Noter til Lineær Algebra - logx.dk

Recommendations

Info

1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 4 1 Abstrakte vektorrum 1.1 Definition af et vektorrum Lad mængden V være et vektorrum og lad x,y ∈ V . Da gælder αx ∈ V, α ∈ R og x + y ∈ V. For x,y,z ∈ V og α,β ∈ R ops<strong>til</strong>les følgende aksiomer: (x + y) + z = x + (y + z) y + 0 = y (0 kaldes 0-elementet) x + (−x) = 0 x + y = y + x α(x + y) = αx + αy (α + β)x = αx + βx (αβ)x = α(βx) 1x = x. Elementerne i et vektorrum kaldes for vektorer. Her følger nogle eksempler p˚a vektorrum og elementer i disse: Eksempel 1 (Vektorrummet R n ) Talrummene R n er vektorrum. Her er et eksempel p˚a vektorer i henholdsvis R3 og R5 : ⎛ ⎞ 4 ⎜ ⎟ x = ⎜ ⎝ 7 ⎟ ⎠ , 42 ⎛ ⎞ −12 ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ ⎟ y = ⎜ 1 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 9 ⎟ ⎠ 1 ⊳ Eksempel 2 (Vektorrummet R m×n ) Mængden af alle m × n matricer er et vektorrum og betegnes Rm×n . Her er et eksempel p˚a en vektor i R3×2 : ⎛ ⎞ ⎜ A = ⎜ ⎝ 42 2 13 ⎟ 4 ⎟ ⎠ . ⊳ −1 9801
1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 5 Eksempel 3 (Vektorrummet Pn) Med Pn betegnes mængden af poly- nomier af grad strengt mindre end n. Der gælder, at Pn er et vektorrum. Her ses eksempler p˚a en vektor i P3: p(x) = 2x 2 − 4x − 12. ⊳ Eksempel 4 (Vektorrummet C[a, b]) Det kan vises, at mængden, som best˚ar af alle kontinuerte funktioner defineret p˚a et interval [a;b], udgør et vektorrum. Dette vektorrum betegnes C[a,b]. Et eksempel p˚a en vektor i C[−1,1]: f(x) = tan(x). ⊳ Eksempel 5 (Vektorrummet C n [a, b] ) Mængden af alle n gange konti- nuert differentiable funktioner p˚a et interval [a;b] udgør et vektorrum, kaldet C n [a,b]. ⊳ 1.2 Underrum Lad V være et vektorrum og lad S ⊆ V . Hvis S er en ikke-tom delmængde af V , s˚a kaldes S et underrum af V , hvis følgende gælder: αx ∈ S, for alle x ∈ S og alle α ∈ R, (i) x + y ∈ S for alle x,y ∈ S. (ii) Betingelses (i) siger, at S er lukket under skalarmultiplikation og (ii) siger, at S er lukket under addition af elementer i S. I ethvert vektorrum V gælder der, at V og {0} er underrum. Disse to vektorrum kaldes trivielle underrum. Der gælder generelt, at alle underrum i sig selv er vektorrum. 1.3 En matrices nulrum Lad A være en m × n matrix. S˚a betegner N(A) mængden af alle løsninger <strong>til</strong> ligningen Ax = 0. Der gælder, at N(A) = {x ∈ R n |Ax = 0} .
Page 1 and 2: Noter til Lineær Algebra Martin Sp
Page 3: INDHOLD 3 0.1 Om disse noter Disse
Page 7 and 8: 1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 7 For at afg
Page 9 and 10: 1 ABSTRAKTE VEKTORRUM 9 Definition
Page 11 and 12: 2 LINEÆRE AFBILDNINGER 11 2 Lineæ
Page 13 and 14: 2 LINEÆRE AFBILDNINGER 13 Sætning
Page 15 and 16: 3 EGENVÆRDIER 15 3 Egenværdier 3.
Page 17 and 18: 4 ORTOGONALISERING 17 4 Ortogonalis
Page 19 and 20: 4 ORTOGONALISERING 19 4.3 Ortonorma
Page 21 and 22: 4 ORTOGONALISERING 21 Sætning 14 H
Page 23 and 24: 5 FOURIERANALYSE 23 5 Fourieranalys
Page 25: 5 FOURIERANALYSE 25 Eksempelvis er

Noter til Lineær Algebra - logx.dk

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?