用复变函数的观点看静电学问题

用 复 变 函 数 的 观 点
看 静 电 学 问 题
追 随 黎 曼 的 脚 步

主 要 内 容
· 关 于 复 变 函 数
· 如 何 联 系 到 静 电 学 问 题
· 神 奇 的 复 位 势
· 黎 曼 的 魔 术
· 数 学 与 物 理 的 统 一 融 合

关 于 复 变 函 数
复 变 函 数 是 一 个 映 射
优 点 : 可 以 减 小 变 量 的 个 数 , 减 少 空 间 的 维
数
一 个 在 域 F 上 的 线 性 空 间 V 其 元 素 为 复 数 , 如
果 域 F 为 实 数 域 R, 则 V 有 两 组 基 :1 和 i,
dim(V)=2.
但 是 当 F 为 C 时 ,dim(V) 为 1

1
2
3 4

黎 曼 球 面
欧 几 里 得 几 何 中 , 空 间 是 平 直 均 匀 的
年 轻 的 黎 曼 提 出 了 黎 曼 几 何 , 引 入 了 黎 曼
球 面
黎 曼 球 面 对 于 数 学 以 及
物 理 学 一 个 很 大 的 贡 献
在 于 它 使 得 无 穷 远 处 的
点 变 为 黎 曼 球 面 的 北 极
点

球 极 投 影
通 过 球 极 投 影 , 可 以 构 造 一 个 一 一 映
射 : 从 复 平 面 映 到 黎 曼 球 面 上 , 而 神
奇 之 处 在 于 , 球 极 投 影 把 任 意 不 经 过
极 点 的 圆 仍 然 映 成 平 面 上 的 圆 , 把 无
穷 远 处 的 点 映 到 了 极 点 附 近 , 这 就 给
我 们 求 解 无 穷 远 处 的 静 电 场 问 题 提 供
了 方 便

如 何 联 系 到 静 电 学 问 题
发 散 级 数 是 魔 鬼 的 游 戏 。
—— 阿 贝 尔
静 电 学 中 有 许 多 令 人 困 惑 的 现 象
首 先 是 利 用 电 像 法 会 出 现 发 散 级 数 比 如
i1
1
这 个 级 数 是 发 散 的 , 但 是 可 以 求 出 和 , 物 理 学 家 使
用 一 种 称 为 “ 重 整 化 ” 的 方 法 来 计 算 各 种 发 散 的 级
数 的 和 , 作 为 一 种 复 杂 的 技 巧 。
在 数 学 领 域 里 , 发 散 级 数 与 复 变 函 数 有 着 深 刻 的 联
系 。 利 用 复 变 函 数 的 解 析 延 拓 , 各 种 发 散 级 数 的 和
可 以 求 出 。
i
1
2

出 于 数 学 上 的 考 虑 , 我 们 首 先 研 究 无 限 长 导 线 在
垂 直 平 面 中 的 电 场 。
很 自 然 地 , 我 们 假 设 两 个 符 号 相 反 的 长 导 线 在 垂 直 平 面
中 的 电 场 为 “ 偶 极 子 ” 场 , 并 且 类 推 , 利 用 复 变 函 数 的
相 关 知 识 以 及 一 种 约 束 技 巧 , 我 们 求 出 了 “ 偶 极 子 ” 在
垂 直 平 面 中 的 电 场 方 程

偶 极 子 的 合 成
注 意 到 “ 偶 极
子 ” 在 合 成 的
整 个 过 程 中 ,
等 势 线 始 终 是
完 美 的 正 圆 ,
由 此 可 知 这 个
场 的 “ 流 线 ”,
也 就 是 势 场 的
梯 度 场 也 是 完
美 的 正 圆 , 因
为 等 势 线 和 流
线 正 交

偶 极 子 融 合 成 四 极 子
两 个 方 向 相 反 的
偶 极 子 不 断 接 近 ,
形 成 了 四 极 子

四 极 子 融 合 成 八 极 子
个 人 认 为 八 极 子 的 合
成 是 最 漂 亮 的 , 而 且
出 现 了 出 乎 意 料 的 现
象 , 就 是 融 合 后 的 八
极 子 是 六 个 花 瓣 的 ,
而 不 是 想 象 中 的 八 个
每 融 合 一 次 , 它
的 波 利 亚 向 量 场
函 数 的 指 数 降 一
次 !!!

无 穷 的 诗 意 与 哲 学
在 物 理 学 中 有 一 种 特 殊 的 技 巧 , 就
是 把 无 穷 远 处 的 物 体 当 做 在 半 径 无
穷 大 的 圆 上 的 物 体 产 生 的 影 响 。
这 种 思 想 在 数 学 中 对 应 着 深 刻 的 黎
曼 几 何 , 而 且 除 此 之 外 , 在 复 平 面
上 的 变 换 对 黎 曼 球 面 同 样 适 用 , 反
演 变 换 对 应 着 球 极 投 影 南 北 极 的 对
换 !!!
无
穷
远
处
的
偶
极
子
无
穷
远
处
的
四
极
子
无
穷
远
处
的
八
极
子

神 奇 的 复 位 势
• 把 电 场 用 复 变 函 数 表 示 出 来 , 积 分 即 可 ,
积 分 法 则 和 实 变 函 数 相 同 , 注 意 灵 活 运 用
欧 拉 公 式
• 复 位 势 神 奇 之 处 在 于 : 所 做 的 仅 仅 是 积 分 ,
然 而 它 的 馈 赠 远 远 不 止 积 分 的 劳 动
• 求 出 了 复 位 势 , 分 解 出 实 部 和 虚 部 , 分 别
对 应 着 流 线 和 等 势 线 !!!
• 复 位 势 乘 以 单 位 虚 数 , 得 到 的 流 线 称 为 原
流 线 的 对 偶 流 。

利 用 复 位 势 一 箭 双 雕
盘 在 无 粘 滞 流 体 中 的 流 线
长 导 体 柱 在 匀 强 电 场 中
的 电 场 线

如 何 去 做
一 个 向 东 的 均 匀 流 H(z)=1 具 有 复 位 势 Ω(z)=z。 如 果 我
们 把 一 个 复 位 势 为
Ω(z)=1/z 的 偶 极 子 放 到 这 个 流 里 ( 也 就 是 上 述 的 那 个 偶
极 子 ), 这 个 流 就 会 受 到 扰 动 , 两 个 场 互 相 干 扰 形 成 了 一
个 新 的 场 , 不 过 对 于 我 们 来 说 , 我 们 需 要 做 的 仅 仅 是 把 两
个 复 的 位 势 函 数 叠 加
利 用 绘 图 软 件 (Mathematica) 我 们 可 以
观 察 到 , 这 个 流 线 不 再 是 完 美 的 圆 周 ,
而 是 类 似 于 一 个 圆 盘 放 进 了 一 个 均 匀 的
水 流 里 ( 假 设 这 个 水 流 没 有 粘 滞 阻 力 ),
但 是 越 靠 近 原 点 , 这 个 图 形 就 越 像 一 个
偶 极 子 的 等 势 线 。

黎 曼 的 魔 术
黎 曼 证 明 了 黎 曼 映 照 定 理 : 在 单 连 通 域 与 单 位 圆 之 间 能
实 现 保 形 映 照
利 用 这 一 点 , 我 们 可 以 求 出 椭 圆 形 的 乃 至 不 规 则 形 状 在
电 场 中 形 成 的 新 电 场
对 于 两 个 成 一 定 角 度 的 无 限 大 导 体 板 , 之 间 有 长 导 线 ,
利 用 解 析 函 数 的 性 质 , 把 整 个 复 平 面 施 加 一 个 复 变 换 ,
幅 角 一 下 子 就 展 开 了 , 变 成 了 一 个 水 平 的 平 面 !!!
除 此 之 外 还 有 一 系 列 实 用 的 解 析 函 数 , 它 们 被 用 来 伸 扭
复 平 面 , 使 问 题 得 到 优 雅 的 解 决

电 像 法 的 诠 释
• 解 析 延 拓 : 对 于 一 个 解 析 函 数 , 知 道 其 局
部 的 性 质 , 就 可 以 通 过 解 析 延 拓 的 方 法 拓
展 到 整 个 复 域
• 延 拓 需 要 边 值 条 件 , 也 就 是 说 要 清 楚 反 射
的 面 究 竟 是 什 么
• 介 绍 施 瓦 茨 反 射 : 创 意 很 天 才 , 可 惜 不 是
我
• 发 散 级 数 解 析 延 拓 施 瓦 茨 反 射 电 像
法

实 战
具 体 方 法 :
(1) 用 复 数 表 示 曲 面 K 的 方 程
(2) 利 用 这 个 方 程 , 把 z 的 共 轭 复 数 用 z 表 示 出 来 , 这 个 函 数 就 是 S(z)
(3) 再 把 S(z) 取 共 轭
现 在 考 虑 位 于 (2+i) 处 强 度 为 2Pi 的 电 荷 的 流 , 如 果 用 实 轴 作 为 障 碍
物 , 会 得 到 什 么 呢 ? 首 先 未 受 扰 动 的 流 的 复 位 势 是
因 为 流 不 可 能 在 障 碍 处 有 法 向 速 度 , 因 此 这 个 函 数 在 实 轴 上 必 定 取
实 值 , 并 且 在 实 轴 的 上 半 侧 是 解 析 的 。 这 一 性 质 使 我 们 考 虑 把 它 解
析 延 拓 到 实 轴 的 另 一 侧 。 我 们 无 需 费 神 去 找 那 个 S 函 数 , 因 为 它 就 是
共 轭 变 换
最 终 我 们 有

数 学 与 物 理 的 融 合
复 变 函 数 本 身 就 和 几 何 , 物 理 有 着 深 刻 的 联 系
静 电 学 以 及 其 他 物 理 学 分 支 中 的 许 多 技 巧 来 自 于 复
变 函 数 理 论
物 理 学 中 的 思 想 给 数 学 的 发 展 提 供 了 源 泉
两 者 之 间 的 思 维 转 换 很 重 要