CantorWs diagonalbevis Det f0lgende er forfatternes ... - matema10k

Cantor’s diagonalbevis
Det følgende er forfatternes egen oversættelse af dele af Cantors bevis fra 1890-91
(Deutsche Mathematiker-Vereinigung, Bd. I, s. 75-78). Det er den første o¤entliggjorte version
af Cantors diagonalbevis. En formulering af sætningen, som Cantor ønsker at bevise,
kunne lyde:
Sætning Der …ndes en uendelig mængde, der er så stor, at den ikke kan parres én-til-én
med de naturlige tal.
Meget løst sagt kan man også sige, at de reelle tals uendelighed er større end de naturlige
tals uendelighed. Cantor bruger vendingen, at de reelle tals "mægtighed"er større end de
naturlige tals "mægtighed". Cantor kan vise, at med nedenstående bevis følger det, at de
reelle tal i et interval ikke lader sig opstille som en følge
w1; w2; : : : ; w ; : : :
Kantede parenteser [ ] nedenfor markerer oversætternes bemærkninger. De kan overspringes,
men medtages for at vise nuancerne i Cantors sprogbrug.
Lad m og n være to forskellige bogstaver og betragt en mængde [ty: Inbegri¤, eng: set]
M med elementerne
E = (x1; x2; : : : ; x ; : : :)
som afhænger af uendeligt mange koordinater x1; x2; : : : ; xv; : : : som alle enten er m eller n.
Lad M være totaliteten [ty:. die Gesamtheit, eng. the totality] af alle elementer E.
Til M hører eksempelvis følgende tre elementer:
E I = (m; m; m; m; : : :) ;
E II = (n; n; n; n; : : :) ;
E III = (m; n; m; n; : : :) :
Jeg hævder nu, at en sådan mængde [ty: Mannigfaltigkeit, eng:. manifold] M ikke har samme
mægtighed [ty: Mächtigkeit, eng: power] som talfølgen 1; 2; 3; : : : ; ; : : : :
Dette følger af den følgende sætning:
Sætning Hvis E1; E2; : : : ; E ; : : : er en vilkårlig simpel uendelig følge af elementer fra
mængden M, da vil der altid eksistere et element E0 fra M, som ikke stemmer overens
med noget element E .
For et bevis lad der være givet:
E1 = (a11;a12; : : : ; a1 ; : : :)
E2 = (a21; a22; : : : ; a2 ; : : :)
.
E = (a 1; a 2; : : : ; a ; : : :)
hvor bogstaverne a er enten m eller n. Der de…neres nu en følge
.
b1; b2; : : : ; b ; : : :
så b også kun er enten m eller n, men forskellig fra a . Dvs at hvis a = m så er b = n,
og hvis a = n så er b = m. Betragter vi elementet
fra M, da ses det uden videre at ligningen
E0 = (b1; b2; : : : ; b ; : : :)
E0 = E

ikke har nogen løsning for noget positivt heltal . I modsat fald ville der for dette og for
alle værdier af gælde
b = a
og således ville vi specielt have
b = a
hvilket ifølge de…nitionen af b er umuligt. Af denne sætning følger umiddelbart at totaliteten
af alle elementer i M ikke kan bringes på følgeformen E1; E2; : : : ; E ; : : : da vi ellers vil have
modsigelsen, at en ting E0 kan være et element i M samtidig med at det ikke er et element
M.
2