MAT 15 - Matilde - Dansk Matematisk Forening
MAT 15 - Matilde - Dansk Matematisk Forening
MAT 15 - Matilde - Dansk Matematisk Forening
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Eksperimentel<br />
matematikundervisning<br />
Jeg fornemmer en tendens til at matematikere<br />
bliver mere og villige til at<br />
tale og skrive om de processer der har<br />
ført dem frem til deres forskningsresultater,<br />
snarere end blot at præsentere<br />
de færdigpolerede beviser. Det<br />
kan delvis skyldes at s˚a snart der<br />
har været computere involveret i en<br />
s˚adan proces, s˚a føles det i højere<br />
grad som et ærligt stykke arbejde at<br />
generere eksperimentelt input til teorien.<br />
Et klart udtryk for denne tendens<br />
findes fx i programerklæringen<br />
for tidsskriftet Experimental Mathematics:<br />
Experiment has<br />
always been, and increasingly<br />
is, an important<br />
method of mathematical<br />
discovery. (...) Yet this<br />
tends to be concealed by<br />
the tradition of presenting<br />
only elegant, wellrounded,<br />
and rigorous<br />
results.<br />
While we value the<br />
theorem-proof method of<br />
exposition, and do not depart<br />
from the established<br />
view that a result can only<br />
become part of mathematical<br />
knowledge once it<br />
is supported by a logical<br />
proof, we consider it anomalous<br />
that an important<br />
component of the process<br />
of mathematical creation<br />
is hidden from public discussion.<br />
It is to our loss<br />
that most of us in the mathematical<br />
community are<br />
almost always unaware<br />
of how new results have<br />
been discovered.<br />
Det spørgsm˚al jeg gerne vil tage hul<br />
p˚a herer hvorvidt det er værdifuldt<br />
at lade denne tendens sprede sig til<br />
den m˚ade vi underviser i matematik.<br />
Det vil fremg˚a atjegmeneratsvaret<br />
erja, i hvert fald n˚ar de studerende<br />
har opn˚aet et vist niveau af ma-<br />
tematisk modenhed og indsigt s˚a de<br />
selv kan opstille matematiske eksperimenter<br />
og reflektere over de teoretiske<br />
implikationer af dem.<br />
Jeg har efterh˚anden i en del ˚ar søgt at<br />
holde øjnene ˚abne for at inddrage et<br />
eksperimentelt aspekt i kandidatundervisningen,<br />
og har gennem hjælp<br />
fra kolleger ved KU og i den danske<br />
operatoralgebragruppe haft held<br />
til at isolere gode projekter af denne<br />
art. Her opsummerer jeg mine erfaringer<br />
p˚a tofelter, med vægten lagt<br />
p˚a at præsentere det konkrete matematiske<br />
indhold i dem, s˚a læseren<br />
kan vurdere om han eller hun har<br />
projekter der har tilsvarende egenskaber.<br />
Jeg kan ogs˚a anbefale [1] som<br />
eksempelkilde.<br />
Eksperimentelle specialer<br />
Af: Søren Eilers, <strong>Matematisk</strong> Afdeling,<br />
Københavns Universitet, e-mail:<br />
eilers@math.ku.dk<br />
Specialet har med sin nærhed til<br />
forskningsfronten og sin ˚abne struktur<br />
de ideelle forudsætninger for inddragelse<br />
af eksperimentelle aspekter.<br />
Men eftersom specialevejlederens<br />
vigtigste opgave erfaringsmæssigt<br />
synes at være at f˚a denstuderende<br />
til at holde op med sit arbejde<br />
og aflevere til tiden, er det centralt<br />
fra starten at aftale hvor meget eksperimentelt<br />
arbejde der skal udføres,<br />
hvordan det skal afleveres og dokumenteres,<br />
og hvordan det skal vurderes.<br />
Jeg har indtil videre kun mødt<br />
velvilje hos studienævn og censorer<br />
om at reducere i forventningerne til<br />
den skriftlige del af specialearbejdet<br />
til gengæld for konkrete krav til eksperimenterne.<br />
Det er bestemt ikke alle studerende<br />
ved KU der har lyst til eller forudsætninger<br />
for et delvist eksperimentelt<br />
speciale, men jeg har haft held til<br />
at lokke to studerende med særlige<br />
datalogiske kompetencer i denne retning.<br />
Her er lidt om det færdiggjorte<br />
projekt, som Ole Lund Jensen (OLJ)<br />
udførte.<br />
Emnet var stærk skiftækvivalens for<br />
kvadratiske matricer med ikkenegative<br />
heltalsindgange. Dette er<br />
ækvivalensrelationen genereret af<br />
den ikke-transitive relation A ∼ B<br />
givet ved<br />
∃D ∈ M m n (N0),E ∈ M n m(N0) :<br />
A = DE, B = ED,<br />
s˚a tomatricer er stærkt skiftækvivalente<br />
hvis der findes C0,...,Cl med<br />
A = C0 ∼ C1 ∼ C2 ∼ ···∼Cl = B.<br />
Generelt kan man ikke sige noget om<br />
længden l af s˚adan en kæde eller om<br />
størrelsen af de indg˚aende matricer<br />
C1,...,Cl−1 — bemærk at D og E<br />
ikke behøver at være kvadratiske —<br />
s˚ader tegner sig et billede af at denne<br />
relation (af stor betydning i teorien<br />
for visse symbolske dynamiske systemer)<br />
ikke er generelt afgørlig. Det<br />
er dog i mange enkelttilfælde muligt<br />
at afgøre om to konkrete matricer er<br />
stærkt skiftækvivalente.<br />
OLJ tog tilløb i form af et gruppefagprojekt<br />
og gik s˚a igang med at<br />
afgøre spørgsm˚alet for de s˚akaldt irreducible<br />
2 × 2-matricer med ikkenegative<br />
indgange med sumnorm<br />
mindre end 25. Han angreb problemet<br />
fra to sider; dels ved at generere<br />
matricer der p˚a h˚andfast vis kunne<br />
etablere at visse par af matricer var<br />
stærkt skiftækvivalente, og dels ved<br />
at beregne invarianter for at vise at<br />
visse par ikke var det.<br />
Størrelsesordenen af problemstillingen<br />
(der er rundt regnet 75 millioner<br />
spørgsm˚al at afgøre) udgjorde<br />
fra starten et udfordrende datalogisk<br />
problem, som OLJ løste ved at inddrage<br />
kraftfulde databaseværktøjer.<br />
Der l˚a etstort stykke arbejde i at f˚a<br />
indsamlet og behandlet de enorme<br />
datamængder konsistent og i rimelig<br />
tid, og eftersom der ikke var de store<br />
reduktioner at hente i at inddrage teori,<br />
var dette arbejde ret uafhængigt<br />
12 20/04 Tema