On the Hypotheses which lie at the Foundations of Geometry ...

的 定 义 , 它 们 并 没 有 逻 辑 上 的 必 然 性 。 只 是 由 经 验 认 可 , 是 一 个 假 说 。 因此 , 我 们 能 够 做 的 是 研 究 这 类 数 据 关 系 的 可 靠 性 ( 在 我 们 的 观 察 范 围 内 当 然相 当 可 靠 )。 然 后 考 虑 是 否 能 够 延 伸 到 观 察 范 围 之 外 , 亦 即 朝 向 测 量 不 能 及的 大 范 围 和 小 范 围 来 推 广 。1 n 元 量 的 概 念在 尝 试 解 决 第 一 个 问 题 — n 元 延 伸 量 概 念 的 建 立 之 前 , 我 恳 求 大 家 多批 评 指 教 , 因 为 在 这 种 哲 学 性 质 的 工 作 上 , 观 念 比 理 论 建 构 还 难 , 而 我 在这 方 面 所 受 的 训 练 甚 少 。 过 去 所 学 , 除 了 枢 密 顾 问 高 斯 谈 双 二 次 剩 余 的 第二 篇 论 文 中 的 少 许 提 示 , 他 的 五 十 周 年 纪 念 册 及 哥 廷 根 学 术 杂 志 中 的 点 滴及 赫 巴 特 (Herbart) 的 一 些 哲 学 研 究 外 , 也 少 能 派 上 用 场 。1. 要 了 解 「 量 」 必 须 先 有 一 个 关 于 「 量 」 的 普 遍 观 念 和 一 些 能 体 现 它 的特 殊 事 例 (instance)。 这 些 事 例 形 成 了 所 谓 的 流 形 : 任 两 事 例 若 可 以连 续 地 渐 次 转 移 成 为 彼 此 , 是 连 续 流 形 , 否 则 为 离 散 流 形 。 个 别 事例 在 前 者 中 称 为 「 点 」(point), 在 后 者 称 为 「 元 素 」(element)。 构 成离 散 流 形 的 例 子 很 多 , 至 少 在 较 高 等 的 语 言 中 一 定 可 以 找 得 到 — 只要 能 够 理 解 一 堆 东 西 摆 在 一 起 的 观 念 就 够 了 ( 在 离 散 量 的 研 究 中 ,数 学 家 可 以 毫 不 迟 疑 地 假 设 所 有 的 「 东 西 」 都 是 同 类 的 )。 反 过 来说 , 连 续 流 形 的 例 子 在 日 常 生 活 中 很 少 , 大 概 只 有 颜 色 以 及 实 际 物体 的 所 有 位 置 可 以 算 是 多 元 量 的 几 个 简 单 实 例 。 这 种 概 念 的 创 造 与发 展 最 先 并 屡 屡 出 现 于 高 等 数 学 。 利 用 标 记 或 圈 围 取 出 流 形 的 某 些部 分 , 称 为 「 量 」。 对 「 量 」 的 定 量 比 较 工 作 , 在 离 散 的 情 形 可 以 用数 的 , 在 连 续 的 情 况 下 则 需 靠 测 量 。 测 量 需 将 两 个 被 比 较 的 量 迭 合 ;因 此 必 须 选 出 一 个 量 , 充 当 其 他 量 的 测 量 标 准 。 否 则 , 我 们 只 能 在一 个 量 包 含 于 另 一 个 量 时 才 能 作 比 较 , 只 能 谈 「 较 多 」(more)、「 较少 」(less), 而 不 知 绝 对 的 「 大 小 」(how much)。 以 这 种 的 方 式 进行 , 形 成 了 对 「 量 」 研 究 的 一 个 部 门 。 其 中 「 量 」 的 观 念 独 立 于 测距 (measurement), 而 相 依 于 位 置 ; 不 以 单 位 表 示 , 而 是 必 须 视 为 流

形 上 的 区 域 。 这 项 研 究 对 数 学 许 多 部 门 而 言 是 必 要 的 ( 例 如 多 变 量解 析 函 数 的 处 理 ), 而 这 种 研 究 的 缺 乏 , 正 是 阿 贝 尔 (Abel) 的 著 名 定理 及 拉 格 郎 吉 (Lagrange)、 发 府 (Phaff) 和 亚 各 比 (Jacobi) 等 人 的 贡 献之 所 以 未 能 在 微 分 方 程 一 般 理 论 中 有 所 发 挥 的 主 要 原 因 。 从 「 延 伸量 」 的 科 学 的 这 个 部 门 出 发 , 不 需 借 助 任 何 其 他 的 假 设 , 我 们 首 需 强调 两 点 , 以 澄 清 「n 元 延 伸 量 」 的 基 本 性 质 。 第 一 点 是 关 于 「 多 元 延伸 量 」 这 种 概 念 的 建 立 , 而 第 二 点 则 提 到 如 何 将 流 形 中 定 位 置 的 问题 转 化 为 决 定 数 值 的 问 题 。2. 在 一 个 概 念 下 的 事 例 如 果 构 成 连 续 流 形 , 则 从 其 中 的 一 个 事 例 以 确定 的 方 式 移 动 到 另 一 个 事 例 时 , 中 间 所 经 过 的 所 有 事 例 会 构 成 一 个一 元 延 伸 的 流 形 。 它 的 特 色 是 , 从 其 中 任 一 点 出 发 , 则 只 有 两 个 方 向可 供 连 续 移 动 : 亦 即 非 往 前 则 往 后 。 现 在 , 我 们 想 象 这 个 一 元 流 形 以确 定 的 方 式 移 向 另 一 个 完 全 不 同 的 一 元 流 形 , 以 致 于 旧 流 形 上 每 一点 都 确 定 的 走 向 新 流 形 上 的 对 应 点 , 则 仿 前 述 , 这 样 的 例 子 便 构 成了 一 个 二 元 延 伸 流 形 。 以 此 类 推 , 我 们 可 以 想 象 一 个 二 元 延 伸 流 形确 定 地 移 向 一 个 完 全 不 同 的 二 元 流 形 而 得 到 一 个 三 元 延 伸 流 形 , 不难 看 出 如 何 继 续 这 个 建 构 。 如 果 我 们 把 这 个 过 程 中 的 参 与 者 看 成 是变 动 的 , 而 非 固 定 的 概 念 , 则 这 种 建 构 可 以 看 成 是 融 合 n 维 和 一 维 的变 动 度 (variability) 而 得 到 n+1 维 的 变 动 度 。3. 反 之 , 我 现 在 要 说 明 怎 样 将 一 个 具 已 知 边 界 的 变 动 度 分 解 为 一 个 一维 变 动 度 及 一 个 较 低 维 的 变 动 度 。 考 虑 流 形 上 沿 一 个 一 维 向 度 的 分解 , 固 定 其 中 之 一 , 使 其 分 解 上 的 点 得 以 相 互 比 较 。 沿 这 个 向 度 上 的每 一 点 都 给 定 一 个 值 , 值 随 着 点 的 不 同 而 连 续 变 化 。 换 句 话 说 , 我 们可 以 在 这 个 给 定 的 流 形 上 定 出 一 个 连 续 的 位 置 函 数 , 使 在 流 形 上 的任 一 区 , 函 数 的 值 绝 非 常 数 。 则 当 此 函 数 的 值 固 定 时 , 共 享 此 值 的 所有 原 流 形 上 的 点 , 便 形 成 了 一 个 较 低 维 的 连 续 流 形 。 函 数 值 改 变 时 ,这 些 流 形 便 分 解 而 连 续 地 从 一 个 变 为 另 一 个 ; 我 们 因 而 可 以 假 定 它们 全 部 都 是 同 一 个 子 流 形 的 变 换 , 而 这 种 变 换 会 使 得 第 一 个 子 流 形

上 的 每 一 点 规 律 地 对 应 到 第 二 个 子 流 形 上 的 每 一 点 。 也 有 些 例 外 的情 形 , 它 们 相 当 重 要 , 在 此 略 过 。 这 样 , 流 形 上 点 的 位 置 , 便 可 化 简为 一 个 数 字 以 及 一 个 较 低 维 的 子 流 形 上 的 点 的 位 置 。 我 们 不 难 发 现 ,原 流 形 若 是 n 维 , 则 分 解 后 所 得 到 的 子 流 形 必 有 n − 1 维 , 这 个 过 程重 复 n 次 以 后 , 一 个 n 元 流 形 上 的 位 置 关 系 便 可 化 为 n 个 数 字 ; 任一 个 流 形 若 可 依 此 法 予 以 化 简 , 则 化 简 的 结 果 必 然 是 有 限 个 数 字 。 不过 也 有 些 较 特 殊 的 流 形 , 其 位 置 最 后 化 简 的 结 果 是 无 穷 列 或 连 续 体 。这 流 形 的 例 子 有 : 某 一 区 域 上 的 所 有 函 数 、 一 个 实 体 的 所 有 形 状 等等 。2 能 适 用 于 n 元 量 的 度 量 关 系 ( 假 设 线 的 长 度独 立 于 其 形 状 , 每 一 条 线 都 可 以 拿 另 一 条 线来 量 度 )在 建 立 了 n 元 流 形 的 观 念 , 并 将 其 中 位 置 决 定 问 题 转 化 成 为 数 值 决 定问 题 的 基 本 性 质 确 立 之 后 , 我 们 接 着 要 讨 论 第 二 个 问 题 , 亦 即 研 究 能 适 用于 流 形 的 度 量 关 系 , 及 决 定 这 些 关 系 的 条 件 。 这 些 度 量 关 系 只 能 以 抽 象 方式 表 示 , 而 它 们 之 间 的 关 连 只 能 藉 公 式 表 达 。 然 而 在 某 些 假 设 之 下 , 我 们可 以 把 它 们 化 成 能 独 立 地 以 几 何 方 式 表 现 的 关 系 , 也 因 而 可 以 将 数 量 运 算的 结 果 以 几 何 表 示 。 因 此 , 虽 然 无 法 完 全 避 免 抽 象 公 式 化 的 研 究 , 但 其 结果 可 用 几 何 方 式 表 出 。 这 两 个 部 分 的 基 础 见 于 枢 密 顾 问 高 斯 谈 曲 面 的 著 名论 文 中 。1. 测 量 , 需 要 先 让 量 独 立 于 位 置 而 存 在 ; 有 很 多 方 法 可 以 办 到 这 一点 。 这 正 是 我 在 此 所 要 提 出 的 假 说 , 亦 即 线 的 长 度 与 其 形 状 无 关 ,每 条 线 都 能 以 另 一 条 线 测 距 。 位 置 化 简 为 数 量 , 则 n 元 流 形 中 的点 的 位 置 可 用 x 1 , x 2 , x 3 直 到 x n 等 n 个 变 量 表 示 ; 如 此 , 则 只 要X (X = x 1 , x 2 , · · · , x n ) 能 表 为 参 数 t 的 函 数 , 便 能 定 出 直 线 。 所 以 我们 的 主 题 是 , 为 线 的 长 度 定 出 一 个 数 学 式 ; 为 此 , 所 有 的 X 要 有 共

同 的 单 位 。 我 要 在 某 些 特 定 条 件 的 限 制 下 处 理 这 个 问 题 。 首 先 我 要 规定 我 所 讨 论 的 线 , 其 dx i (x i 的 微 变 化 量 ) 间 的 比 值 呈 连 续 变 化 。 如此 , 我 们 可 以 把 线 分 割 成 许 多 小 段 的 「 线 元 素 」 (line element) , 使得 「 线 元 素 」 上 dx ( 即 dx 1 , dx 2 , dx 3 , · · · , dx n 间 ) 的 比 为 定 值 , 我 们 的问 题 则 是 , 如 何 为 每 一 点 找 出 一 个 ds 的 一 般 式 , 其 中 ds 必 须 以 x 和表 示 。 再 则 , 我 要 假 设 , 当 「 线 元 素 」 上 每 一 点 都 产 生 相 同 的 微 量移 动 时 ,「 线 元 素 」 的 长 度 ds 一 阶 不 变 ; 也 就 是 说 , 如 果 所 有 的 dx都 以 同 一 比 例 放 大 , 则 「 线 元 素 」 亦 以 该 比 例 放 大 。 在 这 些 假 设 之下 ,「 线 元 素 」 可 以 是 dx i 的 一 个 一 次 齐 次 函 数 , 其 中 dx i 全 变 号 时「 线 元 素 」 不 变 , 且 一 次 齐 次 式 的 系 数 都 是 x 的 函 数 。 举 一 个 最 简 单的 例 子 : 先 找 一 个 式 子 来 代 表 与 这 个 「 线 元 素 」 的 起 点 等 距 的 所 有点 所 形 成 的 n − 1 维 流 形 ; 亦 即 找 到 一 个 位 置 的 连 续 函 数 , 使 得 上述 各 等 距 n − 1 维 流 形 代 入 之 值 都 不 同 。 则 向 各 个 方 向 远 离 起 点 时 ,函 数 的 值 必 须 越 来 越 大 , 或 越 来 越 小 。 我 要 假 设 在 其 往 各 方 向 远 离起 点 时 , 函 数 值 越 来 越 大 , 而 在 起 点 产 生 最 小 值 。 因 此 函 数 的 一 次与 二 次 微 分 系 数 如 为 有 限 , 则 一 次 项 系 数 须 为 零 , 而 二 次 项 系 数 为非 负 ; 在 此 假 设 二 次 项 系 数 恒 正 。 当 ds 固 定 时 , 这 个 二 次 微 分 式 亦固 定 ; 当 ds 以 同 一 比 例 放 大 时 (dx 亦 然 ), 它 以 平 方 的 关 系 放 大 。 因此 , 它 等 于 ds 2 乘 以 一 个 常 数 , 而 ds 也 因 而 等 于 一 个 以 x 的 连 续 函数 为 系 数 的 dx 的 正 二 次 齐 次 式 的 方 根 。 在 物 理 空 间 中 , 如 用 直 角 坐标 , 则 ds = √ ∑ (dx)2 ; 物 理 空 间 是 我 们 这 个 「 最 简 单 的 例 子 」 中 的特 例 。 下 一 个 次 简 单 的 例 子 应 该 算 是 以 四 次 微 分 式 的 四 次 方 根 来 表示 线 元 的 流 形 了 。 研 究 这 种 更 一 般 的 情 形 并 不 需 要 新 的 原 理 , 然 而 非常 费 事 , 且 对 物 理 空 间 的 研 究 帮 助 不 多 , 特 别 是 因 为 其 结 果 无 法 以几 何 形 式 呈 现 。 我 因 此 只 打 算 研 究 「 线 元 素 」 能 表 为 二 次 微 分 式 方 根的 这 种 流 形 。 若 以 n 个 新 的 独 立 变 量 的 n 个 函 数 , 代 替 原 有 的 n 个函 数 , 则 可 将 原 来 的 式 子 转 换 成 一 个 类 似 的 式 子 。 然 而 我 们 并 不 能这 样 任 意 地 用 此 法 把 一 式 变 成 另 一 式 , 因 为 这 样 的 式 子 有 n(n + 1)/2个 系 数 是 独 立 变 量 的 任 意 函 数 . 引 进 新 变 量 时 只 能 满 足 n 个 条 件 , 因

此 只 能 将 n 个 系 数 的 值 求 出 。 还 剩 下 n(n + 1)/2 个 系 数 , 完 全 取 决于 所 代 表 的 流 形 , 而 需 要 n(n + 1)/2 个 位 置 函 数 来 定 出 它 的 度 量 关系 。 因 此 , 像 平 面 和 物 理 空 间 这 样 子 , 线 元 素 可 写 成√∑ (dx)2的 流形 , 构 成 了 一 种 特 殊 情 形 , 是 我 们 正 要 探 讨 的 。 他 们 需 要 一 个 名 称 ;因 此 我 想 把 这 种 线 元 素 平 方 能 以 全 微 分 平 方 和 之 式 子 表 示 的 流 形 叫做 「 平 」(flat) 的 流 形 。 为 了 分 析 上 述 流 形 的 主 要 差 别 , 必 须 除 去 依赖 于 表 现 方 式 的 那 些 特 性 。 为 了 达 到 这 一 点 , 我 们 要 依 据 一 定 的 原理 来 选 择 变 量 。2. 基 于 以 上 的 目 的 , 我 们 要 建 立 一 个 自 一 原 点 出 发 的 测 地 线 或 最 短 曲线 系 统 。 如 此 , 任 意 点 可 经 由 两 个 条 件 而 确 定 其 位 置 : 连 接 该 点 与 原点 的 最 短 曲 线 长 度 , 以 及 此 线 在 原 点 的 初 始 方 向 。 也 就 是 说 , 找 出dx 0 ( 起 始 点 上 沿 最 短 曲 线 的 dx ) 的 比 值 , 及 此 线 的 长 度 s, 就 可 得 所求 点 的 位 置 了 。 我 们 现 在 引 进 一 组 线 性 表 示 dα 来 代 替 dx 0 , 使 得 在原 点 线 元 素 的 平 方 等 于 这 些 dα i 的 平 方 和 , 因 此 独 立 变 量 便 成 了 s,以 及 诸 dα 的 比 。 最 后 , 找 x 1 , x 2 , x 3 , · · · , x n 使 其 与 dα i 成 正 比 , 且 平方 和 等 于 s 2 。 引 入 这 个 量 之 后 , 对 于 微 量 的 x , 线 元 素 的 平 方 会 等于∑ dx2i 。 但 它 的 展 式 中 的 下 一 级 则 是 一 个 有 n(n − 1)/2 项 的 二 次齐 次 式 : (x 1 dx 2 − x 2 dx 1 ), (x 1 dx 3 − x 3 dx 1 ), · · · , 形 成 了 一 个 四 次 的 微量 ; 我 们 若 将 它 除 以 (0, 0, 0, · · · ) ,(x 1 , x 2 , x 3 , · · · ) , (dx 1 , dx 2 , dx 3 , · · · )三 点 为 顶 点 的 三 角 形 的 平 方 , 将 得 到 一 个 有 限 值 。 此 值 在 和 同 属 一 个二 元 线 性 式 时 , 或 当 由 原 点 到 x 及 由 原 点 到 dx 这 两 条 线 属 同 一 面 元素 时 , 是 不 会 变 的 , 因 此 视 面 元 素 的 位 置 和 方 向 而 定 。 很 显 然 , 若 我们 的 流 行 是 「 平 」 的 , 它 会 等 于 0; 此 时 线 元 素 的 平 方 可 以 化 为∑ dx2i; 因 而 可 以 将 该 值 视 为 在 此 面 元 素 的 方 向 上 与 「 平 」 之 偏 差 的 一 个指 标 。 将 它 乘 以 −3/4, 则 便 成 了 枢 密 顾 问 高 斯 所 称 的 面 曲 率 。 先 前 提过 , 需 要 有 n(n − 1)/2 个 位 置 函 数 才 能 确 定 上 述 n 元 流 形 的 度 量 关系 。 因 此 , 每 点 若 给 定 n(n − 1)/2 个 面 方 向 的 曲 率 , 便 可 以 定 出 流形 的 度 量 关 系 ; 但 有 个 条 件 : 这 些 曲 率 值 之 间 不 能 有 恒 等 式 的 关 系 ,而 确 实 如 此 , 一 般 不 会 发 生 这 种 情 形 。 这 样 一 来 , 这 种 能 以 微 分 平 方

式 的 方 根 表 线 元 素 的 这 种 流 形 , 其 度 量 关 系 因 此 以 完 全 独 立 于 变 量的 选 择 表 示 。 我 们 也 可 以 用 同 样 的 方 法 处 理 一 种 线 元 素 表 现 的 稍 微复 杂 的 情 形 — 线 元 素 表 成 微 分 的 四 次 方 根 。 在 这 种 更 一 般 的 情 形 下 ,线 元 素 无 法 化 成 微 分 式 的 平 方 和 的 根 号 , 因 此 线 元 素 平 方 与 「 平 」 的偏 差 度 将 会 是 二 阶 的 微 量 , 而 非 如 其 他 流 形 是 四 阶 微 量 。 这 种 特 性 ,不 妨 叫 做 最 小 部 份 的 平 面 性 。 然 而 就 目 前 而 言 , 这 些 流 形 最 主 要 的特 性 , 也 是 我 们 之 所 以 要 加 以 研 究 的 原 因 , 是 二 维 流 形 的 度 量 关 系可 以 用 几 何 上 的 「 曲 面 」 来 代 表 , 而 多 元 流 形 的 度 量 关 系 可 以 化 为 自身 所 包 含 的 「 曲 面 」。 我 们 将 再 做 讨 论 。3. 在 曲 面 的 了 解 上 , 内 在 的 度 量 关 系 , 虽 然 只 和 曲 面 上 路 径 的 长 度 相关 , 却 往 往 和 曲 面 与 其 外 部 点 之 相 对 位 置 扯 上 关 系 。 然 而 我 们 可 以自 外 在 关 系 中 把 曲 面 抽 出 , 方 法 适 用 一 种 不 改 变 面 上 曲 线 长 度 的 弯曲 ; 亦 即 曲 面 只 能 加 以 弯 曲 , 而 不 能 伸 缩 , 因 弯 曲 而 产 生 的 各 种 曲 面都 视 为 相 同 。 因 此 , 任 何 的 圆 柱 面 和 圆 锥 面 和 平 面 是 相 同 的 , 因 为 只要 将 平 面 弯 曲 便 可 形 成 锥 和 柱 , 而 内 在 度 量 关 系 不 变 , 所 有 关 于 平面 的 定 理 — 整 个 平 面 几 何 学 , 都 仍 然 有 效 。 反 过 来 说 , 球 和 上 述 的 三种 面 则 根 本 上 不 同 , 因 为 由 球 面 变 成 平 面 势 必 要 伸 缩 。 根 据 前 面 的研 究 , 二 元 量 的 线 元 素 若 能 表 为 微 分 平 方 式 的 方 根 , 如 曲 面 , 则 其 每一 点 的 内 在 度 量 关 系 决 定 于 ( 面 ) 曲 率 。 就 曲 面 而 言 , 这 个 量 可 以 想象 成 曲 面 在 这 点 的 两 个 曲 率 积 ; 或 者 由 另 一 角 度 看 : 这 个 量 乘 以 一个 由 测 地 线 形 成 的 无 限 小 三 角 形 ( 随 着 其 直 径 的 缩 小 ), 会 等 于 内 角和 减 去 两 直 角 ( 用 弪 度 量 表 示 即 内 角 和 减 π) 的 一 半 。 第 一 个 定 义 预设 了 两 个 曲 率 积 在 曲 面 弯 曲 下 不 变 的 定 理 。 第 二 个 定 义 则 假 定 一 个无 限 小 三 角 形 , 其 内 角 和 减 去 两 直 角 会 正 比 于 面 积 。 为 了 在 n 元 流 形中 给 定 点 的 一 个 面 方 向 (surface direction) 上 , 替 曲 率 下 一 个 可 以 理解 的 定 义 , 我 们 先 提 过 , 发 自 一 点 的 最 短 曲 线 决 定 于 其 初 始 方 向 。 同理 , 如 果 将 所 有 起 自 一 点 而 处 在 面 元 上 的 向 量 延 长 成 最 短 曲 线 , 则可 定 出 曲 面 ; 而 这 曲 面 在 这 定 点 上 有 一 定 的 面 曲 率 , 此 面 曲 率 等 于此 点 的 n 元 流 形 沿 曲 面 方 向 的 曲 率 。

4. 把 这 些 结 果 应 用 到 空 间 几 何 上 之 前 , 我 们 还 需 要 对 「 平 」 的 流 形 ( 亦即 , 线 元 素 平 方 可 以 表 为 全 微 分 的 平 方 和 的 流 形 ) 做 一 些 通 盘 的 考虑 。 在 一 个 「 平 」 的 n 元 流 形 上 , 每 一 点 , 每 一 方 向 的 曲 率 皆 为 0;然 根 据 前 面 的 研 究 , 如 果 要 决 定 其 度 量 关 系 , 必 须 知 道 每 一 点 上 有个 独 立 曲 面 方 向 , 其 曲 率 为 0。 曲 率 处 处 为 0 的 流 形 , 可 以 看 成 是 曲 率处 处 为 定 值 的 流 形 的 一 种 特 例 。 曲 率 为 定 数 的 流 形 , 其 共 同 特 征 如下 : 其 上 的 图 形 可 移 动 而 不 必 伸 缩 。 很 显 然 , 每 一 点 为 每 一 方 向 的 曲率 如 果 不 全 相 同 , 图 形 便 无 法 自 由 地 平 移 、 旋 转 。 反 过 来 说 , 流 形 度量 的 性 质 完 全 由 曲 率 决 定 ; 因 此 在 任 一 点 的 每 个 方 向 上 的 值 与 在 另一 点 每 个 方 向 上 的 值 完 全 相 同 , 因 此 可 以 从 任 何 一 点 开 始 。 所 以 在曲 率 固 定 的 流 形 上 , 图 形 可 以 摆 在 任 何 位 置 。 这 些 流 形 的 度 量 关 系仅 决 定 于 曲 率 之 值 ; 顺 便 由 解 析 的 观 点 看 , 此 值 若 记 为 a, 则 线 元 素可 表 为√1 ∑(dx)1 + a 245. 常 曲 率 的 曲 面 可 用 来 做 几 何 的 例 证 。 我 们 不 难 看 出 , 常 曲 率 为 正 的曲 面 , 必 可 滚 贴 到 半 径 为 该 曲 率 倒 数 的 球 上 。 为 了 了 解 这 种 曲 面 的各 种 变 化 , 我 们 取 一 个 球 , 以 及 在 赤 道 与 球 相 切 的 旋 转 面 。常 曲 率 比 球 大 的 这 类 曲 面 , 会 从 球 的 内 部 与 赤 道 相 切 , 类 似 轮 胎 面的 外 侧 ; 它 们 也 可 以 滚 贴 上 半 径 较 小 的 球 带 , 但 可 能 不 止 一 层 。 曲 率比 球 小 , 而 仍 为 正 的 曲 面 , 可 由 下 面 的 方 法 得 到 : 用 两 个 大 半 圆 切 割较 大 半 径 的 球 面 , 再 把 切 割 线 贴 合 起 来 。 曲 率 为 0 的 曲 面 , 是 一 个 在赤 道 与 球 相 切 的 圆 柱 ; 若 曲 率 为 负 , 则 类 似 轮 胎 面 的 内 侧 , 在 赤 道 与球 外 切 。 如 果 把 这 些 曲 面 看 成 面 块 (pieces of surface) 在 其 中 移 动 的所 有 可 能 位 置 , 正 如 空 间 是 物 体 的 位 置 一 般 , 则 小 面 块 可 在 曲 面 上自 由 移 动 而 不 必 伸 缩 。 曲 率 为 正 的 曲 面 可 以 让 面 块 自 由 移 动 而 不 必弯 曲 , 如 球 面 , 但 曲 率 为 负 就 不 行 了 。 除 了 这 种 小 面 块 对 位 置 的 独 立性 之 外 , 在 曲 率 为 0 的 曲 面 中 , 有 一 种 其 他 曲 面 没 有 的 特 性 , 即 方 向独 立 于 位 置 。

3 物 理 空 间 中 的 应 用1. 研 究 了 n 元 量 的 度 量 关 系 的 决 定 方 式 之 后 , 我 们 可 以 给 出 决 定 物 理 空间 的 度 量 关 系 的 充 要 条 件 ; 但 大 前 提 是 , 先 假 设 线 长 是 独 立 于 其 形状 , 且 线 元 素 可 表 成 微 分 平 方 式 的 方 根 — 因 此 极 微 小 的 状 态 可 视 为「 平 」 的 。首 先 , 这 些 条 件 可 以 表 成 为 在 每 一 点 有 三 个 面 方 向 , 它 们 的 曲 率 为 0;因 此 , 只 要 三 角 形 三 内 角 和 等 于 两 直 角 , 物 理 空 间 的 度 量 关 系 便 确立 了 。但 其 次 , 如 果 我 们 跟 欧 几 里 德 一 样 , 假 设 不 止 线 独 立 于 形 状 , 而 体 亦然 , 则 结 果 将 是 曲 率 处 处 为 定 数 ; 而 知 道 一 个 三 角 形 的 内 角 和 , 便 知道 所 有 三 角 形 的 内 角 和 。第 三 , 也 是 最 后 , 与 其 假 设 线 的 长 度 独 立 于 位 置 、 方 向 , 亦 可 假 设 长度 与 方 向 独 立 于 位 置 。 基 于 这 个 观 念 , 位 置 的 差 或 变 化 , 是 用 三 个 独立 单 位 表 示 的 复 数 。2. 在 前 述 讨 论 中 , 我 们 先 将 延 展 性 (extension) 或 区 域 性 (regionality)的 观 念 和 度 量 关 系 分 开 , 然 后 发 现 同 一 个 延 展 关 系 下 可 以 容 许 不 同的 度 量 关 系 ; 我 们 选 择 了 一 套 特 殊 的 度 量 , 使 得 物 理 空 间 的 度 量 关系 得 以 由 此 确 定 , 而 所 有 相 关 的 定 理 可 由 此 推 得 。 接 下 来 要 讨 论 的是 , 这 些 假 设 的 产 生 , 是 如 何 依 赖 经 验 。 在 这 里 , 延 展 关 系 和 度 量 关系 差 别 就 大 了 : 前 述 第 一 种 情 形 的 可 能 状 态 是 离 散 的 , 其 得 自 经 验的 理 解 虽 未 必 完 全 确 定 , 却 是 准 确 的 ; 而 第 二 种 可 能 状 态 是 连 续 的 ,经 验 的 取 决 准 确 率 再 高 , 仍 是 不 准 的 。 这 种 分 别 , 在 将 经 验 扩 充 到 观察 所 不 能 及 的 大 范 围 和 小 范 围 时 , 会 特 别 重 要 , 后 者 会 在 观 察 能 力之 外 越 来 越 模 糊 , 但 前 者 不 会 。物 理 空 间 的 建 构 推 广 到 超 乎 量 度 之 大 时 , 注 意 「 无 界 」 与 「 无 限 」 之别 , 一 个 是 延 展 关 系 的 , 一 个 是 度 量 关 系 的 。 空 间 是 一 个 无 界 的 三元 流 形 这 件 事 , 是 一 个 被 用 于 所 有 的 对 外 在 世 界 的 理 解 的 一 个 假 设 。

扩 充 感 官 认 知 时 要 用 到 它 , 探 索 物 体 的 可 能 位 置 时 也 要 用 到 它 ; 从这 些 用 途 中 不 断 肯 定 这 个 假 设 。 空 闲 无 界 的 性 质 , 其 确 切 性 比 任 何一 种 外 在 的 经 验 都 强 , 但 无 限 性 却 无 法 由 此 得 到 ; 恰 恰 相 反 的 是 , 如果 假 设 物 体 独 立 于 位 置 , 因 而 给 定 一 个 固 定 的 正 曲 率 ( 不 管 多 小 都可 以 ), 则 物 理 空 间 必 属 有 限 。 如 果 在 一 个 曲 面 方 向 把 初 始 向 量 沿 长成 最 短 曲 线 , 可 以 得 到 一 个 正 常 曲 率 的 无 界 曲 面 , 因 而 该 曲 面 若 在平 的 三 元 流 形 内 , 必 为 一 球 面 , 因 而 是 有 限 的 。3. 超 测 度 之 大 的 问 题 , 对 处 理 自 然 界 现 象 是 没 有 用 的 。 但 超 测 度 之 小的 问 题 则 不 同 。 我 们 对 于 微 观 现 象 的 因 果 关 系 的 知 识 , 有 赖 于 我 们处 理 无 限 小 问 题 的 精 确 度 。 近 几 个 世 纪 , 人 类 对 于 自 然 界 运 作 方 式的 理 解 几 乎 全 来 自 建 构 的 精 确 性 , 这 种 精 确 性 来 自 无 限 量 分 析 的 发明 , 以 及 现 代 物 理 所 借 助 的 阿 基 米 得 、 牛 顿 、 珈 璃 略 等 人 的 原 理 。 相对 的 , 在 尚 无 法 运 用 这 种 原 理 的 自 然 科 学 中 , 它 的 因 果 关 系 仍 有 赖于 微 量 的 分 析 , 但 只 能 做 到 显 微 镜 的 放 大 极 限 为 止 。 因 此 , 物 理 空 间的 度 量 关 系 中 , 无 限 小 的 问 题 并 非 无 用 。我 们 若 假 设 物 体 独 立 于 位 置 而 存 在 , 则 曲 率 必 处 处 为 常 数 , 而 由 天文 观 测 中 可 知 , 这 个 常 数 不 能 非 0; 至 少 , 其 倒 数 必 大 到 使 望 远 镜 的观 测 范 围 变 得 微 不 足 道 。 但 如 果 物 体 不 独 立 于 位 置 而 存 在 , 则 无 限小 的 度 量 关 系 便 不 能 由 无 限 大 的 来 下 结 论 ; 每 一 点 的 曲 率 都 可 以 在三 个 方 向 自 由 变 动 , 只 要 满 足 空 间 中 每 一 个 可 测 量 的 部 分 的 总 曲 率显 然 是 0。 若 线 元 素 无 法 如 先 前 所 述 , 表 为 微 分 式 平 方 和 的 方 根 , 关系 会 变 得 更 复 杂 。 物 理 空 间 度 量 关 系 的 基 本 认 知 来 自 刚 体 和 光 束 的概 念 , 而 它 们 似 在 无 限 小 的 世 界 中 并 不 适 用 ; 因 此 可 以 相 当 肯 定 的认 为 , 物 理 空 间 中 的 度 量 关 系 , 在 无 限 小 的 时 侯 并 不 合 乎 几 何 学 的假 说 。 事 实 上 , 只 要 这 点 能 够 更 方 便 我 们 解 释 现 象 , 就 应 立 即 接 受 这个 假 设 。几 何 学 的 假 说 在 无 限 小 时 是 否 适 用 的 问 题 , 牵 涉 到 空 间 度 量 关 系 的基 础 。 关 于 此 问 题 ( 仍 属 物 理 空 间 的 研 究 ), 上 述 的 脚 注 是 适 用 的 ;

在 离 散 流 形 中 , 度 量 关 系 的 原 理 已 经 包 含 在 流 形 的 概 念 中 ; 但 在 连续 的 情 形 , 则 必 须 来 自 别 处 。 因 此 , 要 就 是 物 理 空 间 的 深 层 结 构 是 离散 流 形 , 要 不 就 是 其 度 量 关 系 的 基 础 必 须 自 外 界 寻 找 , 如 作 用 其 上的 束 缚 力 。要 回 答 这 些 问 题 , 必 须 从 现 象 的 理 解 出 发 , 理 解 这 些 经 验 所 认 可 的 现象 ; 牛 顿 打 下 了 它 的 基 础 , 并 一 步 步 用 其 所 无 法 解 释 的 现 象 加 以 修正 。 像 前 面 这 种 , 从 一 般 概 念 出 发 的 研 究 , 只 能 保 证 我 们 的 工 作 并 未受 狭 隘 的 观 念 所 限 , 传 统 的 偏 见 并 未 阻 碍 我 们 理 解 事 物 的 关 连 性 。这 就 把 我 们 带 进 了 另 一 个 领 域 ── 物 理 学 , 我 想 我 们 就 此 打 住 吧 !译 者 注这 篇 论 文 是 黎 曼 在 一 八 五 四 年 六 月 十 日 于 哥 廷 根 大 学 的 就 职 演 讲 。 原文 是 德 文 , 我 们 从 Spivak 的 《 微 分 几 何 》 第 二 册 上 的 英 译 翻 成 中 文 。论 文 阐 述 黎 曼 对 几 何 的 看 法 。 许 多 地 方 我 们 只 能 直 译 ,Spivak 似 乎 也了 解 这 篇 论 文 的 难 懂 之 处 , 因 此 特 别 在 英 译 文 之 后 加 了 「 数 学 的 」 批 注 。有 兴 趣 更 进 一 步 了 解 的 读 者 可 以 参 考 同 书 第 4B 章 〈What did Riemannsay?〉翻 成 中 文 后 , 我 们 曾 在 台 大 数 学 系 大 三 几 何 的 最 后 一 堂 中 宣 读 。 做 为学 了 一 年 曲 线 曲 面 论 的 总 结 。