Opgaver til matrix algebra - Jesper Lund

FR86 Empirisk Finansiering (2002)
Opgaver til matrix algebra
Vejledende løsning
Opgave 1–1
Jesper Lund
mail@JesperLund.com
Vi har matricen
⎡
3 0
⎢
A = ⎣ 4 5
⎤
0
⎥
2 ⎦ (1)
3 1 8
1. Vi skal beregne determinanten af A vha. co-faktor expansion. Det nemmeste
er at vælge række 1 som udgangspunkt for dette, idet kun a11 = 0
|A| = 3 × (−1) 1+1 (5 × 8 − 2 × 1) = 3 × 38 = 114. (2)
2. Vi skal beregne A −1 vha. formel (25) i “Matrix Algebra med Excel.” For at
gøre dette skal vi beregne de 9 co-faktorer.
C11 = (−1) 1+1 (5 × 8 − 2 × 1) = 38
C12 = (−1) 1+2 (4 × 8 − 3 × 2) = −26
C13 = (−1) 1+3 (4 × 1 − 3 × 5) = −11
C21 = (−1) 2+1 (0 × 8 − 1 × 0) = 0
C22 = (−1) 2+2 (3 × 8 − 3 × 0) = 24
C23 = (−1) 2+3 (3 × 1 − 4 × 0) = −3
C31 = (−1) 3+1 (0 × 2 − 5 × 0) = 0
C32 = (−1) 3+2 (3 × 2 − 4 × 0) = −6
C33 = (−1) 3+3 (3 × 5 − 4 × 0) = 15
Vi ved at A−1 = {Cji}/|A|, dvs.
A = 1
⎡
38
⎢
⎣ −26
114
−11
0
24
−3
⎤
0
⎥
−6 ⎦
15
(3)
3. Se Excel regneark losning37.xls (kan downloades fra fagets hjemmeside(r),
og er emailet til dig sammen med dette løsning).
1

Opgave 1–2
I denne opgave er A 3 × 3 matricen ovenfor, mens B en 3 × 3 matrix givet ved
⎡
6
⎢
B = ⎣ 2
2
0
⎤
1
⎥
7 ⎦ (4)
8 2 8
1. Matrix produktet C = A ′ B giver
C = A ′ ⎡
3
⎢
B = ⎣ 0
4
5
⎤ ⎡
3 6
⎥ ⎢
1 ⎦ ⎣ 2
2
0
⎤
1
⎥
7 ⎦ =
0 2 8 8 2 8
⎡
⎢
⎣
50 12 55
18 2 43
68 16 78
⎤
⎥
⎦ (5)
Detaljer vedrørende beregningerne er udeladt her, men f.eks. er C11 = 3 × 6 +
4 × 2 + 3 × 8 = 18 + 8 + 24 = 50.
2. Vi skal bruge Excel’s funktion mdeterm til at beregne determinanten af matricen
C fra spørgsm˚al 2–1. Resultatet er, jf. losning37.xls, at |C| = 0, dvs.
matricen C er singulær (kan ikke inverteres).
3. Vi skal bestemme determinanten af B, og vi f˚ar det hint at det kan gøres uden
yderligere beregninger. Det skyldes at
|C| = |A ′ B| = |A ′ | · |B| = |A| · |B|, (6)
og da |A| = 0 mens |C| = 0, har vi |B| = 0, som er det ønskede svar.
4. Matricen B kan ikke inverteres da |B| = 0.
Opgave 1–3
Vi opstiller ligningssystemet p˚a matrix form
⎡
⎢
⎣
6
2
8
2
0
4
1
7
8
⎤ ⎡ ⎤
0 x1
0 ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ x2 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
0 ⎦ ⎣ x3 ⎦
1 2 0 −1
=
⎡
⎢
⎣
⎤
4
5 ⎥ ⇔ Ax = b
0 ⎦
(7)
1
x4
og beregne x = A−1b. Det gøres via Excel, se regnearket losning37.xls. Løsningen
er
⎡
⎢
x = ⎢
⎣
⎤
2.15
−4.5 ⎥
0.1 ⎦
−7.85
(8)
Opgave 1–4
Se Excel regneark losning37.xls.
2

Excel udskrift af losning37.xls
Opgave 1-1 Opgave 2-1
Matrix A: Matrix B:
3 0 0 6 2 1
4 5 2 2 0 7
3 1 8 8 2 8
Determinant: 1) Beregn C = A'B
114
50 12 55
Inverse matrix til A: 18 2 43
68 16 78
0.333333 0.000000 0.000000
-0.228070 0.210526 -0.052632 2) Beregning af det(C)
-0.096491 -0.026316 0.131579 det(C) = 0
Inv(A)*det(A) = transponeret matrix af co-faktorer NB: dette er præcist 0, men Excel
(laves alene for at checke manuelle beregninger) giver 1.0e-12 pga. afrundingsfejl
38 0 0
-26 24 -6
-11 -3 15

Opgave 1-3
Matricen A: Vektoren B:
6 2 1 0 4
2 0 7 0 5
8 4 8 0 0
1 2 0 -1 1
Løsning x = inv(A)*b
2.150
-4.500
0.100
-7.850

Opgave 1-3
Regressorer incl. konstantled X Forklarende variabel Y
1 2 3 7
1 5 6 14
1 4 2 5
1 2 1 4
1 -4 5 3
1 9 2 15
1 4 4 7
1 2 8 9
1 3 1 6
1 -1 2 1
Beregning af X'X Beregning af X'y
10 26 34 71
26 176 77 298
34 77 164 272
Regressionskoefficienter beta-hat = inv(X'X)*X'y
1.070496
1.140875
0.90095
Resultatet af at bruge Tools:Data Analysis findes nedenfor
SUMMARY OUTPUT
Regression Statistics
Multiple R 0.92633
R Square 0.858088
Adjusted R Square 0.817542
Standard Error 1.925607
Observations 10
ANOVA
df SS MS F Significance F
Regression 2 156.9443 78.47213 21.16315 0.001077
Residual 7 25.95573 3.707962
Total 9 182.9
Coefficients
Standard Error t Stat P-value Lower 95%Upper 95%Lower 95.0%Upper 95.0%
Intercept 1.070496 1.289218 0.830345 0.433746 -1.97802 4.119009 -1.97802 4.119009311
X Variable 11.140875 0.187284 6.091699 0.000495 0.69802 1.58373 0.69802 1.583729644
X Variable 2 0.90095 0.28028 3.214468 0.014766 0.238194 1.563705 0.238194 1.563705379