blemer vha. simplex-baseret metode - DK-TUG

2.2. Interior-point metoden 9
hvor rP og rD er henholdsvis residualer til det primale og det duale
problem. De er defineret som
rP := b−Ax
rD := c−A T y −s
Hermed er vi faktisk nået til det første trin i algoritmen, som går ud på
at løse dette ligningssystem. Når det er gjort, opdateres variablene, og
algoritmen gentages.
⎛
⎝ x+
⎞ ⎛
⎠ = ⎝ x
⎞ ⎛
⎠+α ⎝ dx
⎞
⎠
y +
s +
y
s
Betydningen af faktoren α er forklaret nærmere i afsnit 2.2.5 på næste
side.
2.2.4 Dualitetsspænd
Vi ved ud fra dualitetssætningens hovedtilfælde (Fuglede et al., 1999),
at hvis henholdsvis det primale og det duale problem har en optimal
løsning, så har de samme optimale værdi: sup(P) = inf(D) ∈ R.
Når man anvender den omtalte indre punkts metode, får man som
sagt en løsning, som er en approximation til den optimale løsning pga.
omskrivningen af det oprindelige problem. Dermed kan funktionsværdien
for henholdsvis det primale og det duale problem afvige fra hinanden
– det såkaldte dualitetsspænd.
Hvis man beregner det dualitetsspænd, man kan forvente, når man
anvender denne metode, får man følgende, hvor (x(µ),y(µ),s(µ)) er en
løsning:
dy
ds
c T x(µ)−b T y(µ) = x(µ) T s(µ)
= e T X(µ)s(µ)
= e T (µe)
= µn
n er antallet af variable – inklusive slack-variable.
For at opnå det bedst mulige resultat er man selvfølgelig interesseret
i, at dualitetsspændet bliver lig 0. Det er her, at vi indfører det ene af
stopkriterierne i beregningsgangen. Det er nemlig defineret som x T s –
dualitetsspændet. Så ved at vælge et stopkriterium tæt på 0, opnår man,
at dualitetsspændet bliver mindst muligt, og derved får man løsninger
til henholdsvis det primale og det duale problem, som afviger meget
lidt fra den optimale løsning til det oprindelige problem.