochi e piccole
competizioni.
Queste ultime proposte sono centrate oltre che sulle
strategie di calcolo mentale, sull’acquisizione dei
meccanismi sintattici.
Altre proposte riguardano l’acquisizione delle tabelline,
o meglio,
sulle operazioni di moltiplicazione e divisione
.

Le attività che vengono proposte sono svariate, personalizzate sulle
difficoltà che i bambini manifestano
e vi saranno presentate nel corso delle esercitazioni pratiche.
In generale:
L’attività di conteggio viene utilizzata solo nelle prime fasi e può
essere rinforzata:
• inserendo nell’ordine i tondi nel quadro del 100
(invece di disporli al loro posto man, mano che vengono capovolti)
• nel conteggio all’indietro
• tenendo davanti a sé il quadro fino a che il bambino ne sente il
bisogno.
In linea di massima
è utile lasciare i supporti fino a quando i bambini ne hanno necessità.
L’obiettivo è certo quello di far si che operino senza di essi ma, questo,
sarà un punto di arrivo che non può essere forzato,
al massimo lo si può incoraggiare con graduale sottrazione di aiuti.

L’uso del quadrato del 100 può far riflettere sul fatto che
l’utilizzo della linea dei numeri,
per i bambini che iniziano a cimentarsi con l’aritmetica,
è fonte di confusione.
Solo verso la fine della seconda sarà opportuno introdurla,
in quanto diventa fondamentale quando poi si dove ragionare
in termini di numeri positivi e negativi.
Analizziamo le difficoltà che essa presenta per
un bambino di 5/7 anni:
intanto la linea dei numeri prevede
l’introduzione dello zero
Concetto che crea dei problemi ai bambini come li ha creati
nelle diverse culture - come abbiamo visto.

La linea dei numeri, contemplando lo zero,
crea un conflitto tra le barrette,
che frammentano la linea,
e i numeri corrispondenti.
Il numero tre, per esempio si trova associato alla quarta barretta.
“Il numero, in questo caso, non è un punto (un tondo o una barretta)
come spontaneamente viene rappresentato nel nostro cervello, ma
uno spazio tra due confini”
(Bortolato 2000).
La linea dei numeri
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Con l’introduzione dello zero
non vi è più corrispondenza tra ordinale e cardinale.
Ciò comporta difficoltà ai bambini
abituati a far corrispondere un dito ad ogni numero.
Tutti possiamo constatare
le difficoltà dei fanciulli (anche già scolarizzati) nei giochi di percorso,
quando devono spostare la pedina di un certo numero di caselle:
tendono a contare anche la casella in cui si trovano.
Non viene loro spontaneo
far corrispondere il numero con il salto da una casella all’altra.

Un'altra considerazione si può fare constatando che
nel conteggio in avanti si inizia sempre da uno,
mentre,
in quello indietro, viene spontaneo inserire lo zero.
In realtà cominciamo il conteggio da uno per evitare di confondere
il valore di numerosità, che il numero esprime (cardinalità),
con il posto che occupa (ordinalità),
perché se cominciassimo da zero i due valori non coinciderebbero.
Cardinalità e ordinalità, con l’avvento dello zero,
non sono più intercambiabili.

LA LINEA DEI NUMERI MODIFICATA

Un’altra grave difficoltà, e fonte di confusione,
(e non solo per i bambini)
è il ricordare che il numero viene posto
alla fine dello spazio vuoto
e non all’inizio.
(Questo problema è stato alla base delle difficoltà per i sistemi
informatici nel passare all’anno 2000)
Per un bambino la barretta rappresenta il numero
ma allora come mai allo zero corrisponde una barretta
E quale significato verrà dato quindi allo zero
(che vuol dire “nulla”)
in corrispondenza della prima barretta?

CONCLUSIONI
Il trattamento analotgico-intuitivo
opera per
• Consolidare, e potenziare le competenze quantitative
• migliorare la transcodifica numerica
(per raggiungere la padronanza del codice)
• acquisire la capacità di scomporre il numero
(aspetto costruttivo del numero)
• incoraggiare l’utilizzo del subitizing
(capacità di quantificare)
per il calcolo mentale veloce
• impostare i prerequisiti e i requisiti per la soluzione dei
problemi

• Le modalità di lavoro sono prevalentemente metacongitive e
ludiche,
infatti la ripetizione delle attività (favorita dal gioco)
è indispensabile per far raggiungere la capacità di procedere in modo
fluente oltre che corretto.
• Preferibilmente si opera con due bambini per creare un ambiente
favorevole al gioco, al confronto ad una competizione guidata.
• Le attività proposte vengono riprese a casa o a scuola, 2/4 volte la
settimana, da una tutor che partecipa alle terapie.

LE PROPOSTE DEL TRATTAMENTO ANALOGICO-INTUITIVO
POSSONO COSÌ RIASSUMERSI
• Consolidare, interiorizzare e potenziare le competenze di
quantificazione per utilizzarle nel calcolo mentale
• Operare sulle quantità e non sui numeri.
Utilizzare le mani (che sono la nostra calcolatrice),
non per contare alzando un dito alla volta,
ma per sfruttare il colpo d’occhio che ci permette di
identificare subito quantità fino a 3/4 elementi.

• Soffermarsi ad operare all’interno del 5, e quindi del 10
(evidenziando che si tratta di una reiterazione delle
operazioni entro il 5)
• Evitare l’uso precoce della linea dei numeri, ma proporre
il “quadro del 100” che non prevedendo l’uso dello zero,
permette di visualizzare con facilità le quantità e di
collocare i numeri secondo rapporti che evidenziano
regolarità e reiterazioni.
• Insistere sulla scomposizione dei numeri: per molti
bambini ogni numero è costituito solo dalla ripetizione
dell’unità, quindi 5 sarà 1+1+1+1+1, ma non riescono a
vederlo come 2 +3 o 4 +1.

• Accertarsi della comprensione della terminologia e soffermarsi in
particolare sul concetto di “differenza” tra due quantità,
rapportandolo a “quanto di più, o quanto di meno”, a “quanto
manca o quanto cresce”, a “quanto c’è da...a”. Sarà utile trasportare
questi concetti in situazioni concrete relative alle valutazioni di
lunghezza, di altezza, di quantità, di tempo ecc.
• Far comprendere il significato (il concetto) delle operazioni
matematiche passando attraverso situazioni problematiche.
• Pertanto non è necessario , nell’affrontare i problemi, che i bambini
eseguano i calcoli, anzi, è meglio decondizionarli da questo
comportamento che li porta subito a fare l’operazione piuttosto che
a rappresentarsi e a comprendere il problema, a prescindere dai
numeri. Vanno incoraggiati a “vedere” la situazione proposta alla
luce della domanda.

La varietà delle proposte è l’unica strada percorribile per fare
arrivare i bambini a scoprire la rappresentazione schematica (tipica
di ogni operazione) che sottostà ai problemi e che permette di
inserirli in classi:
• Riprendere, con tante proposte differenti, ad esempio il concetto di
“singolare collettivo” in quanto è una difficoltà riscontrabile in molti
bambini: per loro è difficile capire che una decina è anche 10 unità,
che 1 centinaio è, allo stesso tempo, 10 decine e 100 unità, ecc.
Questa difficoltà si ritrova alla base del concetto di moltiplicazione.
• Parallelamente sottolineare il concetto della moltiplicazione
insistendo sulla terminologia “...per tot. volte”.
Quello che manda in confusione i bambini è il fatto che un numero
corrisponde ad una quantità, mentre l’altro si riferisce al numero di
volte in cui la quantità va ripetuta. Per loro, a livello spontaneo,
tutti i numeri si riferiscono a quantità, per questo si trovano
spiazzati.

In sostanza
partendo dalle competenze del bambino,
relative alla quantificazione,
si deve percorre un tragitto, nell’ambito delle abilità aritmetiche,
che mantenga stretti legami con la semantica del numero.
Non bisogna aver fretta.
Spesso è necessario riprendere proposte che parevano superate e
ritornare a usare le dita e/il quadro del cento per operare con i
numeri;
ciò significa che i bambini
non sono ancora giunti alla rappresentazione mentale
ed hanno ancora bisogno
dei supporti concreti che non vanno loro tolti.

L’efficacia del
trattamento
I dati presentati sono stati pubblicati sul testo:
“Prevenzione e trattamento delle difficoltà di numero e di calcolo”
Riccardi Ripamonti.I, Ed. Erickson 2011

Età di
arrivo
comorbidità
mesi di
terapia
Terapie totali
C.G M 8
Disgrafia
Dislessia
9 25
P.R M 10 Dislessia 11 27
S.J M 8
Dislessia, difficoltà
visuo-spaziali
10 32
S.F F 8
Dislessia, difficoltà
visuo-spaziali
Dislessia, difficoltà
9 23
T.F M
visuo-spaziali,
problemi emotivi
9 23
BM M 9 Dislessico, disortografico 6
L.A F 8.5 Dislessica trattata 6 13
N.M M 8 Difficoltà lettura disortografico, 6 16
I.C M 12
Dislessia, difficoltà
visuo-spaziali
problemi emotivi
Dislessia, difficoltà
12 30
D.M M 10
visuo-spaziali
problemi emotivi
11 27
S.A F 9 Dislessia 11 27
CD M 10 Dislessico 9 23
S.V F
Dislessia, difficoltà
visuo-spaziali
9 23
C.F F 10 Dislessica e difficoltà accesso lessicale, trattata 12 29
P.S F 11 Dislessia 9 23
M.A F 11 Dislessia 9 23
L.V F 9
Dislessia,
difficoltà di linguaggio
9 23
B.S M 8 Dislessico 12 37
A.M F 8 Dislessica 10 32
M.I F 9 Dislessica 11 26
12

80
70
60
50
40
30
20
10
0
Medie totali dei bambini -20 soggetti- prima e al termine
della terapia (circa 8 mesi)
79
53 53
QN QC QNC
77
51
74
pre
post

90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Medie totali dei bambini – 10 soggetti- prima , al termine della
terapia (circa 8 mesi) e al follow-up, dopo 10/12 mesi.
87
78 77
52 52 52
QN QC QNC
88
73
85
pre
post
follow

Risultati di alcuni singoli bambini prima del trattamento, al
termine della terapia (circa 8 mesi) e al follow-up dopo 6 mesi.

Caso 1. (C,G; maschio), arrivato a metà della terza elementare,
comorbidità con dislessia evolutiva.
Il bambino presentava al suo arrivo una grave discalculia evolutiva (molte
prove della BDE non erano somministrabili). Nella tabella che segue
mostriamo i punteggi ottenuti ai singoli sub-test
QN
QC
2005 2006 2009
pre post follow
CONTEGGIO N.S. 8 9
LETTURA
N.S.
8 11
SCRITTURA
N.S.
7 11
RIPETIZIONE 7 8 11
COD.SEMANTICA 5 9 9
TABELLINE
N.S.
11 6
MOLTIPLICAZ. A MENTE N.S. 6 7
ADD/ SOTTR. < 10 7 11 11
ADD/ SOTTR. > 10
N.S.
11 12
CALCOLO SCRITTO
N.S.
10 9

BDE
DYSCALCULIA SCREENER

L’aspetto che si deve sottolineare in questo primo caso:
• l’evoluzione delle abilità in tutti gli ambiti e, soprattutto, la continua
crescita dei risultati dopo l’interruzione della terapia.
• Le abilità del bambino, infatti, si sono completamente “ristrutturate”
e ben interiorizzate, in alcuni ambiti, così da continuare ad evolvere,
senza l’aiuto di alcuno stimolo mirato.
• Le abilità prettamente mnemoniche, come la ripetizione veloce delle
tabelline, una volta interrotta la terapia, sono state, in parte, perse, come
prevedibile.
(Va precisato, tuttavia, che il bambino riesce, con più tempo, a risalire,
comunque, ai risultati delle moltiplicazioni a mente, utilizzando le
strategie di quantificazione utilizzate durante il trattamento. )

Caso 2. (P,R; maschio), arrivato a metà della quinta primaria, comorbidità con
dislessia evolutiva e difficoltà visuo-spaziali.
Il bambino, come il caso precedente, presentava una discalculia severa (tab.4);
inoltre, i dati ottenuti alla prova preliminare del Dysclculia Screener, evidenziavano
tempi di esecuzione lunghissimi che ci avevano costretto ad interromperne la
somministrazione. Vengono quindi presentati solo i dati relativi al post e al follow.
QN
QC
2006 2007 2008
pre post follow
CONTEGGIO N.S. 1 1
LETTURA N.S. 9 8
SCRITTURA N.S. 7 9
RIPETIZIONE 8 10 10
COD.SEMANTICA N.S. 7 9
TABELLINE 7 7 6
MOLTIPLICAZ. A MENTE 3 8 6
ADD/ SOTTR. < 10 1 4 6
ADD/ SOTTR. > 10 5 9 10
CALCOLO SCRITTO 3 11 6

BDE
DYSCALCULIA SCREENER

Si osserva come, alla BDE, alcune prove siano rimaste invariate, o addirittura
peggiorate, dal post al follow.
• Il conteggio, ad esempio, è rimasto ad 1. È importante, tuttavia, sottolineare
che, all’ultima somministrazione del test, il ragazzo non commetteva più
errori, ma era penalizzato dai tempi di esecuzione ancora molto lunghi.
• Si può infatti osservare che, tutte le prove che richiedono risposte entro i 2
secondi (tabelline, moltiplicazioni e calcolo

Caso 3. (S.J; maschio), arrivato a metà della terza primaria, comorbidità con
dislessia evolutiva e difficoltà visuo-spaziali.
Questo bambino presentava, oltre ad una estrema lentezza in tutte le attività, cali di
attenzione e difficoltà di memoria.
QN
QC
2006 2007 2009
pre post follow
CONTEGGIO 1 10 8
LETTURA 3 0 10
SCRITTURA 8 9 10
RIPETIZIONE 8 9 7
COD.SEMANTICA 6 9 10
TABELLINE 5 6 9
MOLTIPLICAZ. A MENTE 6 5 5
ADD/ SOTTR. < 10 7 10 11
ADD/ SOTTR. > 10 7 8 11
CALCOLO SCRITTO 7 10 10

BDE
DYSCALCULIA SCREENER

Si notano:
• notevoli miglioramenti in tutte le abilità, con residue difficoltà di
memoria che penalizzano tutt’ora il ragazzo nella prova di ripetizione
di numeri e nelle moltiplicazioni veloci proposte dalla BDE.
Tali problematiche devono essere fatte presenti alla scuola e
compensate con gli appositi strumenti previsti dalle normative vigenti.

Caso 4. (T:F; maschio), arrivato a metà della quarta elementare, comorbidità
con dislessia evolutiva e difficoltà emotive.
Discalculia evolutiva grave (tab.6)
QN
QC
2006 2007 2008
pre post follow
CONTEGGIO 1 6 7
LETTURA 1 8 9
SCRITTURA 5 10 10
RIPETIZIONE 10 10 10
COD.SEMANTICA 7 8 8
TABELLINE 3 4 4
MOLTIPLICAZ. A MENTE 4 2 2
ADD/ SOTTR. < 10 9 11 11
ADD/ SOTTR. > 10 6 9 9
CALCOLO SCRITTO 1 9 9

BDE

• L’ansia da prestazione di questo bambino, per la quale è stato nel
frattempo seguito sotto il profilo psicologico, ha reso la somministrazione
dei test molto lunga (soprattutto al pre e al post), pertantosi è deciso di non
utilizzare il Dyscalculia Screener, che, tra l’altro, “lascia il bambino” più
solo nell’esecuzione delle prove.
Questo caso dimostra come sia importante osservare i singoli sub-test
della BDE (tabella 6) per avere un quadro reale dei miglioramenti.
Infatti: se si considera il QC di 56 la valutazione è “insufficiente”. In realtà,
le uniche prove inadeguate sono le tabelline e le moltiplicazioni che,
essendo molto “basse”, modificano notevolmente il punteggio globale del
test.

Dal momento che le competenze innate non dovrebbero essere
suscettibili di miglioramento, è ragionevole pensare che un
training specifico, che mira ad un loro recupero e potenziamento,
ne favorisca, comunque, la manifestazione; ciò induce nei
bambini un salto di qualità con conseguenze sulle prestazioni
specifiche.
Va inoltre osservato che, là dove non si possa contare su
un’efficace dotazione naturale, è possibile, utilizzando la
consapevolezza, recuperare alcune capacità che, comunque, anche
se velocizzate, non arriveranno mai all’automatizzazione che si
ottiene con i processi che si basano su dotazioni innnate.

Si ritiene inoltre che i tempi, affinché ci sia una ricaduta apprezzabile
sulle richieste scolastiche più alte, siano necessariamente piuttosto
lunghi.
Infatti - se nella dislessia, una volta recuperata correttezza e fluenza, non
è richiesto di elaborare competenze di tipo strumentale più evolute - per
quanto riguarda il numero e il calcolo, ci si trova di fronte ad un
crescendo di complessità per cui, i bambini, devono recuperare e
rielaborare competenze ed abilità a livelli sempre più alti.
Inoltre i discalculici, vengono segnalati, solitamente, a partire dalla
terza classe della scuola primaria, nel momento in cui devono affrontare
apprendimenti che mettono in risalto le loro difficoltà specifiche dei
bambini: nella costruzione dei fatti aritmetici, nel controllo degli
algoritmi di calcolo, nel conteggio, nella transcodifica ed ancora,
difficoltà in compiti più integrati, quali la risoluzione dei problemi o di
algoritmi complessi (Biancardi A., Mariani E., Pieretti M., (2003)).

Bibliografia
Biancardi A., Mariani E., Pieretti M. (2003), La discalculia evolutiva, dai Modelli neuropsicologici
alla riabilitazione, Milano F.Angeli
Bortolato C. (2000), La Linea dei numeri, Trento, Erickson
Bortolato C. (2002), Calcolare a mente, Trento, Erickson
Butterworth B. (1999), L’intelligenza matematica, Milano, Rizzoli
Dehaene S. (2001), Il pallino della matematica, Oscar saggi Mondatori, Milano, titolo originale:
La bosse des maths, 2000, Milano, Mondatori.
Gelman R.e Gallistel C.R. (1978), The child’s understanding of number, Cambridge, MA, Hrvard
University Press.
Hermelin B.e O’Connor N. (1986), Spatial Representations in Mathematically and Artistically
Gifted Children, in “British Journal of Education Psychology”, 56, pp. 150-157
Karmiloff-Smith A., (1992) - Beyond modularity: A developmental perspective on cognitive
science, Cambridge, MA, The MIT Press., trad. it. Oltre la mente modulare, Una prospettiva
evolutiva sulla scienza cognitiva, Bologna, Il Mulino, 1995
Liverta Sempio O. (1997), Il bambino e la costruzione del numero, La nuova Italia Scientifica,
Geary D.C. (1993), Mathematical disabilities: cognitive, neuropsycological and genetic
components, Psycological Bullettin,114, 345-362
McCloskey M., Caramazza A., Basili A.G. (1985), Cognitive Mechanisms in Number Processing
and Calculation: Evidence from Dyscalculia, in “Brian and Cognition”, 4, pp. 171-96
Starkey P.e Cooper R.G.(1980), Perception of nombers by human infants, “Science”, vol 210,
pp.1033–1035.
Per ulteriori approfondimenti bibliografici rimando al mio testo.

Misure dispensative e
• Uso della calcolatrice
compensative
• Uso della tavola pitagorica
• Uso di tavola riassuntiva delle formule matematiche
• Lettura e semplificazionedel testo del problema
(visto l’elevato livello di comorbidità con la dislessia)

• Non valutare gli errori di calcolo
• Non valutare gli errori di trascrizione
• Non calcolare il tempo impiegato
• Tener conto del punto di partenza e dei risultati
conseguiti
• Premiare i progressi e gli sforzi

Precisazioni e riflessioni sulle misure
• Non dare per scontato che l’uso della calcolatrice
sia semplice e sottolineare al bambino e alla
classe questo aspetto.
• Prediligere una calcolatrice scientifica in modo
che le operazioni restino per intero sul monitor.
• I formulari andrebbero costruiti gradualmente dal
bambino/ragazzo (ad esempio in sostituzione allo
studio mnemonico)

• La tavola pitagorica (visivamente complessa) può
essere sostituita con le tavole delle varie tabelline,
ordinate e colorate diversamente, questo inoltre
sollecita l’apprendimento per memoria visiva.
• Dare più tempo talvolta non serve perché il bambino
comunque non ha sufficiente concentrazione
prediligere verifiche più brevi ed, eventualmente,
suddivise in più parti o integrate con interrogazioni.

• Non insistere sulle divisioni se il bambino non
riesce ad impararle, ma sul significato di dividere
(distribuzione e sottrazione ripetuta).
• Fare sempre una valutazione dei costi/ benefici
che il b.no ottiene nel perseguire un obbiettivo
• Non temere che un alunno si possa sentire diverso,
tramite la nostra consapevolezza e la nostra guida
il b.no può imparare ad accettare le misure e ad
utilizzarle

Ricordare che gli obbiettivi finali devono essere
gli stessi ma possono essere presentati in
modo differenziato e semplificati (il ragazzo
deve affrontare i solidi, ma i problemi su
questi possono essere più semplici, ad
esempio, non prevedere formule inverse.)

Anche i dislessici possono avere
difficoltà in matematica:
• Nelle tabelline (per problemi mnemonici)
• nei problemi aritmetici (a causa di possibili
difficoltà linguistiche)
• Nei procedimenti che prevedono un pensiero
inverso,
(difficoltà spaziali di base), conteggio all’indietro
e sottrazioni.

DIFFICOLTÀ DI COMPRENSIONE DEL TESTO
DEL PROBLEMA ARITMETICO
Un discorso specifico meritano
le difficoltà di comprensione dei testi dei problemi
aritmetici.
La comprensione del testo di un problema
presenta
- oltre alle difficoltà che un soggetto può incontrare
nella comprensione di un testo
narrativo o argomentativo/scientifico -
altri motivi di inciampo per un lettore.
247

Nella comprensione dei testi letterari
occorre individuare:
“chi, cosa, l’azione, quando, dove, come”,
nei problemi
la domanda specifica, fondamentale, è
“quanto?”
Per lo schema risolutorio non interessa
“chi”, il “dove”, il “cosa”,
ma:
“cosa succede?” “quando?” e, soprattutto, “quanto”?
“Quanto” è un termine che si riferisce
alla conta e alla misurazione
e si comprende solo contando e misurando.
248

Inoltre
nel testo del problema si incontra
un uso di termini specifici
- preposizioni ed avverbi (o locuzioni avverbiali) -
con cui i bambini hanno, nella vita di tutti i giorni, poca
dimestichezza:
Quanto di più?, Quanto di meno?
Quanto è la differenza?
Quanto c’è da…a? Quanto manca? Quanto cresce?
Quanto in tutto?
Quanto per ognuno (a ciascuno, ad ogni, )? ecc.
249

In alcuni problemi, ha un peso particolare la capacità di avere
un modello temporale mentale,
problemi che richiedono
- il confronto tra prima e dopo di una certa quantità,
- che si riferiscono al trascorrere del tempo,
un modello spaziale mentale
- i problemi relativi alle distanze, alla di geometria …
250

Entrano in gioco, inoltre,
strategie specifiche per la soluzione dei diversi
tipi di problemi
- corrispondenti a schemi mentali che si formano attraverso
l’esperienza ripetuta di soluzioni di problemi semplici –
formule e formule inverse
che non devono, necessariamente, gravare la memoria a
lungo termine, ma possono spesso riferirsi
a schemi logici sempre recuperabili in tempi brevi.
251

Tra le abilità linguistiche, oltre al lessico specifico, è utile
considerare:
• la comprensione dei tempi dei verbi
e quindi dell’esatto svolgersi degli avvenimenti.
Esempio: “se la mamma rimane con 4 arance e ne aveva 10
quante arance avrà usato per fare la torta”.
Per rappresentarsi il problema bisogna recuperare che
“prima aveva 10 arance, poi ne ha usato…, adesso ne ha 4.
Quando ha usato le arance?: “prima” rispetto ad adesso, ma
“dopo” rispetto al momento in cui ne aveva 10….”
È un modello mentale che diversi bambini non riescano a
costruire
o perché hanno difficoltà con il modello temporale
o perché non comprendono i significati mediati dai tempi dei
verbi 252

• la comprensione dei modi dei verbi
“quante arance dovrebbe comprare la mamma se
volesse fare
una torta con 6 arance ed in casa ne avesse solo 2?”
• la capacità di fare inferenze
• la capacità di riconoscere l’elemento nascosto (sottointeso)
• le conoscenze generali
“Se mangio due caramelle al giorno ogni giorno della settimana,
quante ne avrò mangiate alla fine della settimana?”
(Non è indicato il secondo termine del problema che deve essere
dedotto, il solutore deve sapere che la settimana è formata da 7
giorni). 253

• la capacità di rappresentazione spaziale
o “Se Marco è alto come il frigorifero e Giovanna è più alta del
frigorifero chi è più alto tra i due fratelli?”
o “Se la mia casa si trova tra la chiesa e la scuola mentre le
casa del mio amico Marco è tra la chiesa e la mia casa,
o chi è più vicino alla scuola?
o Chi arriverà prima a scuola se usciamo da casa allo stesso
tempo e camminiamo alla stessa velocità?”
In questo caso oltre alla rappresentazione spaziale
si richiede al lettore di capire/conoscere il rapporto
spazio/velocità.
254

Aggiungiamo la difficoltà relativa
• alla terminologia specifica dei problemi relativi al
guadagno, costo e ricavo,
peso netto, lordo e tara
(Occorre crearsi, contemporaneamente, il modello mentale e
comprendere la corrispondente terminologia).
• ai problemi geometrici
con i concetti di perimetro, area e volume che fanno sempre
riferimento alla misurazione:
lineare
bidimensionale
tridimesionale.
Misurazioni che i bambini devono poter sperimentare
direttamente.
255

Nei problemi più strutturati e complessi influiscono,
particolarmente,
• attenzione e memoria,
• abilità e capacità linguistiche, cognitive e
metacognitive
competenze che i problemi condividono con i testi
letterari
Una linea di passaggio
dai testi narrativi, argomentativi/scientifici, ai testi dei problemi
sono
i problemi senza numeri,
i problemi con i numeri ma senza operazioni.
256

PROBLEMI SENZA NUMERI
• Luca, Mario e Giovanni sono fratelli. Luca va a scuola a piedi, Mario in
auto, Giovanni in bicicletta e arrivano tutti alla stessa ora.
Chi è partito prima da casa? Chi ha impiegato più tempo?
• Il papà va dal benzinaio con la sua auto perché è senza benzina. Farà più
strada riempiendo il serbatoio a metà o per intero?
• Alessandro mangia un uovo ogni giorno. Giovanni mangia un uovo alla
settimana. Chi mangia più uova in un mese?
• Il gelato di Maria costa il doppio di quello di Marta. Chi tra le due
bambine pagherà di meno? Chi pagherà di più? Quanto di più?
• La mamma vuole preparare la marmellata di albicocche. Ha preparato la
pentola per cuocerlee la bilancia. Deve pesare 1 Kg. di albicocche senza il
nocciolo e non vuole sporcare la bilancia. Come può fare?
257

PROBLEMI CON I NUMERI MA SENZA
OPERAZIONI
• Se Mario ha 2 anni più di Luca, chi è più grande?
• Lorenzo e Carlo vanno a scuola in bicicletta, il primo impiega 20 minuti
mentre il secondo ne impiega 7, chi è più lontano dalla scuola?
• Anna e Stefano stanno leggendo lo stesso racconto, ad Anna mancano tre
righe a Stefano ne mancano 8, chi finirà prima di leggere il racconto?
• Maria e Lucia hanno il quaderno uguale. A Maria mancano 3 pagine per
finirlo, a Lucia ne mancano 5. Chi ha scritto di più sul quaderno?
• Un gommista deve cambiare tutte le gomme di 8 automobili. Come fa a
sapere quante gomme gli occorrono?
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