DesignMat Uge 6 Systemer af lineære differentialligninger II

DifferentialligningerIIPreben AlsholmDesignMat Uge 6Systemer af lineære differentialligninger IIPreben AlsholmEfterår 2009LineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Lineært differentialligningssystem af første orden◮ Vi betragtede sidst et lineært og homogent system af ndifferentialligninger af første orden på formen·x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + a 12 x 2 (t) + · · · + a 1n x n (t)·x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + a 22 x 2 (t) + · · · + a 2n x n (t).·x n (t) = a n1 x 1 (t) + a n2 x 2 (t) + · · · + a nn x n (t)DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Lineært differentialligningssystem af første orden◮ Vi betragtede sidst et lineært og homogent system af ndifferentialligninger af første orden på formen·x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + a 12 x 2 (t) + · · · + a 1n x n (t)·x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + a 22 x 2 (t) + · · · + a 2n x n (t).·x n (t) = a n1 x 1 (t) + a n2 x 2 (t) + · · · + a nn x n (t)◮ Alle koeffi cienterne a ij antoges at være reelle konstanter.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Lineært differentialligningssystem af første orden◮ Vi betragtede sidst et lineært og homogent system af ndifferentialligninger af første orden på formen·x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + a 12 x 2 (t) + · · · + a 1n x n (t)·x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + a 22 x 2 (t) + · · · + a 2n x n (t).·x n (t) = a n1 x 1 (t) + a n2 x 2 (t) + · · · + a nn x n (t)◮ Alle koeffi cienterne a ij antoges at være reelle konstanter.◮ Systemet kan skrives ·x (t) = Ax (t), når A og x (t) ergivet ved232 3a 11 a 12 . . . a 1nx 1 (t)a 21 a 22 . . . a 2nA = 674 . . . 5 , x (t) = x 2 (t)6 74 . 5a n1 a n2 . . . a nn x n (t)DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Omskrivning af n’te ordens differentialligning tilsystem af første orden◮ Betragt en normeret lineær differentialligning af n’teordend n ydt n + a n−1d n−1 ydt n−1 + · · · + a 1dydt + a 0y = q (t)DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Omskrivning af n’te ordens differentialligning tilsystem af første orden◮ Betragt en normeret lineær differentialligning af n’teordend n ydt n + a d n−1 yn−1dt n−1 + · · · + a dy1dt + a 0y = q (t)◮ Sæt x 1 = y, x 2 = y ′ , x 3 = y ′′ , . . . , x n = y (n−1)så fås systemet·x 1 (t) = x 2 (t)·x 2 (t) = x 3 (t).·x n−1 (t) = x n (t)·x n (t) = −a 0 x 1 (t) − a 1 x 2 (t) − · · · − a n−1 x n (t) + q (t)med koeffi cientmatrix på næste side.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Omskrivningen fortsatDifferentialligningerIIPreben Alsholm◮264· 3x 1·x 2.75x n·x n−1·=230 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 06. . . · · · . .4 0 0 0 · · · 0 1−a 0 −a 1 −a 2 · · · −a n−2 −a n−12 300 7+64.0q (t)75Lineæredifferentialligningssystemer2Lineært differentialligningssystemxafførste orden 1Omskrivning af n’teordensx 2differentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning7 6.afsystem 5 4koblede x n’teordens n−1differentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix375x n

Omskrivningen fortsatDifferentialligningerIIPreben Alsholm◮264· 3x 1·x 2.75x n·x n−1·=230 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 06. . . · · · . .4 0 0 0 · · · 0 1−a 0 −a 1 −a 2 · · · −a n−2 −a n−12 300 7+64.0q (t)75Lineæredifferentialligningssystemer2Lineært differentialligningssystemxafførste orden 1Omskrivning af n’teordensx 2differentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning7 6.afsystem 5 4koblede x n’teordens n−1differentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix375x n◮ Maple-eksempler.

Omskrivning af system af koblede n’te ordensdifferentialligning til system af første orden◮ Betragt eksempelvis et koblet system af to lineæredifferentialligninger af 2. orden:y 1 ′′ + a 1 y 1 ′ + b 1 y 2 ′ + a 0 y 1 + b 0 y 2 = q 1 (t)y 2 ′′ + c 1 y 1 ′ + d 1 y 2 ′ + c 0 y 1 + d 0 y 2 = q 2 (t)DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Omskrivning af system af koblede n’te ordensdifferentialligning til system af første orden◮ Betragt eksempelvis et koblet system af to lineæredifferentialligninger af 2. orden:y 1 ′′ + a 1 y 1 ′ + b 1 y 2 ′ + a 0 y 1 + b 0 y 2 = q 1 (t)y 2 ′′ + c 1 y 1 ′ + d 1 y 2 ′ + c 0 y 1 + d 0 y 2 = q 2 (t)◮ Sæt x 1 = y 1 , x 2 = y 2 , x 3 = y 1 ′, x 4 = y 2 ′ så fåssystemet·x 1 (t) = x 3 (t)·x 2 (t) = x 4 (t)·x 3 (t) = −a 1 x 3 − b 1 x 4 − a 0 x 1 − b 0 x 2 + q 1 (t)·x 4 (t) = −c 1 x 3 − d 1 x 4 − c 0 x 1 − d 0 x 2 + q 2 (t)med koeffi cientmatrix på næste side.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Omskrivning af system af koblede n’te ordensdifferentialligning til system af første orden◮ Betragt eksempelvis et koblet system af to lineæredifferentialligninger af 2. orden:y 1 ′′ + a 1 y 1 ′ + b 1 y 2 ′ + a 0 y 1 + b 0 y 2 = q 1 (t)y 2 ′′ + c 1 y 1 ′ + d 1 y 2 ′ + c 0 y 1 + d 0 y 2 = q 2 (t)◮ Sæt x 1 = y 1 , x 2 = y 2 , x 3 = y 1 ′, x 4 = y 2 ′ så fåssystemet·x 1 (t) = x 3 (t)·x 2 (t) = x 4 (t)·x 3 (t) = −a 1 x 3 − b 1 x 4 − a 0 x 1 − b 0 x 2 + q 1 (t)·x 4 (t) = −c 1 x 3 − d 1 x 4 − c 0 x 1 − d 0 x 2 + q 2 (t)med koeffi cientmatrix på næste side.◮ Man kunne i stedet have valgt en anden organisering,f.eks. x 1 = y 1 , x 2 = y ′ 1 , x 3 = y 2 , , x 4 = y ′ 2 .DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Omskrivningen fortsat◮ Med valget x 1 = y 1 , x 2 = y 2 , x 3 = y ′ 1 , x 4 = y ′ 2 fås264· 3x 1·x 2· 7x 3·x 425 = 643 20 0 1 00 0 0 17 6−a 0 −b 0 −a 1 −b 15 4−c 0 −d 0 −c 1 −d 13 2x 1x 27x 35 + 64x 400q 1 (t)q 2 (t)DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemer3Lineært differentialligningssystemafførste orden7Omskrivning af n’teordens5differentialligningtilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Omskrivningen fortsat◮ Med valget x 1 = y 1 , x 2 = y 2 , x 3 = y ′ 1 , x 4 = y ′ 2 fås264· 3x 1·x 2· 7x 3·x 425 = 643 20 0 1 00 0 0 17 6−a 0 −b 0 −a 1 −b 15 4−c 0 −d 0 −c 1 −d 13 2x 1x 27x 35 + 64x 4◮ Med valget x 1 = y 1 , x 2 = y 1 ′, x 3 = y 2 , , x 4 = y 2′fås i stedet2 · 3 23 2 3 2x 1 0 1 0 0 x 1·x 26 · 74 x 35 = 6 −a 0 −a 1 −b 0 −b 17 6 x 274 0 0 0 1 5 4 x 35 + 64·x−c 0 −c 1 −d 0 −d 1 x 4 400q 1 (t)q 2 (t)0q 1 (t)0q 2 (t)DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemer3Lineært differentialligningssystemafførste orden7Omskrivning af n’teordens5differentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning I3Anvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimale75polynomium for enmatrix

Omskrivningen fortsat◮ Med valget x 1 = y 1 , x 2 = y 2 , x 3 = y ′ 1 , x 4 = y ′ 2 fås264· 3x 1·x 2· 7x 3·x 425 = 643 20 0 1 00 0 0 17 6−a 0 −b 0 −a 1 −b 15 4−c 0 −d 0 −c 1 −d 13 2x 1x 27x 35 + 64x 4◮ Med valget x 1 = y 1 , x 2 = y 1 ′, x 3 = y 2 , , x 4 = y 2′fås i stedet2 · 3 23 2 3 2x 1 0 1 0 0 x 1·x 26 · 74 x 35 = 6 −a 0 −a 1 −b 0 −b 17 6 x 274 0 0 0 1 5 4 x 35 + 64·x−c 0 −c 1 −d 0 −d 1 x 4 400q 1 (t)q 2 (t)0q 1 (t)0q 2 (t)DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemer3Lineært differentialligningssystemafførste orden7Omskrivning af n’teordens5differentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning I3Anvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimale75polynomium for enmatrix◮ Maple-eksempler.

Cayley-Hamiltons sætning◮ Lad A være en n × n-matrix og ladp (λ) = det (A − λI ). Så gælder, at p (A) = 0.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Cayley-Hamiltons sætning◮ Lad A være en n × n-matrix og ladp (λ) = det (A − λI ). Så gælder, at p (A) = 0.◮ Bevis. For et generelt bevis se sætning 7.19, p. 218 iLA.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Cayley-Hamiltons sætning◮ Lad A være en n × n-matrix og ladp (λ) = det (A − λI ). Så gælder, at p (A) = 0.◮ Bevis. For et generelt bevis se sætning 7.19, p. 218 iLA.◮ Er A diagonaliserbar, kan sætningen let bevises:DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Cayley-Hamiltons sætning◮ Lad A være en n × n-matrix og ladp (λ) = det (A − λI ). Så gælder, at p (A) = 0.◮ Bevis. For et generelt bevis se sætning 7.19, p. 218 iLA.◮ Er A diagonaliserbar, kan sætningen let bevises:◮ Lad v 1 , v 2 , . . . , v n være en basis for R n (eller C n )bestående af egenvektorer for A.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Cayley-Hamiltons sætning◮ Lad A være en n × n-matrix og ladp (λ) = det (A − λI ). Så gælder, at p (A) = 0.◮ Bevis. For et generelt bevis se sætning 7.19, p. 218 iLA.◮ Er A diagonaliserbar, kan sætningen let bevises:◮ Lad v 1 , v 2 , . . . , v n være en basis for R n (eller C n )bestående af egenvektorer for A.◮ Skriv x ∈ R n (eller C n ) på formenx = c 1 v 1 + · · · + c n v n .DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Cayley-Hamiltons sætning◮ Lad A være en n × n-matrix og ladp (λ) = det (A − λI ). Så gælder, at p (A) = 0.◮ Bevis. For et generelt bevis se sætning 7.19, p. 218 iLA.◮ Er A diagonaliserbar, kan sætningen let bevises:◮ Lad v 1 , v 2 , . . . , v n være en basis for R n (eller C n )bestående af egenvektorer for A.◮ Skriv x ∈ R n (eller C n ) på formenx = c 1 v 1 + · · · + c n v n .◮ Så fås p (A) x = c 1 p (A) v 1 + · · · + c n p (A) v n =c 1 p (λ 1 ) v 1 + · · · + c n p (λ n ) v n = 0.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Cayley-Hamiltons sætning◮ Lad A være en n × n-matrix og ladp (λ) = det (A − λI ). Så gælder, at p (A) = 0.◮ Bevis. For et generelt bevis se sætning 7.19, p. 218 iLA.◮ Er A diagonaliserbar, kan sætningen let bevises:◮ Lad v 1 , v 2 , . . . , v n være en basis for R n (eller C n )bestående af egenvektorer for A.◮ Skriv x ∈ R n (eller C n ) på formenx = c 1 v 1 + · · · + c n v n .◮ Så fås p (A) x = c 1 p (A) v 1 + · · · + c n p (A) v n =c 1 p (λ 1 ) v 1 + · · · + c n p (λ n ) v n = 0.◮ Men hvis en kvadratisk matrix B opfylder Bx = 0 foralle x ∈ R n (eller C n ), så gælder B = 0.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Cayley-Hamiltons sætning◮ Lad A være en n × n-matrix og ladp (λ) = det (A − λI ). Så gælder, at p (A) = 0.◮ Bevis. For et generelt bevis se sætning 7.19, p. 218 iLA.◮ Er A diagonaliserbar, kan sætningen let bevises:◮ Lad v 1 , v 2 , . . . , v n være en basis for R n (eller C n )bestående af egenvektorer for A.◮ Skriv x ∈ R n (eller C n ) på formenx = c 1 v 1 + · · · + c n v n .◮ Så fås p (A) x = c 1 p (A) v 1 + · · · + c n p (A) v n =c 1 p (λ 1 ) v 1 + · · · + c n p (λ n ) v n = 0.◮ Men hvis en kvadratisk matrix B opfylder Bx = 0 foralle x ∈ R n (eller C n ), så gælder B = 0.◮ Altså har vi p (A) = 0.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning I2◮ Eksempel. A = 4−5 −3 3−3 −5 3−9 −9 7er p (λ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4.35. KarakterpolynomietDifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning I2◮ Eksempel. A = 4−5 −3 3−3 −5 3−9 −9 7er p (λ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4.◮ Cayley-Hamilton giver, atp (A) = −A 3 − 3A 2 + 4I = 0.35. KarakterpolynomietDifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning I2◮ Eksempel. A = 4−5 −3 3−3 −5 3−9 −9 735. Karakterpolynomieter p (λ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4.◮ Cayley-Hamilton giver, atp (A) = −A 3 − 3A 2 + 4I = 0.◮ Hvis ·x d= Ax har vi 2x =dt 2d ·dtx = d dt Ax = A d dt x = A ·x = A 2 x og genereltd kx = A k x.dt kDifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning I2◮ Eksempel. A = 4−5 −3 3−3 −5 3−9 −9 735. Karakterpolynomieter p (λ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4.◮ Cayley-Hamilton giver, atp (A) = −A 3 − 3A 2 + 4I = 0.◮ Hvis ·x d= Ax har vi 2x =dt 2d ·dtx = d dt Ax = A d dt x = A ·x = A 2 x og genereltd kx = A k x.dt k◮ Derfor gælder, at p d dt x = p (A) x = 0.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning I2◮ Eksempel. A = 4−5 −3 3−3 −5 3−9 −9 735. Karakterpolynomieter p (λ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4.◮ Cayley-Hamilton giver, atp (A) = −A 3 − 3A 2 + 4I = 0.◮ Hvis ·x d= Ax har vi 2x =dt 2d ·dtx = d dt Ax = A d dt x = A ·x = A 2 x og genereltd kx = A k x.dt k◮ Derfor gælder, at p d dt x = p (A) x = 0.◮ Altså løser hver af komponenterne x i af xdifferentialligningen p d dt xi = 0.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning I2◮ Eksempel. A = 4−5 −3 3−3 −5 3−9 −9 735. Karakterpolynomieter p (λ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4.◮ Cayley-Hamilton giver, atp (A) = −A 3 − 3A 2 + 4I = 0.◮ Hvis ·x d= Ax har vi 2x =dt 2d ·dtx = d dt Ax = A d dt x = A ·x = A 2 x og genereltd kx = A k x.dt k◮ Derfor gælder, at p d dt x = p (A) x = 0.◮ Altså løser hver af komponenterne x i af xdifferentialligningen p d dt xi = 0.◮ Så −xi ′′′ − 3xi ′′ + 4x i = 0 for i = 1, 2, 3.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning I2◮ Eksempel. A = 4−5 −3 3−3 −5 3−9 −9 735. Karakterpolynomieter p (λ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4.◮ Cayley-Hamilton giver, atp (A) = −A 3 − 3A 2 + 4I = 0.◮ Hvis ·x d= Ax har vi 2x =dt 2d ·dtx = d dt Ax = A d dt x = A ·x = A 2 x og genereltd kx = A k x.dt k◮ Derfor gælder, at p d dt x = p (A) x = 0.◮ Altså løser hver af komponenterne x i af xdifferentialligningen p d dt xi = 0.◮ Så −xi ′′′ − 3xi ′′ + 4x i = 0 for i = 1, 2, 3.◮ Karakterligningens rødder er −2 (alg. mult. 2) og 1.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning I2◮ Eksempel. A = 4−5 −3 3−3 −5 3−9 −9 735. Karakterpolynomieter p (λ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4.◮ Cayley-Hamilton giver, atp (A) = −A 3 − 3A 2 + 4I = 0.◮ Hvis ·x d= Ax har vi 2x =dt 2d ·dtx = d dt Ax = A d dt x = A ·x = A 2 x og genereltd kx = A k x.dt k◮ Derfor gælder, at p d dt x = p (A) x = 0.◮ Altså løser hver af komponenterne x i af xdifferentialligningen p d dt xi = 0.◮ Så −xi ′′′ − 3xi ′′ + 4x i = 0 for i = 1, 2, 3.◮ Karakterligningens rødder er −2 (alg. mult. 2) og 1.◮ Så x i (t) = c i1 e t + c i2 e −2t + c i3 te −2t , hvorkonstanterne for forskellige værdier af i afhænger afhinanden.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning II◮ Da vores A er diagonaliserbar, må c i3 = 0, såx i (t) = c i1 e t + c i2 e −2t .DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning II◮ Da vores A er diagonaliserbar, må c i3 = 0, såx i (t) = c i1 e t + c i2 e −2t .◮ Indsættelse i x = Ax:2·c 11 e t + c 12 e −2t 3c 21 e t + c 22 e −2t 5 =2c 11 e t − 2c 12 e −2t 3c 21 e t − 2c 22 e −2t 5DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første orden·x = d 4dt42e t (−5c 11 − 3c 21 + 3c 31 ) + e −2t 3(−5c 12 − 3c 22 + 3c 32 )Ax = 4 e t (−3c 11 − 5c 21 + 3c 31 ) + e −2t (−3c 12 − 5c 22 + 3c 32 )e t (−9c 11 − 9c 21 + 7c 31 ) + e −2t (−9c 12 − 9c 22 + 7c 32 )Omskrivningen fortsatCayley-Hamiltonssætning5AnvendelseCayley-Hamiltonsafsætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning II◮ Da vores A er diagonaliserbar, må c i3 = 0, såx i (t) = c i1 e t + c i2 e −2t .◮ Indsættelse i x = Ax:2·c 11 e t + c 12 e −2t 3c 21 e t + c 22 e −2t 5 =2c 11 e t − 2c 12 e −2t 3c 21 e t − 2c 22 e −2t 5DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første orden·x = d 4dt42e t (−5c 11 − 3c 21 + 3c 31 ) + e −2t 3(−5c 12 − 3c 22 + 3c 32 )Ax = 4 e t (−3c 11 − 5c 21 + 3c 31 ) + e −2t (−3c 12 − 5c 22 + 3c 32 )e t (−9c 11 − 9c 21 + 7c 31 ) + e −2t (−9c 12 − 9c 22 + 7c 32 )◮ Ud af dette fås 6 lineære ligninger med 6 ubekendte.Omskrivningen fortsatCayley-Hamiltonssætning5AnvendelseCayley-Hamiltonsafsætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning II◮ Da vores A er diagonaliserbar, må c i3 = 0, såx i (t) = c i1 e t + c i2 e −2t .◮ Indsættelse i x = Ax:2·c 11 e t + c 12 e −2t 3c 21 e t + c 22 e −2t 5 =2c 11 e t − 2c 12 e −2t 3c 21 e t − 2c 22 e −2t 5DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første orden·x = d 4dt42e t (−5c 11 − 3c 21 + 3c 31 ) + e −2t 3(−5c 12 − 3c 22 + 3c 32 )Ax = 4 e t (−3c 11 − 5c 21 + 3c 31 ) + e −2t (−3c 12 − 5c 22 + 3c 32 )e t (−9c 11 − 9c 21 + 7c 31 ) + e −2t (−9c 12 − 9c 22 + 7c 32 )◮ Ud af dette fås 6 lineære ligninger med 6 ubekendte.◮ Som det ses, er det absolut ikke den simpleste metodetil løsning af ·x = Ax. Brug egenværdier ogegenvektorer for A!Omskrivningen fortsatCayley-Hamiltonssætning5AnvendelseCayley-Hamiltonsafsætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Det minimale polynomium for en matrix◮ Det minimale polynomium for en kvadratisk matrix A erdet ikke-trivielle polynomium p af mindst mulig grad forhvilket det gælder, at p (A) = 0.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Det minimale polynomium for en matrix◮ Det minimale polynomium for en kvadratisk matrix A erdet ikke-trivielle polynomium p af mindst mulig grad forhvilket det gælder, at p (A) = 0.◮ Er egenværdierne for A alle simple, så er det minimalepolynomium identisk med karakterpolynomiet.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Det minimale polynomium for en matrix◮ Det minimale polynomium for en kvadratisk matrix A erdet ikke-trivielle polynomium p af mindst mulig grad forhvilket det gælder, at p (A) = 0.◮ Er egenværdierne for A alle simple, så er det minimalepolynomium identisk med karakterpolynomiet.◮ Er A diagonaliserbar, så er det minimale polynomiump (λ) = (λ 1 − λ) (λ 2 − λ) · · · (λ k − λ), hvoregenværdierne λ 1 , λ 2 , . . . , λ k er indbyrdes forskellige.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Det minimale polynomium for en matrix◮ Det minimale polynomium for en kvadratisk matrix A erdet ikke-trivielle polynomium p af mindst mulig grad forhvilket det gælder, at p (A) = 0.◮ Er egenværdierne for A alle simple, så er det minimalepolynomium identisk med karakterpolynomiet.◮ Er A diagonaliserbar, så er det minimale polynomiump (λ) = (λ 1 − λ) (λ 2 − λ) · · · (λ k − λ), hvoregenværdierne λ 1 , λ 2 , . . . , λ k er indbyrdes forskellige.◮ I eksemplet ovenfor fandt videt (A − λI ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4 = − (λ − 1) (λ + 2) 2 .DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Det minimale polynomium for en matrix◮ Det minimale polynomium for en kvadratisk matrix A erdet ikke-trivielle polynomium p af mindst mulig grad forhvilket det gælder, at p (A) = 0.◮ Er egenværdierne for A alle simple, så er det minimalepolynomium identisk med karakterpolynomiet.◮ Er A diagonaliserbar, så er det minimale polynomiump (λ) = (λ 1 − λ) (λ 2 − λ) · · · (λ k − λ), hvoregenværdierne λ 1 , λ 2 , . . . , λ k er indbyrdes forskellige.◮ I eksemplet ovenfor fandt videt (A − λI ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4 = − (λ − 1) (λ + 2) 2 .◮ Da A viste sig at være diagonaliserbar, er det minimalepolynomiump (λ) = − (λ − 1) (λ + 2) = −λ 2 − λ + 2.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Det minimale polynomium for en matrix◮ Det minimale polynomium for en kvadratisk matrix A erdet ikke-trivielle polynomium p af mindst mulig grad forhvilket det gælder, at p (A) = 0.◮ Er egenværdierne for A alle simple, så er det minimalepolynomium identisk med karakterpolynomiet.◮ Er A diagonaliserbar, så er det minimale polynomiump (λ) = (λ 1 − λ) (λ 2 − λ) · · · (λ k − λ), hvoregenværdierne λ 1 , λ 2 , . . . , λ k er indbyrdes forskellige.◮ I eksemplet ovenfor fandt videt (A − λI ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4 = − (λ − 1) (λ + 2) 2 .◮ Da A viste sig at være diagonaliserbar, er det minimalepolynomiump (λ) = − (λ − 1) (λ + 2) = −λ 2 − λ + 2.◮ Dette betyder altså, at −A 2 − A + 2I = 0.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix

Det minimale polynomium for en matrix◮ Det minimale polynomium for en kvadratisk matrix A erdet ikke-trivielle polynomium p af mindst mulig grad forhvilket det gælder, at p (A) = 0.◮ Er egenværdierne for A alle simple, så er det minimalepolynomium identisk med karakterpolynomiet.◮ Er A diagonaliserbar, så er det minimale polynomiump (λ) = (λ 1 − λ) (λ 2 − λ) · · · (λ k − λ), hvoregenværdierne λ 1 , λ 2 , . . . , λ k er indbyrdes forskellige.◮ I eksemplet ovenfor fandt videt (A − λI ) = −λ 3 − 3λ 2 + 4 = − (λ − 1) (λ + 2) 2 .◮ Da A viste sig at være diagonaliserbar, er det minimalepolynomiump (λ) = − (λ − 1) (λ + 2) = −λ 2 − λ + 2.◮ Dette betyder altså, at −A 2 − A + 2I = 0.·◮ Komponenterne til løsningerne til x = Ax opfylderdermed alle differentialligningen −xi ′′ − xi ′ + 2x i = 0.DifferentialligningerIIPreben AlsholmLineæredifferentialligningssystemerLineært differentialligningssystemafførste ordenOmskrivning af n’teordensdifferentialligning tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatOmskrivning afsystem koblede n’teordensdifferentialligninger tilsystem af første ordenOmskrivningen fortsatCayley-HamiltonssætningAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IAnvendelse afCayley-Hamiltonssætning IIDet minimalepolynomium for enmatrix