Resumé Der er i denne opgave designet kontinuerte og diskrete H2 ...

Resumé 

Der er i denne opgave designet kontinuerte og diskrete H2- og H∞-regulatorer 

til regulering af en destillationskolonne. Der er sat nogle krav som regulatorene 

gerne skulle overholde i form af oversving, stabilitet og stationær fejl. 

Det viste sig ikke at være muligt at overholde samtlige krav, da dette betød at 

systemet ville arbejde for hurtigt, hvorfor en kompromisløsning blev fundet. 

Generelt gav de kontinuerte regulatorer et bedre resultat end de diskrete. Idet 

der er arbejdet med en model med mange states er der ogs˚a foretaget modelreduktion 

af destillationskolonnen samt af de fundne regulatorer. Dette viste 

at det var muligt at reducere modellen betragteligt uden modellens opførsel 

afvigede meget fra det oprindelige system. 

Kristian Witt

Abstract 

The goal of this project is to design continuous and discrete H2- and H∞ 

controllers to control a destillation column. The controllers were designet 

to match some demands specified in the project with regards to overshoot, 

steady state error and stability. It was not possible to meet all the demands 

which meant that some compromises had to be made. Since the destillation 

column was of a high order a model reduction of the column and the controller 

were made. This showed that it was possible to reduce the models 

considerably without a great loss of performance compared to the unreduced 

system.

Indhold 

1 Introduktion 1 

2 Modelbeskrivelse 3 

3 Systemanalyse 6 

3.1 Linearisering af modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

3.1.1 Steprespons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

3.2 Poler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

3.3 Nulpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

3.4 Singulærværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

3.5 Sammenfatning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

4 Design af regulatorer 15 

4.1 Overordnet designformulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

4.2 Mixed-sensitivity regulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

4.3 Regulatordesign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

4.3.1 Enkelt tilbagekobling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

4.3.2 Fuld tilbagekobling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

4.4 Implementering i ulineært system . . . . . . . . . . . . . . . . 25 


5 Modelreduktion 33 

5.1 Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

5.1.1 Truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

5.1.2 Residualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

5.1.3 Balanced realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

5.1.4 Optimal Hankel Norm Approximation . . . . . . . . . 36 

5.2 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

5.2.1 Balanced Truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

5.2.2 Balanced Residualization . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

5.2.3 Optimal Hankel Norm Approximation . . . . . . . . . 39 

i

5.3 Sammenligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

5.4 Modelreduktion af regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

5.4.1 Reduktion af H2-regulator . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

5.4.2 Reduktion af H∞-regulator . . . . . . . . . . . . . . . . 47 


6 Diskrete regulatorer 52 

6.1 Diskretisering af de kontinuerte regulatorer . . . . . . . . . . . 52 

6.1.1 Diskret H2-regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

6.1.2 Diskret H∞-regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

6.2 Sample Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 


7 Konklusion 64 

A Linearisering 68 

A.1 Simulinkmodel til linearisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

B Regulering af den ulineære model 69 

ii

Figurer 

2.1 Model af kolonnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

3.1 Steprespons for den ulineære og den lineære model . . . . . . 7 

3.2 Polerne for systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

3.3 Singulærværdierne for systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

3.4 Inputretninger for systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

3.5 Outputretninger for systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

3.6 Inputretninger for systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

3.7 Outputretninger for systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

4.1 Overordnet designformulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

4.2 S / KS mixedsensitivity minimization i standard form . . . . . 17 

4.3 Bodeplot af de to vægte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

4.4 Simulinkmodel med enkel tilbagekobling. . . . . . . . . . . . . 19 

4.5 Polernes placering med enkelt tilbagekobling . . . . . . . . . . 20 

4.6 Enhedsstep for model med enkelt tilbagekobling. . . . . . . . . 21 

4.7 Enhedsstep for revideret design med enkelt tilbagekobling . . . 22 

4.8 Simulinkmodel med fuld tilbagekobling . . . . . . . . . . . . . 23 

4.9 Polernes placering med fuld tilbagekobling . . . . . . . . . . . 25 

4.10 Enhedsstep p˚a model med fuld tilbagekobling . . . . . . . . . 26 

4.11 Enhedsstep p˚a model med fuld tilbagekobling . . . . . . . . . 27 

4.12 yD-step ulineært system med H2-regulator . . . . . . . . . . . 28 

4.13 xB-step ulineært system med H2-regulator . . . . . . . . . . . 29 

4.14 yD-step ulineært system med H∞-regulator . . . . . . . . . . 30 

4.15 xB-step ulineært system med H∞-regulator . . . . . . . . . . 31 

5.1 Singulærværdier for balanced truncation . . . . . . . . . . . . 37 

5.2 Singulærværdier for G(s) − Ga(s) . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

5.3 Singulærværdier for balanced residualization . . . . . . . . . . 38 

5.4 Singulærværdier optimal Hankel-norm approx. . . . . . . . . . 39 

5.5 Steprespons for step p˚a L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

5.6 Steprespons for step p˚a V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

iii

5.7 Steprespons for step p˚a D med reducerede modeller . . . . . . 42 

5.8 Steprespons for step p˚a B med reducerede modeller . . . . . . 43 

5.9 SVD af fejlsystemet ved balanced truncation . . . . . . . . . . 45 

5.10 SVD af fejlsystemet ved balanced residualization . . . . . . . . 45 

5.11 SVD af fejlsystemet ved Optimal Hankel norm approximation 46 

5.12 Singulærværdier for de reducerede modeller . . . . . . . . . . 46 

5.13 SVD af fejlsystemet ved balanced truncation . . . . . . . . . . 47 

5.14 SVD af fejlsystemet ved balanced residualization . . . . . . . . 48 

5.15 SVD af fejlsystemet ved Optimal Hankel norm approximation 48 

5.16 Singulærværdier for de udvalgte reducerede modeller . . . . . 49 

5.17 Enhedsstep for reducerede modeller med H2-regulator . . . . . 50 

5.18 Enhedsstep for reducerede modeller med H∞-regulator . . . . 51 

6.1 Egenværdier for diskret H2-regulator . . . . . . . . . . . . . . 53 

6.2 Enhedsstep p˚a yD for diskret H2-regulator . . . . . . . . . . . 54 

6.3 Enhedsstep p˚a xB for diskret H2-regulator . . . . . . . . . . . 55 

6.4 Egenværdier for diskret H∞-regulator . . . . . . . . . . . . . . 56 

6.5 Enhedsstep p˚a yD for diskret H2-regulator . . . . . . . . . . . 57 

6.6 Enhedsstep p˚a xB for diskret H2-regulator . . . . . . . . . . . 58 

6.7 Bodeplot af de tre vægte for design af diskrete regulatorer . . 60 

6.8 Egenværdierne for sample data lukketsløjfesystemet. . . . . . 61 

6.9 Enhedsstep p˚a yD for sample data H∞-regulator. . . . . . . . 61 

6.10 Enhedsstep p˚a xB for sample data H∞-regulator. . . . . . . . 62 

A.1 Linearisering af ulineær model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

B.1 Regulering af ulineær model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

iv

Tabeller 

2.1 Steady state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

5.1 Difference for de 10 første Hankel singulær værdier . . . . . . 39 

v

Kapitel 1 

Introduktion 

Denne opgave omhandler design af regulatorer til en destillationskolonne. 

Forud for valget af destillationskolonnen var et ønske om at designe regulatorer 

til et system med et større antal states, s˚aledes at der kunne foretages 

modelreduktion af systemet. Idet destillationskolonnen har 82 states 

var denne en oplagt model at arbejde med. Ligeledes var det interessant at 

se p˚a de forskellige metoder for modelreduktion og hvordan det var muligt 

at reducere modellen. Dernæst vil det være oplagt at designe regulatorer 

til systemet af fuld orden og foretage modelreduktion p˚a regulatorerne med 

henblik p˚a at sammenligne disse med ovenst˚aende. Destillationskolonnen er 

brugt som eksempel i Sigurd Skogestad [1996] og det er muligt at hente en 

model af destillationskolonnen til Matlab p˚a nettet 1 . Derfor er denne model 

valgt, da der s˚a kunne fokuseres p˚a selve designet af regulatorer og ikke 

p˚a opbygning af en model. En beskrivelse af modellen kan ses under Kapitel 2. 

I første omgang vil en analyse af destillationskolonnen blive foretaget under 

3. Som udgangspunkt vil den ulineære model blive lineariseret for derefter 

at se, hvordan poler og nulpunkter ligger og derved hvordan man mest optimalt 

kan regulere den. Dette bruges i det efterfølgende design af regulatorer, 

der følger under 4, hvor selve designet af regulatorer bliver beskrevet. Som 

udgangspunkt er det H2- og H∞-regulatorer, der vil blive designet ud fra 

designkriterierne. For at undersøge hvorledes de designede regulatorer lever 

op til kravene sat i opgaven under Kapitel 2, vil simuleringer og analyse af 

de designede regulatorer blive foretaget. 

Dernæst følger under Kapitel 5 modelreduktion. I første omgang vil modelreduktion 

af destillationskolonnen blive foretaget, hvor det undersøges hvor 

1 http://www.nt.ntnu.no/users/skoge/book/matlab_m/cola/cola.html 

1

meget modellen kan reduceres og stadig holde sig indenfor en acceptabel 

afvigelse. Denne reducerede model bruges til det senere design af diskrete 

regulatorer. Derudover vil en modelreduktion af de designede H2- og H∞regulatorer 

blive foretaget med henblik p˚a sammenligning. Analyser skal vise 

hvordan og hvorledes disse modelreduktioner p˚avirker den reducerede model. 

Herefter følger design af diskrete regulatorer under 6. Der vil blive foretaget 

en diskretisering af de i forvejen fundne kontinuerte regulatorer, et direkte 

design af en diskret H∞-regulator og sammenligninger med de kontinuerte 

vil blive foretaget. 

Undervejs vil de designede regulatorer blive stillet op imod kravspecifikationerne 

for at se om de overholder kravene stillet under Kapitel 2. 

2

Kapitel 2 

Modelbeskrivelse 

Den model der arbejdes ud fra er en ikke-lineær kontinuert destillationskolonne. 

Kolonnen har 41 bunde og destillerer væsker ud til en renhed p˚a 

99 %. Fødevæsken tilføres kolonnen ved bund 21 talt nedefra. Forud for opbygning 

modellen er der taget følgende antagelser: - Fødevæsken best˚ar af 

en binær blanding. - Der vil under hele destillationen være konstant tryk 

samt konstant relativ flygtighed p˚a 1,5. - Der vil være ligevægt p˚a alle trin 

af destillationen og det er antaget at al gassen g˚ar p˚a væskeform. 

Modellen af destillationskolonnen er vist p˚a Figur 2.1 og har følgende 4 inputs: 

Figur 2.1: Model af kolonnen med de 4 input (L, V, D, B), 3 forstyrrelser (F, zF, 

qF) og output (yD, xB, MD, MB). 

• L - Reflux - Angiver hvor meget væske, der løber tilbage fra toppen af 

3

kolonnen m˚alt i kmol/min. 

• V - Boilup - Angiver hvor meget væske der løber tilbage i bunden af 

kolonnen m˚alt i kmol/min. 

• D - Destillate - Angiver hvor meget færdigdestillat af den mest flygtige 

væske der løber ud fra toppen af kolonnen m˚alt i kmol/min. 

• B - Bottom flow - Angiver hvor meget færdigdestillat af den mindst 

flygtige væske, der løber ud fra bunden af kolonnen m˚alt i kmol/min. 

Derudover er der 3 forstyrrelser: 

• F - Føderate - Angiver hvor hurtigt fødevæsken sendes ind i kolonnen 

m˚alt i kmol/min. 

• zF - Fødevæskesammensætning - Angiver sammensætningen af fødevæsken 

m˚alt i moldele [mol/mol]. 

• qF - Angiver hvor meget af fødevæsken der er p˚a flydende form m˚alt i 

mol/mol. 

Som output giver modellen følgende: 

• yD - Moldele af den letteste komponent i toppen (Renhed) m˚alt i 

mol/mol. 

• xB - Moldele af den letteste komponent i bunden (Renhed) m˚alt i 

mol/mol. 

• MD - Væskemængde der bliver tilbageholdt i toppen af kolonnen m˚alt 

i kmol. 

• MB - Væskemængde der bliver tilbageholdt i bunden af kolonnen m˚alt 

i kmol. 

og derudover f˚as mængden af væske tilbageholdt ved hvert af de 41 trin. 

Dette er de inputs og outputs der vil blive arbejdet med i det følgende. 

Modellen har 82 states, hvor state 1 angiver væskesammensætningen i reboilenen, 

x1 = XB, og herefter følger væskesammensætningen for de følgende 

bunde xi op til state 41, der angiver væskesammensætningen i toppen 

af kolonnen, x41 = xD. State 42 angiver væskemængden for bund 1, MD, og 

herefter følger væskemængden p˚a de øvrige bunde, Mi op til state 82, MD. 

4

Tabel 2.1: Steady state 

L V D B F zF qF 

2,71 3,21 0,5 0,5 1,0 0,5 1,0 

Idet MD og MB ikke er reguleret direkte i modellen giver dette to integratorer, 

hvilket ses under systemanalysen som følger under Kapitel 3. 

Kolonnen har følgende steady state værdier Skogestad: og opfører sig lineært 

omkring disse (op til step p˚a 1 %), hvorimod større steps giver et særdeles 

ulineært respons (step større end 10 %). Dette kan direkte forklare ved at 

væskesammensætningen xi altid skal ligge mellem 0 og 1, hvorfor væskesammensætningen 

i toppen af kolonnen, xD ikke kan forhøjes med mere end 0,01 

Skogestad. 

Designet af regulatorerne vil blive foretaget med henblik p˚a at overholde 

følgende krav til destillationen: - Der ønskes lukketsløjfe-stabilitet for alle 

design. - Et enhedsstep p˚a referencen af de to udgange yD og xB skal opfylde 

følgende: 

• yD(t) ≥ 0,9 for alle t ≥ 30 min 

• yD(t) ≤ 1,1 for alle t 

• 0,99 ≤ yD(∞) ≤ 1,01 

• xB(t) ≤ 0,5 for alle t 

• −0,01 ≤ xB(∞) ≤ 0,01 

Det er ud fra disse krav at regulatorerne vil blive designet. 

5

Kapitel 3 

Systemanalyse 

Denne del omhandler analyse af destillationskolonnen med henblik p˚a hvordan 

man bedst muligt finder en optimal regulator. Al analyse vil blive foretaget 

ud fra den lineære model af systemet og kan derfra overføres til den 

ulineære model. I første omgang vil den ulineære model af destillationskolonnen 

blive lineariseret, for derefter at foretage analyse af det lineære system. 

Der vil blive set p˚a systemets poler og nulpunkter, idet de har betydning 

for systemets opførsel og det er muligt at se hvor man skal lægge vægt p˚a 

regulering og hvor man ikke behøver at sætte s˚a meget ind. Dernæst vil 

singulærværdierne for systemet blive undersøgt, idet de ligeledes giver en indikation 

af systemets opførsel. Det er ud fra disse betragtninger at de efterfølgende 

regulatorer kan designes. 

3.1 Linearisering af modellen 

For at kunne designe regulatorer er det nødvendigt at have en model af kolonnen 

p˚a state space form (A,B,C,D). Derfor er den ulineære model lineariseret 

omkring steady state. Steady state for inputtet U0 er vist i Tabel 2.1 og for 

outputtet er disse fundet ved at simulere kolonnen til steady state. Idet MD 

og MB gav anledning til to integratorer for systemet er de i forbindelse med at 

finde steady state reguleret med to P-regulatorer med en forstærkning p˚a 10 

Skogestad. Herved kan en lineriseret model af kolonnen findes ud fra Simulink 

modellen, der kan ses p˚a Bilag A.1. Denne linearisering giver en state space 

model af systemet p˚a den ønskede form. Den lineære model sammenlignes 

nu med den ulineære for at se sammenhængen mellem disse. 

6

3.1.1 Steprespons 

Ved at foretage et steprespons p˚a b˚ade den lineære og ulineære model og 

sammenligne udgangssignalet fra begge kan det ses, hvordan de to modeller 

opfører sig i forhold til hinanden. Som beskrevet under Kapitel 2 er kolonnen 

kun lineær omkring et lille step fra steady state, hvorfor der kun er foretaget 

step p˚a 1 %. Et steprespons p˚a begge systemers L-indgang er vist p˚a Figur 

3.1 og det ses at de begge giver nogenlunde samme output og der er dermed 

sammenhæng mellem de to. Steprespons p˚a de øvrige indgange blev ogs˚a 

foretaget og de viste en sammenhæng lig den, der ses p˚a figuren. Herefter 

blev en analyse af systemet foretaget p˚a baggrund af den fundne state space 

model. 

Tilbageholdt væske [kmol] 

Moldele af den letteste komponent 

1 

−0.1 

−0.2 

x 10 −4 

yD 

Lineær 

Ikke−lineær 

0 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

0 

MD 

−0.3 

Lineær 


−0.4 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



1 

x 10 −4 

xB 

Lineær 


0 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

MB 

Lineær 


0 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 3.1: Steprespons for et lille step p˚a L for den ulineære og den lineære model 

af kolonnen. Som det ses er der stor sammenhæng mellem de to og 

lineariseringen er derfor sket efter hensigten 

7

3.2 Poler 

Ud fra state space modellen kan polerne for systemet findes direkte som egenværdierne 

for A-matricen. Af Teorem 4.3 i Sigurd Skogestad [1996] f˚as 

at systemet er stabilt, hvis samtlige poler ligger i den venstre halvplan og 

som det ses af Figur 3.2 er dette tilfældet. Der er dog to poler, der ligger i 

nul, hvorfor systemet er marginalt stabilt. Disse to poler kommer af de to 

integratorer fra MD og MB. 

Retningerne af polerne har ligeledes betydning for systemets opførsel. Disse 

Imag 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

−1 

−35 −30 −25 −20 −15 

Real 

−10 −5 0 

Figur 3.2: Polerne for systemet 

giver en indikation af hvor meget den i’te mode bliver eksiteret i hvert input 

og output Sigurd Skogestad [1996]. Disse kan findes ud fra singulærværdidekomposition 

af systemet og vil derfor blive forklaret under 3.4 

3.3 Nulpunkter 

Nulpunkterne for et system forst˚as ved at udgangen p˚a et system er nul 

selvom indgangen er forskellig fra nul. Et nulpunkt er direkte defineret som 

følgende Sigurd Skogestad [1996]: zi er et nulpunkt for G(s), hvis rangen er 

G(zi) er mindre end den normale rang af G(s). Retningerne af nulpunkterne 

har, ligesom for polerne, ogs˚a en indflydelse p˚a systemets opførsel. For et 

nulpunkt, zi, i G(s) vil der kunne findes vektorer uz og yz forskellige fra nul 

8

s˚aledes at G(z)uz = 0 · yz, hvor uz er defineret som inputretningen og yz er 

defineret som outputretningen. Outputretningen er generelt mere interessant 

idet den giver information omkring hvilke output der kan være svære at 

kontrollere. Nulpunkterne kan findes ud fra singulærværdidekomposition af 

systemet og vil blive forklaret nærmere herunder. 

3.4 Singulærværdier 

Ved at foretage en singulær-værdi-dekomposition, SVD, af systemet kan man 

f˚a nyttige oplysninger om systemet. For en fast frekvens ω kan ethvert system 

G(ω), der forst˚as som en konstant l × m kompleks matrice, opdeles til dets 

SVD efter følgende model: 

G(ω) = UΣV H 

(3.1) 

hvor Σ er en l × m matrice med singulærværdierne, σi, st˚aende i diagonalen 

rangeret efter højeste værdi. U er en l × l matrice med outputtets singulære 

vektorer, mens V er en m × m matrice med inputtets singulære vektorer. V 

angiver alts˚a inputrotationen mens U angiver outputrotationen. Hvis hver 

kolonnevektor i U betegnes ui og hver kolonnevektor i V betegnes vi kan 3.1 

omskrives til: 

Gvi = σiuu 

(3.2) 

Heraf ses at hvis systemet har et input med retningen vi er outputtet i retningen 

ui og forstærkningen f˚as af σi. 

Man kan alts˚a ud fra SVD finde den største og laveste forstærkning man 

kan f˚a gennem systemet angivet som henholdsvis ¯σ og σ. De dertil hørende 

retninger for outputtet og inputtet defineres tilsvarende til henholdsvis ū og 

¯v for den største forstærkning og u og v for den mindste. 

Det er denne egenskab der gør det muligt at finde retningerne for polerne 

og nulpunkterne ud fra SVD. For en pol pi giver en SVD G(pi) = UΣV H 

og heraf f˚as polens retning p˚a indgangen, upi som det første kolonne i U, og 

polens retning p˚a udgangen, ypi som den første kolonne i V. Det er samme 

egenskab man kan bruge til at finde nulpunkternes retning, idet man for et 

nulpunkt z kan foretage en SVD af G(z) = UΣV H , hvor uz f˚as som den sidste 

kolonne i U og yz f˚as som den sidste kolonne i V. 

Ud fra state space modellen kan systemets opførsel evalueres over en række 

frekvenser efter følgende: 

G(s) = C(sI − A) −1 B + D ⇔ G(jw) = C(jwI − A) −1 B + D (3.3) 

9

Ved at finde SVD af systemet for udvalgte frekvenser ud fra 3.3 kan det derfor 

undersøges hvordan SVD ændrer sig for disse frekvenser. Dette er gjort 

for frekvenser, som det antages at systemet kommer til at arbejde indenfor. 

Dette vil blive defineret nærmere under 4. SVD for disse frekvenser kan ses 

p˚a Figur 3.3. 

Det ses at den maximale forstærkning gennem systemet aftager jo længere 

10 6 

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −3 

10 −2 

10 −1 

Frekvens [rad/s] 

Største singulærværdi 

Mindste singulærværdi 

Figur 3.3: Singulærværdierne for systemet. Den bl˚a angiver den maximale singulærværdi, 

mens den røde angiver den mindste. De grønne derimellem 

angiver den næststørste ned til den næstmindste set oppefra. Som følge 

af at systemet er marginalt stabilt ses det at der er en ren integrator 

for den største singulærværdi. 

op i frekvens man kommer, hvorimod den minimale topper omkring 1 rad/s. 

Derudover ses det af den største singulærværdi at der er en ren integratoreffekt, 

hvilket stemmer overens med at systemet er marginalt stabilt. 

Som skrevet ovenfor kan det ogs˚a være interessant at se p˚a, hvordan inputog 

outputretningerne er for de viste singulærværdier. Derfor er SVD fundet 

for enkelte frekvenser af de i Figur 3.3 viste for at se hvordan retningerne 

ændrer sig. Ud fra (3.3) er systemmatricen fundet for disse frekvenser og 

inputog outputretningerne samt singulærværdierne. Idet de mest interessante 

retninger er dem der giver den største og mindste singulærværdi er 

10 

10 0 

10 1 

10 2

det derfor kun disse der er vist for frekvenserne. Derudover er de mest er 

systemet begrænset til kun at have 4 output, (yD,xB,MD, MB) idet det er 

disse der vil blive fokuseret p˚a. Inputretninger for den største forstærkning 

kan ses p˚a Figur 3.4. Det ses at retningerne er konstante indtil omkring 1 

rad/s, hvorefter der sker en drejning og V bliver dominerende. Overordnet 

set er det et forsøg p˚a at ændre samtlige input samtidig, der giver den største 

forstærkning, hvilket ogs˚a giver meget god mening ud fra en destillation. 

Outputretninger angiver hvordan systemet reagerer p˚a de inputretninger der 

Retning 

0 

−0.1 

−0.2 

−0.3 

−0.4 

−0.5 

−0.6 

−0.7 

10 −4 

10 −3 

10 −2 

10 −1 


Figur 3.4: Inputretningerne knyttet til den højeste singulærværdi. Retningerne 

holder sig konstante indtil 1 rad/s og er domineret af L, qF og V. Ved 

1 rad/s begynder retningerne at dreje og V bliver mere dominerende. 

er givet og kan ses p˚a Figur 3.5. Det ses ligeledes at disse er konstante til 

omkring 1 rad/s, hvilket man m˚a forvente, da der er en lineær sammenhæng 

mellem inputog outputretninger ud fra ligning (3.2). Figur 3.5 viser 

yderligere at det er MD og MB, der er er dominerende og yD og xB er meget 

tæt p˚a nul for alle frekvenser. Det blev ligeledes undersøgt hvordan retninger 

knyttet til den laveste singulærværdi opførte sig og inputretningen kan ses 

p˚a Figur 3.6. Her ses at retningerne holder sig nogenlunde konstante over det 

11 

10 0 

10 1 

L 

V 

D 

B 

F 

zF 

qF 

10 2

Retning 

0 

−0.1 

−0.2 

−0.3 

−0.4 

−0.5 

−0.6 

−0.7 

−0.8 

−0.9 

−1 

10 −4 

10 −3 

10 −2 

10 −1 


Figur 3.5: Outputretningerne for systemet knyttet til den højeste singulærværdi. 

Retningerne holder sig konstant indtil 1 rad/s og er domineret af MB 

og MD. Ved 1 rad/s begynder retningerne at dreje og domineres i 

højere grad af MD. 

12 

10 0 

10 1 

yD 

xB 

MD 

MB 

10 2

første frekvensomr˚ade i lighed med retningerne for den største singulærværdi. 

Der sker dog en drejning allerede omkring 0,1 rad/s. Yderligere bemærkes at 

qF har f˚aet modsat fortegn. De tilsvarende outputretninger ses p˚a Figur 3.7. 

Retning 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

10 −4 

L 

V 

D 

B 

F 

zF 

qF 

10 −3 

10 −2 

10 −1 


Figur 3.6: Inputretningerne for systemet knyttet til den laveste singulærværdi. 

Retningerne holder sig konstante indtil omkring 0,1 rad/s og er 

domineret af L og qF, der har modsat fortegn. Ved 0,1 rad/s begynder 

retningerne at dreje en smule, men L og qF holder nogenlunde samme 

værdi. 

Det ses at ovenst˚aende inputretning medfører at systemet prøver at ændre 

de to output yD og xB i hver sin retning. Derfor tager det meget arbejde 

for systemet at flytte sammensætningen p˚a hver blanding i hver sin retning, 

hvilket er det samme som at forsøge at f˚a en større renhed af begge væsker 

samtidig. Dette giver god mening ud fra en betragtning af en destillation. 

Det ses alts˚a at retningerne ikke ændres indtil omkring 1 rad/s. Derfor 

er det muligt at lade nogle input være konstante og regulere p˚a de øvrige 

input. Modellen vil derfor under Kapitel 4 blive reduceret til kun at have 4 

13 

10 0 

10 1 

10 2

Retning 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

−1 

10 −4 

10 −3 

10 −2 

10 −1 


Figur 3.7: Outputretningerne for systemet knyttet til den laveste singulærværdi. 

Retningerne holder sig konstant indtil 0,1 rad/s og er domineret af xB 

og yD. Ved 0,1 rad/s begynder retningerne at dreje og ender med at 

være fuldt domineret af yD. Det bemærkes yderligere at xB og yD har 

modsat fortegn. 

input og 4 output, hvorfor de 3 forstyrrelser er fjernet samt de 41 output, der 

angiver væskemængden for hver bund. Dette er gjort med henblik p˚a senere 

design af regulatorer. 

3.5 Sammenfatning 

Den ulineære model af systemet blev lineariseret og et enhedsstep for den 

ulineære model og den lineære model viste overensstemmelse ved sm˚a step. 

Et plot af polerne viste marginal stabilitet for systemet idet to poler l˚a p˚a 

den imaginære akse. Dette blev yderligere bekræftet i et SVD-plot over et 

frekvensomr˚ade, idet det viste en integratoreffekt som følge af de to poler. 

For udvalgte frekvenser blev inputog outputretninger fundet, der viste at 

retningerne holdt sig konstante indtil 1 rad/s, hvorefter de begyndte at dreje. 

Dette giver mulighed for at fravælge nogle input i reguleringen, hvorfor modellen 

senere vil blive reduceret til at have 4 input og 4 output. 

14 

10 0 

10 1 

yD 

xB 

MD 

MB 

10 2

Kapitel 4 

Design af regulatorer 

Efter de indledende analyser kan regulatorer nu designes. Designet af regulatorer 

vil alle være baseret p˚a H2- og H∞-regulering. De følgende design er 

alle bygget p˚a den lineære model af destillationskolonnen. I første omgang 

vil designet af en simpel regulator blive gennemg˚aet. Dette er sket for at 

undersøge hvorledes designet kommer til at se ud og hvordan systemet opfører 

sig. Efter dette vil designet af en regulator med fuld tilbagekobling blive 

gennemg˚aet. Dette skulle gerne vise sig at give en bedre regulering samlet 

set, da der ved enkelt tilbagekobling ikke bliver taget højde for udsving i de 

øvrige tre udgange. Sidstnævnte regulatordesign vil ligeledes blive afprøvet 

til at regulere den ulineære model af destillationskolonnen for at se hvorledes 

denne kan reguleres givet en regulator designet ud fra den lineære model. 

Dette skulle gerne i sidste ende give en regulator der kan regulere destillationskolonnen 

til at følge de krav der er stillet. 

4.1 Overordnet designformulering 

De to regulatorer der skal designes er H2- og H∞-regulatorer. Selvom der er 

forskel p˚a de to regulatorer bygger de begge p˚a et grundlæggende udgangspunkt. 

Givet en systemmatrice, P(s), der indeholder systemmodellen, vægtningen 

af de indbyrdes signaler samt disses forbindelser, skal der findes en regulator, 

K(s), der som input har styresignaler fra P, v, og som output giver 

styresignaler til P, u, som vist p˚a Figur 4.1. w angiver de udefrakommende 

signaler, som forstyrrelser og referencer, mens z angiver fejlsignaler, der skal 

minimeres. Med denne opbygning er lukket-sløjfe-overføringsfunktionen fra 

w til z givet ved Sigurd Skogestad [1996] 

z = Fl(P,K)w (4.1) 

15

Figur 4.1: Overordnet designformulering med P-matricen og regulatoren K. 

Design af H2- og H∞-regulatorer bygger p˚a minimering af hhv. H2- og H∞normen 

af (4.1). Dette giver anledning til forskellige løsninger til design. 

H2-normen forsøger at minimere rms-værdien af fejlen, z, ved at minimere 

singulærværdier for alle frekvenser, ||F(s)||2, mens H∞-normen minimere den 

største singulærværdi set over alle frekvenser, ||Fl(P,K)||∞. 

4.2 Mixed-sensitivity regulering 

Udgangspunktet for design af de to regulatorer er mixed-sensitivity regulering, 

der g˚ar ud p˚a at forme overføringsfunktionerne, hvor sensitivitetsfunktionen, 

S = (I+GK) −1 , bliver formet sammen med KS. S er overføringsfunktionen 

mellem forstyrrelsen, r, og outputtet, mens KS er overføringsfunktionen 

mellem r og styresignalerne, v. Idet man gerne vil minimere fejlen mellem 

referencen og modeloutputtet gøres dette ved at vægte sensitiviteten med et 

lavpasfilter med en b˚andbredde omkring det omr˚ade man gerne vil arbejde 

ved. Herefter findes en regulator, der minimerer ||W1S||∞. Dette begrænser 

kun fejlen, og lader regulatoren arbejde med fuldt styresignal, hvilket ikke 

er ønskværdigt i de fleste design og derfor ønskes en regulator, der minimere 

b˚ade fejl og styresignal: 

W1S 

 

 

(4.2) 

W2KS 

hvor W2 typisk er et højpasfilter med en krydsfrekvens, der ligger omkring 

krydsfrekvensen for lukket-sløjfe-b˚andbredden. Dette giver en designmodel 

16 

∞

som kan ses p˚a Figur 4.2. Ud fra de to vægte og systemmatricen findes P- 

Figur 4.2: S / KS mixedsensitivity minimization i standard form 

matricen, og det er ud fra den at regulatorerne bliver designet. 

Som udgangspunkt findes en værdi for vægtene ud fra de krav der er stillet 

til destillationen under Kapitel 2 og derefter ændre p˚a vægtene, hvis de ikke 

opfylder kravene. Som det er defineret under kravene til kolonnen ønskes stabilitet 

indenfor 30 minutter og man kan derfor begrænse styresignalet ud fra 

dette krav. Stabilitet indenfor 30 min giver en frekvens p˚a følgende: 

f = 

2 · π 

= 0,0035 rad/s (4.3) 

30 · 60s 

Idet W2 skal begrænse systemets styreomr˚ade er det oplagt at begrænse 

frekvenser over den i (4.3 fundne, hvorfor vægten er valgt til et højpasfilter 

med følgende overføringsfunktion: 

W2 = 

s + f 

s + 100 · f 

= s + 0,0035 

s + 0,35 

(4.4) 

W1 skal som skrevet begrænse fejlen mellem udgangssignalet fra kolonnen og 

referencen. Derfor er den valgt til et lavpasfilter med en b˚andbredde omkring 

den fundne frekvens i ligning (4.3). 

W1 = f 

s + f 

= 0,0035 

s + 0,0035 

(4.5) 

Dette giver derved to vægte, der begrænser henholdsvis styresignalet og fejlen 

og p˚a Figur 4.3 ses et bodeplot af de to vægte. Med disse to vægte kan Pmatricen 

findes som skrevet ovenfor og ud fra den kan et design af H2 og 

H∞-regulatorerne laves. Bemærk at det kun er vejledende vægte og at de 

17

Magnitude (dB) 

Phase (deg) 

0 

−10 

−20 

−30 

−40 

−50 

−60 

90 

45 

0 

−45 

10 −4 

−90 

10 −3 

Bodeplot af vægtene 

f=0,0035rad/s 

10 −2 

10 −1 

Frequency (rad/sec) 

Figur 4.3: Bodeplot af de to vægte 

vil blive optimeret efter kravene, som vil blive beskrevet herunder. Idet det 

lineariserede system havde poler p˚a den imaginære akse var det nødvendigt, 

for at kunne designe en regulator, at flytte polerne, s˚a de allesammen l˚a 

i den venstre halvplan. Derfor blev samtlige poler for den fremkomne Pmatrice 

flyttet 0,001 ind i den venstre halvplan. Dette vil ikke have den store 

indflydelse p˚a systemets opførsel, men muliggør design af regulatorer. Det 

skal bemærkes at dette kun er gjort for P-matricen. Polerne for den lineære 

destilationskolonne er holdt uændret. 

4.3 Regulatordesign 

Herunder følger design af regulatorer med enkelt og fuld tilbagekobling. De 

er designet ud fra den lineære model af destillationskolonnen. Kolonnen er 

ligeledes blevet reduceret til kun at have 4 input og 4 output, som forklaret 

under Kapitel 3. 

18 

10 0 

W1 

W2 

10 1

4.3.1 Enkelt tilbagekobling 

I første omgang blev regulatorer designet med kun et enkelt tilbagekoblet 

input fra kolonnen i form af xD som vist p˚a Figur 4.4. Dette blev forsøgt for 

at f˚a en fungerende regulator og undersøge hvorledes vægtene skulle vælges. 

Derfra kan disse vægte s˚a bruges til det senere design med fuld tilbagekobling 

som følger nedenfor. Ud fra denne model blev b˚ade en H2 og en H∞ regu- 

4 

4 

x’ = Ax+Bu 

y = Cx+Du 

Distillation 

column 

x’ = Ax+Bu 

y = Cx+Du 

Controller 

4 

ref 

Demux 

Demux 

Figur 4.4: Simulinkmodel med enkel tilbagekobling. 

lator designet med henblik p˚a at finde ud af om valgte vægte gav et lukketsløjfesystem, 

der overholdt de givne krav. Idet der kun er et enkelt output 

tilbagekoblet vil det kun være muligt at overholde kravene for yD, men ved 

at finde vægte ud fra kravene hertil gør dette det nemmere et overføre til et 

fuldt tilbagekoblet system. 

Polerne for lukketsløjfesystemet for begge regulatorerer er vist p˚a Figur 4.5 

og det ses at samtlige poler ligger i den venstre halvplan, hvorfor kravet 

om lukketsløjfestabilitet er opfyldt. For at teste de øvrige krav blev et enhedsstep 

foretaget p˚a referencen og et plot, der viser afvigelsen fra referencen 

(e = y − r), af de fire outputs kan ses p˚a Figur 4.6. Ud fra kravene skulle fejlen 

for yD gerne være under 0,01 og det ses at dette ikke er tilfældet. Derfor 

var det nødvendigt at presse regulatoren mere i forhold til fejlen. I forhold 

til fejlmargin p˚a systemet ses det at H∞-regulatoren giver en mindre fejl end 

H2-regulatoren. 

Det ses yderligere at der er en ustabilitet p˚a MD og MB, der bevæger sig 

mod henholdsvis −∞ og ∞. Dette strider imod kravene sat til regulatoren og 

til polernes placering, der viser at systemet gerne skulle være stabilt.˚arsagen 

hertil er at disse to outputs ikke bliver tilbagekoblet til regulatoren og derfor 

registreres denne ustabilitet ikke og der bliver derfor ikke taget højde for 

det. Dette vil forh˚abentlig blive løst ved at tilbagekoble samtlige fire outputs, 

19

Imag 

8 

6 

4 

2 

0 

−2 

−4 

−6 

H2 

Hinf 

−8 

−35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 

Real 

Figur 4.5: Polernes placering for H2 og H∞ regulator for model med enkelt 

tilbagekobling. Det ses at systemet er stabilt da alle poler befinder 

sig i den venstre halvplan. 

som det vil blive gjort under Sektion 4.3.2. Kravet om stabilitet indenfor 30 

minutter ses at være overholdt til en vis grad, da der som bekendt ikke er 

stabilitet for de to sidste output, men yD og xB stabiliserer sig indenfor 

grænsen. 

For et gøre fejlen p˚a yD mindre var det nødvendigt at presse regulatoren 

mere. Dette blev gjort ved at sænke knækfrekvensen p˚a W1, hvilket giver 

vægten er større integratoreffekt og dermed mindre fejl. Ved at forsøge sig 

frem viste det sig at knækfrekvensen skulle sænkes en del før en passende 

fejlmargin kunne opn˚as. Denne overholdt dog ikke helt kravene om de 0,01, 

hvorfor b˚andbredden blev forsøgt hævet for at presse regulatoren yderligere. 

Dette medførte yderligere at det var nødvendigt at hæve vægten p˚a styresignalet, 

da man ellers ville forsøge at f˚a regulatoren til at mindske fejlen 

indenfor et omr˚ade hvor man samtidig beder den om ikke at arbejde. 

Resultatet blev følgende værdier for vægtene. 

W2 = 

s + 3 · f 

s + 3 · 100 · f 

20 

= s + 0,0105 

s + 1,05 

(4.6)



0 

−0.1 

−0.2 

−0.3 

−0.4 

−0.5 

−0.6 

−0.7 

−0.8 

yD 

−0.9 


Hinf 

−1 

0 200 400 600 800 1000 

Tid [s] 

1200 1400 1600 1800 2000 

0 

−200 

−400 

−600 

−800 

−1000 

−1200 

−1400 

−1600 

−1800 

−2000 

0 200 400 600 800 1000 

Tid [s] 

1200 1400 1600 1800 2000 

MD 


Hinf 



1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

xB 

0 

0 200 400 600 800 1000 

Tid [s] 

1200 1400 1600 1800 2000 

2000 

1800 

1600 

1400 

1200 

1000 

800 

600 

400 

200 

MB 


Hinf 


Hinf 

0 

0 200 400 600 800 1000 

Tid [s] 

1200 1400 1600 1800 2000 

Figur 4.6: Enhedsstep for model med enkelt tilbagekobling. Kravene for stabilitet 

indenfor 30 minutter er overholdt, men fejlen er lidt større end kravet. 

21

Knækfrekvensen skulle som skrevet rykkes en del ned, hvorfor vægten p˚a 

fejlen blev fundet til: 

W1 = 

3 · f 

= 

s + f · 10−8 0,0105 

s + 3,5 · 10 −11 

(4.7) 

Det viste sig at det ikke kunne lade sig gøre at f˚a et system, der overholdt 

kravet omkring fejlmargin, samtidig med at systemet ikke m˚atte være for hurtigt 

regulerende. Det var muligt at komme under fejltolerancen, men dette 

medførte at vægten for styresignalet m˚atte flyttes flere dekader op i frekvens, 

og gav et system der stabiliserede sig indenfor meget kort tid, hvilket ikke 

var hensigten. Derfor var det nødvendigt at g˚a p˚a kompromis med fejlen i 

forhold til indsvingningstiden. Et plot af fejlen for yD med et enhedsstep 

p˚a referencen med de nye vægte ses p˚a Figur 4.7. Fejlen er ikke indenfor 

det ønskede, men er lige under 0,03 for H∞-regulatoren og 0,04 for H2regulatoren. 

Oversvinget ses ogs˚a at være indenfor kravene idet det for begge 

regulatorer holder sig under 0,1. 

Det var ud fra ovenst˚aende ikke muligt at designe en regulator med enkelt 


0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

yD 


Hinf 

−1 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 


0 

−0.01 

−0.02 

−0.03 

−0.04 

−0.05 

−0.06 

−0.07 

−0.08 

yD ved stabilitet 

−0.09 

−0.1 


Hinf 

1800 1850 1900 

Tid [s] 

1950 2000 

Figur 4.7: Enhedsstep for model med enkelt tilbagekobling og ændrede vægte. 

Venstre plot viser det fulde step, mens højre plot viser de to regulatorer 

ved stabil tilstand. Kravene for stabilitet indenfor 30 minutter 

og oversving under 0,1 er overholdt, men fejlen er lidt større end 0,01. 

tilbagekobling, der overholdt kravene. Dette var som skrevet ikke hensigten, 

da udgangspunktet ikke gav mulighed for dette, men det gav en god indsigt i 

hvordan vægtenene skulle designes, hvilket vil blive overført til designet med 

fuld tilbagekobling, som følger herunder. 

22

4.3.2 Fuld tilbagekobling 

Da en regulator med enkelt tilbagekobling gav ustabilitet for de to output 

MD og MB blev det forsøgt at designe en regulator med fuld tilbagekobling, 

hvor samtlige 4 output fra kolonnen blev brugt til reguleringen som vist p˚a 

Figur 4.8. 

Dette giver derudover mulighed for at vægte fejlsignalerne individuelt, hvilket 

ref 

ref 

x’ = Ax+Bu 

y = Cx+Du 

Distillation 

column 

Controller 

x’ = Ax+Bu 

y = Cx+Du 

Figur 4.8: Simulinkmodel med fuld tilbagekobling 

medfører at man istedet for at have den samme vægt, W1, for samtlige fire 

fejlsignaler kan bestemme en vægt for hver. Dermed kan de enkelte signaler 

vægtes h˚ardere end andre alt efter hvor meget betydning man vil tillægge 

dem i det samlede design. Idet der ikke er sat nogle krav til MD og MB, 

men der er lagt vægt p˚a at mindske den stationære fejl og et oversving indenfor 

0,01 for yD og 0,5 for xB, kan MD og MB vægtes mindre h˚ardt. Derfor 

er det valgt at have en mindre integratoreffekt p˚a disse to outputs, samt en 

mindre b˚andbredde, hvorfor denne er forskudt -20dB. Dette giver følgende 

vægte for de to signaler MD og MB: 

W13 = W14 = f/100 3,5 · 10−5 

= 

s + f/100 s + 3,5 · 10−5 (4.8) 

Idet en nøjagtig destillation ønskes samt minimalt oversving, er det dette 

der skal være baggrund for vægtningen af de to outputs yD og xB. Idet 

kravene er nogenlunde ens omkring fejlen ved stationær tilstand, men et 

større oversving for xB er accepterer er fejlen p˚a yD vægtet h˚ardere. Det 

viste sig at det var nødvendigt at presse systemet noget mere ved at forøge 

23

˚andbredden for begge vægte. Derfor er vægtene yD og xB for systemet med 

fuld tilbagekobling fundet til henholdsvis: 

W11 = 

W12 = 

f · 4 

= 

s + f · 10−8 f · 3 

= 

s + f · 10−8 0,014 

s + 3,5 · 10 −11 

0,0105 

s + 3,5 · 10 −11 

Den samlede vægtmatrice for fejlen f˚as derfor til: 

⎡ 

W11 

⎢ 

W1 = ⎢ 0 

⎣ 0 

0 

W12 

0 

0 

0 

W13 

0 

0 

0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

0 0 0 W14 

(4.9) 

(4.10) 

(4.11) 

Idet det var nødvendigt at forskyde b˚andbredden op i frekvens, blev vægten 

p˚a styresignalet forskudt tilsvarende og dette gav: 

W2 = 

s + 4 · f 

s + 4 · 100 · f 

= s + 0,014 

s + 1,4 

(4.12) 

Der blev ligeledes for denne model designet b˚ade en H2 og en H∞ regulator 

og som det ses af Figur 4.9 p˚a den følgende side giver dette et stabilt system 

for begge regulatorer, da samtlige poler ligger i den venstre halvplan. 

Fejlen p˚a output i forhold til referencen med et enhedsstep p˚a yD kan ses p˚a 

Figur 4.10. Som h˚abet har designet med fuld tilbagekobling løst problemet 

med ustabilitet for MD og MB. 

Igen var det nødvendigt at g˚a p˚a kompromis med afvigelsen p˚a fejlen i 

forhold til systemet hastighed, hvorfor samtlige krav ikke kunne overholdes. 

Det ses derfor at for begge regulatorer er fejlen større end de 0,01, med den 

mindste afvigelse for H∞-regulatoren. Kravet om oversving er overholdt for 

b˚ade yD og xB, idet det er mindre end henholdsvis 0,01 og 0,5. Systemet stabiliserer 

sig indenfor omkring 800 sekunder, hvilket er tilfredsstillende. Den 

stationære fejl for yD er −0,04 for H∞, men den er −0,07 for H2. Dette er 

som bekendt over de fastsatte krav, men er indenfor en acceptabel grænse 

og har som været nødvendigt for at f˚a et system, der ikke arbejder for hurtigt. 

Fejlen p˚a output i forhold til referencen med et enhedsstep p˚a xB kan ses 

p˚a Figur 4.11. Det ses at det for H∞- regulatoren er lykkedes at komme 

indenfor kravene med hensyn til fejl og oversving for yD p˚a henholdsvis 0,01 

24

Imag 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

−2 

−4 

−6 

−8 


Hinf 

−10 

−35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 

Real 

Figur 4.9: Polernes placering for H2 og H∞ regulator for model med fuld 

tilbagekobling. Da alle poler befinder sig i den venstre halvplan er 

systemet stabilt. 

og 0,5. Dette er dog ikke lykkedes for H2-regulatoren, der har et oversving 

omkring 0,25, mens den stationære fejl ligger p˚a 0,03. Dette er særdeles tæt 

p˚a de 0,01, hvorfor det m˚a ses som acceptabelt. Begge systemer n˚ar deres 

stationære tilstand lidt hurtigere ved step p˚a denne reference, hvilket ses at 

ske omkring 600 sekunder. Den stationære fejl xB ses at være mindst for 

H∞-regulatoren, der kommer p˚a 0,05, mens H2-regulatoren afviger med 0,07 

mod 0,01 givet i kravene. 

De designede regulatorer kan nu testes sammen med den ulineære model 

af destillationskolonnen, for at se hvorledes de er istand til at regulere dette. 

4.4 Implementering i ulineært system 

De ovenfor fundne regulator er designet for den lineære model, men da der 

arbejdes med de samme inputs og outputs i de to modeller vil det i det følgende 

undersøges hvorledes den fundne regulator kan regulere den ulineære 

model. Idet regulatorerne er designet til at have fire input og fire output, 

mens den ulineære model har yderligere tre forstyrrelser, er de sidstnævnte 

sat som konstante input til kolonnen. En Simulink model af den ulineære 

25



0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

yD 

−1 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

20 

0 

−20 

−40 

MD 


Hinf 


Hinf 

−60 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.6 

0.4 

0.2 

0 

xB 

−0.2 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

40 

30 

20 

10 

0 

MB 


Hinf 


Hinf 

−10 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 4.10: Enhedsstep for model med fuld tilbagekobling for et step p˚a yD. 

Oversvinget for xB er indenfor grænsen p˚a 0,5 for begge regulatorer, 

den stationære tilstand opn˚as ligeledes indenfor de 30 min. Deudover 

bemærkes at den stationære fejl er mindst for H∞-regulatoren. 

26



0.3 

0.2 

0.1 

0 

yD 

−0.1 

0 500 1000 

Tid [s] 

MD 

1500 2000 

20 

0 

−20 


Hinf 


Hinf 

−40 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

xB 

−1 

0 500 1000 

Tid [s] 

MB 

1500 2000 

40 

20 

0 


Hinf 


Hinf 

−20 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 4.11: Enhedsstep for model med fuld tilbagekobling for et step p˚a xB. 

Oversvinget for yD er indenfor grænsen p˚a 0,1 for H∞-regulatoren, 

men H2 svinger op omkring 0,25. Den stationære tilstand opn˚as indenfor 

30 min for begge. Deudover bemærkes at den stationære fejl 

er mindst for H∞-regulatoren. 

27

model sammen med regulatorer kan ses p˚a Bilag B. 

Som følge af den oprindelige models ulinearitet er det ikke muligt at foretage 

et enhedsstep p˚a 1 for referencen. Derfor er et step p˚a 0,01 foretaget for 

b˚ade den lineære og den ulineære model for at have fælles sammenligningsgrundlag. 

For yderligere at kunne sammenligne med de øvrige step er fejlen 

ganget med 100, hvilket giver samme reference som de ovenfor udførte step. 

Figur 4.12 viser et steprespons for et step p˚a 0,01 p˚a yD for den lineære og 

ulineære model med H2-regulator. 

Det ses at reguleringen af den ulineære model er d˚arligere end den lineære, 



0 

−0.5 

yD 

−1 


Lineær 

−1.5 

0 

20 

500 1000 

Tid [s] 

MD 

1500 2000 

0 

−20 

−40 


Lineær 

−60 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

xB 

0 

0 

40 

500 1000 

Tid [s] 

MB 

1500 2000 

20 


Lineær 

0 


Lineær 

−20 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 4.12: Plot af fejlen p˚a refereencen ved et step p˚a yD p˚a 0,01 for lineær 

og ulineær med H2-regulator. For sammenligning er outputtet multipliceret 

med 100. 

hvilket ogs˚a m˚a forventes. Den stationære tilstand opn˚as senere, men komme 

stadig indenfor grænsen p˚a de 30 minutter. For yD er der en lidt større 

afvigelse fra referencen p˚a omkring 0,2 mod kravet p˚a 0,01. For xB er oversvinget 

over de 0,5 defineret i kravene og afviger fra referencen med 0,2. Derfor over- 

28

holder reguleringen af den ulineære model kun kravet om stabilitet indenfor 

30 minutter for et step p˚a yD-referencen. P˚a Figur 4.13 ses fejlsignalet for et 

step p˚a xB-referencen. 

Her er situationen lige omvendt i forhold til ovenst˚aende. For xB er den 



0.3 

0.2 

0.1 

0 

yD 

−0.1 

0 

10 

500 1000 

Tid [s] 

MD 

1500 2000 

0 

−10 


Lineær 

−20 


Lineær 

−30 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.5 

0 

−0.5 

xB 

−1 

0 500 1000 

Tid [s] 

MB 

1500 2000 

40 

20 

0 


Lineær 


Lineær 

−20 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 4.13: Steprespons for et step p˚a xB p˚a 0,01 for lineær og ulineær med H2regulator. 

For sammenligning er outputtet multipliceret med 100. 

stationære fejl mindre for det ulineære system og det n˚ar sin stationære tilstand 

hurtigere. For yD er det ulineære system indenfor kravet om oversving 

under 0,2 og er meget tæt p˚a at opfylde kravet om at være indenfor 0,01 ved 

stabilitet, idet dette sker ved 0,015. For de to øvrige outputs ses at begge 

systemer følger hinanden nogenlunde ens. 

Et steprespons er ligeledes foretaget for H∞-regulatoren og et step p˚a yD 

kan ses p˚a Figur 4.14. Dette giver nogenlunde samme billede som for H2regulatoren. 

For yD er der stabilitet indenfor den ønskede grænse, men 

afvigelsen er større end det lineære og ogs˚a større end det ønskede i forhold 

til kravet. Der er ligeledes ikke noget oversving, hvorfor dette krav er over- 

29

holdt. For xB ses det at stabiliteten ikke helt n˚as indenfor grænsen, men til 

gengæld er oversvinget under de ønskede 0,5. 

For et step p˚a xB er situationen den samme som for H2-regulatoren. Her er 



0 

−0.5 

yD 

−1 


Lineær 

−1.5 

0 

20 

500 1000 

Tid [s] 

MD 

1500 2000 

0 

−20 

−40 


Lineær 

−60 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.6 

0.4 

0.2 

0 

xB 

−0.2 

0 500 1000 

Tid [s] 

MB 

1500 2000 

60 

40 

20 

0 


Lineær 


Lineær 

−20 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 4.14: Steprespons for et step p˚a yD p˚a 0,01 for lineær og ulineær med H∞regulator. 


der mindre fejl og mindre oversving for yD, hvilket ses p˚a Figur 4.15. For det 

lineære system er fejlen indenfor det ønskede 0,01 og oversvinget er ligeledes 

indenfor grænsen p˚a 0,1. For xB ses et lille oversving, der dog holder sig 

indenfor grænsen p˚a 0,5, mens fejlen ligger p˚a 0,1. I begge tilfælde er opn˚as 

stationær tilstand indenfor den ønskede grænse. 


For reguleringen af destillationskolonnen er der ovenfor forskellige designs 

til at løse dette. Ved betragtninger af steprespons viste disse design at H∞- 

30



0.1 

0.05 

0 

yD 

−0.05 


Lineær 

−0.1 

0 

20 

500 1000 

Tid [s] 

MD 

1500 2000 

0 

−20 


Lineær 

−40 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.5 

0 

0 

xB 

−0.5 


Lineær 

−1 

0 

40 

500 1000 

Tid [s] 

MB 

1500 2000 


Lineær 

20 

−20 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 4.15: Steprespons for et step p˚a xB p˚a 0,01 for lineær og ulineær med H∞regulator. 


31

egulatoren gav den bedste regulator ud fra de krav der blev stillet: Lukketsløjfestabilitet 

for alle design. - Et enhedsstep p˚a referencen af de to udgange yD 

og xB skal opfylde følgende: 

• yD(t) ≥ 0,9 for alle t ≥ 30 min 

• yD(t) ≤ 1,1 for alle t 

• 0,99 ≤ yD(∞) ≤ 1,01 

• xB(t) ≤ 0,5 for alle t 

• −0,01 ≤ xB(∞) ≤ 0,01 

Kravet om lukketsløjfestabilitet blev opfyldt for samtlige designs. Ligeledes 

lykkedes det at f˚a samtlige regulatorer til at n˚a en stationær værdi indenfor 

de 30 min. Det var dog ikke muligt at f˚a en regulator, der kunne klare 

samtlige krav der blev stillet, hvorfor der m˚attes g˚a p˚a kompromis med en 

større afvigelse p˚a fejlen i forholdt til hastigheden hvormed systemet stabiliserede 

sig, idet der er grænser for hvor hurtigt systemet kan arbejde. 

Det bedste resultat blev opn˚aet ved designet af regulatorer til systemet med 

fuld tilbagekobling. Kravet for oversving blev overholdt for et step p˚a yD 

og xB for H∞-regulatoren, hvorimod dette ikke var muligt at opn˚a med 

H2-regulatoren. Det var ikke muligt at opn˚a en stationær fejl, der opfyldte 

kravene fuldstændig, men det bedste resultat blev opn˚aet med H∞ med fuld 

tilbagekobling, idet den stationære fejl for yD var 0,04 og for xB var 0,02 

for et enhedsstep p˚a yD. Dette m˚a siges at være meget tæt p˚a det ønskede. 

For et step p˚a xB var er den stationære fejl for yD 0,005 og dermed indenfor 

kravet, men den var 0,05 for xB. Dette m˚a siges at være indenfor en acceptabel 

grænse. Denne H∞-regulator viste sig ligeledes bedst til at regulere af 

den ulineære model. Dog var det ikke muligt at f˚a samme performance for 

regulaering af den ulineære model, hvilket m˚a forventes. 

Idet der ikke er taget højde for de tre forstyrrelser ved designet af regulatorer 

til den ulineære model, vil dette selvfølgelig give en anden opførsel 

af det ulineære system. Dette kan bedst undg˚as ved at lade forstyrrelserne 

beholde deres steady state værdi, hvorfor den ulineære model ikke vil være 

s˚a berørt af disse. For at tage højde for dette kunne de tre forstyrrelser være 

taget med i designet af regulatorer, men dette er ikke gjort i denne opgave, 

32

Kapitel 5 

Modelreduktion 

Ved design af regulatorer med de beskrevne metoder vil man i de fleste tilfælde 

f˚a en regulator med samme orden som den model, der skal reguleres, og 

ved at inkludere vægte kan regulatorens orden endda blive større end modellens. 

Da modellen med vægte har 90 states har det været en del af opgaven 

at foretage en modelreduktion af destillationskolonnen for at f˚a en model 

med færre states at arbejde med. Dette bevirker at modellens nøjagtighed 

reduceres, som følge af de færre states, men giver derimod en model der er 

nemmere at arbejde med i design af diskrete regulatorer senere hen. 

I det følgende vil 3 forskellige modelreduktionsmetoder blive foretaget for 

b˚ade modellen og de i 4 fundne regulatore. Det undersøges, hvor meget modellen 

kan reduceres uden mærkbar forskel, og hvilken orden den kan reduceres 

til. De anvendte reduktionsmetoder er følgende: 

• Balanced residualization 

• Balanced truncation 

• Optimal Hankel norm approximation 

Der vil for samtlige modeller blive undersøgt hvorledes de reducerede modeller 

opfører sig i forhold til den oprindelige, En gennemgang af teorien bag af 

de nævnte reduktionsmetoder følger hvorefter en analyse af de reducerede 

modeller vil blive foretaget. 

5.1 Teori 

Teorien bag reduktionsmetoderne følger her og er taget fra Sigurd Skogestad 

[1996]. Som udgangspunkt betragtes en minimal realisering af systemet p˚a 

33

state space form (A,B,C,D) og state vektoren x, af dimension n, deles op i 

 

x1 

x2 

hvor x2, af dimension n−k, er de states der ønskes fjernet. Derved f˚as følgende 

state space ligninger: 

5.1.1 Truncation 

˙x1 = A11x1 + A12x2 + B1u (5.1) 

˙x2 = A21x1 + A22x2 + B2u (5.2) 

y = C1x1 + C2x2 + Du (5.3) 

Ved truncation f˚as en state space model ved (A11,B1,C1,D), hvor x2 er fjernet 

ud fra en rangering af de individuelle states baseret p˚a placering fra centrum 

i et koordinatsystem, hvor de hurtigste states er fjernet. 

En fordel ved denne metode er at polerne for den reducerede model er en 

delmængde af polerne for den fulde model og derfor beholdes deres fysiske 

forhold til modellen. Derudover er den reducerede og den oprindelige model 

ens ved uendelig frekvens, hvilket gør truncation til et oplagt valg, hvis man 

ønsker nøjagtighed omkring høje frekvenser. 

5.1.2 Residualization 

Ved residualization sættes ˙x2 = 0, og ved isolation i (5.2) og indsættelse i 

(5.1) og (5.3) f˚as følgende state space ligninger: 

˙x1 = (A11 − A12A −1 

22 A21)x1 + (B1 − A12A −1 

22 B2)u (5.4) 

y = (C1 − C2A −1 

22 A21)x1 + (D − C2A −1 

22 B2)u (5.5) 

En egenskab ved denne metode er at den statiske forstærkning er den samme 

for de b˚ade den reducerede og den oprindelige model. Dette skyldes at man 

ved residualization sætter de afledte til nul, som i forvejen er nul ved steady 

state. Dette st˚ar i kontrast til truncation der følger det oprindelige system 

bedre ved høje frekvenser. Derfor er denne metode ønskværdig hvis man vil 

have nøjagtighed ved lave frekvenser, hvorimod truncation er ønskværdig ved 

høje frekvenser. 

34

5.1.3 Balanced realizations 

Ved balanced realization ser man p˚a hvor meget hver enkelt state bidrager 

til systemet ud fra kontrol og observabilitet, hvilket findes ud fra Hankel 

singulærværdier σi. Størrelsen af hver σi er et m˚al for hvor meget staten xi 

bidrager til systemet. Ved at rangere σi efter størrelser f˚ar man derfor et m˚al 

for, hvor meget hver enkelt state bidrager til den samlede opførsel af systemet. 

For en balanced realization af systemet (A,B,C,D) og de tilhørende Hankel 

singulær værdier kan state space modellen skrives som følger: 

 

A11 A12 B1 

A = , B = , C = 

A21 A22 

 

C1 C2 (5.6) 

B2 

 

Σ1 0 

Σ = 

0 Σ2 

hvor Σ1 = diag(σ1, σ2,...,σk), Σ2 = diag(σk+1, σk+2,...,σn) og σk > σk+1. 

Dette bliver brugt i de følgende to reduceringsmetoder. 

Balanced Truncation 

 

(5.7) 

Ved balanced truncation fjerner man simpelthen de states der har mindst 

betydning for systemet ud fra σi, dvs Σ2, og f˚ar derved en reduceret model 

ved (A11,B1,C1,D). 

Balanced Residualization 

Ved balanced residualization sætter man istedet de afledte af de states der 

svarer til Σ2 lig nul og løser for de øvrige states som det blev gjort under 5.1.2. 

En metode til at vælge k for balanced realizations f˚as af Teorem 11.1 Sigurd Skogestad 

[1996] der siger, at for et system G(s) og dets reducerede system G k a (s) 

fremkommet ved balanced truncation eller balanced residualization af de 

første k states f˚as: 

||G(s) − G k a(s)||∞ ≤ 2(σk+1 + σk+2 + ... + σN) (5.8) 

Det ses alts˚a at k kan vælges ud fra hvor stor man vil acceptere at H∞normen 

af G(s) −Gk a (s) bliver. Dette er ogs˚a kendt som 2 gange ”summen af 

halen” 1 idet man f˚ar værdien ved at summere singulærværdierne for de states 

1 Beskrevet i Sigurd Skogestad [1996] som twice the ”sum of the tail” 

35

man fravælger ”halen”. Denne værdi skal sammenlignes med H∞-normen af 

G(s), for at se hvor stor en afvigelse man vil tillade. 

5.1.4 Optimal Hankel Norm Approximation 

For denne metode ønskes en k’te ordens model Gk h (s) af et system af n’te 

orden G(s) fundet ved at minimere Hankel normen af fejlen mellem de to 

systemer: ||G(s) − Gk h (s)||H. 

5.2 Analyse 

Ovenst˚aende modelreduktionsmetoder blev foretaget p˚a det oprindelige system 

fundet ved linearisering under Kapitel 3. Ud fra singulærværdierne og 

steprespons for den reducerede model i forhold til den oprindelige blev det 

afgjort, hvor nøjagtig den reducerede model passede til den oprindelige og 

dermed hvilken metode, der havde mindst afvigelse og dermed var bedst 

egnet til reduktion af destilaltionskolonnen. 

5.2.1 Balanced Truncation 

Ved balanced truncation skal reduktionsordenen, k, vælges ud fra ”2 gange 

summen af halen”, hvorfor Hankel singulærværdierne er fundet. Heraf f˚as 

at modellen skal reduceres til 6 states. Dette giver en H∞-norm af G(s) − 

G(s)a p˚a 0,54 for balanced truncation og balanced residualization. Denne 

skal sammenlignes for H∞-normen for fuldordenssystemet, der af (A.135) 

i Sigurd Skogestad [1996] er givet ved den største singulær værdi. Den er 

tidligere fundet til 2746 og dette er derfor acceptabelt. 

Figur 5.1 viser singulærværdierne for den reducerede model ved balanced 

truncation, Ga(s), og for modellen med fuld orden, G(s), og det ses at den 

reducerede model ikke følger helt med for de lave singulærværdier, men følger 

de høje singulærværdier pænt. Det ses ikke tydeligt p˚a denne figur, men ser 

man p˚a Figur 5.2, der viser et plot af singulærværdierne for G(s) −Ga(s) ses 

det at der er nogen afvigelse for de lave frekvenser, mens afvigelsen aftager 

for de højere frekvenser. Dette stemmer overens med det forventede ud fra 

sektion 5.1.2. Idet b˚andbredden af lukket-sløjfesystemet er 0,036 rad/s er 

man interesseret i at have mest mulig nøjagtighed omkring denne frekvens, 

hvilket ses ikke at være tilfældet for balanced truncation. Det er muligt at 

skalere den reducerede model til at være mere nøjagtig omkring steady state, 

men det er ikke blevet foretaget i denne opgave. 

36

10 6 

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −4 

10 −6 


10 −2 


Reduceret model 

Fuld−ordens model 

Figur 5.1: Singulærværdierne for fuld-ordensmodel og reduceret model med balanced 

truncation. Det ses at der ikke er fuld overensstemmelse for alle 

singulærværdier. 

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −3 

10 −2 

10 −1 


10 0 

Balanced truncation 

Balanced residualization 

Optimal Hankel−norm approx. 

Figur 5.2: Singulærværdierne for G(s)−Ga(s) med balanced truncation og residualization 

samt Optimal Hankel-norm approx. Det ses at balanced 

residualization har mindst afvigelse ved de lave frekvenser, hvorimod 

balanced truncation er bedre ved høje frekvenser. 

37 

10 0 

10 1 

10 2 

10 2

5.2.2 Balanced Residualization 

Med samme reduktionsorden som fundet ovenfor er en reduceret model af 

destillationskolonnen fundet ved balanced residualization og et plot af singulærværdierne 

kan ses p˚a Figur 5.3. Det ses at det reducerede system pass- 

10 6 

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −3 


10 −2 

10 −1 


10 0 



Figur 5.3: Singulærværdierne for fuld-ordensmodel og reduceret model med balanced 

residualization. Det ses at der meget god overensstemmelse ved 

de lave frekvenser, mens der er tydelig afvigelse ved de høje. 

er utrolig godt overens ved de lave frekvenser, men afviger n˚ar der bevæges 

mod de høje frekvenser. Dette stemmer igen overens med det forventede idet 

balanced residualization beholder samme steady state forstærkning som det 

oprindelige system. 

Ved at se p˚a hvor meget det reducerede system afviger fra det oprindelige 

p˚a Figur 5.2 bemærkes at der er meget lille afvigelse for de lave frekvenser. 

Især omkring b˚andbredden af lukketsløjfesystemet er der meget lille afvigelse, 

hvorfor denne reduktionsmetode er meget ideel til reduktion af dette system. 

38 

10 1 

10 2

5.2.3 Optimal Hankel Norm Approximation 

N˚ar man skal bestemme, hvor meget modellen skal reduceres ved optimal 

Hankel norm approximation er der en tommelfingerregel, der siger at man skal 

se efter store mellemrum mellem Hankel singulærværdierne [Sigurd Skogestad 

[1996]]. Det vil sige at man ser p˚a forskellen mellem to p˚a hinanden følgende 

σk 

singulærværdier: . Disse er fundet for de første 10 og kan ses i Tabel 5.1. 

σk+1 

Ud fra tommelfingerreglen ses det at reducerede modeller for k lig med 5, 6, 

Tabel 5.1: Difference for de 10 første Hankel singulær værdier 

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

0 ∞ 64.11 1.23 4.00 2.08 1.30 1.94 1.22 1.10 

σk 

σk+1 

og 8 er attraktive. For nemmere sammenlignelighed med de øvrige to reduceringsmetoder 

er k valgt til 6. Af Figur 5.4 ses det at der for alle frekvenser er 

en del afvigelse fra den reducerede model og fuldordensmodellen, hvilket ogs˚a 

ses af Figur 5.2. Afvigelsen er størst for de lave frekvenser, mens den bliver 

mindre for de højere frekvenser set i forhold til balanced residualization. En 

10 6 

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −3 

Optimal Hankel−norm approximation 

10 −2 

10 −1 


10 0 



Figur 5.4: Singulærværdier for det med optimal Hankel-norm approx. reducerede 

system. Det ses at der er en del afvigelse p˚a de to modeller. 

39 

10 1 

10 2

skalering af den reducerede model til en større nøjagtighed omkring steady 

state er mulig, men dette er ikke foretaget i denne opgave. 

5.3 Sammenligning 

I det foreg˚aende er forskellige reduktionsmetoder til modelreduktion afprøvet 

og balanced residualization viste sig at være den bedste til dette form˚al set 

ud fra afvigelsen p˚a fejlsystemet. For at understøtte dette er der foretaget 

steprespons for de 4 input og de reducerede modeller er sammenlignet med 

fuldordensmodellen. Et steprespons p˚a L, V, D og B kan ses p˚a henholdsvis 

Figur 5.5, 5.6, 5.7 og 5.8. 

For alle 4 steprespons ses det at balanced residualization følger fuldordens- 



0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

−0.05 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

0 

−100 

−200 

−300 

−400 

−500 

yD 

Fuldorden 



Optimal Hankel norm 

MD 

Fuldorden 




−600 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

−0.05 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

−100 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

xB 

Fuldorden 




MB 

Fuldorden 




Figur 5.5: Steprespons for step p˚a L med reducerede modeller. Balanced residualization 

følger systemet meget godt, mens der er stor afvigelse for de 

øvrige reduceringsmetoder. 

modellen meget præcist. For step p˚a L bemærkes det yderligere at de to 

øvrige reduktionsmetoder, balanced truncation og Optimal Hankel noram 

40

approximation afviger i stor grad fra systemet med fuld orden. 

For et steprespons p˚a V ses det p˚a Figur 5.6 at samtlige reducerede modeller 



−0.5 

−1 

−1.5 

x 10−3 

0 

yD 

−2 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

Fuldorden 




MD 

Fuldorden 




0 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



−0.5 

−1 

−1.5 

−2 

x 10−3 

0 

−2.5 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

0 

−0.5 

−1 

−1.5 

−2 

−2.5 

−3 

−3.5 

−4 

−4.5 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

xB 

Fuldorden 




MB 

Fuldorden 




Figur 5.6: Steprespons for step p˚a V med reducerede modeller. Det ses at samtlige 

reducerede modeller følger den oprindelige meget præcist. 

følger den oprindelige. Et step p˚a D og B ses at have meget lille effekt p˚a 

systemet, men de reducerede modeller følger stadig responset. 

5.4 Modelreduktion af regulator 

Ligesom modellen kan reduceres er det ogs˚a muligt at lave modelreduktion af 

de under Kapitel 4 fundne regulatorer. Dette vil blive gjort herunder. Efter 

reducering vil et enhedstep blive foretaget for lukketsløjfesystemet og sammenlignet. 

Som sammenligningsgrundlag er fuldordenslukketsløjfesystemet 

valgt. Hermed er det hensigten at undersøge om der er forskel p˚a design 

af regulator ud fra et reduceret system i forhold til reducering af regulator 

designet ud fra fuldt system. Regulatorerne vil blive forsøgt reduceret med 

41



x 10−16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

yD 

−2 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

0 

−0.1 

−0.2 

−0.3 

−0.4 

Fuldorden 




MD 

Fuldorden 




−0.5 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



3 

2 

1 

0 

−1 

x 10−16 

4 

xB 

−2 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

1 

0 

−1 

−2 

−3 

x 10−16 

2 

Fuldorden 




MB 

Fuldorden 




−4 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 5.7: Steprespons for step p˚a D med reducerede modeller 

42



2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

x 10−16 

3 

0 

yD 

−0.5 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

x 10−16 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

Fuldorden 




MD 

Fuldorden 




−0.5 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.1 

0.05 

0 

−0.05 

−0.1 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

0 

−0.5 

−1 

−1.5 

−2 

−2.5 

−3 

−3.5 

xB 

Fuldorden 




MB 

Fuldorden 




−4 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 5.8: Steprespons for step p˚a B med reducerede modeller 

43

alanced truncation, balanced residualization og Optimal Hankel norm approximation, 

som det var tilfældet for destillationskolonnen. Det undersøges, 

hvilken reduceringsmotode der er bedst egnet til dette form˚al. 

5.4.1 Reduktion af H2-regulator 

Valget af states som regulatoren skal reduceres til skal igen findes ud fra ”2 

gange summen af halen”. Heraf f˚as at regulatoren skal reduceres til 6 states. 

Dette giver en H∞-norm af H2(s) − H2(s)a p˚a 0,42 for balanced truncation 

og balanced residualization. Denne skal sammenlignes for H∞-normen for 

fuldordenssystemet, der er 563 og derfor er det en acceptabel afvigelse. For 

Optimal Hankel norm approximation giver ”summen af halen” 0,21, hvilket 

ogs˚a er acceptabelt. Regulatoren blev reduceret ud fra ovenst˚aende 3 metoder 

og et SVD-plot blev lavet for de reducerede modeller sammen med fuldordensregulatoren, 

for at se hvordan den reducerede model fulgte den oprindelige. 

For balanced truncation p˚a Figur 5.9 ses det at der er god sammenhæng 

for de største singulærværdier, men derimod en større afvigelse ved de lavere. 

Derudover bemærkes igen at ved de højere frekvenser er der større 

overensstemmelse, hvilket stemmer overens med teorien. 

Et SVD -lot balanced residualization kan ses p˚a Figur 5.10 og det ses at ved 

de lave frekvenser er der meget lille afvigelse, hvorimod ved højere frekvenser 

knækker den reducerede model af. Dette sker ved omkring 0,1 rad/s. 

Reducering af regulatoren med Optimal Hankel norm approximation er vist 

med et SVD-plot p˚a Figur 5.11. Her ses nogenlunde samme opførsel som for 

balanced truncation. Den reducerede regulator følger den oprindelige meget 

godt for de højeste singulærværdier, men kniber med at følge med for de 

mindste. 

Figur 5.12 viser et SVD-plot af fejlsystemet, H2(s) − H2(s)a, for de tre reducerede 

modeller. Her ses igen at balanced residualization har en meget lille 

fejl fra 0,0001 til 0,1, hvorimod balanced truncation er bedst for frekvenser 

derover. Optimal Hankel norm approxmimation har en nogenlunde konstant 

afvigelse for samtlige frekvenser. Ud fra ovenst˚aende kan det konkluderes 

at balanced residualization giver en reduceret H2-regulator, der har mindst 

afvigelse fra den oprindelige indenfor det frekvensomr˚ade, der ønskes arbejdet 

ved. 

44

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −8 


10 −2 


Reduceret regulator 

Fuldordens regulator 

Figur 5.9: SVD af fejlsystemet ved balanced truncation 

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −8 

10 −2 

10 0 





Figur 5.10: SVD af fejlsystemet ved balanced residualization 

45 

10 0 

10 2 

10 2

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −8 


10 −2 




Figur 5.11: SVD af fejlsystemet ved Optimal Hankel norm approximation 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −8 

10 −2 

10 0 





Figur 5.12: Singulærværdier for de reducerede modeller. Det ses at balanced 

residualization har mindst afvigelse med lave frekvenser, men balnced 

truncation er bedre ved de højere frekvenser. Optimal Hankel 

norm approximation har en konstant fejl for samtlige frekvenser. 

46 

10 0 

10 2 

10 2

5.4.2 Reduktion af H∞-regulator 

H∞-regulator vil blive reduceret til 5 states, hvilket er bestemt ud fra ”2 

gange summen af halen” der giver: 

||H∞(s) − H∞(s)a||∞ ≤ 0,19 (5.9) 

Sammenlignes dette med H∞-normen af regulatoren p˚a 1200 m˚a dette betragtes 

til at være i orden. For en reducering til 5 states giver ”summen af 

halen” for Optimal Hankel norm approximation 0,27. Et SVD-plot af de reducerede 

modeller med de tre reduceringsmetoder kan ses p˚a Figur 5.13, 5.14 

og 5.15. 

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −8 


10 −2 




Figur 5.13: SVD af fejlsystemet ved balanced truncation 

Det ses at der for balanced residualization er der stor afvigelse, og balanced 

truncation er den metode, der ligge tættest op af fuldordensregulatoren. 

Dette ses ligeledes p˚a Figur 5.16, der viser et SVD-plot af ”fejlsystemet”. 

Her ses at afvigelsen er størst for balanced residualization og omkring 

den frekvens systemet skal arbejde ved f = 0,0035 er balanced truncation og 

Optimal Hankel norm approximation lige anvendelige. 

47 

10 0 

10 2

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −8 


10 −2 




Figur 5.14: SVD af fejlsystemet ved balanced residualization 

10 4 

10 2 

10 0 

10 −2 

10 −4 

10 −6 

10 −4 

10 −8 

10 −2 

10 0 





Figur 5.15: SVD af fejlsystemet ved Optimal Hankel norm approximation 

48 

10 0 

10 2 

10 2

10 2 

10 1 

10 0 

10 −1 

10 −2 

10 −3 

10 −4 

10 −5 

10 −4 

10 −6 

10 −3 




10 −2 

10 −1 


Figur 5.16: Singulærværdier for de udvalgte reducerede modeller 


Der er i dette Kapitel arbejde med modelreduktion af destillationskolonnen, 

samt modelreduktion af regulatorer. Dette viste at ved at reducerer modellen 

me balanced residualization gav dette en reduceret model, der havde 

den mindste afvigelse fra den oprindelige. Dette kunne ses ud fra et SVD-plot 

af fejlsystemet, samt af et plot af stepreponset fra et step p˚a de 4 input. 

Det blev ligeledes forsøgt at reducerer H2- og H∞-regulatoren. Dette viste 

at balanced truncation igen gav det bedste resultat ved reducering af H2regulatoren, 

hvorimod den gav den d˚arligste ved reducering af H∞-regulatoren. 

Her var der nogenlunde sammen afvigelse for balanced truncation og Optimal 

Hankel norm approximation indenfor det frekvensomr˚ade der ønskes arbejdet 

ved. 

For at understøtte at de reducerede modeller opfører sig efter hensigten, 

og for at se forskellen p˚a at designe regulatorer ud fra en reduceret model 

i forhold til at reducere regulator designet ud fra en fuldordensmodel er et 

enhedsstep foretaget. 5.17 viser et enhedsstep for yD for tre modeller med 

H2-regulator. En model, hvor hverken destillationskolonnen eller regulatoren 

er reduceret. En model hvor destillationskolonnen er reduceret ved balanced 

49 

10 0 

10 1 

10 2

esidualization og H2 er designet ud fra det reducerede system. Til slut en 

model hvor der er foretaget modelreduktion ved balanced residualization p˚a 

H2-regulatoren designet ud fra et fuldordenssystem. I alle tre tilfælde er regulatoren 

sat til at regulere destillationskolonnen med fuld orden for at have 

samme grundlag for sammenligning. Det ses at der er st˚ar overenstemmelse 



0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

yD 

−1 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

10 

0 

−10 

−20 

−30 

−40 

Ikke reduceret model 

System reduceret 

Regulator reduceret 

MD 




−50 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

xB 

0 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

40 

30 

20 

10 

0 




MB 




−10 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 5.17: Enhedsstep for reducerede modeller med H2-regulator 

for alle tre metoder, men modellen med reduceret regulator afviger en lille 

smule omkring MD og MB. Der er derfor ikke stor forskel p˚a at reducere 

modellen i forhold til at reducere regulatoren, men figuren viser dog at reducering 

af modellen giver en lidt mindre afvigelse. 

Figur 5.18 viser samme setup med en H∞-regulatoren i stedet. Her er destillationskolonnen 

igen reduceret med balanced truncation, hvorimod H∞regulatoren 

er reduceret med balanced truncation. Her ses en lidt større 

afvigelse for modellen med regulator reduceret. Det ses at der er et større 

oversving for xB og stor afvigelse for MD og MB. Hermed kan konkluderes 

at ved design af H∞-regulatorer f˚as det bedste resultat ved at reducere destillationskolonnen 

inden design af regulator. 

50



0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

yD 

−1 

0 500 1000 1500 2000 

20 

0 

−20 

−40 

−60 




MD 




−80 

0 500 1000 1500 2000 


0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

−0.05 

0 500 1000 1500 2000 


60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

−10 

0 500 1000 1500 2000 

xB 




MB 




Figur 5.18: Enhedsstep for reducerede modeller med H∞-regulator 

51

Kapitel 6 

Diskrete regulatorer 

Der vil i dette afsnit blive beskrevet forskellige metoder til design af diskrete 

regulatorer til regulering af destillationskolonnen. Det vil blive forsøgt, at 

diskretisere de fundne kontinuerte regulatorer under 6.1 og se hvilken indflydelse 

dette har p˚a reguleringen. Dernæst vil en sample data H∞-regulator 

blive designet direkte ud fra den kontinuerte model af destillationskolonnen 

ved hjælp af Matlabs funktion sdhinfsyn. Det vil for sidstnævnte være 

nødvendigt at lave nogle ændringer i vægtningen af systemet, som vil blive 

forklaret under 6.2 p˚a side 56. Designet af en sample data regulator er sket 

ud fra en reduceret model af destillationskolonnen. Der vil undervejs blive 

foretaget simulationer og analyse af de fundne regulatorer for at se om de 

opfylder de krav der er sat. 

6.1 Diskretisering af de kontinuerte regulatorer 

Der blev under 4 p˚a side 15 fundet kontinuerte regulatorer til regulering af 

destillationskolonnen og disse vil blive diskretiseret og det undersøges, hvad 

dette medfører med henblik p˚a reguleringen. Før diskretiseringen kan 

foretages skal det bestemmes, hvilken samplingstid der skal benyttes. Dette 

gøres ud fra Nyquist-frekvensen, der gerne skal ligge lidt over lukket-sløjfesystemets 

b˚andbredde for at f˚a en ordentlig rekonstruktion af det samplede 

signal. B˚andbredden for lukketsløjfesystemet er fundet til ωB = 0,036 rad/s, 

hvorfor Nyquist-frekvensen er sat til ωN = 0,04 rad/s. Samplingfrekvensen 

f˚as ud fra Formel 7.7 i Ole Jannerup [2004]: 

ωS = 2 · ωN = 2 · 0,04 rad/s = 0,08 rad/s (6.1) 

52

hvorfor samplingstiden findes til: 

TS = 2π 

ωS 

6.1.1 Diskret H2-regulator 

= 

2π 

≈ 78,5s (6.2) 

0,072 rad/s 

Den kontinuerte model af H2-regulatoren blev diskretiseret, men ved at bruge 

den ovenfor fundne sampletid (6.2 gav diskretiseringen et ustabilt lukketsløjfesystem. 

Derfor forsøgtes med en lavere samplingstid, idet dette kan være 

medvirkende til at systemet stabiliserer sig. En samplingstid p˚a 20 sekunder 

viste sig et give et stabilt system, hvilket kan ses ud fra egenværdierne p˚a 

Figur 6.1. Herefter kunne et enhedsstep foretages for at se om det diskre- 

Imag 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

−1 

−1 −0.5 0 

Real 

0.5 1 

Figur 6.1: Plot af egenværdierne for lukket-sløjfesystemet med den diskretiserede 

H2-regulator med samplingstid Ts = 20s. Det ses at systemet er stabilt, 

da egenværdierne ligger indenfor enhedscirklen. 

tiserede system overholdt de forventede krav. Figur 6.2 viser et enhedsstep 

p˚a yD og det ses, at der er meget stor lighed mellem det kontinuerte og det 

diskrete system, hvilket ogs˚a m˚a forventes. Der er dog lidt mere oversving, 

hvilket skyldes samplingstiden, hvorfor det diskrete system ikke følger med 

s˚a hurtigt og derfor f˚ar systemet lov til at køre videre med fejlen, der giver 

oversvinget. For yD holder det sig dog indenfor kravet p˚a 0,1, hvorimod 

dette ikke er tilfældet for xB, der kommer over 0,5. Samplingstiden medfører 

derudover at den stationære tilstand opn˚as lidt senere for det diskrete system. 

53



0.5 

0 

−0.5 

yD 

−1 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

100 

50 

0 

−50 

MD 


H2d 



−100 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

xB 

−0.2 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

100 

50 

0 

−50 

MB 





−100 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 6.2: Enhedsstep p˚a yD for diskret H2-regulator. Der er lighed mellem de 

to, men diskrete har mere oversving. 

54

Et step p˚a xB kan ses p˚a Figur 6.3 og her ses igen et større oversving 

og en senere stationær tilstand. For begge step ses det at de to regulatorer 

stabiliserer sig omkring samme værdi. Det ses hermed at det er muligt 



0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

yD 

−0.1 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

40 

20 

0 

−20 

−40 

MD 





−60 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.5 

0 

−0.5 

xB 

−1 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

60 

40 

20 

0 

−20 

MB 





−40 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 6.3: Enhedsstep p˚a xB for diskret H2-regulator. Et større oversving ses for 

yD for den diskrete regulator, men begge n˚ar samme stationære værdi. 

at f˚a den kontinuerte H2-regulator diskretiseret, men at det medfører større 

oversving. 

6.1.2 Diskret H∞-regulator 

Den ovenfor fundne samplingstid gav ogs˚a for diskretisering af H∞-regulatoren 

et ustabilt system, hvorfor en lavere samplingstid m˚atte findes. Denne blev 

igen fundet til 20 sekunder, og en diskret model af H∞-regulatoren blev fundet. 

At systemet blev stabilt for denne samplingstid kan ses p˚a Figur 6.4. 

Et enhedsstep vil vise om det diskretiserede system overholder de forventede 

krav og Figur 6.5 viser et step p˚a yD og igen ses det at der er meget 

stor lighed mellem det kontinuerte og det diskrete system. I dette tilfælde er 

55

Imag 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

−1 

−1 −0.5 0 

Real 

0.5 1 

Figur 6.4: Plot af egenværdierne for lukket-sløjfesystemet med den diskretiserede 

H∞-regulator med samplingstid Ts = 20s. Det ses at systemet er stabilt, 

da egenværdierne ligger indenfor enhedscirklen. 

oversvinget for yD dog ikke under kravet p˚a 0,1, som det var tilfældet for H2, 

men er til gengæld under kravet for oversving for xB p˚a 0,5. Et step p˚a xB 

kan ses p˚a Figur 6.6 og her ses et oversving p˚a yD, der g˚ar lige over kravet p˚a 

0,1, men det holder sig indenfor kravet for xB p˚a 0,5. Den stationære værdi 

opn˚as igen senere, men for begge step ses det at de to regulatorer har samme 

stationære værdi. 

6.2 Sample Data 

En sample data H∞-regulator vil blive designet her. Ved hjælp af Matlabs 

sdhinfsyn er det muligt at designe en sample data regulator direkte, men 

den skal som input have en P-matrice, hvor D-matricen er nul, hvorfor der 

skal ændres lidt p˚a vægtenene i designet af P-matricen. Designet for den 

kontinuerte regulator fundet i Kap. 4 gav en D-matrice forskellig fra nul, som 

56



0.5 

0 

−0.5 

yD 

−1 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

100 

50 

0 

−50 

MD 

Hinf 

Hinfd 

Hinf 

Hinfd 

−100 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

xB 

−0.4 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

100 

50 

0 

−50 

MB 

Hinf 

Hinfd 

Hinf 

Hinfd 

−100 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 6.5: Enhedsstep p˚a yD for diskret H2-regulator. For b˚ade yD og xB er der 

et større oversving, men samme stationær værdi opn˚as. 

57



0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

−0.05 

yD 

−0.1 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

60 

40 

20 

0 

−20 

−40 

MD 

Hinf 

Hinfd 

Hinf 

Hinfd 

−60 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

xB 

−1 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

60 

40 

20 

0 

−20 

−40 

MB 

Hinf 

Hinfd 

Hinf 

Hinfd 

−60 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 6.6: Enhedsstep p˚a xB for diskret H2-regulator. Der er oversving for alle 4 

output. yD kommer over grænsen p˚a 0,1 for oversving, men xB holder 

sig indenfor kravet p˚a 0,5. 

58

det kan ses af (6.3) 

⎡ 

⎢ 

D = ⎢ 

⎣ 

0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 1 0 0 0 

0 0 0 0 0 1 0 0 

0 0 0 0 0 0 1 0 

0 0 0 0 0 0 0 1 

1 0 0 0 0 0 0 0 

0 1 0 0 0 0 0 0 

0 0 1 0 0 0 0 0 

0 0 0 1 0 0 0 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

(6.3) 

Vægten for fejlen giver ikke problemer i forhold til D-matricen, da det er et 

lavpasfilter og derfor ikke har et direkte led. Derimod var det nødvendigt i 

forhold til funktionen sdhinfsyn at mindske integrationseffekten. Det er ikke 

helt klart, hvad der er ˚arsag til dette. Den endelige vægt for fejlen er derfor 

som følger. 

W1D = 

f · 4 

s + f/100 = 

0,014 

s + 3,5 · 10 −5 

(6.4) 

Dernæst giver referencen anledning til en D-matrice forskellig fra nul, da den 

ikke er vægtet. Dette kan ses som de røde tal i (6.3). Referencen er derfor 

vægtet med et lavpasfilter, s˚a der ikke er noget direkte led fra referencen til 

outputtet. Vægten er valgt til at ligge lidt under W1D, og er derfor: 

W3D = f 

s + f 

= 0,0035 

s + 0,0035 

(6.5) 

Den anden ˚arsag til at D-matricen er forskellige fra nul kommer af vægten 

p˚a styresignalet, da der er et direkte led her. Denne indvirkning kan ses som 

de bl˚a tal i (6.3). Derfor ændres vægten af styresignalet til at knække af 

n˚ar man bevæger sig op omkring frekvenser, hvor det alligevel ikke ønskes 

at regulatoren skal arbejde. Derfor er det valgt at W2D skal knække af ved 

10 rad/s og derfor er et lavpasfilter yderligere tilføjet, hvorfor den endelige 

vægt ser ud som følger: 

W2D = 

s + 4 · f 

s + 400 · f · 

s 

s + 10 = 

10s + 0,14 

s 2 + 11,4s + 14,0 

(6.6) 

Ovenst˚aende ændringer giver en P-matrice med D=0. Et bodeplot af de 

fundne vægte kan ses p˚a Figur 6.7. 

59

Magnitude (dB) 

Phase (deg) 

100 

50 

0 

−50 

−100 

−150 

90 

45 

0 

−45 

10 −6 

−90 

10 −4 

Bode Diagram 

10 −2 

Frequency (rad/sec) 

10 0 

W11D 

W12D 

W13D 

W14D 

W2D 

W3D 

Figur 6.7: Bodeplot af de tre vægte for design af diskrete regulatorer 

Regulatoren blev designet ud fra en reduceret model af systemet. Ud fra 

analysen f˚as den bedste reducerede model ved balanced residualization, men 

dette giver per definition en D-matrice forskellig fra nul ud fra formal (11.10) 

i Sigurd Skogestad [1996]. Derfor er modellen reduceret med balanced truncation, 

hvilket ikke har den bedste performance ved lave frekvenser, men da 

fejlen i forvejen er vægten h˚ardt omkring de lave frekvenser giver det ikke 

en strre forskel fra balanced residualization. Sample data regulatoren kunne 

nu findes og i dette design blev den oprindeligt fundet sampletid brugt, idet 

dette gav et stabilt system. Et plot af egenværdierne for lukketsløjfesystemet 

ses p˚a Figur 6.8, der viser at kravet om stabilitet er opfyldt, da samtlige 

egenværdier er indenfor enhedscirklen. 

For at undersøge om de øvrige krav er opfyldt er et enhedsstep foretaget 

p˚a yD og kan ses p˚a Figur 6.9. Det ses at oversvinget for yD er over kravet 

p˚a 0,1 og ligger p˚a 0,3, men derimod er den stationære fejl mindre. Ligesom 

for de øvrige diskrete regulatorer n˚as den stationære tilstand senere end det 

kontinuerte, men stadig indenfor grænsen p˚a 30 min. men stadig indenfor 

grænsen. For xB er oversvinget næsten tre gange større end det kontinuerte 

og kommer da ogs˚a over grænsen p˚a 0,5. Her ses yderligere at det diskrete 

systems stationære fejl har større afvigelse fra referencen end det kontinuerte. 

60 

10 2

Imag 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

−1 

−1 −0.5 0 

Real 

0.5 1 

Figur 6.8: Egenværdierne for sample data lukketsløjfesystemet. Det ses at systemet 

er stabilt, da samtlige egenværdier ligger indenfr enhedscirklen. 



0.5 

0 

−0.5 

−1 

yD 

−1.5 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

60 

40 

20 

0 

−20 

−40 

MD 

Discrete 

Kontinuert 

Discrete 


−60 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 



1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

80 

60 

40 

20 

0 

−20 

−40 

xB 

MB 

Discrete 


Discrete 


−60 

0 500 1000 

Tid [s] 

1500 2000 

Figur 6.9: Enhedsstep p˚a yD for sample data H∞-regulator. 

61

Dette er dog ikke meget. 

For et step p˚a xB er tendensen nogenlunde den samme, hvilket kan ses p˚a 

Figur 6.10. Der er et stort oversving i forhold til det kontinuerte og det kommer 

da ogs˚a over grænsen p˚a 0,1, men har en stationær fejl indenfor grænsen 

p˚a 0,01 med mindre afvigelse end det kontinuerte. For xB ses et oversving, 

der dog er indenfor grænsen p˚a 0,5 og den stationære fejl er som ovenfor med 

lidt større afvigelse. 


0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

−0.05 

−0.1 

−0.15 

0 200 400 600 800 1000 

Tid [s] 

1200 1400 1600 1800 2000 


20 

10 

0 

−10 

−20 

−30 

yD 

MD 

Discrete 


Discrete 


−40 

0 200 400 600 800 1000 

Tid [s] 

1200 1400 1600 1800 2000 



0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

xB 

−1 

0 200 400 600 800 1000 

Tid [s] 

1200 1400 1600 1800 2000 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

−10 

MB 

Discrete 


Discrete 


−20 

0 200 400 600 800 1000 

Tid [s] 

1200 1400 1600 1800 2000 

Figur 6.10: Enhedsstep p˚a xB for sample data H∞-regulator. 


Det har hermed været muligt at designe diskrete regulatorer til destillationskolonnen, 

men med en performance, der var lidt d˚arligere end for de kontinuerte. 

Ved at diskretisere de kontinuerte regulatorer kunne et resultat, der 

mindede meget om det kontinuerte opn˚as. Dog gav de diskrete regulatorer 

62

et større oversving, men deres stationære fejl ved den samme som de kontinuerte. 

Ved et direkte design af en diskret sample data H∞-regulator gav 

dette ligeledes et større oversving, men derimod kunne en mindre stationær 

fejl opn˚as for et step p˚a yD. For samtlige diskrete regulatorer blev kravet om 

lukketsløjfestabilitet overholdt. 

63

Kapitel 7 

Konklusion 

Der er igennem denne opgave arbejdet med at designe regulatorer til en 

destillationskolonne. Modellen af destillationskolonnen p˚a 82 states havde 

7 input, hvoraf tre var forstyrrelser, og 45 output. Denne model blev lineariseret 

med henblik p˚a at lave en analyse af modellen, der skulle afgøre 

stabilitet og forstærkning gennem systemet. Denne analyse viste at systemet 

var marginalt stabilt, hvorfor der kunne designes regulatorer til denne. 

Af designmæssige ˚arsager blev det valgt kun at arbejde med en model med 

4 input og fire output. Dette viste sig muligt ud fra en analyse af systemet. 

Derfor blev forstyrrelser ikke taget med i designet samt de 41 udgange, der 

angav væskemængden af hver bund i destillationskolonnen. Ud fra denne 

model blev H2- og H∞-regulatorer designet med henblik p˚a mixed-sensitivity 

kontrol. To vægte blev fundet til at vægte styresignalet og fejlen p˚a referencen 

og udgangen. I første omgang blev regulatorerne designet ved at tilbagekoble 

et enkelt output fra destillationkolonnen. Dette blev gjort med henblik p˚a at 

f˚a en simpel regulator, og for at sikre at det gav et stabilt lukketsløjfesystem, 

der var et krav til designet. Et plot af egenværdierne viste stabilitet, men ved 

at foretage et enhedsstep p˚a referencen, viste det sig at de to udgange MD og 

MB blev ustabile. Idet de ikke var tilbagekoblet igennem regulatoren bidrog 

de ikke til lukketsløjfesystemet, der af den grund s˚as som stabilt. Grunden til 

ustabilitet omkring de to udgange, skylder at de ikke blev reguleret i modellen 

og derfor gav anledning til to integratorer, der viste sig som to poler i 

nul. 

For at løse problemet med ustabilitet for de omtalte udgange blev nye H2og 

H∞-regulatorer designet, hvor samtlige 4 udgange blev tilbagekoblet gennem 

regulatoren. Et plot af egenværdierne viste at systemet var stabilt og 

et enhedsstep viste derudover at problemet med ustabilitet omkring MD og 

64

MB blev løst. I forhold til designet med enkelt tilbagekobling blev de fundne 

vægte ændret til at passe bedre til dette design idet hver enkelt udgang blev 

vægtet individuelt. Dette gjorde at der kunne lægges højere vægt p˚a at overholde 

kravene, der indbefatter yD og xB, hvorimod der ikke er sat nogle 

krav til de øvrige to udgange. Det viste sig desværre at det ikke ikke var 

muligt at opn˚a samtlige krav, idet systemet ville blive for hurtigt, hvis dette 

skulle opn˚as. De krav der kunne opn˚as var lukketsløjfe-stabilitet og en stationær 

tilstand indenfor 30 min. Den regulator, der gav det bedste resultat 

var H∞-regulatoren designet ud fra systemet med fuld tilbagekobling. Her 

var det ligeledes muligt at klare kravene for et max oversving p˚a yD og xB 

p˚a henholdsvis 0,1 og 0,5. Derimod var det ikke muligt at f˚a en stationær fejl 

indenfor 0,01 for yD og xB, hvor afvigelsen l˚a omkring 0,04. 

Idet destillationskolonnen var en model med 82 states var det en del af opgaven 

at foretage modelreduktion p˚a den. Dette resulterede i at destillationskolonnen 

kunne reduceres til 6 states og viste at balanced residualization var 

bedst til form˚alet, idet den har den bedste performance ved lave frekvenser, 

hvor systemet arbejder. Der blev ligeledes foretaget en modelreduktion af H2og 

H∞-regulatoren fundet i Kapitel 4. Disse blev reduceret til henholdsvis 6 

og 5 states. Ved at se p˚a SVD-plot og steprespons viste det at de reducerede 

modeller havde meget lille afvigelse fra det oprindelige system, hvilket gjaldt 

b˚ade reducering af destillationskolonne og regulatorer. 

Ud fra den reducerede model blev der designet en diskret sample data H∞ regulator. 

Idet designkriterierne for denne diskrete regulator var lidt anderledes 

end for de kontinuerte var det derfor nødvendigt at ændre p˚a vægtene for 

systemet og derudover tilføje en vægtning af referencen. Dette gav en diskret 

regulator, der havde et oversving der var større end for den kontinuerte H∞regulator 

og dermed ikke overholdt de krav, der var sat. Derimod havde den 

nogenlunde samme performance for den stationære fejl. Der blev ligeledes 

foretaget en diskretisering af de kontinuerte H2- og H∞ regulatorer og igen 

var der overenstemmelse mellem de kontinuerte og diskrete regulatorer, men 

diskretiseringen medførte et større oversving, der ikke overholdt kravet p˚a 

0,1 for yD og 0,5 for xB. Igen blev det observeret at den stationære fejl var 

nogenlunde den samme som for det kontinuerte. 

Ud fra de krav der er stillet har det hermed ikke været muligt at designe 

regulatorer der kan opfylde disse. De kontinuerte regulatorer viste den bedste 

performance og specielt H∞ lykkedes det faktisk at f˚a til at opfylde samtlige 

krav, men dette var kun muligt for et system der arbejde meget hurtigere 

end det var muligt, hvorfor det var nødvendigt at acceptere en lidt større 

65

fejl. Regulering af den ulineære model gav ligeledes det bedste resultat med 

H∞-regulatoren. 

66

Litteratur 

Paul Haase Sørensen Ole Jannerup. Reguleringsteknik 3. udgave. Polyteknisk, 

2004. ISBN 8750209604. 

Ian Postlethwaite Sigurd Skogestad. Multivariable Feedback Control: Analysis 

and Design. John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, USA, 1996. ISBN 

0471943304. 

Sigurd Skogestad. Dynamics and control of destillation columns: A tutorial 

introduction. 

67

Bilag A 

Linearisering 

Dette bilag inkluderer den anvendte Simulinkmodel brugt til linearisering af 

den ulineære model af destillationskolonnen, samt steprespons p˚a indgangene 

til den lineære og ulineære model, der gerne skulle vise at de to modeller 

stemmer overens. 

A.1 Simulinkmodel til linearisering 

1 

In1 

2 

In2 

3 

In3 

4 

In4 

5 

In5 

6 

In6 

7 

In7 

Mux 

Mux 

colas 

Distillation 

column 

(nonlinear) 

Demux 

Demux 

Figur A.1: Simulinkmodel til linearisering af den ikke-lineære model af destillationskolonnen. 

68 

1 

Out1 

2 

Out2 

3 

Out3 

4 

Out4 

5 

Out5

Bilag B 

Regulering af den ulineære 

model 

0.5 

B1 

3.20629 

0.5 

D1 

V1 

2.70629 

L1 

Demux2 

Demux 

0.5 zF 1.0 F 1 qF 

−C− 

Mux 

Mux 

Index 

Vector1 

colas 

Distillation 

column 

(nonlinear) 

Choose controller 

−C− 


x’ = Ax+Bu 

y = Cx+Du 

Hinf 

x’ = Ax+Bu 

y = Cx+Du 

y0 

Demux 

Demux1 

ref 

out 

To Workspace 

Figur B.1: Simulinkmodel til regulering af den ulineære model af destillationskolonnen. 

69

Resumé Der er i denne opgave designet kontinuerte og diskrete H2 ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?