LE PARALLELOGRAMME-converti

ECOLES PRIVEES LA TOUR EIFFEL
COLLEGE – LYCEE
ANNEE SCOLAIRE 2019-2020
PROF : Mme A.ENNAMLI
مدارس برج ايفيل الخصوصية
إعدادي-ثانوي-تأهيلي
السنة
الدراسية 2019-2020
Niveau : 1 ère ANNEE COLLEGE
Le 15/04/2020
LE PARALLELOGRAME.
I) LE PARALLELOGRAMME :
1) DEFINITION :
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
2) EXEMPLE :
A B ABCD est un parallélogramme
Si : (AB) // (CD).
Et : (AD) // (BC).
D
II) PROPRIETES :
C
1) PROPRIETES DES DIAGONALES :
PROPRIETE DIRECTE :
Si ABCD est un parallélogramme, alors ses
diagonales se coupent en leur milieu.
EXEMPLE : ABCD un parallélogramme, tel
que : [AC] et [BD] se coupent en O.
A
B
O
D
C
On observe que O est le milieu de [AC] et [BD]
Donc les diagonales [AC] et [BD] ont le même
milieu.
PROPRIETE RECIPROQUE :
Si ABCD est un quadrilatère dont les diagonales se
coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.
EXEMPLE : ABCD un quadrilatère, tel que : [AC] et
[BD] se coupent en leur milieu.
A
B
O
D
C
O est le milieu des segments [AC] et [BD]
Alors: SO(A) = C et SO(B) = D.
Et: SO(AB) = (CD) et SO(AD) =(CB)
Or, le symétrique d’une droite est une droite qui lui est
parallèle.
Alors : (AD) (BC) et (AB) (CD).
D’où : ABCD est parallélogramme.
REMARQUE : Le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme est le CENTRE DE
SYMÉTRIE de ce parallélogramme.
2) PROPRIETES DU PARALLELISME :
PROPRIETE DIRECTE :
Si ABCD est un parallélogramme, alors ses
côtés opposés sont parallèles.
PROPRIETE RECIPROQUE :
Si ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés
sont parallèles, alors c’est un parallélogramme.
APPLICATION : Soient A, B et O trois points non alignés.
1) Tracer les points C et D, les symétriques de A et B respectivement par rapport à O.
2) Démontrer que le quadrilatère ABCD est parallélogramme. A B
O
SOLUTION :
1) Voir la figure. D C
2) On démontre que le quadrilatère ABCD est parallélogramme :

On a : C et D sont respectivement les symétriques de A et B
Par rapport à O : SO(A) = C et SO(B) = D.
Donc la droite (CD) est le symétrique de la droite (AB) par rapport à O : SO((AB)) = (CD).
Et la droite (AD) est le symétrique de la droite (BC) par rapport à O : SO((AD)) = (BC).
On sait que : le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.
Alors : (AB) (CD) et (AD) (BC).
D’où : ABCD est un parallélogramme.
3) PROPRIETES DES LONGUEURS DES COTES:
PROPRIETE DIRECTE :
Si ABCD est un parallélogramme, alors ses
côtés opposés sont de même longueur.
EXEMPLE : ABCD un parallélogramme.
Comparer AB et DC ; AD et BC.
A
B
PROPRIETE RECIPROQUE :
Si ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés sont
de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
EXEMPLE : ABCD un quadrilatère, tel que :
AB = DC et AD = BC. Quelle est la nature de ABCD.
A
B
D
C
On observe que : AB = DC et AD = BC.
D
C
On observe que ABCD est un parallélogramme.
ACTIVITE : Soit ABCD un parallélogramme de centre O. A B
Montrer que : AB = CD et AD = BC.
O
SOLUTION : D C
ABCD est parallélogramme de centre O.
Donc : O est le milieu de [AC] et [CD].
D’où: SO(A) = C et SO(B) = D.
Et: SO([AB]) = [CD] et SO([AD]) = [BC].
Or, la symétrie centrale conserve les longueurs.
Alors : AB = CD et AD = BC.
4) PROPRIETES DES ANGLES:
PROPRIETE DIRECTE :
Si ABCD est un parallélogramme, alors ses
angles opposés sont de même mesure.
A
B
PROPRIETE RECIPROQUE :
Si ABCD est un quadrilatère dont les angles opposés
sont de même mesure, alors c’est un parallélogramme.
A
B
D
C
ABCD est un parallélogramme,
Donc : ADC = ABC et BAD = BCD.
D
C
On a : ADC = ABC et BAD = BCD.
Alors : ABCD est un parallélogramme,
ACTIVITE : Soit ABCD un parallélogramme tel que : AB = 6cm ; AD = 4cm et BAD = 70°.
1) Tracer la figure.
2) Quelle est la mesure de l’angle BCD ? Justifier la réponse.
A 6cm B
SOLUTION : 70°
ABCD est un parallélogramme,
Alors ses angles opposés sont isométriques.
D’où BCD = BAD = 70°.
4cm
D
C
Prof : Mme A. ENNAMLI