Vinter 2004 (dec.)

Opgave 2
(ca. 15 point)
Opgave 3
(ca. 15 point)
STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2004 2004-8-2V
MATEMATISK LINJE OG SPROGLIG LINJE
2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU
MATEMATIK
DELPRØVEN MED HJÆLPEMIDLER
Torsdag den 9. december 2004 kl. 9.00-13.10
Kun én af opgaverne 6a og 6b må afleveres til bedømmelse
I et koordinatsystem er givet to punkter A(– 1 , 3) og B(5 , 1).
Bestem en ligning for linjen l gennem punkterne A og B.
Beregn den spidse vinkel, som linjen l danner med førsteaksen.
Linjen m går gennem midtpunktet af linjestykket AB og står vinkelret på AB.
Beregn koordinatsættet til skæringspunktet C mellem m og førsteaksen.
Beregn arealet af trekant ABC.
Der tildeles i alt ca. 75 point
I en model for fordelingen af længden af træstammer fra et bestemt parti træer
antages det, at 2% af træstammerne har en længde over 25,0 m, og at længden
af træstammerne kan beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel X
med middelværdi 20,5 m.
Bestem spredningen for denne normalfordeling.
Bestem ved hjælp af modellen sandsynligheden for, at længden af en tilfældigt
valgt træstamme er mellem 18,0 m og 24,0 m.
Der udvælges tilfældigt 50 træstammer fra partiet.
Bestem sandsynligheden for, at ingen af de 50 udvalgte træstammer har en
længde, der er over 25,0 m.
VEND!

Opgave 4
(ca. 15 point)
Opgave 5
(ca. 15 point)
Ved måling på en radioaktiv kilde beskrives den målte aktivitet ved en funktion
af typen
hvor A(t) er den målte aktivitet, t er tiden, og A 0 , k og B er konstanter.
For en bestemt radioaktiv kilde er B = 15 , A 0 = 1000 og k = 0,0011.
Bestem A(60).
−k
t
+
A(
t)
= A0e
B ,
Bestem t , så A(t) = 200.
For en anden radioaktiv kilde er B = 20 , A(10) = 800 og A(70) = 300.
Bestem konstanterne A 0 og k .
En funktion f er bestemt ved
f ( x)
= cos x − sin x , x ∈ ] 0 ; 2π [ .
Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet
Bestem de to løsninger til ligningen
Bestem monotoniforholdene for f .
f ′ ( x)
= 0 .
π π P , f ( )) .
( 2 2
1 Linjen med ligningen y = x − 1 skærer grafen for f i netop ét punkt.
2
Benyt grafregneren til at bestemme førstekoordinaten til dette punkt.

Opgave 6a
(ca. 15 point)
Opgave 6b
(ca. 15 point)
På figuren ses en beholder, der har form som
en cylinder, hvorpå der er placeret en halvkugle.
Cylinderens højde betegnes med h og grundfladens
radius med r. Halvkuglen har samme
radius som cylinderens grundflade.
Det oplyses, at beholderens rumfang er 30, og
at r er mindre end 2.
Gør rede for, at h kan skrives som
30 2
h = −
π ⋅ r
2
r .
3
Beholderens overflade består af cylinderens krumme overflade, cylinderens
bund og halvkuglens overflade.
Gør rede for, at beholderens overflade som funktion af r kan angives ved
5 2
O ( r)
=
π
r +
60
.
3 r
Bestem r og h , så beholderens overflade er mindst mulig.
Figuren viser et lodret tværsnit af en kugleformet
gasballon med tilhørende kurv. Cirklen med
centrum P er et tværsnit af den kugleformede
gasballon, og rektanglet ABCD er et tværsnit af
kurven. Kurven er fastgjort til gasballonen ved
hjælp af flere wirer. En af disse wirer er fastgjort
til kurven i punkterne A og B og løber hen
over gasballonen, således at wiren følger linjestykket
AQ, cirkelbuen QSR samt linjestykket
RB . Midtpunktet af AB betegnes E, og PE er
vinkelret på AB. Målt i meter er cirklens radius
4, ⏐AB⏐ = 3 og ⏐PE⏐ = 7 (se figuren).
Beregn ⏐AP⏐ og ∠APE.
Beregn ⏐AQ⏐ og ∠APQ.
Beregn længden af wiren.
Kun én af opgaverne 6a og 6b må afleveres til bedømmelse