Noter til Lineær Algebra - logx.dk

2 LINEÆRE AFBILDNINGER 13
Sætning 5 Lad E = [v1,v2,... ,vn] og F = [w1,w2,... ,wm] være ordnede
baser for henholdsvis V og W. Til enhver lineær afbildning L : V −→ W er
der en m × n matrix A s˚aledes, at
for alle v ∈ V .
[L(v)]F = A[v]E
A er her matricen, som repræsenterer L mht. de ordnede baser E og F.
Der gælder, at
aj = [L(vj)]F . ⊳
Eksempel 10 Lad L : R 3 −→ R 2 være defineret ved
hvor
b1 =
L(x) = x1b1 + (x2 + x3)b2,
1
1
og b2 =
−1
Nu skal matricen A, der repræsenterer den lineære afbildning mht. de ord-
nede baser [e1,e2,e3] og [b1,b2], findes.
Der gælder, at
Af sætning 5 følger det nu, at
L(e1) = 1b1 + 0b2 =⇒ [L(e1)]F = (1,0) T
L(e2) = 0b1 + 1b2 =⇒ [L(e2)]F = (0,1) T
L(e3) = 0b1 + 1b2 =⇒ [L(e3)]F = (0,1) T .
A = ([L(e1)]F ,[L(e2)]F,[L(e3)]F) =
1
1 0 0
0 1 1
. ⊳
Sætning 6 Lad E = [u1,u2,...,un] og F = [b1,b2,... ,bm] være baser
for henholdsvis R n og R m . Hvis L : R n −→ R m er en lineær afbildning, s˚a
er den j’e søjle i matricen A, som repræsenterer L mht. E og F, givet ved
aj = B −1 L(uj),
hvor B = [b1,b2,... ,bm]. ⊳