Vejledende sæt 2 - Forside for harremoes.dk

Vejledende opgave 2
Matematik A
Højere handelseksamen
Efterår 2012

Prøven består af to delprøver.
Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres kl. 10.
Delprøven med hjælpemidler består af opgave 6 til 13C med i alt 18 spørgsmål.
De 23 spørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med
lige stor vægt.
I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.
I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.
Til eksamenssættet hører følgende fire datafiler:
husholdning
alder
afs-pris
maskindele

Opgave 1
Delprøven uden hjælpemidler
Kl. 9.00 – 10.00
2
En funktion f er givet ved forskriften f ( x)
= −6x
+ 12x
.
Funktionen har nulpunkter i x = 0
og 2 = x .
a) Bestem arealet af det grå område på figuren.
Opgave 2
a) Gør rede for, at funktionen
Opgave 3
2
f ( x)
= 5x
er en løsning til differentialligningen
Side 1 af 10 sider
dy
dx
Side 1 af 10 sider
y
= 2 ⋅ .
x
En virksomhed har anskaffet et nyt produktionsapparat. Produktionsapparatets værdi afskrives efter den
lineære metode, dvs. produktionsapparatets værdi falder med en fast størrelse hvert år.
Produktionsapparatets værdi V kan beskrives ved en lineær funktion med forskriften V ( x)
= ax + b ,
hvor V (x)
er produktionsapparatets værdi x år efter anskaffelsen. Anskaffelsesprisen er 000 000 1 kr.
og den årlige afskrivning er 200000
kr.
a) Bestem en forskrift for V (x)
, og bestem hvor lang tid der går, før produktionsapparatets værdi er
afskrevet til 400000
kr.
5
y
f
f
2
xx

Side 2 af 10 sider
Side 2 af 10 sider
Opgave 4
a) Tegn grafen for en funktion f , der opfylder følgende:
• f har nulpunkt i x = 1
• f ( −3)
= 9
• f ' ( −3)
= 0
Dm ( f ) = − 5;
5
Opgave 5
• [ ]
Bilag 1 kan benyttes.
En virksomhed producerer og afsætter en vare. Omkostningerne C (i 1000kr.) og omsætningen R
(i 1 000 kr.) ved produktionen kan beskrives ved funktionerne
C(
x)
= 2x
+ 5 , x ≥ 0
2
R ( x)
= −x
+ 8x
, 0 ≤ x ≤ 8
hvor x er afsætningen i tons.
Overskuddet P (i 1000 kr.) bestemmes ved
overskud = omsætning−
omkostninger
a) Bestem en forskrift for overskuddet P og bestem virksomhedens størst mulige overskud.
y
R
Besvarelsen afleveres kl. 10.00
P
C
x

Opgave 6
Delprøven med hjælpemidler
Kl. 9.00 – 13.00
Følgende to spørgsmål besvares uafhængigt af hinanden:
a) Undersøg, ved hjælp af et CAS-værktøj, om nedenstående udtryk er sandt.
a ⋅b
+ a ⋅ a
⋅(
a − b)
2
( b − a)
∫
3
= b
2
b) Integralet 2x
⋅ ln( x + 5)
dx
∫
2
2x
⋅ ln( x + 5)
dx
∫
3
− a ⋅b
2
er bestemt ved substitution.
Integralet der skal bestemmes.
Side 3 af 10 sider
Side 3 af 10 sider
= ln( t) dt
______________________________________________
= t ⋅ ln( t)
− t + K
______________________________________________
2
2
2
= ( x + 5)
⋅ ln( x + 5)
− ( x + 5)
+ K _____________________________________________

Side 4 af 10 sider
Side 4 af 10 sider
Opgave 7
I en undersøgelse har man spurgt 1406 danskere om deres syn på egen økonomiske situation.
Følgende spørgsmål blev stillet:
”Hvor let synes du, det er at få pengene til at slå til i husholdningen?”
De 1406 danskere er blevet grupperet efter deres arbejdsmæssige status. Nedenstående tabel viser et
udsnit af data, som findes i filen husholdning.
Arbejdsmæssig status Syn på egen økonomiske situation
Lønmodtager e. Meget svært
Selvstændig a. Meget let
: :
Pensionist e. Meget svært
a) Konstruér et skema som nedenstående, der indeholder data fra filen husholdning.
Arbejdsløs Lønmodtager Pensionist Selvstændig Studerende Total
a. Meget let
b. Let
c. Nogenlunde let
d. Lidt svært
e. Meget svært
Total 1406
Det ønskes undersøgt, om der er uafhængighed mellem arbejdsmæssig status og syn på egen
økonomiske situation.
b) Opstil en nulhypotese og en alternativ hypotese, og bestem de forventede værdier, når der antages
uafhængighed.
c) Kan det antages, med et signifikansniveau på 5%, at der er uafhængighed mellem arbejdsmæssig
status og syn på egen økonomiske situation?
Kilde: http://dst.dk/da/Statistik/emner/velfaerdsindikatorer/velfaerdsindikatorer.aspx

Opgave 8
Side 5 af 10 sider
Side 5 af 10 sider
Et analyseinstitut ønsker at få et overblik over aldersfordelingen af arbejdsløse i en kommune. Derfor
har instituttet lavet en undersøgelse den 1. januar 2011, hvor 224 arbejdsløses alder er blevet
registreret.
Tabellen viser et udsnit af data fra undersøgelsen den 1. januar 2011.
Samtlige data er gengivet i filen alder.
Aldersfordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske
deskriptorer, som f.eks.
gennemsnit
varians
standardafvigelse
median
kvartilsæt
typetal/typeinterval
Alder
63
22
49
:
33
26
a) Lav en grafisk præsentation af data og beskriv aldersfordelingen ved hjælp af 3 statistiske
deskriptorer.
En tilsvarende undersøgelse lavet 1. januar 2008 inden finanskrisen gav følgende statistiske deskriptorer:
Aldersfordeling af arbejdsløse
1. januar 2008
Gennemsnit
43 , 0
Nedre kvartil
36 , 2
Median
44 , 4
Øvre kvartil
53 , 9
Standardafvigelse 12 , 69
Varians
161 , 04
Minimum 15
Maksimum 64
35 ; 45
Antal 208
Typeinterval ] ]
b) Skriv en kort redegørelse til kommunen, hvor du præsenterer resultaterne fra undersøgelsen i 2011
og redegør for udviklingstendenser i de arbejdsløses aldersfordeling fra 2008 til 2011.
Kilde: www.statistikbanken.dk/AKU100

Side 6 af 10 sider
Side 6 af 10 sider
Opgave 9
En virksomhed producerer og sælger to typer handicaplifte, FLEXSTAIRS og UPLIFT.
Lad x angive antal FLEXSTAIRS og lad y angive antal UPLIFT.
Produktionen af de to lifte foregår i to afdelinger, produktionsafdelingen og testafdelingen.
Til både produktion og testning er der et begrænset antal timer pr. måned.
Det tager 20 timer at producere en FLEXSTAIRS og 15 timer at producere en UPLIFT. Samlet er der
300 timer i produktionsafdelingen pr. måned.
Der skal bruges 2 timer til at teste en FLEXSTAIRS og 4 timer til at teste en UPLIFT. Samlet er der
40 timer i testafdelingen pr. måned.
Ovenstående oplysninger er samlet i følgende skema:
Flexstairs Uplift Max tid
Produktion 20 15 300
Testning 2 4 40
Dækningsbidrag 10 000 10
000
Foto:http://www.liftup.dk/index.php?id=5,0,0,1,0,0
Det samlede dækningsbidrag ved en produktion af x antal FLEXSTAIRS og y antal UPLIFT
er givet ved funktionen f ( x,
y)
= 10000x
+ 10000y
.
a) Bestem det antal FLEXSTAIRS og det antal UPLIFT, virksomheden skal producere pr. måned for
at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag.
Virksomheden ser de største fremtidsmuligheder i produktion og salg af FLEXSTAIRS. Hvis
dækningsbidraget på FLEXSTAIRS stiger, overvejer virksomheden at stoppe produktionen af UPLIFT.
b) Bestem hvor meget dækningsbidraget på en FLEXSTAIRS mindst skal stige til, for at det bedst
kan betale sig for virksomheden udelukkende at producere FLEXSTAIRS.

Opgave 10
Side 7 af 10 sider
Side 7 af 10 sider
En virksomhed har observeret en sammenhæng mellem pris og afsætning på et af deres produkter.
Nedenstående tabel viser et udsnit af virksomhedens data. Samtlige data er gengivet i filen afs-pris.
Afsætning i stk. Pris i kr.
1500 120
1 100
140
2200 95
: :
600 180
Lad x angive afsætning i stk. og lad y = p(x)
angive prisen i kr. pr. stk.
Sammenhængen mellem afsætning i stk. og pris i kr. kan tilnærmelsesvis beskrives ved en
eksponentiel model
p( x)
= b⋅
a
x
a) Lav et xy -plot af data, der viser sammenhængen mellem afsætning og pris, og estimér modellens
parametre a og b .
Dækningsbidraget er givet ved
x
d(
x)
= 219,
36x
⋅ 0,
999638 −100x
b) Bestem d '( x)
og bestem den afsætning, der giver det størst mulige dækningsbidrag.
c) Bestem den pris p(x)
i kr. pr. stk., der giver det størst mulige dækningsbidrag.

Side 8 af 10 sider
Side 8 af 10 sider
Opgave 11
Figuren viser graferne for to funktioner f og g givet ved forskrifterne
3 2
f ( x)
= 0,
1x
− 4x
+ 15x
g(
x)
= 10⋅
ln( x)
, x > 0
a) Bestem monotoniforholdene for funktionen f .
Det grå område er afgrænset af graferne for f og g samt
x-aksen.
b) Bestem arealet af det grå område på figuren.
Opgave 12
y
f
f
g
2 4
Sammenhængen mellem en vares kg-pris, p (x)
og den mulige afsætning x (i tons) kan i
2 ; 6 beskrives ved differentialligningen
intervallet ] [
p ' ( x)
= − p(
x)
+ x
og opfylder p ( 4)
= 21.
a) Bestem forskriften for p (x)
.
b) Bestem afsætningen ved en kg-pris på 90.
120
80
40
pris
120
80
40
pris
2
p
p
2 4 4 6 6
x
afsætning afsætning

Side 9 af 10 sider
Af opgaverne 13A, 13B og 13C må kun den ene afleveres til bedømmelse.
Side 9 af 10 sider
Hvis flere opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave.
Opgave 13A
En virksomhed producerer to slags varer A og B . Lad x angive afsætningen i stk. pr. uge af vare A og
lad y angive afsætningen i stk. pr. uge af vare B .
Afsætningen er underlagt følgende betingelser:
10 ≤ x ≤ 100
0 ≤ y ≤ 60
Det samlede ugentlige dækningsbidrag kan bestemmes ved funktionen
2
2
DB( x,
y)
= −50x
+ 5000x
− 50y
+ 2000y
a) Gør rede for, at niveaukurven N ( 55000)
er en cirkel med centrum i punktet ( 50,
20)
.
b) Bestem det størst mulige samlede ugentlige dækningsbidrag.
Opgave 13B
Igennem en studietid på 36 måneder, startende den 1. august 2009, har Caroline fået udbetalt 2 755 kr.
pr. måned som studielån. Renten har gennem hele studietiden været 0 , 33%
pr. måned.
a) Bestem størrelsen af Carolines gæld den 1. august 2012.
Fra den 1. august 2012 er renten 0 , 15 % pr. måned. Caroline skal begynde tilbagebetalingen den
1. januar 2014. Gælden opgøres derfor den 1. december 2013 (dvs. efter 16 måneder).
b) Bestem størrelsen af Carolines gæld den 1. december 2013.

Side 10 af 10 sider
Side 10 af 10 sider
Opgave 13C
Virksomheden SHAREPART producerer små maskindele til industrien, bolte, skruer, beslag m.m.
Virksomheden laver jævnligt stikprøver af produktionen for at undersøge hvor mange enheder, der har
fejl. Antag at fejlprocenten er 10%.
a) Bestem sandsynligheden for, at der i en stikprøve på 120 enheder er fejl på mere end 13 enheder.
Nedenstående tabel viser et udsnit af data, som findes i filen maskindele, der viser resultatet af en
stikprøvekontrol på 120 enheder.
Stikprøve
Fejl
Ok
Ok
:
Ok
b) Estimér andelen af enheder med fejl i stikprøven og bestem et 95 % – konfidensinterval for
andelen af enheder med fejl.

Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

Bilag 1 til opgave 4.
Skole:
Hold:
Eksamensnr. Navn:
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -9 -8 -7 -7 -6 -6 -5 -5 -4 -3 -4 -2 -3 -1 -2 -1 1 2 3 1 4 2 5 63 7 4 8 5 9 6 7 8 9
-1 -1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
x

Bilag 2 til opgave 6.
Skole:
Hold:
Eksamensnr. Navn:
∫
2
2x
⋅ ln( x + 5)
dx
∫
Integralet der skal bestemmes.
= ln( t) dt
______________________________________________
= t ⋅ ln( t)
− t + K
______________________________________________
2
2
2
= ( x + 5)
⋅ ln( x + 5)
− ( x + 5)
+ K _____________________________________________