MatIntro 2012 Ugeopgave 4 (Lynopgave) til aflevering i Uge 4 ved ...

MatIntro 2012
Ugeopgave 4 (Lynopgave) til aflevering
i Uge 4 ved Klassetime 4b.
Husk at benytte forsiden ved aflevering.
Opgave 4.2 best˚ar af 3 delopgaver (i),(ii), (iii) og (iv). Klasselærerne p˚a de
enkelte klasser udvælger én af dem, som alle i den p˚agældende klasse skal
aflevere. Se siden Hvilken opgave skal regnes? p˚a Absalon.
Der opfordres til at lynopgaven laves i grupper p˚a 2 eller 3 studerende.
Man kan finde hjælp til lynopgaven i minimanualen [Maple-format, htmlformat].
4.1 Løs differentialligningen
(1 + x 2 )yy ′ = x(1 + y 2 )
med hver af begyndelsesbetingelserne
y(3) = 1, y(3) = 3, y(3) = −7
Opgaven skal først løses med Maple, dernæst uden ved separation.
4.2(i): Her skal (a) løses uden Maple, (b) og (c) med Maple.
(a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
y ′′ + 2y ′ − 3y = 0.
(b) Find for enhver reel værdi af konstanten a den fuldstændige løsning
til differentialligningen
y ′′ + 2y ′ − 3y = e ax
1

(c) Find, stadig for alle a, den partikulære løsning y(x) til problemet
i (b) som opfylder y(0) = y ′ (0) = 0.
4.2(ii): Hvis en species A reagerer til B der derp˚a reagerer til C, kan deres
koncentrationer være defineret ved differentialligningerne:
d[A]
dt = −k1[A] (1)
d[B]
dt = k1[A] − k2[B] (2)
d[C]
dt = k2[B] (3)
Ligningerne kan f. eks. bruges til en omtrentlig beskrivelse af et medikament
der indtages i kroppen som den inaktive form A, men som i
organismen omdannes til den aktive form B der endelig nedbrydes eller
fjernes til urinen.
(a) (Med eller uden Maple) Antag at konstanterne k1 og k2 er forskellige.
Antag endvidere [A] = A0, [B] = [C] = 0 til t = 0. Integrer
først ligning (1) med denne begyndelsebetingelse. Indsæt derp˚a
resultatet i ligning (2) og integrer den med hensyn til [B(t)] med
den angivne begyndelsesbetingelse. Afslut med samme procedure
for (3).
(b) Bestem grænseværdien for t → ∞ af [C(t)] (stadig med de under
(a) nævnte antagelser).
4.2(iii): En fjeder p˚a et vandret underlag er fastspændt i den ene ende og
udfører dæmpede svingninger. Tiden kaldes t. I fjederens frie ende som
har positionen y = f(t) er anbragt et lod med massen m. Fjederkraften
er proportional med og modsat rettet udsvinget y. Proportionalitetskonstanten
k kaldes fjederkonstanten. Friktionskraften er proportional
med hastigheden og modsat rettet denne, alts˚a lig med −qy ′ hvor q er
konstant. Newtons anden lov fører s˚a til denne differentialligning:
my ′′ = −qy ′ − ky
som kan omformes til y ′′ + q
my′ + k y = 0. m
2

(a) Antag for simpelheds skyld at k = 1 g/s 2 , m = 1 g og q = 1 g/s. Find
uden Maple den fuldstændige løsning til den ovenst˚aende differentialligning
samt den partikulære løsning som opfylder at til tiden t = 0 er
udsvinget y = 0 og hastigheden y ′ = 2 m/s
(b) Antag stadig k = 1 g/s 2 , m = 1 g. For en bestemt værdi af q er dæmpningen
kritisk. Dette betyder at den karakteristiske ligning har en dobbeltrod.
Bestem denne værdi q0, og find dernæst (under antagelsen
q = q0) ved hjælp af Maple den løsning som opfylder den samme begyndelsesbetingelse
som før. Plot med Maple løsningerne fra (a) og (b)
i et fælles koordinatsystem.
4.2(iv): En differentialligning man finder i optik, n˚ar man studerer lysets
spredning under passage i et medium som fx en vanddr˚abe i atmosfæren,
er
y ′′ = xy
der beskriver lysets intensitet som funktion af spredningsvinklen. Dette
er en andenordens lineær differentialligning. Det er nemt at argumentere
for at løsningen ikke kan være et polynomium. Vi vil i stedet
approksimere løsningen med et polynomium. Vi antager at vores begyndelsesbetingelser
er y(0) = 1, y ′ (0) = 0 og forsøger med et 6. grads
polynomium:
y = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 + a4x 4 + a5x 5 + a6x 6 , ai ∈ R
som en approksimation til den ukendte løsning.
a) Benyt differentialligningen foroven sammen med begyndelsesbetingelserne
til at bestemme koefficienter ai, og opskriv den approksimerede
løsning y.
b) Plot den approksimerede løsning i Maple.
c) Den eksakte løsning til differentialligningen oscillerer n˚ar man er
til venstre for origo og vokser mere end eksponentielt hurtigt n˚ar man
er til højre. Illustrer dette i Maple, fx vha. kommandoen ‘dsolve’ og et
passende plot. Forklar det ud fra differentialligningen! Sammenlign den
approksimerede løsning med den eksakte løsning ud fra passende plots.
d) (Ekstra spørgsm˚al som giver fjer i hatten men ikke indg˚ar i bedømmelsen.)
3

Hvis man tager led af højere grad med, y = . . . + a7x 7 + a8x 8 + . . ., som
i a), ville man forvente bedre og bedre approksimationer til løsningen.
I hvilken grad vil disse ogs˚a udvise egenskaberne beskrevet under c)?
Forklar!
4.2.8(v) I økonomiske modeller bruges nyttefunktioner, U, til at repræsentere
agenters (dvs. personers, forbrugeres, investorers, . . .) præferencer.
En nyttefunktion udtrykker at man foretrækker x frem for y hvis
U(x) > U(y), mens man er indifferent hvis U(x) = U(y). (Nyttefunktioner
antager værdier i R. Hvor de afbilder fra er mere tricky/abstrakt
men koger ofte ned til R eller R+.) At lægge konstanter til nyttefunktioner
eller at gange dem med positive tal ændrer (s˚aledes) ikke deres
økonomiske betydning. Dette kaldes positiv affin invarians.
Mange egenskaber ved nyttefunktioner kan udtrykkes gennem deres
s˚akaldte (Arrow-Pratt absolutte) risk-aversion,
′′ U
R = − .
U ′
Man kan tænke p˚a dette som en brøk der udtrykker frygt (hvor meget
nyttefunktionen krummer m˚alt ved U ′′ ; vi vil vende tilbage hertil p˚a en
senere ugeseddel) i forhold til gr˚adighed (hvor hurtigt nyttefunktionen
vokser m˚alt ved U ′ ).
Ofte benyttes nyttefunktioner med s˚akaldt hyperbolsk absolut risikoaversion
(HARA), hvilket betyder at
− U ′′ (x)
U ′ (x)
= 1
a + bx .
Brug Maple (eller h˚andkraft: arbejd fx først med f = U ′ og behandel
evt. tilfældene a = 0, b = 0, 1 for sig selv) til at finde ekplicitte udtryk
for nyttefunktionerne i HARA-klassen. Tegn funktionernes grafer for
(i) a = 0 og b = 0.5, 1, 2, 5 (ii) b = 0 og a = 0.001, 1, 100 med passende
valg af randbetingelser (‘randkrav’).
Overvejelser/vink: Hvad er funktionernes naturlige definitionsomr˚ade?
Hvad fortæller positiv affin invarians om randbetingelser? Nogle m˚aske
ikke helt tilfældige funktioner:
−e −x/a , ln(x + a),
4
1
1
(a + bx)1− b .
b − 1