DesignMat Lineære differentialligninger II

• Ansatsen indsættes i differentialligningen:
d2 dt2
Ae it + 3 d
Ae
dt
it + 2Ae it = 10e it
• Udregning og reduktion giver (1 + 3i) Ae it = 10e it .
= 1 − 3i. Altså er partikulær løsning til
den komplekse ligning xp (t) = (1 − 3i) eit .
• Vi må derfor forlange A = 10
1+3i
• Realdelen af denne er partikulær løsning til den oprindelige ligning, så
xp (t) = Re (1 − 3i) e it = cos t + 3 sin t.
1.8 Eksempel 6 Kompleks gættemetode
Eksempel 6 kompleks gættemetode
• Betragt differentialligningen x ′′ + 3x ′ + 2x = 2 sin t · e−2t .
• Da 2 sin t · e−2t
= Im 2e (−2+i)t betragter vi nu x ′′ + 3x ′ + 2x = 2e (−2+i)t .
• Ansats til en partikulær løsning xp (t) = Ae (−2+i)t .
• Indsættelse: d2
dt 2
Ae (−2+i)t
+ 3 d dt
Ae (−2+i)t
+ 2Ae (−2+i)t = 2e (−2+i)t .
• Udregning og reduktion giver − (1 + i) Ae (−2+i)t = 2e (−2+i)t .
• Vi må derfor forlange A = −2
1+i
den komplekse ligning xp (t) = (−1 + i) e (−2+i)t .
= −1 + i. Altså er partikulær løsning til
• Imaginærdelen
af denne er partikulær løsning til den oprindelige ligning,
så xp (t) = Im (−1 + i) e (−2+i)t = e−2t (cos t − sin t).
2 Lineære Differentialligninger af n’te orden
2.1 Eksistens- og entydighed
Eksistens- og entydighed
• Vi betragter lineære differentialligninger med konstante koefficienter:
anx (n) + an−1x (n−1) + · · · + a1x ′ + a0x = q (t) (1)
med q ∈ C (I), hvor I er et interval. a0, a1, . . . , an er reelle konstanter og
an = 0.
• Teorien for n’te ordens lineære differentialligninger er ganske som for
n = 2.
• Sætning. Lad t0 ∈ I og x0, v1, v2, . . . , vn−1 ∈ R. Begyndelsesværdiproblemet
for (1) med x (t0) = x0, x ′ (t0) = v1, x ′′ (t0) = v2, . . . , x (n−1) (t0) = vn−1
har netop én løsning og den er defineret på hele intervallet I.
4